1. PROPOSIÇÃO 1.1 Conceito É todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento completo. As proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados assuntos. Ex.: a) a lua é um satélite da terra; b) Recife é a capital de Pernambuco; c) � > 3 1.2 Princípios A lógica matemática adota como regras fundamentais do pensamento os dois seguintes princípios:

(I) Princípio da não contradição: “Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo”

(II) Princípio do terceiro excluído: “Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro”.

Desta forma as proposições são expressões à respeito das quais tem sentido dizer que são verdadeiras ou falsas. Ex.: Hoje vai chover – é V ou F ? .............(Não é proposição) 1.3 Valores lógicos das proposições Chama-se valor lógico de uma proposição a verdade se a proposição é verdadeira e a falsidade se a proposição é falsa. Ex.: a) o ferro é mais pesado que a água � (V) b) o Sol gira em torno da Terra � (F) 1.4 Proposições simples e compostas 1.4.1 Proposição simples É aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. São representadas por letras latinas minúsculas chamadas letras proposicionais. Ex.: p: Pedro é careca q: Carlos é estudante r: 25 é quadrado perfeito 1.4.2 Proposição composta É aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições. São representadas por letras latinas maiúsculas, também chamadas letras proposicionais. Ex.: P: Pedro é careca e Carlos é estudante. Q: Pedro é careca ou Carlos é estudante. R: Se Carlos é estudante então é feliz.

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Obs.: 1) As proposições compostas são também chamadas de fórmulas proposicionais, ou apenas fórmulas; 2) Quando se deseja destacar que uma proposição composta P é formada pela combinação de proposições simples p, q, r, ..., escreve-se: P(p, q, r,.....) 3) As proposiçõs componentes de uma proposição composta podem ser, elas próprias, proposições compostas. 1.5 Conectivos São palavras que se utilizam para formar novas proposições a partir de outras. Ex.: P: O nº 6 é par e o nº 8 é cubo perfeito. Q: O triângulo ABC é retângulo ou isósceles. R: Não está chovendo. S: Se José é engenheiro então sabe matemática. T: O triângulo ABC é eqüilátero se e somente se tiver os ângulos internos iguais. 1.6 Tabela verdade Segundo o princípio do terceiro excluído, toda proposição simples p é (V) ou (F). Em se tratando de uma proposição composta, a determinação do seu valor lógico, se faz com base no seguinte princípio: “O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando determinado por eles”. Admitido este princípio, recorre-se a um dispositivo denominado tabela verdade, para a determinação do valor lógico de uma proposição composta dada. Ex.: 1) Uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p e q, temos:

p q 1 V V 2 V F 3 F V 4 F F

2) Uma proposição composta cujas proposições simples são p, q e r , as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, q e r são: p q r

1 V V V 2 V V F 3 V F V 4 V F F 5 F V V 6 F V F 7 F F V 8 F F F

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1.7 Notação O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim, exprime-se que p é verdadeira escrevendo: V(p) = V Analogamente: V(p) = F (quando p for falsa) Ex.: p: o sol é verde � V(p) = F Do mesmo modo, o valor lógico de uma proposição composta P indica-se por V(P). Exercícios: Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: - o nº 17 é primo - as diagonais de um paralelogramo são iguais - Fortaleza é capital do Maranhão - todo nº divisível por 5 termina em 5 - Tiradentes morreu afogado - o produto de dois nos ímpares é um nº ímpar - (3 + 5)2 = 32 + 52 - Todo homem é mortal - -1 < -7 - Todo prof. de matemática é louco 2 Operações lógicas sobre preposições Quando pensamos, efetuamos operações chamadas operações lógicas, que obedecem a regras de um cálculo denominado cálculo proposicional. A seguir alguns exemplos. 2.1 Negação (~) Chama-se negação de uma preposição p a proposição representada por “não p”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando p é falsa e é a falsidade (F) quando p é verdadeira. Assim “não p” tem o valor lógico oposto ao de p. Em símbolos: “~p” � “não p” Desta forma: ~V = F ; ~F = V ; V(~p) = ~V(p) p ~p V F F V

Ex: p: 2 + 3= 5 (V) e ~p: 2 + 3 � 5 (F) V(~p) = ~V(p) Na linguagem comum a negação efetua-se, nos casos mais simples, colocando o advérbio “não” ao verbo da proposição dada. Ex.: As negações da proposição, “p: O sol é uma estrela” podem ser: ~p: O sol não é uma estrela, ou ~p: Não é verdade que o sol é uma estrela, ou ~p: É falso que o sol é uma estrela Observação:

