apostila i - transporte de qntd. movimento (1)

Lies sobreFENMENOS DE TRANSPORTEPARA ENGENHEIROS QUMICOS

Joo Jorge Ribeiro DamascenoFaculdade de Engenharia QumicaUniversidade Federal de Uberlndia

Uberlndia, 2005

1

Sumrio

I Transporte de Quantidade de Movimento em Fluidos 13

1 Conceitos Fundamentais 151.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Introduo algebra tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3 Teoremas Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 A Caracterizao dos Fluidos 292.1 Resposta a ao de foras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1 Resposta de Deformao de Corpos em Relao a Foras de Superfcie 292.2 Reologia de Fluidos Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3 Nmeros Adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.1 O experimento de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.2 Linhas de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Equaes da Continuidade e do Movimento 453.1 Movimento de um Fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Equao da Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3 Conservao do Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.1 Casos Particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 A esttica dos fluidos 594.1 Equacionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2 O manmetro do tipo tubo em U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2.1 Manmetro do tipo tubo inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2.2 O manmetro de Bourdon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2.3 Manmetro de pesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 Sistemas submetidos Aceleraes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.4 A fora de empuxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5 Distribuio de Velocidades 795.1 As simplificaes da equao do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2 Escoamento Laminar Estacionrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.3 Escoamento Laminar Transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6 Equao de Bernoulli 1316.1 Deduo da equao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5

67 Anlise dimensional e similaridade 1437.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.2 Dependncia Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.3 O teorema de Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.4 Similaridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

8 Escoamento em Tubulaes 1578.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.2 Perda de Carga Distribuda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

8.2.1 Resoluo de problemas do tipo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1618.2.2 Resoluo de problemas do tipo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1628.2.3 Resoluo de problemas do tipo 3 - Clculo de D . . . . . . . . . . . . 165

8.3 Clculo da perda de carga em acidentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1678.3.1 Comprimento equivalente (Le) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1678.3.2 Coeficiente de resistncia do acidente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8.4 Clculo da perda de carga total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1688.5 Equao geral de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

9 Escoamento turbulento de fluidos puros 1779.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.2 Equaes Mdias Temporais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1809.3 Equaes Empricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

9.3.1 Modelo da viscosidade turbilhonar de Boussinesq (1877) . . . . . . . . 1839.3.2 Modelo do compremento de mistura de Prandtl(1925) . . . . . . . . . 1849.3.3 Modelo da similaridade de von-Krmn (1930) . . . . . . . . . . . . . 1869.3.4 Modelo de Deissler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Lista de Figuras

1.1 Volume de uma partcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Propriedades da gua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3 Foras de superfcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Vetor Foro e Vetor Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6 Propriedades de um tensor (direo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.7 Produto escalar entre dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1 Deformao de um slido sobre influncia de uma fora . . . . . . . . . . . . . 292.2 Deformao de um lquido viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Diagrama tenso-deformao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Diagrama reolgico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5 Reograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.6 Fluido de Bingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.7 Viscosidade aparente de um Fluido de Bingham . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.8 Fluidos tipo power Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.9 Fluidos psedoplsticos e dilatantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.10 Fluido dilatante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.11 Fluido pseudoplstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.12 Deslocamento de uma placa slida sobre um fluido . . . . . . . . . . . . . . . 362.13 Perfil de velocidade linear entre a placa mvel e o fluido . . . . . . . . . . . . 372.14 O experimento de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.15 Grfico das linhas de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1 Descrio do movimento de um fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Volume de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3 Uma superfcie qualquer envolvendo o volume de controle V . . . . . . . . . . 493.4 fluxo de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5 Sistema de diviso de fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.6 Duto de seo circular convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.7 Tanque com alimentao e retirada de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1 Variao da presso em um tanque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2 Direo e sentido do aumento de presso em um tanque . . . . . . . . . . . . . 604.3 Barmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4 Manmetro do tipo tubo em U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.5 Manmetro tipo tubo em inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.6 Manmetro de Bourdon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.7 Manmetro de pesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.8 Fluido em um recipiente parado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.9 Fora resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.10 Acelerao para cima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7

84.11 Acelerao para baixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.12 Foras que atuam no corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.13 Imerso do slido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.14 Transporte do aqurio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.15 Rotao de um vaso cilindrico em torno de seu eixo . . . . . . . . . . . . . . . 704.16 Esquema do manmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.17 Medidor de Presso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.18 Esquema do medidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.19 Esquema do manmetro tipo tubo em U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.20 Placas paralelas com fluido no espao interno entre elas . . . . . . . . . . . . . 764.21 Escoamento de um fluido de Binghan junto a uma placa vertical . . . . . . . . 764.22 equilibrio de foras atravs de pistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.23 diferena de nvel entre dois tanques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.24 Diferena de presso entre dois tanques conetados . . . . . . . . . . . . . . . . 774.25 Diferena de presso entre tanques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.26 Sistema de transmisso de presso por pistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.1 Escoamento inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.2 Escoamento do filme lquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.3 Composio da gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.4 Escoamento inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.5 Escoameno laminar em um tubo cilindrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.6 Clculo da rea infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.7 Escoamento em um espao anular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.8 Escoamento entre duas placas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.9 Escoamento em um espao anular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.10 Escoamento sobre uma placa em movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.11 Determinao de x e y como funo de r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.12 Funo erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.13 Escoamento laminar transiente num tubo circular . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.14 Funes de Bessel de primeira e segunda espcies e ordem zero . . . . . . . . 1225.15 Reduo de dimetro em um tubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.16 Duto de duas faces porosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.17 Sistema gua-querosene-mercrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.18 Carro com acelerao constante para direita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.19 Tanque com acelerao para cima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.20 Manmetro de lquidos mltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.21 Manmetro com trs lquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.22 Manmetro liagdo a um tubo com escoamento de gua . . . . . . . . . . . . . 1285.23 Cubo de carvalho submerso em gua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.24 Densmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.25 Transporte de um aqurio num veculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.26 Dois fluidos newtonianos puros escoando num fino espao entre duas placas . . 1295.27 Reservatrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.1 Deslocamento entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.2 Descarga de um recipiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.3 O experimento de Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.4 O sifo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Captulo0 Lista de Figuras 9

6.5 Placa de orifcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.6 Bocal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.7 venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.8 Medida da queda de presso entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.9 O tubo de pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.10 Pontos de tomada de presso do tubo de pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.11 Duto inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.12 Medida de viscosidade por tubo de pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.13 Elemento cbico de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.14 Sitema de expanso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.15 Sistema de sifo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.16 Sistema venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.1 Dependncia funcional entre x e y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.2 Dependncia funcional entre x, y e z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.3 Rugosidade de um tubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.4 Escoamento de um fluido ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.5 Tpico grfico que relaciona o fator de atrito com o nmero de Reynolds . . . . 148

8.1 Diagrama de Moody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1598.2 Verso a (F ReF ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1638.3 Verso b (1/

F ReF ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

8.4 Diagrama de von Krmn verso (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1638.5 Instalao para enchimento de tambores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1678.6 Curva caracterstica de uma bomba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698.7 Duto de seo anular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698.8 Transporte de soluo cida de uma torre de absoro . . . . . . . . . . . . . . 1708.9 Transporte de soluo cida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1748.10 Esquema da instalao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

9.1 Escoamento laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.2 Escoamento turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1789.3 Medida de velocidade utilizando um anemmetro de fio quente . . . . . . . . . 1789.4 Mdias temporais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1799.5 Subcamadas do escoamento turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1839.6 Localizao de s em um duto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1849.7 Soluo da equao de Deissler nas 3 regies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Lista de Tabelas

1.1 Ordem do tensor resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1 Situaes fsicas e aplicaes das equaes da continuidade . . . . . . . . . . . 50

5.1 Alguns valores da funo erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.2 Funes de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.3 Funes de Bessel J0(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.4 Funes de Bessel J1(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.1 Comparao entre os trs tipos de medidores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

,

11

Parte I

Transporte de Quantidade de Movimentoem Fluidos

13

CAPTULO 1

Conceitos Fundamentais

1.1. IntroduoCorpo: poro finita de matria contida numa dada poro do espao.

Partcula ou ponto: menor poro de matria de um corpo que preserva estatisticamente aspropriedades macroscpicas deste.

Massa especfica: massa contida num dado volume,por unidade de volume.

=m

V(1.1)

Vp - volume da partcula ou ponto.

= limVVp

m

V(1.2)

Propriedade: funo que nas mesmas condies de medida apresenta sempre o mesmo valor,independentemente da maneira com que tais condies foram alcanadas.

Em ambos os casos da figura 1.2 H2O(0oC,1 atm) = 0, 9998681

g

cm3. uma proprie-

dade do sistema.

Sistema: Poro do Universo que se deseja estudar.

Vizinhanas: O Universo a menos do sistema.

