Aritmetica2009/6/29page 1Estilo OBMEP________Iniciao AritmticaAbramo HefezAritmetica2009/6/29page 2Estilo OBMEP________Texto j revisado pela nova ortograa.Aritmetica2009/6/29page 3Estilo OBMEP________Sobre o AutorAbramoHefeznasceunoEgito, mas brasileiropor opoeca-riocadecorao. Cursouoginasial ecientconoRiodeJaneiro,graduou-senaPUC-RioemMatemticaeprosseguiuseusestudosna Universidade de Pisa, Itlia e nos Estados Unidos, doutorando-se,em Geometria Algbrica no Massachusetts Institute of Technology. Professor Titular no Instituto de Matemtica da Universidade FederalFluminense, onde exerce docncia na graduao e na ps-graduaoe desenvolve atividade de pesquisa.Aritmetica2009/6/29page 4Estilo OBMEP________Aritmetica2009/6/29page iEstilo OBMEP________PrefcioO nosso objeto de estudo neste pequeno livro, aos alunos premia-dos que participam do Programa de Iniciao Cientca da OBMEP, o conjunto dos nmeros inteiros e algumas de suas propriedades.Os nmeros inteiros so obtidos estendendo os nmeros naturais eesses so os mais simples de todos os nmeros, mas ao mesmo tempomuito ricos em problemas. Voc ver ao longo do texto alguns dessesproblemas, muito fceis de enunciar, mas ainda no resolvidos e comcertezasemaravilhardecomo, apesardoserhumanoestarestu-dandoosnmerosnaturaishvriosmilnios, elesaindaencerremgrandes mistrios a serem desvendados.Nessasnotas, almdepossivelmenteestarvendopelaprimeiravezanoodecongruncia, vocrevisitarasnoesdemltiplo,dedivisor, denmeroprimo, demnimomltiplocomumedem-ximo divisor comum, e estudar algumas de suas propriedades. Muitoprovavelmente voc ainda no estudou esses conceitos com o grau deformalizaoqueencontraraqui, masqueaindanorepresentaomaior rigor possvel, pois nos permitiremos fazer dedues por analo-giaeporinduoemprica(isto, estabelecerregrasgeraisatravsiAritmetica2009/6/29page iiEstilo OBMEP________iida anlise de um nmero nito de casos). Essas dedues podem setransformar em verdadeiras demonstraes utilizando-se o Princpiode Induo Matemtica,que assunto de um outro texto do autor,publicado nesta coleo e destinado aos alunos do nvel III.Estetextonoexistirianofosseodesaolanadopor SuelyDruck,DiretoraAcadmicadaOBMEP,aquemagradeocalorosa-mente pela preciosa oportunidade de me dirigir aqui a vocs.Agradeo tambm ao colega Dinamrico Pombo por sua leitura cuida-dosa do manuscrito original.Finalmente, espero que voc aprecie o material aqui apresentadoe que faa de seu estudo uma atividade prazerosa. Bom divertimento!Niteri, maro de 2009.O AutorAritmetica2009/6/29page iiiEstilo OBMEP________Sumrio1 Os Nmeros Naturais 11.1 Os Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Adio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Subtrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Mltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Multiplicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7 Mltiplos Comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.8 Potenciao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Representao dos Naturais 232.1 O Sistema Decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Critrios de Multiplicidade de 2, 5 e 10 . . . . . . . . . 262.3 Critrios de Multiplicidade de 9 e de 3 . . . . . . . . . 292.4 Nmeros Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31iiiAritmetica2009/6/29page ivEstilo OBMEP________iv2.5 O Crivo de Eratstenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.6 Teorema Fundamental da Aritmtica. . . . . . . . . . 383 Os Inteiros e suas Propriedades 423.1 Os Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2 Mltiplos Inteiros de um Nmero . . . . . . . . . . . . 453.3 Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4 Algoritmo da Diviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.5 Par ou mpar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.6 Zero, Um ou Dois? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.7 Mnimo Mltiplo Comum . . . . . . . . . . . . . . . . 623.8 Algoritmo do mdc de Euclides . . . . . . . . . . . . . . 663.9 Aplicaes da Relao de Bzout . . . . . . . . . . . . 703.10Equaes Diofantinas Lineares . . . . . . . . . . . . . . 754 A Aritmtica dos Restos 814.1 Congruncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2 Critrios de Multiplicidade e Restos . . . . . . . . . . 844.3 Congruncias e Somas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.4 Congruncias e Produtos . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.5 Algumas Aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.6 Aritmtica Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965 Problemas Suplementares 99Aritmetica2009/6/29page 1Estilo OBMEP________Captulo 1Os Nmeros Naturais1.1 Os NaturaisOsnmerosnaturaisformamumconjuntocujoselementossodescritos de modo ordenado como segue:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, . . .ou ainda, de modo mais sugestivo:_1- _2- _3- _4- _5- _6- _7- _8- _9- _10- . . .Essa descrio no completa, pois s explicitamos alguns poucosde seus elementos, guardando o restante na nossa imaginao.No entanto, todos ns sabemos perfeitamente do que estamos fa-lando. Tudo comea com o nmero um, simbolizado por 1, que repre-1Aritmetica2009/6/29page 2Estilo OBMEP________2CAP. 1: OS NMEROS NATURAISsenta a unidade, e com uma lei, simbolizada pelas echas, que a cadanmero,comeando pelo1,fornece o seu sucessor,isto ,o nmeroque lhe segue.Sabemos tambm que esta sequncia nunca termina; ou seja,osnmeros naturais so em quantidade innita.Cadaelementodesseconjuntotemdeserobviamenterepresen-tadopor umsmbolodistinto. Comofazer istodemodoapodermemorizar todos esses smbolos? Aresposta, muitoengenhosa, dadapelaadoodeumsistemadenumerao, quenonossocaso o sistema decimal posicional, que ser descrito no prximo captulo.Assim, por exemplo, sabemos que nesse sistema sucedendo o 10 vemo 11 e sucedendo o 999 vem o 1 000 etc.Os nmeros naturais permitem contar objetos, inclusive subcon-juntos doprprioconjuntodos naturais. Por exemplo, de 1a n,inclusive, existem exatamenten nmeros naturais.1.2 OrdemQuando um nmeroa aparece na sequncia,acima mencionada,antesdonmerob, ouseja, esquerdade b, escrevemos a a e dizemosqueb maior do quea.. . .- _a-. . .- _b-. . .Por exemplo, 1 < 2, 5 < 7, 9 > 6 etc.EssarelaoqueordenaosnmerosnaturaistemclaramenteaAritmetica2009/6/29page 3Estilo OBMEP________ SEC. 1.2: ORDEM 3seguinte propriedade transitiva:Sea aparece antes deb e b aparece antes dec, entoa apareceantes dec.. . .- _a-. . .- _b-. . .- _c-. . .Em smbolos:Se a < b e b < c, entoa < c.Escreveremos tambma b para representar a situao:a < b ou a = b.Por exemplo, temos que 2 3 e tambm que 2 2.Aordemnos naturais total, oque signicaque dados doisnmeros naturaisa eb temos vericada uma e apenas uma das trsseguintes possibilidades (tricotomia):a < b, a = b, ou a > b.Sejam dados dois nmeros naturais a e b com a < b. Denimos osseguintes conjuntos:[a, b] o conjunto dos nmeros naturaisx tais quea x b,(a, b) o conjunto dos nmeros naturaisx tais quea < x < b,Aritmetica2009/6/29page 4Estilo OBMEP________4CAP. 1: OS NMEROS NATURAIS(a, b] o conjunto dos nmeros naturaisx tais quea < x b,[a, b) o conjunto dos nmeros naturaisx tais quea x < b.O primeiro e o segundo conjunto so chamados, respectivamente,de intervalo fechadoe intervalo aberto. Os dois outros conjuntosso chamados indiferentemente de intervalos semiabertos, ou semife-chados.Exemplos:O intervalo (2, 5) = {3, 4}:_1- _2- ___3- ___4- _5- _6- _7- _8- _9- _10-O intervalo (2, 5] = {3, 4, 5}:_1- _2- ___3- ___4- __ _5- _6- _7- _8- _9- _10-O intervalo [2, 5) = {2, 3, 4}:_1- ___2- ___3- ___4- _5- _6- _7- _8- _9- _10-O intervalo [2, 5] = {2, 3, 4, 5}:_1- ___2- ___3- ___4- __ _5- _6- _7- _8- _9- _10-Problema 1.1. Determine os elementos dos seguintes intervalos:(2, 3), (2, 3], [2, 3), [2, 3], (3, 7), (3, 7], [3, 7) e [3, 7].Umapropriedadecaractersticaefundamental doconjuntodosAritmetica2009/6/29page 5Estilo OBMEP________ SEC. 1.3: ADIO 5nmerosnaturais, quenoprocuraremosjusticarporparecertobvia, a seguinte:Princpio da Boa Ordem.Todo subconjunto no vazio do conjuntodos nmeros naturais possui um menor elemento.A armao acima signica que dado um subconjunto A de N, novazio, existe um elemento a de A tal que a b, para todo elemento bdeA.Problema 1.2.Determine o menor elemento de cada um dos seguin-tes conjuntos: [2, 8], (2, 8], (3, 5), (3, 4), [3, 7] [2, 5], [3, 7] [2, 5].1.3 AdioVamos a seguir introduzir a operao bsica nos naturais.Sejadadoumnmeronatural a, osucessordeasertambmrepresentado pora + 1:. . .-`_a-`_a + 1-. . .Sejamdadosdoisnmerosnaturais ae b, quaisquer. Podemosdeslocara deb posies para a direita, obtendo um nmero que serdenotado por a+b. Essa operao entre nmeros naturais chamadade adio e o nmeroa + b chamado soma dea eb.. . .-`_a-`_a + 1-`_a + 2-. . . -`_a + b-. . .Aritmetica2009/6/29page 6Estilo OBMEP________6CAP. 1: OS NMEROS NATURAISPorexemplo, dados a=2e b =3, aodeslocarmos adetrsposies para a direita, obtemos a sequncia2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4, 4 + 1 = 5,obtendo assim o nmero 2 + 3 = 5.Agora,suponha que deslocamosb = 3 dea = 2 posies para adireita, obtemos3, 3 + 1 = 4, 3 + 2 = 5,logo, tambm, 3 + 2 = 5.Portanto,2 + 3 = 3 + 2 = 5.Este fato no uma mera coincidncia, ocorre sempre!Propriedade comutativa da adio. Quaisquer que sejam os n-meros naturaisa eb, temos quea + b = b + a.Esse fato, devido nossa experincia com os nmeros, nos parecebvio, mas voc teria alguma ideia de como mostrar que ao deslocar apara a direita deb posies alcana-se o mesmo nmero que deslocarb para a direita dea posies?Vamos agora introduzir um smbolo para representar o no deslo-camentodeumnmero. DiremosquedeslocamosumnmeroadeAritmetica2009/6/29page 7Estilo OBMEP________ SEC. 1.3: ADIO 7zeroposiesparaadireitaquandonoomovemosdoseulugar.Escreveremos, neste caso,a + 0 = a.Vamos colocar o smbolo 0, chamado zero, esquerda de todos osnmeros naturais, obtendo o conjunto ordenado:_0- _1- _2- _3- _4- _5- _6- _7- _8- _9-. . .Portanto, consideraremos 0 < a, para todo nmero naturala.Denotaremos o conjunto acima por N, continuando a cham-lo deconjunto (ampliado) dos nmeros naturais.Sedeslocarmosagora0de1posioparaadireita, obtemosonmero 1, se o deslocarmos de 2 posies direita, obtemos 2, se odeslocarmos de 3 posies direita obtemos 3. Portanto, intuitivoaceitar que se deslocarmos 0 de a posies direita obtemos o nmeroa. Finalmente, claro que 0 + 0 = 0, pois ao no deslocarmos o zeronos mantemos no zero. Portanto, para todoa no conjunto N, temosque0 + a = a = a + 0.Assim, quaisquer que sejama eb no conjunto N (incluindo agorao elemento 0), temos quea + b = b + a.Podemos estender a soma para uma quantidade de nmeros maiordo que dois. Por exemplo, para somar trs nmeros a, b e c, podemosAritmetica2009/6/29page 8Estilo OBMEP________8CAP. 1: OS NMEROS NATURAISproceder da seguinte forma: somamos inicialmentea eb, formando onmero (a + b), depois somamos esse novo nmero comc, obtendo onmero (a+b) +c. Por exemplo dados 3, 5 e 6, formaramos 3+5 = 8e o somaramos com 6 obtendo (3 + 5) + 6 = 8 + 6 = 14.Por outro lado, poderamos somar a com (b+c), obtendo o nmeroa+(b+c). No exemplo acima, isso nos daria 3+(5+6) = 3+11 = 14.Acontece que a adio tem tambm a seguinte propriedade:Propriedadeassociativadaadio. Quaisquer que sejam os n-merosa,b ec de N, tem-se(a + b) + c = a + (b + c).Problema 1.3. Utilizando as propriedades comutativa e associativada adio, mostre que os 12 modos de somar trs nmerosa, b ec:(a+b) +c, a+(b +c), (a+c) +b, a+(c +b), (b +a) +c, b +(a+c),(b +c) +a, b +(c +a), c +(b +a), (c +a) +b, c +(a +b), (c +b) +a,do o mesmo resultado.Adio e Ordem.H uma relao de compatibilidade entre a ordeme a adio de nmeros naturais, que a seguinte:Dados trs nmeros naturaisa, b ec quaisquer,se a < b, ento a + c < b + c.Aritmetica2009/6/29page 9Estilo OBMEP________ SEC. 1.3: ADIO 9Defato, seaestesquerdadeb, entoaodeslocarmosaebsimultaneamente de c posies direita, no difcil aceitar que a+cse mantm esquerda deb + c.. . .