Arthur Medeiros

Estudo do comportamento à fadiga em

compressão do concreto com fibras

Tese de Doutorado

Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio.

Orientadora: Marta de Souza Lima Velasco

Co-orientador: Gonzalo Francisco Ruiz Lopez

Rio de Janeiro

Dezembro de 2012

Arthur Medeiros

Estudo do comportamento à fadiga em

compressão do concreto com fibras

Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil do Centro Técnico Científico da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.

Marta de Souza Lima Velasco Orientadora

Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Gonzalo Francisco Ruiz López Co-orientador

Universidad de Castilla-La Mancha

Raul Rosas e Silva Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Emil de Souza Sánchez Filho Universidade Federal Fluminense

Glauco José de Oliveira Rodrigues Eletrobrás

Túlio Nogueira Bittencourt Universidade de São Paulo

José Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro

Técnico Científico – PUC-Rio

Rio de Janeiro, 17 de dezembro de 2012

Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e dos orientadores.

Arthur Medeiros

Graduou-se em Engenharia Civil, pela Universidade Federal do Paraná em 2002. Em fevereiro de 2007 defendeu sua Dissertação de Mestrado no programa de pós-graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal de Santa Catarina com o trabalho intitulado Aplicação do ultra-som na estimativa da profundidade de fendas superficiais e na avaliação da eficácia de injeções em elementos de concreto armado.

Ficha Catalográfica

CDD: 624

Medeiros, Arthur

Estudo do comportamento à fadiga em compressão do concreto com fibras/ Arthur Medeiros; orientadora: Marta de Souza Lima Velasco; co-orientador: Gonzalo Francisco Ruiz Lopez. Rio de Janeiro PUC, Departamento de Engenharia Civil, 2012.

v., 201 f.;: il. (color.) ; 29,7 cm

1. Tese (doutorado) – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil.

Inclui referências bibliográficas

1. Engenharia civil – Teses. 2. Concreto. 3. Fibras. 4. Fadiga. 5. Frequência. 6. Modelo probabilístico. I. Velasco, Marta de Souza Lima. II. Ruiz Lopez, Gonzalo Francisco. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV. Título.

Aos meus amados pais,

Rui e Suely

Agradecimentos

Inicialmente peço desculpas aos leitores deste trabalho pela extensão dos

agradecimentos. Desejo agradecer a um número muito grande de pessoas que

de forma direta ou indireta foram importantes para a minha formação e para a

conclusão do curso de doutorado. Nos longos anos que se passaram até o final

deste trabalho tive o prazer de conhecer centenas de pessoas, em diversas

cidades, que de alguma forma contribuíram para o êxito e a conclusão desta

tese. Seja participando da minha vida acadêmica ou fazendo parte da minha

vida longe de casa, que não seria a mesma sem a companhia das pessoas a

quem agradeço a seguir.

Primeiramente aos meus pais Rui e Suely pelo apoio e confiança incondicionais,

sem eles seria impossível chegar até aqui. É impossível descrever em palavras

como meu coração sofreu de saudades por viver tanto tempo longe dos

senhores, mas o sorriso que eu recebia a cada vez que voltava para casa me

enchia de alegria e motivação para seguir em frente.

Aos meus orientadores Marta de Souza Lima Velasco pela PUC-Rio e Gonzalo

Ruiz pela Universidad de Castilla-La Mancha UCLM que além de todas as

discussões e colaborações científicas sempre me ajudaram muito em questões

burocráticas dentro e fora das universidades.

Aos membros da banca examinadora, pelas contribuições ao texto desta tese, e

também por acompanhar meu trabalho em apresentações e discussões

anteriores. Em especial agradeço ao professor Túlio Bittencourt que foi o elo

inicial do doutorado sanduíche na Espanha.

Seguirei em ordem retroativa e parte dos agradecimentos deixarei em espanhol,

para os amigos que conheci no velho mundo.

De todo el tiempo que he vivido en España he tenido el placer de disfrutar de la

amistad de personas de muchos países, una mezcla de cultura que fue una de

las mejores experiencias de vivir en un país extranjero. Estos amigos hicieron

que yo me sintiera en casa, aún viviendo a miles de kilómetros de mi tierra. No

puedo mencionar a todos, pero si a los principales que voy a llevar en el corazón

durante toda mi vida.

A todos los miembros del Grupo Español de Fractura de la UCLM: Adris, Elisa y

Manu, Marian, Miguel Ángel Cámara y M.A. Romero, Rocio y Waleed por las

colaboraciones en mi trabajo, por la amistad y los buenos momentos que vivimos

juntos dentro y fuera de la UCLM. En especial doy las gracias a Luis Saucedo y

a la profesora Rena Yu por todas las discusiones y colaboraciones sobre el

modelo probabilista. También al profesor Juan Carlos Lancha, que facilitó el

suministro de las probetas para el programa experimental y por las ideas

aportadas a este trabajo. Y también tengo mucho que agradecer al Dr. Xiaoxin

Zhang que fue como un tercer tutor de mi tesis, siempre ayudándome en

discusiones científicas y en todo el programa experimental.

A Begoña, Mª Jesús y toda su familia que me adoptaron como si yo fuera uno de

los suyos y siempre me ayudaron para que mi vida en Ciudad Real fuera más

agradable. A Jaime Peco y Lidia Ruiz por la amistad y por las miles de pequeñas

ayudas de vocabulario en nuestro despacho-pasillo. A mis grandes amigos de

Marruecos Hamza y Mehdi Regragui, y Hamza Jouhri por los innumerables

momentos de diversión, fútbol, fiestas, cenas, barbacoas… A los brasileños que

conocí en Ciudad Real Diego Arruda, Sara Lotif, Fernanda y Rafael, Julia y Lara

por la amable amistad y por los momentos que hemos compartido piso, fiestas,

viajes y experiencias. También a los italianos Dario, Valentina y Roberta, Elisa y

Lorenzo. Los alemanes Bob y Philipp. Los turcos Bilge, Tolga y Didem. A mi

amiga francesa Mélissa. Y por último y no menos importante a mi gran amiga

griega Maria Lekka.

E também tenho que agradecer aos brasileiros que eu já conhecia e tive o prazer

de encontrar na Espanha, e me fizeram me sentir um pouco mais perto de casa:

Tonho; Felipe, Fernanda e Nina; André Caliman; meu primo Neto e sua esposa

Mariana; e outra vez meus pais.

A minha grande amiga Vanessa Rheinheimer que muito me ajudou antes e

durante a minha chegada na Espanha, com todas as duvidas e ansiedades de

como chegar e como se adaptar a um país estrangeiro.

Na primeira metade deste curso de doutorado morei por 3 anos na cidade do Rio

de Janeiro onde tive o prazer de conhecer muitas pessoas especiais e com

algumas dessas também compartilhei moradia e agradeço a todos pelos bons

momentos que passamos juntos: Johan e Leo, Antonio Pelissari e Márcia,

Antonio Geraldo, Jorge Wissmann, a família do professor Eloy e aos avós do

meu amigo Heitor Coelho, Milner e Selma que me acolheram nas minhas

primeiras semanas no Rio de Janeiro como se eu fosse seu neto.

Tenho que agradecer especialmente a minha amiga Thais Abreu que colaborou

muito para minha vida dentro e fora da PUC-Rio, compartilhando moradia,

viajando, passeando, almoçando, e também por me ajudar bastante com toda a

burocracia à distância quando eu já não vivia mais no Rio de Janeiro.

Ainda no Rio de Janeiro tive o prazer de conviver com duas famílias que me

viram nascer em Curitiba e tenho uma amizade incondicional com todos em

especial aos amigos Heitor Coelho e Ivan Conti, e suas esposas.

Dentro da PUC-Rio tive o prazer de estudar, conviver e cultivar uma grande

amizade com pessoas que sempre farão parte da minha vida. Suelen e Felipe,

Bruna, Cubano, Danilo, David, Jackeline, Paloma, Raffaelo e Sherryne. Fora da

PUC-Rio conheci um grupo de fanáticos torcedores do meu time de futebol,

Atlético Paranaense, exilados futebolisticamente na capital fluminense e a

grande amizade com eles fez minha vida no Rio de Janeiro muito mais

prazerosa: Cyro e Sara, Marcelo e Marcela, Mick, Paulo Cesar, Ewerton, Thiago,

Rafael e muitos outros. Não posso esquecer de duas amigas especiais Mariana

Jacó e Vivi Fazzio.

A toda a minha família e em especial aos meus primos Ericson, Neto, Augusto e

Thiago que muitas vezes à distância me ajudaram a solucionar problemas de

informática que fugiam à minha compreensão.

Aos meus amigos de Curitiba ou Santa Catarina que sempre me deram muito

apoio e carinho à distância, muitos deles foram me visitar e cada vez que me

reencontravam onde quer que fosse, me recebiam com um sorriso e uma alegria

que só grandes amigos são capazes de fazer: Léo, Fabrício, Rodolfo, Marco e

Otávio, Eduardo “Birus”, Fabio “Modo”, Emerson “Wilber”, Danilo, Fábio

Pimentel, Dilan. Os casais Diego e Flávia, Ricardo e Thaissa, e Fernando e Tati.

As minhas grandes amigas Dayana e Thaylana. E um especial agradecimento as

minhas amigas Ingrid e Tatiane Karas que por inúmeras vezes me ajudaram a

encurtar a distância entre o Rio de Janeiro e Curitiba.

Ao CNPq através da PUC-Rio e a empresa PACADAR através da UCLM pelo

apoio financeiro no decorrer deste longo curso de pós-graduação.

Resumo Medeiros, Arthur; Velasco, Marta de Souza Lima; Ruiz, Gonzalo López. Estudo do comportamento à fadiga em compressão do c oncreto com fibras . Rio de Janeiro, 2012. 201p. Tese de Doutorado – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Esta pesquisa teórico-experimental teve como objetivo avaliar a influência

da frequência de carregamento no comportamento à fadiga em compressão do

concreto com e sem fibras e foi realizada através da colaboração entre a

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro e a Universidad de Castilla-La

Mancha – Espanha durante o doutorado sanduíche. A motivação surgiu da idéia

de construir torres eólicas, com cem metros de altura, em concreto de alto

desempenho como uma solução mais econômica. Estas torres estão submetidas

a ciclos de carga e descarga com frequências desde 0,01 Hz até 0,3 Hz. A

adição de fibras melhora o desempenho do concreto à tração, reduzindo a

fissuração. No estudo experimental foram produzidos três concretos de mesma

matriz: sem fibras, com fibras de polipropileno e fibras de aço. Foram realizados

124 ensaios de fadiga em compressão em corpos de prova cúbicos de 100 mm

de aresta, divididos em doze séries: três concretos e quatro frequências 4 Hz,

1 Hz, 0,25 Hz e 0,0625 Hz. Comparando-se o número de ciclos até a ruptura foi

possível verificar experimentalmente que a frequência influenciou o

comportamento do concreto à fadiga em compressão e que a adição de fibras

melhorou o desempenho à fadiga apenas para as frequências mais baixas. O

desempenho das fibras de aço foi bastante superior ao das de polipropileno. Foi

proposto um modelo probabilístico que busca relacionar os parâmetros de um

ensaio de fadiga com a frequência de carregamento, levando em consideração a

distribuição estatística dos ensaios de fadiga e das propriedades mecânicas do

concreto. O modelo foi validado pelos resultados experimentais. Foi comprovado

que a ruptura é probabilística em termos do número de ciclos N ou da taxa de

deformação específica secundária ��, e que existe uma relação direta entre N e ��. Em termos práticos, o modelo permite estimar o número de ciclos até a ruptura

sem chegar a romper o corpo de prova.

Palavras Chave

Concreto; fibras; fadiga; frequência; modelo probabilístico.

Abstract Medeiros, Arthur; Velasco, Marta de Souza Lima (Advisor); Ruiz, Gonzalo López (Co-advisor). Study of the compressive fatigue behavior of fiber reinforced concrete . Rio de Janeiro, 2012. 201p. D.Sc. Thesis – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. This work presents the results of a theorical-experimental study performed

in cooperation between the Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro

and the Universidad de Castilla-La Mancha in Spain. The main goal was to verify

the influence of the loading frequency on the compressive fatigue behavior of

plain and fiber reinforced concrete FRC. The motivation comes from the intention

on building wind energy generator towers with one hundred meters in height by

using a high-performance concrete as a cheaper alternative material instead of

steel. These towers are subjected to load and unload cycles at frequencies from

0,01 Hz to 0,3 Hz. The addition of fibers improves concrete properties such as

tensile strength, reducing cracking. In the experimental study three types of

concrete were produced from the same matrix: a plain concrete and two FRC,

with polypropylene fibers and with steel fibers. One hundred twenty four

compressive fatigue tests were performed on cubic specimens with 100 mm in

edge length, divided on twelve series: three types of concrete and four

frequencies 4 Hz, 1 Hz, 0,25 Hz and 0,0625 Hz. Comparing the number of cycles

to failure, it is clear that the loading frequency influences the compressive fatigue

behavior and that the addition of fibers improves fatigue performance only at the

lower frequencies. The performance of the steel fibers is more efficient than the

polypropylene ones. A probabilistic model was proposed to relate the fatigue

parameters with the loading frequency, considering both statistical distributions of

the fatigue tests and the concrete mechanical properties. There is a good

agreement between the model and the experimental results. In terms of number

of cycles N or strain history (through the secondary strain rate ��) the rupture is

probabilistic, and there is a direct relation between N and ��. This relation provides

the possibility to estimate the number of cycles to failure without breaking the

specimen.

Keywords

Concrete; fibers; fatigue; frequency; probabilistic model.

Sumário

1. Introdução 21

1.1. Motivação 21

1.2. Objetivos 24

1.3. Organização do trabalho 25

2. Fadiga em concreto 26

2.1. Comportamento à fadiga do concreto 26

2.2. Fatores intervenientes na vida à fadiga 29

2.3. Comentários finais 46

3. Concreto com fibras 47

3.1. Considerações gerais 47

3.2. Aplicações 49

3.3. Fibras de aço 50

3.4. Fibras de polipropileno 51

3.5. Propriedades do concreto com fibras 53

3.6. Resistência a ações dinâmicas e à fadiga 65

3.7. Comentários finais 75

4. Programa experimental 77

4.1. Introdução 77

4.2. Produção dos concretos 77

4.3. Descrição dos corpos de prova 79

4.4. Descrição dos ensaios e dos equipamentos 82

4.5. Resumo do programa experimental 95

5. Apresentação e análise dos resultados 96

5.1. Introdução 96

5.2. Ensaios de caracterização 96

5.3. Ensaios de fadiga 103

5.4. Histórico de deformações 117

5.5. Modo de ruptura 139

5.6. Ensaios de fadiga – variação da razão entre tensões 142

5.7. Comentários finais 145

6. Modelo probabilístico 146

6.1. Introdução 146

6.2. Modelo probabilístico para fadiga baseado na distribuição inicial 147

6.3. Validação do modelo probabilístico baseado nos resultados experimentais 154

6.4. Histórico de deformações 172

6.5. Comentários finais 176

7. Conclusões e sugestões para trabalhos futuros 178

7.1. Conclusões 178

7.2. Sugestões para trabalhos futuros 181

8. Referências bibliográficas 183

Anexo A 196

Anexo B 199

Lista de Figuras

Figura 2.1 – Curvas SxN comparando amostras secas e saturadas (Cornelissen e Lewis, 1986). 35

Figura 2.2 – Curvas SxN comparando-se amostras secas e saturadas (Raithby e Galloway, 1974). 36

Figura 2.3 – Número de ciclos versus frequência (Cervo, 2004). 39

Figura 2.4 – Variação da frequência em ensaio de tração na flexão (Cornelissen, 1984). 39

Figura 2.5 – Variação da frequência em ensaios de tensão alternada em flexão (Cornelissen, 1984). 40

Figura 2.6 – Variação da frequência: ciclos versus taxa de fluência secundária (Cornelissen, 1984). 40

Figura 2.7 – Curva de fluência cíclica (Cornelissen, 1984). 41

Figura 2.8 – Curva SxN: alto ciclo à fadiga; modelo desenvolvido por Hsu (1981). 44

Figura 2.9 – Número de ciclos versus frequência por vários autores. 45

Figura 2.10 – Ciclos versus frequência; modelo simplificado de Siemes (1988). 46

Figura 3.1 – Mecanismo de transferência de tensões entre a matriz e as fibras.48

Figura 3.2 – Concreto com fibras onde há (a) e onde não há (b) compatibilidade dimensional entre as fibras e o agregado graúdo 54

Figura 3.3 – Ensaio de Vebe (ACI 211.3-75, 2002). 56

Figura 3.4 – Comportamento sob compressão do concreto de resistência normal com fibras de aço (Balaguru e Shah, 1992). 58

Figura 3.5 – Comportamento sob compressão do concreto de alta resistência com fibras de aço (Balaguru e Shah, 1992). 58

Figura 3.6 – Curvas carga versus deslocamento para concreto com fibras (Balaguru e Shah, 1992). 61

Figura 3.7 – Curvas carga versus flecha com diferentes teores de fibras (Balaguru e Shah, 1992). 63

Figura 3.8 – Resistência ao impacto de concretos com e sem fibras (Balaguru e Shah, 1992). 66

Figura 3.9 – Dano acumulado para o concreto com fibras de polipropileno (Grzybowski e Meyer, 1993). 71

Figura 3.10 – Dano acumulado para o concreto com fibras de aço (Grzybowski e Meyer, 1993). 71

Figura 3.11 – Comparação da máxima deformação específica de ruptura dentro de uma envoltória devida a carregamento monotônico (Cachim et al.,2002). 75

Figura 4.1 – Foto das fibras de aço e de polipropileno. 78

Figura 4.2 – Corpos de prova cúbicos cortados a partir de prismas. 80

Figura 4.3 – Máquina servo-hidráulica de ensaios de compressão. 83

Figura 4.4 – Extensometria axial e radial em um corpo de prova cilíndrico: ensaio de módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson. 85

Figura 4.5 – Máquina híbrida adaptada para ensaios de flexão em três pontos. 86

Figura 4.6 – Extensometria do ensaio de flexão em três pontos. 87

Figura 4.7 – Resistências residuais à tração na flexão (UNE-EN 14651, 2007). 89

Figura 4.8 – Máquina de ensaios utilizada para os ensaios de fadiga. 90

Figura 4.9 – Sinal senoidal: parâmetros de configuração do ensaio de fadiga. 91

Figura 4.10 – Gaiola de proteção ao redor do ensaio de fadiga. 92

Figura 5.1 – Curvas carga x flecha: concreto sem fibras C1. 100

Figura 5.2 – Curvas carga x flecha e tensão x CMOD: concreto com fibras de polipropileno C2. 101

Figura 5.3 – Curvas carga x flecha e tensão x CMOD: concreto com fibras de aço C3. 102

Figura 5.4 – Comparação do comportamento pós-pico dos concretos com e sem fibras. 103

Figura 5.5 – Ensaios de fadiga: frequência x número de ciclos: concreto sem fibras C1. 106

Figura 5.6 – Ensaios de fadiga: frequência x número de ciclos: concreto com fibras de polipropileno C2. 110

Figura 5.7 – Ensaios de fadiga: frequência x número de ciclos: concreto com fibras de aço C3. 113

Figura 5.8 – Ensaios de fadiga: concretos C1, C2 e C3; médias e desvios padrão. 114

Figura 5.9 – Ensaios de fadiga: comparação entre os concretos com e sem fibras. 115

Figura 5.10 – Número de ciclos x taxa de deformação �: C1, C2 e C3. 118

Figura 5.11 – Número de ciclos x taxa de deformação �: 4 Hz, 1Hz, 0,25 Hz e 0,0625 Hz. 119

Figura 5.12 – Número de ciclos x taxa de deformação �: 4 Hz, 1Hz, 0,25 Hz e 0,0625 Hz. 120

Figura 5.13 – Tempo normalizado x deformação específica máxima: C1, C2 e C3. 122

Figura 5.14 – Tempo normalizado x deformação específica máxima: 0,0625 Hz, 0,25 Hz, 1 Hz e 4 Hz. 124

Figura 5.15 – Envoltórias das curvas carga x deformação: ensaios de compressão em cubos; concretos C1, C2 e C3. 126

Figura 5.16 – Três períodos de um ensaio de fadiga. 127

Figura 5.17 – Histórico de deformações: concreto sem fibras; 0,0625 Hz. 128

Figura 5.18 – Histórico de deformações: concreto sem fibras; 0,25 Hz. 128

Figura 5.19 – Histórico de deformações: concreto sem fibras; 1 Hz. 129

Figura 5.20 – Histórico de deformações: concreto C1; 4 Hz. 129

Figura 5.21 – Histórico de deformações: concreto com fibras de polipropileno; 0,0625 Hz. 130

Figura 5.22 – Histórico de deformações: concreto com fibras de polipropileno; 0,25 Hz. 130

Figura 5.23 – Histórico de deformações: concreto com fibras de polipropileno; 1 Hz. 131

Figura 5.24 – Histórico de deformações: concreto com fibras de polipropileno; 4 Hz. 131

Figura 5.25 – Histórico de deformações: concreto com fibras de aço; 0,0625 Hz. 132

Figura 5.26 – Histórico de deformações: concreto com fibras de aço; 0,25 Hz.132

Figura 5.27 – Histórico de deformações: concreto com fibras de aço; 1 Hz. 133

Figura 5.28 – Histórico de deformações: concreto com fibras de aço; 4 Hz. 133

Figura 5.29 – Modo de ruptura: ensaio de fadiga; concreto sem fibras, 1Hz. 137

Figura 5.30 – Modo de ruptura: ensaio de fadiga; concreto sem fibras, 0,0625 Hz. 140

Figura 5.31 – Modo de ruptura por deslizamento: ensaio de compressão em corpo de prova cilíndrico; concreto sem fibras. 140

Figura 5.32 – Face superior dos corpos de prova rompidos: C1, C2 e C3. 141

Figura 5.33 – Faces laterais de um corpo de prova rompido: concreto com fibras de polipropileno; frequência 0,25 Hz 141

Figura 5.34 – Faces laterais de um corpo de prova rompido: concreto com fibras de aço; frequência 4 Hz, separação em um corpo central e laterais aderidas. 142

Figura 5.35 – Faces laterais de um corpo de prova rompido: concreto com fibras de aço; frequência 0,25 Hz, separação em duas partes semelhantes. 142

Figura 6.1 – Curvas de iso-probabilidade de falha, onde Di é a CDF inicial, determinada pelos ensaios de resistência ajustada segundo a Equação 6.1, enquanto que Df é a CDF final, ajustada aos ensaios de fadiga. 150

Figura 6.2 – Variação da distribuição Df em função da frequência. 153

Figura 6.3 – Influência da razão entre tensões nas curvas de iso-probabilidade de falha: R = 0,1; 0,5 e 0,9. 154

Figura 6.4 – Distribuição inicial Di dos ensaios de resistência à compressão ����� em conjunto com os resultados experimentais. 156

Figura 6.5 – Distribuição inicial Di para os diferentes concretos. 158

Figura 6.6 – Distribuição final Df ajustada para os ensaios de fadiga do concreto sem fibras C1 para as diferentes frequências, em conjunto com os resultados experimentais. 160

Figura 6.7 – Distribuição final Df ajustada para os ensaios de fadiga do concreto C2, em conjunto com os resultados experimentais, para as diferentes frequências. 161

Figura 6.8 – Distribuição final Df ajustada para os ensaios de fadiga do concreto com fibras de aço C3, para as quatro frequências distintas, em conjunto com os resultados experimentais. 163

Figura 6.9 – Número de ciclos versus probabilidade de falha; comparação da influência da frequência para as curvas ajustadas aplicando-se o modelo aos três concretos. 164

Figura 6.10 – Distribuição inicial Di dos ensaios de resistência à compressão ����� em conjunto com os resultados experimentais para o concreto sem fibras C4. 166

Figura 6.11 – Distribuição final Df ajustada para os ensaios de fadiga; R = 0,3 e R = 0,1: concreto sem fibras C4. 168

Figura 6.12 – Passos de carregamento cíclico utilizando-se o modelo. 169

Figura 6.13 – Probabilidades de falha acumuladas após quatro passos de carregamento cíclico. 171

Figura 6.14 – Número de ciclos versus taxa de deformação: C1, C2, C3 e C4. 173

Figura B.1 – (a) Função de Densidade de Probabilidades PDF; (b) Função de Distribuição Cumulativa CDF 201

Lista de Tabelas

Tabela 2.1 – Classificação da fadiga em função do número de ciclos (Hsu, 1981). 42

Tabela 4.1 – Dosagem dos concretos C1, C2 e C3. 78

Tabela 4.2 – Série de corpos de prova cúbicos utilizadas nos ensaios de fadiga. 81

Tabela 4.3 – Taxas de armazenamento de dados: ensaios em corpos de prova cúbicos: compressão e fadiga. 90

Tabela 4.4 – Dosagem do concreto sem fibras C4. 93

Tabela 4.5 – Resumos dos ensaios realizados no programa experimental. 95

Tabela 5.1 – Propriedades mecânicas: concreto sem fibras C1. 97

Tabela 5.2 – Propriedades mecânicas: concreto com fibras de polipropileno C2. 97

Tabela 5.3 – Propriedades mecânicas: concreto com fibras de aço C3. 98

Tabela 5.4 – Resistência à tração por flexão e resistências residuais: concreto sem fibras C1. 99

Tabela 5.5 – Resistência à tração por flexão e resistências residuais: concreto com fibras de polipropileno C2. 100

Tabela 5.6 – Resistência à tração por flexão e resistências residuais: concreto com fibras de aço C3. 102

Tabela 5.7 – Resistência à compressão em cubos �����: concreto sem fibras C1. 104

Tabela 5.8 – Ensaios de fadiga: frequência 4 Hz; concreto sem fibras C1. 105

Tabela 5.9 – Ensaios de fadiga: frequência 1 Hz; concreto sem fibras C1. 105

Tabela 5.10 – Ensaios de fadiga: frequência 0,25 Hz; concreto sem fibras C1.105

Tabela 5.11 – Ensaios de fadiga: frequência 0,0625 Hz; concreto sem fibras C1. 106

Tabela 5.12 – Resistência à compressão em cubos: concreto com fibras de polipropileno. 107

Tabela 5.13 – Ensaios de fadiga: frequência 4 Hz; concreto com fibras de polipropileno. 108

Tabela 5.14 – Ensaios de fadiga: frequência 1 Hz; concreto com fibras de polipropileno. 109

Tabela 5.15 – Ensaios de fadiga: frequência 0,25 Hz; concreto com fibras de polipropileno. 109

Tabela 5.16 – Ensaios de fadiga: frequência 0,0625 Hz; concreto com fibras de polipropileno. 109

Tabela 5.17 – Resistência à compressão em cubos: concreto com fibras de aço C3. 111

Tabela 5.18 – Ensaios de fadiga: frequência 4 Hz; concreto com fibras de aço C3. 111

Tabela 5.19 – Ensaios de fadiga: frequência 1 Hz; concreto com fibras de aço C3. 112

Tabela 5.20 – Ensaios de fadiga: frequência 0,25 Hz; concreto com fibras de aço C3. 112

Tabela 5.21 – Ensaios de fadiga: frequência 0,0625 Hz; concreto com fibras de aço C3. 112

Tabela 5.22 – Deformação total e central: média ± desvio padrão. 135

Tabela 5.23 – Propriedades mecânicas: concreto sem fibras C4. 143

Tabela 5.24 – Resistência à compressão ����� concreto sem fibras C4. 143

Tabela 5.25 – Resistência à compressão �����: concreto sem fibras C4. 144

Tabela 6.1 – Resistência à compressão estática ����� e probabilidade de falha para cada corpo de prova e para cada concreto. 155

Tabela 6.2 – Parâmetros ajustados para a distribuição inicial Di com base nos ensaios de resistência à compressão �����. 157

Tabela 6.3 – Número de ciclos até a ruptura e probabilidade de falha: concreto sem fibras C1. 159

Tabela 6.4 – Número de ciclos até a ruptura e probabilidade de falha: concreto C2. 161

Tabela 6.5 – Número de ciclos até a ruptura e probabilidade de falha: concreto com fibras de aço C3. 163

Tabela 6.6 – Parâmetros de ajuste b, c e γ ajustados para cada concreto. 164

Tabela 6.7 – Resistência à compressão estática e probabilidade de falha para cada corpo de prova do concreto C4. 166

Tabela 6.8 – Número de ciclos até a ruptura e probabilidade de falha: concreto sem fibras C4: R = 0,3 e R = 0,1. 167

Tabela 6.9 – Passos de carregamento cíclico 169

Tabela 6.10 – Quatro ciclos de carregamento, concreto sem fibras C1 170

Tabela 6.11 – Quatro ciclos de carregamento, concreto com fibras de polipropileno C2. 170

Tabela 6.12 – Quatro ciclos de carregamento, concreto com fibras de aço C3. 170

Tabela 6.13 – Número de ciclos para alcançar a ruptura. 171

Tabela 6.14 – Resumo dos parâmetros do modelo ajustados para os diferentes concretos. 176

Lista de símbolos e abreviações

Letras Latinas

A, B´, C Constantes experimentais, eq. 2.17;

a, b, c Parâmetros de ajuste do modelo proposto, eq. 6.9;

a/c Fator água/cimento;

B Espessura do corpo de prova prismático;

C1 Concreto sem fibras;

C2 Concreto com fibras de polipropileno;

C3 Concreto com fibras de aço;

C4 Concreto sem fibras C4;

Cf Coeficiente do efeito da frequência, eq. 2.17 e 2.18;

d, e Constantes empíricas, eq. 2.2;

Di Deformação máxima correspondente ao período i, Fig. 5.16;

Di Distribuição inicial, Fig. 6.1;

Df Distribuição final, Fig. 6.1;

dmáx Diâmetro máximo dos agregados;

DP Desvio padrão;

E Modulo de elasticidade;

f Frequência de carregamento;

f0 Frequência de referência abaixo da qual o ensaio é considerado estático;

fc Resistência à compressão;

�� Resistência à compressão estática;

����� Resistência à compressão em corpo de prova cúbico;

fcd Resistência à compressão dinâmica;

fck Resistência à compressão axial;

ft,f Resistência à tração na flexão estática;

fest Resistência estática;

Fj Carga em um ponto j determinado;

fRj Resistência residual à tração na flexão;

ft Resistência à tração pura;

H Altura do corpo de prova prismático;

hent Profundidade do entalhe;

k Parâmetro de forma de Weibull;

L1, L2, L3 Medidas das arestas do corpo de prova cúbico nas três dimensões;

m, n Constantes experimentais, eq. 2.17;

N Número de ciclos até a ruptura;

o, p, q Constantes experimentais, eq. 2.19;

PF Probabilidade de falha;

Pmáx Carga máxima do ensaio de flexão em três pontos;

Pmáx,c Carga máxima calculada para ser equivalente a 85% �����;

R Razão entre a tensão mínima e a tensão máxima;

R´ Razão entre as tensões mínima e máxima para tensões alternadas;

S Tensão (Stress);

Sa Amplitude de carregamento do ensaio de fadiga;

Sm Tensão média do ensaio de fadiga;

Smáx Tensão máxima do ensaio de fadiga;

Smín Tensão mínima do ensaio de fadiga;

T Período de repetição de carga, eqs. 2.15 e 2.16;

Ti Tempo correspondente ao período i, Fig. 5.16.

Letras Gregas

α Expoente ajustável para diferentes frequências, eqs. 6.2 e 6.4;

β Parâmetro do material, eq. 2.1;

β ´ Constante experimental, eq. 2.19;

δ Descolamento vertical ou flecha;

∆σ Faixa de tensões;

�� Taxa de deformação específica;

�� Taxa de deformação específica qualquer;

����� Taxa de deformação específica secundária;

ϕ Inclinação da reta da eq. 6.16;

γ Parâmetro de ajuste para diferentes frequências;

η Inclinação da reta da eq. 6.16;

λ Parâmetro de escala de Weibull;

ν Coeficiente de Poisson;

�� Taxa de carregamento do ensaio de fadiga;

� Tensão de ruptura;

� Tensão de ruptura a um ciclo – resistência estática;

�á� Tensão máxima do ensaio de fadiga;

�á� Equivalente estática da tensão máxima do ensaio de fadiga;

�í� Tensão mínima abaixo da qual a probabilidade de falha é nula;

�� Taxa de carregamento do ensaio estático.

Abreviações

ACI American Concrete Institute;

ASTM American Society for Testing and Materials;

CDF Cumulative distribution function;

CEB Comité Euro-International du Betón;

CMOD Crack mouth opening displacement;

FRC Fiber reinforced concrete;

JSCE Japan Society of Civil Engineers;

LVDT Linear variable differential transformer;

NBR Norma Brasileira.

1. Introdução

1.1. Motivação

Esta tese foi desenvolvida durante o doutorado sanduíche em uma

parceria entre a Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro e a

Universidad de Castilla-La Mancha em Ciudad Real – Espanha.

Este intercâmbio possibilitou uma experiência internacional e uma

formação pessoal multidisciplinar voltada para a pesquisa de novas tecnologias

em concreto com vasta experiência experimental na produção e em ensaios de

concreto. No momento em que se desenvolveu o programa experimental desta

tese o Laboratorio de Estructuras y Materiales da Escuela Técnica Superior de

Caminos, Canales y Puertos da Universidad de Castilla-La Mancha em Ciudad

Real na Espanha tinha algumas máquinas e equipamentos de laboratório para

ensaios em concreto que ainda não estavam disponíveis em laboratórios de

concreto no Brasil.

A motivação da pesquisa surgiu com a idéia de um grupo de construtores

espanhóis de construir torres eólicas com mais de cem metros de altura

utilizando concreto de alto desempenho, como uma solução mais prática e

econômica em relação às torres de aço.

O concreto é o material de construção mais utilizado no mundo. Tem custo

relativamente baixo e alta durabilidade, quando comparado com outros

materiais, além de boa resistência à compressão e as matérias primas (cimento,

agregados e água) utilizadas na sua produção são encontradas com facilidade.

Entretanto, o concreto tem algumas limitações como a baixa resistência à

tração, que acarreta um comportamento frágil, e pouca capacidade de

deformação. Para superar essas limitações, a sua combinação com aço no

concreto armado ou no protendido provê ao concreto a ductilidade e a

resistência à tração que são necessárias para o seu uso em estruturas. Novos

tipos de concreto com elevadas resistências à compressão, denominados

concretos de alta resistência, foram desenvolvidos nas últimas décadas.

22

O desenvolvimento da tecnologia do concreto, as novas técnicas

construtivas e as ferramentas computacionais sofisticadas, capazes de

reproduzir com maior precisão o comportamento das estruturas, possibilitam

atualmente o projeto de estruturas mais arrojadas e esbeltas.

Os pilares de concreto do Viaduto de Millau na França, por exemplo, têm

altura entre 77 e 246 metros e estão sujeitos a ciclos de carga e descarga.

Nesse caso o desempenho à fadiga pode ser um dos critérios relevantes para o

projeto, as estruturas esbeltas sujeitas a ciclos de carga e descarga podem ruir

por fadiga e, nesses casos, a adição de fibras tem como objetivo o acréscimo de

resistência da estrutura. Aumentando-se a resistência do concreto, a ductilidade

do material diminui e a ruptura é mais frágil. A adição de fibras ao concreto

aumenta a tenacidade do material e, portanto, a ductilidade das estruturas além

de melhorar o desempenho à fadiga (Li e Matsumoto, 1998; Marangon, 2011).

Nas torres eólicas a preocupação com a fissuração do concreto provocada

pelas solicitações cíclicas do aerogerador, e pela ação do vento diretamente

sobre as torres eólicas, levou à solução de se adicionar fibras estruturais ao

concreto para reduzir a fissuração ao longo do tempo. A opção de protender as

peças estruturais do fuste da torre permite que a estrutura seja solicitada

somente à compressão, evitando-se as solicitações de tração. O giro das pás do

aerogerador gera uma solicitação adicional à estrutura a uma frequência de

aproximadamente 0,3 Hz. A frequência natural de uma torre com cem metros de

altura é estimada em 0,01 Hz.

A idéia inicial foi adicionar fibras de aço ao concreto, porém, o alto custo

dessas fibras poderia inviabilizar a construção das torres. Uma solução foi tentar

o uso de fibras poliméricas que também controlam a fissuração, apesar de não

terem um desempenho tão bom quanto o das fibras de aço.

Segundo Rodrigues e Montardo (2002), fibras de aço ou de polipropileno

têm sido utilizadas para evitar ou minimizar fissuração em pavimentos de

concreto, concretos projetados em túneis, barragens, pisos industriais, blocos de

fundação, entre outras estruturas. A escolha do tipo de fibra a ser adicionada ao

concreto resulta de uma otimização entre o desempenho e o custo das mesmas.

As fibras de diâmetro micrométrico são denominadas microfibras, enquanto que

as de diâmetro milimétrico são chamadas de macrofibras.

No Brasil está bem difundido o uso de microfibras de polipropileno para o

controle de fissuração e macrofibras estruturais de aço que, além da melhoria na

fissuração, aumentam significativamente, a tenacidade e ductilidade. Alguns

23

estudos buscam substituir parte da armadura de tração de concretos armados

por fibras de aço (Rodrigues, 2009).

Apesar de o desempenho das fibras de aço ser muito superior às de

polipropileno, em algumas aplicações específicas, o baixo custo das fibras

poliméricas vem despertando o interesse de construtores e fomentando

pesquisas para avaliar seu desempenho em diversas aplicações (Zhang e Tian,

2007; Vasconcelos, 2012).

Com respeito ao desempenho do concreto à fadiga, a maioria dos estudos

está centrado em estruturas submetidas à flexão, em vigas e placas, onde as

tensões de tração são preponderantes.

No Brasil, os estudos de fadiga do concreto são recentes e prioritariamente

direcionados para fadigas de vigas, pontes e pavimentos de concreto: Crepaldi e

Djanikian (2001); Schäffer (2002); Gonçalves (2003); Cervo (2004), Maggi (2004)

ou para investigar o desempenho de reforços em vigas com PRF (Polímeros

Reforçados com Fibras): Silva Filho (2005); Meneghetti (2007).

O comportamento do concreto submetido à fadiga em compressão ainda

não mereceu a mesma atenção de pesquisadores. Um grande número de

estudos é encontrado na literatura internacional sobre fadiga em flexão em

concreto com fibras (Naaman e Hammoud, 1998; Lee e Barr, 2004; Goel et al.,

2012 e referências internas), enquanto que os estudos sobre fadiga em

compressão em concreto com fibras são escassos.

Para materiais dúcteis, como o aço, o nível de tensões S tem um papel

importante e a vida à fadiga, ou seja, o número de ciclos N resistido antes da

ruptura, geralmente é descrito pela curva de Wöhler, ou curva SxN (Stress x

Number), que relaciona as tensões aplicadas com o número de ciclos até a

ruptura. Essa curva mostra a tendência de que quanto maior a tensão aplicada,

menor será o número de ciclos. Assim como para menores tensões, maiores

serão os números de ciclos.

A curva SxN engloba apenas tensões e o número de ciclos deixando de

lado outros fatores que interferem no desempenho à fadiga do concreto, tais

como: a influência dos materiais constituintes, as condições de umidade, a

relação entre tensões mínima e máxima, a frequência de carregamento, entre

outros.

Em especial, a frequência de carregamento tem certa influência no

desempenho do concreto à fadiga de uma forma que aparentemente contraria a

lógica. Sparks e Menzies (1973), Hanson (1974), Jansen (1996), entre outros

24

apontam que a elevados níveis de tensão, acima de 75% da tensão estática

máxima, ao se elevar a frequência, aumenta o número de ciclos até a ruptura.

Seguindo-se este raciocínio, um ensaio a alta frequência consumiria mais

energia para levar um corpo de prova ao colapso, comparado a um ensaio a

baixa frequência.

Alguns modelos baseados em ensaios de fadiga em concreto convencional

– sem fibras – desenvolvidos por Hsu (1981), Furtak (1984) e Zhang et al. (1996)

consideram esta influência da frequência. Por meio das expressões sugeridas

por estes autores, em uma simulação variando apenas a frequência, o número

de ciclos diminui com a redução da frequência. Entretanto, estes modelos são

determinísticos e não levam em conta a dispersão, sempre presente, em

resultados de ensaios de fadiga em concreto.

Estudos desenvolvidos por Grzybowski e Meyer (1993), Paskova (1994),

Cachim et al. (2001), apontam que o desempenho do concreto com fibras à

fadiga em compressão é superior ao concreto sem fibras, porém estes estudos

buscaram comparar diferentes conteúdos ou diversos tipos de fibras e não

abordaram a influência da frequência do carregamento.

Na revisão bibliográfica, não foram encontrados estudos que incluíssem os

cinco parâmetros pesquisados nesta tese: concreto; compressão; fadiga; fibras e

frequência.

1.2. Objetivos

O objetivo desta pesquisa de natureza teórico-experimental foi estudar o

comportamento à fadiga em compressão de diferentes concretos (sem fibras e

com dois tipos de fibras: polipropileno e aço), com ênfase na influência da

frequência de carregamento. Os resultados experimentais serão utilizados para

validar um modelo probabilístico que foi desenvolvido em paralelo.

As diferentes etapas são listadas a seguir:

1. estudar em laboratório a contribuição da adição de diferentes fibras no

desempenho à fadiga do concreto em compressão submetido a diversas

frequências de carregamento, avaliando-se o desempenho de cada fibra;

2. compreender qual o fenômeno que governa a ruptura a baixas

frequências considerando-se o histórico de deformações de cada ensaio

de fadiga;

25

3. propor um modelo probabilístico que avalie o desempenho à fadiga do

concreto capaz de relacionar as seguintes variáveis: o número de ciclos

até a ruptura, as tensões máximas e mínimas, a frequência de

carregamento e a distribuição probabilística tanto das propriedades

mecânicas do concreto como dos próprios ensaios de fadiga;

4. validar o modelo proposto utilizando-se os resultados experimentais

obtidos no laboratório para concretos com diferentes tipos de fibras.

1.3. Organização do trabalho

O trabalho está dividido em oito capítulos.

A motivação e os objetivos da pesquisa são descritos no capítulo 1.

A revisão bibliográfica de estudos sobre a fadiga em concreto é

apresentada no capítulo 2 e no capítulo 3 sobre concreto com fibras.

A descrição do programa experimental incluindo-se os materiais, os

equipamentos que foram utilizados e o detalhamento dos ensaios realizados

estão no capítulo 4.

Os resultados obtidos nos ensaios para caracterização dos diferentes tipos

de concreto e nos ensaios de fadiga, com ênfase na influência da frequência e

no histórico das deformações, são apresentados e analisados no capítulo 5.

No capítulo 6 é apresentado o modelo probabilístico proposto que permite

avaliar o comportamento do concreto à fadiga levando-se em conta a frequência

de carregamento. Esse modelo é validado com a utilização dos resultados

experimentais que foram obtidos no laboratório.

As conclusões e as sugestões para trabalhos futuros são apresentadas no

capítulo 7.

As referências bibliográficas consultadas estão listadas no capítulo 8.

2. Fadiga em concreto

2.1. Comportamento à fadiga do concreto

O processo de degradação por fadiga está associado à deterioração sob

carregamento cíclico, que leva ao surgimento e à evolução de microfissuras ou à

propagação de microfissuras pré-existentes no material, podendo causar a

ruptura da estrutura. A fadiga ocorre devido a um processo de degradação

progressiva na microestrutura cristalina do material sujeito a condições de

solicitações de magnitude inferior à sua capacidade resistente, isto é, as

deformações ou as tensões impostas com magnitudes inferiores à deformação

ou à tensão de ruptura.

A fissura por fadiga em concreto é de natureza frágil, no sentido de que

existe pouca, se alguma, deformação plástica generalizada associada à fissura,

ocorrendo o processo pela origem e propagação de microfissuras, sendo que

geralmente a superfície de ruptura é perpendicular à direção de tensão aplicada

(Callister, 2002).

No concreto, a fadiga tem origem em um nível microscópico e está

associada ao aumento da abertura das fissuras e à redução da rigidez. Para o

Instituto Americano do Concreto (ACI 215R-74, 1992), a ruptura por fadiga

ocorre por uma microfissuração interna progressiva que por sua vez induz um

incremento nas deformações no material.

Para o Comitê Europeu do Concreto (CEB 188, 1988), as fissuras por

fadiga não têm uma topografia superficial definida, tornando-se difícil identificar a

fadiga nas estruturas de concreto. A fadiga pode ocorrer em um elemento

estrutural de concreto quando se desenvolve fissuração excessiva.

O processo de ruptura por fadiga é caracterizado por três etapas distintas

que resultam no enfraquecimento gradual dos componentes estruturais:

• Etapa 1

(1a) Origem da fissura, quando uma pequena fissura se forma em algum

ponto de alta concentração de tensões.

27

(1b) Descontinuidades pré-existentes, como microfissuras já existentes no

material (devido à existência de falhas no concreto) previamente ao

processo de fadiga.

