UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

“Sistemas de Controle I”

Prof. Dr. Carlos Tavares da Costa Júnior

Maio / 2006

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Capítulo I: Introdução aos sistemas de controle I.1. Introdução

Controle é um conceito bastante comum e vasto na atualidade. O termo é usado para referirmos à relações puramente humanas e a circunstâncias do cotidiano, quando, por exemplo dizemos que algo está “sob controle”. O termo “controle” pode também se referir a uma específica interação máquina – homem, como na condução de um automóvel, onde é necessário controlar o veículo para se chegar a um destino planejado. Finalmente controle pode envolver apenas máquinas, como no controle de temperatura de uma sala, para o qual podemos usar um aquecedor para controlar a temperatura no inverno e um ar – condicionado para controlar a temperatura no verão. Nos dois últimos exemplos de controle, um corpo extensivo de experiências e análises teóricas está incluído na área de controle automático, que é o objetivo deste curso. A lista de variáveis sujeitas a controle é vasta, sendo virtualmente limitada pela imaginação de cada um. Em mecanismos, controle tem sido aplicado à posição, velocidade, e força, por exemplo. Dentro do corpo humano, a pressão sanguínea, o açúcar no sangue, o dióxido de carbono nas células e o diâmetro da pupila no olho são poucas das muitas variáveis controladas por mecanismos biológicos que podem ser estudados com referência aos métodos de controle automático. As ocorrências do controle como principio da natureza e da engenharia estão de fato muito espalhadas. I.2. Um breve histórico dos sistemas de controle

Uma interessante história dos primeiros trabalhos em controle automático foi escrita por Mayr em 1970. Ele traça o controle de mecanismos da antiguidade e descreve alguns dos primeiros exemplos. Um dos mecanismos inventados na antiguidade é o controle de nível de um líquido que ainda é usado para o controle de nível com uma válvula flutuante similar às que são usadas em descargas sanitárias (figura 01).

Fig.01: Controle de nível de um líquido

O primeiro trabalho significativo em controle automático foi de James Watt, que

construiu um controlador centrífugo para controle de velocidade de uma máquina a vapor no século XVIII. Outros trabalhos importantes nos primeiros estágios de desenvolvimento da teoria de controle são os de Minorsky, Hazen e Nyquist, entre muitos outros. Em 1922, Minorsky trabalhou em controladores automáticos para pilotagem de navios e mostrou com poderia ser determinada a estabilidade a partir das equações diferenciais que descrevem o sistema. Em 1932, Nyquist desenvolveu um procedimento relativamente simples para determinar a estabilidade de sistemas de malha fechada com base na resposta a entradas senoidais em regime permanente da malha aberta. Em 1934, Hazen, que introduziu o termo “servomecanismos” para

3

sistemas de controle de posição, discutiu o projeto de servomecanismos a relé capazes de seguir muito de perto uma entrada variável.

Durante a década de 40, os métodos de resposta em freqüência tornaram possível aos engenheiros projetar sistemas de controle realimentados lineares que satisfaziam aos requisitos de desempenho. Desde o final da década de 40 até o início dos anos 50, o método do lugar das raízes em projeto de sistemas de controle foi completamente desenvolvido.

Os métodos de resposta em freqüência e lugar geométrico das raízes que correspondem ao coração da teoria de controle clássica levaram sistemas a serem estáveis e a satisfazerem um conjunto de requisitos de desempenho mais ou menos arbitrários. Estes sistemas, não são, em geral, ótimos no sentido lato. Desde a década de 50, a ênfase nos projetos de controle que operam para o projeto de um sistema ótimo em algum sentido lato.

Em virtude de processos com muitas entradas e saídas tornaram – se mais e mais complexos, a descrição de um sistema de controle moderno exige um grande número de equações. A teoria de sistemas clássicas que trata apenas de sistemas de entrada - simples saída - simples tornou - se inteiramente impotente para sistemas de múltiplas - entradas múltiplas - saídas. Desde 1960, aproximadamente, a teoria de controle moderna tem sido desenvolvida para competir com a complexidade crescente de processos modernos e requisitos rigorosos e estreitos em precisão, peso e custo em aplicações militares, espaciais e industriais.

Devido a crescente disponibilidade de computadores digitais para uso em cálculos complexos, a utilização de computadores no projeto de sistemas de controle programáveis e o uso de computadores on-line na operação de sistemas de controle constituem atualmente uma prática comum.

Como tendências atuais da teoria de controle tem-se: • Controle ótimo • Controle adaptativo • Controle robusto • Controle inteligente: Fuzzy, neural, neuro-fuzzy • Controle digital Como exemplos de aplicação tem-se: • Máquinas de fazer papel • Refinarias de petróleo • Automóveis • Piloto automático de aeronaves • Robôs industriais • Linhas de produção: Refrigerante, etc...

I.3 Classificação de sinais Determinísticos: Podem ser modelados como funções do tempo completamente

especificadas. Ex. tensão da rede elétrica. Aleatórios: Assumem valores aleatórios em qualquer instante de tempo e devem ser

modelados probalilísticamente. Ex. vento, raio. Periódicos: Um sinal é periódico se e somente se, x(t + T) = x(t), -∞<t<∞, T = cte.

Ex. y(t) = sen[(2π/T)t].

4

Não Periódicos: Se e somente se x(t + T) ≠ x(t). Ex. y(t) = t2

Contínuos: Podem ser modelados por funções reais tendo como variável independente uma variável contínua. Ex. y(t) = sen[(2π/T)t].

Analógico: A amplitude assume uma faixa contínua de valores. Quantizado: A amplitude assume um conjunto finito de valores (quantizada).

Discretos: São modelados por funções reais, tendo como variável independente uma

variável discreta. Ex. y(t) = sen[(2π/T)kT], T ∈R, k = 0, 1, 2,.... Amostrado: A amplitude assume uma faixa contínua de valores. Digital: A amplitude assume um conjunto finito de valores (quantizada).

a)Aanalógico b)Contínuo,quantizado na amplitude

c)Amostrado d)Digital Fig.02: Sinais contínuos e discretos

I.4. Definições Planta: qualquer objeto físico a ser controlado. Ex.: Um navio, uma caldeira para

aquecimento, um carro de fórmula um. Processo: qualquer operação a ser controlada. Ex.: Processos químicos, econômicos

e biológicos. Sistema: a) É qualquer porção do universo que esteja sendo estudada b) É uma

combinação de componentes que atuam conjuntamente e realizam um certo objetivo. É algo mais geral que plantas e processos e não é limitado a algo físico. Ex.: Sistemas físicos (elétricos, mecânicos), econômicos, biológicos, etc.

Sistema

Planta 1 Planta 2

Processo

Fig.03: Ilustração que relaciona sistema planta e processo

Distúrbio: é um sinal ou adversidade que tende a afetar o valor da saída.

• Interno – é gerado dentro do sistema.

5

Ex.: Erros de modelagem, variações paramétricas. • Externo – é gerado fora do sistema, constituindo uma entrada. Ex.: Vento.

I.5 Classificação de Sistemas Contínuo: Os sinais processados são contínuos no tempo. Ex. Redes elétricas. Discreto: Os sinais processados são discretos no tempo. Ex. Computador digital. Amostrado: Os sinais processados são contínuos e discretos. Ex. Sistema de controle

via computador. Invariantes no Tempo: Para uma mesma entrada a saída será a mesma,

independentemente de quando ocorra a entrada. Ex. rede elétrica RLC onde RLC não se alteram no tempo. Fig.04: Exemplo de invariância no tempo

Variante no tempo: São aqueles que não são invariantes no tempo. Ex. Foguete, carro (perda de massa em ambos os casos).

Causal: Ou não antecipativos, são aqueles para os quais a saída em um dado instante

de tempo “to” , depende apenas de valores da entrada em “to” ou antes de “to”. Ex. Avião, robô.

Não causal: Ou antecipativo, são aqueles para os quais a saída num instante de

tempo depende de valores da entrada em instantes posteriores ao referido instante (ainda por acontecer). Ex. Fenômenos da física quântica.

Relaxado: São aqueles que tem condições iniciais nulas.

Ex. Circuito RC com o capacitor inicialmente descarregado, pois,

∫+=T

dttiC

VctVc0

)(1)0()( Não relaxado: Tem condições iniciais não nulas.

Ex. Capacitor inicialmente carregado, pois, Vc(0) ≠ 0. Dinâmico: A saída em qualquer instante de tempo depende não só dos sinais de

entrada e saída atuais, mas também de seus valores passados ou futuros. Ex. Circuito RC.

∫++=T

dttiC

VctRitVin0

)(1)0()()(

Instantâneo: Ou de memória nula, a saída em qualquer instante de tempo depende apenas dos sinais de entrada no mesmo instante. Ex. Circuito resistivo.

)()( tRitVin = Monovariável: Possuem uma variável de entrada e uma de saída.

Ex. Ar condicionado. Hu y

6

Fig.05: Sistema monovariável

Multivariável: Possuem “m”variáveis de entrada e “r”de saída.

Ex. Servomotor com medida de posição e velocidade angular.

Fig.06: Sistema multivariável

Determinístico: O parâmetros e sinais de entrada e saída podem ser modelados por funções completamente especificadas. Ex. Circuito RLC.

Estocástico: Parâmetros e/ou sinais de entrada e saída são definidos apenas pela

probabilidade e estatística. Ex. Influência do vento em fogute/avião.

A parâmetros concentrados: São descritos através de equações diferenciais ordinárias ou por equações de diferenças. Ex. Massa, mola amortecedor.

)()()()( txmtxBtKxtF•••

=−− A parâmetros distribuídos: São descritos por equações a derivadas parciais.

Ex. Temperatura numa sala.