-`_a-`_a + 1-`_a + 2-. . .-`_b-`_b + 1-`_b + 2-. . .A propriedade acima admite uma recproca, ou seja:Dados trs nmeros naturaisa, b ec, quaisquer,se a + c < b + c, ento a < b.Prova-seestapropriedadeutilizandoatricotomia. Defato, su-ponhamosquea + c 1.Dene-se tambm 0n= 0, para todon = 0.Exemplo: 20= 1, 21= 2, 22= 2 2 = 4, 23= 8, 02= 0 etc.Observao. Fica de fora 00, que no denido.Problema 1.25.Convena-se de que a potenciao possui as seguin-tes propriedades:(a) 1n= 1; (b)anam= an+m;(c) (an)m= anm; (d)anbn= (ab)n.Existem tambm frmulas para escrever a potncia de uma soma.Por exemplo,(a + b)2= a2+ 2ab + b2,(a + b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3,(a + b)4= a4+ 4a3b + 6a2b2+ 4ab3+ b4.Aritmetica2009/6/29page 22Estilo OBMEP________22CAP. 1: OS NMEROS NATURAISEm geral, (a+b)nse escreve como a soma dos produtos de potn-ciasaibj, ondei + j = n, multiplicados por certos nmeros naturais.Estafrmulageralquenoapresentaremosaquichamadadefr-muladobinmiodeNewton. Paramaioresinformaessobreestafrmula, veja o texto sobre induo do autor, j citado anteriormentee listado na bibliograa no nal do livro.Problema 1.26. Desenvolva (a + b)5.Aritmetica2009/6/29page 23Estilo OBMEP________Captulo 2Representao dos Naturais2.1 O Sistema DecimalOs nmeros naturais foram representados ao longo da histria devriosmodosdistintos. Omodouniversalmenteutilizadonaatuali-dade a representao decimal posicional. Esse sistema, variante dosistema sexagesimal utilizado pelos babilnios h cerca de 1 700 anosantes de Cristo, foi desenvolvido na China e na ndia. Nesse sistema,todo nmero natural representado por uma sequncia formada pelosalgarismos0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.Por serem 10 esses algarismos,o sistema chamado de decimal.O sistema tambm dito posicional, pois cada algarismo, alm de seuvalor intrnseco, possui um peso que lhe atribudo em funo de suaposio dentro da sequncia. Esse peso uma potncia de 10 e varia23Aritmetica2009/6/29page 24Estilo OBMEP________24CAP. 2: REPRESENTAO DOS NATURAISdo seguinte modo:Oalgarismodaextremadireitatempeso100=1; oseguinte,sempre da direita para a esquerda, tem peso 101= 10; o seguinte tempeso 102= 100; o seguinte tem peso 103= 1 000 etc.Assim, o nmero 1 458, no sistema decimal representa o nmero1 103+ 4 102+ 5 10 + 8.Os zeros esquerda em um nmero so irrelevantes, pois por exem-plo,0231 = 0 103+ 2 102+ 3 10 + 1 = 2 102+ 3 10 + 1 = 231.Cadaalgarismodeumnmeropossui umaordem, contadadadireita para a esquerda. Assim, no exemplo acima, o 8 de primeiraordem, o 5 de segunda ordem, o 4 de terceira ordem e o 1 de quartaordem.Cadatrsordens, tambmcontadasdadireitaparaaesquerda,constituem uma classe. As classes so usualmente separadas por umponto. A seguir, damos os nomes das primeiras classes e ordens:Classe das Unidadesunidades 1aordemdezenas 2aordemcentenas 3aordemClasse do Milharunidades de milhar 4aordemdezenas de milhar 5aordemcentenas de milhar 6aordemAritmetica2009/6/29page 25Estilo OBMEP________ SEC. 2.1: O SISTEMA DECIMAL 25Classe do Milhounidades de milho 7aordemdezenas de milho 8aordemcentenas de milho 9aordemProblema 2.1.Determine a soma de todos os mltiplos de 6 que seescrevem no sistema decimal com dois algarismos.Problema2.2. Fixetrsalgarismosdistintosediferentesdezero.Forme os seis nmeros com dois algarismos distintos tomados dentreos algarismos xados. Mostre que a soma desses nmeros igual a 22vezes a soma dos trs algarismos xados.Problema 2.3.Nos tempos de seus avs no existiam as calculadoraseletrnicas e por isso eram ensinadas vrias regras de clculo mental.Uma delas era a seguinte:Seja a umnmero natural cujo algarismo da unidade 5,ou seja, a = 10q+5, comq umnmero natural. Mostre quea2=100q(q+ 1) + 25. Comisto, ache umaregraparacalcularmentalmente o quadrado dea. Aplique a sua regra para calcular osquadrados dos nmeros; 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95, 105e 205.Problema2.4. Qual o menor nmero de dois algarismos?E qualomaior? Quantos soos nmeros dedois algarismos? Quantosalgarismos precisa-se para escrev-los?Problema2.5. Quantosalgarismossousadosparanumerarumlivro de 300 pginas?Quantas vezes usa-se cada algarismo?Curiosidade. Existeumafrmulainteressanteparadescreveron-meroQ(x) de algarismos necessrios para escrever todos os nmerosAritmetica2009/6/29page 26Estilo OBMEP________26CAP. 2: REPRESENTAO DOS NATURAISnaturais de 0 ax, no sistema decimal:Q(x) = n(x + 1) (10n1+ + 10),onden o nmero de algarismos dex (cf. RevistadoProfessordeMatemtica, n. 5, p. 32).Utilize esta frmula para conferir a sua resposta ao Problema 2.5.2.2 Critrios de Multiplicidade de 2, 5 e 10Critrios de multiplicidade so alguma regras prticas para decidirse um dado nmero mltiplo de algum outro prexado.A seguir, veremos alguns desses critrios.Seja dado um nmeron escrito no sistema decimal comon = nr n1n0 = nr10r+ + n110 + n0.Podemos ento escrevern = (nr10r1+ + n1)10 + n0,onden0 o algarismo das unidades den.Reciprocamente, se n da forma n = 10m+n0, onde n0 um dosalgarismos de 0 a 9, enton0 o algarismo das unidades den.Problema 2.6.Mostre que o algarismo das unidades de um quadradoperfeito, isto , um nmero da forma a2, onde a um nmero natural,Aritmetica2009/6/29page 27Estilo OBMEP________ SEC. 2.2: CRITRIOS DE MULTIPLICIDADE DE 2, 5 E 10 27s pode ser 0, 1, 4, 5, 6 ou 9.Critrio de multiplicidade de 2.Inicialmente, consideremos a tabela:2 0 = 0 2 5 = 10 = 10 + 02 1 = 2 2 6 = 12 = 10 + 22 2 = 4 2 7 = 14 = 10 + 42 3 = 6 2 8 = 16 = 10 + 62 4 = 8 2 9 = 18 = 10 + 8Notequetodonmeroacimaummltiplode10somadocomum dos nmeros: 0, 2, 4, 6, ou 8.Suponha agora que um dado nmero naturaln seja par, ou seja,n=2m, onde mumnmeronatural. Escrevendomdaformam10 + m0, ondem0 o algarismo das unidades dem, temosn = 2(m10 + m0) = 2m10 + 2m0.Sendo 2m0um dos nmeros da tabela, temos que ele um ml-tiplode10somadocomumdosnmeros: 0, 2, 4, 6, ou8. Logo,n = 2m10 +2m0 um mltiplo de 10 somado com um dos nmeros:0, 2, 4, 6, ou 8, e, portanto, o seu algarismo das unidades 0, 2, 4, 6,ou 8.Problema 2.7. Mostre a recproca do que provamos acima, ou seja,mostre que par um nmero cujo algarismo das unidades um dosalgarismos 0, 2, 4, 6 ou 8.Aritmetica2009/6/29page 28Estilo OBMEP________28CAP. 2: REPRESENTAO DOS NATURAISJuntando essas informaes temos o seguinte resultado:Teorema (Critrio de Multiplicidade de 2)Umnmeromltiplode2se, esomentese, oseualgarismodasunidades par.Critrio de multiplicidade de 5 e de 10.Sejan um nmero natural escrito na forman = 10m + n0, onden0 o algarismo das unidades den. Como 10m mltiplo de 5 e de10, temos quen mltiplo de 5 ou de 10 se, e somente se,n0 ml-tiplo de 5 ou de 10, respectivamente (cf. Problema 1.21). Isto ocorrese,e somente se, n0= 0 oun0= 5,no primeiro caso;en0= 0,nosegundo. Assim, provamos o seguinte resultado:Teorema (Critrio de Multiplicidade de 5 ou de 10)Umnmeromltiplode5se, esomentese, oseualgarismodasunidades for0 ou5. Um nmero mltiplo de 10 se, e somente se,o seu algarismo das unidades for 0.Problema2.8. Determinesemltiplode2, de5oude10cadanmero a seguir:17, 22, 25, 28, 30, 35 420, 523 475.Problema2.9. Com a informao de que 100 mltiplo de 4 e de25, voc seria capaz de achar um critrio de multiplicidade de 4 ou de25?Sugesto: Note que um nmeron =nr n2n1n0pode ser escritona forman = nr n2 100 + n1n0.Aritmetica2009/6/29page 29Estilo OBMEP________ SEC. 2.3: CRITRIOS DE MULTIPLICIDADE DE 9 E DE 3 29Problema2.10. Comainformaodeque1 000mltiplode8(respectivamentede125), vocseriacapazdeacharumcritriodemultiplicidade de 8?(respectivamente de 125?)Sugesto: Note que um nmero n = nr n3n2n1n0 pode ser escritona forman = nr n3 1 000 + n2n1n0.2.3 Critrios de Multiplicidade de 9 e de 3Inicialmente note os seguintes fatos:10 1 = 9 = 1 9,1021 = 100 1 = 99 = 11 9,1031 = 1.000 1 = 999 = 111 9,1041 = 10 000 1 = 9 999 = 1 111 9.Em geral, paran um nmero natural no nulo, temos10n1 = 11 1n vezes9.Portanto, todos os nmeros da forma 10n 1 so mltiplos de 9e tambm de 3, j que 9 mltiplo de 3.Seja dado agora um nmeron escrito no sistema decimal comon = nr n1n0 = nr10r+ + n110 + n0.Subtraiamos a soma nr+ +n1+n0, dos algarismos que compemAritmetica2009/6/29page 30Estilo OBMEP________30CAP. 2: REPRESENTAO DOS NATURAISo nmeron, de ambos os lados da igualdade acima:n (nr + + n1 + n0) = nr10rnr + + n110 n1 + n0 n0= (10r1)nr + + (10 1)n1.Note agora que a ltima expresso sempre mltiplo de 9 (logo, de3). Portanto, pelo Problema 1.21, temos quen mltiplo de 9 ou de3 se, e somente se, o nmero nr + +n1 +n0 mltiplo de 9 ou de3. Assim, obtemos o seguinte resultado:Teorema (Critrio de Multiplicidade de 9 ou de 3)Um nmeron = nr n1n0 mltiplo de 9 ou de 3 se, e somente se,o nmero nr+ +n1+n0 for mltiplo de 9 ou de 3, respectivamente.O teorema acima reduz o problema de saber se um dado nmero mltiplo de 9 ou de 3 ao problema de saber se um outro nmero obtidoapartirdessemltiplode9oude3. Oqueganhamoscomisto?Bem, o nmeronr + +n1 +n0 consideravelmente menor do quen e se ele ainda for grande podemos aplicar o teorema a ele obtendoum nmero ainda menor e assim,sucessivamente,at encontrar umnmero para o qual seja fcil decidir se mltiplo de 9 ou de 3.Por exemplo, dado o nmero 257 985 921, somando os seus alga-rismos obtemos 2 + 5 + 7 + 9 + 8 + 5 + 9 + 2 + 1 = 48. Repetindo omesmo procedimento para o nmero 48, obtemos 4 + 8 = 12, o qualmltiplode3masnode9. Logo, onmerodadoinicialmentemltiplo de 3, mas no mltiplo de 9.Problema 2.11. Determine se mltiplo de 3 ou de 9 cada um dosAritmetica2009/6/29page 31Estilo OBMEP________ SEC. 2.4: NMEROS PRIMOS 31nmeros a seguir:108, 111, 225, 328, 930, 35 424, 523 476.2.4 Nmeros PrimosOs nmeros primos so nmeros especiais que desempenham umpapel importante dentro da teoria e entre outras coisas os seus pro-dutosrepresentamtodososnmerosnaturais, comoveremosaindanesta seo.Denio. Um nmero natural diferente de 0 e de 1 e que apenasmltiplo de 1 e de si prprio chamado de nmero primo. Um nmerodiferente de 0 e de 1 que no primo chamado de nmero composto.Por exemplo, 2, 3, 5 e7 so nmeros primos,enquanto4, 6 e8so nmeros compostos, por serem mltiplos de 2.Mais geralmente,todo nmero par maior do que 2 no primo,ou seja, composto (justique).Notequeadenioacimanoclassicaosnmeros0e1nemcomo primos nem como compostos. Exceto esses dois nmeros, todonmero natural ou primo ou composto.Problema 2.12.Diga quais dos seguintes nmeros so primos e quaisso compostos:9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 21, 23, 47, 49.Certamente, os nmeros compostos so em nmero innito, poisAritmetica2009/6/29page 