1

1 - PORCENTAGEM Ao abrir o jornal, ligar a televisão ou olhar as vitrines nas ruas, freqüentemente nos deparamos com expressões do tipo: " O índice de reajuste salarial de março é de 1,61%" " O rendimento da caderneta de poupança em fevereiro foi de 0,85%" Ainda que tais expressões não sejam completamente desconhecidas, é muito importante elaborar um estudo organizado do assunto porcentagem, uma vez que seu conhecimento é uma ferramenta indispensável para a maioria dos problemas. Cálculo da porcentagem:

Porcentagem é uma fração de denominador centesimal, ou seja, é uma fração de denominador 100. Representamos porcentagem pelo símbolo % e lê-se: “por cento”.

Deste modo, a fração 20/100 é uma porcentagem que podemos representar por 20%.

É comum representarmos uma porcentagem na forma decimal, por exemplo, 75% na forma decimal seria representado por 0,75.

Exemplo: 4% notação percentual 4/100 notação fracionária 0,04 notação decimal

Exercício: 1. Escrever sob a forma de número decimal as seguintes porcentagens: a) 23% b) 130% c) 2,3% d) 13% e) 1,3% f) 0,05% g) 2% h) 0,1% Elementos básicos: Principal ( P ): valor sobre o qual se calcula a porcentagem. O principal correspondente sempre a 100% ( cem por cento) da operação. Porcentagem ( p): é o valor que representa, na operação, a taxa diferente de 100%. Taxa de Porcentagem ( i ) : taxa unitária ( forma decimal ) Exemplo: 15% de 60 = 9 Principal = 60 Taxa percentual = 15% Porcentagem = 9 Temos então:

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p Pi= i

pP = i

p

P=

Exemplo 1: Calcular 33% de 1200 p = 1200x.33 = 396,00 Exemplo 2: Que porcentagem 50 é de 400? i = 50 / 400 = 0,125

i = 0,125 x 100 = 12,5% Exemplo 3: Uma mercadoria foi comprada por R$ 80,00 e vendida por 108,00. Calcular a taxa percentual do lucro. p(lucro) = 108,00 -80,00 = 28,00 i = p / P i = 28 / 80 = 0,35 i = 0,35 x 100 = 35% Exemplo 4 : Uma mercadoria foi vendida por R$ 32,66. Sabendo-se que sofreu um aumento de 42% em relação ao preço anterior, qual era este preço? Solução: Como no valor de R$ 32,66 já esta embutido um aumento de 42% sobre o preço anterior da mercadoria, este valor corresponde a 142%. i = ( 100 + 42 ) / 100 = 1,42 P = p / i P = 32,66 / 1,42 = R$ 23,00 Exemplo 5: Uma mercadoria foi vendida por R$ 36,00. Sabendo-se que foi concedido um desconto de 20% sobre o preço de tabela, qual é este preço? Solução: Como no valor de R$ 36,00 já está abatido o desconto de 20% sobre o preço contido na tabela, este valor corresponde a somente 80% i = ( 100 - 20 ) / 100 = 0,8 P = p/ i P = 36,00 / 0,8 = R$ 45,00 Exemplo 6: Qual o valor líquido a ser pago por uma mercadoria que possui um preço de R$ 125,00 se é oferecido um desconto de 6 %? Solução: Se é oferecido um desconto de 6%, o valor líquido a ser pago deverá corresponder a 94% do preço da mercadoria. p = 125,00 ( 1- 0,06) p = 125,00 x 0,94 = R$ 117,50

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1.1 - ABATIMENTOS SUCESSSIVOS No meio comercial é muito comum o uso de abatimentos sucessivos, isto é, calcular os abatimentos sobre os valores líquidos encontrados anteriormente. O cálculo do valor líquido ou valor final ( VF ) é dado pela seguinte fórmula: VF = P ( 1 - i1)(1 - i2)...(1 - in) Sendo: VF = valor real a ser pago. P = Principal ( corresponde sempre a 100% ) i1, i2, ..., in = Taxas unitárias sucessivas. Exemplo 1: Sobre uma fatura de R$ 124.000,00 são pagos os seguintes descontos sucessivos: 20% + 10% + 5%. Qual o valor líquido a ser pago? Solução: VF = 124.000( 1-0,2)(1-0,1)(1-0,05) VF = 124.000 x 0,8 x 0,9 x 0,95 = R$ 84.816,00 Exemplo 2: Por uma mercadoria foi pago R$ 70,00. Sabendo-se que sobre o preço constante na tabela foram dados descontos sucessivos de 30% + 20%, qual o preço da tabela? Solução: 70 = P ( 1-0,3)(1-0,2) 70 = P x 0,7 x 0,8

P =×

=70

0 7 0 8, ,R$ 125,00

Para calcular a taxa única ( i ) no sistema de abatimentos sucessivos, utiliza-se a seguinte fórmula: i = 1 - ( 1 - i1)(1 - i2)...(1 - in) Exemplo 3: Sobre os valores constantes numa tabela de preços são dados os descontos sucessivos de 50% + 30% + 20%. Na realidade qual o desconto oferecido pela empresa? Solução: i = 1 - ( 1-0,5)(1-0,3)(1-0,2) i = 1 - ( 0,5 x 0,7 x 0,8) i = 1- 0,28 = 0,72 r = 72% 1.2 - ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS Para acréscimos sucessivos valem as seguintes fórmulas: Cálculo do valor final ( V F ): VF = P ( 1 + i1)(1 + i2)...(1 + in) Cálculo da taxa única ( i ) : i = ( 1 + i1)(1 + i2)...(1 + in) – 1

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Exemplo 1 : O preço de uma mercadoria era R$ 8,00, no início de um determinado mês. Durante o mês sofreu aumentos sucessivos de 2,5% + 5%. Pergunta-se: a) Qual o preço desta mercadoria no final do mês? b) Qual foi o percentual total de aumento? Solução: a) VF = 8,00( 1+ 0,025)(1+0,05) VF = R$ 8,61 b) i = ( 1+ 0,025)(1 + 0,05) - 1 i = 0,07625 r = 7,625% Diferença percentual entre dois valores: Para calcular a diferença entre dois valores ( do principal para o valor final) utiliza-se a seguinte fórmula:

iVF

P= − 1

Solução do item (b) do exemplo anterior: P= 8,00 VF = 8,61 i = 8,61 / 8,00 - 1 = 0,07625 r = 7,625% Exemplo 2: Uma mercadoria sofreu aumentos sucessivos de 20% + 15%. Sabendo-se que na venda foi concedido um desconto de 25%, pagando o comprador R$ 144,90, qual era o valor da mercadoria? Solução: 144,90 = P ( 1 + 0,2)(1 + 0,15)( 1- 0,25)

P =× ×

=144 90

1 2 115 0 75

,

, , ,R$ 140,00

1.3 - TAXAS SOBRE TAXAS Em muitas situações - problema, ocorrem casos em que uma taxa percentual refere-se a outra taxa percentual. Nesses casos, as taxas não devem ser adicionadas, e sim aplicadas uma sobre a outra. Exemplo: Uma turma tem 40 alunos. Destes, 60 % são moças e 40% são rapazes. Em um determinado dia, compareceram às aulas 75% das moças e 50% dos rapazes. Quantos alunos foram às aulas nesse dia? Qual a porcentagem que compareceu às aulas nesse dia? Resp. 65%

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EXERCÍCIOS DE PORCENTAGEM

1) Um vendedor ganha comissões calculadas na base de 5% sobre os negócios que realiza. Havendo fechado um negócio de R$ 800,00, qual será a sua parte?

2) Numa cidade a população adulta é de 18.300 pessoas, 42% das quais são

analfabetas. Quantos são os adultos alfabetizados dessa cidade? 3) Sobre uma compra de R$ 105,00 foi feito um desconto de R$ 8,40. Qual foi a

porcentagem do desconto oferecido? 4) Uma mercadoria que havia sido comprada por R$ 700,00 foi vendida por R$ 980,00.

Qual foi a porcentagem do lucro obtido em relação ao preço de compra? 5) Um livro tem seu preço marcado na capa no valor de R$75,00 e é vendido pelas

livrarias com 30% de lucro, sobre o preço da capa. Quanto lucrou um livreiro que vendeu 180 desses livros?

6) Calcule quanto 45 representa, percentualmente, em relação a:

a) 150 d) 45 b) 239 e) 67 c) 500

7) Calcule a percentagem de prejuízo de uma pessoa que pagou R$ 6.500,00 por uma

mercadoria e vendeu-a por R$ 5.256,00. 8) Se o preço de um produto em maio é de R$ 230,00 e, em junho do ano seguinte é de

R$ 274,00, calcule a variação percentual de preços. 9) Dos 1500 empregados de uma empresa, 555 são mulheres. Quanto por cento representa homens? 10) O salário de um operário foi aumentado em 4% e passou a R$ 546,00. Qual era o salário deste operário? 11) Uma pessoa perdeu 40% do que tinha e ficou com R$ 51.000,00. Quanto possuía? 12) Um empregado de uma casa comercial tem interesse sobre o lucro. Quanto receberá no final do ano, se a casa vendeu R$ 2.625.000,00 com lucro de 18% sobre o preço de venda e sua participação na sociedade é de 2%? 13) Numa cidade 25% são italianos, 12% são alemães, 10% são japoneses e os restantes 118.720 são brasileiros. Quantos são alemães? 14)Uma mercadoria que custava R$ 24,00 foi vendida com abatimentos sucessivos de 30% + 20% + 10% .Pergunta-se: a) Por quanto foi vendida? b) Qual o percentual total do abatimento?

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15) Na compra de uma mercadoria foi obtido abatimento sucessivo de 20% + 10% + 5%. Se paguei R$ 273,60, pergunta-se: a) Qual o valor da mercadoria antes dos abatimentos? b) Qual o percentual total do abatimento? 16) Um produto cujo preço era R$ 36,00, sofreu aumentos sucessivos de 30% + 25%. Pergunta-se: a) A que preço está sendo vendida? b) Qual foi o percentual de aumento? 17)O preço de um objeto foi aumentado, sucessivamente 10%, 10% e 20%, passando a custar R$ 450,12. Qual era o preço inicial? 18)Uma mercadoria sofreu dois aumentos sucessivos de 20%. Na venda foi concedido um desconto de 15%, pagando o comprador R$ 24,48. Qual era o preço inicial desta mercadoria? 19) Um operário ganhou um salário líquido de R$ 388,80. Sabendo-se que recebeu um aumento de 8% em relação ao salário anterior e lhe foi descontado 10% referente impostos previdenciários, qual era o salário deste operário? 20) O salário de um operário foi aumentado em 6% e passou a R$ 556,50. Qual era o salário deste operário? 21) Ao comprar um casaco, uma pessoa ganhou um desconto de 40%. Se o valor pago foi de R$ 51,00 qual o valor constante na etiqueta? 22) Um empregado de uma casa comercial tem interesse sobre o lucro. Quanto receberá no final do ano, se a casa vendeu R$ 1.412.500,00 com um lucro de 22% sobre o preço de venda e sua participação na sociedade é de 3,5%? 23) Em um dos núcleos da Faculdade 48% dos alunos são do curso de Administração em Recursos Humanos, 20% são alunos do curso de Análise de sistemas e os restantes 232 são alunos do curso em Comércio Internacional. Determinar: a) Quantos alunos possui o Núcleo? b) Quantos alunos possuem os cursos de Administração em Recursos Humanos e Análise de Sistema? 24) Uma mercadoria que custava R$ 75,00 foi vendida com abatimentos sucessivos de 10% + 5% + 2%. Pergunta-se: a) Por quanto foi vendida? b) Qual o percentual total do abatimento? 25) Na compra de uma mercadoria foi obtido abatimentos sucessivos de 10% + 2%. Se o valor pago foi R$ 110,25, pergunta-se: a) Qual o valor da mercadoria antes dos abatimentos? b) Qual o percentual total do abatimento?

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26) Um produto cujo preço era R$ 712,00 , sofreu aumentos sucessivos de 6% + 3% . Pergunta-se: a) Por quanto está sendo vendida? b) Qual foi o percentual total de aumento? 27) O preço da gasolina foi aumentado, sucessivamente 11,5% + 7,2% + 4,5% passando a custar R$ 1,30. Qual era o preço antes dos aumentos? 28) Uma mercadoria sofreu aumentos sucessivos de 14% + 9%. Na venda foi concedido um desconto de 10%, pagando o comprador R$ 239,32. Qual era o preço inicial desta mercadoria? 29) Uma pessoa ao fazer um passe bancário desembolsou R$ 32.764,00. Sabendo-se que o banco cobrou um comissão de 2% e mais outras despesas no valor de R$ 124,00, qual o valor líquido recebido pelo destinatário? 30)Uma certa categoria profissional, por ocasião do dissídio coletivo, deverá ter um reajuste salarial de 18% sobre o salário base do ano anterior. Se um funcionário já recebeu 15% de antecipação e está ganhando R$ 552,00, pede-se: a) Quanto passará a ganhar de salário? b) Qual será o percentual de aumento sobre o salário atual? 31) Uma certa categoria profissional, por ocasião do dissídio coletivo, deverá ter um reajuste salarial de 36% sobre o salário base do ano anterior. Se um funcionário já recebeu 25% de antecipação e está ganhando R$ 525,00, quanto passará a ganhar de salário? 32) Um operário ganhou um salário líquido de R$ 515,97 . Sabendo-se que recebeu um aumento de 5% em relação ao salário anterior e lhe foi descontado 9% referente impostos previdenciários, qual era o salário deste operário? 33)Uma certa categoria profissional, por ocasião do dissídio coletivo, deve receber um aumento de 21% sobre o salário base do ano anterior. Se numa empresa já foi dado um adiantamento de 12%, qual o percentual de aumento que deverá ser dado, sobre o salário atual? 34) Ao optar por uma estrada com melhores condições de tráfego, porém com 38% a mais no percurso, um motorista conseguiu aumentar a velocidade média em 50%. Em quanto por cento reduziu o tempo de viagem? 35) O valor de um aluguel era de R$ 400,00 no dia 1o de julho de 2006 e foi reajustado para R$ 410,00 no dia 1o de agosto de 2006. Considerando que a inflação registrada no mês de julho foi de 1%, qual a taxa real de juros utilizada no reajuste do valor desse aluguel ?

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36) Um funcionário de uma determinada empresa recebe o salário, já descontado o valor do INSS, de R$ 1.850,00. Sabendo-se que sobre este valor incide IRF, qual o valor líquido recebido pelo funcionário? Tabela Progressiva para o cálculo mensal do Imposto de Renda de Pessoa Física para o exercício de 2010, ano-calendário de 2009. Base de cálculo mensal em

R$

Alíquota %

Parcela a deduzir do imposto em R$

Até 1.434,59 - -

De 1.434,60 até 2.150,00 7,5 107,59

De 2.150,01 até 2.866,70 15,0 268,84

De 2.866,71 até 3.582,00 22,5 483,84

Acima de 3.582,00 27,5 662,94

Fonte: http://www.receita.fazenda.gov.br/aliquotas/ContribFont.htm (07/02/2010)

Tabela de contribuição dos segurados empregado, empregado doméstico e trabalhador avulso, para pagamento de remuneração a partir de 1º de janeiro de 2010

Salário-de-contribuição (R$) Alíquota para fins de recolhimento ao INSS (%) até R$ 1.024,97 8%

de R$ 1.024,98 a R$ 1.708,27 9%

de R$ 1.708,28 até R$ 3.416,54 11%

Portaria nº 350, de 30 de dezembro de 2009

Fonte: http://www.previdencia.gov.br (Acesso dia 07/02/2010) ______________________________________________________________________ 37)Uma empresa precisa efetuar um pagamento líquido , no valor de R$ 3.200,00 a um prestador de serviços. Sabendo-se que sobre o valor bruto incide IRF no percentual de 22,5%, calcular o valor bruto a ser pago pelo serviço.