2),(),(),(2

2

++∂

∂=

∂∂ txy

ttxy

xtxy

Linear: Um sistema é dito linear se satisfaz o princípio da superposição ou seja,

satisfaz simultaneamente os seguintes princípios: Homogeneidade: Ao se multiplicar a entrada por um fator constante a saída se

altera do mesmo modo. Se u ⇒ y então α u ⇒ α y

Aditividade: A resposta devido a soma de duas entradas é igual a soma das respostas devido as entradas individuais. Se u1 ⇒ y1 e u2 ⇒ y2, então, u1 + u2 ⇒ y1 + y2.

Não linear: Não satisfazem o princípio da superposição.

Ex. Pêndulo.

)(2 tmlmglsinTc••

=− θθ Sistema de controle: é uma interconexão de componentes que reconfiguram um

sistema, de modo a proporcionar uma resposta ou desempenho desejado para o mesmo. Pode-se dividir os sistemas de controle em duas categorias: A Eventos Discretos: Controla-se uma seqüência de eventos dentro de uma

linha de produção. Ex. Movimentar ou parar uma esteira transportadora. A Eventos Contínuos: Controla-se variáveis específicas de um evento. Ex.

Velocidade de uma esteira transportadora.

Hu1 y1

um yr

7

A base para a análise de um sistema de controle a Eventos Contínuos fundamenta-se na teoria dos sistemas lineares, a qual supõe uma relação de causa e efeito para os componentes do sistema.

Seja a planta ou processo a ser controlado representado pela figura 07:

Planta ouProcesso

Entrada Saída

Fig.07: Planta

A relação causa – efeito do processo é representada pela relação entrada – saída.

A planta (ou processo) acima pode ser controlada (o) de duas maneiras: Em um sistema de controle de malha aberta; ou em um sistema de controle de malha fechada.

Sistema de controle de malha aberta: é aquele que utiliza um regulador ou atuador

de controle com o objetivo de obter a resposta desejada apenas baseado no sinal de referência de entrada.

Regulador ouAtuador

Planta ouProcesso

Saída RealSinal de referência

de entrada

Fig.08: Controle em malha aberta

Sistema de controle de malha fechada: é aquele que utiliza um regulador ou atuador

de controle para obter a resposta desejada baseada no erro obtido com a comparação do sinal de referência de entrada (saída desejada) com a saída real.

Fig.09: Controle em malha fechada

O Sistema de controle de malha fechada é também chamado de sistema de controle realimentado.

Definição: Um sistema de controle realimentado é aquele que tende a manter uma

relação prescrita de uma variável para outra, comparando funções dessa variável e usando a diferença como meio de controle, ou ainda, a resposta do controlador é determinada a partir do erro obtido na comparação do sinal de referência de entrada (saída desejada) com a saída real.

8

Tipos de sistema de controle em malha fechada: Analógico: Utiliza circuitos eletrônicos para a implementação do controlador,

normalmente pelo uso de resistores, capacitores e amplificadores operacionais. Digital: Utiliza um computador (microcontrolador) para implementação da lei de

controle. O cálculo da lei de controle é feito através de um código de programa.

Fig.10: Controle digital em malha fechada Notação:

r(t) - Entrada de referência u(t) - Ação de controle y(t) - Resposta da planta (sinal de saída)

)(^

ty - Saída do sensor ê(t) - Erro aproximado e(t) - Erro do sistema (r(t) - y(t)) w(t) - Distúrbio na planta v(t) - Ruído no sensor A/D - Conversor analógico-digital D/A - Conversor digital-analógico m(kT) - Erro discretizado (digitalizado) u(kT) - Ação de controle discretizada (digital) Objetivos: Garantir estabilidade: amplitude da reposta limitada quando sujeito a uma entrada ou perturbação limitada. Resposta satisfatória da planta, de acordo com algum critério de projeto, a partir de uma ação de controle em malha fechada, ou seja, a saída da planta y(t) deve rastrear a entrada de referência, como a maior precisão possível, independentemente de perturbações externas ou internas (robustez). Elementos Básicos: AMOSTRADOR-SEGURADOR (SAMPLE-AND-HOLD,S/H): Circuito que recebe um sinal analógico e mantêm seu valor constante durante um período de amostragem. PERÍODO DE AMOSTRAGEM - Ts: Instantes de tempo em que o computador recebe e envia sinais digitais. Normalmente é fixo. É obtido pela produção de pulsos a cada Ts segundos, sincronizados pelo relógio interno do computador. CONVERSOR D/A (Digital-Analógico) ou Decodificador: Realiza a interface entre um computador digital e um dispositivo analógico. Decodifica uma entrada de código digital u(kT), numa saída analógica u(t). Sempre contêm de um circuito HOLD.

A/DCOMPUTADOR

DIGITALD/A ATUADOR PLANTA

SENSOR

w(t)

r(t) ê(t) m(kT)u(kT) u(t)

+

y(t)

v(t)

-

y(t)

RELÓGIO

^

9

COMPUTADOR DIGITAL: Processa o sinal de erro digitalizado m(kT), de acordo com o programa nele instalado, e gera o sinal de controle u(kT) a cada Ts. CONVERSOR A/D (Analógico-Digital) ou Codificador: Realiza a interface entre um dispositivo analógico e um computador digital. Converte um sinal analógico ê(t) num sinal de código digital m(kT). Sempre contêm um circuito SAMPLE/HOLD Características do Controle Digital: Aumento significativo das classes de leis de controle que podem ser implementadas, permitindo: cálculos não lineares ou exaustivos e incorporação de tabelas de dados. Vantagens: Baixo custo, leve e compacto, maior flexibilidade, capacidade de decisão e confiabilidade Cuidados: a) Erro de quantização na conversão A/D. Ocorre devido ao arredondamento no valor

do sinal analógico visto que uma palavra digital possui um número finito de “bits”. b) Escolha adequada do período de amostragem para que não ocorra perda de

informação do sinal.

1.25 2.5 3.75 5.0 6.25 7.5 8.75

111

110

101

100

011

010

001

0000

Q

10 e(t)

e(kT)

Fig.11 : Erro de quantização

A característica mais importante de um sistema dinâmico é a estabilidade. Um sistema estável é aquele que tem uma resposta limitada, ou seja, o sistema é estável se, quando sujeito a uma entrada ou perturbação (distúrbio) limitada, sua resposta é de amplitude limitada.

Robustez: um sistema de controle é dito robusto se, sua resposta apresenta o comportamento desejado (projetado), mesmo quando o sistema está sujeito a distúrbios (internos ou externos), ou seja, o sistema robusto é aquele que opera satisfatoriamente sempre, ainda que haja erros de modelagem do sistema, variações paramétricas ou perturbações externas.

Sensibilidade: é a capacidade que o sistema tem de reagir à presença de um distúrbio (interno ou externo).

10

Obs.: como podemos notar robustez e sensibilidade são conceitos praticamente opostos. Importante: no projeto de sistemas de controle sempre é requerido que o sistema seja estável e robusto. I.4 Análise da estabilidade e da robustez de um sistema de malha aberta:

Seja o sistema com saída desejada YD(s), saída real Y(s) e controlado em malha aberta, onde G(s) é a planta e C(s) é o compensador, conforme mostra a figura abaixo.

C(s) G(s)yd(t)

YD(s) U(s)

y(t)

Y(s)

u(t)

A função de transferência do sistema é: T(s) = G(s)C(s) (I.1)

Ou seja, Y(s) = [G(s)C(s)]YD(s) (I.2) Para que a saída real seja igual a saída desejada, o compensador deve ser projetado

para ter a seguinte forma:

C(s) = )(

1sG

(I.3)

Assim

Y(s) =

)(

1)(sG

sG YD(s) = YD(s) (I.4)

Análise da estabilidade: Se a planta G(s) possui zero(s) instável(eis), é indesejável que C(s) seja da forma

vista na eq.(03), pois isto implicará em um compensador instável. Isto é uma limitação fortíssima de estabilidade para o controle em malha aberta.

Análise da robustez: Considere que a planta tem um erro de modelagem ou sofreu uma variação

paramétrica tal que o novo processo é G(s) + ∆G(s). Assim, a resposta real do sistema será:

Y(s) = ( )

∆+

)(1)()(sG

sGsG YD(s) =

∆+

)()(1

sGsG YD(s)

ou Y(s) = YD(s) + ∆Y(s) (I.5)

onde,

∆Y(s) = )()(

sGsG∆ YD(s) (I.6)

11

Isto significa, por exemplo, que se a planta possui um erro de modelagem ou sofreu uma variação paramétrica de 10% do seu valor nominal, a saída real também diferirá de 10% da saída desejada em regime permanente. Logo o controle em malha aberta é pouco robusto (ou muito sensível) a distúrbios internos.

Considere agora que o sistema de malha aberta sofreu uma perturbação externa ω, conforme mostra a figura abaixo:

onde C(s) = 1/G(s).

A saída real desse sistema é (para C(s) = 1/G(s)) Y(s) = [G(s)G-1(s)](YD(s) + Ω(s)) = YD(s) + Ω(s) = YD(s) + ∆Yω(s) (I.7)

onde, ∆Yω(s) = Ω(s). Isto significa que a saída real será a saída desejada mais a perturbação externa. Logo, o controle em manha aberta é pouco robusto (muito sensível) a distúrbios externos. I.5 Análise da estabilidade e da robustez de um sistema de malha fechada:

Seja o sistema com saída desejada YD(s) e controlado em malha fechada, onde G(s) é a planta, C(s) é o compensador, e ambos estão na malha direta, conforme mostra a figura abaixo:

A função de transferência desse sistema pode ser obtida facilmente: E(s) = YD(s) – Y(s) (I.8) Y(s) = [G(s)C(s)]E(s) (I.9) Y(s) = [G(s)C(s)](YD(s) – Y(s)) (I.10)

T(s) = )()(sYsY

D

= )()(1

)()(sCsG

sCsG+

(I.11)

Ou seja,

Y(s) =

+ )()(1

)()(sCsG

sCsG YD(s) (I.12)

12

Se G(s)C(s) >> 1 para todas as freqüências complexas de interesse, então pela Eq.(I.12), obtemos:

Y(s) ≅ YD(s) (I.13) Que é o resultado desejado. Ou seja, a saída real será igual a saída desejada.