32Estilo OBMEP________32CAP. 2: REPRESENTAO DOS NATURAISj os nmeros pares diferentes de 2 so em nmero innito (justique).Uma pergunta que surge espontaneamente a seguinte: Quantosso os nmeros primos?EuclidesdeAlexandria, em300a.C., ouseja, hmaisde2 300anos, mostrou que existem innitos nmeros primos.Como ter Euclides feito isto?Ser que ele exibiu todos os nme-ros primos?Seria isto possvel?Veremos na prxima seo como elerealizou esta faanha.Determinarseumdadonmeroprimooucompostopodeseruma tarefa muito rdua. Para se ter uma ideia da diculdade, vocsaberia dizer se o nmero 241 primo?Muito mais difcil decidir se o nmero 4 294 967 297 primo oucomposto. O matemtico francs Pierre de Fermat (1601-1655) ar-mou que esse nmero primo, enquanto o matemtico suo LeonhardEuler (1707-1783) armou que composto. Qual deles estava com arazo?Daremos a resposta na Seo 4.5.A tarefadedecidirseumnmero primooumltiplo deoutropode ser ligeiramente auxiliada com critrios de multiplicidade, comoos que vimos nas Sees 2.2 e 2.3.Aritmetica2009/6/29page 33Estilo OBMEP________ SEC. 2.5: O CRIVO DE ERATSTENES 332.5 O Crivo de EratstenesUmmtodo muito antigo para se obter de modo sistemticonmeros primos o chamado Crivo de Eratstenes,1devido aomatemtico grego Eratstenes.Aecinciadomtodobaseadanaobservaobemsimplesaseguir.Se um nmero naturala > 1 composto, ento ele mltiplo dealgumnmeroprimoptal quep2a. Equivalentemente, primotodo nmero a que no mltiplo de nenhum nmero primo p tal quep2< a.Defato, seacompostoepomenornmeroprimodoqualamltiplo, entoa=p b, onde pe bsomenoresdoquea.De todo modo, sendob primo ou composto, ele ser mltiplo de umnmeroprimoq. Comoamltiplodebebmltiplodeq, pelatransitividade da relao de ser mltiplo (Problema 1.17), temos queatambmmltiplode q esendopomenor primodoqual amltiplo, temosp q. Logo,p2 p q a.Por exemplo, para mostrar que o nmero 221(= 13 17), com-posto, bastariatestarseelemltiplodealgumdosnmerospri-mos p=2, 3, 5, 7, 11ou13, jqueoprximoprimo17tal que172= 289 > 221.Para se obter os nmeros primos at uma certa ordemn, escrevaos nmeros de 2 atn em uma tabela.1A palavra crivo signica peneira. O mtodo consiste em peneirar os nmerosnaturais em um intervalo[2, n], jogando fora os nmeros que no so primos.Aritmetica2009/6/29page 34Estilo OBMEP________34CAP. 2: REPRESENTAO DOS NATURAISO primeiro desses nmeros, o 2, primo, pois no mltiplo denenhum nmero anterior. Risque todos os demais mltiplos de 2 natabela, pois esses no so primos.Oprimeironmeronoriscadonessanovatabelao3queprimo, pois no mltiplo de nenhum nmero anterior diferente de 1.Risque todos os demais mltiplos de 3 na tabela, pois esses no soprimos.O primeiro nmero maior que 3 e no riscado na tabela o 5 que um nmero primo, pois no mltiplo de nenhum nmero anteriordiferente de 1. Risque os demais mltiplos de 5 na tabela.O primeiro nmero maior do que 5 e que no foi riscado o 7, que primo. Risque os demais mltiplos de 7 na tabela.Ao trmino desse procedimento, os nmeros no riscados so todosos primos menores ou iguais an.Note que o procedimento termina assimque atingirmos umnmeroprimoptal quep2n, pois, pelaobservaoquezemosacima,j teramos riscado todos os nmeros compostos menores ouiguais an.Exibimos a seguir o resultado do crivo paran = 250. Note que,nestecaso, oprocedimentoterminatologocheguemosaonmeroprimop = 17.Aritmetica2009/6/29page 35Estilo OBMEP________ SEC. 2.5: O CRIVO DE ERATSTENES 35_2_34_56_78 9 10_1112_1314 15 16_1718_1920 21 22_232425 26 27 28_2930_3132 33 34 35 36_3738 39 40_4142_4344 45 46_474849 50 51 52_5354 55 56 57 58_5960_6162 63 64 65 66_6768 69 70_7172_7374 75 76 77 78_7980 81 82_838485 86 87 88_8990 91 92 93 94 95 96_9798 99100_101 102_103 104105106_107 108_109 110111112_113 114115116117118119120 121122123124125126_127 128129130_131 132 133134135136_137 138_139 140141142143144 145146147148_149 150_151 152153154155156_157 158159160161162_163 164165166_167 168 169170171172_173 174175176177178_179 180_181 182183184185186187188189190_191 192_193 194195196_197 198_199 200201202203204 205206207208209210_211 212213214215216 217218219220221222_223 224225226_227 228_229 230231232_233 234235236237238_239 240_241 242243244245246247248249250Consultandoatabelaacimatemosqueonmero241primo,respondendo pergunta que formulamos anteriormente.Da tabela acima, extramos todos os nmeros primos at 250:Aritmetica2009/6/29page 36Estilo OBMEP________36CAP. 2: REPRESENTAO DOS NATURAIS2 3 5 7 11 13 17 19 23 2931 37 41 43 47 53 59 61 67 7173 79 83 89 97 101 103 107 109 113127 131 137 139 149 151 157 163 167 173179 181 191 193 197 199 211 223 227 229233 239 241Note que a diferena de dois nmeros primos consecutivos, exce-tuando 2 e 3 (que diferem de 1) de no mnimo 2 (justique).Dois primos consecutivos sochamados primos gmeos se elesdiferem de 2.Assim, consultandoatabeladosprimosacima, osseguintessopares de primos gmeos:(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73),(101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193),(197, 199), (227, 229), (239, 241).O que surpreendente que at o presente momento os matemti-cos ainda no saibam dizer se os pares de primos gmeos formam umconjunto nito ou innito.Trsprimosconsecutivosserochamadosprimostrigmeosseadiferena entre cada dois primos consecutivos da terna 2.Por exemplo, (3, 5, 7) uma terna de primos trigmeos. Voc seriacapaz de exibir outra terna de primos trigmeos?Ao contrrio dos pares de primos gmeos, vamos mais adiante verquesermuitofcil responderquestodanitudeounodessasAritmetica2009/6/29page 37Estilo OBMEP________ SEC. 2.5: O CRIVO DE ERATSTENES 37ternas.Outroproblemamuitosimplesdeserenunciado, masqueaindano tem resposta, a chamada Conjectura de Goldbach.2O matemtico prussiano3Christian Goldbach, numa carta de 7 dejunho de 1742 endereada a Leonhard Euler, o maior matemtico dapoca e um dos maiores matemticos de todos os tempos, props quese provasse que todo nmero maior do que 5 a soma de trs primos.Porexemplo, 6=2 + 2 + 2, 7=3 + 2 + 2, 8=3 + 3 + 2,9=5 + 2 + 2, 10=5 + 3 + 2, 11=5 + 3 + 3=7 + 2 + 2,12 = 5 + 5 + 2 = 3 + 7 + 2 etc.Euler respondeu que acreditava nessa conjectura, porm no sabiademonstr-la, mas que ela era equivalente a mostrar que todo nmeropar maior ou igual do que 4 era soma de dois nmeros primos.Por exemplo, 4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 5+3, 10 = 3+7 = 5+5,12 = 5 + 7 etc.Pois bem, esta conjectura, at o presente momento, no foiprovada, nem desmentida.Problema 2.13.Teste a Conjectura de Goldbach e a verso de Eulerpara os nmeros de 14 a 40. Voc acredita que esta conjectura sejaverdadeira?2O termo conjectura numa linguagem mais coloquial signica palpite, chute.3A Prssia tem uma histria muito rica dentro do contexto europeu dos sculos18, 19 e 20, marcado por guerras interminveis. No tempo de Goldbach a Prssiaera um reino muito pobre, mas que posteriormente tornou-se um potente impriochegando a ocupar grande parte da Europa do Norte. Para saber mais consulte oseu professor de Histria.Aritmetica2009/6/29page 38Estilo OBMEP________38CAP. 2: REPRESENTAO DOS NATURAISUmoutroproblemapropostoem1845pelomatemticofrancsJoseph Bertrand (1822-1900) foi que, dado um nmero natural n > 3,sempre existe um nmero primo p no intervalo (n, 2n2). Cinco anosdepois, o matemtico russo Pafnuti Chebyshev (1821-1894) provou demodo surpreendentemente elementar,mas no o suciente para queo faamos aqui, que a armao era verdadeira.Problema2.14. Usando a nossa tabela de primos, verique o Pos-tulado de Bertrand paran 125.HumaconjecturasemelhanteaoPostuladodeBertrand, pro-posta anteriormente pelo matemtico francs Adrien-Marie Legendre(1752-1833), mas que ainda no foi provada nem desmentida, que aseguinte:Dadoumnmero natural nsempreexisteumnmero primonointervalo (n2, (n + 1)2).Problema 2.15. Usando a nossa tabela de primos, verique a Con-jectura de Legendre paran 15.2.6 Teorema Fundamental da AritmticaOmtododoCrivode Eratstenes nos mostraque dadoumnmero naturala, existe um nmero primop0tal que oua = p0, oua um mltiplo no trivial dep0; isto ,a = p0a1, com 1 < a1< a.Se a segunda possibilidade vericada, segue que existe umnmero primo p1, tal que ou a1= p1, ou a1= p1a2, ondeAritmetica2009/6/29page 39Estilo OBMEP________ SEC. 2.6: TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMTICA 391 < a2< a1< a. Assim,a = p0p1, ou a = p0p1a2.Continuandoaargumentaopara a2, temos a =p0p1p2, oua = p0p1p2a3, para algum primop2 e 1 < a3< a2< a1< a.Notequedesigualdadescomoaacimanopodemcontinuarin-denidamente(justique). Logo, paraalgumr, onmeroarumprimopr, obtendodessemodoumadecomposiodeaemfatoresprimos:a = p1p2 pr.Obtemos, assim, o seguinte resultado que se encontra no livro OsElementos de Euclides de Alexandria.Proposio (Euclides)Todo nmero natural a > 1, ou primo, ou se escreve como produtode nmeros primos.Prova-se com um pouco mais de trabalho, que faremos na Seo3.9, que esta escrita nica a menos da ordem dos fatores. Com estainformaoadicional, oresultadodeEuclidespodeserreformuladodo seguinte modo:Teorema Fundamental da AritmticaDado um nmero natural a 2, existem um nmeror > 0, nmerosprimosp1< n.Algunsdosproblemasmaisprofundosaindaporresolverestorelacionadoscomadistribuiodosnmerosprimosdentrodase-quncia dos nmeros naturais.Aritmetica2009/6/29page 42Estilo OBMEP________Captulo 3Os Inteiros e suasPropriedades3.1 Os InteirosDadosdoisnmerosnaturais ae b, atomomento, onmerob a s foi denido quandob a. Como remediar esta situao?Ojeito que os matemticos encontraram para que seja sempre denidoonmerob afoi odeampliaroconjuntodosnmerosnaturaisformandoumnovoconjuntoZchamadodeconjuntodos nmerosinteiros, cujos elementos so dados ordenadamente como segue:. . .-`_3-`_2-`_1-`_0-`_1-`_2-`_3- . . .Os nmeros esquerda do zero so chamados de nmerosnega-tivoseosdireitasochamadosdenmerospositivos. Ospares42Aritmetica2009/6/29page 43Estilo OBMEP________ SEC. 3.1: OS INTEIROS 43denmeros1e 1, 2e 2, 3e 3etc.,sochamados de nmerossimtricos. O elemento 0, que no nem positivo, nem negativo, oseu prprio simtrico.Em Z temos uma relao de ordem que estende a relao de ordemde N, onde declaramosa 0; e deslocandob para adireita a posies,sea< 0. Isto dene uma operao em Z,semrestries, chamada de subtrao. Assim, temos que a subtrao aoperao inversa da adio eb a = b + (a).Aritmetica2009/6/29page 44Estilo OBMEP________44CAP. 3: OS INTEIROS E SUAS PROPRIEDADESProblema 3.1.Mostre que em Z continua valendo a propriedade doProblema 1.4.Problema 3.2.Mostre que em Z continua valendo que (ba)+a = be que (a + b) b = a.Problema3.3. Mostrecomexemplosqueasubtraonoumaoperao nem comutativa nem associativa.Problema3.4. Mostrequeem Zumintervalo[a, b], ondea b,temb a + 1 elementos.Amultiplicaonosinteirosdenidacomosegue: Sea, b 0,sabemos o que a b. Denimos(a) b = a (b) = (a b),e(a) (b) = a b.Assim, a b est denido para quaisquer inteirosa eb. A mul-tiplicao em Z continua sendo comutativa, associativa e distributivacom relao adio e subtrao.Tem-se tambm que sea b = 0, coma eb inteiros, entoa = 0oub = 0.Problema 3.5.Mostre que se a c = b c, com c = 0, ento a = b.Amultiplicaotambmcontinuacompatvel comaordem, noseguinte sentido:Aritmetica2009/6/29page 45Estilo OBMEP________ SEC. 3.2: MLTIPLOS INTEIROS DE UM NMERO 45Sea < b ec > 0, entoc a < c b.Problema3.6. Mostre com um exemplo que em Z no vale a pro-priedade:Sea < b, entoa c < b c, qualquer que sejac.Nem a sua recproca:Sea c < b c, entoa < b, qualquer que sejac.3.2 Mltiplos Inteiros de um NmeroDado um inteiro a, consideremos o conjunto dos mltiplos inteirosdea:aZ = {a d; d Z}.Problema3.7. Mostre que os mltiplos inteiros de um elementoapossuem as seguintes propriedades:(i) 0 mltiplo dea.