PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Definição

Progressão geométrica (P.G.) é uma sequência de números não nulos em que cada termo posterior, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo, chamado razão da progressão.

Exemplos:a) (4,8,16,32,64)

Nesta sequência, o número fixo 2 é a razão da P.G.

Um exemplo prático que podemos mencionar é uma população de bactérias que inicia com 5 bactérias e que se triplica a cada dia que passa:

1° Dia: 5 Bactérias2° Dia: 15 Bactérias3° Dia: 45 Bactérias 4° Dia: 135 Bactérias . . . E assim por diante.

Neste caso a razão q da PG é 3, pois qualquer elemento desta sequência quando dividido pelo seu anterior terá resultado 3.

Representação de uma PG.

A representação matemática de uma progressão geométrica (P.G.) é:

Exemplo:

Escreva uma P.G. de cinco termos em que

A P.G pedida é (2, 6, 18, 54, 162) Observação:razão (q) = termo qualquer dividido pelo termo anterior

Classificação de uma PG.

Exemplo:

Se a sequência (x, 3x + 2, 10x +12) é uma P.G., pede-se:

a) Determine o valor de x;

b) Escreva essa progressão.Se x = 2 , temos:

Atividades 1

01) Determine a razão de cada uma das seguintes P.G.:

a) (3,12,48,...) b) (10,5,...) c)

d) e) d) 02) Verifique se cada sequência dada é uma PG. Em caso positivo, dê o valor da razão q:

a) ( 1, 3, 9, 27, 81) b) (5, -10, 20, -40, 80, -160) c)

03) As seguintes sequências são PG. Determine a razão de cada uma delas:

a) (2, 8, . . .) b) c)

d)

04) Escreva uma PG:

a) de cinco termos em que .

b) de quatro termos em que

05) Se o primeiro termo de uma PG é e a razão é 102, escreva os quatro primeiros termos dessa PG.

06) Determine:

a) O 4° termo da PG em que

b) O 5° termo da PG em que

07) Uma população de bactérias é atualmente dada por B0 e cresce 5% por minuto. Qual será essa população daqui a n minutos?

08) A torcida de determinado clube é atualmente dada por P0, mas está diminuindo 3% ao ano. Se esse fato continuar a ocorrer, qual será a torcida desse clube daqui a t anos?

Fórmula do termo geral da PG

Da mesma forma como fizemos para a progressão aritmética, vamos demonstrar a fórmula do temo geral de uma P.G., que permite encontrar qualquer termo sem precisar escreve-la integralmente.

Seja a P.A. de razão “q”.

Exemplos:

a) Numa P.G. de 4 termos, a razão é 5 e o último termo é 375. Calcular o primeiro termo desta P.G.

b) Numa P.G. de 6 termos, o primeiro termo é 2 e o último termo é 486.Calcular a razão desta P.G.

c) Numa P.G. de razão 4, o primeiro termo é 8 e o último é 2 31. Quantos termos tem essa P.G.

Atividades 2

1. Qual é o 6º termo da P.G. (512, 256,...)?

2. Determine a fórmula do termo geral de cada PG:a) (2, 8, . . .) b) (3, 9, . . .) c) (2, 1, . . .)

3. Determine:a) o 5° termo da PG (1, 5, . . .) b) o 10° termo da PG (9, 27, . . .)

4. Numa PG infinita, temos . Qual é 6° termo?

5. As raízes da equação do 2° grau são o 1° e 2° termo de uma PG crescente. Determine o 6° termo desta PG.

6. Determine o 1° termo da PG em que:

a) b)

7. Considere a PG de termos não-nulos (2ax, 4ax2, . . .). Qual é o 7° Termo dessa PG?

8. Determine quantos termos tem a PG finita em que:

a) b)

9. Numa PG em que , qual é o lugar ocupado na sequência pelo termo igual a 32?

10. Determine x para que as seguintes sequências sejam PG:a) (4, x, 9) b) (a, x, ab2) c)(x – 3, x, x + 6) d) (2x + 1, 3x – 6, 4x – 8)

11. Numa PG crescente, o 8° termo vale 8 e o 10° vale 32. Determine o 9° termo e a razão dessa PG.

12. Numa PG de números reais, . Determine e a razão q desta PG.

13. Sabe que, numa PG de números reais . Qual é o 1° termo desta PG?

14. A produção de uma empresa nos meses janeiro, fevereiro e março, respectivamente, forma uma PG. Se a produção em janeiro foi de 3000 unidades e em março foi de 27 000 unidades, quantas unidades foram produzidas em fevereiros?

15. Qual número x se deve adicionar a 2, 6 e 14 para que os números assim obtidos sejam, nessa ordem, termos consecutivos de uma PG?

16. Numa PG de números reais, e . Determine a razão q e o primeiro termo a1 desta PG.

17. Numa PG crescente, e o primeiro termo a1 é igual ao quíntuplo da razão q. Determine a1 e q.

18. A cada mês, a caderneta de poupança rende juros de 1,5% sobre o saldo anterior. Se, em 1° de abril desse ano o saldo era S, qual será o saldo em dezembro desse mesmo ano, considerando que não tenha havido retirada ou depósito no período?

