1

Lógica Matemática

Professora: M. Sc. Juciara do Nascimento César

UNIDADE II

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1 - Álgebra das Proposições

Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições

também simples cujo valores lógicos respectivos são V (Verdade) e F

(Falsidade).

a - Idempotente : p p <=> p

b - Comutativa: p q <=> q p

c - Associativa: (p q) r <=> p (q r)

d - Identidade: p t <=> p e p c <=> c

1.1 Propriedade da Conjunção

p t c pt pc pt p pc c

V V F V F V V

F V F F F V V

t-elemento neutro e c-elemento absorvente

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Álgebra das Proposições

1.2 Propriedade da Disjunção

Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições

também simples valores lógicos respectivos são V (Verdade) e F

(Falsidade).

a - Idempotente : p V p <=> p

b - Comutativa: p V q <=> q V p

c - Associativa: (p V q) V r <=> p V (q V r)

d - Identidade: p V t <=> t e p V c <=> p

p t c p V t p V c p V t t p V c p

V V F V V V V

F V F V F V V

t-elemento absorvente e c-elemento neutro

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Álgebra das Proposições

1.3 Propriedade da Conjunção e da Disjunção

Sejam p, q e r proposições simples quaisquer

a - Distributivas:

(i) p (q V r) <=> (p q) V (p r)

(ii) p V (q r) <=> (p V q) (p V r)

b - Absorção:

(i) p (q V q) <=> p

(ii) p V (q q) <=> p

c - Regras de DE MORGAN:

(i) ~ (p q) <=> ~ p V ~ q

(ii) ~ (p V q) <=> ~ p ~ q

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Álgebra das Proposições

Regras de DE MORGAN ensinam:

(i)~ (p q) <=> ~ p V ~ q

Negar que duas dadas proposições são ao mesmo tempo

verdadeiras equivale a afirmar que uma pelo menos é falsa

Ex: segundo (i), a negação da proposição:

É inteligente e estuda

Não é inteligente ou não estuda

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Álgebra das Proposições

Regras de DE MORGAN ensinam:

Ex: segundo (ii), a negação da proposição:

É médico ou professor

Não é médico e não é professor

(ii) ~ (p V q) <=> ~ p ~ q

Negar que uma pelo menos de duas proposições é verdadeira

equivale a afirmar que ambas são falsas.

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Álgebra das Proposições

~ (p q) <=> p ~ q

1.4 Negação da Condicional

p q p q ~ (p q) ~ q p ~ q

V V V F F F

V F F V V V

F V V F F F

F F V F V F

Nota: a condicional não goza das propriedades idempotente,

comutativa e associativa

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Álgebra das Proposições

~ (p q) <=> ( p ~ q ) V (~ p q)

1.5 Negação da Bicondicional

p q ~ (p q) ~ q p ~ q ~p ~ p q

V V F F F F F

V F V V V F V

F V V F V V V

F F F V F V F

Nota: a bicondicional p q não goza da propriedades idempotente,

mas goza das propriedades comutativa e associativa

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2 - Argumentos. Regras de Inferência

Def. Chama-se argumento toda a afirmação de que uma dada

seqüência finita P1, P2, , Pn (n1) de proposição tem como

conseqüência ou acarreta uma proposição final Q.

P1, P2, , Pn premissas

Q conclusão

Indica por:

P1, P2, , Pn Q

e se lê uma das seguintes maneiras:

a) “P1, P2,, Pn acarretam Q”

b) “Q decorre de P1, P2,, Pn ”

c) “Q se deduz de P1, P2,, Pn ”

d) “Q se infere de P1, P2,, Pn ”

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2.1 Validade de um argumento

Def. Um argumento P1, P2, PN Q diz-se válido se e somente se

a conclusão Q é verdadeira todas as vezes que as premissas P1, P2,

PN são verdadeiras.

Em um argumento válido: a verdade das premissas é incompatível com

a falsidade da conclusão.

