Oficina de Formação

As tarefas de exploração e investigação no ensino

e na aprendizagem da Matemática

ESCOLA SECUNDÁRIA

DE CALDAS DAS

TAIPAS

2.ª Sessão

Ponte (2005) considera quatro tipos de tarefas matemáticas.

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ExploraçãoExercício

Problema Investigação

Desafio reduzido

Desafio elevado

Fechado Aberto

Tarefas Matemáticas

Os programa de Matemática e a APM recomendam, que os alunosestejam envolvidos em atividades que promovam o desenvolvimentodo pensamento matemático e não apenas na aprendizagemmecânica de regras e procedimentos.

O programa de Matemática A (DES, 2001) destaca a importância dastarefas a selecionar, as quais deverão contribuir para odesenvolvimento do pensamento científico, levando o estudante aintuir, conjeturar, experimentar, provar, avaliar e ainda para o reforçodas atitudes de autonomia e de cooperação.

Aprender Matemática não é simplesmente compreender a

Matemática já feita, mas ser capaz de descobrir, de explorar e de

investigar (Braumann, 2002).

A importância da realização de investigações matemáticas pelosalunos tem vindo a ser defendida por vários autores (e.g., Ernest,1996; Mason, 1996; Ponte et al., 2003; Santos et al., 2002) porfavorecer o envolvimento dos alunos na sua aprendizagem.

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Conclusões de alguns estudos empíricosSegurado (1997) num estudo com alunos do 6.º ano:

• As tarefas de exploração e investigação proporcionam aos alunos

um contexto rico em desafios e que os alunos se sentiram

motivados e empenhados na sua realização.

• A realização deste tipo de tarefas desenvolve nos alunos processos

de raciocínio necessários à compreensão e construção da

Matemática.

• Os alunos com o decorrer da experiência melhoraram a capacidade

de comunicação matemática, assumindo a argumentação um lugar

de destaque.

• No final do estudo, os alunos participantes alteraram, de algum

modo, as suas conceções em relação à Matemática.

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Rocha (2003) durante um estudo com alunos do 7.º ano, conclui que:

• De um modo geral, o envolvimento dos alunos em atividades deinvestigação matemática conduziu a mudanças significativas nassuas conceções e atitudes. A definição de Matemática apresentadapelos alunos passou a ter em conta aspetos como o pensamentomatemático e o processo de descoberta, deixando de a reduzir aum corpo de conhecimento construído e acabado.

• Os alunos aprenderam a valorizar os processos em detrimento dosresultados.

• Os alunos consideram-se mais autónomos em relação ao professore valorizaram o processo de construção de conhecimento no qualestavam envolvidos.

Fonseca (1999) num estudo com alunos do 8.º ano:

• Um ambiente de sala de aula onde se valorize uma metodologia detrabalho em pequeno grupo e se privilegie a resolução deproblemas e a realização de investigações matemáticas favorece o“fazer Matemática”. Promove a comunicação, a cooperação e aautonomia dos alunos.

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Fonseca (2000) no seu estudo com alunos do 10.º ano:

• Houve uma evolução dos alunos a vários níveis do discurso na sala

de aula. Passaram a envolver-se mais nas investigações, tornaram-

se mais autónomos , passaram a valorizar tanto as respostas como

os processos utilizados e a considerar várias hipóteses de resposta

para uma questão.

Azevedo (2009) num estudo com alunos do 10.º ano:

• A realização de tarefas de exploração e investigação contribuiu

para desenvolver nos alunos capacidades importantes como a

identificação de regularidades, a formulação, teste e justificação de

conjeturas e para o desenvolvimento da capacidade de

comunicação matemática.

• As discussões e reflexões sobre as tarefas permitem a clarificação

de pensamentos intuitivos e alargam o tipo de estratégias dos

alunos.

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Na realização de investigações matemáticas identificam-se quatro

etapas.