(1c) Os dois itens anteriores, simultaneamente.

• Etapa 2: propagação da fissura, durante a qual a mesma avança em

incrementos a cada ciclo, devido à existência de zonas de concentração de

tensões.

• Etapa 3: ruptura final, que ocorre muito rapidamente, quando a fissura que

está avançando atinge sua abertura crítica.

A ruptura por fadiga somente ocorre se o carregamento aplicado fornecer

suficiente tensão para o crescimento e propagação das fissuras, ou para que

alterações significativas ocorram no material, atingindo-se um estado de

instabilidade e afetando a vida útil da estrutura. Esta situação é definida como o

limite de fadiga do material. Esse limite de resistência à fadiga, também

denominado resistência à fadiga, representa o maior valor de tensão cíclica que

não irá causar a ruptura por fadiga, mesmo após incontáveis ciclos de

carregamento e descarregamento, equiparáveis a um número infinito de ciclos

(Castro e Meggiolaro, 2009).

As propriedades de fadiga podem ser determinadas a partir de ensaios de

simulação em laboratório, e os dados obtidos geralmente são apresentados em

gráfico de tensão S ou de deformação específica em função do número de ciclos

N até a ruptura, para cada corpo de prova ensaiado.

Nos ensaios à fadiga dois tipos de comportamento SxN são verificados:

(1) quanto maior a magnitude da tensão S, menor o número de ciclos N que o

material é capaz de suportar antes da ruptura; (2) quando existe um limite de

resistência à fadiga. Geralmente se considera como resistência à fadiga a tensão

que não leve os corpos de prova a ruptura após dois milhões de ciclos.

Outro parâmetro importante que caracteriza o comportamento à fadiga de

um material é a vida à fadiga, que representa o número de ciclos necessários

para causar a ruptura em um nível de tensão específico. Existe sempre uma

dispersão considerável nos resultados de ensaios de fadiga, uma variação no

valor de N medido para vários corpos de prova ensaiados sob o mesmo nível de

tensão, em especial para a fadiga em concreto (Lee e Barr, 2004).

A variabilidade nos resultados de ensaios de fadiga pode levar a incertezas

de projeto quando a vida à fadiga, ou a resistência à fadiga estiverem sendo

28

consideradas. A variação nos resultados é consequência da sensibilidade da

resistência à fadiga a uma variedade de parâmetros relacionados ao ensaio e ao

material, que são impossíveis de serem controlados de maneira absolutamente

precisa. No caso do concreto esses parâmetros incluem as condições de

moldagem dos corpos de prova, o alinhamento do mesmo no equipamento de

ensaio, a tensão média, a frequência dos ensaios, dentre outros.

Quanto maior o nível de tensão máxima, menor o número de ciclos

alcançado, e mais rapidamente o concreto se deteriorará por fadiga, para uma

mesma frequência de carregamento. De acordo com Stet e Frénay (1998) a

ruptura é também acelerada pela redução da frequência de carregamento.

Estudos em laboratórios, tais como os de Cook e Chindaprasirt (1980,

1981), Cornelissen e Leewis (1986), Vandewalle (1998), dentre outros, têm

mostrado também que a resistência à fadiga é afetada pela taxa de

carregamento, sequência de carregamento, período de relaxação, tempo de

cura, condições de umidade e temperatura, dentre outros.

Kim e Kim (1996) observaram que o concreto de elevada resistência

apresenta comportamento à fadiga bastante distinto ao do concreto

convencional, em que a resistência à fadiga é reduzida com o acréscimo da

resistência do concreto.

O número de carregamentos repetidos para o colapso da estrutura pode

ser empiricamente descrito por uma das equações mais conhecidas, a clássica

equação SxN, que relaciona a tensão com o número de ciclos à fadiga,

desenvolvida por Aas-Jakobsen (1970), dada por:

��á���,� = 1 − �1 − ��í���á��� log" eq.(2.1)

onde Smáx é a tensão máxima aplicada, ft,f é a resistência à tração na flexão

estática do concreto, Smín é a tensão mínima aplicada, N é o número de ciclos

para o colapso do material e β é um parâmetro do material obtido por regressão

dos dados.

O primeiro termo da Equação 2.1 é determinado por uma razão entre

tensões, sendo o quociente entre a tensão aplicada durante o ensaio e a

resistência à tração na flexão estática do concreto.

A equação de Aas-Jakobsen foi desenvolvida a partir de ensaios de tração

na flexão, contudo pode ser empregada para ensaios de compressão apenas

29

substituindo-se a resistência à tração na flexão estática pela resistência à

compressão estática.

A curva SxN representada em função do logaritmo de N, também

denominada como curva de Wöhler, escreve-se:

����,� = # + % log" eq.(2.2)

onde d e e são constantes empíricas referentes ao material, obtidas por

regressão dos dados. A maioria dos estudos existentes sobre fadiga de

concretos apresenta resultados modelados por meio das Equações 2.1 e 2.2.

2.2. Fatores intervenientes na vida à fadiga

Os estudos de fadiga em estruturas vêm sendo realizados desde o

século XIX com destaque para o alemão August Wöhler, entre 1850 e 1870, que

introduziu diversas idéias e procedimentos usados até hoje no dimensionamento

à fadiga. O foco desses estudos teve ênfase na análise de estruturas metálicas

ferroviárias. O estudo de fadiga em concreto teve suas primeiras publicações na

década de 20 nos Estados Unidos com Clemmer (1922), Crepps (1923), Clifford

(1924) e Hatt (1924, 1925) apud Zhang et al. (1996) .

Desde então muitos estudos de fadiga em concreto foram desenvolvidos.

O enfoque dos estudos levou a tipos distintos de ensaios à fadiga: tração na

flexão, tração direta, compressão e tensões alternadas nos tipos de ensaios

anteriores, de tal forma que não existe um ensaio padrão para caracterizar o

comportamento à fadiga. O modo de carregamento – tipo de ensaio – influencia

o desempenho do concreto à fadiga, visto que os fatores que governam a

ruptura do concreto em compressão são distintos dos que em tração ou em

flexão. Também podem influir na vida à fadiga os materiais constituintes, as

condições de umidade, a relação entre tensões mínima e máxima, a frequência

de carregamento, etc.

2.2.1. Modo de carregamento: tipos de ensaios

Crepps (1923) e Hatt (1924, 1925) apud Zhang et al. (1996) procuraram

determinar o comportamento à fadiga do concreto realizando ensaios em tensão

30

alternada, concluindo que a tensão alternada não afetava a resistência à fadiga

do concreto em relação a testes não alternados.

Zhang et al. (1996) relatam estudos similares onde Clemmer (1922) e

Clifford (1924) observaram que a tensão alternada tinha uma pequena influência

na resistência à fadiga do concreto.

Tepfers e Kutti (1979) desenvolveram um modelo à fadiga apoiado em

ensaios em compressão. Posteriormente, os autores verificaram por meio de

análise estatística que a mesma expressão poderia ser aplicada também para

ensaios à fadiga em tração, propondo:

��á����� = 1 − 0,0685*1 − +, log" eq.(2.3)

onde fest é a resistência à compressão ou tração estática do concreto e R é a

razão entre a tensão mínima e a tensão máxima.

Em um estudo posterior Tepfers (1982) desenvolveu um ensaio cíclico com

tensão alternada usando duas combinações de carregamento: a primeira com

tensão de compressão constante na direção horizontal e com tensão de tração

variável na direção vertical, e a segunda com tensão de tração constante na

direção horizontal e com tensão de compressão variável na direção vertical.

Esse autor verificou desta maneira que a tensão alternada afetou o

comportamento à fadiga, mas observou que o efeito era muito pequeno para

descrever um modelo de fadiga.

Cornelissen (1984) determinou o efeito da tensão alternada no

comportamento à fadiga do concreto realizando duas séries de ensaios: tração-

compressão e flexão alternada e propondo as seguintes equações de fadiga:

• tração-compressão

log" = 9,36 − 7,93 ���á��� � − 2,59 ���í���1 � eq.(2.4)

31

• flexão alternada

log" = 9,36 − 7,453��á����,� 4 − 1,93 ���í���1 � eq.(2.5)

onde ft é a resistência à tração pura e fck é a resistência à compressão axial.

O autor observou que o número de ciclos necessários para que ocorra o

colapso aumenta com a diminuição da razão entre tensões, e que os ensaios em

tração-compressão causam maior dano por fadiga no concreto do que os

ensaios alternados em flexão.

Cook e Chindaprasirt (1980) analisaram a influência da história de tensões

nas propriedades do concreto em compressão, e observaram que um

carregamento de longa duração produziu um pequeno acréscimo na resistência

e grande aumento na rigidez do concreto, enquanto o carregamento cíclico

ocasionou uma leve diminuição na resistência e grande redução na rigidez do

material. Esses autores relataram que ambas as histórias de carregamentos

diminuíram o pico de tensão, e que o carregamento de longa duração resultou

em redistribuição das concentrações de tensão, enquanto o carregamento cíclico

produziu microfissuras.

Em um estudo posterior Cook e Chindaprasirt (1981) determinaram a

influência do carregamento de longa duração e do carregamento cíclico nas

propriedades do concreto em tração. Os resultados mostraram que o

carregamento de longa duração reduziu a resistência à tração. Na história de

carregamentos cíclicos uma análise estatística indicou que as diferenças de

resistência não foram significativas. Observam também que o módulo de

elasticidade apresentou uma leve redução para ambas as histórias de

carregamentos, mostrando-se mais acentuada para concretos de baixas

resistências.

Várias pesquisas apresentadas até então observaram que quanto maior a

tensão máxima, maior o grau de deterioração do concreto, e que se a tensão for

ampliada acarreta em um menor número de ciclos à fadiga.

Existiram controvérsias quando o assunto foi a influência da tensão

alternada na resistência à fadiga do concreto, entre os resultados obtidos pelos

diversos autores. Enquanto Crepps (1923) e Hatt (1924, 1925) apud Zhang et al.

(1996) verificaram que a tensão alternada não influenciava a resistência à

fadiga, autores como Clemer (1922) e Clifford (1924) apud Zhang et al. (1996) e

Tepfers (1982) observaram que existia uma pequena influência. Entretanto,

32

Cornelissen (1984) e Zhang et al. (1996) verificaram que os ensaios alternados

causam maior redução na resistência à fadiga do que aqueles puramente em

tração na flexão.

Tal fato indica que com o passar dos anos a evolução tecnológica e o

desenvolvimento de equipamentos mais modernos e precisos vêm mudando a

maneira de se entender os fatores que afetam o desempenho do concreto à

fadiga de modo um tanto sensível e por vezes controverso.

2.2.2. Materiais constituintes do concreto

Agregados

A influência do tipo de agregado foi avaliada por alguns pesquisadores,

porém, não existe consenso quanto a influência no desempenho do concreto à

fadiga.

Williams (1943) e Zhang et al. (1997) observaram que concretos com

agregados leves apresentavam resistência à fadiga em flexão menor do que com

agregados convencionais. Cornelissen (CEB 188, 1988) verificou que o mesmo

ocorria em fadiga em compressão.

Contrariamente, Tepfer e Kutti (1979) e Sparks (1982) não encontraram

diferenças na resistência à fadiga em compressão, e Cornelissen (CEB 188,

1988) constatou que o mesmo ocorria em tração para concretos com agregados

leves e convencionais.

Waagard (1986) apud Zhang et al. (1997) afirma que em compressão os

concretos com agregado leve resultaram em um maior número de ciclos do que

os com agregado convencional. Saito (1984) apud Zhang et al. (1997) também

observou melhor desempenho à fadiga para concretos com agregados leves,

neste caso em ensaios de tração.

Não se pode afirmar então que agregados leves tem melhor ou pior

desempenho à fadiga. A designação agregado leve é um tanto ampla, e não é

certo que um agregado mais leve tenha obrigatoriamente piores propriedades

mecânicas. Os estudos apresentados neste item mostram diferentes tipos de

ensaios à fadiga, não permitindo a comparação precisa quanto ao tipo de

agregado.

No tocante à dimensão máxima dos agregados, Iwama e Fukuda (1986)

ensaiaram concretos com agregados de dimensão máxima de 20 e 40 mm e

concluíram que não houve influência no comportamento à fadiga. Koyanagawa

33

et al. (1994) ensaiaram à flexão concretos com as mesmas dimensões máximas

e verificaram que a diferença no comportamento à fadiga foi desprezível para

elevadas tensões máximas, acima de 80%. Para tensões inferiores, a dimensão

máxima de 20 mm teve um desempenho à fadiga levemente superior.

Fator água/cimento e consumo de cimento

Poucas publicações relatam a influência específica do fator água/cimento,

ou do consumo de cimento no desempenho do concreto à fadiga.

Graf e Brenner (1934, 1936) apud Zhang et al. (1997) comentam que o

aumento do fator água/cimento, ou do consumo de cimento, diminuem a

resistência à fadiga. Klaiber e Lee (1982) relataram que a resistência à fadiga em

flexão reduziu quando o fator água/cimento foi inferior a 0,4, porém, quando o

fator a/c esteve entre 0,4 e 0,6 não houve variação significativa. Também em

ensaios de fadiga em flexão, Zhang et al. (1997) não observaram influência na

resistência à fadiga variando o fator água/cimento de 0,39; 0,45; 0,53; 0,65,

apesar de a resistência estática ter aumentado com a redução de a/c.

No estudo de Tepfers e Kutti (1979) foram utilizadas duas dosagens de

concreto com diferentes consumos de cimento, 236 e 365 kg/m³; esses autores

reportam que o desempenho à fadiga em tração indicou ser independente do

consumo de cimento.

Os relatos apresentados sobre a influência dos materiais constituintes no

comportamento à fadiga do concreto permitem observar que não há consenso

com relação a quanto, e como cada propriedade de cada material influi na

resistência à fadiga do concreto. Enquanto algumas pesquisas mostram que

certa característica de um dado material aumenta a resistência à fadiga do

concreto, outros trabalhos relatam o contrário. Esse fato comprova o quanto é

difícil ter uma precisão do comportamento à fadiga de um material heterogêneo,

como é o caso do concreto, e o quanto é importante considerar as

características dos materiais utilizados e as condições a que o concreto foi

submetido quando fabricado.

É importante ressaltar que além do tipo de agregado, ou fator a/c que se

está utilizando, existe a importância do tipo de ensaio que está sendo executado,

se em tração direta, em compressão ou em flexão, observando-se que cada

ensaio produz um efeito distinto no concreto.

34

2.2.3. Saturação do concreto

Na tentativa de determinar as diferenças no comportamento à fadiga de

concretos secos ou saturados, Cornelissen e Leewis (1986) realizaram ensaios

onde a tensão máxima foi situada entre 40% e 90% da resistência à tração, e a

tensão mínima entre 0% e 40% da tensão de tração para ensaios em tração

pura, e entre 0% e 30% da resistência à compressão para aqueles alternando-se

tração-compressão. A frequência de carregamento foi mantida constante em

6 Hz. Aproximadamente trezentos resultados foram analisados para determinar o

número de ciclos para o colapso, que podem ser descritos pelas seguintes

expressões:

• ensaios em tração pura

• amostras secas

log" = 14,81 − 14,52 ���á��� � − 2,79 ���í��� � eq.(2.6)

• amostras saturadas

log" = 13,92 − 14,52 ���á��� � − 2,79 ���í��� � eq.(2.7)

• ensaios alternando tração-compressão

• amostras secas e saturadas

log" = 9,36 − 7,93 ���á��� � − 2,59 ���í���1 � eq.(2.8)

A Figura 2.1 apresenta os resultados obtidos a partir das expressões

propostas por Cornelissen e Leewis (1986).

35

Figura 2.1 – Curvas SxN comparando amostras secas e saturadas (Cornelissen e Lewis, 1986).

De acordo com os resultados apresentados na Figura 2.1, as amostras

ensaiadas secas tiveram um desempenho à fadiga superior ao das amostras

saturadas. Esses resultados mostram ainda que os ensaios alternando-se

tração-compressão apresentaram menor resistência à fadiga do que os ensaios

em tração pura.

Raithby e Galloway (1974) estudaram a influência das condições de

umidade no número de ciclos à fadiga em flexão do concreto convencional: com

o concreto saturado, com o concreto seco ao ar por uma semana e com o

concreto seco em forno por uma semana. Os ensaios foram realizados após seis

meses da moldagem dos corpos de prova, e a razão entre as tensões máximas

e a resistência à tração na flexão estática situou-se entre 55 e 95%. Os ensaios

foram conduzidos a uma frequência de 20 Hz, as expressões obtidas por meio

dos resultados publicados pelos autores, para cada método de cura analisado,

são:

• amostras saturadas

log" = 13,275 − 11,39 ���á���1 � eq.(2.9)

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,0E+01 1,0E+03 1,0E+05 1,0E+07 1,0E+09

Rel

ação

ent

re te

nsõe

s

Número de ciclos à fadiga

Tração-compressão (secas e saturadas)

Tração (secas)Tração (saturadas)

36

• amostras secas ao ar

log" = 14,965 − 12,6763��á���,� 4 eq.(2.10)

• amostras secas em forno

log" = 13,48 − 11,423��á���,� 4 eq.(2.11)

As variáveis são as mesmas já definidas em equações anteriores.

A Figura 2.2 apresenta os resultados obtidos a partir das expressões propostas

por Raithby e Galloway (1974).

Figura 2.2 – Curvas SxN comparando-se amostras secas e saturadas (Raithby e Galloway, 1974).

Os resultados da Figura 2.2 mostram a mesma tendência do estudo de

Cornelissen e Lewis (1986), verificando-se que o concreto saturado apresenta

desempenho à fadiga inferior ao concreto seco ao ar, mas praticamente o

mesmo desempenho que o concreto seco ao forno. Esses autores relataram que

não existe uma evidência direta para explicar as diferenças ocorridas nas

diferentes condições de umidade.

Número de ciclos à fadiga

Rel

ação

ent

re te

nsõe

s

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,0E+02 1,0E+04 1,0E+06 1,0E+08 1,0E+10

Flexão (seca em forno)Flexão (saturada) Flexão (seca ao ar)

37

2.2.4. Condições climáticas

Um estudo sobre a influência das características climáticas no

comportamento à fadiga foi desenvolvido por Domenichini e Di Mascio (1990),

para avaliar pavimentos de concreto já construídos na Itália. Esses autores

observaram uma grande influência dos parâmetros climáticos, destacando-se a

amplitude diária da temperatura, a intensidade da radiação solar, a velocidade

do vento, a média de precipitação anual e os ciclos de gelo e degelo.

De acordo com Balbo e Severi (2002) o gradiente de temperatura

determina a magnitude de tensões. Podendo ser relevante em um dia quente de

verão, onde maiores tensões são obtidas. Contudo, na análise de estruturas

submetidas à fadiga, a frequência de variação da temperatura é muito menor em

geral do que as frequências de carregamento que as estruturas são submetidas,

sendo a variação de temperatura, então, consideradas como carregamento

cíclico de longa duração.

2.2.5. Frequência de carregamento

A frequência de carregamento pode exercer influência no comportamento

à fadiga do concreto sob certas condições. Os estudos apresentados a seguir

apontam que para níveis de tensões elevados, acima de 75% da resistência

estática do concreto, ao se elevar a frequência de carregamento, se eleva a vida

à fadiga. Isso é, mantendo-se todas as variáveis constantes em um dado ensaio

de fadiga, apenas alterando-se a frequência, quanto maior for a frequência,

maior seria o número de ciclos até a ruptura. Seguindo-se esse raciocínio, um

ensaio a alta frequência consumiria mais energia para levar um corpo de prova à

ruptura quando comparado a um ensaio a baixa frequência.

Zhang et al. (1996) relatam sobre o trabalho pioneiro desenvolvido por Graf

e Brenner na Alemanha entre os anos de 1934 e 1936, com relação ao estudo

do efeito da frequência de carregamento no comportamento à fadiga do concreto

em compressão. Esses autores constataram que uma frequência entre 4,5 e

7,5 Hz apresenta pequeno efeito na vida à fadiga, mas a vida à fadiga diminuiu

quando a frequência foi reduzida para valores inferiores a 0,16 Hz.

Murdock (1965) apud Zhang et al. (1996) e Hanson (1974) constataram

que quando a tensão máxima é menor do que 75% da resistência estática do

38

concreto, as frequências entre 1 e 15 Hz apresentam pequena influência na

resistência à fadiga.

A experiência relatada por Sparks e Menzies (1973) mostrou que quando a

tensão máxima estava entre 75% e 100% da resistência à compressão estática

do concreto, o aumento na frequência de carregamento melhorou o desempenho

à fadiga, porém, essa não foi quantificada. Entretanto, quando a tensão máxima

foi menor, as frequências variando entre 0,1 e 100 Hz, não tiveram efeito sobre o

número de ciclos à fadiga.

De acordo com Jansen (1996) até 75% da tensão estática máxima, para

frequências variando desde 1 até 15 Hz, a influência na vida à fadiga é muito

pequena. Para tensões mais elevadas a vida à fadiga vai decrescer com a

diminuição da frequência. Esse autor mostra que frequências mais baixas

resultam em um menor número de ciclos até a ruptura. Uma redução de 100

vezes na frequência resulta numa redução do número de ciclos em 10 a 30

vezes.

De acordo com o Cornelissen (1983) apud Milenkovic e Pluis (2000) se a

frequência for reduzida por um fator 100, o número de ciclos até a ruptura

reduzirá por um fator √100. A influência da frequência de carregamento pode ser analisada por dois

pontos de vista de acordo com Petkovic (1991) apud Milenkovic e Pluis (2000):

1 – o valor da frequência afeta os resultados de fadiga da mesma maneira

que a taxa de carregamento afeta os resultados estáticos. Um aumento na

frequência, portanto, é especialmente significante para altos níveis de

tensão;

2 – ao carregar o concreto a uma baixa frequência atuando durante um

longo período de tempo pode levar à fluência do material. Esse fato

também é significante para níveis de tensão elevados.

Hohberg (2004) realizou uma série de ensaios de fadiga em compressão

em concreto, variando a frequência desde 1 até 20 Hz e a razão entre tensões

Smáx/fc de 0,60 a 0,84 em três diferentes resistências à compressão (25, 45 e

95 MPa); os resultados para as frequências mais baixas resultaram em número

de ciclos até a ruptura menor para uma mesma razão entre tensões, comparado

às frequências mais altas.

39

Raue e Tartasch (2005) compararam o número de ciclos até a ruptura com

frequências de 1 e 5 Hz em ensaios de compressão em concretos aerados

autoclavados, e o número de ciclos foi menor para a menor frequência.

Cervo (2004) apresenta resultados de ensaios de fadiga em flexão em

prismas de concreto sob diferentes frequências: 1, 5 e 10 Hz. O número de

ciclos até a ruptura reduziu para as frequências mais baixas. Comparando-se as

duas frequências mais baixas, os resultados a 1 Hz foram maiores do que a

5 Hz. Esses resultados são mostrados na Figura 2.3.

Figura 2.3 – Número de ciclos versus frequência (Cervo, 2004).

Cornelissen (1984) apresenta resultados de ensaios de fadiga em tração

ou tração-compressão em flexão variando a frequência como mostram as

Figuras 2.4 a 2.6.

Figura 2.4 – Variação da frequência em ensaio de tração na flexão (Cornelissen, 1984).

0

2

4

6

8

10

12

3 3,5 4 4,5 5 5,5

Fre

quên

cia

(Hz)

R² = 0,77

log N

log N = 3,144 + 0,182f

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1 2 3 4 5 6 7

= 0amostras secas

6 Hz

0,06 Hz

log N

Sm

áx

c/

f

S mín

40

Figura 2.5 – Variação da frequência em ensaios de tensão alternada em flexão (Cornelissen, 1984).

Figura 2.6 – Variação da frequência: ciclos versus taxa de fluência secundária (Cornelissen, 1984).

Pode-se observar nas Figuras 2.4 e 2.5 que para uma mesma tensão o

número de ciclos em geral é menor para a menor frequência. Na Figura 2.6

observa-se que para uma mesma taxa de fluência secundária ����� – ou taxa de

deformação específica secundária – a vida à fadiga é menor para as menores

frequências. Essas figuras apontam que a vida à fadiga é maior para as maiores

frequências. Essa situação pode ser melhor visualizada na Figura 2.7,

denominada curva de fluência cíclica (Sparks, 1982; Cornelissen, 1984;

CEB 188, 1988; Hordijk et al., 1995), onde a deformação específica máxima a

cada ciclo é desenhada no eixo das ordenadas versus o tempo no eixo das

abscissas.

0,6

0,7

0,8

1,0

0 2 3 4 5 6 7

Mc Call

8

0,9

0,5

0,4

0,25 Hz

0,166 Hz 8 Hz

30 Hz

= 0,8

= 0,5

30 Hz

WilliamsHatt en Crepps

RUG

Sm

áx

c/

f

log N

= -1/S máxSmín

ρ

ρ

( p

or s

egun

dos)

log

sec

0 1 2 3 4 5 6 7

-5

-6

-7

-8

-9

-10

-11

-12

seco

molhado

seco

molhado

tração-

tração

compressão

run-out

6 Hz

0,06 Hz

log N

41

��

Em geral a deformação específica total, ou mesmo a deformação total,

aumenta gradualmente com o aumento do número de ciclos, sendo que a

deformação específica total é função do nível de tensão, independente do

número de ciclos até a ruptura (CEB 188, 1988). O desenvolvimento da

deformação específica consiste em três períodos diferentes: um rápido

crescimento de zero a 10% do tempo total; um crescimento uniforme de 10 a

80% (segundo período); um rápido crescimento até a ruptura. Esse segundo

período pode ser expresso por uma reta, cuja inclinação seria a taxa de

deformação específica secundária, ou ainda taxa de fluência secundária, �����

(Figura 2.7).

Figura 2.7 – Curva de fluência cíclica (Cornelissen, 1984).

Na Figura 2.7 verifica-se o tempo para o colapso é maior para a frequência

mais baixa, assim como a inclinação do tramo central linear da curva – taxa de

fluência secundária – é menor, contudo, o número de ciclos é menor.

Sparks (1982) afirmou que existe uma forte correlação entre a taxa de

fluência secundária e o número de ciclos até a ruptura. Esse autor desenvolveu

duas expressões para relacionar N e �����, baseadas em ensaios de compressão

em concretos com diferentes tipos de agregados, e relatou que essas

expressões são independentes da frequência de carregamento, porém, são

dependentes do tipo de agregado:

• concreto com agregados convencionais

789" = −2,66 − 0,94789ε���� eq.(2.12)

Def

orm

ação

esp

ecífi

ca m

áxim

a

Tempo

baixa frequência

alta frequência

sec

tempo

ε

42

• concreto com agregado leve

789" = −3,79 − 1,06789ε���� eq.(2.13)

Cornelissen (1984) proveu uma expressão semelhante, para ensaios de

flexão, válida para a frequência de 6 Hz:

789" = −3,25 − 0,89789ε���� eq.(2.14)

Embora a influência da frequência de carregamento – ou do tempo – foi

observada primeiramente na década de sessenta por Rüsch (1960) e confirmada

por Awad e Kilsdorf (1971), Sparks e Menzies (1973) e Holmen (1979) na

década de setenta, essa não foi incluída na clássica equação de fadiga até a

década seguinte, quando Hsu (1981) e Furtak (1984) melhoraram a

Equação 2.1, incluindo o período e a frequência de carregamento,

respectivamente. Posteriormente Zhang et al. (1996) alteraram a equação

proposta por Furtak redefinindo a razão entre tensões R para o caso de tensões

alternadas.

Hsu (1981) propôs uma classificação do regime de fadiga em estruturas de

concreto em função do espectro de carregamento cíclico durante a vida em

serviço dessas estruturas (Tabela 2.1). Boa parte das estruturas sujeitas à fadiga

de alto ciclo, tais como pavimentos em auto-estradas e em aeroportos e pontes,

devem ter uma vida à fadiga correspondente a pelo menos dez milhões de ciclos

de carregamento, assumindo-se uma vida útil em torno de 50 a 60 anos.

Algumas estruturas necessitam ser projetadas para resistir a um maior número

de ciclos entre 50 e 500 milhões. Essas formam, na classificação de Hsu (1981),

a categoria das estruturas sujeitas a altíssimos ciclos de fadiga.

Tabela 2.1 – Classificação da fadiga em função do número de ciclos (Hsu, 1981).

0 10² 10³ 10³ 104 105 106 107 108 109

Estruturas Pavimentos de Pontes e Estruturas para Estruturas

sujeitas a aeroportos e pavimentos em escoamento de marinhas

sismos pontes autoestradas tráfego nas grandescidade

Baixo ciclo Alto ciclo Altíssimo ciclo

Hsu (1981) realizou ensaios de fatiga introduzindo a frequência de

carregamento como nova variável. Foram determinados dois modelos de fadiga,

43

um para alto ciclo de fadiga (N > 103) e outro para baixo ciclo de fadiga

(N < 103):

• elevado número de ciclos à fadiga (N > 103)

TNRf

S

c

máx log0294,0log)556,01(0662,01 −−−= eq.(2.15)

• baixo número de ciclos à fadiga (N < 103)

TRNRRf

S

c

máx log)455,01(053,0log)779,01(133,020,020,1 −−−−−=

eq.(2.16)

onde fc é a resistência à compressão estática, R é a razão entre a tensão mínima

e a tensão máxima aplicadas, T é o período de repetição da carga e as demais

variáveis são as mesmas definidas em equações anteriores.

Esse autor desenvolveu essas equações com base em ensaios de

compressão, porém, verificou as equações para ensaios à flexão encontrados na

literatura e afirma que se for substituída a resistência à compressão estática fc

pela resistência à tração na flexão ft,f, os modelos se ajustam bem a dados

experimentais de fadiga em flexão.

A Figura 2.8 apresenta uma curva SxN obtida a partir da Equação 2.15

para alto ciclo de fadiga, onde se pode observar que para uma mesma tensão,

quanto maior a frequência maior seria o número de ciclos até o colapso.

Furtak (1984) também propôs um modelo à fadiga considerando o efeito

da frequência, por meio de um coeficiente de frequência baseado em dados

experimentais de fadiga em compressão:

��á��� = :";<*1 + =´+ log",:� eq.(2.17)

:� = 1 +?*1 − @+, log � eq.(2.18)

onde A, B’, C, m e n são constantes determinadas experimentalmente, Cf é o

coeficiente do efeito da frequência e f é a frequência de carregamento.

44

Figura 2.8 – Curva SxN: alto ciclo à fadiga; modelo desenvolvido por Hsu (1981).

Zhang et al. (1996) desenvolveram um modelo considerando a influência

da frequência de carregamento e o efeito da tensão alternada na resistência à

fadiga, por meio de ensaios de tração-compressão e tração na flexão. As

tensões mínimas variaram, com R = 0,5; 0,2; 0; -0,2; -0,5; -0,8; -1 e foram

combinados em treze níveis de tensões máximas, Smáx/fest = 0,5 a 0,975.

A frequência foi de 1 Hz para N < 103, 5 Hz para 103 ≤ N ≤ 105 e 20 Hz para

N > 105. A expressão obtida pelos autores foi a seguinte:

��á����� = A8B; CDE� + FGH1 − *1 − +,�´ log"I eq.(2.19)

máx

mín

S

SRR == ´ para R ≥ 0 eq.(2.20)

Rf

fR

ck

fct ,´= para R < 0 eq.(2.21)

onde o, p, q, e β ´ são constantes determinadas experimentalmente, fest é a

resistência estática, f é a frequência de carregamento, R é a razão entre as

tensões mínima e máxima, R´ é razão entre tensões para o caso de tensão

alternada, ft,f e fck são as resistências à tração na flexão e à compressão axial,

respectivamente.

Frequência 100Hz

Rel

ação

ent

re te

nsõe

s

Número de ciclos à fadiga

Frequência 10HzFrequência 50Hz

Frequência 20Hz

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

1,0E+04 1,0E+05 1,0E+06 1,0E+07 1,0E+08

0,80

45

Os resultados apresentados por Zhang et al. (1996) que serviram de base

para a elaboração da Equação 2.19, mostram que quanto maior a frequência de

carregamento, maior a vida à fadiga – maior número de ciclos.

Os modelos apresentados por Hsu (1981), Furtak (1984) e Zhang et al.

(1996) apontam para a mesma tendência ao compararem a frequência de

carregamento com o número de ciclos até a ruptura; quanto mais baixa a

frequência menor o número de ciclos. A Figura 2.9 apresenta uma simulação

desses modelos mantendo-se constantes dados provenientes de um ensaio de

fadiga (tensões máximas, mínimas e de compressão), variando-se apenas a

frequência de carregamento. Esses modelos estão de acordo com os demais

estudos expostos anteriormente neste item, onde frequências baixas levam a

uma menor vida à fadiga e frequências altas levam um maior número de ciclos

até a ruptura.

Figura 2.9 – Número de ciclos versus frequência por vários autores.

Em contrapartida um modelo simplificado apresentado por Siemes (1998)

que relaciona a frequência f, o número de ciclos até a ruptura "� a uma

frequência f e o número de ciclos até a ruptura a frequência de 1 Hz "J, mostra

resultados contrários ao expostos anteriormente, sendo:

fNN i

fi

1log65,0loglog 1 −= eq.(2.22)

0,01 0,1 1 10100

1000

10000

100000

1000000

Núm

ero

de c

iclo

s

Frequência (Hz)

Hsu baixo ciclo Hsu alto ciclo Furtak Zhang

46

Seguindo-se esse modelo simplificado, arbitrando-se diferentes valores

para o número de ciclos até a ruptura para 1 Hz e variando-se a frequência,

desenhando-se o número de ciclos até a ruptura versus a frequência, a

tendência apresentada contraria os modelos propostos anteriormente, onde o

número de ciclos aumenta com a redução da frequência, como apresenta a

Figura 2.10.

Figura 2.10 – Ciclos versus frequência; modelo simplificado de Siemes (1988).

A explicação provável para esta contradição está na simplicidade do

modelo proposto por Siemes (1988), que visa relacionar diretamente a

frequência com o número de ciclos sem o auxílio de dados como as tensões e

resistências utilizados nos modelos tradicionais.

2.3. Comentários finais

Neste capítulo foram apresentados estudos debatendo-se a influência de

diversos fatores no comportamento à fadiga do concreto, com destaque para a

frequência de carregamento – um dos focos deste trabalho. O desempenho à

fadiga do concreto com fibras será abordado no final do capítulo seguinte.

1 101

10

100

1000

10000

100000

1000000

Núm

ero

de c

iclo

s

Frequência (Hz)

100 500 1000 10000 25000 100000 1000000

N1Hz:

3. Concreto com fibras

3.1. Considerações gerais

O concreto tem uma série de características que lhe garantem o posto de

material de construção mais utilizado no mundo, dentre essas: boa relação entre

custo e alta durabilidade, boa resistência à compressão e ao fogo, possibilita

pré-fabricação, versatilidade arquitetônica e bom controle acústico, entre outros.

Apesar disso, o concreto tem uma série de limitações, como o comportamento

marcadamente frágil e baixa capacidade de deformação do material antes da

ruptura. Como consequência de sua fragilidade a sua resistência à tração é

muito reduzida quando comparada à sua resistência à compressão. A

combinação com armadura de aço provê aos elementos estruturais de concreto

resistência à tração e ductilidade necessárias. Essa combinação pode também

levar ao aumento da resistência e da ductilidade à compressão.

O aumento da resistência e da ductilidade do concreto submetido à tração

direta, à tração na flexão e também à compressão pode ser obtido com a adição

de fibras, que pode trazer outros benefícios ao concreto, como diminuição da

retração, melhoria no comportamento pós-fissuração, à erosão e à fadiga, maior

resistência ao impacto, dentre outros.

Os concretos com fibras podem ser definidos como compósitos: materiais

constituídos de, pelo menos, duas fases distintas principais. O próprio concreto

endurecido, sem fibras, já é um compósito cujas fases principais são a pasta, os

poros e os agregados. No entanto consideram-se como fases principais do

concreto com fibras o próprio concreto, denominado matriz e as fibras, que

podem ser produzidas a partir de diferentes materiais como aço, vidro,

polipropileno, náilon, carbono, entre outros.

De acordo com Mehta e Monteiro (2008) pode-se associar a reduzida

capacidade de resistência à tração do concreto à sua grande dificuldade de

interromper a propagação de fissuras, quando é submetido a este tipo de

solicitação. Isso ocorre pelo fato de a direção de propagação das fissuras ser

transversal à direção principal de tensão. Assim que se inicia cada nova fissura a

48

área disponível para resistir o carregamento atuante é reduzida, causando um

aumento das tensões presentes nas extremidades das fissuras. Esse

comprometimento da resistência é muito maior quando a solicitação é de tração,

do que quando o material é comprimido. Logo, a ruptura na tração é causada por

algumas fissuras que se unem e não por numerosas fissuras como ocorre

quando o concreto é comprimido.

Por apresentar uma superfície total de ruptura menor, o gasto energético

associado à ruptura por tração no concreto também é reduzido. Logo, o trabalho

de ponte de transferência de tensão que as fibras podem realizar através das

fissuras no concreto é um mecanismo muito interessante de aumento da energia

associada à ruptura do material e à restrição à propagação de fissuras.

No caso do concreto sem fibras uma fissura representa uma barreira à

propagação de tensões, representadas simplificadamente pelas linhas de tensão

nas extremidades da fissura (Figura 3.1). No caso dessa tensão superar a

resistência da matriz, ocorrerá a ruptura abrupta do material. Caso a solicitação

seja cíclica pode-se interpretar a ruptura por fadiga da mesma forma, para cada

ciclo há uma pequena propagação das microfissuras, e um aumento progressivo

na concentração de tensões em sua extremidade até que ocorra a ruptura

completa do material. A partir do momento em que a fissura atinge um

comprimento crítico no concreto, ocorre a ruptura abrupta do material,

caracterizando um comportamento tipicamente frágil, onde não se pode contar

com nenhuma capacidade resistente do concreto fissurado.

Figura 3.1 – Mecanismo de transferência de tensões entre a matriz e as fibras.

Quando se adicionam ao concreto fibras de resistência e módulo de

elasticidade adequados, em um teor apropriado, esse material deixa de ter o

FissuraConcreto sem fibras

Concentração de tensõesna extremidade da fissura

Fissura

Fibras atuando como pontede transferência de tensões

Concreto com fibras

49

caráter marcadamente frágil. Isso ocorre pelo fato da fibra servir como ponte de

transferência de tensões (Figura 3.1). Com isso tem-se uma grande redução da

velocidade de propagação das fissuras no material que passa a ter um

comportamento pseudodúctil ou não frágil, apresentando certa capacidade

resistente após a fissuração. Com a utilização de fibras será assegurada uma

menor fissuração do concreto. Esse fato pode vir a recomendar sua utilização

mesmo para concretos convencionalmente armados, como uma armadura

complementar para reduzir a fissuração do material.

As fibras no concreto podem atuar nas microfissuras durante o

endurecimento da pasta de cimento, controlando o surgimento das

macrofissuras, e também atuar na pasta endurecida, funcionando como

obstáculo ao desenvolvimento da abertura e do comprimento das fissuras.

Muitos fatores interferem nas propriedades do concreto com fibras. Os

mais importantes são as características da matriz do concreto, as propriedades

físicas e geométricas, os teores das fibras utilizadas, e a interação entre as fibras

e a matriz. Os procedimentos de lançamento e adensamento também são

aspectos relevantes, pois afetam a distribuição e a direção das fibras na matriz.

Grandes avanços nas pesquisas e aplicações dos concretos com fibras

ocorreram nas últimas décadas. A utilização desse material é cada vez maior em

todo o mundo e hoje existem vários tipos de fibras disponíveis no mercado: de

aço (retas, onduladas, torcidas, deformadas nas extremidades com ganchos),

poliméricas (de polipropileno, poliéster, náilon, aramida, etc.), de vidro, etc.

3.2. Aplicações

Segundo Accetti e Pinheiro (2000) o uso de fibras em concreto surgiu

em 1911, quando Grahan sugeriu o uso de fibras de aço em conjunto com a

armadura convencional, com o objetivo de aumentar a resistência do concreto

armado. Porém, somente na década de 60 começou o desenvolvimento de

caráter técnico e científico e surgiram muitas aplicações práticas do concreto

com fibras, e uma certa variedade de fibras apareceram no mercado.

Mehta e Monteiro (2008) relatam que o primeiro concreto com fibras

utilizado com fim estrutural foi feito em 1971, para a produção de painéis

desmontáveis de 3250 mm2 e 65 mm de espessura. Esse concreto continha 3%

em massa de fibras de aço estiradas a frio, com 0,25 mm de diâmetro e 25 mm

50

de comprimento. Os painéis foram utilizados na garagem do estacionamento do

aeroporto de Heathrow, em Londres.

Desde então, concretos com fibras de aço têm tido aplicações diversas:

pisos industriais, pavimentos, revestimento de túneis, blocos de ancoragens de

cabos de protensão e outras regiões de concentração de tensões, tubos de água

pluvial, esgoto e bueiros, cascas, telhas, elementos de contenção, estacas-

prancha, elementos de estruturas submetidas a sismos, elementos submetidos a

impacto, dormentes, elementos estruturais pré-fabricados em geral, reforço de

elementos estruturais, dentre outras.

De acordo com Serna (2007), as fibras podem ser usadas com mais

vantagem em elementos onde a distribuição de tensões é muito variável

(pavimentos e revestimento de túneis, por exemplo), e/ou nas três dimensões;

elementos muito armados em que as distâncias entre armaduras dificultam a

concretagem; elementos de pouca espessura onde o posicionamento errado da

armadura convencional pode modificar substancialmente a altura útil; em

elementos pouco armados.

3.3. Fibras de aço

As fibras de aço são as mais utilizadas em elementos estruturais de

concreto, pois devido ao seu alto módulo de elasticidade melhoram

características como tenacidade, controle de fissuras, resistência à flexão,

resistência ao impacto e à fadiga (ACI 544.1R-96, 2006).

Existem vários processos de fabricação das fibras de aço, sendo o mais

comum o corte de arame trefilado, de aço de baixo teor de carbono. Em sua

maioria as fibras de aço são produzidas com aço-carbono ordinário, porém, as

feitas de ligas metálicas são mais resistentes à corrosão, além disso, são as

mais adequadas para aplicações em concretos refratários e em estruturas

marítimas.

Quanto à geometria as fibras de aço são as que têm maior diversidade. As

fibras de seção transversal circular têm diâmetros variando entre 0,25 mm a

1,0 mm e comprimentos da ordem de 6,4 mm a 76 mm. Já a fibra de aço

achatada tem dimensões variando entre 0,15 mm e 0,64 mm (espessura) e entre

0,25 mm e 2,0 mm (largura). O fator de forma – ou esbeltez –, que consiste na

razão entre comprimento e diâmetro equivalente, geralmente tem valores na

faixa de 20 a 100 (ACI 544.1R-96, 2006). Ao se aumentar o comprimento da

51

fibra ou reduzir a seção transversal, a esbeltez será maior. Em geral, quanto

maior for esbeltez da fibra, maior será a capacidade resistente após a fissuração

do concreto.

As fibras de aço onduladas estão disponíveis tanto onduladas em todo o

comprimento quanto somente nas extremidades. As fibras de aço podem ainda

ser coladas umas nas outras com colas solúveis em água, formando feixes de 10

a 30 fibras, para facilitar seu manuseio e mistura no concreto (Bentur e Mindess,

2007).

Quanto às tensões máximas, de modo geral, as fibras de aço resistem a

tensões entre 400 MPa a 1200 MPa (Kooiman, 2000), enquanto que as

deformações específicas últimas variam de 3% a 4% (Oliveira, 2005).

A norma brasileira NBR 15530 (2007) classifica as fibras de aço de acordo

com o processo de produção e forma. Essa norma considera três classes de

fibras de aço, em função de serem feitas de arame trefilado a frio, de chapa

laminada cortada a frio ou de arame trefilado e escarificado: classes I, II e III,

respectivamente. Em relação à conformação geométrica, essa norma considera

três tipos de fibras de aço: A (com ancoragens nas extremidades), C (corrugada)

e R (reta).

3.4. Fibras de polipropileno

O desenvolvimento de polímeros nos últimos cem anos foi impulsionado

pelo crescimento da indústria do petróleo. Desde 1930 o petróleo tem sido a

principal fonte de matéria prima para a fabricação de produtos químicos

orgânicos, a partir dos quais são fabricados plásticos, fibras, borrachas e

adesivos.

Para Taylor (1994) os materiais baseados em cimento, como o concreto,

são uma opção natural para a aplicação de materiais fibrosos à base de fibras

poliméricas, uma vez que são baratos, mas apresentam problemas relativos à

ductilidade, resistência ao impacto e capacidade de absorção de energia de

deformação. Segundo Johnston (1994), as fibras em uma matriz cimentada

podem, em geral, ter dois efeitos importantes. Primeiro, elas tendem a reforçar o

compósito para resistir a todos os modos de carregamento que induzem tensões

de tração: retração restringida; tração direta; na flexão e cisalhamento;

secundariamente estas melhoram a ductilidade e a tenacidade de uma matriz

frágil.