Análise da Estabilidade: Como observamos na eq.(11) ou eq.(12) o comportamento dinâmico do sistema em

malha fechada é determinado por 1 + G(s)C(s). Logo, os pólos de T(s) poderão ser feitos completamente diferentes aos de G(s). Isto faz com que o sistema em malha fechada seja facilmente estabilizável.

Análise da Robustez:

Considere agora que a planta possui um distúrbio interno tal que o novo processo é G(s) + ∆G(s). Assim, a resposta real do sistema será:

Y(s) = ( )( ) )()()(1

)()()(sCsGsG

sYsGsG∆++

∆+ YD(s) (I.14)

Para expressar Y(s) em termos de ∆G(s) para que a expressão (14) possa ser

expandida em uma série, primeiro devemos arrumar o denominador para que ele tenha a forma 1 + x, onde x é pequeno:

Y(s) = ( )[ ] ( )[ ]( )[ ])()(1/)()(1

)()(1/)()()()(1/)(sCsGsCsG

sGsCsCsGsCsGsG+∆+

+∆++ YD(s)

Agora,

x+1

1 ≅ 1 – x + x2 – x3 + x4 ...|x| < 1 (I.15)

Onde x = ∆G(s)C(s)/(1 + G(s)C(s)), então

Y(s) ≅

+∆

−

+∆

++ )()(1

)()(1)()(1

)()()()(1

)()(sCsG

sCsGsCsG

sCsGsCsG

sCsG YD(s) (I.16)

Ignorando a 2a potência de ∆G(s) e definindo

Y’(s) = )()(1

)()(sCsG

sCsG+

YD(s) (I.17)

Que é a saída sem distúrbios, temos:

Y(s) ≅ Y’(s) + Y’(s) )()(1

1sCsG+ )(

)(sGsG∆ (I.18)

Ou Y(s) ≅ Y’(s) + ∆Y(s)

Onde

∆Y(s) =

∆+ )(

)()()(1

1sGsG

sCsGY’(s) (I.19)

13

Assim, vemos que uma variação de 10% em G(s) causará uma variação de apenas [1/(1+G(s)C(s))].10% de Y’(s) em DY(s) e isto, se G(s)C(s) >> 1 para as freqüências complexas de interesse, é muito pequeno e ainda teremos Y’(s) ≅ YD(s). Portanto, se G(s)C(s) >> 1, Y(s) ≅ YD(s) e o sistema é altamente robusto a distúrbios internos.

A sensibilidade a distúrbios internos se define como:

S = )(/)()(/)(

sGsGsTsT

∆∆ (I.20)

No limite, para variações incrementais, a equação (20) será:

S = GGTT

//

∂∂

Para um sistema de malha fechada

T(s) = )()(1

)()(sCsG

sCsG+

a sensibilidade é S = TG

GT

∂∂ =

( )( )

GCGCG

GCC +

+

11 2 =

GC+11

Considere agora que o sistema está sujeito a perturbações externas v e w, conforme

mostra a figura abaixo:

A saída deste sistema é: Y(s) = Y1(s) + Yw(s) + Yv(s)

ou

Y(s) = CG

CG+1

YD(s) + CG

G+1

W(s) - CG

CG+1

V(s)

Se |CG| >> 1, temos

CGCG+1

≅ 1

e Y1(s) ≅ YD(s) A saída à perturbação W é:

YW(s) = CG

G+1

W(s)

14

Se fizermos |C| muito grande, a resposta YW a W poderá ser reduzida.

A saída à perturbação V é:

YV(s) = CG

CG+1

V(s)

Ou seja, sofre a mesma influência que YD(s). Assim, não é possível atenuar o efeito do ruído V(s) sem prejudicar a habilidade em comandar o sistema. Portanto, é importante usar sensores com baixa aceitabilidade a ruídos nas faixas de freqüência a serem controladas, ou seja, nas freqüências onde y acompanha yd. Exercício: Análise a estabilidade e a robustez a distúrbios da seguinte configuração em malha fechada:

I.6 Conclusões Conforme observamos nas seções anteriores, para obtermos sistemas estáveis e

robustos, é recomendável que o sistema de controle tenha a configuração de malha fechada.

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Capítulo II: Modelagem de Sistemas Físicos:

II.1 – Introdução: - Necessidade de modelos matemáticos

- Simplicidade × precisão

Uma grande parte dos sistemas dinâmicos, independentemente de serem de natureza elétrica, mecânica, térmica ou hidráulica, pode ter seu comportamento descrito por equações diferenciais ou de diferenças. A resposta do sistema a uma dada entrada é obtida a partir da solução dessas equações. Estas equações são obtidas a partir das leis físicas que governam um particular sistema, como as leis de Newton para um sistema mecânico, e as leis de Kirchhoff para um sistema elétrico.

A descrição matemática das características de um sistema é denominada de modelo matemático. A obtenção do modelo é o primeiro e mais importante passo na análise de um sistema, pois é somente quando o modelo representa adequadamente o sistema físico que os resultados são confiáveis.

Durante a modelagem do sistema é necessário estabelecer um compromisso entre a simplicidade do modelo e a precisão dos resultados da análise. Ao optarmos por um modelo simples, necessariamente algumas propriedades presentes no sistema devem ser ignoradas. Fazendo isso, podemos comprometer a boa concordância entre os resultados da análise de um modelo matemático e os resultados do estudo experimental do sistema físico, por exemplo.

Particularmente, se é desejado um modelo matemático linear, então certas não linearidades presentes no sistema físico devem ser ignoradas. Um estudo cuidadoso dos sistemas físicos revela que mesmo os chamados sistemas lineares, são lineares de fato apenas em faixas limitadas de operação. Na prática, quase todos os sistemas eletromecânicos hidráulicos, pneumáticos, etc, envolvem relações não lineares entre suas variáveis.

Exemplos de Não-Linearidades Mais Comuns:

• Não-linearidade por saturação: a saída do componente pode saturar para sinais

de amplitude elevada na entrada.

Para –u1 < u < u1 ⇒ SISTEMA LINEAR

• Não-linearidade por zona morta: o sistema não responde a sinais e pequena

amplitude.

Para u > | u1 | ⇒ SISTEMA LINEAR

u1

-u1

Saída

Entrada

u1

-u1

Saída

Entrada

16

Os procedimentos para determinar as soluções de problemas envolvendo sistemas não-lineares são, em geral, extremamente complicados, devido às dificuldades inerentes à modelagem destes sistemas. Normalmente é necessário encontrar sistemas lineares “equivalentes” a estes sistemas, ou seja, o sistema não-linear é aproximado por um sistema linear. Estes sistemas lineares aproximados somente são válidos dentro de uma faixa limitada de operação.

II.2 – Modelagem de Sistemas Elétricos As equações de redes elétricas são formuladas a partir das duas leis de Kirchhoff, isto é, as leis que governam o comportamento dos sistemas elétricos, que são: a lei das malhas ou das tensões e; a lei dos nós ou das correntes.

Elementos Ativos:

• Fonte genérica de tensão:

• Fonte de tensão dc:

• Fonte genérica de corrente:

Elementos Passivos:

• Resistor:

RR iR)t(V ⋅= (II.1)

)t(VR1)t(i RR ⋅= (II.2)

• Indutor:

dt)t(idL)t(V L

L ⋅= (II.3)

)0(id)(VL1)t(i L

t0 LL +ττ= ∫ (II.4)

+Vs

+V

-

Is

L

+ _VL

iL

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• Capacitor:

)0(Vd)(iC1)t(V C

t0 CC +ττ= ∫ (II.5)

dt)t(VdC)t(i C

C ⋅= (II.6)

Elementos com Acoplamento Elétrico:

• Transformador Ideal:

2

1

2

1

2

1ii

VV

NN

== (II.7)

Relação entre o Relação entre Relação entre o número de espiras tensões correntes

Exemplo 1: Circuito R-L-C em série:

CLRS VVVV ++=

)0(VdiC1

dtidLiRV C

toS +τ⋅+⋅+⋅= ∫

Exemplo 2: Circuito R-L-C, em paralelo:

CLRS iiiI ++=

)0(idtVdCdV

L1V

R1V L

toS +⋅+τ+⋅= ∫

C

+ _VC

iC

i2i1++

__

N1 : N2

V1 V2

R L

Ci

+ VR - + VL -VC

+

-VS

R L C

iR

V

+

-

IS

iL iC

18

II.3 – Modelagem de Sistemas Mecânicos

As leis fundamentais que governam o comportamento de sistemas mecânicos são as leis de Newton, que se aplicam aos dois tipos de movimento, que são: movimento de translação e; movimento de rotação. – Movimento de Translação: é definido como um movimento que se processa ao longo de uma linha. As variáveis usadas para descrevê-lo são:

→→→

(m)y toDeslocamen (m/s) vVelocidade )(m/s a Aceleração 2

A lei de Newton para o movimento de translação é:

Σ Forças=m.a (II.8)

“A soma algébrica das forças que atuam sobre um corpo rígido em uma dada direção é igual ao produto da massa do corpo pela aceleração na mesma direção”. • Elemento massa (m):

2

2

dtydm

dtvdmamF ⋅=⋅=⋅= (II.9)

• “Elemento” constante elástica da mola (K):

Obs: Na prática, a mola referida pode ser uma mola real, ou caracterizar a

elasticidade de um cabo ou uma barra.

