Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente Srgio Haffner http://slhaffner.phpnet.us/ haffner@ieee.org slhaffner@gmail.com Desenvolvido para ser utilizado como notas de aula para o primeiro curso na rea de Sistemas deEnergiaemnveldegraduaooups-graduao. Setembro 2007 Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente Introduo Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 2 de 4 Sumrio Introduo [1 pgina]4 IFundamentos para soluo de circuitos eltricos [22 pginas]1 I.1Representao fasorial1 I.2Impedncia [ ] e admitncia [ -1 ou siemens]4 I.3Associao de impedncias5 I.4Potncia complexa6 I.5Sentido do fluxo de potncia9 I.6Fonte trifsica ideal10 I.7Carga trifsica ideal11 I.8Potncia complexa em circuitos trifsicos equilibrados11 I.9Anlise por fase e diagrama unifilar14 I.10O sistema por unidade (pu)17 IIO balano de potncia [7 pginas]1 II.1Capacidade de transmisso1 II.2Dependncia da carga com a tenso e freqncia3 II.3O balano de potncia ativa e seus efeitos sobre a freqncia5 II.4O balano de potncia reativa e seus efeitos sobre a tenso5 IIIA linha de transmisso [16 pginas]1 III.1Tipos de condutores1 III.2Resistncia srie2 III.3Indutncia srie3 III.4Capacitncia em derivao6 III.5O modelo da linha de transmisso11 IVO transformador [27 pginas]1 IV.1Transformador ideal de dois enrolamentos1 IV.1.1Transformador ideal em regime permanente senoidal3 IV.1.2Modelo do transformador ideal em pu4 IV.2Circuito equivalente do transformador real de dois enrolamentos 5 IV.3Transformador com relao no-nominal14 IV.4Transformador de trs enrolamentos16 IV.5Autotransformador17 IV.6O modelo do transformador em fase19 IV.7O modelo do transformador defasador25 IV.8Expresses gerais dos fluxos de corrente e de potncia26 Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente Introduo Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 3 de 4 VGeradores, reatores, capacitores e cargas [5 pginas]1 V.1Geradores1 V.2Reatores1 V.3Capacitores2 V.4Cargas2 VIO estudo do fluxo de carga [12 pginas]1 VI.1Definio do problema do fluxo de carga1 VI.2As equaes das correntes dos ns6 VI.3Formulao matricial8 VIIFluxo de carga no linear: algoritmos bsicos [47 pginas]1 VII.1Formulao do problema bsico1 VII.2Resoluo de sistemas algbricos no lineares pelo mtodo de Newton-Raphson 10 VII.3Fluxo de carga pelo mtodo de Newton-Raphson15 VII.4Mtodos desacoplados24 VII.4.1Mtodo de Newton desacoplado24 VII.4.2Desacoplado rpido31 VII.4.3Apresentao formal dos mtodos desacoplados35 VII.5Controles e limites38 VIIIFluxo de carga linearizado [7 pginas]1 VII.1Linearizao1 VIII.2Formulao matricial3 VIII.3Representao das perdas no modelo linearizado5 Bibliografia [1 pgina]1 Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente Introduo Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 4 de 4 Introduo Estasnotasdeaulatmcomoobjetivoapresentar,deformaresumida,ocontedointegraldadisciplina introdutrianareadeSistemasdeEnergiaparaumcursoemnveldegraduaoemEngenhariaEltrica (parcialparaumadisciplinaemnveldeps-graduaoemEngenhariaEltrica)queconsistena anlisede sistemasdeenergiaeltricaemregimepermanentesenoidal.Estasnotasnodetalhamemprofundidade todososaspectosrelacionadoscomotema,maspodemserutilizadasparabalizarestudosnestarea,cuja bibliografiaemportugusnomuitoabundante,emfunodaretiradadosttulosjesgotadosdos catlogos das editoras. A anlise de sistemas eltricos em regime permanente de extrema importncia, pois desta forma que as redes operam quase na totalidade do tempo. Nestas condies, busca-se que todos os equipamentos eltricos (geradores, transformadores, linhas de transmisso, alimentadores, motores, etc.) estejam operando dentro de seuslimites(tenso,freqncia,potncia,etc.)e,sepossvel,deformatima(visandomaximizara segurana e minimizar o custo de gerao, as perdas de transmisso, etc.). Paraefetuarestaanlise,emcadacondiodecargaegeraopossvelparaosistemaousub-sistema eltrico, deve-se conhecer: O carregamento nas linhas de transmisso e nos transformadores, visando verificar se h sobrecarga ou elementos ociosos; A potncia gerada em cada unidade de gerao, visando efetuar uma anlise de custos; A potncia consumida em cada unidade, visando efetuar projees do crescimento do consumo; Atensonosdiversospontosdosistema,paraverificarseexistemtensesmuitoacimaouabaixo dos valores nominais; As perdas de transmisso, visando compara alternativas de alimentao das cargas; Asconseqncias,emregimepermanente,daperdadealgumequipamento,visandoverificarseo estado de operao seguro. Desta forma, possvel verificar com objetividade a forma de operao que o sistema eltrico se encontra. A avaliao destes indicadores a base dos mtodos empregados na definio das alteraes necessrias para modificar o ponto de operao do sistema com o objetivo melhorar sua forma de funcionamento em regime permanente. O contedo est dividido em oito captulos, da seguinte forma. NoCaptuloIfeitaumarevisodosconceitosnecessriosdaanlisedecircuitosemregimepermanente senoidaljuntamentecomaapresentaodanotaoempregadanosdemaiscaptulos.Adicionalmente, descrevem-se o sistema por unidade e a anlise por fase, muito freqente em sistemas de energia, quando o sistema pode ser considerado equilibrado. NoCaptuloIIfeitaumabreveanlisedobalanodepotnciaesuasimplicaescomamagnitudeda tenso nas barras e com a abertura angular das linhas e dos transformadores. Os Captulos III, IV e V so dedicados para apresentar a forma pela qual os elementos do sistema de energia eltrica so modelados para anlise por fase (aplicada para circuitos equilibrados). NosCaptulosVIeVIIoproblemadenominadoFluxodeCarga(ouFluxodePotncia)no-linearque consiste, basicamente, na determinao das tenses nodais (em mdulo e fase) formulado e resolvido. No Captulo VIII descrito o modelo linearizado para o problema do Fluxo de Carga, que consiste em uma simplificao do modelo no-linear que muito utilizada em estudos de planejamento. Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente Bibliografia Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 1 de 1 Bibliografia 1.Alcir J. Monticelli (1983). Fluxo de carga em redes de energia eltrica. Edgar Blcher. 2.AlcirJ.Monticelli,AriovaldoV.Garcia(2003).Introduoasistemasdeenergiaeltrica.Editorada Unicamp. 3.AlcirMonticelli,AriovaldoGarcia,OsvaldoSaavedra(1990).Fastdecoupledloadflow:hypothesis, derivations and testing, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 4, No. 4, November, pp. 1425-1431. 4.Arthur R. Bergen, Vijay Vittal (2000). Power systems analysis. Prentice Hall. 5.Charles A. Gross (1986). Power system analysis. J. Wiley. 621.3191 G878p 6.Dorel Soares Ramos (1982). Sistemas eltricos de potncia: regime permanente. Guanabara Dois. 621.3191 R175s 7.IEEE recommended practice for industrial and commercial power systems analysis (1997). IEEE. 621.31042 I42i 8.John J. Grainger, William D. Stevenson Jr. (1994). Power system analysis. McGraw-Hill. 621.3191 G743 9.J. Arrillaga, N. R. Watson (2001) Computer modelling of electrical power systems. John Willey & Sons Ltd. 10.Hadi Saadat (1999). Power system analysis. McGraw-Hill, New York, 697p. 11.O. I. Elgerd (1981). Introduo teoria de sistemas de energia eltrica. McGraw Hill do Brasil. 621.3191 E41ib (Edio 1981) 621.3191 E41ia (Edio 1978) 621.3191 E41i (Edio 1970) 12.Syed A. Nasar (1991). Sistemas elctricos de potencia. McGraw-Hill. 13.Turan Gonen (1988). Modern power system analysis. J. Wiley. 621.3191 G638m 14.W. D. Stevenson Jr. (1986). Elementos de anlise de sistemas de potncia. McGraw-Hill. 621.3191 S847eb (edio de 1981) 621.3191 S847ea (edio de 1978) Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente Fundamentos para soluo de circuitos eltricos Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 1 de 22 I Fundamentos para soluo de circuitos eltricos I.1 Representao fasorial Noscircuitoseltricosassintoticamenteestveis1,aanlisedoregimepermanentesenoidalpodeser realizada atravs da simples operao com nmeros complexos por intermdio da transformada fasorial. Na anlisefasorial,todasascorrentesetensessenoidaissorepresentadaspornmeroscomplexosque quantificamaamplitudeeongulodefasedassenides,sendoafreqnciadestasconsiderada implicitamente. Qualquer funo do tipo senoidal pode ser representada pela funo ( ) ( ) + = t G t g cos atravs da escolha dos valores adequados para: G valor mximo (amplitude); Tf 22 = = velocidade angular [rad/s]; f freqncia [Hz]; T perodo [s]; ngulo de fase [rad]. A Figura I.1 apresenta o grfico de uma funo senoidal genrica, indicando os valores de G e . t [rad] g(t) G -G Figura I.1 Funo tipo senoidal. Observarquequandoongulodefaseiguala 2 ,afunocossenotransforma-seemumseno, conforme mostra a Figura I.2, ou seja, so vlidas as seguintes relaes: ||

\|+ =2sen cos t t ||

\| =2cos sen t t 1Circuitosassintoticamenteestveissoaquelesquenoapresentamnenhumadasrazesdesuaequao caractersticanoeixoimaginrioounosemiplanodireitodoplanocomplexo.Nestecaso,arespostanaturaltendea zero: ( ) 0 lim = t yn t e a resposta completa tende sua resposta forada: ( ) ( ) ( ) ( ) t y t y t y t yf f n t t= + = lim lim Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente Fundamentos para soluo de circuitos eltricos Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 2 de 22 /2 t[rad] cos sen Figura I.2 Relao entre as funes seno e cosseno. Define-se como defasagem a diferena entre os ngulos de fases de duas funes do tipo senoidal de mesma velocidade angular . Sendo( ) ( )1 1 1cos + = t G t ge( )||||

\| + =8 7 621 2 2cos t G t g , a defasagem entre( ) t g1 e ( ) t g2 dada por( ) = = 1 1 2 1, conforme ilustra a Figura I.3. g1(t) g2(t) t [rad] Figura I.3 Defasagem entre duas funes senoidais. Assim, pode-se dizer que: ( ) t g1 est adiantada em relao ( ) t g2 do ngulo e ( ) t g2 est atrasada em relao ( ) t g1 do ngulo . Considere a funo senoidal geral: ( ) ( ) + = t Y t y cosmax(I.1) Note que a funo tem trs parmetros: maxY amplitude velocidade angular ngulo de fase Observar que qualquer funo senoidal pode ser representada atravs da escolha adequada de maxY ,e . Utilizando a identidade de Euler: sen cos j e j+ = Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente Fundamentos para soluo de circuitos eltricos Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 3 de 22 ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( )[ ] [ ](((((

== = = + + + =+ = + =+t jYjt j j t je eYe e Y e Y t jY t Yt Y t Y t y 48 47 62Re 2Re Re sen cos Recos Re cosmaxmax max max maxmax max ( ) ( )t je Y t yRe 2 = (I.2) onde jeYY2max= definido como a representao fasorial de( ) t you a transformada fasorial da funo senoidal( ) t y . Observar que a transformada fasorial transfere a funo senoidal do domnio do tempo para o domnio dos nmeroscomplexos,quetambmchamadadedomniodafreqncia,jquearespostaenvolve implicitamente uma funo senoidal de freqncia . Notar queYcontm 2/3 das informaes de( ) t ya saber, maxYe . Considerando 2maxYY = , o valor RMS2 de( ) t y , tem-se: Y Ye Yj= = (I.3) A representao grfica em um sistema coordenado de um fasor genrico encontra-se na Figura I.4. cos Y sen Y Y Y =Im Re Figura I.4 Representao grfica do fasorY Observarqueofasordiferentedeumvetorporqueaposioangulardofasorrepresentaposiono tempo; no no espao. Resumo: ( ) ( ) + = t Y t y cosmaxou( ) ( )t je Y t yRe 2 =Y Ye Yj= = Forma polar2maxYY = sen cos jY Y Y + = Forma retangular 2maxYY = 2 Root Mean Square ou valor quadrtico mdio (eficaz). Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente Fundamentos para soluo de circuitos eltricos Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 4 de 22 I.2 Impedncia [ ] e admitncia [ -1 ou siemens] AimpednciaZ deumcomponenteoucircuitoarelaoentreosfasorestensoecorrente(vide conveno de sinais da Figura 1.5): ( )==+ = =reatnciaa resistnciXRjX RIVj Z (I.4) A admitnciaYde um componente ou circuito o inverso de sua impedncia: ( )( )==+ = = =ia susceptnca condutnci1BGjB GVIj Zj Y (I.5) Circuito linear invariante em regime permanente senoidal ( ) [ ]t je V t vRe 2 =+ ( ) [ ]t je I t iRe 2 =( )Yj Z1= Figura I.5 Definio de impedncia e admitncia. Um resumo das relaes entre tenso e corrente para os elementos simples encontra-se na Tabela I.1. Tabela I.1 Relao tenso/corrente dos elementos simples. ElementoEquaes Relao de fase Forma fasorial: ( ) [ ]t je I t iRe 2 =( ) [ ]t je V t vRe 2 =Diagrama fasorial Relao no tempo ( ) t v+( ) t iR ( ) ( ) + = t V t v cosmax ( ) ( ) + = t I t i cosmax ( ) t ie( ) t vem fase I R V =IV i(t) v(t) ( ) t v+( ) t iL ( ) ( ) + = t V t v cosmax ( ) ||