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A negação de “Todos os homens são elegantes” é “Nem todos os homens são elegantes” e a negação de “Nenhum homem é elegante” é “Algum homem é elegante” ou “Pelo menos um homem é elegante”. 2.2 Conjunção (∧) Chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p e q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando as proposições p e q são ambas verdadeiras e a falsidade (F) nos demais casos. Simbolicamente: “p∧q” lê-se “p e q”. O valor lógico da conjunção de duas proposições é, portanto, definido pela seguinte tabela verdade:

p q p∧q V V V V F F F V F F F F

2.3 Disjunção ( ∨ ) Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando ao menos uma das proposições p ou q é verdadeira e a falsidade (F) quando ambas são falsas. Simbolicamente: “p ∨ q” lê-se “p ou q”. O valor lógico da disjunção de duas proposições é definido pela seguinte tabela verdade:

p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F

2.4 Condicional (�) Chama-se proposição condicional uma proposição representada por “se p então q” cujo valor lógico é a falsidade (F) quando p é verdadeira e q é falsa e a verdade (V) nos demais casos. Simbolicamente: “p � q” lê-se “se p então q”. O valor lógico da condicional de duas proposições é definido pela seguinte tabela verdade:

p q p � q V V V V F F F V V F F V

Obs.: Uma condicional p�q não afirma que o conseqüente q se deduz ou é conseqüência do antecedente p. Assim, p.ex., as condicionais 7 é um nº ímpar � Brasília é uma cidade 3 + 5 = 9 � 9 > 10

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não estão afirmando que o fato de Brasília ser uma cidade se deduz do fato de 7 ser um nº ímpar ou que a proposição “9 > 10” é conseqüência da proposição “3 + 5 = 9”. O que uma condicional afirma é unicamente uma relação entre os valores lógicos do antecedente e do conseqüente, de acordo com a tabela verdade anterior. 2.5 Bicondicional (�) Chama-se proposição bicondicional uma proposição representada por “p se e somente se q” cujo valor lógico é a verdade (V) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas, e a falsidade (F) nos demais casos. Simbolicamente: “p�q” que se lê: “p se e somente se q” ou “p é condição necessária e suficiente para q” ou O valor lógico da bicondicional de duas proposições é definido pela seguinte tabela verdade:

p q p � q V V V V F F F V F F F V

Exercícios: 1) Sejam as proposições: p: está frio e q: está chovendo. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: a) ~p = f) p ∨ ~q = b) p∧q = g) ~p∧~q = c) p ∨ q = h) p�~q = d) q�p = i) p∧ ~q�p = e) p�~q = 2) Sejam as proposições: p: M é alto e q: M é elegante. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições|: a) M é alto e elegante = b) M é alto mas não é elegante = c) Não é verdade que M é baixo ou elegante = d) M não é nem alto nem elegante = e) É falso que M é baixo ou que não é elegante = 3 Tabelas verdade 3.1 Tabela verdade de uma proposição composta Dadas várias proposições simples p, q, r, ..., podemos combiná-las pelos conectivos lógicos e construir proposições compostas, tais como:

a) P(p, q) = ~p ∨ (p�q) b) Q(p, q) = (p � ~q) ∧ q c) R(p, q, r) = (p�~q ∨ r) ∧ ~(q ∨ (p� ~r))

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Então com o emprego das tabelas verdade das operações lógicas fundamentais: ~p, p∧q, p ∨ q, p�q e p�q é possível construir a tabela verdade correspondente a qualquer proposição composta dada que mostrará sua veracidade (V) ou falsidade (F). 3.2 Número de linhas de uma tabela verdade O número de linhas de uma tabela verdade dependerá do número de proposições simples que a integram. Teorema: “A tabela verdade de uma proposição composta com n proposições simples componentes contém 2n linhas”. 3.3 Construção da tabela verdade de uma proposição composta Roteiro:

1) Contar o nº de proposições simples que a integram (Ex.: se houver 4 proposições simples então a tabela verdade terá 24 = 16 linhas);

2) À 1ª proposição simples (p1) atribuem-se 2n/2 = 2n-1 valores V seguidos de 2n-1 valores F; 3) À 2ª proposição simples (p2) atribuem-se 2n/4 = 2n-2 valores V seguidos de 2n-2 valores F, e

assim por diante. Ex.: 1) No caso de uma proposição composta de 5 prop. simples componentes, a tabela verdade contém 25 = 32 linhas. Ex.: 2) Construir a tabela verdade (tv) da prop.: P(p, q) = ~ (p ∧ ~q)

