Áreas 2012 -...

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Áreas – 2012

1. (Ufg 2012) Uma chapa retangular com 2170 cm de área é perfurada, por etapas, com furos

triangulares, equiláteros, com 1 cm de lado, como indica a figura a seguir.

O número de furos acrescentados em cada etapa, a partir da segunda, é sempre o mesmo e não há interseção entre os furos. O porcentual da chapa original que restará na etapa 14 é, aproximadamente,

Dado: 3 1,7

a) 10% b) 30% c) 70% d) 80% e) 90% 2. (Espm 2012) A figura abaixo mostra um retângulo de lados 7 cm e 8 cm no qual estão

contidos os quadrados A, B e C. A medida x pode variar entre 3,5 cm e 7 cm, fazendo com que os lados dos três quadrados se alterem.

Dentro desse intervalo, o maior valor que a área do polígono P pode ter é igual a: a) 18 cm

2

b) 15 cm2

c) 17 cm2

d) 19 cm2

e) 16 cm2


3. (Fgv 2012) O polígono do plano cartesiano determinado pela relação 3x 4y 12 tem

área igual a a) 6. b) 12. c) 16. d) 24. e) 25. 4. (Ueg 2012) A figura representa no plano cartesiano um triângulo ABC, com coordenadas A

(0,5), B (0,10) e C (x,0), em que x é um número real positivo.

Tendo em vista as informações apresentadas, a) encontre a função F que representa a área do triângulo ABC, em função de sua altura

relativa ao lado AB; b) esboce o gráfico da função F. 5. (Fgv 2012) Considere, no plano cartesiano, o pentágono ABCDE, de vértices A(0, 2),

B(4, 0), C(2 1, 0),π D(2 1, 4)π e E(0, 4).

Escolhendo aleatoriamente um ponto P no interior desse pentágono, a probabilidade de que o

ângulo APB seja obtuso é igual a

a) 1

5

b) 1

4

c) 5

16

d) 3

8

e) 4

5


6. (Espm 2012) Na figura plana abaixo, ABCD é um quadrado de área 10 cm2. Os segmentos

CE e CF medem 4 cm cada. Essa figura deverá ser dobrada nas linhas tracejadas, fazendo com que os pontos E e F coincidam com um ponto P do espaço.

A distância desse ponto P ao ponto A é igual a: a) 6 cm b) 5 cm

c) 4 2 cm

d) 5 2 cm

e) 6 2 cm 7. (Ufmg 2012) Na figura a seguir, o triângulo ABC tem área igual a 126. Os pontos P e Q dividem o segmento AB em três partes iguais, assim como os pontos M e N dividem o segmento BC em três partes iguais.

Com base nessas informações, a) Determine a área do triângulo QBN. b) Determine a área do triângulo sombreado PQM.


8. (Ufu 2012) Na Figura 1, o triângulo retângulo ABC possui ângulo reto em B, AF 1cm,

AC 10 cm e BDEF é um quadrado. Suponha que o quadrado BDEF seja transladado ao

longo de AC, sem alterar a medida dos lados e ângulos ao longo dessa translação, gerando, dessa forma, um novo quadrado XYZW, em que coincidem os pontos C e Z conforme ilustra a Figura 2.

Nessas condições, qual é o valor (em cm

2) da área do triângulo HZW?

a) 5/2 b) 13/4 c) 3/2 d) 15/2


9. (Ufu 2012) O número áureo aparece com frequência em proporções ligadas a fenômenos

da natureza e em magníficos projetos arquitetônicos. Neste contexto, alguns objetos matemáticos estão associados à elaboração estrutural de tais projetos. Este é o caso do retângulo áureo, cuja razão entre o maior e o menor lado é o número áureo. Uma maneira simples de construir um retângulo áureo é dada pelo seguinte roteiro: 1º) Construa um quadrado ABCD de lados medindo 1 metro e um segmento de reta ligando o

ponto médio O do lado AD ao ponto médio do lado BC, oposto ao lado AD.

2º) Considere a reta r contendo o segmento AD. Com centro em O e raio OC, trace um arco de

circunferência do vértice C até intersectar a reta r no ponto F.

3°) Prolongue BC e trace a perpendicular à r por F, obtendo o ponto E. O retângulo ABEF é

áureo.