(ii) Sem um mltiplo dea, ento m mltiplo dea.(iii) Um mltiplo de um mltiplo dea um mltiplo dea.(iv) Se m e m so mltiplos de a, ento m+m e mm so tambmmltiplos dea.Aritmetica2009/6/29page 46Estilo OBMEP________46CAP. 3: OS INTEIROS E SUAS PROPRIEDADES(v) Sem emso mltiplos dea, entoe m + f m mltiplodea, quaisquer que sejam os inteirose ef(note que (iv) um casoparticular da presente propriedade).(vi) Sem+m oumm mltiplo dea em mltiplo dea, entom mltiplo dea.O mesmo resultado vale para os mltiplos comuns de dois inteirosa eb. De fato, o seguinte problema lida com esta situao.Problema 3.8.Mostre que os mltiplos inteiros comuns de dois ele-mentosa eb possuem as seguintes propriedades:(i) 0 mltiplo comum dea eb.(ii) Se m um mltiplo comum de a e b, ento m mltiplo comumdea eb.(iii)Ummltiplodeummltiplocomumde ae bummltiplocomum dea eb.(iv) Se m e m so mltiplos comuns de a e b, ento m+m e mmso tambm mltiplos comuns dea eb.(v) Sem em so mltiplos comuns dea eb, entoe m+f m mltiplo comum dea eb, quaisquer que sejam os inteirose ef(noteque (iv) um caso particular da presente propriedade).(vi) Sem + m oumm mltiplo comum dea eb em mltiplocomum dea eb, entom mltiplo comum dea eb.Vimos que dois nmeros naturaisa eb possuem sempre um mmcque um nmero natural. Se um dos nmeros a ou b nulo e o outroAritmetica2009/6/29page 47Estilo OBMEP________ SEC. 3.3: DIVISORES 47 um inteiro qualquer, ento esses nmeros s admitem o zero comomltiplo comum (justique),que ser chamado do mnimo mltiplocomum (mmc) dea eb. Sea eb so ambos no nulos,mesmo queno sejam ambos positivos, ento dene-se o mnimo mltiplo comum(mmc) de a e b como sendo o menor mltiplo comum positivo; ou seja,o menor elemento positivo do conjuntoaZ bZ.Problema3.9. Suponhaqueosnmeros216e144sejammlti-ploscomunsdeumdeterminadopardenmerosaeb. Mostrequemmc(a, b) 72.Sugesto: Utilize a propriedade (iv) do Problema 3.8.3.3 DivisoresNestaseoolharemosanoodemltiplosoboutropontodevista.Denio. Diremos que um nmero inteirod um divisor de outrointeiro a, se a mltiplo de d; ou seja, se a = dc, para algum inteiroc.Quandoa mltiplo ded dizemos tambm quea divisvel pord ou qued dividea.Representaremos o fato de um nmero d ser divisor de um nmeroa, ou d dividir a, pelo smbolo d | a. Caso d no divida a, escrevemosda.Aritmetica2009/6/29page 48Estilo OBMEP________48CAP. 3: OS INTEIROS E SUAS PROPRIEDADESAssim, por exemplo, temos que1 | 6, 2 | 6, 3 | 6, 6 | 6, 6 | 6, 3 | 6, 2 | 6, 1 | 6.Alm disso, sed {6, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 6}, entod6.Temostambmque1 | aed |0, paratodod, inclusivequandod = 0, pois 0 mltiplo de qualquer nmero1.Note tambm que sed | a, ento d | a,d | a e d | aNotequeseaedsonmerosnaturais, coma =0, esed | a,entod a. Defato, sendoaummltiplonatural nonulodonmero naturald, sabemos quea d.Problema 3.10.Mostre que das duas propriedades acima segue que,sea um inteiro no nulo, os divisores dea so em nmero nito.Problema 3.11.Mostre que se a e b so nmeros naturais no nulos,entoa | b eb | a se, e somente se,a = b.Os critrios de multiplicidade podemser reenunciados comocritrios de divisibilidade.Por exemplo,dado um nmeron =nr . . . n1n0na sua represen-tao decimal, temos o resultado:ndivisvel por2(ousejamltiplode2)seesomentesen0umnmero par.1Istoabsolutamentenoquerdizerquepodemosdividirzeroporzero, poiscomo 0 = c0 para todo c, o quociente de 0 por 0 poderia ser qualquer nmero,logo no estaria bem denido.Aritmetica2009/6/29page 49Estilo OBMEP________ SEC. 3.3: DIVISORES 49Problema3.12. Enuncie critrios de divisibilidade por 3, 4, 5, 8, 9e 10.Utilizando a noo de divisor, podemos tambm redenir a noode nmero primo como sendo um nmerop> 1 que s possui 1 e oprpriop como divisores positivos.Adivisibilidade possui vrias propriedades importantes decor-rentes das propriedades dos mltiplos e cuja utilizao vai nos facilitara vida.Arelaodedivisibilidadetransitiva, ouseja, sea | beb | c,entoa | c.Defato, istoomesmoqueatransitividadedarelaodesermltiplo (veja Problema 1.17).Problema3.13. Mostreasseguintespropriedadesimportantesdadivisibilidade:(a) Sed | a ed | b, entod | (b + a) ed | (b a).(b) Se d | (b + a) oud | (b a) e d | a, ento d | b.(c) Conclua qued um divisor comum dea e deb se e somente sed um divisor comum dea e deb a.Denio. Dados dois nmeros inteirosa eb no simultaneamentenulos, o maior divisor comum de a e b ser chamado de mximo divisorcomum dea eb e denotado por mdc(a, b).Note quemdc(a, b) = mdc(b, a).Aritmetica2009/6/29page 50Estilo OBMEP________50CAP. 3: OS INTEIROS E SUAS PROPRIEDADESProblema 3.14.(a) Mostre que mdc(0, 0) no existe.(b) Mostre quemdc(0, b) =b, seb > 0b, seb < 0.(c) Mostre que sea = 0 oub = 0, entomdc(a, b) = mdc(a, b) = mdc(a, b) = mdc(a, b).O problema de determinar o mdc de dois nmeros bem simplesquando os nmeros so pequenos, pois neste caso podemos listar todosos divisores comuns desses nmeros e escolher o maior deles, que sero seu mdc.Por exemplo, para calcular mdc(12, 18), determinamos os divisoresde 12, que so:1, 2, 3, 4, 6, 12;e os divisores de 18, que so:1, 2, 3, 6, 9, 18.Tomando o maior divisor comum, obtemos: mdc(12, 18) = 6.No entanto, quando um dos dois nmeros for grande, esse mtodoca impraticvel, pois achar os divisores de um nmero grande muitocomplicado. O que fazer ento?Euclides, trs sculos antes de Cristo,nosdumasoluoparaesteproblemadescrevendoumalgoritmoAritmetica2009/6/29page 51Estilo OBMEP________ SEC. 3.3: DIVISORES 51muito eciente para fazer este clculo. O Algoritmo de Euclides, como conhecido o mtodo por ele desenvolvido, ser descrito no prximocaptulo e repousa numa generalizao da propriedade do Problema3.13(c) que recordamos abaixo:Um nmerod divisor comum dea eb,no ambos nulos,se,esomente se, ele um divisor comum dea eb a.Tomandoomximodivisorcomum, obtemosaseguinteidenti-dade:mdc(a, b) = mdc(a, b a),quepermiteirreduzindosucessivamenteoclculodomdcdedoisnmeros ao clculo do mdc de nmeros cada vez menores.Comoexemplodeaplicao, vejamos comoistovai permitir oclculo de mdc(3 264, 1 234):mdc(3 264, 1 234) = mdc(1 234, 3 264 1 234) =mdc(1 234, 2 030) = mdc(1 234, 2 030 1 234) =mdc(1 234, 796) = mdc(796, 1 234 796) =mdc(796, 438) = mdc(796 438, 438) =mdc(358, 438) = mdc(358, 438 358) =mdc(358, 80) = mdc(358 80, 80) =mdc(278, 80) = mdc(198, 80) =mdc(118, 80) = mdc(38, 80) =mdc(38, 42) = mdc(38, 4) =mdc(34, 4) = mdc(30, 4) =mdc(26, 4) = mdc(22, 4) =mdc(18, 4) = mdc(14, 4) =mdc(10, 4) = mdc(6, 4) = 2Aritmetica2009/6/29page 52Estilo OBMEP________52CAP. 3: OS INTEIROS E SUAS PROPRIEDADESAscontasanterioresseroabreviadasdemododrsticocomoalgoritmodeEuclidesparaoclculodomdcqueiremosapresentarna Seo 3.8.Problema3.15. Sejama eb dois nmeros com um divisor comumd. Mostre que d divide an+bm, quaisquer que sejam os nmerosinteirosn em.Dois nmeros inteiros, no ambos nulos, sero ditos primos entresi se no forem mltiplos de um mesmo nmero diferente de 1 e de1.Portanto,dois inteirosa eb,no ambos nulos,so primos entresi se os nicos divisores comuns dea eb so 1 e 1, o que equivale adizer que mdc(a, b) = 1.Exemplos de pares de inteiros primos entre si so: 2 e 3; 4 e 15; 9e 7. No so primos entre si os pares: 2 e 4; 3 e 6; 9 e 12.Dois nmeros primos distintos so sempre primos entre si.Dois nmeros consecutivos so sempre primos entre si. De fato,podemos escrever os dois nmeros na forman en + 1, logomdc(n, n + 1) = mdc(n, n + 1 n) = mdc(n, 1) = 1.Problema 3.16.(a) Mostre que dois nmeros inteiros da forma n e 2n +1 so sempreprimos entre si.(b) Mostre que sen um nmero mpar, ento mdc(n, 2n + 2) = 1.Aritmetica2009/6/29page 53Estilo OBMEP________ SEC. 3.4: ALGORITMO DA DIVISO 53(c) Mostre que sen um nmero par, ento mdc(n, 2n + 2) = 2.Problema 3.17.Sejam a e b dois nmeros naturais no ambos nulose sejad = mdc(a, b). Sea eb so os dois nmeros naturais tais quea = a d eb = b d, mostre que mdc(a, b) = 1.3.4 Algoritmo da DivisoUma das propriedades mais importantes dos nmeros naturais a possibilidade de dividir um nmero por outro com resto pequeno.Essa a chamada diviso euclidiana.Sejam dados dois nmeros naturais a e b, com a > 0 e b qualquer.Queremos comparar o nmero naturalb com os mltiplos do nmeroa. Paraisto, consideretodososintervalosdaforma[na, (n + 1)a),paran um nmero natural qualquer. Isto nos d uma partio de N,ou seja,N = [0, a) [a, 2a) [2a, 3a) [na, (n + 1) a) e os intervalos acima so dois a dois sem elementos em comum.Portanto, onmerobestaremumeapenasumdosintervalosacima. Digamos queb pertena ao intervalo[qa, (q + 1) a).Logo,existem dois nmeros naturaisqer,unicamente determi-Aritmetica2009/6/29page 54Estilo OBMEP________54CAP. 3: OS INTEIROS E SUAS PROPRIEDADESnados, tais queb = aq + r, com 0 r < a.O nmero b chamado dividendo, o nmero a divisor, os nmerosq er so chamados, respectivamente, quociente e resto da diviso deb pora.Notequedados dois nmeros naturais ae b, nemsempre bmltiplo dea, este ser o caso se, e somente se,r = 0.Como determinar os nmerosq er na diviso euclidiana?Casob < a Comob = 0 a + b, temos queq = 0 er = b.Casob = a Neste caso, tomamosq = 1 er = 0.Casob > a Podemos considerar a sequncia:b a, b 2a, . . . , b na,atencontrarumnmeronatural qtal queb (q + 1)a 0, existe um nico par de inteiros qer tal queb = aq + r, com 0 r < a.Sugesto: Considere os intervalos da forma [na, (n + 1)a), comnem Z.Problema 3.20. Efetue a diviso euclidiana nos seguintes casos:(a) de 43 por 3 (b) de 43 por 5 (c) de 233 por 4(d) de 1 453 por 10, por 100, por 1 000 e por 10 000.Pelo Problema 3.19, se a > 0, os possveis restos da diviso de umAritmetica2009/6/29page 56Estilo OBMEP________56CAP. 3: OS INTEIROS E SUAS PROPRIEDADESnmero qualquer pora so os nmeros 0, 1, . . . , a 1.Por exemplo, os possveis restos da diviso de um nmero inteiropor 2 sor = 0 our = 1.Se um dado nmero quando divido por 2 deixa restor = 0, ele divisvel por 2, ou seja, ele par.Se,ao contrrio,esse nmero deixa resto1 quando dividido por2, ele mpar.Assim, um nmero par se da forma 2q e mpar se da forma2q + 1, para algum inteiroq.Problema3.21. Mostrequedentredoisinteirosconsecutivosumdeles par e o outro mpar.Problema3.22. Mostre que um nmeron escrito no sistema deci-mal comonr . . . n1n0deixa reston0quando dividido por 10. Comose relacionam os restos da diviso den por 2 ou 5 com os restos dadiviso den0 por 2 ou 5?Um nmero quando dividido por 3 pode deixar restos r = 0, r = 1our = 2.Problema 3.23. Mostre que de trs inteiros consecutivos um e ape-nas um deles mltiplo de 3.Soluo: Suponhaqueostrsinteirosconsecutivossejama, a + 1ea + 2. Temosasseguintespossibilidades: adeixaresto0, 1ou2quando dividido por 3.1) Suponha que a deixe resto 0 quando dividido por 3, ou seja, a = 3q.Logo, a + 1 = 3q + 1 ea + 2 = 3q + 2. Assim, um e apenas um dosAritmetica2009/6/29page 57Estilo OBMEP________ SEC. 3.4: ALGORITMO DA DIVISO 57trs nmeros mltiplo de 3, a saber,a.2) Suponhaque adeixe resto1quandodivididopor 3, ouseja,a=3q + 1. Logo, a + 1=3q + 2ea + 2=3q + 3=3(q + 1).Assim, umeapenasumdostrsnmerosmltiplode3, asaber,a + 2.3) Suponhaque adeixe resto2quandodivididopor 3, ouseja,a = 3q+2.Logo, a+1 = 3q+3 = 3(q+1) e a+2 = 3q+4 = 3(q+1)+1.Assim, umeapenasumdostrsnmerosmltiplode3, asaber,a + 1.Problema3.24. Mostrequedadostrsnmerosa, a + 2ea + 4,um e apenas um deles mltiplo de 3. Usando este fato, mostre quea nica terna de primos trigmeos (3, 5, 7).Problema3.25. Mostrequedados trs nmeros 2a, 2(a + 1) e2(a + 2), um e apenas um deles mltiplo de 3.Problema 3.26.