Ex.: 3) Idem para: P(p, q) = ~(p ∧ q) ∨ ~ (q � p)

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3.4 Hierarquia das operações Quando não vier indicado entre parênteses ou colchetes, a “ordem de precedência” para os conectivos é: (1) ~ ; (2) ∧ e ∨ ; (3) � ; (4) � Assim, p.ex., a proposição p � q � s ∧ r é uma bicondicional e não uma condicional ou uma conjunção. Logo devemos efetuá-la como (p � q) � (s ∧ r) Ex.: 4) Construir a tv para: P(p, q, r) = p ∨ ~ r � q ∧ ~r Ex.: 5) Idem para: P(p, q, r) = (p�q) ∧ (q� r)� (p� r)

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Ex.: 6) Idem para P(p, q, r) = (p�(~q ∨ r)) ∧ ~(q ∨ (p� ~r)) 3.5 Valor lógico de uma proposição composta Dada uma proposição composta P(p, q, r, ...), pode-se sempre determinar o seu valor lógico (VL) quando são dados, ou conhecidos,os VLs respectivos das prop. componentes. Ex.: 1) Sabendo que os VLs das prop. p e q são, respectivamente, V e F, determinar o VL da proposição: P(p, q) = ~ (p ∨ q)� ~p ∧ ~q Solução: substituindo os valores tem-se ~ (V ∨ F)� ~V ∧ ~F = ~V � F∧V = F � F = V Ex.: 2) Sabendo-se que V(p) = V , V(q) = F e V(r) = F , determinar o VL de: P(p, q, r) = (q�(r� ~p )) ∨ ((~q� p)� r) Solução: (F�(F� ~V )) ∨ ((~F� V)� F) = (F�(F� F)) ∨ ((V� V)� F) = (F�V) ∨ (V� F) = F ∨ F = F Ex.: 3) Idem para V(q) = V determinar o VL de : P(p, q) = (p � q) � (~q � ~p) Solução: Ex.: 4) Idem para V(r) = V P(p, q, r) = p � ~q ∨ r Solução:

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4 Tautologias, Contradições e Contingências 4.1 Tautologia É toda proposição composta cuja última coluna de sua tv é igual à V, ou, é toda proposição composta P(p, q, r,...) cujo VL é sempre V, qualquer que seja os VLs das prop. simples componentes. Ex.:1) A proposição ~(p ∧ ~p) “Princípio da não contradição” é tautológica, pois:

p ~p p ∧~p ~(p ∧ ~p) V F F V F V F V

(Logo, dizer que uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo é verdadeiro) Ex.:2) Idem para p ∨ ~p (Princípio do 3º excluído):

p ~p p ∨ ~p V F V F V V

(Logo, dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é verdadeiro). Exercício: Verificar se a seguinte proposição é tautológica: p ∨ ~ (p ∧ q) 4.2 Contradição É toda proposição composta cuja última coluna de sua tv é igual a F, ou, é toda prop. composta P(p, q, r, ...) cujo VL é sempre F, quaisquer que sejam os VLs das prop. componentes. Como uma tautologia é sempre V, a negação de uma tautologia é sempre falsa, ou seja, é uma contradição, e vice-versa. Ex.:1) A prop. p ∧ ~ p é uma contradição, pois sua tv é:

p ~p p ∧ ~p V F F F V F

(Logo, dizer que uma prop. pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é falso)

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Ex.:2) Idem para p � ~p

p ~p p � ~p V F F F V F

Exercício: Idem para (p ∧ q) ∧ ~ (p ∨ q) 4.3 Contingência É toda proposição composta em cuja última coluna de sua tv aparecem as letras V e F cada uma pelo menos uma vez, ou, é toda prop. composta que não é tautologia nem contradição. Ex.:1) p � ~p