52

Atualmente é possível relatar obras diversas que tiveram de alguma forma

a incorporação de fibras de polipropileno: barragens, túneis, pontes, canais de

irrigação, estações de tratamento de águas e esgoto e, principalmente, em

pavimentos e pisos de concreto.

Vários são os motivos que explicam esta realidade. No plano técnico,

pode-se citar a compatibilidade mecânica, física e química existente entre o

concreto e as fibras de polipropileno. O polipropileno é quimicamente inerte, não

absorve água, é imputrescível e não enferruja.

No plano econômico, o aumento do uso da fibra se justifica pelo baixo

custo e fácil disponibilidade. A resina de polipropileno é mais barata que outros

polímeros, além disso, o processo de fabricação das fibras de polipropileno

também é mais barato. Soma-se a isto o fato de que o seu manuseio, tanto na

fábrica como na obra, não oferece qualquer dano a saúde dos operários.

As fibras poliméricas, quanto a sua geometria são divididas em microfibras

e macrofibras. O uso de microfibras de polipropileno (diâmetro equivalente

micrométrico e esbeltez próxima da unidade) já é comum no Brasil para ajudar a

reduzir a fissuração por retração e controle de exsudação, entretanto, essas

microfibras não têm função estrutural. Enquanto que as macrofibras de

polipropileno (diâmetro equivalente milimétrico e esbeltez variando entre 20 e

100) são definidas como fibras estruturais e competem com as fibras aço. No

Brasil o uso de fibras de polipropileno com função estrutural ainda é incipiente e

a comercialização dessas fibras no Brasil ainda é pequena. Nos Estados Unidos

e Europa o uso dessas fibras já é bastante difundido.

Figueiredo, Tanesi e Nince (2002) explicam que a redução da fissuração e

exsudação com a adição das fibras poliméricas se deve ao fato de que as fibras

dificultam a movimentação da água no interior do concreto, aumentando a sua

coesão. Esse aumento pode ser desejável para alguns usos específicos como o

concreto projetado ou pré-moldado, minimizando os riscos de desplacamentos e

garantindo a estabilidade dimensional do concreto recém desformado.

As fibras de aço são as mais usadas e mais eficientes para concreto, e as

fibras poliméricas podem ser mais apropriadas para situações específicas. Por

exemplo, concretos arquitetônicos ou decorativos requerem fibras com um

mínimo impacto visual, neste caso fibras de polipropileno, de poliéster ou de

náilon podem ser mais apropriadas.

A comparação do custo das fibras versus o desempenho esperado pode

ser relevante na escolha das fibras. Entre as fibras estruturais poliméricas e as

fibras de aço, o desempenho das fibras de aço é geralmente superior.

53

Entretanto, os custos das fibras poliméricas podem ser vantajosos quando não

se requer um alto desempenho das fibras.

3.5. Propriedades do concreto com fibras

O concreto com fibras contém cimento hidráulico, água, agregados

miúdos, agregados graúdos e fibras discretas descontínuas, podendo também

ter aditivos químicos e adições minerais para melhorar a sua resistência e/ou

trabalhabilidade.

Não existe restrição quanto ao tipo de cimento para o concreto com fibras,

porém, o tipo de cimento deve estar de acordo com a utilização e a resistência

requerida. Os agregados são os mesmos utilizados no concreto comum, mas a

dimensão máxima é de grande importância para o concreto com fibras, pois as

partículas deste concreto não devem ser maiores que 20 mm e de preferência

não maiores que 10 mm, para não prejudicar a distribuição uniforme das fibras

(Oliveira, 2005). Existe o risco de reações deletérias entre alguns tipos de fibras

e os álcalis do cimento.

De acordo com Figueiredo (2000), quanto maior a dimensão do agregado,

maiores são os problemas de interferência fibra-agregado, o que compromete o

efeito favorável do uso da fibra. Deve haver compatibilidade dimensional entre os

agregados e as fibras, de modo que as fibras interceptem com maior frequência

possível as fissuras que ocorrem no concreto. A compatibilidade dimensional,

representada na Figura 3.2, possibilita a atuação da fibra como reforço do

concreto e não como mero reforço da argamassa do concreto. Essa

compatibilidade é importante, pois as fissuras se propagam preferencialmente na

região de interface entre o agregado graúdo e a pasta para concretos de baixa e

moderada resistência mecânica.

O comprimento das fibras deve ser pelo menos duas vezes a dimensão

máxima do agregado, sendo usual 2,5 a 3 vezes para que elas possam atuar

como ponte de transferência de tensões nas fissuras (Aguado e

Laranjeira, 2007).

54

Figura 3.2 – Concreto com fibras onde há (a) e onde não há (b) compatibilidade dimensional entre as fibras e o agregado graúdo (Figueiredo, 2000).

A utilização de aditivos redutores de água é comum no concreto com

fibras. A utilização de adições minerais, como a microsílica, também tem se

tornado comum nesses concretos. A presença de microsílica torna a matriz mais

densa, melhorando a interface fibra-matriz e as propriedades mecânicas do

concreto.

Do ponto de vista material e estrutural há um delicado equilíbrio para se

otimizar a aderência entre a fibra e a matriz. Se as fibras tiverem pouca

aderência com a matriz podem escorregar sob carregamentos baixos e não

contribuem muito para diminuir a fissuração. Nessa situação as fibras não

aumentam a tenacidade do sistema. Por outro lado, se a aderência à matriz for

muito alta, muitas das fibras podem se romper antes de dissipar energia

escorregando. Nesse caso as fibras se comportam como inclusões inativas,

produzindo apenas uma melhoria periférica das propriedades mecânicas.

A interação fibra-matriz depende de vários fatores, tais como: atrito fibra-

matriz, ancoragem mecânica da fibra na matriz e adesão físico-química entre os

materiais. Esses fatores são influenciados pelas características das fibras

(volume, módulo de elasticidade, resistência, geometria e orientação) e

características da própria matriz (composição, condição de fissuração e

propriedades físicas e mecânicas).

Antes de a matriz fissurar o mecanismo dominante é a transferência de

tensões elásticas e o deslocamento longitudinal da fibra e da matriz na interface

são geometricamente compatíveis. Em estágios mais avançados de

carregamento (solicitações de tração ou flexão), inúmeras microfissuras surgem

e rapidamente as tensões se concentram nas extremidades dessas fissuras,

(a)

(b)

55

ocorrendo um rápido desenvolvimento e aumento da abertura, resultando numa

ruptura frágil do material.

Quando a matriz de concreto tem fibras curtas, as fissuras são

atravessadas pelas fibras, que acabam agindo como pontes de transferência de

tensões, dificultando o desenvolvimento das microfissuras.

A ruptura por tração do concreto com fibras ocorre por alongamento

elástico ou plástico das fibras, por degradação da matriz de concreto na zona de

transição fibra-matriz, por arrancamento da fibra, ou por ruptura da fibra.

A resistência do concreto com fibras a um determinado tipo de solicitação

depende da direção das fibras, que nem sempre é aleatória. No concreto vibrado

as fibras tendem a ter orientação preferencial perpendicular à direção de

concretagem (Gettu et al., 2005; Schumacher, 2006; Akcay e Tasdemir, 2012). A

compactação tende a levar a uma orientação preferencial, principalmente

quando se usa vibração superficial (direção paralela à forma), mas esse efeito

tende a ser local. No caso de adoção de vibradores internos pode-se ter excesso

de pasta e poucas fibras na região da vibração (Aguado e Laranjeira, 2007).

Em resumo, os principais fatores que influenciam as propriedades

mecânicas do concreto com fibras são:

• características geométricas das fibras;

• resistência mecânica do material empregado na fabricação das fibras;

• volume de fibras adicionadas ao concreto;

• orientação e distribuição das fibras dentro da matriz de concreto;

• resistência da matriz de concreto;

• tensão de aderência entre as fibras e a matriz;

• razão entre dimensão máxima do agregado e o comprimento da fibra.

Algumas das propriedades do concreto que são modificadas pela adição

de fibras são abordadas a seguir.

3.5.1. Trabalhabilidade

A perda de trabalhabilidade do concreto com fibras é influenciada

principalmente pela concentração volumétrica de fibras. Contudo, a esbeltez das

fibras, o tipo de misturador usado na fabricação da mistura, o tipo e a quantidade

56

de superplastificante empregados na mistura também influem na trabalhabilidade

do concreto.

A adição de fibras altera as condições de consistência do concreto e a sua

trabalhabilidade. Isto ocorre principalmente porque ao adicionar fibras ao

concreto se está adicionando também uma grande área superficial que demanda

água de molhagem. Quanto maior for a esbeltez das fibras maior será o impacto

na trabalhabilidade do concreto (Figueiredo, 2000).

Mehta e Monteiro (2008) comentam que apesar da substancial perda de

consistência do concreto com fibras, o lançamento e a compactação são muito

melhores do que um concreto convencional sem fibras de baixa consistência.

De acordo com o ACI 554.3R-93 (2006) os três principais métodos para

avaliar a trabalhabilidade do concreto com fibras no estado fresco são os

seguintes:

• abatimento do tronco de cone;

• tronco de cone invertido;

• ensaio de Vebe, onde a medida de consistência do concreto é definida

como sendo o tempo necessário para remoldar o concreto contido no

equipamento da forma troncônica para forma cilíndrica, conforme mostra

Figura 3.3. Quanto maior o índice Vebe menor é a trabalhabilidade.

Figura 3.3 – Ensaio de Vebe (ACI 211.3-75, 2002).

Apoio do discode acrílico sobreo tronco de cone

desmoldado e vibração posterior

Término do ensaioquando o disco de

acrílico ficaintegralmente em contato

com o concreto

(b) tronco de cone desmoldado(a) moldagem do tronco de cone

(c) término do ensaio

57

3.5.2. Resistência à compressão

O objetivo da adição de fibras ao concreto não é alterar a sua resistência à

compressão. No entanto, como as fibras atuam como ponte de transferência de

tensões pelas fissuras, sejam elas produzidas por solicitações de tração ou

cisalhamento como ocorre no ensaio de compressão, o concreto também

apresentará um acréscimo na tenacidade à compressão.

Estudos sobre concretos com fibras mostram que para os volumes de

fibras usualmente utilizados (menores do que 2%), o comportamento à

compressão (resistência, módulo de elasticidade, deformação específica relativa

à tensão máxima) não é tão alterado quanto o comportamento à tração e à

flexão. Maiores volumes de fibras podem resultar tanto em acréscimo quanto em

decréscimo na resistência e no módulo de elasticidade. Os decréscimos são

observados quando os aspectos negativos, como o aumento do teor de ar,

acarretados pela adição de fibras na matriz são preponderantes. Porém, quando

ocorre a otimização da matriz com relação ao empacotamento da mistura

granular seca e a utilização de misturador e vibração apropriados, o aumento da

resistência e de módulo pode ser observado mesmo para maiores volumes de

fibras.

Segundo Balaguru e Shah (1992) e Bentur e Mindess (2007), o aumento

da resistência à compressão devido às fibras não passa de cerca de 25%, para

volumes de fibra de até 2,0%. O ACI 544.1R-96 (2006) cita um acréscimo de no

máximo 15% na resistência à compressão para volumes de fibras de até 1,5%.

Araújo (2002) realizou ensaios de compressão em corpos de prova

cilíndricos de 100 mm x 200 mm moldados com concretos de três dosagens

diferentes, com fibras de aço com ganchos nas extremidades, comprimento de

30 mm, diâmetro de 0,62 mm e esbeltez 48, nos teores de 0%, 0,75% e 1,50%

em volume. Os resultados mostram que a adição de fibras nem sempre levou ao

aumento da resistência à compressão, e que quando houve aumento ele não

passou de 16%.

Concretos de alta resistência precisam de um maior volume de fibras para

alterar o ramo ascendente da curva tensão de compressão versus deformação

específica (resistência, módulo de elasticidade, deformação relativa à tensão

máxima) em relação ao concreto de resistência normal. Entretanto, tanto para o

concreto de baixa resistência como para o de alta resistência, a resposta pós-

pico é bastante diferente da do concreto sem fibras, apresentando maior

58

ductilidade, como pode ser observado nas curvas tensão versus deformação

específica das Figuras 3.4 e 3.5, para concreto convencional e de alta

resistência, respectivamente.

Figura 3.4 – Comportamento sob compressão do concreto de resistência normal com fibras de aço (Balaguru e Shah, 1992).

Figura 3.5 – Comportamento sob compressão do concreto de alta resistência com fibras de aço (Balaguru e Shah, 1992).

Os ensaios realizados por Mansur, Chin e Wee (1999) indicaram que a

influência do teor de fibras no módulo de elasticidade tangente inicial, na

resistência à compressão e na deformação específica correspondente a essa

Deformação específica (%)

Re s

istê

ncia

à C

o mpr

essã

o (M

Pa)

0

7

14

21

28

35

42

49

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Sem fibras

Teor de fibras: 30kg/m³

60 kg/m³

90 kg/m³

120 kg/m³

Res

ist ê

ncia

à C

omp r

essã

o (M

Pa)

0

14

28

42

56

70

84

98

0

Concretosem fibras

Teor de fibras: 60 kg/m³

90 kg/m³

120 kg/m³

Deformação específica (%)0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

59

tensão depende da quantidade de fibras na direção próxima da perpendicular à

do carregamento, que por sua vez depende da direção de concretagem. Com o

aumento dessa quantidade observou-se tendência de diminuição do módulo de

elasticidade e de aumento das outras duas grandezas.

O gasto energético pós-fissuração por compressão da matriz também

apresentará diferenças significativas em função de um direcionamento

preferencial das fibras. Se o concreto for comprimido no sentido perpendicular à

direção das fibras apresentará um maior gasto energético pós-fissuração do que

o concreto comprimido no sentido paralelo à direção preferencial das fibras

(Figueiredo, 2000).

3.5.3. Resistência à tração

A resistência à tração no concreto pode ser obtida, geralmente, por meio

de três ensaios distintos: ensaio de tração direta; ensaio de tração indireta que

consiste no ensaio de tração por compressão diametral, denominado como

ensaio brasileiro; o ensaio de tração na flexão.

O ensaio mais real para medir a resistência à tração do concreto seria o

ensaio de tração direta, porém, esse ensaio requer o uso de colas de alta

qualidade, é de execução mais difícil que os demais ensaios, por esse motivo

geralmente só é realizado em trabalhos de pesquisa. Já os ensaios de tração por

compressão diametral e de tração na flexão são mais simples de executar e são

mais comuns.

Mesmo não existindo consenso sobre o melhor ensaio para se obter a

resistência à tração do concreto, essa é tomada como referência em várias

normas de cálculo de estruturas de concreto (NBR 6118:2007, por exemplo)

para cálculo do momento de fissuração, da armadura mínima, da resistência à

força cortante de elementos sem armadura transversal e da tensão de

aderência, sendo essa avaliada a partir de expressões que a relacionam com a

resistência à compressão.

Resistência à tração direta

Não existe um método padronizado para o ensaio de tração direta,

havendo diferentes tipos de corpos de prova e condições de apoio em uso

(Naaman, Fischer e Krstulovic-Opara, 2007).

60

Segundo Bentur e Mindess (2007), com o emprego dos teores de fibras

usados na prática (menores que 2% em volume), o aumento de resistência à

tração direta não ultrapassa 20% e os maiores aumentos são verificados quando

se usam fibras com maior esbeltez.

De acordo com ACI 544.1R-96 (2006), a adição de 1,5% de fibras em

volume em matrizes à base de cimento leva a um aumento de 30 a 40% na

resistência à tração direta.

As matrizes com maior aderência às fibras (concretos de alta resistência

com adições de cinza volante, por exemplo) proporcionam maiores aumentos na

resistência à tração (Balaguru e Shah, 1992).

As fibras alinhadas com a direção das tensões de tração produzem

maiores incrementos na resistência à tração direta do que as fibras que estão

aleatoriamente distribuídas na matriz de concreto.

Resistência à tração indireta

A resistência à tração indireta por compressão diametral do concreto tem

significativo aumento quando a esse se adicionam fibras. Segundo ACI 544.2R-

89 (2006), os resultados de ensaio de tração por compressão diametral de

concretos com fibras são difíceis de interpretar após o aparecimento da primeira

fissura, pois a distribuição de tensões depois da fissuração não é conhecida. A

identificação precisa da primeira fissura nesse ensaio é difícil sem o uso de

extensômetros elétricos de resistência.

O aumento da resistência à tração por compressão diametral devido às

fibras depende da compatibilidade entre o comprimento das fibras e a dimensão

máxima dos agregados (Figueiredo, 2000) e também da aderência fibra-matriz,

que pode ter um aumento considerável por meio da adição de cinza volante

(Balaguru e Shah, 1992).

Araújo (2002) relata aumentos entre 87 e 130% da resistência à tração

direta adicionando 1,5% de fibras com 30 mm de comprimento e esbeltez 45.

Nunes (2006) obteve aumento de 67 a 104% adicionando 2,0% de fibras com

35 mm comprimento e esbeltez 65, e ainda verificou que a resistência à tração

diminuiu com o aumento da dimensão máxima do agregado de 12,5 para 19 mm.

Ao adicionar 1,25% de fibras com 60 mm de comprimento com esbeltez 60,

Oliveira (2007) obteve 83% de aumento na resistência à tração.

61

Resistência à tração na flexão

Antes da fissuração, durante fase de comportamento linear-elástico, as

fibras não influenciam o comportamento do concreto. Essas, entretanto,

melhoram o comportamento pós-fissuração. A curva carga versus deslocamento

vertical de vigas de concreto com fibras mostra uma maior capacidade de

deslocamento vertical antes da ruptura e ramo descendente com perda de

capacidade resistente menos brusca que a de vigas de concreto sem fibras.

Não existe ainda um ensaio padronizado para a obtenção da resistência à

tração na flexão, e os parâmetros a ser obtidos a partir destes ensaios para

caracterizar o comportamento a flexão do concreto com fibras. Dentre as normas

internacionais mais difundidas estão a RILEM TC 162 - TDF (2002), a ASTM C

1609/C (2005) e a UNE-EN 14651 (2007). As diferenças entre essas normas

estão na forma de carregar os corpos de prova, com uma ou duas forças

centradas – ensaio de flexão em três ou quatro pontos –, na execução de um

entalhe central e como obter as tensões a partir do diagrama carga versus flecha

ou carga versus abertura do entalhe.

Dependendo do tipo e teor das fibras, o comportamento do concreto com

fibras pode ser dos tipos mostrados pelas curvas 1 a 4 da Figura 3.6, sendo que

as curvas 1 a 3 são de concretos com abrandamento de deslocamento, e o da

curva 1 é de concreto com pouca diferença de comportamento com relação ao

sem fibras.

Figura 3.6 – Curvas carga versus deslocamento para concreto com fibras (Balaguru e Shah, 1992).

Deslocamento

Car

ga

1

2

3

4

62

Segundo o ACI 544.1R-96 (2006) e o ACI 544.4R-88 (2006), em

comparação com concretos sem fibras, os com teores de fibras de até cerca de

1,5% em volume podem ter um aumento da resistência à tração na flexão de até

100%. As resistências à tração obtidas de ensaios de flexão em três pontos são

maiores que as obtidas nos ensaios de flexão em quatro pontos. As fibras mais

longas, os corpos de prova com menores dimensões e o alinhamento das fibras

na direção longitudinal tendem a levar a maiores resistências. O aumento da

proporção e da dimensão máxima do agregado graúdo diminuem a resistência à

tração na flexão.

Segundo a RILEM TC 162-TDF (2002), uma variabilidade nos resultados

do ensaio à flexão da ordem de 10 a 30% pode ser esperada. Tendendo essa a

ser maior em concretos com menores teores de fibras, pois nesses a variação na

distribuição de fibras tende a ser maior e a variação do número de fibras no

plano de ruptura também. A maior trabalhabilidade do concreto facilita o

alinhamento das fibras na direção do comprimento do corpo de prova, o que leva

ao aumento da resistência à tração.

De acordo com Bentur e Mindess (2007), os principais fatores que

influenciam a melhoria da resistência à tração na flexão quando se adicionam

fibras no concreto são o volume e a esbeltez das fibras. As fibras longas tendem

a se posicionar na direção do comprimento do corpo de prova, resultando em

maior aumento na resistência. Na Figura 3.7 pode-se observar a influência do

teor de fibras na resistência à flexão, onde elevados teores de fibras podem ter

desempenho inferior.

Yazici, Inan e Tabak (2007) observaram aumentos da resistência à tração

na flexão de 30 a 80% ao adicionar 1,5% de fibras, sendo que o aumento foi

maior para as fibras de maior esbeltez.

Thomas e Ramaswamy (2007) relatam aumentos da resistência à tração

indireta e na flexão da ordem de 40% adicionando 1,5% de fibras. Esses autores

afirmam que os aumentos de resistência à tração diminuem para os concretos

de maiores resistências.

63

Figura 3.7 – Curvas carga versus flecha com diferentes teores de fibras (Balaguru e Shah, 1992).

3.5.4. Tenacidade

Tenacidade é a quantidade de energia que um material pode absorver

antes de fraturar, sendo representada pela área abaixo da curva de carga versus

deformação específica.

O concreto convencional se rompe repentinamente, assim que a flecha

correspondente à resistência última é superada. Por outro lado, o concreto com

fibras continuas suporta tensões e deformações consideravelmente maiores que

o concreto convencional após atingir a tensão máxima. A falha no concreto com

fibras ocorre principalmente devido ao arrancamento ou escorregamento das

fibras. Assim, ao contrário do concreto convencional, um corpo de prova de

concreto com fibras não se rompe imediatamente após o início da primeira

fissura, suportando ainda tensões e deformações, consumindo mais energia até

a ruptura.

Ao explicar o mecanismo da tenacidade em compósitos reforçados com

fibras, Shah (1984) apud Mehta e Monteiro (2008) relata o seguinte: o compósito

suportará tensões cada vez maiores após a primeira fissura da matriz, caso a

resistência das fibras ao arrancamento na primeira fissura for maior do que a

tensão na primeira fissuração; em uma seção fissurada, a matriz não resiste a

nenhuma tensão e as fibras suportam toda a carga do compósito. Com uma

carga cada vez maior sobre o compósito, as fibras tendem a transferir as

tensões adicionais para a matriz por meio de tensões de aderência. Se as

0 0,60 1,20 1,80 2,40 3,000

10

20

30

40

Car

ga (

kN)

Flecha (mm)

Concreto sem fibras

30 kg/m³

60 kg/m³

120 kg/m³

Teor de fibras = 90 kg/m³

64

tensões de aderência não exercerem a resistência de aderência, então pode

haver fissuração adicional da matriz. Esse processo de fissuração múltipla

continuará até que haja o rompimento das fibras ou até que o escorregamento

local acumulado leve ao arrancamento das fibras.

Para avaliar a tenacidade não existe consenso com relação a que valores

limites de deformação específica ou deslocamento vertical a serem

considerados. Para minimizar esse problema usam-se índices de tenacidade,

que são a razão entre as tenacidades de um concreto com fibras e da sua matriz

determinadas da mesma maneira.

Para um mesmo teor em volume, as fibras com melhores características

de ancoragem e maior esbeltez levam a maiores valores de tenacidade do que

fibras lisas e retas (Bentur e Mindess, 2007). Para um mesmo tipo de fibras,

maiores teores de fibras levam a maior tenacidade.

3.5.5. Durabilidade

As dúvidas com relação à durabilidade do concreto com fibras de aço são

frequentes. Isso se deve ao fato de se observar fibras oxidadas na superfície de

pavimentos e revestimento de túneis. As fibras de aço utilizadas no concreto não

recebem nenhum tratamento para evitar a corrosão. Logo, a durabilidade da fibra

está condicionada à matriz de concreto, que é um meio fortemente alcalino (pH

em torno de 12,5). Porém, com a introdução das fibras ocorre diminuição da

fissuração, o que pode influir na durabilidade do concreto com armadura de aço,

pois se reduz o ingresso de agentes agressivos (umidade, oxigênio e cloretos) e

a probabilidade de ocorrência de corrosão das armaduras (Mehta e Monteiro,

2008).

Um dos problemas relativos à corrosão das fibras é que essas levariam à

perda de tenacidade e resistência do concreto, pois o mecanismo de ruptura do

concreto com fibras deixaria de ser por arrancamento das fibras, passando a ser

por ruptura das mesmas. Por outro lado, se for formada uma pequena oxidação

superficial nas fibras, poderia haver aumento na aderência fibra-matriz. Assim, a

corrosão das fibras nem sempre levaria a uma redução na resistência e

tenacidade do concreto (Bentur e Mindess, 2007).

No tocante à corrosão das fibras na superfície do concreto Helene (1996)

comenta que a mesma está associada à carbonatação superficial do concreto.

No entanto, como a fibra tem um diâmetro reduzido, o volume de óxidos gerados

65

não é suficiente para produzir o lascamento da superfície; com isso garante-se a

integridade do recobrimento sem fissuras e a proteção de seu interior. Além

disso, para que haja corrosão da armadura no concreto deve haver uma

diferença de potencial na armadura, a qual pode ser originada por diferenças de

concentração iônica, umidade, aeração, tensão no aço ou no concreto. Tanto

maior será a dificuldade de se encontrar uma diferença de potencial numa

armadura, quanto menores forem suas dimensões. Assim, as fibras são muito

menos sujeitas à corrosão eletrolítica que as armaduras convencionais.

Segundo ACI 544.1R-96 (2006), abertura de fissura menor que 0,1 mm

não leva à corrosão das fibras; fissura com abertura maior, mas com pouca

profundidade, causa corrosão apenas localizada, que pode não ter importância

estrutural relevante.

Ensaios realizados por Granju e Balouch (2005) em corpos de prova

submetidos à névoa salina também mostraram que não há corrosão quando a

abertura de fissura é menor que 0,1 mm. Em corpos de prova com entalhes de

0,5 mm de espessura, observou-se corrosão leve das fibras, sem redução de

sua seção. Observou-se ainda que a resistência à flexão de corpos de prova

fissurados submetidos à névoa salina por um ano não foi diminuída e sim

aumentada, o que deve ter ocorrido devido à leve corrosão das fibras, que

aumentou a aderência entre fibras e matriz, dificultando a arrancamento das

fibras da matriz.

Deve-se tomar cuidado ao utilizar outros tipos de fibras no concreto no

tocante a reações químicas deletérias entre a fibra e os álcalis da pasta de

cimento como, por exemplo, fibra de vidro comum. As fibras de zircônio e as

fibras de vidro resistentes aos álcalis têm melhor durabilidade em ambientes

alcalinos, entretanto, essas fibras apresentam uma deterioração gradual com o

passar do tempo.

3.6. Resistência a ações dinâmicas e à fadiga

A resistência do concreto com fibras à solicitações dinâmicas e de impacto

é de três a dez vezes maior do que a do concreto sem fibras (ACI 544.4R-88,

2006). Isso advém do fato de ser grande a quantidade de energia dissipada no

concreto com fibras. O acréscimo na dissipação de energia é proveniente da

necessidade de se arrancar a fibra da matriz para a ruptura do material. Todo

material dúctil apresenta maior resistência ao impacto por proporcionar uma

66

maior dissipação de energia pelas deformações plásticas que é capaz de

apresentar. De maneira análoga, o material pseudodúctil produzido pelo reforço

de fibras de aço no concreto irá requerer um maior gasto energético para a sua

ruptura por solicitação dinâmica.

Na Figura 3.8 compara-se o número de impactos correspondentes à

fissuração e à ruptura de concreto sem fibras e de concretos onde se

adicionaram fibras de diferentes tipos e pozolana. Verifica-se que os concretos

com fibras com ganchos resistiram a mais impactos do que os concretos com

fibras lisas e maior teor de fibras, e que não houve diferença acentuada entre as

resistências ao impacto dos concretos com 63 kg/m3 e 48 kg/m3 de fibras com

ganchos. A menos do concreto com fibras lisas, o desempenho dos concretos

com pozolana foi pior do que o daqueles que não a tinham.

Figura 3.8 – Resistência ao impacto de concretos com e sem fibras (Balaguru e Shah, 1992).

Como as fibras diminuem a propagação de fissuras no concreto,

possibilitam um maior número de ciclos de carregamento para determinado nível

de tensão para a mesma vida útil ou um maior nível de tensão para certo número

de ciclos.

Li e Matsumoto (1998) e Marangon (2011) comentam que mesmo

pequenas quantidades de fibras adicionadas ao concreto representam um

aumento com relação à fadiga. Além disso, afirmam que esse aumento é um dos

maiores benefícios da adição de fibras ao concreto.

PL - Concreto sem fibras

PL A B C D E F

100

200

300

400

500

600Ruptura

PrimeiraFissura

A - Concreto com fibras comGanchos (48 kg/m³)

B - Concreto com fibras com ganchos (63 kg/m³)

C - Concreto com fibras Lisas (84 kg/m³)

D - Concreto com fibras com ganchos e Pozolana (48 kg/m³)

E - Concreto com fibras com ganchos e Pozolana (63 kg/m³)

F - Concreto com fibras Lisas e Pozolana (84 kg/m³)

Concretos

67

Lee e Barr (2004) buscaram fazer um panorama dos estudos anteriores de

fadiga em concretos com e sem fibras; relatam que apesar de muitas

informações conflitantes sobre o comportamento à fadiga do concreto descrito

na literatura, a maioria dos pesquisadores mostrou que a adição de fibras

beneficia o comportamento à fadiga do concreto. Ainda comentam que é difícil

comparar resultados e conclusões de diferentes estudos, pois existem diversas

combinações de frequência de carregamento, sequência de carregamento,

dosagem dos concretos, configurações de ensaio e etc. que podem alterar o

desempenho dos concretos com fibras sob cargas cíclicas. Por fim, esses

autores comentam que os resultados apresentados na literatura até aquele

momento apontavam que a adição de fibras não parecia melhorar o

desempenho à fadiga do concreto em compressão. Por outro lado, a adição de

fibras ao concreto beneficia o desempenho do concreto à fadiga em flexão.

3.6.1. Fadiga em flexão em concretos com fibras

Nas últimas décadas são encontradas inúmeras publicações na literatura

com respeito à fadiga em flexão de concretos com fibras. Na maioria os estudos

buscam obter curvas SxN envolvendo diferentes variáveis: tipos de fibras,

conteúdo de fibras, substituição de agregados naturais por reciclados, concretos

autoadensáveis, compósitos cimentícios de ultra-alta resistência. Ou procurando

determinar a resistência à fadiga para um determinado número de ciclos (em

geral um ou dois milhões de ciclos sem a ruptura dos corpos de prova). Alguns

desses estudos são apresentados a seguir.

Naaman e Hammoud (1998) estudaram o desempenho à fadiga em flexão

de concretos de alta resistência, naquela época 35 MPa, utilizando 2% em

volume de fibras de aço com ganchos nas extremidades. Esses autores

observaram que a vida à fadiga do concreto com fibras foi pelo menos duas

vezes maior do que a do concreto sem fibras, e que o limite de resistência à

fadiga dos concretos com fibras poderia ser adotado com segurança como 65%

da resistência à flexão estática.

Mailhot et al. (2001) desenvolveram uma técnica para detectar o início da

fissuração, com o intuito de estudar a vida à fadiga antes e depois da fissuração

em concretos com diferentes tipos de fibras de aço (com ganchos, ancoradas ou

corrugadas), para dois fatores a/c (0,35 e 0,45) e variados níveis de tensão

(70%, 75% e 85% da resistência na primeira fissura). Os ensaios de fadiga em

68

flexão foram realizados em corpos de prova prismáticos com seção transversal

de 125 mm x 125 mm e comprimento de 425 mm e as diferentes fibras tinham

comprimentos variando entre 56 e 60 mm. Os ensaios foram realizados por

controle de carga, com um sinal senoidal com frequência de carregamento de

20 Hz. Esses autores concluíram que a grande dispersão dos resultados é

função em parte da quantidade de fibras na seção de ruptura e em parte da

orientação das fibras. Ainda sugerem que corpos de prova com dimensões

maiores tentem a ter menor dispersão nos resultados de fadiga.

Lappa et al. (2006) estudaram o comportamento de concretos de alta e

ultra-alta resistência à fadiga em flexão em quatro pontos, com resistências à

compressão de 120 MPa e 200 MPa, respectivamente. Os concretos foram

elaborados com a hibridização de fibras de aço lisas de 13 mm de comprimento,

com 0,2 mm de diâmetro e fibras de aço com ganchos nas extremidades com

diâmetro de 0,75 mm, 60 mm de comprimento. Também foram produzidos

concretos sem fibras ou apenas com um tipo de fibra. Esses autores observaram

que o melhor desempenho à fadiga ocorreu nos concretos com melhor

trabalhabilidade, onde o melhor deles foi o concreto com 120 MPa de resistência

à compressão apenas com fibras de aço de 13 mm de comprimento. Os

concretos de ultra-alta resistência foram menos trabalháveis e tiveram

desempenho à fadiga semelhante ao concreto sem fibras. Ainda comentaram

que a envoltória dos ensaios estáticos de flexão serviu apenas para prever a

vida à fadiga no concreto sem fibras.

Rossi e Parant (2008) avaliaram o desempenho à fadiga em flexão de

compósitos cimentícios com enorme quantidade de fibras (11% em volume).

Esse compósito foi patenteado sob o nome MSFRCC (Multi-Scale Fibre

Reinforced Cement-base Composite) utilizando fibras de aço com diferentes

comprimentos: microfibras com comprimento menor do que 2 mm; mesofibras

com comprimento entre 2 mm e 7 mm; macrofibras com comprimento maior ou

igual a 20 mm. Esses autores concluíram que as mesofibras não contribuíram

para o desempenho à fadiga, mas contribuíram nos ensaios estáticos. Também

observaram que os corpos de prova que não romperam com dois milhões de

ciclos tiveram um aumento de 6,5% no comportamento residual à flexão, i.e.,

após os dois milhões de ciclos de fadiga o ensaio foi parado e o corpo de prova

foi levado à ruptura com as configurações de um ensaio estático.

O efeito da substituição do agregado natural por agregado reciclado no

desempenho à fadiga em flexão de um concreto com fibras de aço foi estudado

por Heeralal et al. (2009). As fibras tinham um diâmetro de 0,5 mm e esbeltez

69

72. O ensaio de fadiga foi realizado por meio de um sinal senoidal a uma

frequência de carregamento de 2 Hz. Foi observado que quanto maior o

percentual de substituição dos agregados naturais por artificiais pior foi o

desempenho à fadiga, ocorrendo o mesmo com as resistências à compressão e

à tração estáticas.

Nicolaides et al. (2010) patentearam um compósito cimentício de ultra-alta

desempenho reforçado com fibras (UHPFRCC Ultra-high-performance fibre-

reinforced cementitious composite) desenvolvido na Universidade de Cardiff no

Reino Unido, sob o nome de CARDIFRC. Esse compósito teve resistência à

compressão superior a 200 MPa e resistência à tração na flexão acima de

30 MPa. Para atingir resistências tão elevadas foi necessário utilizar uma grande

quantidade (acima de 8% em volume) de fibras de aço mistas (6 mm e 13 mm de

comprimento com 0,16 mm de diâmetro) em uma matriz cimentícia densificada

com microsílica. Esses autores realizaram ensaios de fadiga em flexão em três

pontos em vigas de dimensões 35 mm x 90 mm x 360 mm, com uma frequência

de carregamento de 6 Hz com de um sinal senoidal. A partir desses ensaios foi

obtida uma resistência à fadiga de 85% da resistência à flexão estática para um

limite de um milhão de ciclos.

Goel et at. (2012) procuraram obter a resistência à fadiga, onde não

houvesse ruptura até dois milhões de ciclos, em concretos autoadensáveis

contendo 0,5%, 1,0% e 1,5% de fibras de aço em volume. As fibras eram do tipo

corrugadas com diâmetro de 1 mm e comprimento de 30 mm. Os ensaios de

fadiga em flexão em três pontos foram realizados por meio de um sinal senoidal

a uma frequência de carregamento de 10 Hz. Esses autores obtiveram

resistências à fadiga de 71%, 76% e 71% da resistência à flexão estática para os

conteúdos de fibras de 0,5%, 1,0% e 1,5%, respectivamente. Também

comentaram que essas resistências à fadiga são superiores às resistências

encontradas na literatura para concretos com fibras equivalentes, porém,

vibrados de maneira convencional (Singh e Kaushik, 2003 apud Goel et

at., 2012).

Bajat et at. (2012) avaliaram o comportamento à fadiga em flexão de

concretos com a hibridização de fibras de aço e de polipropileno, para diversas

combinações de teores de fibras. Esses autores observaram que a combinação

de 50% de fibras de aço com 50% de fibras de polipropileno forneceu o melhor

desempenho à fadiga e também a menor dispersão dos resultados.

Observando-se os estudos apresentados entende-se o que foi exposto por

Lee e Barr (2004), que é difícil comparar os resultados de estudos de fadiga em

70

concretos com e sem fibras de diferentes pesquisadores, devido à grande

variedade de parâmetros estudados: tipos de concreto, tipos e quantidades de

fibras, configurações de ensaios, geometria dos corpos de prova, frequência de

carregamento, dentre outros.

3.6.2. Fadiga em compressão em concretos com fibras

O estudo da melhoria do desempenho do concreto com a adição de fibras

estruturais tem se concentrado no desempenho à flexão ou à tração do concreto,

onde o aumento é imediato e notório, como visto anteriormente. Contudo, no

comportamento à compressão, foco deste trabalho, a melhora do desempenho

não é tão marcante, e não tem fomentado tantas pesquisas no assunto. Além

disso, o estudo de fadiga em compressão requer máquinas de ensaios mais

potentes ou corpos de prova de dimensões reduzidas, comparado a ensaios de

fadiga em flexão, o que por muitas vezes limita ou inviabiliza esse estudo.

A seguir serão descritos alguns estudos realizados em fadiga em

compressão com concretos com fibras: Grzybowski e Meyer (1993), Paskova

(1994) e Paskova e Meyer (1997) estudaram a influência do conteúdo de fibras

de aço e de polipropileno; Cachim et al. (2001) compararam o desempenho de

fibras de aço de diferentes comprimentos; Yin e Hsu (1995) compararam o

comportamento à fadiga em concretos com fibras de aço em compressão

uniaxial e biaxial.

Grzybowski e Meyer (1993) estudaram o acúmulo de dano em concretos

com e sem o uso de fibras por meio de ensaios de fadiga em compressão em

cubos de 102 mm de aresta. Foram ensaiadas nove diferentes dosagens de

concreto: uma dosagem de referência sem fibras (48 MPa), quatro dosagens

com fibras de aço com ganchos nas extremidades e 30 mm de comprimento, e

quatro dosagens com fibras de polipropileno com 19 mm de comprimento,

variando a quantidade de fibras (0,00; 0,25; 0,50; 0,75 e 1,00%).

Os ensaios foram realizados uniaxialmente com amplitude de tensões

constante, onde a frequência de carregamento foi de 1 Hz. Três razões entre

tensões Smáx/fc foram ensaiadas (0,75; 0,80 e 0,90).

Para cada dosagem e relação entre tensões foram ensaiados cinco corpos

de prova cúbicos. Os dados armazenados a cada ensaio foram: o número de

ciclos até a ruptura Nf, a energia dissipada a cada ciclo En, e a energia total

dissipada Etot.

71

O efeito benéfico das fibras na vida à fadiga e energia total dissipada foi

mais acentuado nos traços com 0,25% de fibras, independente da amplitude de

tensões. Tanto a energia dissipada quanto o número de ciclos decresceu com o

aumento da razão entre tensões, e esse decréscimo foi mais acentuado nos

concretos com fibras de polipropileno.

A energia dissipada, normalizada com relação à energia total dissipada, foi

definida pelos autores como índice de dano D. As Figuras 3.9 e 3.10 mostram os

histogramas do índice de dano em função da razão entre o número de ciclos e o

número de ciclos até a ruptura N/Nf para o concreto com fibras de polipropileno e

com fibras de aço, respectivamente.

Figura 3.9 – Dano acumulado para o concreto com fibras de polipropileno (Grzybowski e Meyer, 1993).

Figura 3.10 – Dano acumulado para o concreto com fibras de aço (Grzybowski e Meyer, 1993).

A partir desses histogramas pode-se observar que o grau de não

linearidade aumenta com o aumento da relação entre tensões, independente do

tipo ou volume de fibras. Inicialmente o dano acumula a uma taxa pequena, ao

se aproximar da ruptura o dano acumulado aumenta rapidamente. A não

linearidade aumenta com o aumento da quantidade de fibras e é mais acentuada

nos concretos com fibras de aço.

Fra

ção

dos

dano

s

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Concreto sem fibras

Lei de Miner

Fra

ção

dos

dano

s

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Lei de Miner

Fra

ção

dos

dano

s

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Lei de Miner

0,25% de fibra de polipropileno

1,00% de fibra de polipropileno

=S S /máx

=S S /máx

=S S /máx

Taxa de ciclos N/Nf

( ) Taxa de ciclos N/Nf

( )Taxa de ciclos N/Nf

( )

D=

E /

En

tot

()

D=

E /

En

tot

()

D=

E /

En

tot

()

= 0,75S

= 0,75S= 0,75S

= 0,80S = 0,80S

= 0,80S

= 0,90S= 0,90S= 0,90S

fc fc fc

Fra

ção

dos

dano

s

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1Taxa de ciclos

Concreto sem fibras

Lei de Miner

Fra

ção

dos

dano

s

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Lei de Miner

Fra

ção

dos

dano

s

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Lei de Miner

0,25% de fibra de aço

1,00% de fibra de aço

=S

D=

E /

En

tot

()

N/Nf

( )

= 0,75S

= 0,80S

= 0,90S

S f/máx c =S S /

máx

= 0,90S

= 0,80S= 0,75S

D=

E /

En

tot

()

Taxa de ciclos N/Nf

( ) Taxa de ciclos N/Nf

( )

=S S /máx

D=

E /

En

tot

()

= 0,75S

= 0,90S

= 0,80S

fcfc

72

Paskova e Meyer (1997) apresentaram uma continuação do estudo de

Grzybowski e Meyer (1993), onde as variáveis estudadas foram a resistência à

compressão (28, 34 e 48 MPa), o tipo de fibra, aço ou polipropileno, o volume de

fibras (0,00; 0,25; 0,50; 0,75 e 1,00%) e a razão entre tensões Smáx/fc que variou

de 0,80 a 0,95. Para cada ponto de ensaio cinco corpos de prova cúbicos, de

102 mm de aresta, foram ensaiados sob idênticas condições. Os ensaios foram

realizados com controle de carga com a aplicação de um sinal triangular a uma

frequência de 1 Hz. Algumas observações podem ser tomadas, tais como o

número de ciclos até a ruptura e a energia total dissipada.

A resistência à compressão e a quantidade de fibras melhoram o

desempenho à fadiga do concreto. As fibras de aço aumentam significativamente

a capacidade de absorção de energia. Os resultados mostram que para volumes

de fibras de até 1% as fibras de aço melhoram o desempenho do concreto à

fadiga até duas vezes mais do que as fibras de polipropileno.

As diferenças entre o estudo de Grzybowski e Meyer (1993) e o de

Paskova e Meyer (1997), no tocante à melhoria do desempenho à fadiga quanto

ao conteúdo de fibras, onde para os primeiros autores nos maiores conteúdos o

desempenho à fadiga piorou, no estudo seguinte quanto maior o conteúdo de

fibras, melhor o desempenho. A explicação encontrada pelos autores para o

desempenho pior, com maior conteúdo de fibras, no primeiro estudo, se deve a

dificuldade de compactação dos corpos de prova com maiores quantidade de

fibras, provavelmente gerando imperfeições iniciais.

Ainda sobre o estudo de Paskova e Meyer (1997), os resultados para a

capacidade de dissipação de energia apresentam uma dispersão estatística

muito menor em comparação ao número de ciclos. Os resultados para os

concretos com fibras foram menos dispersos que os do concreto sem fibras,

assim como os resultados para as fibras de aço foram menos dispersos do que

para as fibras de polipropileno.

O melhor desempenho das fibras de aço em comparação ao das fibras de

polipropileno tem algumas explicações. Primeiro, as fibras de aço com ganchos

nas extremidades promovem uma aderência melhor do que as fibras de

polipropileno podem promover por meio da sua área específica maior. Segundo,

durante o arrancamento de uma fibra de polipropileno o único aumento de

resistência é devido à força de atrito. O arrancamento de uma fibra de aço

envolve também a deformação plástica da fibra, o que requer um trabalho

consideravelmente maior. O terceiro fator e provavelmente mais significante que

diferencia o desempenho de ambas as fibras é seu diferente módulo de

73

elasticidade. Levando-se em conta que o módulo de elasticidade da fibra de

polipropileno é consideravelmente menor que o da matriz de concreto, as fibras

desenvolvem apenas uma parte do seu potencial total, mesmo quando o material

se aproxima da ruptura. As fibras de aço por sua vez se tornam mais eficientes

imediatamente após o início da fissuração na matriz, desde que haja um volume

percentual de fibras suficiente e que estas estejam bem aderidas ao concreto.