19. Uma pessoa compra um casa, devendo paga-la em prestações mensais durante 5 anos. A primeira prestação é de R$ 400,00 e as prestações pagas num mesmo ano são iguais. A cada ano, a prestação sofre um aumento de 10% em relação à do ano anterior. Qual será o valor da prestação mensal no último ano?

20. (UFPE) Suponha que o preço de um automóvel se desvalorize 10% ao ano nos seus cinco primeiros anos de uso. Se esse automóvel novo custou R$ 10.000,00, qual será o seu valor em reais após os cincos anos de uso?

Interpolação Geométrica

Vamos aprender a intercalar números reais entre dois números dados, de tal forma que todos passem a constituir uma P.G.

Exemplo:Interpolar ou inserir três meios geométricos entre 3 e 48.

Devemos, então, calcular a razão:

Então, teremos: Para q = 2 (3,6,12,24,48); Para q = -2 (3,-6,12,-24,48).

Atividades 3

1. Insira 4 meios geométricos entre 1 e 243.

2. Entre os números 18 e b foram inseridos 2 termos, obtendo-se uma P.G. de razão 3. Qual é o valor de b?

3. Entre os números 18 e x foram inseridos dois meios geométricos. Obteve-se, assim, uma PG de razão 3. Qual o valor de x?

4. Cinco meios geométricos foram inseridos entre 4 e 2916. Qual a razão q da PG assim obtida?

5. Entre os números 100 e 1000 000 devem ser escritos x números de modo que a sequência obtida seja PG de razão 10. Determine o valor de x.

Fórmula da soma dos termos de uma PG

Seja a P.G. finita ou de

razão “q”, e de soma dos termos .

Exemplos:

a) Dada a progressão geométrica (1,3,9,27,...), calcular:- A soma dos 6 primeiros termos.

- O valor de “n” para que a soma dos “n” primeiros termos seja 29524.

b) Dar o valor de “x” na igualdade x + 3x + ... + 729x = 5465, sabendo-se que os termos do 1º membro formam uma P.G.

Atividades 4

1. Qual será a soma dos 20 primeiros termos de uma P.G. onde ?

2. Numa P.G., a soma dos termos é 728. Sabendo-se que , determine o primeiro termo dessa P.G.

3. Quantos termos devemos considerar na P.G. (3,6,...) para obter uma soma de 765?

4. Numa P.G., . Ache a soma dos 5 primeiros termos.

5. Determine a Soma: a) dos seis primeiros termos da PG (2, 8, . . .)b) dos seis primeiros termos da PG (7, 14, . . .)

6. Qual a soma dos dez primeiros termos de uma PG NA QUAL O 1° termos é e a razão é q = 2.

7. Determinar a soma dos termos da PG finita: a) (1, 2, . . ., 512) b) (5, 20, . . . 1280) c) (1, 22, . . ., 210)

8. Os termos do 1° membro da equação 3 + 6 + . . . + x = 381 formam uma PG. Determine o conjunto solução dessa equação.

9. Quantos termos devemos ter considerar na PG (3, 6, . . ., ) para obter uma soma igual a 765?

10. A soma dos seis termos iniciais de uma PG é 1456. Sabendo que a razão dessa

PG é q = 3, determine .

11. Uma empresa produziu 20 000 unidades de certo produto no primeiro trimestre de 2003. Quantas unidades foram produzidas em 2003 sabendo que a produção aumentou 20% a cada trimestre?

12. Uma pessoa aposta na loteria durante cinco semanas, de tal forma que cada semana, o valor da aposta é o dobro da aposta anterior. Se o valor da aposta da primeira semana é R$ 60,00, qual o total apostado após as cinco semanas?

Fórmula da soma dos termos de uma PG infinita

Utilizamos a própria fórmula da PG finita para chegarmos à fórmula da PG infinita:

Em geral:

1º Caso: - 1< q < 1

Quando “n” cresce indefinidamente, “ ” “tende” cada vez mais a zero,isto é:

Observação:Quando a P.G. possui soma, dizemos que a sequência é convergente.

2º Caso:

Exemplo:

P.G. (2,6,18,...)

Exemplo:

P.G. (- 2,-8,-32,...)

Exemplos:

a) P.G. (2,-6,18,-54,...).

b) P.G. (-1,5,-25,...).

Observação:Quando a P.G. não possui soma, dizemos que a sequência é divergente.

Exemplos:

a) Calcular a soma dos termos da P.G. .

Nesta P.G., temos:

Vamos calcular a soma :

Atividades 5

1. Determine a soma dos termos de cada uma das seguintes P.G.:

2. Determine o valor dos limites das seguintes somas:

b)

3. Determine o valor de x na igualdade na qual o primeiro membro é o limite da soma dos termos de uma PG infinita.

4. Resolva a equação , na qual o primeiro membro é o limite da soma dos termos de uma PG infinita.

5. Determine a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas: a) 0,515151. . . b) 0,231313131. . .c) 0,4333. . . d)2,6666. . .

6. Uma bola de borracha cai de uma altura a. Após chocar-se com o solo, atinge um altura igual

a da anterior e este valor se mantém nos choques subsequentes. Quanto a bola percorrerá até que pare?