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1 MAPLima
F689 Aula 27
O Átomo de Hidrogênio
• Vimos na aula passada que para obter o espectro de energia do atomo de
hidrogenio e preciso resolver a equacao
h d2
d⇢2� `(`+ 1)
⇢2+
2
⇢� �2
k,`
iuk,`(⇢)=0 com
8><
>:
lim⇢!0 uk,`(⇢) = 0
lim⇢!1 uk,`(⇢) = 0
• A estrategia usual e estudar a solucao para grandes distancias. Um limite de
⇢ ! 1, permite escrever uma equacao com o primeiro e ultimo termo. Os
dois termos intermediarios vao a zero com 1/⇢2 e 1/⇢, respectivamente.
• Ou seja,h d2
d⇢2��2
k,`
iuk,`=0) cuja solucao e do tipo e±�k,`⇢
(a que explode a
gente joga fora.
• Adotamos a solucao uk,`(⇢) = e��k,`⇢yk,`(⇢). Para facilitar, vamos calcular o
primeiro termo separadamente:d2
d⇢2
he��k,`⇢yk,`(⇢)
i=
=d
d⇢
h�� �k,`yk,`(⇢) +
dyk,`d⇢
�e��k,`⇢
i=
h d
d⇢
�� �k,`yk,`(⇢) +
dyk,`d⇢
�ie��k,`⇢+
+�� �k,`yk,`(⇢) +
dyk,`d⇢
�h d
d⇢e��k,`⇢
i= e��k,`⇢
hd2yk,`d⇢2
� 2�k,`dyk,`d⇢
+ �2k,`yk,`
i
faca em casa!
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O Átomo de Hidrogênio • Juntando com os outros termos, temos
e��k,`⇢hd2yk,`
d⇢2�2�k,`
dyk,`d⇢
+�2k,`yk,`
i+e��k,`⇢
h� `(`+ 1)
⇢2+
2
⇢��2
k,`
iyk,`(⇢)=0
) d2yk,`d⇢2
�2�k,`dyk,`d⇢
+
h+
2
⇢� `(`+ 1)
⇢2
iyk,`(⇢)=0
• A condicao de contorno lim
⇢!0uk,`(⇢) = 0 fica lim
⇢!0e��k,`⇢yk,`(⇢) = yk,`(0) = 0
• Novamente a proposta de solucao e na forma de potencias yk,`(⇢) = ⇢s1X
q=0
cq⇢q.
• Note o cuidado de incluir o termo ⇢s (unico que sobra quando ⇢ ! 0, pois todos
os termos com q 6= 0 vao mais rapido para zero do que o termo com q = 0).
• Em princıpio, ja sabemos o valor de s, pois fizemos a conta para um potencial
generico e obtivemos
(s = `+ 1 (aceito, pelo bom comportamento na origem)
s = �` (rejeitado, pelo mal comportamento na origem)
• Note tambem que
(s = `+ 1 respeita yk,`(0) = 0
s = �` nao respeita yk,`(0) = 0
• Vamos mostrar novamente esse resultado, impondo que a forma proposta pode
satisfazer a equacao acima. Isso tambem fornece a solucao geral que
procuramos.
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O Átomo de Hidrogênio • Comecamos definindo que c0 6=0 para garantir que a potencia ⇢s seja responsavel
pelo comportamento da funcao na origem.
