1 MAPLima

FI001 Aula 25 Aprendemos a rodar kets e componentes de vetores (operadores vetoriais)

|↵i �! D(R)|↵i =) h↵|D†(R)ViD(R)|↵i =X

j

Rijh↵|Vj |↵i

| {z }roda como vetores classicos

Como vale para qualquer |↵i, temos: D†(R)ViD(R) =X

j

RijVj e com

auxılio de D(R) = 1� i✏J.n

~ , e possıvel obter: [Vi, Jj ] = i✏ijk~Vk ! para

isso, seguiremos passos semelhantes ao que foi feito para [Ji, Jj ] = i✏ijk~Jk.Podemos escrever a equacao da caixa azul com auxılio da equacao da caixa

vermelha, por (ate primeira ordem em ✏) :

Vi +✏

i~ [Vi,J.n] =X

j

Rij(n; ✏)Vj

Tomemos o caso particular n = z ) R(z, ✏) =

0

@1 �✏ 0✏ 1 00 0 1

1

A

Operadores Tensoriais

lousa

2 MAPLima

FI001 Aula 25

Operadores Tensoriais

Neste caso, temos

8><

>:

i = 1 : Vx +✏i~ [Vx, Jz] = Vx � ✏Vy

i = 2 : Vy +✏i~ [Vy, Jz] = ✏Vx + Vy

i = 3 : Vz +✏i~ [Vz, Jz] = Vz

) [Vi, J3] = i✏i3k~Vk

Com R(x, ✏) e R(y, ✏), obtemos a formula geral da caixa amarela do slide 1.

O comportamento de V sob rotacao finita e completamente definido pelas

regras de comutacao acima, usando:

exp� iJj�

~�Vi exp

�� iJj�

~�se soubermos [Jj , [Jj , [...[Jj , Vi]...]]].

E possıvel generalizar Vi !X

j

RijVj e definir um tensor por:

T. . . ijk. . . !X

. . . i0j0k0. . .

. . . Rii0Rjj0Rkk0 . . . T. . . i0j0k0. . .

com ajuda da matriz ortogonal de rotacao R(3⇥ 3). O numero de ındices

e chamado de “rank” do tensor. E o tensor definido desta forma e conhecido

como tensor cartesiano.

Exemplo simples: Tij = UiVj onde Ui e Vj sao componentes de operadores

vetoriais que podem ou nao comutar entre si. Note 9 pares possıveis.

Verifique que sabemos calcular isso

Brinque com a fórmula. Tome V=p e x e J=L

3 MAPLima

FI001 Aula 25

Operadores Tensoriais Explorando o exemplo simples:

UiVj =U.V

3�ij

| {z }+

UiVj � UjVi

2| {z }+�UiVj + UjVi

2� U.V

3�ij

�

| {z }um

escalar#

vetor(U⇥V )k✏ijk

#

matriz simetricatraco zero

#

Transforma como: Y 00 Y m

1 Y m2| {z }

Tensores esfericos irredutıveis,

onde:

8><

>:

Y 00 ! tem 1 componente independente

Y m1 ! tem 3 componentes independentes

Y m2 ! tem 5 componentes independentes.

Definicao de um tensor esferico:

Comece com Y m` (✓,') = Y m

` (n) e troque

8>>>>>><

>>>>>>:

n por V = (Vx, Vy, Vz)

` por k (ordem)

m por q�momento quantico

magnetico

�

e obtenha T (k)q = Y m=q

`=k (V)

lousa

4 MAPLima

FI001 Aula 25 <latexit sha1_base64="OcWl5QTOVK52W6WelyiYTLyUW5Q=">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</latexit>

Assim, considere: n = (nx, ny, nz) = (x

r,y

r,z

r) =) (Vx, Vy, Vz)

Comece com Y 01 =

r3

4⇡cos ✓ =

r3

4⇡

z

r=) T (1)

0 =

r3

4⇡Vz

Ja Y ±11 = ⌥

r3

8⇡sin ✓e±i' = ⌥

r3

8⇡sin ✓(cos'± i sin') =

= ⌥r

3

4⇡

sin ✓ cos'± i sin ✓ sin'p2

= ⌥r

3

4⇡

�x± iyp2r

�

) T (1)±1 = ⌥

r3

4⇡

Vx ± iVyp2

De forma semelhante, obtemos:

Y ±22 =

r15

32⇡

(x± iy)2

r2=) T (2)

±2 =

r15

32⇡(Vx ± iVy)

2

faca

8>>>>>><

>>>>>>:

Y ±22 =) T (2)

±2

Y ±12 =) T (2)

±1

Y 02 =) T (2)

0

Operadores Tensoriais

Voluntário?