(a) Mostre que a soma de trs inteiros consecutivos sempre mltiplode 3.(b) Dados trs inteiros consecutivos, mostre que um deles mltiplode 3 e a soma dos outros dois tambm.Dividir pora> 0 agrupar em conjuntos coma elementos. Porexemplo, para saber quantas dzias de ovos temos no quintal, temosque dividir o nmero de ovos por 12, a diviso podendo ser exata ouno. Se tivermos 36 ovos, teremos 3 dzias exatas, mas se tivermos38 ovos, teremos ainda 3 dzias de ovos e sobrariam 2 ovos.Aritmetica2009/6/29page 58Estilo OBMEP________58CAP. 3: OS INTEIROS E SUAS PROPRIEDADESProblema 3.27.Uma fbrica produz chicletes que so embalados empacotesdecincounidadescada. Quantospacotesseroproduzidoscom 3 257 unidades?3.5 Par ou mpar?Nesta seo veremos, em um caso bem simples, como lidar com osrestos da diviso de nmeros inteiros por um nmero natural dado,introduzindoumanovaaritmticachamadaaritmticaresidual ouaritmtica modular.Asomadedoisnmerosparespar. Defato, osdoisnmerospodem ser escritos na forma 2a e 2b, cuja soma 2(a + b), logo par.A soma de dois nmeros mpares par. De fato, os nmeros soda forma 2a + 1 e 2b + 1, cuja soma 2(a + b + 1), logo par.Asomadeumnmeroparcomumnmeromparmpar. Defato, umdosnmerosdaforma2aeooutro2b + 1, cujasoma2(a + b) + 1, logo mpar.A paridade, isto , a qualidade de ser par ou mpar, da soma dedois nmeros s depende da paridade de cada um dos nmeros e nodos nmeros em si.O produto de dois nmeros pares par. De fato, os nmeros sendoda forma 2a e 2b, temos que o seu produto 4ab e, portanto, mltiplode 4, logo par.Oprodutodeumnmeroparporumnmeromparpar. Defato, um nmero da forma 2a e um nmero da forma 2b + 1 tm umproduto igual a 2a(2b + 1), que par.Aritmetica2009/6/29page 59Estilo OBMEP________ SEC. 3.5: PAR OU MPAR? 59Oprodutodedoisnmerosmparesmpar. Defato, sendoosnmeros da forma 2a +1 e 2b +1, o seu produto 2(2ab +a +b) +1,logo mpar.Novamente, como no caso da soma, temos que a paridade do pro-duto de dois nmeros s depende da paridade desses nmeros e nodos nmeros em si.Assim, podemosdecidiraparidadedeumaexpressocomplexaenvolvendo produtos e somas de inteiros do modo a seguir.Atribuindoosmbolo0aos nmeros pares e osmbolo1aosnmeros mpares, as observaes acimanos fornecemas seguintestabelas que regem a paridade das somas e produtos dos nmeros in-teiros.+ 0 10 0 11 1 0 0 10 0 01 0 1Por exemplo, se quisermos saber a paridade do nmero2010 11200+ 2119nosernecessriodesenvolverascontasindi-cadas para saber se o resultado nal par ou mpar. O que fazemossubstituirnaexpressoacimaonmero20por0, porserpar; eosnmeros11e21por1, porseremmpares. Obtemos, assim, aexpresso0101200+ 119,que operada segundo as tabelas acima nos d 1 como resultado. Por-tanto, o nmero dado mpar.22Tenteexplicar por quenosubstitumos os expoentes 10, 200e 19pelossmbolos0 e1, segundo a sua paridade.Aritmetica2009/6/29page 60Estilo OBMEP________60CAP. 3: OS INTEIROS E SUAS PROPRIEDADESO mtodo acima pode ser generalizado para controlar os restos dadiviso dos nmeros inteiros por qualquer nmero natural xadom.Veremosnaprximaseomaisumcasoespecial, ocasom=3.No prximo captulo analisaremos o caso geral. Esse mtodo foi idea-lizado pelo matemtico alemo Carl Friedrich Gauss (1777-1855), con-siderado o maior matemtico de todos os tempos, quando tinha pertode 17 anos.Problema 3.28.Mostre que o dobro de um nmero mpar par masnunca mltiplo de 4.Problema 3.29. Determine a paridade do seguinte nmero:(123 275 + 346 231)234+ (3 451 + 4 532)542.Problema3.30. Mostrequeparatodosainteiroennaturalnonulos, os nmerosa eantm mesma paridade.Problema3.31. Dado um nmero inteiroa e dados dois nmerosnaturaisn em, no nulos, mostre que so sempre pares os nmerosan+ ameanam.Problema3.32. Qual a paridade da soma dos nmeros naturaisde um a 10?E de seu produto?3.6 Zero, Um ou Dois?Nesta seo analisaremos a aritmtica dos restos da diviso por 3.Vamos organizar os nmeros inteiros numa tabela como segue:Aritmetica2009/6/29page 61Estilo OBMEP________ SEC. 3.6: ZERO, UM OU DOIS? 61.........9 8 76 5 43 2 10 1 23 4 56 7 89 10 11.........Notequeosnmerosdaprimeiracolunasoosmltiplosde3,ouseja, osnmerosquedeixamrestonuloquandodivididospor3.Osnmerosdasegundaedaterceiracolunaso, respectivamente,aqueles que deixam resto 1 e 2 quando divididos por 3.Fazendoumaanlisesemelhantequelafeitanaseoanterior,nota-se que o resto da diviso por 3 da soma ou do produto de doisnmeros s depende da coluna ocupada por esses nmeros, ou seja sdepende dos restos da diviso desses nmeros por 3 e no dos nmerosem si.Assim, atribuindoosmbolo0aosnmerosdaprimeiracoluna(que so os mltiplos de 3) e os smbolos 1 e 2, respectivamente, aosnmeros que ocupam a segunda e terceira coluna (que so os nmerosque deixam restos 1 e 2, quando divididos por 3), obtemos as seguintestabelasqueregemosrestosdadivisopor3dassomaseprodutosdos nmeros naturais:Aritmetica2009/6/29page 62Estilo OBMEP________62CAP. 3: OS INTEIROS E SUAS PROPRIEDADES+ 0 1 20 0 1 21 1 2 02 2 0 1 0 1 20 0 0 01 0 1 22 0 2 1Problema3.33. Usando as tabelas acima,ache o resto da divisopor 3 do nmero 4100+ 3230.3.7 Mnimo Mltiplo ComumSabemosquetodomltiplodommcdedoisinteirosummltiplo comum desses inteiros (Problema 3.8(iii)). Mostraremos noprximo resultado que vale a recproca desse fato.Teorema 3.1.Todo mltiplo comum de dois inteiros a e b mltiplode mmc(a, b).Demonstrao. Seja m = mmc(a, b). Suponha que m seja um mlti-plo comum de a e b. Se m = 0, nada temos a provar, pois 0 mltiplode qualquer inteiro, inclusive dem. Suponha quem = 0, logoa = 0eb =0, oquemostraquem=mmc(a, b)>0. Peloalgoritmodadiviso euclidiana, podemos escreverm = mq + r, com 0 r < m.Logo, r =m mq e, sendomemq mltiplos comuns dea eb,segue do Problema 3.8(iv) quer mltiplo de comum dea eb. Masentor = 0, pois caso contrrio teramos um mltiplo comumr deaeb, tal que 0 < r < m, contradizendo a denio de mmc.Aritmetica2009/6/29page 63Estilo OBMEP________ SEC. 3.7: MNIMO MLTIPLO COMUM 63O Teorema acima nos fornece a seguinte relao:aZ bZ = mmc(a, b)Z.Problema 3.34.Mostre que um nmero mltiplo de 6 se, e somentese, ele simultaneamente mltiplo de 2 e de 3.Problema3.35. Baseadonoproblemaanterior, dumcritriodemultiplicidade de 6, conhecendo os critrios de multiplicidade de 2 ede 3.Problema3.36. Sendon um nmero inteiro qualquer, mostre queo nmeron(n + 1)(2n + 1) sempre mltiplo de 6.Problema3.37. Utilizando os critrios de multiplicidade de 3 e de4, enuncie um critrio de multiplicidade de 12.Problema3.38. Enuncie critrios de multiplicidade de 15, de 20 ede 45.Dados trs nmeros inteiros a, be c, nonulos, podemos nosperguntar como calcular o seu mnimo mltiplo comummmc(a, b, c),ou seja, o menor elemento positivo do conjunto dos mltiplos comunsdea,b ec.Portanto, queremos determinar o menor elemento positivo do con-juntoaZ bZ cZ = (aZ bZ) cZ = mmc(a, b)Z cZ.Aritmetica2009/6/29page 64Estilo OBMEP________64CAP. 3: OS INTEIROS E SUAS PROPRIEDADESIsto nos mostra quemmc(a, b, c) = mmc (mmc(a, b), c) .Assim, paracalcularommcdetrsnmerosrecai-senoclculode dois mmc de dois nmeros.Problema 3.39. Calcule mmc(4, 6, 9).Voc deve ter notado que calcular o mmc de dois nmeros aindauma tarefa muito trabalhosa, pois o que aprendemos at o momentofoi escrever ordenadamente os mltiplos de cada um dos nmeros atencontrarmos o menor mltiplo comum positivo. Com este mtodo,praticamenteimpossvel calcularommcdedoisnmerosquandoumdelesforbastantegrande. Naprximaseonalizaremosummtodo muito mais eciente para se determinar o mmc, baseado noAlgoritmo do mdc de Euclides e no teorema a seguir.Problema 3.40.Sejam a, b, d e m quatro inteiros positivos tais quea b =m d. Mostre quem um mltiplo comum dea eb se,esomente se,d um divisor comum dea eb.Teorema 3.2.Sejama eb dois inteiros positivos. Tem-se a seguinteidentidade:mmc(a, b) mdc(a, b) = a b.Demonstrao. Comoa um mltiplo de mdc(a, b), segue quea bmltiplodemdc(a, b). Logo, a b=m mdc(a, b), paraalguminteiro positivom. Pelo Problema 3.40, temos quem um mltiploAritmetica2009/6/29page 65Estilo OBMEP________ SEC. 3.7: MNIMO MLTIPLO COMUM 65comumdeaebe, consequentemente, peloTeorema3.1temosquem = mmc(a, b) c, para algumc positivo. Assim,a b = mmc(a, b) (c mdc(a, b)). (3.1)Novamente, pelo Problema 3.40, segue que c mdc(a, b) um divisorcomumdeaeb, logosendoomdcomaiordentreessesdivisores,segue quec mdc(a, b) mdc(a, b). (3.2)Comoc 1, temos quemdc(a, b) c mdc(a, b),o que juntamente com a desigualdade (3.2) implica que c = 1. Agora,o resultado segue da equao (3.1).PodemosagoraesclareceromistrioaquenosreferimosnaSe-o 1.7:O mmc de dois nmeros igual ao seu produto se, e somente se, osdois nmeros so primos entre si.Problema 3.41. Seja numnmero natural no nulo. Calculemmc(n, 2n + 1).Problema3.42. Suponhaquensejaumnmeronaturaldivisvelpora e porb. Sabendo que mdc(a, b) = 1, mostre quen divisvelpora b.Aritmetica2009/6/29page 66Estilo OBMEP________66CAP. 3: OS INTEIROS E SUAS PROPRIEDADES3.8 Algoritmo do mdc de EuclidesO Lema de Euclides: Dados inteirosa eb, os divisores comuns dea eb so os mesmos que os divisores comuns dea eb c a,paratodo nmero inteiroc xado.Demonstrao. Sed um divisor comum dea eb, claro qued divisor comum dea e deb c a.Reciprocamente, suponhaque dsejadivisor comumde aedeb c a. Logo, d divisor comum de b c a e de c a e, portanto,pelo Problema 3.13(c), tem-se que d divisor de b. Assim, d divisorcomum dea eb.Estasimplesobservao, quegeneralizaarelaodoProblema3.13(c), vai nosdarummodoprticoparacalcularomdcdedoisnmeros, mais eciente do que o utilizado na Seo 3.3.OLemadeEuclidesnosdizqueosdivisoresdecomunsdeaeb so os mesmos divisores comuns dea eb a c, logo tomando omaior divisor comum em ambos os casos, obtemos a frmula:mdc(a, b) = mdc(a, b a c),oquepermiteirdiminuindopassoapassoacomplexidadedopro-blema, at torn-lo trivial.Algoritmo de Euclides para o clculo do mdcNada melhor do que um exemplo para entender o mtodo.Vamos calcular mdc(a, b), ondea = 162 eb = 372.Aritmetica2009/6/29page 67Estilo OBMEP________ SEC. 3.8: ALGORITMO DO MDC DE EUCLIDES 67Pelo Lema de Euclides,sabemos que o mdc dea eb o mesmoqueodeaedebmenosummltiploqualquerdea. Otimizamosos clculos ao tomarmos o menor dos nmeros da formab menos ummltiplo dea e isto realizado pelo algoritmo da diviso:372 = 162 2 + 48.Assim,mdc(372, 162) = mdc(372 162 2, 162) = mdc(48, 162).Apliquemos o mesmo argumento ao para1 = 48 eb1 = 162:162 = 48 3 + 18.Assim,mdc(372, 162) = mdc(162, 48)= mdc(162 48 3, 48)= mdc(18, 48).Apliquemos novamenteomesmoargumentoaopar a2=18eb2 = 48:48 = 18 2 + 12.Assim,mdc(372, 162) = mdc(48, 18) = mdc(48 18 2, 18) = mdc(12, 18).Aritmetica2009/6/29page 68Estilo OBMEP________68CAP. 3: OS INTEIROS E SUAS PROPRIEDADESNovamente, o mesmo argumento para o par a3 = 18 e b3 = 12 nos d:18 = 12 1 + 6.Assim,mdc(372, 162) = mdc(18, 12) = mdc(18 12 1, 12) = mdc(6, 12).Finalmente, obtemosmdc(372, 162) = mdc(12, 6) = mdc(12 6 2, 6) = mdc(0, 6) = 6.Logo,mdc(372, 162) = 6.O procedimento acima pode ser sistematizado como segue:2 3 2 1 2372 162 48 18 12 6=mdc48 18 12 6 0OAlgoritmodeEuclidesusadodetrsparafrentenosdumainformao adicional fundamental.Das igualdades acima podemos escrever:_6 = 18 12 112 = 48 18 2Aritmetica2009/6/29page 69Estilo OBMEP________ SEC. 3.8: ALGORITMO DO MDC DE EUCLIDES 6918 = 162 48 348 = 372 162 2Donde,_6 = 18 12 1 = 18 (48 18 2)= 18 3 48= (162 48 3) 3 48= 162 3 48 10= 162 (372 162 2) 10= 162 23 372 10.Assim, podemos escrever:_6= mdc(372, 162) = 162 23 + 372 (10).Este mtodo sempre se aplica conduzindo ao seguinte importanteresultado:Teorema 3.3 (Relao de Bzout). Dados inteirosa eb, quaisquer,mas no ambos nulos, existem dois inteirosn em tais quemdc(a, b) = a n + b m.Problema3.43. Determinemdc(a, b), mmc(a, b)einteirosnemtais que mdc(a, b) = an+b m para os seguintes pares de nmerosa eb.