apostila incerteza de medicao

FACULDADE DE TECNOLOGIA DE SOROCABA

Apostila Incerteza de Medio FRANCO ;SAMUEL MENDES

Fatec Sorocaba 10/2008

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Apostila de Incerteza de Medio

AUTORES:

Prof. Msc. SAMUEL MENDES FRANCO





Incerteza de Medio

1 Introduo

O objetivo de uma medio determinar o valor de um mensurando, que , um valor de uma quantidade particular, a ser medida. Uma medio portanto se inicia com uma especificao do mensurando, do mtodo de medio e do procedimento de medio.

Em geral, o resultado de uma medio somente uma estimativa do valor do mensurando e portanto completo somente quando acompanhado por uma declarao da incerteza desta estimativa.

Uma medio tem imperfeies que do origem aos erros nos resultados de medio. Tradicionalmente, um erro examinado como tendo duas componentes, chamadas, componentes aleatrias e componentes sistemticas. O erro um conceito idealizado e no pode ser exatamente conhecido.

A incerteza do resultado de medio reflete a falta de conhecimento do valor do mensurando. O resultado de uma medio aps a correo dos efeitos sistemticos reconhecidos , entretanto, somente uma estimativa do valor do mensurando devido incerteza surgida dos efeitos aleatrios e das correes imperfeitas do resultado dos efeitos sistemticos.

O resultado de uma medio aps corrigido, pode desconhecidamente estar bem prximo do valor do mensurando e possuir um erro insignificante, embora, pode ter uma incerteza grande. Portanto a incerteza do resultado de uma medio no deve ser confundida com os erros desconhecidos remanescentes.

Na prtica, existem muitas fontes possveis para a incerteza de uma medio, tais como:

a) definio incompleta do mensurando; b) realizao imperfeita da definio do mensurando;





c) amostra no representativa; a amostra medida no representa o mensurando medido ;

d) conhecimento insuficiente dos efeitos das condies ambientais na medio ou erro na medio das condies ambientais;

e) desvio de leitura do operador em instrumentos analgicos; f) valor inexato de padres de medio e materiais de referncia; g) valores inexatos de constantes e outros parmetros obtidos de fontes

externas;

i) aproximaes e suposies incorporadas aos mtodos e procedimentos de medio;

j) variaes em observaes do mensurando obtidas sob condies de repetitividade.

Essas fontes no necessariamente so independentes, e algumas das fontes dos tens a) at i) podem contribuir para a fonte j).

De acordo com a recomendao do Comit Internacional de Pesos e Medidas (CIPM) (1981) pelo trabalho em grupo para a declarao da Incerteza, agrupam-se as incertezas dos componentes em duas categorias, baseados em mtodos de avaliao "Tipo A" e "Tipo B". Estas categorias aplicam-se para incerteza e no so substituidas pelas palavras "aleatrias" e "sistemticas". Em algumas publicaes as componentes de incerteza so classificadas como "aleatrias" e "sistemticas" e so associadas com erros surgidos de efeitos aleatrios e efeitos sistemticos conhecidos. Tais classificaes dos componentes podem ser ambiguos quando aplicados em geral. Por exemplo: um componente de incerteza "aleatrio" em uma medio pode se tornar um componente de incerteza "sistemtica" no qual o resultado da primeira medio usado como dados de entrada em outra medio. O propsito da classificao Tipo A e Tipo B para indicar as duas maneiras diferentes de avaliar os componentes de incerteza, no se pretende indicar que existe diferena do resultado dos componentes para os dois tipos de avaliao. Ambos tipos de avaliao so baseados em distribuio de probabilidades, e o resultado da incerteza dos componentes para outros tipos so quantificados por varincias ou desvios padres.

Portanto, neste captulo ser abordado o procedimento para avaliao e expresso da incerteza de medio.