5 MAPLima

FI001 Aula 25 Revisando Y m

` (✓,') sob rotacoes

|ni =) D(R)|ni ⌘ |n0iLembre que Y m

` (n0) = hn0|`mi e escreva Y m` (n0) em funcao dos Y m

` (n). Como?

D(R�1)|`mi =X

m0

|`m0ih`m0|D(R�1)|`mi =X

m0

|`m0iD`m0m(R�1) multiplique

pela esquerda por: hn| e obtenha hn|D(R�1)|`mi = hn0|`mi =

=X

m0

hn|`m0iD`m0m(R�1) onde usamos que hn0| = hn|D†(R) = hn|D(R�1)

ou seja Y m` (n0) =

X

m0

Y m0

` (n)D`⇤

mm0(R)

Um operador que age como um Y m` (V) deve respeitar:

D†(R)Y m` (V)D(R) = “Y m

` (V0)” =X

m0

Y m0

` (V)D`⇤

mm0(R).

Isso permite definir o tensor esferico:

D†(R)T (k)q D(R) =

kX

q0=�k

D(k)⇤

qq0 (R)T (k)q0 ou de forma

equivalente (troque R por R�1) D(R)T (k)q D†(R) =

kX

q0=�k

D(k)q0q (R)T (k)

q0

<latexit sha1_base64="x93uRYpmN9ueJd6W8Jf0YnQuoV8=">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</latexit>

Operadores Tensoriais

lousa

Caixa azul do slide 1: voluntário?

6 MAPLima

FI001 Aula 25

Operadores Tensoriais

Para rotacoes infinitesimais a expressao D†(R)T (k)

q D(R) =

kX

q0=�k

D(k)⇤

qq0 (R)T (k)q0

fica:

�1 + i✏

J.n

~�T (k)q

�1� i✏

J.n

~�=

kX

q0=�k

D(k)⇤

qq0 (R)T (k)q0 =

kX

q0=�k

T (k)q0 hkq0|1 + i✏

J.n

~ |kqi

O termo de primeira ordem, fornece:

[J.n, T (k)q ] =

kX

q0=�k

T (k)q0 hkq0|J.n|kqi

Se

8><

>:

n = z =) [Jz, T(k)q ] = ~qT (k)

q

n = x± iy (faca em casa) =) [J±, T(k)q ] = ~

p(k ⌥ q)(k ± q + 1)T (k)

q±1

7 MAPLima

FI001 Aula 25

Produtos de Tensores

Comece por: T (0)0 = �U.V

3= �

✓UxVx + UyVy + UzVz

3

◆com auxılio

da definicao U±1 ⌘ ⌥✓Ux ± iUyp

2

◆, temos: U±1 =

⌥Ux � iUyp2

, que pode ser

invertido:

(Ux = U�1�U+1p

2

Uy = U�1+U+1

�ip2

e ao definir U0 ⌘ Uz, podemos escrever:

T (0)0 = �1

3

✓(U�1 � U+1)(V�1 � V+1)

2� (U�1 + U+1)(V�1 + V+1)

2+ U0V0

◆=

= �1

3

⇣U+1V+1

2� U+1V+1

2� U+1V�1

2� U+1V�1

2� U�1V+1

2� U+1V�1

2+

+U�1V�1

2� U�1V�1

2+ U0V0

⌘=

1

3

�U+1V�1 + U�1V+1 � U0V0

�.

Verifique:

8>>>>>>>>>>><

>>>>>>>>>>>:

T (1)q = (U⇥V)q

ip2

T (2)±2 = U±1V±1

T (2)±1 = U±1V0+U0V±1p

2

T (2)0 = U+1V�1+2U0V0+U�1V+1p

6

note:

8>>>>>>><

>>>>>>>:

Y 02 =

q5

16⇡3z2�r2

r2 , onde

3z2 � r2 = 2z2 � (x2 + y2) =

= 2z2 � 2� (x+iy)p

2

(x�iy)p2

�

caso especial de T (2)0 com

U = V = r

Componentes q de um tensor de ordem 1

Voluntários?

8 MAPLima

FI001 Aula 25

Teorema importante sobre tensores esféricos Teorema:

Sejam X(k1)q1 e Z(k2)

q2 tensores esfericos irredutıveis de ordem k1 e k2. Entao

T (k)q =

X

q1q2

hk1k2; q1q2|k1k2; kqiX(k1)q1 Z(k2)

q2 e um tensor esferico de ordem k.

