as aventuras do geodetetive 1: a circunferência da terra
TRANSCRIPT
![Page 1: As aventuras do Geodetetive 1: A circunferência da Terra](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022012421/6175f7a4147a3c021f7d1996/html5/thumbnails/1.jpg)
As aventuras do Geodetetive 1: A
circunferência da Terra
Série Matemática na Escola
Objetivos
1. Apresentar o método de Eratóstenes (276 –
194 a.C.) para o cálculo da circunferência da
Terra. Este é um exemplo de como a
observação, raciocínio lógico e
experimentação são importantes para
resolver problemas e para o desenvolvimento
da ciência.
![Page 2: As aventuras do Geodetetive 1: A circunferência da Terra](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022012421/6175f7a4147a3c021f7d1996/html5/thumbnails/2.jpg)
As aventuras do Geodetetive 1: A circunferência da Terra
Série
Matemática na Escola
Conteúdos
Geometria da Terra: a circunferência da Terra.
Duração
Aprox. 10 minutos.
Objetivos
Apresentar o método de Eratóstenes para o cálculo da circunferência da Terra. Este é um exemplo de como a observação, raciocínio lógico e experimentação são importantes para resolver problemas e para o desenvolvimento da ciência.
Sinopse
Sinopse
Arnaldo é um jovem muito curioso e sempre está à procura de conhecimento. À noite mergulha nos livros, assume uma nova identidade e se transforma no Geodetetive. Em uma dessas noites, Eratóstenes aparece para ajudá-lo a entender como fez para determinar, há mais de dois mil anos, a medida da circunferência da Terra.
Material relacionado
Áudios: O tamanho da Terra;
Vídeos: As aventuras do Geodetetive 2, 3, 4, 5 e 6; A
dança do Sol.
![Page 3: As aventuras do Geodetetive 1: A circunferência da Terra](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022012421/6175f7a4147a3c021f7d1996/html5/thumbnails/3.jpg)
Introdução
Sobre a série
A série Matemática na Escola aborda o conteúdo de matemática do ensino médio através de situações, ficções e contextualizações. Os programas desta série usualmente são informativos e podem ser introdutórios de um assunto a ser estudado em sala de aula ou fechamentos de um tema ou problema desenvolvidos pelo professor. Os programas são ricos em representações gráficas para dar suporte ao conteúdo mais matemático e pequenos documentários trazem informações interdisciplinares.
Sobre o programa
A série Geodetetive é formada por seis programas com temas sobre a geometria da Terra e alguns fenômenos naturais relacionados.
Arnaldo, o protagonista dos seis programas, é um jovem muito curioso que sempre está à procura do saber. À noite, mergulha nos livros, contempla as estrelas, assume nova identidade se transformando no Geodetetive e conta com a colaboração de seu assistente Sagan em suas investigações.
No programa Geodetetive 1 é apresentada a maneira como, há mais de dois mil anos, Eratóstenes determinou a medida da circunferência da Terra com grande precisão.
Neste vídeo, certa noite o personagem Eratóstenes aparece para ajudar Arnaldo a entender de que forma ele conseguiu fazer este cálculo.
Um pouco da história
![Page 4: As aventuras do Geodetetive 1: A circunferência da Terra](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022012421/6175f7a4147a3c021f7d1996/html5/thumbnails/4.jpg)
Eratóstenes nasceu no século 276 a.C. em Cirene, no norte da África (nos dias de hoje Shahhat, Líbia), e morreu em 194 a.C. em Alexandria, Egito. Iniciou seus estudos em Cirene e depois passou alguns anos estudando em Atenas, Grécia. Por volta de 240 a.C. foi para Alexandria, no Egito, tornando-se mais tarde diretor da famosa Biblioteca de Alexandria.
No livro de história da matemática: A History of Greek Mathematics, T. L. Heath comenta que Eratóstenes era reconhecido por seus
![Page 5: As aventuras do Geodetetive 1: A circunferência da Terra](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022012421/6175f7a4147a3c021f7d1996/html5/thumbnails/5.jpg)
contemporâneos como tendo grande distinção em muitas áreas do conhecimento (filosofia, matemática, astronomia, geografia e poesia), embora não fosse considerado o mais destacado em cada uma dessas áreas. Ele era chamado de senhor Beta ou Pentatlo, no sentido de que era um campeão considerando-se um conjunto de atividades. Eratóstenes foi contemporâneo de Arquimedes (considerado o maior matemático desse período), com quem mantinha constante contato por meio de cartas.
