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Funções

Matemática, 1º Ano, Função: conceito

A noção intuitiva de função

Situação 1João vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B. Veja ascondições dos planos:Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 porconsulta num certo período.Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 porconsulta num certo período.

Dependendo da necessidade, João fará 5, 6 ou 7 consultas. Qual o planomais econômico para ele em cada situação?

Observe que o gasto total de cada plano é dado em função do númerode consultas dentro do período preestabelecido.

Situação 2Na cidade do Recife, de acordo comvalores em vigor desde 01/01/2015, ummotorista de táxi cobra R$ 4,32 debandeirada (comum) mais R$ 2,10 porquilômetro rodado (comum). Sabendo queo preço a pagar é dado em função donúmero de quilômetros rodados, calcule opreço a ser pago por uma corrida em quese percorreu 22 quilômetros?

Imagem: The Wordsmith / Creative

Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported.


Situação 3O diagrama a seguir considera a quantidade de litros de gasolina e os seusrespectivos preços a pagar em um posto de combustível na cidade de Itapetim:

Quantidade de litros (l)

Preço a pagar (R$) O preço a pagar é dado em função

da quantidade de litros que se colocano tanque, ou seja o preço dependedo número de litros comprados.

123...50x

3,376,7410,11...168,503,27x

preço a pagar (p) = R$ 3,27 vezes o número de litros (x) compradosp = 3,27.x (lei da função ou fórmula matemática da função)

Agora, responda:a) Qual é o preço de 10 litros degasolina?b) Quantos litros de gasolina podemser comprados com R$ 43,81?


Situação 4A tabela a seguir relaciona a medida do lado de um terreno quadrado (l), emmetros, e o seu perímetro (P), também em metros.

Observe que o perímetro do quadrado é dado emfunção da medida do seu lado, isto é, o perímetrodepende da medida do lado. A cada valor dadopara a medida do lado corresponde um únicovalor para o perímetro.

perímetro (P) = 4 vezes a medida do lado (l ) ouP = 4.l

Como o perímetro depende da medida do lado,ele é a variável dependente, a medida do lado é achamada variável independente.

Agora, responda:a) Qual o perímetro de um terreno quadrado cuja medida do lado é 3,5 m?b) Qual a medida do lado do terreno quadrado cujo perímetro é de 22 m?

Medida do lado (l)

Perímetro (P)

1 4

2 8

2,5 10

3 12

4,1 16,4

...

...

l 4l

l

l


Situação 5Uma maneira útil de interpretar uma função é considerá-la como umamáquina, onde os números que entram nessa máquina são processados oucalculados. Os números que saem da máquina são dados em função dosnúmeros que entram. Observe a seguir uma “máquina” de dobrar números.

Representando o número de saída n e o número de entrada x, temos:

n = 2.x (fórmula matemática da função)

Agora, invente uma “máquina de triplicar e somar 1”, baseada no exemploacima, e escreva a fórmula matemática dessa função.

- 3 4,3 x21

2 - 64 8,6 2x

Máquina de dobrar

Mateática, 1º Ano, Função: conceito

Ainda sobre “máquina de função”...

Acesse o link http://odeb.hol.es/maquina_funcao.swf e encontreum “máquina de função” (em formato flash) onde você coloca afunção, o número de entrada e descobre o número de saída.

Já no link http://odeb.hol.es/relacao.swf você encontrará um“máquina de função” (em formato flash) onde você colocanúmero de entrada, observa o número de saída e descobre afórmula da “máquina”.

http://odeb.hol.es/maquina_funcao.swf

http://odeb.hol.es/relacao.swf


A noção de função por meio de conjuntos1) Observe os conjuntos A e B relacionados da seguinte forma: em A estão osnúmeros inteiros e em B, outros.Devemos associar cada elemento de A ao seu triplo em B

Note que:- todos os elementos de A têm correspondente em B;- a cada elemento de A corresponde um único elemento de B.Nesse caso, temos uma função de A em B, expressa pela fórmula y = 3x.

-2∙-1∙0 ∙1 ∙2 ∙

∙ -8∙ -6∙ -4∙ -3∙ 0∙ 3∙ 6

A B


2) Dados A = {0, 4} e B = {2, 3, 5}, relacionamos A e B da seguinte forma: cadaelemento de A é menor do que um elemento de B:

Nesse caso, não temos uma função de A em B, pois ao elemento 0 de Acorrespondem três elementos de B, e não apenas um único elemento de B.

0 ∙

4 ∙

∙ 2

∙ 3

∙ 5

A B


3) Dados A = {- 4, - 2, 0, 2, 4} e B = {0, 2, 4, 6, 8}, associamos os elementos de Aaos elementos de igual valor em B.