2 Definio

2.1 Incerteza de Medio

Segundo o VIM ( Vocabulrio Internacional de Metrologia) adotado a seguinte definio:

A incerteza de medio um parmetro associado ao resultado de uma medio, que caracteriza a disperso de valores que podem ser fundamentalmente atribudos a um mensurando.

Este parmetro pode ser, por exemplo, um desvio padro (ou um mltiplo dele), ou a metade de um intervalo correspondente a um nvel de confiana estabelecido.

A incerteza de medio compreende, em geral, muitos componentes. Alguns destes componentes podem ser estimados com base na distribuio estatstica dos resultados das sries de medies e podem ser caracterizados por desvios padres experimentais. Outros componentes, que tambm podem ser caracterizados por desvios padres, so avaliados por meio de distribuio de probabilidades assumidas, baseadas na experincia ou em outras informaes.

Entende-se que o resultado da medio a melhor estimativa do valor do mensurando, e que todos os componentes da incerteza, incluindo aqueles resultantes dos efeitos sistemticos, como os componentes associados com correes e padres de referncia, contribuem para a disperso.

A definio apresentada acima operacional e enfoca o resultado da medio e sua incerteza avaliada. Entretanto, no inconsistente com outros conceitos de incerteza de medio, tais como:

Incerteza de medio uma medida de um erro possvel num valor estimado do mensurando proporcionado pelo resultado de uma medio;





Incerteza de medio uma estimativa caracterizando uma srie de valores, entre os quais o valor verdadeiro de uma medio se encontra. ( VIM, 1 edio, 1984, item 3.09).

Embora esses dois conceitos tradicionais so validos como ideais, eles focalizam uma quantidade desconhecida: o "erro" do resultado de medio e o "valor verdadeiro" de um mensurando (em comparao com seu valor estimado), respectivamente. Todavia, qualquer conceito de incerteza adotado, sempre avaliado usando os dados e informaes relacionados.

2.2 Incerteza Padro

Incerteza do resultado de medio expresso com um desvio padro

2.3 Avaliao de Incerteza Tipo A

Mtodo de avaliao da incerteza por anlise estatstica de uma srie de observaes.

2.4 Avaliao de Incerteza Tipo B

Mtodo de avaliao da incerteza por meio de outras anlises estatsticas de uma srie de observaes.

2.5 Incerteza Padro Combinada

A incerteza padro combinada do resultado de medio, quando o resultado obtido por valores de um nmero de outras quantidades, igual a raiz quadrada positiva da soma dos termos; os termos, sendo a varincia ou covarincia dessas outras quantidades ponderadas de acordo com o resultado da medio, variam com a transformao dessas quantidades.

2.6 Incerteza Expandida





Quantidade definindo um intervalo, sobre o resultado de uma medio, que pode ser esperado para compreender uma frao de uma distribuio dos valores que podem ser razoavelmente atribuidos a um mensurando.

A frao pode ser examinada como uma probabilidade mdia ou nvel de confiana do intervalo.

Para se associar um nvel de confiana especfico a um intervalo definido pela incerteza expandida, se requer uma suposio quanto relao da probabilidade da distribuio caracterizada pelo resultado de medio e suas incertezas padro combinadas

A incerteza expandida denominada Incerteza Global no pargrafo 5 da Recomendao CIPM (1981).

2.7 Fator k

Fator numrico usado como um multiplicador para a incerteza padro combinada para obter uma incerteza expandida. Este fator k , tipicamente da ordem de 2 a 3 ( Tabela 5.1).





3 Avaliao da Incerteza Padro

3.1 Modelando a Medio

Em muitos casos, um mensurando y no medido diretamente, mas determinado por n outras quantidades x1, x2, ... xn , atravs de uma relao funcional f :

y = f ( x1, x2, ... , xn ) ( 15 )

As quantidades de entrada x1, x2 .... xn , sobre o qual a quantidade de sada y depende, pode ela mesma se parecer como medidas e podem depender de outras quantidades, incluindo correes e fatores de correes para efeitos sistemticos, A funo f nunca pode ser escrita explicitamente. Alm disso, f pode ser determinada experimentalmente ou existe somente como um algoritmo que pode ser avaliado numericamente. A funo f, como ser apresentado neste captulo, analizada num contexto geral, como as funes que contm muitas quantidades, incluindo todas correes e fatores de correes, que podem atribuir uma componente significativa na incerteza do resultado de medio.

