RELAÇÕES

É um sistema formado por dois eixos, x e y, perpendiculares entre si.

Continua

Origem

O eixo x é denominado eixo das abscissas e o eixo y é o eixo das ordenadas.

Esses eixos dividem o plano em quatro regiõeschamadas quadrantes.

Esse sistema é utilizado para localizar um ponto no plano. Assim, o ponto (a,b), indicado na figura, tem abscissa a e ordenada b.

Continuação

Definição: Dados dois conjuntos não vazios A e B, denomina-se produto cartesiano de A por B o conjunto (lê-se “A cartesiano B” ou “produto cartesiano de A por B”), cujos elementos são todos os pares ordenados , onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo, a B.

Observação: Se ou , então .

{ }( , ) | eA B x y x A y B× = ∈ ∈

A =∅ B =∅ A B× =∅

A B×

( ),x y

1)

2) O produto cartesiano não é comutativo, isto é,se , então .

3) Se e , então .

2A A A× =

A B≠ A B B A× ≠ ×

( )# A n= ( )# B m= ( )# ·A B n m× =

Considere o ponto P(a,b) no 1o quadrante. Temos que o simétrico aP com relação:

1) ao eixo x é (a,–b);

2) ao eixo y é (–a,b);

3) à origem é (–a,–b);

4) à reta bissetriz do 1o

e 3o quadrantes é (b,a).

Sejam os conjuntos A={1,2,3,4} e B={2,4,6,8}.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}1,2 , 1,4 , 1,6 , 1,8 , 2,2 , 2,4 , 2,6 , 2,8 ,

3,2 , 3, 4 , 3,6 , 3,8 , 4,2 , 4,4 , 4,6 , 4,8

A B× =

Vamos considerar, agora, alguns subconjuntosdesse produto cartesiano:

Continua

{ }1 ( , ) | 2x y AR B y x= ∈ × =

Continuação

{ }2 ( , ) |x y yR A B x= ∈ × =

Dados os conjuntos

{ }{ }

4, 3, 2, 1,0,1, 2,3,4

0, 2, 4,6,8B

A −

=

= − − −

determinar as seguintes relações de A em B:

{ }{ }{ }{ }

2

1

3

4

2

( , ) | 2

( , ) | 2 1

( , ) |

( , ) | | |

x y A B y x

x y A B y x

x y A B y x

R

R

R

R x y A B y x

= ∈ × =

= ∈ × = +

= ∈ × =

= ∈ × =

Exemplo

Sejam os conjuntos A=[1,4] e B=[2,8].

A× B ={(x, y) |1≤ x ≤ 4,2 ≤ y ≤ 8}R1={(x, y)∈ A× B | y = 2x}

R1

Definição: Seja R uma relação de A em B.

Chama-se domínio de R o conjunto de todos osprimeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R,isto é,

Denomina-se imagem de R o conjunto de todos os segundoselementos dos pares ordenados pertencentes a R, isto é,

( ) ( )Dom , .x R y B x y R∈ ⇔ ∃ ∈ ∈

( )Dom R

( )Im R

( ) ( )Im , .x R x A x y R∈ ⇔ ∃ ∈ ∈

Definição: Dada uma relação binária R de A em B, consideremos o conjunto:

Como é subconjunto de , temos que é uma relação binária de B em A. Essa relação será denominada relação inversa de R.

( ){ }1 ( , ) | , .R y x B A x y R− = ∈ × ∈

1R− B A×

Encontrar o domínio, a imagem e arelação inversa do Exemplo do Slide 14

FUNÇÕES

Sejam os conjuntos A={a,b,c,d} e B={e,f,g,h,i} e as relaçõesbinárias R1, R2, R3, R4 e R5, representadas pelos conjuntos a seguir:

Continua

Analisemos cada uma das relações:

a)

b)

c)

Continuação

Continua

( ) { }1 , ,Dom A.a b cR = ≠( ) ( )1 1Dom , ! B, tal que ,x R y x y R∀ ∈ ∃ ∈ ∈

! "significa um único"∃

( )2Dom A.R =

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

,

mas não é imagem ún

Dom , B, tal que ,

ica, pois , , e

x R y x y R

b e R b g R

∀ ∈ ∃ ∈ ∈

∈ ∈

( )3Dom A.R =

( ) ( )3 3Dom , B, tal que , x R y x y R∀ ∈ ∃ ∈ ∈

d)

e)

As relações R3, R4 e R5 apresentam a particularidade de,para todo elemento de A, associar um único elemento de B.Essas relações recebem o nome de aplicação de A em B oufunção definida em A com imagens em B ou,simplesmente, função de A em B.