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1.4 - OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS

Operações de compra, venda, permuta etc. de mercadorias, feitas com o objetivo de obter lucro, são chamadas operações comerciais, sendo o lucro a diferença entre o preço de venda e o preço de custo. Em diversas situações envolvendo operações comerciais, é comum ouvirmos frases como: "Vendi uma mercadoria com 10% de lucro." "Vendi uma mercadoria com 20% de prejuízo." Frases como essas são, muitas vezes, motivo de dúvida e confusão: 10% de lucro sobre o quê? 20% de prejuízo sobre o quê? É claro que, na maioria das vezes, a taxa de lucro ( ou prejuízo) refere-se ao preço de compra da mercadoria, pois este é o capital empregado pelo comerciante. No entanto, algumas vezes, é mais prático trabalhar com taxas sobre o preço de venda, pois, esse, em geral, é o que está escrito nas tabelas, cartazes, etiquetas etc. Quando não estiver especificado o tipo de preço sobre o qual a taxa deverá incidir, subentende-se preço de custo. Utilizando o processo da porcentagem podemos facilmente calcular o lucro ou prejuízo sobre o preço de compra e também sobre o preço de venda 1)Lucro sobre o preço de compra: Por quanto devo vender um objeto que comprei por R$4.000,00, a fim de obter um lucro de 20% sobre a compra? Preço de venda = ( 1 + taxa sobre a compra) x ( preço de compra) V = C ( 1 + i )

V = 4000 x 1,20 = R$ 4.800,00

2)Prejuízo sobre o preço de compra: Calcular o prejuízo e o preço de venda de um objeto que comprei por R$6.000,00, tendo uma perda de 30% sobre o preço de compra. Preço de venda = ( 1 - taxa sobre a compra) x ( preço de compra) V = C ( 1 - i )

V = 6.000 x 0,7 = R$ 4.200,00

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3) Lucro sobre o preço de venda: Uma mercadoria custou R$ 16,00. Pretendo vendê-la com 20% de lucro sobre o preço de venda. A que preço devo vendê-la?

vendasobretaxa

compradepreçovendadeeço

−=

1Pr

i

CV

−=

1

V = 16 / (1-0,2) = 16/0,8 = R$ 20,00

4) Prejuízo sobre o preço de venda: Uma mercadoria comprada por R$ 12,50, foi vendida com um prejuízo de 25% sobre o preço de venda. Por quanto foi vendida?

vendasobretaxa

compradepreçovendadeeço

+=

1Pr

VC

i=

+1

V = 12,5 / ( 1+ 0,25) = 12,5/ 1,25 = R$10,00 Formação de um preço de venda Quando uma empresa vende um certo produto, sobre o preço de venda incidem impostos e despesas, tais como: ICMS, PIS e COFINS, comissões a vendedores, despesas financeiras, etc. Ao constituir o preço de venda deste produto a empresa deverá levar em conta estes impostos e despesas. Todos os percentuais incidentes sobre o preço de venda deverão ser somados e esta soma constituir-se-á na taxa a ser utilizada.

VC

i=

−1

Exemplo: O custo de um certo produto, produzido por uma empresa, é R$ 18,00. Se sobre o preço de venda incidir as seguintes despesas: ICMS 17% PIS/COFINS 2,65% Comissões 3,35% Por quanto deverá por a venda este produto se desejar obter um lucro de 17% sobre o preço de venda?

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Solução: Como todas as despesas e também o lucro correspondem a um percentual sobre o preço de venda, somam-se todos eles. i = 0,17 + 0,0265 + 0,0335 + 0,17 = 0,4 V = 18 / ( 1 - 0,4 ) = R$ 30,00 O valor a ser vendido é de R$ 30,00, para que se recupere o valor do custo, despesas e lucro desejado. ICM 30,00 x 17% = 5,10 PIS/COFINS 30,00 x 2,65% = 0,80 Comissões 30,00 x 3,35% = 1,00 Lucro 30,00 x 17% = 5,10 Custo = 18,00 Preço de venda = 30,00 Exercícios: 1) Um objeto que custou R$ 2.850,00 foi vendido por R$ 3.192,00. Qual foi a taxa de lucro sobre o preço de custo? Resp. 12% 2) Vendi um objeto por R$ 585,00 e ganhei 30% sobre o preço de custo. Quanto paguei pelo objeto? Resp. R$450,00 3)Na venda de um objeto um comerciante ganhou 15% sobre o preço de venda, isto é, R$ 105,00. Qual foi o preço de custo? Resp. R$595,00 4) Um comerciante comprou 40Kg de feijão e quer vendê-los no varejo de modo a poder comprar, com o dinheiro da venda, 50Kg do mesmo feijão. Qual deve ser a taxa de lucro sobre a compra? Resp. 25% 5) Por quanto devo vender carro que comprei por R$ 40.000,00 se desejo lucrar 5% sobre a compra? Resp. R$42.000,00 6) Na venda de um objeto foram ganhos 5% sobre o preço de venda, ou seja, R$ 200,00. Qual foi o preço de custo? Resp: R$ 3.800,00 7) Uma mercadoria que custava R$2.500,00 teve um aumento, passando a custar R$2.700,00. Responda: a)Qual foi a taxa de aumento sobre o custo? b) Qual foi a taxa de aumento sobre a venda? Resp: a) 8% b) 7,407% 8) Comprei uma mercadoria por R$24,00 e quero vendê-la com um lucro de 30% sobre o preço de compra. Por quanto devo vendê-la? Resp: R$31,20

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9) Vendi uma mercadoria por R$ 50,75, com lucro de 45% sobre o preço de compra. Quanto custou esta mercadoria? Resp: R$35,00 10) Vendi um terreno por R$ 135.000,00 tendo obtido um lucro de 25% sobre o valor total despendido na compra do mesmo. Qual o valor real de compra do terreno se gastei R$ 8.000,00 de escrituras e impostos de transmissão? Resp: 100.000,00 11) Comprei uma mercadoria por R$ 240,00 e quero vendê-la com um lucro de 40% sobre o preço de venda. Por quanto devo vendê-la? Resp: R$ 400,00 12) Comprei um terreno por R$ 4.750,00 e o vendi com lucro de 5% sobre o preço de venda. Por quanto vendi? Resp: R$ 5.000,00 13) Vendi uma mercadoria por R$ 12,50 obtendo um lucro de 40% sobre o preço de venda. Quanto custou esta mercadoria? Resp: R$ 7,50 14) Comprei uma mercadoria por R$ 120,00 e vendi por R$ 150,00, pergunta-se: a) Qual a taxa percentual de lucro sobre o preço de compra? Resp: 25% b) Qual a taxa percentual de lucro sobre o preço de venda? Resp: 20% 15) Um terreno foi vendido por R$ 165.000,00 com lucro de 10% sobre o custo. Em seguida foi revendido por R$ 207.000,00. O lucro das duas operações representa, sobre o custo inicial do terreno, um percentual de quanto? Resp: 38% 16) Um comerciante comprou uma mercadoria por R$ 150,00 e colocou-a a venda com uma margem de lucro de 40% sobre o custo. Ao vendê-la concedeu um desconto de 20%. Por quanto foi vendida esta mercadoria e qual a taxa do lucro? Resp: R$ 168,00 com lucro de 12% 17) O custo de um certo produto de uma empresa é de R$25,00. Por quanto deverá ser colocado à venda este produto, se desejar obter um lucro de 15% sobre o preço de venda, considerando-se que sobre o preço de venda incidem as seguintes despesas: ICMS: 18% PIS/COFINS: 2,65% Resp: R$38,85 18) Uma empresa pretende oferecer descontos sucessivos de 20% + 10% sobre os preços de venda de seus produtos. Por quanto deverá ser colocado à venda o produto, para pagamento em 30 dias e obtenção de um lucro de 20% sobre o preço de venda, um certo produto que possui um custo de R$3,60, se sobre o valor líquido de venda incidirem as seguintes despesas: ICMS: 17% PIS/COFINS: 2,65% Frete: 0,85% Comissões: 2,5% Despesas diversas: 2% Despesas financeiras: 5% Resp: R$10,00

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2 - JUROS: SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÃO Conceito:

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

A taxa de juros que o banco cobra e paga inclui, além de itens como o risco e o tempo de empréstimo, a expectativa de inflação para o período.

Esta taxa, quando vem expressa por um período que não coincide com o prazo de formação dos juros (capitalizações), é chamada de taxa nominal. Ex.: 15% ao ano, cujos juros são pagos mensalmente. Nestes casos precisamos calcular a taxa efetiva, que será a taxa nominal dividida pelo número de capitalizações que inclui, acumulada pelo prazo de transação. Veremos com mais detalhes mais adiante. Unidade de medida: O juro é fixado através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, mês, etc. Exemplos: 12% a.a. = doze por cento ao ano. 3%a.t. = três por cento ao trimestre. 1% a.m. = um por cento ao mês. É importante observar que no cálculo do juro a taxa utilizada é a taxa unitária, correspondendo esta a centésima parte da taxa percentual. Exemplos: 12% a.a. = 12/100 = 0,12 3% a. t. = 3/100 = 0,03 1% a.m. = 1/100 = 0,01 A representação percentual é muito usada, entretanto todos os cálculos e desenvolvimentos de fórmulas serão feitos através da notação em fração decimal (taxa unitária) . 2.1 -SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO Dependendo do sistema de capitalização utilizado o juro pode ser Simples ou Composto.

Basicamente o que difere um caso do outro é que no simples teremos a incidência de uma taxa sobre o principal, enquanto nos juros compostos esta mesma taxa, incidirá sobre o principal mais os juros.

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Juro Simples: Considere-se o caso de uma pessoa que, no início de um ano aplicou R$ 100,00 com direito de receber juro simples a razão de 50% ao ano, no final de 3 anos. Qual será o valor do resgate? Solução:

Ano Juro Saldo 1 R$ 100x 0,5 = R$ 50,00 R$ 150,00 2 R$ 100x 0,5 = R$ 50,00 R$ 200,00 3 R$ 100x 0,5 = R$ 50,00 R$250,00

Neste caso o valor do resgate é chamado de Montante, que corresponde a R$250,00. Juro Composto: Imagine que essa mesma pessoa tivesse aplicado R$ 100,00 a juro composto, durante 3 anos, numa instituição financeira que creditasse a razão de 50% a.a. Como se comportaria o saldo credor ao longo do prazo?

Ano Juro Saldo 1 R$ 100x 0,5 = R$ 50,00 R$ 150,00 2 R$ 150x 0,5 = R$ 75,00 R$ 225,00 3 R$ 100x 0,5 = R$ 112,50 R$ 337,50

Neste caso o valor do resgate é chamado de Montante, que corresponde a R$337,50. Observe o gráfico:

0100200300400500600700800900

100011001200130014001500160017001800

0 1 2 3 4 5 6 7

Juros compostos Juros simples

Observe que a juro simples o dinheiro cresce linearmente e a juros compostos o dinheiro cresce exponencialmente ao longo do tempo. Portanto considerando o mesmo período e taxa os montantes são diferentes, logo não são equivalentes.

15

2.2 - JURO SIMPLES Conceito: É o regime em que o capital aplicado permanece constante durante todo o tempo de aplicação, calculando-se o juro somente no final. Elementos básicos: Juro ( J ): É a remuneração do capital empregado, podendo ser entendido como o aluguel pelo uso do dinheiro. Capital (C ): É a quantia empregada no início da aplicação. ( Será sempre o valor presente). Taxa de Juro ( i ): Indica de que forma o capital está sendo remunerado numa unidade de tempo. Tempo( t ): É o prazo que decorre desde o início ao fim da operação. Deverá ser sempre representado em relação ao período da taxa. Fórmula Fundamental: J = C i t Juro é igual ao produto do capital, taxa unitária e tempo. Exemplo1 : Qual é o juro simples obtido na aplicação do capital de R$ 2.000,00 a taxa de 30% a.a. , no final de 3 anos? Solução: j = 2.000 x 0,3 x 3 = R$ 1.800,00 Exemplo 2 : Aplicando-se R$ 5.000,00 a juro simples de 60% a.a., durante 7 meses, qual será o juro? Solução: j = 5.000 x ( 0,6/ 12) x 7 = R$ 1.750,00 OBS: A taxa de juros ( i ) e o tempo ( t ) devem ser expressos na mesma unidade. Em outras palavras, se expressarmos o período em dias, a taxa deve ser expressa em dias; se a unidade de tempo de taxa é mês, o período deve ser expresso em meses, e assim por diante. No exemplo dado a taxa de 60% a.a. foi transformada em taxa mensal, dividindo-a por 12( número de meses no ano). Exemplo 3: Um título de R$ 3.000,00 foi pago com um atraso de 24 dias em relação ao seu vencimento. Sendo 4% a.m. a taxa do juro simples, qual o valor do juro cobrado na liquidação? Solução: j = 3.000 x 0,04 x( 24/30) = R$ 96,00 OBS: Neste exemplo foi transformado o tempo em relação a taxa, dividindo-o pôr 30(número de dias de um mês). Se:

J = C i t então : Cj

it= i

j

Ct= t

j

Ci=

16

Exemplo 4: Que capital deve ser empregado em juros simples a taxa de 60% a.a. para que se obtenha um juro de R$ 240,00 em 72 dias? Solução: C = 240 / [ 0,6 x (72/360)] = R$ 2.000,00 Juro Comercial e Juro Exato Nas operações financeiras em que o prazo é contado em dias, o juro obtido recebe uma denominação especial, dependendo do tipo de prazo que se considera. * Juro comercial: é aquele que se obtém contando-se o número de dias pelo critério do prazo comercial, isto é, consideram-se todos os meses com 30 dias. * Juro exato: é aquele que se obtém contando-se o número de dias pelo critério do prazo exato, isto é, aquele que se considera os dias do mês conforme foram concebidos no calendário( ano civil). Exemplo 5 : Um título de R$ 22.000,00 vencido em 24/06/99 e liquidado em 08/08/99, foi penalizado com um juro de R$ 1.650,00. Qual a taxa mensal de juro simples cobrada? Solução: i = 1.650 / 22.000 x (45/30) = 0,05 r = 0,05x100 = 5% a.m. OBS: Os dias são contados de data a data , através do ano civil. Como o tempo foi expresso em número de meses a taxa calculada é mensal. A taxa deve ser representada sempre em percentual. Exemplo 6 : Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado em juros simples a taxa de 4,5% a.m. Na época do resgate o juro recebido foi de R$ 1.485,00. Qual o tempo da aplicação? t = 1.485,00 / 15.000 x 0,045 = 2,2 meses t = 2,2 x 30 = 66 dias OBS: Como a taxa foi expressa em meses, o tempo calculado é o número de meses. Sempre que o tempo for um número fracionário, deve-se apresentá-la em número de dias. 2.3 - MONTANTE DE UM CAPITAL Montante de um capital é igual a soma deste capital mais os juros por ele produzido. M = C + J ou M = C ( 1 + i t ) Exemplo 1: Um capital de 20.000,00 foi aplicado em juros simples num prazo fixo de 3 meses a taxa de 72% a.a. Qual o valor do resgate? Solução: M = 20.000( 1+ 0,72/12 x 3) M = 20.000( 1+ 0,06 x 3) = R$ 23.600,00

17

Exemplo 2: Qual o valor a ser aplicado, em juros simples, durante 42 dias a taxa de 4%a.m. para resgatar no fim deste tempo R$ 12.672,00? Solução:

CM

it=

+( )1 C R=

+ ×=

12 672 00

1 0 04 42 3012 000 00

. ,

, /$ . ,

EXERCÍCIOS PARA RESOLVER 1) Qual o juro simples produzido pelo capital de R$ 78.000,00 empregado a taxa de 132% a.a. durante 6 meses? 2) Seu Anibal aplicou R$ 23.500,00, por 63 dias, a taxa de 128% a.a. Qual o juro recebido? 3) Uma empresa pagou um título de R$ 16.240,00 com atraso de 18 dias. Se a empresa credora cobra juro simples à taxa de 5% a.m., qual o juro pago pela empresa devedora? 4) Que capital foi aplicado, durante 96 dias, a taxa de 115% a.a. se o juro simples recebido foi de R$ 55.200,00? 5) Durante quanto tempo Dona Flor deve aplicar R$ 42.000,00 à taxa de 4,5% a.m. para obter um juro simples de R$ 1.323,00? 6) Se uma empresa ao liquidar uma dívida de R$ 318.000,00 com atraso de 42 dias pagou R$ 26.712,00 de juro, qual a taxa mensal de juros simples cobrada pelo credor? 7) Calcular o juro simples gerado por um capital de R$ 35.000,00, quando aplicado por 10 meses à taxa de 9%a.m. 8) Encontrar o capital que, aplicado à taxa 2,15% a.m., durante 4 meses, produz juro simples de R$ 6.217,80. 9) Calcular o juro simples que o capital de R$ 15.300,00 rende quando aplicado a 84%

a.a., durante 3 meses. 10) João tomou emprestado R$ 50.000,00, comprometendo-se a pagar, em 1 mês e 20

dias, além da quantia emprestada, R$ 12.500,00 de juro. A que taxa diária de juro simples deu-se este empréstimo?