(II.10)

• “Elemento” coeficiente de atrito viscoso (B):

Obs: o atrito viscoso provoca uma força de retardamento no movimento do corpo rígido e é dado pela relação entre a força aplicada e a velocidade imprimida pelo corpo. Esta relação é linear para o atrito viscoso em uma certa região de operação, porém para o atrito seco e arraste não se verifica linearidade.

m

y

F

K

F

y1 y2y2 > y1

Ky

F 12 yyy −=∆

yy =∆ yKF ∆⋅=

19

(II.11)

• Movimento de rotação: É definido como um movimento em torno de um eixo fixo. As variáveis usadas para descrevê-lo são:

θ→ω→α→

(rad) angular toDeslocamen (rad/s) angular Velocidade )(rad/s angular Aceleração 2

A lei de Newton para o movimento de rotação é:

Σ Torques= J ⋅ α (II.12) “A soma algébrica dos torques que atuam sobre um corpo rígido em torno de um

dado eixo é igual ao produto do momento de inércia do corpo pela aceleração angular em torno desse eixo”. • Elemento momento de inércia (J):

(II.13)

• Elemento constante de torção da mola (K):

Obs: É usado para representar uma mola real, um bastão ou um eixo quando sujeito a aplicação de um torque.

(II.14)

J θτ 2

2

dtdJ

dtdJJ θ

⋅=ω

⋅=α⋅=τ

Fv vv =∆

12 vvv −=∆

vBF ∆⋅=B

Fv2

B

v2 > v1

m F

v

B

v1

vv =∆

F

v∆

K

K

12 θ−θ=θ∆τ θ∆⋅=τ K

2θ1θ

12 θ>θ

τθ θ=θ∆

20

• Elemento atrito viscoso de torção (B):

(II.15)

Exemplo 01: Movimento Translacional

0)0(y;0)0(y == &

amF ⋅=∑

amFFF KB ⋅=−−

KB FFamF ++⋅=

yKdt

ydB

dt

ydmF2

2⋅+⋅+⋅=

Exemplo 02: Movimento Rotacional

0)0(;0)0( =θ=θ &

α⋅=τ∑ J

α⋅=τ−τ−τ JKB

KBJ τ+τ+α⋅=τ

θ⋅+θ

⋅+θ

⋅=τ KdtdB

dt

dJ2

2

II.4 – Dispositivos de Acoplamento

São dispositivos mecânicos que transmitem energia de uma parte de um sistema para outra, de tal forma que grandezas como força, torque, velocidade e deslocamento sejam alteradas. Os dispositivos de acoplamento são usados para se obter a máxima transferência de potência. Alguns destes dispositivos são os sistemas de engrenagem, as alavancas, as correias, etc.

12 ω−ω=ω∆ B

2ω

12 ω>ω

1ω ω∆⋅=τ Bτ

B

m

F

y

K

mF

FB

FK

MTF y

JK

B

τ θ

J τ

Kτ

Bτ

M.R.τ θ

21

• Sistema de Engrenagens (Caso Ideal) Despreza-se a inércia e o atrito das engrenagens.

sengrenagen nas torque, 21 →ττ sengrenagen das dentes de úmeronN,N 21 →

sengrenagen das aiorr,r 21 →

2

1

1

2

1

2

2

1

2

1rr

NN

=ωω

=θθ

=ττ

= (II.16)

Obs: Na prática, as engrenagens reis têm inércia e há atrito no acoplamento dos dentes. Isto, em geral, não pode ser desprezado.

• Alavanca (Movimento de Translação)

1

2

1

2

2

1xx

dd

FF

== (II.17)

II.5 – Sistemas Eletromecânicos São sistemas constituídos por elementos elétricos e mecânicos acoplados, em geral, por um elemento resistivo (potenciômetro), ou por campo magnético (galvanômetros, motores).

No caso dos servomotores, a mais importante de suas características é a máxima aceleração do obtenível. Para um dado torque disponível, o momento de inércia do rotor deve ser um mínimo. Desde que o servomotor opera sob condições continuamente variáveis, ocorrem aceleração e freamento de instante a instante. O servomotor deve ser apto a absorver energia mecânica bem como gerá-la. O desempenho do servomotor, quando utilizado como um freio deve ser satisfatório.

O momento de inércia equivalente Jeq e o atrito viscoso equivalente Beq referidos ao eixo do motor podem ser escritos como:

)1n(JnJJ L2

meq <+= (II.18)

)1n(BnBB L2

meq <+= (II.19)

onde n = N1/N2 é a relação de engrenagens entre o eixo do motor e o eixo da carga, Jm e Bm são o momento de inércia e a fricção do motor, respectivamente, e JL e BL são o momento de inércia e a fricção da carga no eixo de saída. Se a relação de engrenagem n

N1

N2

111 ,, ωθτ

222 ,, ωθτ

F1

x1

d1

d2

x2

F2

22

é pequena e Jm >> n2JL, então o momento de inércia da carga referido ao eixo do motor é desprezível em relação ao momento de inércia do motor. Um argumento similar aplica-se à fricção da carga.

Os motores a serem analisados neste curso serão os motores de corrente contínua. Os motores de corrente contínua são muito utilizados em sistemas de controle quando se precisa de uma boa quantidade de potência no eixo. Existem dois tipos de motores de corrente contínua, são eles: o controlado por armadura (campo fixo) e; o controlado por campo (corrente de armadura ia constante). − Motor C.C Controlado por Armadura

Considere o motor C.C controlado por armadura indicado abaixo:

if = constante

B

ebia

Ra La

ea

θ

τ

onde, Ra = resistência do enrolamento da armadura, Ω La = indutância do enrolamento da armadura, H ia = corrente do enrolamento da armadura, A ea = tensão aplicada na armadura, V eb = força contra eletromotriz, V if = corrente de campo, A θ = deslocamento angular do eixo motor, rad τ = Torque fornecido pelo motor, N.m J =momento de inércia equivalente do motor e da carga referida ao eixo do motor, Kg.m2. B = coeficiente de fricção-viscosa equivalente do motor e da carga referida ao eixo do motor, Kg.m/rad/s.

A corrente de campo if é mantida constante (fluxo magnético constante). Logo, o torque fornecido pelo motor torna-se diretamente proporcional à corrente da armadura.

τ = K ⋅ ia (II.20) onde K é a constante de torque do motor. Quando a armadura está girando, é induzida na armadura uma tensão proporcional ao produto do fluxo e da velocidade angular.

dtdeb

θ⋅ψα (II.21)

Como o fluxo é constante, então:

dtdKe bb

θ⋅= (II.22)

onde Kb é a constante de força-contra-eletromotriz. A velocidade de um motor C.C controlado por armadura é controlada pela

tensão da armadura Ea. A tensão de armadura ea suprida por amplificador (ou por um

23

gerador, que é suprido por um amplificador). A equação diferencial para o circuito de armadura é:

abaaa

a eeiRdtidL =+⋅+⋅ (II.23)

A corrente de armadura produz o torque que é aplicado à inércia e a fricção;

portanto,

a2

2iK

dtdB

dtdJ ⋅=τ=

θ⋅+

θ⋅ (II.24)

Manipulando algebricamente as equações (II.22), (II.23) e (II.24), obtemos:

( ) ( )a

ba2

2aa

3

3a e

dtd

KKKBR

dtd

KJRBL

dtd

KJL

=θ

⋅⋅+⋅

+θ

⋅⋅+⋅

+θ

⋅⋅ II.25)

Esta expressão pode ainda ser simplificada, pois, a indutância La no circuito de armadura normalmente é pequena e pode ser desprezada. – Motor C.C. Controlado por Campo

Considere o motor C.C. controlado por campo indicado abaixo:

ia = constante

eaif

Rf

Lfefθ

τ

B

J

Ra

onde, Rf = resistência do enrolamento de campo, Ω Lf = indutância do enrolamento de campo, H If = corrente do enrolamento de campo, A Ef = tensão aplicada de campo, V Ra = soma da resistência de armadura e da resistência inserida, Ω ia = corrente de armadura, A θ = deslocamento angular do eixo motor, rad τ = torque desenvolvido pelo motor, N.m J = momento de inércia equivalente do motor e da carga referida no eixo do motor, Kg.m2 B = coeficiente de fricção-viscosa equivalente do motor e da carga referida ao eixo o motor, Kg.m/rad/s.

A corrente de armadura ia deve se constante, logo, o torque desenvolvido pelo motor é proporcional à corrente de campo e pode ser escrito como segue:

f2 iK ⋅=τ (II.26) onde K2 é uma constante. As equações para esse sistema são:

ffff

f eiRdtidL =⋅+⋅ (II.27)

24

f22

2iK

dtdB

dtdJ ⋅=τ=

θ⋅+

θ⋅ (II.28)

Manipulando algebricamente as equações (II.27) e (II.28), obtemos

ff2

2

2

ff3

3

2

f edtdBR

dtd

KJRBL

dtd

KJL

=θ

⋅⋅+θ

⋅

⋅+⋅+

θ⋅

⋅ (II.29)

Desde que a indutância de campo Lf não é desprezível, a equação diferencial que descreve o comportamento de um motor C.C. controlado por campo é de terceira ordem. Nota: Recomenda-se que a leitura da “comparação entre os desempenhos do motor C.C. controlado por armadura e motor C.C. controlado por campo”. Ogata, página 116. II.6 – Sistemas Hidráulicos

Os sistemas hidráulicos são aqueles que envolvem fluxo e acumulação de líquidos. O fluxo de fluidos, ao ser analisado, de ser distinguido em fluxo laminar e fluxo turbulento. Neste curso estudaremos apenas sistemas envolvendo fluxo laminar que podem ser representados por equações diferenciais lineares.

Considere o sistema abaixo: Válvula de controle

H+h

Capacitância CResistência R

Válvula de carga

Q + qi

onde, Q = taxa de fluxo em regime estacionário (antes de qualquer variação haver ocorrido), m3/min. qi = pequeno desvio na taxa de fluxo de entrada em relação ao seu valor em regime estacionário, m3/min. qo=pequeno desvio na taxa de fluxo de saída em relação ao seu valor em regime estacionário, m3/min. H = altura do nível em regime estacionário (antes de qualquer variação haver ocorrido), m. h = pequeno desvio na altura do nível em relação ao seu nível estacionário, m.