Observe que há elementos em A que não têm correspondente em B. Nessecaso, não temos uma função de A em B.

-4∙-2∙0 ∙2 ∙4 ∙

∙ 0∙ 2∙ 4∙ 6∙ 8

A B


Definição e notação

Dados dois conjuntos não vazios, A e B, uma função de A em B é uma relaçãoque indica como associar cada elemento x do conjunto A a um único elementoy do conjunto B.

Usamos a seguinte notação:

“A cada x de A corresponde um único (x) de B, levado pela função .”

A B

: A → B

x f(x)


Domínio, contradomínio e conjunto imagemO diagrama de flechas a seguir representa uma função f de A em B.

Vamos determinar:

a) D(f) b) CD(f)

D(f) = 2, 3, 5 ou D(f) = A CD(f) = 0, 2, 4, 6, 8, 10 ou CD(f) = B

c) Im (f) d) f(3)

Im(f) = 4, 6, 10 f(3) = 6

e) f(5) f) x para f(x) = 4

f(5) = 10 x = 2

2∙

3 ∙

5 ∙

∙ 0∙ 2∙ 4∙ 6∙ 8∙ 10

A B


Exercícios:

Dados os seguintes conjuntos determine o domínio, contradomínio e a imagem dos seguintes conjuntos:

a) A = 2, 3, 4 e B={1, 2, 3, 4}, onde y=x-1

b) A = 1, 2, 3 e B={2, 3, 4, 5, 6, 7}, onde y=2x

c) A = 1, 2, 3 e B={2, 3, 4, 5, 6, 7}, onde y=2x+1


Solução:

a) D = 2, 3, 4 , CD={1, 2, 3, 4} e Im={1, 2, 3}.

b) D = 1, 2, 3, CD={2, 3, 4, 5, 6, 7} e Im={2,4,6}.

c) D = 1, 2, 3, CD={2, 3, 4, 5, 6, 7} e Im={3,5,7}.


Função e gráficoCoordenadas cartesianas

A forma de localizar pontos no plano foi imaginada por RenéDescartes (1596-1650), no século XVII. O sistema cartesiano éformado por duas retas perpendiculares entre si e que se cruzamno ponto zero. Esse ponto é denominado origem do sistemacartesiano e é frequentemente denotado por O. Cada retarepresenta um eixo e são nomeados Ox e Oy. Sobrepondo um

sistema cartesiano e um plano, obtém-se o um planocartesiano, cuja principal vantagem é associar a cadaponto do plano um par de números reais. Assim, um pontoA do plano corresponde a um par ordenado (m, n) com me n reais.

O eixo horizontal Ox é chamado de eixo das abscissas e oeixo vertical Oy, de eixo das ordenadas. Esses eixosdividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes.

Imagem: Frans Hals / Portrait of

René Descartes, c. 1649-1700 /

Louvre Museum, Richelieu, 2nd

floord, room 27 Paris / Public

Domain.

y

x

1º Q

0

Eixo das ordenadas

Eixo dasabscissas

2º Q

3º Q 4º Q

m

n A (m,n)


Gráfico de funçãoO gráfico de uma função é o conjunto de pares ordenados (x, y) que tenham xpertencente ao domínio da função e y = f(x).

Reconhecimento do gráfico de uma função

Para saber se um gráfico representa uma função é preciso verificar se cadaelemento do domínio existe apenas um único correspondente nocontradomínio. Geometricamente significa que qualquer reta perpendicular aoeixo Ox deve interceptar o gráfico em um único ponto.

y

x

y

x

y

x

Qualquer reta perpendicular ao eixo Oxintercepta o gráfico em um único ponto;portanto, o gráfico representa umafunção de x em y.

Existem retas perpendiculares ao eixo Oxque interceptam o gráfico em mais deum ponto; portanto, o gráfico nãorepresenta uma função de x em y.

Existem retas perpendiculares ao eixo Oxque interceptam o gráfico em mais deum ponto; portanto, o gráfico nãorepresenta uma função de x em y.


Domínio e imagem a partir do gráfico

x

y

a b

f(b)

f(a)

Domínio: a x b ou [a, b]

Imagem: f(a) x f(b) ou [f(a), f(b)]

a) Considerando a função f(x)= x + 2, temos:

f:(1) = 1 + 2 = 3 (a imagem de 1 pela função f é f(1) = 3)

f:(–2) = –2 + 2 = 0 (a imagem de –2 pela função f é f(– 2) = 0)

Matemática, 9º ano - Estudo das funções conceitos iniciais

a)

Exercícios:

Determine o Domínio e a Imagem das seguintes funções:

b)


Solução:

a) D = xϵ IR/ -2 ≤ x ≤ 2 e Im = yϵ IR/ x ≥ -1.

b) D = xϵ IR/ -2 ≤ x ≤ 2 e Im = yϵ IR/ -4 ≤ y ≤ 4.