11) Uma loja de eletrodomésticos anuncia que seus aparelhos são vendidos para se

pagar após 60 dias sem juros. No entanto, concede um desconto de 10% para compras à vista. Qual a taxa de juros bimestral cobrada, disfarçada pelo marketing financeiro da loja?

12) A pessoa ''A'' comprou um apartamento por R$ 50.000,00 e alugou-o a R$ 700,00

mensais. A pessoa ''B'' comprou um apartamento por R$ 85.000,00 e alugou-o a R$ 1.105,00 mensais. Qual das duas pessoas está fazendo melhor negócio?

18

13) Certo comerciante poderia ter vendido um objeto, à vista, por R$ 1000,00 e aplicado

essa quantia à taxa simples de 7% a.m. em um banco. No entanto, preferiu aumentar seu preço para R$ 1.225,00 e conceder um prazo de 90 dias para o seu pagamento. Fez ele um bom negócio?

14) O preço à vista de uma mercadoria é de R$ 100,00. O comprador pode, entretanto,

pagar 20% de entrada no ato e o restante em uma única parcela de R$ 100,16, vencível em 90 dias. Admitindo-se o regime de juros simples comerciais, a taxa de juros anual cobrada na venda a prazo é:

15) Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1.000,00 ou em duas parcelas, sendo a

primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois meses depois, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada?

16) Um aplicador aplica R$ 10.000,00 em um CDB de 30 dias de prazo e uma taxa

prefixada de 3% a.m. Considerando o Imposto de Renda de 20% no resgate, o valor líquido a ser resgatado pelo aplicador, em reais, e a taxa de rentabilidade efetiva de aplicação são, respectivamente:

17) Em quanto tempo devemos aplicar uma importância para que renda de juro o dobro

de seu valor, à taxa de 8% a.b.?

18) João aplicou metade de seu capital a juros simples pelo prazo de 6 meses e o restante, nas mesmas condições, pelo período de 4 meses. Sabendo que ao final das aplicações os montantes eram de R$ 117.000,00 e R$ 108.000,00 respectivamente, o capital inicial de João era de:

2.4 - DESCONTO SIMPLES São muito comuns, no mundo dos negócios, as operações em que uma pessoa (física ou jurídica) recebe algo de imediato(mercadoria, serviço, dinheiro etc.) e só efetua o devido pagamento após determinado período de tempo, previamente combinado entre as partes envolvidas: *Credor: aquele que presta serviços, empresta dinheiro etc. *Devedor: aquele que compra, recebe serviços, toma dinheiro emprestado etc. Tais operações são chamadas de operações de crédito e são realizadas mediante um documento comprobatório da dívida chamada de título de crédito. Dentre os títulos de crédito reconhecidos pelo Direito Comercial Brasileiro, destacamos alguns: *Nota promissória: consiste em um documento oficial pelo qual uma pessoa, declarando-se devedora de certa quantia a outra pessoa, compromete-se a pagá-la em certa data, combinada entre as partes.

19

*Letra de câmbio comercial: consiste em um documento oficial pelo qual uma pessoa ordena à outra que lhe pague certa quantia em determinada data. *Duplicata: consiste em um documento oficial pelo qual uma pessoa se declara devedora de certa quantia à outra, relativa à compra de mercadorias. A duplicata corresponde a uma cópia da fatura de compra. Nas operações envolvendo títulos de crédito, chama-se: *Sacado: o devedor do título, isto é, a pessoa a quem é dirigida a ordem de pagamento. *Sacador: o proprietário do título, isto é, o credor da dívida. *Data de vencimento: data de disponibilidade do sacador. *Cheque: é uma ordem de pagamento à vista, sacada contra fundos disponíveis em favor do sacado. O cheque pode ser ao portador ou nominativo, sendo transferível por endosso. 2.5 - ENDOSSO As leis que regem as operações financeiras permitem a transferência de propriedade dos títulos de crédito mediante a operação chamada endosso: o proprietário do título lança no documento sua assinatura, tornando-o assim do tipo ao portador, isto é, de propriedade de seu eventual possuidor. As transferências de propriedade de títulos de crédito dão origem às chamadas operações de desconto. Nesta aula, trataremos principalmente desse assunto. Suponhamos que uma pessoa, possuidora de um título de crédito, deseje "vendê-lo" , em certa data, anterior à de seu vencimento. Nesse caso, deverá dirigir-se a um banco, transferindo a ele, por meio de endosso, a propriedade do título. É claro que o banco exigirá na "compra" em certo abatimento no valor do título, tendo em vista o adiantamento do dinheiro. Os abatimentos dessa natureza costumam ser chamados de valor de desconto ou , simplesmente, DESCONTO

Desconto é o abatimento sobre o valor de um título ao qual alguém faz jus por "comprá-lo" em data anterior a seu vencimento. Indicaremos o desconto por d .

Elementos básicos: *Valor nominal, ou valor futuro do título( N ou FV ): É a importância declarada no título. *Valor atual, ou valor presente do título ( A ou PV ): É o valor pelo qual o título foi adquirido. *Comissões (com ) *Despesas: (desp) *Imposto sobre Operações Financeiras ( IOF) *Taxa de desconto ( i ) *Valor Líquido ( VL ) Exemplo: No caso de uma pessoa possuidora de uma duplicata de R$ 20.000,00 que a "vendeu" a um banco, numa data anterior à de seu vencimento, por R$ 15.000,00, temos: Valor nominal: N = R$ 20.000,00 Valor atual( na data do resgate): A = R$ 15.000,00 Desconto: d = 20.000 - 15.000 ⇒ d = R$ 5.000,00

20

Na prática, o desconto consiste no juro cobrado pelo comprador do título, a pretexto de "aluguel" do dinheiro antecipado. Quando esse juro é calculado sobre um único valor do título ( nominal ou atual) o desconto é chamado desconto simples. Cada desconto simples é subdividido em: 1- Desconto Comercial ou Bancário ( por fora): É aplicado sobre o valor nominal do título ( N ). Este tipo de desconto é geralmente usado no caso de operações de curto prazo.

Para situações a longo prazo utiliza-se o desconto racional composto que veremos no próximo capítulo. 2- Desconto Racional (por dentro): Aplicado sobre o valor atual do título.

Esse tipo de desconto incorpora os cálculos e os conceitos básicos de juros

simples, porém, não passa de uma aplicação particular de juros simples sobre o valor

atual do título. Não apresenta praticamente nenhuma aplicação relevante nas

operações bancárias ou comerciais. 2.6 -DESCONTO SIMPLES COMERCIAL Conceito: O desconto simples comercial ( d ) é igual ao juro simples calculado sobre o valor nominal ( N ) do título, a uma taxa de desconto ( i ), durante o tempo ( t ) que antecede o vencimento deste. Fórmula: d = N i t Exemplo: Um título de R$ 280.000,00 sofreu um desconto comercial ( por fora ) 39 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 6% a.m. Calcular este desconto. Solução: d = 280.000 x 0,06 x ( 39/30) = R$ 21.840,00 Valor Atual Comercial ( A ): É a diferença entre o valor nominal e o desconto comercial por ele sofrido. A = N - d ou A = N ( 1 - i t ) Exemplo: Considerando o exemplo anterior, calcular o valor atual comercial. Solução: a) A = 280.000 - 21.840 = R$ 258.160,00 ou b) A = 280.000( 1 - 0,06 x 39/30) = R$ 258.160,00 Valor Líquido: Sempre que houver cobrança de comissões ou taxas, o valor líquido é igual ao valor atual diminuído da comissão. VL = A - com Ou seja: VL = N - ( d + com + desp + IOF)

21

Relação entre taxa de desconto e taxa de juros simples

Numa operação de desconto, a taxa efetiva de juros é calculada levando-se em conta o valor nominal dos títulos ( N ), o prazo médio destes títulos ( t ) e valor líquido (VL ) recebido pelo portador. Para calcular basta efetuar a divisão entre:

descontodeTaxa

VP

VFi 1−=

jurosdeTaxa

VL

Ni 1−=

Estas taxas não são iguais, uma vez que incidem sobre valores diferentes.

Exemplo1: Um título de R$ 240.000,00 sofreu um desconto comercial 27 dias antes de seu vencimento, numa instituição financeira que opera com uma taxa de desconto de 7% a.m. Sabendo-se que é cobrada uma comissão de 0,5% sobre o valor nominal, qual o valor líquido recebido pelo portador? Qual a taxa efetiva de juro paga pela empresa nesta operação? Se não fosse cobrada a comissão sobre o valor nominal do título, qual seria a taxa efetiva de juro do período? Exemplo2: Uma empresa desconta 5 títulos no valor total de R$ 18.000,00 vencíveis em 36 dias, num banco que opera com uma taxa de desconto de 4,5% a.m. Sabendo-se que o banco cobra uma comissão antecipada de 0,5% sobre o valor nominal dos títulos, mais despesas para cobrança no valor de R$ 4,00 por título e mais IOF que é de 0,123%a.m., qual o valor líquido creditado na conta da empresa?

22

EXERCÍCIOS PARA RESOLVER 1)Um título de R$ 15.000,00 foi descontado 42 dias antes do seu vencimento, num banco que opera com uma taxa de desconto de 5% a .m. e cobra uma comissão de 1% sobre o valor nominal do título. Calcular: a) O valor líquido recebido pelo portador. b) A taxa efetiva mensal de juros simples paga na operação. 2)Uma nota promissória de valor nominal R$ 50.000,00 foi descontada 48 dias antes do seu vencimento. Sabendo-se que a taxa do desconto comercial é de 6% a .m. e que o banco cobra uma comissão de 1,5% sobre o valor nominal do título, pede-se: a) Qual o valor líquido recebido pelo portador? b) Qual a taxa efetiva mensal de juro simples paga na operação? 3) O Banco Alfa opera com uma taxa de desconto de 48% a. a. e cobra 2% de taxa de serviço. Qual o abatimento total que sofre um título de R$ 5.000,00 descontado 2 meses antes do seu vencimento? 4)Num financiamento de R$ 15.000,00 pelo prazo de 6 meses, o cliente recebeu o valor líquido de R$ 12.525,00. Se a taxa de desconto comercial for fixada em 27% a a. existirá taxa de serviço cobrada nesta operação? Em caso de afirmativo determine a taxa de serviço. 5)Um título cujo valor nominal é R$ 3.500,00 foi resgatado 21 dias antes do seu vencimento. Sabendo-se que a taxa do desconto comercial utilizada foi de 6,3% a .m., determine: a) O valor do desconto

b) O valor do resgate

6)Um título de R$ 3.000,00 com vencimento para 20 dias foi resgatado por R$ 2.880,00. Determine a taxa mensal cobrada de: a) Desconto comercial b) De juro simples 7)Um título cujo valor nominal é R$ 12.400,00, foi descontado, num banco que opera com uma taxa de desconto de 5%a .m. , 27 dias antes do seu vencimento. Sabendo-se que o banco cobra, ainda, uma taxa de IOF de 0,0041% ao dia e mais uma taxa de despesas administrativas de 0,8% sobre o valor nominal do título, determine: a) O valor do desconto b) O valor das despesas administrativas. c) O valor do IOF d) O valor líquido do título e) A taxa de juros efetiva para o período paga pelo cliente. 8)Uma empresa desconta três títulos no valor nominal total R$ 8.000,00, 36 dias antes de seus vencimentos, num banco que opera com uma taxa de desconto de 4,5% a .m.. Sabe-se que para operações de desconto o banco cobra 0,0041% ao dia para IOF mais R$ 4,00 por título descontado. Com base nestes dados determine: a) Valor líquido creditado na conta da empresa. b) A taxa de juro efetiva paga pela empresa.

23

9)Um título de R$ 7.000,00 com vencimento para 28 dias, foi descontado numa instituição financeira que opera com uma taxa de desconto de 4,2%a .m. e cobra as seguintes taxa: 0,123%ªm. de OIF, R$ 3,00 por título descontado e mais 1,2% sobre o valor nominal dos títulos para despesas administrativas. Determine: a) O valor líquido recebido pelo cliente. b) A taxa de juro efetiva paga pelo cliente. Respostas: 1 - (a) R$ 13.800,00 ( b) 6,21% a .m. 2 - ( a) R$ 44.450,00 ( b) 7,8%a .m. 3 - R$ 500,00 4) 3% 5- ( a) R$ 154,35 ( b) R$ 3.345,65 6 - ( a)6% ªm ( b)6,25% ªm 7 - ( a) R$ 558,00 ( b) R$ 99,20 (c) R$ 13,73 ( d ) R$ 11.729,07 (e)5,72%a .p. 8 - ( a) R$ 7.544,19 ( b)6,042 %a .p. (36 dias) 9 - ( a) R$ 6.630,56 b)5,57% a .p.(28 dias). 2.7 - PRAZO MÉDIO Sejam os capitais C1, C2, ...,Cn , todos empregados em juro simples, a uma mesma taxa i durante os tempos t1, t2 ,...,tn, respectivamente. Chamamos prazo médio aquele no qual devemos empregar a soma dos capitais, a mesma taxa, para obtermos um juro igual a soma dos juros de cada capital determinado separadamente. Exemplo 1: Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 3.000,00 foram aplicados em juro simples durante 36 dias, 60 dias e 156 dias respectivamente. Durante quanto tempo devemos aplicar a soma destes capitais, a mesma taxa, para obtermos o mesmo juro?

Solução: t dias=× + × + ×

+ +=

2000 36 5000 60 3000 156

2000 5000 300084

OBS: Os prazos deverão ser expressos na mesma unidade de tempo. ( todos em dias, todos em meses, todos em anos, etc.) Exemplo 2: Uma pessoa deposita R$ 2000,00 no início de cada mês, a taxa de 5%a.m., em juro simples. Calcular o montante constituído no final de uma ano. Solução: C1 = C2 = ... = C12 = 2000 t1 = 1 meses t2 = 2 meses ... t12 = 1 mês

t meses=+ + + + + + + + + + +

=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

126 5,

OBS: Quando os capitais forem iguais e os tempos (prazos ) estiverem em Progressão Aritmética, podemos determinar o prazo médio através da média aritmética dos tempos extremos.

24

t =+

=12 1

26 5,

M= 24000( 1 + 0,05×6,5)= 31.800,00 OBS: Sempre que utilizarmos o prazo médio devemos considerar, no cálculo a soma dos capitais. Atividade 1) Uma empresa pagou no dia 30/03/2002 os seguintes títulos: R$ 2.500,00 vencido em 12/03/2002 R$ 5.000,00 vencido em 17/03/2002 R$ 2.000,00 vencido em 18/03/2002 R$ 3.500,00 vencido em 20/03/2002 a) Qual é o prazo médio? b) Se o credor cobrou juro simples de 4,5% a.m., qual o total desembolsado pela empresa? Saldo Médio Assim como no prazo médio ponderado, podemos simplificar algumas operações calculando o saldo médio, que é a ponderação dos diferentes capitais envolvidos e seus prazos por trinta dias, estes cálculos são freqüentemente utilizados em operações envolvendo cheques especiais.