Varivel intensiva: varivel que independe do tamanho, (massa) do sistema. Exemplos:

Temperatura - T Presso - P

Figura 1.1: Volume de uma partcula

15

1.1 Introduo 16

Figura 1.2: Propriedades da gua

Densidade - H2O

Varivel extensiva: varivel que depende do tamanho (massa) do sistema. Exemplos:

Entalpia - H Energia - E

Varincia do sistema: nmero mnimo de variveis intensivas que precisa ser especificadopara tornar o sistema invariante.

Regra das fases: relaciona a varincia de um sistema com o nmero de espcies qumicas(componentes) e de fases nele contidas. F = N + 2 pi r sF - varincia do sistema.

N - nmero de espcies qumicas.

pi - nmero de fases.

r - nmero de reaes qumicas independentes possveis de ocorrer no sistema.

s - nmero de restries intrnsecas do sistema.

Exemplos:

gua lquida pura

F = 2 N = 1, r = 0 = (T, P ) pi = 1, s = 0

gua lquida pura em equilbrio com seu vapor

F = 1 N = 1, r = 0 = (T ) pi = 2, s = 0

gua lquida pura em em equilbrio com ar (O2/N2/H2O)

F = 3 N = 3, r = 0V = V (T, P, x) pi = 2, s = 0

Mecnica do Contnuo: estuda o movimento de corpos considerando que esses so formadospela juno de diversas partculas ou pontos.

Captulo1 Conceitos Fundamentais 17

Deslocamento: movimento de um corpo, em que todas as suas partculas se locomovem como mesmo vetor velocidade, ou seja, sem velocidades relativas entre seus pontos. omovimento desenvolvido por corpos rgidos, como os slidos.

Escoamento: movimento de um corpo em que suas partculas se locomovem com velocidadesque podem ser distintas. Existem velocidades relativas entre os pontos do corpo. omovimento desenvolvido por corpos no rgidos, como os gases e lquidos.

Os corpos capazes de escoar, ou fluir, so chamados de fluidos.Segundo Newton, alteraes no vetor velocidade de um corpo rgido ocorrem apenas

quando existem desbalanceamento entre as foras de ao e reao, isto , quando existe umaresultante.

Uma resultante provoca a alterao do vetor quantidade de movimento com o tempo:

FR =dp

dt=

d

dt(mv)

FR = mdv

dt+ v

dm

dt

Se a massa do corpo for constante com o tempo

FR = mdv

dt= ma

a = vetor acelerao do corpo. Assim

FR = ma =i

Fi

As foras podem ser classificadas em foras de campo e em foras de superfcie.

Foras de campo: atuam diretamente sobre a massa do corpo (volume) sem a existncia de umcontato fsico.

Fc =

KdV

K-vetor intensidade de campo.

Exemplos:

Gravidade: K = g Campo eltrico: K = E Campo centrfugo: K = 2R

Foras de superfcie: atuam no corpo atravs de contato fsico em suas superfcies limitantes.

Fs =

T n dS

T o tensor tensoTensor uma varivel que necessita alm de sua intensidade, de mais que uma direo

especificada para sua completa determinao.As foras de superfcie podem ser normais ou tangenciais.

1.1 Introduo 18

Figura 1.3: Foras de superfcie

Foras normais: tm direo paralela ao vetor unitrio normal superfcie.

Foras tangenciais ou cisalhantes: tm direo perpendicular ao vetor unitrio normal su-perfcie.

O vetor normal unitrio a superfcie um vetor unitrio perpendicular tangente super-fcie no ponto de interesse. O vetor unitrio normal tem direo perpendicular tangente superfcie e sentido para fora da superfcie.

As foras normais podem ser de trao ou de compresso.

Foras de trao: tm o mesmo sentido do vetor unitrio normal.

Foras de compresso: tm o sentido inverso do vetor unitrio normal.

Grandeza escalar: necessita apenas de seu valor numrico para ser completamente especifi-cada.

Exemplos: massa, comprimento, volume, temperatura.

Grandeza vetorial: necessita, para sua completa especificao, de seu valor numrico e deuma direo.

Exemplos: Fora, velocidade.

Figura 1.4: Vetores

e1, e2, e3 so vetores unitrios mutuamente ortogonais ou vetores ortonormais.

v = v1e1 + v2e2 + v3e3

v =3i=1

viei


v = viei

Notao indicial de Einstein: ndices repetidos subentendem um somatrio.

Grandeza tensorial: necessita, para completa especificao alm de seu valor numrico de ndirees.

Exemplo: Tenso

T =F

A

Figura 1.5: Vetor Foro e Vetor Normal

Num sistema tridimensional

A = An = Aniei

F = Fjej

}Ambos so vetores

T =F

A

Os componentes possveis da tenso so:

F1A1

,F1A2

,F1A3

,F2A1

,F2A2

,F2A3

,F3A1

,F3A2

,F3A3

Um tensor tem 3n componentes onde n a ordem do tensor (nmero de direes a elerelacionadas)

Ti

j

Tijeiej

T = T11e1e1 + T12e1e2 + T13e1e3 + T21e2e1 + T22e2e2 + T23e2e3 + T31e3e1+

+ T32e3e2 + T33e3e3

T = Tijeiej notao indicial

i direo da normal superfcie de aplicao da fora (linha)j direo da fora (coluna)

1.1 Introduo 20

Figura 1.6: Propriedades de um tensor (direo)

Quando i = j, a fora tem a mesma direo que o vetor unitrio normal, logo a tenso normal.

Quando i 6= j, a fora tem a mesma direo que a do vetor unitrio tangente (ortogonalao vetor unitrio normal), logo a tenso tangencial ou cisalhante.

Outra representao do tensor:

T =

T11 T12 T13T21 T22 T23T31 T32 T33

v =[v1, v2, v3,

], vT =

v1v2v3

Todas as grandezas so tensoriais.

Se n = 0 tensor de ordem zero ou escalar.Se n = 1 tensor de ordem 1 ou vetor.Se n = 2 tensor de ordem dois.Representao:

Temperatura (T) - ordem zero.

Velocidade (v) - ordem 1

Tenso (T) - ordem 2

T = Tijeiej (1.3)

i-direo da normalj-direo da fora

Campo: distribuio contnua de uma grandeza no espao e no tempo.

O campo de temperaturas um campo escalar

T = T (x, y, z, t)


O campo de velocidades um campo vetorial

v = v(x, y, z, t)

v = vxex + vyey + vzez

vx = vx(x, y, z, t)vy = vy(x, y, z, t)vz = vz(x, y, z, t)

Campos escalares (1.4)O campo de tenses um campo tensorial de ordem 2.

T = T(x, y, z, t) (1.5)

T =Txxex ex + Txyex ey + Txzex ez + Tyxey ex + Tyyey ey + Tyzey ez+

+ Tzxez ex + Tzyez ey + Tzzez ez(1.6)

Txx = Txx(x, y, z, t)Txy = Txy(x, y, z, t)Txz = Txz(x, y, z, t)Tyx = Tyx(x, y, z, t)Tyy = Tyy(x, y, z, t)Tyz = Tyz(x, y, z, t)Tzx = Tzx(x, y, z, t)Tzy = Tzy(x, y, z, t)Tzz = Tzz(x, y, z, t)

Campos escalares (1.7)

Campo transiente: campo cujas componentes dependem do tempo.

Campo permanente: componentes no dependem do tempo.

Campo uniforme: componentes no dependem da posio.

Campos uni, bi ou tridimensionais: campos em uma, duas ou trs direes.

Exemplos:

v(x, y, z, t) campo vetorial tridimensional transiente

T (t) campo escalar uniforme transiente

T = T0 campo escalar uniforme permanente

1.2 Introduo algebra tensorial 22

1.2. Introduo algebra tensorialOperaes com vetores (tensores de ordem 1)

a) Adio de vetores

u+ v = (ui + vi)ei

u v = (ui vi)ei

b) Multiplicao do vetor por um escalar

cu = c ui ei

c) Produto escalar entre dois vetores (produz um escalar)

u v = (uiei) (vjej) = uivj(ei ej)

ei ej |ei||ej| cos(eiej)

Como ei e ej so ortogonais unitrios:

cos(ei ej) =

{0 i 6= j1 i = j

(1.8)

u v = uivjij (1.9)

ij delta de Kroenecker

ij =

{0 i 6= j1 i = j

Assim

u v = ui vi = uj vj(escalar) (1.10)

u v = ux vx + uy vy + uz vz (1.11)

d) Produto vetorial entre dois vetores (produz um vetor)

u v = (uiei) (vjej) = uivj(ei ej) (1.12)

ei ej = |ei||ej|( sen(ei ej))ek = ( sen(ei ej))ek (1.13)


ek um vetor unitrio normal ao plano definido pelos vetores ei e ej. Como ei, ej e ek somutuamente ortogonais, o vetor ei ej tem algumas propriedades muito importantes.

sen(ei ej) =

0 se i = j

1 se ei ej = pi/2

1 se ei ej = pi/2(1.14)