Para facilitar a análise de sistemas hidráulicos a fim de que seus elementos possam ser representados por dispositivos físicos introduziremos os conceitos de resistência e capacitância. Resistência (R): Representa a resistência ao fluxo do líquido de uma determinada parte do sistema para outra. A resistência ao fluxo do líquido é definida por:

min)/m( fluxo de taxa na iaçãovar(m) nível de diferença na variaçãoR 3=

25

Capacitância (C): Representa a capacidade de armazenar líquidos e é definida por:

min)/m( fluxo de taxa na iaçãovar)(m armazenado líquido no variaçãoC 3

3=

Balanço de massa:

(vazão mássica da entrada) – (vazão mássica de saída) = (taxa de acúmulo de massa) ou,

(desvio na vazão de entrada) – (desvio na vazão de saída) = (taxa de variação do volume)

( ) ( )dthdChC

dtdhA

dtdqq oi ⋅=⋅=⋅=− (II.30)

onde A = área seccional Como,

oqhR = (II.31)

Substituindo a equação (II.31) na (II.30) podemos obter:

• Para controle de nível:

iqhR1

dthd

C =⋅+⋅ (II.32)

• Para controle de fluxo:

ioo qq

dtqdRC =+⋅⋅ (II.33)

II.7 – Sistemas Térmicos

Os sistemas térmicos são aqueles em que há transferência de calor de uma substância para outra. Os sistemas térmicos podem ser analisados em termos de resistência e capacitância, embora a capacitância térmica e a resistência térmica não possam ser precisamente representadas por parâmetros concentrados desde que normalmente são distribuídas através da substância. Para simplificas a análise, vamos supor que o sistema térmico possa ser representado por um modelo de parâmetros concentrados.

SHiq h

SHiq oq

26

Considere o sistema abaixo:

LíquidoFrio

LíquidoQuente

Aquecedor

Misturador

onde, θi = temperatura em regime estacionário do líquido entrando, ºC. θo = temperatura do regime estacionário do líquido saindo, ºC. G = taxa de fluxo do líquido em regime estacionário, Kg/s. M = massa do líquido no tanque, Kg. c = calor específico do líquido, cal/kg.ºC R = resistência térmica, ºC.s/cal C = Capacitância térmica, cal/ºC hi = pequena variação na taxa de entrada de calor, cal/s. ho = pequena variação na taxa de saída do calor, cal/s. H = taxa de entrada de calor em regime estacionário, cal/s. θ = pequena variação na temperatura na saída, ºC. Considerações: – O tanque é isolado, ou seja, não há perda de calor para o ar; – Não há armazenamento de calor no isolamento; – O líquido no tanque é perfeitamente misturado de modo a estar em uma

temperatura uniforme; – Para simplificar a análise, representamos o sistema térmico por um modelo de

parâmetros concentrados. Definições: – Resistência Térmica R;

– Capacitância Térmica C

)s/cal(calor de fluxo de taxa na iaçãovarC)(º ra temperatude diferença na variaçãoR =

)C(º atemperatur na iaçãovar(cal) armazenadocalor no variaçãoC =

ou, pcWC ⋅= (II.34)

onde, W = massa da substância considerada, Kg cp = calor específico da substância, cal/ºC.Kg Com isso,

θ⋅⋅= cGho (II.35) cMC ⋅= (II.36)

cG1

hR

o ⋅=

θ= (II.37)

– Balanço de Energia:

(taxa de energia que entra) – (taxa de energia que sai) = (taxa de energia acumulada)

27

Então, para o controle de temperatura pela variação do fluxo na entrada:

dtdChh oi

θ⋅=− (II.38)

ou,

ihR1

dtdC =θ⋅+

θ⋅ (II.39)

ou ainda, para o controle de temperatura pela variação da temperatura de entrada,

dtdChcG oi

θ⋅=−θ⋅⋅

que pode ser reescrita como:

idtdCR θ=θ+

θ⋅⋅ (II.40)

II.8 – Sistemas Análogos:

Em análise de sistemas lineares o procedimento matemático para obter as soluções de um dado conjunto de equações, não depende de que sistema físico as equações representam. Portanto, se a resposta de um sistema físico a uma dada excitação é determinada, as respostas de todos os outros sistemas que podem ser descritos pelo mesmo conjunto de equações são conhecidas para a mesma função excitação. Sistemas que são governados pelos mesmos tipos de equações são chamados SISTEMAS ANÁLOGOS.

Sistemas análogos podem ter natureza física inteiramente diferente. Por exemplo, um dado circuito elétrico constituído de resistências, indutâncias e capacitâncias pode ser análogo a um sistema mecânico, constituído de uma combinação apropriada de atritos viscosos, massas e molas. Neste curso estudaremos as analogias força-tensão e força-corrente. – Analogia Força-Tensão:

Sejam os sistemas e seus modelos matemáticos abaixo:

st0

v)0(qd)(iC1iR

dtidL =

+ττ⋅+⋅+⋅ ∫ (II.40)

STih θ

ST θiθ

R L

Cvs

+i

m

F

By

K

28

FyKdtydB

dtydm 2

2=⋅+⋅+⋅

F)0(yd)(vKvBdtvdm

t0

=

+ττ⋅+⋅+⋅ ∫ (II.41)

Comparando as equações (II.40) e (II.41) notamos que há uma similaridade entre

elas. Logo, elas representam sistemas análogos. Em outras palavras, o comportamento do sistema mecânico acima pode ser completamente previsto pelo que conhecemos sobre o circuito R.L.C em série acima, se fizermos as devidas conversões das quantidas físicas, de acordo com a tabela mostrada abaixo:

Sistema Mecânico Sistema Elétrico (f.v analogy)

Força, F Tensão, V Velocidade, v Corrente, i Massa, m Indutância, L Deslocamento, y Carga, q Atrito viscoso, B Resistência, R Coeficiente de Elasticidade, K Recíproco de Capacitância, 1/C Sistema de Engrenagens, r1/r2; N1/N2 Transformador, N1/N2 Alavanca, d1/d2; x1/x2 Transformador, N2/N1

Uma maneira sistemática de estudar um sistema mecânico através do seu análogo

elétrico obtido pela analogia força-tensão é dado como segue:

“Cada junção no sistema mecânico corresponde a uma malha fechada que consiste de fontes de excitação e elementos passivos análogos às fontes mecânicas e aos elementos passivos conectados à junção. Todos os pontos de uma massa rígida são considerados como a mesma junção”. Exemplo 01: Considere o sistema translacional:

m2

F

B1

y2

m1y1

B2

K

Correspondendo às duas coordenadas y1 e y2, o sistema mecânico tem duas junções. Portanto, o sistema elétrico análogo F – V tem duas malhas. A primeira malha consiste de uma fonte de tensão v3 [F], uma indutância L1 [m1] e duas resistências R1 [B1] e R2 [B2]; e a segunda malha consiste de uma indutância L2 [M2], uma capacitância C [1/k], e uma resistência R1 [B1], o último elemento sendo comum a ambas as malhas. O circuito elétrico análogo é mostrado a seguir:

29

R1

L2

Cvs

+i1

L1

R2

i2

Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões para as duas malhas do circuito acima,

encontramos:

s221211

1 viRi)RR(dtidL =⋅−⋅++⋅

0)0(qdiC1iR

dtidLiR

t0 2221

2211 =

+τ⋅+⋅+⋅+⋅− ∫

O modelo mecânico é obtido pela substituição das grandezas análogas indicadas

na tabela apresentada. – Analogia Força-Corrente:

Nesta analogia, a força F e a corrente i são grandezas análogas e são classificadas como grandezas “através”. Há uma semelhança física, uma vez que um instrumento de medida – um amperímetro ou um medidor de força – deve ser colocado em série com o sistema de ambos os casos. Por outro lado, a velocidade “sobre” um elemento mecânico é análoga à tensão “sobre” um elemento elétrico. Do ponto de vista da interpretação física, a analogia Força-Corrente é mais natural que a Força-Tensão e isto resulta no fato de que uma junção no sistema mecânico é análoga a um nó no sistema elétrico. Exemplo 02: O circuito RCL em paralelo é analogia Força-Corrente ao circuito mola-massa-atrito viscoso, como observamos nas expressões que descrevem seus comportamentos.

st0 oo

o I)0(dvL1vG

dtvdC =

φ+τ⋅+⋅+⋅ ∫ (II.42)

F)0(ydvKvBdtvdm

t0

=

+τ⋅+⋅+⋅ ∫ (II.43)

A tabela de conversão das grandezas físicas na analogia Força-Corrente é dada

abaixo: Sistema mecânico Sistema elétrico (analogia F - i)

Força, F Corrente i

Velocidade, v Tensão, V

Deslocamento, y Fluxo Magnético, φ

Massa, m Capacitância, C

Atrito Viscoso, B Condutância, G

Coeficiente de Elasticidade, K Recíproco da Indutância, 1/L

Sistema de Engrenagens, N1/N2; r1/r2 Transformador, N1/N2

Alavanca, d1/d2;x1/x2 Transformador, N1/N2

30

Uma maneira sistemática de se chegar ao análogo elétrico de um sistema mecânico através de analogia força-corrente é dada como segue:

“Cada junção no sistema mecânico corresponde a um nó que une fontes de excitação elétrica e elementos passivos análogos às fontes de excitação e aos elementos passivos conectados à junção. Todos os pontos em uma massa rígida são considerados como a mesma junção e um terminal da capacitância análoga a uma massa é sempre conectado ao terra.”

A razão para um terminal de capacitância análoga à uma massa ser sempre conectada ao terra é que a velocidade (ou deslocamento, ou aceleração) de uma massa se dá sempre em relação à terra.

