apresentação do powerpoint - desafios da sala de...

COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO 2.° BIMESTRE / 2017

MATEMÁTICA – 9.° ANO

MARCELLO CRIVELLA

PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO

CÉSAR DE QUEIROZ BENJAMIN

SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO, ESPORTES E LAZER

JUREMA HOLPERIN

SUBSECRETARIA DE ENSINO

MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS

COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO

MARIA DE FÁTIMA CUNHA

GERÊNCIA DE ENSINO FUNDAMENTAL

CLOVIS DO NASCIMENTO LEAL

DALTON DO NASCIMENTO BORBA

ELABORAÇÃO

SÍLVIA MARIA SOARES COUTO

ORGANIZAÇÃO

FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA

SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA

REVISÃO

FÁBIO DA SILVA

MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR

DESIGN GRÁFICO

EDIGRÁFICA

IMPRESSÃO


MATEMÁTICA – 9.° ANO PÁGINA 2

EQUAÇÃO DE 2.º GRAU

Um pouco da história da Matemática...

Anos antes do nascimento de Cristo, os babilônios, egípcios

e gregos utilizavam técnicas capazes de resolver equações de

2.° grau.

Os gregos conseguiam resolver as equações, realizando

associações com a Geometria.

Os matemáticos indianos Sridhara, Bragmagupta e

Bhaskara também forneceram importantes contribuições,

estabelecendo uma fórmula matemática capaz de resolver as

equações de 2.° grau.

Com o francês Viéte, o método resolutivo das equações de

2.° grau ganhou as letras como símbolos. Mais tarde, esse

trabalho foi aprimorado por René Descartes.

Atualmente, a expressão matemática, através da qual são

resolvidas as equações de 2.° grau, é atribuída ao matemático

indiano Bhaskara. Porém, a História nos mostra que vários

estudiosos contribuíram para o desenvolvimento dessa fórmula.

http://brasilescola.uol.com.br/matematica/o-surgimento-equacao-2-o-grau.htm

Bhaskara

∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

𝒙 =−𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

𝒙 =−𝒃 ± ∆

𝟐𝒂



Para determinar as dimensões (comprimento e largura) do terreno,

precisamos considerar que a largura será 𝑥 e o comprimento 𝑥 + 10.

Como a área de um retângulo é o produto das medidas da largura e do

comprimento, teremos:

ou

EQUAÇÃO DE 2.° GRAU

Leia, atentamente, a situação-problema apresentada a seguir:

Uma fábrica comprou o terreno retangular representado na figura ao lado.

Ele será gramado.

Há duas informações sobre o terreno:

1.ª) o comprimento tem 10 metros a mais que a largura;

2.ª) a área total do terreno é de 75 m².

𝑥 (𝑥 + 10) = 75 𝑥² + 10𝑥 – 75 = 0

Observe que a equação obtida, 𝑥² + 10𝑥 – 75 = 0,

apresenta uma só incógnita (a letra 𝑥) cujo maior

expoente é 2. Ela é um exemplo de equação de

2.º grau com uma incógnita.

Esse é o assunto que

vamos estudar!!!

Terreno

a ser

gramado



Definição

Uma equação de 2.º grau com uma incógnita possui, como forma:

Sendo:

𝒙 a incógnita,

a, b e c números reais, chamados coeficientes.

a𝒙² + b𝒙 + c = 0 (a 0)

Exemplos:

a) 3𝑥² + 5𝑥 + 2 = 0, onde a = 3, b = 5 e c = 2.

b) 2𝑥² – 𝑥 + 7= 0, onde a = 2, b = – 1 e c = 7.

c) 4𝑥² 2𝑥 = 0, onde a = 4, b = 2 e c = 0.

d) – 5𝑥² + 10 = 0, onde a = – 5, b = 0 e c = 10.

e) – 𝑥² = 0, onde a = – 1, b = 0 e c = 0.

Leia com atenção:

a representa o coeficiente de 𝒙²

b representa o coeficiente de 𝒙

c representa o termo independente

Entendi!!

Se o 𝑥² é anulado, a equação

não será mais de 2.° grau, vira

uma equação de 1.° grau.

Se o a for igual a zero,

o 𝑥² é anulado.

E se o a for igual a zero?

Se o a = 0, então 0. 𝑥² = 0. Logo: 0. 𝑥² + b𝒙 + c = 0

implicará em 0 + b𝒙 + c = 0

⟹ b𝒙 + c = 0

!!!FIQUE LIGADO



1- Marque um (X) nas equações que são de 2.º grau:

a) 𝑥² – 3𝑥 + 7 = 0 ( )

b) – 4𝑥 + 9 = ( )

c) 2𝑥³ + 5𝑥² – 10= 0 ( )

d) 5𝑥 + 𝑥² + 6 = 0 ( )

e) 3𝑥² – 27= 0 ( )

f) 2𝑥 – 1 = 0 ( )

2- Determine os valores dos coeficientes a, b, e c nas seguintes

equações:

a) 2𝑥² – 𝑥 + 6= 0 a = _____, b = _____ e c = _____.

b) 𝑥² + 6𝑥 + 9 = 0 a = _____, b = _____ e c = _____.

c) 3𝑥 + 2𝑥² – 10 = 0 a = _____, b = _____ e c = _____.

d) 𝑥² – 𝑥 = 0 a = _____, b = _____ e c = _____.

e) 3𝑥² – 9 = 0 a = _____, b = _____ e c = _____.

AGORA,É COM VOCÊ!!! 3- Forme as equações de 2.º grau quando

a) a = 3, b = 6 e c = 9

Solução: 3𝑥² + 6𝑥 + 9 = 0

b) a = 2, b = – 6 e c = 5

c) a = 1, b = 4 e c = – 6

d) a = 5, b = 0 e c = 0

e) a = 3, b = 2 e c = 0

f) a = 1, b = – 1 e c = – 8

g) a = – 2, b = 0 e c = – 8

h) a = 8, b = 1 e c = 1

i) a = – 1, b = – 7 e c = – 2



4- Organize as seguintes equações de 2.º grau para que fiquem

na forma a𝒙² + b𝒙 + c = 0:

a) 3𝑥² + 𝑥 = 12

b) 4𝑥 + 2𝑥² = 𝑥 – 5

c) 𝑥² + 𝑥 + 7 = 𝑥 + 4

d) 𝑥(𝑥 + 3) 5 = 0

e) 3(2𝑥 – 5) = 𝑥(4 – 𝑥)

f) (𝑥 + 5)(𝑥 + 2) = 10

g) (𝑥 + 1)(𝑥 – 1) = 𝑥

h) (𝑥 + 1)² = 4𝑥



6 - Leia o texto e observe a figura:

Na imagem abaixo, estão indicadas as áreas de três retângulos

que formam uma figura em uma mesma unidade de área.