Demonstracao:

Para demonstra-lo, basta verificar que T (k)q transforma de acordo com

D†(R)T (k)q D(R) =

kX

q0=�k

D(k)?

qq0 T (k)q0

D†(R)T (k)q D(R) =

X

q1q2

hk1k2; q1q2|k1k2; kqiD†(R)X(k1)q1 D(R)D†(R)| {z }Z

(k2)q2 D(R) =

1

=X

q1q2q01q02

hk1k2; q1q2|k1k2; kqiD(k1)?

q1q01X(k1)

q01D(k2)

?

q2q02Z(k2)q02

, mas vimos que

D(k1)q1q01

D(k2)q2q02

=X

k00q0q00

hk1k2; q1q2|k1k2; k00q00ihk1k2; q01q02|k1k2; k00q0iD(k00)q00q0

Tome o complexo conjugado e insira na expressao acima, para obter:

9 MAPLima

FI001 Aula 25

Teorema importante sobre tensores esféricos A nova expressao:

q1 + q2 = q q1 + q2 = q00 ) �qq00

D†(R)T (k)q D(R) =

X

k00q0q00

q1q2q01q

02

z }| {hk1k2; q1q2|k1k2; kqi

z }| {hk1k2; q1q2|k1k2; k00q00i⇥

⇥ hk1k2; q01q02|k1k2; k00q0iD(k00)?

q00q0 X(k1)q0 Z(k2)

q02,

masX

q1q2

hk1k2; q1q2|k1k2; kqihk1k2; q1q2|k1k2; k00q00i pode ser re-escrito por

X

q1q2

hk1k2; kq|k1k2; q1q2ihk1k2; q1q2|k1k2; k00q00i = hk1k2; kq|k1k2; k00q00i = �kk00�qq00

De forma que:

D†(R)T (k)q D(R) =

X

q0

0

BB@X

q01q02

hk1k2; q01q02|k1k2; kq0iX(k1)q01

Z(k2)q02

| {z }

1

CCAD(k)?

qq0 =

T (k)q0

=X

q0

T (k)q0 D(k)?

qq0 c.q.d.

10 MAPLima

FI001 Aula 25

Elementos de Matriz de Operadores Tensoriais e Teorema de Wigner-Eckar

O elemento de matriz h↵0, j0m0|T (k)q |↵, jmi e importante, pois entre outras,

coisas, pode expressar interacoes de campos eletromagneticos com atomos

e nucleos.

1) Regra m de Selecao: h↵0, j0m0|T (k)q |↵, jmi = 0 salvo se m0

= q +m

Demonstracao:

Para provar, basta lembrar que: [Jz, T(k)q ] = ~qT (k)

q e calcular o elemento

de matriz: h↵0, j0m0|⇣[Jz, T

(k)q ]� ~qT (k)

q

⌘|↵, jmi = 0 que implica em:

(m0 �m� q)~h↵0, j0m0|T (k)q |↵, jmi = 0,

ou seja se m0 6= m+ q ! h↵0, j0m0|T (k)q |↵, jmi = 0

2) Teorema de Wigner-Eckar: nao depende de m,m0e q

h↵0, j0m0|T (k)q |↵, jmi = hjk;mq|jk; j0m0i| {z }

z }| {h↵0j0||T (k)||↵jip

2j + 1

nao depende de T (k)

onde |j � k| j0 j + k.

11 MAPLima

FI001 Aula 25

Teorema de Wigner-Eckar Demonstracao:

Para provar isso, usaremos a relacao: [J±, T(k)q ] = ~

p(k ⌥ q)(k ± q + 1)T (k)

q±1

que pode ser usada em:

h↵0, j0m0|[J±, T (k)q ]|↵, jmi = ~

p(k ⌥ q)(k ± q + 1)h↵0, j0m0|T (k)

q±1|↵, jmipara fornecer algo parecido com as relacoes de recorrencia dos coeficientes de