\| + =2cosmax t I t i ( ) t iatrasada de( ) t vde 90 I L j V = L XL =IV i(t) v(t) ( ) t v+( ) t iC ( ) ( ) + = t V t v cosmax ( ) ||

\|+ + =2cosmax t I t i ( ) t iadiantada de( ) t vde 90 IC jV1= CXC1=IV i(t) v(t) Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente Fundamentos para soluo de circuitos eltricos Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 5 de 22 I.3 Associao de impednciasParaaassociaosriedeimpedncias(videFiguraI.6),aimpednciaequivalentedadapelasomadas impedncias de cada um dos componentes, ou seja: n eq Z Z Z Z + + + = K 2 1 (I.6) V+ 1 V+ I2 V+ n V+ 1 Z2 Z n ZV+ Ieq Z Figura I.6 Diagrama para associao srie de impedncias. A expresso (I.6) pode ser demonstrada utilizando-se a Lei de Kirchhoff das Tenses, da forma como segue: nn neq Z Z ZIVIVIVIV V VIVZ + + + = + + + =+ + += = K KK2 12 1 2 1LKT Sabendo que YZ1= , pode-se determinar a expresso da admitncia equivalente da associao srie, a partir da expresso (I.6): neqn eqY Y YYY Y Y Y1 1 11 1 1 1 12 12 1+ + += + + + =KK Para aassociaoparaleladeimpedncias(videFiguraI.7),aimpedncia equivalente dadapelo inverso da soma dos inversos das impedncias de cada um dos componentes, ou seja: neqn eqZ Z ZZZ Z Z Z1 1 11 1 1 1 12 12 1+ + += + + + =KK (I.7) V+ I1 Z2 Z n ZV+ Ieq Z 1 I 2 I n I Figura I.7 Diagrama para associao em paralelo de impedncias. Aexpresso(I.7)podeserdemonstradautilizando-seaLeideKirchhoffdasCorrentes,daformacomo segue: nnneqZ Z ZZVZVZVVI I IVIVZ1 1 112 12 12 1LKC+ + +=+ + +=+ + += =KKK Novamente,sabendoque YZ1= ,pode-sedeterminaraexpressodaadmitnciaequivalentedaassociao srie, a partir da expresso (I.7): n eq Y Y Y Y + + + = K 2 1Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente Fundamentos para soluo de circuitos eltricos Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 6 de 22 I.4 Potncia complexa Considere o sistema da Figura I.8 que se encontra em regime permanente senoidal. + ) cos( ) (max + = t V t v) cos( ) (max + = t I t i- ) (t v) (t iVIReIm2maxVV = =2maxIISISTEMA Figura I.8 Sistema em regime permanente senoidal. A potncia instantnea fornecida para o sistema dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + = = t t I V t i t v t p cos cosmax max (I.8) mas( ) b a b a b a sen sen cos cos cos = + , da ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sen sen cos cos sen sen cos cos cos + + + = + + = + t t t t t (I.9) Substituindo (I.9) em (I.8), ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) + + + + == + + + + =t t I V t I Vt t t I V t psen cos sen cos cossen sen cos cos cosmax max2max maxmax max(I.10) Mas 22 cos 1cos2aa+=ea a a cos sen 2 2 sen = , logo: ( ) ( ) [ ]( ) ( )( )22 2 sensen cos2 2 cos 121cos2 += + ++ + = +tt tt t(I.11) Aplicando (I.11) em (I.10), chega-se a: ( ) ( ) [ ] ( ) 2 2 sen sen22 2 cos 1 cos2max max max max+ + + + = tI VtI Vt pDefinindo 2maxVV=e 2maxII =como os valores eficazes da tenso e da corrente senoidais, VII V I V= =2 22max max max max chega-se seguinte expresso: ( ) ( ) [ ] ( ) 2 2 sen sen 2 2 cos 1 cos + + + + = t VI t VI t p(I.12) A forma de onda da potncia instantnea dada por (I.12) apresenta uma parcela constante, igual a cos VI , e uma parcela varivel e alternada variante no tempo, igual a( ) ( ) 2 2 sen sen 2 2 cos cos + + + t VI t VI , cuja freqncia corresponde exatamente ao dobro da freqncia da tenso e da corrente. Quandoatensoestemfasecomacorrente,osgrficosdasfunestenso,correnteepotncia instantneas so de acordo com a Figura a seguir. Observar que a funo potncia instantnea oscilante e apresenta sempre valores positivos. Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente Fundamentos para soluo de circuitos eltricos Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 7 de 22 0 1 2 3 4 5 6-50510Corrente em fase com a tensowtv(t), i(t), p(t)v(t)i(t)p(t) Figura I.9 Grfico da potncia no tempo corrente em fase com a tenso. Quandoacorrenteestatrasadade90 emrelaotenso,osgrficosdasfunestenso,correntee potnciainstantneassodeacordocomaFiguraaseguir.Observarqueafunopotnciaoscilantee apresenta valor mdio nulo. 0 1 2 3 4 5 6-505Corrente atrasada de 90 grauswtv(t), i(t), p(t)v(t)i(t)p(t) Figura I.10 Grfico da potncia no tempo corrente atrasada de 90o em relao tenso. Quandoacorrenteestadiantadade90 emrelaotenso,osgrficosdasfunestenso,correntee potnciainstantneassodeacordocomaFiguraaseguir.Novamente,observarqueafunopotncia oscilante e apresenta valor mdio nulo. 0 1 2 3 4 5 6-505Corrente adiantada de 90 grauswtv(t), i(t), p(t)v(t)i(t)p(t) Figura I.11 Grfico da potncia no tempo corrente adiantada de 90o em relao tenso. Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente Fundamentos para soluo de circuitos eltricos Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 8 de 22 Umasituaointermediriaaquelanaqual acorrenteestatrasadade umnguloqualquer(porexemplo, 30,conformeFiguraaseguir).Nestecasoapotnciaapresentavalorespositivosenegativos,sendoa predominncia dos positivos. 0 1 2 3 4 5 6-50510Corrente atrasada de 30 grauswtv(t), i(t), p(t)v(t)i(t)p(t) Figura I.12 Grfico da potncia no tempo corrente atrasada de 30o em relao tenso. A partir da expresso (I.12) fcil determinar o valor da potncia ativa (eficaz ou til, que produz trabalho) que igual ao valor mdio da potncia instantnea fornecida ao sistema: ( ) [ ] ( ) [ ] + + + + = T Tdt t VI t VITdt t pTP0 02 2 sen sen 2 2 cos 1 cos1) (1 cos VI P = [W](I.13) A potncia reativa corresponde ao valor mximo da parcela em( ) 2 2 sen + tda potncia instantnea: sen sen I VI V Q = [var](I.14) para a qual adota-se a seguinte conveno3: INDUTOR:consome potncia reativa CAPACITOR:gera potncia reativa A potncia aparente obtida pela combinao das potncias ativa e reativa P e Q: 2 2Q P VI S + = = [VA](I.15) Asexpresses(I.13),(I.14)e(I.15)sugeremumarelaodetringuloretngulo(similaraotringulodas impedncias) na qual a potncia aparente S a hipotenusa, conforme ilustra a Figura I.13. SPjQI V = SPjQI V = Caracterstica INDUTIVA Caracterstica CAPACITIVA Figura I.13 Tringulo das potncias. 3Observarqueparaqualquerelementooucombinaodeelementos,aparcelarepresentadapelapotnciareativa apresentavalormdionulo,ouseja,noexistegeraonemconsumoefetivo,nametadedociclooelementoabsorve energia que ser devolvida na metade seguinte do ciclo. A conveno adequada porque na metade do ciclo em que o indutor est absorvendo energia o capacitor est devolvendo e vice-versa. Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente Fundamentos para soluo de circuitos eltricos Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 9 de 22 O fator de potncia obtido pela relao entre as potncias ativa e aparente: coscos= = =VIVISPFP Utilizando-se os fasores tenso e corrente, ==I IV V pode-se definir a potncia complexa atravs do produto do fasor tenso pelo conjugado do fasor corrente: jQ P jVI VI VI I V I V S + = + = = + = = sen cos*(I.16) Notar que desta forma, o ngulo da potncia s depende do ngulo entre a tenso e a corrente (), conforme ocorre nas expresses (I.13), (I.14) e (I.15). I.5 Sentido do fluxo de potncia Considere os dois sistemas eltricos interligados mostrados na Figura I.14. + - VI V V = I I =SISTEMA A SISTEMA B Figura I.14 Situao geral do fluxo de potncia em circuitos CA. De acordo com a notao da Figura I.14, a potncia complexa fornecida para o Sistema B pelo Sistema A dada por: ( ) ( ) jQ P jVI VI VI I V I V S + = + = = = = sen cos* OsentidodofluxodepotnciaativaPereativaQentreosdoissistemaspara = variandode0a 360o est mostrado na Figura I.15. o o90 0::< P0 < Q o0kk V V = o0kk V V = 0 > Q o0kk V V = o0kk V V = 0 < P0 < Q o0kk V V = o0kk V V = Exerccio II.2Efetuaranlise similarrealizadanaSeoII.4,supondoque aimpednciada linhaseja igual a km kmkm jx r Z + = . Considerar trs casos distintos km kmx r >> , km kmx r e km kmr x >> . Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente A linha de transmisso Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 1 de 16 III A linha de transmissoAslinhasdetransmissosoosequipamentosempregadosparatransportargrandesblocosdeenergiapor grandesdistncias,entreoscentrosconsumidoreseoscentrosgeradores.NoBrasil,emfunodoparque geradorserbaseadonaenergiahidreltrica,osistemadetransmissodesempenhaumpapelmuito importante pois as distncias entre os centros consumidores e geradores so elevadas. Os dados do setor eltrico brasileiro podem ser obtidos nos boletins do Sistema de Informaes Empresariais do Setor de Energia Eltrica (SIESE) que parte do Sistema Integrado de Informaes Energticas (SIE) da Secretaria Geral do Ministrio das Minas e Energia (MME). Um extrato do relatrio, referente s linhas de transmisso encontra-se no Quadro III.1. Quadro III.1 Extenso das linhas de transmisso do setor eltrico brasileiro. EXTENSO DE LINHAS DE TRANSMISSO - kmEm 31.122001 199920002001Entradas Retiradas69 kV40.023,0 39.973,0 39.973,00,0 0,088 kV3.290,7 3.290,7 3.290,70,0 0,0138 kV55.723,2 56.080,1 56.080,10,0 0,0230 kV33.869,9 34.040,7 34.072,732,0 0,0345 kV8.952,3 8.952,3 8.952,30,0 0,0440 kV6.384,4 6.497,6 7.002,6505,0 0,0500 kV16.952,7 18.617,2 18.721,5104,3 0,0600 kV (corrente contnua)1.612,0 1.612,0 1.612,00,0 0,0750 kV2.114,0 2.379,0 2.683,0304,0 0,0Fonte: Boletim Semestral do SIESE Sntese 2001 (disponvel em: http://www.eletrobras.gov.br/mercado/siese/). Uma linha de transmisso de energia eltrica possui quatro parmetros bsicos: resistncia srie, indutncia srie,capacitnciaemderivaoecondutnciaemderivao.Estesparmetros influemdiretamentenoseu comportamentocomocomponentedeumsistemadeenergiaeltricamas,acondutnciaemderivao (utilizadapararepresentarafugapelosisoladoresecoronadelinhasareasouisolaodoscabos subterrneos) geralmente desprezada por ser muito pequena. Assim,paraaanlisedoregimepermanentedeumalinhadetransmissoseroconsideradosapenastrs parmetros: resistncia srie, indutncia srie e capacitncia em derivao. III.1 Tipos de condutores Naconstruodelinhasdetransmissosoempregadoslargamenteoscondutoresdealumniodevidoaos seguintes fatores: Menor custo e peso; Maiordimetroqueequivalenteemcobre(portantomenordensidadedefluxoeltriconasuperfcie proporcionando um menor gradiente de potencial e menor tendncia ionizao do ar efeito corona). Os tipos mais comuns de condutores de alumnio so: CACondutor de Alumnio AACAll Aluminium Conductor CAACondutor de Alumnio com alma de Ao ACSRAluminium Conductor Steel Reinforced Os nomes cdigo dos cabos CA so nomes de flores (por exemplo: 4 AWG Rose; 266,8 MCM Daisy; 636 Orchid)edoscabosCAAsonomesdeaves(porexemplo:1AWGRobin;636MCMGrosbeak;1590 Falcon). Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente A linha de transmisso Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 2 de 16 III.2 Resistncia srie A resistncia srie a principal causa das perdas de energia nas linhas de transmisso. Em corrente contnua (CC) a resistncia de um condutor dada por: AlRCC = [](III.1) onde: Resistividade do condutor1 [m] l Comprimento [m] Area da seo transversal [m2] Na determinao da resistncia dos condutores devem ser levados em conta os seguintes aspectos: Paraafaixanormaldeoperao,avariaodaresistnciadeumcondutormetlicopraticamente linear, ou seja: 1 02 01 2T TT TR R++= (III.2) onde: 1R Resistncia temperatura 1T[] 2R Resistncia temperatura 2T[] 0T Constante do material2 [o C] Em cabos encordoados, o comprimento dos fios perifricos maior que o comprimento do cabo (devido ao encordoamento helicoidal). Isto acresce resistncia efetiva em 1 a 2%. Em corrente alternada (CA), devido ao efeito pelicular (skin), a corrente tende a concentrar-se na superfcie docondutor.Istoprovocaumacrscimonaresistnciaefetiva(proporcionalfreqncia)observvela60 Hz (em torno de 3%). ExemploIII.1ParaocabodealumnioMarigold1113MCM( mm 432 , 3 61 ),aresistnciaemCCa 20oC igual a 0,05112 /km e a resistncia CA-60 Hz a 50oC 0,05940 /km. Determinar: a)O acrscimo percentual na resistncia devido ao encordoamento. b)O acrscimo percentual na resistncia devido ao efeito pelicular. Soluo Exemplo III.1: a)A rea da seo transversal do condutor : 2 4232m 10 643 , 5210 432 , 361 =((