Responda:

a) Quais as medidas dos lados de cada um dos retângulos?

___________________________________________________

b) Qual a medida dos lados da figura formada pelos três

retângulos?

___________________________________________________

c) Qual a expressão que representa a área total dessa figura?

___________________________________________________

d) Podemos afirmar que a figura formada pelos três retângulos

é um _______________________________________________

𝒙²

3𝒙

3𝒙

+ 9

Lembre-se:

Área do retângulo =

altura x comprimento

5- Observe o tampo da mesa:

𝑥 + 2

Qual a equação que representa a área dessa figura retangular,

em relação a 𝑥?

𝑥

Área do tampo da mesa:

120 dm²

𝑥



EQUAÇÕES COMPLETAS E EQUAÇÕES INCOMPLETAS

Considerando a equação a𝒙² + b𝒙 + c = 0, (a 0), chamamos de

Equações incompletas: aquelas que possuem os

coeficientes b ou c, ou ambos nulos.

Exemplos:

a) 3𝑥² + 1𝑥 = 0 (a = 3, b = 1, c = 0)

b) 𝑥² – 5 = 0 (a = 1, b = 0, c = – 5)

c) 2𝑥² = 0 (a = 2, b = 0, c = 0)

Assim ficou fácil diferenciar as equações

completas das incompletas.

Basta verificar os coeficientes (b e c): se um deles

for zero, a equação será incompleta!!!

Equações completas: aquelas em que todos os

coeficientes são diferentes de zero.

Exemplos:

a) 3𝑥² + 5𝑥 – 6 = 0 (a = 3, b = 5, c = – 6)

b) 𝑥² – 𝑥 + 1 = 0 (a = 1, b = – 1, c = 1)

c) – 2𝑥² + 3𝑥 – 5= 0 (a = – 2, b = 3 e c = – 5)



AGORA,É COM VOCÊ!!!

1- Leia o que Luana está pensando.

a) Você concorda com a Luana?

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

2- Durante a aula de Matemática, o professor de Luana fez a

seguinte afirmação:

a) Com base no que disse o professor, o que podemos concluir

sobre o pensamento de Luana?

___________________________________________________

___________________________________________________

b) Quais os coeficientes da equação 10𝑥² – 6𝑥 = 0?

___________________________________________________

Se equações de 2.º grau são

aquelas que podem ser

escritas na forma

a𝑥² + b𝑥 + c = 0, com

a ≠ 0, então 3𝑥² – 7 = 0 não é

uma equação de 2.º grau.

Equação Completa

Todos os coeficientes (a, b e c)

diferentes de zero.

Equação Incompleta

Coeficientes b e/ou c iguais a zero.

Fre

epik

.com



RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS EM IR

Resolver uma equação é determinar todas as suas soluções verdadeiras.

1.º caso: Equações da forma a𝑥² + b𝑥 = 0, sendo c = 0.

Propriedade:

Para que um produto seja nulo, é preciso que, pelo menos, um dos fatores seja zero.

a) 𝑥² + 5𝑥 = 0

Fatorando: 𝑥 (𝑥 + 5) = 0

𝑥 = 0 ou 𝑥 + 5 = 0

𝑥 = - 5

Logo: V = { 0, - 5}

b) 𝑥² – 7𝑥 = 0

Fatorando: 𝑥 (𝑥 – 7) = 0

𝑥 = 0 ou 𝑥 – 7 = 0

𝑥 = 7

Logo: V = { 0, 7}

c) 2𝑥² – 6𝑥 = 0

Fatorando: 2𝑥 (𝑥 – 3) = 0

𝑥 = 0 ou 𝑥 – 3 = 0

𝑥 = 3

Logo: V = { 0, 3 }

Resolução da

primeira equação de

2.º grau!!!

Exemplos:

Resolver as equações, sendo U = IR:




1- Classifique as equações abaixo como completas ou

incompletas:

a) 𝑥² - 2𝑥 + 5 = 0 ____________________

b) 2𝑥² – 3𝑥 = 0 ____________________

c) – 𝑥² + 3 = 0 ____________________

d) 𝑥² – 𝑥 + 1= 0 ____________________

e) 𝑥² – 5 = 0 ____________________

f) 𝑥 – 𝑥² = 0 ____________________

2- Resolva as seguintes equações de 2.º grau, sendo U = IR:

a) 𝑥² – 5𝑥 = 0

b) 𝑥² + 3𝑥 = 0

c) 𝑥² – 𝑥 = 0

d) 2𝑥² – 6𝑥 = 0

e) 2𝑥² + 𝑥 = 0

f) 3𝑥² – 9𝑥 = 0

g) 2𝑥² + 2𝑥 = 0



2.° caso: Equações da forma a𝑥² + c = 0, sendo b = 0.

a) 𝑥² – 9 = 0

𝑥² = 9

𝑥 = ± 9

𝑥' = + 3 ou 𝑥” = – 3

Logo: V = {– 3, 3}

c) 2𝑥² – 32 = 0

2𝑥² = 32

𝑥² = 32

2

𝑥² = 16

𝑥 = ± 16

𝑥' = +4 ou 𝑥” = – 4

Logo: V = {– 4, 4}

b) 𝑥² – 3 = 0

𝑥² = 3

𝑥 = ± 3

𝑥' = + 3 ou 𝑥” = – 3

Logo: V = {− 3, 3}

d) 𝑥² + 9 = 0

𝑥² = – 9

𝑥 = ± −9

Não existe, no conjunto

dos IR, raiz quadrada

de número negativo.

Logo: V = { }

!!!FIQUE LIGADO

No conjunto dos IR, não existe raiz

par para números negativos.

Leia:

Qual o número que elevado ao

quadrado resultará – 49?

(– 7)² = 49

7² = 49

Logo, nenhum número em IR

elevado ao quadrado resultará – 49.

Se a resposta não

for uma raiz exata,

é só usar o

simétrico da raiz no

Conjunto Verdade.