O cálculo que Eratóstenes fez da medida da circunferência da Terra é um exemplo de como o conhecimento em várias áreas e um espírito inquiridor são importantes na descoberta de resultados. Além deste cálculo, Eratóstenes fez diversas outras contribuições muito significativas para o progresso da ciência.
O cálculo de Eratóstenes
Como é comentado no vídeo, a investigação de Eratóstenes partiu de seu conhecimento, através de leituras, de que na cidade de Siena havia um dia do ano em que o sol ao meio-dia não produzia sombra (ficava “a pino”), algo que nunca ocorria em Alexandria.
![Page 6: As aventuras do Geodetetive 1: A circunferência da Terra](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022012421/6175f7a4147a3c021f7d1996/html5/thumbnails/6.jpg)
A precisão do cálculo de Eratóstenes para a medida da circunferência da Terra (erro em torno de dois por cento) partiu de um pressuposto por ele de que a cidade de Siena ficava aproximadamente ao sul de Alexandria e, portanto, aproximadamente no mesmo meridiano que esta. Como consequência, o meio-dia solar das duas cidades ocorria no mesmo instante com sombras diferentes (veja a Atividade 5 no final e o vídeo Geodetetive 2 que também aborda este assunto).
Eratóstenes primeiramente determinou experimentalmente qual o ângulo que os raios de sol ao meio-dia faziam com uma vareta vertical no mesmo dia do ano em que o sol ficava a pino em Siena. Considerando a linha da sombra da vareta como um segmento, temos um triângulo retângulo cujos catetos são a vareta e o segmento da sombra no chão. O ângulo que o raio de incidência do sol faz com a vareta é um dos ângulos do triângulo. Eratóstenes verificou que este ângulo correspondia a um cinquenta avos de uma volta completa, ou seja, media 7,20.
Podemos representar o grande círculo determinado pelo meridiano que aproximadamente passa pelas duas cidades, e desenhar a incidência dos raios de sol ao meio-dia do dia em que Siena tem o sol a pino, como na ilustração a seguir.
![Page 7: As aventuras do Geodetetive 1: A circunferência da Terra](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022012421/6175f7a4147a3c021f7d1996/html5/thumbnails/7.jpg)
Assumindo que os raios de sol incidem paralelamente, observamos que o ângulo formado pelos segmentos que partem do centro da Terra e terminam nas duas cidades é o mesmo que o determinado por Eratóstenes, pois são ângulos alternos internos.
Eratóstenes então concluiu que a medida da circunferência da Terra era, portanto cinquenta vezes a distância entre Alexandria e Siena (medida de um arco de circunferência). A partir do conhecimento de que esta medida era cerca de 5000 estádios (medida de comprimento
![Page 8: As aventuras do Geodetetive 1: A circunferência da Terra](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022012421/6175f7a4147a3c021f7d1996/html5/thumbnails/8.jpg)
então usada), estimou a medida da circunferência como 250.000 estádios. Não há um consenso sobre a conversão de um estádio para metros. Alguns autores consideram um estádio igual a 157,2 metros. Assumindo este valor, a estimativa de Eratóstenes tem um erro de menos de dois por cento em relação a uma circunferência média da Terra, como considerada hoje em torno de 40.072 km.
No vídeo, a medida usada por Eratóstenes para a distância de 5.000 estádios entre Alexandria e Siena foi considerada 800 km, o que corresponderia a um valor de 160 metros para um estádio.
Como pode ser notado, não foi utilizada nos cálculos acima a informação de que o dia quando o sol fica a pino em Siena é 21 de junho. Isto ocorre porque Siena fica no hemisfério norte, aproximadamente sobre o Trópico de Câncer. Este fato pode ser melhor compreendido assistindo o Geodetetive 3.
Sugestões de atividades
Antes da execução
1. Explicar o porquê do comprimento de um arco de circunferência ser proporcional ao ângulo determinado por este arco.
![Page 9: As aventuras do Geodetetive 1: A circunferência da Terra](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022012421/6175f7a4147a3c021f7d1996/html5/thumbnails/9.jpg)
2. Verificar que se a distância de um plano ao centro da esfera de raio R e centro O é igual a d com d, menor do que R, a intersecção do plano com a superfície da esfera é uma circunferência de raio igual a . Quando d=0, as circunferências assim obtidas são chamadas circunferências máximas da esfera e têm o mesmo centro e o mesmo raio que a esfera.