Clebsch-Gordan, isto e:p

(j0 ±m0)(j0 ⌥m0 + 1)h↵0, j0m0 ⌥ 1|T (k)q |↵, jmi =

=p

(j ⌥m)(j ±m+ 1)h↵0, j0m0|T (k)q |↵, jm± 1i+

+p

(k ⌥ q)(k ± q + 1)h↵0, j0m0|T (k)q±1|↵, jmi

Compare com a formula de recorrencia ja demonstrada:p

(j ⌥m)(j ±m+ 1)hj1j2,m1m2|j1j2, jm± 1i =

=p(j1 ±m1)(j1 ⌥m1 + 1)hj1j2,m1 ⌥ 1m2|j1j2, jmi+

+p

(j2 ±m2)(j2 ⌥m2 + 1)hj1j2,m1m2 ⌥ 1|j1j2, jmiinverta o sinal de cima com o debaixo e

troque:

(j ! j0 j1 ! j j2 ! k

m ! m0 m1 ! m m2 ! q

12 MAPLima

FI001 Aula 25

Teorema de Wigner-Eckar Para obterp(j0 ±m0)(j0 ⌥m0 + 1)hjk,mq|jk, j0m0 ⌥ 1i =

=p(j ⌥m)(j ±m+ 1)hjk,m± 1q|jk, j0m0i+

+p

(k ⌥ q)(k ± q + 1)hjk,mq ± 1|jk, j0m0iAssim, encontramos dois conjuntos de equacoes, tais que:

Xaij xj|{z}

= 0X

aij yj|{z}= 0

h |T (k)q | i hCGi

e mesmos coeficientes aij ) xj = cyj 8 j

xj e yj dependem de m,m0 e q, mas c nao pode depender deles.

Pegue o 3o. termo

h↵0, j0m0|T (k)q±1|↵, jmi = chjk,mq ± 1|jk, j0m0i troque q ± 1 por q

e terminamos nossa demonstracao, escrevendo:

h↵0, j0m0|T (k)q |↵, jmi = h↵0j0||T (k)||↵jip

2j + 1hjk,mq|jk, j0m0i

onde a barra dupla significa que este termo nao depende de m,m0 e q.

13 MAPLima

FI001 Aula 25

Exemplos de uso do Teorema de Wigner-Eckar Exemplo 1: T (0)

0 = S

h↵0, j0m0|T (k)q |↵, jmi = h↵0j0||T (k)||↵jip

2j + 1hjk,mq|jk, j0m0i

h↵0, j0m0|S|↵, jmi = h↵0j0||S||↵jip2j + 1

hj0,m0|j0, j0m0i ) m0 = m e j0 = j

) h↵0, j0m0|S|↵, jmi = h↵0j0||S||↵jip2j + 1

�j0j�m0m

o que permite concluir que S nao transfere momento angular.

Exemplo 2: Operador Vetorial V (1)q ! (V�1, V0, V+1)

h↵0, j0m0|T (k)q |↵, jmi = h↵0j0||T (k)||↵jip

2j + 1hjk,mq|jk, j0m0i

h↵0, j0m0|V (1)q |↵, jmi = h↵0j0||V (1)||↵jip

2j + 1hj1,mq|j1, j0m0i| {z }

Note que m+q=m0

q=±1 ou 0

(m0 = m± 1

ou m0 = me |j � 1| j0 j + 1 e ) j0 =

(j ± 1

j

mas

8><

>:

se j = 0 ! j0 = 1

e j = 0 ! j0 = 0

e proibido.

resumo

8><

>:

�m = m0 �m = ±1 ou 0

�j = j0 � j = ±1 ou 0

mas j = 0 ! j0 = 0 (proibido)

14 MAPLima

FI001 Aula 25

Teorema da Projeção

h↵0, j0m0|Vq|↵, jmi = h↵0jm|J.V|↵jmi~2j(j + 1)

hjm0|Jq|jmi

Primeiro, e importante escrever J como um tensor esferico cujas

componentes serao definidas por (J�1, J0, J+1), conforme havıamos definido.

De U+1 = � (Ux + iUy)p2

; U�1 =(Ux � iUy)p

2; U0 = Uz, e J± = Jx ± iJy,

temos: J±1 = ⌥ 1p2J± e J0 = Jz =) J.V = JzV0 +

1p2J+V�1 �

1p2J�V+1,

uma vez que: U.V = U0V0 � U+1V�1 � U�1V+1. Feito isso, agora podemos

escrever: h↵0, jm|J.V|↵, jmi = h↵0, jm|JzV0 +1p2J+V�1 �

1p2J�V+1|↵, jmi =

= m~h↵0, jm|V0|↵, jmi+ ~2

p(j +m)(j �m+ 1)h↵0, jm� 1|V�1|↵, jmi+

� ~2

p(j �m)(j +m+ 1)h↵0, jm+ 1|V+1|↵, jmi = cjmh↵0, j||V||↵, ji,

onde usamos o teorema de Wigner-Eckar. Note que cjm nao depende de ↵0,↵

e V. Como J.V e um escalar h |J.V| inao depende de m. Assim, ) cjm = cj

15 MAPLima

FI001 Aula 25

Teorema da Projeção No slide anterior obtivemos: h↵0, jm|J.V|↵, jmi = cjh↵0, j||V||↵, ji.