2.2 Critério de validade de um argumento

Um argumento não-válido diz-se um sofisma

Teorema: Um argumento P1, P2, PN Q é válido se e somente se a

condicional

P1P2 PN Q

É tautológica

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Considere o seguinte argumento e verifique se é válido

2.3 Condicional associada a um argumento

Def. Dado um argumento P1, P2, PN Q a este argumento

corresponde a condicional

P1P2 PN Q

denominada condicional associado ao argumento dado cujo antecedente

é a conjunção das premissas e cujo conseqüente é a conclusão.

SE TRABALHO, NÃO POSSO ESTUDAR

TRABALHO OU PASSO EM FÍSICA

TRABALHEI

LOGO, PASSEI EM FÍSICA

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Passo 1: Escrevendo o argumento em sua forma simbólica.

Sejam

p: Trabalho,

q: Posso estudar

r: Passo em Física

as proposições que compõe esse argumento.

Assim:

p~q, p v r, p r

Passo 2: Verificar a validade do argumento acima.

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p q r ~ q p ~ q p v r (p ~ q) (p v r) p (p ~ q) (p v r) p r

V V V F F V F V

V V F F F V F V

V F V V V V V V

V F F V V V F V

F V V F V V V F

F V F F V F F V

F F V V V V F V

F F F V V F F V

A condicional associada ao argumento dado não é tautológica, assim o

argumento é não válido

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Exercício: Mostre o argumento pq, r ~q r ~ p é válido

Obs: Para mostrar que um argumento é não válido basta encontrar

um argumento da mesma forma, no entanto, as premissas são

verdadeiras e a conclusão é falsa.

Exemplo

Desafio: Será que o argumento pq p q v r é válido?

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p q r p q q v r p q v r (p q) (p (q v r))

V V V V V V V

V V F V V V V

V F V F V V V

V F F F F F V

F V V V V V V

F V F V V V V

F F V V V V V

F F F V F V V

A condicional associada a esse argumento é tautológica e portanto

esse argumento é válido.

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3 - Regras de Inferência

Def. Chamam-se regras de inferência os passos utilizados na dedução

ou demonstração de um argumento.

Sendo habitual escrevê-los na forma padronizada abaixo indicada

colocando as premissas sobre um traço horizontal e, em seguida, a

conclusão sob o mesmo traço.

Notação: pq

p

q

premissas

conclusão

argumento

Regra Modus Ponens

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Definição: Os passos usados na dedução ou demonstração da

validade de um argumento são chamados regra de inferências.

1 Regra da Adição (AD) – Dada uma proposição p, dela se pode

deduzir a sua disjunção com qualquer outra proposição.

p

p v q

~ p

~p v q

( p q)

( p q) v r

2 Regra da Simplificação (SIMP) – Da conjunção p q de duas

proposições se pode deduzir uma das proposições, p ou q.

( p v q) r

p v q

p ~ q

~ q

x A x B

x A

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3 Regra da conjunção (CONJ) – Permite deduzir de duas proposições

dadas p e q a sua conjunção p q ou q p

p v q

~r

(p v q) ~ r

4 Regra da Absorção (ABS) – Dada uma condicional pq como

premissa, dela deduzir como conclusão uma outra condicional com o

mesmo antecedente p e cujo conseqüente é a conjunção das duas

proposições que integram a premissa p q.

x A x A B

x A x A x A B

x A

x B

x A x B

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5 Regra Modus Ponens (MP) – A partir de pq e p como premissas

se pode deduzir q.

p q r

p q

r

Aplicação: Verifique a validade do argumento

(1) p q

(2) p r

(3) p q

(4) p

(5) q

x A B x A

x A B

x A

p q, p r q

Simplificação 2

Modus Ponens 3,4

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6 Regra Modus Tollens (MT) – A partir das premissas pq e ~ q

deduzir ~p

q r s

~ s

~(q r)

7 Regra do Silogismo Disjuntivo (SD) – Dada a disjunção p v q de

duas proposições e a negação ~p (ou ~q) se pode deduzir a outra

proposição q ( ou p).

x 0 x = y

x y

x = 0

x=0 v x= 1

x 1

x=0

(p q) v r

~r

(p q)