Assim

e1 e1 = e2 e2 = e3 e3 = 0 e1 e2 = e3 e2 e1 = e3

e1 e3 = e2 e3 e1 = e2 e2 e3 = e1 e3 e2 = e1

Pode-se representar todas essas propriedades atravs da definio do tensor permutadorunitrio ijk

ijk =

0 se i = j, j = k ou i = k

1 se ijk = 123, 231, 132

1 se ijk = 321, 213, 132(1.15)

1

3

77

2kk

Sequncia no sentido horrio ijk = 1 e sequncia no sentido anti-horrio ijk = 1.Assim

u v = uivjijkek (1.16)

u v = 123u1v2e3 + 213u2v1e3 + 132u1v3e2 + 312u3v1e2 + 231u2v3e1++ 321u3v2e1

(1.17)

u v = (u1v2 u2v1)e3 + (u3v1 u1v3)e2 + (u2v3 u3v2)e1 (1.18)

Observao:

det

e1 e2 e3u1 u2 u3v1 v2 v3

= (u2v3 u3v2)e1 + (u3v1 u1v3)e2 + (u1v2 u2v1)e3 (1.19)Assim

u v = dete1 e2 e3u1 u2 u3v1 v2 v3

= dete1 u1 v1e2 u2 v2e3 u3 v3

(1.20)


e) Produto triplo entre trs vetores (produz um escalar)

u (v w) = uiei (vjej wkek = uivjwk ei (ej ek) == uivjwkei jkmem = uivjwkjkmei em == uivjwkjkmim = uivjwkjki = ijkuivjwk

(1.21)

u (v w) = ijkuivjwk (1.22)

Observao

det

u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

= u (v w) (1.23)u (v w) = 123u1v2w3 + 213u2v1w3 + 231u2v3w1 + 321u3v2w1+

+ 312u3v1w2 + 132u1v3w2

= u1v2w3 u2v1w3 + u2v3w1 u3v2w1 + u3v1w2 u1v3w2(1.24)

f) Produto didico ou tensorial entre dois vetores (produz um tensor de 2a ordem)

uv = uieivjej = uivjeiej (1.25)

eiej representa um elemento de uma matriz que ocupa a linha i e a coluna j.

e1 e2 =

0 1 00 0 00 0 0

e3 e2 =0 0 00 0 00 1 0

(1.26)Assim

u v =

u1v1 u1v2 u1v3u2v1 u2v2 u2v3u3v1 u3v2 u3v3

(1.27)Observao: Quando i = j tem-se um elemento da diagonal principal da matriz tensor.

Operaes com tensores de ordem 2

Sejam dois tensores de ordem 2

T = Tijei ej (1.28)S = Srser es (1.29)

(a) Soma de tensores

T+ S = (Tij + Sij)eiej (1.30)


(b) Multiplicao de um tensor por um escalar

cT = (c Tij)eiej (1.31)

(c) Multiplicao entre 2 tensores gerando um escalar (duplo produto escalar :)

T : S = Tijeiej : Srseres = TijSrseiej : eres (1.32)eiej : eres (ei es)(ej er) = isjr (1.33)

T : S = TijSrsisjr (1.34)

T : S = TijSji (1.35)

(d) Multiplicao entre dois tensores gerando um tensor (produto escalar entre tensores)

T S = Tijeiej Srseres = TijSrseiej eres = TijSrsjreies (1.36)

T S = TijSjseies (1.37)

(e) Multiplicao entre um tensor e um vetor gerando um vetor

T u = Tijeiej ukek = Tijuk(ej ek)ei = Tijukjkei (1.38)

T u = Tijujei (1.39)

Operador diferencial nabla ()

= ei xi

= e1

x1+ e2

x2+ e3

x3(1.40)

a) Gradiente de um escalar

s = ei sxi

(vetor) (1.41)

b) Gradiente de um vetor

v = ei xi

vjej (1.42)

v = vjxi

eiej (tensor) (1.43)


c) Divergncia de um vetor ()

v = ei xi

vjej = vjxi

ei ej = ij vjxi

(1.44)

v = vixi

(escalar) (1.45)

d) Divergncia de um tensor

T = ei xi

Tjkejek = Tjkxi

(ei ej)ek = Tikxi

ek (vetor) (1.46)

e) Laplaciano de um escalar ( )

2s s = ei xi

ej sxj

=2s

xixjei ej =

2s

xixjij (1.47)

2s = 2s

x2i(escalar) (1.48)

f) Laplaciano de um vetor

2v = v = ei xi

ejvkxj

ek (1.49)

2v = 2vk

xixjei ej ij

(1.50)

2v = 2vkx2i

ek (vetor) (1.51)

Observao: As operaes de multiplicao entre tensores produzem um tensor cuja ordem dada pela tabela f.

Tabela 1.1: Ordem do tensor resultante

Sinal de multiplicao Ordem do tensor resultanteNenhum

x

-1

.

-2:

-4

onde

a soma da ordem dos tensores fatores da multiplicao.Exemplos:

u v = 2 ordem 0sT

= 2 ordem 2

T S = 4 ordem 2T : S

= 4 ordem 0


1.3. Teoremas IntegraisTeorema 1.1 (Teorema de Gauss). Transforma uma integral de volume em uma integral desuperfcie e vice-versa

a) Para uma funo escalar s dV =

sn dS (1.52)

b) Para uma funo vetorial v dV =

v n dS (1.53)

v dV =

vn dS (1.54)

c) Para uma funo tensorial ( T) dV =

(T n) dS (1.55)

onde n o vetor unitrio normal superfcie que tem sentido para fora da superfcie.

OBS:

v n = |v||n| cos(vn) (1.56)

v n = |v||n| cos(vn) (1.57)

Figura 1.7: Produto escalar entre dois vetores

Para sadas atravs da superfcie

0 (vn) < 90 cos(vn) > 0

Para entradas atravs da superfcie

90 < (vn) 180 cos(vn) < 0logo

v n dS = (sada)-(entrada) (1.58)

1.3 Teoremas Integrais 28

Exerccios sobre lgebra TensorialPara estes exerccios, considerar r e s escalares, u, v, w vetores e T, S tensores de segunda

ordem.

1. Mostrar que:

(a) uv = u v + v u(b) T : uv = (T u) v(c) uv : T = u (v T)(d) (s v) = v s+ s( v)(e) (s) = 0(f) ( v) = 0(g) (T v) = T : v + v ( T) se T for um tensor simtrico (Tij = Tji.(h) s I : v = s(v) onde I o tensor identidade dado por I = ij (delta de Krenecher).

2. Utilizando lgebra tensorial, calcular os resultados das operaes a seguir em coordenadascartesianas.

(a) v v(b) v(c) v(d) T

CAPTULO 2

A Caracterizao dos Fluidos

2.1. Resposta a ao de forasComo diferenciar o comportamento de slidos e de fluidos com relao resposta aplicaode foras de superfcie?

2.1.1. Resposta de Deformao de Corpos em Relao a Foras de Super-fcie

Foras normais:

os slidos sofrem pequenas deformaes. os fluidos sofrem deformaes iniciais um pouco maiores que as dos slidos, mas atingidoo limite de compressibilidade ou de trao do fluido, este passa a se comportar como umslido.

As foras normais no so adequadas para se diferenciar o comportamento de slidos efluidos.

Foras Cisalhantes

Slido:

Seja um paralelepipedo slido com a base fixada a um plano fixo e o topo submetido ao deuma fora cisalhante. Enquanto a fora for aplicada, o slido elstico apresenta uma deformaodefinida. Ao cessar a aplicao da fora, a deformao se desfaz.= ngulo de deformao

Figura 2.1: Deformao de um slido sobre influncia de uma fora

Tc =FcA (2.1)

Tc = G (Lei de Hooke) (2.2)

29

2.1 Resposta a ao de foras 30

Figura 2.2: Deformao de um lquido viscoso

G=mdulo de rigidez do slido.Sejam dois slidos submetidos mesma tenso cisalhante.

Tc = G11 = G22 (2.3)

G1G2

=12

(2.4)

Quanto maior G menor o ngulo de deformao .Seja 1 a borracha e 2 o ao.

G1G2

=21

< 1 (2.5)

logo

G1 < G2 (2.6)

O mdulo de rigidez do ao maior que o da borracha.

Fluidos viscosos

Um paraleleppedo imaginrio de um fluido sofrendo a ao de uma fora cisalhante sedeforma de forma contnua e irreversvel mesmo aps a aplicao da fora cessar.

= (t) D =d

dt

D=taxa de deformao.Quanto maior a tenso aplicada maior a taxa de deformao.

Tc D = ddt

(2.7)

Para fluidos chamados de newtonianos

Tc = D (2.8)

Tc = d

dtLei deNewton (2.9)

Captulo2 A Caracterizao dos Fluidos 31

= viscosidade do fluido.Seja a mesma tenso cisalhante sendo aplicada a dois fluidos newtonianos distintos (1) gua

e (2) mel.

