Revisão

Determinação de uma tangente para o gráfico de uma função

• O coeficiente angularda reta tangente em P é

0'( )f x =

Taxas de variação: derivada em um ponto

• A expressão abaixo é chamada de quociente da diferença de fem x0 com incremento h.

Notações

• Algumas das notações alternativas mais comuns para a derivadasão

• Para indicar o valor de uma derivada em um número específico x= a, usamos a notação

Potências, multiplicações, somas e diferenças

• Uma regra simples de derivação é que a derivada de toda funçãoconstante é zero.

• A regra (d/dx) (c) = 0 é outromodo de dizer que os valores defunções constantes nuncamudam e que o coeficienteangular de uma reta horizontalé zero em todo ponto.

Potências, multiplicações, somas e diferenças

Produtos e quocientes

Produtos e quocientes

Derivada da função seno

Derivada da função cosseno

Derivadas de outras funções trigonométricas básicas

Derivada de uma função composta

• A função é a função composta de• Temos

• Como , vemos nesse caso que

Derivadas de outras funções trigonométricas básicas

Valores extremos de funções

• Extremos absolutos para as funçõesseno e cosseno no intervalo [–π/2,π/2]. Esses valores podem dependerdo domínio de uma função.

Valores extremos de funções

Extremos locais (relativos)

• A figura abaixo mostra um gráfico com cinco pontos nos quais afunção tem valores extremos em seu domínio [a, b].

Extremos locais (relativos)

Determinando extremos

• O teorema a seguir explica por que normalmente precisamosinvestigar apenas alguns valores para determinar o extremo deuma função.

Determinando extremos

• A figura a seguir mostra uma curva com um valor máximo local.

• O coeficiente angular em c é, simultaneamente, o limite denúmeros não positivos e não negativos e, portanto, tem valorzero.

Determinando extremos

Determinando extremos

• Como determinar os extremos absolutos de uma função contínuaƒ em um intervalo fechado e finito:

1. Calcule ƒ em todos os pontos críticos e extremidades.

2. Tome o maior e o menor dentre os valores obtidos.

Funções crescentes e decrescentes

Teste da primeira derivada para extremos locais

• Na figura a seguir, os pontos críticos de uma função estabelecemonde ela é crescente e onde é decrescente.

• O sinal da primeira derivada troca em pontos críticos, ondeocorrem extremos locais.

Funções crescentes e decrescentes

Funções crescentes e decrescentes

Teste da primeira derivada para extremos locais• Suponha que c seja um ponto crítico de uma função contínua ƒ, e

que ƒ seja derivável em qualquer ponto de um intervalo quecontenha c, exceto, possivelmente, no próprio ponto c.Deslocando-se ao longo desse intervalo da esquerda para adireita,

1. se ƒ’ passa de negativa a positiva em c, então ƒ possui ummínimo local em c;

2. se ƒ’ passa de positiva a negativa em c, então ƒ possui ummáximo local em c;

3. se ƒ’ não muda de sinal em c (isto é, ƒ’ é positiva ou negativa emambos os lados de c), então ƒ não tem extremo local em c.

Concavidade

• Como você pode ver nafigura ao lado, a curva y= x3 é crescente, quandox aumenta, mas asporções definidas nosintervalos (–∞, 0) e (0,∞) se curvam demaneiras distintas.Conforme nosaproximamos da origem,pela esquerda ao longoda curva, vemos que elase vira para a nossadireita e fica abaixo desuas tangentes.

Concavidade

Pontos de inflexão

• Um ponto em que o gráfico de uma função possui uma retatangente e onde há mudança de concavidade é chamado deponto de inflexão.

• Em um ponto de inflexão (c, ƒ(c)), ou ƒ’’(c) não existe ou ƒ’’(c) = 0.

Teste da segunda derivada para extremos locais

Comportamentos dos gráficos de funções a partir de derivadas

A figura ao ladoresume como aderivada e asegunda derivadaafetam a formade um gráfico.

Forma indeterminada 0/0

• Se ambas as funções contínuas ƒ(x) e g(x) são zero em x = a,então

• não pode ser determinada pela substituição de x = a.

• A substituição resulta em 0/0, uma expressão sem sentido, quenão podemos avaliar.

• Usamos 0/0 como uma notação para uma expressão conhecidacomo uma forma indeterminada.

Forma indeterminada 0/0

• Para aplicar a regra de l’Hôpital a ƒ/g, divida a derivada de ƒ peladerivada de g. Não caia na armadilha de tornar a derivada de ƒ/g.O quociente a ser utilizado é ƒ’/g’, e não (ƒ/g)’.

Uso da regra de l’Hôpital

• Para determinar

• pela regra de l’Hôpital, continue a derivar ƒ e g, contanto queainda seja possível obter a forma 0/0 em x = a.

• Mas, logo que uma ou outra dessas derivadas for diferente dezero em x = a, pare de derivar.

• A regra de l’Hôpital não se aplica quando há no numerador ou nodenominador um limite finito diferente de zero.

Formas indeterminadas ∞/∞, ∞ ∙ 0, ∞ – ∞

• Em tratamentos mais avançados de cálculo é provado que a regrade l’Hôpital se aplica à forma indeterminada ∞/∞ bem como a0/0. Se ƒ(x) ± ∞ e g(x) ±∞, quando x a, então

• desde que o limite da direita exista.

Determinação de primitivas

Determinação de primitivas

• Fórmulas de primitivas, sendo k uma constante diferente de zero.

Determinação de primitivas

• Regras de linearidade para primitivas

Problemas de valor inicial e equações diferenciais

• Determinar uma primitiva de uma função ƒ(x) é um problemasimilar a determinar uma função y(x) que satisfaça a equação

Essa equação é chamadaequação diferencial.

Integrais indefinidas

• Após o sinal da integral na notação que acabamos de definir, afunção integranda é sempre seguida por uma diferencial paraindicar a variável de integração.