30

)(...)()( 2211 nn nCnCnCmédioSaldo

×++×+×=

Exemplo: Um empresário tem uma conta de cheque especial num banco que permite saques e cobra 7,5% ao mês sobre o saldo devedor, a juros simples, pelos dias que a conta ficar negativa. Determinar o montante de juros cobrado no mês de abril assumindo que a conta tem saldo zero no final de março e que em abril são emitidos os seguintes cheques: Data Valor do cheque Quantidade de dias 01/04/2004 2.000,00 10 dias 11/04/2004 1.000,00 10 dias 21/04/2004 1.000,00 10 dias

00,3000$30

)104000()103000()102000(RmédioSaldo =

×+×+×=

Juros do mês de abril = 3000 x 7,5% = R$225,00

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3 - JUROS COMPOSTOS Conceito: Dizemos que um capital está empregado em juro composto se no final de cada período financeiro, previamente estipulada, o juro simples produzido é somado ao capital passando a render juro no período seguinte. Elementos básicos: Capital ( C ): É o valor investido inicialmente. Também chamado de Presente

valor ( PV ). Taxa de juros ( i ): A taxa utilizada nas fórmulas é a taxa unitária. No uso de uma calculadora financeira a taxa utilizada é a percentual, pois a fórmula já se encontra desenvolvida. Tempo( t ou n ): o prazo da aplicação ou n período. Montante ( M ): É o valor do capital acumulado no final de n períodos. Também chamado de Futuro Valor ( FV ). Exemplo: Seja um capital de R$ 100,00 empregado em juro composto a taxa de 10%a.m., durante 4 meses. Calcular o montante de acordo com o conceito. 3.1 - CÁLCULO DO JURO E DO MONTANTE COMPOSTOS De acordo com a definição de sistema de capitalização composta, podemos dizer que o montante composto pode ser obtido pela relação do montante simples, desde que usemos para C o valor do montante do período imediatamente anterior. Assim, chamando de: Mt = o montante composto após t períodos de tempo C = o capital inicial i = a taxa de juro M = C ( 1 + i )t ou FV = PV ( 1 + i )t onde ( 1 + i )t representa o fator de multiplicação para cálculo do montante. Aproveitando a relação obtida para o montante composto, podemos chegar à relação para o juro composto: J = M - C ⇒ J = C(1 + i)t - C ⇒ J = C [( 1+ i )t - 1] Em resumo: M = C ( 1 + i )t ( montante composto) J = C [( 1+ i )t - 1] (juro composto) Pela fórmula fundamental do cálculo do Montante ( M ) podemos deduzir outras relações que poderão tornar mais prático o cálculo.

26

* Cálculo do Montante ou do futuro valor: M = C ( 1 + i )t ou FV = PV ( 1 + i )t ____________________________________________________________________ * Cálculo do Capital ou do Presente Valor:

CM

i t=

+( )1ou C = M ( 1 + i )-n

Ex: Que capital deve ser empregado a juro composto a taxa de 12% a.t. para que em dois anos, em capitalização composta, constituir um montante de R$ 838.426,00? ______________________________________________________________________ * Cálculo da taxa de juros:

iM

C

n

=

−

1

1

Ex: A que taxa de juro deve-se empregar o capital de R$ 30.000,00 para obter um montante de R$ 506.736,04 no final de dois anos em capitalização mensal? _____________________________________________________________________ * Cálculo do número de períodos financeiros:

( )

t

M

C

i=

+

log

log 1

Ex: No final de quanto tempo, em capitalização composta, a aplicação de um capital de R$ 120.000,00 à taxa de 6% a.m. produz um montante de R$ 287.586,98?

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3.2 - O CÁLCULO DO JURO E DO MONTANTE À TAXA VARIÁVEL De acordo com as definições dadas para o montante e juro composto, podemos observar: M= C ( 1 + i1) ( 1 + i2) ( 1 + i3)... ( 1 + in) J = C[( 1 + i1) ( 1 + i2) ( 1 + i3)... ( 1 + in) - 1] Exemplos: 1) Uma pessoa aplicou, em caderneta de poupança, a quantia de R$300.000,00 por 3 meses. Qual o seu saldo no fim desse prazo, se o rendimento do dinheiro nesses meses deu-se com base nas taxas 1,2%, 1,5% e 1% ? 2) Tomei emprestado R$150.000,00 pelo prazo de 4 meses, comprometendo-se a pagar juro com base nas taxas de inflação de cada período. Quanto pagarei de juro, se as taxas de inflação de cada período foram, respectivamente, 7%, 5,5%, 4% e 5% ? 3.3 CÁLCULO COM PRAZOS FRACIONÁRIOS No cálculo financeiro a juros compostos, muitas vezes o prazo da aplicação não corresponde a um número inteiro de períodos a que se refere a taxa de juros, mas a um número fracionário. Nesse caso, geralmente admitem-se duas alternativas de cálculo: cálculo pela convenção linear e cálculo pela convenção exponencial. *Cálculo pela convenção linear Os juros compostos são usados para o número inteiro de períodos e os juros simples para a parte fracionária de períodos. *Cálculo pela convenção exponencial Os juros compostos são usados tanto para o número inteiro de períodos quanto para a parte fracionária de períodos.

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Exemplo: Para um capital de R$25.000,00, aplicado durante 77 dias a juros de 5% a.m., calcular o montante utilizando as convenções linear e exponencial. EXERCÍCIOS PARA RESOLVER 1) Um investidor aplicou a quantia de R$ 300.000,00, à taxa de juro composto de 7% a.m. Que montante este capital irá gerar após 5 meses? 2) Calcular o juro composto que se obterá na operação de R$ 100.000,00, a 15% aa, durante 48 meses. 3) Um capital de R$ 10.000,00 esteve aplicado por 4 meses e gerou um montante de R$ 12.155,06. A que taxa mensal esteve aplicado? 4)O capital de R$ 25.000,00 foi aplicado a juro composto de 3% am. Qual o montante no final de 3 anos e 8 meses? 5) Encontrar a taxa mensal de juro composto que, aplicada ao capital de R$ 70.000,00, o transforma em um montante de R$ 95.823,00, em 2 meses. 6) Qual o montante que resulta da aplicação de um capital de R$45.000,00, quando aplicado a 8%am, pelo prazo de 18 meses? 7) Um agiota emprestou a uma pessoa a quantia de R$ 100.000,00 pelo prazo de 15 dias, exigindo por esse empréstimo o pagamento de R$ 55.796,70 de juro. Qua taxa de juro composto o agiota está cobrando? 8) Que capital, que aplicado à taxa de juro composto de 15% aa, durante 10 anos, produz juro de R$ 1.065.945,30? 9) Que taxa mensal de juro composto é recebida por um investidor que aplicou R$50.000,00 e resgatou após 8 meses a quantia de R$ 92.546,50? 10) Qual a taxa mensal de juro que faz um capital triplicar de valor em 5 meses? 11) Em 1999, um capital no valor de R$ 50.000,00, foi aplicado à taxa de juro composto de 23% a.m., e se elevou a R$ 75.645,00. Por quantos meses este capital foi aplicado? 12) Com a finalidade de comprar um aparelho que custa R$ 42.076,56, uma pessoa fez uma aplicação de R$ 30.000,00 em um banco que paga 7% am. de juro composto. Quanto tempo levou essa aplicação para atingir o valor desejado?

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GABARITO: 1)R$ 420.765,52 2)74.900,62 3)5% am 4)R$91.786,31 5)17% 6) R$ 179.820,87 7) 3% 8)R$350.000,00 9)8% 10)≅24,57%am 11) 2 meses 12) 5 meses EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1) Durante quanto tempo deve ficar aplicado o capital de R$ 35.000,00, à taxa composta de 10%am, para que o mesmo produza de juro R$ 11.585,00 ? R. 3meses 2)Qual o tempo necessário para que um capital, aplicado à taxa composta de 20% aa, duplique de valor? R. 3a 9m 18d 3) O preço de um objeto é R$ 1.200,00, podendo esse valor ser pago daqui a 3 meses. Na compra desse objeto, a vista, dá-se um desconto de 15%. Qual a taxa de juro composto envolvida nessa operação? R.≅ 5,6 4) Um investidor aplicou um capital à taxa de juro composto de 4%a.m. e, no final de n meses, produziu um montante igual a 1,48 de si mesmo. Qual o valor de n? Resp. ≅ 10m 5) Em 1999, depositei R$ 18.000,00 a juro composto e recebi após 3 meses R$31.104,00. Quanto receberia se tivesse aplicado esse mesmo capital, à mesma taxa, por 8 meses? Resp. R$ 77.396,70 6) Em 2000, depositei R$ 3000,00 a juro composto e recebi, após 4 meses, R$8.568,30. Por quanto tempo deveria aplicar esse capital, à mesma taxa, para obter R$ 18.824,55? Resp. 7 meses 7)Um objeto custa, a vista, R$ 2.000,00. Na compra a prazo, dá-se R$ 700,00 de entrada e mais um pagamento de R$ 1.800,00 para 60 dias. Qual a taxa mensal de juro composto envolvida nessa operação? Resp. ≅ 17,67% 8) Uma pessoa aplicou, em um banco, R$ 100.000,00 no dia 01/03/01. No dia 01/06/01, foi ao banco verificar os resultados da aplicação e foi informada que os rendimentos de março, abril e maio foram baseados, respectivamente, nas taxas de 8%, 10%¨e 12%. Qual o montante dessa aplicação? Resp. R$133.056,00 9) Apliquei certa quantia em um banco que me remunerou, nos 4 primeiros meses, à taxa composta de 8%am e, nos 3 meses seguintes, à taxa composta de 15%am. No final dos 7 meses de aplicação, retirei o montante de 20.691,34. Qual era o meu capital inicial? Resp. R$ 10.000,00

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10) Apliquei R$ 74.000,00 em uma instituição financeira, com promessa de obtenção de juro de 7% no primeiro mês, 9%no segundo mês e 15% no terceiro mês. Quanto ganharei de juro no final dos 3 meses? Resp. R$25.252,13 11) Calcular o montante de um capital inicial de R$ 6.000,00, a juros compostos de 5% a.m., durante 6 meses. Resp. R$8.040,57 12)Calcular o montante para um capital inicial de R$10.000,00, a juros compostos de 4%a.m., durante 8 meses e 12 dias. Resp. R$13.902,00 13)Colocada em um banco, uma quantia rendeu o montante de R$40.000,00 a juros compostos de 2%a.m., durante 5 meses. Calcular essa quantia. Resp. 36.229,23 14) Um capital de R$ 7.500,00 aplicado durante 5 meses produziu um montante de R$ 9.500,00. Qual foi a taxa mensal aplicada? Resp. 4,84 %a.m. 15)Na porta de um grande banco, encontra-se um cartaz onde se lê " Aplique hoje R$1.788,80 e receba R$3.000,00 daqui 6 meses". Qual é a taxa mensal de juros que o banco está aplicando sobre o dinheiro investido? Resp. 9%am. 3.4 -TAXA DE JUROS Taxas Proporcionais Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade. Duas taxas proporcionais, quando aplicadas a um mesmo capital durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante no regime de juros simples. Em juros compostos, as taxas proporcionais não são equivalentes. Taxa Nominal

É uma taxa de juro simples. É expressa em período maior em relação a taxa de capitalização e proporcional a esta, isto é, a unidade de tempo a que se refere a taxa não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.

Quando uma taxa for enunciada desta forma, para que a mesma seja aplicável às fórmulas com as quais trabalhamos, devemos primeiramente transformá-la em taxa efetiva utilizando o critério da proporcionalidade, fazendo coincidir a unidade de tempo da taxa com a unidade de tempo do período de capitalização. Exemplos: 24% ao ano, capitalizado mensalmente ou 2% ao mês. 6% ao mês, capitalização diária ou 0,2% ao dia ( 1 mês com 30 dias)

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Taxa efetiva

É a taxa efetivamente paga. É a taxa de capitalização ou toda e qualquer taxa equivalente a esta, isto é, a unidade de tempo da taxa coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização, ou seja, a taxa efetiva é a taxa por período de capitalização. Quando o período de capitalização não é mencionado, fica subentendido que o mesmo coincide com o período de tempo da taxa. Exemplo: Um banco oferece empréstimos a taxa de 72% a.a. em capitalização mensal. Qual a taxa efetiva anual cobrada pelo banco? Taxas Equivalentes Duas taxas são ditas equivalentes quando, embora referidas a unidades de tempo diferentes, aplicadas sobre o mesmo capital, durante o mesmo período, produzem o mesmo valor. Elementos Notação Taxa que quero calcular iq

Taxa que tenho it Unidade da taxa que quero calcular q Unidade da taxa que tenho t

Cálculo da taxa equivalente: 1)1( −+= t

q

tq ii

Exemplos: 1)Suponha as taxas de 10% ao mês e 33,10% ao trimestre. Considere o capital de R$20.000,00 aplicado durante 3 meses a essas taxas. Determine os montantes. 2)Encontrar a taxa anual de juro composto , equivalente a 10% as. 3)Qual a taxa anual equivalente à 1,5% am? 4)Qual a taxa mensal equivalente a 38% a.t.?

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Taxa acumulada Tendo-se as taxas i1, i2,...,in, a taxa acumulada é obtida através da seguinte expressão de cálculo:

iac = ( 1+ i1).(1+i2 )...(1+in) – 1 onde iac é a taxa acumulada e as taxas i1, i2,...,in são unitárias. Exemplo: Uma mercadoria teve, em 3 meses os seguintes aumentos: 12%, 8% e 10%. Qual a taxa acumulada ( total ) de aumento? Taxa Média im= [ ( 1 + i1)(1 + i2)...(1+ in)]1/n – 1 Exemplo: Um capital ficou empregado durante um ano, sendo nos três primeiros meses a taxa de 3,5% a.m., nos três seguintes a taxa de 4,2% e nos seis últimos a taxa de 5% a.m.. Qual a taxa média mensal de emprego nos 12 meses? Taxa real Em período inflacionário devemos considerar uma taxa de inflação como parte componente da taxa efetivamente recebida numa aplicação. Sendo: i - a taxa efetiva ij - a taxa de inflação ir – a taxa real tem-se ir = ( 1+ i ) -1 (1+ ij ) Exemplo:

Um trabalhador ganhou um aumento de 30% em um período de inflação 23%. Qual é seu aumento real?

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EXERCÍCIOS PARA RESOLVER 1) Encontrar a taxa mensal de juro composto, equivalente a 9,2727% a.t. Resp. 3%am 2)Qual a taxa efetiva anual, relativa á taxa de 36%a.a., com capitalização mensal? Resp. 42,6% 3) As cadernetas de poupança pagam, além da correção monetária, juro á taxa nominal de 6%aa, com capitalização mensal. Pergunta-se: a) Qual a taxa efetiva mensal? Resp. 0,5% am b) Qual a taxa efetiva anual? Resp. 6,1678% aa 4) Uma instituição financeira empresta dinheiro a 96%aa. adotando a capitalização mensal de juro. Qual seria o montante a ser pago por um empréstimo de R$45.000,00 feito por 1 ano? Resp. R$ 113.317,65 5) Encontre a taxa anual de juro composto, equivalente a: a) 40% as b) 30%at Resp. a) 96%aa b) 185.61%aa 6) Encontre a taxa de juro diária, equivalente a 33,19%aa. Resp. 0.079% ad 7) Um investidor está indeciso se aplica uma quantia em dinheiro disponível no banco A, que oferece a taxa efetiva composta de 2%am, ou no banco B, que oferece 27%aa, também efetivos de juro composto. Qual dos dois bancos oferece melhor oportunidade de investimento? Resp. Banco B 8)Uma instituição financeira propõe a um cliente o empréstimo de uma certa quantia à taxa de juro composto de 120%aa, com capitalização mensal. Pergunta-se: a) Qual a taxa efetiva mensal a ser paga pelo cliente? Resp. 10%am b) Qual a taxa efetiva anual a ser paga pelo cliente? Resp. 213,84%aa 9)A importância de R$40.000,00 foi aplicada em um banco que remunera seus clientes à taxa de 108%aa, com capitalização semestral, por um período de 2 meses. Qual o montante relativo a essa aplicação? Resp. R$ 46.192,00 10)Quanto se deve depositar hoje, em um banco que paga 84%aa com capitalizações trimestrais, para que ao final de 15 meses se tenha um montante de R$ 25.937,42? Resp. R$ 10.000,00

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11) Um empréstimo foi feito a uma taxa de 32% a.a.. Sabendo que a inflação nesse ano foi de 21%, calcule a taxa real anual. Resp. 9,09% 12) Uma pessoa precisa de R$10.000,00 por 2 anos. Oferecem-lhe o dinheiro nas seguintes condições: a) juros nominais de 5%a.a. capitalizados trimestralmente; b) juros nominais de 5,375%a.a., capitalizados semestralmente; c) juros simples de 5,5%a.a.. Qual é a melhor oferta? Justifique. 13) O Sr. Pedro aplicou R$16.000,00 e resgatou R$17.789,74 no final de 3 meses. Se a inflação neste período foi de 2% no primeiro mês, 1,5% no segundo mês e 1,2% no terceiro mês, calcular a taxa mensal de ganho real. 3.5 - DESCONTO COMPOSTO Da mesma maneira que os descontos simples, os descontos compostos podem ser de dois tipos: o desconto comercial composto e o desconto racional composto. No entanto, o desconto comercial composto quase não apresenta aplicação prática no Sistema Financeiro Brasileiro, razão pela qual será não será abordado neste capítulo, dedicando a maior parte desta aula ao desconto racional composto.