No retângulo áureo ABEF, se o ângulo θ é dado em radianos, então, dentre as expressões

que seguem, aquela que corresponde ao valor da área sombreada, em 2m , é

a) 5 2

8

θ

b) 8 5

8

θ

c) 3

4

θ

d) 2 5 1

4

θ


10. (G1 - cftmg 2012) Se a área de um retângulo, cujos lados são denominados a e b, em que

a > b, é igual a 120 m2 e seu perímetro é igual a 52 m, então, é correto afirmar que

a) a – b = 0. b) a – b = 2. c) a – b = 14. d) a – b = 68.

11. (Uftm 2012) O trapézio retângulo ABCD representa um terreno, com área de 2800 m ,

situado em certo condomínio. Uma das cláusulas que regulamentam as construções nesse condomínio exige que a área construída, indicada pelo trapézio AECD na figura, ocupe no mínimo 50% e no máximo 70% da área do terreno.

Desse modo, determine: a) o intervalo de todos os possíveis valores que x pode assumir para atender à cláusula

especificada.

b) o valor de x, se a área não construída ocupar 2

5 da área total do terreno.

12. (Insper 2012) O retângulo da figura, cuja base AB mede o triplo da altura BC , foi dividido

em três regiões por meio de duas retas paralelas.

Os pontos marcados sobre os lados AD e BC dividem esses lados em quatro partes de

medidas iguais. Se a área da faixa central á igual à soma das áreas dos triângulos sombreados, então o ângulo é tal que

a) 1

tg 4

b) 3

tg 10

c) 1

tg 3

d) 3

tg 8

e) 3

tg 5


13. (Enem 2012) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o

conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 35 m

2 de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45 m

2 de área. O

fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por três retângulos é um trapézio).

Avaliando-se todas as informações, serão necessários a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B. b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B. c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B. e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B. 14. (G1 - cftmg 2012) A área de um paralelogramo ABCD é 54 dm

2. Aumentando-se 6

unidades na sua altura e diminuindo-se 4 unidades na base, sua área aumenta de 6 dm2.

Dessa forma, a razão entre as medidas da base e da altura desse paralelogramo será

a) 3

.2

b) 2

.3

c) 1

.2

d) 1

.3


15. (G1 - epcar (Cpcar) 2012) Considere a área S da parte sombreada no triângulo retângulo

isósceles 1 2OO O .

AD, AB e BC são arcos de circunferência com centros em 2O , O e 1O respectivamente, cujos

raios medem 2r.

Das figuras abaixo, a única em que a área sombreada NÃO é igual a S, é

a)

Circunferência de diâmetro AB e semicircunferências de diâmetros OA e OB

b) Circunferência de centro O

c) Circunferência de centro O

d) Circunferência de centro O inscrita num quadrado. Dois setores circulares de raio r


16. (Fgvrj 2012) O quadrilátero ABCD é um quadrado e E, F, G e H são os pontos médios dos

seus lados. Qual superfície tem maior área: a branca ou a hachurada?

17. (Fgv 2012) Na figura abaixo, o ângulo A do triângulo ABC inscrito na circunferência é reto.

O lado AB mede 4, e o lado AC mede 5.

A área do círculo da figura é: a) 9,75π b) 10π c) 10,25π d) 10,50π e) 10,75π

18. (Enem 2012) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que

encolherá após a primeira lavagem, mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).

Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por: a) 2xy b) 15 – 3x c) 15 – 5y d) –5y – 3x e) 5y + 3x – xy


19. (G1 - cftmg 2012) Na figura seguinte, os pontos A e B pertencem à circunferência de

centro O e a reta s é tangente à mesma no ponto A.

O valor de x + y + z, em graus, é a) 160. b) 184. c) 196. d) 210. 20. (G1 - cps 2012) Para preparar biscoitos circulares, após abrir a massa formando um

retângulo de 20 cm de largura por 40 cm de comprimento, dona Maria usou um cortador

circular de 4 cm de diâmetro, dispondo-o lado a lado várias vezes sobre toda a massa para

cortar os biscoitos, conforme a figura.

Considere que: – os círculos que estão lado a lado são tangentes entre si e completam todo o retângulo com o

padrão apresentado; – os círculos das bordas são tangentes aos lados do retângulo. Com a sobra de massa, dona Maria abre um novo retângulo, de mesma espessura que o anterior, para cortar mais biscoitos. Assim sendo, desconsiderando a espessura da massa, as dimensões desse novo retângulo podem ser

Dados: área do círculo de raio r: 2A r ;π adote: 3.π

a) 8 cm 30 cm.

b) 8 cm 25 cm.

c) 9 cm 24 cm.

d) 10 cm 22 cm.

e) 10 cm 21cm.