Exemplos:

Resolver as equações, sendo U = IR:

Lembre-se:

• o simétrico de 3 é –3;

• o simétrico de – 7 é 7.




1- Resolva as seguintes equações de 2.º grau, sendo U = IR:

a) 𝑥² – 9 = 0

b) 𝑥² – 25 = 0

c) 3𝑥² – 12 = 0

d) 5𝑥² + 20 = 0

e) 3𝑥² – 3 = 0

f) 5𝑥² – 10 = 0

g) 3𝑥² + 3 = 0

h) 9𝑥² – 4 = 0



Notas:

Esta fórmula permite encontrar as raízes de qualquer equação de 2.º grau, completa ou incompleta.

A expressão b² - 4ac chama-se discriminante e é indicada pela letra grega (lê-se: delta).

Então, se 0, podemos calcular as raízes da equação:

Se < 0, a equação não apresenta raízes reais.

FÓRMULA DE RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS EM IR

Sendo a equação a𝑥² + b𝑥 + c = 0, (a 0), teremos:

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Fórmula de

Bhaskara

∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

𝑥 =−𝑏 ± ∆

2𝑎

Aplicando essa fórmula,

poderemos resolver a equação de

2.º grau que quisermos.



Exemplos:

Resolvendo as seguintes equações de 2.º grau, sendo U = IR:

A) 3𝑥² – 7𝑥 + 2 = 0

Solução:

a = 3

b = (– 7)

c = 2

Substituindo na fórmula:

Dica:

Se o número for

negativo, coloque-o

entre parênteses.

∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

= (– 7)² - 432

= 49 – 24

= 25

𝑥 =−𝑏 ± ∆

2𝑎

𝑥′ =7 + 5

6=

12

6 = 2

𝑥′′ =7 − 5

6=

2

6 =

1

3

Logo: V = 2, 1

3 𝑥 =

−(−7) ± 25

2 ∙ 3=

7 ± 5

6=

Calculando o :

Lembre-se de que, no campo dos IR,

qualquer número, diferente de zero, elevado

ao quadrado, terá resultado positivo!

(– 7)² = 49

Se o resultado for fracionário,

ele deverá, quando possível,

ser simplificado.



B) – 𝑥² + 4𝑥 – 4 = 0

Solução:

a = (– 1)

b = 4

c = (– 4)


𝑥 = −4 ± 0

2 ∙ (− 1)=

−4 ± 0

−2=

∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

= 4² – 4(– 1)(– 4)

= 16 – 16

= 0

𝑥 =−𝑏 ± ∆

2𝑎

𝑥′ =−4 + 0

−2=

−4

−2 = 2

𝑥′′ =−4 − 0

−2=

−4

−2 = 2

Logo: V = 2

Dica:

Se o número for

negativo, coloque-o

entre parênteses.

Se o (delta) for um número

muito grande, lembre-se do que

estudamos no bimestre passado:

para calcular sua raiz quadrada,

basta decompor em fatores primos

e agrupar, de dois em dois, os

fatores iguais.

!!!FIQUE LIGADO

Regra de sinais

Na adição e na subtração:

- sinais iguais, adicionamos os

valores absolutos dos números e

repetimos o sinal;

- sinais diferentes, subtraímos os

valores absolutos dos números e

repetimos o sinal do número com

maior valor absoluto.

Na multiplicação e na divisão:

- sinais iguais, o resultado ficará

positivo;

- sinais diferentes, o resultado será

negativo.

Calculando o :

Seu caderno do

1.° bimestre é muito

importante neste

momento!

MU

LT

IRIO

Lembre-se das regras de

sinais:

( – ) ( – ) = +

( – ) ( – ) ( – ) = –



C) 5𝑥² + 6𝑥 + 2 = 0

Solução:

a = 5

b = 6

c = 2

∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

= 6² – 452

= 36 – 40

= – 4

𝑥 =−𝑏 ± ∆

2𝑎

Logo: V =

Quando a raiz quadrada

for de um número

negativo, não haverá

resultado em IR.

Conjunto vazio.

Calculando o :


𝑥 = −6 ± −𝟒

2 ∙ 5

Lembre-se de que, em IR,

não existe raiz quadrada de

números negativos!!!

Observe que, em todos os exemplos,

a fórmula está sendo repetida. Isso

serve para auxiliá-lo.

Na hora de iniciar as atividades, faça

o mesmo: repita a fórmula!




1- Determine o CONJUNTO VERDADE de cada uma das

equações de 2.º grau, sendo U = IR:

a) 𝑥² – 4𝑥 + 3 = 0

b) 2𝑥² – 10𝑥 + 12 = 0

c) 𝑥² – 5𝑥 – 14 = 0



f) – 𝑥² – 𝑥 + 20 = 0

g) 5𝑥² + 9𝑥 – 2 = 0

d) 𝑥² + 6𝑥 + 9 = 0

e) 𝑥² – 12𝑥 + 35 = 0



j) 𝑥² + 4𝑥 – 5 = 0

k) – 𝑥² + 𝑥 – 3 = 0

h) 𝑥² + 3𝑥 + 5= 0

i) 6𝑥² – 4𝑥 – 2 = 0



2- Indique se a equação apresentada, tem, como raiz, o

número 5?

a) 𝑥² – 5𝑥 + 10 = 0

b) 𝑥² – 5𝑥 = 0

c) 𝑥² – 3𝑥 – 10 = 0

3- Leia, atentamente, o problema e responda:

Luana e Bruno tinham um enigma para resolver.

Quem acertou o enigma?

O quadrado de um número real é igual ao seu triplo.

Já sei! O

número pode

ser 0 ou 3!

Eu

discordo!

Pode ser 0

ou 2!



5- Um engenheiro precisa construir, em um clube, uma piscina

retangular. No entanto, precisa atender a duas exigências:

1.ª) o comprimento da piscina terá que ser 5 metros maior que a

largura (considerar as bordas internas);

2.ª) a área da piscina deverá ser de 150 m².

Responda:

Quais devem ser as dimensões dessa piscina?