As fibras têm um efeito semelhante ao do confinamento lateral,

contribuindo para a não fissuração, retardando o acumulo de dano. As fibras

podem transferir mais tensões, desse modo retardando os processos de

arrancamento e descolamento, e melhorando o comportamento do compósito

sob cargas repetitivas. O aumento do volume de fibras também afeta

negativamente a trabalhabilidade, requerendo uma maior compactação a fim de

evitar uma queda na qualidade do concreto. Essa tendência é mais pronunciada

nas fibras de polipropileno do que nas de aço para um mesmo volume de fibras.

A explicação se deve ao diâmetro muito pequeno e grande área de superfície

das fibras de polipropileno que consomem mais água livre.

Paskova (1994) explica a influência do nível de tensão no desempenho à

fadiga do concreto com fibras. Primeiramente o aumento da energia para

menores níveis de tensão ocorre com o processo de descolamento do agregado

(fissuração da zona de transição) aliado à fissuração da argamassa. Na

presença de fibras a energia absorvida também aumenta com o decréscimo do

nível de tensão. Sob um período curto a fadiga (N < 10³) a baixos níveis de

tensão as fibras conduzem a uma dissipação de energia muito maior do que a

altos níveis de tensão. Esse fato pode ser explicado levando-se em

consideração a deterioração física do material durante os ciclos de

carregamento.

Em altos níveis de tensão a intensidade da carga aplicada excede a tensão

de tração da argamassa. Nos primeiros ciclos de carregamento se inicia a

fissuração da argamassa. A tensão na ponta da fissura geralmente é suficiente

para superar a resistência das fibras em um curto ciclo de cargas, desse modo

reduzindo-se a eficiência das fibras em altos níveis de tensão. Nos baixos níveis

de tensão o processo de dano inicia-se com a fissuração da argamassa em

conjunto com a fissuração da zona de transição. Se nesse caso a ponta de uma

fissura é interceptada por uma fibra cuja resistência excede a tensão na ponta

da fissura, a fissura será interrompida e mais ciclos de carregamento serão

necessários para permitir que algumas fissuras atravessem as fibras. Desse

modo para baixos níveis de tensão há uma maior eficiência da resistência

74

promovida pelas fibras e por consequência a quantidade de energia dissipada

aumenta.

Cachim et al. (2001) avaliaram o desempenho de concretos com e sem

fibras, submetidos à fadiga em compressão com a intenção de prever a vida à

fadiga usando o histórico de deformação obtido dos ensaios. Os concretos com

dois tipos de fibras com 30 e 60 mm de comprimento e com ganchos nas

extremidades, com 0,5% de volume foram ensaiados e seus desempenhos

foram comparados. Foram utilizados corpos de prova cilíndricos de

150 mm x 300 mm. Os ensaios foram realizados com controle de carga

aplicando-se um sinal senoidal e a frequência de carregamento utilizada foi de

2,5 Hz. A razão entre tensões Smáx/fc utilizadas variou de 0,60 a 0,90.

O programa experimental apresentado pelos autores aponta algumas

características importantes do comportamento do concreto com e sem fibras

submetido à fadiga em compressão. Foi observado que as fibras de 30 mm de

comprimento aumentaram a vida à fadiga – o número de ciclos até a ruptura –

do concreto, enquanto que as de 60 mm reduziram comparadas ao concreto

sem fibras. A menor vida à fadiga para o concreto com fibras mais longas pode

ser explicada por dois fatores: o primeiro estaria relacionado com o fato de que o

fenômeno da fadiga é função de imperfeições iniciais, tais como microfissuras ou

vazios existentes no concreto. Então, a presença de fibras, em especial as de

maior comprimento, podem ser uma causa adicional de imperfeições criando

pontes entre os agregados e uma tensão residual inicial. Um efeito do

comprimento das fibras relativo às dimensões do corpo de prova pode haver

ocorrido, visto que para as fibras com 60 mm a razão entre o diâmetro do corpo

de prova e o comprimento da fibra foi de 2,5, o que é um valor relativamente

baixo. Outro fator surge do fato de que as fibras utilizadas inicialmente estavam

coladas em grumos que deveriam se separar durante a mistura do concreto.

Contudo, foi observado que algumas das fibras permaneceram coladas criando

uma “fibra muito larga”, aumentando o problema da formação de ponte entre os

agregados.

A existência de uma envoltória de deformações específica também foi

observada, o que significa que a curva monotônica de tensão versus deformação

específica pode ser usada como um critério de ruptura por deformação para

concreto submetido à fadiga (Figura 3.11). A adição das fibras promoveu um

aumento na deformação de ruptura.

75

Figura 3.11 – Comparação da máxima deformação específica de ruptura dentro de uma envoltória devida a carregamento monotônico (Cachim et al.,2002).

Esses autores (Cachim et al., 2002) também observaram que o módulo de

fadiga, definido como a razão entre a faixa de tensões e a correspondente

deformação específica dentro de um ciclo de carregamento, pode ser uma

propriedade interessante para modelar ciclos individuais de carga e descarga. A

taxa de variação do módulo de fadiga durante o ensaio está fortemente

correlacionada com o número de ciclos até a ruptura, de maneira análoga à taxa

de fluência secundária �����.

Yin e Hsu (1995) realizaram ensaios de fadiga em compressão uniaxial e

biaxial em placas de concretos com fibras de aço (15 cm x 15 cm x 3,8 cm),

onde o comprimento das fibras foi de 25 mm e esbeltez 60. As variáveis

estudadas foram a razão entre as tensões principais (σ2 / σ3 = 0,0; 0,2; 0,5; 1,0)

e a tensão máxima. A frequência de carregamento foi de 1 Hz com um sinal

triangular. Esses autores reportaram que a vida à fadiga de concreto com fibras

na compressão biaxial é maior do que na compressão uniaxial para todas as

variáveis estudadas, e a adição de fibras altera o modo de ruptura do concreto:

ruptura vertical (splitting) para os concretos sem fibras e ruptura cisalhante

(faulting) para os concretos com fibras.

3.7. Comentários finais

Foi constatado que nas décadas de 80 e 90 houve uma evolução nos

estudos de fadiga em compressão do concreto convencional, sem fibras, onde

foi levado em consideração o efeito da frequência de carregamento.

Em paralelo, o uso de fibras no concreto desenvolveu-se bastante nas

últimas décadas, visto que a adição de fibras pode melhorar significativamente o

sem fibrascom fibras

00

10

20

30

40

50

0,005 0,01 0,015 0,02Deformação específica

Ten

são

[MP

a]

Concreto sem fibras

Concreto com fibras

76

comportamento do concreto à tração. Além de um melhor desempenho à fadiga

e controle de fissuração.

Inúmeros estudos buscaram avaliar o desempenho à fadiga em flexão de

concretos com fibras em comparação a um número limitado de estudos de

fadiga em compressão de concretos com fibras. Além disso, a influência da

frequência de carregamento pouco foi abordada nos estudos de fadiga de

concretos com fibras, especialmente com respeito à fadiga em compressão.

O foco deste trabalho foi o estudo concomitante de cinco parâmetros:

concreto, compressão, fadiga, fibras e frequência.

4. Programa experimental

4.1. Introdução

Com o objetivo de verificar a influência da frequência de carregamento no

comportamento à fadiga em compressão do concreto com e sem fibras, foi

realizada uma pesquisa experimental no Laboratorio de Estructuras y Materiales

da Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos da

Universidade de Castilla-La Mancha em Ciudad Real, na Espanha.

Os corpos de prova de concreto de alta resistência foram moldados com a

mesma dosagem de concreto, e divididos em três tipos denominados C1, C2 e

C3. No tipo C1 foi utilizado o concreto sem fibras, no tipo C2 o concreto com

fibras de polipropileno, e no tipo C3 o concreto com fibras de aço.

Todos os ensaios de fadiga foram realizados com as mesmas condições

de carregamento variando-se apenas as frequências de carregamento, iniciando-

se por 4 Hz, depois 1 Hz, 0,25 Hz e finalmente 0,0625 Hz.

Os resultados obtidos possibilitaram comprovar a influência da frequência

e comparar o desempenho do concreto à fadiga em compressão nos três casos:

sem fibras e com adição de dois diferentes tipos de fibras.

4.2. Produção dos concretos

Todo o concreto foi produzido em uma fábrica de estruturas pré-moldadas

localizada na região metropolitana de Madri, Espanha.

A dosagem do concreto, os tipos de fibras, o conteúdo de fibras e o

percentual volumétrico de fibras são apresentados na Tabela 4.1.

As fibras de polipropileno que foram utilizadas eram do tipo corrugada com

ganchos suaves nas extremidades, com 40 mm de comprimento, seção

retangular de 0,50 mm x 1,30 mm e esbeltez 62. A esbeltez – ou fator de forma –

é a razão entre o comprimento da fibra e o seu diâmetro equivalente. As fibras

de aço tinham ganchos nas extremidades, com 35 mm de comprimento e seção

circular com diâmetro de 0,55 mm, com esbeltez 64.

78

A Figura 4.1 mostra a foto das fibras e seus dados técnicos estão no

Anexo A.

Tabela 4.1 – Dosagem dos concretos C1, C2 e C3.

Material: Tipo: C1 C2 C3

Cimento ASTM tipo I 52,5R 437 kg/m3

Agregado miúdo Areia dmáx 4 mm 828 kg/m3

Agregado graúdo Brita dmáx 12 mm 947 kg/m3

Aditivo superplastificante Glenium C-355 6,3 kg/m3

Água — 153 kg/m3

Conteúdo de fibras — — 5 kg/m3 50 kg/m3

Teor volumétrico — — 0,56% 0,64%

Tipo de fibra — sem fibras polipropileno aço

Figura 4.1 – Foto das fibras de aço e de polipropileno.

Uma betoneira orbital de um metro cúbico de capacidade foi utilizada para

a produção dos concretos. Para cada tipo de concreto foram produzidos

setecentos litros para garantir uma mistura eficiente devido à grande capacidade

da betoneira utilizada.

A sequência de produção do concreto, realizada na fábrica, relativa à

introdução dos materiais e tempo de mistura foi a seguinte: agregados graúdo e

miúdo (0 a 10 s), cimento (5 a 25 s), água (35 a 45 s) e super plastificante (65 a

75 s). A mistura prosseguiu até completar três minutos, quando as fibras foram

introduzidas manualmente e a mistura prosseguiu por mais três minutos.

Foram realizados dois ensaios de abatimento de tronco de cone (Slump

Test) para os concretos C1, C2 e C3 segundo a recomendação da norma

europeia UNE-EN 12350-2 (2009). Um primeiro ensaio antes do início da

moldagem dos corpos de prova, e um segundo no término com o objetivo de

79

avaliar a perda de plasticidade ao final da moldagem. O abatimento inicial foi de

24,0 cm para os três concretos. O abatimento final foi realizado 45, 78 e 45

minutos após o final da mistura e os valores foram 21,5 cm, 17,5 cm e 17,0 cm

para os concretos C1, C2 e C3, respectivamente. A perda de abatimento entre o

início e o fim da moldagem foi mais pronunciada nos concretos com fibras, mas

não comprometeu a moldagem dos corpos de prova. Foi usado vibrador de

imersão em todo o processo de moldagem.

Os corpos de prova permaneceram nos moldes durante 24 horas cobertos

por uma lona plástica para evitar a perda de umidade. Logo após a

desmoldagem foram armazenados em câmara úmida com temperatura e

umidade controladas de 20 ± 1ºC e 95 ± 1%, respectivamente.

4.3. Descrição dos corpos de prova

Foram moldados para cada tipo de concreto, oito cilindros grandes

(150 mm x 300 mm – diâmetro x altura), vinte e cinco corpos de prova cilíndricos

pequenos (75 mm x 150 mm – diâmetro x altura), e vinte corpos de prova

prismáticos (100 mm x 100 mm x 450 mm – espessura x altura x comprimento).

Os cilindros pequenos foram utilizados em um programa piloto que serviu

de base para o planejamento da parte experimental da pesquisa. Os resultados

dessa fase piloto não serão apresentados neste trabalho em função do pequeno

número de corpos de prova ensaiados: quatro por série e por frequência e os

restantes para determinação da resistência à compressão de cada concreto. Nos

ensaios piloto a influência da frequência foi verificada.

Os corpos de prova cilíndricos grandes foram utilizados para caracterizar

as propriedades mecânicas dos diferentes concretos, aos 28 dias e também no

momento em que foram realizados os ensaios de fadiga – aproximadamente um

ano após a produção dos concretos. Os ensaios foram: resistência à

compressão fc – seguindo as recomendações da norma americana ASTM C39

(2010) –, módulo de elasticidade E e coeficiente de Poisson ν segundo a norma

ASTM C469 (2010).

Os corpos de prova prismáticos foram utilizados primeiramente para se

obter a resistência à tração por meio de ensaios de flexão em três pontos. Esses

ensaios foram realizados seguindo-se as recomendações da RILEM 162-TDF

(2002) e da norma europeia UNE-EN 14651 (2007). A partir dos prismas

restantes foram talhados cubos de 100 ± 1 mm de aresta, e esses cubos foram

80

utilizados nos ensaios de fadiga em compressão. Não existe nenhuma norma

específica para ensaios de fadiga em compressão de concretos com fibras,

porém, as dimensões dos cubos foram escolhidas seguindo as normas dos

ensaios de flexão em três pontos, onde as fibras deveriam ser pelo menos

2,5 vezes menores que a menor dimensão dos corpos de prova.

A idéia inicial era ensaiar seis corpos de prova prismáticos à flexão e obter

56 cubos a partir dos quatorze prismas restantes. De cada prisma foram obtidos

quatro cubos, sendo dois deles das extremidades dos prismas e outros dois da

parte central, como mostra a Figura 4.2. Para cada tipo de concreto foram

realizadas cinco séries de ensaios em corpos de prova cúbicos: uma série de

seis ensaios de compressão estática para obter a resistência à compressão dos

corpos de prova cúbicos �����, e mais quatros séries de dez ensaios de fadiga,

uma série para cada frequência de carregamento. Sobrando dez cubos para

cada tipo de concreto para eventuais perdas de corpos de prova antes ou

durante os ensaios. Cada série de ensaios foi realizada sob condições de

carregamento idênticas.

Os ensaios de fadiga foram configurados com base na resistência à

compressão �����, como será descrito na sequência deste capítulo. Em cada

série de ensaios os corpos de prova cúbicos foram selecionados de forma

alternada de maneira que metade dos cubos foi cortada da parte central de um

prisma e a outra metade dos cubos obtida de alguma das extremidades. Além

disso, em nenhuma série os ensaios foram realizados utilizando-se cubos de um

mesmo prisma.

Figura 4.2 – Corpos de prova cúbicos cortados a partir de prismas.

Os cubos obtidos a partir das extremidades dos prismas tinham duas faces

irregulares – a face superior, ou face de concretagem e uma face de corte –,

L1L2

L3

CUBOS CENTRAIS

CUBOS EXTREMOS

DIR

EÇÃO

DO

EN

SAIO

FACES CORTADASFACE DE CONCRETAGEM

L1 = L2 = L3 =100 + 1 mm-

81

enquanto que os cubos centrais tinham três faces irregulares – a face de

concretagem e duas faces de corte. Essas faces irregulares foram todas

fresadas para garantir a paralelismo entre as faces e as dimensões dos cubos de

100 ± 1 mm. Os ensaios foram realizados sempre com a face de concretagem

voltada para cima (Figura 4.2). Para os concretos com fibras sabe-se que as

fibras têm orientação preferencial no sentido do comprimento dos prismas (Gettu

et. al., 2005; Schumacher, 2006; Akcay e Tasdemir, 2012). Sendo assim, a

direção do ensaio foi sempre perpendicular à direção preferencial das fibras.

Todos os corpos de prova cúbicos utilizados foram cortados a partir dos

corpos de prova prismáticos 28 dias após a produção de cada dosagem de

concreto. Uma vez cortados e fresados os cubos voltaram para a câmara úmida

onde permaneceram até a realização dos ensaios de fadiga.

Foram selecionadas quatro frequências de carregamento, iniciando-se por

4 Hz, depois 1 Hz, 0,25 Hz e finalmente 0,0625 Hz. Em cada série de ensaios de

fadiga de pelo menos dez corpos de prova cúbicos foram ensaiados em

condições de carregamento idênticas, para cada tipo de concreto e frequência. A

Tabela 4.2 resume o total de ensaios realizados com os corpos de prova

cúbicos. Para cada concreto foi realizada uma série de seis ou mais ensaios de

compressão simples em cubos, para se obter a resistência média dos corpos de

prova cúbicos �����, pois os ensaios de fadiga de cada concreto foram

configurados com base nessa resistência �����.

Tabela 4.2 – Série de corpos de prova cúbicos utilizadas nos ensaios de fadiga.

Dosagem de concreto Resistência à

compressão ����� Ensaios de fadiga (Hz)

4 1 0,25 0,0625

C1 sem fibras 6 + 6 13 10 10 10

C2 com fibras de polipropileno 6 11 10 10 10

C3 com fibras de aço 8 10 10 10 10

Foram realizados três ensaios de fadiga adicionais para o concreto sem

fibras C1 na frequência 4 Hz, e um ensaio adicional para o concreto com fibras

de polipropileno C2 também para a frequência 4 Hz. Também foram ensaiados

dois corpos de prova a mais para a caracterização da resistência à compressão

����� para o concreto C3.

Os ensaios de fadiga foram iniciados pelo concreto sem fibras C1, seis

meses após a produção dos corpos de prova, para a frequência 4 Hz. A

continuação dos ensaios para as demais frequências ocorreu um ano após a

82

produção dos corpos de prova. Por esse motivo foram ensaiados inicialmente

seis cubos e posteriormente mais seis cubos à compressão para o concreto C1:

os primeiros seis cubos aos seis meses, antes dos ensaios para a frequência

4 Hz; e outros seis cubos após um ano, antes dos ensaios das frequências 1 Hz,

0,25 Hz e 0,0625 Hz. Com isso, a idéia inicial de se realizar para cada concreto

seis ensaios de flexão, seis ensaios de compressão estática em cubos ����� e

quarenta ensaios de fadiga – dez para cada frequência –, foi modificada no

concreto sem fibras C1 porque os ensaios de fadiga foram realizados em idades

diferentes: seis meses e um ano. E como alguns cubos do concreto sem fibras

C1 foram perdidos quando cortados e outros foram utilizados para ajustar as

configurações para os ensaios de fadiga, foi necessário reduzir o número de

ensaios de flexão em três pontos do concreto C1 de três para seis ensaios.

Para os concretos com fibras C2 e C3 foram realizadas todas as séries de

ensaios planejadas: uma série de seis ensaios de flexão em três pontos em

corpos de prova prismáticos, uma série de seis ensaios de compressão estática

em corpos de prova cúbicos �����, e mais quatro séries de dez ensaios de fadiga

– uma série para cada frequência de carregamento.

4.4. Descrição dos ensaios e dos equipamentos

4.4.1. Ensaio de caracterização das propriedades mecânicas

As propriedades mecânicas obtidas para cada tipo de concreto foram a

resistência à compressão, o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson,

por meio de ensaios de compressão em corpos de prova cilíndricos, e a

resistência à tração na flexão e resistências residuais por meio ensaios em

corpos de prova prismáticos.

Ensaios de compressão

Os ensaios de compressão, módulo de elasticidade e coeficiente de

Poisson foram realizados em corpos de prova cilíndricos com 150 mm de

diâmetro e altura de 300 mm. Para realizar tais ensaios foi utilizada uma

máquina servo-hidráulica, da empresa Servosis, modelo MES-300 de 3000 kN.

Essa máquina é composta de um pórtico de ensaios onde se situam dois pratos

de compressão guiados por quatro colunas e um módulo central como mostra a

83

Figura 4.3. Os acessórios e extensometria necessários para cada tipo de ensaio

foram adaptados à máquina em função das características específicas de cada

ensaio. Essa máquina exerce uma força de compressão no corpo de prova até a

ruptura do mesmo. Para o caso dos ensaios de compressão esta força é

exercida perpendicularmente à seção transversal do corpo de prova, na direção

do eixo do cilindro.

Figura 4.3 – Máquina servo-hidráulica de ensaios de compressão.

Dinamometria : para medir a carga aplicada nos ensaios, essa máquina

utiliza um captador de pressão HBM P8AP 500B de ± 3000 kN, com

sensibilidade de 2 mV/V ± 2% e um erro máximo de 0,3%.

Extensometria : as deformações axiais e radiais medidas no ensaio de

módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson são a seguir descritos.

• Deformações axiais: dois extensômetros resistivos Solartron do tipo

AX/1/6. Esses extensômetros foram calibrados para um percurso de

± 1 mm, com uma sensibilidade de 213,77 mV/V/mm e um erro inferior a

0,3%. Foram acoplados na posição vertical a anéis metálicos fixados no

terço central dos corpos de prova cilíndricos (Figura 4.4).

84

• Deformações radiais: dois extensômetros resistivos Solartron do tipo

AX/1/S que foram calibrados para um percurso de ± 1 mm, com erro menor

que 0,22% e uma sensibilidade de 212,01 mV/V/mm. Esses extensômetros

foram acoplados a um aparato fixado na metade da altura do corpo de

prova (Figura 4.4).

A aquisição de dados e o controle da máquina de ensaios foram realizados

por meio de software PCD 1065-W da empresa Servosis. Dos quatro

extensômetros utilizados, dois foram para as medidas axiais e outros dois para

as medidas radiais. A média de cada par de extensômetros era armazenada

automaticamente.

Essa máquina utilizada para ensaios de compressão, assim como para a

determinação do módulo de elasticidade e do coeficiente de Poisson, funciona

por meio do controle de carga. Para o ensaio de compressão a taxa de

carregamento imposta foi de 0,20 MPa/s seguindo-se as recomendações

normativas da ASTM C39 (2010). Para o ensaio de módulo de elasticidade

primeiramente foi realizada uma précarga de compressão de 30 kN a uma

velocidade de 0,30 mm/s, posteriormente o ensaio de compressão prosseguiu

até 40% da carga de ruptura segundo recomendação da norma americana

ASTM C469 (2010).

A Figura 4.4 ilustra os aparatos utilizados para posicionar os

extensômetros radiais e axiais em um corpo de prova cilíndrico.

Para cada dosagem de concreto foram realizados quatro ensaios à

compressão a cada idade: 28 dias e um ano após a produção dos concretos. O

primeiro ensaio era realizado para obter somente a resistência à compressão.

Utilizando-se 40% da resistência à compressão do primeiro ensaio, um segundo

corpo de prova cilíndrico era ensaiado para obter o módulo de elasticidade e o

coeficiente de Poisson, seguindo-se as recomendações da ASTM C469 (2010).

Em seguida esse segundo corpo de prova era ensaiado até a ruptura para

determinar a sua resistência à compressão. Para o terceiro cilindro, com a média

das resistências dos ensaios anteriores era calculado o valor correspondente a

40% de fc para o ensaio de determinação do módulo de elasticidade e do

coeficiente de Poisson. Continuando-se o ensaio até a ruptura, era obtida

também a resistência à compressão desse corpo de prova. O mesmo

procedimento era utilizado para o quarto corpo de prova, a partir da média da

resistência dos três primeiros cilindros eram obtidos os valores de módulo de

elasticidade e coeficiente de Poisson, e por fim a resistência à compressão. Para

85

cada dosagem de concreto e cada idade foram obtidos quatro valores de

resistência à compressão, três resultados para o módulo de elasticidade e três

valores de coeficiente de Poisson.

Figura 4.4 – Extensometria axial e radial em um corpo de prova cilíndrico: ensaio de módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson.

Todos os corpos de prova cilíndricos tiveram a face superior fresada para

garantir a planicidade da face superior e da inferior.

Ensaio de flexão em três pontos

Para a obtenção da resistência à tração na flexão e resistências residuais

foram realizados ensaios de flexão em três pontos em corpos de prova

prismáticos de seção transversal de 100 mm x 100 mm e comprimento de

450 mm, em uma máquina servo-hidráulica híbrida de 250 kN. Essa máquina

está montada em pórtico projetado pela empresa Servosis com um pistão

hidráulico da marca Instron como mostra a Figura 4.5. O deslocamento máximo

do pistão é de ± 50 mm, com um percurso máximo de 100 mm.

Seguindo-se as recomendações da RILEM 162-TDF (2002) e da norma

europeia UNE-EN 14651 (2007) foi feito um corte na seção central dos corpos de

prova prismáticos de altura igual a um sexto da seção transversal hent = 1/6 H.

86

Esse corte serve como entalhe inicial para induzir que a ruptura se iniciasse

sempre na seção transversal central.

Dinamometria : para medir a carga aplicada nos ensaios dessa máquina

foi utilizada uma célula de carga dinâmica de ± 25 kN, com erro inferior a

± 0,25% da leitura entre 1% e 100% da capacidade da célula de carga. Sua

sensibilidade varia entre 1,6 e 2,4 mV/V.

Extensometria : no ensaio de flexão em três pontos foram medidos o

deslocamento vertical e abertura de fissura ou abertura da boca do entalhe

(CMOD – Crack Mouth Opening Displacement).

• Para medir o deslocamento vertical, ou flecha, foram utilizados dois

extensômetros indutivos LVDT (Linear Variable Differential Transformer)

Solartron, do tipo AS/2.5, de ± 2,5 mm, com erro menor que 0,25%.

• Para a medida da abertura de fissura CMOD foi utilizado um extensômetro

resistivo do tipo clip gage de ± 5 mm, marca Instron modelo 2630-111 com

erro inferior a 0,30%.

Figura 4.5 – Máquina híbrida adaptada para ensaios de flexão em três pontos.

87

A Figura 4.6 mostra os LVDT posicionados um a cada lado do corpo de

prova medindo o deslocamento do ponto de aplicação de carga, e também o clip

gage medindo a abertura da fissura CMOD abaixo do corpo de prova.

Foi utilizado o sistema de aquisição de dados associado à própria

máquina, e os dados foram armazenados de forma contínua a uma taxa de

aquisição de 2 Hz. O deslocamento vertical armazenado foi a média automática

dos dois deslocamentos medidos pelos LVDT.

Os ensaios foram realizados por controle de deslocamentos onde foi

imposta uma taxa de carregamento de 0,20 mm/s, seguindo as recomendações

da RILEM 162-TDF (2002) e da norma europeia UNE-EN 14651 (2007).

Figura 4.6 – Extensometria do ensaio de flexão em três pontos.

Observa-se na Figura 4.6 que os apoios do corpo de prova são cilindros

metálicos que permitem rotação em torno do seu eixo, seguindo-se as

recomendações normativas. Abaixo do corpo de prova prismático foram

colocados dois pequenos cilindros de concreto apenas para segurança do clip

gage, no caso de uma ruptura brusca. Procedimentos de segurança adicionais

foram impostos por meio do software configurador do ensaio, o qual permite

estabelecer limites para cada um dos canais de leitura: carga, deslocamento ou

extensômetros. Com isso os limites máximos de leitura desses canais jamais

seriam ultrapassados, garantindo-se a qualidade dos resultados armazenados e

a segurança dos equipamentos utilizados.

Existem diversas normas e recomendações de como avaliar o

comportamento pós-pico de ensaios de flexão em corpos de prova prismáticos

88

de concreto com fibras (JSCE-SF4, 1984; Banthia e Trottier, 1995; ASTM C1018,

1997; RILEM TC 162-TDF, 2002; ASTM C 1609/C, 2005; UNE-EN 14651, 2007;

entre outras). A maioria dessas normas fornece índices de tenacidade ou índices

equivalentes a distâncias pré-determinadas de deslocamento vertical ou de

abertura de fissura, para avaliar energias consumidas durante ensaio, ou

resistências residuais à tração na flexão.

Neste trabalho foram calculadas a resistência à tração na flexão e as

resistências residuais segundo a norma UNE-EN 14651 (2007) por:

�(�) =3�

2�(� − ℎ���)� eq.(4.1)

onde

fj – resistência à tração na flexão para cada ponto j determinado;

Fj – carga em cada ponto j determinado;

S – vão entre apoios, mantido constante em 360 mm;

B – espessura do corpo de prova;

H – altura do corpo de prova;

hent – profundidade do entalhe.

Essa norma sugere que sejam obtidas resistências residuais à tração na

flexão fRj a distâncias predeterminadas de abertura da boca do entalhe – ou

abertura de fissura – CMOD, correspondentes a CMOD = CMODj ou δ = δj (j = 1,

2, 3 e 4), onde F1 é a carga correspondente a CMOD1 = 0,5 mm, F2 para

CMOD2 = 1,5 mm, F3 para CMOD3 = 2,5 mm e F4 para CMOD4 = 3,5 mm como

mostra a Figura 4.7. Por exemplo, fR3 é a resistência residual à tração na flexão

correspondente a uma abertura de fissura CMOD de 2,5 mm. A resistência à

tração na flexão ft,f é obtida usando-se a Equação 4.1 utilizando-se a carga

máxima Pmáx = Fj.

Na impossibilidade de se medir a abertura de fissura CMOD, a norma

europeia fornece uma relação entre a flecha δ e CMOD:

� = 0,85���� + 0,04 eq.(4.2)

89

Figura 4.7 – Resistências residuais à tração na flexão (UNE-EN 14651, 2007).

4.4.2. Ensaio de fadiga

Para a realização dos ensaios de fadiga em compressão foram utilizados

corpos de prova cúbicos de 100 ± 1 mm de aresta, em uma máquina servo-

hidráulica Instron 8805 de capacidade máxima de ± 100 toneladas. A escolha de

corpos de prova cúbicos foi realizada buscando uma dimensão de corpo de

prova com carga de ruptura próxima da carga máxima da máquina de ensaios, e

que a dimensão mínima fosse pelo menos 2,5 vezes maior que o comprimento

das fibras. Não foram escolhidos cilindros padronizados de diâmetro 100 mm,

pois esses teriam carga de ruptura inferior a cubos de 100 mm de aresta,

enquanto que cilindros padronizados de diâmetro 150 mm superariam a

capacidade da máquina de ensaios.

Essa máquina servo-hidráulica tem um controle eletrônico que recebe

sinais analógicos de até seis canais diferentes, seja carga, deslocamento ou

leitura proveniente de um extensômetro qualquer. Esses sinais são filtrados e

convertidos em sinais digitais, e qualquer um desses sinais poderia controlar os

ensaios. A Figura 4.8 mostra uma visão geral desta máquina de ensaios.

Dinamometria : foi utilizada uma célula de carga dinâmica de ± 1000 kN,

com um erro inferior a ± 0,25% da leitura entre 1% e 100% da capacidade da

célula de carga. Sua sensibilidade varia entre 1,6 e 2,4 mV/V.

Extensometria : foram utilizados extensômetros indutivos LVDT idênticos

aos descritos anteriormente no item 4.4.1. Esses LVDT foram utilizados somente

nos ensaios para a obtenção da resistência à compressão em corpos de prova

cúbicos �����.

O sistema de aquisição de dados utilizado é associado à própria máquina

de ensaios e permite o armazenamento de dados em diversas configurações,

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,00

2

4

6

8

10

12

ft,f

fR1

fR2

fR3

Res

istê

ncia

à tr

ação

na

flexã

o (M

Pa)

CMOD (mm)

fR4

90

assim como taxas de armazenamento, as quais variaram entre os ensaios de

compressão ����� e de fadiga, e entre os ensaios de fadiga a diferentes

frequências de carregamento. A Tabela 4.3 apresenta as taxas de

armazenamento utilizadas para cada tipo de ensaio.

Tabela 4.3 – Taxas de armazenamento de dados: ensaios em corpos de prova cúbicos: compressão e fadiga.

Tipo de ensaio Frequência de carregamento

Taxa de armazenamento de dados

Dados por segundo

Compressão ����� ensaio estático 10 Hz 10

Fadiga

4 Hz 500 Hz 125

1 Hz 200 Hz 200

0,25 Hz 50 Hz 200

0,0625 Hz 10 Hz 160

Figura 4.8 – Máquina de ensaios utilizada para os ensaios de fadiga.

Os ensaios de fadiga foram configurados por meio do controle de carga.

Para se obter as cargas máximas e mínimas para cada dosagem de concreto foi

necessário ensaiar corpos de prova cúbicos, visto que a resistência à

compressão dos cubos ����� difere da resistência à compressão obtida nos

corpos de prova cilíndricos.

91

Para se obter essa resistência à compressão dos corpos de prova cúbicos

����� os ensaios de compressão foram realizados por meio do controle de

deslocamentos com o intuito de permitir o armazenamento dos dados do ensaio

após a carga máxima. Caso fosse utilizado o controle de cargas, uma vez

alcançada a carga máxima, a máquina de ensaios buscaria uma carga superior e

ocorreria a ruptura brusca do corpo de prova. Enquanto que no controle por

deslocamentos após a carga máxima ocorre o abrandamento de tensões e é

possível obter o comportamento pós-pico. A taxa de carregamento utilizada

nesses ensaios foi de 0,1 mm/min e foi calculada para ser equivalente a

0,20 MPa/s como sugere a norma americana ASTM C39 (2010).

Para o controle de carga dos ensaios de fadiga foi utilizado um sinal

senoidal como mostra a Figura 4.9.

Figura 4.9 – Sinal senoidal: parâmetros de configuração do ensaio de fadiga.

onde Smáx e Smín são as tensões máxima e mínima, Sm a tensão média e Sa a

amplitude de carregamento.

Todos os ensaios de fadiga tiveram as mesmas configurações quanto à

tensão máxima Smáx = 85% da resistência à compressão média dos corpos de

prova cúbicos ����� e razão entre tensões mínima e máxima R = Smín/Smáx = 0,3.

Como os ensaios foram controlados por carga, as dimensões de todos os cubos

foram medidas com precisão de centésimos de milímetro e foram calculados os

valores de carga correspondentes às tensões máximas e mínimas a serem

aplicadas em cada corpo de prova.

Os ensaios de fadiga foram realizados em três etapas:

• a primeira etapa o corpo de prova cúbico foi comprimido em passos de 100

kN por minuto até 2/3 da tensão média Sm. Nessa etapa, os parafusos da

0

Smín

Smáx

Sa

Car

ga

Tempo

Sm

92

rótula do prato superior de compressão estavam afrouxados para corrigir

qualquer pequena imperfeição no paralelismo entre as faces inferior e

superior do cubo. Os parafusos eram então apertados, garantido que todo

o dispositivo estivesse imóvel. E uma gaiola metálica era colocada ao

redor do ensaio, por medida de segurança, para prevenir que fragmentos

de concreto, ou até mesmo todo o corpo de prova, fossem arremessados

fora da máquina de ensaios no caso de uma ruptura brusca (Figura 4.10).

• a segunda etapa consistiu em mais um passo de compressão de um

minuto até alcançar a carga correspondente à tensão média Sm.

• finalmente foram iniciados os ciclos de carga e descarga, conforme Figura

4.9, para cada frequência pré-estabelecida. Os dados de carga, de

deformação e o número de ciclos foram armazenados para os pontos de

máximo e mínimo a cada ciclo.

Figura 4.10 – Gaiola de proteção ao redor do ensaio de fadiga.

A última coluna da Tabela 4.3 apresenta a quantidade de dados por

segundo que o software controlador armazenava internamente nunca inferior a

125 dados por segundo para os ensaios de fadiga. Porém, apenas os pontos de

máximo e mínimo a cada ciclo foram salvos em arquivos, pois caso fossem

armazenados todos os dados (de 125 a 200 dados por segundo) os arquivos

finais de cada ensaio de fadiga seriam muito pesados dificultando a sua

manipulação e análise. No programa experimental piloto ficou comprovado que

se a taxa de armazenamento interna fosse inferior a cem dados por segundo, os

máximos e mínimos armazenados em arquivo não seriam precisos.

93

Variação da razão entre tensões

Com base nos resultados dos ensaios de fadiga dos três tipos de concreto:

sem fibras C1, com fibras de polipropileno C2 e com fibras de aço C3 foi

desenvolvido um modelo probabilístico que contempla as variáveis de um ensaio

de fadiga como: o número de ciclos suportados até a ruptura N, as tensões

máximas Smáx e mínimas Smín e a razão entre as tensões mínima e máxima R

incluindo também a frequência de carregamento. Esse modelo validado pelos

resultados experimentais, analisados no capitulo 5, será apresentado no

capítulo 6.

O modelo probabilístico proposto contempla a razão entre tensões

mínimas e máximas R, porém os ensaios realizados para os concretos C1, C2 e

C3 mantiveram essa razão constante R = 0,3. Com o intuito de validar o modelo

proposto para diferentes razões entre tensões foi realizada uma outra etapa de

ensaios de fadiga em compressão variando apenas a razão entre tensões R. No

momento em que foi decidido realizar esses ensaios já não existiam mais corpos

de prova disponíveis, tampouco estavam disponíveis os mesmos materiais

constituintes para repetir a mesma dosagem.

Optou-se por produzir uma nova dosagem de concreto de alta resistência

sem fibras que será denominada C4. Essa nova dosagem está apresentada na

Tabela 4.4.

Tabela 4.4 – Dosagem do concreto sem fibras C4.

Material: Tipo: Peso (kg/m3)

Cimento I 52.5 R 300

Água — 140

Agregado graúdo Brita dmáx 12 mm 750

Agregado miúdo Areia dmáx 4 mm 1090

Filler Calcário 90

Aditivo superplastificante Glenium ACE-425 4,6

Para essa nova dosagem foram produzidos quatro corpos de prova

cilíndricos com 150 mm de diâmetro e 300 mm de altura somente para obter a

resistência à compressão, o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson.

Para os ensaios de fadiga em compressão em corpos de prova cúbicos, foram

produzidos 20 prismas de seção transversal 100 mm x 100 mm e comprimento

de 450 mm. Desses prismas pretendia-se obter 50 cubos de 100 ± 1 mm de

aresta para a realização de três series de ensaios: 20 ensaios para obter a

94

resistência à compressão em cubos ����� e duas séries de quinze ensaios de

fadiga, uma série com razão entre tensões R = 0,3 e outra com R = 0,1.

Esses ensaios foram iniciados quando o concreto sem fibras C4 atingiu

seis meses de idade. Não se esperava que a resistência à compressão deste

concreto superasse os 100 MPa, porém quando foram ensaiados os corpos de

prova cúbicos à compressão para obter a resistência �����, que seria usada para

configurar os ensaios de fadiga alguns corpos de prova superavam 100 MPa.

Superando-se assim o limite da máquina de ensaios de 100 toneladas.

Como este concreto C4 não continha fibras decidiu-se reduzir o tamanho

dos cubos para 80 ± 1 mm de aresta. Dessa maneira foi possível obter os 50

cubos para realizar as três séries de ensaios previstas.

Para a configuração dos ensaios de fadiga, os ensaios de compressão em

cubos para a obtenção de ����� do concreto sem fibras C4 foram realizados de

maneira idêntica aos mesmos ensaios para os concretos C1, C2 e C3. Os

ensaios de fadiga do concreto C4 foram configurados inicialmente idênticos aos

concretos anteriores com respeito à Smáx = 85% �����, com R = 0,3. Porém, como

alguns desses ensaios atingiram mais de um milhão de ciclos sem romper,

enquanto que alguns corpos de prova romperam com poucos milhares de ciclos,

foi então arbitrada uma tensão máxima superior de 90 MPa = 94% �����, e foram

ensaiados à fadiga os 30 corpos de prova cúbicos de 80 ± 1 mm de aresta.

95

4.5. Resumo do programa experimental

A Tabela 4.5 apresenta um resumo de todos os ensaios realizados no

programa experimental para cada tipo de concreto: ensaios estáticos de

resistência à compressão fc, de módulo de elasticidade E, de coeficiente de

Poisson ν, de resistência à tração na flexão ft,f e ensaio de compressão em

corpos de prova cúbicos �����; ensaios de fadiga para diferentes frequências

4 Hz, 1 Hz, 0,25 Hz e 0,0625 Hz e para diferentes razões entre tensão mínima e

máxima R = 0,3 e 0,1.

Tabela 4.5 – Resumos dos ensaios realizados no programa experimental.

Tipo de concreto C1 C2 C3 C4

Cilindros 150 x 300 mm

Ensaios estáticos

fc 8 7 8 4

E 6 5 6 3

ν 6 5 6 3

Prismas 100 x 100 x 450 mm ft,f 3 6 6 –

Cubos 100 mm de aresta

����� 6+6 6 8 20

Ensaios de fadiga

4 Hz 13 11 10 –

1 Hz 10 10 10 –

0,25 Hz 10 10 10 –

0,0625 Hz 10 10 10 –

R = 0,3 – – – 15

R = 0,1 – – – 15

5. Apresentação e análise dos resultados

5.1. Introdução

Neste capítulo são apresentados e analisados os resultados dos ensaios

de caracterização das propriedades mecânicas dos concretos e dos ensaios de

fadiga, o histórico de deformações dos ensaios de fadiga e os modos de ruptura

dos corpos de prova.

Os resultados do concreto sem fibras C4 são apresentados ao final deste

capítulo, uma vez que a intenção destes ensaios não foi de comparar com os

concretos C1, C2 e C3, e sim de validar o modelo proposto no capítulo 6.

5.2. Ensaios de caracterização

Como descrito no capítulo anterior, a caracterização das propriedades

mecânicas das três dosagens de concreto (sem fibras C1, com fibras de

polipropileno C2 e com fibras de aço C3) foi realizada por meio de ensaios de

compressão em corpos de prova cilíndricos para se obter a resistência à

compressão, o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson. Para se obter

a resistência à tração por flexão, assim como as resistências residuais à tração

por flexão, corpos de prova prismáticos também foram ensaiados à flexão em

três pontos.

5.2.1. Ensaios de compressão

As propriedades mecânicas de resistência à compressão fc, módulo de

elasticidade E e coeficiente de Poisson ν, inicialmente foram obtidas a partir de

ensaios de compressão em corpos de prova cilíndricos com 150 mm de diâmetro

e altura de 300 mm para cada dosagem de concreto em duas idades diferentes:

aos 28 dias e um ano após a produção dos concretos. Os resultados de cada

ensaio, bem como a média e o desvio padrão DP de cada série de ensaios,

97

estão apresentados nas Tabelas 5.1 a 5.3. Na Tabela 5.1 para o concreto sem

fibras C1, nas Tabelas 5.2 e 5.3 para o concreto com fibras de polipropileno C2 e

para o concreto com fibras de aço C3, respectivamente.

Tabela 5.1 – Propriedades mecânicas: concreto sem fibras C1.

Idade nº do

ensaio fc E

ν MPa GPa

28 dias

1 53 — —

2 55 35 0,207

3 60 31 0,190

4 55 34 0,192

média 56 33 0,196

DP 3 2 0,009

1 ano

1 72 — —

2 77 34 0,194

3 75 34 0,194

4 76 35 0,210

média 75 34 0,199

DP 2 1 0,009

Observa-se um aumento na resistência à compressão após um ano para o

concreto sem fibras. O mesmo não ocorre com o módulo de elasticidade e o

coeficiente de Poisson, onde o aumento foi desprezível.

Tabela 5.2 – Propriedades mecânicas: concreto com fibras de polipropileno C2.

Idade nº do ensaio

fc E ν

MPa GPa

28 dias

1 68 — —

2 65 34 0,197

3 64 37 0,222

média 66 35 0,210

DP 2 2 0,018

1 ano

1 85 — —

2 89 41 0,223

3 84 42 0,218

4 84 40 0,214

média 86 41 0,218

DP 2 1 0,005

98

No caso do concreto com fibras de polipropileno o aumento após um ano

ocorre tanto para a resistência à compressão quanto para o módulo de

elasticidade e para o coeficiente de Poisson. Ao comparar o concreto com fibras

de polipropileno com o concreto sem fibras, todas as propriedades mecânicas,

em ambas as idades, foram maiores para o concreto com fibras de polipropileno.

Tabela 5.3 – Propriedades mecânicas: concreto com fibras de aço C3.

Idade nº do

ensaio fc E

ν MPa GPa

28 dias

1 68 — —

2 64 33 0,208

3 70 36 0,214

4 67 35 0,210

média 67 35 0,211

DP 3 1 0,003

1 ano

1 86 — —

2 86 37 0,204

3 85 39 0,216

4 88 39 0,214

média 86 38 0,211

DP 1 1 0,006

Os resultados apresentados nas Tabelas 5.1 a 5.3 mostram que a

resistência à compressão foi maior nos concretos com fibras para ambas as

idades. A resistência à compressão aumentou aproximadamente 30% após um

ano, em todos os concretos. O módulo de elasticidade aos 28 dias foi

ligeiramente superior para os concretos com fibras, e após um ano o aumento foi

de 3%, 17% e 9% para os concretos C1, C2 e C3, respectivamente. O

coeficiente de Poisson dos concretos com fibras foi cerca de 8% maior em

comparação ao concreto sem fibras, e a influência da idade foi pequena, salvo

para o concreto com fibras de polipropileno, onde o aumento após um ano foi de

aproximadamente 4%.