T = 1D1 = 2D2 (2.10)

12

=D2D1

< 1 (2.11)

pois o mel tem uma taxa de deformao menor que a gua.

1 < 2

e a viscosidade do mel maior que a da gua.A viscosidade uma propriedade do fluido que indica o grau de resistncia do fluido s

foras cisalhantes. uma medida da resistncia do fluido ao escoamento. Se Tc for constante.

Figura 2.3: Diagrama tenso-deformao Figura 2.4: Diagrama reolgico

D =d

dt= 0 pois

dTcdt

= Gd

dt= 0 (2.12)

Pode-se interpretar um slido como sendo um fluido com viscosidade infinita.Um fluido ideal um fluido imaginrio em que a viscosidade nula.

ideal = 0 Tc = 0

Um fluido qualquer material que se deforma contnua e irreversivelmente quando subme-tido a ao de uma fora cisalhante, por menor que ela seja.

2.2. Reologia de Fluidos ReaisReologia: estuda a relao entre a tenso cisalhante aplicada a um fluido com a taxa de defor-

mao por ele desenvolvida.

2.2 Reologia de Fluidos Reais 32

Figura 2.5: Reograma

Seja o reograma a seguirCada curva no reograma acima representa um tipo de fluido.

a - fluido de Bingham

b - fluido pseudoplstico

c - fluido newtoniano

d - fluido dilatante

Os fluidos pseudoplsticos e dilatantes costumam ser classificados na categoria de fluidosde Ostwald de Waele ou Power Law.

Fluidos newtonianos: seguem a equao de Newton

Tc = D , = (T, P ) (2.13)

Fluidos no newtonianos: no seguem a equao de Newton mas podem ser representadospor uma expresso anloga

Tc = D , = (T, P,D) (2.14)

= viscosidade aparente

Fluidos no newtonianos: a viscosidade aparente depende da taxa de deformao. Para umfluido newtoniano

Tc = D sendo (T, P ) (2.15)

Assim, para um fluido newtoniano = =cte se T,P ctes

(i) O fluido de Bingham

Tij = T0 + 0Dij se Tij T0 (2.16)T0 - tenso crtica;0 - consistncia.

D = 0 se Tij < T0 (2.17)


Figura 2.6: Fluido de Bingham

Logo o fluido de Bingham s se deforma se Tij > T0Mas, a viscosidade aparente de um fluido de Bingham ser:

Tij = Dij (2.18)

Para Tij < T0

Dij = 0 e Tij 6= 0 (2.19) (2.20)

Para Tij > T0

Tij = Dij = T0 + 0Dij (2.21)

assim

= 0 +T0Dij

(2.22)

(Dij 0) (2.23)(Dij ) = 0 (2.24)

Figura 2.7: Viscosidade aparente de um Fluido de Bingham

A viscosidade aparente de um fluido de Bingham cai com o aumento da taxa de deforma-o, atingindo assintticamente o valor de seu ndice de consistncia.

ndice de consistncia de um fluido de Bingham - a viscosidade aparente do fluidoquando submetido a taxas de deformaes muito grandes (infinitas).


Figura 2.8: Fluidos tipo power Law

(ii) Os fluidos do tipo power law (Ostwald de Waele)

Tij = 0Dnij (2.25)

0 - ndice de consistncia do fluido (>0)n - ndice de comportamento do fluido (>0)

Tij = 0Dnij = Dij (2.26)

= 0Dn1ij (2.27)

Como varia com Dij?

d

dDij= (n 1)0Dn2ij (2.28)

Se n > 1 ddDij > 0

logo se Dij

Tij = 0Dnij (2.29)

Se n < 1 ddDij

< 0

logo se Dij (2.30)n > 1 fluido dilatante (2.31)n < 1 fluido pseudoplstico (2.32)

d2

dD2ij= (n 1)(n 2)0Dn3ij (2.33)

n > 1 ddDij

> 0 (2.34)

d2

D2ij

{> 0 > 2 concavidade para cima< 0 1 < < 2 concavidade para baixo (2.35)

n 0 (nica possibilidade)

concavidade para cima (2.36)


Figura 2.9: Fluidos psedoplsticos e dilatantes

O modelo de Ostwald de Waele inconsistente fisicamente para determinadas faixas detaxas de deformao. Isso ocorre porque os fluidos pseudoplsticos e dilatantes comportam-secomo fluidos newtonianos para valores de taxas de deformaes muito baixas ou muito altas.Tal comportamento no previsto pelo modelo "power law".

Figura 2.10: Fluido dilatante Figura 2.11: Fluido pseudoplstico

Assim sendo, a power law s descreve o comportamento dos fluidos pseudoplsticos edilatantes numa faixa intermediria de Dij .

A forma correta de representar matematicamente um fluido dilatante ou um fluido pseudo-plstico o seguinte.

Tij = 0Dnij = Dij (2.37)

onde

= 1 se Dij < Dc1 (2.38) = 2 se Dij > Dc2 (2.39) = 0D

n1ij se Dc1 < Dij < Dc2 (2.40)


A taxa de deformao (Dij) medida atravs da variao do ngulo de deformao com otempo inadequada devido a dificuldade de medir o referido ngulo. fundamental escreverDij em termos de grandezas facilmente mensurveis.

Seja uma placa plana slida colocada sobre um fluido suportado por uma parede horizontalfixa. Se for aplicada uma fora cisalhante sobre a placa, a mesma passar a se mover comvelocidade V, deformando o fluido abaixo dela

Figura 2.12: Deslocamento de uma placa slida sobre um fluido

Dyx =d

dttg(d) =

dx

dy(2.41)

Como d infinitesimal

tg(d) =dx

dy(2.42)

d =dx

dy(2.43)

d

dt=

dx

dt dy=

dvxdy

(2.44)

uma vez que vx =dx

dt.

Sendo assim, no caso exemplificado

Dyx =dvxdY

(2.45)

Num caso geral prova-se que

D = v (2.46)

Assim, o tensor taxa de deformao pode ser chamado de tensor gradiente de velocidade.No exemplo da placa mvel, se a distncia entre ela e a parede horizontal que suporta

o fluido for pequena, desenver-se- um perfil de velocidade linear, devido a transferncia dequantidade de movimento da placa mvel para o fluido.

Se o fluido for newtoniano

Txy = Dyx = dvxdy

(2.47)


Figura 2.13: Perfil de velocidade linear entre a placa mvel e o fluido

Como vx = ay + b (perfil linear)

vx(y = 0) = 0 (2.48)vx(y = ) = V (2.49)

tem-se

0 = a 0 + b (2.50)b = 0 (2.51)

V = a ou a =V

(2.52)

vx = V(y

)e

dvxdy

=V

(2.53)

Assim

Txy = (2.54)

Mas

Txy =FxAy

=F

A(2.55)

Logo

F

A=

V

(2.56)

e

=F

AV(2.57)

[] =[F ] []

[A] [V ]

[] = ML

T 2L

1

L2T

L

[] =M

LT

(2.58)


No sistema internacional as unidades da viscosidade so:

Kg

ms

No sistema CGS as unidades da viscosidade so:

g

cm s p(poise)

A viscosidade cinemtica definida como sendo:

=

(2.59)

[] =M

LT

L3

M=

L2

T

No sistema CGS, as unidades de so:

cm2

s= p

cm3

g St (Stokes) (2.60)

Uma observo importante que pode ser feita ainda no exemplo da placa deslizando sobre ofluido o de que a quantidade de movimento transportada na direo do gradiente de veloci-dade decrescente, ou seja:

Tyx = dvxdy

(2.61)

onde o sinal - indica que o fluxo de quantidade de movimento tem sentido oposto ao do gradientede velocidade.

Algumas definies importantes em reologia so:

Definio 2.1. Fluido ideal - fluido com viscosidade aparente nula, logo no pode transferirquantidade de movimento.

Definio 2.2. Fluido perfeito - fluido submetido s condies em que

dvxdy

= 0 vx = cte.

Definio 2.3. Fluido no newtoniano - fluidos em que a viscosidade aparente depende da taxade deformao.

2.3. Foras que atuam em fluidos emmovimento e os nmerosadimensionais


Sobre um fluido em movimento podem atuar foras de superfcie, foras de campo e forasde inrcia. Como j apresentado.

Fk = fora de campo =

k dV (2.62)

Fs = fora de superfcie =T n dS (2.63)

Fi = fora de inrcia =

a dV (2.64)

Nos casos particulares em que k, a e T forem uniformes, pode-se escrever:

Fk = kV = mk (2.65)Fs = T An (2.66)Fi = aV = ma (2.67)

As foras de superfcie podem ser consideradas como a soma de uma contribuio estticae de uma contribuio dinmica, que est relacionada viscosidade do fluido e, por isso, chamada de fora viscosa.