4- Determine as dimensões do retângulo, sabendo que sua área

é de 108 m²:

𝑥 – 3

𝑥

Área = 108 m²



Outros exemplos:

Resolvendo as seguintes equações de 2.º grau, sendo U = IR:

a) 𝑥(𝑥 – 5) + 6 = 0

𝑥(𝑥 – 5) + 6 = 0

𝑥² – 5𝑥 + 6 = 0

Solução:

a = 1

b = (– 5)

c = 6


∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄

= (– 5)² – 416

= 25 – 24

= 1

𝒙 =−𝒃 ± ∆

𝟐𝒂

𝑥 =−(−5) ± 1

2 ∙ 1

𝑥 =5 ± 1

2

Logo: V = 2, 3

𝑥′ =5 + 1

2=

6

2= 3

𝑥′′ =5 − 1

2=

4

2= 2

b) (𝑥 + 1)² = 3𝑥 + 13

𝑥² + 2𝑥 + 1 – 3𝑥 – 13 = 0

𝑥² – 𝑥 – 12 = 0

Solução:

a = 1

b = (– 1)

c = (– 12)


∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄

= (– 1)² – 41(– 12)

= 1 + 48

= 49

𝒙 =−𝒃 ± ∆

𝟐𝒂

𝑥 =−(−1) ± 49

2 ∙ 1

𝑥 =1 ± 7

2

Produtos Notáveis: Quadrado da soma

(𝑥 + 1)² = (𝑥)² + 2(𝑥)(1) + (1)²

(𝑥 + 1)² = 𝑥² + 2𝑥 + 1

Multiplicação distributiva

Logo: V = −3, 4

𝑥′ =1+7

2=

8

2= 4

𝑥′′ =1 − 7

2=

−6

2= −3

Lembre-se de que, para resolver,

temos que igualar a zero o 2.º

membro da equação e deixá-la na

forma reduzida.

Nestas atividades,

temos que arrumar a

equação antes de

resolvê-la.



Em seu caderno, resolva as equações do 2.º grau,

sendo U = IR. Depois, escreva aqui o Conjunto

Verdade de cada equação.

a) 𝑥(x + 3) – 40 = 0

V = ____________

b) x(x – 2) + 10 = 2

V = ____________

c) x(x – 5) = – 6

V = ____________

d) (x + 3)(x – 3) = 0

V = ____________

Em seu caderno, resolva as equações de 2.º grau, sendo

U = IR. Depois, escreva, aqui, o CONJUNTO VERDADE (V) de

cada equação:

a) 𝑥(𝑥 + 2) – 35 = 0

V = ____________

b) 𝑥(𝑥 – 6) + 10 = 2

V = ____________

c) 𝑥(𝑥 – 5) = – 8

V = ____________

d) (𝑥 + 5)(𝑥 – 5) = 0

V = ____________

e) 3𝑥(𝑥 – 2) – 4 = 2𝑥 5

V = ____________

f) 4𝑥² – 2𝑥 = 2𝑥 – 1

V = ____________

g) 𝑥(𝑥 + 4) – 10 = – 5

V = ____________

h) (𝑥 + 5)(𝑥 – 1) = 7

V = ____________

i) (2𝑥 – 4)² = 0

V = ____________

Determine todas as soluções da equação 𝑥 = 𝑥 – 2, sendo U = IR.

OBMEP – NÍVEL 2



RELAÇÃO ENTRE AS RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO E O DISCRIMINANTE

Como podemos observar, as raízes de uma equação de 2.º grau dependem do discriminante (∆ - delta).

Quando ∆ > 𝟎, a equação apresenta duas raízes reais e diferentes.

Exemplo:

𝑥² + 3𝑥 – 10 = 0

∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

∆ = 3² − 4 ∙ 1 ∙ −10

∆ = 9 + 40

∆ = 49 ⟹ Δ > 0

Logo, a equação possui duas raízes reais e diferentes.

Quando ∆ = 𝟎, a equação apresenta duas raízes reais e iguais.

Exemplo:

𝑥² – 4𝑥 + 4 = 0

∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

∆ = (−4)² − 4 ∙ 1 ∙ 4

∆ = 16 − 16

∆ = 0 ⟹ Δ = 0

Logo, a equação possui duas raízes reais e iguais.

Quando ∆ < 𝟎, a equação não apresenta raízes reais.

Exemplo:

𝑥² + 2𝑥 + 5 = 0

∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

∆ = 2² − 4 ∙ 1 ∙ 5

∆ = 4 − 20

∆ = −16 ⟹ Δ < 0

Logo, a equação não possui raízes reais.

Se Δ > 0 (positivo): duas raízes reais e diferentes.

Se Δ = 0: duas raízes reais e iguais.

Se Δ < 0 (negativo): não possui raízes reais.

𝑥′ =−3 +7

2=

4

2= 2

𝑥′′ =−3 − 7

2=

−10

2= −𝟓 𝑥 =

3 ± 7

2

𝑥′ =4 + 0

2=

4

2= 𝟐

𝑥′′ =4 − 0

2=

4

2= 𝟐 𝑥 =

4 ± 0

2

A raiz quadrada de -16

não é um número REAL.

Veja como é fácil!




1- Calculando somente o discriminante ( ∆ ), determine a

existência e a quantidade de raízes que cada equação possui:

a) 𝑥² – 5𝑥 + 4 = 0

b) 2𝑥² – 5𝑥 + 2 = 0

c) 2𝑥² – 2𝑥 = 0

d) 𝑥² + 𝑥 + 4 = 0

e) 3𝑥² + 6𝑥 + 3 = 0

f) 4𝑥² + 16 = 0

g) 𝑥² – 4𝑥 + 3 = 0



1- A menor das raízes da equação 𝑥² – 10𝑥 + 21 = 0 é

(A) 0 (B) 3 (C) 5 (D) 7

2- A forma reduzida da equação 𝑥² - 5𝑥 + 7 = 3𝑥 - 4 é

(A) 𝑥² – 2𝑥 + 11 = 0 (C) 𝑥² – 8𝑥 + 11 = 0

(B) 𝑥² – 2𝑥 + 3 = 0 (D) 𝑥² – 8𝑥 + 3 = 0

3- Os coeficientes da equação 4𝑥² + 6 - 7𝑥 = 0 são

(A) a = 4, b = - 7 e c = 6 (C) a = 4, b = 6 e c = - 7

(B) a = 6, b = - 7 e c = 4 (D) a = 4, b = 6 e c = 7

4- Podemos afirmar que a única opção que representa

uma equação de 2.º grau é

(A) 𝑥(𝑥 + 2) + 11 = 0 (C) 𝑥4 – 8𝑥 + 11 = 𝑥² - 3

(B) 𝑥² – 2𝑥 + 3 = 𝑥² + 3 (D) 𝑥² – 8𝑥 + 3 > 0

5- (UFJF / MG- Adaptada) As raízes da equação 𝑥² – 12𝑥 + 35 = 0 são

(A) 6 e 6 (B) 2 e 6 (C) 3 e 9 (D) 5 e 7

6- Podemos afirmar que 1 é raiz da equação

(A) 𝑥² – 5𝑥 + 11 = 0 (C) 𝑥² – 4𝑥 + 4 = 0

(B) 𝑥² – 2𝑥 + 1 = 0 (D) 2𝑥² – 8𝑥 + 7 = 0

7- (CESGRANRIO / RJ) A maior raiz da equação - 2𝑥² + 3𝑥 + 5 = 0 vale

(A) –1 (B) 1 (C) 2 (D) 2,5

8- (UC / SP- Adaptada) As raízes da equação 2𝑥² + 10 + 12𝑥 = 0 são

(A) {– 5, – 1}. (B) {–1, 5}. (C) {1, 5}. (D) {2, 3}.

9) A equação 𝑥² - 3𝑥 = -2 admite, como raiz,

(A) –5. (B) –2. (C) 2. (D) 4.



PROPRIEDADES DAS RAÍZES

A equação a𝑥² + b𝑥 + c = 0 (a ≠ 0), sendo Δ ≥ 0, tem, como raízes reais:

𝑥′ =−𝑏+ ∆

2𝑎 e 𝑥′′ =

−𝑏− ∆

2𝑎

Vamos, agora, determinar a soma (S) e o produto (P) das raízes:

a) Soma das raízes:

𝑥′ + 𝑥′′ =−𝑏 + ∆

2𝑎+

−𝑏 − ∆

2𝑎

𝑥′ + 𝑥′′ =−𝑏 + ∆ − 𝑏 − ∆

2𝑎

𝑥′ + 𝑥′′ =−2𝑏

2𝑎

𝑥′ + 𝑥′′ =−𝑏

𝑎

𝑆 = 𝑥′ + 𝑥′′ = −𝑏

𝑎

b) Produto das raízes:

𝑥′ ∙ 𝑥′′ =−𝑏 + ∆

2𝑎∙−𝑏 − ∆

2𝑎 =

−𝑏 2 − ( ∆)²

4𝑎²

𝑥′ ∙ 𝑥′′ =𝑏² − (∆)

4𝑎²=

𝑏² − (𝑏2 − 4𝑎𝑐)

4𝑎²

𝑥′ ∙ 𝑥′′ =𝑏² − 𝑏2 + 4𝑎𝑐

4𝑎²=

4𝑎𝑐

4𝑎²

𝑥′ ∙ 𝑥′′ =𝑐

𝑎

𝑃 = 𝑥′ ∙ 𝑥′′ = 𝑐

𝑎

PRODUTOS NOTÁVEIS:

produto da soma pela

diferença.

Você observou

como o resultado

final é bem

simples?



Exemplos:

Determinar a soma e o produto das raízes da equação 2𝑥² – 8𝑥 + 6 = 0:

1.ª solução

Resolvendo a equação:

a = 2

b = (– 8)

c = 6

Δ = (– 8)² – 4·2·6

Δ = 64 – 48

Δ = 16

𝑥 =− −8 ± 16

2 ∙ 2

𝑥 =8 ± 4

4

𝑥′ =8 + 4

4

𝑥′ = 3

𝑥′′ =8 − 4

4

𝑥′′ = 1

S = 𝑥’ + 𝑥’’ = 3 + 1 = 4

P = 𝑥’ · 𝑥’’ = 3 · 1 = 3

2.ª solução

Usando as fórmulas:

a = 2

b = (– 8)

c = 6

𝑆 =−𝑏

𝑎=

−(−8)

2=

8

2= 4

𝑃 =𝑐

𝑎=

6

2= 3

Utilizando as fórmulas de

soma e produto, os

cálculos se tornam bem

mais rápidos e simples!

Qual das duas

soluções parece ser

mais simples?




1- Determine a soma (S) e o produto (P) das raízes das

equações, sem precisar resolvê-las:

a) 𝑥² – 7𝑥 + 12 = 0

b) 2𝑥² – 10𝑥 + 8 = 0

c) 3𝑥² – 3𝑥 = 0

d) 𝑥² + 𝑥 – 2 = 0

e) 2𝑥² + 8𝑥 + 3 = 0

f) 3𝑥² – 5 = 0

g) 𝑥² – 9𝑥 + 45 = 0

Solução:

a = 1

b = (– 7)

c = 12

𝑆 =−𝑏

𝑎=

−(−7)

1= 7

𝑃 =𝑐

𝑎=

12

1= 12



COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DE 2.º GRAU

Seja a equação a𝑥² + b𝑥 + c = 0 (a ≠ 0). Dividindo-a por a, temos:

Sendo e

Temos que

Então, podemos escrever

Exemplos:

Compor a equação de 2.º grau a partir das seguintes raízes:

a) 𝑥’ = 5 e 𝑥’’ = 6

Solução:

S = 𝑥’ + 𝑥’’ = 5 + 6 = 11

P = 𝑥’ · 𝑥’’ = 5 · 6 = 30

𝑥² +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎= 0

𝑺 = 𝑥′ + 𝑥′′ =−𝒃

𝒂

𝑷 = 𝑥′ ∙ 𝑥′′ =𝒄

𝒂

𝑥² − 𝑺𝑥 + 𝑷 = 0

𝑥² – 11𝑥 + 30 = 0

b) 𝑥’ = – 5 e 𝑥’’ = 3

Solução:

S = 𝑥’ + 𝑥’’ = (– 5) + 3 = – 2

P = 𝑥’ · 𝑥’’ = (– 5) · 3 = – 15

𝑥² + 2𝑥 – 15 = 0

O resultado da soma

das raízes será

sempre o oposto do

número encontrado.

O resultado da soma

das raízes será

sempre o oposto do

número encontrado.

𝑥² −−𝒃

𝒂𝑥 +

𝒄

𝒂= 0

Cuidado com o sinal de S

(soma das raízes):

Por causa do sinal negativo, o

número que a representa será

sempre o oposto, quando

escrevemos a equação.