Continuação

( )4Dom A.R =

( ) ( )4 4Dom , ! B, tal que , x R y x y R∀ ∈ ∃ ∈ ∈

( )5Dom A.R =

( ) ( )5 5Dom , ! B, tal que , x R y x y R∀ ∈ ∃ ∈ ∈

Definição: Dados dois conjuntos 𝐴𝐴,𝐵𝐵 ⊂ ℝ, não vazios, uma relação f de

A em B recebe o nome de aplicação de A em B ou funçãodefinida em A com imagens em B ou, simplesmente, funçãode A em B se, e somente se, para todo elemento x de Aexistir um único elemento y em B, tal que (𝑥𝑥,𝑦𝑦) ∈ 𝑓𝑓.

( )Aé função de A em B , ! B, tal q ue ,f x y x y f⇔∀ ∈ ∃ ∈ ∈

Vamos considerar, os conjuntos

𝐴𝐴 = 0,1,2,3 e 𝐵𝐵 = −1,0,1,2,3e as seguintes relações binárias de 𝐴𝐴 em 𝐵𝐵:

𝑅𝑅 = (𝑥𝑥,𝑦𝑦) ∈ 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵|𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 1𝑆𝑆 = (𝑥𝑥,𝑦𝑦) ∈ 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵|𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥2𝑇𝑇 = (𝑥𝑥,𝑦𝑦) ∈ 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵|𝑦𝑦 = 𝑥𝑥

𝑉𝑉 = (𝑥𝑥,𝑦𝑦) ∈ 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵|𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 1 2 − 1𝑊𝑊 = (𝑥𝑥,𝑦𝑦) ∈ 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵|𝑦𝑦 = 2

Analise cada uma das relações.

Exemplo:

Como toda função é uma relação binária de 𝐴𝐴 em 𝐵𝐵,existe, geralmente, uma sentença aberta 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) queexpressa a lei de correspondência entre os elementosdos dois conjuntos.

Para indicar uma função 𝑓𝑓, definida em 𝐴𝐴 com imagens em 𝐵𝐵,segundo a lei de correspondência 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), usaremos a notação:

Por motivo de simplificação, muitas vezes usaremos somente a lei de correspondência, 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), para indicar a função, ficando claro que 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 ⊂ ℝ e y ∈ 𝐵𝐵 ⊂ ℝ, sendo f uma função de A em B.

:( )

f A Bx y f x⊂ → ⊂

=

Seja uma função.

Definimos 𝐷𝐷 𝑓𝑓 = 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑓𝑓 = 𝐴𝐴 como o domínio; 𝐶𝐶𝐷𝐷 𝑓𝑓 = 𝐵𝐵 ocontradomínio e 𝐼𝐼𝐷𝐷 𝑓𝑓 ⊂ 𝐶𝐶𝐷𝐷 𝑓𝑓 = 𝐵𝐵 o conjunto imagem dafunção f.

Como a função é uma relação, esse conceito é uma extensão doanterior.Para determinar o domínio (leia-se “o maior domínio”) de umafunção procuramos qual o maior conjunto possível 𝐴𝐴 ⊂ ℝ quesatisfaça a lei de correspondência definida (lembremo-nos deque, para termos uma função, todos os elementos do conjunto Atêm de estar associados a um elemento em B).

:( )

f A Bx y f x⊂ → ⊂

=

Se (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) ∈ 𝑓𝑓, o elemento 𝑏𝑏 é chamado imagem de 𝑎𝑎 pela aplicação 𝑓𝑓 ou valor de 𝑓𝑓 no elemento 𝑎𝑎, e indicamos

𝑓𝑓 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏que se lê “𝑓𝑓 de 𝑎𝑎 é igual a 𝑏𝑏”.

Zero de uma função é todo 𝑥𝑥 cuja imagem é nula; isto é, 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 0.

𝑥𝑥 é zero de 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ⟺ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 0