= = r N AUtilizando a expresso (III.1), tem-se: km2 4kmm8 05015 , 0m 10 643 , 51000m 10 83 , 2= = =AlRCCPortanto, o acrscimo devido ao encordoamento , enc , : % 9 , 1 019 , 1 05015 , 0 05112 , 0enckmkm= = =CCefCCRR 1 Para o alumnio tmpera dura a 20o C,m 10 83 , 28 = . 2 Para o alumnio tmpera dura a 20o C,C 2280o= T . Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente A linha de transmisso Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 3 de 16 Soluo Exemplo III.1 (continuao): b)Utilizando a expresso (III.2), tem-se: km00 20 50 05730 , 020 22850 22805112 , 02050=++=++=TTR RCC CC Portanto, o acrscimo devido ao efeito pelicular, pel , : % 7 , 3 037 , 105730 , 005940 , 0pel5050= = =CCCARR III.3 Indutncia srieUmcondutorconstitudodedoisoumaiselementosoufiosemparalelochamadocondutorcomposto observar que isto inclui os condutores encordoados e tambm os feixes (bundles) de condutores. Sejam os dois condutores compostos arranjados conforme a Figura III.1. O condutor x formado por n fios cilndricos idnticos, cada um transportando a corrente nI e o condutor de retorno Y formado por M fios cilndricos idnticos, cada um transportando a corrente MI. a Condutor x b c n AB C M Condutor Y bnDbCD Figura III.1 Seo transversal de uma linha monofsica constituda por dois condutores compostos. Considerando as distncias indicadas na Figura III.1, a indutncia dos fios a e b que fazem parte do condutor x so dadas por: nan ac ab aMaM aC aB aAaD D D rD D D Dn LLL= ln2[H/m] nbn bc ba bMbM bC bB bAbD D D rD D D Dn LLL= ln2[H/m] onde: 0 r= Permeabilidade do meio3 (para o vcuo, kmH4mH7010 4 10 4 = = ) [H/m] DDistncia entre os fios e [m] r Raiodeumcondutorfictcio(semfluxointerno)pormcomamesmaindutnciaqueo condutor , cujo raio r(para condutores cilndricos, 41 = e r r ) [m] Nasexpressesanteriores,imprescindvelque D e r estejamnamesmaunidade(emmetros,por exemplo). 3 Geralmente utilizada a permeabilidade do vcuo pois, para o ar, a permeabilidade relativa unitria:1 r . Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente A linha de transmisso Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 4 de 16 A indutncia do condutor composto x igual ao valor mdio da indutncia dos fios dividido pelo nmero de fios (associao em paralelo), ou seja: 2mdionL L L LnnL L L LnLLn c b an c b axx+ + + +=+ + + += =KK[H/m] Segue da que: ( )( ) ( )( )( ) ( )2ln2nnn nb na bn bb ba an ab aaMnnM nB nA bM bB bA aM aB aAxD D D D D D D D DD D D D D D D D DLL L L LL L L L= [H/m] (III.3) onde r D = .Onumeradordaexpresso(III.3)chamadodeDistnciaMdiaGeomtrica(DMG)e notado por mD ; o denominador chamado de Raio Mdio Geomtrico (RMG) e notado por sD . Assim, smxDDL ln2= [H/m] (III.4) com: mD Distncia Mdia Geomtrica (DMG): ( )( ) ( )MnnM nB nA bM bB bA aM aB aA mD D D D D D D D D D L L L L = [m] sD Raio Mdio Geomtrico (RMG): ( )( ) ( )2nnn nb na bn bb ba an ab aa sD D D D D D D D D D L L L L = [m] Sendo f a freqncia de operao da linha, a reatncia indutiva dada por: x LfL X 2 =[/m] Emumalinhatrifsica,comespaamentoassimtrico,aindutnciadasfasesdiferenteeocircuito desequilibrado. Por intermdio da transposio da linha, possvel restaurar o equilbrio das fases, do ponto devistadosterminaisdalinha.Atransposioconsisteemfazercomquecadafaseocupecadaumadas posies nas torres por igual distncia (para uma linha trifsica, trs so as posies possveis e deve-se fazer com que cada fase ocupe 1/3 do comprimento da linha em cada uma das trs posies). Considere a linha trifsica transposta com espaamento assimtrico mostrada na Figura III.2. 3 1 2 Condutor A 13D12D23DCondutor A Condutor ACondutor B Condutor C Condutor C Condutor B Condutor C Condutor B Posio 1 Posio 2 Posio 3 1/3 comprimento 1/3 comprimento 1/3 comprimento Transposio Transposio Figura III.2 Linha trifsica com um ciclo de transposio. Para a linha da Figura III.2, a indutncia mdia por fase dada por: seqDDL ln2= [H/m] (III.5) onde: eqD Distncia mdia geomtrica entre condutores 331 23 12D D D Deq =[m] sD Raio mdio geomtrico do condutor [m] Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente A linha de transmisso Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 5 de 16 Observar a semelhana entre as expresses (III.4) e (III.5). Em linhas constitudas por mais de um condutor por fase, o raio mdio geomtrico deve ser calculado como anteriormente, ou seja: ( )( ) ( )2nnn nb na bn bb ba an ab aa sD D D D D D D D D D L L L L =eostermosempregadosnoclculodadistnciamdiageomtrica( )31 23 12 e , D D D correspondems distncias mdias geomtricas entre cada uma das combinaes das fases, ou seja, xYD dado por: ( )( ) ( )MnnM nB nA bM bB bA aM aB aA m xYD D D D D D D D D D D L L L L = = Osvaloresdoraiomdiogeomtricodecadacondutor(Daa,Dbb,etc.)podemserobtidosdiretamentenas tabelasdosfabricantes,juntamentecomosdemaisdadosdoscabos(nomecdigo,seotransversal, formao,nmerodecamadas,dimetroexternoeresistnciaeltrica),oupodemserdeterminadospor intermdio da seguinte expresso: gK D D = 5 , 0onde D o dimetro externo do condutor e Kg uma constante que depende de sua formao (quantidade e tipo de fios), cujos valores encontram-se no Quadro III.2. Quadro III.2 Valores de Kg para a determinao do raio mdio geomtrico de um cabo. Formao (nmero de fios) Fator de formao (Kg) 70,7256 190,7577 370,7678 610,7722 Condutor de Alumnio (CA) 910,7743 Formao (fios alumnio/ao) Fator de formao (Kg) 22/70,7949 26/70,8116 30/70,8250 45/70,7939 54/70,8099 Condutor de Alumnio com alma de Ao (CAA) 54/190,8099 Fonte:Overhead, Pirelli Technical Manuals (disponvel em http://www.au.pirelli.com/en_AU/cables_systems/telecom/downloads/pdf/Overhead.pdf) Para condutores de alumnio, observar que medida que o nmero de fios aumenta o fator de formao (Kg) se aproxima do valor determinado para condutores cilndricos macios, que corresponde a7788 , 041=e . Exemplo III.2 Determinaroraiomdiogeomtricodocondutor dealumniocomalmadeaoPheasant 1272MCM,formadopor54fiosdealumnioe19deao(54/19)quepossuiumdimetroexternode 3,5103 cm. Soluo Exemplo III.2: Do Quadro III.2, tem-se que o fator de formao correspondente (54/19) dado por Kg =0,8099. Substituindo na expresso, tem-se: cm 4215 , 1 8099 , 0 cm 5103 , 3 5 , 0 5 , 0 = = =gK D D Observar que um valor equivalente pode ser encontrado na tabela do fabricante. Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente A linha de transmisso Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 6 de 16 III.4 Capacitncia em derivaoPara uma linha de transmisso monofsica formada por condutores de raio r, conforme a mostra Figura III.3, a capacitncia entre os dois fios desta linha dada por: rDkCabln=[F/m] ondekapermissividadedomeio(kmF9mF12010 85 , 8 10 85 , 8 = = k ,apermissividadedovcuo, geralmente empregada no clculo de linhas areas). ab D Figura III.3 Seo transversal de uma linha monofsica. Assim,acapacitnciadequalquerumdosfiosaoneutrocorrespondeaodobrodovalordeterminadopela expresso anterior (associao srie de capacitores), conforme ilustra a Figura III.4. a Capacitncia linha/linha b abCa Capacitncia linha/neutro b aNCbNCN ab bN aNC C C 2 = = Figura III.4 Capacitncias linha/linha e linha neutro. Desta forma, a expresso da capacitncia entre linha/neutro, para uma linha monofsica dada por: rDkCNln2= [F/m] (III.6) Para uma linha de transmisso trifsica espaada igualmente e formada por condutores de raio r, conforme mostra a Figura III.5, a capacitncia entre linha/neutro de qualquer uma das fases pode ser obtida, tambm, pela expresso (III.6). DD D a b c Figura III.5 Seo transversal de uma linha trifsica. Observar que na expresso (III.5) no foi contemplada a existncia da terra que causa uma descontinuidade no meio dieltrico (passa de isolante para condutivo). Embora a considerao do efeito da terra, geralmente, noprovoquealteraessignificativasnovalordacapacitncia(emoutraspalavras,a capacitnciaentreas fasesmuitomaiordoqueacapacitnciaentreasfaseseaterra),possveldeterminarestacomponente aplicando-se o mtodo das imagens. Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente A linha de transmisso Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 7 de 16 Considerando os condutores fase e as imagens, mostrados na Figura III.6, a capacitncia mdia com relao ao neutro dada por4: (((

+=(((

=3333ln ln2ln ln2 c b ac b a eqc b ac b a eqND D DD D DrDkD D DD D DrDkC [F/m] (III.7) sendo 3ca ba ab eqD D D D = adistnciamdiageomtricaentrecondutores.Observarasemelhanaentreas expresses (III.6) e (III.7). Como os condutores das linhas de transmisso so suspensos e adquirem a forma de uma catenria, a altura adotada no clculo da capacitncia diferente da altura de suspenso (H), pois o cabo apresenta uma flecha f, sendo sua altura mdia inferior. Usualmente, a altura empregada no clculo, h, dada por:f H h 7 , 0 = . abDa b c bcD aD bD aD bD cDcaD cDCondutores Imagens Superfcie do solo Figura III.6 Seo transversal de uma linha trifsica assimtrica e sua imagem. Sendofafreqnciadeoperaodalinhae NC acapacitncialinha/neutro,determinadapelasexpresses (III.6) e (III.7), a reatncia capacitiva dos condutores em relao ao neutro dada por: NCfCX 21= [m] Observarqueaunidadede LX diferentedaunidadedeCX ,enquantooprimeirodadoem /m(poisa reatnciadiretamenteproporcionalindutnciaquedadaem H/m),osegundodadoemm(poisa reatncia inversamente proporcional capacitncia que dada em F/m). 4Asduasexpressesaseguirsoidnticas,apenasdiferemcomrelaoaosinaleaexpressodo2otermodo denominadorlembrarque( ) ( )abbaln ln = .Observarqueotermo3 c b aD D D(diagonais)sempremaiorque 3 c b aD D D(verticais),motivopeloqualosegundotermosemprereduzovalordodenominador,ouseja,a considerao do efeito da terra aumenta a capacitncia com relao terra. Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente A linha de transmisso Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 8 de 16 Exemplo III.3 Para as duas configuraes abaixo (vertical e horizontal), determinar a indutncia srie e a capacitnciaemderivaoporunidadedecomprimento(km).Considerarqueambasaslinhasso transpostas. Da b c abc HVertical Horizontal Superfcie do solo DDHDm 20m 0 , 7(RMG) cm 021 , 1cm 257 , 1Grosbeak MCM 636 Cabo 10 85 , 8 10 4kmF90kmH40==== = == =HDDrk ks Soluo Exemplo III.3: Para ambas as configuraes, tm-se: m 82 , 8 26 , 1 2 23 33 331 23 12= = = = = D D D D D D D D D D D Dca bc ab eq logo, pela expresso (III.5): kmH3 kmH4010 35 , 1m 0,01021m 82 , 8ln210 4ln2 = = =seqDDLPara a configurao vertical, tem-se: ( )( )( ) m 70 , 53 154818 2 2 2 3 2333 = + + + = D H D H D H D D Dc b a ( )( ) m 76 , 52 146880 2 2 2 4 2333 = + + = H D H D H D D Dc b a logo, pela expresso (III.7), tem-se: kmF9 kmF933 10 51 , 8m 52,76m 70 , 53lnm 0,01257m 82 , 8ln10 85 , 8 2ln ln2 =(((