1) Determine a equação cujas raízes sejam

a) 3 e 5:

b) 1 e 6:

c) – 2 e 5:

Solução:

S = 𝑥’ + 𝑥’’ = 3 + 5 = 8

P = 𝑥’ 𝑥’’ = 3 5 = 15

Resposta:

𝑥² – 8𝑥 + 15 = 0

d) – 1 e – 5:

e) – 3 e 3:

f) 0 e 7:

g) – 4 e – 4:



Exemplo 1- A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 35. Qual é esse número?

1.º) tradução:

2.º) resolução:

a = 1

b = (– 2)

c = (– 35)

3.º) interpretação e resposta:

Como não existe restrição quanto ao resultado, as duas respostas adequadas ao problema.

Resposta:

𝑥² – 2𝑥 = 35

PROBLEMAS DE 2.º GRAU

Um problema é chamado de 2.º grau quando pode ser resolvido por meio de uma equação de 2.º grau.

Para resolver esses problemas, devemos:

1.º) escrever o problema em linguagem matemática;

2.º) resolver a equação;

3.º) interpretar as raízes obtidas e dar resposta ao problema.

𝑥² – 2𝑥 = 35

∆ = −2 2 − 4 ∙ 1 ∙ −35 ∆= 4 + 140

∆= 144 𝑥 =

−(−2) ± 144

2 ∙ 1=

2 ± 12

2

𝑥 =2 + 12

2=

14

2=

𝑥 =2 − 12

2=

−10

2=

𝑥² – 2𝑥 – 35 = 0

𝟕

−𝟓

O número é – 5 ou 7.

A leitura atenta é muito

importante na hora de

transformar o que se lê em

linguagem matemática.



Exemplo 2- Qual o número positivo, que somado ao seu quadrado, resulta 56?

1.º) tradução:

2.º) resolução:

a = 1

b = 1

c = (– 56)

3.º) interpretação e resposta:

Como o problema pede que seja um número positivo, teremos apenas o 7 como resposta.

Resposta:

É muito importante ler novamente o

problema, após resolver a equação,

para poder responder

adequadamente. Nesse caso, a

palavra positivo sinalizava que

qualquer resultado negativo não

poderia ser utilizado como resposta.

𝑥 + 𝑥² = 56

𝑥 + 𝑥² = 56

∆ = 1² − 4 ∙ 1 ∙ −56

∆= 1 + 224

∆= 225

𝑥 =−1 ± 225

2 ∙ 1=

−1 ± 15

2

𝑥 =−1 + 15

2=

14

2=

𝑥 =−1 − 15

2=

−16

2=

𝑥² + 𝑥 – 56 = 0

𝟕

−𝟖

O número é 7.

Só pra recordar:

se o número for

negativo, coloque-o

entre parênteses.




1- A soma de um número com seu quadrado é 12. Qual é esse

número?

2- O quadrado, menos o dobro de um número, é igual a 3. Qual

é esse número?

3- O quadrado de um número, menos o seu triplo, é igual a 4.

Qual é esse número?

4- Qual é o número positivo que, somado ao seu quadrado,

resulta 72?



𝑥

11 m

20 m 𝑥

5- O quadrado da idade de Dênis, menos o triplo de sua idade, é

igual a 108. Quantos anos Denis tem?

6- A diferença entre o dobro do quadrado de um número positivo

e o seu triplo é 35. Qual é esse número?

7- O pátio de uma empresa, com dimensões de 11 m por 20 m,

foi ampliado em duas faixas de mesma largura, ficando com a

área de 322 m². Qual a medida da largura da faixa de

ampliação?

11 m

𝑥

𝑥 20 m

Lembrete:

1369 = 37



RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

RELEMBRANDO...

O triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo reto.

Os elementos são:

a medida da hipotenusa 𝐵𝐶

b medida do cateto 𝐴𝐶

c medida do cateto 𝐴𝐵

h medida da altura 𝐴𝐻

n medida da projeção do cateto 𝐴𝐵

sobre a hipotenusa 𝐵𝐶

m medida da projeção do cateto 𝐴𝐶

sobre a hipotenusa 𝐵𝐶

ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO

Seja o triângulo retângulo ABC:

TRIÂNGULO RETÂNGULO

Já foi estudado nos anos anteriores.

O lado oposto ao ângulo reto recebe o nome

de hipotenusa. E os outros lados, cateto.

A

B C

hipotenusa cateto

cateto

A

B C H

a

b c

n m

h

ÂNGULO RETO



Seja o triângulo retângulo ABC:

Ao traçar a altura relativa à hipotenusa do triângulo ABC, obteremos dois outros triângulos retângulos. Veja:

Os triângulos ABC, ABH e AHC são semelhantes (seus ângulos correspondentes são congruentes).

Então, tendo por base essa relação de semelhança, estudaremos, nas próximas páginas, as relações métricas no triângulo retângulo.

Se partirmos esse triângulo

pelo segmento 𝐴𝐻,

formaremos dois novos

triângulos retângulos.

A

B C H

A

B C H

a

b c

n m

h

A

B H

h

A

H C

h

n m

b c

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO



1.ª relação

Sejam os ACB ~ HAB ⟹ a

c=

c

n ⟹

Sejam os ABC ~ HAC ⟹ a

b=

b

m ⟹

A medida de um cateto ao quadrado é igual ao produto da

hipotenusa pela projeção do cateto.

c² = a n

b² = a m

Exemplos:

Calcular o valor de 𝑥 nas figuras apresentadas a

seguir:

𝑥

4

16

𝑥

16

25

Solução:

𝑥² = 16 4

𝑥² = 64

𝑥 = 64

𝑥 = 8

Solução:

𝑥² = 25 16

𝑥² = 400

𝑥 = 400

𝑥 = 20

semelhante

(cateto)² = (hipotenusa) (projeção do cateto)



2.ª relação

Sejam os ABH ~ CAH ⟹ h

m=

n

h ⟹

h² = m n

Exemplos:

Calcular o valor de 𝑥 nas figuras apresentadas a seguir:

𝑥

4 9

8

4 𝑥

Solução:

𝑥² = 4 9

𝑥² = 36

𝑥 = 36

𝑥 = 6

Solução:

8² = 4 𝑥

4𝑥 = 64

𝑥 = 64

4

𝑥 = 16

A medida da altura ao quadrado é igual ao produto das medidas

das projeções dos catetos.

semelhante

(altura)² = (projeção do cateto maior) (projeção do cateto menor)



3.ª relação

Sejam os ABC ~ ABH ⟹ b

h=

a

c ⟹

b c = a h

O produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida

da hipotenusa pela medida da altura.

semelhante

(cateto maior) (cateto menor) = (hipotenusa) (altura)

A

B C H

A

B H

h

n

c

h c b

a

Exemplos:


3 4

𝑥

5

𝑥 24 40

50

Solução:

3 4 = 5 . 𝑥

5𝑥 = 12

𝑥 = 12

5

𝑥 = 2,4

Solução:

40𝑥 = 50 24

40𝑥 = 1 200

𝑥 = 1 200

40

𝑥 = 30




1- Determine o valor dos elementos desconhecidos em cada

um dos triângulos retângulos:

a)

c

2

8

b)

18

9

a

c)

h

7 28

d)

15 b

12

25

e)

24

n

6



4.ª relação – TEOREMA DE PITÁGORAS

Pela primeira relação, sabemos que e .