(a)a = 728 eb = 1 496 (b)a = 108 eb = 294.Aritmetica2009/6/29page 70Estilo OBMEP________70CAP. 3: OS INTEIROS E SUAS PROPRIEDADES3.9 Aplicaes da Relao de BzoutEsta seo pode ser omitida sem prejuzo na primeira leitura, ex-ceto a Proposio 3.3 que ser utilizada na Seo 3.10.Uma propriedade notvel do mximo divisor comum que decorreda Relao de Bzout a seguinte:Sed um divisor comum de dois nmerosa eb, no simultanea-mente nulos, entod divide mdc(a, b).De fato, sendo d um divisor de a e de b, temos que d um divisordetodonmerodaformaa n +b m, logo, emparticular, demdc(a, b).DenindoaZ + bZ = {a n + b m; n, m Z},temos o seguinte resultado:Proposio 3.1. Dados dois inteiros a e b, no ambos nulos, o menorelemento positivo do conjuntoaZ + bZ mdc(a, b).Demonstrao. De fato, ponhamosd = mdc(a, b). Comod | a ed | b,temosqueddividetodoelementodeaZ + bZ, logodmenorouigual do que qualquer elemento positivo de aZ+bZ. Pela Relao deBzout, temos qued aZ + bZ, logod o menor elemento positivodo conjuntoaZ + bZ.Da decorre um importante critrio para que dois nmeros sejamprimos entre si.Aritmetica2009/6/29page 71Estilo OBMEP________ SEC. 3.9: APLICAES DA RELAO DE BZOUT 71Proposio 3.2.Dois nmeros inteirosa eb so primos entre si se,e somente se, existem inteirosm en tais quea n + b m = 1.Demonstrao. Suponhamosqueaebsejamprimosentresi, isto,mdc(a, b) = 1. Como, pela Relao de Bzout, existem inteiros n e mtais quea n + b m = mdc(a, b), segue quea n + b m = 1.Reciprocamente, seexistemnemtaisquea n + b m=1,segue que1 o menor elemento positivo do conjuntoaZ + bZ,logoele o mdc dea eb. Portanto,a eb so primos entre si.Problema 3.44.Sejam a e b dois nmeros naturais no ambos nulosec um terceiro nmero natural no nulo. Mostre quemdc(c a, c b) = c mdc(a, b).Problema3.45. Sejama, bectrsnmerosnaturaisnonulos.Mostre quemmc(c a, c b) = c mmc(a, b).Outra propriedade fundamental que decorre da Relao de Bzout o resultado a seguir:Proposio3.3. Sejama,b ec trs inteiros tais quea divideb cea eb so primos entre si, entoa dividec.Demonstrao. Como a| b c, entoexisteuminteiro etal queb c=a e. Comoaebsoprimosentresi, entoexistemin-teirosn em tais quea n + b m = 1. Multiplicando esta ltimaAritmetica2009/6/29page 72Estilo OBMEP________72CAP. 3: OS INTEIROS E SUAS PROPRIEDADESigualdade porc obtemosa n c + b mc = c.Substituindo ab c pora e, temos quec = a n c + a e m = a (n c + e m),mostrando quea | c.A srie de problemas a seguir nos permitir deduzir a unicidadereferida no Teorema Fundamental da Aritmtica.Problema 3.46.Sejam a um nmero inteiro qualquer e p um nmeroprimo. Mostre que uma das seguintes possibilidades acontece: p |aou mdc(a, p) = 1.Problema3.47. Sejamaebdoisinteirosepumnmeroprimo.Mostre que sep | a b, entop | a oup | b.Problema3.48. Sejamp, p1ep2trs nmeros primos. Mostre quesep | p1 p2, entop = p1 oup = p2.A propriedade acima pode se generalizar como segue:Sep, p1, p2, . . . , prso nmeros primos e sep | p1 p2 pr,ento para algum ndicei tem-se quep = pi.Problema 3.49. Mostre que sep1, . . . , preq1, . . . , qs so duas cole-es de nmeros primos e sep1 pr = q1 qs,Aritmetica2009/6/29page 73Estilo OBMEP________ SEC. 3.9: APLICAES DA RELAO DE BZOUT 73ento r = s e reordenando q1, . . . qr, se necessrio, tem-se quep1 = q1, . . . , pr = qr.Este ltimo problema a prova da unicidade da escrita como pro-duto de primos de qualquer nmero natural maior do que 1, contidano enunciado do Teorema Fundamental da Aritmtica.Seja n um nmero natural escrito na sua decomposio em fatoresprimos comon = pa11 parr,e sejanum divisor positivo den. Logo na decomposio denemfatoresprimosspodemaparecerosfatoresprimosp1, . . . , pr, comexpoentesb1, . . . , br, respectivamente, satisfazendo0 b1 a1, . . . , 0 br ar. (3.3)Notequepermitimosquealgunsdosbisejamnulos, poisocor-respondente primopi pode no constar da fatorao den.Por exemplo, os divisores positivos de 60 = 223 5 so:203050= 1, 203150= 3, 203051= 5203151= 15, 213050= 2, 213150= 6,213051= 10, 213151= 30, 223050= 4,223150= 12, 223051= 20, 223151= 60.Onmerodedivisoresden=pa11 parrexatamenteonmerodenmerosinteirosb1, . . . , brsatisfazendosdesigualdadesAritmetica2009/6/29page 74Estilo OBMEP________74CAP. 3: OS INTEIROS E SUAS PROPRIEDADES(3.3), logo esse nmero (a1 + 1) (ar + 1).Problema3.50. Ache os divisores positivos de 40 e de 120. Quaisso todos os divisores?Problema 3.51.Quantos divisores positivos tem o nmero 6325? fcil determinar o mdc e o mmc de dois nmeros decompostosem fatores primos.Por exemplo, sea = 23357317 e b = 347519,temos que mdc(a, b) = 203473, enquantommc(a, b) = 23357517 19.Osnmeros aebacimapodemserrepresentadoscomoprodu-tosdepotnciasdosmesmosprimos, comoartifciodeintroduzirfatores extras da formap0(= 1) para certos nmeros primosp. Maisprecisamente, podemos escrevera = 23357317 190e b = 20347517019.Problema 3.52.Ache o mdc e mmc dos nmeros a = 1 080 e b = 210.Problema3.53. Dadosa=pa11 parreb=pb11 pbrrdoisnmerosdecompostosemfatoresprimos, escritosamboscomoprodutos de potncias dos mesmos primos, ondea1 0, . . . , ar 0 eAritmetica2009/6/29page 75Estilo OBMEP________ SEC. 3.10: EQUAES DIOFANTINAS LINEARES 75b1 0, . . . , br 0, mostre quemdc(a, b) = pc11 pcrre mmc(a, b) = pd11 pdrr,ondeci = min{ai, bi} e di = max{ai, bi}, i = 1, . . . , r.Mostre como obter disto uma nova prova da igualdademdc(a, b)mmc(c, b) = ab.O leitor no deve se iludir sobre a facilidade em calcular o mdc e ommc com o mtodo acima, pois para utiliz-lo necessrio que os doisnmeros estejam decompostos em fatores primos. Se os dois nmerosso grandesenosodadosnaformafatorada,muito trabalhosofator-losparacalcularomdcouommc, sendo, nessecaso, muitomais eciente o Algoritmo de Euclides.3.10 Equaes Diofantinas LinearesAresoluodemuitosproblemasdearitmticadependedare-soluo de equaes do tipoax + by =c, ondea, b ec so nmerosinteiros dados e x e y so incgnitas a serem determinadas em Z. Umexemplo tpico de um problema modelado por este tipo de equao o seguinte:Problema 3.54.De quantos modos podemos comprar selos de cincoe de trs reais, de modo a gastar cinquenta reais?Aritmetica2009/6/29page 76Estilo OBMEP________76CAP. 3: OS INTEIROS E SUAS PROPRIEDADESDada uma equao, as perguntas naturais que se colocam so asseguintes:1) Quais so as condies para que a equao possua soluo?2) Quantas so as solues?3) Como calcular as solues, caso existam?Daremos a seguir respostas a essas perguntas no caso das equaesem questo.A primeira pergunta admite a resposta a seguir.Teorema 3.4. A equao diofantinaax + by = c admite soluo se,e somente se, mdc(a, b) dividec.Demonstrao. Suponha que a equao admita uma soluox0, y0.Entovaleaigualdadeax0 + by0=c. Comomdc(a, b)divideaedivideb, segue que ele divideax0 + by0, logo dividec.Reciprocamente, suponha que mdc(a, b) divida c, ou sejac=mdc(a, b) d, paraalguminteirod. Poroutrolado, sabemosque existem inteirosn em tais quemdc(a, b) = a n + b m.Multiplicando ambos os lados da igualdade acima por d, obtemosc = mdc(a, b) d = a (n d) + b (md).Logo, aequaodiofantinaax +by =cadmitepelomenos aAritmetica2009/6/29page 77Estilo OBMEP________ SEC. 3.10: EQUAES DIOFANTINAS LINEARES 77soluox = n d e y = md.Problema 3.55.Diga quais so as equaes diofantinas a seguir quepossuem pelo menos uma soluo:(a) 3x +5y = 223 (b) 5x +15y = 33 (c) 2x +16y = 2 354(d) 3x + 12y = 312 (e) 23x + 150y = 12 354 f) 7x + 14y = 77Problema3.56. Mostre que sea eb so nmeros inteiros tais quemdc(a, b) =1, entotodaequaodiofantinaax +by =cpossuisoluo, independentemente do valor dec.Problema 3.57. Para quais valores de c, onde c inteiro, a equao30x + 42y = c admite solues inteiras?Seaequaoax + by=cadmiteumasoluo, entoonmerod = mdc(a, b) dividec e, portanto, temos quea = ad,b = bd ec = c d, onde mdc(a, b) = 1 (Problema 3.17).Assim, imediato vericar quex0, y0 uma soluo da equaoax+by = c se, e somente se, soluo da equao ax+by = c, ondeagora mdc(a, b) = 1.Portanto, todaequaodiofantinalinear que possui soluoequivalente a uma equao reduzida, ou seja, da formaax + by = c, com mdc(a, b) = 1.Aritmetica2009/6/29page 78Estilo OBMEP________78CAP. 3: OS INTEIROS E SUAS PROPRIEDADESO prximo resultado nos dar uma frmula para resolver a equaodiofantinalinear ax + by=c, ondemdc(a, b)=1, conhecidaumasoluo particularx0 ey0 da equao.Teorema 3.5. Sejax0ey0uma soluo particular, arbitrariamentedada, da equaoax +by = c, onde mdc(a, b) = 1. Ento as soluesda equao so da formax =x0 + tb ey =y0 ta, parat variandoem Z.Demonstrao. Se x, y uma soluo qualquer da equao, temos queax + by = ax0 + by0 = c,dondea(x x0) = b(y0 y). (3.4)Da segue quea |b(y0 y) eb |a(x x0). Como mdc(a, b) = 1,da Proposio 3.3 segue quea | (y0 y) eb | (x x0). Assim,y0 y = ta e x x0 = sb, (3.5)para alguns inteiros t e s. Substituindo esse valores em (3.4), obtemosasb = bta,o que implica ques = t. Logo, de (3.5), temos que a soluo dadaporx = x0 + tb ey = y0 ta.Reciprocamente, sex =x0 + bt ey =y0 at, substituindo essesvalores na equaoax + by = c, obtemosAritmetica2009/6/29page 79Estilo OBMEP________ SEC. 3.10: EQUAES DIOFANTINAS LINEARES 79a(x0 + bt) + b(y0 at) = ax0 + by0 + abt bat = ax0 + by0 = c.Por exemplo, a equao 3x +5y = 50 admite a soluo particularx0=0e y0=10. Assim, asoluogeral dessaequaodadaporx=0 + 5t ey=10 3t. Seestivermos procura desoluesnonegativasentodeveramoster10 3t 0, oqueimplicaquet = 0, 1, 2 ou 3. Assim, o Problema 3.54 admite as seguintes solues:(a) 10 selos de 5 reais.(b) 5 selos de 3 reais e 7 selos de 5 reais.(c) 10 selos de 3 reais e 4 selos de 5 reais.