Desconto Racional Composto O desconto racional composto, relativo a um dado título de crédito, é a diferença entre o valor futuro e o valor atual deste, os quais são determinados com base no sistema de capitalização composta. N = A ( 1+ i )n A = N( 1 + i )-n d = N [ 1- (1+ i )-n ] Onde: N = valor nominal A = valor atual racional i = taxa de desconto composto n = prazo de antecipação do título d = desconto racional composto Exemplo1: Encontrar o desconto racional composto, concedido no resgate de um título de R$ 50.000,00, recebido 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de 3%am. Resolução: N = 50.000 i = 3% am = 0,03am n=2 d = ?

d = N [ 1- (1+ i )-n ] ⇒ dc = 50.000 [ 1 - ( 1 + 0,03)-2] dc = 50.000 . 0,057404 dc = R$ 2.870,2

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EXERCÍCIOS PARA RESOLVER 1) Por ter pago uma dívida de R$ 300.000,00, 4 meses antes de seu vencimento, uma pessoa obteve um desconto de R$ 22.846,50. Qual a taxa de desconto racional envolvida nessa operação? Resp. 2%am. 2) Uma indústria obteve um empréstimo para ser pago, em um único pagamento de R$2.000.000,00, após 1 ano. Decorridos 10 meses, a diretoria resolveu liquidá-lo. Qual o desconto racional a que fez jus se a taxa adotada na operação foi de 5% am? Resp. R$185.941,04 3)Com base na taxa composta de 10% am, um título foi descontado 3 meses antes de seu vencimento. Qual o valor desse título se o seu valor nominal é de R$ 400.000,00? Resp. R$ 300.525,92 4) Um título de R$ 350.000,00 , com vencimento em 10/04/01, foi descontado em 10/04/99 em um banco que cobra 14%aa, capitalizado semestralmente. Qual o valor recebido pelo título em 10/ 04/99? Resp. R$ 267.013,32 5) O valor de um título, descontado 6 meses antes de seu vencimento, reduziu-se de US$ 465,85 para US$ 350,00. Qual a taxa bimestral racional composta, adotada nessa operação? Resp. 10% ab 6) Encontre a taxa de juro composto adotada no desconto racional de um título de R$975.000,00, sabendo que o título sofreu um desconto de R$ 125.344,50 a 4 meses de seu vencimento. Resp. 3,5% am. 7) Por um título de R$ 1.000.000,00 paguei R$ 887.971,00. Qual o prazo de antecipação desse título, se o desconto racional composto deu-se a 2% am? Resp. 6 meses 8) Uma empresa obteve um empréstimo de R$ 150.000,00, à taxa composta de 7% ab, por 1 ano. Vinte dias antes do vencimento da dívida a diretoria propôs a liquidação dela. Que valor pagou pela dívida, se a taxa de juro composto nessa ocasião era de 10% ao bimestre e o desconto foi feito pelo critério racional? Resp. R$ 218. 070,22 3.6 - EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS O princípio de equivalência de capitais é fundamental e essencial a todas as abordagens aplicadas aos problemas de cálculo financeiro.Diz-se que dois capitais ou mais, com datas de vencimento determinadas, são equivalentes quando, levados para uma mesma data à mesma taxa de juros tiverem valores iguais

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EXEMPLO: Sejam dados os seguintes valores nominais que vencem nas datas estipuladas. Verificar se os capitais são equivalentes à taxa de 10% a.a., sob o critério de desconto racional composto. C1 = 1.100,00 n1 = 1 ano C2 = 1.210,00 n2 = 2 anos C3 = 1.331,00 n3 = 3 anos C4 = 1.464,10 n4 = 4 anos C5 = 1.610,51 n5 = 5 anos RESOLUÇÃO: Para verificar se os capitais são equivalentes, devemos fazer sua comparação em uma data focal, por exemplo, na data zero. Os valores atuais na data zero serão: Conclusão:___________________________________________________________

MUDANÇA DE DATA FOCAL

Vamos verificar se alterando a data focal do problema a propriedade de equivalência se mantém. Vamos escolher uma data focal arbitrária, por exemplo 3.

Verificamos que:_________________________________________________________ DEMONSTRA-SE QUE:

“Dois ou mais capitais equivalentes em uma data focal, sob o critério de desconto racional composto, serão equivalentes em qualquer outra data focal”. EXERCÍCIOS PARA RESOLVER EXERCÍCIOS 1. Um título no valor nominal de R$ 8.500,00, com vencimento para 5 meses, é trocado por outro de R$ 7.934,84, com vencimento para 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente de mercado é de 3,5% am, pergunta-se se a substituição foi vantajosa. Resp. Não

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2. Certa pessoa devia dois títulos a um banco: o primeiro de R$ 5.000,00 e o segundo, 6 meses após o primeiro, de R$ 7.000,00. Contudo, no vencimento da primeira parcela, propôs adiamento de sua dívida da seguinte maneira: pagamento de R$ 8.000,00 daí a 3 meses e o saldo em 9 meses. Se a taxa de juros considerada foi de 2,5% am, qual é o saldo restante? Resp. R$4.505,00 3. Na venda de um terreno, a Imobiliária XX Ltda oferece duas opções aos seus clientes: 1ª. R$ 300.000,00 de entrada mais duas parcelas semestrais, sendo a primeira de R$ 500.000,00 e a segunda de R$ 1.000.000 00; 2ª. Sem entrada, sendo o pagamento efetuado em quatro parcelas trimestrais: R$ 400.000,00 nas duas primeiras, e R$ 500.000,00 nas duas últimas.

Qual é a melhor alternativa para o comprador, considerando a taxa de mercado em 4%am? Resp. 1ª alternativa 4. Dois títulos, um de R$ 6.000,00 para 6 meses e outro de R$ 20.000,00 para 1 ano, são trocados por um único, vencendo em 9 meses. Se for adotada a taxa de desconto comercial de 3% am, qual deverá ser o valor desse novo título? Resp. R$ 24.859,19 5) Uma empresa deve para um banco R$ 124.000,00 com vencimento para hoje. Não podendo efetuar esse pagamento, propõe a troca do título por outros dois, sendo o primeiro de R$ 73.500,00, com vencimento para 30 dias, e o saldo restante, para 60 dias. Qual o valor desse saldo restante, se o banco em questão opera 5%am, pelo critério do desconto racional composto? Resp: 59.535,00 6. Uma dívida é resultante de três títulos: o primeiro, vencendo em 4 meses, no valor de R$1.000,00; o segundo, vencendo em 8 meses, no valor de R$ 1.500,00 e o terceiro, em 1 ano, no valor de R$ 2.000,00. O devedor, desejando liquidá-la rapidamente, propõe ao credor saldá-la em três pagamentos iguais, vencendo o primeiro em 1 mês, o segundo em 2 meses e o terceiro em 3 meses. A taxa de juros contratada é de 3% am. Qual é o valor dos pagamentos? Resp. R$1.228,64 7) Uma empresa devedora de R$ 221.490,00, com vencimento para 2 meses, deseja liquidar essa dívida em dois pagamentos iguais, sendo o primeiro hoje e o segundo em 1 mês. Qual o valor desses pagamentos, considerando a taxa de 7%am? Resp: 100.000,00 8) Uma empresa devedora de um título de R$10.000,00 vencível no final de 6 meses, propõe a substituição deste título por dois novos títulos, de mesmo valor nominal, vencíveis no final de 2 e 4 meses respectivamente. Se a transação é realizada a taxa de 120%aa. em capitalização mensal, qual o valor dos novos títulos? Resp: 3.739,58 cd

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4 – FLUXO DE CAIXA – RENDAS 4.1 FLUXO DE CAIXA

Caixa, na Contabilidade, é uma conta que serve para indicar o valor dos recursos disponíveis que poderão ser movimentados de forma extremamente rápida para efetuar pagamentos ou que são recebidos. A esta entrada e saída de dinheiro de uma determinada empresa, pessoa jurídica ou mesmo de uma pessoa física damos o nome de fluxo de caixa. Fluxo nos indica a movimentação de recursos e Caixa o local onde o dinheiro é guardado dentro da empresa. Na Contabilidade o Fluxo de Caixa está relacionado ao movimento de recursos na conta Caixa, sendo, inclusive estudado de forma a preencher o Demonstrativo de Fluxo de Caixa, que analisa as variações desta importante conta. Na Matemática Financeira o Fluxo de Caixa será uma mera forma de representar os movimentos de recursos em determinada situação financeira, e você mesmo poderá criar sua própria representação.

Podemos resumir o conceito do fluxo de caixa como sendo a forma de representar graficamente as entradas e saídas de dinheiro durante um certo intervalo de tempo através de uma linha horizontal, de modo que, as entradas serão representadas com setas perpendiculares ao eixo horizontal com sentido para cima e as saídas com setas perpendiculares ao eixo horizontal com sentido para baixo.

EXEMPLOS:

1- João contraiu um empréstimo de R$100,00 no Banco X, e pagará R$ 108,00 daqui a dois meses. Então o fluxo de caixa será:

De acordo com o ponto de vista do João:

Recebeu R$100,00 do banco Terá que pagar, passados dois meses, R$108,00 ao banco

Entrada de dinheiro Desembolso

Seta para cima Seta para baixo

Esboce o diagrama

Ponto de vista do Banco X:

Entregou R$100,00 ao João

Será ressarcido do empréstimo, dentro de dois meses, de R$108,00 pelo João.

Saída de dinheiro Entrada de dinheiro

Seta para baixo Seta para cima

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2 - Um carro que custa R$ 50.000,00 é vendido a prazo, por cinco prestações mensais de R$12.000,00, com a primeira prestação vencendo um mês após a compra.

Então do ponto de vista do vendedor temos:

3 – Os gastos anuais para operação e manutenção de certo tipo de caminhão são de R$6.000,00 para o primeiro ano e, sob certas condições específicas de operação que existe na empresa, sofrem um acréscimo de R$800,00 por ano nos primeiros 5 anos de operação. O custo inicial do caminhão é de R$80.000,00 . O valor estimado após 5 anos de uso é de R$62.000,00 e após 4 anos é de R$69.700,00. PENSE!!! MONTE OS FLUXOS PARA AS ALTERNATIVAS POSSÍVEIS

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4.2 RENDAS Renda é um conjunto de pagamentos (ou depósitos) realizados em épocas distintas, destinados a amortizar uma dívida ou constituir um fundo de reserva. As rendas certas ou também chamadas séries periódicas uniformes podem ser divididas em séries postecipadas, séries antecipadas e séries diferidas. As séries postecipadas são aquelas em que os pagamentos ocorrem no fim de cada período e não na origem, por exemplo, pagamentos de fatura de cartão de crédito. Nas séries antecipadas, os pagamentos são feitos no início de cada período respectivo, financiamentos com pagamento à vista. Nas séries diferidas, o período de carência constitui-se em um prazo que separa o início da operação do período de pagamento da primeira parcela, por exemplo, promoções do tipo “ compre hoje e comece a pagar daqui a x dias. “

PERÍODO DA OCORRÊNCIA

*Postecipada *Antecipada *Diferida

PERIODICIDADE

*Periódicos *Não periódicos

DURAÇÃO

*Limitados ( finitos) *Indeterminados (infinitos/ perpétua)

VALORES

*Constantes *Variáveis

VALOR ATUAL DE UMA RENDA O valor atual ou presente valor de uma renda é igual a soma dos valores atuais de seus termos (pagamentos). Seja uma renda unitária com n termos. Sendo o valor atual de uma renda a soma dos valores atuais de seus pagamentos, temos: PV = P(1 + i )-1 + P(1 + i )-2 +P(1 + i )-3 + . . . + P(1 + i )-n

PV= P [(1 + i )-1 + (1 + i )-2 + (1 + i )-3 + . . . + (1 + i )-n] Como a seqüência dos valores atuais representa uma P.G. (progressão geométrica), decrescente, em que: A1 = (1 + i )-1 e q = (1 + i )-1 e lembrando que a soma dos termos de uma P.G. é

PV

0 1 2 3 . .......................... n

0 P P P. .......................... P [1+i]-1

[1+i]-2 [1+i]-3

.

. [1+i]-n

41

-1 -nn n -n1

n -1 n

(1 i) (1 i) 1a (q 1) (1 i) 1 1 (1 i)S ou

q 1 (1 i) 1 i(1 i) i

+ + −− + − − + = = ⇒

− + − +

Convencionaremos que a soma dos n primeiros termos dessa PG será indicada

por n,ia ou n i

a que se lê: a , n cantoneira i . n

n n i

(1 i) 1a

i(1 i)

+ −=

+

Assim, retornando ao cálculo, temos:

PV = P . a n_

| i com an_

| i = 1 1− +−( )i

i

n

onde PV= Presente valor ( valor financiado) , P = valor da prestação, i = taxa de juro e n número de prestações.

Classificação das rendas periódicas 1-Renda Imediata : É a renda em que os pagamentos ocorrem imediatamente após cada período. ( No fim de cada período) Exemplo: Uma casa comercial oferece uma certa mercadoria em 12 pagamentos mensais de R$500,00 cada, sendo 10% a.m. a taxa de juro cobrada no financiamento, qual é o valor desta mercadoria? 2- Renda Antecipada: É a renda em que os pagamentos ocorrem no início de cada período. Exemplo: Uma casa comercial vende um televisor em seis pagamentos mensais de R$180,00 cada, sendo primeiro no ato da compra ( 1+ 5). Se a taxa de juro cobrada no financiamento é de 12% a.m., qual o valor do televisor à vista? 3- Diferida ou carência: É a renda em que o primeiro período ocorre após um determinado número de períodos. Exemplo: Uma empresa comprou uma máquina e financiou o seu valor em 6 prestações mensais de R$ 15.000,00 cada, com três meses de carência. Se a taxa cobrada no financiamento é de 8%a.m., qual o valor da máquina à vista? OBS: Calcula-se inicialmente o PV das seis prestações na época 3 ( final da carência). Este valor passa a ser o FV na época 3. Calcula-se a seguir o PV na época zero.

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FUTURO VALOR DE UMA RENDA (CAPITALIZAÇÃO) De um modo geral, o estudo de capitalização pretende responder à seguinte questão: quanto se deve capitalizar por período, a fim de que, após algum tempo, se tenha um certo capital. Há muitas formas de se capitalizar, mas uma particularmente interessante é aquela em que as parcelas capitalizadas têm o mesmo valor nominal e a capitalização se inicia ao final do primeiro período. Seja uma renda unitária com n termos:

FV 0 1 2 n-2 n-1 n P P . . . P P P [1 + i]

[1 + i]2

. . . [1 + i]n-2 [1 + i]n-1 Essa configuração mostra que FV é a soma , na data focal n, dos valores nominais de todas as capitalizações P. Transportando então as capitalizações para a data focal n, temos: FV = P + P(1 + i) + P(1 + i)2+ P(1 + i)3+ . . .+ P(1 + i)n-1 ⇒⇒⇒⇒ FV = P[(1+ i)+(1+ i)2+(1+ i)3+ . +(1+ i)n-1 ]

Como a seqüência representa uma PG crescente, em que: A1= 1 e q = (1 + i) a soma dos termos da PG é:

n

n

(1 i) 1S

i

+ −=

Convencionaremos que essa soma Sn será representada por n i

S .