Fs =

T n dA = Fp + Fv (2.68)

Isso ocorre porque o tensor tenso pode ser desdobrado em duas parcelas:

T = (P I+ T ) (2.69)onde P a presso exercida pelo fluido, T o tensor tenso viscosa e I o tensor unitrio.T11 T12 T13T21 T22 T23

T31 T32 T33

= P 0 00 P 00 0 P

T11 T12 T13T21 T22 T23T31 T32 T33

= P I T (2.70)Um balano de foras no elemento de volume do fluido leva a

Fi = Fk + Fp + Fv (2.71)

Fi - foras inerciaisFk - foras de campoFp - foras de pressoFv - foras viscosas

1 =FkFi

+FpFi

+FvFi

(2.72)

FiFk

= Fr = no de Froude

FpFI

= Eu = no de Euler

FiFv

= Re = no de Reynolds

2.3 Nmeros Adimensionais 40

logo

1

Fr+ Eu+

1

Re= 1 (2.73)

Como relacionar os nmeros Fr, Eu e Re com grandezas mensurveis?. Seja o escoamentode um fluido em que so conhecidos os seguintes parmetros:

Comprimento caracterstico, L; Velocidade caracterstica, v; Massa especfica do fluido, ; Viscosidade dinmica do fluido, ; Queda de presso no sistema, P .

Assim

Fi = ma = L3 L

T 2= L2v2 (2.74)

Fv = v

LL2 = vL (2.75)

Fk = L3k (2.76)

Fp = (P )L2 (2.77)

Os nmeros adimencionais sero dados por

Fr =Fi

Fr=

L2v2

L3k=

v2

Lk(2.78)

No caso da fora de campo ser a fora gravitacional

Fr =v2

g L(2.79)

Eu =Fp

Fi=

(P )L2v2L2

Eu =Pv2

(2.80)

Re =Fi

Fv=

v2L2

v L

Re =Lv

(2.81)


Figura 2.14: O experimento de Reynolds

2.3.1. O experimento de Reynolds

Reynolds adicionou um corante no centro de um tubo onde escoava um fluido newtoniano.Para baixas velocidades (baixos Re) o corante tinha uma trajetria retilnea no se misturandoimediatamente ao fluido. Para altas velocidades (altos Re) o corante tinha uma trajetria catica,se misturando rapidamente ao fluido. Reynolds classificou o primeiro tipo de escoamento comolaminar e o segundo como turbulento e, alm disso determinou a faixa de velocidade de cadaum dos escoamentos.

Re 2000 escoamento laminar (2.82)2000 2300 escoamento turbulento (2.84)

Como Re =Fi

Fv

Regime laminar

Re =Fi

Fv< 2000 (2.85)

A importncia das foras viscosas considervel nas foras que atuam no fluido.

Regime transiente

2000 2300 (2.87)

A importncia das foras viscosas pequena com relao a das demais foras, tendendoa diminuir mais ainda com o aumento da velocidade de escoamento. Quando atingida aturbulncia plena, a importncia das foras viscosas desprezvel.


2.3.2. Linhas de correnteNo estudo do escoamento de fluidos comum o uso de traadores. Com este procedimento

pode-se observar o percurso desenvolvido por uma partcula de fluido, no caso de escoamentolaminar.

Sabe-e que:

v = viei (2.88)

vi =dxidt

)linha de corrente

(2.89)

vivj

=dxidxj

)linha de corrente

(2.90)

Seja o seguinte exemplo sobre linhas de corrente no escoamento bidimensional.

Exemplo 2.1. Um campo de velocidades dado por v = Ax1e1 Ax2e2, onde as unidadesda velocidade so dadas emm/s, as posies emm e A = 0, 3s1.

(a) Obtenha uma equao para as linhas de corrente no plano xy.

(b) Trace a linha de corrente que passa pelo ponto (x1, x2, x3) = (2, 8, 0).

(c) Determine a velocidade de uma partcula no ponto (2, 8, 0).

(d) Se uma partcula que passa pelo ponto (x10, x20, 0) for marcada no instante t=0, determinesua localizao t=6s.

(e) Qual a velocidade da partcula em t=6s?

(f) Mostre que a equao do trajeto da partcula (trajetria) a mesma equao da linha decorrente.

Soluo:

(a)

dx2dx1

)linha de corrente

=v2v1

v = v1e1 + v2e2 = Ax1e1 Ax2e2dx2dx1

)linha de corrente

= x2x1

dx2x2

= dx1x1

ln(x2) = ln(x1) + c1x2 =

c2x1

; c2 = ec1

x1x2 = c2


Figura 2.15: Grfico das linhas de corrente

(b)

(x1, x2, 0) = (2, 8, 0)

x1x2 = c

2 8 = c = 16logo

x1x2 = 16 m2

(c)

v = Ax1e1 Ax2e2v = 0, 3x1e1 0, 3x2e2

No ponto (2, 8, 0) tem-se

v = 0, 3 2e1 0, 3 8e2v = 0, 6e1 2, 4e2

|v| =

0, 62 + 2, 42

|v| = 2, 47 m/s

(d) A posio da partcula que em t = 0 estava no ponto (2, 8, 0) aps 6 s.

v = 0, 3x1e1 0, 3x2e2

v1 =dx1dt

= 0, 3x1

v2 =dx2dt

= 0, 3x2dx1x1

= 0, 3dt

dx2x2

= 0, 3dt

ln(x1) = 0, 3t+ c3


ln(x2) = 0, 3t+ c4ln(2) = c3

ln(8) = c4

logo

ln(x1) = 0, 3t+ ln(x2)

ln(x2) = 0, 3t+ ln(8)x1 = 2 exp(0, 3t)

x2 = 8 exp(0, 3t)Para t = 6 s

x1 = 2 exp(0, 3 6)x1 = 12, 09 m

x2 = 8 exp(0, 3 6)x2 = 1, 32 m

ou seja, a partcula estar ocupando a posio (x1, x2, 0) = (12, 09; 1, 32; 0)

(e) A velocidade da partcula que ocupa a posio calculada em (d).

v = 0, 3x1e1 0, 3x2e2v = 0, 3 12, 09e1 0, 3 1, 32e2v = 3, 63e1 0, 396e2|v| =

3, 632 + 0, 3962

|v| = 3, 65 m/s(f) A equao da linha de corrente, obtida em termos das equaes paramtricas ser:

x1 = x10 exp(0, 3t)

x2 = x20 exp(0, 3t)x1x0

= exp(0, 3t)

t =1

0, 3ln

(x1x0

)x2 = x20 exp

[0, 30, 3

ln

(x1x10

)]x2x20

=x10x1

ou

x1x2 = x10x20

x1x2 = 2 8 = 16 m2que a equao da linha de corrente j obtida. Assim as equaes da linha de corrente eda trajetria so as mesmas neste exemplo em especial.

CAPTULO 3

As equaes da continuidade e domovimento para fluidos puros eisotrmicos

3.1. Descrio do movimento de um fluido

Figura 3.1: Descrio do movimento de um fluido

Seja uma partcula de fluido em escoamento. Sejam - posio da partcula em t = 0X - posio da partcula em t.x - coordenada espacial no ligada diretamente partcula.assim x(, t) d a posiode uma partcula que em t = 0 ocupava a posio e (X, t) d aposio em t = 0 de uma partcula que em t ocupar a posioX .

Como duas partculas no podem ocupar, no mesmo instante, o mesmo lugar no espao euma mesma partcula no pode ocupar dois lugares ao mesmo tempo, a funo X(, t) devenecessariamente ser bijetora e, consequentemente, imersvel.

X(, t) (X, t) (3.1)

ou seja conhecida uma das funes, a outra pode ser obtida.,X - so coordenadas materiais pois acompanham o movimento da partcula.x - so coordenadas espaciais pois independem do movimento das partculas.Sejam uma propriedade qualquer do fluido()(x, t) - descrio espacial(X, t) - descrio material ou Lagrangeana.

45

3.1 Movimento de um Fluido 46

Definio 3.1. Descrio Lagrangeana - A variao da propriedade avaliada seguindo-se omovimento de um grupo fixo de partculas.

Definio 3.2. Descrio Euleriana - A variao da propriedade avaliada sem que se acom-panhe o movimento de um grupo fixo de partculas, mas sim adotando-se um sistema de coor-denadas inercial.

Devido s difernas conceituais entre a anlise material e a anlise material, existem 3derivadas temporais de .

t

x

- derivada com relao ao tempo em uma posio fixa.

t

- derivada com relao ao tempo, avaliada acompanhando-se o movimento de uma

partcula de fluido - derivada substantiva ou substancial.

t

DDt

ddt

- derivada total com relao ao tempo.

Seja = (x, t) = (x1, x2, x3, t) onde as coordenadas x1, x2 e x3 dependem do tempo,isto , o sistema de coordenadas mvel.