• Em seguida, substituirmos a serie de potencias, yk,`(⇢)=⇢s1X
q=0
cq⇢q, na equacao
d2yk,`d⇢2
�2�k,`dyk,`d⇢
+
h+
2
⇢� `(`+ 1)
⇢2
iyk,`(⇢)=0
• Maos a obra (termo a termo):
� dyk,`d⇢
:
1X
q=0
(s+ q)cq⇢s+q�1
;
d2yk,`d⇢2
:
1X
q=0
(s+ q)(s+ q � 1)cq⇢s+q�2
� termo
2
⇢:
1X
q=0
2cq⇢s+q�1
� termo � `(`+ 1)
⇢2: �
1X
q=0
`(`+ 1)cq⇢s+q�2
• Junta tudo e escreva
1X
q=0
�(s+q)(s+q�1)�`(`+1)
cq⇢
s+q�2+
1X
q=0
�� 2�k,`(q+s) + 2
cq⇢
s+q�1=0
• Troque q por q0�1 no segundo termo e obtenha:
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O Átomo de Hidrogênio 1X
q=0
�(s+q)(s+q�1)�`(`+1)
cq⇢
s+q�2+
1X
q0=1
��2�k,`(q
0�1+s)+2
cq0�1⇢
s+q0�2=0
• Troque q0 por q e junte tudo para obter: {s(s�1)�`(`+1)}c0| {z } ⇢s�2
+
tem que ser zero
+
1X
q=1
⇢s+q�2{[(s+q)(s+q�1)�`(`+1)]cq�2[(q+s�1)�k,`�1]cq�1| {z }} = 0
tem que ser zero
• Como c0 6= 0 ! s(s�1)�`(`+1)=0
(s=`+1
s=�`so s=`+1 serve (yk,`(0) = 0).
• Usando esse resultado, podemos escrever:
[(`+1+q)(`+1+q�1)�`(`+1)| {z }]cq�2[(q+`+1�1)�k,`�1]cq�1=0
q(q + 2`+ 1)
• Assim, para satisfazer a equacao em todas as ordens de potencia, temos:
cqcq�1
=
2[(q+`)�k,`�1]
q(q + 2`+ 1)
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O Átomo de Hidrogênio
pois, c0 6=0.
• Que pode ser reescrita da seguinte forma:
c
q
c
q�1=
2[(q+`)�
k,`
�1]
q(q + 2`+ 1)
=
2q�
k,`
(1 + termos O(1/q)
q
2(1 + termos O(1/q)
=
2�
k,`
(1 + termos O(1/q)
q(1 + termos O(1/q)
• Para grandes valores de q, a regra de recorrencia pode ser escrita por
c
q
c
q�1⇠ 2�
k,`
q
! que pode ser identificada com a funcao e
2�k,`⇢.
Para isso, basta calcular os coeficientes de e
2�k,`⇢=
1X
q=0
d
q
⇢
q
=
1X
q=0
(2�
k,`
)
q
q!
(serie
de Taylor de e
x
) e calcular
d
q
q
q�1=
(2�
k,`
)
q
q!
÷ (2�
k,`
)
q�1
(q � 1)!
=
2�
k,`
q
.
e
x
=1 +
x
1
1!
+
x
2
2!
+
x
3
3!
+ ...
x
n
n!
...=
1X
q=0
x
n
n!
• Mas isso faz u
k,`
(⇢) = e
��k,`⇢y
k,`
(⇢) se comportar como e
��k,`⇢e
2�k,`⇢= e
�k,`⇢
e explodir para ⇢ ! 1. Para evitar a explosao, truncamos a serie, impondo a
condicao
c
q
c
q�1=
2[(q+`)�
k,`
�1]
q(q + 2`+ 1)
=0 onde q = k e um numero inteiro que
representa a interrupcao da regra de recorrencia. Isso ocorre se (k+`)�
k,`
�1=0.
�
k,`
=
1
k + `
) E
k,`
=� E0
(k + `)
2! k=1, 2, 3...(k=0 nao e permitido).
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O Átomo de Hidrogênio • Qual e a ordem do polinomio yk,`(⇢) para uma dada energia Ek,`=� E0
(k + `)2?
Definimos yk,`(⇢) = ⇢`+11X
q=0
cq⇢q e fizemos o coeficiente cq = 0 relativo a ⇢q.
• Com isso podemos concluir
8><
>:
O termo de maior ordem e ⇢`+1⇢k�1 = ⇢k+`
O termo de menor ordem (k = 1 ! c1=0) e ⇢`+1
• A ordem do polinomio do nıvel de energia Ek,`=� E0
(k + `)2e n = k + `.
• Todas as solucoes com a mesma energia Ek,`=� E0
(k + `)2=�E0
n2tem algo em
comum: os polinomios yk,`(⇢) tem a mesma ordem (n).