Assim,

FV = P.n i

S Sn_

| i= (1+i)n -1 i Onde, FV = futuro valor ( soma atualizada na data n) P = valor nominal das parcelas,

n = número de capitalizações e i e a taxa de juro.

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Exemplo1: Certa pessoa deposita R$2.000,00 no final de cada mês, numa instituição financeira. Qual o saldo da conta no final de um ano, se a taxa de juro é de 3,5% a.m.?

Exemplo2: Depositando-se R$ 500,00 no início de cada mês, durante dois anos, numa instituição financeira que credita juro mensalmente a taxa de 4% a.m., qual o saldo da conta no final dos dois anos?

______________________________________________________________________

EXERCÍCIOS PARA RESOLVER 1) Uma mercadoria é vendida, a prazo, com uma entrada de R$ 500,00 e mais 5 prestações mensais iguais de R$ 120,00. Qual o preço à vista dessa mercadoria, se a loja aplica nessa venda a taxa composta de 7% a.m.? R. R$ 992,02 2) Uma câmara de vídeo custa, à vista, R$ 1.200,00. A prazo, esta câmara pode ser adquirida em três prestações mensais iguais, sem entrada, à taxa de juro composto de 3%a.m. Qual o valor nominal das prestações? R. R$ 424,24 3) Um automóvel à vista é oferecido por R$ 20.000,00, será ofertado a prazo, com uma entrada de R$ 4.000,00 e o restante em 24 prestações iguais. Qual o valor dessas prestações, se a taxa composta é de 5% a.m.? R. R$ 1.159,54 4) Uma mercadoria foi financiada dando-se uma entrada de R$ 300,00 e mais 4 parcelas mensais iguais de R$ 200,00, à taxa composta de 10% a.m. Qual o valor a vista dessa mercadoria? R. R$ 933,97 5) Uma empresa compra uma máquina pagando R$ 40.000,00 no ato e financiando o restante da seguinte maneira: 12 prestações mensais de R$ 20.000,00 cada, no primeiro ano e 12 prestações mensais de R$ 30.000,00 cada, no segundo ano. Qual o valor da máquina à vista, se a taxa de juro cobrada no financiamento é de 5% a.m.? R. R$ 365.326,73 6) Ao comprar um carro, uma pessoa financia em 12 prestações mensais de R$ 1.500,00 cada, com um reforço (pagamento balão) de R$ 5.000,00 no vencimento da sexta prestação. Qual o valor do carro à vista se a taxa de juro é de 10,4 %a.m. ? R. R$ 12.785,00

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7) Uma casa vende um eletrodoméstico, cujo preço à vista é R$700,00 em seis pagamentos mensais iguais, sendo primeiro na época da compra (1 + 5). Se a taxa de juro cobrada no financiamento é 11% a.m., qual deverá ser o valor dos pagamentos? R. R$ 149,07 8) Que empréstimo pode ser amortizado em 12 prestações mensais de R$ 200,00 cada, se a taxa de juro do financiamento é 9%a.m.? R. R$1.432,15 9) Uma casa comercial vende um refrigerador em seis pagamentos mensais de R$ 140,00 cada, sendo o primeiro no ato da compra. Qual o valor do refrigerador à vista se a taxa de juro cobrada no financiamento é 8%a.m.? R. R$ 698,98 10)Uma empresa toma um empréstimo para ser amortizado em 24 prestações mensais de R$ 50.000,00 cada, com um ano de carência. Calcular o valor do empréstimo, se a taxa de juro do financiamento é de 6% a.m.? R. R$ 311.857.16 11) Ao comprar uma máquina, uma empresa paga R$ 50.000,00 no ato e financia o restante em 12 prestações mensais de R$ 6.000,00 cada, sendo que juntamente com a sexta prestação um reforço de R$50.000,00. Qual o valor da máquina à vista, se a taxa de juro cobrada no financiamento é de 7%a.m.? R. R$130.973,20 12) Uma empresa financia o valor de uma máquina, à taxa de 7,5%a.m., com carência de 4 meses, para ser amortizado em 12 prestações mensais de R$8.000,00 cada, pagando ainda, a título de reforço, R$ 20.000,00 no vencimento da 4ª prestação e R$30.000,00 no vencimento da 8ª prestação. Calcular o valor da máquina à vista. R. R$70.147,10 13) Qual o valor da prestação mensal capaz de amortizar um empréstimo de R$ 50.000,00, em 10 pagamentos iguais à taxa de 4,5%a.m.? R. R$ 6.318,94 14)Uma casa comercial vende um eletrodoméstico, cujo preço à vista é R$ 520,00, em 5 pagamentos mensais iguais, sendo o primeiro no ato da compra ( 1+ 4). se a taxa de juro cobrada no financiamento é de 9,5% a.m., qual deverá ser o valor dos pagamentos? R. R$ 123,68 15) Uma empresa solicita numa instituição financeira um empréstimo de R$720.000,00 para ser pago com carência de um ano e amortizado em 12 prestações mensais iguais. Caso seja concedido o financiamento, qual seria o valor das prestações, se a taxa do financiamento for de 1,5%a,m. R. R$ 78.922,27 16) Seu João depositou R$ 210,00, no final de cada mês, durante três anos consecutivos, numa instituição financeira que credita juro mensalmente. Se a taxa de juros foi 2% a.m., qual o saldo da conta no final dos três anos? R. R$ 10.918,82 17) Depositando-se R$ 300,00 no início de cada mês, numa instituição que credita juro mensais à taxa de 2,5%a.m., qual o montante constituído no final de dois anos? R. R$9.947,33

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18) Desejando constituir uma poupança, uma pessoa deposita, no final de cada mês, R$100,00 durante dois anos consecutivos. Qual será o saldo da conta no final do terceiro ano, se a taxa de juro é de 4 % a.m.? R. R$ 6.257,25 19) Uma empresa, com a finalidade de constituir um fundo de reserva, deposita no início de cada mês a importância de R$20.000,00, durante um ano, numa instituição financeira que credita juro à taxa de 2%a.m.. Qual o saldo da conta no final do terceiro ano? R. R$ 440.079,10 20) Que importância se deve depositar no final de cada mês, durante oito meses, para constituir uma poupança de R$ 2.400,00 se a taxa de juro é de 3,8%a.m.? R. 262,33 21) Uma pessoa deseja comprar um carro por R$ 40.000,00 , a vista , daqui a 12 meses. Admitindo-se que ela vá poupar uma certa quantia mensal que será aplicada em letras de câmbio rendendo 2,2%a.m. de juros compostos, determinar quanto deve ser poupado mensalmente. Resp. R$2.949,00 22) Um fogão custa, à vista R$ 350,00. Considerando que o mesmo tenha sido comprado em um estabelecimento comercial que cobra uma taxa de juros composta de 10% ao mês e financiado em 5 vezes iguais, determine o valor de cada pagamento supondo que: a)O primeiro seja efetuado no ato da compra. b)O primeiro seja efetuado 1 mês após a compra. c)Tenha sido comprado com 4 meses de carência. (modo postecipado) 23) O gerente financeiro de uma loja deseja estabelecer coeficientes de financiamento por unidade de capital emprestado. O resultado da multiplicação do coeficiente pelo valor financiado é igual à prestação mensal. Sabendo-se que a taxa de juros da loja é 4%a.m., quais são os coeficientes unitários nas hipóteses de prazos abaixo? a) 6 meses b) 12 meses c) 18 meses d) 24 meses 24) Um tapete persa é vendido por R$ 15.000,00 a vista. Pode ser adquirido também em prestações mensais de R$ 885,71 a juros de 3% a.m. Sabendo que as prestações vencem a partir do mês seguinte ao dia da compra, pede-se para calcular o número de prestações.

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5 - EMPRÉSTIMOS - SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Os empréstimos, de modo geral, se assemelham aos financiamentos, pois, em ambos os casos, existe o pagamento das prestações. No caso do crédito direto ao consumidor, uma mercadoria fica com o cliente, o qual paga por ela um financiamento em forma de prestações e, no caso do empréstimo, o cliente recebe um montante em dinheiro, o qual também será pago em prestações. As diferenças entre os financiamentos usuais e os sistemas de empréstimo só se acentuam quando lidamos com empréstimos a longo prazo. Geralmente um empréstimo é considerado a longo prazo quando o seu período de financiamento for superior a 3 anos. São exemplos os financiamentos da casa própria, os financiamentos concedidos por órgãos internacionais ( Banco Mundial, BIRD etc.). Como nesse tipo de financiamento os prazos podem ser muito longos ( 10 anos, 20 anos,...), certas precauções são necessárias, a fim de viabilizar o pagamento da dívida. Assim, se o empréstimo se destina à compra de equipamentos para montagem de uma indústria, se faz necessária uma carência . Se o empréstimo destina-se ao financiamento de uma casa, é necessário que haja um limite máximo de comprometimento da renda do mutuário. Os empréstimos a longo prazo para pessoas físicas pressupõem a existência de um seguro que cubra o credor, no caso, por exemplo, de morte do devedor, de inadimplência etc. O sistema de amortização de empréstimos, consiste no pagamento de valores em épocas pré determinadas. Estes pagamentos, denominados prestações, compõe-se de duas parcelas: as amortizações (parcelas do capital emprestado) e os juros (calculados sobre o saldo devedor do empréstimo). A decisão sobre a porcentagem da prestação que cobrirá uma ou outra parte depende do modelo adotado para o empréstimo. O que difere um sistema de amortização do outro é, basicamente, a maneira como são obtidas as parcelas. Os sistemas de amortização de empréstimos mais utilizados são: a) Sistema Francês de Amortização (PRICE) b) Sistema de Amortização Constante (SAC) c) Sistema de Amortização Crescente ( SACRE) d) Sistema Americano de Amortização 5.1 - Sistema Francês de Amortização (PRICE). Neste sistema as prestações são constantes. As amortizações são progressivas, de acordo com a capitalização composta. Utiliza-se para o seu cálculo a função an,i

-1. O Sistema Price de Amortização é um caso particular do Sistema Francês, mas , as vezes, eles são tratados como uma única coisa. Na verdade, a diferença entre os dois sistemas, é que no sistema Price a taxa é sempre nominal enquanto que no sistema Francês é sempre a taxa efetiva no período de pagamento. Ex. Uma empresa contraiu um empréstimo de R$ 500.000,00 para ser amortizado, pelo sistema Francês, em 4 prestações trimestrais iguais. Se a taxa de juros contratada for 10%a.t., construir a planilha. Inicialmente calcula-se o valor das prestações trimestrais, considerando uma renda uniforme.

40,735.157169865,3

00,000.500

104

===¬

a

PVP , Ou seja, serão 4 prestações trimestrais iguais.

47

O juro de cada prestação é calculado, sempre, sobre o saldo devedor do empréstimo, existente no final do período anterior. O valor da amortização, de cada prestação, é calculado pela diferença entre o valor da prestação e o valor dos juros respectivos. Por sua vez, o saldo devedor do empréstimo é calculado levando-se em conta a diferença existente entre o saldo devedor do período anterior e o valor da amortização do período corrente. PLANILHA

n PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO S.DEVEDOR 0 500.000,00 1 157.735,40 50.000,00 107.735,40 392.264,60 2 157.735,40 39.226,46 118.508.94 273.755,66 3 157.735,40 27.375,57 130.359,83 143.395,83 4 157.735,40 14.339,57 143.395,83 0,00

5.2 - Sistema de Amortização Constante (SAC). Neste sistema as amortizações periódicas são constantes e são iguais ao valor do empréstimo dividido pelo número de prestações. Ex. Uma empresa contraiu um empréstimo no valor de R$ 500.000,00 para ser amortizado, através do sistema de amortizações constantes, em quatro prestações trimestrais. Se a taxa de juro contratada for de 10%a.t., construir a planilha. Calcula-se inicialmente o valor das amortizações trimestrais:

00,000.1254

00,000.500===

n

PVP , então teremos

4 amortizações trimestrais de R$125.000,00. O juro de cada prestação é calculado, sempre, sobre o saldo devedor do empréstimo, existente no final do período. O valor de cada prestação é calculado somando-se o juro do período com o valor da amortização. Por sua vez o saldo devedor é calculado levando-se em conta a diferença existente entre o saldo devedor do período anterior e o valor da amortização do período corrente.

n PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO S.DEVEDOR 0 500.000,00 1 175.000,00 50.000,00 125.000,00 375.000,00 2 162.500,00 37.500,00 125.000,00 250.000,00 3 150.000,00 25.000,00 125.000,00 125.000,00 4 137.500,00 12.500,00 125.000,00 0,00

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5.3 – Sistema de Amortização Crescente ( Sacre). Este sistema foi adotado pelo SFH na liquidação de financiamentos da casa própria. O Sacre é baseado no SAC e no PRICE, já que a prestação é igual à média aritmética calculada entre as prestações desses dois sistemas, nas mesmas condições de juros e prazos. Aproximadamente até a metade do período de financiamento, as amortizações são maiores que as do Price. Como decorrência disso, a queda do saldo devedor é mais acentuada e são menores as chances de ter resíduo ao final do contrato, como pode ocorrer no Price. Uma das vantagens do Sacre é que suas prestações iniciais são ligeiramente mais altas que as do Price. Contudo, após a metade do período, o mutuário sentirá uma queda substancial no comportamento de sua renda com o pagamento das prestações. OBS: O Sacre também é conhecido como Sistema Misto. ( Veja anexo III) Ex. Uma empresa contraiu um empréstimo no valor de R$ 500.000,00 para ser amortizado, através do sistema de amortizações crescente, em quatro prestações trimestrais. Se a taxa de juro contratada for de 10%a.t., construir a planilha.

n PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO S.DEVEDOR 0 500.000,00 1 166.367,70 50.000,00 116.367,70 383.632,83 2 160.117,70 38.363,23 121.754,47 261.877,83 3 153.867,70 26.187,78 127.679,92 134.197,91 4 147617,70 13.419,79 134.197.91 0,00

5.4 - Sistema Americano de Amortização. Neste sistema o pagamento do principal (empréstimo) é feito de uma só vez, no vencimento, enquanto os juros são pagos no final de cada período financeiro. Ex. Uma empresa contraiu um empréstimo no valor de R$ 500.000,00 com prazo de um ano, para ser liquidado através do Sistema Americano à taxa de 40%a.a., em capitalização trimestral (10%a.t.). Construir a planilha. PLANILHA

n PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO S. DEVEDOR 0 500.000,00 1 50.000,00 50.000,00 - 500.000,00 2 50.000,00 50.000,00 - 500.000,00 3 50.000,00 50.000,00 - 500.000,00 4 550.000,00 50.000,00 500.000,00 0,00

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5.5 - CORREÇÃO MONETÁRIA SOBRE FINANCIAMENTOS Quando um financiamento é realizado com correção monetária corrige-se, período a período, o saldo devedor do empréstimo e o valor da prestação de acordo com o índice inflacionário do período. Os juros de cada período serão calculados sempre sobre o saldo devedor corrigido. Ex. Uma empresa contraiu um empréstimo de R$ 200.000,00 para ser amortizado, pelo sistema Francês em quatro prestações mensais, corrigidas pela variação da TR, mais juro de 3%a.m. Sabendo-se que as variações foram de 5%, 4%, 4,5% e 5%, respectivamente, construir a planilha. Calcula-se, inicialmente, o valor das prestações mensais:

41,805.5371710,3

00,000.200

34

===¬a

PVP

Constitui-se, a seguir, as planilhas, primeiramente desconsiderando as correções e posteriormente com os valores corrigidos. PLANILHA

n PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO S. DEVEDOR 0 200.000,00 1 53.805,41 6.000,00 47.805,41 152.194,59 2 53.805,41 4.565,84 49.239,57 102.955,02 3 53.805,41 3.088,65 50.716,76 52.238,26 4 53.805,41 1.567,15 52.238,26 0,00