= [x1(t), x2(t), x3(t), t] (3.2)

x1 t

x2 t

BB

88

&&

x3 t

t

d

dt=

x1

dx1dt

+

x2

dx2dt

+

x3

dx3dt

+

t

x

(3.3)

Seja u a velocidade de deslocamento do sistema de coordenadas.

u =dx1dte1 +

dx2dte2 +

dx3dte3 = u1e1 + u2e2 + u3e3 = uiei (3.4)

d

dt=

x1u1 +

x2u2 +

x3u3 +

t

x

(3.5)

Captulo3 Equaes da Continuidade e do Movimento 47

d

dt= u+

t

x

(3.6)

d

dt- derivada total de com relao ao tempo.

u - velocidade de deslocamento do sistema de coordenadas.No caso da descrio material tem-se

[X1(t), X2(t), X3(t), t] (3.7)

onde X1, X2, X3 so coordenadas materiais, isto , denotam a posio de uma partcula defluido em funo do tempo

X1(t) // t

X2(t) // t

AA

99

%%

X3(t) // t

t

assim

t

=D

Dt=

X1

dX1dt

+

X2

dX2dt

+

X3

dX3dt

+

t

X

(3.8)

mas

v =dXidt

ei a velocidade da partcula de fluido, logo

D

Dt= v +

t

X

(3.9)

a derivada substantiva tem uma representao parecida com a derivada total mas difere destapor acompanhar a variao de com o tempo no movimento de um conjunto de partculas defluido.

3.2. A equao da conservao da massa para um fluido puro

Seja o volume de controle apresentado a seguir

Fluxo de massa: v=vA

A

3.2 Equao da Continuidade 48

Figura 3.2: Volume de controle Fluxo de massaque entra noparaleleppedo

Fluxo de massaque sai do

paraleleppedo

= Acmulo de massano

paraleleppedo

vx|x=0yz vx|x=xyz + vy|y=0xz vy|y=y xz+

+ vz|z=0xy vz|z=z xy =

t(xyz)

(3.10)

vxyz vyxz vzxy = xyzt

(3.11)

vc = xyz

vxx

vyy

vzz

=

t(3.12)

Fazendo vc 0

vxx

vyy

vzz

=

t(3.13)

t+ v = 0 (3.14)

Seja agora uma superfcie qualquer envolvendo o volume de controle V.v n dS = fluxo de massa que sai menos o que entra (3.15)

v n = |v| cos Para as sadas: pi

2< 0 logo v n > 0

Para as entradas:pi

2< pi

2, cos < 0 , v n < 0.

Acmulo:

t

dV . Como dV no depende do tempo

t

dV =

tdV


Figura 3.3: Uma superfcie qualquer envolvendo o volume de controle V

Figura 3.4: fluxo de massa

Assim o balano de massa fica

(entra) (sai) = (acumula)

v n dS =

tdV (3.16)

v n dS = vdV (3.17)

assim {

t+ v

}dV = 0 (3.18)

Teorema de Gauss.

t+ v = 0

As equaes da conservao da massa (equaes da continuidade) em suas formas inte-gral e diferencial, so utilizadas, respectivamente, na anlise de problemas macroscpicos einfinitesimais.

V = vA , m = vA

importante salientar que um volume de controle no varia com o tempo e que

tdV (3.19)


Tabela 3.1: Situaes fsicas e aplicaes das equaes da continuidade

Situao fsica Equao integral Equao diferencial

Fludo compressvelem regime

transiente (x, t)

tdV +

v n dS = 0

t+ v = 0

Fludo compressvelem regime

permanente (x)

v n dS = 0

entra m =

sai m v = 0

Fludo incompressvelem regime

transiente = cte.

v n dS = 0

entra V =

sai V v = 0

Fludo incompressvelem regime

permanente = cte.

v n dS = 0

entra V =

sai V v = 0


o acmulo de massa no interior do volume de controle. Assim, pode-se escrever

tdV =

t

dV =

dm

dt(3.20)

Neste ponto importante frisar que:

Volume de controle um volume constante em relao ao tempo mas que pode ter a massaem seu interior como sendo uma funo deste.

Volume material um volume que pode variar com o tempo mas que subentende semprea mesma massa em seu interior.

As equaes da continuidade em suas formas integral e diferencial devem sempre ser utili-zadas para volumes de controle.

Equao da continuidade em sua forma integral:

tdV +

v n dS = 0 (3.21)

Equao da continuidade em sua forma diferencial:

t+ v = 0 (3.22)

Alguns exemplos

Exemplo 3.1. Seja o sistema deseja-se calcular v2.

Figura 3.5: Sistema de diviso de fluxo


Figura 3.6: Duto de seo circular convergente

Hipteses:

Fluido incompressvel escoando em estado estacionrio.Pela equao da continuidade tem-se:

tdV +

v n dS = 0

Como o fluido incompressvel e escoa em estado estacionrio

t= 0

v n dS =

v n dS = 0

logo v n dS =

sadas

V

entradas

V

V = vA = vpid2

4sadas

V =

entradas

V

v2pid224

+ v3pid234

= v1pid214

v2d22 + v3d

23 = v1d

21

v2 =v1d

21 v3d23d22

Exemplo 3.2. Um gs ideal escoa num duto de seo circular e convergente. O escoamento permanente e a presso e temperatura do gs so funes da posio axial. Qual a velocidadedo gs na sada do duto. So conhecidos v1, d1, P1, T1, d2, P2 e T2.

tdV +

v n dS = 0

= (x)

Captulo3 Equaes da Continuidade e do Movimento 53v n dS =

sadas

m

entradas

m = 0

sadas

m =

entradas

1v1A1 = 2v2A2

Para um gs ideal

PV = nRT =m

MRT

=m

V=

PM

RT

P1M

RT1v1pid214

=P2M

RT2v2pid224

v2 =

(P1P2

)(T2T1

)(d1d2

)2v1

Exemplo 3.3. Enchimento/esvaziamento de um tanque.

Figura 3.7: Tanque com alimentao e retirada de massa

Um tanque alimentado com uma vazo volumtrica V1 e do qual retirada uma vazovolumtrica V2. O fluido no tanque um fluido incompressvel e sabe-se que V1 6= V2. Calculara velocidade de variao da altura do nvel do lquido no tanque.

tdV +

v n dS = 0

tdV =

t

dV =

dm

dt

uma vez que V independe de t

dm

dt+

v n dS = 0

dm

dt+ V2 V1 = 0


m = Ah

Adh

dt= (V2 V1)

dh

dt=

V1 V2A

Se V1 > V2 dhdt

> 0 e h cresce com t.

Se V1 < V2 dhdt

< 0 e h decresce com t.

Se, por hiptese, V1 e V2 so constantes e diferentes.

dh

dt=

V1 V2A

h =

(V1 V2

A

)t+ c

h(t = 0) = h0

h = h0 +

(V1 V2

A

)t

Se V1 = V2dh

dt= 0 e h = cte.

e o sistema se encontra em estado estacionrio.

3.3. A equao da conservao da quantidade de movimentopara um fluido puro

Teorema 3.1 (Newton). As foras existem aos pares e quando ocorre um desbalanceamentoentre as foras existe uma modificao da quantidade de movimento do corpo.

j

Fj = Fi (3.23)

onde Fi a fora de inrcia

Fi =d

dt(mv) = m

dv

dt+ v

dm

dt(3.24)

Se a massa do corpo puder ser considerada constante

Fi =d(mv)

dt= m

dv

dt= ma (3.25)


Para um fluido

Fi = Fs + Fk

onde Fs so as foras de superfcie e Fk as foras de campo

Fi =

a dV (3.26)

Fk =

k dV (3.27)

Fs = T n dS (3.28)

onde o sinal - na equao 3.28 representa a resultante sobre o corpo (entra-sai).adV =

kdV

T ndS (3.29)

Mas

T = P I+ T (3.30)P I - tenso normal esttica, devido presso do fluido.T - tenso dinmica ou viscosa que s existe se o fluido estiver em movimento.

T = P I+ T =P 0 00 P 00 0 P

+T11 T12 T13T21 T22 T23T31 T32 T33

(3.31)

T =

T11 + P T12 T13T21 T22 + P T23T31 T32 T33 + P

(3.32)Assim, o balano de foras pode ser rescrito como

adV =

kdV

T ndS

P I n dS (3.33)

MasP IndS e T ndS podem ser transformadas em integrais de volume atravs do teorema

de Gauss.P I n dS =

P dV (3.34)

T n dS = T dV (3.35)

Assim{a k+ T +P} dV = 0 (3.36)

3.3 Conservao do Momentum 56

logo

a = P T +k

fora de inrciavolume

OO

fora de pressovolume

OOOO

fora viscosavolume

OO

fora de campovolume

OO

a DvDt

=v

t+ v v (3.37)

Assim, a equao do movimento em sua forma diferencial

[v

t+ v v

]= P T + k (3.38)

que uma equao vetorial!

v

t=

tviei (3.39)

v v = viei ej xj

vkek = vi

xivkek (3.40)

P = ei Pxi

(3.41)

k = kiei (3.42)

T = ei xi

Tjkejek = Tjkxi

ek (3.43)

A equao do movimento na direo x em coordenadas cartesianas retangulares ser

[vxt

+ vxvxx

+ vyvxvy

+ vzvxz

]= P

x[Txxx

+Tyxy

+Tzxz

]+ gx (3.44)

3.3.1. Casos Particulares(a) Fluido esttico (v = 0)

T v

Dv

Dt= P T + k (3.45)


mas

T = 0 (3.46)

P = k (3.47)

que a equao que rege a esttica dos fluidos

(b) Fluido ideal ( = 0)

T = v = 0 (3.48)

logo

Dv

Dt= P T + k (3.49)

Dv

Dt= P +k (3.50)

Para o caso em que a fora de campo a gravitacional

Dv

Dt= P + g (3.51)

que a chamada Equao de Euler.