Em resumo, os concretos com fibras tiveram resistência à compressão,

módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson maiores em comparação ao

concreto sem fibras C1. Quanto à influência da idade, todas as propriedades

aumentaram após um ano.

99

5.2.2. Ensaios de flexão em três pontos

Os corpos de prova prismáticos de seção transversal 100 mm x 100 mm e

comprimento de 450 mm foram ensaiados à flexão em três pontos para

determinar a resistência à tração por flexão ft,f, e as resistências residuais à

tração por flexão fRj, seguindo as recomendações da norma europeia UNE-EN

14651 (2007). Esses ensaios foram realizados um ano após a produção dos

concretos.

Para o concreto sem fibras C1 foram ensaiados apenas três corpos de

prova prismáticos, pois não existiam mais corpos de prova disponíveis devido à

perda de alguns cubos nas configurações iniciais dos ensaios de fadiga do

concreto C1. Para os concretos com fibras C2 e C3 foram ensaiados seis

prismas à flexão em três pontos.

A Tabela 5.4 apresenta os resultados obtidos a partir dos ensaios de

flexão em três pontos, para o concreto sem fibras C1, onde Pmáx representa a

carga máxima obtida em cada ensaio.

Tabela 5.4 – Resistência à tração por flexão e resistências residuais: concreto sem fibras C1.

Idade nº do

ensaio Pmáx ft,f fR1 fR2 fR3 fR4

kN MPa

28 dias

1 10,7 7,8 0 — — —

2 9,2 6,7 0,1 0 — —

3 9,2 6,5 0,2 0 — —

média 9,7 7,0 0,1 0 — —

DP 0,9 0,7 0,1 0 — —

Não foram realizadas leituras de abertura de fissura CMOD nos ensaios de

flexão em três pontos para o concreto sem fibras C1 por questões de segurança

do clip gage, uma vez que uma eventual ruptura brusca poderia danificá-lo.

Os resultados apresentados na Tabela 5.4 foram obtidos a partir das

curvas carga x flecha, utilizando-se o procedimento descrito no item 4.4.1. A

Figura 5.1 apresenta essas curvas para o concreto sem fibras C1.

100

Figura 5.1 – Curvas carga x flecha: concreto sem fibras C1.

Observa-se na Figura 5.1 que após a carga máxima o concreto sem fibras

não suportou praticamente nenhuma carga. O mesmo é refletido nas

resistências residuais à tração por flexão apresentadas na Tabela 5.4.

Na Tabela 5.5 estão apresentados os resultados obtidos para o concreto

com fibras de polipropileno, e a Figura 5.2 apresenta as curvas carga x flecha e

tensão x CMOD para esse mesmo concreto.

Tabela 5.5 – Resistência à tração por flexão e resistências residuais: concreto com fibras de polipropileno C2.

Idade nº do

ensaio Pmáx ft,f fR1 fR2 fR3 fR4

kN MPa

1 ano

1 9,9 7,1 0,6 0,6 0,6 0,7

2 10,2 7,3 0,9 0,9 1,1 1,2

3 8,8 6,4 1,0 1,0 1,1 1,2

4 9,0 6,5 0,5 0,5 0,7 1,0

5 10,7 7,8 0,9 1,0 1,2 1,8

6 10,5 7,7 0,6 0,6 0,8 1,2

média 9,9 7,1 0,8 0,8 0,9 1,2

DP 0,8 0,6 0,2 0,2 0,2 0,4

O concreto com fibras de polipropileno foi capaz de suportar alguma carga

residual depois de alcançada a carga máxima, como pode ser visualizado nas

curvas da Figura 5.2, ou nas resistências residuais fRj na Tabela 5.5. Porém, a

carga residual suportada é relativamente baixa, entre 10% a 20% da carga

máxima Pmáx. Observa-se que uma vez que Pmáx é alcançada ocorre uma queda

brusca, e em seguida a carga suportada ao longo do ensaio é quase constante,

com um leve crescimento conforme aumenta a deformação vertical. Esse

comportamento é atribuído ao trabalho das fibras de polipropileno que não

permitem que o corpo de prova se rompa. Esse leve crescimento da carga

0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

14

Car

ga (

kN)

Flecha (mm)

C1-1 C1-2 C1-3

1 ano

101

residual suportada com o prisma já fissurado ocorre porque quanto maior a

flecha, maior a abertura da fissura e mais fibras começam a trabalhar na

superfície de ruptura.

Figura 5.2 – Curvas carga x flecha e tensão x CMOD: concreto com fibras de polipropileno C2.

Os resultados apresentados na Tabela 5.5 foram calculados a partir das

curvas carga x flecha, para que fossem comparáveis aos resultados do concreto

sem fibras C1. Não se discute neste item se a avaliação do comportamento pós-

pico em ensaios de flexão em três pontos é mais precisa utilizando-se os

resultados de flecha ou de CMOD. Optou-se pelas leituras de flecha porque

foram realizadas nos três concretos estudados, enquanto que as leituras de

CMOD foram realizadas apenas nos concretos com fibras C2 e C3.

Não é possível observar uma diferença clara entre as curvas tensão x

CMOD e carga x flecha, para o concreto C2, pois os valores de carga pós-pico

oscilam em uma faixa muito baixa de valores, não ocorrendo o abrandamento

suave de tensões.

Os resultados de resistência à tração por flexão e resistências residuais

calculadas para o concreto com fibras de aço estão apresentados na Tabela 5.6.

A Figura 5.3 mostra as curvas carga x flecha e as curvas tensão x CMOD.

0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

14 1 ano

Car

ga (

kN)

Flecha (mm)

C2-1 C2-2 C2-3 C2-4 C2-5 C2-6

0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

Ten

são

(MP

a)CMOD (mm)

C2-1 C2-2 C2-3 C2-4 C2-5 C2-6

1 ano

102

Figura 5.3 – Curvas carga x flecha e tensão x CMOD: concreto com fibras de aço C3.

Tabela 5.6 – Resistência à tração por flexão e resistências residuais: concreto com fibras de aço C3.

Idade nº do

ensaio Pmáx ft,f fR1 fR2 fR3 fR4

kN MPa

1 ano

1 10,2 7,2 5,7 2,7 2,0 1,4

2 9,5 7,0 5,3 3,1 1,6 1,3

3 13,8 10,1 9,7 6,4 4,1 3,2

4 10,5 7,7 5,5 5,0 4,1 3,4

5 10,2 7,5 7,1 4,6 3,5 2,6

6 9,9 7,2 5,4 4,2 3,2 2,7

média 10,7 7,8 6,4 4,3 3,1 2,4

DP 1,6 1,2 1,7 1,4 1,0 0,9

Ao se comparar a evolução das deformações contra a abertura da fissura

CMOD na Figura 5.3, nota-se que a relação entre ambas não é linear como

sugere a norma europeia UNE-EN 14651 (2007), apesar de seguirem

naturalmente uma mesma tendência. A fissura pode abrir a uma velocidade

maior do que o crescimento da flecha, dependendo da quantidade de fibras que

trabalham ao longo do tramo pós-pico. Observa-se que para o terceiro ensaio

C3-3 a carga máxima foi bastante superior às demais, esse aumento

provavelmente ocorreu devido à maior quantidade de fibras na seção de ruptura

do corpo de prova prismático. Apesar da maior carga máxima, as tensões

residuais fR3 e fR4 foram próximas às dos demais ensaios do mesmo

concreto C3.

O objetivo desses ensaios de caracterização da resistência à tração na

flexão e resistências residuais não foi avaliar detalhadamente os benefícios da

adição de fibras plásticas ou de aço a uma mesma matriz de concreto. Devido ao

baixo número de ensaios para cada concreto – três ou seis ensaios –, não se

procurou quantificar a diferença entre as distintas fibras. Ainda assim foi possível

0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

14 1 anoC

arga

(kN

)

Flecha (mm)

C3-1 C3-2 C3-3 C3-4 C3-5 C3-6

0 1 2 3 40

2

4

6

8

10 C3-1 C3-2 C3-3 C3-4 C3-5 C3-6

1 ano

Ten

são

(MP

a)

CMOD (mm)

103

verificar que o comportamento à tração na flexão do concreto com fibras de aço

foi bastante superior ao do com fibras de polipropileno que, por sua vez, foi

melhor do que o concreto sem fibras. Essas melhoras foram vistas no

comportamento pós-pico, contudo nenhuma diferença significativa foi observada

com respeito à carga máxima. Todas essas comparações são facilmente

observadas na Figura 5.4, confrontando uma curva carga x flecha de cada

concreto: sem fibras C1, com fibras de polipropileno C2 e com fibras de aço C3.

Figura 5.4 – Comparação do comportamento pós-pico dos concretos com e sem fibras.

5.3. Ensaios de fadiga

Foram realizadas cinco séries de ensaios em corpos de prova cúbicos de

100 ± 1 mm de aresta para cada dosagem de concreto. Primeiramente uma série

de ensaios de compressão simples em seis ou mais corpos de prova cúbicos

para se obter a resistência à compressão média dos cubos ����� para cada

dosagem. A partir desta ����� iniciaram-se as quatro séries de ensaios de fadiga

em compressão, em dez ou mais cubos, para cada frequência de carregamento,

mantendo-se constante a tensão máxima em 85% de ����� e a razão entre as

tensões mínimas e máximas R em 0,3.

5.3.1. Concreto sem fibras

Os ensaios de fadiga do concreto sem fibras foram realizados em duas

etapas, conforme descrito no item 4.3. A primeira série de ensaios à fadiga em

compressão foi realizada quando os corpos de prova atingiram seis meses de

idade, a frequência foi de 4 Hz e a resistência média ����� foi obtida por meio de

seis ensaios de compressão simples. A segunda etapa consistiu na continuação

0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

14

Car

ga (

kN)

Flecha (mm)

C1 C2 C3

104

dos ensaios à fadiga para as demais frequências um ano após a produção desse

concreto. Para a realização desses ensaios de fadiga, após um ano, foi obtida

uma nova resistência ����� ensaiando-se outros seis corpos de prova cúbicos. A

Tabela 5.7 apresenta os resultados dos ensaios de compressão ����� do

concreto sem fibras C1 para cada corpo de prova, para as duas etapas de

ensaios: seis meses e um ano.

Tabela 5.7 – Resistência à compressão em cubos �����: concreto sem fibras C1.

Número do ensaio

Resistência à compressão (MPa)

6 meses 1 ano

1 78,5 77,5

2 71,8 82,4

3 64,7 79,8

4 76,9 75,2

5 71,4 73,5

6 77,4 83,9

média 73,5 78,7

DP 5,2 4,1

Pode-se observar que a resistência média aumentou mais de 5 MPa entre

seis meses e um ano. Por isso os ensaios de fadiga a 4 Hz – 6 meses – foram

configurados com base na ����� = 73,5 MPa, e os ensaios para as outras

frequências – 1 ano – baseados na resistência média dos cubos de 78,7 MPa

para o concreto sem fibras C1.

A Tabela 5.8 mostra os resultados dos ensaios de fadiga, número de ciclos

suportados até a ruptura, para a frequência 4 Hz, onde L1, L2 e L3

correspondem às medidas das arestas dos cubos nas três dimensões, sendo L3

a altura do corpo de prova. A carga Pmáx,c é a carga máxima do ensaio de fadiga

calculada para ser equivalente a 85% da tensão média de ruptura �����. As

Tabelas 5.9 a 5.11 apresentam os resultados de fadiga para as frequências

1 Hz, 0,25 Hz e 0,0625 Hz, respectivamente.

105

Tabela 5.8 – Ensaios de fadiga: frequência 4 Hz; concreto sem fibras C1.

Número do ensaio

L1 L2 L3 Pmáx,c Número de ciclos até a ruptura mm kN

1 99,29 99,50 99,70 617 8411

2 99,15 98,97 99,21 613 821

3 99,11 99,39 99,62 615 2485

4 99,14 99,42 99,21 616 1660

5 99,01 98,62 99,21 610 13020

6 99,72 99,26 99,89 618 22570

7 99,69 99,52 99,41 620 9521

8 99,74 99,29 99,63 619 4192

9 99,28 99,36 99,39 616 170256

10 99,40 99,25 99,78 616 1578

11 99,64 99,90 99,39 622 1222

12 99,72 99,50 99,37 620 133

13 100,11 99,63 99,54 623 7038

Tabela 5.9 – Ensaios de fadiga: frequência 1 Hz; concreto sem fibras C1.

Número do ensaio

L1 L2 L3 Pmáx,c Número de ciclos até a ruptura mm kN

1 100,82 100,65 100,00 679 282

2 100,23 100,34 100,61 673 23

3 100,32 100,31 99,43 673 759

4 100,48 100,30 100,30 674 1351

5 100,30 100,56 100,03 675 85

6 100,72 100,36 100,30 676 157

7 100,22 100,55 100,53 674 479

8 100,41 100,32 100,60 674 368

9 100,47 100,60 100,15 676 833

10 100,45 99,78 100,04 671 1571

Tabela 5.10 – Ensaios de fadiga: frequência 0,25 Hz; concreto sem fibras C1.

Número do ensaio

L1 L2 L3 Pmáx,c Número de ciclos até a ruptura mm kN

1 100,09 100,89 100,50 676 98

2 100,34 100,13 100,19 672 1242

3 101,77 100,22 99,90 682 535

4 100,44 99,81 99,88 671 157

5 100,01 100,71 100,03 674 18

6 100,14 100,63 100,43 674 30

7 100,13 99,93 100,45 669 219

8 100,46 99,85 99,94 671 650

9 100,56 100,83 99,95 678 122

10 100,08 101,14 101,04 677 400

106

Tabela 5.11 – Ensaios de fadiga: frequência 0,0625 Hz; concreto sem fibras C1.

Número do ensaio

L1 L2 L3 Pmáx,c Número de ciclos até a ruptura mm kN

1 100,19 100,19 100,15 672 339

2 100,48 100,02 99,83 672 473

3 100,72 100,23 100,19 675 102

4 100,10 100,03 99,88 670 234

5 100,72 100,44 100,85 677 11

6 100,34 100,52 100,11 675 142

7 99,93 100,90 100,32 675 76

8 99,99 100,36 100,12 671 275

9 100,07 100,37 100,35 672 329

10 100,50 99,80 99,70 671 38

Reunindo-se todos os resultados dos ensaios de fadiga das Tabelas 5.8

até 5.11, para o concreto sem fibras C1 em um gráfico frequência versus número

de ciclos, em escala logarítmica, verifica-se que o número de ciclos até a ruptura

diminui para as menores frequências, como mostra a Figura 5.5.

Figura 5.5 – Ensaios de fadiga: frequência x número de ciclos: concreto sem fibras C1.

0,1 1 1010

100

1000

10000

100000

C1 - Concreto sem fibras

4 Hz 1Hz 0,25 Hz 0,0625 Hz

Núm

ero

de c

iclo

s at

é a

rupt

ura

Frequência (Hz)

107

5.3.2. Concreto com fibras de polipropileno

As séries de ensaios de fadiga em compressão realizadas para o concreto

com fibras de polipropileno ocorreram um ano após a produção dos corpos de

prova. Os resultados da série de ensaios de compressão em corpos de prova

cúbicos ����� estão apresentados na Tabela 5.12.

Tabela 5.12 – Resistência à compressão em cubos: concreto com fibras de polipropileno.

Número do ensaio

Resistência à compressão (MPa)

1 ano

1 73,1

2 63,3

3 79,1

4 74,0

5 73,5

6 78,7

média 73,6

DP 5,7

A resistência à compressão média ����� obtida nos cubos do concreto com

fibras de polipropileno foi inferior à obtida na caracterização por meio dos

cilindros padronizados, assim como foi menor do que a resistência em cubos do

concreto sem fibras que foi produzido com a mesma matriz de concreto.

Esperava-se que a resistência à compressão em cubos ����� fosse

aproximadamente 20% maior do que a resistência à compressão obtida a partir

de corpos de prova cilíndricos (Mindess, 2002). Para o concreto sem fibras C1 a

resistência em cubos �����,�� = 78,7 MPa foi levemente superior à dos cilindros

���� = 75,0 MPa. No concreto com fibras de polipropileno C2 a resistência em

cubos �����,� 73,6 = MPa foi bastante inferior à resistência obtida a partir dos

cilindros ��� = 86,0 MPa.

Acredita-se que as resistências à compressão obtidas a partir dos cubos

foram inferiores ao esperado devido a uma pequena falha no processo de

moldagem dos corpos de prova prismáticos no que diz respeito à vibração. O

ideal teria sido utilizar uma mesa vibratória para os moldes prismáticos, porém

na indisponibilidade da mesma foi usado o vibrador de imersão. Devido às

dimensões do prisma o vibrador de imersão não foi inserido perpendicularmente

108

à face superior e sim levemente inclinado, movendo-se pela superfície para

atingir todo o volume. Em seguida buscou-se vibrar as paredes laterais por fora

dos moldes, porém, essa vibração externa aparentemente não surtia muito

efeito. Ainda assim, a vibração interna e externa foi realizada em cada um dos

moldes dos corpos de prova prismáticos.

A explicação das resistências nos cubos ����� resultarem abaixo do

esperado se comparada a dos cilindros foi que o processo de vibração nos

cilindros foi mais eficiente do que nos prismas. Com isso, apesar da elevada

resistência, a resistência dos cubos resultou inferior ao esperado. Observa-se

que essa redução de ����� foi maior no concreto com fibras de polipropileno,

onde as fibras de polipropileno acabaram sendo um inconveniente para a

qualidade do processo de vibração nos prismas.

Esse fato justifica que para os ensaios de fadiga é necessário obter a

resistência à compressão a partir de corpos de prova com a mesma geometria

que os corpos de prova do ensaios de fadiga.

As Tabelas 5.13 a 5.16 mostram os resultados dos ensaios de fadiga em

compressão para o concreto com fibras de polipropileno C2, sendo a Tabela

5.13 para a frequência 4Hz, a Tabela 5.14 para a frequência 1Hz e as Tabelas

5.15 e 5.16 para as frequências 0,25 Hz e 0,0625 Hz, respectivamente.

Tabela 5.13 – Ensaios de fadiga: frequência 4 Hz; concreto com fibras de polipropileno.

Número do ensaio

L1 L2 L3 Pmáx,c Número de ciclos até a ruptura mm kN

1 100,53 100,55 100,18 632 1009

2 100,68 100,43 100,25 633 6799

3 100,88 99,73 100,41 629 6792

4 100,08 100,64 100,52 630 668

5 100,32 100,73 100,12 632 1685

6 100,56 100,07 100,09 630 900

7 99,69 100,53 100,43 627 6446

8 99,97 100,67 100,25 630 2962

9 100,45 100,16 100,40 629 371

10 100,53 100,57 100,46 632 376

11 100,54 99,88 100,64 628 3656

109

Tabela 5.14 – Ensaios de fadiga: frequência 1 Hz; concreto com fibras de polipropileno.

Número do ensaio

L1 L2 L3 Pmáx,c Número de ciclos até a ruptura mm kN

1 100,58 99,89 100,67 629 1457

2 101,12 99,62 100,00 630 11383

3 100,47 100,40 100,21 631 11589

4 100,23 100,47 100,27 630 2629

5 100,30 102,57 100,99 644 237

6 99,93 100,53 99,36 628 10480

7 100,70 100,14 100,48 631 1294

8 100,33 100,37 100,29 630 710

9 100,96 100,64 100,93 636 124

10 100,61 100,14 100,48 630 31020

Tabela 5.15 – Ensaios de fadiga: frequência 0,25 Hz; concreto com fibras de polipropileno.

Número do ensaio

L1 L2 L3 Pmáx,c Número de ciclos até a ruptura mm kN

1 100,75 100,52 100,48 634 1559

2 100,45 100,51 100,58 632 12

3 100,24 100,14 100,49 628 3500

4 100,43 100,36 100,52 631 176

5 100,72 100,45 100,38 633 632

6 100,92 100,51 100,38 635 1905

7 100,71 100,30 100,05 632 451

8 100,67 99,94 100,02 629 107

9 100,19 100,37 100,25 629 14

10 100,36 100,89 100,71 633 5113 Tabela 5.16 – Ensaios de fadiga: frequência 0,0625 Hz; concreto com fibras de polipropileno.

Número do ensaio

L1 L2 L3 Pmáx,c Número de ciclos até a ruptura mm kN

1 100,35 100,40 99,96 630 617

2 100,22 100,74 100,98 632 74

3 100,47 100,11 100,16 629 119

4 100,75 100,52 101,06 634 40

5 100,15 100,37 100,73 629 1264

6 100,26 100,17 100,03 628 331

7 100,57 100,60 100,44 633 42

8 101,30 100,28 100,51 636 93

9 100,40 100,63 100,49 632 16

10 100,30 100,68 100,42 632 949

110

Os resultados dos ensaios de fadiga para o concreto com fibras de

polipropileno apresentados nas Tabelas 5.13 até 5.16 estão agrupados na

Figura 5.6.

Figura 5.6 – Ensaios de fadiga: frequência x número de ciclos: concreto com fibras de polipropileno C2.

Observa-se uma melhora no comportamento à fadiga em compressão do

concreto com fibras de polipropileno em comparação ao concreto sem fibras

para as menores frequências, por exemplo, comparando-se a quantidade de

corpos de prova que suportaram mais de mil ciclos para 0,0625 Hz, 0,25 Hz e

1 Hz. Ainda assim alguns corpos de prova não suportaram mais do que cem

ciclos para as menores frequências.

5.3.3. Concreto com fibras de aço

Os ensaios de fadiga em compressão para o concreto com fibras de aço

também foram realizados um ano após a produção dos corpos de prova. Os

resultados destes ensaios estão apresentados nas Tabelas 5.17 a 5.21. Na

Tabela 5.17 estão os resultados de resistência à compressão nos corpos de

prova cúbicos �����; na Tabela 5.18 os resultados dos ensaios de fadiga para a

frequência 4 Hz; na Tabela 5.19 para a frequência 1 Hz e nas Tabelas 5.20 e

0,1 1 1010

100

1000

10000

100000

C2 - Concreto com fibras de polipropileno

4 Hz 1Hz 0,25 Hz 0,0625 Hz

Núm

ero

de c

iclo

s at

é a

rupt

ura

Frequência (Hz)

111

5.21 estão os resultados para as frequências 0,25 Hz e 0,0625 Hz,

respectivamente.

Tabela 5.17 – Resistência à compressão em cubos: concreto com fibras de aço C3.

Número do ensaio

Resistência à compressão (MPa)

1 ano

1 80,2

2 85,3

3 86,3

4 86,9

5 88,5

6 89,1

7 89,9

8 90,6

média 87,1

DP 3,3

Observa-se neste caso que a resistência à compressão média obtida dos

corpos de prova cúbicos �����, para o concreto com fibras de aço, foi bastante

superior às demais resistências ����� dos concretos anteriores, C1 e C2.

A resistência em cubos �����,� = 87,1 MPa para o concreto C3 foi

levemente superior à resistência à compressão em cilindros ��� = 86,0 MPa,

assim como ocorreu para o concreto sem fibras C1.

Tabela 5.18 – Ensaios de fadiga: frequência 4 Hz; concreto com fibras de aço C3.

Número do ensaio

L1 L2 L3 Pmáx,c Número de ciclos até a ruptura mm kN

1 100,27 100,42 99,77 759 1398

2 100,78 100,89 100,26 767 1751

3 100,23 100,84 100,18 762 1347

4 100,58 100,34 100,09 761 1673

5 100,27 100,70 99,73 761 5952

6 101,20 100,31 100,29 765 849

7 100,43 100,33 100,53 760 4070

8 100,40 99,91 100,51 756 1176

9 100,56 100,30 100,20 760 2042

10 100,58 100,07 99,94 759 2635

112

Tabela 5.19 – Ensaios de fadiga: frequência 1 Hz; concreto com fibras de aço C3.

Número do ensaio

L1 L2 L3 Pmáx,c Número de ciclos até a ruptura mm kN

1 100,52 100,93 100,44 765 2365

2 101,03 100,31 99,85 764 1344

3 100,02 100,57 100,23 758 154

4 100,43 100,94 100,56 764 746

5 100,41 100,17 99,97 758 7438

6 100,92 100,39 100,18 764 412

7 100,07 100,26 100,08 756 2077

8 100,75 100,75 100,25 765 4082

9 99,85 100,15 100,35 754 3120

10 100,72 100,25 99,95 761 3945

Tabela 5.20 – Ensaios de fadiga: frequência 0,25 Hz; concreto com fibras de aço C3.

Número do ensaio

L1 L2 L3 Pmáx,c Número de ciclos até a ruptura mm kN

1 100,85 100,60 99,92 765 1291

2 100,45 100,84 100,54 764 237

3 100,57 100,40 100,69 761 314

4 100,63 100,60 100,13 763 716

5 100,69 100,27 99,73 761 5541

6 100,82 100,20 99,92 762 1014

7 100,57 100,84 100,24 765 986

8 99,83 100,21 100,15 754 2432

9 100,68 100,37 100,30 762 751

10 100,31 100,45 100,43 760 3659

Tabela 5.21 – Ensaios de fadiga: frequência 0,0625 Hz; concreto com fibras de aço C3.

Número do ensaio

L1 L2 L3 Pmáx,c Número de ciclos até a ruptura mm kN

1 100,11 100,40 100,16 758 221

2 100,04 100,90 100,45 761 1875

3 100,35 101,05 100,19 765 1144

4 100,02 100,64 100,39 759 1246

5 100,37 100,83 100,27 763 2409

6 100,39 100,51 100,54 761 1273

7 100,10 100,24 100,14 757 1121

8 100,04 100,34 99,42 757 256

9 100,09 100,30 100,18 757 1304

10 99,88 100,31 100,09 755 741

113

Os números de ciclos até a ruptura de cada um dos 40 ensaios de fadiga

em compressão realizados para o concreto com fibras de aço, para as quatro

frequências selecionadas estão apresentados em conjunto na Figura 5.7.

Figura 5.7 – Ensaios de fadiga: frequência x número de ciclos: concreto com fibras de aço C3.

Nota-se na Figura 5.7 que os números de ciclos até a ruptura para as

menores frequências se aproximam dos números de ciclos para as frequências

mais altas para o concreto com fibras de aço. Bastante diferente do concreto

sem fibras, e ainda com um desempenho superior ao concreto com fibras de

polipropileno nas menores frequências.

A comparação entre os três concretos estudados pode ser visualizada na

Figura 5.8, onde estão desenhadas as médias e desvio padrão DP de cada

concreto para cada frequência selecionada.

0,1 1 1010

100

1000

10000

100000 C3 - Concreto com fibras de aço

4 Hz 1Hz 0,25 Hz 0,0625 Hz

Núm

ero

de c

iclo

s at

é a

rupt

ura

Frequência (Hz)

114

Figura 5.8 – Ensaios de fadiga: concretos C1, C2 e C3; médias e desvios padrão.

Essas médias e desvios padrão apresentados na Figura 5.8 foram obtidas

por meio de equações baseadas na distribuição de Weibull de três parâmetros.

Essa distribuição de Weibull mostra uma boa concordância com os resultados de

ruptura por fadiga, pois seus parâmetros de ajuste de escala e forma permitem

modelar uma grande variedade de dados. Ang e Tang (1975), Ross (2004) e Lai

et al. (2006) afirmam que as distribuições de Weibull são usadas para descrever

vários fenômenos ou ruptura de componentes. A metodologia utilizada para se

0,1 1 1010

100

1000

10000

Média + DP Média Média - DP

Núm

ero

de c

iclo

s

Frequência (Hz)

C1

0,1 1 1010

100

1000

10000

Média + DP Média Média - DP

Núm

ero

de c

iclo

s

Frequência (Hz)

C2

0,1 1 1010

100

1000

10000

Média + DP Média Média - DP

Núm

ero

de c

iclo

s

Frequência (Hz)

C3

115

obter as médias e os desvios padrão usando-se a distribuição de Weibull de três

parâmetros está descrita no Anexo B.

Há grande variabilidade nos resultados de números de ciclos até a ruptura

para uma mesma série de ensaios de fadiga, por exemplo: C1, 4Hz. Se a média

e o desvio padrão forem calculados por meio das equações convencionais a

média seria de 18,7 mil ciclos e o desvio padrão 46 mil ciclos. Esses valores não

seriam reais se fosse desenhada a faixa de valores dos ensaios como na

Figura 5.8, como a média ± o desvio padrão. Por isso optou-se por calcular a

média e o desvio padrão utilizando-se as equações da distribuição de Weibull de

três parâmetros.

Observa-se na Figura 5.8 que existe um aumento no número de ciclos até

a ruptura do concreto com fibras de polipropileno C2, para o concreto sem fibras

C1, para as menores frequências. A faixa de resultados do número de ciclos

para o concreto com fibras de aço C3 para as menores frequências foi bastante

superior comparada às dos concretos C1 e C2.

A Figura 5.9 reúne os três gráficos apresentados na Figura 5.8, onde é

possível comparar entre os três concretos estudados, para as quatro frequências

de carregamento selecionadas.

Figura 5.9 – Ensaios de fadiga: comparação entre os concretos com e sem fibras.

0,1 1 1010

100

1000

10000

C3 C2 C1

+ DP - DP

Núm

ero

de c

iclo

s at

é a

rupt

ura

Frequência (Hz)

116

Comparando-se os três concretos para cada frequência selecionada,

considerando-se a Figura 5.9, é possível observar a melhora do comportamento

à fadiga a baixas frequências pela adição de fibras, onde as fibras de aço

tiveram o melhor desempenho. Para a frequência 0,0625 Hz a faixa de valores

para o concreto com fibras de aço C3 foi maior do que toda a faixa de valores

para o concreto sem fibras C1. Entre o concreto com fibras de polipropileno C2 e

o concreto sem fibras C1, os números de ciclos variaram entre faixas

semelhantes, sendo que a dispersão para o concreto C2 foi maior. Passando-se

para a frequência 0,25 Hz percebe-se uma melhora progressiva de C1 para C2 e

de C2 para C3, seja por meio dos valores médios (linhas e símbolos mais

espessos), seja por meio da faixa de valores (± o desvio padrão). Na frequência

1 Hz observa-se que a faixa de valores para o concreto sem fibras esteve

bastante abaixo das faixas de valores dos concretos com fibras. Entre os

concretos com fibras a média do número de ciclos foi maior para o concreto C2,

porém, a dispersão dos resultados foi bastante alta, com valores variando desde

pouco mais de cem ciclos até mais de trinta mil ciclos. Para a maior frequência

4 Hz todos os resultados oscilaram praticamente dentro de uma mesma faixa,

onde a média e variação foram maiores para o concreto sem fibras C1,

influenciada por um único corpo de prova que resistiu mais de 170 mil ciclos.

Resumindo: o comportamento à fadiga em compressão do concreto com

fibras de aço foi melhor apenas para as menores frequências; o concreto com

fibras de polipropileno teve desempenho intermediário entre o concreto sem

fibras e o concreto com fibras de aço; para a maior frequência ensaiada não

houve uma diferença representativa entre os três concretos.

Ficou comprovado experimentalmente que a frequência de carregamento

influencia o comportamento do concreto à fadiga em compressão, e que a

adição de fibras melhora o desempenho à fadiga para as frequências mais

baixas.

117

5.4. Histórico de deformações

O histórico de deformações ao longo de cada ensaio foi estudado com o

objetivo de compreender o efeito da frequência no comportamento à fadiga do

concreto em compressão, assim como o benefício da adição de fibras para as

diferentes frequências selecionadas.

Como descrito anteriormente no capítulo 2, em um ensaio de fadiga em

concreto, quando a deformação específica na tensão máxima é desenhada em

função do tempo do ensaio a curva resultante é denominada curva de fluência

cíclica (Figura 2.7). Essa curva tem um tramo central praticamente linear, cuja

inclinação pode ser chamada de taxa de deformação específica secundária ou

taxa de fluência secundária �� �� (Sparks,1982; Cornelissen ,1984; CEB 188,

1988; Hordijk et al., 1995).

Para efeitos práticos, na sequência deste trabalho, esta taxa de

deformação específica secundária será denominada apenas taxa de deformação

ou apenas ��. Essa taxa de deformação �� foi obtida em todos os ensaios de

fadiga, para cada concreto e frequência.

Duas análises diferentes foram realizadas com o histórico de deformações

dos ensaios de fadiga: comparar a taxa de deformação �� e comparar a evolução

das deformações máximas ao longo do ensaio.

5.4.1. Taxa de deformação

Uma forma de avaliar o comportamento à fadiga dos três concretos

estudados para as quatro diferentes frequências escolhidas por meio histórico de

deformações foi desenhar o número de ciclos até a ruptura versus a taxa de

deformação em escala logarítmica, para cada ensaio.

A Figura 5.10 apresenta o número de ciclos versus a taxa de deformação

para os concretos sem fibras C1, com fibras de polipropileno C2 e com fibras de

aço C3.

118

Figura 5.10 – Número de ciclos x taxa de deformação ��: C1, C2 e C3.

Observa-se na Figura 5.10 que os resultados individuais de cada série de

ensaios de fadiga se alinham. No próximo capítulo serão apresentadas

equações para curvas de ajuste, que na escala log-log são linhas, e essas

linhas, em cada frequência, são praticamente paralelas entre si. Observa-se

também que o número de ciclos é maior para uma mesma taxa de deformação

quanto maior for a frequência de carregamento.

Na Figura 5.11 está redesenhada a Figura 5.10 separando-se agora os

gráficos por frequência, para os três concretos C1, C2 e C3.

1 10 100 1000 10000 1000001E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

ε (s-1

)

Número de ciclos

4 Hz 1 Hz 0,25 Hz 0,0625 Hz 4 Hz 1 Hz 0,25 Hz 0,0625 Hz

C1

1 10 100 1000 10000 1000001E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

ε (s

-1)

Número de ciclos

4 Hz 1 Hz 0,25 Hz 0,0625 Hz 4 Hz 1 Hz 0,25 Hz 0,0625 Hz

C2

1 10 100 1000 10000 1000001E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

ε (s

-1)

Número de ciclos

4 Hz 1 Hz 0.25 Hz 0.0625 Hz 4 Hz 1 Hz 0.25 Hz 0.0625 Hz

C3

119

Figura 5.11 – Número de ciclos x taxa de deformação ��: 4 Hz, 1Hz, 0,25 Hz e 0,0625 Hz.

As linhas que se ajustam para cada série de ensaios – tipo de concreto e

frequência selecionada – agora estão mais próximas ao separar os gráficos por

frequência na Figura 5.11 em comparação à Figura 5.10, onde foram separados

por tipo de concreto. Para uma mesma taxa de deformação é possível observar

que o número de ciclos é maior para o concreto com fibras de aço.

A Figura 5.12 reúne em um mesmo gráfico todos os resultados dos

ensaios de fadiga.

1 10 100 1000 10000 1000001E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

ε (s-1

)

Número de ciclos

C1 C2 C3 C1 C2 C3

4 Hz

1 10 100 1000 10000 1000001E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

ε (s-1

)

Número de ciclos

C1 C2 C3 C1 C2 C3

1 Hz

1 10 100 1000 10000 1000001E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

ε (s-1

)

Número de ciclos

C1 C2 C3 C1 C2 C3

0,25 Hz

1 10 100 1000 10000 1000001E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

ε (s-1

)

Número de ciclos

C1 C2 C3 C1 C2 C3

0,0625 Hz

120

Figura 5.12 – Número de ciclos x taxa de deformação ��: 4 Hz, 1Hz, 0,25 Hz e 0,0625 Hz.

A legenda da Figura 5.12 tem 12 símbolos diferentes para as 12 séries de

ensaios de fadiga: três tipos de concreto e quatro frequências de carregamento.

Observa-se que os resultados se agrupam por frequência. Para uma taxa de

deformação qualquer, o menor número de ciclos seria para o concreto sem fibras

C1 para a menor frequência 0,0625 Hz, enquanto que o maior número de ciclos

seria para o concreto com fibras de aço C3 para a frequência 4 Hz.

Selecionando-se uma taxa de deformação, por exemplo, 10-6, ou um número de

ciclos, por exemplo, 500 ciclos, e traçando-se uma linha dos menores para os

maiores valores: primeiro encontram-se resultados para a menor frequência

0,0625 Hz para o concreto C1, logo C2 e em seguida C3; chega-se então à

próxima frequência 0,25 Hz seguindo-se a mesma ordem C1, C2 e C3; repete-se

a sequência para a frequência 1 Hz, e por fim a mesma ordem C1, C2 e C3 para

a maior frequência 4Hz.

No próximo capítulo será abordada uma relação direta entre �� e N para

cada série de ensaios, e serão obtidas equações que melhor se ajustem aos

resultados de cada série de ensaios por meio do modelo probabilístico proposto.

10 100 1000 10000 100000

1E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

C1 - 4 Hz C1 - 1 Hz C1 - 0,25 Hz C1 - 0,0625 Hz C2 - 4 Hz C2 - 1 Hz C2 - 0,25 Hz C2 - 0,0625 Hz C3 - 4 Hz C3 - 1 Hz C3 - 0,25 Hz C3 - 0,0625 Hz

ε (/s

-1)

Número de ciclos até a ruptura

121

5.4.2. Deformações máximas

Outra forma de avaliar o comportamento à fadiga dos concretos estudados

foi realizada comparando-se o histórico de deformações em dois casos:

comparando-se as quatro frequências ou os três concretos. A Figura 5.13 mostra

as curvas de fluência cíclica (evolução das deformações específicas máximas ao

longo do tempo) separadas em três gráficos, sendo um gráfico para cada tipo de

concreto. No eixo das abscissas o tempo de ensaio foi normalizado, e no eixo

das ordenadas a deformação específica máxima variou de 0 a 1%, para uma

melhor comparação entre todos os gráficos.

Para essa comparação foram selecionadas duas curvas para cada série de

ensaios de fadiga. Essas duas curvas por série foram as que apresentaram as

maiores e as menores deformações específicas máximas ao longo do ensaio,

equivalentes a uma envoltória das deformações específicas ao longo do tempo

para todos os ensaios de uma mesma série.

Cada série de ensaios de fadiga foi configurada para diferentes valores de

cargas máxima e mínima, correspondentes a 85% de ����� e a razão entre

tensões R com valor de 0,3. O ponto de início de cada ensaio – tensão média Sm

– variou para cada concreto, assim como variou para cada corpo de prova

cúbico em função das suas dimensões. Sendo assim, o início do

armazenamento de dados com respeito às deformações também variou. Para

uma melhor comparação das curvas de fluência cíclica foi selecionada como

deformação específica zero, em todas as curvas, o primeiro ponto de

deformação específica mínima durante o primeiro ciclo. Os ensaios de fadiga

partiam de uma carga média, ou tensão média, até o valor correspondente a

Smáx, seguindo um sinal senoidal (ver Figura 4.8), onde era armazenado o

primeiro ponto de máximo; a carga então era reduzida até a carga

correspondente a Smín, sendo esse o primeiro ponto de mínimo armazenado.

Esse primeiro ponto de mínimo foi considerado como deformação específica

inicial zero, nas Figuras 5.13 e 5.14, visto que todas as deformações seguintes

seriam superiores a essa.

A Figura 5.13 apresenta as curvas de fluência cíclica para os concretos:

sem fibras C1, com fibras de polipropileno C2 e com fibras de aço C3. Sendo

duas curvas para cada série de ensaios (maiores e menores deformações

específicas), como descrito anteriormente.

122

Figura 5.13 – Tempo normalizado x deformação específica máxima: C1, C2 e C3.

Cabe ressaltar que estas duas curvas para cada série de ensaios

representam apenas as maiores e menores deformações específicas máximas

ao longo do ensaio, o que não significa que a curva de maiores deformações

específicas corresponda obrigatoriamente ao maior número de ciclos da série,

ou que a curva de menores deformações específicas corresponda ao menor

número de ciclos. Na sequência deste capítulo será detalhado o histórico de

deformações de cada um dos ensaios de fadiga. Onde se comprova que nem

sempre a maior deformação específica total ao longo do ensaio ocorreu no corpo

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 0,0625 Hz 0,25 Hz 1 Hz 4 Hz

Def

. esp

. máx

ima

%

Tempo normalizado

C1

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 0,0625 Hz 0,25 Hz 1 Hz 4 Hz

Def

. esp

. máx

ima

%

Tempo normalizado

C2

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 0,0625 Hz 0,25 Hz 1 Hz 4 Hz

Def

. esp

. máx

ima

%

Tempo normalizado

C3

123

de prova que suportou o maior número de ciclos, nem a menor deformação

específica total no com menor número de ciclos, ainda que em alguns casos

exista essa tendência.

A partir da Figura 5.13 algumas observações podem ser realizadas quanto

à deformação específica máxima total – ou deformação específica última – e

sobre o formato das curvas para os diferentes tipos de concreto.

A deformação específica máxima total, correspondente à deformação

verificada na última carga máxima antes da ruptura do corpo de prova foi maior

para os concretos com fibras. O concreto com fibras de aço C3 suportou maiores

deformações que o concreto com fibras de polipropileno C2. A deformação

específica última não atingiu 1% (ou 1 mm) para os concretos C1 e C2, enquanto

que para o concreto com fibras de aço a ruptura ocorreu em valores de

deformação específica próximos ou até superiores a 1% (ou 1 mm). Como a

altura dos corpos de prova cúbicos era de 100 ± 1 mm, uma deformação

específica de 1% equivale aproximadamente a 1 mm. Na sequência deste

capítulo serão comparadas deformações reais ao invés de comparar

deformações específicas.

Quanto à forma das curvas é possível observar que para os concretos com

fibras C2 e C3, em alguns casos, houve uma quebra de tendência no tramo

central das curvas. Entende-se que essa quebra de tendência reflete o ponto a

partir do qual uma ou mais fibras começaram a trabalhar, onde uma ou mais

fibras eram tracionadas costurando fissuras e microfissuras. Em alguns casos

essa(s) fibra(s) se rompia(m), e essa situação se reflete em um salto na curva de

deformação máxima. Esse fato é mais visível nas curvas do concreto com fibras

de polipropileno C2 do que no concreto com fibras de aço C3 (Figura 5.13).

As taxas de deformação �� apresentadas nas Figuras 5.10 a 5.12 foram

obtidas a partir inclinação dos tramos centrais de cada curva, i.e, de cada ensaio

de fadiga. Quando esse tramo central tinha uma quebra de tendência, a

inclinação obtida foi uma média ponderada das duas ou três inclinações com

respeito ao tempo decorrido em cada tramos linear. Os detalhes de cada curva,

como as deformações antes, durante e depois desse tramo central, assim como

o tempo decorrido em cada um desses três períodos serão abordados na

sequência deste capítulo.

A Figura 5.14 reordena as mesmas curvas apresentadas na Figura 5.13,

separando em gráficos para cada frequência.

124

Figura 5.14 – Tempo normalizado x deformação específica máxima: 0,0625 Hz, 0,25 Hz, 1 Hz e 4 Hz.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 C1 C2 C3

Def

. esp

. máx

ima

%

Tempo normalizado

0,0625 Hz

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 C1 C2 C3

Def

. esp

. máx

ima

%

Tempo normalizado

0,25 Hz

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 C1 C2 C3

Def

. esp

. máx

ima

%

Tempo normalizado

1 Hz

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 C1 C2 C3

Def

. esp

. máx

ima

%

Tempo normalizado

4 Hz

125

Observando-se a Figura 5.14 fica mais claro observar que as deformações

máximas ao longo dos ensaios foram maiores para os concretos com fibras. As

deformações geralmente foram maiores para o concreto C3 e as deformações

do concreto C2 foram um pouco superiores em comparação ao concreto sem

fibras C1, pelo menos na metade final do tempo de ensaio. A deformação final

foi maior para os concretos com fibras, principalmente para o concreto com

fibras de aço C3 nas frequências 0,0625 Hz, 0,25 Hz e 1 Hz quando chega a

superar 1 mm (1%). No caso do concreto com fibras de aço C3, apenas para a

frequência 4 Hz a deformação final não alcançou 1 mm (1%).

O limite máximo de deformações dos ensaios de fadiga pode ser melhor

compreendido observando a envoltória das curvas carga versus deformação, do

ensaio de compressão em cubos para a obtenção da resistência à compressão

média �����, para cada concreto, como mostra a Figura 5.15. As curvas mais

grossas demarcam a envoltória dos ensaios de cada série e a linha pontilhada –

que corresponde a 85% de ����� para um cubo teórico com arestas medindo

100,00 mm – que demarca a variação máxima e mínima da deformação na

carga correspondente à tensão máxima dos ensaios de fadiga realizados.

A deformação total em cada tipo de concreto nos ensaios de fadiga está

esquematicamente demarcada na Figura 5.15 nas linhas tracejadas e seus

valores máximos e mínimos – destacado em itálico – variaram de: 0,36 a

0,69 mm para o concreto sem fibras C1; 0,34 a 0,83 mm para o concreto com

fibras de polipropileno C2; 0,75 a 1,34 mm para o concreto com fibras de aço C3.

126

Figura 5.15 – Envoltórias das curvas carga x deformação: ensaios de compressão em cubos; concretos C1, C2 e C3.

