associar a declinação solar a modelos matemáticos, relacionando para certo dia do ano, a latitude...

associar a declinação solar a modelos

matemáticos, relacionando para certo dia do ano, a

latitude para a qual os raios solares são perpendi-

culares ao solo, próximo ao meio dia.

analisar as transformações gráficas dos tipos:

reflexão, translação, encolhimento e alongamento.

ObjetivosObjetivos

Declinação Solar ao Declinação Solar ao

longo do anolongo do ano.

Tempo previsto: 3h

Uma vez que a Terra é aproximadamente esférica,

a luz que vem do Sol sempre incide perpendicularmente

em algum ponto da superfície terrestre. Num dado dia do

ano, existe um conjunto de pontos da superfície

terrestre sobre os quais a luz do Sol passa exatamente

pelas normais desses pontos. Obviamente, a luz

somente será perpendicular a um ponto por vez, mas

como a Terra encontra-se em movimento de rotação,

vários são os pontos que, ao longo deste dia, receberão

a luz do Sol perpendicularmente.

Para esses pontos, a luz do Sol coincide com suas

normais exatamente no meio-dia solar ou meio-dia

verdadeiro (que difere um pouco do meio-dia de nossos

relógios).

Inclinação dos raios de luz solar num dado dia do ano para várias latitudes. A figura representa o solstício de verão no hemisfério sul, com a luz incidindo perpendicularmente sobre o Trópico de Capricórnio. Em cada momento do dia, algum ponto do Trópico de Capricórnio recebe a luz do sol perpendicularmente.

Esses locais da superfície terrestre em que a luz do

Sol é capaz de incidir perpendicularmente num dado dia

do ano possuem em comum suas latitudes, e assim,

juntos, formam um círculo de latitude constante em torno

da Terra.

Devido aos movimentos de rotação e translação da

Terra, a cada dia do ano, a luz do Sol é capaz de atingir a

Terra perpendicularmente em um círculo de latitudes

diferentes, entre as latitudes de -23,5º e +23,5º. A latitude

desses “círculos” de incidência perpendicular da luz do

Sol é chamada de declinação, e é função do dia do ano.

Uma forma simples de calcular a declinação é

utilizando a seguinte equação:

sendo que d é o dia juliano, contado de 1 (1º/jan) a 365

(31/dez), e é a declinação em graus.

A figura seguinte mostra a posição relativa Terra-

Sol ao longo do ano, destacando os dias em que os raios

do Sol são perpendiculares aos Trópicos de Capricórnio,

Câncer e à linha do Equador, ocasionando os Solstícios e

Equinócios.

)81(365

25,23 dsen

Modificação da posição relativa da Terra ao Sol ao longo do ano: estações do ano.

A palavra Equinócio significa “noite igual”, ou seja, a duração

do dia é igual à duração da noite. Durante os Equinócios, tanto o

hemisfério norte quanto o hemisfério sul recebem a mesma

intensidade de luz solar. Nos demais dias, um hemisfério sempre

recebe mais luz solar do que outro.

O dia mais longo do ano ocorre no Solstício de

Verão e a noite mais longa ocorre no Solstício de

Inverno. A palavra Solstício significa parado, imobilizado

e está associada à idéia de que o Sol estaria como que

estacionário.

Não é em toda a superfície da Terra que acontece

de o Sol "ficar a pino" em algum dia do ano. Para

localidades a 23,5° do equador terrestre (Trópicos de

Capricórnio e Câncer), o Sol fica a pino apenas no dia do

Solstício de Verão (ao meio dia solar, quando o Sol passa

pelo meridiano do lugar).

Localidades a mais de 23,5° do Equador terrestre,

ao norte ou ao sul, nunca têm o Sol a pino. Localidades

entre 23,5° sul e 23,5° norte, têm o Sol a pino dois dias

por ano. Esses dias estão simetricamente dispostos em

relação ao Solstício de Verão e tanto mais próximos do

dia desse solstício, quanto mais próxima da latitude 23,5°

estiver a localidade. Localidades sobre o equador

terrestre, têm o Sol a pino nos equinócios.

Dessa forma, pode-se calcular o ângulo que a luz

do Sol faz com a normal de um ponto, numa dada

latitude, ao meio-dia, através do módulo da diferença

entre a latitude do ponto desejado e a declinação.

onde = ângulo zenital solar (ângulo da luz do Sol

com a normal) e é a latitude do ponto desejado.

A figura a seguir ilustra o cálculo para o ângulo

dos raios solares formados com a horizontal na latitude

de 40°N no dia 22 de dezembro. Neste dia, os raios

solares são perpendiculares à superfície sobre o

Trópico de Capricórnio, ou seja, a 23,5°S.

Logo, existe uma diferença de 63,5° entre a

latitude em que se quer medir o ângulo zenital e a

latitude onde os raios são perpendiculares. Note que a

figura assinala o ângulo formado com a horizontal, ou

seja, o complemento de 63,5° que é 26,5°.

Abaixo segue a relação de algumas cidades e suas respectivas latitudes:

Com base nas informações anteriores, discuta com seu colega as atividades seguintes, respondendo de forma clara e concisa o que se pede.

1) Construa o gráfico da declinação em função do dia

juliano, limitando o domínio da função para os valores

informados no texto.

1.1) Verifique para qual declinação (latitude) os

raios solares serão perpendiculares à superfície ao

meio dia local de 14 de abril (104° dia juliano).

1.2) Esta latitude pertence ao Hemisfério Norte (HN)

ou Sul (HS)?

1.3) Dentre as cidades citadas no texto, qual mais se

aproxima desta latitude?