Somando essas igualdades, membro a membro, temos:

O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos

quadrados das medidas dos catetos.

Exemplos:


9 𝑥

15

3 4

𝑥

Solução:

𝑥² = 3² + 4²

𝑥² = 9 + 16

𝑥² = 25

𝑥 = 25

𝑥 = 5

Solução:

9² + 𝑥² = 15²

81 + 𝑥² = 225

𝑥² = 225 – 81

𝑥² = 144

𝑥 = 144

𝑥 = 12

c² = a n b² = a m

b² + c² = a² a² = b² + c²

Lembre-se de que a

hipotenusa é igual à

soma das duas

projeções.

Logo:

m + n = a

Fatoração (matéria do

8.º Ano):

Fator comum

A

B C H

a

b c

n m

h

A

B C H

a

b c

n m

h

c² = a ∙ n b² = a ∙ m

c² = a ∙ n b² = a ∙ m

b2 + c2 = a ∙ n + a ∙ m b2 + c2 = a n + m

b² + c² = a ∙ a

Como o x se encontra em um

dos catetos, é mais simples

usar

b² + c² = a²

Como o x se encontra

na hipotenusa, é mais

simples usar

a² = b² + c²

Relembrando...




1- Determine o valor da incógnita em cada um dos triângulos

retângulos:

a)

b)

A

c)

B C

d) A B

C

e) A

B C

9 12

𝑥

𝑥 20

25

15

𝑥

12

3𝑥

4𝑥

20

6 10

𝑥



2 – Determinar o valor desconhecido em cada um dos triângulos

apresentados abaixo.

a)

50

40 30

𝑥

b)

𝑥

3

12

c)

6

4 𝑥

d)

27

3

𝑥

e)

6

9

𝑥

f)

5

13

𝑥



3- A figura, apresentada abaixo, mostra uma escada

encostada no topo de um prédio. Sabendo-se que o pé da

escada está distante 8 metros do prédio e o comprimento dela

é de 17 metros, qual é a altura do prédio?

4- Qual o comprimento mínimo do cabo de aço que prende

uma antena de rádio de 24 m, se ele está fixado a 18 m da

base da antena?

5- Calcule a medida da diagonal de um retângulo de

dimensões 16 cm e 12 cm.

6- Determine a medida do lado do losango que tem suas

diagonais medindo 24 cm e 18 cm.

7- Na figura, O é o centro do círculo e AB = 5 cm. Qual é o

diâmetro desse círculo?

Clip a

rt

8 m

18 m

24 cm

18 cm

Atenção às

medidas dadas.

Elas se referem à

totalidade da

diagonal.

Fre

epik

.com

12 cm

16 cm

12 cm

Cuidado com as medidas dadas.

Elas se referem à totalidade da

diagonal.

10 metros.

5

4

O B

C A

17 m

OBMEP – NÍVEL 2



4- O quadrado maior tem 14 cm de lado. O perímetro do

quadrado menor é

(A) 14 cm.

(B) 28 cm.

(C) 40 cm.

(D) 56 cm.

5- A figura, apresentada abaixo, mostra um muro que possui 3 m

de altura. Sabendo-se que o pé da escada está a 4 m do muro, o

comprimento da escada é de

(A) 5 m.

(B) 7 m.

(C) 10 m.

(D) 14 m.

6 8

8 6

6 8

8 6

1- Na figura, o valor de 𝑥 é

(A) 10.

(B) 5.

(C) 10.

(D) 5.

2- (PUC-SP) Num triângulo retângulo, cujos catetos medem

3 e 4, a hipotenusa mede

(A) 5. (B) 7. (C) 8. (D) 12.

3- A diagonal de um quadrado de lado 3 cm é

(A) 3 cm. (B) 3 cm. (C) 3 2 cm. (D) 6 cm.

10

𝑥

3𝑥



6- Os dois lados menores de um triângulo retângulo medem

8 cm e 15 cm. O perímetro desse triângulo é

(A) 23 cm. (B) 32 cm. (C) 40 cm. (D) 43 cm.

7- Um fio foi esticado do topo de um prédio de 34 m de altura

até o muro lateral com 10 m de altura. (Observe a figura.)

O comprimento desse fio é de

(A) 24 m. (B) 30 m. (C) 36 m. (D) 40 m.

8- Qual o valor de 𝑥 nessa figura?

𝑥 + 1 𝑥

𝑥 + 2

(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 5.

9- O perímetro do polígono, apresentado abaixo, é

(A) 33 m. (B) 48 m. (C) 57 m. (D) 60 m.

10- Qual é o perímetro do quadrado em que a diagonal mede

4 2 m?

(A) 4 m. (B) 8 m. (C) 16 m. (D) 16 2 m.

12 m 12 m

9 m

Lembre-se de

retirar a medida da

altura do muro. 18 m



0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

11,5

8,1 8,6

15,5

18,6

16

9

Lucro de algumas empresas brasileiras

(em bilhões de reais)

1- Este gráfico de colunas se refere à lucratividade de

empresas brasileiras no período de 2008 a 2014.

Leia as informações contidas nele com bastante atenção:

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

Agora, responda:

a) Em que ano o lucro das empresas brasileiras foi maior?

_________________________________________________

b) Em que ano o lucro das empresas brasileiras foi mais baixo?

_________________________________________________

c) Construa um gráfico de linhas equivalente ao gráfico ao lado:

LU

CR

O

(em

bilh

ões d

e r

eais

)

ANO

ANO

LU

CR

O

(em

bilh

ões d

e r

eais

)



2- (Prova da Rede – 1.° Bimestre/ 2016) Os alunos do 9.º Ano fizeram uma estimativa para 200 pessoas, com base no estudo

apresentado a seguir:

HÁBITOS SAUDÁVEIS E LONGEVIDADE

O peso dos fatores que fazem uma pessoa viver além dos 65 anos.