21. (Insper 2012) Na figura a seguir, os pontos M, N, O, P, Q e R pertencem aos lados do

triângulo equilátero ABC, de perímetro 6 cm, de modo que

AM AN 2x cm;

BO BP CQ CR x cm.

Se a área do hexágono MNOPQR é metade da área do triângulo ABC, então o valor de x é igual a

a) 3

.3

b) 1

.2

c) 3

.4

d) 3

.6

e) 1

.4

22. (G1 - cftrj 2012) O polígono ABCDEF da figura abaixo apresenta 3 pares de lados paralelos e congruentes entre si.

Além disso, ED GH IJ KL AB , EF DH HI JK LA BC , AB AL , ˆˆAFE BCD 90 e

ˆDEF 120º . Sabendo que med (FE) 6cm e med (AB) 3cm , determine a área do polígono

ABCDEF.


23. (G1 - ifsc 2012) Considere os dois retângulos da figura abaixo. O retângulo ABCD tem 2

cm de largura e 9 cm de comprimento, e o retângulo EFGH tem 4 cm de largura e 12 cm de comprimento.

É CORRETO afirmar que a razão da área do retângulo ABCD para a do retângulo EFGH é:

a) 3

.4

b) 8

.3

c) 1

.2

d) 3

.8

e) 11

.16

24. (G1 - utfpr 2012) Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares têm o mesmo

comprimento e o lado oposto ao ângulo reto mede 12 2 cm. Qual é a área desse triângulo?

a) 212 cm .

b) 224 cm .

c) 272 cm .

d) 2144 cm .

e) 212 2 cm .

25. (Ufrn 2012) A figura a seguir representa uma área quadrada, no jardim de uma residência. Nessa área, as regiões sombreadas são formadas por quatro triângulos cujos lados menores medem 3 m e 4 m, onde será plantado grama. Na parte branca, será colocado um piso de cerâmica.

O proprietário vai ao comércio comprar esses dois produtos e, perguntado sobre a quantidade de cada um, responde:

a) 224 m de grama e 225 m de cerâmica.

b) 224 m de grama e 224 m de cerâmica.

c) 249 m de grama e 225 m de cerâmica.

d) 249 m de grama e 224 m de cerâmica.


26. (Uftm 2012) Na figura, A, B, C e D são vértices de um quadrado de lado x, M é o ponto

médio do lado AD e MC é o segmento de reta que divide o quadrado em dois polígonos,

trapézio AMCB e triângulo MDC.

Desse modo, é correto afirmar que

a) a área do triângulo é x

.4

b) a área do trapézio é 22x

.3

c) a área do trapézio é igual ao triplo da área do triângulo. d) a área do quadrado é o triplo da área do triângulo.

e) a área do triângulo é 1

x.2

27. (Esc. Naval 2012) O triângulo da figura abaixo é equilátero, AM MB 5 e CD 6. A

área do triângulo MAE vale

a) 200 3

11

b) 100 3

11

c) 100 2

2

d) 200 2

11

e) 200 2

2


28. (G1 - ifba 2012) A figura a seguir representa o coração perfeito que Jair desenhou para a

sua amada.

Sabendo que esse coração representa dois semicírculos com o diâmetro em dois lados

consecutivos de um quadrado, cuja diagonal mede 5 8 cm, , a área do coração, em cm

quadrados, é: a) 175 b) 160 c) 155 d) 140 e) 142 29. (Ufsj 2012) Observe a figura abaixo.

A razão entre a área e o perímetro do hexágono regular inscrito na circunferência de diâmetro k é

a) 8 3

k3

b) 3

k4

c) 8 3

3k

d) 3

k8


30. (Epcar (Afa) 2012) Conforme a figura abaixo, A é o ponto de tangência das circunferências

de centros 1C , 2C e 3C .

Sabe-se que os raios dessas circunferências formam uma progressão geométrica crescente.

