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FI001 Aula 1

FI001 - 1o Semestre de 2020

As informações sobre a disciplina estão em: https://sites.ifi.unicamp.br/maplima/ensino/fi-001/

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Figura do artigo, Gabriela M. Amaral, David Q. Aruquipa, Ludwing F. M. Camacho, Luiz F. C. Faria, Sofía I. C. Guzmán, Damaris T. Maimone, Melissa Mendes, Marco A. P. Lima, “Quantum ‘Ghosts’”, Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 38, no 3, e3309 (2016). DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0052

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FI001 Aula 1 Conceitos Fundamentais

1) Inıcio do Seculo 20: limitacoes severas da fısica classica.

2) A maneira convencional de estudar Mecanica Quantica e seguir

o desenvolvimento historico:

• Lei de Radiacao de Planck: corpo negro;

• Teoria de calor especıfico Einstein-Debye;

• Atomo de Bohr;

•Ondas de materia de de Broglie;

• Efeito Compton (espalhamento de fotons por eletrons – transferencia

de momento linear);

• Experiencia de Franck-Hertz (espectro via espalhamento de eletrons);

• Experimento de Davidson-Germer-Thompson de difracao de eletrons.

Tudo isso faz com que abandonemos a Mecanica Classica para o mundo de

Heisenberg, Schrodinger, Dirac e outros. Nos faremos aqui o tratamento de

choque: Experimento de Stern-Gerlach

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FI001 Aula 1 Planejado por Stern in 1921 e realizado com Gerlach in 1922

Energia potencial de interacao entre momento magnetico e campo � µ ·B

Fz =@

@z(µ ·B) ⇡ µz

@Bz

@z,

µ / S ) e

mec(e < 0 neste livro) e a constante de proporcionalidade.

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FI001 Aula 1

Visao Classica

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FI001 Aula 1

Visao Quantica

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FI001 Aula 1 (a) O que esperar? (b) O que se viu?

Para um momento de dipolo

arbitrariamente orientado,

quanto vale µz? Que tal 8 valor

entre � µ µz µ

Dois valores de µz,

correspondentes a:

Sz = ~/2 e � ~/2,~ = 1, 0546⇥ 10�27erg.s

= 6, 5822⇥ 10�16eV.s.

Nada especial com a direcao z. Poderia ser x, y, ou u.

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FI001 Aula 1 Uma sequência de experimentos de Stern-Gerlach

ë

C

ompa

re

ì

O que esperar de momento angular classico?

L = I!

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FI001 Aula 1 Analogia com luz polarizada

Luz polarizada na direcao x =) E = E0x cos (kz � !t)

Luz polarizada na direcao y =) E = E0y cos (kz � !t)

Se a polarizacao fosse em x0 e y0(rodados de 45ono sentido anti-horario,

com respeito a x e y), poderıamos escrever:

x0 ) E0x0 cos (kz � !t) = E0

h 1p2x cos (kz � !t) +

1p2y cos (kz � !t)

i,

y0 ) E0y0 cos (kz � !t) = E0

h� 1p

2x cos (kz � !t) +

1p2y cos (kz � !t)

i.

E, assim, sugerir a analogia:

• atomos do experimento de Stern-Gerlach Sz± com luz polarizada nas

direcoes x e y

• atomos do experimento de Stern-Gerlach Sx± com luz polarizada nas

direcoes x0 e y0.

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FI001 Aula 1 Analogia com luz polarizada

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FI001 Aula 1

Nossa analogia permite escrever “estados” |Sx;±i em funcao de “estados”

|Sz;±i, isto e

8><

>:

|Sx; +i = 1p2|Sz; +i+ 1p

2|Sz;�i

|Sx;�i = � 1p2|Sz; +i+ 1p

2|Sz;�i

E os |Sy;±i? Recorremos a luz circularmente polarizada a favor (direita) e

contra (esquerda) o movimento do relogio

E± = E0

h 1p2x cos (kz � !t) +

1p2y cos (kz � !t± ⇡

2)i, ou ainda, usando

variaveis complexas ✏± =h 1p

2xei(kz�!t) ± ip

2yei(kz�!t)

i, com i = ei⇡/2 e

E = E0Re(✏) e com isso completar a analogia entre atomos e luz polarizada,

• Atomo Sy+ $ feixe circularmente polarizado pela regra da mao direita

• Atomo Sy� $ feixe circularmente polarizado pela regra da mao esquerda

e escrever

|Sy;±i = 1p2|Sz; +i± ip

2|Sz;�i

Analogia com luz polarizada

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Um aparato moderno de Stern-Gerlach, usado para separar estados de spin do átomo de Césio, tirado de F. Lison et al. Phys. Rev. A 61 (1999) 013405. O aparato é mostrado na esquerda, enquanto que os dados mostram nove componentes do átomo de spin 4 (acoplamento do elétron mais externo com o spin nuclear I=7/2).