Note que cj nao depende da escolha de V. Tome, portanto, V = J e escreva

para ↵0 = ↵ : h↵, jm|J2|↵, jmi = cjh↵, j||J||↵, ji. Dividindo uma expressao

pela outra, para se livrar de cj temos:h↵0, jm|J.V|↵, jmih↵, jm|J2|↵, jmi =

h↵0, j||V||↵, jih↵, j||J||↵, ji

Usando duas vezes o Teorema de Wigner-Eckar, uma para h↵0, j||V||↵, ji eoutra para h↵, j||J||↵, ji, tome a razao entre as expressoes e note que os

coeficientes sao iguais e se cancelam. Assim, obtemos a fracao:

h↵0, j||V||↵, jih↵, j||J||↵, ji =

h↵0, jm0|Vq|↵, jmih↵, jm0|Jq|↵, jmi que quando substituıda na expressao

acima, demonstra o teorema da projecao:

h↵0, jm0|Vq|↵, jmi = h↵0, jm|J.V|↵, jmi~2j(j + 1)

hjm0|Jq|jmi,

onde usamos

(h↵, jm|J2|↵, jmi = ~2j(j + 1)

h↵, jm0|Jq|↵, jmi = hjm0|Jq|jmi

||V|| não é um operador vetor, é o elemento de matriz reduzido, independe de m, m’ e q

lousa

16 MAPLima

FI001 Aula 25

• Tome D(R) = 1� i✏J.n

~ em D†(R)ViD(R) =

X

j

RijVj

(1� i✏J.n

~ )†Vi(1� i✏J.n

~ ) =X

j

Rij(n; ✏)Vj

(1 + i✏J.n

~ )Vi(1� i✏J.n

~ ) =X

j

Rij(n; ✏)Vj

Vi �✏

i~J.nVi + Vi✏

i~J.n+O(✏2) =X

j

Rij(n; ✏)Vj

Vi +✏

i~ [Vi,J.n] =X

j

Rij(n; ✏)Vj

• Matriz simetrica:�UiVj + UjVi

2� U.V

3�ij

�=

=

0

@U1V1+U1V1

2 � U.V3 �11

U1V2+U2V12

U1V3+U3V12

U2V1+U1V22

U2V2+U2V22 � U.V

3 �22U2V3+U3V2

2U3V1+U1V3

2U3V2+U2V3

2U3V3+U3V3

2 � U.V3 �33

1

A =

=

0

@U1V1 � U.V

3U1V2+U2V1

2U1V3+U3V1

2U2V1+U1V2

2 U2V2 � U.V3

U2V3+U3V22

U3V1+U1V32

U3V2+U2V32 U3V3 � U.V

3

1

A ! Traco zero

<latexit sha1_base64="kQ+wtqiWHBKKMwN3joVbCinBYoA=">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</latexit>

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17 MAPLima

FI001 Aula 25

Lembre que D(R�1) = D†

(R)

e ) h`m0|D(R�1)|`mi = h`m0|D†

(R)|`mi = h`m|D(R)|`m0i⇤ = D`⇤

mm0(R)

Aplicaremos duas vezes o Teorema de Wigner-Eckar

h↵0, j0m0|T (k)q |↵, jmi = h↵0j0||T (k)||↵jip

2j + 1hjk,mq|jk, j0m0i

onde a barra dupla significa que este termo nao depende de m,m0e q.

Uma para Vq

h↵0, j0m0|Vq|↵, jmi = h↵0j0||V||↵jip2j + 1

hjk,mq|jk, j0m0i

Outra para Jq

h↵0, j0m0|Jq|↵, jmi = h↵0j0||J||↵jip2j + 1

hjk,mq|jk, j0m0i

Divide uma pela outra, para obter

h↵0, j0m0|Vq|↵, jmih↵0, j0m0|Jq|↵, jmi =

h↵0j0||V||↵jih↵0j0||J||↵ji

<latexit sha1_base64="2tooNhyLyn15/a++XznNfKBV+LA=">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</latexit>

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