as sombras do tempo

AS SOMBRAS DO TEMPO...AS SOMBRAS DO TEMPO...

Évora - ProfMat 2005

Ana Paula Silva, Escola Secundária da Amora [email protected]

Pedro Miguel de Oliveira [email protected]

Ao longo dos tempos as sombras despertaram no Homem sentimentos diversos. O Sol,

um dos principais responsáveis no aparecimento dessas sombras, revelava ser um

mistério com comportamentos cíclicos, o que provocou as primeiras observações e os

primeiros estudos. Com o passar dos milénios foram aparecendo vários instrumentos de

medição do tempo, entre os quais os Relógios de Sol.

Durante a nossa sessão vamos desafiar todos os intervenientes a uma viagem no tempo,

na procura da magia acumulada de séculos de história. Os Relógios de Sol e a

Trigonometria serão a simbiose de uma natureza matemática intemporal que poderá dar

a conhecer aos alunos algumas das belezas do nosso Universo...

Ana Paula Silva, Pedro Oliveira



Determinação do Norte Verdadeiro

A indicação da direcção Norte-Sul é imprescindível para a orientação dos Relógios

de Sol. Na Antiguidade foram desenvolvidos processos que permitiram a determinação

do chamado Norte Verdadeiro. O procedimento que se segue permite a obtenção desse

ponto:

1. Escolha um local iluminado durante um período de cerca de quatro horas para a obtenção do alinhamento do Norte geográfico verdadeiro.

2. Próximo das 10 horas, coloque uma estaca (gnómon) na vertical e trace uma circunferência de centro na base da estaca e raio igual à sombra da mesma e marque o ponto em que a extremidade da sombra toca a circunferência, unindo o ponto à base do gnómon.

3. Perto das 14 horas verifique o momento em que a extremidade da sombra toca novamente a circunferência. Marque esse ponto e una-o à base do gnómon.

4. A bissectriz do ângulo formado aponta para o Norte verdadeiro.

http://www.gea.org.br/relogio.html




Construção de um relógio de Sol VerticalÉ o mais usual nos monumentos e igrejas.

Materiais necessários:

1 quadrado de cartão com 20 cm de lado;1 quadrado de cartolina com 10 cm de lado;Régua;Transferidor;Marcador;Cola;X-acto;Bostik

Procedimentos:

2. Trace uma margem de 2 cm em cada um dos lados do cartão e defina o lado superior do mostrador como sendo o segmento de recta AB.

3. No segmento de recta AB, marque o ponto médio C e trace uma perpendicular. Ao ponto de intersecção do último segmento com a margem já construída atribua a letra D.

4. A partir do segmento AC e com o auxílio de um transferidor marque o ângulo correspondente à latitude do lugar onde quer implantar o relógio (Évora- 38.6o) e trace um segmento de recta com origem no ponto C. Assinale um ponto E (cerca de ± 3 cm de C)

5. A partir do ponto E trace uma perpendicular a CE. Ao ponto de intersecção com o segmento CD atribua a letra F.

6. Trace uma recta paralela s ao segmento AB e que passe por F.

7. Construa uma circunferência com centro em F e raio igual à medida do segmento FE. Assinale com a letra G o ponto de intersecção da circunferência com o segmento CD.

8. Construa uma semi-circunferência com centro em G e marque sobre esta os ângulos de 15º em 15º a partir do segmento CD. Trace todos os segmentos que unam o ponto G à recta s e que passem pelas marcas entretanto assinaladas.

9. A partir dos novos pontos obtidos na recta s trace todos os segmentos que vão ao encontro do ponto C e que intersectam na outra extremidade as margens do mostrador. Estes segmentos vão representar as linhas horárias do relógio de sol e deverão ser realçados com o auxílio de um marcador.


A C B 6

7 5

E8 4

F

9 3

G 10 11 12 1 2 D


Évora - ProfMat 2005 10. Com o pedaço de cartolina construa o gnómon com base no seguinte esquema:

– latitude do lugar

11. Dobre a peça construída no segmento CS e cole os dois triângulos um ao outro.

12. Com o X-acto faça uma incisão no cartão ao longo do segmento CF.

13. Enfie o gnómon na incisão feita no mostrador, de modo a que as letras C e F fiquem coincidentes, e cole as patilhas na parte anterior do mostrador. O gnómon deverá ficar perpendicular ao mostrador.