= c b ac b a eqND D DD D DrDkCNegligenciandooefeitodosolo,observarqueacapacitnciadasconfiguraesverticalehorizontalseria igual a: kmF9 kmF9 10 48 , 8m 0,01257m 82 , 8ln10 85 , 8 2ln2 == = rDkCeqN Neste caso, a capacitncia com relao ao neutro sem considerar o solo, NC , corresponde a 99,6% de NC5. Para a configurao horizontal, tem-se: ( ) ( ) ( ) ( ) m 19 , 41 37 , 69883 2 2 2 2332 2 2 2 2 23 = + + + = D H D H D H D D Dc b a m 00 , 40 2 2 2 233= = = H H H H D D Dc b a logo, pela expresso (III.7), tem-se: kmF9 kmF933 10 52 , 8m 40,00m 18 , 41lnm 0,01257m 82 , 8ln10 85 , 8 2ln ln2 =(((

= c b ac b a eqND D DD D DrDkCNeste caso, a capacitncia com relao ao neutro sem considerar o solo, NC , corresponde a 99,5% de NC . 5 Isto explica porque o efeito da terra muitas vezes desprezado no clculo da capacitncia das linhas de transmisso. Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente A linha de transmisso Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 9 de 16 Exemplo III.4 (Provo 2002) Questo relativa s matrias de Formao Profissional Especfica (nfase Eletrotcnica). Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente A linha de transmisso Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 10 de 16 Mdia (escala de 0 a 100)% escolha BrasilRegio SulInstituioBrasilRegio sulInstituio 8,08,116,817,7 Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente A linha de transmisso Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 11 de 16 Exerccio III.1Descreveredemonstrarcomexemploasalteraesnecessriasnadisposiodoscabos (altura, arranjo das fases, arranjo do bundle, etc.) para: a)Reduzir a indutncia srie de uma linha de transmisso. b)Aumentar a capacitncia em derivao de uma linha de transmisso. III.5 O modelo da linha de transmissoAs linhas de transmisso so classificadas de acordo com seu comprimento: Linhas curtas:at 80 km. Linhas mdias: at 240 km. Linhas longas: mais de 240 km Embora as linhas nem sempre possuam espaamento eqiltero e sejam plenamente transpostas, a assimetria resultante em sistemas de alta e extra-alta tenso pequena e as fases podem, geralmente, ser consideradas equilibradas (via de regra, a carga bastante equilibrada). Osparmetrosutilizadosnosestudosdefluxodecargapararepresentarlinhascurtasemdiaspodemser obtidosdiretamentedasexpressesanterioresbastamultiplic-lospelocomprimentodalinhade transmisso.Paralinhaslongasnecessriofazerumacorreoparaconsiderarqueosparmetrosso distribudos. Qualquerlinhadetransmissopodeserrepresentadademodoexato,apartirdosseusterminais,porum circuito equivalente, como mostrado na Figura III.7, onde: km ZImpedncia srie total da linha de transmisso [] km YAdmitncia em derivao (linha/neutro) total da linha de transmisso [S] Constante de propagao da linha:y z j = + = [1/km] zImpedncia srie por unidade de comprimento [/km] yAdmitncia em derivao (linha/neutro) por unidade de comprimento [S/km] Constante de atenuao [neper/km] Constante de fase [rad/km] l Comprimento da linha [km] k llZ Z km km= senh2km Ym 22tanh2 2 llY Y km km= Figura III.7 Circuito equivalente de uma linha de transmisso. Para linhas de transmisso mdias, tem-se que: 1senhlle1tanh22ll Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente A linha de transmisso Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 12 de 16 Logo, para linhas de transmisso mdias, pode-se utilizar diretamente a impedncia srie total da linha (pois km km Z Z =)eametadedaadmitnciaemderivaototal(pois2 2 km km Z Y =),resultandonochamado circuito nominal. Paralinhasdetransmissocurtas,pode-sedesprezaraadmitnciaemderivaoeutilizar-sesomentea impedncia srie total da linha. Observar que, geralmente, a condutncia em derivao insignificante, ou seja, a admitncia em derivao composta apenas pela susceptncia em derivao shunt ExerccioIII.2ParaaconfiguraoverticaldoExemploIII.2,determinarocircuitoequivalente, considerandoaresistnciaemcorrentealternadaporunidadedecomprimentoiguala km10054 , 0= r ,60 Hz, e que o comprimento da linha : a)500 km (linha longa) b)150 km (linha mdia) c)50 km (linha curta). Aps realizadas as correes necessrias para levar em conta o comprimento, a representao das linhas de transmisso no fluxo de carga realizada pelo seu equivalente , mostrado na Figura III.8 que definido por trsparmetros:aresistnciasrie kmr ;areatnciasrie kmx easusceptnciaemderivao(shunt) shkmb . k km Ikmrkmjxshkmjbshkmjbm mk IIk kk V V =m mm V V = Figura III.8 Modelo equivalente de uma linha de transmisso. A impedncia e admitncia do elemento srie so dadas por: km kmkm jx r Z + = 2 2 2 21km kmkmkm kmkmkm kmkm kmkmx rxjx rrjx rjb g Y+++=+= + =Paraumalinhadetransmisso, kmr e kmx sopositivos(portanto, kmg positivoe kmb negativo)eo elementoemderivao, shkmb ,tambmpositivoemfunoderepresentaracapacitncialinha/neutroda linha de transmisso. Ascorrenteskm I emk I soobtidasapartirdosfasorestensodasbarraskem(k kk V V = e m mm V V = , respectivamente): ( ) ( ) m km kshkmkm kshkmm k km km V Y V jb Y V jb V V Y I + = + =(III.8) ( ) ( ) mshkmkm k km mshkmk m km mk V jb Y V Y V jb V V Y I + + = + = (III.9) Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente A linha de transmisso Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 13 de 16 A expresso do fluxo de potncia complexa da barra k para a barra m dada por: ( ) [ ]* *2* * * * ** *m k kmkshkmkm m km kshkmkm km km kshkmkm k km kkm kmkmV V Y V jb Y V Y V jb Y VV Y V jb Y V I V jQ P S ||

\| =((

||

\| = + = = + = Sabendo que m k m km k V V V V =* e definindo m k km = , ( ) [ ] ( )( ) [ ] ( )( )km km km km m k kshkm km kmkm m k km km kshkm km kmkmj jb g V V V b b j gV V jb g V b b j g S sen cos22+ + = + =(III.10) Separando as partes real e imaginria, chega-se a: ( )km km km km m k km k kmb g V V g V P sen cos2+ = (III.11) ( ) ( )km km km km m kshkm km k kmb g V V b b V Q cos sen2 + = (III.12) Analogamente, para determinar o fluxo de potncia complexa da barra m para a barra k: ( ) [ ]* *2* * * * ** *k m kmmshkmkm k km mshkmkm mk km mshkmkm m mk mmk mkmkV V Y V jb Y V Y V jb Y VV Y V jb Y V I V jQ P S ||

\| =((

||

\| = + = = + = cujas partes real e imaginria so: ( )mk km mk km m k km m mkb g V V g V P sen cos2+ = (III.13) ( ) ( )mk km mk km m kshkm km m mkb g V V b b V Q cos sen2 + = (III.14) O diagrama fasorial da linha de transmisso mostrado na Figura III.9. I jxkmk Vm Vkm VII rkmkm Figura III.9 Diagrama fasorial da linha de transmisso. As perdas de potncia ativa e reativa em uma linha de transmisso podem, ento, ser determinadas somando-se, respectivamente, as expresses (III.11) com (III.13) e (III.12) com (III.14), ou seja: ( )km km m k km m k mk kmg V V g V V P P P cos 22 2perdas + = + =( )( )km km m kshkm km m k mk kmb V V b b V V Q Q Q cos 22 2perdas+ + + = + = Exerccio III.3 Mostrar que( )2perdas km mk kmI r P P = + . Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente A linha de transmisso Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 14 de 16 Asexpresses(III.8)e(III.9),podemserarranjadasdeoutraforma,tendoemvistapossibilitara representao da linha de transmisso por um quadripolo, conforme mostrado na Figura III.10. km I mk Ik kk V V =m mm V V =+ + ((

((

=((

kmkmkmIVD CB AIV Figura III.10 Linha de transmisso representada por um quadripolo. Isolandom Vem (III.8), chega-se a: ( ) [ ] ( ) km km kshkmkm kmkmkkmshkmkm kshkmkmkmm I Z V jb Z IYVYjbI V jb YYV + = |||

\|+ = + = 1111(III.15) Em (III.9), substituindom V , pela expresso (III.15), tem-se: ( ) ( )( ) kmkmshkmkkmshkm shkmshkmshkmkmkmshkmk kmkmshkm shkmkmshkmkmk km kmkmshkmkmkkmshkm shkmkm k kmVkmkmkkmshkm shkmkm mkIYjbVYjbjb jb jb IYjbV YYjbjb Y jb YV Y IYjb YVYjbjb Y V Y IYVYjbjb Y Im|||

\|+ ((

+ + =|||

\|+ ((

+ + + == +|||

\|+ + = (((

|||

\|+ + =1 11114 4 4 4 8 4 4 4 4 7 6 ( ) ( ) kmshkmkm kshkmkmshkmkmkmshkmkkmshkm shkmmk I jb Z V jb Z jb IYjbVYjbjb I + + =|||

\|+ |||

\|+ = 1 2 1 2(III.16) Assim, os parmetros do quadripolo so: shkmkm jb Z A + =1 km Z B =( )shkmkmshkmjb Z jb C + = 2 ( )shkmkm jb Z D + = 1 . Exemplo III.5 (Provo 2000) Questo relativa s matrias de Formao Profissional Especfica (nfase Eletrotcnica). Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente A linha de transmisso Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 15 de 16 Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente A linha de transmisso Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 16 de 16 Mdia (escala de 0 a 100)% escolha BrasilRegio SulInstituioBrasilRegio SulInstituio 23,920,814,816,0 Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 1 de 27 IV O transformadorOs transformadores de fora so os equipamentos utilizados para viabilizar a transmisso de energia eltrica emaltatenso.Destaforma,soinstaladosnasusinasdegerao,paraelevaratensoemnveisde transmisso(noBrasilde69kVa750kV),nassubestaesdoscentrosdeconsumo(subestaesde distribuioousubestaesdegrandesconsumidores),pararebaixaronveldetensoemnveisde distribuio(tipicamente13,8e23kV)etambmnassubestaesdeinterligaoparacompatibilizaros diversos nveis de tenso provenientes das diversas linhas de transmisso que aportam. Para se ter uma noo da importncia destes equipamentos no setor eltrico, apresenta-se o Quadro IV.1 no qual a potncia instalada em subestaes corresponde aos equipamentos de transformao. Quadro IV.1 Potncia instalada em subestaes do setor eltrico brasileiro. POTNCIA INSTALADA EM SUBESTAES - MVAEm 31.122001 199920002001Entradas Retiradas25 kV/outras (1)74.196,075.109,0 75.109,0 0,0 0,069 kV/outras18.777,118.902,1 19.094,4 192,3 0,088 kV/outras5.717,25.717,2 5.717,2 0,0 0,0138 kV/outras46.251,646.707,1 47.384,0 676,9 0,0230 kV/outras34.732,735.928,7 36.779,7 851,0 0,0345 kV/outras33.610,434.480,4 34.480,4 0,0 0,0440 kV/outras15.137,015.437,0 15.437,0 0,0 0,0500 kV/outras47.636,949.538,9 53.510,9 3.972,0 0,0750 kV/outras16.200,016.750,0 18.250,0 1.500,0 0,0(1) Apenas transformadores elevadores de usinas Fonte: Boletim Semestral do SIESE Sntese 2001 (disponvel em: http://www.eletrobras.gov.br/mercado/siese/). O objetivo deste captulo a definio do modelo do transformador para estudos de transmisso de potncia eltrica em regime permanente, ou seja, considerando tenses e correntes senoidais em freqncia industrial. Almdisto,considera-sequeostransformadoresoperamemcondiesequilibradas.Destaforma,os modeloseresultadosapresentadosaseguirnoseaplicamaestudosdetransitriosdealtafreqncia,de curto-circuito ou de harmnicos. O modelo dos transformadores de fora para estudos de fluxo de potncia so similares aos transformadores de menor porte, desconsiderando-se os efeitos da corrente de magnetizao. IV.1 Transformador ideal de dois enrolamentos Em um transformador ideal considera-se que a resistncia eltrica dos enrolamentos nula (logo no existe quedadetensonaespiraemfunodestaresistnciaeatensoinduzidapelavariaodofluxoigual tensoterminal)equeapermeabilidadedoncleoinfinita(portantotodoofluxoficaconfinadoao ncleoeenlaatodasasespiras).LevandoemcontaaspolaridadesindicadasnaFiguraIV.1,tm-seas seguintes relaes entre as tenses terminais: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) tdtdN tdtdN t vtdtdN tdtdN t vmm 2 2 2 21 1 1 1= == = Assim, a relao entre as tenses terminais dada por: ( )( )2121NNt vt v= (IV.1) Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 2 de 27 ( ) t i1( ) t v1+ N1 espiras ( ) tm( ) ( ) t v2 + ( ) t i2N2 espiras Fluxo em 1: ( ) ( ) t tm =1Fluxo em 2: ( ) ( ) t tm =2 Figura IV.1 Transformador ideal de dois enrolamentos. Comootransformadorideal,apotnciainstantneadeentrada,( ) t p1,igualapotnciainstantneade sada,( ) t p2 pois as perdas so desprezveis, ou seja: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t i t v t i t v t p t p2 2 1 1 2 1 = =logo, ( )( )( )( )121221NNt vt vt it i= =(IV.2) As expresses (IV.1) e (IV.2) definem o modo de operao dos transformadores ideais. Osenrolamentosondeseligamasfontesdeenergiaeascargassogeralmentedenominadosprimrioe secundrio, respectivamente. Deformaalternativa,asrelaes(IV.1)e(IV.2)podemserobtidaslevando-seemconsideraoqueum transformador ideal constitui um caso particular de circuitos magneticamente acoplados no qual o coeficiente deacoplamentoentreosenrolamentosigualaunidade,ouseja,1 = K .Paraaspolaridadesindicadasna Figura IV.2, so vlidas as seguintes expresses: ( ) ( ) ( ) t idtdM t idtdL t v2 1 1 1 = (IV.3) ( ) ( ) ( ) t idtdL t idtdM t v2 2 1 2 = (IV.4) ( )dtt diM21L+ + 2L+ ( ) t i1( ) t v1+ ( ) t i2( ) t v2+ K=1 ( ) t v1( ) t v2( ) t i1( ) t i2( )dtt diMi2 12 1L L ML L K M==+ 2 1: N N Figura IV.2 Transformador ideal representado por circuito magneticamente acoplado. Isolando( ) t idtd2 em (IV.4) e substituindo em (IV.3), tem-se: ( ) ( ) ( )||