(d) 15 selos de 3 reais e um selo de 5 reais.O nico verdadeiro trabalho que se tem para resolver uma equaodiofantinalinear ax + by=ccalcularmdc(a, b)paravericarsedivide ou no c e descobrir uma soluo particular x0, y0. O primeiroproblema se resolve utilizando o algoritmo de Euclides para o clculodo mdc. Quanto ao segundo, o de determinar uma soluo particularda equao, procede-se por inspeo sea eb so nmeros pequenos.Casoaoubsejagrande, podemosusaroalgoritmodeEuclidesdetrs para a frente para determinar inteirosn em tais quean + bm = mdc(a, b) = 1,e depois multiplicar ambos os membros da equao acima porc, ob-Aritmetica2009/6/29page 80Estilo OBMEP________80CAP. 3: OS INTEIROS E SUAS PROPRIEDADEStendoa(nc) + b(mc) = c,dando-nos a soluo particularx0 = nc ey0 = mc.Problema3.58. De que maneiras podemos comprar selos de cincoe de sete reais, de modo a gastar cem reais?Problema3.59. Seummacacosobeumaescadadedoisemdoisdegraus, sobra um degrau; se ele sobe de trs em trs degraus, sobramdois degraus.Quantos degraus a escada possui, sabendo que o nmerode degraus mltiplo de sete e est compreendido entre 40 e 100.Problema3.60. Mostrequenenhumnmeropodedeixarresto5quando dividido por 12 e resto 4 quando dividido por 15.Problema 3.61.Ache todos os nmeros naturais que quando dividi-dos por 18 deixam resto 4 e quando divididos por 14 deixam resto 6.Aritmetica2009/6/29page 81Estilo OBMEP________Captulo 4A Aritmtica dos Restos4.1 CongrunciasVamosagoraintroduziragrandeideiadeGaussdedesenvolveruma aritmtica dos restos da diviso por um certo nmero xado, oque j foi explorado nas Sees 2.2 e 2.3.Denio. Sejadadoumnmerointeirommaiordoque1.Dire-mosquedoisnmerosinteiros aebsocongruentesmdulomseaebpossuremmesmorestoquandodivididosporm. Nestecaso,simbolizaremos esta situao como segue:a b mod m.Quandoa eb no so congruentes mdulom, escreve-sea b mod m.81Aritmetica2009/6/29page 82Estilo OBMEP________82CAP. 4: A ARITMTICA DOS RESTOSExemplos:1) 15 8 mod 7, pois o restos das divises de 15 e de 8 por 7 so osmesmos (iguais a 1).2) 27 32 mod 5, pois os restos das divises de 27 e 32 por 5 so osmesmos (iguais a 2).3) 31 29 mod 3, pois o resto da diviso de 31 por 3 1, enquantoo resto da diviso de 29 por 3 2.Para mostrar quea b mod m no necessrio efetuar a divisodea e deb porm, como mostrado a seguir.Proposio 4.1.Tem-se que a b mod m se e somente se m divideb a.Demonstrao. De fato, pelo algoritmo da diviso, podemos escrevera = mq1 + r1e b = mq2 + r2,onde 0 r1< m e 0 r2< m. Sem perda de generalidade, podemossupor quer1 r2(se o contrrio ocorrer, basta trocar os papis der1 er2). Assim, podemos escreverb a = m(q2 q1) + r2 r1.Logo, m divideb a se, e somente se, m divider2 r1. Por ser0 r2r1< m, segue que m divide b a se e somente se r2r1 = 0,ou seja, se e somente ser2 = r1.Aritmetica2009/6/29page 83Estilo OBMEP________ SEC. 4.1: CONGRUNCIAS 83Problema4.1. Veriquesesoverdadeirasoufalsasasseguintesarmaes:35 27 mod 4; 72 32 mod 5; 83 72 mod 5; 78 33 mod 9.Problema 4.2. Sea b mod 4, mostre quea b mod 2.Problema 4.3.Mostre que 10n 1 mod 9, para todo nmero natu-raln.Sugesto: Veja o incio da Seo 2.3.Problema 4.4.Dados a, b e c inteiros quaisquer e m um inteiro maiordo que 1, mostre as seguintes armaes:(a)a a mod m.(b) Sea b mod m, entob a mod m.(c) Sea b mod m eb c mod m, entoa c mod m.Peladenio, ascongrunciasmdulomtemtudoavercomos restos da diviso porm. A seguir exploramos mais a fundo estarelao.Segue-se, dadeniodecongrunciamdulomedasproprie-dades do problema acima, o seguinte fato:Todonmerointeiroacongruentemdulomaumesomenteumdos nmeros 0, 1, . . . , m1.De fato, os possveis restos da diviso de a por m so precisamenteosnmeros0, 1, . . . , m 1, cujosrestosdadivisopor msoelesprprios, logo dois a dois no congruentes mdulom.Aritmetica2009/6/29page 84Estilo OBMEP________84CAP. 4: A ARITMTICA DOS RESTOSProblema4.5. Sejamaumnmerointeiroqualqueremumin-teiro maior do que 1. Suponha quer seja um nmero inteiro tal que0 r 1 depende apenas dos restos da diviso dea e deb porm e no desses nmeros em si.EssefatogeneralizaoquefoiditonasSees3.5e3.6, ondeoscasosm = 2 em = 3 foram analisados.Problema4.12. Sejama eb dois nmeros inteiros cujos restos dadiviso por 7 so respectivamente 6 e 2.Determine os restos da divisodea + b,a b e deb a por 7Sugesto: Para o ltimo resto, observe que 4 3 mod 7.Problema4.13. Sem efetuar as somas e subtraes indicadas,de-termine os restos da diviso por 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 25 e 125 do nmero3 534 785 + 87 538 9 535 832.4.4 Congruncias e ProdutosProposio 4.3. Sejama1, a2, b1, b2inteiros quaisquer e sejam uminteiromaiordoque1. Sea1 b1 mod mea2 b2 mod m,entoa1 a2 b1 b2 mod m.Demonstrao. De fato, como a1 b1 mod m e a2 b2 mod m, entoAritmetica2009/6/29page 88Estilo OBMEP________88CAP. 4: A ARITMTICA DOS RESTOSm dividea1 b1 ea2 b2. Por outro lado, comoa1 a2 b1 b2 = a1 (a2 b2) + b2 (a1 b1),segue quem dividea1 a2 b1 b2, o que prova o resultado.Conclui-se que as congruncias de mesmo mdulo multiplicam-semembro a membro tal qual as igualdades.Problema 4.14. Suponha quea b mod m. Mostre quea c b c mod m,qualquer que seja o inteiroc.Repetidas aplicaes da Proposio 4.3 fornecem o seguinte resul-tado:Sea b mod m, entoan bnmod m, para todon natural.Sejamae bdois inteiros cujos restos dadivisopor msejamrespectivamenter1 er2.Ento temos quea r1 mod m e b r2 mod m.Assim,a b r1 r2 mod m.Aritmetica2009/6/29page 89Estilo OBMEP________ SEC. 4.4: CONGRUNCIAS E PRODUTOS 89Sejar o resto da diviso der1 r2 porm; logoa b r1 r2 r mod m, com0 r < m.Logo, peloProblema4.5, orestodadivisodea bpormonmeror.Assim, acabamosdevericarque, comonocasodaadio, valetambm seguinte fato para a multiplicao:Orestodadivisodoprodutoa bdedoisnmerosaebporumoutro nmerom> 1 depende apenas dos restos da diviso dea e deb porm e no desses nmeros em si.Issotambmgeneralizaparaamultiplicaooquefoi ditonasSees 3.5 e 3.6, onde os casosm = 2 em = 3 foram analisados.Problema4.15. Sejama eb dois nmeros inteiros cujos restos dadiviso por 7 so respectivamente 6 e 2. Determine o resto da divisodea b por 7.Problema4.16. Sem efetuar as multiplicaes indicadas, determi-ne os restos da diviso por 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 25 e 125 do nmero5 327 83433 842 53629 369 270 00120.Noteque2 3 2 6 mod 6, masnoentanto3 6 mod 6.Portanto, no caso das congruncias no vale um cancelamento anlogoao caso da igualdade.Problema 4.17. Sejam a, b, c e mnmeros inteiros e comm > 1. Mostre que se a c b c mod m e se mdc(c, m) = 1, entoa b mod m.Aritmetica2009/6/29page 90Estilo OBMEP________90CAP. 4: A ARITMTICA DOS RESTOSSugesto: Utilize a Proposio 3.3.4.5 Algumas Aplicaes1. Um critrio de divisibilidade por 6Observe inicialmente que10 4 mod 6,102 42 4 mod 6,103 10210 4 4 4 mod 6,104 10310 4 4 4 mod 6.Voc tem ainda alguma dvida de que 10i 4 mod 6, para todonmero naturali > 0?Assim, se um nmero natural n escrito no sistema decimal comonr . . . n1n0, temos quen = n0+10n1+102n2+ +10rnr n0+4n1+4n2+ +4nr mod 6.Com isto, temos que o resto da diviso de n por 6 igual ao resto dadiviso den0 + 4n1 + 4n2 + + 4nrpor 6.Logo, provamos que:Umnmero n = nr . . . n1n0 divisvel por 6 se e somente sen0 + 4n1 + 4n2 + + 4nr divisvel por 6.Problema 4.18.Ache o resto da diviso por 6 do nmero 3 215 529.Aritmetica2009/6/29page 91Estilo OBMEP________ SEC. 4.5: ALGUMAS APLICAES 912. Um critrio de divisibilidade por 7, 11 e 13Note que 7 11 13 = 1 001. Logo,1 000 1 mod 7, 1 000 1 mod 11 e 1 000 1 mod 13.Assim, mdulo 7, 11 e 13, temos que103 1,106 (1)2 1,109 (1)3 1,1012 (1)4 1,etc.Escrevendo um nmero n na representao decimal comonr . . . n2n1n0, temos, mdulo 7, 11 ou 13, quen = n0n1n2 + n3n4n5 103+ n6n7n8 106+ n0n1n2 n3n4n5 + n6n7n8 .Assim, o resto da diviso den por 7,11 ou 13 igual ao resto dadiviso den0n1n2n3n4n5 +n6n7n8 por 7, 11 ou 13, respecti-vamente.Dessemodo,obtemos o seguinte critrio dedivisibilidadepor7,11 ou 13:O nmeronr . . . n2n1n0 divisvel por 7, 11 ou 13 se, e somente se,o nmeron0n1n2n3n4n5+n6n7n8 divisvel por 7, 11 ou 13,respectivamente.Aritmetica2009/6/29page 92Estilo OBMEP________92CAP. 4: A ARITMTICA DOS RESTOSProblema4.19. Ache o resto da diviso por 7, 11 e 13 do nmero3 215 529.Problema 4.20.Mostre que 10i (1)imod 11, para todo naturali. Deduza este outro critrio de divisibilidade por 11:Um nmero nr . . . n2n1n0 divisvel por 11 se, e somente se, o nmeron0 n1 + n2 divisvel por 11.3. Os restos da diviso das potncias de 2 por7Observe que21 2 mod 7,22 4 mod 7,23 1 mod 7.Dadoumnmerointeiron, peloalgoritmodadiviso, podemosescrev-lo na forman = 3q + r, onder = 0, 1 ou 2.Assim,2n= 23q+r= (23)q2r 2rmod 7.Porexemplo, sen=132=3 44, ento21321 mod 7, poisr = 0.Sen = 133 = 3 44 + 1, ento 2133 2 mod 7, poisr = 1.Sen = 134 = 3 44 + 2, ento 2134 4 mod 7, poisr = 2.Problema 4.21.Ache o resto da diviso por 7 dos seguintes nmeros:25 345, 23 765 839, 21010.Aritmetica2009/6/29page 93Estilo OBMEP________ SEC. 4.5: ALGUMAS APLICAES 93Problema4.22. Sabendo que24= 16 1 mod 17,ache o restoda diviso de 230por 17.Problema 4.23. Determine o resto da diviso de 2325por 17.4. A equao diofantinax3117y3= 5Esta equao possui uma histria curiosa que relatada no livrode S. Collier citado na bibliograa.Vamos mostrar que esta equao no possui solues inteiras. Defato, suponhamos, porabsurdo, quex0, y0sejaumasoluointeirada equao. Entox30 5 mod 9, (4.1)j que 117 0 mod 9.Mas, sendo x0 congruente a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 mdulo 9, segueporcontaselementaresquex30congruentea0, 1ou8, mdulo9.Logo, a congruncia (4.1) no possui soluo, o que fornece uma con-tradio.Problema 4.24. Mostre que a equao diofantinax2+ y2+ z2= 8w + 7no possui soluesx, y, z, w inteiros.Sugesto: Reduza a equao mdulo 8 e mostre quex20 + y20 + z20 7 mod 8nunca ocorre.Aritmetica2009/6/29page 94Estilo OBMEP________94CAP. 4: A ARITMTICA DOS RESTOS5. Os nmeros da forma36n26nso divisveis por 35Temos que36= 3333 (1) (1) 1 mod 7,26= 2323 1 1 1 mod 7.Por outro lado,36= 3333 2 2 1 mod 5,26= 2323 3 3 1 mod 5.Logo, 36n26n 0 mod 7 e 36n26n 0 mod 5.Assim, 36n 26n divisvel por 5 e por 7 e como mdc(5, 7) = 1,segue, do Problema 3.42, que 36n26n divisvel por 35.Problema4.25. Mostre que todo nmero da forma 198n 1 di-visvel por 17.Problema4.26. Mostrequetodonmerodaforma133n+ 173ndivisvel por 45, quandon mpar.6. Euler tinha razo, Fermat estava enganado!Na Seo 2.4 nos perguntamos se o nmero 4 294 967 297 era primoou composto?Aritmetica2009/6/29page 95Estilo OBMEP________ SEC. 4.5: ALGUMAS APLICAES 95De fato, esse nmero corresponde an = 5 dos chamados nmerosde Fermat que so da forma:Fn = 22n+ 1.Fermatarmouqueessesnmeros, paraqualquervalornaturalden, eram primos e dava como exemplosF0= 3, F1= 5, F2= 17,F3 = 257 eF4 = 65 537, que so efetivamente primos.Noentanto, onmeroF5=225+ 1=4 294 967 297eramuitogrande para se poder vericar se era primo ou no.Euler, estudando a forma dos divisores de um nmero do tipo deFn, chegou concluso de que seF5fosse composto, ele deveria serdivisvel pelo primo 641.Euler, um exmio calculista, mostrou que 641 divideF5 com umavericao semelhante a que segue:1Observemos inicialmente que 641 = 5 27+ 1, logo5 27 1 mod 641.Elevando quarta potncia ambos os membros da congruncia acima,obtemos54228 1 mod 641. (4.2)Por outro lado, da igualdade 641 = 54+ 24(verique!), obtemosque54 24mod 641. (4.3)1Fizemos uma adaptao do argumento de Euler, pois no seu tempo ainda noexistia a noo de congruncia.Aritmetica2009/6/29page 96Estilo OBMEP________96CAP. 4: A ARITMTICA DOS RESTOSJuntando(4.2)e(4.3), obtemosque 2321 mod 641, oqueimplicaF5= 232+ 1 0 mod 641,donde641 divideF5. Portanto,F5 no primo.4.6 Aritmtica ModularAAritmticaModular foi introduzidapor Gauss noseulivroDisquisitiones Aritmeticae publicado em 1801.Fixado um nmero inteirom> 1,vamos associar a um nmerointeiroa qualquer o smboloa representando o resto da sua divisopor m, tal qual zemos nas Sees 3.5 e 3.6, nos casos m = 2 e m = 3.Portanto, dados dois nmeros a e b tem-se que a = b se, e somentese, os restos da diviso dea e deb porm so iguais, ou seja,a = b se, e somente se, a b mod m.Sendo todos os possveis restos