p ~p p � ~p V F F F V V

Exercício: p ∨ q � p

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5 Implicação Lógica 5.1 Definição Diz-se que uma prop. P(p, q, r,...) implica logicamente, ou apenas implica, uma prop. Q(p, q, r, ....) se Q (p, q, r, ...) é verdadeira (V) todas as vezes que P(p, q, r,....) é verdadeira (V), ou, em outros termos, uma prop. P(p, q, r,...) implica logicamente uma prop. Q(p, q, r,...) todas as vezes que nas respectivas tvs dessas prop. não aparece V na última coluna de P(p, q, r,..) e F na última coluna de Q(p, q, r,...), com V e F em uma mesma linha, isto é, não ocorre P(p, q, r,...) e Q(p, q, r,...) com VL simultâneos respectivamente V e F. Notação: P(p, q, r,...) � Q(p, q, r,...) Obs.: Em particular, toda proposição implica uma tautologia e somente uma contradição implica uma contradição. 5.2 Propriedades da implicação lógica Há duas propriedades: reflexiva (R) e transitiva (T), simbolicamente: (R) P� P (T) Se P � Q e Q � R então P � R Exemplo 1) As tvs das proposições p ∧ q, p ∨ q e p � q são:

p q p ∧ q p ∨ q p � q V V V V V V F F V F F V F V F F F F F V

A proposição p ∧ q é verdadeira somente na 1ª linha, o mesmo ocorrendo, nesta linha, com as proposições p ∨ q e p � q. Logo a 1ª proposição implica cada uma das outras 2 proposições, isto é: p ∧ q � p ∨ q e p ∧ q � p � q As mesmas tvs também demonstram as importantes regras de inferência: i) p � p ∨ q e q� p ∨ q (Adição) ii) p ∧ q � p e p ∧ q � q (Simplificação) Exemplo 2) As tvs das prop. p � q , p�q e q �p são:

p q p � q p�q q �p V V V V V V F F F V F V F V F F F V V V

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A prop. p � q é V nas linhas 1 e 4 e, nestas linhas, as outras prop. também são V. Logo a 1ª prop. implica cada uma das outras duas, isto é, p � q � p�q e p � q � q �p Exemplo 3) A tv da prop. (p ∨ q) ∧ ~ p é:

p q p ∨ q ~ p (p ∨ q) ∧ ~ p V V V F F V F V F F F V V V V F F F V F

Esta proposição é V somente na 3ª linha e, nesta linha, a prop. q também é V. Logo, existe a implicação lógica: (p ∨ q) ∧ ~ p � q denominada “ Regra do silogismo disjuntivo” . Outra forma desta regra de inferência é: (p ∨ q) ∧ ~ q � p Exemplo 4) A tv da prop. (p � q) ∧ p é:

p q p � q (p � q) ∧ p V V V V V F F F F V V F F F V F

Esta prop. é V somente na 1ª linha e, nesta linha, a prop. q também é V. Logo, existe a implicação lógica: (p � q) ∧ p� q denominada “ Regra Modus Ponens” . Exemplo 5) As tvs das prop. (p � q) ∧ ~q e ~p são:

p q p � q ~q (p � q) ∧ ~q ~p V V V F F F V F F V F F F V V F F V F F V V V V

A prop. (p � q) ∧ ~q é V somente na 4ª linha e, nesta linha, a prop. ~p também é V. Logo, existe a implicação lógica (p � q) ∧ ~q � ~p denominada “ Regra Modus Tollens” . As mesmas regras mostram que: ~p � p � q 5.3 Tautologias e Implicação Lógica Teorema: A prop. P(p, q, r,...) implica a prop. Q(p, q, r,...) se, e somente se, P�Q é tautologia. Exemplo 1) A prop. (p�q) ∧ (q � r) � (p�r) é tautológica (a última coluna de sua tv é V). Logo existe a implicação lógica: (p�q) ∧ (q � r) � (p�r) denominada “ Regra do silogismo hipotético” Exemplo 2) A condicional (p ∧ ~ p) � q é tautológica pois a última coluna de sua tv é V. Logo existe a implicação lógica (p ∧ ~ p) � q denominado “ Princípio da inconsistência” .