Observa-se na Figura 5.15 que o concreto com fibras de aço C3 tem

maiores deformações que os demais concretos e que o concreto sem fibras foi o

que apresentou as menores deformações, tanto nos ensaios de compressão

estática (cotas sólidas) quanto nos ensaios de fadiga (cotas tracejadas). As

deformações máximas dos ensaios de fadiga oscilaram entre valores próximos

dos obtidos das envoltórias dos ensaios estáticos, para cada concreto.

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,000

200

400

600

800

1000

deformação em fadiga

deformação estática

0,69 mm

0,36 mm

Car

ga (

kN)

Deformação (mm)

C1

0,28 mm

0,58 mm

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,000

200

400

600

800

1000

deformação em fadiga

deformação estática

0,83 mm

0,34 mm

0,78 mm

Car

ga (

kN)

Deformação (mm)

C2

0,21 mm

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,000

200

400

600

800

1000

deformação estática

deformação em fadiga

1,34 mm

0,75 mm

0,73 mm

Car

ga (

kN)

Deformação (mm)

C3

1,16 mm

127

A Figura 5.16 mostra a curva da evolução das deformações máximas

dividida em três períodos: 1) início do ensaio; 2) tramo central do ensaio de onde

se obtém ��; 3) final do ensaio. Nessa figura, Di e Ti, correspondem à variação da

deformação máxima e tempo correspondente a cada período, respectivamente.

Figura 5.16 – Três períodos de um ensaio de fadiga.

As Figuras 5.17 a 5.28 ajudam a visualizar todos os detalhes dos históricos

das deformações máximas de cada um dos ensaios de fadiga. Essas figuras são

gráficos em colunas, onde no eixo das abscissas tem-se os números de ciclos

até a ruptura para cada ensaio de fadiga, e nos eixos das ordenadas à esquerda

tem-se a deformação máxima e à direita o tempo normalizado.

Cada coluna é dividida em três partes, correspondentes à deformação

antes D1, durante D2 e depois D3 do tramos central. Dentro de cada uma das

três partes da coluna estão anotados os valores de deformação em milímetros

correspondentes a cada período. As linhas tracejadas T2 demarcam o

percentual do tempo total do ensaio correspondente ao tramo central – etapa 2 e

as linhas pontilhadas T1 marcam o percentual do tempo correspondente ao

início do ensaio. O tempo do final do ensaio T3 não é apresentado, porém, é

facilmente calculado como T3 = 1 – T1 – T2. A média das deformações finais de

cada série é demarcada por uma linha vermelha e o desvio padrão dessas

deformações finais corresponde à área sombreada em torno dessa linha

vermelha. Finalmente as deformações máximas obtidas das envoltórias dos

ensaios de compressão estática ����� estão marcadas por duas estrelas no eixo

vertical esquerdo.

As Figuras 5.17 até 5.20 apresentam o resumo do histórico de

deformações para o concreto sem fibras C1, separados para cada frequência,

iniciando-se por 0,0625 Hz até 4 Hz. As Figuras 5.21 a 5.24 mostram o histórico

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

T1

T3

T2

D3

D2

1,00,80,60,40,2

32

Def

orm

ação

máx

ima

(mm

)

Tempo normalizado

1

ε.

0

D1

128

das deformações para o concreto com fibras de polipropileno C2. O resumo das

deformações máximas do concreto com fibras de aço C3 é apresentado nas

Figuras 5.25 até 5.28.

Figura 5.17 – Histórico de deformações: concreto sem fibras; 0,0625 Hz.

Figura 5.18 – Histórico de deformações: concreto sem fibras; 0,25 Hz.

0.03

0.070.09

0.050.07

0.09

0.06

0.10 0.10

0.18 0.15

0.20

0.13

0.12

0.13 0.11 0.150.12

0.09

0.18

0.35

0.32

0.26 0.29 0.38

0.35

0.49

0.43

0.37

70%

51%

63%

50%

59%

53%

46%

52% 51%47%

0%

5%

13%

18%

9%12%

14%9% 15% 15%

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

11 38 76 102 142 234 275 329 339 473

De

form

açã

o m

áx

ima

(m

m)

Número de ciclos até a ruptura

C1 - 0,0625 Hz

D3

D2

D1

T2

T1

100%

80%

60%

40%

20%

0%

0.070.04

0.080.09 0.09

0.070.09

0.11 0.110.13

0.11

0.240.22

0.140.16

0.15

0.17

0.120.09

0.15

0.18

0.11

0.180.23

0.19 0.23

0.26

0.33

0.39

0.34

47%

73%70%

61%67%

71%

67%

58%

51%

55%

12%4%

7%

12% 11%8% 9%

12%15%

15%

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

18 30 98 122 157 219 400 535 650 1242

De

form

açã

o m

áx

ima

(m

m)

Número de ciclos até a ruptura

C1- 0,25 Hz

D3

D2

D1

T2

T1

100%

80%

60%

40%

20%

0%

Tem

po n

orm

aliz

ado

Tem

po n

orm

aliz

ado

129

Figura 5.19 – Histórico de deformações: concreto sem fibras; 1 Hz.

Figura 5.20 – Histórico de deformações: concreto C1; 4 Hz.

0.10

0.13 0.13

0.11

0.13 0.13 0.12 0.12 0.12

0.08

0.12

0.15 0.15 0.16 0.14

0.10

0.08

0.27

0.19

0.09

0.16

0.28 0.280.23

0.32 0.29

0.37

0.26 0.310.45

45%

55%

62%64%

51%

56%

48%

78% 70%

53%

23%

16%

11%9%

12% 12% 12%

5%8%

10%

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

23 85 157 282 368 479 759 833 1351 1571

De

form

açã

o m

áx

ima

(m

m)

Número de ciclos até a ruptura

C1- 1 Hz

D3

D2

D1

T2

T1

100%

80%

60%

40%

20%

0%

0.25

0.160.22

0.22

0.15

0.09

0.22 0.180.15

0.22 0.18

0.14

0.19

0.16

0.140.10

0.11

0.15

0.13

0.16

0.110.12

0.15

0.090.14

0.14

0.220.25 0.28

0.19

0.23 0.30

0.110.23 0.24 0.26 0.30 0.28

0.34

45%

60%

42%

52%

58%

69%

62%

54%

61% 62%

52%

65%

67%

29%

17%27%

26%

14%

8%

19%

21%21%

18% 21%

15%

15%

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

133 821 1222 1578 1660 2485 4192 7038 8411 9521 13020 22570 170256

De

form

açã

o m

áx

ima

(m

m)

Número de ciclos até a ruptura

C1 - 4 Hz

D3

D2

D1

T2

T1

100%

80%

60%

40%

20%

0%

Tem

po n

orm

aliz

ado

Tem

po n

orm

aliz

ado

130

Figura 5.21 – Histórico de deformações: concreto com fibras de polipropileno; 0,0625 Hz.

Figura 5.22 – Histórico de deformações: concreto com fibras de polipropileno; 0,25 Hz.

0.060.01 0.03

0.12

0.03

0.22

0.06

0.14

0.08

0.29

0.13

0.15

0.07

0.17

0.37

0.20

0.23

0.20

0.20

0.18

0.20

0.33 0.37

0.29

0.11

0.190.21

0.32 0.45

0.35

53%56%

54%

58%

80%

53%

70%

60% 61%

46%

13%3%

7%

23%

8%

22%

13%

23%

9%

29%

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

16 40 42 74 93 119 331 617 949 1264

De

form

açã

o m

áx

ima

(m

m)

Número de ciclos até a ruptura

C2 - 0,0625 Hz

D3

D2

D1

T2

T1

100%

80%

60%

40%

20%

0%

0.15

0.00 0.03 0.03

0.18

0.03 0.06

0.100.12 0.09

0.11

0.27

0.13

0.17

0.16

0.26

0.37

0.22

0.11

0.280.08

0.13

0.38

0.28 0.27 0.38

0.28

0.28

0.30

0.3355%

77%

58%

57% 57%

75%

79%

68%

60%

70%

27%

0% 8%

5%

26%

5% 3%

14%

17% 10%

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

12 14 107 176 451 632 1559 1905 3500 5113

De

form

açã

o m

áx

ima

(m

m)

Número de ciclos até a ruptura

C2 - 0,25 Hz

D3

D2

D1

T2

T1

100%

80%

60%

40%

20%

0%

Tem

po n

orm

aliz

ado

Tem

po n

orm

aliz

ado

131

Figura 5.23 – Histórico de deformações: concreto com fibras de polipropileno; 1 Hz.

Figura 5.24 – Histórico de deformações: concreto com fibras de polipropileno; 4 Hz.

0.02 0.04 0.03

0.08

0.04 0.04

0.07

0.05 0.050.13

0.21

0.31

0.26

0.34

0.33

0.29

0.340.34

0.23

0.23

0.20

0.180.29 0.24

0.340.39

0.36

0.320.41

0.29

70%

83%81% 82%

72% 74%

82%

90%

81%

76%

3%

9%6%

13%

4% 5%7%

2%5%

10%

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

124 237 710 1294 1457 2629 10480 11383 11589 31020

De

form

açã

o m

áx

ima

(m

m)

Número de ciclos até a ruptura

C2 - 1 Hz

D3

D2

D1

T2

T1

100%

80%

60%

40%

20%

0%

0.07 0.07 0.070.09

0.03

0.090.09 0.17 0.13

0.10

0.11

0.16

0.07

0.22

0.16

0.32 0.260.24

0.29

0.26

0.25 0.25

0.33

0.45

0.32

0.55

0.340.34

0.49

0.37 0.37 0.46 0.46

62%

58%

71%

62%

72% 71%77%

65%

82%

74% 76%

12%

16%

12%

14%

2%

11%8%

13%

12%

5%

7%

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

371 376 668 900 1009 1685 2962 3656 6446 6792 6799

De

form

açã

o m

áx

ima

(m

m)

Número de ciclos até a ruptura

C2 - 4 Hz

D3

D2

D1

T2

T1

100%

80%

60%

40%

20%

0%

Tem

po n

orm

aliz

ado

Tem

po n

orm

aliz

ado

132

Figura 5.25 – Histórico de deformações: concreto com fibras de aço; 0,0625 Hz.

Figura 5.26 – Histórico de deformações: concreto com fibras de aço; 0,25 Hz.

0.25

0.12

0.17

0.29

0.21

0.10

0.17

0.27

0.28

0.34

0.33

0.22

0.27

0.30

0.33

0.39

0.35

0.25

0.50

0.17

0.37

0.52

0.40

0.39

55%53%

57%

53%

63%

69%

59%

48%

62%

40%

18%

16%

11%

23%

12% 5%14%

23%

11%

27%

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

221 256 741 1121 1144 1246 1273 1304 1875 2409

De

form

açã

o m

áx

ima

(m

m)

Número de ciclos até a ruptura

C3 - 0,0625 Hz

D3

D2

D1

T2

T1

1.04 1.08 1.10 1.01 1.34 1.05

máx = 1,16 mm

0,70

0,54 0,58

0,49

0,56

0,54

100%

80%

60%

40%

20%

0%

0.06

0.34

0.19

0.38

0.29

0.270.29

0.10

0.15

0.19

0.47

0.24

0.35

0.24

0.16

0.33

0.27

0.24

0.30

0.28

0.45

0.44

0.43

0.51

0.50

74%

44%

59%

47%46%

53%

56%

60% 61%60%

5%

25%

19%

28% 28%

21%20% 11%

8%9%

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

237 314 716 751 986 1014 1291 2432 3659 5541

De

form

açã

o m

áx

ima

(mm

)

Número de ciclos até a ruptura

C3 - 0,25 Hz

D3

D2

D1

T2

T1

1.08 1.06 1.06 1.11 1.02

máx = 1,16 mm

0,50 0,53 0,430,51 0,46

100%

80%

60%

40%

20%

0%

Tem

po n

orm

aliz

ado

Tem

po n

orm

aliz

ado

133

Figura 5.27 – Histórico de deformações: concreto com fibras de aço; 1 Hz.

Figura 5.28 – Histórico de deformações: concreto com fibras de aço; 4 Hz.

0.03

0.20

0.240.11

0.250.26

0.310.31

0.36

0.29

0.34

0.51

0.44

0.28

0.21

0.24 0.11

0.17

0.21

0.17

0.47 0.38 0.41

0.33

0.46 0.39 0.36

69%

58%

64%

65%

49%

48%44%

41%

51%

49%

4%

24%

19%

10%23%

26%

33%34%

27%25%

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

154 412 746 1344 2077 2365 3120 3945 4082 7438

De

form

açã

o m

áx

ima

(m

m)

Número de ciclos até a ruptura

C3 - 1 Hz

D3

D2

D1

T2

T1

1.18

máx = 1,16 mm

0,470,68

100%

80%

60%

40%

20%

0%

0.07

0.100.08

0.01

0.13

0.10 0.10 0.100.07

0.25

0.51

0.22

0.27

0.470.34 0.38

0.26

0.310.35

0.29

0.37

0.52 0.52

0.28

0.42 0.440.47

0.57 0.36 0.4375%

58%

63%

89%

66%

64%63%

56%

70% 62%

9%

15%

9%

1%

17%

10%9% 9%

5%18%

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

849 1176 1347 1398 1673 1751 2042 2635 4070 5952

De

form

açã

o m

áx

ima

(m

m)

Número de ciclos até a ruptura

C3 - 4 Hz

D3

D2

D1

T2

T1

máx = 1,16 mm

100%

80%

60%

40%

20%

0%

Tem

po n

orm

aliz

ado

Tem

po n

orm

aliz

ado

1.13 1.06

134

Nos gráficos apresentados nas Figuras 5.17 a 5.28 a deformação máxima

foi limitada a 1 mm para uma melhor comparação entre todos os ensaios. Para o

concreto com fibras de aço C3 alguns corpos de prova deformaram mais do que

1 mm antes da ruptura. Para esses corpos de prova foi marcada em destaque a

deformação total no topo das colunas correspondentes à deformação no final do

ensaio, visto que essas colunas não foram desenhadas em sua escala real, pois

superaram o limite de 1 mm dos gráficos.

As deformações totais em cada concreto acompanharam as faixas de

valores de deformação obtidas das envoltórias dos ensaios de compressão

simples ����� (Figura 5.15). Alguns corpos de prova romperam com deformações

fora da faixa de valores demarcados pelas envoltórias, porém sempre próximos

a estas. Tomando-se como exemplo as deformações máximas de cada concreto:

nenhum corpo de prova do concreto sem fibras deformou mais do que 0,70 mm;

assim como nenhum dos ensaios de fadiga do concreto com fibras de

polipropileno teve deformação final maior do que 0,85 mm; e para o concreto

com fibras de aço nenhuma deformação final foi inferior a 0,75 mm.

Observando-se as deformações ao longo de cada ensaio, para as doze

séries nas Figuras 5.17 a 5.28, verifica-se que as deformações menores nem

sempre ocorreram nos corpos de prova com menor número de ciclos, nem as

deformações maiores com o maior número de ciclos de cada série de ensaios.

Apesar de uma aparente tendência, nos concretos C1 e C2, de que os corpos de

prova que resistiram menores números de ciclos em cada série foram os que

suportaram menores deformações.

Como visto anteriormente nas Figuras 5.13 e 5.14, comparando-se as

curvas de fluência cíclica, o concreto sem fibras rompeu com as menores

deformações e o concreto com fibras de aço teve as maiores deformações. Esse

fato é comprovado pelas Figuras 5.17 a 5.28, para todos os ensaios de cada

série. A comparação entre os três concretos e as quatro frequências também

pode ser feita com o auxílio da Tabela 5.22 que resume a média ± o desvio

padrão da deformação total e da deformação no tramo central D2 (de onde se

obteve ��), para cada série de ensaios.

135

Tabela 5.22 – Deformação total e central: média ± desvio padrão.

Concreto Deformação

(mm) Frequência (Hz)

4 1 0,25 0,0625

C1 Total 56 ± 5 55 ± 7 49 ± 8 55 ± 9

Central 13 ± 2 14 ± 6 15 ± 5 14 ± 3

C2 Total 72 ± 10 65 ± 10 56 ± 12 58 ± 12

Central 23 ± 7 29 ± 5 21 ± 9 19 ± 8

C3 Total 88 ± 7 94 ± 14 99 ± 10 104 ± 12

Central 34 ± 9 27 ± 13 29 ± 8 31 ± 9

A Tabela 5.22 mostra que as deformações foram maiores nos concretos

com fibras, tanto para as deformações totais, quanto para as deformações no

tramo central (maior parcela do tempo do ensaio), sendo maiores para os

concretos com fibras de aço. Com respeito à frequência, aparentemente as

deformações foram menores para as frequências mais baixas para os concretos

C1 e C2, porém, a variabilidade dos valores de deformações não permite afirmar

que existe uma relação entre as deformações totais e a frequência. Para o

concreto com fibras de aço C3 ficou claro que quanto menor a frequência,

maiores foram as deformações totais.

Reunindo-se o número de ciclos até a ruptura, as deformações máximas

ao longo dos ensaios e a frequência de carregamento é possível entender

porque o concreto resiste a um menor número de ciclos à fadiga em compressão

para as menores frequências, e porque as fibras elevam o número de ciclos

apenas para as baixas frequências se for levada em consideração a taxa de

carregamento aplicada nas diferentes frequências selecionadas, seguindo o

raciocínio a seguir.

Diversos autores (Reinhardt, 1987; Bischoff e Perry, 1991; Wu et al., 2010;

Zhang et al., 2012, entre outros) comprovaram que as propriedades mecânicas

do concreto são superiores para taxas de carregamento elevadas, consideradas

dinâmicas.

Vegt e Weerheijm (2007) desenvolveram uma técnica para explicar esse

fenômeno analisando a propagação de fissuras e microfissuras em ensaios de

impacto em concreto, utilizando uma barra Hopkinson, sob diferentes taxas de

carregamento: 10-4 GPa/s, considerada estática; 50 GPa/s e 1000 GPa/s,

consideradas dinâmicas. Com o tratamento de imagens microscópicas de fatias

dos corpos de prova após os ensaios esses autores comprovaram que a ruptura

a baixas taxas de carregamento ocorre pela formação de uma única

macrofissura. Essa macrofissura se forma a partir de microfissuras em diferentes

136

direções que tentam encontrar outras microfissuras para formar uma grande

fissura que leva o corpo de prova à ruptura. Essas microfissuras surgem das

ligações mais fracas ao redor dos agregados ou na zona de transição – a

interface entre a pasta de cimento e as partículas dos agregados. Esses autores

concluíram que no ensaio a baixa taxa de carregamento as microfissuras têm

tempo de procurar o caminho mais frágil e juntarem-se em uma única

macrofissura. Já no caso das altas taxas de carregamento, as microfissuras são

geradas não somente nos pontos mais frágeis e muitas vezes ao invés de

circular os agregados, atravessam os mesmos. Isso faz com que ocorram

múltiplas microfissuras e a ruptura ocorre de uma maneira mais frágil, pelo

aparecimento de diversas macrofissuras acompanhadas de inúmeras

microfissuras por toda a extensão da fatia analisada. Esses autores justificaram

que a altas taxas de carregamento as microfissuras não têm tempo de encontrar

o caminho mais frágil, aliado à ocorrência de diversas fissuras em todas as

direções, a ruptura ocorre pela formação de múltiplas macrofissuras, suportando

maiores deformações, consumindo mais energia e elevando a resistência.

Seguindo esse raciocínio de que a ruptura ocorre pela formação de uma

única fissura para baixas taxas de carregamento, ou múltiplas fissuras para

taxas de carregamento elevadas, é possível explicar porque o número de ciclos

até a ruptura dos ensaios de fadiga, realizados no programa experimental, foi

menor para as frequências mais baixas. As taxas de carregamento dos ensaios

realizados no programa experimental deste trabalho foram muito inferiores às do

estudo de Vegt e Weerheijm (2007), mesmo assim a teoria de uma única fissura

ou múltiplas fissuras é válida. As taxas de carregamento, utilizadas no programa

experimental, foram de 7, 28, 110 e 420 MPa/s para as frequências 0,0625 Hz,

0,25 Hz, 1 Hz e 4 Hz, respectivamente.

Se nos ensaios de fadiga realizados com a menor frequência 0,0625 Hz as

microfissuras têm tempo de se unir, formando uma macrofissura principal que

leva o corpo de prova à ruptura, nos ensaios com a maior frequência 4 Hz essas

microfissuras não têm tempo de se encontrar em um caminho mais frágil, e

múltiplas microfissuras vão aparecendo por toda a extensão do corpo de prova e

o tempo – ou número de ciclos – para que essas microfissuras se encontrem é

maior.

Essas microfissuras, em um ensaio de fadiga, abrem e fecham a cada ciclo

de carga e descarga. No início do ensaio – período 1 da Figura 5.16 – as

primeiras deformações a cada ciclo são as maiores de todo o decorrer do

ensaio, salvo as últimas deformações antes da ruptura. Essas deformações

137

iniciais vão diminuindo a cada ciclo, até que se estabilizam e se inicia o

período 2, onde o incremento de deformação a cada ciclo é praticamente

constante ��. Essas deformações são oriundas em parte da deformação elástica

dos componentes do concreto, principalmente dos agregados graúdos, e em

parte da abertura de microfissuras ao longo de toda a extensão tridimensional do

corpo de prova – nesse caso o cúbico. E tendo-se em conta que o modo de

ruptura por deslizamento foi sempre observado, com a superfície de ruptura

inclinada em relação ao eixo de carregamento. Entende-se que no início do

ensaio surgem microfissuras por toda a extensão do corpo de prova, ocorrendo

uma redistribuição de tensões e surgindo um plano de tensões principais.

Imaginando-se que esse plano de tensões principais fosse uma diagonal ligando

um vértice superior do cubo com o vértice inferior oposto mais distante, como

sugere a Figura 5.29. As microfissuras mais afastadas desse plano de ruptura se

estabilizam, e apenas as microfissuras próximas ao plano de ruptura seguem

propagando-se, ao se abrir e fechar a cada ciclo. Sendo assim, nos ensaios a

baixas frequências esse plano de ruptura surge a partir da propagação de

microfissuras em um caminho mais frágil. Nos ensaios de fadiga a frequências

mais altas, esse mesmo plano de ruptura pode ocorrer, porém, outras

microfissuras ao redor também podem se unir, desviando ou aumentando a

superfície de ruptura.

Figura 5.29 – Modo de ruptura: ensaio de fadiga; concreto sem fibras, 1Hz.

No caso dos concretos com fibras, quando essas microfissuras estão se

propagando e se unindo para formar a superfície principal de ruptura, uma ou

mais fibras costuram as microfissuras atrasando sua propagação. Para as

frequências mais baixas, esse atraso ocorre até o ponto em que a(s) fibra(s) se

138

rompe(m), ou as fissuras contornam a(s) fibra(s). Para as frequências mais altas,

algumas fibras podem conter a propagação de fissuras nas zonas mais frágeis, e

antes que essas fissuras se propaguem surgem outras microfissuras que se

unem e criam um novo plano de ruptura.

Isso explica porque os concretos com fibras tiveram melhor

comportamento à fadiga nas menores frequências e não na maior frequência

selecionada 4 Hz. O desempenho superior do concreto com fibras de aço em

relação ao do com fibras de polipropileno nas menores frequências se deve ao

fato de que as fibras de aço são mais resistentes e mais eficazes do que as

fibras de polipropileno.

Uma última forma de entender porque a frequência de carregamento

influenciou o desempenho à fadiga, e porque as fibras melhoraram esse

desempenho apenas nas menores frequências pode ser realizada observando-

se a deformação a cada ciclo nas 12 séries de ensaios de fadiga, levando-se em

consideração que cada tipo de concreto tem um limite máximo de deformação

que segue as envoltórias dos ensaios de compressão estática da Figura 5.15. A

deformação a cada ciclo não é apresentada em valores individuais, porém, é

facilmente obtida a partir das Figuras 5.17 a 5.28. Observa-se que a deformação

a cada ciclo foi maior para o concreto sem fibras C1, menor para o concreto com

fibras de aço C3 e intermediária para o concreto com fibras de polipropileno C2,

pois as fibras restringem a propagação de fissuras reduzindo a deformação a

cada ciclo. Com respeito às frequências, a deformação por ciclo foi maior para a

frequência mais baixa e menor para a frequência mais alta, nos três concretos

estudados.

Se existe um limite máximo de deformação que cada concreto suporta e

este limite é menor no concreto sem fibras, se a deformação por ciclo é maior no

concreto sem fibras, esse vai romper com um menor número de ciclos em

comparação aos concretos com fibras. Assim como, se a deformação por ciclo

foi maior para a frequência mais baixa 0,0625 Hz – com as microfissuras

procurando o caminho mais frágil – e menor para a frequência mais elevada

4 Hz nos três concretos estudados, o número de ciclos para se atingir a

deformação limite que leva o corpo de prova à ruptura é menor para as

frequências mais baixas.

139

5.5. Modo de ruptura

A ruptura observada em todos os corpos de prova ensaiados, sejam eles à

compressão estática, ou à fadiga em compressão, independente da geometria

do corpo de prova ou frequência de carregamento, ocorreu sempre por

deslizamento, com a superfície de ruptura inclinada em relação ao eixo de

carregamento.

A superfície de ruptura nos corpos de prova cúbicos sempre partia das

arestas ou vértices em direção ao centro do cubo. Em geral dois padrões de

ruptura foram observados: a separação em duas partes semelhantes com o

formato de duas pirâmides separadas por uma diagonal do cubo que une dois

vértices mais distantes, sendo a base de cada pirâmide as faces superior e

inferior do cubo (Figura 5.29); ou duas pirâmides, ou cones, que se sobrepõem,

onde o vértice de cada pirâmide esta na base da outra pirâmide como mostra a

Figura 5.30. Esses dois padrões de ruptura ocorreram em todas as séries de

ensaios: de compressão simples ou de fadiga a diferentes frequências, para os

concretos com e sem fibras. Esse mesmo padrão foi observado nos ensaios de

compressão em corpos de prova cilíndricos, como mostra a Figura 5.31.

Cabe ressaltar que a configuração pós-ensaio dos corpos de prova

rompidos não corresponde exatamente à configuração de ruptura ao final do

último ciclo devido ao controle de carga dos ensaios de fadiga. Apesar de o

ensaio ser controlado por carga, o fim do ensaio ocorria quando se atingia um

limite de deformação pré-configurado. Esse limite de deformação era

configurado com uma margem superior em 1,5 mm à máxima deformação

estática de cada concreto, pois já se sabia que alguns corpos de prova poderiam

suportar maiores deformações finais em fadiga em comparação às deformações

estáticas. Dependendo do nível de carga em que ocorra a ruptura, a máquina de

ensaios pode procurar uma carga mais alta, ou apenas reduzir gradualmente a

carga quando o corpo de prova já está rompido. Com isso, na configuração de

ruptura vista após o ensaio (Figuras 5.29 a 5.35) pode ter ocorrido um

carregamento pós-ruptura, aumentando ou modificando a configuração de

ruptura.

140

Figura 5.30 – Modo de ruptura: ensaio de fadiga; concreto sem fibras, 0,0625 Hz.

Figura 5.31 – Modo de ruptura por deslizamento: ensaio de compressão em corpo de prova cilíndrico; concreto sem fibras.

A principal diferença entre os concretos com e sem fibras foi que nos

concretos com fibras as laterais dos cubos se mantinham aderidas ao centro do

corpo de prova porque as fibras costuravam as superfícies de ruptura. A

Figura 5.32 apresenta a vista da face superior de três corpos de prova cúbicos

ensaiados à fadiga para o concreto sem fibras C1, frequência 1 Hz; com fibras

de polipropileno C2, frequência 4 Hz; e com fibras de aço C3, frequência

0,0625 Hz.

141

Figura 5.32 – Face superior dos corpos de prova rompidos: C1, C2 e C3.

Observa-se na Figura 5.32 que nos três concretos se destaca o que seria a

base de um cone, ou uma pirâmide. No caso do concreto sem fibras C1 as faces

laterais se separaram, enquanto que nos concretos com fibras C2 e C3 as faces

laterais se mantiveram aderidas porque as fibras costuraram as fissuras.

A Figura 5.33 mostra uma vista de duas faces laterais de um corpo de

prova cúbico do concreto com fibras de polipropileno C2 ensaiado à fadiga em

compressão com frequência 0,25 Hz. Observam-se as faces laterais aderidas e

o desenho das fissuras indicando a formação duas pirâmides.

Figura 5.33 – Faces laterais de um corpo de prova rompido: concreto com fibras de polipropileno; frequência 0,25 Hz

A vista de duas faces laterais de um corpo de prova rompido do concreto

com fibras de aço C3 ensaiado à fadiga com frequência 4 Hz é apresentada na

Figura 5.34, onde pode ser visto o desenho das fissuras separando-se um corpo

central piramidal das faces laterais.

Apenas para comprovar que a ruptura também ocorreu dividindo o cubo

em duas pirâmides, com a superfície de ruptura guiada por uma diagonal ligando

um vértice superior do cubo a um vértice inferior oposto mais afastado, tanto no

142

concreto sem fibras como na Figura 5.29 quanto nos concretos com fibras, a

Figura 5.35 mostra um corpo de prova rompido do concreto com fibras de

aço C3, ensaiado à fadiga na frequência 0,25 Hz. Observa-se que as partes

seguem aderidas, pela presença das fibras costurando a superfície de ruptura.

Figura 5.34 – Faces laterais de um corpo de prova rompido: concreto com fibras de aço; frequência 4 Hz, separação em um corpo central e laterais aderidas.

Figura 5.35 – Faces laterais de um corpo de prova rompido: concreto com fibras de aço; frequência 0,25 Hz, separação em duas partes semelhantes.

5.6. Ensaios de fadiga – variação da razão entre tensões

Como descrito no final do capítulo 4, foi realizada uma nova etapa de

ensaios de fadiga em uma nova dosagem de concreto sem fibras, denominada

concreto C4. Esta nova dosagem foi produzida apenas para realizar três séries

de ensaios (�����,��, R = 0,3, R = 0,1) que serviram para validar o modelo

probabilístico proposto no capitulo seis, além da obtenção das propriedades

mecânicas por ensaios de compressão em cilindros.

143

Para obter as propriedades mecânicas de resistência à compressão fc,

módulo de elasticidade E e coeficiente de Poisson ν foram realizados ensaios à

compressão seguindo os mesmos procedimentos e normas adotados nos

concretos C1, C2 e C3, em quatro corpos de prova cilíndricos de diâmetro

150 mm e altura 300 mm. A Tabela 5.23 apresenta os resultados destes ensaios.

Tabela 5.23 – Propriedades mecânicas: concreto sem fibras C4.

Idade nº do

ensaio fc E

ν MPa GPa

6 meses

1 95,0 — —

2 88,4 36,1 0,24

3 91,9 37,4 0,25

4 87,3 37,3 0,24

média 90,6 36,9 0,24

DP 4 1 0

Para obter a resistência à compressão ����� usada para configurar os

ensaios de fadiga foram ensaiados vinte corpos de prova cúbicos de 80 ± 1 mm

de aresta. A Tabela 5.24 apresenta os resultados de resistência à compressão

desses 20 ensaios ordenados do menos resistente ao mais resistente.

Tabela 5.24 – Resistência à compressão ����� concreto sem fibras C4.

Número do ensaio

����� Número do ensaio

�����

MPa MPa

1 84 11 98

2 85 12 99

3 85 13 100

4 88 14 100

5 89 15 102

6 90 16 102

7 90 17 102

8 91 18 103

9 93 19 104

10 97 20 108

A média desses 20 ensaios de compressão foi 95,5 MPa e o desvio padrão

7 MPa. Conforme descrito no final do capítulo 4, pretendia-se que a configuração

dos ensaios de fadiga em termos de tensão máxima fosse a mesma utilizada nos

concretos C1, C2 e C3: Smáx = 85% �����, sendo 15 ensaios com razão entre

144

tensões mínima e máxima R = 0,3 e 15 ensaios com R = 0,1. Após alguns

ensaios com Smáx = 85% ����� = 81,2 MPa e R = 0,3 alguns dos corpos de prova

atingiram mais de um milhão de ciclos sem chegar a ruptura, enquanto que

outros corpos de prova romperam com poucos milhares de ciclos. Optou-se

então por uma tensão máxima de 90 MPa = 94% ����� com a qual foram

realizadas as duas séries de quinze ensaios de fadiga em compressão variando

a razão entre tensões R. A Tabela 5.25 apresenta esses resultados de ensaios

de fadiga do concreto sem fibras C4.

Tabela 5.25 – Resistência à compressão �����: concreto sem fibras C4.

Número do ensaio

Número de ciclos

R = 0,3 R = 0,1 1 38 46 2 73 125 3 150 222 4 667 302 5 2149 731 6 2798 858 7 2927 1106 8 7288 1231 9 7600 1753

10 7839 2265 11 9218 2352 12 11863 3961 13 17172 4276 14 20426 5988 15 75378 7153

Observa-se na Tabela 5.25 que os ensaios configurados com maior razão

entre tensões R = 0,3 resistiram a um maior número de ciclos em virtude da

menor amplitude de tensões aplicada, consequentemente menor deformação a

cada ciclo. Os resultados dos menores números de ciclos das duas séries são

da mesma ordem de grandeza, porém, observa-se uma grande diferença nos

corpos de prova que resistiram a um maior número de ciclos.

Lembrando que estes ensaios do concreto sem fibras C4 foram realizados

apenas com o objetivo de validar o modelo probabilístico proposto no capítulo 6,

e não tiveram como objetivo comparar os resultados com os concretos C1, C2

e C3.

145

5.7. Comentários finais

Dentre os três concretos principais C1, C2 e C3 apresentados e analisados

neste capítulo em todas as propriedades avaliadas, sejam estáticas (fc, �����, E,

ν, ft e fRj) ou de fadiga, o desempenho do concreto com fibras de aço C3 foi igual

ou superior aos concretos C1 e C2. O desempenho do concreto sem fibras C1

foi sempre inferior, e o concreto com fibras de polipropileno C2 teve desempenho

intermediário entre C1 e C3.

Quanto ao efeito da frequência de carregamento nos ensaios de fadiga

em compressão, comprovou-se que o número de ciclos à fadiga diminuiu com a

redução da frequência, na faixa de frequências estudadas – entre 0,0625 Hz e

4 Hz. A adição de fibras melhorou o desempenho à fadiga nas menores

frequências estudadas, porém, nenhuma melhora representativa foi observada

na maior frequência 4 Hz.

6. Modelo probabilístico

6.1. Introdução

No capítulo 2 foram apresentados modelos de fadiga para o concreto que

fornecem expressões determinísticas para relacionar o número de ciclos até a

ruptura com as tensões utilizadas em ensaios de fadiga, contemplando a

frequência de carregamento (Hsu, 1981; Furtak, 1984; Zhang et al., 1996).

Entretanto, nenhum desses autores considerou a dispersão nos ensaios de

fadiga em concreto. A primeira consideração da distribuição estatística da

resistência do concreto para ensaios de fadiga foi realizada por Zhao et al.

(2007), que considerou uma distribuição normal como sugerido por algumas

normas de projeto internacionais. Recentemente Przybilla et al. (2011)

consideraram o ajuste estatístico da resistência característica de materiais

frágeis e derivaram a função de distribuição cumulativa (CDF – cumulative

distribution function) da distribuição de Weibull de três parâmetros para ensaios

de fadiga em flexão em três e quatro pontos, para materiais frágeis como

cerâmica. No Anexo B explica-se o que é e como se ajusta uma função de

distribuição cumulativa a um grupo de dados quaisquer, no caso, os resultados

de ensaios. A distribuição de Weibull também foi utilizada para ajustar resultados

de vida à fadiga – número de ciclos até a ruptura N – em concreto para variados

níveis de tensão por Oh (1991), e para ajustar a vida à fadiga em flexão de

concreto com nanopartículas por Li et al. (2007).

Castillo e seus colaboradores (2008, 2009) propuseram um modelo

probabilístico geral para prever o comportamento à fadiga para qualquer nível e

faixa de tensões, baseado em ensaios de laboratório em materiais dúcteis como,

por exemplo, o aço. O modelo tem nove parâmetros de ajuste, os quais são

definidos por meio de considerações físicas e de compatibilidade em um modelo

estatístico de Weibull. Contudo, esse modelo não serve para materiais frágeis

como o concreto, assim como não leva em consideração a influência da

frequência de carregamento.

147

Os modelos propostos que consideram a distribuição estatística de ensaios

de fadiga não servem para materiais frágeis como o concreto. Os modelos para

concreto consideram apenas a distribuição estatística dos resultados de

resistência ou da vida à fadiga, e não de ambos os casos.

Neste capítulo é proposto o desenvolvimento de um modelo probabilístico

para avaliar a vida à fadiga do concreto com base nos resultados experimentais,

considerando-se tanto a distribuição estatística das propriedades mecânicas do

material quanto a distribuição dos ensaios de fadiga, contemplando a influência

da frequência de carregamento. Esse modelo está baseado na consideração

física que a ruptura de um corpo de prova a um ciclo ocorre pela mesma causa

que um corpo de prova que rompe após milhares ou milhões de ciclos.

Inicialmente toda a distribuição estatística dada por ensaios de

caracterização – ensaios de compressão – foi considerada para elaborar o

modelo de fadiga. Segundo, a frequência de carregamento foi levada em conta

baseada na resposta dinâmica descrita no Código Modelo FIB (2010), e

finalmente, a partir dos ensaios de fadiga de configurações conhecidas (Smáx, R

e f ) se estabelecem funções que descrevem a vida à fadiga para diferentes

níveis de probabilidade de falha.

A faixa de aplicação do modelo proposto está abaixo dos 10 Hz. Uma vez

que os ensaios foram realizados entre 0,0625 Hz e 4 Hz, assim a aplicação

desse modelo acima de 10 Hz necessitaria ser corroborada por ensaios

adicionais.

Este modelo probabilístico foi recentemente publicado (Saucedo et al.,

2013) com enfoque na fundamentação matemática contrastada com poucos

exemplos. Neste capítulo o modelo é exposto detalhadamente e todos os

resultados de fadiga apresentados no capítulo 5 são usados para validação do

modelo.

6.2. Modelo probabilístico para fadiga baseado na distri buição inicial

Como mencionado anteriormente, foi desenvolvido um modelo

probabilístico de fadiga para concreto levando em consideração a distribuição

estatística dos ensaios de caracterização da resistência e dos ensaios de fadiga,

a influência da frequência de carregamento e da razão entre tensões mínima e

máxima, assumindo-se as seguintes hipóteses:

148

• as propriedades mecânicas do material como resistência à compressão ou

à tração seguem a distribuição de Weibull de três parâmetros. Nesse caso

ensaios de compressão em corpos de prova cúbicos;

• essa distribuição estatística é influenciada pela condição dinâmica por

meio da frequência de carregamento. A relação fornecida pelo Código

Modelo FIB (2010) para descrever as propriedades dinâmicas do concreto

é estendida para considerar a influência da frequência;

• existe uma tensão mínima ��í�� que é uma assíntota para uma

probabilidade de falha nula.

Neste capítulo as tensões serão simbolizadas pela letra grega σ, diferente

dos capítulos anteriores quando eram simbolizadas pela letra S. Em termos

práticos a tensão máxima de um ensaio de fadiga Smáx = ��á� é a mesma

apresentada no programa experimental ou no modelo.

Para certa quantidade de ensaios de caracterização, no caso de

compressão, realizados a uma taxa de carregamento �� constante, considerada

estática, onde o ponto (

• ) representa a derivada em função do tempo, e a

resistência medida ou tensão de ruptura a um ciclo é denominada �� (f para

falha, 0 para carregamento estático), a probabilidade de falha PF correspondente

a cada nível de tensões pode ser ajustada à função de distribuição cumulativa

CDF da distribuição de Weibull de três parâmetros por:

�� ��� = 1 − ��� �− ��� − ��í��λ

��� , �� ≥ ��í�� eq.(6.1)

onde ��í�� é o parâmetro de locação ou o limite de tensão abaixo do qual

nenhuma ruptura ocorreria, enquanto que λ e k são os parâmetros de Weibull de

escala e forma, respectivamente. Na Equação 6.1 o conceito de ruptura absoluta

ou dano absoluto é substituído pela probabilidade de falha por ruptura, variando

de 0 a 1. A distribuição estatística dada pela Equação 6.1 é definida como

distribuição inicial Di, sendo uma propriedade do material obtida por meio de

ensaios experimentais de caracterização da resistência.

149

6.2.1. Influência da frequência de carregamento

Para relacionar a resistência à compressão dinâmica fcd (f para falha,

c para compressão, d para dinâmico) com sua correspondente estática ��� utiliza-

se a expressão empírica fornecida pelo Código Modelo FIB (2010):

������ = ���� !" eq.(6.2)

onde �� e �� são a taxa de carregamento do ensaio de fadiga em compressão e

do ensaio de caracterização estático à compressão, respectivamente.

O expoente α é definido pelo Código Modelo como 0,014, onde o efeito da

frequência não é considerado.

Para se considerar então o efeito da frequência, se propõe relacionar a

taxa de carregamento dinâmico �� na Equação 6.2 em cada ciclo com a

frequência de carregamento f e a faixa de tensões ∆� = �#á� − �#í$ por

meio de:

�� = 2�∆� eq.(6.3)

enquanto o expoente α é obtido por ajuste dos ensaios de fadiga em

compressão para frequências abaixo de 10 Hz, assim:

& = 0,014exp,γ�. eq.(6.4)

onde o parâmetro γ é ajustado para diferentes frequências de carregamento. O

coeficiente α igual a 0,014 corresponde a uma condição estática para uma

frequência nula. Como consequência, a influência da frequência em um ensaio

de fadiga é considerada tanto na taxa de carregamento pela Equação 6.3,

quanto pelo expoente α por meio da Equação 6.4. Ademais, a Equação 6.2

permite a transição da distribuição inicial Di da resistência à compressão estática ��� para a distribuição de fcd para condição dinâmica.

150

6.2.2. Curvas de iso-probabilidade de falha

Neste item são exploradas todas as condições das curvas de probabilidade

de falha de modo a se obter uma expressão para a tensão de ruptura � {f, ��á�, ��í��, ��, R, N}, onde ��í�� e �� são propriedades do material, f, ��á� e R são

parâmetros de configuração de um ensaio de fadiga e N é o número de ciclos

até a ruptura. Por um lado, cada curva representa uma probabilidade de falha PF

que intercepta o eixo � em ��, onde a probabilidade de falha de cada ensaio

estático de compressão é determinada pela distribuição Di, definida pela

Equação 6.1, como mostra a Figura 6.1.

Figura 6.1 – Curvas de iso-probabilidade de falha, onde Di é a CDF inicial, determinada pelos ensaios de resistência ajustada segundo a Equação 6.1, enquanto que Df é a CDF final, ajustada aos ensaios de fadiga.

Por outro lado existem três condições limites as quais todas as curvas de

iso-probabilidade de falha devem satisfazer:

lim2→4 � = ��í�� eq.(6.5)

56#7→8 � = �� eq.(6.6)

56#2→8 � = �� eq.(6.7)

Probabilidade de Falha

Pro

babi

lidad

e de

Fal

ha

Assíntota

=0,5

0,5

1

0

=0

=0,05

00,51

=1

σf

σmáx0

σmín0

fDistribuição D

iDistribuição D

ln[N]

ln[N]

PF

PF

PF

PF

151

Lembrando-se que ��í�� é o limite de tensão abaixo do qual não ocorreria

ruptura por fadiga, ao passo que �� é a resistência à compressão estática, seja

quando a razão entre tensões R for igual à unidade ou quando a ruptura por

fadiga ocorra no primeiro ciclo.

Na Figura 6.1 são apresentadas três curvas de iso-probabilidade de falha

de 0,05, 0,5 e 1,0. À esquerda do eixo � está a distribuição inicial Di,

determinada pelos ensaios de caracterização da resistência, nesse caso à

compressão. À direita está a distribuição final Df, a qual será definida adiante nas

Equações 6.12 ou 6.13. Respeitando-se as condições limite dadas pelas

Equações 6.5, 6.6 e 6.7, a seguinte equação para cada curva de falha é

proposta:

� = ��í�� + �� − ��í���;<=>8<7? eq.(6.8)

onde R é a razão entre tensões mínima e máxima, e o parâmetro a está

relacionado com a frequência de carregamento por:

@ = A + B ln>1 + �? eq.(6.9)

onde b e c são parâmetros que necessitam ser ajustados com os resultados

experimentais dos ensaios de fadiga. Cabe salientar que pela Equação 6.3, tanto

o efeito da faixa de tensões ∆σ, quanto o da taxa de carregamento dinâmica �� , tem uma função importante nas curvas de iso-probabilidade de falha dada pela

Equação 6.8.