PLANILHA CORRIGIDA

n PRESTAÇÃO JUROS S.D.CORRIGIDO AMORTIZAÇÃO S.DEVEDOR 0 200.000,00 1 56.495,68 6.300,0 210.000,00 50.195,68 159.804,32 2 58.755,51 4.985,89 166.196,49 53.769,62 112.426,87 3 61.399,51 3.524,58 117.486,08 57.874,93 59.611,15 4 64.469,49 1.877,75 62.591,71 62.591,74 -0,03

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EXERCÍCIOS PRA RESOLVER 1) Um empréstimo de R$200.000,00 será pago pela tabela Price em quatro prestações mensais postecipadas. A juros efetivos de 10% a .m. . Construir a planilha de amortização.

n PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO S. DEVEDOR

2) Conforme exercício nº1, considerando agora um período de carência de 3 meses em que serão pagos unicamente os juros devidos.

n PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO S. DEVEDOR

OBS: O procedimento seguido é igual ao do exemplo anterior, com a diferença de que nos meses do período de carência a dívida não é amortizada, mas os juros devidos sobre o saldo devedor são pagos. A primeira prestação é paga logo ao término da carência. 3) Conforme exercício nº1, considerando agora um período de carência de três meses em que os juros são capitalizados e incorporados ao principal.

n PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO S. DEVEDOR

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4) Um empréstimo de R$200.000,00 será pago em três prestações mensais iguais consecutivas. Considerando uma taxa de juros nominal de 180% a .a. com capitalização mensal, construir a tabela de amortização. Quanto totalizou os juros pagos nos três meses?

n PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO S. DEVEDOR

5) Montar a planilha de amortização de um empréstimo com as seguintes características: valor do empréstimo de R$1.000.000,00; a) reembolso pela tabela Price em cinco pagamentos trimestrais com carência de três trimestres; b) juros nominais de 28% a.a. capitalizados trimestralmente; c) e os juros serão capitalizados e incorporados ao principal durante o período de carência.

n PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO S. DEVEDOR

6) Um financiamento de R$ 1.000.000,00 foi feito no sistema de amortizações constantes, a juro composto de 8% aa, e o pagamento será feito em 5 prestações anuais. Construir a planilha, arredondando os centavos.

n PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO S. DEVEDOR

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7) A fim de viabilizar a implantação de uma fábrica, foi feito um empréstimo de R$50.000,00 pelo sistema de amortizações constantes, mas com as seguintes particularidades: um prazo de carência de 2 semestres, durante os quais só pagarão os juros; pagamento das amortizações em 4 semestres; prazo total de financiamento correspondente a 3 anos. A taxa de juro composto acertada foi de 3% ao semestre. Construir a planilha. A primeira prestação é paga logo ao término da carência.

n PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO S. DEVEDOR

8) Uma financeira faz um empréstimo de R$138.000,00 a ser pago pelo Sistema de Amortização Misto em 6 parcelas mensais à taxa de juro de 6% ao mês. Monte a planilha de amortização.

n PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO S. DEVEDOR

9) Um automóvel, cujo preço à vista é de R$ 20.000,00, é financiado em 24 meses com juros de 1% ao mês pela Tabela Price. Pelo fato de estar usando a Tabela Price, posso afirmar que as prestações serão todas: a) iguais e, no início, a parcela de juros será menor do que a parcela de amortização do principal. b) iguais e, no início, a parcela de juros será maior do que a parcela de amortização do principal. c) iguais e, no início, a parcela de juros será igual do que a parcela de amortização do principal. d) diferentes e, no início, a parcela de juros será maior do que a parcela de amortização do principal. e) diferentes e, no início, a parcela de juros será menor do que a parcela de amortização do principal. R. a

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10) Meses S. Devedor Amortização Juros Prestação 0 10.000,00 0 0 0 1 8.374,52 2 83,75 3 5.074,64 1.658,15 67,33 4 3.399,91 1.674,73 50,75 5 6 0

Na tabela acima, que apresenta algumas células sem valores numéricos, os dados referem-se a um empréstimo bancário de R$ 10.000,00, entregues no ato e sem prazo de carência, à taxa de juros de 12% a.a., para pagamento em 6 meses pela tabela Price. Com relação a essa situação, julgue os itens abaixo. I - O valor da quinta prestação será superior a R$ 1.700,00. II - Imediatamente após ser paga a segunda prestação, o saldo devedor será inferior a R$ 7.000,00. III - O valor correspondente aos juros pagos na sexta prestação será inferior a R$ 20,00. Assinale a opção correta. a) Apenas o item I está correto. b) Apenas o item II está correto. c) Apenas os itens I e III estão corretos. d) Apenas os itens II e III estão corretos. e) Todos os itens estão corretos. R. e 11)Para responder às duas questões seguintes considere o enunciado abaixo: Um industrial, pretendendo ampliar as instalações de sua empresa, solicita R$ 200.000,00 emprestados a um banco, que entrega a quantia no ato. Sabe-se que os juros serão pagos anualmente, à taxa de 10% a.a., e que o capital será amortizado em 4 parcelas anuais, pelo Sistema de Amortização Constante(SAC). (a) valor da terceira prestação deverá ser: a) R$ 60.000,00 b) R$ 65.000,00 c) R$ 68.000,00 d) R$ 70.000,00 e) R$ 75.000,00 R. a (b)Os juros pagos por esse empréstimo deverão totalizar a quantia de: a) R$ 40.000,00 b) R$ 45.000,00 c) R$ 50.000,00 d) R$ 55.000,00 e) R$ 60.000,00 R. c

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INFLAÇÃO E AS TAXAS DE JUROS

Podemos conceituar como o aumento contínuo e generalizado no nível geral dos preços, ou seja, os movimentos inflacionários são dinâmicos e não podem ser confundidos com altas esporádicas de preços. O aumento persistente de preços é o que acaba por ocasionar perdas de poder aquisitivo para a população do País onde ocorre. É um fenômeno monetário perigoso, porque a elevação de um preço puxa a de outros, dando o pontapé inicial a uma bola de neve conhecida como hiperinflação.

As causas são diversas, mas normalmente resultam ou da emissão sem lastro de moeda (quando o governo precisa de dinheiro para pagar suas dívidas sem que tenha ocorrido um aumento nas atividades econômicas), ou do reajuste no câmbio (quando o governo é obrigado a desvalorizar sua moeda em relação à outra mais forte, em geral o dólar). No Brasil há três índices básicos de inflação: o IPC (medido pela Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas da Universidade de São Paulo, a Fipe), o INPC (do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, IBGE) e o IGP (Índice Geral de Preços, calculado pela Fundação Getúlio Vargas).

ÍNDICES DE PREÇOS

O termo "índice de preços" se refere a um número que permite acompanhar a evolução do preço de um determinado produto (ou uma cesta de produtos) no tempo. A taxa de inflação, tradicionalmente chamada por índice de inflação, expressa a variação de um número índice que é calculado a partir da média ponderada de preços de vários bens (previamente estabelecidos por um instituto de pesquisa). Neste sentido, o "câmbio" nada mais é do que a variação do preço de uma moeda estrangeira (em geral do dólar), podendo, igualmente, ser transformado em um número índice, cuja variação tradicionalmente é chamada por "variação cambial".

1-Índice IPC / FIPE

Índice de preços ao consumidor medido na cidade de S.Paulo com o universo de pessoas que ganham de 2 a 6 salários mínimos. A composição dos grupos de despesas para o cálculo do índice é o seguinte: Alimentação (30,81%), Despesas Pessoais (12,52%), Habitação (26,52%), Transportes (12,97%), Vestuário (8,65%), Saúde e Cuidados Pessoais (4,58%)e Educação (3,95%). O índice é calculado pela FIPE - uma instituição de pesquisa ligada à Faculdade de Economia e Administração da Universidade de São Paulo (USP) e foi criado pela Prefeitura do Município de S.Paulo com o objetivo de reajustar os salários dos servidores municipais.O período de coleta vai desde o primeiro dia de cada mês até o último dia do mesmo e a divulgação ocorre próximo ao dia 10 do mês subseqüente ao da coleta.

55

2-IGP (Índice Geral de Preços)

Existem dois tipos de IGP e ambos são calculados pela FGV (Fundação Getúlio Vargas).O primeiro é o IGP-M (Índice Geral de Preços do Mercado), cuja coleta de dados é efetuada entre o dia 21 do mês anterior ao dia 20 do mês de referência. A cada decêndio do período de coleta ocorrem divulgações de prévias. O IGP-M foi criado com o objetivo de se possuir um indicador confiável para as operações financeiras, especialmente as de longo prazo, sendo utilizado para correções de Notas do Tesouro Nacional (NTN) dos tipos B e C e para os CDB pós fixados com prazos acima de um ano. O segundo é o IGP-DI (Índice Geral de Preços - Disponibilidade Interna), se refere ao mês "cheio", ou seja, o período de coleta vai do primeiro ao último dia do mês de referência e a divulgação ocorre próxima ao dia 20 do mês posterior. O IGP-DI foi criado com o objetivo de balizar o comportamento de preços em geral na economia. Ambos tem a mesma estrutura e são compostos pelos seguintes sub-índices:

- Índice de Preços no Atacado (IPA) - onde entram preços praticados do mercado atacadista e representa 60% do IGP-DI. - Índice de Preços ao Consumidor (IPC) - a coleta de dados ocorre nas cidades de S.Paulo e Rio de Janeiro dentre as famílias que tem uma renda de 1 a 33 salários mínimos). Representa 30 % do IGP-DI. - Índice Nacional de Construção Civil (INCC) - onde são avaliados os preços no setor de construção civil, não só de materiais como de mão-de-obra. representa 10 % do IGP-DI.

3-INPC (Índice Nacional de Preços ao Consumidor)

Índice calculado pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) com o objetivo de balizar os reajustes de salário. O universo de pesquisa é composta de pessoas que ganham de 1 a 8 salários mínimos nas regiões metropolitanas do Rio de Janeiro, Porto Alegre, Belo Horizonte, Recife, São Paulo, Belém, Fortaleza, Salvador e Curitiba, além do Distrito Federal e do Município de Goiânia. A composição dos grupos de despesas para o cálculo do índice é o seguinte: Alimentação (33,10%), Colunistas de Residência (8,85%), Habitação (12,53%), Transportes e Comunicação (11,44%), Vestuário (13,16%), Saúde e Cuidados Pessoais (7,56%) e Despesas Pessoais (13,36%). O período de coleta vai do primeiro dia do mês ao último dia do mês de referência e a divulgação ocorre próxima ao dia 15 do mês posterior.

4-IPCA (Índice de Preços ao Consumidor Ampliado)

Índice calculado pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) com o objetivo de corrigir os balanços e demonstrações financeiras trimestrais e semestrais das companhias abertas.O universo de pesquisa é composta de pessoas que ganham de 1 a 40 salários mínimos nas regiões metropolitanas do Rio de Janeiro, Porto Alegre, Belo Horizonte, Recife, São Paulo, Belém, Fortaleza, Salvador e Curitiba, além do Distrito Federal e do Município de Goiânia. A composição dos grupos de despesas para o cálculo do índice é o seguinte: Alimentação (25,21%), Colunistas de Residência (8,09%), Habitação (10,91%), Transportes e Comunicação (18,77%), Vestuário (12,49%), Saúde e Cuidados Pessoais (8,85%) e Despesas Pessoais (15,68%). O período de coleta vai do primeiro dia do mês ao último dia do mês de referência e a divulgação ocorre próxima ao dia 15 do mês posterior.

56

TAXAS DE JUROS DO MERCADO FINANCEIRO

Selic: Sigla de Sistema Especial de Liquidação e Custódia. É um sistema computadorizado do Banco Central onde são registradas todas as operações de débitos e créditos feitas apenas entre bancos e demais instituições financeiras credenciadas. Seu funcionamento é parecido com o sistema de compensação de cheques só que para títulos públicos. É por meio dessas trocas que o governo consegue dinheiro emprestado dos bancos. Pelo Selic, portanto, é possível calcular a média dos juros que o governo paga aos bancos que lhe emprestam dinheiro. Essa média, que é a Taxa Over-Selic, serve de referência para o cálculo de todas as outras taxas de juros do País. Por isso ela é também chamada de taxa de juro básico.

TBF: Sigla para Taxa Básica Financeira.Criada com o objetivo de alongar o perfil das aplicações em títulos com uma taxa de juros de remuneração superior à TR. Sua metodologia de cálculo é idêntica à da TR, com a diferença fundamental de que não se aplica nela o redutor.

TJLP (Taxa de Juros de Longo Prazo): É a taxa usada para corrigir empréstimos feitos junto ao Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social (BNDES) por empresas com projetos industriais. Após várias alterações em sua metodologia de cálculo, hoje é calculado pela soma da expectativa de inflação brasileira para o período de um ano, mais chamado de “Risco Brasil”, ou seja, a remuneração sobre o capital que um investidor exigiria para deixar seu dinheiro aplicado.

TR (Taxa Referencial de Juros): É aquela que serve de referência nas transações financeiras realizadas no país. É calculada pelo Banco Central baseado em juros pagos pelos Certificados de Depósitos Bancários (CDBs) das trinta maiores instituições financeiras. Calculada a partir da remuneração mensal média dos RDB/CDB emitidos a taxas de mercado prefixadas, com prazo entre 30 e 35 dias, inclusive. Aplica-se um redutor a cada TBF obtido. Os valores do redutor são divulgados diariamente pelo Banco Central.

CDB (Certificado de Depósito Bancário): Documento que comprova que seu proprietário tem um depósito bancário na instituição financeira emissora. Pode ser comprado e vendido e rende juros.

57

ANEXO I

RENDIMENTOS DE CAPITAL ( Imposto de Renda )

Fundos de longo prazo e aplicações de renda fixa, em geral:

- 22,5% para aplicações com prazo de até 180 dias; - 20,0% para aplicações com prazo de 181 até 360 dias; - 17,5% para aplicações com prazo de 361 até 720 dias; - 15,0% para aplicações com prazo acima de 720 dias;

Fundos de curto prazo:

- 22,5% para aplicações com prazo de até 180 dias; - 20,0% para aplicações com prazo acima de 180 dias;

Fundos de ações:

- 15%;

Aplicações em renda variável:

- 0,005%;

Remessas ao Exterior: 25% (rendimentos do trabalho, com ou sem vínculo empregatício, aposentadoria, pensão por morte ou invalidez e os da prestação de serviços, pagos, creditados, entregues, empregados ou remetidos a não-residentes) e 15% (demais rendimentos de fontes situadas no Brasil); e

Outros Rendimentos: 30% (prêmios e sorteios em dinheiro), 20% (prêmios e sorteios sob a forma de bens e serviços), 1,5% (serviços de propaganda) e 1,5% (remuneração de serviços profissionais).

Fonte: http://www.receita.fazenda.gov.br/aliquotas/ContribFont.htm (07/02/2010)

58

ANEXO II

SALÁRIO MÍNIMO NACIONAL

Qual o aumento real do salário mínimo?

(Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Socioeconômicos

\

59

ANEXO III

No Sacre, conhecido também como Sistema Misto, as prestações decrescem de acordo com uma determinada progressão aritmética e podem ser calculadas usando-se as seguintes expressões:

*Valor da primeira prestação

PVin

qa

qPVP

in

++

−=

1)1(1

*Valor da razão da progressão aritmética ( corresponde ao decréscimo das prestações)

n

PViqr

××=

Dependendo do valor de q ( coeficiente variável por tipo de plano), o sistema de reembolso pode resultar no Sistema Price ( para q = 0 ) ou no SAC ( no caso de q = 1 ). O denominado Sacre é um caso particular em que q = 0,5. Nesse sistema, devido a ponderação 0,5, o valor das prestações, amortizações, juros e saldos devedores correspondem à média aritmética dos valores dos Sistema Price e SAC.