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Exemplo 3) Idem para [(p � q) ∧ p] � q . Logo [(p � q) ∧ p] � q 6 Equivalência Lógica 6.1 Definição Uma proposição P(p, q, r,...) é logicamente equivalente, ou apenas equivalente a uma proposição Q(p, q, r,...) se as respectivas tvs são idênticas. Notação: P(p, q, r,...) ⇔ Q(p, q, r,...) Obs.: Em particular, se as proposições P e Q são ambas tautologias ou ambas contradições, então são equivalentes. 6.2 Propriedades - Reflexiva (R) P ⇔ P - Simétrica (S) Se P ⇔ Q então Q ⇔ P - Transitiva (T) Se P ⇔ Q e Q ⇔ R então P ⇔ R Exercício: mostrar que as seguintes proposições são equivalentes 1) ~~p ⇔ p (dupla negação) 2) ~p→p ⇔ p (Regra de Clavius) 3) p→ p∧q ⇔ p→q (Regra da absorção) 4) p→q ⇔ ~p ∨ q 5) p↔q ⇔ (p→q) ∧ (q→p) 6) p↔q ⇔ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q) 7 Tautologias e equivalência lógica Teorema: P ⇔ Q se e somente se a bicondicional P↔↔↔↔Q é tautológica Demonstração: se P ⇔ Q, então possuem tv idênticas, logo o valor lógico da bicondicional é sempre V, isto é, é tautológica e vice-versa. Obs.: os símbolos ↔ e ⇔ são distintos, pois o 1º é de operação lógica, enquanto que o 2º é de relação (estabelece que P↔Q é tautológica). Exercícios: verificar se as seguintes proposições são equivalentes a) P = (p∧~q→c) onde c é sempre F e Q = p→q b) P = (p∧q→r) e Q = (p→(q→r))

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8 Álgebra das proposições Sejam p, q e r prop. simples quaisquer e sejam t e c prop. simples cujos VLs são V e F, respectivamente. 8.1 Propriedades da conjunção a) Idempotente: p ∧ p ⇔ p b) Comutativa: p ∧ q ⇔ q ∧ p c) Associativa: (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) d) Identidade: p ∧ t ⇔ p e p ∧ c ⇔ c Estas propriedades exprimem que t e c são, respectivamente, elemento neutro e elemento absorvente da conjunção. 8.2 Propriedades da disjunção a) Idempotente: p ∨ p ⇔ p b) Comutativa: p ∨ q ⇔ q ∨ p c) Associativa: (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r) d) Identidade: p ∨ t ⇔ t e p ∨ c ⇔ p 8.3 Propriedades da conjunção e da disjunção a) Distributivas: i) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ ( p ∧ r) ii) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) As tvs das prop. p ∧ (q ∨ r) e (p ∧ q) ∨ ( p ∧ r) são idênticas. A bicondicional “ p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ ( p ∧ r)” é tautológica. Analogamente, as tvs das proposições p ∨ (q ∧ r) e (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) são idênticas. A bicondicional “ p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)” é tautológica. Obs.: a equivalência (i) exprime que a conjunção é distributiva em relação à disjunção e a equivalência (ii) exprime que a disjunção é distributiva em relação à conjunção. Exemplos:

- Segundo (i) a proposição: “ Carlos estuda e João ouve música ou lê” é equivalente à prop. “ Carlos estuda e João ouve música ou Carlos estuda e João lê” . -Segundo (ii) a prop “ Chove ou faz vento e frio” é equivalente à prop “ Chove ou faz vento e chove ou faz frio”

b) Absorção: i) p ∧ (p ∨ q) ⇔ p ii) p ∨ (p ∧ q) ⇔ p As tvs das prop p ∧ (p ∨ q) e p são idênticas, isto é, a bicondicional p ∧ (p ∨ q) ↔ p é tautológica. Idem para p ∨ (p ∧ q) e p, isto é, a bicondicional p ∨ (p ∧ q) ↔ p é tautológica. c) Regras de De Morgan (Augustus De Morgan, matemático e lógico britânico)

i) ~ (p ∧ q) ⇔ ~ p ∨ ~ q ii) ~(p ∨ q) ⇔ ~ p ∧ ~ q

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As tvs das prop ~ (p ∧ q) e ~ p ∨ ~ q são idênticas, isto é, a bicondicional ~ (p ∧ q) ↔ ~ p ∨ ~ q é tautológica. As regras de De Morgan ensinam: a) negar que duas dadas prop são ao mesmo tempo verdadeiras equivale a afirmar que uma pelo

menos é falsa (quando se diz “ pelo menos” podem ser as duas também); b) negar que uma pelo menos de duas prop é verdadeira equivale a afirmar que ambas são falsas. Estas regras de De Morgan podem exprimir-se ainda dizendo que a negação transforma a conjunção em disjunção e a disjunção em conjunção. Exemplos:

- Segundo (i) a negação da prop “ É inteligente e estuda” é “ Não é inteligente ou não estuda” ;

- Segundo (ii) a negação da prop “ É médico ou professor” é “ Não é médico e não é professor”