14. Está em condições de fixar o seu relógio de sol no local desejado, mas atenção porque o mostrador deve estar virado a Sul.

Para ler as horas neste relógio temos de ter em consideração os seguintes três factores:

- Somar (ou subtrair) 4 minutos por cada por cada grau de longitude a Oeste (ou Este) do meridiano de referência – Meridiano de Greenwich.

- Adicionar uma hora quando estamos com a hora de Verão.

- Aplicar a correcção horária para o dia do ano, através do gráfico da Equação do Tempo.

Dados de Évora:

- Latitude 38.6º

- Longitude 7º 54’


C

90º - a = 5

S F

CS – representa o gnómon

CF – representa a base do gnómon

a – medida do gnómon


Évora - ProfMat 2005 Construção de um Relógio de Sol Equatorial

O relógio de Sol equatorial é um instrumento de medição do tempo que simula de uma forma simples o movimento de rotação do nosso planeta.


1 folha de cartão de dimensões 1421 cm2; 1 palhinha de 12 cm; Compasso; Régua; Transferidor; Marcador; Cola; Tesoura.

Procedimentos:

1. Trace uma margem de 1 cm em cada um dos lados menores do cartão (segmentos z e w).

2. Marque os pontos médios (Z e W) dos segmentos que traçou e, a partir do ponto W, trace na margem do cartão duas linhas perpendiculares a w, afastadas 2 mm do ponto W. Com a ajuda de uma tesoura, saliente (mas não corte) esse pedaço do cartão.Posteriormente será necessário para segurar a palhinha- gnómon.

3. Coloque o compasso no ponto Z e trace uma semi-circunferência com um raio de 6 cm. Divida a semi-circunferência em 12 partes iguais com um transferidor. Trace os respectivos raios na semicircunferência. Repita este passo no verso do cartão. As marcações efectuadas representam as linhas horárias e devem ser realçadas com a ajuda de um marcador.

4. Observe a figura ao lado. Considerando a latitude do lugar onde está, determine os valores de a e de b com base na condição: a + b = 19 (distância que separa z de w)Trace um segmento XY paralelo ao segmento z, que dista a de z e b de w.

5. Está em condições de fazer as dobragens e os cortes necessários para pôr de pé o seu relógio de sol. Para tal, deve dobrar o cartão pelo segmento XY.

6. Com base no movimento aparente do Sol, assinale correctamente as horas no cimo do cartão, sabendo que o raio perpendicular a XY indica o meio-dia solar. No verso do mostrador as linhas horárias terão de ser coincidentes com as do mostrador.

7. Enfie a palhinha no ponto Z e fixe-a no pedaço de cartão considerado no ponto W. O ângulo que a palhinha faz com o plano horizontal deve ser .

8. Oriente a palhinha, que constitui o gnómon do relógio, para Norte e tente estimar a hora neste momento. Devido à inclinação dos raios solares a leitura das horas no Outono e no Inverno é feita na parte inferior do mostrador.


1

a

b

1

X Y19 cm

Z z

W w

cartão 90º palhinha a

90º – b = 19 – a

N



Construção de um Relógio de Sol Horizontal

No relógio de Sol horizontal, o mostrador está na horizontal pelo que o gnómon faz um

ângulo com o mostrador igual à latitude do local de implantação do relógio.


1 quadrado de cartão com 20 cm de lado; 1 quadrado de cartolina com 10 cm de lado; Régua ; Transferidor; Marcador; Cola; X-acto.

Procedimentos:

1. Trace uma margem de 2 cm em cada um dos lados do cartão e defina o lado superior do mostrador como sendo o segmento de recta AB.

2. No segmento de recta AB, marque o ponto médio C e trace uma perpendicular. Ao ponto de intersecção do último segmento com a margem já construída atribua a letra D.

3. A partir do segmento AC e com o auxílio de um transferidor marque o ângulo complementar da latitude, , do lugar onde quer implantar o relógio e trace um segmento de recta com origem no ponto C. Assinale um ponto E que diste ±3 cm de C.

4. A partir do ponto E trace uma perpendicular a CE, que vá ao encontro do segmento CD. Chame F ao ponto de intersecção deste novo segmento com o segmento CD.