Se os raios das circunferências de centros 1C e 2C medem, respectivamente, 2r e 3r, então a

área da região sombreada vale, em unidades de área,

a) 255r

8π

b) 229r

4π

c) 261r

8π

d) 28 rπ 31. (Ufg 2012) Três irmãos herdaram uma propriedade rural em Goiás e necessitam repartir as terras. A figura a seguir representa a propriedade, que é retangular, medindo 2000 m por 1500 m, e está integralmente utilizada para lavouras e pastagens, exceto a reserva legal mínima de mata nativa, também em formato retangular, com 1200 m de comprimento, representada pela região sombreada na figura. As linhas destacadas na figura apresentam uma proposta de partilha das terras em que a região de mata nativa fica dividida em um retângulo e dois triângulos.

Considerando-se que os três irmãos devem ficar com propriedades de mesma área e que, para cada uma delas, deve ser garantida a reserva legal mínima de vegetação nativa, que no estado de Goiás é de 20% da área da propriedade, determine quais devem ser as medidas assinaladas por x e y.


32. (Espm 2012) Uma parede retangular pode ser totalmente revestida com ladrilhos

retangulares de 30 cm por 40 cm ou com ladrilhos quadrados de 50 cm de lado, inteiros, sem que haja espaço ou superposição entre eles. A menor área que essa parede pode ter é igual a: a) 4,5 m

2

b) 2,5 m2

c) 3,0 m2

d) 4,0 m2

e) 3,5 m2

33. (G1 - ifpe 2012) O Sr. Joaquim comprou um terreno em um loteamento numa praia do

litoral sul de Pernambuco. O terreno tem a forma de um paralelogramo (figura abaixo) com a base medindo 20 metros e a altura medindo 15 metros. Os pontos M e N dividem a diagonal BD em três partes iguais. No triângulo CMN, ele vai cultivar flores. Qual é a área que o Sr. Joaquim destinou para esse cultivo, em m

2?

a) 37 b) 39 c) 45 d) 48 e) 50 34. (Ufsj 2012)

A figura acima é conhecida como Homem Vitruviano (Leonardo da Vinci, 1490). Nela, um homem nu aparece inscrito em um quadrado e em um círculo, ambos de mesma área. Considerando R o raio desse círculo e L o lado desse quadrado, é CORRETO afirmar que:

a) R = L/2 b) 2(L/R)π c) 2L /2Rπ d) 2L/Rπ


35. (Uel 2012) Considere que um tsunami se propaga como uma onda circular.

Se a distância radial percorrida pelo tsunami, a cada intervalo de 1 hora, é de k quilômetros, então a área A, em quilômetros quadrados, varrida pela onda entre 9 horas e 10 horas é dada por:

a) 2A k

b) 2A 9 k

c) 2A 12 k

d) 2A 15 k

e) 2A 19 k 36. (G1 - ifce 2012) Na figura abaixo, os segmentos AB, AE e ED possuem o mesmo comprimento. Sendo F o ponto médio do segmento BE e sabendo-se que ABCD é um retângulo de área 200 m

2, é correto concluir-se que a área do triângulo CDF, em metros

quadrados, vale

a) 120. b) 100. c) 90. d) 75. e) 50.


37. (Ufpr 2012) Calcule a área do quadrilátero P1P2P3P4 , cujas coordenadas cartesianas são

dadas na figura abaixo.

38. (Ufjf 2012) Em um trapézio ABCD, com lados AB e CD paralelos, sejam M o ponto médio

do segmento CD e 1S a área do triângulo BMC.

a) Considere P o ponto de interseção do segmento AM com BD. Sabendo que a área do triângulo DPM é um quarto da área do triângulo BMC, deduza a relação existente entre a

altura H do triângulo BMC relativa à base MC e altura h do triângulo DPM relativa à base

MD.

b) Sabendo que CD 2 e AB 6, calcule a área do trapézio em função da altura H do

triângulo BMC. 39. (Ufpb 2012) Um ambientalista, desejando estimar a área de uma região de preservação ambiental, observou em um mapa, com escala de 1 cm para cada 100 km, que o formato da região era, aproximadamente, um triângulo retângulo de catetos medindo 2 cm e 3 cm. Com base nesses dados, conclui-se que a área da região de preservação ambiental era, aproximadamente, de:

a) 220.000 km b) 230.000 km c) 235.000 km d) 240.000 km e) 260.000 km 40. (Ufrgs 2012) Um cilindro tem o eixo horizontal como representado na figura abaixo. Nessa

posição, sua altura é de 2 m e seu comprimento, de 5 m.