• Como k e ` sao inteiros positivos e k comeca em 1 enquanto ` comeca em zero,
as possibilidades para um dado n sao
n k ` gk,` gn1 1 0 12 2 0 12 1 1 33 3 0 13 2 1 33 1 2 5
e assim, sucessivamente.
) 1
) 4
) 9
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O Átomo de Hidrogênio • Como fica na pratica a formula de recorrencia para a construcao do polinomio
yk,`(⇢) = ⇢`+11X
q=0
cq⇢q?
• A partir da formula obtida cq=2[(q+`)�k,`�1]
q(q + 2`+ 1)
cq�1=2[(q+`)/(k + `)�1]
q(q + 2`+ 1)
cq�1,
obtemos cq=� 2(k�q)
q(q+2`+1)(k+`)cq�1. Desta expressao e possıvel mostrar que:
cq=(�1)
q 2
q
(k+`)q1
q!
(k�1)!
(k�q�1)!
(2`+1)!
(q+2`+1)!
c0 ) c0 e obtido por normalizacao.
• Para mostrar isso, considere as seguintes 3 situacoes em regras de recorrencia:
(1) cq = Acq�1 com A = cte ) cq = A2cq�2 = A3cq�3 = Aqcq�q ) cq = Aqc0.
(2) cq=(k�q)cq�1!cq=(k�q)(k�(q�1))cq�2=(k�q)(k�q+1)...(k�(q�q+1))cq�q
) neste caso cq = (k � 1)...(k � q � 1)(k � q)c0 =
(k � 1)!
(k � q � 1)!
c0
(3) cq=1
(m+q)cq�1!cq=
1
(m+q)
1
(m+(q�1))
cq�2 que pode ser reaplicada ate
chegar no c0, isto e cq=1
(m+q)
1
(m+(q�1))
...1
(m+(q� q+1))
cq�q
) neste caso cq =
1
(m+ q)(m+ q � 1)...(m+ 1)
c0 =
m!
(m+ q)!c0
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O Átomo de Hidrogênio
• Note que cq=� 2(k�q)
q(q+2`+1)(k+`)cq�1 pode ser reescrita na forma
tipo (1) tipo (2)
cq=
z }| {�2
(k+`)
1
q|{z}
1
(q+2`+1)| {z }
z }| {(k�q) cq�1 =) confira caixa azul do slide 7.
tipo (3) tipo (3)
• Estamos prontos para construir a parte radial das solucoes da equacao de
Schrodinger para o atomo de hidrogenio. Faca isso e compare com alguns
• exemplos do texto
8>>>>>><
>>>>>>:
Rk=1,`=0(r) = 2(a0)�3/2e�r/a0
Rk=2,`=0(r) = 2(2a0)�3/2(1� r
2a0)e�r/a0
Rk=1,`=1(r) = (2a0)�3/2 1p3
ra0e�r/a0
• Note que a primeira diz respeito ao estado fundamental (k + ` = 1) e as duas
outras ao primeiro estado excitado (k + ` = 2).
• A notacao usual e utilizar n = k + ` ao inves de k. Com isso os nıveis de energia
ficam melhor caracterizados, pois Ek,` = � EI
(k + `)2= �EI
n2= En
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O Átomo de Hidrogênio: Discussão de Resultados
• Comecemos pela ordem de magnitude dos parametros atomicos. Isso sera util
para as correcoes relativısticas que faremos na disciplina de F789.
massa de repouso do eletron
� Energia: EI =
µe4
2~2 =
1
2
e4
~2c2| {z }
z}|{µc2 =
1
2
↵2µc2 ⇡ entre 10
�4e 10
�5µc2
↵2com ↵ =
e2
~c ⇡ 1
137
! constante de estrutura fina
1/↵
� Distancias: a0 =
~2µe2
=
z}|{~ce2
~µc|{z}
=
1
↵/�c ⇡ 137
/�c
(Comprimento de onda Compton do eletron
/�c ⇡ 3.9⇥ 10
�3A
• As correcoes relativısticas da ordem de ↵2EI dao origem a chamada estrutura
fina do atomo. As correcoes da ordem (me/Mp)↵2EI dao origem a chamada
estrutura hiperfina (spin do proton), conforme veremos em F789.