3.3 Conservao do Momentum 58

CAPTULO 4

A esttica dos fluidos

4.1. Equacionamento

No campo gravitacional tem-se

Dv

Dt= P T + g (4.1)

P = g

Num sistema de coordenadas retangular

P

x= gx (4.2)

P

y= gy (4.3)

P

z= gz (4.4)

Sendo assim, colocando um dos trs eixos de referncia na direo de g, tem-se que ascomponentes da gravidade nas outras duas direes so nulas. Por exemplo:

Figura 4.1: Variao da presso em um tanque

P

x=

P

y= 0

P

z= g

Isso quer dizer que P constante em relao a x e a y e decresce com o aumento de z, parao caso de um fluido incompresssvel.

59

4.1 Equacionamento 60

Ser adotada a simbologia de que uma distncia vertical para cima h e para baixo z.

dP

dh= g (4.5)

Se e g forem constantes

P = gh+ c1 (4.6)

Sabendo-se que P (h0) = P0 tem-se

P0 = gh0 + c1 ; c1 = P0 + h0g (4.7)

logo

P = P0 g(h h0) (4.8)

No mesmo problema se a origem fosse colocada na superfcie do fluido incompressvel, chegar-se-ia a

Figura 4.2: Direo e sentido do aumento de presso em um tanque

dP

dz= g

P = gz + c P (z = 0) = P0 (4.9)P = P0 + gz (4.10)

e a presso aumenta conforme se desce verticalmente no interior de um fluido incompressvel.Alguns exemplos:

(a) Atmosfera ideal isotrmica

dP

dh= g (4.11)

Para um gs ideal PV =m

MRT e =

m

V=

PM

RT

dP

dh= PM

RTg (4.12)

dP

P= Mg

RTdh (4.13)

Captulo4 A esttica dos fluidos 61

onde g e T so constantes

lnP = MgRT

h+ c (4.14)

P = c exp

[Mgh

RT

](4.15)

P (h = 0) = Pat(presso atmosfrica ao nvel do mar) (4.16)

logo

P = P0 exp

[Mgh

RT

](4.17)

e a presso cai exponencialmente com a altura numa atmosfera ideal e isotrmica.

(b) O barmetro

Seja o experimento em que um tubo cheio com um fluido incompressvel e pouco voltil colocado do ponta-cabea num reservatrio contendo o mesmo fluido.

Figura 4.3: Barmetro

dP

dh= g (4.18)

P = c gh (4.19)

Seja hat a altura do lquido sobre o nvel do mesmo no recipiente. Sabe-se que

P (hat) = Pvapor

Como o lquido por hiptese, muito pouco voltil.

P vapor 0

assim

0 = c ghat (4.20)P = g(hat h) (4.21)

4.1 Equacionamento 62

Fazendo h = 0 como o nvel do lquido no recipiente, pode-se escrever

P (h = 0) = Pat logo (4.22)Pat = g hat (4.23)

hat =Patg

(4.24)

e a presso atmosfrica pode ser medida atravs da altura da coluna de lquido num bar-metro. Por exemplo, se o lquido for o mercrio

= 13, 6g

cm3g = 980

cm

s2

Pat = 1, 016 106dinacm2

hHg =1, 016 10613, 6 980 = 76, 23cm

Se o lquido for a gua

= 1g

cm3

hH2O =1, 016 1061 980 = 10, 36m

Logo a escolha do fluido baromtrico fundamental para uma boa medida.

(c) A esttica dos fluidos e a primeira lei da termodinmica.

d

dt

(Ut +mgh+

mv2

2

)=

mi

(H +

v2

2+ gh

)i

+ Q Ws PextdVtdt

(4.25)

Se o sistema for esttico e isotrmico

mi = 0

No havendo entrada ou sada de calor ou trabalho de eixo.

Q = ws = 0 (4.26)Pext = P sistema esttico (4.27)d

dt

(Ut +mgh+

mv2

2+ PV

)= 0 (4.28)

dUtdt

+d

dt(mgh) +

d

dt

(mv2

2

)+

d

dt(PV ) = 0 (4.29)

Sistema isotrmicodUtdt

= 0

Sistema estticod

dt

(mv2

2

)= 0

d

dt(mgh+ PV ) = 0 (4.30)

mgh+ PV = cte.m = V (4.31)V gh+ PV = cte. (4.32)gh+ P = cte1 (4.33)


assim

P1 + gh1 = P2 + gh2 (4.34)

e a soma doas energias por unidade de volume de presso e potencial so conservadas.

4.2. O manmetro do tipo tubo em U

Este tipo de manmetro um tubo de vidro de pequeno dimetro dobrado na forma de"U"preenchido parcialmente com um lquido e que tem suas extremidades fontes de presso.

Figura 4.4: Manmetro do tipo tubo em U

Da esttica dos fluidos tem-se

dP

dh= g (4.35)

P = gh+ c (4.36)P (h0) = P0 (4.37)P = P0 gh (4.38)

Mas

P0 = P1 + g(x+ h1) = P2 + gx+ mgh1 (4.39)

P1 P2 = (m )gh1 (4.40)

Seja (P1 P2) fixo. Quanto maior (m ) menor h1. O fluido manomtrico deve serescolhido de forma a fornecer valores de h1 que favoream a preciso da medida.

Para valores muito pequenos de (P1P2)mesmo com valores pequenos de (m) obtm-se valores de h1 que comprometem a preciso da medida, devido ao seu pequeno valor. Nestescasos, utiliza-se o manmetro de tubo inclinado.

4.2 O manmetro do tipo tubo em U 64

Figura 4.5: Manmetro tipo tubo em inclinado

4.2.1. Manmetro do tipo tubo inclinado

No manmetro de tubo inclindo uma das pernas do manmetro do tipo tubo em "U"defletida de um ngulo com a vertical,

(P1 P2) = (m )gh (4.41)

mas h = l cos

(P1 P2) = (m )gl cos (4.42)

Conhecido o ngulo , obtem-se um medida mais precisa da diferena de presso, um vezque l maior que h. Quanto maior o valor de , melhor a preciso da medida.

Observa-se que se =0o h = l e se =90o no possvel se ter a medida de l.

4.2.2. O manmetro de Bourdon

Trata-se de um sistema do tipo lngua de sogra coberto com um mostrador, previamentecalibrado. Conforme a presso aumenta a lngua de sogra abre produzindo um deflexo no pon-teiro do mostrador proporcional diferena entre a presso que est sendo medida e a pressoambiente a que o manmetro est submetido.

Figura 4.6: Manmetro de Bourdon

O manmetro de Bourdon, antes de ser utilizado, deve ser calibrado. A calibrao pode serfeita utilizando-se um manmetro de pesos.


Figura 4.7: Manmetro de pesos

4.2.3. Manmetro de pesosm - massa dos pesos padronizados + embolo.A - rea transversal do embolo.

P1 = Pamb +mg

A(4.43)

Conhecidos m e A, determina-se a presso. Com este sistema possvel calibrar outrosmanmetros, com grande preciso.Importante: Todos os manmetros medem diferenas de presso e no presses absolutas.

P1_

OO

Pamb(presso do ambiente em que o manmetro est colocado)_

P2_

P = 0(vcuo absoluto)_

Pm - presso medida pelo manmetro, ou presso manomtrica.

Pm1 = P1 Pamb > 0 (4.44)Pm2 = P2 Pamb < 0 (4.45)

Quando a presso medida menor que a do ambiente em que o manmetro est colocado,a presso manmetrica negativa(vcuo).

4.3. Sistemas fluidos submetidos a uma acelerao constantet = 0 o fluido esta contido no recipiente parado.t > 0 o recipiente acelerado com uma acelerao uniforme e constante. O fluido adquire umanova conformao e permanece parado na nova conformao. A equao do movimento mostraque

a = P T + g (4.46)

4.3 Sistemas submetidos Aceleraes 66

Figura 4.8: Fluido em um recipiente parado

Como o fluido est parado no interior do recipiente que est sendo uniformemente acelerado, omesmo no est sofrendo deformao e T , assim

a = P + g (4.47)

e

P = (g a) (4.48)Nessas condies as isobricas so dadas por planos perpendiculares direo do vetor g = g-a

Figura 4.9: Fora resultante

= ngulo do nvel do lquido com a horizontal = ngulo que vetor g a faz com a vertical.