60

TABELAS FINANCEIRAS ( Modelos )

i

ia

n

in

−+−

=)1(1

/ (Presente valor)

i

n

9 9,25 9,5 9,75 10 10,25 10,5

1 0,917431 0,915332 0,913242 0,911162 0,909091 0,907029 0,904977 2 1,759111 1,753164 1,747253 1,741377 1,735537 1,729732 1,723961 3 2,531295 2,520059 2,508907 2,497838 2,486852 2,475947 2,465123 4 3,239720 3,222022 3,204481 3,187096 3,169865 3,152787 3,135858 5 3,889651 3,864551 3,839709 3,815122 3,790787 3,766700 3,742858 6 4,485919 4,452678 4,419825 4,387355 4,355261 4,323537 4,292179 7 5,032953 4,991010 4,949612 4,908752 4,868419 4,828605 4,789303 8 5,534819 5,483762 5,433436 5,383828 5,334926 5,286717 5,239188 9 5,995247 5,934793 5,875284 5,816700 5,759024 5,702238 5,646324

10 6,417658 6,347637 6,278798 6,211116 6,144567 6,079127 6,014773 11 6,805191 6,725526 6,647304 6,570493 6,495061 6,420977 6,348211 12 7,160725 7,071419 6,983839 6,897944 6,813692 6,731045 6,649964 13 7,486904 7,388027 7,291178 7,196304 7,103356 7,012286 6,923045 14 7,786150 7,677828 7,571852 7,468159 7,366687 7,267379 7,170176 15 8,060688 7,943092 7,828175 7,715862 7,606080 7,498757 7,393825 16 8,312558 8,185896 8,062260 7,941560 7,823709 7,708623 7,596221 17 8,543631 8,408143 8,276037 8,147207 8,021553 7,898978 7,779386 18 8,755625 8,611573 8,471266 8,334585 8,201412 8,071635 7,945146 19 8,950115 8,797778 8,649558 8,505317 8,364920 8,228240 8,095154 20 9,128546 8,968218 8,812382 8,660881 8,513564 8,370286 8,230909 21 9,292244 9,124227 8,961080 8,802625 8,648694 8,499126 8,353764 22 9,442425 9,267027 9,096876 8,931777 8,771540 8,615987 8,464945 23 9,580207 9,397736 9,220892 9,049455 8,883218 8,721984 8,565561 24 9,706612 9,517379 9,334148 9,156679 8,984744 8,818126 8,656616 25 9,822580 9,626891 9,437578 9,254377 9,077040 8,905329 8,739019 26 9,928972 9,727132 9,532034 9,343396 9,160945 8,984426 8,813592 27 10,026580 9,818885 9,618296 9,424506 9,237223 9,056169 8,881079 28 10,116128 9,902869 9,697074 9,498411 9,306567 9,121241 8,942153 29 10,198283 9,979743 9,769018 9,565751 9,369606 9,180264 8,997423 30 10,273654 10,050108 9,834719 9,627108 9,426914 9,233800 9,047442 31 10,342802 10,114516 9,894721 9,683014 9,479013 9,282358 9,092707 32 10,406240 10,173470 9,949517 9,733953 9,526376 9,326402 9,133672 33 10,464441 10,227432 9,999559 9,780368 9,569432 9,366351 9,170744 34 10,517835 10,276826 10,045259 9,822658 9,608575 9,402586 9,204293 35 10,566821 10,322037 10,086995 9,861192 9,644159 9,435452 9,234654 36 10,611763 10,363421 10,125109 9,896303 9,676508 9,465263 9,262131 37 10,652993 10,401301 10,159917 9,928294 9,705917 9,492302 9,286996 38 10,690820 10,435973 10,191705 9,957443 9,732651 9,516827 9,309499 39 10,725523 10,467710 10,220735 9,984003 9,756956 9,539072 9,329863 40 10,757360 10,496760 10,247247 10,008203 9,779051 9,559249 9,348292

61

i

ia

n

in

−+−

=)1(1

/ Presente Valor

i

n

10,75 11 11,25 11,5 11,75 12

1 0,902935 0,900901 0,898876 0,896861 0,894855 0,892857 2 1,718225 1,712523 1,706855 1,701221 1,695619 1,690051 3 2,454380 2,443715 2,433128 2,422619 2,412187 2,401831 4 3,119079 3,102446 3,085958 3,069614 3,053411 3,037349 5 3,719258 3,695897 3,672771 3,649878 3,627214 3,604776 6 4,261181 4,230538 4,200244 4,170294 4,140684 4,111407 7 4,750502 4,712196 4,674376 4,637035 4,600164 4,563757 8 5,192327 5,146123 5,100563 5,055637 5,011333 4,967640 9 5,591266 5,537048 5,483652 5,431064 5,379269 5,328250

10 5,951482 5,889232 5,828002 5,767771 5,708518 5,650223 11 6,276733 6,206515 6,137530 6,069750 6,003148 5,937699 12 6,570414 6,492356 6,415757 6,340583 6,266799 6,194374 13 6,835588 6,749870 6,665849 6,583482 6,502728 6,423548 14 7,075023 6,981865 6,890651 6,801329 6,713851 6,628168 15 7,291217 7,190870 7,092720 6,996708 6,902775 6,810864 16 7,486426 7,379162 7,274355 7,171935 7,071834 6,973986 17 7,662687 7,548794 7,437622 7,329090 7,223118 7,119630 18 7,821840 7,701617 7,584380 7,470036 7,358495 7,249670 19 7,965544 7,839294 7,716296 7,596445 7,479637 7,365777 20 8,095299 7,963328 7,834873 7,709816 7,588042 7,469444 21 8,212460 8,075070 7,941459 7,811494 7,685049 7,562003 22 8,318248 8,175739 8,037267 7,902685 7,771856 7,644646 23 8,413768 8,266432 8,123386 7,984471 7,849536 7,718434 24 8,500016 8,348137 8,200796 8,057822 7,919048 7,784316 25 8,577893 8,421745 8,270379 8,123607 7,981251 7,843139 26 8,648210 8,488058 8,332925 8,182607 8,036913 7,895660 27 8,711702 8,547800 8,389146 8,235522 8,086723 7,942554 28 8,769031 8,601622 8,439681 8,282979 8,131296 7,984423 29 8,820796 8,650110 8,485107 8,325542 8,171182 8,021806 30 8,867536 8,693793 8,525939 8,363715 8,206874 8,055184 31 8,909739 8,733146 8,562642 8,397951 8,238814 8,084986 32 8,947845 8,768600 8,595633 8,428655 8,267395 8,111594 33 8,982253 8,800541 8,625288 8,456193 8,292971 8,135352 34 9,013321 8,829316 8,651944 8,480891 8,315858 8,156564 35 9,041373 8,855240 8,675905 8,503041 8,336338 8,175504 36 9,066703 8,878594 8,697443 8,522907 8,354665 8,192414 37 9,089574 8,899635 8,716802 8,540723 8,371065 8,207513 38 9,110225 8,918590 8,734204 8,556703 8,385740 8,220993 39 9,128871 8,935666 8,749847 8,571034 8,398873 8,233030 40 9,145707 8,951051 8,763907 8,583887 8,410624 8,243777

62

i

iS

n

in

1)1(/

−+= Futuro Valor

i

n

0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75

1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 2 2,002500 2,005000 2,007500 2,010000 2,012500 2,015000 2,017500 3 3,007506 3,015025 3,022556 3,030100 3,037656 3,045225 3,052806 4 4,015025 4,030100 4,045225 4,060401 4,075627 4,090903 4,106230 5 5,025063 5,050251 5,075565 5,101005 5,126572 5,152267 5,178089 6 6,037625 6,075502 6,113631 6,152015 6,190654 6,229551 6,268706 7 7,052719 7,105879 7,159484 7,213535 7,268038 7,322994 7,378408 8 8,070351 8,141409 8,213180 8,285671 8,358888 8,432839 8,507530 9 9,090527 9,182116 9,274779 9,368527 9,463374 9,559332 9,656412

10 10,113253 10,228026 10,344339 10,462213 10,581666 10,702722 10,825399 11 11,138536 11,279167 11,421922 11,566835 11,713937 11,863262 12,014844 12 12,166383 12,335562 12,507586 12,682503 12,860361 13,041211 13,225104 13 13,196799 13,397240 13,601393 13,809328 14,021116 14,236830 14,456543 14 14,229791 14,464226 14,703404 14,947421 15,196380 15,450382 15,709533 15 15,265365 15,536548 15,813679 16,096896 16,386335 16,682138 16,984449 16 16,303529 16,614230 16,932282 17,257864 17,591164 17,932370 18,281677 17 17,344287 17,697301 18,059274 18,430443 18,811053 19,201355 19,601607 18 18,387648 18,785788 19,194718 19,614748 20,046192 20,489376 20,944635 19 19,433617 19,879717 20,338679 20,810895 21,296769 21,796716 22,311166 20 20,482201 20,979115 21,491219 22,019004 22,562979 23,123667 23,701611 21 21,533407 22,084011 22,652403 23,239194 23,845016 24,470522 25,116389 22 22,587240 23,194431 23,822296 24,471586 25,143078 25,837580 26,555926 23 23,643708 24,310403 25,000963 25,716302 26,457367 27,225144 28,020655 24 24,702818 25,431955 26,188471 26,973465 27,788084 28,633521 29,511016 25 25,764575 26,559115 27,384884 28,243200 29,135435 30,063024 31,027459 26 26,828986 27,691911 28,590271 29,525631 30,499628 31,513969 32,570440 27 27,896059 28,830370 29,804698 30,820888 31,880873 32,986678 34,140422 28 28,965799 29,974522 31,028233 32,129097 33,279384 34,481479 35,737880 29 30,038213 31,124395 32,260945 33,450388 34,695377 35,998701 37,363293 30 31,113309 32,280017 33,502902 34,784892 36,129069 37,538681 39,017150 31 32,191092 33,441417 34,754174 36,132740 37,580682 39,101762 40,699950 32 33,271570 34,608624 36,014830 37,494068 39,050441 40,688288 42,412200 33 34,354749 35,781667 37,284941 38,869009 40,538571 42,298612 44,154413 34 35,440636 36,960575 38,564578 40,257699 42,045303 43,933092 45,927115 35 36,529237 38,145378 39,853813 41,660276 43,570870 45,592088 47,730840 36 37,620560 39,336105 41,152716 43,076878 45,115505 47,275969 49,566129 37 38,714612 40,532785 42,461361 44,507647 46,679449 48,985109 51,433537 38 39,811398 41,735449 43,779822 45,952724 48,292642 50,719885 53,333624 39 40,910927 42,944127 45,108170 47,412251 49,866229 52,480684 55,266962 40 42,013204 44,158847 46,446482 48,886373 51,489557 54,267894 57,234134

63

i

iS

n

in

1)1(/

−+= Futuro valor

i

n

2 2,25 2,5 2,75 3 3,25

1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 2 2,020000 2,022500 2,025000 2,027500 2,030000 2,032500 3 3,060400 3,068006 3,075625 3,083256 3,090900 3,098556 4 4,121608 4,137036 4,152516 4,168046 4,183627 4,199259 5 5,204040 5,230120 5,256329 5,282667 5,309136 5,335735 6 6,308121 6,347797 6,387737 6,427940 6,468410 6,509147 7 7,434283 7,490623 7,547430 7,604709 7,662462 7,720694 8 8,582969 8,659162 8,736116 8,813838 8,892336 8,971616 9 9,754628 9,853993 9,954519 10,056219 10,159106 10,263194

10 10,949721 11,075708 11,203382 11,332765 11,463879 11,596748 11 12,168715 12,324911 12,483466 12,644416 12,807796 12,973642 12 13,412090 13,602222 13,795553 13,992137 14,192030 14,395285 13 14,680332 14,908272 15,140442 15,376921 15,617790 15,863132 14 15,973938 16,243708 16,518953 16,799786 17,086324 17,378684 15 17,293417 17,609191 17,931927 18,261781 18,598914 18,943491 16 18,639285 19,005398 19,380225 19,763979 20,156881 20,559155 17 20,012071 20,433020 20,864730 21,307489 21,761588 22,227327 18 21,412312 21,892763 22,386349 22,893445 23,414435 23,949715 19 22,840559 23,385350 23,946007 24,523015 25,116868 25,728081 20 24,297370 24,911520 25,544658 26,197398 26,870374 27,564244 21 25,783317 26,472029 27,183274 27,917826 28,676486 29,460082 22 27,298984 28,067650 28,862856 29,685566 30,536780 31,417534 23 28,844963 29,699172 30,584427 31,501919 32,452884 33,438604 24 30,421862 31,367403 32,349038 33,368222 34,426470 35,525359 25 32,030300 33,073170 34,157764 35,285848 36,459264 37,679933 26 33,670906 34,817316 36,011708 37,256209 38,553042 39,904531 27 35,344324 36,600706 37,912001 39,280755 40,709634 42,201428 28 37,051210 38,424222 39,859801 41,360975 42,930923 44,572975 29 38,792235 40,288767 41,856296 43,498402 45,218850 47,021596 30 40,568079 42,195264 43,902703 45,694608 47,575416 49,549798 31 42,379441 44,144657 46,000271 47,951210 50,002678 52,160167 32 44,227030 46,137912 48,150278 50,269868 52,502759 54,855372 33 46,111570 48,176015 50,354034 52,652290 55,077841 57,638172 34 48,033802 50,259976 52,612885 55,100228 57,730177 60,511412 35 49,994478 52,390825 54,928207 57,615484 60,462082 63,478033 36 51,994367 54,569619 57,301413 60,199910 63,275944 66,541069 37 54,034255 56,797435 59,733948 62,855407 66,174223 69,703654 38 56,114940 59,075377 62,227297 65,583931 69,159449 72,969023 39 58,237238 61,404573 64,782979 68,387489 72,234233 76,340516 40 60,401983 63,786176 67,402554 71,268145 75,401260 79,821583

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DETERMINAÇÃO DA DATA DE VENCIMENTO E PRAZO DAS APLICAÇÕES: CONTAGEM DE DIAS ENTRE DUAS DATAS Tábua para contagem de dias entre duas datas Deve-se subtrair, do número de dias correspondente à data anterior, tendo-se o cuidado de, para o caso de anos bissextos, acrescentar 1 ( um ) ao resultado encontrado. Exemplo: Um capital aplicado em 12 de fevereiro até o dia 14 de julho do mesmo ano. número de dias da data posterior ( 4 de julho ) = +185 número de dias da data anterior ( 2 de março) = -61_ 124 %% CÁLCULO PARA CONTAGEM DE DIAS (Para Juros e Investimentos) Dia do Mês JAN. FEV. MAR. ABR. MAI. JUN. JUL. AGO. SET. OUT. NOV. DEZ. Dia do

Mês 1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 1 2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 2 3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 3 4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 4 5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 5 6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 6 7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 7 8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 8 9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 9 10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 10 11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 11 12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 12 13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 13 14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 14 15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 15 16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 16 17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 17 18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 18 19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 19 20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 20 21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 21 22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 22 23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 23 24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 24 25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 25 26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 26 27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 27 28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 28 29 29 - 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 29 30 30 - 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 30 31 31 - 90 - 151 - 212 243 - 304 - 365 31

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BIBLIOGRAFIA MATEMÁTICA FINANCEIRA - Oswaldo Marcondes - Ed. Ática. MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA - Antônio A. Crespo – Ed. Saraiva. MATEMÁTICA FINANCEIRA - Walter de Francisco - Ed. Atlas. MATEMÁTICA FINANCEIRA - Samuel Hazzan - Ed. Saraiva. MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS - Alpha C. Chiang - McGraw-Hill. MATEMÁTICA FINANCEIRA - Washington F. Mathias e José M. Gomes – Ed. Atlas MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA - Rogério Gomes de Faria- Ed. McGraw-Hill. MATEMÁTICA FINANCEIRA – Carlos Patricio Samanez – Ed. Prentice Hall PRINCÍPIOS DE ADMINISTRAÇÃO FINANCEIRA ESSENCIAL – Lawrence J. Gitman- Editora Bookman FINANÇAS – Zvi e Merton eRobert C. Bodie, Editora Bookman www.geocities.com/ capecanaveral/4812/aula18.htm