As quantidades de entradas x1, x2, ... xn podem ser caracterizadas como:

- quantidades de valores e incertezas determinados diretamente em medio; esses valores e incertezas podem ser obtidos de, uma simples observao, repetidas obervaes, julgamentos baseados na experincia, e podem envolver as determinaes de correes para indicao dos instrumentos e correes por quantidades de influncias, tais como: temperatura ambiente, presso baromtrica e umidade;

- quantidades de valores e incertezas, os quais so conduzidos para uma medio de fontes externas, tais como: quantidades associadas com calibrao de padres, certificados de materiais de referncia e referncia de informaes obtidas atravs de manuais.





Em alguns casos a estimativa y pode ser obtida pela mdia aritmtica ym ( expresso 10 ).

Isto , y obtido como a mdia aritmtica ym de n determinaes independentes yi. Cada determinao tem uma incerteza, e cada uma baseada na observao dos valores das quantidades de entrada xi.

A estimativa do desvio padro S, associado com cada estimativa de entrada xi, denominada de incerteza padro e indicada por u(xi).

A estimativa do desvio padro S, associado com a estimativa do resultado de medio y , denominado incerteza padro combinada e indicado por uc(y), e determinada pela combinao das incertezas padro, associada com as estimativas de entrada (xi).

Cada estimativa de entrada xi e sua incerteza associada u(xi) so obtidas pela distribuio dos valores de uma quantidade de entrada (xi).

A avaliao da incerteza de medio "Tipo A" baseada na distribuio de frequncia, enquanto que a avaliao "Tipo B" baseada numa distribuio anterior.





3.2 Avaliao da Incerteza Padro Tipo A.

Quando uma estimativa de uma quantidade de entrada xi, tem sido obtida de n medidas, sob condies de repetitividade, a incerteza padro u(xi) obtida pela estimativa da varincia mdia , dada por:

Sm(xi) = S (yi) ( 16 ) n

onde: S (yi) = varincia obtida pela expresso ( 12 ) n = nmero de medidas

Portanto, para uma quantidade de entrada xi, determinada de n medidas repetidas independentes, a incerteza padro u(xi), de sua estimativa xi, a raiz quadrada da varincia mdia Sm(xi) , calculada de acordo com a expresso (16).

Assim, u(xi) = Sm(xi), e u(xi) = Sm(xi), correspondem Varincia Tipo A e Incerteza Padro Tipo A, respectivamente.

3.3 Avaliao da Incerteza Padro Tipo B

Para uma estimativa de uma quantidade de entrada xi, que no tenha sido obtida de observaes repetidas, a varincia estimada u(xi) ou a incerteza padro u(xi) avaliada pelo julgamento especfico baseado em todas informaes disponveis na variabilidade de xi. Da reunio destas informaes pode-se incluir:

a) informaes prvias de medio;

b) experincia ou conhecimento geral do comportamento e propriedades dos instrumentos e materiais relevantes;

c) especificao do fabricante;

d) informaes proporcionais em calibraes e outras especificaes;

e) incertezas transmitidas pelas informaes de referncias obtidas de manuais.





Por convenincia, u(xi) e u(xi) avaliados desta maneira so chamados de Varincia Tipo B e Incerteza Padro Tipo B, respectivamente.