Em um ensaio de fadiga realizado, ��á�, R, e N são parâmetros

conhecidos, enquanto que a contrapartida estática de ��á�, aqui denominada de ��á��, corresponderia ao valor dado pelo ensaio de caracterização. De acordo

com a Equação 6.2, esses parâmetros podem ser relacionados segundo:

��á�� = ��á� �����!" = ��á� � ��2�∆�!" eq.(6.10)

Substituindo-se o valor de ��á�� por � na Equação 6.8 obtém-se ��

(intersecção da curva de iso-probabilidade de falha):

152

�� = ��í�� + ��á�� − ��í���;=>8<7? eq.(6.11)

Introduzindo-se o valor de �� na Equação 6.1 obtém-se uma equação

geral para a probabilidade de falha cumulativa para um ensaio de fadiga

qualquer em uma dada série de ensaios:

��>;; ��á�, �, E? = 1 − ��� F− G��á�� − ��í��λ;<=>8<7? H�I eq.(6.12)

onde o número de ciclos até a ruptura N é a variável principal e as outras

variáveis secundárias são parâmetros obtidos para um dado ensaio de fadiga.

Quando se tem a transição da função de distribuição cumulativa CDF da

Equação 6.1 para a Equação 6.12, o parâmetro de forma k é mantido, porém, o

parâmetro de escala λ agora esta relacionado com a frequência de

carregamento, com a razão entre tensões mínima e máxima R, e o número de

ciclos submetidos. Inserindo-se a Equação 6.9 e 6.10 na Equação 6.12 a função

de distribuição cumulativa é finalmente obtida:

��>;; ��á�, �, E? = 1 − ���JKLKM− NO

OP��á� � ��2�∆�!�,�8QRST>U? − ��í��λ;<,VW� XY>8W?.>8<7? Z[

[\�

]K̂K_

eq.(6.13)

Essa é a distribuição final Df apresentada na Figura 6.1, onde é possível se

observar que a probabilidade de falha aumenta com o número de ciclos para um

ensaio de fadiga a um dado nível de tensão ��á��. Isolando-se N na Equação

6.12 é possível calcular o número de ciclos resistidos para uma dada PF sob

condições de carregamento conhecidas:

;>��; ��á�, E, �? = `λa− ln>1 − ��?b��á�� − ��í�� c 8=>8<7? eq.(6.14)

Escrevendo-se a faixa de tensões em termos de razão de tensões R, e

tensão máxima como ∆� = >1 − E?��á� na Equação 6.10 também se pode

estimar a tensão máxima para qualquer PF e uma dada configuração de ensaio

de fadiga a uma razão entre tensões definida para certa frequência por:

153

��á�>;; ��, E, �? = `��í�� + λa− ln>1 − ��?b ;=>8<7? c 88<" �2�>1 − E?� � "8<" eq.(6.15)

onde α é calculado por meio da Equação 6.4.

6.2.3. Sensibilidade do modelo com respeito à frequência e à razão entre tensões

A variação da distribuição probabilista final Df dada pela Equação 6.13 é

mostrada na Figura 6.2 para seis frequência distintas. Para uma mesma

probabilidade de falha pode ser observado que um corpo de prova resiste a um

maior número de ciclos para as frequências mais altas. Esse fato pode ser

atribuído ao comportamento dinâmico do concreto que resulta em um aumento

do expoente dinâmico α. A influência da frequência não é linear, pois a distância

entre 1 Hz e 4 Hz é menor do que a distância entre 6 Hz e 8 Hz.

Figura 6.2 – Variação da distribuição Df em função da frequência.

A influência da razão entre tensões mínima e máxima R é apresentada na

Figura 6.3, dada pela Equação 6.15 para três valores de R iguais a: 0,1, 0,5 e

0,9. A forma da curva de iso-probabilidade de falha varia para diferentes valores

de R. Uma razão entre tensões unitária resultaria em uma carga constante e

uma linha horizontal de falha, sendo esse o caso limite de uma ruptura de fadiga

a um ciclo.

100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 10100,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pro

babi

lidad

e de

falh

a

Número de ciclos

8 Hz 6 Hz 4 Hz 1 Hz 0,25 Hz 0,0625 Hz

154

Figura 6.3 – Influência da razão entre tensões nas curvas de iso-probabilidade de falha: R = 0,1; 0,5 e 0,9.

6.3. Validação do modelo probabilístico baseado nos resu ltados experimentais

A validação do modelo probabilístico proposto está dividida inicialmente

em duas etapas: a primeira consiste no ajuste dos resultados de caracterização

da resistência à compressão estática ��def à função de distribuição cumulativa

CDF inicial Di, ajustando-se os parâmetros λ, k e ��í�� pela Equação 6.1. Na

segunda etapa é realizado o ajuste dos resultados dos ensaios de fadiga –

número de ciclos até a ruptura – à CDF final (Figura 6.1), ajustando-se os

parâmetros b, c e γ pelas Equações 6.12 ou 6.13. Posteriormente os parâmetros

obtidos no modelo são utilizados para obter uma relação direta entre o número

de ciclos até a ruptura N e a taxa de deformação secundária g.

0

50

100

150

200

0 10151012109106103

σ má

x (M

Pa)

Número de ciclos

PF = 0,01

PF = 0,50

PF = 0,99

R = 0,1

10

50

100

150

200

0 10151012109106103

σ máx

(M

Pa)

Número de ciclos

PF = 0,01

PF = 0,50

PF = 0,99

R = 0,5

1

0

50

100

150

200

0 10151012109106103

σ máx

(M

Pa)

Número de ciclos

PF = 0,01

PF = 0,50

PF = 0,99

R = 0,9

1

155

6.3.1. Validação do modelo para os ensaios de caracterizaç ão da resistência à compressão

A validação do modelo probabilístico proposto se inicia por ajustar os

parâmetros de Weibull de escala λ, de forma k e de locação ��í�� aos

resultados experimentais de caracterização de resistência à compressão ��def,

nesse caso em corpos de prova cúbicos, usando-se a Equação 6.1. Esse ajuste

é realizado desenhando-se a curva fornecida pela Equação 6.1 para valores

arbitrários de λ, k e ��í��, em conjunto com os resultados experimentais e

busca-se o melhor ajuste da curva aos dados experimentais variando-se

simultaneamente os três parâmetros.

Conforme descrito anteriormente no programa experimental, foram

ensaiados à compressão seis ou mais cubos para cada concreto a uma taxa de

carregamento �� de 0,20 MPa, considerada estática. Os resultados de cada um

desses ensaios, para cada concreto, são apresentados na Tabela 6.1,

ordenados da menor para a maior resistência, bem como sua probabilidade de

falha respectiva. A probabilidade de falha de cada ensaio é dada por i/j, onde j é

o número total de ensaios, e i o número do ensaio, ordenado do menor para o

maior. De tal forma que para seis ensaios de caracterização o corpo de prova

menos resistente tem PF de 1/6, o segundo menos resistente 2/6, até o mais

resistente que tem 100% de PF ( i/j = 1).

Tabela 6.1 – Resistência à compressão estática ��def e probabilidade de falha para cada corpo de prova e para cada concreto.

Número do ensaio

C1 4 Hz C1 C2 PF C1 e C2

C3 PF C3

MPa MPa

1 64,7 73,5 63,3 0,17 80,2 0,125

2 71,4 75,2 73,1 0,33 85,3 0,250

3 71,8 77,5 73,5 0,50 86,3 0,375

4 76,9 79,8 74,0 0,67 86,9 0,500

5 77,7 82,4 78,7 0,83 88,5 0,625

6 78,5 83,9 79,1 1,00 89,1 0,750

7 — — — — 89,9 0,875

8 — — — — 90,6 1,000

Como os ensaios de fadiga do concreto sem fibras C1 foram realizado em

duas etapas (4 Hz aos seis meses e demais frequências a um ano), ensaiou-se

duas séries à compressão ��def para o concreto C1.

156

Para o concreto com fibras de aço C3 foram ensaiados dois cubos

adicionais totalizando oito cubos nessa etapa de caracterização de resistência à

compressão estática.

Os parâmetros λ, k e ��í�� foram ajustados pela Equação 6.1, e

descrevem a curva da distribuição inicial Di da Figura 6.1. Nessa primeira etapa

de ajuste dos parâmetros de Weibull para os ensaios de resistência à

compressão ��def, esses parâmetros foram ajustados para cada concreto. O

melhor ajuste foi realizado buscando-se simultaneamente o maior coeficiente de

correlação r e o menor erro relativo médio calculando-se o valor experimental,

nesse caso resistência à compressão por meio da Equação 6.1.

A Figura 6.4 ilustra a distribuição inicial Di em conjunto com os resultados

experimentais para cada concreto, e a Tabela 6.2 apresenta os parâmetros

ajustados para os diferentes concretos.

Figura 6.4 – Distribuição inicial Di dos ensaios de resistência à compressão ��def em conjunto com os resultados experimentais.

60 70 80 90 1000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pro

babi

lidad

e de

falh

a

Resistência à compressão (MPa)

Modelo Experimental

Concreto sem fibras4 Hz

60 70 80 90 1000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pro

babi

lidad

e de

falh

a

Resistência à compressão (MPa)

Modelo Experimental

Concreto sem fibras1 Hz, 0,25 Hze 0,0625 Hz

60 70 80 90 1000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pro

babi

lidad

e de

falh

a

Resistência à compressão (MPa)

Modelo Experimental

Concreto comfibras depolipropileno

60 70 80 90 1000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pro

babi

lidad

e de

falh

a

Resistência à compressão (MPa)

Modelo Experimental

Concreto comfibras de aço

157

Tabela 6.2 – Parâmetros ajustados para a distribuição inicial Di com base nos ensaios de resistência à compressão ��def.

Parâmetros de ajuste

C1 4 Hz C1 C2 C3

sem fibras fibras de

polipropileno fibras de aço

λ 71,1 76,1 68,0 76,1

k 17,1 19,8 14,0 31,0 ��� 3,1 4,8 12,0

Os parâmetros de escala λ e de forma k variam para os diferentes

concretos, assim como o parâmetro de locação ��í�� – limite de tensão abaixo

do qual não ocorreria a ruptura por fadiga. É possível observar que esse limite

aumenta nos concretos com fibras, sendo bastante superior para o concreto com

fibras de aço. A soma dos parâmetros λ e ��í�� segue a média dos resultados

de resistência de cada concreto, enquanto que o parâmetro de forma k altera

prioritariamente a inclinação de cada curva (Figura 6.4).

O ajuste do modelo aos resultados experimentais de resistência à

compressão estática foi bastante satisfatório, e o erro relativo médio obtido

variou de 0,7% (C1 e C3) a 3,4% (C2), e o coeficiente de correlação r foi 0,99

(C1), 0,93 (C2) e 0,96 (C3).

O ajuste do concreto com fibras de polipropileno C2 foi menos preciso que

os demais devido à combinação de poucos resultados e uma grande dispersão

entre os mesmos. Esse fato sugere que um maior número de ensaios de

resistência à compressão por série forneceria um ajuste mais preciso.

A Figura 6.5 reúne as quatro curvas apresentadas na Figura 6.4, para os

três concretos. O concreto sem fibras C1 tem duas curvas, pois os ensaios a

4 Hz foram realizados em uma etapa inicial, seis meses antes dos demais

ensaios do mesmo concreto e sua respectiva resistência à compressão ��def

naquele momento foi inferior, como descrito anteriormente.

158

Figura 6.5 – Distribuição inicial Di para os diferentes concretos.

As curvas ajustadas para o concreto sem fibras C1 têm forma muito

semelhante, onde a diferença principal está na escala das curvas, uma vez que

a resistência à compressão ��def média, quando realizados os ensaios à

frequência 4 Hz, foi inferior em 5 MPa.

6.3.2. Validação do modelo para os ensaios de fadiga

A segunda parte do modelo consiste no ajuste simultâneo dos parâmetros

b, c e γ para os ensaios de fadiga confrontando com os resultados

experimentais, neste caso o número de ciclos até a ruptura, à curva dada pelas

Equações 6.13 ou 6.14. Este ajuste foi feito para cada concreto, porém

verificado para cada frequência.

Assim como o ajuste realizado anteriormente para os resultados de

caracterização de resistência estática ��def, os resultados de número de ciclos

foram ordenados do menor ao maior e a probabilidade de falha é de 1/j para o

menor número de ciclos, 2/j para o segundo menor N e assim sucessivamente

até i/j = 1 para o maior número de ciclos da série.

Como descrito no programa experimental, foram ensaiados pelo menos

dez corpos de prova cúbicos para cada frequência – 4, 1, 0,25 e 0,0625 Hz –

para cada um dos três concretos. Foram ensaiados três corpos de prova

adicionais para a frequência de 4 Hz para o concreto sem fibras C1 e um corpo

de prova a mais para a mesma frequência para o concreto com fibras de

polipropileno C2.

60 70 80 90 1000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pro

babi

lidad

e de

falh

a

Resistência à compressão (MPa)

C1 4 Hz C1 C2 C3

159

Concreto sem fibras

A Tabela 6.3 mostra os resultados de número de ciclos até a ruptura N,

com sua respectiva probabilidade de falha PF, para cada frequência, para o

concreto sem fibras C1.

A Figura 6.6 apresenta a distribuição final Df, da Figura 6.1, ajustada aos

resultados experimentais pela Equação 6.13 para as quatro diferentes

frequências para o concreto sem fibras C1. Na segunda etapa de ajuste dos

parâmetros b, c e γ, o ajuste foi realizado para cada concreto simultaneamente

para as quatro frequências.

Tabela 6.3 – Número de ciclos até a ruptura e probabilidade de falha: concreto sem fibras C1.

Número do ensaio

4 Hz 1 Hz 0,25 Hz 0,0625 Hz PF

N PF Número de ciclos (N)

1 133 0,08 23 18 11 0,1

2 821 0,15 85 30 38 0,2

3 1222 0,23 157 98 76 0,3

4 1578 0,31 282 122 102 0,4

5 1660 0,38 368 157 142 0,5

6 2485 0,46 479 219 234 0,6

7 4192 0,54 759 400 275 0,7

8 7038 0,62 833 535 329 0,8

9 8411 0,69 1351 650 339 0,9

10 9521 0,77 1571 1242 473 1,0

11 13020 0,85 — — — —

12 22570 0,92 — — — —

13 170256 1,00 — — — —

160

Figura 6.6 – Distribuição final Df ajustada para os ensaios de fadiga do concreto sem fibras C1 para as diferentes frequências, em conjunto com os resultados experimentais.

Os parâmetros de ajuste b, c e γ são os mesmos para os quatro gráficos,

ou para as quatro frequências, na Figura 6.6, para o concreto sem fibras C1. Os

parâmetros ajustados foram: b = 0,061; c = 0,0105 e γ = 0,24. Observa-se que o

modelo se ajusta muito bem aos dados experimentais, onde o erro relativo médio

calculando-se o número de ciclos pela Equação 6.14 foi inferior a 5%, o

coeficiente de correlação r foi superior a 0,98 para as três maiores frequências, e

foi de 0,93 para a menor frequência 0,0625 Hz.

Concreto com fibras de polipropileno

Na Tabela 6.4 são apresentados o número de ciclos N e a probabilidade

de falha PF de cada ensaio para o concreto com fibras de polipropileno C2 para

as diferentes frequências ensaiadas. A distribuição de final Df ajustada aos

resultados experimentais está desenhada na Figura 6.7, para cada frequência.

1 10 100 1000 10000 100000 10000000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pro

babi

lidad

e de

falh

a

Número de ciclos

Modelo Experimental

4 Hz

1 10 100 1000 10000 100000 10000000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pro

babi

lidad

e de

falh

a

Número de ciclos

Modelo Experimental

1 Hz

1 10 100 1000 10000 100000 10000000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pro

babi

lidad

e de

falh

a

Número de ciclos

Modelo Experimental

0,25 Hz

1 10 100 1000 10000 100000 10000000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pro

babi

lidad

e de

falh

a

Número de ciclos

Modelo Experimental

0,0625 Hz

161

Tabela 6.4 – Número de ciclos até a ruptura e probabilidade de falha: concreto C2.

Número do ensaio

4 Hz 1 Hz 0,25 Hz 0,0625 Hz PF

N PF Número de ciclos (N)

1 371 0,09 124 12 16 0,1

2 376 0,18 237 14 40 0,2

3 668 0,27 710 107 42 0,3

4 900 0,36 1294 176 74 0,4

5 1009 0,45 1457 451 93 0,5

6 1685 0,55 2629 632 119 0,6

7 2962 0,64 10480 1559 331 0,7

8 3656 0,73 11383 1905 617 0,8

9 6446 0,82 11589 3500 949 0,9

10 6792 0,91 31020 5113 1264 1,0

11 6799 1,00 — — — —

Figura 6.7 – Distribuição final Df ajustada para os ensaios de fadiga do concreto C2, em conjunto com os resultados experimentais, para as diferentes frequências.

O ajuste apresentado na Figura 6.7 foi adequado, porém não foi tão

satisfatório como o ajuste do concreto sem fibras C1. Observa-se na Figura 6.7

que a curva desenhada pela Equação 6.13 ficou um pouco afastada dos

resultados experimentais, para a frequência 1 Hz. O fato dos ajustes dos

parâmetros de resistência à compressão não haverem sido tão precisos para o

concreto C2 refletiu no ajuste dos parâmetros b, c e γ. Uma vez que o ajuste foi

1 10 100 1000 10000 100000 10000000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pro

babi

lidad

e de

falh

a

Número de ciclos

Modelo Experimental

4 Hz

1 10 100 1000 10000 100000 10000000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pro

babi

lidad

e de

falh

a

Número de ciclos

Modelo Experimental

1 Hz

1 10 100 1000 10000 100000 10000000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pro

babi

lidad

e de

falh

a

Número de ciclos

Modelo Experimental

0,25 Hz

1 10 100 1000 10000 100000 10000000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pro

babi

lidad

e de

falh

a

Número de ciclos

Modelo Experimental

0,0625 Hz

162

feito simultaneamente buscando o melhor coeficiente de correlação e o menor

erro relativo médio para as quatro frequências. Entende-se que o baixo número

de ensaios de resistência à compressão ��def e a dispersão daqueles resultados

prejudicou a precisão do ajuste dos ensaios de fadiga para o concreto com fibras

de polipropileno C2. Lembrando-se que a inclinação das curvas das Figuras 6.6

a 6.8 são fortemente influenciadas pelo parâmetro de forma k ajustado pela

Equação 6.1 para os resultados de resistência à compressão ��def e que um

ajuste não muito preciso dos resultados de resistência tem consequências no

ajuste dos resultados de fadiga.

O erro relativo médio das quatro séries de ensaios de fadiga do concreto

C2 de ensaios foi de 13%, impulsionado pelo maior distância do modelo aos

resultados experimentais para a frequência 1 Hz. O erro em geral é maior em

cada um dos menores números de ciclos para cada frequência, de tal forma que

desconsiderando estes menores N para cada f o erro relativo médio para toda a

série de ensaios de fadiga do concreto com fibras de polipropileno C2 seria

inferior a 10%. O coeficiente de correlação foi 0,99 para as duas menores

frequências, 0,86 para 1 Hz e 0,94 para 4 Hz.

Para o concreto com fibras de polipropileno C2, os parâmetros ajustados

na Figura 6.7, utilizando-se a Equação 6.13, foram: b = 0,0515; c = 0,0035 e

γ = 0,086.

Concreto com fibras de aço

Os resultados experimentais dos ensaios de fadiga do concreto com fibras

de aço C3, bem como suas probabilidades de falha e a distribuição final Df

ajustada estão apresentados na Tabela 6.5 e Figura 6.8, respectivamente.

163

Tabela 6.5 – Número de ciclos até a ruptura e probabilidade de falha: concreto com fibras de aço C3.

Número do ensaio

4 Hz 1 Hz 0,25 Hz 0,0625 Hz PF

Número de ciclos (N)

1 849 154 237 221 0,1

2 1176 412 314 256 0,2

3 1347 746 716 741 0,3

4 1398 1344 751 1121 0,4

5 1673 2077 986 1144 0,5

6 1751 2365 1014 1246 0,6

7 2042 3120 1291 1273 0,7

8 2635 3945 2432 1304 0,8

9 4070 4082 3659 1875 0,9

10 5952 7438 5541 2409 1,0

Figura 6.8 – Distribuição final Df ajustada para os ensaios de fadiga do concreto com fibras de aço C3, para as quatro frequências distintas, em conjunto com os resultados experimentais.

O ajuste do modelo aos resultados experimentais mostrado na Figura 6.8 é

bastante satisfatório e o erro relativo médio de todos os quarenta ensaios de

fadiga desta série de concreto com fibras de aço foi de 4,3% sendo menor que

os erros médios dos demais concretos C1 e C2. O coeficiente de correlação foi

0,97 para as três maiores frequências e 0,9 para a menor frequência.

1 10 100 1000 10000 100000 10000000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pro

babi

lidad

e de

falh

a

Número de ciclos

Modelo Experimental

4 Hz

1 10 100 1000 10000 100000 10000000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pro

babi

lidad

e de

falh

a

Número de ciclos

Modelo Experimental

1 Hz

1 10 100 1000 10000 100000 10000000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pro

babi

lidad

e de

falh

a

Número de ciclos

Modelo Experimental

0,25 Hz

1 10 100 1000 10000 100000 10000000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pro

babi

lidad

e de

falh

a

Número de ciclos

Modelo Experimental

0,0625 Hz

164

No ajuste dos parâmetros b, c e γ para este concreto com fibras de aço, o

parâmetro γ é nulo, reduzindo bastante a influência da frequência para este

concreto. Porém, a frequência ainda é considerada no parâmetro c. Os

parâmetros ajustados, para o concreto com fibras de aço C3, na Figura 6.8,

utilizando a Equação 6.13, foram: b = 0,049; c = 0,0066 e γ = 0.

A Tabela 6.6 reúne os parâmetros ajustados nas Figuras 6.6 a 6.8 para os

três concretos.

Tabela 6.6 – Parâmetros de ajuste b, c e γ ajustados para cada concreto.

Concreto: b c γ C1: sem fibras 0,0610 0,0105 0,240

C2: fibras de polipropileno 0,0515 0,0035 0,086

C3: fibras de aço 0,0490 0,0066 0

Confrontando as curvas obtidas por meio do modelo probabilístico

proposto, para os parâmetros ajustados para cada um dos três concretos

ensaiados é possível observar a influência da frequência em cada concreto.

A Figura 6.9 apresenta as curvas obtidas pelo modelo proposto para os

três concretos: sem fibras C1, com fibras de polipropileno C2 e com fibras de aço

C3 para cada frequências de carregamento (4, 1, 0,25 e 0,0625 Hz).

Figura 6.9 – Número de ciclos versus probabilidade de falha; comparação da influência da frequência para as curvas ajustadas aplicando-se o modelo aos três concretos.

Para o concreto sem fibras C1 e para o concreto com fibras de

polipropileno C2 quanto mais alta a frequência, maior o número de ciclos para

1 10 100 1000 10000 100000 10000000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pro

babi

lidad

e de

falh

a

Número de ciclos

C1 C2 C3 4Hz C3

165

uma mesma probabilidade de falha, i.e., a curva de maior frequência se encontra

mais à direita na Figura 6.9. A distância entre a curva mais à direita para o

concreto C1, que corresponde a 4 Hz, e a seguinte da mesma série,

correspondente a 1 Hz, é maior do que a distância entre a segunda e terceira

curvas, 1 Hz e 0,25 Hz, respectivamente. O mesmo ocorre para o concreto com

fibras de polipropileno C2 – linhas pontilhadas – porém esta distância é menor.

Enquanto que no caso do concreto com fibras de aço C3, as curvas das

frequências mais altas se aproximam e chegam a se cruzar, como mostra em

destaque a curva C3 4 Hz em vermelho. A partir dessa observação é possível

chegar à mesma conclusão obtida no programa experimental: os resultados à

baixas frequências se aproximam dos resultados das frequências mais altas para

o concreto com fibras de aço C3.

6.3.3. Validação do modelo para diferentes razões entre te nsões

Com o intuito de validar o modelo para a variação da razão entre as

tensões mínima e máxima R, uma nova série de ensaios foi realizada em um

novo concreto sem fibras, diferente dos concretos apresentados no programa

experimental. Como não existiam mais corpos de prova disponíveis dos

concretos C1, C2 e C3 ensaiados anteriormente, foi selecionado outro concreto

de alta resistência sem fibras denominado C4, conforme descrito no item 5.7.

A tensão de ruptura em alguns corpos de prova cúbicos com 100 mm de

aresta superava o valor de 100 MPa, limite máximo da máquina de ensaios

dinâmica. O tamanho dos cubos foi reduzido para 80 mm de aresta e foram

ensaiados à compressão vinte corpos de prova desta geometria, a uma taxa de

carregamento �0 de 0,20 MPa/s. A Tabela 6.7 apresenta a resistência à

compressão estática ��def de cada um dos cubos e suas respectivas

probabilidades de falha PF de maneira análoga à apresentada no item 6.3.1. A

Figura 6.10 apresenta a curva – distribuição inicial Di – ajustada através do

modelo aos resultados experimentais para o concreto C4.

166

Tabela 6.7 – Resistência à compressão estática e probabilidade de falha para cada corpo de prova do concreto C4.

Número do ensaio

��def PF

Número do ensaio

��def PF

MPa MPa

1 84 0,05 11 98 0,55

2 85 0,10 12 99 0,60

3 85 0,15 13 100 0,65

4 88 0,20 14 100 0,70

5 89 0,25 15 102 0,75

6 90 0,30 16 102 0,80

7 90 0,35 17 102 0,85

8 91 0,40 18 103 0,90

9 93 0,45 19 104 0,95

10 97 0,50 20 108 1,00

Os parâmetros ajustados para que a curva melhor se aproximasse dos

resultados experimentais ��def foram λ = 94,7, k = 12,4 e ��í��= 3,1, esse último

idêntico ao concreto sem fibras C1. O erro relativo médio obtido foi de 1,7%, e o

coeficiente de correlação r foi de 0,97.

Figura 6.10 – Distribuição inicial Di dos ensaios de resistência à compressão fijkl em conjunto com os resultados experimentais para o concreto sem fibras C4.

Foram realizados alguns ensaios de fadiga com a configuração idêntica

aos ensaios realizados no programa experimental: com ��á� = 85% da

resistência à compressão ��def, razão entre tensões R = 0,3 e frequência de

carregamento 4 Hz com sinal senoidal. Porém, alguns destes ensaios chegaram

a mais de um milhão de ciclos sem romper, enquanto alguns romperam com

poucos milhares de ciclos. Foi então arbitrada uma tensão máxima de 90 MPa =

94% ��def e foram ensaiados à fadiga 30 corpos de prova cúbicos de 80 mm de

aresta, divididos em dois grupos de 15 ensaios. Os primeiros quinze ensaios

60 70 80 90 100 110 1200,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pro

babi

lidad

e de

falh

a

Resistência à compressão (MPa)

Modelo Experimental

Concreto sem fibras - C4 - 4 Hz

167

com razão entre tensões R de 0,3 e os seguintes com R = 0,1. A Tabela 6.8

mostra o número de ciclos até a ruptura N com a respectiva probabilidade de

falha PF de cada corpo de prova, para as duas razões entre tensões

selecionadas.

Tabela 6.8 – Número de ciclos até a ruptura e probabilidade de falha: concreto sem fibras C4: R = 0,3 e R = 0,1.

Número do ensaio

R = 0,3 Número do ensaio

R = 0,1

N PF N PF

1 38 0,07 1 46 0,07

2 73 0,13 2 125 0,13

3 150 0,20 3 222 0,20

4 667 0,27 4 302 0,27

5 2149 0,33 5 731 0,33

6 2798 0,40 6 858 0,40

7 2927 0,47 7 1106 0,47

8 7288 0,53 8 1231 0,53

9 7600 0,60 9 1753 0,60

10 7839 0,67 10 2265 0,67

11 9218 0,73 11 2352 0,73

12 11863 0,80 12 3961 0,80

13 17172 0,87 13 4276 0,87

14 20426 0,93 14 5988 0,93

15 75378 1,00 15 7153 1,00

Era esperado que, na média, o número de ciclos até a ruptura seria maior

para a maior razão entre tensões R, em virtude da menor amplitude de tensões

aplicada, consequentemente menor deformação a cada ciclo. Observa-se na

Tabela 6.9 que os menores números de ciclos são da mesma ordem de

grandeza, porém existe uma grande diferença nos corpos de prova que

suportaram um maior número de ciclos.

A Figura 6.11 mostra a curva ajustada aos resultados experimentais para

duas diferentes razões entre tensões R = 0,3 e 0,1.

168

Figura 6.11 – Distribuição final Df ajustada para os ensaios de fadiga; R = 0,3 e R = 0,1: concreto sem fibras C4.

O ajuste da Figura 6.11 foi realizado utilizando-se a Equação 6.12 onde os

parâmetros b e c se reduzem a um único parâmetro a, uma vez que todos os

ensaios dessa série foram realizados a uma mesma frequência de carregamento

4 Hz. O parâmetro ajustados então foram a = 0,06 e γ = 0,240, este último

idêntico ao do concreto sem fibras C1.

O erro relativo médio obtido em ambas as séries de R = 0,3 e 0,1 se

aproximou de 7%, um pouco acima do obtido nos traços anteriores. Esse erro

levemente superior se deve ao maior erro percentual dos corpos de prova com

baixo número de ciclos. Eliminando-se, por exemplo, dois dos menores N em

cada série o erro relativo médio das duas séries seria inferior a 4%. O coeficiente

de correlação foi de 0,94 (R = 0,3) e 0,98 (R = 0,1).

6.3.4. Exemplo de aplicação do modelo

Considerando-se a relação direta entre a probabilidade de falha – ou o

número de ciclos até a ruptura – e as condições de carregamento de um ensaio

de fadiga como Smáx, R e f, um exemplo de aplicação o modelo proposto é

apresentado calculando a probabilidade de falha para diferentes passos de

carregamento cíclico com configurações de carregamento variando a cada

passo. Inicialmente aplicam-se quatro passos de carregamento cíclico conforme

a Tabela 6.9. Ao final do quarto passo já haverão ocorrido dez mil ciclos.

Utilizando-se os parâmetros de ajuste de cada concreto: λ, k, ��í��, b, c, γ,

a resistência ��� e a taxa de carregamento do ensaio de compressão estática ��� , considerando-se que ao início do passo 1 a probabilidade de falha é nula,

calcula-se a probabilidade de falha ao final deste passo por meio da

1 10 100 1000 10000 100000 10000000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pro

babi

lidad

e de

falh

a

Número de ciclos

Modelo Experimental

R = 0,3

1 10 100 1000 10000 100000 10000000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pro

babi

lidad

e de

falh

a

Número de ciclos

Modelo Experimental

R = 0,1

169

Equação 6.13. A condição de carregamento do segundo passo é diferente e ao

início do passo seguinte já existe uma probabilidade de falha acumulada do

passo anterior. Utilizando a Equação 6.14 calcula-se um número de ciclos

equivalente ao início do passo 2, denominado N1,eq. A probabilidade de falha ao

final do passo dois será calculada (Equação 6.13) utilizando o número de ciclos

como: N2 = N1,eq + ∆N2, como sugere a Figura 6.12.

Tabela 6.9 – Passos de carregamento cíclico.

Passo Smáx Smín Frequência Número de ciclos do passo ∆N

1 80% 25% 4 Hz 2000

2 80% 40% 0,0625 Hz 3000

3 70% 20% 1 Hz 2500

4 80% 25% 0,25 Hz 2500

Figura 6.12 – Passos de carregamento cíclico utilizando-se o modelo.

Para a configuração de carregamento do passo 1 tem-se a equivalente

estática da tensão máxima � , aplicando-se o número de ciclos dessa etapa N1

calcula-se a probabilidade de falha PF1. Ao início do passo dois, para uma nova

configuração de carregamento �� calcula-se o número de ciclos equivalentes ao

passo anterior N1,eq, i.e., caminha-se pela curva de iso-probabilidade PF1 até o

ponto ��. Aplica-se então o número de ciclos do passo dois ∆N2 e com

N2 = N1,eq + ∆N2 calcula-se a probabilidade de falha ao final do passo 2. Repete-

se este procedimento para os passos seguintes. Quando a probabilidade de

falha calculada for igual à unidade, considera-se a ruptura do corpo de prova (ou

a ruptura de uma série de corpos de prova ensaiados com as mesmas condições

σ f

ln[N]

PF

2PF

1

2N 1N 1,eqN

σ 2σ 1

1

2∆ 2N

170

de carregamento) com uma quantidade ciclos acumulada após diversos passos

de carregamento.

A Tabela 6.10 mostra a probabilidade de falha calculada para o concreto

sem fibras C1 após os quatro ciclos de carregamento cíclico apresentados na

Tabela 6.9.

Tabela 6.10 – Quatro ciclos de carregamento, concreto sem fibras C1.

Passo ��á� ��í� ∆N f (Hz) PFinicial PFfinal

1 63,0 19,7 2000 4 0 0,03

2 63,0 31,5 3000 0,0625 0,03 0,29

3 55,1 15,7 2500 1 0,29 0,36

4 63,0 19,7 2500 0,25 0,36 0,96

Após os quatro ciclos de carregamento a probabilidade de falha acumulada

é de 0,96. Utilizando-se o mesmo procedimento para os concretos com fibras a

probabilidade de falha acumulada, após os quatro passos de carregamento

cíclico da Tabela 6.9, é de 0,59 para o concreto com fibras de polipropileno C2 e

de 0,24 para o concreto com fibras de aço. As Tabelas 6.11 e 6.12 apresentam

as probabilidades de falha calculadas em cada etapa para os concretos C2 e C3,

respectivamente.

Tabela 6.11 – Quatro ciclos de carregamento, concreto com fibras de polipropileno C2.

Passo ��á� ��í� ∆N f (Hz) PFinicial PFfinal

1 58,9 18,4 2000 4 0 0,25

2 58,9 29,4 3000 0,0625 0,25 0,36

3 51,5 14,7 2500 1 0,36 0,37

4 58,9 18,4 2500 0,25 0,37 0,59

Tabela 6.12 – Quatro ciclos de carregamento, concreto com fibras de aço C3.

Passo ��á� ��í� ∆N f (Hz) PFinicial PFfinal

1 71,0 22,2 2000 4 0 0,10

2 71,0 35,5 3000 0,0625 0,10 0,12

3 62,1 17,7 2500 1 0,12 0,12

4 71,0 22,2 2500 0,25 0,12 0,24

171

A Figura 6.13 resume as probabilidades de falha acumuladas ao longo dos

quatro etapas de carregamento cíclico para os três concretos.

Figura 6.13 – Probabilidades de falha acumuladas após quatro passos de carregamento cíclico.

Considerando-se que a ruptura ocorrerá quando a probabilidade de falha

alcance a unidade, após quatro etapas de carregamentos equivalentes em

termos de porcentagem da carga de ruptura de cada concreto, o concreto sem

fibras C1 está bem próximo da ruptura, o concreto com fibras de aço C3 é o que

está mais longe de romper e o concreto com fibras de polipropileno C2 se situa

entre os concretos C1 e C3.

Para levar os corpos de prova à ruptura, aplica-se um quinto ciclo

de carregamento ∆N5 com as tensões máxima e mínima em 85% e 25% de ���,

respectivamente. O número de ciclos estimado para chegar à ruptura depende

da frequência de carregamento. A Tabela 6.13 apresenta o número de ciclos

necessários para levar o corpo de prova de cada concreto à ruptura, equivalente

a PF = 1, para quatro diferentes frequências.

Tabela 6.13 – Número de ciclos para alcançar a ruptura.

f (Hz) C1 C2 C3

∆N5

4 6267 92751 6914

1 718 40308 9931

0,25 580 29784 9276

0,0625 383 17251 6237

0 2000 4000 6000 8000 100000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0ooo 432o1

Pro

babi

lidad

e de

falh

a

Número de ciclos

C1 C2 C3

Passos

172

Ao final de esse exemplo é possível fazer algumas observações. Levando-

se em consideração que as probabilidades de falha e números de ciclos

calculados a cada passo, em cada concreto, utilizaram os parâmetros de ajuste

e a resistência à compressão ��� de cada concreto, o modelo reflete as

tendências dos ensaios reais apresentados no capítulo 5. Para o concreto sem

fibras C1 e para o com fibras de polipropileno C2, o modelo estima um menor

número de ciclos conforme se reduz a frequência (Tabela 6.13). No concreto

com fibras de aço C3 a influência da frequência é menor do que nos demais

concretos, por este motivo o número de ciclos estimados para 4 Hz acabou

sendo menor do que para 1 Hz, como visto anteriormente na Figura 6.9.

O elevado número de ciclos estimados para romper o concreto C2 é

reflexo da sensibilidade do modelo ao ajuste dos ensaios de compressão

estática. Lembrando o que foi discutido em 6.3.2 que a dispersão dos resultados

de compressão do concreto C2 prejudicou o ajuste do modelo aos ensaios de

fadiga. Desta forma, o modelo estima um número de ciclos superior ao que se

esperava. Uma vez que o desempenho do concreto C2 em geral sempre esteve

entre os concretos C1 e C3, esperava-se que os números de ciclos estimados

para o concreto C2, na Tabela 6.13, se situassem entre mil e dez mil ciclos.

6.4. Histórico de deformações

Neste item busca-se obter uma expressão que relacione o número de

ciclos até a ruptura N e a taxa de deformação (específica secundária �����) –

descrita anteriormente no capítulo 2, item 2.3.5 – utilizando-se os parâmetros de

fadiga da Equação 6.13, obtidos a partir do modelo probabilístico proposto.

Segundo Hordijk et al. (1995) e Cornelissen (1984), parece existir uma

forte correlação entre esta taxa de deformação e o número de ciclos até a

ruptura, onde com a diminuição de �� a vida à fadiga aumenta. Em geral a

previsão do número de ciclos baseada na �� é mais precisa do que as previsões

baseadas em níveis de tensão através das curvas SxN.

Os resultados experimentais aqui são apresentados na Figura 6.14 no

plano número de ciclos versus taxa de deformação em escala logarítmica. Esses

resultados são os mesmos apresentados no capítulo anterior, na Figura 5.10,

para os concretos C1, C2 e C3 somados aos resultados do concreto sem

fibras C4.

173

Figura 6.14 – Número de ciclos versus taxa de deformação: C1, C2, C3 e C4.

A Figura 6.14 comprova que existe uma boa correlação entre o número de

ciclos até a ruptura e a taxa de deformação ��. Para cada série de ensaios de

fadiga – tipo de concreto; frequência ou razão entre tensões R – foi ajustada

uma reta nos gráficos da Figura 6.14. Para tal, denomina-se a intersecção de

uma das retas para uma certa frequência f como o logarítimo natural de uma

taxa de deformação qualquer ln���, a equação dessa reta é escrita como:

ln �� = ln ��� + ��ln�� eq.(6.16)

onde ϕ é a inclinação dessa reta.

A relação entre ln��� e a frequência de carregamento f também pode ser

expressa como:

1 10 100 1000 10000 1000001E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

ε (s-1

)

Número de ciclos

4 Hz 1 Hz 0,25 Hz 0,0625 Hz 4 Hz 1 Hz 0,25 Hz 0,0625 Hz

C1

1 10 100 1000 10000 1000001E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

ε (s

-1)

Número de ciclos

4 Hz 1 Hz 0,25 Hz 0,0625 Hz 4 Hz 1 Hz 0,25 Hz 0,0625 Hz

C2

1 10 100 1000 10000 1000001E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

ε (s

-1)

Número de ciclos

4 Hz 1 Hz 0.25 Hz 0.0625 Hz 4 Hz 1 Hz 0.25 Hz 0.0625 Hz

C3

1 10 100 1000 10000 1000001E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

ε (s-1

)

Número de ciclos

R=0,3 R=0,1 R=0,3 R=0,1

C4

174

ln ���ln ��� = 1 − η ln ���! eq.(6.17)

onde ��� é a taxa de deformação de referência, correspondente a um ensaio de

fadiga realizado a uma frequência de referência f0. Essa frequência f0 seria o

limite abaixo do qual o ensaio poderia ser considerado estático. Sendo assim, ���

pode ser expresso por linearidade elástica como ��� /E onde ��� é a taxa de

carregamento estática e E corresponde ao módulo de elasticidade. A

Equação 6.17 também descreve uma reta com o eixo das abcissas em escala

logarítimica onde η é a inclinação dessa reta. Tanto η como f0 foram obtidas

para cada tipo de concreto e seus valores serão apresentados na Tabela 6.14,

com os demais parâmetros ajustados em todas as etapas do modelo.

As condições limite a seguir devem ser satisfeitas com respeito a taxa de

deformação em um ensaio de fadiga:

"#$%→ �� = ln ��� eq.(6.18)

"#$'→ �� = ln ��� eq.(6.19)

Em condições análogas ao limites de tensão satisfeitos nas Equações 6.5

a 6.7 e considerando que ln�� também depende da razão entre tensões R e da

frequência de carregamento f nas Equações 6.8 e 6.9, a inclinação ϕ pode ser

expressa como:

� = � + () + *ln�1 + ��+�1 + ,� eq.(6.20)

Ajustando-se a Equação 6.16 aos resultados experimentais da Figura 6.14, � é obtido como unitário. Inserindo-se a Equação 6.17 e 6.20 na Equação 6.16,

obtém-se uma relação entre a taxa de deformação �� e o número de ciclos até a

ruptura N por:

ln���� = ln����� -1 − η ln ���!.− (1 + �) + * ln(1 + �+��1 − ,�+ ln��� eq.(6.21)

175

As retas da Figura 6.14 foram obtidas a partir da Equação 6.21. A partir

dessa equação é possível obter uma relação direta entre �� e N como:

�� = /01 2ln ���3 ! -1 − η ln ���!.4 �56 7�87� 9:( 7;+�� 5%�< eq.(6.22)

O número de ciclos em função da taxa de deformação é obtido isolando-se

N na Equação 6.22:

� = 2 ��ln���� 3⁄ � (1 − η ln�� ��⁄ �+42 5 7�87� 9:( 7;+�� 5%�4 eq.(6.23)

A Equação 6.23 permite prever o número de ciclos até a ruptura

controlando a deformação ao longo do ensaio sem que seja necessário levar o

corpo de prova até a ruptura.

O ajuste das Equações 6.22 e 6.23 foi bastante satisfatório, com um erro

médio relativo abaixo de 2% e 3%, respectivamente. Os coeficientes de

correlação de cada uma das quatorze séries, ou retas, da Figura 6.14, foram em

sua maioria superiores a 0,96 e em poucos casos no mínimo 0,93.

Estas equações (6.22 e 6.23) são determinísticas, uma vez conhecidos os

parâmetros de ajuste, e as demais variáveis são conhecidas para um dado

ensaio de fadiga. Inserindo a Equação 6.23, onde o número de ciclos é função

da taxa de deformação N{��< na Equação 6.13 onde N é a variável principal para

obter a PF, é possível expressar a probabilidade de falha relacionada com �� como:

>?���; ��á�, �, ,� = 1 − /01BCDCE− F��á� ���2�∆�!H − ��í�I

λ�6��< JK

LCMCN eq.(6.24)

Comparando-se as Equações 6.13 e 6.24 conclui-se que para um ensaio

de fadiga realizado sob certa condição de carregamento – tensão máxima, razão

entre tensões e frequência –, tanto o número de ciclos até a ruptura como a taxa

de deformação são probabilistas.

176

A Tabela 6.14 resume todos os parâmetros ajustados ao modelo para os

três concretos do programa experimental e também para o concreto sem fibras

C4, apresentado no item 6.3.3.

Tabela 6.14 – Resumo dos parâmetros do modelo ajustados para os diferentes concretos.

Concreto Resistência à compressão Fadiga ��

λ k ��í�� b c γ f0 η C1 76,1 19,8 3,1 0,0610 0,0105 0,240 0,0016 0,081

C2 68,0 14,0 4,8 0,0515 0,0035 0,086 0,0019 0,086

C3 76,1 31,0 12,0 0,0490 0,0066 0 0,0015 0,089

C4 94,7 12,4 3,1 a = 0,06 0,240 — —

No caso do concreto sem fibras C4, como este foi ensaiado apenas a

frequência 4 Hz, não foi possível obter uma frequência de referência f0,

tampouco a inclinação η e também não é possível separar os parâmetros de

ajuste b e c. Ao invés disso, um único valor para o parâmetro a da Equação 6.12

foi ajustado como 0,06.

A constante γ que tem a função de incluir a influência da frequência de

carregamento no expoente dinâmico α, na Equação 6.4, foi ajustada em 0,24

para ambos os concretos sem fibras C1 e C4. Para o concreto com fibras de aço

C3 seu valor foi nulo e para o concreto com fibras de polipropileno C2, o ajuste

ficou em um valor intermediário de 0,086.

6.5. Comentários finais

O modelo probabilístico proposto neste capítulo foi dividido em três etapas:

resistência à compressão, número de ciclos e taxa de deformação. Dos oito

parâmetros apresentados na Tabela 6.14 os três primeiros: λ, k e ��í�� são parâmetro de ajuste da distribuição estatística de Weibull, facilmente

obtidos pela probabilidade de falha por ruptura dos ensaios de resistência à

compressão; os três parâmetros b, c e γ, ajustados através da probabilidade de

falha dos ensaios de fadiga, são os únicos parâmetros que requerem a

realização dos ensaios de fadiga; por fim, as variáveis η e f0 não são parâmetros

de ajuste, são obtidos a partir da taxa de deformação, uma vez ajustados os seis

parâmetros anteriores.