10 MAPLima
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O Átomo de Hidrogênio: Níveis de energia
• A figura mostra
Ek,` = � EI
(k + `)2= �EI
n2= En
• Note degenerescencias essenciais,
H depende de ` e nao de m.
• Note degenerescencias acidentais,
k + ` = k0 + `0 = n
• Para um dado ` existe um numero
infinito de energias (a figura mostra
so ate n = 4).
• Adotaremos que os tres numeros
quanticos (n, `,m) especificam o
autoket |n, `,mi simultaneo do
CCOC, H,L2, Lz.
E
0
(n = 4)
(n = 3)
(n = 2)
(n = 1)
�EI
4s 4p 4d 4f3s 3p 3d
2s 2p
1s
`=0 `=1 `=2 `=3
(s) (p) (d) (f)
Fig. 4, cap. 7 do texto
11 MAPLima
F689 Aula 27 E
0
(n = 4)
(n = 3)
(n = 2)
(n = 1)
�EI
4s 4p 4d 4f3s 3p 3d
2s 2p
1s
`=0 `=1 `=2 `=3
(s) (p) (d) (f)
O Átomo de Hidrogênio: Níveis de energia
• n ⌘ numero quantico principal
e caracteriza a “camada”do eletron.
• Como k e inteiro a partir de 1, so
alguns `0s sao aceitos para um dado
n, segundo a formula de energia
Ek,` = � EI
(k + `)2= �EI
n2= En.
Veja a tabela do slide 6 e abaixo.
` 0 1 2 · · · (n�1)
k n n�1 n�2 · · · 1
• Cada camada n contem n subcamadas,
correspondendo a ` = 0, 1, ...(n� 1).
• Cada subcamada contem (2`+ 1)
estados distintos.
Fig. 4, cap. 7 do texto
12 MAPLima
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O Átomo de Hidrogênio: Níveis de energia
• Assim a degenerescencia total pode ser deduzida por
gn =n�1X
`=0
(2`+ 1) = 2n�1X
`=0
`+n�1X
`=0
1 = 2(n� 1)n
2+ n = n2
• Confira com a tabela do slide 6.
• Se considerarmos a existencia do spin do eletron, precisamos multiplicar isso
por 2. Se considerarmos a existencia do spin do proton, precisamos multiplicar
novamente por 2.
• A degenerescencia da camada n do atomo de hidrogenio, considerando spin do
eletron e do proton, mas com a Hamiltoniana contendo apenas o potencial
Coulombiano e 4n2. Essa informacao sera util em F789, quando incluirmos os
termos relativısticos na Hamiltoniana.
• Notacao espectroscopica
8>>>>>><
>>>>>>:
` = 0 $ s
` = 1 $ p
` = 2 $ d
` = 3 $ f
` = 4 $ g
camadas
8><
>:
K $ 1s
L $ 2s2p
M $ 3s3p3d
13 MAPLima
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|Y 00 |2 = cte
|Y 01 |2 / cos
2 ✓
|Y 02 |2 / (3 cos
2 ✓ � 1)
2
O Átomo de Hidrogênio: Dependência Angular
• Funcoes de Onda
n,`,m(r, ✓,')=Rn,`(r)Ym` (✓,')
• Densidades de probabilidade
| n,`,m(r, ✓,')|2= |Rn,`(r)|2 |Y m` (✓,')|2| {z }
parte angular
fixa r e faz a figura
Fig. 5, cap. 7 do texto
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O Átomo de Hidrogênio: Dependência Radial
• Funcoes de Onda
n,`,m(r, ✓,')=Rn,`(r)| {z }Y m` (✓,')
a figura mostra isso
• Densidades de probabilidade
| n,`,m(r, ✓,')|2= |Rn,`(r)|2| {z }|Y m
` (✓,')|2
parte radial
Fig. 6, cap. 7 do texto