\| = t v t idtdMLt idtd2 1221 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t vLMt idtdLML t v t idtdMLM t idtdL t v221221 2 121 1 11+|||

\| = ||

\| = (IV.5) Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 3 de 27 Como1 = K , pode-se escrever: = =2 122 1L L M L L M0221= LML (IV.6) = = =22212 2122 1222 221 1NNLMLLLL LLMN LN L 212NNLM= (IV.7) poisasauto-indutnciassoproporcionaisaoquadradodonmerodeespiras ( )( )

\|=t it NL11 11,com ( ) ( ) t i N t1 1 1P = , sendo P a permencia do espao atravessado pelo fluxo, ento ( ) [ ]( )|||= =2111 1 11PPNt it i N NL . Substituindo (IV.6) e (IV.7) na expresso (IV.5), chega-se a expresso (IV.1): ( ) ( ) ( ) ( )( )( )21212212211 10NNt vt vt vNNt vNNt idtdt v = = + = IV.1.1 Transformador ideal em regime permanente senoidal A Figura IV.3 mostra um transformador ideal, em regime permanente senoidal. 1 I2 ITransformador Ideal Ideal 1 V+ 2 V+ 2 1: N N Figura IV.3 Transformador ideal em regime permanente senoidal. ConsiderandoaspolaridadesindicadasnaFiguraIV.3easexpressesgerais(IV.1)e(IV.2),oregime permanente senoidal do transformador ideal pode ser descrito por: 2121NNVV= 1122 VNNV = 1221NNII= 1212 INNI =fazendo 12NNa = , a relao de espiras do transformador ideal, pode-se escrever: 1 2 V a V = 2 11VaV =1 21IaI = 2 1 I a I =Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 4 de 27 ExemploIV.1NocircuitodaFiguraIV.3,20001 = N ,5002 = N ,V 0 1200 1o= V eA 30 5 1o = I , quandoumaimpedncia2 Z ligadaaosecundrio.Determinar2 V ,2 I ,2 Z eaimpedncia ref2 Z que definida como sendo o valor de2 Zreferido ao primrio do transformador (impedncia refletida). Soluo Exemplo IV.1: Supondo que o transformador ideal, tem-se: V 0 300 0 120020005001122o o= = = VNNVA 30 20 30 550020001212o o = = = INNIPela definio de impedncia, tem-se: == =30 1530 200 300222oooIVZ == =30 24030 50 120011ref2oooIVZou =||

\|=|||

\|=|||

\|= = =30 240 30 155002000222212222121222111ref2o oZNNIVNNINNVNNIVZ A expresso obtida no Exemplo anterior 2221ref2 ZNNZ|||

\|=empregadanareflexodeimpedncias,tcnicaqueconsisteemcolocarnocircuitoprimriouma impednciaqueproduzaomesmoefeitoqueaimpednciaqueestcolocadanocircuitosecundrio. Analogamente, possvel realizar a reflexo do primrio para o secundrio, ou seja, 1212ref1 ZNNZ|||