177

Para cada concreto, foram ensaiados à compressão estática no mínimo

seis corpos de prova cúbicos e dez cubos à fadiga para cada frequência

selecionada.

Em geral o ajuste foi satisfatório em todos os casos e observou-se que o

ajuste foi mais preciso quanto maior foi o número de ensaios realizados. Nos

ensaios à compressão de vinte corpos de prova para resistência e quinze mais

quinze para fadiga do concreto sem fibras C4, apesar da alta dispersão dos

resultados, o ajuste do modelo foi bastante satisfatório.

A proposta deste modelo é, uma vez realizada uma série de ensaios de

fadiga com um mínimo de corpos de prova que permita o ajuste dos parâmetros

b, c e γ, possibilitar a previsão do número de ciclos até a ruptura considerando a

frequência de carregamento e a evolução das deformações ao longo de um

ensaio sem levar os corpos de prova até a ruptura. A metodologia probabilística

pode vir a ser mais precisa para a análise e projeto de estruturas de concreto –

sejam essas com ou sem fibras – em comparação aos critérios que em geral se

baseiam nas curvas SxN. Seria possível uma caracterização mais ampla do

comportamento do concreto à fadiga de maneira mais ágil, sem esperar a

ruptura de inúmeros corpos de prova, variando a frequência de carregamento e o

nível de tensões. A possibilidade de extrapolar os resultados de laboratório para

estruturas construídas, monitorando-se o seu histórico de deformações, seria de

grande utilidade.

7. Conclusões e sugestões para trabalhos futuros

7.1. Conclusões

7.1.1. Introdução

O objetivo desta tese foi avaliar o comportamento à fadiga em compressão

de diferentes concretos – sem fibras C1, com fibras de polipropileno C2 e com

fibras de aço C3 – estudando-se o efeito da frequência de carregamento por

meio de ensaios de laboratório. Foi realizado um estudo experimental e proposto

um modelo probabilístico. Os resultados obtidos no laboratório foram utilizados

para validar o modelo.

Foi comprovado experimentalmente que a frequência de carregamento

influenciou o comportamento do concreto à fadiga em compressão, e que a

adição de fibras melhorou o desempenho à fadiga apenas para as frequências

mais baixas. O comportamento à fadiga em compressão do concreto com fibras

de aço foi melhor para as menores frequências, e o concreto com fibras de

polipropileno teve desempenho intermediário entre o concreto sem fibras e o

com fibras de aço. Para a maior frequência testada não houve uma diferença

representativa entre os três concretos.

Para avaliar a influência da frequência de carregamento no comportamento

à fadiga do concreto em compressão comparou-se a vida à fadiga – o número de

ciclos até a ruptura – de cada ensaio para as diferentes séries de ensaios de

fadiga: três concretos e quatro frequências.

Observando-se os resultados obtidos neste trabalho, é possível afirmar

que a utilização de fibras de aço minimiza o efeito da frequência de

carregamento no desempenho à fadiga em compressão. A vida à fadiga do

concreto com fibras de aço foi em média cinco vezes superior à do concreto sem

fibras para as duas menores frequências, enquanto que para o concreto com

fibras de polipropileno a média do número de ciclos para as menores frequências

foi pouco maior do que o dobro do concreto sem fibras.

179

Analisando o número de ciclos dos ensaios nas menores frequências

(0,25 Hz e 0,0625 Hz) maiores do que mil ciclos ou menores do que cem ciclos

observa-se que: a maioria dos ensaios de fadiga do concreto sem fibras C1

suportaram menos de mil ciclos e alguns ensaios suportaram menos de cem

ciclos; para o concreto com fibras de polipropileno C2, muitos números de ciclos

ficaram abaixo de mil e poucos foram menores que cem; para o concreto com

fibras de aço C3, mais da metade dos ensaios suportaram mais de mil ciclos e

nenhum ensaio teve o número de ciclos menor do que cem.

Para as frequências mais altas (1 Hz e 4 Hz) a maioria dos ensaios de

fadiga suportou mais de mil ciclos para os três concretos, à exceção do concreto

sem fibras C1 para a frequência 1 Hz.

É importante ressaltar que os parâmetros dos ensaios de fadiga utilizados

neste trabalho foram selecionados com o intuito de viabilizar o estudo do

comportamento à fadiga em compressão do concreto em laboratório. Os

elevados níveis de tensão utilizados – 85% da resistência à compressão – e o

baixo número de ciclos até a ruptura não representam o comportamento real de

estruturas de concreto.

7.1.2. Histórico de deformações

Observando-se o histórico de deformações dos ensaios de fadiga por meio

das deformações finais, ou da deformação a cada ciclo, ou da evolução das

deformações ao longo do ensaio ��, foi possível entender porque a vida à fadiga

diminuiu com a redução da frequência de carregamento, e porque as fibras

melhoraram a vida à fadiga apenas para as baixas frequências, seguindo-se o

raciocínio do estudo de Vegt e Weerheijm (2007). Considerando-se os ensaios

realizados nas menores frequências (abaixo de 1 Hz) como quase-estáticos e

nas maiores frequências como dinâmicos: nos ensaios estáticos as microfissuras

têm tempo de encontrar um caminho mais frágil – contornando os agregados ou

através da zona de transição – e a ruptura ocorre quando essas microfissuras se

unem formando uma macrofissura principal; e nos ensaios dinâmicos as

microfissuras não têm tempo de encontrar um caminho mais frágil e muitas

acabam atravessando os agregados, gerando múltiplas macrofissuras que levam

o corpo de prova à ruptura.

Primeiro comprovou-se que as deformações totais dos ensaios de fadiga

acompanharam uma envoltória de deformações dos ensaios estáticos de

180

resistência à compressão. Segundo, observou-se que a deformação a cada ciclo

entre os diferentes concretos foi maior para o concreto sem fibras e menor para

o concreto com fibras de aço, pois as fibras costuram as microfissuras

retardando a propagação das mesmas. Terceiro, comparou-se a deformação por

ciclo para as diferentes frequências e essa foi maior para a frequência mais

baixa e menor para a frequência mais alta, para os três concretos estudados.

Sendo assim, se o concreto sem fibras tem um limite máximo de

deformação menor do que os concretos com fibras, e a deformação por ciclo é

maior no concreto sem fibras, esse vai romper com um menor número de ciclos.

Assim como, se a deformação por ciclo foi maior para a frequência mais baixa

0,0625 Hz (procurando o caminho mais frágil) e menor para a frequência mais

elevada 4 Hz nos três concretos, o número de ciclos para atingir a deformação

limite e romper o corpo de prova é menor para as frequências mais baixas.

As fibras melhoraram a vida à fadiga apenas nas menores frequências

porque as fibras atrasam a propagação das fissuras que levam o corpo de prova

à ruptura, porém para as altas frequências enquanto as fibras costuram algumas

fissuras, outras fissuras ocorrem fora do alcance das fibras levando o corpo de

prova à ruptura.

O trabalho das fibras também foi observado nas curvas de fluência cíclica

(evolução das deformações máximas ao longo dos ensaios) onde houve uma

quebra de tendência no tramo central. Essa quebra de tendência indica a

contribuição das fibras.

Verificou-se também que existe uma forte relação entre a evolução das

deformações máximas, através da taxa de deformação específica secundária ��,

com o número de ciclos até a ruptura. Quanto menor for a taxa de deformação

maior será o número de ciclos até a ruptura.

7.1.3. Modelo probabilístico proposto

O modelo probabilístico proposto buscou relacionar o número de ciclos até

ruptura com as tensões envolvidas em um ensaio de fadiga e também com a

variação da frequência de carregamento considerando-se a distribuição

estatística tanto dos resultados dos ensaios de fadiga quanto dos resultados de

caracterização da resistência dos diferentes concretos estudados.

Esse modelo foi validado por mais de cento e cinquenta ensaios de fadiga

e quarenta e seis ensaios de compressão em corpos de prova cúbicos de

181

100 mm de aresta. O ajuste do modelo foi bastante satisfatório na maioria das

séries de ensaios com erros relativos médios abaixo de 5% e coeficientes de

correlação próximos ou superiores a 0,95. A exceção ocorreu no concreto com

fibras de polipropileno C2 para a frequência 1 Hz o que mostrou a dependência

do modelo à distribuição estatística dos resultados de resistência à compressão.

Neste caso o ajuste dos resultados de compressão não foi tão preciso devido ao

baixo número de ensaios e à grande dispersão, e este ajuste menos preciso

refletiu no ajuste dos ensaios de fadiga do concreto C2.

Ficou comprovado que a ruptura é probabilística em termos do número de

ciclos N ou da taxa de deformação secundária ��, e que existe uma relação direta

entre N e ��, onde ajuste do modelo a estes resultados foi muito bom. Em termos

práticos esta relação entre N e �� fornece a possibilidade de estimar o número de

ciclos até a ruptura sem chegar a romper um corpo de prova.

7.2. Sugestões para trabalhos futuros

Foi comprovada a influência da frequência no comportamento à fadiga do

concreto em compressão e o benefício da adição de fibras. O efeito de diferentes

conteúdos de fibras pode ser estudado com o objetivo de encontrar um teor

ótimo de fibras que melhore o desempenho do concreto à fadiga. A adição de

fibras melhora a resistência à tração e a tenacidade do concreto, porém, existe

um limite de conteúdo de fibras a partir do qual a adição de mais fibras deixa de

ser benéfica.

Estudar em laboratório a influência da frequência de carregamento para

diferentes tipos de fibras como: fibras de basalto, de carbono, de vidro, fibras

naturais, entre outras ou ainda mesclando tamanhos diferentes de fibras de aço,

processo conhecido como hibridização que consiste na utilização conjunta de

microfibras e macrofibras de aço, onde o incremento das propriedades do

concreto à tração pode ser substancial, pois as microfibras retardam o

surgimento de fissuras e as macrofibras contêm a propagação das mesmas

(Ferrari e Hanai, 2009; Akcay e Tasdemir, 2012).

Verificar a influência da frequência de carregamento em ensaios de fadiga

em concreto para outras formas de solicitação como: ensaios de flexão, ensaios

de tração direta, ensaios de tensões alternadas de tração e compressão.

Nos ensaios realizados neste trabalho foram utilizados apenas corpos de

prova de pequenas dimensões. Seria interessante procurar verificar o efeito da

182

frequência em ensaios estruturais em vigas, pilares e lajes. Apesar das

limitações dos ensaios de fadiga em elementos estruturais de grandes

dimensões em função da capacidade das máquinas de ensaio, é viável estudar

a influência da frequência em peças estruturais de concretos com e sem fibras a

baixas frequências, inferiores a 1 Hz.

Tendo em vista a relação direta entre a taxa de deformação secundária �� e

o número de ciclos até a ruptura N observados neste trabalho é possível estudar

experimentalmente a fadiga em diversos tipos concretos sob quaisquer

condições de carregamento, com um grande número de repetições utilizando-se

o modelo probabilístico proposto. Inicialmente seria necessário calibrar o modelo

com um número mínimo de ensaios e logo em seguida agilizar os ensaios de

fadiga não levando os corpos de prova à ruptura, estimando a vida à fadiga pelo

monitoramento do histórico de deformações.

Uma vez realizados outros ensaios de fadiga aqui sugeridos, procurar

validar ou até melhorar o modelo probabilístico proposto para diferentes tipos de

ensaios, variando-se os tipos de concreto e os distintos tipos e conteúdos de

fibras.

A influência da frequência de carregamento no comportamento à fadiga em

compressão do concreto com e sem fibras ficou comprovada experimentalmente

neste trabalho, porém o estudo ficou limitado entre as frequências 0,0625 Hz e

4 Hz. Não se pode afirmar que o comportamento à fadiga a elevadas frequências

– acima de 10 Hz – ou frequências muito baixas – abaixo de 0,01 Hz – sigam as

tendências apresentadas neste trabalho. Seria interessante estudar o

comportamento à fadiga do concreto para frequências muito altas ou muito

baixas. Contudo, para viabilizar este estudo é importante levar em consideração

a possibilidade de ensaios de larga duração em dois casos: os ensaios a baixas

frequências, ou a necessidade de ensaios a menores níveis de tensão para altas

frequências, devido à limitação das máquinas de ensaios para fadiga em

compressão (neste caso cabe a possibilidade de se utilizar máquinas de ensaios

mais modernas que poderiam, por exemplo, trabalhar até 100 Hz, com

deformações superiores a 1 mm, a níveis de tensão próximos de 100 toneladas).

8. Referências bibliográficas

Aas-Jakobsen K. Fatigue of concrete beams and columns . Bulletin nº 70-1,

NHT Institutt for Betongkonstruksjoner: 148p.; Trondheim, Noruega; 1970.

Accetti K. M., Pinheiro L. M. Tipos de fibras e propriedades do concreto com

fibras . 42º Congresso Brasileiro do Concreto – IBRACON, IIA-25: Fortaleza,

Brasil; 2000.

Aguado A., Laranjeira F. Presentación del anejo de hormigón con fibras de la

EHE y ecuación constitutiva del hormigón con fibras . Jornada sobre

Aplicaciones Estructurales de Hormigón con Fibras: p. 1-32; Barcelona,

Espanha; 2007.

Akcay B., Tasdemir M. A. Mechanical behaviour and fibre dispersion of

hybrid steel fibre reinforced self-compacting concr ete. Construction and

Building Materials, 28: p. 287-293; 2012.

American Concrete Institute, ACI 211.3R-75, Standard Practice for Selecting

Proportions for No-Slump Concrete . 19 p., Detroit; 2002.

_______ACI 215R-74, Considerations for Design of Concrete Structures

Subjected to Fatigue Loading . 25 p., Detroit; 1992.

_______ACI 544.1R-96, State-of-the-art Report on fiber reinforced concret e.

Manual of concrete Practice: 66 p., Detroit; 2006.

_______ACI 544.2R-89, Measurement of properties of Fiber Reinforced

Concrete . Manual of concrete Practice: 12 p., Detroit; 2006.

_______ACI 544.3R-93, Guide for Specifying, Proportioning, Mixing, Placin g

and Finishing Steel Fiber Reinforced Concrete . 10 p., Detroit; 2006.

184

_______ACI 544.4R-88, Design Considerations for Steel Fiber Reinforced

Concrete . Manual of concrete Practice: 18 p., Detroit; 2006.

American Society for Testing and Materials, ASTM C39/C39M – 09a. Standard

Test Method for Compressive Strength of Cylindrical Concrete Specimens .

Book of ASTM Standards: 7 p.; 2010.

_______ASTM C469 – 02. Standard Test Method for Static Mod ulus of

Elasticity and Poisson’s Ratio of Concrete in Compr ession . Book of ASTM

Standards: 5 p.; 2010.

_______ASTM C1018. Standard Test Methods to Flexura l Toughness and

First Crack Strength of Fiber Reinforced Concrete ( Using Beam with Third-

Point Loading) , ASTM, Vol. 4.02: p. 637-644; 1997.

_______ASTM C1609/C1609M – 10. Standard Test Method for Flexural

Performance of Fiber- Reinforced Concrete (Using Be am with Third-Point

Loading) . Book of ASTM Standards: 9 p.; 2005.

Ang A. H. S., Tang W. H. Probability concepts in engineering planning and

design. Decision, risk and reliability . Volume II: p. 186-235; 1975.

Araújo D. L. Cisalhamento entre viga e laje pré-moldadas ligadas mediante

nichos preenchidos com concreto de alto desempenho . Tese de Doutorado,

Escola de Engenharia de São Carlos, USP: 319 p.; São Paulo, Brasil; 2002.

Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), NBR-6118. Projeto de

Estruturas de Concreto – Procedimento . 170 p.; Rio de Janeiro, Brasil; 2007.

_______NBR-15530. Fibras de Aço para Concretos - Especificação . 7 p.; Rio

de Janeiro, Brasil; 2007.

Awad M. E., Hilsdorf H. K. Strength and deformation characteristics of plain

concrete subjected to hig repeated and sustained lo ads . Civil Engineering

Studies, Structural Research Series No. 372: Department of Civil Engineering,

University of Illinois: 266 p.; Urbana, USA; 1971.

185

Bajaj V., Singh S. P., Singh A. P. Flexural fatigue analysis of fibre-reinforced

concrete . Magazine of Concrete Research, 64(4): p. 361-373; 2012.

Balaguru P. N., Shah S. P. Fiber-Reinforced Cement Composites . McGraw-Hill

International Editions. 530 p.; 1992.

Balbo J. T., Severi A. A. Thermal gradients in concrete pavements in tropical

environment: an experimental appraisal . Journal of the Transportation

Research Board, TRB 1809: p. 12-22; Washington, D.C.; 2002.

Banthia N., Trottier J. F. Test methods for flexural toughness

characterization of fiber reinforced concrete: Some concerns and

propositions . ACI Materials Journal, 92(1): p. 48-57; 1995.

Bentur A., Mindess S. Fiber Reinforced Cementations Composites . Elsevier

Science publishers Ltd, 2nd edition: 603 p.; 2007.

Bischoff P. H., Perry S. H., Compressive behavior of concrete at high strain

rates . Materials and Structures, 24: p. 425-450; 1991.

Cachim P. B., Figueiras J. A., Pereira P. A. A. Fatigue behavior of fiber-

reinforced concrete in compression . Cement and Concrete Composites, 24:

p. 211-217; 2002.

Callister W. D. J. Ciência e Engenharia de Materiais. Uma introdução .

5ª Edição, Editora LTC: 589 p.; Rio de Janeiro, Brasil; 2002.

Castillo E., Fernández-Cantelli A., Ruiz-Ripoll M. L. A general model for fatigue

damage due to any stress history . International Journal of Fatigue, 30: p. 150-

164; 2008.

Castillo E., Fernández-Cantelli A., Koller R., Ruiz-Ripoll M. L. A statistical

fatigue model covering the tension and compression Wöhler fields .

Probabilistic Engineering Mechanics, 24: p. 199-209; 2009.

186

Castro J. T. P., Meggiolaro M. A. Fadiga. Técnicas e Práticas de

Dimensionamento Estrutural sob Cargas Reais de Serv iço. Volume I –

Iniciação de Trincas . 1ª edição: 466 p.; Rio de Janeiro, Brasil; 2009.

Cervo T. C. Estudo da resistência à fadiga de concretos de cime nto

Portland para pavimentação . Tese de doutorado, Universidade Politécnica de

São Paulo: 220 p.; São Paulo, Brasil; 2004.

Comité Euro-International du Béton. Fatigue of concrete structures . Bulletin

d´information nº 188: p. 85-142; Viena, Áustria; 1988.

Cook D. J., Chindaprasirt P. Influence of loading history upon the

compressive properties of concrete . Magazine of Concrete Research,

32(111): p. 89-100; 1980.

Cook D. J., Chindaprasirt P. Influence of loading history upon the tensile

properties of concrete . Magazine of Concrete Research, 33(116): p. 154-160;

1981.

Cornellissen H. A. W. Fatigue failure of concrete in tension . Heron, 29(4): 67

p., Holanda; 1984.

Cornelissen H. A. W., Leewis M. Fatigue experiments for the design of plain

concrete pavements . Workshop on Theoretical Design of Concrete Pavements,

CROW-PIARC-CEMBUREAU, Report 1: 10 p.; Epen, Holanda; 1986.

Crepaldi A. A. P., Djanikian J. G. Contribuição ao estudo da fadiga do

concreto . Boletim Técnico BT/PCC/276, EPUSP: 19 p.; São Paulo, Brasil; 2001.

Domenichini L., Di Mascio P. Procedure for JPCP thickness design in Italy .

2nd International Workshop on the Theoretical Design of Concrete Pavements,

CROW-PIARC-CEMBUREAU: p. 312-330; Sigüenza, Espanha; 1990.

Ferrari V. J., Hanai J. B. Desenvolvimento e análise de compósitos

cimentícios híbridos de alto desempenho . Revista Ibracon de Estruturas e

Materiais, 2(3): p. 262-270; 2009.

187

Figueiredo A. D. Concreto com fibras de aço . Boletim Técnico BT/PCC/260,

EPUSP: 68 p.; São Paulo, Brasil; 2000.

Figueiredo A. D., Tanesi J., Nince A. A. Concreto com fibras de polipropileno .

Téchne, 10: 66 p.; São Paulo, Brasil; 2002.

Furtak K. Ein verfahren zur berechnung der betonfestigkeit un ter

schwellenden belastungen (Um método de cálculo da resistência do concreto

sob cargas cíclicas (em alemão)). Cement and Concrete Research, 14: p. 885-

865; 1984.

Gettu R., Gardner D. R., Saldívar H., Barragán B. E. Study of the distribution

and orientation of fibers in SFRC specimens . Materials and Structures, 38:

p. 31-37; 2005.

Goel S., Singh S. P., Singh P. Flexural fatigue strength and failure probability

of self compacting fibre reinforced concrete beams . Engineering Structures,

40: p. 131-140; 2012.

Gonçalvez R. Análise de propagação de fissuras por fadiga em con creto

pelo mef mediante a mecânica do dano contínuo . Dissertação de Mestrado,

Escola de Engenharia de São Carlos, USP: 116 p.; São Paulo, Brasil; 2003.

Granju J., Balouch S. U. Corrosion of steel fibre reinforced concrete from t he

cracks . Cement and Concrete Research, 35(3): p. 572-577; 2005.

Grzybowski M., Meyer C. Damage accumulation in concrete with and without

fiber reinforcement. ACI Materials Journal, 90: p. 594-604; 1993.

Hanson J. M. Considerations for design of concrete structures su bjected to

fatigue loading . ACI Journal, 71(3): p. 97-120; 1974.

Heeralal M., Kumar P. R., Rao Y. V. Flexural fatigue characteristics of steel

fiber reinforced recycles aggregate concrete (SFRRA C). Series: Architecture

and Civil Engineering. FACTA Universitatis, 7(1): p. 19-33; 2009.

188

Helene P. R. L., Corrosão em armaduras para concreto armado . IPT, PINI:

45 p.; São Paulo, Brasil; 1996.

Hohberg R. Zum ermüdungsverhalten von beton (O comportamento do

concreto à fadiga (em alemão)). Tese de Doutorado, Universidade Técnica de

Berlim: 97 p., Alemanha; 2004.

Holmen J. O. Fatigue of concrete by constant and variable amplit ude

loading . Tese de Doutorado, University of Trondheim: 218 p., Noruega; 1979.

Hordijk D. A., Wolsink G. M., de Vries J. Fracture and fatigue behavior of high

strength limestone concrete as compared to gravel c oncrete . Heron, 40(2):

p. 125-146, Holanda; 1995.

Hsu T. C. Fatigue of plain concrete . ACI Journal, 78: p. 292-304; 1981.

Iwama S., Fukuda T. Design method and researches of concrete pavements

in Japan . Workshop on Theoretical Design of Concrete Pavements, CROW-

PIARC-CEMBUREAU: 16 p.; Epen, Holanda; 1986.

Jansen A. Research to fatigue behaviour of topping on prefabr icated

concrete girders . Dissertação de Mestrado, Delft University of Technology:

128 p., Holanda; 1996.

Johnston C. D. Fibre-reinforced cement and concrete . VM. Malhorta.

Advances in concrete technology, 2nd edition: p. 603-673; Ottawa, Canadá; 1994.

Japan Society of Civil Engineers. JSCE-SF4. Method of tests for flexural

strength and flexural toughness of steel fiber rein forced concrete. p. 58-66;

1984.

Kim J., Kim Y. Experimental study of the fatigue behaviour of high strength

concrete . Cement and Concrete Research, 26(10): p. 1513-1523; 1996.

Klaiber F. W., Lee D. Y. Effects of air content, water-cement ratio and

aggregate type on the flexural fatigue strength of plain concrete . ACI

Journal, Special Publication, 75(5): p. 111-132; 1982.

189

Kooimann A. G. Modeling steel fibre reinforced concrete for struct ural

design . Tese de doutorado, Delft University of Technology: 170 p., Holanda;

2000.

Koyanagawa M., Yoneya H., Kokubu K. Evaluation of reliability of concrete

pavement in consideration of fatigue properties . 3rd International Workshop

on the Design and Evaluation of Concrete Pavements, CROW - PIARC –

CEMBUREAU: p. 207-216; Krumbach, Alemanha; 1994.

Lai C. D., Pra Murphy D. N., Xie M. Springer Handbook of Engineering

Statistics . Hoang Pham edition: p. 63-76; 2006.

Lappa E. S., Braam C. R., Walraven J. C. Bending performance of high

strength steel fibre reinforced concrete: static an d fatigue load condition .

Measuring, Monitoring and Modeling Concrete Properties: p. 113-138, 2006.

Lee M. K., Barr B. I. G. An overview of the fatigue behavior of plain and fi bre

reinforced concrete . Cement and Concrete Composites, 26: p. 299-305; 2004.

Li H., Zhang M. H., Ou J. P. Flexural fatigue performance of concrete

containing nano-particles for pavement . International Journal of Fatigue, 29:

p. 1291-1301; 2007.

Li V. C., Matsumoto T. Fatigue crack growth analysis of fiber reinforced

concrete with effect of interfacial bond degradatio n. Cement and Concrete

Composites, 20: p. 339-351; 1998.

Maggi P. L. O. Comportamento de pavimentos de concreto estruturalm ente

armados sob carregamentos estáticos e repetidos . Tese de Doutorado,

Escola de Engenharia de São Carlos, USP: 205 p.; São Paulo, Brasil; 2004.

Mailhot T., Bissonnette B., Saucier P., Pingeon M. Flexural fatigue behavior of

steel fibre reinforced concrete before and after cr acking . Materials and

Structures, 34: p. 351-359; 2001.

190

Mansur M. A., Chin M. S., Wee T. H. Stress-strain relationship of high-

strength fiber concrete in compression . Journal of Materials in Civil

Engineering, 11(1): p. 21-29; 1999.

Marangon E. Caracterização material e estrutural de concretos

autoadensáveis reforçados com fibras de aço . Tese de doutorado,

COPPE/UFRJ: 309 p.; Rio de Janeiro, Brasil; 2011.

Mehta K., Monteiro P. J. M. Concreto. Microestrutura, Propriedades e

Materiais . 3ª Ed, IBRACON: 674 p.; São Paulo, Brasil; 2008.

Meneghetti L. C. Análise do comportamento à fadiga de vigas de concr eto

armado reforçadas com PRF de vidro, carbono e arami da. Tese de

Doutorado, Universidade Federal do Rio Grande do Sul: 277 p.; Porto Alegre,

Brasil; 2007.

Milenkovic A., Pluis M. Fatigue of normal weight concrete and lightweight

concrete . EuroLightCon: Economic Design and Contrutcion with Light Weight

Aggregate Concrete. Document BE96-3942/R34: 72 p.; 2000.

Mindess S., Young J. F., Darwin D. Concrete . 2nd editon. Prentice Hall: 644p.;

2002.

Naaman A. E., Fischer G., Krstulovic-Opara N. Measurement of tensile

properties of fiber reinforced concrete : High Performance Fiber Reinforced

Cement Composites, HPFRCC-5: p. 2-13; Mainz, Germany; 2007.

Naaman A. E., Hammoud H. Fatigue characteristics of high performance

concrete . Cement and Concrete Composites, 20: p. 353-363; 1998.

Nicolaides D., Kanellopoulos A. Karihaloo B. L. Fatigue life and self-volumetric

changes of CARDIFRC . Magazine of Concrete Research, 62(9): p. 679-683;

2010.

Nunes G. T. N. Análise experimental de vigas de concreto reforçado com

fibras de aço submetidas a esforços de cisalhamento . Dissertação de

Mestrado, Universidade Federal de Goiás: 219 p.; Goiânia, Brasil; 2006.

191

Oh B. H. Fatigue-life distributions of concrete for various stress levels . ACI

Materials Journal, 88(2): p. 122-128; 1991.

Oliveira C. A. S. Avaliação da redução de armadura mínima de flexão e m

vigas de concreto armado com adição de fibras de aç o. Dissertação de

Mestrado, Universidade Federal de Goiás: 234 p.; Goiânia, Brasil; 2007.

Oliveira S. L. Taxa de armadura longitudinal mínima em vigas de co ncreto

de alta resistência com fibras de aço . Dissertação de Mestrado,

COPPE/UFRJ: 115 p.; Rio de Janeiro, Brasil; 2005.

Paskova T. Low-cycle fatigue and damage mechanics of concrete with and

without fiber reinforcement . PhD Thesis, Columbia University: 150 p.; New

York, USA; 1994.

Paskova T., Meyer C. Low-cycle fatigue of plain and fiber-reiforced conc rete .

ACI Materials Journal, 94: p. 273-285; 1997.

Przybilla C., Fernández-Cantelli A., Castillo E. Deriving the primary cumulative

distributive function of fracture stress for brittl e materials from 3- and 4-

point bending tests . Journal of the European Ceramic Society, 31: p. 451-460;

2011.

Raithby K. D., Galloway J. W. Effects of moisture condition, age, and rate of

loading on fatigue of plain concrete. ABELES Symposium: Fatigue of

Concrete. ACI Publication, 41: p. 15-34; Hollywood, USA; 1974.

Raue E., Tartsch E. Experimental results of fatigue and sustained load tests

on autoclaved aerated concrete . Journal of civil engineering and management,

XI: p. 121-127; 2005.

Reinhardt H. W., Simple relations for the strain rate influence of c oncrete .

Konig G., Reinhardt H. W., Walraven J. C. editors. Annual journal of concrete and

concrete structures. Institut fuer Massivbau, Universidade Técnica de Darmstadt:

p. 203-211; Darmstadt, Alemanha; 1987.

192

RILEM TC 162-TDF. Test and Design Methods for Steel Fiber Reinforced

Concrete: Bending Test - Final Recommendation. Materials and Structures,

35(9): p. 579-582; 2002.

Rodrigues A. J. Comportamento de vigas de concreto com fibras e bai xas

taxas de armadura longitudinal . Dissertação de mestrado, COPPE/UFRJ:

149 p.; Rio de Janeiro, Brasil; 2009.

Rodrigues P. P. F., Montardo J. P. A influência da adição de fibras de

polipropileno nas propriedades dos concretos para p isos e pavimentos . 44º

Congresso Brasileiro do Concreto – IBRACON, Belo Horizonte: 16 p., Brasil;

2002.

Rossi P., Parant E. Damage mechanisms analysis of multi-scale fibre

reinforced cement-based composite subject to impact and fatigue loading .

Cement and Concrete Research, 38: p. 413-421; 2008.

Ross S. M. Introduction to probability and statics for enginee rs and

scientists . 3rd edition. University of California: 641 p., 2004.

Rüsch H. Researches toward a general flexural theory for str uctural

concrete . ACI Journal, 57(1): p. 1-28; 1960.

Saucedo L., Yu R. C., Medeiros A., Zhang X. X., Ruiz G. A probabilistic fatigue

model based on the initial distribution to consider frequency effect in plain

and fiber reinforced concrete . International Journal of Fatigue, 48: p. 308-318;

2013.

Schäffer A. Verificação de seções de concreto armado solicitada s por flexão

composta à fadiga . Dissertação de Mestrado, Universidade Federal do Rio

Grande do Sul: 115 p.; Porto Alegre, Brasil; 2002.

Schumaker P. Rotation capacity of self-compacting steel fiber re inforced

concrete . Tese de Doutorado, Delft University of Technology: 238 p., Holanda;

2006.

193

Serna P. Recientes ejemplos estructurales de aplicación de h ormigón de

fibras . Jornada sobre Aplicaciones Estructurales de Hormigón con Fibras: p. 33-

48; Barcelona, Espanha; 2007.

Siemes A. J. M. Fatigue evaluation of concrete structures – Prelimi nary

studies, procedure and examples . Heron, 33(3): 75 p., Holanda; 1988.

Silva Filho J. N. Análise experimental de vigas “T” em concreto armad o

reforçadas à flexão com FRP submetidas a carregamen tos pseudo-

estáticos e cíclicos . Tese de Doutorado, Universidade de Brasília: 308 p.;

Brasília, Brasil; 2005.

Sparks P. R. Influence of rate of loading and material variabili ty on the

fatigue characteristics of concrete . ACI Journal, Special Publication: 75(16):

p. 331-342; 1982.

Sparks P. R., Menzies J. B. The effect of rate of loading upon the static and

fatigue strengths of plain concrete in compression . Magazine of concrete

research, 25(83): p. 73-80; 1973.

Stet M. J. A., Frénay J. Fatigue properties of plain concrete . 8th International

Symposium on Concrete Roads. AIPCR-CEMBUREAU, Theme I: p. 129-136;

Lisboa, Portugal; 1998.

Taylor G. D. Materials in Construction . Longman Scientific and Technical, 2nd

ed: 284 p., Londres; 1994.

Tepfers R., Kutti T. Fatigue strength of plain, ordinary and lightweight

concrete . ACI Journal, 76(29): p. 635-652; 1979.

Tepfers R. Fatigue of plain concrete subjected to stress rever sals . ACI

Journal, Special Publication, 75(9): p. 195-215; 1982.

Thomas J., Ramaswamy A. Mechanical properties of steel fiber-reinforced

concrete . Journal of Materials in Civil Engineering, 19(5): p. 385-392; 2007.

194

UNE–EN 12350-2. Ensayo de hormigón fresco. Parte 2: Ensayo de

asentamiento . AENOR Asociación Española de Normalización y Certificación:

12 p., Espanha; 2009.

UNE-EN 14651. Método de ensayo para hormigón con fibras metálicas .

Determinación de la resistencia a la tracción por f lexión (límite de

proporcionalidad (LOP), resistencia residual . AENOR Asociación Española

de Normalización y Certificación: 17 p., Espanha; 2007.

Vandewalle L. Reconstruction of urban highways . 8th International Symposium

on Concrete Roads. AIPCR-CEMBUREAU, Theme IV: p. 259-263; Lisboa,

Portugal; 1998.

Vasconcelos R. E. Fratura do concreto reforçado com fibras de aço e d e

polipropileno em meio normal e agressivo . Tese de Doutorado, Universidade

Estadual de Campinas: 181 p.; Campinas, Brasil; 2012.

Vegt K. B., Weerheijm J. Failure mechanism of concrete under impact

loading . Proceedings of the 6th international conference on fracture mechanics of

concrete and concrete structures. Volume 1: New Trends in Fracture Mechanics

of Concrete: p. 579-587; Catania, Itália; 2007.

Weibull W. A statistical distribution function of the strength of materials .

Ingeniörs Vetenskaps Akademiens Handlingar, 151: 45 p.; Estocolmo, Suécia;

1939.

Weibull W. A statistical distribution function of wide applica bility . ASME

Journal of Applied Mechanics, 18: p. 293-297; 1951.

Williams H. A. Fatigue of lightweight aggregate concrete beams . ACI Journal,

39: p. 441-448; 1943.

Wu K. R., Chen B., Yao W., Zhang D. Effect of coarse aggregate type on

mechanical properties of high-performance concrete . Cement and Concrete

Research: 31(10): p 1421-1425; 2001.

195

Yazici S., Inan G., Tabak V. Effect of aspect ratio and volume fraction of steel

fiber on the mechanical properties of SFRC . Construction and Building

Materials, 21(6): p. 1250-1253; 2007.

Yin W., Hsu T. T. C. Fatigue behavior of steel fiber reinforced concrete in

uniaxial and biaxial compression . ACI Materials Journal, 92: p. 1-11; 1995.

Zhang B., Phillips D. V., Wu K. Effect of loading frequency and stress

reversal of fatigue life of plain concrete . Magazine of Concrete Research,

48(177): p. 361-375; 1996.

Zhang B., Phillips D. V., Wu K. Further research on fatigue properties of plain

concrete . Magazine of Concrete Research, 49(78): p. 241-252; 1997.

Zhang H., Tian K. Properties and mechanism on flexural fatigue of

polypropylene fiber reinforced concrete containing slag . Journal of Wuhan

University of Technology-Mater Sci. Ed., 36(3): p. 533-540; 2011.

Zhang X. X., Ruiz G., Yu R. C., Poveda E. and Porras R. Rate effect on the

mechanical properties of eight types of high-streng th concrete and

comparison with FIB MC2010 . Construction and Building Materials, 30: p. 301-

308; 2012.

Zhao D. F., Chang Q. Y., Yang J. H., Song Y. P. A new model for fatigue life

distribution of concrete . Key Engineering Materials, 348-349: p. 201-204; 2007.

196

Anexo A

Neste Anexo A apresentam-se as fichas comerciais das fibras de

polipropileno e de aço utilizadas neste trabalho.

A ficha comercial das fibras de polipropileno descreve fibras de 30 mm e

40 mm de comprimento, porém neste trabalho foram utilizadas apenas as fibras

de 40 mm de comprimento.

197

GRAMMINFLEX PE30/PE40

The Polypropylene fiber hooked by the two ends for the concrete. Description GRAMINFLEX PE30 and PE40, is a two end hooked Polypropylene fiber which provides high elasticity on concrete, bending strength, impact resistance, reinforcement function. Areas of Use

• Ground concrete • Especially Shotcrete • Concretes effected by acids • Pumped concrete • Tunnels • Especially in the external field concretes

subjected to reinforcement corrosion. Properties

• Stainless • High resistance to alkali • Provides a higher density to concrete. • Increases impact and tensile strength of

concrete. • High resistance to dynamic loads and

fatigue. • High flexural strength. • Prevents the cracking and the spread. • Water-repellent properties. • Resistant to chemicals such as acid juices,

salt, chlorine, and micro-organisms. • Provides the perfect blend in concrete. • In shotcrete machines, does not wear of like

steel fibers. • In shotcrete minimizes the fiber loss. • Thanks to wave-curved and hooked by the

two ends, fibers provide maximum anchorage.

Technical Data

Fiber lenght GRAMINFLEX PPE30 ; 30mm GRAMINFLEX PPE40 ; 40mm Fiber thickness 0,50 mm Fiber width 1,00 / 1,30 mm Density 0,91 gr / cm3 Tensile strength 600 N / mm2 Elasticity modulus 3500 Mpa Flexibility > % 14 Melting point 253oC Water retention % 0,01 – 0,044 Color Grey

Consumption 4 - 5 kg / m3 Fiber types and sizes according to different use GRAMINFLEX PE 30

• Shotcrete. • Industrial floors.

GRAMINFLEX PE 40 • Industrial floors.

Fibers mixing with concrete In the concrete plant

• Polypropylene fibers are added to the concrete with the other aggregates concrete components.

On the concrete over the transmixer • Packages should be added slowly to the

concrete inside the transmixer interval of 30 seconds.

• After adding the last package, the mixer should be used with the high power during 5 minutes.

Design of Concrete The following properties of the mixture should be taken to obtain good results from fiber-reinforced concrete.

• Correct granulometric. • The correct dosage of cement. • The correct water / cement ratio. • Curing of concrete.

Adding Polypropylene fibers to the concrete may reduce the workability. Workability loss occurs more of a high dosage and long fibers. To prevent the workability loss and to use concrete mixed with fibers easily, instead of adding more water, super plasticizer materials should be used. Concrete Slump must be at least 12 cm. Packaging GRAMINFLEX PE30 ; In 5kg packages GRAMINFLEX PE40 ; In 5kg packages.

197

WireSolutions

Technical data sheetHooked-end steel fibres

ArcelorMittal BissenWireSolutions

B.P. 16, L-7703 BissenT +352 83 57 72 1 | F +352 83 56 98

www.arcelormittal.com/steelfibres

HE 55/35

Dimensions

Packaging

Miscellaneous

Wire diameter (d) 0.55 mm (± 0.04 mm)Fibre length (L) 35.0 mm (+2/-3 mm)

Hook length (l and l’) 1 – 4

Hook depth (h and h’) 1.80 mm (+1/-0 mm)

Bending angle (α and α’) 45° (min. 30°)

Aspect ratio (L/d) 64

Camber of the fibre max. 5% of L’

Torsion angle of the fibre < 30°

Number of fibres per kg 15300

Total fibre length per 10 kg 5365 m

Recyclable cardboard boxesNet weight/box 25 kg

Boxes/palette 48

Weight/palette 1200 kg

The fibres are oriented in one direction

Palettes are wrapped or welded in a plastic folio

Available also in big bag of 500 kg

The described fibre is in accordance with the following standards:

EN 14889-1 type 1, cold-drawn wire yASTM A820/A820M-04 type l, cold-drawn wire y

Material characteristics

Tensile strength of drawn wire y1200 N/mm²

Rod wire C4D or C7D according yto EN 10016-2

All information in this promotional material illustrates products and services in a non final way and invites further technical or commercial explanation. This is not contractual. Copyright ArcelorMittal – February 2010.

l

α'

α

l’

h’

L’L

h

199

Anexo B

Distribuição estatística de Weibull

Quando uma análise estatística indica que existe um alto grau de

variabilidade, essa análise necessita usar modelos que sejam capazes de

capturar essa variedade. A distribuição estatística de Weibull é capaz de modelar

uma grande variedade de dados por meio dos seus parâmetros de ajuste de

escala e forma.

A distribuição de Weibull leva o nome do seu criador, o físico sueco Walodi

Weibull que em 1939 utilizou essa distribuição para modelar a resistência de

ruptura de materiais dúcteis e frágeis (Weibull, 1939). Posteriormente Weibull

(1951) utilizou com sucesso sua distribuição estatística em vários campos de

aplicação como: tensão de escoamento do aço, variedade do tamanho da cinza

volante, resistência de uma fibra de algodão indiana, vida à fadiga do aço ST-37,

altura de homens adultos nascidos nas ilhas britânicas, entre outros.

A distribuição estatística de Weibull é uma função de distribuição

cumulativa CDF que pode ser descrita como:

���� = 1 − �� − �� ��λ

��� , x ≥ n0 eq.(B.1)

onde x é a variável principal, n0 é o parâmetro de locação, λ é o parâmetro de

escala e k é o parâmetro de forma. Quando n0 é nulo a Equação B.1 se reduz à

distribuição de Weibull de dois parâmetros:

���� = 1 − �� �− ��λ

��� eq.(B.2)

A função de distribuição cumulativa CDF é definida como a integral da

função de densidade de probabilidades PDF. A função de densidade de

probabilidades PDF é uma função matemática contínua que tem como objetivo

descrever os resultados obtidos em experimentos aleatórios, i.e., representar

estatisticamente um experimento qualquer.

200

Assumindo-se que uma determinada variável aleatória Y tenha um valor x

e adotando-se um intervalo de (x – dx/2) até (x + dx/2), a probabilidade dos

resultados dos experimentos ficarem contidos nesse intervalo é fY(x)dx é a

função densidade de probabilidades. A probabilidade da variável Y assumir

valores, por exemplo, entre a e b é obtida por:

��� ≤ � ≤ �� = � ������� !

eq.(B.3)

Para que uma função matemática fY(x)dx seja considerada uma PDF

(Figura B.1a) as seguintes condições devem ser satisfeitas:

����� ≥ 0 eq.(B.4)

� �����$ $

�� = 1 eq.(B.5)

� ������� = ��� ≤ � ≤ �� !

eq.(B.6)

A função de distribuição cumulativa CDF é definida como a integral da

função de densidade de probabilidades PDF:

����� = � �������! $

eq.(B.7)

onde ����� representa a probabilidade da variável aleatória Y assumir valores

menores ou iguais a a. Uma CDF (Figura B.1b) deve satisfazer as seguintes

condições:

���−∞� = 0 eq.(B.8)

0 ≤ ����� ≤ 1 eq.(B.9)

���∞� = 1 eq.(B.10)

201

Figura B 1 – (a) Função Densidade de Probabilidades PDF; (b) Função de Distribuição Cumulativa CDF.

A distribuição de Weibull pode ser expressa pelas Equações B.1, B.2 ou

B.7, ou ainda pela Figura B.1b. Essa distribuição, ou essa curva, pode ser

ajustada a uma série de dados de um experimento qualquer, buscando-se

representar nessa curva a distribuição estatística de uma amostra de dados,

como ocorreu na validação do modelo probabilístico proposto no capítulo 6. Com

os parâmetros de ajuste de Weibull λ, k e n0 também é possível calcular a média

e o desvio padrão de uma amostragem de dados com grande variabilidade, onde

a média e desvio padrão têm mais sentido físico, como foi o caso dos valores

apresentados nas Figuras 5.8 e 5.9. A média &� é calculada como:

&� = '( + λΓ *1 + 1+, eq.(B.11)

e o desvio padrão σY como:

-� = λ.Γ *1 + 2+, − Γ/ *1 + 1+, eq.(B.12)

onde a Função Gama Γ(k) é definida por:

Γ�+� = � ���−��$(

�� 0�� eq.(B.13)

f (x)

F (a)

X

(a)0 a b

F (a)

F (b)

1,0

0 a b

(b)

X

F (x)Y Y

Y

Y

Y