O propsito de usar vrias informaes disponveis para a avaliao da incerteza padro no Tipo B para buscar um discernimento baseado na experincia e nos conhecimentos gerais, e uma habilidade que pode ser obtida com a prtica. reconhecido que uma avaliao da incerteza pelo Tipo B pode ser tanto confivel quanto a do Tipo A, especialmente na situao em que a avaliao do Tipo A baseada na comparao de pequenos nmeros de observaes estatisticamente independentes.

A seguir , so apresentados 4 suposies disponveis para as quantidades de entradas xi, para a avaliao da Incerteza Padro Tipo B.

Suposio 1

Se a estimativa xi retirada da especificao do fabricante, certificados de calibrao, manuais ou outras fontes, e suas incertezas transcritas so declaradas por ser uma parte mltipla do desvio padro, a incerteza padro u(xi) simplesmente o valor citado dividido pelo multiplicador, e a varincia estimada u(xi), o quadrado do quociente.

Exemplo 6.1

Um certificado de calibrao afirma que a massa de um ao inoxidavel, massa padro ms = 1000,000 325 g, e que a incerteza deste valor 240 g para um nvel de confiana com k=3

A incerteza padro da massa padro, ento:

u(ms) = ( 240 g ) / 3 = 80 g .

A varincia estimada :

u(ms) = ( 80 g ) = 6,4 x 10 -9





A incerteza de xi, no necessriamente relatada como um multiplo de um desvio padro, como abordado acima. Em vez disso, pode-se encontrar uma declarao que a incerteza declarada possui 90, 95 ou 99 % de nvel de confiana . Salvo indicao contrria, poder assumir que uma distribuio normal ser utilizada para o calculo da incerteza declarada, e a incerteza padro u(xi), pode ser encontrada dividindo-se a incerteza declarada por um fator k, apropriado da distribuio normal.

Suposio 2

Quando o valor de uma quantidade de entrada xi, encontra-se no intervalo a- at a+, ou seja , a probabilidade de xi estar dentro do intervalo 50% , e se, possvel assumir que a distribuio dos possveis valores de xi aproximadamente normal, ento a melhor estimativa xi pode ser apresentada como o ponto mdio do intervalo. Portanto se a amplitude do intervalo denotada por a = ( a+ - a- )/2 pode-se assumir que u (xi) = 1,48a, porque para a distribuio normal, o intervalo ym /1.48 compreende aproximadamente 50% da distribuio.

Exemplo 6.2

Um operador determinou que a dimenso de um comprimento se encontra, com probabilidade de 50%, no intervalo 10.07mm a 10.15mm e relata que L = ( 10.11 0.04 ) mm, significando que 0.04(mm) define um intervalo tendo nvel de confiana de 50%. Ento a = 0.04 (mm) , e se admitir uma distribuio normal para o valor L, a incerteza padro do comprimento ser u(L) = 1.48 x 0.04 (mm) = 0.06 (mm) e a varincia estimada ser u(L) = (1.48 x 0.04 mm ) = 0.0035 ( mm).

Quando a probabilidade do valor xi encontrar-se no intervalo a- at a+ de aproximadamente 68%, pode -se atribuir que ym(xi) = a , porque para uma distribuio normal com mdia ym e desvio padro o intervalo ym compreende aproximadamente 68,3% da distribuio.





Suposio 3 Em outros casos, pode ser possvel estimar somente os limites ( limites superior a+ e inferior a- ) para xi, por exemplo, quando a grandeza de influncia a variao da temperatura. A probabilidade de que o valor de xi se encontra dentro do intervalo a- at a+, para todo propsito prtico, igual a 1 e a probabilidade que xi esteja fora deste intervalo essencialmente zero. Se no h conhecimento especfico sobre a possibilidade do valor xi estar dentro do intervalo, pode-se somente admitir que, igualmente provvel encontra-lo por toda parte, dentro dele (uma distribuio uniforme ou retangular).