Todos os dias nos deparamos com notícias do tipo:

•Número de católicos no Brasil diminuem, enquantoo número de evangélicos aumentam;•Dólar fecha em queda após quatro altas seguidas;•Mercado prevê mais inflação, queda maior do PIB enova alta dos juros;•Com mercado de carros novos em queda, cresce avenda de veículos novos;•Previsão de inflação para 2015 continua subindo;•Agência aprova novas taxas, e conta de luz vai subirem todo o país.

Função crescente e decrescente


Função crescente Função decrescente

quando o valor de y aumentar conforme o de x

aumentar, temos uma função crescente.

quando o valor de y diminuir conforme o de x

aumentar, temos uma função decrescente.


Aplicação de função na Física...Um rapaz desafia seu pai para uma corrida de 100 m. O pai permite que o filho comece30 m à sua frente. Um gráfico bastante simplificado dessa corrida é dado a seguir:

a) Pelo gráfico, como é possível dizerquem ganhou a corrida e qual foi adiferença de tempo?O pai ganhou a corrida, pois elechegou aos 100 m em 14 s e o filho,em 17 s; a diferença de tempo foi de3 s.

b) A que distância do início o paialcançou seu filho?Cerca de 70 m.

5 10 15

20

40

60

80

100

Distância (m)

Tempo (s)0

c) Em que momento depois do início da corrida ocorreu a ultrapassagem?Cerca de 10 s.

Entendemos por par ordenado um conjunto de dois

elementos, sendo:

Produto cartesiano:

PAR ORDENADO (x,y)

a,b( ) = c,d( )Ûa= c eb= d

A X B = {(X,Y)/ X A e Y B}Î Î

Plano Cartesiano

Forma gráfica:

A x B = {(2, 1),(2, 3), (2, 5), (3, 1),(3, 3),(3, 5)} {(1, 2), (3, 2), (5, 2),(1, 3), (3, 3), (5, 3)}

A = {2, 3} e B = {1, 3, 5}

B x A =

0 2 3

1

3

5

. .

.

..

.

(2, 1)

(2, 3)

(2, 5)

(3, 1)

(3, 3)

(3, 5)

0 3 5

2

3

. .

..(3, 2)

(3, 3)

(5, 2)

(5, 3)

1

.

.

(1, 3)

(1, 2)

Y

X

Y

X


A = {1, 3, 4, 7} e B = {2, 3, 5, 9}

R= {(3, 2), (4, 3)}

0 2 3

1

3

9

..

(3, 2)

(4, 3)

Y

X4

2



Exercícios:

Dados o conjunto de pares ordenados R={(0, 1),(1, 2),(2, 3),(3, 4)} ,

plote os pontos dentro do plano cartesiano.


Solução

FUNÇÃO PAR OU ÍMPAR

FUNÇÃO PAR

VALORES SIMÉTRICOS DE X

IMAGENS IGUAIS

f(x) = x2 – 4

f(-3) = (-3)2 – 4 =

f(3) = (3)2 – 4 =

5

5

FUNÇÃO ÍMPAR

VALORES SIMÉTRICOS DE X

IMAGENS SIMÉTRICAS

g(x) = 2x

g(-4) = 2(-4) =

g( 4) = 2(4) =

-8

8

f(-x) = f(x)f(-x) = - f(x)

Observações:

O produto de duas funções de mesma paridade é uma função par.

O produto de duas funções com paridades distintas é uma função ímpar.

FUNÇÃO PAR

f(x) = x2 – 1

FUNÇÃO ÍMPAR

g(x) = 2x

f(-x) = f(x) f(-x) = - f(x)

Exemplos


Exercícios:

Determine se as funções são pares ou ímpares, plote os gráficos e determine o domínio e a imagem das funções:

a)

b)

c)

d)

f(x) = x – 4

g(x) = 2x

f(x) = x2 – 1

f(x) = x2 – 4


Solução:

a) Par, pois f(x)=f(-x), D=IR e Im = yϵ IR/ x ≥ -4


Solução:

b) Ímpar, pois f(-x)=-f(x), D=IR e Im =IR .


Solução:

c) Nem para nem Ímpar, pois f(-x)≠-f(x) e f(-x)≠f(x) ,D=IR e Im = IR.


Solução:

d) Par, pois f(x)=f(-x), D=IR e Im = yϵ IR/ x ≥ -1

Fim da Aula

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