~p v ~q

~~p

~q

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8 Regra do Silogismo Hipotético (SH) - Dadas duas condicionais

pq e qr, tais que o conseqüente da primeira coincide com o

antecedente da segunda se pode deduzir uma terceira condicional p r

cujo antecedente é o antecedente da condicional pq e o conseqüente

é o conseqüente de q r

=0 x = 0

x = 0 x + 1 =1

=0 x + 1 =1

~ p ~ q

~ q ~ r

~ p ~ r

(p q) r

r (q s)

(p q) (q s)

x

x

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9 Regra do Dilema Construtivo (DC) – As premissas são duas

condicionais e a disjunção dos seus antecedentes e a conclusão é a

disjunção dos conseqüentes das condicionais

p q r

s t

(p q ) v s

r v t

10 Regra do Dilema Destrutivo (DD) – As premissas são duas

condicionais e a disjunção da negação dos seus conseqüentes, e a

conclusão é a disjunção da negação dos antecedentes destas

condicionais~q r

p ~ s

~r v ~~s

~~q v ~p

x + y = 7 x = 2

y – x = 2 x = 3

x 2 v x 3

x + y 7 v y – x 2

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O método das tabelas – verdade permite demonstrar, verificarou testar a validade de qualquer argumento.

Um método mais eficiente para demonstrar, verificar ou testar avalidade de um dado argumento P1, P2, , PN Q consiste emdeduzir a conclusão Q a partir das premissas P1, P2, , PN mediante ouso de certar regras de inferência.

Exemplos:

4 - Validade Mediante Regras de Inferência

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1- Verificar que é válido o argumento: p q, p r |--q

(1) p q

(2) p r

(3) p 2 - SIMP

(4) q 1,3 - MP

2- Verificar que é válido o argumento: p q, p v r s|--p s

(1) p q

(2) p v r s

(3) p 1 - SIMP

(4) p v r 3 – AD

(5) s 2,4 - MP

(6) p s 3,5 - CONJ

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3 - Verificar que é válido o argumento: p (q r), p q, p|--r

(1) p (q r)

(2) p q

(3) p

(4) q r 1,3 – MP

(5) q 2,3 - MP

(6) r 4,5 - MP

4 - Verificar que é válido o argumento: p q, p q r, ~(p r) |-- ~p

(1) p q

(2) p q r

(3) ~(p r)

(4) p p q 1 - ABS

(5) p r 2,4 – SH

(6) p p r 5 - ABS

(7) ~ p 3,6 - MT

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5 - Verificar que é válido o argumento:

p v q r, r v q (p (s t )), p s |-- s t

(1) p v q r

(2) r v q (p (s t ))

(3) p s

(4) p 3 - SIMP

(5) p v q 4 – AD

(6) r 1,5 - MP

(7) r v q 6 – AD

(8) p (s t ) 2,7 - MP

(9) s t 4,8 - AD

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6 - Verificar que é válido o argumento:

p ~q, ~p (r ~ q), (~ s v ~r) ~ ~q, ~s |-- ~r

(1) p ~ q

(2) ~ p (r ~ q)

(3) (~ s v ~r)~ ~q

(4) ~ s

(5) ~s v ~r 4 - AD

(6) ~~ q 3,5 – MP

(7) ~ p 1,6 - MT

(8) r ~ q 2,7 – MP

(9) ~ r 6,8 - MT

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Aplicação: Verifique a validade do argumento

(1) p q r

(2) r s

(3) t ~ u

(4) t

(5) ~s v u

(6) ~u

(7) ~s

(8) ~r

(9) ~(p q )

p q r, r s, t~ u, t, ~s v u ~(pq)

3,4 -MP

5,6 - SD

1,8 - MT

2,7 - MT

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1- Regra de substituição:

Uma proposição qualquer P ou apenas uma parte de P

pode ser substituída por uma proposição equivalente, e a

proposição Q que assim se obtém é equivalente á P.