Obs.: as regras de De Morgan mostram como é possível definir a disjunção a partir da conjunção e da negação, ou a conjunção a partir da disjunção e da negação.

p ∨ q ⇔ ~(~ p ∧ ~q)

p ∧ q ⇔ ~(~ p ∨ ~q) 8.4 Negação da condicional Como p → q ⇔ ~ p ∨ q temos que: ~( p → q) ⇔ ~(~ p ∨ q) ⇔ ~ ~ p ∧ ~ q ⇔ p ∧ ~ q Esta equivalência é demonstrada pelas tvs das prop ~( p → q) e ~(~ p ∨ q), que são idênticas. Obs.: a negação da condicional p → q não goza das propriedades idempotente, comutativa e associativa, pois as tvs das proposições p → p e p , p → q e q → p , (p → q) → r e p → (q → r) não são idênticas. 8.5 Negação da bicondicional Como p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p) temos que:

p↔q ⇔ (~p∨q)∧(~q∨p) ~(p↔q) ⇔ ~[(~p∨q)∧(~q∨p)] ~(p↔q) ⇔ ~(~p∨q)∨~(~q∨p)

~(p↔q) ⇔ (~~p∧~q)∨(~~q∧~p) ~(p↔q) ⇔ (p∧~q)∨(q∧~p)

Esta equivalência também é demonstrada pelas tvs das proposições ~(p↔q) e (p∧~q)∨(q∧~p) que são idênticas.

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As tvs das proposições ~(p↔q), p↔~q e ~p↔q são idênticas portanto subsistem as equivalências

~(p↔q) ⇔ p↔~q ⇔ ~p↔q

Obs.: a bicondicional não goza da propriedade idempotente, pois não são idênticas as tvs das proposições p↔p e p, mas goza das proposições comutativa e associativa. 9 Método dedutivo 9.1 Introdução Todas as implicações e equivalências foram demonstradas até aqui pelo “ método das tabelas-verdade” . Vamos agora exemplificar a demonstração de implicação e equivalências por um método mais eficiente chamado “ método dedutivo” . Em seu emprego desempenham papel importante as equivalências relativas à “ álgebra das proposições” que, observamos, subsistem quando as proposições simples p, q, r, t(verdadeira) e c(falsa), que nelas figuram, são substituídas respectivamente por proposições compostas P, Q, R, T(tautologia) e C(contradição). Exemplos: Demonstrar as implicações: 1) c � p p � t 2) p ∧ q � p (simplificação) 3) p � p ∨ q (adição) 4) (p → q) ∧ p � q (Modus Ponens)

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5) (p → q) ∧ ~q � ~p (Modus Tollens) 6) (p ∨ q) ∧ ~p � q (Silogismo disjuntivo) 7) (p ∧ q) � (p ∨ q) 8) p � q → p 9) p � ~p → q 10) p → q � (p ∧ r) → q 11) p → q ⇔ p ∧ ~q → c (Redução a absurdo)

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12) p → q ⇔ (p ∨ q) → q 13) (p → q) ∧ (p → ~q) ⇔ ~p 14) p ∧ q → r ⇔ p → (q → r) (Exportação-Importação) 15) (p → r) ∧ (q → r) ⇔ p ∨ q → r 16) (p → q) ∨ (p → r) ⇔ p → q ∨ r 17) (p → r) ∨ (q → s) ⇔ (p ∧ q) → (r ∨ s)

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9.2 Redução do número de conectivos Entre os cinco conectivos fundamentais (~, ∧, ∨, → e ↔), três exprimem-se em termos de apenas dois dos seguintes pares: (1) ~ e ∨ (2) ~ e ∧ (3) ~ e → Exemplos: (1) ∧ , → e ↔ exprimem-se em termos de ~ e ∨:

a) p ∧ q ⇔ ~~p ∧ ~~q ⇔ ~(~p ∨ ~q) b) p → q ⇔ ~p ∨ q c) p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p) ⇔ ~(~(~p ∨ q) ∨ ~(~q ∨ p))

(2) ∨ , → e ↔ exprimem-se em termos de ~ e ∧:

a) p ∨ q ⇔ ~~p ∨ ~~q ⇔ ~(~p ∧ ~q) b) p → q ⇔ ~p ∨ q ⇔ ~(p ∧ ~q) c) p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p) ⇔ ~(p ∧ ~q) ∧ ~(~p ∧ q)