A região sombreada representa a seção do cilindro por um plano horizontal distante 1,5 m do solo. A área dessa superfície é

a) 3.

b) 2 2.

c) 2 3.

d) 5 2.

e) 5 3.


Gabarito: Resposta da questão 1: [E]

Sabendo que o lado dos furos mede 1cm, segue que área de cada furo é dada por

2

21 3 17cm .

4 40

Além disso, o número de furos em cada etapa cresce segundo uma progressão aritmética de

primeiro termo igual a 1 e razão 3. Logo, o número de furos na 14ª etapa é igual a

1 13 3 40.

Portanto, o percentual pedido é igual a

17170 40

40 100% 90%.170

Resposta da questão 2: [A] Considere a figura.

A área do polígono P é dada por

2

2

2

(ABCDEG) (ABFG) (CDEF)

AG FG CF EF

(x 1) (7 x) (8 x) (2x 8)

3 (x 10x 19)

3 [(x 5) 25 19]

18 3 (x 5) .

Portanto, a área do polígono P é máxima para x 5, e seu valor é 218cm .


Resposta da questão 3:

[D]

Sabendo que , se 0

| | ,, se 0

φ φφ

φ φ

para todo φ real, segue que a relação | 3x | | 4y | 12

determina o losango de diagonais 6 e 8, conforme a figura abaixo.

Portanto, a área pedida é dada por 6 8

24 u.a.2


a) 10.x 5x

F(x)2 2

5xF(x)

2

b) Observe o gráfico a seguir:



[C]

Para que o ângulo APB seja obtuso, é necessário que P seja um ponto no interior do semicírculo de diâmetro AB, contido no pentágono ABCDE. Desse modo, como a área do semicírculo de diâmetro AB é dada por

22 2 2A, Bd1 1 2 4

2 2 2 2

1 20

2 4

5u.a.

2

π π

π

π

e a área do pentágono ABCDE é igual a

2 1 2 32 (2 1) 2 4 2 4 2

2

8 u.a.,

π ππ π π

π

segue que a probabilidade pedida é

5

52 .8 16

π

π


[A]

Como o quadrado ABCD tem área igual a 210cm , vem que 2 2AB 10cm .

De acordo com as informações, temos que o segmento PA é a hipotenusa do triângulo

retângulo de catetos CP 4cm e AC AB 2cm. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras,

obtemos

2 2 2 2 22

2 2

2

PA AC CP PA (AB 2) CP

PA 2 10 4

PA 36

PA 6cm.


a)

2 2Maior

menorMenor menor

A L 126 3xA 14ua

A l A x

b)

2 2ABC

PBMPBM PBM

A L 126 3xA 56ua

A l A 2x

Portanto:

PBMPQM QBM PQM

A 56A A A 28ua

2 2



[C] Das relaçơes métricas no triângulo retângulo, vem

2 2AB AF AC AB 1 10

AB 10 cm,

2 2BC CF AC BC 9 10

BC 3 10 cm

e

2 2BF AF CF BF 1 9

BC 3cm.

Como os triângulos HZW e ABC săo semelhantes, temos que

HW WZ HW 3

AB BC 10 3 10

HW 1cm.

Portanto, a área pedida é dada por

2HW WZ 1 3 3cm .

2 2 2


[A]

Sabendo que AD 1m e O é o ponto médio de AD, do triângulo retângulo ODC, vem

22 2 2 2 2

2 2

1OC OD DC OC 1

2

5OC m .

4

A área pedida é dada pela diferença entre as áreas do setor circular OFC e do triângulo

retângulo ODC, ou seja,

2

2

OC OD DC(OFC) (ODC)

2 2

5 11

4 2

2 2

5 2m .

8

θ

θ

θ



[C]

2

2

2a 2b 52 a b 26 b 26 a (1)

a b 120 a b 120 a b 120 (2)

a (26 a) 120

a 26 a 120 0

a 26 a 120 0

Resolvendo a equação do segundo grau, temos a = 20 ou a = 6 Se a = 20; b = 6 Se a = 6; b = 20 (não convém, pois a > b). Portanto, a – b = 20 – 6 = 14. Resposta da questão 11:

a) De acordo com as informações, segue que

x 300,5 (ABCD) (AECD) 0,7 (ABCD) 400 20 560

2

10 m x 26 m.

b) Se a área não construída ocupar 2

5 da área total do terreno, então a área construída

ocupará 3

5 da área total. Portanto, o valor de x deve ser tal que

3 x 30(AECD) 800 20 480

5 2

x 18 m.