\|=Observarqueoefeitoproduzidopelaimpednciaemqualquerumdosenrolamentosdeveseromesmo. Assim, quanto maior a tenso do enrolamento (portanto, maior o nmero de espiras) maior dever ser o valor da impedncia em ohms. IV.1.2 Modelo do transformador ideal em pu Utilizando a magnitude das tenses terminais nominais como tenses de base tem-se, os seguintes valores de base para o primrio e secundrio, respectivamente: pribaseV Tenso de base do primrio [kV] secbaseV Tenso de base do secundrio: pribase12 secbaseVNNV =[kV] Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 5 de 27 Sendo baseS apotnciadebasedosistema,ascorrentesdebaseparaoprimrioesecundrio, respectivamente, so: pribasebase pribaseVSI = pribase21pribase12basesecbasebase secbaseINNVNNSVSI = = = Desta forma, os valores em pu sero dados por: pribase1pu 1VVV = = = =pribase1pribase12112secbase2pu 2VVVNNVNNVVV pu 1 pu 2 V V = (IV.8) pribase1pu 1III = = = =pribase1pribase21121secbase2pu 2IIINNINNIII pu 1 pu 2 I I = (IV.9) Portanto,quandoasgrandezasestiveremempu,otransformadoridealcomrelaonominalpodeser substitudo por um curto-circuito, conforme mostrado na Figura IV.4, pois tanto a tenso quanto a corrente apresentam o mesmo valor em ambos enrolamentos vide equaes (IV.8) e (IV.9). + pu 1 Ipu 2 Ipu 1 V+ pu 2 V+ Transformador Ideal em pu pu 2 Ipu 2 V+ pu 1 Ipu 1 V Figura IV.4 Circuito equivalente do transformador ideal de dois enrolamentos em pu. IV.2 Circuito equivalente do transformador real de dois enrolamentosNo transformador real de dois enrolamentos, as resistncias dos enrolamentos no so nulas (sero notadas por 1r e 2r ,respectivamente,paraoprimrioesecundrio),nemtodoofluxoqueenlaaumenrolamento enlaaooutropoisapermeabilidadedoncleonoinfinita,isto,existemfluxosdispersosnos enrolamentoscujosefeitossorepresentadosporintermdiodasreatnciasdedisperso 1x e 2x , respectivamente, para o primrio e secundrio. Alm disto, ocorrem perdas devido s variaes cclicas do sentidodofluxo(histerese)etambmdevidoscorrentesparasitasinduzidasnoncleo.Assim,mesmo com o secundrio em aberto, existe uma pequena corrente circulando no primrio quando este energizado, denominadacorrentedemagnetizaooefeitodestefenmenorepresentadopelaimpednciade magnetizao mre mx , colocada em derivao no primrio do transformador (ou no secundrio). Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 6 de 27 Considerandoosefeitosanteriormentemencionados,otransformadorrealdedoisenrolamentospodeser representadoporumcircuitocompostoportransformadoridealdedoisenrolamentosealgumas impednciaspararepresentaroefeitodasperdashmicas,devidoaofluxodispersoemagnetizao, conforme ilustra a Figura IV.5 mjx( ) t i1( ) t v1+ N1 espiras ( ) tm( ) ( ) t v2 + ( ) t i2N2 espiras Fluxo disperso em 1: ( ) tdisp1Fluxo disperso em 2: ( ) tdisp2 1 I2 ITransformador Real Ideal 1 V+ 2 V+ 2 1: N N(a) Transformador real de dois enrolamentos. (b) Transformador real de dois enrolamentos em regime permanente. 1 1jx r+2 2jx r +mrFigura IV.5 Transformador real de dois enrolamentos. Quandotodososparmetros(1r , 1x , 2r , 2x , mr e mx )egrandezas( 1 V ,1 I ,2 V e2 I )estoempu,o transformadoridealpodeseromitido(substitudopeloseucircuitoequivalenteempuqueumcurto-circuito), resultando no circuito da Figura IV.6. mjx1 I2 ITransformador Real em pu 1 V+ 2 V+ 1 1jx r+2 2jx r +mrm I Figura IV.6 Circuito equivalente em pu do transformador real de dois enrolamentos. Osparmetrosemsrie(resistnciadosenrolamentosereatnciadedisperso: 1r , 1x , 2r ,e 2x )so determinadosporintermdiodoensaiodecurto-circuitonoqualosenrolamentossosubmetidos correntenominal.Nesteensaio,umdosenrolamentoscurto-circuitadoenquantoaplica-seumatenso varivel em outro enrolamento at que a corrente que circule nestes dois enrolamentos do transformador seja igual ao seu valor nominal. Neste caso, a impedncia de magnetizao desprezada pois a tenso empregada Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 7 de 27 nesteensaiosignificativamentemenorqueovalornominaleacorrentedemagnetizaocorrespondea uma frao muito pequena do valor nominal. Considerando que o enrolamento secundrio tenha sido curto-circuitadoequeacorrentequecirculaporesteigualaoseuvalornominal( ) pu 0 1 2 = I ,ocircuito equivalentedoensaiodecurto-circuitodadopelaFiguraIV.7.Nestecircuitoequivalente,aimpedncia medida nos terminais do enrolamento energizado dada por: 2 2 1 111jx r jx rIVZ + + + = = mjxpu 0 1 2 1 = I I pu 0 1 2 = I1 V+ 0 2 = V+ 1 1jx r+2 2jx r +mr0 m ICorrente nominal nos enrolamentos Magnetizao desprezada Figura IV.7 Ensaio de curto-circuito (circuito equivalente em pu). Aimpednciademagnetizaodeterminadaporintermdiodoensaiodecircuitoabertonoqualos enrolamentos so submetidos tenso nominal. No ensaio de circuito aberto aplicada tenso nominal a um dos enrolamentos e mede-se a corrente que circula neste enrolamento enquanto o(s) outro(s) enrolamento(s) permanece(m)emcircuitoaberto.Considerandoqueoenrolamentoprimriotenhasidoenergizadocom tensonominal( ) pu 0 1 1 = V ,ocircuitoequivalentedoensaioemvaziodeumtransformadordadopela FiguraIV.8.Nestecircuitoequivalente,aimpednciamedidanosterminaisdoenrolamentoenergizado dada por: m mm mjx rjx rjx rIVZ++ + = =1 111 mjxm I I = 10 2 = Ipu 0 1 1 = V+ 2 V+ 1 1jx r+2 2jx r +mrm ITenso nominal nos enrolamentos Figura IV.8 Ensaio de circuito aberto (circuito equivalente em pu). Como exemplo das caractersticas eltricas dos transformadores em nvel de distribuio, tm-se os valores doQuadroIV.2.Emtransformadoresdemaiorpotnciaenveldetenso,asperdasemvazioeasperdas totaisapresentamvalorespercentuais(emfunodapotncianominal)menores,sendoinferioresa0,1e 0,5%, respectivamente. Levando em conta as caractersticas reais dos grandes transformadores, as perdas nos enrolamentos1 (devido a 1r e 2r )enoncleo2(devidoa mr e mx )somuitopequenasquandocomparadascomapotnciado transformadorsendo,geralmente,desprezadas.Destaforma,omodeloequivalentedotransformadorfica bastante simplificado, conforme mostra a Figura IV.9. 1 Cujo valor nominal corresponde diferena entre as perdas totais e as perdas em vazio. 2 Ou perdas em vazio. Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 8 de 27 1 I2 I1 V+ 2 V+ jx2 1jx jx jx + = Figura IV.9 Circuito simplificado em pu do transformador real de dois enrolamentos. Quadro IV.2 Caractersticas de perdas, correntes de excitao e impedncias. TRANSFORMADORES TRIFSICOS DE TENSO MXIMA 15 kV Potncia [kVA] Corrente de excitao mxima [%] Perdas em vaziomximo [W] Perdas totais mximas [W] Impedncia 75C [%]304,1170740 453,72201.000 753,13301.470 112,52,84401.990 1502,65402.450 3,5 2252,37653.465 3002,29504.310 4,5 TRANSFORMADORES TRIFSICOS DE TENSES MXIMAS 24,2 e 36,2 kV Potncia [kVA] Corrente de excitao mxima [%] Perdas em vaziomximo [W] Perdas totais mximas [W] Impedncia 75C [%]304,8180825 454,32501.120 753,63601.635 112,53,24902.215 1503,06102.755 4,0 2252,78203.730 3002,51.0204.620 5,0 Fonte: Trafo Equipamentos Eltricos S.A. (disponvel em http://www.trafo.com.br/) ExemploIV.2Umtransformadormonofsicotem2000espirasnoenrolamentoprimrioe500no secundrio.Asresistnciasdosenrolamentosso =21r e =125 , 02r ;asreatnciasdedispersoso =81x e =5 , 02x .Acargaligadaaosecundrioresistivaeiguala12.Atensoaplicadaao enrolamentoprimriode1200V.Determinarofasortensosecundriaearegulaodetensodo transformador: % 100 % Regulaocarga2carga2vazio2VV V =onde carga2 V amagnitudedatensonosecundriocomplenacargae vazio2 V amagnitudedatensono secundrio em vazio. Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 9 de 27 Soluo Exemplo IV.2: Utilizando uma potncia de base de 7500 VA e as tenses nominais, tem-se: VA 7500base = SV 1200pribase = V V 300 12002000500pribase12 secbase= = = VNNV ( ) = = =192750012002base2pribase pribaseSVZ( ) = = =1275003002base2secbase secbaseSVZ3 Desta forma, os valores das impedncias do circuito equivalente em pu so dados por: ( ) pu 0417 , 0 0104 , 0192125 , 0 2pribase1 11 jjZjx rZ + =+=+=( ) pu 0417 , 0 0104 , 0125 , 0 125 , 0secbase2 22 jjZjx rZ + =+=+=pu 11212 12secbasecarga2 = = =ZZe o circuito equivalente em pu desconsiderando a impedncia de magnetizao dado pelo circuito a seguir. Circuito secundrio Circuito primrio 1 I2 Ipu 1 1 = V+ 2 V+ 1 11 jx r Z + =2 22 jx r Z + =Valores em pu carga2 Z Com a carga conectada, a tenso nos terminais do secundrio do transformador dada por: 11 0417 , 0 0104 , 0 0417 , 0 0104 , 011carga2 1 1carga2carga2+ + + +=+ +=j jVZ Z ZZVpu 67 , 4 9764 , 0carga2o = V V 67 , 4 9 , 292 67 , 4 9764 , 0 300carga2o o = = V Emvazio(semacargaconectada),comonoexistecorrentecirculando,noexistequedadetensona impedncia srie e a tenso nos terminais do secundrio do transformador igual tenso primria: pu 1 1vazio2 = =V V Da, a regulao percentual do transformador : % 1009764 , 09764 , 0 1% 100 % Regulaocarga2carga2vazio2==VV V% 42 , 2 % Regulao = 3 Observar que a potncia de base foi previamente escolhida para que a impedncia da carga fosse igual a 1 pu. Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 10 de 27 Soluo alternativa Exemplo IV.2: Asoluoanteriorpoderiatersidoobtidasemtransformarasgrandezasparapu,utilizandoreflexode impedncias. A relao nominal do transformador dada por:4500200021NOM= = =NNa Refletindoaimpednciasriedosecundrioparaocircuitoprimrio,tem-seaseguinteimpednciasrie equivalente do primrio e secundrio: ( ) = + = + =4 4 125 , 0 22 2NOM 2 1a r r R( ) = + = + =16 4 5 , 0 82 2NOM 2 1a x x X( ) = = =192 4 122 2NOMcarga2cargaref a Z Z Assim, tem-se o seguinte circuito equivalente do ponto de vista do primrio. 1 INOM2aIV 1200 1 = V+ 2NOMV a+ jX R +cargaref Z Com a carga conectada, a tenso nos terminais do secundrio do transformador dada por: V 67 , 4 6 , 1171 1200192 16 41921cargarefcargarefcarga2NOMo =+ +=+=jVZ ZZV a 467 , 4 6 , 1171 67 , 4 6 , 1171NOMcarga2o o==aV V 67 , 4 9 , 292carga2o = V Emvazio(semacargaconectada),comonoexistecorrentecirculando,noexistequedadetensona impedncia srie e a tenso nos terminais do secundrio do transformador igual tenso primria: V 1200 1vazio2NOM= =V V a41200 1200NOMvazio2 = =aV V 300vazio2 = V Da, a regulao percentual do transformador : % 1009 , 2929 , 292 300% 100 % Regulaocarga2carga2vazio2==VV V% 42 , 2 % Regulao = Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 11 de 27 Exemplo IV.3 (Provo 2000) Questo relativa s matrias de Formao Profissional Especfica (nfase Eletrotcnica). Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 12 de 27 Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 13 de 27 Mdia (escala de 0 a 100)% escolha BrasilRegio SulInstituioBrasilRegio SulInstituio 19,319,216,414,5 Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 14 de 27 IV.3 Transformador com relao no-nominalComoobjetivodepossibilitarummelhorcontroledatensonosistemaeltrico,muitasvezesos transformadoresoperamcomrelaodetransformaodiferentesdanominal( )NOM2NOM1: N N .Nestecaso, ostransformadoresapresentamumenrolamentoespecialprovidodediversasderivaes(taps),comutveis sobcargaouno.Quandoaseleodaderivaorealizadasobcarga,otransformadorapresentaum dispositivo denominado comutador de derivaes em carga (ou comutador sob carga) que se encarrega de realizar as conexes necessrias para que seja selecionada a relao de transformao desejada. Para operar taiscomutadoresutilizam-seacionamentosmotorizados,possibilitandocomandolocaloudistncia, inclusivecomcontroleautomticodetenso.Quandoaseleodaderivaorealizadasemcargao dispositivomuitomaissimples,sendoutilizadaapenasumachaveseletoraqueoperaquandoo transformador est desligado. Pornorma,asderivaessonumeradas,sendoaderivao1ademaiortenso,conformemostrao QuadroIV.3noqualencontram-seexemplosdevaloresdederivaeserelaesdetensopara transformadoresemnvel dedistribuio.Nestecaso,nointeriordo tanqueotransformadorapresentauma chave seletora que possibilita o ajuste do tap quando este estiver desligado. Quadro IV.3 Derivaes e relaes de tenses. Tenso [V] PrimrioSecundrio Tenso mxima do equipamento [KV eficaz] Derivao NTrifsicos e Monofsicos (FF) Monofsicos (FN) TrifsicosMonofsicos 113.8007.967 213.2007.62115,0 312.6007.275 123.10013.337 222.00012.70224,2 320.90012.067 134.50019.919 233.00019.05336,2 331.50018.187 380/220 ou 220/127 2 terminais 220 ou 127 ou 3 terminais 440/220 ou 254/127 ou 240/120 ou 230/115 (FF) - tenso entre fases (FN) - tenso entre fase e neutro Fonte: Trafo Equipamentos Eltricos S.A. (disponvel em http://www.trafo.com.br/) Em nvel transmisso de energia eltrica os transformadores podem possuir dispositivos para comutao sob carga, apresentando um maior nmero de derivaes, conforme exemplifica a Tabela IV.1. Observar que as derivaessorealizadasnoenrolamentodemaiortenso,visandooperarcommenorescorrentesno comutador sob carga. Tabela IV.1 Derivaes tpicas da regulao sob carga. Tenso primria [kV]Tenso secundria [kV] 138 % 875 , 1 8 230 69 69 23% 875 , 1 8 138 13,8 23 % 875 , 1 8 69 13,8 Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 15 de 27 Considerandotodaaimpednciasrieconcentradaemapenasumdosenrolamentos(refletidaparao primrio,porexemplo)edesprezandoasperdasnoncleo,ocircuitoequivalentedotransformadorcom relaono-nominalencontra-senaFiguraIV.10.Observar,nestecaso,quearelaodeespirasdos enrolamentos 2 1: N Npode ser diferente da relao nominal, dada por NOM2NOM1: N N . 1 I2 I Ideal 1 V+ 2 V+ aN N: 1:2 1jX R +1 E+ 2 E+ Figura IV.10 Circuito equivalente de um transformador com relao no nominal. Para o transformador da Figura IV.10 so vlidas as seguintes expresses: 12NNa = aEE=12 a II 112=Utilizandoasmagnitudesdastensesnominaisdoprimrioedosecundriocomtensesdebase |||

\|=pribaseNOM1NOM2 secbasepribase e VNNV V, define-se a relao nominal como sendo: NOM1NOM2pribasesecbaseNOMNNVVa = =Considerando a potncia de base baseS , as correntes de base para o primrio e secundrio so dadas por: pribasebase pribaseVSI = pribaseNOMpribase NOMbasesecbasebase secbase1Ia V aSVSI = = =Assim, transformando as grandezas para pu, tem-se: pribase1pu 1VEE = pribase1NOMpribase NOM1secbase2pu 2VEaaV aE aVEE = = = pu 1NOMpu 2 EaaE = (IV.10) pribase1pu 1III = pribase1NOMpribaseNOM1secbase2pu 211IIaaIaIaIII = = = pu 1NOMpu 2 IaaI =(IV.11) Portanto, mesmo quando as grandezas esto em pu, o transformador com relao no nominal no pode sersubstitudoporumcurto-circuito,poistantoatensoquantoacorrenteapresentavaloresdistintosnos enrolamentos vide equaes (IV.10) e (IV.11). Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 16 de 27 IV.4 Transformador de trs enrolamentosEmsistemasdeenergiaeltricabastantecomumapresenadeumterceiroenrolamentonos transformadoresdefora,almdosenrolamentosprimrioesecundrio.Esteenrolamentodenominado tercirioeempregadoparafornecercaminhoscorrentesdeseqnciazero,paraaconexodos alimentadoresdedistribuio,paraalimentarosserviosauxiliaresdassubestaesdeenergiaoupara conexo dos equipamentos empregados na compensao de reativos (normalmente bancos de capacitores). AFiguraIV.11mostraumtransformadormonofsicodetrsenrolamentosjuntamentecomoseucircuito equivalente em pu. Observar que o ponto comum O representado no circuito equivalente, mostrado na Figura IV.11(b), fictcio e no tem qualquer relao com o neutro do sistema. mjx( ) t i1( ) t v1+ N1 espiras ( ) tm( ) t v2+ ( ) t i2N2 espiras Fluxo disperso em 1: ( ) tdisp1Fluxo disperso em 2: ( ) tdisp21 I 3 I1 V + 3 V+ (a) Transformador de trs enrolamentos. (b) Circuito equivalente em pu. 1 11 jx r Z + =3 33 jx r Z + =mr( ) t v3+ ( ) t i3N3 espiras Fluxo disperso em 3: ( ) tdisp3 2 I + 2 22 jx r Z + =2 V O Figura IV.11 Transformador de trs enrolamentos. AsimpednciasdequalquerramodaFiguraIV.11(b)podemserdeterminadasatravsdaimpednciade curto-circuitoentreosrespectivosparesdeenrolamentos,mantendooenrolamentorestanteemaberto (ensaio de curto-circuito). Desta forma, sendo12 za impedncia obtida no ensaio no qual aplicada tenso no enrolamento primrio suficiente para fazer circular a corrente nominal quando o secundrio est em curto-circuito e o tercirio aberto (vide Figura IV.12), tem-se (desprezando o ramo de magnetizao): 2 1 12 Z Z Z + =Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 17 de 27 mjxpu 0 1 2 1 = I I3 I1 V+ 3 V+ 1 11 jx r Z + =3 33 jx r Z + =mrpu 0 1 2 = I2 22 jx r Z + =O 0 m I0 2 = V+ Figura IV.12 Exemplo de ensaio de curto-circuito em um transformador de trs enrolamentos. Para as demais combinaes, tem-se: 3 2 23 Z Z Z + =3 1 13 Z Z Z + =AsimpednciasdequaisquerramosdaFiguraIV.11(b)podemserdeterminadasresolvendo-seosistema formado pelas trs equaes anteriores (trs ensaios de curto-circuito), cuja soluo dada por: ( ) 23 13 12 121Z Z Z Z + =( ) 13 23 12 221Z Z Z Z + =( ) 12 23 13 321Z Z Z Z + =Notarqueestemodelopodeapresentarresistnciase/oureatnciasnegativas.Osignificadofsicodetais parmetrospodeparecercontrariaranaturezadoequipamento,masdeve-selevaremcontaqueocircuito equivalenterepresentaotransformadorapartirdeseusterminais(portanto,oscomponentesnoprecisam possuir individualmente ligao direta com um enrolamento especfico). Diferentementedostransformadoresdedoisenrolamentos,ostransformadoresdetrsenrolamentos geralmente apresentam enrolamentos com potncias nominais diferentes. IV.5 AutotransformadorUm autotransformador um transformador no qual, alm do acoplamento magntico entre os enrolamentos, existeumaconexoeltricaconformemostraaFiguraIV.13.Soduasasformaspossveisdeconexo eltrica: aditiva ou subtrativa. 1 I 2 I Ideal 1 V+ 2 V+ aNNIIa NNVVNNa= == ==12212121121 Conexes AditivasConexes Subtrativas aN N: 1:2 1 Figura IV.13 Transformador ideal conectado como autotransformador. Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 18 de 27 Emgeralutiliza-seaconexoaditivanasduasformasdeoperaopossveis,ouseja,como autotransformador elevador ou rebaixador, conforme ilustra a Figura IV.14. x Iy Ix V+ y V+ (a) Autotransformador elevador. x Iy Ix V+ y V+ (b) Autotransformador rebaixador. 1 I1 V+ 2 V+ 2 I2 V+ 1 V+ 1 I2 I Figura IV.14 Autotransformador elevador e rebaixador. Para o autotransformador elevador da Figura IV.14(a), tem-se: 1 1211 2 111 IaINNI I I I x ||