2) Santa Maria está localizada na latitude aproximada de 29,7°S. Existe algum dia do ano em que os raios solares são perpendiculares à superfície santa-mariense? Se sim, qual? Se não, por quê?

3) Os pontos do gráfico com declinações máximas e nulas coincidem com os dias dos Solstícios e Equinócios. Dada as informações na tabela abaixo, complete com o que falta:

4) Considerando que a cidade do Rio de Janeiro está a

23°S, pede-se:

4.1) Quantas vezes ao ano o Sol estará “a pino” no

céu da cidade?

4.2) Quais são esses dias?

5.1) Verifique qual será, ao longo do ano, o maior

ângulo zenital visto em Santa Maria e para que

dia ele ocorre.

5.2) Verifique qual será, ao longo do ano, o

menor ângulo zenital visto em Santa Maria e para

que dia ele ocorre.

5) Hoje é dia 30 de outubro, equivalente ao 303° dia

juliano e os raios solares estão perpendiculares à

superfície terrestre na latitude de 14,7°S. Sabendo-se

que Santa Maria está localizada a 29,7°S, descubra qual

o ângulo formado entre o Sol e a vertical (ângulo zenital)

ao meio dia local do dia de hoje.

6) Construa os gráficos de f(x)=sen(x)f(x)=sen(x) e g(x)=a+sen(x)g(x)=a+sen(x) e,

usando animação no parâmetro a, responda:

6.1) Faça a assumir valores negativos. O que

acontece com o gráfico de gg comparativamente ao

gráfico de ff?

6.2) Faça a assumir valores positivos. O que


gráfico de ff?

6.3) Que relação existe entre o parâmetro aa e o

intercepto -y-y?

6.4) Este tipo de transformação altera o domínio da

função?

6.5) Observe que a função ff varia de [-1,1]. Qual o

conjunto imagem da função gg?

7) Construa os gráficos de f(x)=sen(xf(x)=sen(x) e g(x)= sen(x+b) e,

usando animação no parâmetro bb, responda:

7.1) Faça bb assumir valores negativos. O que


gráfico de ff?

7.2) Faça bb assumir valores positivos. O que


gráfico de ff?

7.3) Um dos zeros da função ff é x=0. Se b=2, um

dos zeros de gg será:

8) Construa os gráficos de f(x)=sen(x)f(x)=sen(x) e g(x)= c.sen(x) e,

usando animação no parâmetro c, responda:

8.1) Faça c assumir valores positivos entre 0 e 1.

Você acha que, comparados ao gráfico de ff, os

gráficos de gg estão mais encolhidos ou alongados na

direção vertical?

8.2) Faça cc assumir valores positivos maiores do que

1. Você acha que, comparados ao gráfico de ff, os


direção vertical?

8.3) Quando c = -1, o que se pode concluir sobre os

gráficos de ff e gg?

8.4) Faça cc assumir valores negativos entre -1 e 0.



direção vertical?

8.5) Faça cc assumir valores negativos menores do que

-1. Você acha que, comparados ao gráfico de ff, os


direção vertical?

8.6) Resumindo: o que acontece com o gráfico de gg,

comparativamente ao de ff, quando ||cc|>1|>1?

E quando ||cc|<1|<1?

8.7) Observe que a função ff varia de [-1,1]. Qual o

conjunto imagem da função gg?

9) Construa os gráficos de f(x)=sen(x) e g(x)=sen(d.xf(x)=sen(x) e g(x)=sen(d.x)) e,

usando animação no parâmetro d, responda:

9.1) Faça dd assumir valores positivos entre 0 e 1.



direção horizontal?

9.2) Faça dd assumir valores positivos maiores do que

1. Você acha que, comparados ao gráfico de ff, os



9.3) Quando d d = -1= -1, o que se pode concluir sobre os

gráficos de f e g?

9.4) Faça dd assumir valores negativos entre -1 e 0.




9.5) Faça dd assumir valores negativos menores do que

-1. Você acha que, comparados ao gráfico de ff, os



9.6) Resumindo: o que acontece com o gráfico de gg,

comparativamente ao de ff, quando ||dd|>1|>1?

E quando ||dd|<1|<1?

9.7) Este tipo de transformação altera o conjunto

imagem da função?

9.8) Note que a função seno é periódica, ou seja, em

intervalos de tempos iguais, a função se repete. O

período da função ff varia de 0 a 6,28 (ou 2). Quando

d=2d=2, o período de gg varia de 0 a 3,14 (ou ), ou seja, a

metade do período de ff.

9.8.1) O que acontece com o período de gg quando

d = 3d = 3?

9.8.2) O que acontece com o período de gg quando

d = 1/4d = 1/4?

9.8.3) É correto concluir que o período da função gg

corresponde a ?d

2

10) Construa os gráficos de f(x)=sen(x+b) e g(x)=cos(x).f(x)=sen(x+b) e g(x)=cos(x).

Inicialmente, faça b = 0b = 0. Note que os dois gráficos são

muito parecidos, porém, não coincidentes. Anime o

parâmetro bb e descubra qual seu menor valor positivo

para o qual os dois gráficos coincidem.

11) Construa os gráficos das funções f(x)=cos(x) e g(x)=|

cos(x)|. No Winplot, a função gg dada pode ser

introduzida como abs(cos(x)).

11.1) O que você pode observar sobre o sinal da

função gg?

11.2) É correto concluir que o gráfico de gg pode ser

obtido traçando-se o gráfico de ff e refletindo em torno

do eixo x os pontos de ordenadas negativas?

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