[D]

1 2

22 2

22

22

2

A 2 A 12a 4a

2 A 2 A 48 a

4 A 48 a

2 A 24 a

x 3 a 24 a

x 8 A

Logo, 3a 3

tg8a 8

α



[C] Calculando as áreas dos ambientes, obtemos

2IS 8 5 40 m ,

2

IIS (14 8) 5 30 m ,

2

IIIS (14 8) (9 5) 24 m

e

2IV

(14 8) 4S 7 35 m .

2

Desse modo, como Jorge quer gastar o mínimo com gás, ele deverá instalar duas unidades do tipo A (ambientes II e III) e duas unidades do tipo B (ambientes I e IV). Resposta da questão 14: [A]

54b h 54 b h 54 hb

bh 6b 4h 24 60b 4 h 6 54 6 6b 4h 30

Resolvendo o sistema, temos:

2 2546b 4 30 6b 30b 216 0 b 5b 36 0.

b

Resolvendo a equação, temos: b = 9 ou b = –4 (não convém) Se b = 9, então h = 6. Calculando, agora, a razão pedida:

b 9 3.

h 6 2



[D]

A figura da alternativa [D] é a única que não é equivalente a um semicírculo de raio 2r, pois é equivalente a um semicírculo de raio r. Resposta da questão 16: A área da superfície branca é dada por

2AH AE4 2 AH .

2

Como EFGH é um quadrado de lado 2 AH, segue que a área da superfície hachurada é

igual a 22( 2 AH) 2 AH .

Portanto, as áreas são iguais. Resposta da questão 17: [C] Se o ângulo CÂB é reto então BC = 2R onde R é o diâmetro do círculo da figura.

2 2 2BC 4 5 BC 41

Logo, a área do círculo será dada por

241

A 10,25 .2

π π



[E]

Como o retângulo de dimensões x y está contido nos retângulos de dimensões 5 y e 3 x,

segue que a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por 3x 5y xy.

Resposta da questão 19: [B] Como O é o centro da circunferência, o triângulo AOB é isósceles de base AB; portanto, x = 43°. A reta t é tangente à circunferência, portanto, 43° + y = 90°; logo, y = 47°. No triângulo AOB, temos: x + x + z = 180° 43° + 43° + z = 180° z = 180° – 86° z = 94°. Portanto, valor de x + y + z = 43° + 47° + 94° = 184°. Resposta da questão 20: [B]

Total de biscoitos retirados no comprimento: 40/4 =10 Total de biscoitos retirados na largura: 20/4 =5 Total de biscoitos retirados: 5/10 = 50

Área restante em cm2: 2 2A 40 20 – 50 3 2 200 cm

Com 200 cm

2 de massa será possível formar um retângulo de dimensões 8 por 25 cm, já que

28 25 200 cm .



[A]

Se é a medida do lado do triângulo equilátero ABC, então

ABC2p 6 3 6 2cm.

Dado que AM AN 2xcm e BAC 60 , segue que o triângulo AMN é equilátero.

Analogamente, concluímos que os triângulos BOP e CRQ são equiláteros congruentes.

Portanto, sabendo que a área do hexágono MNOPQR é metade da área do triângulo ABC,

isto é,

(ABC)(MNOPQR) ,

2

obtemos

2 2 2

2

(MNOPQR) (ABC) (AMN) 2 (BOP)

(ABC)(AMN) 2 (BOP)

2

(2x) 3 x 3 1 2 32

4 4 2 4

6x 2

3x cm.

3


De acordo com as afirmações do problema e através dos segmentos AE e BD podemos dividir

o polígono em dois triângulos retângulos e oito triângulos equiláteros cujos lados medem 3 cm.

No triângulo AFE, temos:

AFtg60 AF CD 6 3cm

6

Portanto, a área do polígono ABCDEF será dada por:

2ABCDEF

28 3 3 6 6 318 3 36S 3 54 3

4 2cm



[D]

ABCD

EFGH

A 2 9 18 3.