da diviso por mos nmeros0, 1, 2, . . . , m 1, temos qualquer a igual a umdos seguintes:0, 1, . . . , m1.Nas Sees 4.3 e 4.4 observamos que os restos da diviso da somae do produto de dois nmeros no dependem dos nmeros em si, masapenas dos restos da diviso desses nmeros. Sendo assim, para achar(a + b) e (a b) s precisamos saber como operar aditivamente e mul-tiplicativamente com os smbolos a e b, que so justamente elementosda forma 0, 1, . . . , m1, a exemplo do que zemos nas sees 3.5 e3.6, nos casosm = 2 em = 3.Aritmetica2009/6/29page 97Estilo OBMEP________ SEC. 4.6: ARITMTICA MODULAR 97Aritmtica mdulom = 4Para efeito de ilustrao, tomemos o casom = 4. Neste caso, te-mos apenas os smbolos 0, 1, 2 e 3 a considerar.Pede-se ao leitor vericar as seguintes tabelas:+ 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1Note que diferentemente da aritmtica dos nmeros inteiros, surgeum novo fenmeno: 2 = 0 e, no entanto, 2 2 = 0.Problema 4.27. Mostre que sei = 0, 1, 2, 3, ento i = 4 i.Problema4.28. Determineorestodadivisopor4donmero:45 769 83453263 8761 654+ 87 987 5451 345 87495 973 434Aritmtica mdulom = 5Analisaremos agora o casom = 5. Neste caso,temos apenas ossmbolos 0, 1, 2, 3 e 4 a considerar.Pede-se ao leitor vericar as seguintes tabelas:Aritmetica2009/6/29page 98Estilo OBMEP________98CAP. 4: A ARITMTICA DOS RESTOS+ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3 0 1 2 3 40 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 1 33 0 3 1 4 24 0 4 3 2 1Notequeaqui voltaavaleraregra: sea =0e b =0, entoa b = 0.Problema 4.29. Mostre que sei = 0, 1, 2, 3, 4, ento i = 5 i.Problema 4.30. Determine o resto da diviso por 5 do nmero:45 769 83453263 8761 654+ 87 987 5451 345 87495 973 434Problema 4.31. Determine as tabelas da adio e da multiplicaoparam=6eparam=7. Quediferenasvocnotaentreosdoiscasos?Aritmetica2009/6/29page 99Estilo OBMEP________Captulo 5Problemas SuplementaresApresentaremosnestecaptuloumalistadeproblemasmaisde-saadores do que aqueles que se encontram no texto, cujo objetivo serestringia a complement-lo, alm de testar a compreenso do leitornos conceitos apresentados.Nosdoisprimeiroscaptulosapresentamosalinguagembsicaeos resultados fundamentais, sem os quais no seria possvel enunciar,muito menos resolver, problemas mais elaborados. Os problemas pro-postos a seguir dizem respeito ao material exposto nos Captulos 3 e4. Os problemas marcados com asterisco tm um grau de diculdademaior que os demais.Antes pormdeiniciar os problemas propriamenteditos, rela-cionamosaseguiralgumasidentidadesmuitoteisnaresoluodealguns dos problemas.99Aritmetica2009/6/29page 100Estilo OBMEP________100CAP. 5: PROBLEMAS SUPLEMENTARESExpresses do tipo an1, com nqualquera21 = (a 1)(a + 1)a31 = (a 1)(a2+ a + 1)a41 = (a 1)(a3+ a2+ a + 1)a51 = (a 1)(a4+ a3+ a2+ a + 1)Em geral,an1 = (a 1)(an1+ an2+ + a + 1).Expresses do tipo am1, com mpara21 = (a + 1)(a 1)a41 = (a + 1)(a3a2+ a 1)a61 = (a + 1)(a5a4+ a3a2+ a 1)Em geral,a2n1 = (a + 1)(a2n1a2n2+ + a 1).Expresses do tipo am+1, com mmpara3+ 1 = (a + 1)(a2a + 1)a5+ 1 = (a + 1)(a4a3+ a2a + 1)a7+ 1 = (a + 1)(a6a5+ a4a3+ a2a + 1)Em geral,a2n+1+ 1 = (a + 1)(a2na2n1+ a + 1).Aritmetica2009/6/29page 101Estilo OBMEP________101Problemas sobre o Captulo 3S-3.1Mostre que todo nmero inteiro no nulo a se escreve de modonico na forma a = 2rb, onde r N e b um nmero mpar.O nmero2r a maior potncia de 2 que dividea. Generalize esta propriedadepara um primop qualquer no lugar de 2.S-3.2(a) Quantos mltiplos de 5 existem no intervalo [1, 120]? e no in-tervalo [1, 174]?(b) Quantos mltiplos de 7existememcadaumdos intervalos[70, 342] e [72, 342]?S-3.3 Dados 0 < a n < m, mostre que no intervalo [1, n] existemq mltiplos de a, onde q o quociente da diviso de n por q. Quantosso os mltiplos de a no intervalo [n, m]?(Na ltima situao, dividaa anlise em dois casos: n mltiplo dea e o contrrio.)S-3.4 Mostre que dadosm inteiros consecutivos um,e apenas um,deles mltiplo dem.S-3.5 Com quantos zeros termina o nmero 2 3 4 120?Eo nmero 2 3 4 174?S-3.6Mostre que o produto de quatro nmeros inteiros consecutivos,quaisquer, sempre mltiplo de 24.S-3.7(a) Mostre que sen mpar, enton21 mltiplo de 8.Aritmetica2009/6/29page 102Estilo OBMEP________102CAP. 5: PROBLEMAS SUPLEMENTARES(b) Mostre que sen mpar, enton(n21) mltiplo de 24.(c) Mostre que sen no mltiplo de 2 nem de 3, enton2 1 mltiplo de 24. Mostre que o mesmo vale paran2+ 23.S-3.8(a) Mostre que se um nmeroa no divisvel por 3, ento o restoda diviso dea2por 3 1.(b) A partir desse dado, mostre que se um inteiro da forma a2+ b2 mltiplo de 3, entoa eb so ambos mltiplos de 3.S-3.9 Mostre que sen > 1, ento o nmeron4+ 4 composto.S-3.10(a) Mostre que o nico nmero primo da forman3+ 1 2.(b) Mostre que o nico nmero primo da forman31 7.S-3.11* Mostreque, dadon>2, entrene2 3 nexistesempre um nmero primo. (Note que esta armao bem mais fracado que o Postulado de Bertrand.)S-3.12(a) Ache o menor inteiro positivon tal que o nmero 4n2+ 1 sejadivisvel por 65.(b) Mostre que existem innitos mltiplos de 65 da forma 4n2+ 1.Aritmetica2009/6/29page 103Estilo OBMEP________103(c) Mostrequeseumdadonmerodivideumnmerodaforma4n2+ 1, ele dividir uma innidade desses nmeros.(d) Para este ltimo resultado, existe algo de especial nos nmerosda forma 4n2+1?Teste o seu resultado para nmeros da formaan2+ bn + c, ondea, b, c Z, coma eb no simultaneamentenulos.(e) Mostre que existem innitos mltiplos de 7 da forma 8n2+3n+4.S-3.13(a) Sejamdadososdoisnmerosa=10c + reb=c 2r, comc, r Z. Mostrequeamltiplode7se, esomentese, bmltiplo de 7.(b) Deduza o seguinte critrio de multiplicidade de 7:Onmeron=ar a1a0mltiplode7se, esomentese, onmeroar a1 2a0 mltiplo de 7.(c) Utilize repetidas vezes o critrio acima para vericar se 2 368 ou no mltiplo de 7.Um nmero inteiron dito um quadrado se existea Z tal quen = a2. Dizemos quen uma potnciam-sima quandon = am.S-3.14(a) Mostre que o algarismo das unidades de um quadrado s podeser um dos seguintes: 0, 1, 4, 5, 6 e 9.Aritmetica2009/6/29page 104Estilo OBMEP________104CAP. 5: PROBLEMAS SUPLEMENTARES(b) Mostre que nenhumdos nmeros 22, 222, 2 222, . . ., ou33, 333, 3 333, . . ., ou 77, 777, 7 777, . . ., ou ainda88, 888, 8 888, . . . pode ser um quadrado.S-3.15(a) Mostre que todo quadrado mpar da forma 4n + 1.(b) Mostre que nenhum nmero na sequncia 11, 111, 1 111, 11 111etc., um quadrado.(c) Mostre que nenhum nmero na sequncia 44, 444, 4 444, 44 444etc., um quadrado.(d) Mostre que nenhum nmero na sequncia 99, 999, 9 999, 99 999etc., um quadrado.(e) Mostre que nenhum nmero na sequncia 55, 555, 5 555, 55 555etc., um quadrado.S-3.16(a) Mostre que nenhum nmero da forma 4n + 2 um quadrado.(b) Mostre que nenhumdos nmeros 66, 666, 6 666, . . . umquadrado.S-3.17(a) Mostre que a soma de quatro inteiros consecutivos nunca umquadrado.Aritmetica2009/6/29page 105Estilo OBMEP________105(b) Mostrequeasomadosquadradosdequatrointeirosconsecu-tivosnuncaumquadrado. Faaomesmoparaasomadosquadrados de trs inteiros consecutivos.S-3.18(a) Mostre que todo quadrado da forma 8n, 8n + 1 ou 8n + 4.(b) Mostre que nenhum nmero na sequncia 3, 11, 19, 27 etc., um quadrado.S-3.19 Mostre que numa sequncia de inteiros da formaa, a + d, a + 2d, a + 3d, . . .se existir algum nmero que quadrado, existiro innitos nmerosque so quadrados.S-3.20*(a) Mostrequetodonmerointeiromparpodeserrepresentadocomo diferena de dois quadrados.(b) Mostre que sep = 1 ou sep> 2 um nmero primo, entopse escreve de modo nico como diferena de dois quadrados denmeros naturais.(c) Mostre que todo nmero da forma 4kn, onde n mpar se escrevecomo diferena de dois quadrados.Aritmetica2009/6/29page 106Estilo OBMEP________106CAP. 5: PROBLEMAS SUPLEMENTARES(d) Mostrequeseumnmeropardiferenadedoisquadrados,ento ele mltiplo de 4.S-3.21Mostre que todo cubo diferena de dois quadrados, ou seja,dadoa Z, existemx, y Z tais quea3= x2y2.S-3.22* Ache os nmerosn para os quais o nmeron(n + 14) sejaum quadrado.Um nmero inteirom = 0 dito livre de quadrados, quando nohouver nenhum nmeroa = 1 tal quea2dividem.Diremos quem = 0 livre de cubos quando no houver nenhumnmeroa = 1 tal quea3dividem.S-3.23(a) Mostre quem livre de quadrados se, e somente se, a decom-posiode memfatoresprimosdaforma p1 pr, ondep1, . . . , prso primos distintos.(b) Mostre que m livre de cubos se, e somente se, a decomposiode m em fatores primos da forma pn11 pnrr, onde p1, . . . , prso primos distintos eni 2, para todoi = 1, . . . , r.S-3.24 Qual omaiornmerodeinteirospositivosconsecutivoslivres de quadrados?E livres de cubos?Generalize.S-3.25 Mostreque5oniconmeroprimoquepertenceadoispares distintos de primos gmeos.Aritmetica2009/6/29page 107Estilo OBMEP________107S-3.26 Mostre que sen composto, enton divide o produto1 2 3 (n 1).S-3.27 Dados dois inteiros a e b distintos, mostre que existem inni-tos nmerosn para os quais mdc(a + n, b + n) = 1.S-3.28 Calcule mdc(n + 1, n2+ 1), paran Z.S-3.29 Mostre que se ae b sodois nmeros naturais tais quemdc(a, b) = mmc(a, b), entoa = b.S-3.30 Resolva o seguinte sistema de equaes:mdc(x, y) = 6mmc(x, y) = 60S-3.31Observe que mdc(x, y) divide mmc(x, y), quaisquer que sejamx, y Z, no nulos.Mostre que se no seguinte sistema:mdc(x, y) = dmmc(x, y) = mdm, ele no admite soluo. Mostre que se d | m, o sistema sempreadmite soluo.S-3.32 Observeque[mdc(x, y)]2divide xy, quaisquer quesejamx, y Z, no nulos.Aritmetica2009/6/29page 108Estilo OBMEP________108CAP. 5: PROBLEMAS SUPLEMENTARESMostre que se o seguinte sistema:mdc(x, y) = dxy = m tal qued2 m, ele no admite soluo. Mostre que sed2| m, o sis-tema sempre admite soluo.S-3.33(a) Ache os nmeros primos da formaa21.(b) Existem primos da formaa31?Ea41?(c) Mostre que sea > 2 en > 1, entoan1 composto.(d) Mostre que sen composto, ento 2n1 composto.Portanto, se 2n1 primo, ento n primo. Nmeros primos daforma 2p1, ondep primo so chamados primos de Mersenne.S-3.34(a) Mostre que todo cubo que tambm um quadrado da forma5n, 5n+1 ou 5n+4 (ou seja, nunca da forma 5n+2 ou 5n+3).(b) Mostre que todo cubo que tambm um quadrado da forma7n, 7n + 1.S-3.35(a) Mostrequetodoprimomaiordoque3daforma3n + 1ou3n + 2.Aritmetica2009/6/29page 109Estilo OBMEP________109(b) Mostrequequalquernmerodaforma3n + 2temumfatorprimo da mesma forma.(c*) Mostre que existem innitos primos da forma 3n + 2.(d) Existem innitos primos da forma 3n + 1, mas a prova disso mais sutil.S-3.36(a) Mostrequetodoprimomaiordoque3daforma4n + 1ou4n + 3.(b) Mostrequequalquernmerodaforma4n + 3temumfatorprimo da mesma forma.(c*) Mostre que existem innitos primos da forma 4n + 3.(d) Existem innitos primos da forma 4n + 1, mas a prova disso um pouco mais sutil (veja Elementos de Aritmtica, Proposio8.1.4).S-3.37 Mostre que todo nmero primo da forma 3k + 1 da forma6n + 1.S-3.38(a) Mostrequetodoprimomaiordoque3daforma6n + 1ou6n 1.(b) Mostrequequalquernmerodaforma6n 1temumfatorprimo da mesma forma.Aritmetica2009/6/29page 110Estilo OBMEP________110CAP. 5: PROBLEMAS SUPLEMENTARES(c*) Mostre que existem innitos primos da forma 6n 1.(d) Mostre que existem innitos primos da forma 6n+1 (Utilize osProblemas S-3.37 e S-3.35 (d)).As propriedades enunciadas nos Problemas S-3.35 (c) e (d),S-3.36 (c) e (d) e S-3.38 (c) e (d) so casos particulares de um teoremaprofundo e de difcil demonstrao do matemtico