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Caos

Caos

António Ornelas - 67900, Helena Marques - 67915, Joana

Duarte - 67918

Laboratório de Física Experimental Avançada

Instituto Superior Técnico

May 28, 2012

Caos

Introdução

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Caos

Introdução

Sistemas não-lineares

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Introdução

Teoria de Feigenbaum

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Introdução

Teoria de Feigenbaum

Figura: Mitchell Feigenbaum (1944 - )

Razões de convergência e constantes Universais de Feigenbaum

Bn − Bn−1

Bn+1 − Bn=

∆Bn

∆Bn+1

≡ δn em que δ = 4.6692... (1)

∆An

∆An+1

≡ αn em que α = 2.5029... (2)

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Introdução

Iteração funcional

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Introdução



x1 = f (x0)x2 = f (x1) = f (f (x0)) = f 2(x0)

Para a função logística: f (x) = λx(1− x)

Partindo de um ponto �xo da função iteradora, x0 = x∗, oresultado das sucessivas iteradas é sempre x0 pois f (x∗) = x∗ -períodica e de período 1.Partindo de um ponto que não o ponto �xo, as iteradas irãoconvergir para um ponto �xo x∗

1- período 1

Alterando λ as iteradas tendem para dois pontos �xosalternados: x∗

1, x∗

2, x∗

1, x∗

2... - período 2

E assim sucessivamente...

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Introdução


Figura: Convergência das iteradas para um e dois pontos �xos,respectivamente.

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Actividade Experimental

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Circuito RLC não-linear

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Circuito RLC não-linear

Figura: Circuito experimental.

VIN = b + a cos(ωt) (3)

C (V ) =C0(

1 + Vl

)r . (4)

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Observação da tensão aos terminais do Díodo

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Período V1 (V) V2 (V) V3 (V) V4 (V)

126.90

X X X27.0027.70

Média (V) 27.20 ± 0.33

212.50 20.70

X X12.30 21.2012.40 21.40

Média (V) 12.40 ± 0.27 21.10 ± 0.27

46.10 16.90 9.50 19.606.20 17 9.70 19.805.70 16.80 9.10 19.30

Média (V) 6.00 ± 0.20 16.90 ± 0.07 9.43 ± 0.22 19.57 ± 0.18

Tabela: Amplitude dos picos de tensão para cada duplicação de período evalores médios, com respectivos desvios médios, sobre os três ensaiosefectuados. As alturas dos picos de tensão estão registadas por ordem desucessão.

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Cálculo do valor médio e respectivo desvio médio:

Vn =3∑

i=1

Vni

3(5)

εVn =3∑

i=1

∣∣Vni − Vn

∣∣3

(6)

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Figura: Função de intervalo para o período 2 do sistema em estudo.

Padrão de resposta periódica: R̂LRLRL...

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Figura: Função de intervalo para o período 4 do sistema em estudo.

Padrão de resposta periódica: R̂LRR RLR...

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Estudo do diagrama de Bifurcações

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Figura: Diagrama de bifurcações tipo que ilustra os intervalos εn e ∆n

que permitem a obtenção das primeiras razões de convergência dasconstantes Feigenbaum, α e δ.

Tem-se que, para as razões de convergência,

αn =εnεn+1

(7)

δn =∆n

∆n+1

. (8)

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Ensaio 41 (µs) 42 (µs) ε1 (V) ε2 (V)

1 1232.5 210.0 20.5 12.8

2 1236.5 203.3 20.2 12.3

3 1246.0 227.0 20.4 12.6

Média 1238.3 ± 5.1 213.4 ± 9.0 20.37 ± 0.11 12.6 ± 2.2

Tabela: Resultados dos intervalos (tempo e tensão) medidos noosciloscópio nas duas primeiras regiões de duplicação de período

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δ1 α1

Experimental 5.80 ± 0.27 1.62 ± 0.30

Tabelado 4.669... 2.503...

Desvio à exactidão (%) 24.2 35.3

Tabela: Primeiro termo das sucessões convergentes para o δ e o α deFeigenbaum. Comparação dos valores experimentais com os tabeladosatravés do cálculo do desvio à exactidão.

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Cálculo dos erros e desvio à exactidão:

εδn =

∣∣∣∣ ∂δn∂∆n

∣∣∣∣ ε∆n +

∣∣∣∣ ∂δn∂∆n+1

∣∣∣∣ ε∆n+1 ⇔

⇔ εδn =

(1

∆n+1

)ε∆n +

(∆n

∆2n+1

)ε∆n+1

(9)

εαn =

∣∣∣∣∂αn

∂εn

∣∣∣∣ εεn +

∣∣∣∣ ∂αn

∂εn+1

∣∣∣∣ εεn+1 ⇔

⇔ εαn =

(1

εn+1

)εεn +

(εnε2n+1

)εεn+1

(10)

Desvio a exactidao =

∣∣∣∣xtabelado − xexperimental

xtabelado

∣∣∣∣ ∗ 100 (11)

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Simulação numérica em C++

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Função Logística:

f (x) = 4rx(1− x) (12)

com r,x ∈ [0, 1]

Figura: Diagrama de bifurcação da função logística.

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Figura: Ampliação do diagrama de bifurcação para r ∈ [0, 7; 1].

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Figura: Ampliação do diagrama de bifurcação para r ∈ [0, 585; 0, 91]onde é possível identi�car janelas de estabilidade no meio do caos.

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Resultados Computacionais:

Bifurcação Localização da Bifurcação ∆n δn

1 r = 0.625330.21181

- -

2 r = 0.837140.04353

4.8658

3 r = 0.880670.00928

4.6907

4 r = 0.889950.00206

4.5049

5 r = 0.892010.00045

4.5778

6 r = 0.89246 - -

Tabela: Determinação das primeiras razões de convergência da constanteδ de Feigenbaum para r ∈ [0, 1] .

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Figura: Valores de δ obtidos numericamente.

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Estudo qualitativo do Pêndulo Caótico

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Figura: Diagrama de espaço de fases de um pêndulo simples.

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Figura: Regime periódico do pêndulo - Período 1.

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Figura: Janela de estabilidade de período 3.

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Figura: Janela de estabilidade de período 6.

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Conclusão

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