Um experimento moderno de Stern-Gerlach

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FI001 Aula 1 Kets, bras e operadores

|↵i contem toda a informacao.

|↵i+ |�i = |�i soma de kets e ket

c|↵i = |↵ic )

8><

>:

ket vezes numero complexo e ket.

Se c = 0, o resultado e o ket nulo.

|↵i e c|↵i, com c 6= 0, contem a mesma fısica.

Uma observavel e representada por um operador. Operador vezes ket e ket

A.(|↵i) = A|↵iNormalmente A|↵i 6= c|↵i, mas existem kets interessantes, os autokets de A :

|a0i, |a00i, |a000i, ... =) A|a0i = a0|a0i; A|a00i = a00|a00i; A|a000i = a000|a000i; ...Os numeros a0, a00, a000, ... formam o conjunto de autovalores de A.

Vimos exemplos:

8>>>>>><

>>>>>>:

Sz|Sz;±i = ±~2 |Sz;±i

Sx|Sx;±i = ±~2 |Sx;±i

Sy|Sy;±i = ±~2 |Sy;±i

<latexit sha1_base64="+qCTjy9Vh4GmCyA67u9B3Q9vXSk=">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</latexit>

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|↵i =X

a0

ca0 |a0i )(Um ket pode ser escrito como uma

combinacao de autokets de A.

Correspondencia dual (CD). Para cada ket existe um bra no espaco dual

(e vice-versa). Assim, existe uma correspondencia um-a-um entre eles:

|↵i CD() h↵|

|a0i, |a00i, ... CD() ha0|, ha00|, ...

|↵i+ |�i CD() h↵|+ h�|

c↵|↵i+ c� |�i CD() c⇤↵h↵|+ c⇤�h�|

Espaços dos bras e produtos internos

O espaço dos bras é uma espécie de espelho do espaço dos kets.

importante

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FI001 Aula 1 Produtos internos

Operadores

• Defini-se h�|↵i = (h�|).(|↵i) ! uma especie de produto escalar.

• Postulamos

(h�|↵i = h↵|�i⇤ ) h↵|↵i real.h↵|↵i � 0 ) Postulado da metrica positivamente definida.

• kets sao ortogonais, se h↵|�i = 0 ) h�|↵i = 0.

• |e↵i = 1ph↵|↵i

|↵i �! he↵|e↵i = 1 ! E possıvel normalizar um ket.

• Os operadores atuam nos kets pela esquerda X(|↵i) = X|↵i

• Se X|↵i = Y |↵i, 8|↵i ) X = Y

(Os dois operadores

sao ditos iguais.

• O operador e o operador nulo, se ! X|↵i = 0, 8|↵i.• Os operadores podem ser somados. As operacoes de adicao de operadores sao

comutativas e associativas, isto e:

X + Y = Y +X e X + (Y + Z) = (X + Y ) + Z

• Todos os operadores neste curso, exceto o de evolucao temporal, sao lineares,

X(c↵|↵i+ c� |�i) = c↵X|↵i+ c�X|�i

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FI001 Aula 1

• Os operadores atuam nos bras pela direita (h↵|)X = h↵|X.

• Correspondencia dual X|↵i CD() h↵|X† (onde X† e o adjunto Hermiteano

de X).

• O operador e dito Hermiteano se X† = X.

• Muitas vezes nao comutam XY 6= Y X.

• Vale a associativa X(Y Z) = (XY )Z = XY Z.

• Vale

(X(Y |↵i) = (XY )|↵i = XY |↵i.(h�|X)Y = h�|(XY ) = h�|XY.

• Note que (XY )† = Y †X†, pois XY |↵i = X(Y |↵i) CD() (h↵|Y †)X† = h↵|Y †X†

• Produto externo: (|↵i).(h�|) = |↵ih�|• 9 produtos ilegais: |↵iX ou Xh�| ou |�i|↵i• Mais tarde definiremos |�i ⌦ |↵i.• Todos os produtos legais sao associativos. Para ilustrar, tome (|�ih↵|).|�i

(|�ih↵|).|�i = |�i(h↵|.|�i) = |�ih↵|�i. Como h↵|�i e apenas um numero,

temos que o produto externo vezes um ket da outro ket. Logo, o

produto externo e um operador.

Operadores

Multiplicações

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FI001 Aula 1 Multiplicações

• Note que se X = |�ih↵| ! X† = |↵ih�|, pois

X|�i = |�ih↵|�i CD() (h�|).h�|↵i = h�|↵i.h�| = h�|(

z }| {|↵ih�|)

• Outra ilustracao do axioma associativo (h�|).(X|↵i) = (h�|X).|↵i)Como sao iguais, usaremos h�|X|↵i. Note que

h�|X|↵i = h�|(X|↵i) = {(h↵|X†)|�i}⇤ = h↵|X†|�i⇤

• Se X e Hermiteano =) h�|X|↵i = h↵|X|�i⇤