10%

17%

20%

53% Assistência médica

Genética

Meio ambiente

Estilo de vida

-

20

40

60

80

100

120

-

20

40

60

80

100

120

140

-

20

40

60

80

100

120

-

20

40

60

80

100

120

140

Que gráfico de barras melhor representa esse estudo?

(A) (B) (C) (D)



3- (CPII – RJ) Abaixo, estão apresentados dois gráficos relacionados ao consumo de energia elétrica na casa da senhora Nathália, nos

meses de julho a setembro de 2010. A partir dos gráficos, responda às perguntas:

a) Qual foi a energia consumida, em média, a cada dia de setembro de 2010?

____________________________________________________________

b) Com base nos gráficos, qual foi o consumo do ferro no mês de agosto?

____________________________________________________________

b) Com base nos gráficos, qual foi o consumo da geladeira no mês de julho?

____________________________________________________________

chuveiro: 25%

geladeira: 30%

lâmpadas: 20%

TV: 8%

ferro: 10%

outros: 7%

330

450

540

-

100

200

300

400

500

600

julho agosto setembro

Consumo mensal de energia, em kWh (medição feita a cada 30 dias)

QU

ILO

WA

TT

S / H

OR

A

MESES



1- (Prova da Rede / 2015 - Adaptada) O quadrado de um número

positivo menos o seu triplo é igual a 28. Qual o número positivo

que é a solução desse problema?

(A) 4. (B) 6. (C) 7. (D) 8.

2- (Prova da Rede / 2015) Qual dos números é raiz da equação

𝑥² – 11𝑥 + 18 = 0?

(A) – 3. (B) 0. (C) 2. (D) 10.

3- Veja as promoções de dois supermercados:

Joana pretende comprar 12 latas de sorvete para a festa de seu

aniversário. Em qual supermercado ela deve comprar e por quê?

(A) No A, pois economizará R$ 7,00 em relação ao B.

(B) No A, pois economizará R$ 6,00 em relação ao B.

(C) No B, pois economizará R$ 8,00 em relação ao A.

(D) No B, pois economizará R$ 6,00 em relação ao A.

(E) Tanto faz. O preço é o mesmo nos dois supermercados.

Supermercado A Supermercado B

6 latas de 3 litros do sorvete QUENTE Sorvete QUENTE – lata de 3 litros

R$ 24,00 4 latas – só R$ 14,00

4- (Prova da Rede / 2015) Observe a figura:

Qual a equação que melhor representa o cálculo da área

dessa figura?

(A) 2𝑥 + 32 = 0.

(B) 𝑥² + 2𝑥 – 30 = 0.

(C) 𝑥² + 2𝑥 + 28 = 0.

(D) 3𝑥 – 30 = 0.

5- (Prova da Rede / 2015) A Professora Regina escreve vários

cartões com desafios para aplicar nas suas aulas. Felipe foi

sorteado com o seguinte cartão:

Qual é a resposta correta para esse desafio?

(A) 10.

(B) 12.

(C) 15.

(D) 35.

Área: 30 m²

𝑥 + 2

𝑥

Qual o produto das raízes da equação

2𝑥² - 15𝑥 + 20 = 0?

OBMEP – NÍVEL 2



6- (Prova da Rede / 2015) Qual a equação que será

formada tendo, como raízes, 2 e 5?

(A) 𝑥² – 7𝑥 + 10 = 0.

(B) 𝑥² – 2𝑥 + 5 = 0.

(C) 𝑥² + 5𝑥 – 2 = 0.

(D) 2𝑥² + 7𝑥 – 10 = 0.

7- (Prova da Rede / 2015) Observando a figura abaixo,

determine o comprimento da ripa de madeira que deixará o

portão com maior resistência.

(A) 0,60 m.

(B) 0,80 m.

(C) 1 m.

(D) 1,50 m.

60 cm

80 cm

8- (Prova da Rede / 2015) A figura abaixo mostra uma

escada encostada no topo de um prédio. Sabendo-se que

o pé da escada está distante 6 metros do prédio e o

comprimento dela é de 10 metros, qual é a altura do

prédio?

(A) 10 m.

(B) 8 m.

(C) 6 m.

(D) 4 m.

9- (Prova da Rede / 2015) Observando o discriminante da

equação 𝑥² – 5𝑥 = 0, podemos afirmar que essa equação

(A) não possui raízes reais.

(B) possui duas raízes simétricas.

(C) possui duas raízes reais e iguais.

(D) possui duas raízes reais e diferentes.

Escada

10 m

6 m



10- (Prova Brasil) O desenho de uma escola foi realizado na

seguinte escala: 1:100. A representação ficou com 10 cm de

altura. Qual é a altura real, do colégio, em metros?

(A) 1 m. (B) 5 m. (C) 10 m. (D) 100 m.

11- (Prova Brasil) Dada a expressão 𝑥 =−𝑏+ 𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎, sendo

a = 1, b = – 7 e c = 10, o valor numérico de 𝑥 é

(A) - 5. (B) - 1. (C) 1. (D) 5.

12- (Prova Brasil) Célia desenhou dois triângulos, sendo que o

triângulo DEF é uma redução do triângulo ABC.

Sendo assim, a medida 𝑥 do lado é igual a

(A) 4 m. (B) 6 m. (C) 8 m. (D) 12 m.

13- (Prova Brasil) Sendo N = (−3)² − 3², então, o valor de N é

(A) 0. (B) 18. (C) – 18. (D) 12.

14- (Prova Brasil) Ao resolver corretamente a expressão

– 1 – (– 5)(– 3) + (– 4)³ : (– 4), o resultado correto é

(A) – 13. (B) – 2. (C) 0. (D) 30.

15- (Prova Brasil - Adaptada) O número irracional 10 está entre

os números

(A) 2 e 3. (B) 3 e 4. (C) 6 e 8. (D) 12 e 15.

16- (Prova Brasil) Alguns quadriláteros estão representados nas

figuras.

Qual dos quadriláteros possui apenas um par de lados paralelos?

(A) (B) (C) (D)

Até o próximo bimestre!!

apresentação do powerpoint - desafios da sala de...

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