A 4 12 48 8

Resposta da questão 24: [C]

22 2

2

2

2

x x 12 2

2x 144 2

x 144

Portanto, a área do triângulo será:

x 144A 72.

2 2

Resposta da questão 25: [A]

A área sombreada onde será plantada a grama é dada por 23 44 24 m .

2

Por outro lado,

como os quatro triângulos menores são triângulos retângulos pitagóricos de hipotenusa 5 m,

segue que a superfície que receberá o piso de cerâmica é um quadrado, cuja área mede 2 25 25 m .



[C] Considere a figura.

É fácil ver que 1

(ACD) (ACB) (ABCD).2

Além disso, como AM MD, temos que

1

(AMC) (MCD) (ACD).2

Donde 1 1 1

(MCD) (ABCD) (ABCD).2 2 4

Além disso,

(AMCD) (ABC) (AMC)

1 1(ABCD) (ABCD)

2 4

13 (ABCD)

4

3 (MCD)

Portanto, a área do trapézio é igual ao triplo da área do triângulo. Resposta da questão 27: [B]

Pelo Teorema de Menelaus, aplicado no triângulo ABC, vem

MA DB EC 5 16 EC1 1

5 6MB DC EA EA

EC 3

8EA

Agora, como AB AC AE EC 10, pela propriedade das proporções, temos

EC 3 EC EA 3 8

8 3EA EA

80EA .

11

Portanto, sabendo que MAE 60 , encontramos

1(MAE) MA EA senMAE

2

1 80 35

2 11 2

100 3.

11



[A]

d 5 8 2 5 8 10

2 R 10 R 5, onde R é o raio dos semicírculos.

Portanto, considerando 3π a área pedida será dada por:

22 .5

A 10 2 1752

π

Resposta da questão 29: [D]

2k 3

6. .Área k 32 4

kPerímetro 86.

2


[C]

A razão da P.G. formada pelos raios será dada por 3r 3

,2r 2

portanto o raio da terceira

circunferência será 9r

.2

Calculando agora as áreas assinaladas A1 e A2: A = A1+ A2

29r

2 2(2r) (3r)2A

2 2 2

ππ π

45 612A 2 r8 8

π ππ



Área total do terreno: 3 km

2

Área que cabe a cada filho: 1 km2

k 1,2 0,2 1,5 2

k 0,5

k m 0,2 1

0,5 m 0 2

m 0,4

1A 0,8 1

(0,4 x) 10,8 x 1,2 km

2

2A 0,8 1

0,5 y 0,80,8 y 1,5 km

2


[C]

A área de um ladrilho retangular de 30cm por 40cm é 230 40 1200cm , enquanto a área e

um ladrilho quadrado de 50cm de lado é 2 250 2500cm .

Portanto, a menor área que pode ter essa parede, sem que haja espaço ou superposição entre

os ladrilhos, é dada por 2 2mmc(1200, 2500) 30.000cm 3,0 m .



[E] A área destinada à plantação de flores é 1/6 da área do paralelogramo, pois todos os triângulos possuem a mesma área.

2

1A 15.20

6

A 50m


[B] Admitindo a área do círculo igual à área do quadrado, temos:

22 2 L

.R LR

π π


[E]

A área A, em quilômetros quadrados, varrida pela onda entre 9 horas e 10 horas é dada por

2 2 2 2 2A [(10k) (9k) ] (100k 81k ) 19 k .


[D]

Área do retângulo: 2x.x = 100 x = 10 m.

Área do triângulo: 21 x 3x

.x. 2x2 2 4

=

23.1075.

4



1 2 3 4A A A A A A

2.1 5.4 4.3 6.3A 8.6

2 2 2 2

A 48 1 10 6 9

A 48 26

A 22 unidades de área


a) Considere a figura.

Como M é o ponto médio de CD, segue que MD MC.

Sabendo que a área do triângulo DPM é um quarto da área do triângulo BMC, obtemos

1 MD h 1 MC H(DPM) (BMC)

4 2 4 2

H 4h.

b) A área do trapézio em função da altura H do triângulo BMC é dada por

AB CD 6 2

(ABCD) H H 4H.2 2

Resposta da questão 39: [B]

2

200.300A

2

A 30 000 km



[E]

Pelo Teorema de Pitágoras:

2

2 21 31 x x .

2 2

Portanto: 2

regiãoA 5 3 5 3 m .

Áreas 2012 -...

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