\|+ = + = + =2 2 2212 1 11VaV VNNV V Vy ||

\|+ = + = + =Da, as potncias complexas de entrada,x S , e sada,y S , so dadas por: *1 1*1 1*1 1* 111111 I VaIaV IaV I V S x x x ||

\|+ = ||

\|+ =((

||

\|+ = =111 SaS x ||

\|+ = *2 2* 11 I VaI V S y y y ||

\|+ = =211 SaS y ||

\|+ =onde1 Se2 Sso as potncias complexas de entrada e sada obtidas na conexo como transformador ideal. Assim,comoasemprepositivo,paraaligaoaditiva,oautotransformadorpermiteatransformaode maiorquantidadedepotnciaeltricadoqueaconexocomotransformador.Adesvantagemaperdade isolao eltrica entre o primrio e o secundrio. Exerccio IV.1: Repetir o equacionamento da potncia do autotransformador para a conexo rebaixadora da Figura IV.14(b). ExerccioIV.2:Determinaramagnitudedatensosecundriaeapotncianominaldeum autotransformadorconstrudoapartirdeumtransformadormonofsicode30kVA,120/240V,conectado conformeaFiguraIV.14(a)(autotransformadorelevador).Sabe-sequeatensonominalaplicadaao enrolamento de baixa tenso e que a corrente que circula nos enrolamentos a nominal. Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 19 de 27 IV.6 O modelo do transformador em fase A representao de transformadores em fase, mostrada na Figura IV.15, consiste de um transformador ideal com relao de transformao kma : 1e uma impedncia sriekm Z . Observar que neste modelo as perdas no ncleo so desprezadas. k km Ikm kmkm jx r Z + = m mk Ik kk V V =p pm Ikma : 1k k kmkkmp V a V a V = =m mm V V = Figura IV.15 Representao de um transformador em fase. Da relao do transformador ideal em fase4: kkmpkmpkV a Va VV= =1 pmkmkmkm kmpmkmI a I a aII= = =* Ascorrentespm I ,km I emk I soobtidasapartirdosfasorestensodasbarrask,pem(k kk V V = , k k km p pp V a V V = =e m mm V V = , respectivamente) e do valor da admitncia srie kmkmZY1= : ( ) ( ) m kkmkm m p km pm V V a Y V V Y I = =( ) m kkmkmkmpmkmkm V V a Y a I a I = = m kmkmk kmkmkm V Y a V Y a I =2(IV.12) ( ) m kkmkm pm mk V V a Y I I = = m km k kmkmmk V Y V Y a I + = (IV.13) Deste modo, o transformador em fase pode ser representado por um circuito equivalente do tipo , conforme est ilustrado na Figura IV.16. k km Im mk Ik Vm VA BC A, B, Cadmitncias Figura IV.16 Circuito equivalente de um transformador em fase. ParaomodelodaFiguraIV.16,ondeA,BeCsoasadmitnciasdoscomponentes,ascorrenteskm I e mk Iso dadas por: 4 Lembrar que no h dissipao de potncia ativa ou reativa no transformador ideal, logo: **** *|||

\|= = = =kppmkmkppmkmpm p km k pm kmVVIIVVIII V I V S S Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 20 de 27 ( ) ( ) m k k m k km V A V B A V B V V A I + = + = ( ) ( ) m k km V A V B A I + + = (IV.14) ( ) ( ) m k m k m mk V C A V A V C V V A I + + = + = ( ) ( ) m k mk V C A V A I + + = (IV.15) Comparando as expresses (IV.12) com (IV.14) e (IV.13) com (IV.15), tem-se: ( )( ) kmkmkmkm kmkm kmY a CY a a By a A = ==11Observar que o valor de a determina o valor e a natureza dos componentes do modelo da Figura IV.15: 1 =kmapu, ou seja, NOMa akm = : kmy A = ,0 = = C B1 C(indutivo) 1 >kmapu, ou seja, NOMa akm > :0 > B(indutivo) e0 < C(capacitivo) NOTAIMPORTANTE:Asgrandezasdebaseutilizadasparafazeraconversodaimpednciasriedo transformadorparapudevemserobrigatoriamenterelativosaoenrolamentonoqualestaimpednciaest ligada. Mais especificamente, no modelo de transformador adotado, que mostrado na Figura IV.15, deve-se utilizar a tenso de base do enrolamento conectado Barra m. Exemplo IV.4 Dado um transformador trifsico, 138/13,8 kV, 100 MVA, cuja reatncia de disperso vale 5%(nabasedotransformador),determinarocircuitoequivalentedotransformadorseasbasesdosistema so: a)138/13,8 kV, 100 MVA; b)169/16,9 kV, 200 MVA; c)169/15 kV, 250 MVA. Soluo Exemplo IV.4: a)Comopu 05 , 0 % 5 = = x , tem-se que: pu 05 , 0 j ZTR =pu 20 j YTR =e o circuito equivalente dado por: 1 I2 I1 V+ 2 V+ 20 j Admitncia em pu b)Observar que1 , 01388 , 131699 , 16NOM= = = = a a , entopu 11 , 01 , 0NOMpu= = =aaa . ( ) ( )( )( )( )( ) 1 base pu 32 base pu 322 base pu1 base pu1 base pu 2 base puSSVVZ ZLL|||

\|=pu 0667 , 010020016913805 , 02j j ZTR = ||

\|= pu 15 j YTR = Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 21 de 27 Soluo Exemplo IV.4 (continuao): e o circuito equivalente dado por: 1 I2 I1 V+ 2 V+ 15 j Admitncia em pu c)Neste caso, tem-se0888 , 016915NOM= = ae1 , 01388 , 13= = a . Calculando em pu, tem-se: pu 1267 , 1169138158 , 13NOMpu= = =aaa( ) ( )( )( )( )( ) 1 base pu 32 base pu 322 base pu1 base pu1 base pu 2 base puSSVVZ ZLL|||

\|=Para o modelo de transformador adotado, que mostrado na Figura IV.15, deve-se utilizar a tenso de base doenrolamentoconectado Barram,ouseja,a tensodolado demdiatenso dotransformador,sendo o valor em pu na base 169/15 kV, 250 MVA dado por: pu 1058 , 0100250158 , 1305 , 02j j ZTR = ||

\|=pu 4518 , 9 j YTR = Os parmetros do circuito equivalente so dados por: ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) pu 198 , 1 4518 , 9 1267 , 1 1 1pu 349 , 1 4518 , 9 1 1267 , 1 1267 , 1 1pu 65 , 10 4518 , 9 1267 , 1pupu pupuj j Y a Cj j Y a a Bj j Y a ATRTRTR= = = = = = = == e o circuito equivalente correspondente : 1 I2 I1 V+ 2 V+ 65 , 10 j Admitncias em pu 349 , 1 j 197 , 1 j Exemplo IV.5 Considerando que o transformador do Exemplo IV.4 alimenta uma carga de 50 MVA, com fator de potncia 0,9 indutivo, no enrolamento de menor tenso e que este representado pelos trs modelos determinados na soluo do ExemploIV.4 (em funo das bases adotadas para o sistema pu), determinar o valor da tenso no lado de alta tenso em pu e em kV quando a tenso na carga igual a 13,8 kV. Soluo Exemplo IV.5: a)Considerandoosdadosdoproblema,tm-seosseguintesvaloresempuparaatenso,potnciae corrente secundria, para a base 138/13,8 kV, 100 MVA: pu 18 , 138 , 132 = = V pu 84 , 25 5 , 0 2179 , 0 45 , 0 9 , 0 1 9 , 01005022o= + = ||

\| + = j j S*222*2 2 2|||

\|= = =VSI I V SModelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 22 de 27 Soluo Exemplo IV.5 (continuao): pu 84 , 25 5 , 0 2179 , 0 45 , 012179 , 0 45 , 0*2o = = ||

\| += jjIDo circuito equivalente mostrado na soluo do Exerccio IV.4, a tenso no lado de alta dada por: ( ) pu 28 , 1 0111 , 1 0225 , 0 0109 , 1 2179 , 0 45 , 0 05 , 0 1 2 2 1o= + = + = + = j j j I Z V V TRkV 28 , 1 54 , 139 11 , 3 50 , 139 28 , 1 0111 , 1 138 1o o= + = = j V b)Para a base 169/16,9 kV, 200 MVA, tem-se: pu 8166 , 09 , 168 , 132 = = V pu 84 , 25 25 , 0 1090 , 0 225 , 0 9 , 0 1 9 , 02005022o= + = ||

\| + = j j S*222*2 2 2|||

\|= = =VSI I V Spu 84 , 25 3062 , 0 1335 , 0 2755 , 08166 , 01090 , 0 225 , 0*2o = = ||

\| += jjIDo circuito equivalente mostrado na soluo do Exerccio IV.4, a tenso no lado de alta dada por: ( ) pu 28 , 1 8257 , 0 0184 , 0 8255 , 0 1335 , 0 2755 , 0 0667 , 0 8166 , 0 2 2 1o= + = + =+ = j j j I Z V V TRkV 28 , 1 54 , 139 11 , 3 50 , 139 28 , 1 8257 , 0 169 1o o= + = = j VObservarqueovalorobtidoemkVidnticoaodoItem(a),mostrandoqueoresultadonodependedas bases adotadas. c)Para a base 169/15 kV, 250 MVA, tem-se: pu 92 , 0158 , 132 = = Vpu 84 , 25 2 , 0 0872 , 0 18 , 0 9 , 0 1 9 , 02505022o= + = ||

\| + = j j S*222*2 2 2|||

\|= = =VSI I V Spu 84 , 25 2174 , 0 0948 , 0 1956 , 092 , 00872 , 0 18 , 0*2o = =|||

\| += jjIDo circuito equivalente obtido na soluo do Exerccio IV.4, a tenso no lado de alta dada por: 1 I2 I1 V+ 2 V+ Admitncias em pu SHI 265 , 10 j 349 , 1 j 197 , 1 j ( ) ( ) 92 , 0 197 , 1 0948 , 0 1956 , 065 , 10192 , 01 12 2 2 2 2 2 1 + + = + + = ||

\|+ + = j jjV C IAV I IAV VSH kV 28 , 1 54 , 139 11 , 3 50 , 139 28 , 1 8257 , 0 169 1o o= + = = j V ObservarqueovalorobtidoemkVidnticoaodosItensanteriores,mostrandoqueoresultadono depende das bases adotadas. Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 23 de 27 ExemploIV.6Dadoumtransformadortrifsico,230/69kV,50MVA,cujareatnciadedispersovale 5%, determinar: a)o circuito equivalente do transformador, se as bases do sistema so 230/69 kV, 100 MVA; b)o valor da tenso no enrolamento de 69 kV (onde a carga est ligada), quando a tenso no enrolamento de 230 kV (onde a fonte est ligada) igual a 200 kV e so fornecidos 50 MVA, com fator de potncia igual a 0,8 indutivo; c)o valor da tenso no enrolamento de 69 kV (onde a carga est ligada), quando a tenso no enrolamento de 230 kV (onde a fonte est ligada) igual a 250 kV e so fornecidos 10 MVA, com fator de potncia igual a 0,8 capacitivo; d)nas situaes operacionais dos Itens (b) e (c), determinar a potncia complexa fornecida para a carga e as perdas no transformador; e)comentar as diferenas nos resultados obtidos nos Itens (b), (c) e (d). Soluo Exemplo IV.6: a) Comopu 05 , 0 % 5 = = xna base de 50 MVA, para a base de 100 MVA e tenses nominais tem-se: pu 10 , 05010005 , 0 j j ZTR = = pu 10 j YTR =e o circuito equivalente dado por: 1 S2 I1 V+ 2 V+ 10 , 0 jAdmitncia em pu Lado 230 kVLado 69 kV 1 I 2 S b) A potncia complexa fornecida ao transformador no enrolamento de 230 kV dada por: 3 , 0 4 , 0 8 , 0 1100508 , 0100502 21 j j S + = + =pu Levando em conta a tenso de operao no lado de 230 kV dada por8696 , 0 02302001 = = Vpu, a corrente no transformador dada por: *1 1 1 I V S =o87 , 36 5750 , 0 3450 , 0 4600 , 08696 , 03 , 0 4 , 0**111 = = ||