(3) ∧ , ∨ e ↔ exprimem-se em termos de ~ e →:

a) p ∧ q ⇔ ~(~p ∨ ~q) ⇔ ~(p → ~q) b) p ∨ q ⇔ ~~p ∨ q ⇔ ~p → q c) p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p) ⇔ ~((p → q) → ~(q → p))

Obs.:

- os conectivos ∧, ∨ e → não se exprimem em termos de ~ e ↔; - o conectivo ∨ exprime-se em função unicamente de → pela equivalência:

p ∨ q ⇔ (p → q) → q 9.3 Forma normal das proposições Diz-se que uma proposição está na forma normal (FN) se e somente se, quando muito, contém os conectivos ~, ∧ e ∨. Por exemplo, estão na FN as seguintes proposições: ~p ∧ ~q , ~(~p ∨ ~q) , (p ∧ q) ∨ (~q ∨ r). Toda proposição pode ser levada para uma FN equivalente pela eliminação dos conectivos → e ↔, se existirem, isto é, pela substituição de p → q por ~p ∨ q e de p ↔ q por (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q). Há duas espécies de FN para uma proposição: a forma normal conjuntiva (FNC) e a forma normal disjuntiva (FND).

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9.4 Forma normal conjuntiva (FNC) Diz-se que uma proposição está na FNC se, e somente se, são verificadas as seguintes condições: (1) Contém, quando muito, os conectivos ~ , ∧ e ∨; (2) O conectivo ~ não aparece repetido (como ~~) e não tem alcance sobre ∧ e ∨ (isto é, só incide

sobre letras proposicionais); (3) O conectivo ∨ não tem alcance sobre ∧ (isto é, não há componentes do tipo p ∨ (q ∧ r). Por exemplo, estão na FNC as seguintes proposições: ~p ∨ ~q ; ~p ∧q ∧ r ; (~p ∨ q) ∧ (~q ∨ ~ r) Para toda proposição pode-se determinar uma FNC equivalente mediante as seguintes transformações: i) eliminando os conectivos → e ↔ pela substituição de p → q por ~p ∨ q e de p ↔ q por (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q); ii) eliminando negações repetidas e parênteses precedidos de ~ pelas regras da “ dupla negação” e de “ De Morgan” ; iii) substituindo p ∨ (q ∧ r) e (p ∧ q) ∨ r pelas suas equivalentes respectivas (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) e (p ∨ r) ∧ (q ∨ r). Exemplo: Determinar a FNC da proposição ~(((p ∨ q) ∧ ~q) ∨ (q ∧ r)) Solução: ⇔ ~((p ∨ q) ∧ ~q) ∧ ~(q ∧ r) ⇔ (~(p ∨ q) ∨ ~~q) ∧ (~q ∨ ~r) ⇔ ((~p ∧ ~q) ∨ q) ∧ (~q ∨ ~r) ⇔ (~p ∨ q) ∧ (~q ∨ q) ∧ (~q ∨ ~r) (já é uma FNC) Obs.: uma outra FNC da proposição dada é: (~p ∨ q) ∧ (~q ∨ ~r), equivalente à anterior. Assim sendo, uma mesma proposição pode ter mais de uma FNC, mas equivalentes. 9.5 Forma normal disjuntiva (FND) Diz-se que uma proposição está na forma normal disjuntiva (FND) se, e somente se, são verificadas as seguintes condições: (1) Contém, quando muito, os conectivos ~, ∧∧∧∧ e ∨∨∨∨ ; (2) O conectivo ~ não aparece repetido (como ~~)e não tem alcance sobre ∧∧∧∧ e ∨∨∨∨ (isto é, só incide

sobre letras proposicionais); (3) O conectivo ∧∧∧∧ não tem alcance sobre ∨∨∨∨ (isto é, não há componentes do tipo p ∧ (q ∨ r)). Exemplificando, estão na FND as seguintes proposições: ~p ∨ q , p ∨ (~q ∧ r) , (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ ~q ∧ r) Para toda proposição pode-se determinar uma FND equivalente mediante as seguintes transformações:

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i) eliminando os conectivos → e ↔ mediante a substituição de p → q por ~p ∨ q e de p ↔ q por (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q);

ii) eliminando negações repetidas e parêntesis precedidos de ~ pelas regras da “ dupla negação” e de “ De Morgan” ;

iii) substituindo p ∧ (q ∨ r) e (p ∨ q) ∧ r pelas suas equivalentes respectivas (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) e (p ∧ r) ∨ (q ∧ r).