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Etapas de

uma

investigação

Exploração inicial

e a formulação de

questões

Formulação de

conjeturas

Teste e

reformulação de

conjeturas

Justificação e

prova

Etapas de uma investigação

Dinâmica de uma aula com tarefas de natureza

exploratória e investigativaUma aula com tarefas abertas tem características próprias, podendo,

de certa forma, ser influenciada por diversos fatores. Alguns deles

relacionados com a forma como a aula é planeada.

O professor ao construir/adaptar a tarefa deve ponderar diferentes

aspetos, tais como:

(1) o conteúdo matemático;

(2) os conhecimentos necessários para a realiza da tarefa;

(3) as características e especificidades do grupo turma,

nomeadamente experiências anteriores, capacidades e conhecimentos

prévios dos alunos;

(4) os recursos e materiais de apoio que podem ser usados;

(5) o currículo e alguns constrangimentos de espaço e tempo.

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Outros aspetos a ter em conta:

• O grau de estrutura da tarefa;

• O tipo de linguagem utilizada na redação dos enunciados das

tarefas. Por exemplo:

“indica se existem características comuns…” e “ investiga se existem

características comuns…”

O professor para além da seleção e adaptação das tarefas a propor

aos alunos tem que tomar um conjunto variado de opções

relacionadas com questões da organização e gestão da sala de aula.

Por exemplo:

• o modo como os alunos vão trabalhar na aula, se individualmente

se em pequenos grupos;

• a constituição dos grupos;

• a forma como a tarefa vai ser apresentada;

• o momento em que haverá trabalho em grande grupo e o modo

como vão ser confrontados os processos usados.

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Introdução da tarefa

Desenvolvimento da tarefa

Discussão dos resultados

De acordo com vários autores a estrutura de uma aula com tarefas de

natureza exploratória e investigativa envolve três fases:

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Momento extremamente importante, dele pode depender tudo o

resto, embora deva ser curto, de modo que os alunos não percam o

interesse pela tarefa.

A introdução da tarefa

É relevante que os alunos sejam informados sobre o papel que o

professor pretende desempenhar. Eles devem saber que o professor

os pode apoiar, mas que o desenvolvimento da atividade depende

principalmente da sua iniciativa.

Introdução da tarefa

Método misto

Por escrito

Oralmente

Desenvolvimento da tarefa

Deve haver o cuidado para que a aula se centre na atividade do

aluno, nas suas ideias e pesquisas.

Ao professor cabe-lhe compreender como se vai processando o

trabalho dos alunos. Apoiá-los sempre que seja necessário, tendo

contudo o cuidado de não dar as respostas.

Mesmo quando os alunos seguem caminhos que não os levarão ao

sucesso, o professor deve-lhes dar tempo para que seja a

experiência a mostrar-lhes o erro. Porém, é relevante que o professor

não deixe que uma exploração que leva ao erro se prolongue por

muito tempo, poderá provocar desmotivação.

É fundamental que os alunos se sintam à vontade, que interajam

entre si e que lhes seja dado tempo para colocarem questões,

exprimirem as suas ideias e discutirem com os colegas.

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Discussão dos resultados

Os momentos de discussão:

• são propícios para promover a reflexão acerca do trabalho

realizado e para a partilha.

• permitem clarificar ideias e desenvolver nos alunos capacidades

de comunicação matemática e de argumentação.

• permitem que os alunos estabeleçam conexões entre este tipo de

trabalho e outros conhecimentos pessoais sobre a aprendizagem

da disciplina. Muitas vezes, durante a fase de discussão, são

descobertas novas relações e formuladas novas conjeturas.

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A altura para realizar a discussão dos resultados pode ser variável.

Tanto quanto possível, deve rematar a atividade, ou ser realizada

imediatamente depois. No entanto, por vezes existe necessidade de

proporcionar momentos de discussão durante a realização da tarefa.

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Nestes momentos ao professor cabe-lhe o papel de moderador e

orientador. Ele deve garantir que sejam comunicados os resultados e

os processos encontrados e deve estimular os alunos a

questionarem-se mutuamente e a procurar convencer os outros do

valor dos seus argumentos.