2- Equivalências Notáveis

I. Idempotente (ID):

(i) p <=> p p ; (ii) p <=> p v p

II. Comutativa (COM):

(i) p q <=> q p ; (ii) p v q <=> q v p

III. Associação (ASSOC):

(i) p (q r) <=> (p q) r ;

(ii) p v (q v r ) <=> (p v q) v p

5 - Validade Mediante Regras de Inferência e Equivalência

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IV. Distribuição (DIST) :

(i) p (q v r) <=> (p q) v (p r );

(ii) p v (q r) <=> (p v q) (p v r)

V. Dupla Negação (DN):

p <=> ~ ~ p

VI. De Morgan (DM):

(i) ~ (p q) <=> ~ p v ~ q

(ii) ~ (p v q) <=> ~ p ~ q

VII. Condicional (COND):

p q <=> ~ p v q

VIII. Bicondicional (BICOND):

(i) p q <=> (p q) (q p)

(ii) p q <=> (p q) v (~p ~q)

IX. Contrapositiva (CP):

p q <=> ~q ~ p

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X. Exportação - Importação (EI):

p q r <=> p (q r)

Exemplos

1- Demonstrar que é válido o argumento: p~q, q ~p

(1) p ~ q

(2) q

(3) ~ ~ q ~ p 1-CP

(4) q ~p 3-DN

(5) ~p 2,4 -MP

(1) p q

(2) r ~ q

(3) ~ ~ q ~ r 2-CP

(4) q ~ r 3-DN

(5) p ~ r 1,4 -SH

2 - Demonstrar que é válido o argumento: pq, r ~q p ~ r

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3 - Demonstrar que é válido o argumento: p v(qr), p v q s p v s

(1) p v (q r)

(2) p v q s

(3) (p v q) (p v r) 1-DIST

(4) p v q 3-SIMP

(5) s 2,4 –MP

(6) p v s 5 –AD

(1) (p v ~ q) v r

(2) ~p v (q ~p)

(3) (~ p v q) (~ p v ~p) 2-DIST

(4) ( ~p v q) ~p 3-ID

(5) ~ p 4–SIMP

(6) p v ( ~q v r) 1 -ASSOC

(7) ~q v r 5,6 -SD

(8) q r 7 - COND

4 - Demonstrar a validade do argumento:

(p v ~q) v r, ~p v ( q ~ p) q r

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6 – Demonstração Condicional e Demonstração Indireta

6.1 – Demonstração Condicional

Seja o argumento

P1, P2,, PN |--A B (1)

cuja conclusão é a condicional AB

Definição: O argumento

P1, P2,, PN |--A B (1)

É válido somente quando o argumento

P1, P2,, PN , A B (1)

É válido

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Obs: Para mostrar a validade de um argumento, cuja conclusão tem

forma condicional AB, basta introduzir A como uma premissa

adicional e, com esse novo argumento deduzir B.

Exemplo: Demonstre a validade do seguinte argumento

p v (q r), ~r |-- q p

De conformidade com a Regra DC para demonstração de um

argumento cuja conclusão tem forma condicional, cumpre deduzir “p” a

partir das premissas p v (q r), ~r e q, isto é, demonstrar a validade do

argumento:

p v (q r), ~r, q |-- p

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(1) p v (q r)

(2) ~ r

(3) q

(4) p v (~q v r) 1-COND

(5) (p v ~ q) v r 4-ASSOC

(6) p v ~ q 2,5–SD

(7) ~ ~q 3– DN

(8) p 6,7– SD

p v (q r), ~r, q |-- p

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Exemplo: Demonstre a validade do seguinte argumento

(y = 4 x > y) x > z

x > y v z > y y < 4 y3

y = 2 z > y

y = 2 v y = 4 y < 4 v y > 3

De conformidade com a Regra DC para demonstração de um argumento

(y = 4 x > y) x > z

x > y v z > y y < 4 y3

y = 2 z > y

y = 2 v y = 4

y < 4 v y > 3

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De conformidade com a Regra DC para demonstração de um argumento

(1) (y = 4 x > y) x > z

(2) x > y v z > y y < 4 y3

(3) y = 2 z > y

(4) y = 2 v y = 4

(5) y = 4 x > y 1 - SIMP

(6) x > y v z > y 3,4,5 - DC

(7) y < 4 y3 2,6 - MP

(8) y < 4 7 - SIMP

(9) y < 4 v y > 3 8 - AD