\| +=|||

\|= jjVSIDo circuito equivalente, pode-se obter a seguinte expresso para a tenso no enrolamento de 69 kV: ( )o15 , 3 8363 , 0 0460 , 0 8351 , 0 3450 , 0 4600 , 0 10 , 0 8696 , 0 1 1 2 = = = = j j j I Z V V TR o15 , 3 71 , 57 2 = V kV c) A potncia complexa fornecida ao transformador no enrolamento de 230 kV dada por: 06 , 0 08 , 0 8 , 0 1100108 , 0100102 21 j j S = =pu Levando em conta a tenso de operao no lado de 230 kV dada por0870 , 1 02302501 = = Vpu, a corrente no transformador dada por: *1 1 1 I V S =o87 , 36 0920 , 0 0552 , 0 0736 , 00870 , 106 , 0 08 , 0**111 = + = ||

\| =|||

\|= jjVSIDo circuito equivalente, pode-se obter a seguinte expresso para a tenso no enrolamento de 69 kV: ( )o39 , 0 0925 , 1 0074 , 0 0925 , 1 0552 , 0 0736 , 0 10 , 0 0870 , 1 1 1 2 = = = = j j j I Z V V TR o39 , 0 38 , 75 2 = V kV Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 24 de 27 Soluo Exemplo IV.6 (continuao): d) A potncia complexa fornecida para a carga nas situaes dos Itens (b) e (c) so dadas por: *1 2*2 2 2 I V I V S = =e as perdas no transformador so dadas por: 2 1 perdas S S S = ou21 perdas I Z S TR =Para o Item (b), tem-se: ( )( )o72 , 33 4809 , 0 2669 , 0 4000 , 0 3450 , 0 4600 , 0 0460 , 0 8351 , 0*2 = + = = j j j S0331 , 0 ) 2669 , 0 4000 , 0 ( 3 , 0 4 , 0 perdas j j j S = + + =pu 0331 , 0 5750 , 0 1 , 02perdas j j S = =pu 31 , 3 perdas j S =MVA Para o Item (c), tem-se: ( )( )o26 , 37 1005 , 0 0608 , 0 0800 , 0 0552 , 0 0736 , 0 0074 , 0 0925 , 1*2 = = + = j j j S0008 , 0 ) 0608 , 0 0800 , 0 ( 06 , 0 08 , 0 perdas j j j S = =pu 0008 , 0 0920 , 0 1 , 02perdas j j S = =pu 08 , 0 perdas j S =MVA e) Fasor tensoNoItem(b) amagnitudedatensoempunoenrolamentode 69kVmenordoque no enrolamento de 230 kV, pois este fornece potncia ativa e reativa para a carga, havendo queda de tenso em sua impedncia de disperso. No Item (c) o fluxo de potncia reativa ocorre do enrolamento de 69 kV para o enrolamentode230kV(cargacapacitiva)eistofazcomqueatensoempudoenrolamentode69kV apresente magnitude superior. Em ambos os casos, o fluxo de potncia ativa em direo ao enrolamento de 69 kV, sendo o ngulo de fase do fasor tenso2 Vmenor do que do fasor tenso1 V . PotnciacomplexanacargaNosItens(b)e(c)apotnciaativanacargaamesmafornecidaparao transformador,poisomodeloconsideraapenasareatnciadedisperso.Apotnciareativadifere,pois existe um consumo de potncia reativa na reatncia do transformador. Perdas ativas e reativas Em ambos os casos no existem perdas de potncia ativa e existe um consumo de potncia reativa em funo da reatncia de disperso do transformador ser percorrida pela corrente. No Item (b) as perdas so maiores, pois a corrente maior. Exerccio IV.4Dadoumtransformadortrifsico,230(+4)(8)1,875%/69kV,50MVA,cujareatncia de disperso vale 5%, determinar: a)ocircuitoequivalentedotransformador,indicandoosvaloresmnimosemximosdarelaode transformao em pu (a), se as bases do sistema so 230/69 kV, 100 MVA; b)o valor da tenso no enrolamento de 69 kV (onde a carga est ligada), quando a tenso no enrolamento de 230 kV (onde a fonte est ligada) igual a 200 kV e so fornecidos 50 MVA, com fator de potncia igual a 0,8 indutivo (nesta condio o transformador opera com o tap na posio 13); c)o valor da tenso no enrolamento de 69 kV (onde a carga est ligada), quando a tenso no enrolamento de 230 kV (onde a fonte est ligada) igual a 250 kV e so fornecidos 10 MVA, com fator de potncia igual a 0,8 capacitivo (nesta condio o transformador opera com o tap na posio 1); d)nas situaes operacionais dos Itens (b) e (c), determinar a potncia complexa fornecida para a carga e as perdas no transformador; e)comentar as diferenas nos resultados obtidos nos Itens (b), (c) e (d). Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 25 de 27 Como para a linha de transmisso, possvel escrever a expresso do fluxo de potncia complexa da barra k para a barra m: [ ]( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )km km km km m k km km km k kmkm m k km km km km km k kmm k kmkmkmk kmm kmkmk kmkmkm kmkmk kmkmk km k kmj jb g V V a jb g V aV V jb g a jb g V aV V Y a Y V a V Y a V Y a VV Y a V Y a V I V S sen cos22* * *2 2* * * *2*2*+ = == =((

||

\|== = = Separando as partes real e imaginria, chega-se a: ( ) ( ) ( )km km km km m k km km k km kmb g V V a g V a P sen cos2+ =(IV.16) ( ) ( ) ( )km km km km m k km km k km kmb g V V a b V a Q cos sen2 = (IV.17) O fluxo de potncia complexa da barra m para a barra k dado por: ( ) ( )mk km mk km m k km km m mkb g V V a g V P sen cos2+ = (IV.18) ( ) ( )mk km mk km m k km km m mkb g V V a b V Q cos sen2 = (IV.19) Exerccio IV.5 Conhecidos os parmetros que definem o transformador em fase e os fasores das tenses terminais, mostrar como possvel determinar as perdas de potncia ativa e reativa neste transformador. IV.7 O modelo do transformador defasador Os transformadores defasadores so equipamentos capazes de controlar, dentro de determinadas limitaes, a relaodefaseentreofasortensodoprimrioedosecundrio.Paraumtransformadordefasadorpuro,a relaodetransformaoempurepresentadaporumnmerocomplexodemdulounitrioengulode fase ,ouseja,dadapor kmt : 1 ,com jkme t = ,ouseja, 1 : 1 .Arepresentaodeumtransformador defasador puro est mostrada na Figura IV.15. k km Ikm kmkm jx r Z + = m mk Ik kk V V =p pm Im mm V V =kmjkme t= : 1km k kkjp V V e Vkm + = = Figura IV.15 Representao de um transformador defasador puro. Da relao do transformador ideal: km k k k k kmkjkkmpjkmpkV V V e V t Ve t VVkmkm + = = = = = = 11 1 pmjpmkmkmjkmpmkmI e I t I e tIIkm km = = = =* * Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 26 de 27 Ascorrentespm I ,km I emk I soobtidasapartirdosfasorestensodasbarrask,pem(k kk V V = , km k k p pp V V V + = =e m mm V V = , respectivamente) e do valor da admitncia srie kmkmzy1= : ( ) ( ) m kkmkm m p km pm V V t Y V V Y I = =( ) m kmkmk kmkm kmIm kkmkmkmpmkmkm V Y t V Y t t V V t Y t I t Ipm* * * * = = =4 48 4 47 6( ) m kmkmk kmkm kmkm V Y t V Y t t I* * + =(IV.20) ( ) m km k kmkmm kkmkm pm mk V Y V Y t V V t Y I I + = = = ( ) m km k kmkmmk V Y V Y t I + =(IV.21) Assim,otransformadordefasadornopodeserrepresentadoporumcircuitoequivalentedotipo, conformeestilustradonaFiguraIV.15,poisocoeficientedem V daexpresso(IV.20),kmkmY t* , diferente do coeficiente dek Vda expresso (IV.21),kmkmY t . Como anteriormente, possvel escrever a expresso do fluxo de potncia complexa da barra k para a barra m: [ ]( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ]km km km km km km m k km km kkm m k km km km km km km k kmkmkmkm kmkmk km km kmkmk km k km k kmj jb g V V jb g VV V jb g jb g VV V Y t Y V V Y t V Y VV Y t V Y V I V S + + + = == =((

== = =sen cos122* * *2* * * **** Separando as partes real e imaginria, chega-se a: ( ) ( ) [ ]km km km km km km m k km k kmb g V V g V P + + + = sen cos2(IV.22) ( ) ( ) [ ]km km km km km km m k km k kmb g V V b V Q + + = cos sen2(IV.23) ExerccioIV.6Determinaraexpressodofluxodepotnciacomplexadabarramparaabarrak. Utilizando esta expresso equacionar as perdas de potncia ativa e reativa neste transformador. IV.8 Expresses gerais dos fluxos de corrente e de potncia Asexpressesdosfluxosdecorrenteepotnciaemlinhasdetransmisso,transformadoresemfase, defasadorespurosedefasadores,podemsergeneralizadasdeformatalquesejapossvelutilizarsemprea mesma expresso, fazendo algumas consideraes para particularizar o equipamento em questo. Assim, os fluxos de corrente nestes equipamentos obedecem s seguintes expresses gerais: ( ) ( ) m kmkmkshkmkmkm kmkm V Y t V jb Y t t I* * + + = ( ) ( ) m kmjkmkshkmkmkmkm V Y e a V jb Y a Ikm + + =2(IV.24) ( ) ( ) mshkmkm k kmkmmk V jb Y V Y t I + + = ( ) ( ) mshkmkm k kmjkmmk V jb Y V Y e a Ikm+ + =+(IV.25) De acordo com o tipo de equipamento, as variveis kma , kme shkmbassumem valores particulares, mostradas na Tabela IV.2. Tabela IV.2 Parmetros para os diferentes equipamentos nas expresses gerais dos fluxos. Equipamento kmakmshkmbLinha de transmisso10 Transformador em fase00 Transformador defasador puro10 Transformador defasador0 Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente O transformador Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 27 de 27 Os fluxos de potncia ativa e reativa em linhas de transmisso, transformadores em fase, defasadores puros e defasadores, obedecem s seguintes expresses gerais: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]km km km km km km m k km km k km kmb g V V a g V a P + + + = sen cos2(IV.26) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]km km km km km km m k kmshkm km k km kmb g V V a b b V a Q + + + = cos sen2(IV.27) Assim,asexpresses(IV.24)a(IV.27)podemserutilizadasindistintamenteparaoclculodosfluxosde correnteepotnciaemlinhasdetransmisso,transformadoresemfase,defasadorespurosedefasadores, bastando utilizar os parmetros conforme a Tabela IV.2. Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente Geradores, reatores, capacitores e cargas Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 1 de 5 V Geradores, reatores, capacitores e cargas Osistemaeltricopossuiduasclassesdecomponentes,osempregadosnaconexoentredoisnseltricos (elementossrie)eaquelesquesoconectadosaapenasumneltrico(elementosemderivao).O segundogrupoincluiosgeradoreseascargasqueconstituemarazodeexistirdosistemaeltrico.Os demaiscomponentesemderivao(reatoresecapacitores)soempregadosnocontroledatenso/potncia reativa. Paratodososcomponentesemderivaoadotadaaconvenogerador,ouseja,soconsideradas positivas aa potncias ativa e reativa injetadas. V.1 Geradores A Figura V.1 mostra o sentido positivo da potncia injetada em uma barra que contm um gerador. k k kjQ P+G k k kjQ P+k kk V V =k kk V V = Figura V.1 Conveno da potncia para um gerador. Para um gerador que est injetando potncia ativa no sistema, tem-se: 0 >kPo subexcitad , 0do sobrexcita , 0kQ V.2 Reatores A Figura V.2 mostra o sentido positivo da potncia injetada por um reator em uma barra. k k kjQ P+k kjQk ILkLkjb Yjx Z==Para um Reator 010LLLxbx k kk V V =k kk V V = Figura V.2 Conveno da potncia para um reator. Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente Geradores, reatores, capacitores e cargas Srgio HaffnerVerso: 10/9/2007Pgina 2 de 5 Neste caso, tem-se: LkLkkkkxVjjxVZVI ===0ou( ) kLk k k V jb V Y I = = 0 22* ** 0kLLkLk kLkk k k k V jbxVjjxV VjxVV I V S = ==|||

\|= = Portanto, para um reator (como0 >Lxe0 tol h11=v1*v2*(-G12*sin(t1-t2)+B12*cos(t1-t2)); h13=0; h31=0; h33=v3*v2*(-G32*sin(t3-t2)+B32*cos(t3-t2)); Jacp=-[h11 h13; h31 h33];Jacp1=-inv(Jacp); dxp=Jacp1*gxp; kq=1; else kp=0; Jacp=[0 0; 0 0]; Jacp1=[0 0; 0 0]; dxp=[0; 0]; end y=[k x(1) gxp(1) Jacp(1,1) Jacp(1,2) Jacp1(1,1) Jacp1(1,2) dxp(1)]; fprintf(saida,'%2.0f%8.4f%8.4f%8.4f%8.4f%8.4f%8.4f %8.4f\n',y); y=[x(2) gxp(2) Jacp(2,1) Jacp(2,2) Jacp1(2,1) Jacp1(2,2) dxp(2)]; fprintf(saida,'%8.4f%8.4f%8.4f%8.4f%8.4f%8.4f