Exemplo 3: Desenhe o sistema análogo elétrico para o sistema mecânico do exemplo 1 desta seção, visando a analogia força-corrente. Solução: correspondendo às duas coordenadas y1 e y2 no sistema mecânico, temos dois nós independentes no sistema elétrico obtido pela analogia força-corrente. O primeiro nó une uma fonte de corrente Is [F], uma capacitância C1 [m1] e duas condutâncias G1 [B1] e G2 [B2]; o segundo nó une uma capacitância C2 [m2], uma indutância L [1/k] e uma condutância G1 [B1], o último elemento sendo comum a ambos os nós. O circuito elétrico análogo é mostrado abaixo:

G2LC1Is

G1

v1

+

1 2

v2

+

C2

Aplicando a lei de Kirchhoff obtemos:

ivGv)GG(dtvdC 21121

11 =⋅−⋅++⋅

0)0(dvL1vG

dtvdCvG

to 2221

2211 =

φ+τ+⋅+⋅+⋅− ∫

Obs: Quando a força não é aplicada diretamente ao corpo rígido (massa) e sim à um outro elemento (mola ou atrito viscoso), pela analogia Força-Corrente (Força-Tensão), devemos ter um “nó adicional” (uma “malha adicional”) unindo (contendo) a fonte de corrente (fonte de tensão) e o análogo elétrico correspondente ao elemento em que a força está aplicada. Exemplo 04: Encontrar o análogo elétrico do sistema rotacional mecânico abaixo pela analogia Força-Corrente.

31

J1 J2

K2K1

B3

1θ 2θ 3θ

τ

B1 B2

G1L2C1Is

G3

v2

+

C2

1 L1 2

v1

+

3

G2

st0 1221

1I)0(d)vv(

L1 :1 Nó =

φ+τ−⋅ ∫

0dtvdC)vv(GvG)0(d)vv(

L1 :2 Nó 2

132321t0 1221

1=⋅−−⋅−⋅−

φ+τ−⋅ ∫

0)0(dvL1vG

dtvdC)vv(G :3 Nó

t0 33

232

32323 =

φ+τ⋅⋅−⋅−−⋅ ∫

Exercício: A partir das equações acima, encontre uma equação diferencial relacionando θ3 com τ, supondo condições iniciais nulas. Sugestão: definir o operador diferencial e o fluxo magnético. Nota: é aconselhável também a leitura da analogia eletro-hidráulica. D’Azzo-Houpis, pgs.50-52.

II.9 – Princípios de Modelagem pela Equação de Lagrange A Equação de Lagrange propicia, de forma sistemática, uma abordagem unificada para o tratamento de uma extensa classe de sistemas físicos, independentemente da complexidade de sua estrutura. A forma geral da Equação de Lagrange pode ser expressa como:

L&&

,3,2,1==∂∂

+∂∂

−

∂∂ nQ

qE

qL

qL

dtd

nn

D

nn

(II.44)

onde, TP

TC EE oLagrangean L −==

∆

Sistema do Total Cinética Energia ETC =

Sistema do Total Potencial Energia ETP =

ED = Função Dissipação de Energia do Sistema Q = Força generalizada Aplicada Segundo a Coordenada n

qn = Coordenada Generalizada da)Generaliza e(Velocidad/dt dq q nn =&

32

e n = 1, 2, 3, ... designa o número de coordenadas independentes ou graus de liberdade existentes no sistema.

Na tabela seguinte, apresentamos as equações das energias cinética e potencial e da dissipada para sistemas elétricos e mecânicos:

Sistema Mecânico

Sistema Elétrico

Energia Potencial 2yK

21

⋅⋅ 2qC2

1⋅

⋅

Energia Cinética 2ym21

&⋅⋅ 22 qL21iL

21

&⋅⋅=⋅⋅

Energia Dissipada 2yB21

&⋅⋅ 22 qR21iR

21

&⋅⋅=⋅⋅

Exemplo: Modele o circuito R.L.C em série abaixo usando as equações de Lagrange.

Solução:

22TP

TC q

C21qL

21EEL ⋅

⋅−⋅⋅=−= &

2D qR

21E &⋅⋅=

Então, qLqL

dtd;qL

qL

&&&

&&

⋅=

∂∂

⋅=∂∂

qC1

qL

⋅−=∂∂

qRq

ED &&

⋅=∂

∂

Logo, eqRqC1qL =⋅+⋅+⋅ &&&

Como,

==

+τ=

⇒=∫

iqiq

)0(qdiq

dtqdi

t0

&&&

&

Assim,

eiR)0(qdiC1iL

t0

=⋅+

+τ⋅+⋅ ∫

ou, e = vL + vC + vR

onde,

+τ⋅=⋅=⋅= ∫ )0(qdi

C1v;iLv;iRv

t0CLR

R L

Ce+

i

33

Apêndice A:

REPRESENTAÇÕES DE MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS FÍSICOS Os SLIT são descritos por equações diferenciais da forma mostrada na equação (20),

nmtubtubtubtubtyatyatyatya mm

mm

nn

nn≥++++=++++ −

−

−

−

);()(...)()()()(...)()( 1

1

101

1

10

oo

(A.1)

onde y(t) é a saída do sistema, u(t) é a entrada e os sobre escritos correspondem a derivadas, como indicado na equação (21),

n

nn

m

mm

dttydty

dttdyty

dttudtu

dttdutu

)()(,...,)()(

)()(,...,)()(

==

==

o

o

(A.2)

e os a i’s (i = 0, 1, ...,n) e b j’s (j = 0, 1,...,m) são coeficientes reais constantes. Para o caso de SLIT, duas representações alternativas podem ser obtidas a partir das equações diferenciais que descrevem o sistema. A primeira se baseia no uso da transformada de Laplace e é denominada função de transferência, a segunda, no uso de variáveis de estado e é denominada representação de estados. Suas definições são: - a função de transferência é definida como sendo a relação entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada de um sistema, considerando-se nulas todas as condições iniciais; - o espaço de estados de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis (chamadas variáveis de estado) tal que, o conhecimento destas variáveis no instante t = t0, juntamente com a entrada para t >= t0, determina completamente o comportamento do sistema para qualquer instante t >= t0. Para SLIT, estas representações assumem as seguintes formas: equação para a função de transferência,

)()()(

)()( sG

sDsN

sUsY ∆

== (A.3)

onde: - s é uma variável complexa da forma σ + jω; - Y(s): Resposta do sistema; - U(s): Entrada do sistema; - N(s): Polinômio em s de grau m; - D(s): Polinômio em s de grau n, (n≥m); e equação (23) para o espaço de estados,

(A.4) onde: - X(t) = [x1(t) x2(t)... xn(t)]t , é vetor de estados (n x 1); - u(t) : é a entrada do sistema (para apenas uma entrada e uma saída (1 x 1)); - A : Matriz de coeficientes reais (n x n); - B : Vetor de coeficientes reais (n x 1); - C : Vetor de coeficientes reais (1 x n); - D : Vetor de coeficientes reais (1 x 1); - n : Ordem do sistema.

34

As duas representações serão obtidas para um sistema translacional mecânico, cujo modelo é dado na equação (19).

(A.5) Para determinação da função de transferência, toma-se a transformada de

Laplace, usando tabelas, de ambos os lados da equação, resultando na equação (20),

(A.6) que é a representação do sistema translacional mecânico por função de transferência, e que pode ainda, ser representada pelo diagrama de blocos da Figura 41.

Fig. 19: Diagrama de blocos do sistema translacional mecânico.

Para a representação por espaço de estados, o número de variáveis de estado é

sempre igual a derivada de maior ordem do modelo do sistema, neste caso dois (equação 19). Assim, deve-se definir duas variáveis de estado, contudo, esta definição não é única. Sejam então, por exemplo, x1 e x2, definidos pela equação (21).

•=

=

yx

yx

2

1 (A.7)

Tomando-se a primeira derivada destaa equação resulta em

(A.8) Substituindo (A.5) e (A.9) na equação (A.10) resulta na equação:

(A.9) que e é a representação no espaço de estados do sistema translacional mecânico. Exercicício: Determine a função de transferência e encontre uma representação no espaço de estados para todos os sistemas modelados no Capítulo II.

35

Capítulo III: Especificações de Desempenho no Domínio do Tempo e Estabilidade de Sistemas Dinâmicos

III.1. Revisão de sistemas lineares.

Muitos dos sistemas físicos que encontramos podem ser linearizados e ter seus comportamentos descritos por equações diferenciais ordinárias do tipo:

f(y(n), y(n-1), ..., .y , y, u(n), u(n-1), ...,

.u , u, t) = 0

onde f é uma função linear da saída e da entrada, y e u, de suas derivadas e do tempo. Neste curso, estamos interessados em sistemas lineares e invariantes no tempo (LIT). Ou seja, de um sistema descrito por:

f(y(n), y(n-1), ..., .y , y, u(n), u(n-1), ...,

.u , u) = 0 (III.1)

Ou ainda,

y(n) + a1y(n-1) + ... + an-1.y + any = b0u(n) + b1u(n-1) + ... + bn-1

.u + bnu = 0 (III.2)

Para obtermos a relação entrada – saída deste sistema, consideramos que o sistema

está inicialmente relaxado (condições iniciais nulas) e tomamos a transformada de Laplace da eq.(III.2) para obter:

[s(n) + a1s(n-1) + ... + an-1s + an]Y(s) = [b0s(n) + b1s(n-1) + ... + bn-1s + b0]U(s) = 0 (III.3)

Assim a função de transferência é:

T(s) = )()(

sUsY =

nnnn

nnnn

asasasbsbsbsb

++++++++

−−

−−

11

1

11

10

......

(III.4)

Obs.: A transformada inversa da função de transferência é a resposta ao impulso do sistema.