Ento xi, o ponto mdio do intervalo, onde: xi = (a- + a+) / 2 , cuja varincia associada dada por:

u(xi) = (a+ - a-) / 12 ( 17 )

Se a diferena entre os limites, (a+ - a-), apresentado por 2a, ou seja, os limites so simtricos, ento a equao para varincia ser:

u(xi) = a / 3 (18 )





4 Determinao Da Incerteza Padro Combinada

Quando a incerteza do resultado do mensurando y obtida pela combinao das incertezas padro das estimativas de entrada x1, x2... , xN; esta incerteza combinada da estimativa y representada por uc(y), e denominada de incerteza padro combinada.

As estimativas de entradas x1, x2... , xN; podem ser classificadas como grandezas:

Estatisticamente independentes ou no correlacionadas;

Estatisticamente dependentes ou correlacionadas.

Para as grandezas estatisticamente independentes, considera-se as sries de medies que foram realizadas com diferentes sistemas de medio. Neste caso, a incerteza padro combinada uc(y) a raiz quadrada positiva da varincia combinada uc(y),apresentada em 7.1





5 DETERMINAO DA INCERTEZA EXPANDIDA

Embora uc(y) possa ser universalmente usado para expressar a incerteza de um resultado de medio, devido a necessidade de algumas industrias e aplicaes comerciais, bem como requisitos em reas de saude e segurana, frequentemente necessrio apresentar uma medida de incerteza que defina um intervalo sobre o resultado de medio. Neste caso, a incerteza comprende uma frao da distribuio dos valores, que podem ser razoavelmente atribuidos para um mensurando, denominada de incerteza expandida U. Este requisito foi reconhecido pelo Working Group e Recomendaes do CIPM (1981).

A incerteza expandida U obtida pela multiplicao da incerteza padro combinada uc(y) por um fator k:

U = k uc(y) (20)

O resultado de uma medio ento convenientemente expresso como RM = y U, que o melhor meio para a estimativa do valor atribuido para o mensurando y, e que y-U a y+U um intervalo que representa uma frao da distribuio de valores que podem ser razoavelmente atribuidos para o mensurando. Tal intervalo tambm expresso como: y-U y y+U

O valor do fator k escolhido com base no nvel de confiana requerido para o intervalo y-U a y+U . Em geral, k usado entre 2 e 3. Portanto, para aplicaes especiais, k poder ser determinado conforme o nvel de confiana requerido, de acordo com a tabela 5.1.





6 Resumo do procedimento para avaliao e expresso da Incerteza

Os passos para avaliao e expresso da incerteza do resultado de uma medio pode ser resumido como segue:

66.1 Expressar matematicamente o relacionamento entre o mensurando Y e as quantidades de entradas xi do qual Y depende: Y = f( x1, x2, ... xn).

6.2 Identificar todas as correes que tm de ser aplicadas e efetu-las para todos os erros conhecidos.

6.3 Listar todas as fontes de incerteza associadas s repeties, com valores resultantes de medies prvias,e com correes das grandezas de influncia.

6.4 Calcular a incerteza padro u(xi) para cada estimativa de entrada xi. Para uma estimativa de entrada obtida sob condies de repetitividade, a incerteza padro determinada pela avaliao Tipo A .

6.5 Para valores individuais que podem ser resultantes de medies anteriores, ou de literatura, adotar as varincias onde elas so dadas ou podem ser calculadas. Se no for o caso, estim-las com base na experincia.

6.6 Para as grandezas de entrada de influncia cujas distribuies so conhecidas ou podem ser avaliadas, calcular a varincia indicada para estas distribuies.

6.7 Determinar a incerteza padro combinada uc(y), pela soma das varincias parciais.

6.8 Calcular a incerteza expandida U, cujo propsito obter um intervalo y-U a y+U . Para obter a incerteza expandida, multiplica-se a incerteza padro combinada uc(y) pelo fator k, obtendo assim, U = k uc(y). Selecionar k com base no nvel de confiana exigido para o intervalo. Um fator normalmente usado k=2, para um nvel de confiana de 95%.

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