5. Trace uma recta paralela s ao segmento AB e que passe por F.

6. Construa uma circunferência de centro em F e raio igual à medida do segmento EF. Assinale com a letra G o ponto de intersecção da circunferência com o segmento CD.

7. Construa uma semi-circunferência de centro em G e marque sobre esta os ângulos de 15º em 15º a partir do segmento CD. Trace todos os segmentos que unam o ponto G à recta s e que passem pelas marcas entretanto assinaladas.

8. A partir dos novos pontos obtidos na recta s trace todos os segmentos que vão ao encontro do ponto C e que intersectam na outra extremidade as margens do


A C B6 6

5 7

E4 8

F

3 9

G 2 1 12 11 10 D


Évora - ProfMat 2005 mostrador. Estes segmentos vão representar as linhas horárias do relógio de sol e deverão ser realçados com o auxílio de um marcador.

9. Com o pedaço de cartolina construa o gnómon com base no esquema representado:

– latitude do lugar

10. Dobre a peça construída no segmento FN e cole os dois triângulos um ao outro.

11. Com o X-acto faça uma incisão no cartão ao longo do segmento CF.

12. Enfie o gnómon na incisão feita no mostrador e cole as patilhas na parte anterior do mostrador. O gnómon deverá ficar perpendicular ao mostrador.

13. Está em condições de colocar o seu relógio de sol no local desejado, mas atenção porque o vértice C deverá ficar apontado a Sul.


F

N b = 5 C

CN – representa o gnómon

CF – representa a base do gnómon

b – medida do gnómon



Como ver as Horas num Relógio de Sol?

A diferença que existe entre as horas indicadas por um relógio de sol e um relógio

normal deve-se a três razões:

Hora de Inverno e de Verão

Para aproveitarmos a luz do dia da melhor maneira possível em cada estação

atrasamos ou adiantamos os nossos relógios em determinadas alturas do ano. Dado

este facto e se estivermos na hora de Verão, necessitaremos de adicionar uma

hora às horas indicadas pelo relógio de sol.

Longitude

A hora dada pelo relógio de sol necessita ser corrigida de acordo com a longitude

do lugar. Por cada grau de longitude Oeste adicionam-se 4 minutos e por cada

grau de longitude Este subtraem-se 4 minutos (a longitude de Lisboa é de 9º 10’

Oeste).

Equação do Tempo

Visto que a órbita da terra em torno do sol é uma elipse e como o eixo da Terra não

é perpendicular ao plano da órbita o dia solar tem variações que atingem 31

minutos. Por questões de conveniência sobre o uso de relógios, faz-se a média

destas variações para obter a hora média de Greenwich. Assim, para corrigir a

hora dada pelo relógio de sol, chamada de tempo solar aparente, e obter a hora

média de Greenwich (hora standard para todo o país), aplica-se uma correcção

apropriada chamada Equação do Tempo, ou seja, um gráfico ou tabela que mostra

quanto o relógio de sol está adiantado ou atrasado.




Referências Bibliográficas

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Bless, R.C. –– Discovering the Cosmos, Sausalito, University Science Books,1996

Brown, David e outros (1993) – Make a Sundial, 2ª Edição, British SundialSociety

Carreira, Adelaide; Silva, Ana Paula; Oliveira, Pedro Miguel; Nápoles, SuzanaMetello – As Sombras do Tempo..., Catálogo da Exposição de Relógios de Sol.

Embacher, Franz – Relojes de Sol-Teoria Y Construccion; Progensa, 1992Fonseca, Helena e Brunheira, Lina – Uma experiência com Relógios de Sol,

Ensinar Matemática, Constância.Kausmann III, William, J. –– Universe, New-York, W.H. Freeman and company

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Rita – Sombras do Tempo, ProfMat 2001Silva, Ana Paula; Lopes, Ana Sofia; Oliveira, Pedro – Sombras do Tempo, ProfMat2002Silva, Ana Paula; Oliveira, Pedro – Sombras do Tempo, ProfMat 2003Veloso, Eduardo – Algumas Noções Elementares de Astronomia, APMAssociação

Professores de Matemática, 1991Teixeira, José – D. Fernando II; Rei-Artista, Artista-Rei, Fundação da casa de

Bragança, 1986Inventário do Património Arquitectónico – Direcção Geral dos Edifícios e

Monumentos Nacionais


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