III.2. Análise de sistemas de 1a ordem

Considere o sistema

que pode ser reduzido para

Resposta ao degrau unitário de sistemas de 1a ordem

u(t) = ¶(t) U(s) = 1/s (III.5)

Y(s) = sTs1

11+

(III.6)

36

Expandindo C(s) em frações parciais, temos:

V(s) = 1

1+

−Ts

Ts

V(t) = 1 – e-t/T (T ≥ 0) (III.7) T = 0 ⇒ y(t) = 0 T = T ⇒ y(t) = 0,632

T ∞ ⇒ y(t) 1

Para T = 4T, a resposta permanece dentro de 2% do valor final.

Exercício: Obtenha a resposta a rampa unitária de sistemas de 1a ordem

III.3. Análise de sistemas de 2a ordem.

Considere o sistema

Que pode ser reduzido para

Pólos do sistema:

p = ( )2

442 222nnn ωωξξω −±−

= 2

122 2ξωξω −±− nn j

p = - ξωn ± jωn

21 ξ− = - σ ± jωd (III.8) σ atenuação ξ constante de amortecimento ωn freqüência natural ωd freqüência amortecida

37

Resposta ao degrau unitário de sistemas de 2a ordem

Caso 1: sistema oscilatório (ξ = 0) Caso 2: sistema subamortecido (0< ξ <1) Caso 3: sistema criticamente amortecido (ξ = 1) Caso 4: sistema sobreamortecido (ξ > 1) Quando 0 ≤ ξ ≤ 1 (caso 1 a 3), a resposta do sistema de 2ª ordem com ganho DC

unitário é:

y(t) = 1 – e-σt(cosωdt + dω

σ senωdt) (III.9)

ou então

y(t) = 1 - d

tn eω

ω σ−

sen(ωdt + φ) (III.10)

onde ωd = ωn

21 ξ− , σ = ξωn e

φ = cos-1ξ = tg-1

σ

ω d . A Figura ao

lado, ilustra posição dos pólos em função de ξ, ωn, σ e ωd.

Quando ξ > 1 (caso 4), os pólos de malha fechada são: 12

1 −+−= ξωξω nnp e 122 −−−= ξωξω nnp

e a resposta do sistema é dada por:

−

−+=

−−

212

21

121)(

pe

pety

tptpn

ξ

ω (t ≥ 0)

38

Especificações Transitórias para Sistemas de 2a Ordem Subamortecidos:

As especificações mais importantes em termos de pólos e zeros para sistemas de 2a ordem são: tempo de subida (tr); instante de pico (tp); sobre – sinal máximo ou overshoot (Mp); e o tempo de acomodação (ts).

Obs.1: Existe ainda o tempo de atraso, que é o instante em que o sistema atinge 50% de sua resposta em regime. Obs.2: O inverso da atenuação, σ, é chamado de constante de tempo.

Valores pequenos de ξ (ξ < 0,4): sobre – sinal excessivo na resposta transitória. Valores grandes de ξ (ξ > 0,8): resposta lenta.

Para uma resposta rápida e amortecida é aconselhável que 0,4 < ξ < 0,8.

Mp e tr são conflitantes

Cálculo de tr: Com ξ = 0,5 P/ y(t): 0 1 ⇒ ωnt = 2,5

Para y(t): 0,1 ⇒ ωnt ≈ 1,8 ∴ tr ≈ nω8,1 (III.11)

ou, (pelo Ogata) y(t): 0 1 ⇒ tr = dωφπ − (III.12)

onde φ = tg-1

σ

ω d

Cálculo de tp:

tp = dω

π (III.13)

Cálculo de Mp:

Mp = de ωπσ

−

0 < ξ < 1 (III.14)

≅ 1 - 6,0

ξ 0 < ξ < 0,6 (III.15)

39

Cálculo de ts: Tolerância de 1%:

snte ω2− = 0,01

ξωnts = 4,6 ou ts = nξω

6,4 = σ

6,4 (III.16)

Tolerância de 2%:

ts = σ4 (III.17)

Em análise, podemos estimar o tempo de subida, overshoot, e tempo de

acomodação para um sistema que é adequadamente descrito como sendo de 2a ordem e tendo ωn, ξ e σ especificados.

Em síntese são especificados tr, Mp e ts e é pedido onde os pólos precisam estar

para satisfazer estas especificações. De fato, usualmente queremos um tempo de subida ≤ tr, um overshoot ≤ Mp, um tempo de acomodação ≤ ts.

tr ≈ nω8,1 Mp ≅ 1 -

6,0ξ

(0 < ξ < 0,6) ts = σ

6,4

Assim,

nω8,1 ≤ tr ∴ωntr ≥ 1,8 ωn ≥

rt8,1 (III.18)

1 - 6,0

ξ ≤ Mp ∴ 0,6 - ξ ≤ 0,6Mp ξ ≥ 0,6(1 – Mp) 0 ≤ ξ ≤ 0,6 (III.19)

σ6,4 ≤ ts ∴ σts ≥ 4,6 σ ≥

st6,4 (III.20)

Estas especificações delimitam uma região no espaço conforme é mostrado abaixo:

40

Especificações Transitórias para Sistemas de 2a Ordem Discretos: O projeto ou síntese de controladores discretos baseado na relação entrada-

saída dá-se basicamente de duas maneiras : i) Projeta-se o controlador contínuo e discretiza-se este; ii) Discretiza-se a planta e projeta-se o controlador discreto.

No primeiro caso, o controlador contínuo deve ser projetado de modo que os dois

pólos dominantes do sistema de malha fechada estejam localizados na região hachurada da figura anterior.

Já para o segundo caso, uma vez que a planta foi discretizada, o controlador deve ser projetado de modo que os dois pólos dominantes do sistema de malha fechada estejam localizados na região do plano-Z equivalente à região hachurada na figura anterior. Essa região é dada pela interseção das três regiões indicadas na figura abaixo:

(a) Overshoot (b) Tempo de Subida (c) Tempo de acomodação

onde, a região sombreada correspondente à região proibida de localização dos pólos dominantes para efeito de projeto. III.4. Coeficientes de erro estático.

- Classificação de sistemas de controle: sistemas de controle podem ser classificados de acordo com a sua habilidade para seguir entradas em degrau, entradas em rampa, entradas parabólicas, etc.

Considere a seguinte função de transferência de malha direta C(s)G(s):

C(s)G(s) = ( )( ) ( )( )( ) ( )1...11

1...11

21 ++++++

sssssssK

pN

mba

ττττττ

(III.21)

Para esta configuração e(t) = r(t) – y(t), então para sistemas com realimentação unitária a classificação é baseada no número de integrações indicadas pela função de transferência de malha – aberta. Um sistema é chamado do tipo 0, tipo 1, tipo 2, ..., se N = 0, N = 1, N = 2, ..., respectivamente.

Na prática, raramente se tem um sistema do tipo 3 ou maior porque geralmente é difícil projetar sistemas estáveis com mais do que duas integrações no ramo direto.

- Erros estacionários: Seja o sistema

41

A função de transferência de malha fechada deste sistema é:

)()(1)()(

)()(

sGsCsGsC

sRsE

+= (III.22)

A função de transferência entre o erro e(t) e a entrada r(t) é:

)()(11

)()(

sGsCsRsE

+= (III.23)

Assim,

)()()(1

1)( sRsGsC

sE+

= (III.24)

Aplicando o teorema do valor final, determinamos o erro estacionário (steady – state error):

ess = )(lim tet ∞→

= )()(1

)(lim0 sGsC

ssRs +→

= )(lim0

ssEs→

(III.25)

O limite na equação acima tende a zero, um valor finito, ou infinito.

A habilidade do sistema em seguir entradas polinomias é dada pelo maior grau, K,

do polinômio cujo erro é finito e não nulo. O sistema é chamado do tipo K para identificar o grau deste polinômio.

- Coeficiente de erro de posição estático Kp: O erro atuante estacionário do sistema para uma entrada degrau unitário é

ess = ssGsC

ss

1)()(1

lim0 +→

= )0()0(1

1HG+

(III.26)

O coeficiente de erro de posição estático Kp é definido por

Kp = )0()0()()(lim0

GCsGsCs

=→

(III.27)

Assim,

ess = pK+1

1 (III.28)

Para um sistema do tipo 0,

Kp = ∞=++++

→ )...1)(1()...1)(1(

lim21

0 sssssK

Nba

s ττττ

(N ≥ 1)

Portanto

ess = K+1

1 para sistemas do tipo 0

ess = 0 para sistemas do tipo 1 ou maior - Coeficiente de erro de velocidade estático Kv: O erro atuante estacionário do sistema com uma entrada rampa unitária (entrada e

velocidade unitárias) é dado por

ess = 20

1)()(1

limssGsC

ss +→

42

)()(

1lim0 sGssCs→

(III.29)

O coeficiente Kv é definido por Kv = )()(lim

0sGssC

s→ (III.30)

ess = vK

1 (III.31)

Para um sistema do tipo 0

Kv = 0)...1)(1(

)...1)(1(lim

210

=++

++→ ss

sssK ba

s ττττ

Para um sistema do tipo 1

Kv = KssssssK ba

s=

++++

→ )...1)(1()...1)(1(

lim21

0 ττττ

Para um sistema do tipo 2

Kv = ∞=++++

→ )...1)(1()...1)(1(

lim21

0 ssssssK

Nba

s ττττ

(N ≥ 2)

Portanto,

ess = ∞=vK

1 para sistemas do tipo 0

ess = KK v

11= para sistemas do tipo 1

ess = 01

=vK

para sistemas do tipo 2 ou maior

- Coeficiente de erro de aceleração estático Ka: O erro atuante do sistema com uma entrada parábola unitária (entrada de

aceleração) que é definida por

r(t) = 2

2T para T ≥ 0

= 0 para T < 0

é dado por

ess = )()(lim

11)()(1

lim 23 sGsCsssGsCs

ss

∞→∞→

=+

(III.32)

O coeficiente de erro estático Ka é definido por

Ka = )()(lim 2 sGsCss ∞→

(III.33)

43

Assim,

ess = aK

1 (III.34)

• Sistema tipo 0: Ka = 0 • Sistema tipo 1: Ka = 0 • Sistema tipo 2: Ka = K • Sistema tipo 3: Ka = ∞ (N ≥ 3)

Portanto, ess = ∞ para sistemas do tipo 0 ou tipo 1

ess = K1 para sistemas do tipo 2

ess = 0 para sistemas do tipo 3

Para sistemas com realimentação unitária.