Dilemas e dificuldades dos professores• Dosear o apoio a prestar aos alunos (apoiar os alunos sem dar as

respostas).

• Estabelecer o que será razoável pedir aos alunos para justificar ou

provar as suas conjeturas.

• Fazer sentir aos alunos a necessidade da prova e em definir os

limites entre o que carece de prova e o que pode ser aceite como

evidente.

• Estimular e sustentar a participação dos alunos e gerir as suas

intervenções é uma tarefa que se reveste de grande complexidade.

• Estimular o espírito crítico dos alunos (muitas vezes os alunos não

se preocupam em contestar e argumentar, assumindo que se algo

está incorrecto, o professor logo dirá).

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• Os diferentes ritmos de trabalho dos alunos ( o professor não pode

esperar pelos mais demorados todo tempo necessário. Se o fizer

corre o risco de haver uma dispersão por parte dos alunos e de

perder o controlo da aula).

• As limitações de tempo e a extensão dos programas curriculares

podem influenciar uma decisão, que de algum modo entra em

contradição com o significado de investigar ( o professor enfrenta o

dilema de dar oportunidade ou não que as ideias que surgiram

sejam discutidas).

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Fonseca (2002) ao apresentar algumas reflexões sobre um estudo

que envolveu alunos dos 2.º e 3.º anos do curso de Matemática e

Ciências da Natureza, nas disciplinas de Geometria e de

Transformações Geométricas refere que a metodologia utilizada numa

aula que envolve este tipo de atividade é:

• matematicamente difícil por não ser possível antecipar todas as

dificuldades que os alunos possam vir a ter.

• Pedagogicamente difícil, por ser necessário decidir quando

intervir e como intervir, que sugestões dar aos alunos quando

surgem situações de impasse – esperar mais algum tempo ou

lançar alguma questão que os ajude a prosseguir, assim como

gerir o tempo necessário para a realização da tarefa.

• Pessoalmente difícil, pelo facto de por vezes o professor se sentir

na posição de não saber, o que é desconfortável e pouco usual.

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Uma aula que envolve a exploração de tarefas abertas impõe novos

desafios quer a professores quer a alunos, contudo, a solução não é

voltar para a “zona de conforto” do paradigma do exercício, mas sim

actuar no novo ambiente, no qual o desafio é enfrentar o grau de

incerteza que o caracteriza.

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A autora refere que nem sempre actuou como pretendia fazê-lo.

Quando os alunos a questionavam, em vez de dar uma resposta

metacognitiva, por vezes dava a sua opinião, para além do

desejável.

As dificuldades dos alunos na realização de

explorações e investigaçõesDiversos trabalhos empíricos têm mostrado que os alunos apresentam

dificuldades nos vários processos da actividade investigativa.

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Exploração

inicialEntender a investigação como um todo tendem a dar

resposta alínea a alínea sem as relacionar entre si.

Formulação

de questões

Os alunos não formulam explicitamente questões, nem as

discutem com detalhe.

Formulação

de conjeturas

Os alunos revelam dificuldades em entender o estatuto

de uma conjetura, tendem a considerá-la como

conclusão.

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Teste de

conjeturas

Não existe na maior parte dos alunos uma preocupação

forte em testar e refinar as suas conjeturas.

Justificação

e prova

Os alunos por si sentem pouca necessidade de justificar

e provar as suas conjecturas.

Comunicação

do trabalho

realizado

Os alunos inicialmente tendem a valorizar os produtos

relativamente aos processos, reduzindo-se os seus

registos à enumeração de descobertas, sem a

apresentação de procedimentos nem justificação.

Mas, os alunos para além das dificuldades, também revelam

capacidades:

(1) no uso de estratégias geométricas e na integração destas com

estratégias aritméticas e algébricas para chegar a conjeturas;

(2) no uso de estratégias de generalização para alcançar

conjecturas;

(3) no uso de estratégias de raciocínio que indicam uma notável

flexibilidade intelectual.

O que sugere que quanto maior atenção for dada a este tipo de

trabalho na sala de aula, maior será o progresso esperado.

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