Depois da execução
Atividade 3
a) Assumindo a medida da circunferência da Terra dada no vídeo, qual o valor do raio da Terra?
b) Se a esfera representa a Terra e os pontos N e S representam as intersecções do eixo de rotação da Terra com a superfície esférica, a semicircunferência máxima ligando N e S é chamada um meridiano. Note que o raio de um meridiano é igual ao raio da circunferência do Equador, que é o raio da Terra.
![Page 10: As aventuras do Geodetetive 1: A circunferência da Terra](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022012421/6175f7a4147a3c021f7d1996/html5/thumbnails/10.jpg)
O segmento que liga a cidade de Porto Alegre ao centro da Terra faz um ângulo aproximadamente de 30o com o plano do equador (isto é, a latitude de Porto Alegre é 30o). Se você for de avião saindo de Porto Alegre em direção norte até o equador e acompanhando o meridiano (semicircunferência que passa por Porto Alegre e pelos Polos Norte e Sul), que distância terá percorrido?
Atividade 4
Pesquisa a ser proposta aos alunos: saber mais sobre Eratóstenes e sobre Alexandria.
Atividade 5
Uma maneira experimental de se determinar a direção geográfica Leste-Oeste é a partir da observação da sombra de uma vareta colocada verticalmente em relação ao solo. Marcando duas posições de manhã e à tarde, onde as sombras têm o mesmo comprimento, a direção obtida ligando-se as extremidades destas sombras é Leste-Oeste e a perpendicular a esta é a direção Norte-Sul - este assunto é abordado no vídeo A dança do sol do Projeto M3. Será que Eratóstenes usava um método parecido para saber que Siena ficava ao sul de Alexandria?
![Page 11: As aventuras do Geodetetive 1: A circunferência da Terra](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022012421/6175f7a4147a3c021f7d1996/html5/thumbnails/11.jpg)
Método para determinar a direção Leste-Oeste
a) Por que o fato de Siena ficar aproximadamente ao sul de Alexandria, e, portanto, aproximadamente no mesmo meridiano, é suficiente para afirmar que as duas cidades junto com o centro da Terra determinam uma circunferência de raio máximo, que é o raio da Terra?
b) Procure justificar as seguintes afirmações:
- Se Siena ficasse a Leste ou a Oeste de Alexandria no dia em que o sol estivesse a pino em Siena, também em Alexandria não se observariam sombras ao meio-dia solar.
- Se Siena ficasse a sudoeste ou a sudeste de Alexandria, um cálculo como o de Eratóstenes forneceria um diâmetro para a Terra maior do que o real.
Sugestões de leitura
ALVES, Sérgio. A Geometria do Globo Terrestre. Apostila 6. OBMEP, 2009. (disponível em www.obmep.org.br/prog_ic_2008/apostila2008.html - acessado em 04/04/2011.) EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. 4ª. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2004. HEATH, T. L.. A History of Greek Mathematics. Vol. 1. Oxford, 1921. O´CONNOR, J. J. e ROBERTSON, E. F.. Eratosthenes of Cyrene. Artigo disponível em www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Eratosthenes.html (acessado em 04/04/2011). LIMA, Elon Lages, CARVALHO, PAULO C. P., WAGNER, Eduardo, MORGADO, Augusto C.. A Matemática do Ensino Médio. Vol. 2. Coleção
do Professor de Matemática, 3a edição, Coleção do Professor de Matemática.
Rio de Janeiro: SBM, 2000.
![Page 12: As aventuras do Geodetetive 1: A circunferência da Terra](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022012421/6175f7a4147a3c021f7d1996/html5/thumbnails/12.jpg)
LIMA, Elon Lages. Medida e Forma em Geometria. Coleção do Professor
de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 1991. OLIVEIRA, Samuel R.. A dança do sol. Vídeo – Projeto M3 – disponível no
portal do MEC. 2010.
Ficha técnica
Autoras: Sueli I. R. Costa e Claudina Izepe Rodrigues. Revisor: Roberto Limberger Coordenador de audiovisual Prof. Dr. José Eduardo Ribeiro de Paiva
Coordenador acadêmico: Samuel Rocha de Oliveira
Universidade Estadual de Campinas
Reitor Fernando Ferreira Costa
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Diretor Caio José Colletti Negreiros
Vice-diretor Verónica Andrea González-López