Exemplo, determinar a FND da proposição: (p → q) ∧ (q → p) Solução: (~p ∨ q) ∧ (~q ∨ p) ⇔ ((~p ∨ q) ∧ ~q ) ∨ ((~p ∨ q) ∧ p ⇔ (~p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~q) ∨ (~p ∧ p) ∨ (p ∧ q) Obs.: uma outra FND da proposição dada é (~p ∧ ~q) ∨ (p ∧ q), equivalente à anterior. Desta forma, uma mesma proposição pode ter mais de uma FND, mas equivalentes. 10 Argumentos Sejam P1, P2,.....,Pn (n ≥ 1) e Q proposições quaisquer, simples ou compostas. Chama-se argumento toda afirmação de que uma dada seqüência finita P1, P2,.....,Pn (n ≥ 1) de proposições tem como conseqüência, ou acarreta, uma proposição final Q. As proposições P1, P2,....., Pn chamam-se premissas, e a proposição final Q chama-se conclusão. Um argumento de premissas P1, P2,.....,Pn e de conclusão Q indica-se por; P1, P2,.....,Pn |---- Q e se lê: i) P1, P2,.....,Pn acarretam Q; ii) Q decorre de P1, P2,.....,Pn ; iii) Q se deduz de P1, P2,.....,Pn ; iv) Q se infere de P1, P2,.....,Pn Um argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão chama-se silogismo. 10.1 Validade de um argumento Um argumento P1, P2,.....,Pn |---- Q diz-se válido se, e somente se, a conclusão Q é verdadeira todas as vezes que as premissas são verdadeiras. Em outros termos, um argumento P1, P2,.....,Pn |---- Q é válido se, e somente se, for V o VL da conclusão Q todas as vezes que as premissas P1, P2,.....,Pn forem V. Um argumento não válido é chamado de sofisma. 10.2 Critério de validade de um argumento Um argumento P1, P2,.....,Pn |---- Q é válido se e somente se a condicional abaixo for tautológica

P1 ∧ P2 ∧ ..... ∧ Pn → Q Desta forma, dado um argumento qualquer, P1, P2,.....,Pn |---- Q, a este argumento corresponde a condicional P1∧ P2 ∧.....∧ Pn → Q cujo antecedente é a conjunção das premissas e cujo conseqüente é a conclusão, denominada “ condicional associada” ao argumento dado (e vice-versa).

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Exemplos: 1) A condicional associada ao argumento p ∧ ~q , p → ~r , q ∨ ~s |------ ~(r ∨ s) é: (p ∧ ~q) ∧ (p → ~r) ∧ (q ∨ ~s) → ~(r ∨ s) 2) O argumento correspondente à condicional (p → q ∨ r) ∧ ~s ∧ (q ∨ r → s) → (s → p ∧ ~q) é

p → q ∨ r , ~s , q ∨ r → s |------ s → p ∧ ~q 10.3 Argumentos válidos fundamentais I) Adição (AD):

i) p |----- p ∨ q ii) p |----- q ∨ p isto é: p → p ∨ q e p → q ∨ p são tautologias. II) Simplificação (SIMP): i) p ∧ q |----- p ii) p ∧ q |----- q isto é: (p ∧ q) → p e (p ∧ q) → q são tautologias. III) Conjunção (CONJ) i) p , q |-----p ∧ q ii) p , q |---- q ∧ p IV) Absorção (ABS): p → q |---- p → (p ∧ q) isto é: (p → q) → (p → (p ∧ q)) é tautologia V) Modus Ponens (MP): p → q , p |----- q isto é: (p → q) ∧ p → q é tautologia VI) Modus Tollens (MT): p → q , ~q |----- ~p isto é: (p → q) ∧ ~q → ~p é tautologia

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VII) Silogismo Disjuntivo (SD): i) p ∨ q , ~p |---- q ii) p ∨ q , ~q |---- p isto é: (p ∨ q) ∧ ~p → q e (p ∨ q) ∧ ~q → p são tautologias VIII) Silogismo Hipotético (SH): p → q , q → r |---- p → r isto é: (p → q) ∧ (q → r) → (p → r) é tautologia IX) Dilema Construtivo (DC): p → q , r → s , p ∨ r |--- q ∨ s isto é: (p→ q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r) → (q ∨ s) é tautologia X) Dilema Destrutivo (DD): p → q , r → s , ~q ∨ ~s |--- ~p ∨ ~r isto é: [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (~q ∨ ~s)] → (~p ∨ ~r) é tautologia.