Entrada em degrau

r(t) = 1

Entrada em rampa

r(t) t

Entrada de aceleração

r(t) = 2

21 t

Sistemas do tipo 0 K+1

1 ∞ ∞

Sistemas do tipo 1 0 k1 ∞

Sistemas do tipo 2 0 0 k1

Os Coeficientes de erro Kp, Kv e Ka descrevem a habilidade de um sistema reduzir

ou eliminar erros estacionários para entradas polinomiais. O coeficiente de erro pode ser definido de maneira geral como: KK = )()(lim

0sGsCs K

s→

Uma característica da definição de coeficientes de erro estático é que apenas um

dos coeficientes assume um valor finito para um dado sistema.

44

- Considerações: Seja o sistema

Uma grande confusão na literatura (especialmente em livros textos) sobre este

tópico é levantada devido muitos autores tratarem o sinal atuante a(t) com se fosse o sinal de erro, quando, de fato, isto é verdade apenas para sistemas com realimentação unitária. A confusão nestas definições é devido a alguns autores que definem erroneamente um sistema para ser do tipo K se a função de transferência da malha tem um pólo de multiplicidade K na origem (s = 0) indiferentemente da natureza da realimentação unitária, mas para realimentação não unitária é necessário estudar o erro diretamente. Exemplo 1: Considere o sistema com realimentação não – unitária

Gp(s) =

)1(1+ss τ

H(s) = h

onde h = 0 E(s) = R(s) – Y(s)

= )()(1

)()( sR

shGsG

sRp

p

+−

= )()(1

)()1(1sR

shGsGh

p

p

+

−+

e

F(s) = )()(

sRsE =

)(1)()1(1

shGsGh

p

p

+

−+

O erro do sistema em regime estacionário é

e∞ = )()(lim0

sFssRs→

Para uma entrada degrau R(s) = 1 / s, e portanto

e∞ = )(lim0

sFs→

= hss

hsss ++

−++→ )1(

)1()1(lim0 τ

τ

e∞ = h

h 1−

45

Assim, o sistema é do tipo 0, apesar do fato da planta ter um integrador puro. Entretanto, se a realimentação é unitária, h = 1 e e∞ = 0. Isto é, o sistema é do tipo 1.

y∞ = hss

ssRsRshG

sGssRssTssY

sp

p

sss ++=

+==

→→→→ )1(1)(lim)(

)(1)(

lim)()(lim)(lim0000 τ

Para uma entrada degrau R(s) = 1 / s, temos

y∞ = hhsss

1)1(

1lim0

=++→ τ

- Ilustrações: Sistema de 1a ordem (com integrador):

ou,

Sistema de 2a ordem (com integrador):

ou,

Sistema de 1a ordem sem integrador e com realimentação não – unitária:

E(s) = R(s) – Y(s)

E(s) = )()(1

)()( sR

shGsG

sRp

p

+−

E(s) = )()(1

)()1(1sR

shGsGh

p

p

+

−+

E(s) = )(hG1

)()1(1)()(

p ssGh

sRsE p

+

−+=

O erro do sistema estacionário é:

e∞ = )()(lim0

sFssRs→

46

Para entrada degrau R(s) = 1 / s, temos

e∞ = hK1s

1)K-(h1slim)(lim00 ++

++=

→→ ττ

sssF

e∞ = hK

Kh+

−+1

)1(1

Se 1 + (h – 1)K = 0 ⇒ e∞ = 0

Portanto, se

h = KK

K 111−=

−

o sistema é do tipo 1. Isto pode ser verificado para uma entrada rampa R(s) = 1 / s2, onde

e∞ =

−

++

−++

=→→

KKKss

KKs

ssF

ss 11

11lim)(lim

00τ

τ

e∞ = KKss

ss

ττ

τ=

+→ )(lim

0

e∞ = Kτ

A saída do sistema é:

Y(s) = )()(1

sRKs

KsRhKs

K+

=++ ττ

Em regime estacionário a saída é:

Y(s) = Ks

KssRssYss +

=→→ τ

)(lim)(lim00

Para entrada degrau, y∞ = 1.

- Análise do Erro de Regime Estacionário para Sistemas Discretos:

Considere o sistema: R + e u y - A transformada do erro e(k) é:

)()(1)()(

zGzCzRzE

+= ( VI . 34 )

C(z) G(z)

47

O valor final de e(k), se as raízes de 1+ C(z)G(z) = 0 estão dentro do círculo unitário, é dado por :

)()(1)()1()( lim

1 zGzCzRze

z +−=∞

→ ( III. 35 )

Se a entrada R(z) é um degrau unitário, u(t), então:

)()(11

1)1()( lim

1 zGzCzzze

z +

−−=∞

→ ( III. 36 )

ou

pk

e+

=∞∆

11)( ( III. 37 )

Assim, C(1)G(1) é a constante de posição , kp , do sistema Tipo 0 . Se C(z)G(z)

tem um pólo em z = 1 , então )(∞e = 0 . Supondo que o pólo em z = 1 é simples, então o sistema é do Tipo I e o erro a rampa unitária pode ser calculada como segue .

( )

)39.(1)(

38.)()(1

1.)1(

)(

,)()(

2

IIIk

e

e

IIIzGzCz

TzzE

entãottutrSeja

v

=∞

+−=

=

onde kv, a constante de velocidade do sistema do Tipo I com realimentação unitária, é dada por

TzzGzCzk

zv

)]()(1)[1(lim1

+−=

→ ( III.40 )

Devido aos sistemas do Tipo I ocorrerem com freqüência , é usualmente

observar que o valor de kv é fixado pelos pólos e zeros de malha fechada . Suponha que a função de transferência global do sistema y(z)/R(z) é H(z) tem zeros Zi’s e pólos Pi’s . Então, podemos escrevê-la como:

)(

)()(

1

1

i

n

z

i

n

i

pz

zzKzH

−

−=

Π

Π

=

= ( III.41 )

Após alguns algebrismos, podemos chegar a seguinte relação:

∑ ∑= = −

−−

=n

i

n

i iiv zpTk 1 1 )1(1

)1(11

( III.42 )

48

Portanto , notamos que kv aumenta para pólos distantes de z = 1 e para zeros próximos a z = 1 . Entretanto, um zero próximo a z = 1 produz um grande “overshoot” e uma resposta transitória pobre. Assim, devemos sempre fazer um balanço entre um baixo erro de regime estacionário e uma boa resposta transitória. III.5. Estabilidade de Sistemas Dinâmicos

Para os sistemas que apresentam equações características de 1ª ou de 2ª ordem, a estabilidade pode ser determinada diretamente por inspeção. Um polinômio de 1ª ou de 2ª ordem apresentará todas as suas raízes no semiplano esquerdo do plano-s (sistema estável), se e somente se todos os coeficientes do polinômio apresentarem o mesmo sinal algébrico. Entretanto para polinômios de ordem superior a 2ª, estas informações não são conclusivas. Nestes casos deve-se aplicar algum procedimento matemático que auxilie na determinação do número de raízes que o polinômio apresenta no semiplano direito do plano-s (raízes instáveis).

O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz, permite investigar a estabilidade absoluta dos sistemas, através dos coeficientes das equações características. A utilização deste método evita a necessidade de fatoração da equação característica para obtenção dos pólos (raízes) e a verificação se existe algum destes no semiplano direto do plano complexo, ou sobre o eixo imaginário. Caso exista, o sistema é instável.

O procedimento utilizado nesta técnica é: 1) Escrever a equação característica de “S” na seguinte forma:

0... 11

10 =++++ −−

nnnn asasasa ( III.43 )

2) Se um dos coeficientes é zero ou negativo na presença de pelo menos um coeficiente positivo, então há pelo menos uma raiz com parte real positiva e portanto o sistema NÃO É ESTÁVEL. 3) Se todos os coeficientes são positivos, arranje os coeficientes da equação caraterística em linhas e colunas da seguinte forma:

(III.44)

O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz diz que o número de raízes da equação característica com parte real positiva, é igual ao número de mudanças de sinal nos coeficientes da primeira coluna da tabela (a0, a1, b1, c1, d1, e1, f1). Se todos estes coeficientes são positivos, então todos os pólos da equação característica apresentam parte real negativa e portanto o sistema é estável.

49

Observações: - Se um termo da primeira coluna (b1, c1, d1, etc) é nulo, e os restantes não são,

então zero deve ser substituído por um número positivo muito pequeno “ε”, e então o resto da tabela é calculado.

- Caso os termos de uma linha sejam todos nulos, devemos substituir estes

valores, pelos coeficientes da derivada do polinômio anterior (linha anterior) em relação a “S”. Este polinômio é chamado de polinômio auxiliar.

- Análise da Estabilidade de Sistemas Discretos: Podemos mostrar , por exemplo , que a transformação bilinear

wwz

−+

=11

(III.45)

mapeia o interior do círculo unitário do plano-z no semiplano esquerdo do plano-W.

Uma vez que a equação característica F(z) = 0 é transformada em uma outra, F(W) = 0, de mesmo grau em W, o critério de Routh – Hurwitz pode ser aplicado diretamente sobre F(W) = 0. Assim, o número de raízes de F(W) = 0 no semiplano esquerdo do plano-W é exatamente igual ao número de raízes de F(z) = 0 no interior do círculo unitário do plano-z.