= arctg|a||g| = arcsen

|a||g a| = arccos

|g||g a| (4.49)

No caso em que g e a tm a mesma direo, tudo funciona como se a acelerao da gravi-dade fosse alterada.

(a) Acelerao para cimag a = g e g > g e tudo ocorre como se o fluido tivesse seu peso aumentado.

(b) Acelerao para baixog a = g e tudo ocorre como se o fluido tivesse seu peso diminuido.Se o recipiente se deslocar para baixo com acelerao igual a da gravidade, ser como se ofluido nele contido no tivesse peso.

Seja o caso do deslocamento do recipiente sobre um plano inclinado de graus com relao horizontal


Figura 4.10: Acelerao para cima Figura 4.11: Acelerao para baixo

Figura 4.12: Foras que atuam no corpo

90 + + = 180 (4.50) = 90 (4.51) = 180 = 180 90 + (4.52) = 90 + (4.53)|g a| = |g|2 + |a|2 + 2|a||g| cos (4.54)cos = cos(90 + ) = sen (4.55)|g a| = |g|2 + |a|2 + 2|a||g| sen (4.56)

o ngulo do plano inclinado com a horizontal.

4.4. A fora de empuxo

Seja um slido flutuando semi imerso em um fluido

Figura 4.13: Imerso do slido

4.4 A fora de empuxo 68

As foras que atuam no slido so (V = V1 + V2)sgdV +

PndS2 =

PndS1 (4.57)

{sg +P2 P1} dV = 0 (4.58)

da esttica dos fluidos

P2 = Gg (4.59)P1 = Lg (4.60) V0

sg dV +

VV10

Gg dV =

V10

Lg dV (4.61)

sgV + GgV GgV1 = LgV1 (4.62)(s + G)gV = (L + G)gV1 (4.63)

onde V1 o volume do slido que est submerso.Como s >> G e L >> G

sgV = LgV1 (4.64)

V1V

=sL

(4.65)

Como V1 < V s < L.Seja s = 0, 95 g/cm3 e L = 1, 05 g/cm3

V1V

=0, 95

1, 05= 0, 905 (4.66)

V1 = 0, 905V (4.67)

e apenas 9,5% do slido no estar submerso.No caso em que s > L, o slido afundar totalmente no lquido.No caso em que s = L o slido ficar suspenso no interior do lquido. Empuxo uma

fora que existe porque a presso em fluido esttico aumenta quando se afunda neste.

Exemplo 4.1.Voc deve transportar um aqurio medindo 12 24 12 in em um carro. Quanto de

gua voc pode deixar no aqurio de modo a ficar razoavelmente seguro de que no havertransbordamento na viagem?

P = (g a)P

xex +

P

yey = (gx ax)ex + (gy ay)ey

P

xex +

P

yey = aex gey


Figura 4.14: Transporte do aqurio

logo

P

x= a

P

y= g

P = P (x, y)

dP =P

xdx+

P

ydy

Numa isobrica dP = 0P

xdx+

P

ydy = adx gdy = 0

dy

dx= a

g

Da figura

e =b

2| tg| = b

2

a

g

Percebe-se que quanto maior b maior e e verifica-se ser aconselhvel colocar a maiordimenso do aqurio numa direo perpendicular ao movimento, assim,

e =12

2

a

g= 6

a

g

O valor mximo permissvel de e ser

e = 12 dAssim

12 d = 6ag

Se o maior valor de a for, por exemplo, a =2

3g

12 d = 6g 2

3g = 4

d = 8 in


Exemplo 4.2.Um vaso cilindrico parcialmente cheio com lquido girado a uma velocidade angular

constante w em torno do seu eixo. Aps um curto perodo de tempo no h movimento rela-tivo entre as partculas de lquido, e o mesmo se movimenta como se fosse um corpo rgido.Determine a forma da superfcie livre.

P = (g a)

P = Perr

+1

r

Pe

+Pezz

g = geza = arer + ae + azez

a = az = 0

ar = w2rP

r= (gr ar) = w2r

1

r

P

= 0

P

z= (gz az) = g

dP =P

rdr +

P

dz

dP = w2r dr g dz

Figura 4.15: Rotao de um vaso cilindrico em torno de seu eixo

P P1 = w2r2

2 g(z h1)

P1 = Pat

P = Pat +w2r2

2 g(z h1)

Na superfcie livre, P = P1 = Patlogo

g(h1) =w2r2

2

z = h1 +w2

2gr2


Como relacionar h1 (altura mnima da superfcie livre do lquido, o que ocorre no eixo docilindro) com h0 (altura do lquido parado)?

Sabe-se que ocorre conservao de volume de lquido, ou sejaAntes do moviento V = piR2h0Aps o movimento

V =

2pi0

R0

z0

r dr d dz

V + 2pi

R0

[h1 +

w2r2

2g

]r dr

V = 2pi

[h1R

2

2+w2R4

8g

]V = pih1R

2 +piw2R4

4g

Igualando o volume inicial e o volume final tem-se

piR2h0 = piR2h1 +

piw2R4

4g

h1 = h0 piw2R4

4g

Voltando equao da superfcie livre do lquido obtm-se

= h1 +w2r2

2g

= h0 w2R2

4g+w2r2

2g

z = h0 w2R2

2g

[1

2( rR

)2]Observaes:

(1) Quanto maior r maior z

(2) Tal equao vlida para h1 0, ou seja

h1min = 0 = h0 w2maxR

2

4g

w2max =4gh0R2

wmax =2

R

gh0


Figura 4.16: Esquema do manmetro

Exemplo 4.3.O manmetro mostrado abaixo contm dois liquidos. O lquido A tem densidade relativa

de 0,88 e o lquido B tem rel = 2, 95. Calcule a deflexo h quando a diferena de pressoP1 P2 for 870Pa.

PM = PM

P1 + Agy = P2 + Ag(y h) + BghP1 P2 = (B A)gh

P1 P2 = 870Pa = (2, 94 0, 88) 103Kgm3

9, 81cms2

h

h =870

(2, 95 0, 88) 9810h = 0, 0428m = 4, 28 cm

Exemplo 4.4.Determine a presso manomtrica em psig no ponto a sabendo que o lquido A tem den-

sidade relativa de 0,75 e o lquido B 1,20. O lquido em torno do ponto a gua e o tanque aesquerda est aberto para a atmosfera.

Figura 4.17: Medidor de Presso


Converso de unidades para o sistema internacinal

36 in = 36 in 0, 0254min

= 0, 9144m

15 in = 0, 381m

5 in = 0, 127m

10 in = 0, 254m

H2O = 1000Kg

m3

A = 750Kg

m3

B = 1200Kg

m3

PM = PM

PM = Pat + 1200 9, 81 0, 914 1200 9, 81 0, 381 750 9, 81 0, 254PM = PAt + 4405, 7 (Pa)

P M = Pa 1000 9, 81 (0, 127 + 0, 254)P M = Pa 3737, 6 (Pa)

Como PM = P M

Pat + 4405, 7 = Pa 3737, 6Pa Pat = 8143, 3 PaPa Pat = 8143, 3Pa 14, 7 lbf/in

2

1, 013 105 PaPa Pat = 1, 18 psig

Exemplo 4.5.O aparato representado na figura abaixo foi concebido para medir a diferena de nvel de

gua entre dois grandes tanques de armazenamento. fundamental que pequenas diferenassejam medidas com preciso. Um leo com densidade menor que 1 usado par fornecer umaampliao de leitura de 10 : 1 numa eventual variao de nvel, ou seja, uma variao denvel entre os tanques provocar uma deflexo no manmetro dez vezes maior. Qual deve ser adensidade relativa do leo?

PM = PM

PM = Pat + g(H + h) g(10H + x)P M = Pat + gH gx og10hPat + gH + gh 10gh gx = Pat + gH gx og10h+ 9gh = og10ho = 0, 9

o

= d = 0, 9


Figura 4.18: Esquema do medidor

Figura 4.19: Esquema do manmetro tipo tubo em U

Exemplo 4.6.Considere o manmetro em U invertido abaixo. Calcule a diferena de presso.

hA = 1610mm = 1, 61m

hB = 1080mm = 1, 08m

hC = 610mm = 0, 61m

PM = PM

PM = P1 H2OghBP M = P2 H2OghC bzg(hB hC)P1 H2OghB = P2 H2OghC +bzghB + bzghC

logo

P1 P2 = H2Pg(hB hC) bzg(hB hC)

P = (H2O bz)g(hB hC)bz = 880Kg/m

3

P = (1000 880)9, 81(1, 08 0, 61)P = 553, 3Pa

Exerccios sobre Viscosidade, presso, unidades


1. Em alguns livros, lei de Newton expressa na seguinte forma:

F =1

gcma

Qual o valor numrico e as unidades de gc nos seguintes casos:

a) Deseja-se F (kgf ); utiliza-se m(kg) e a (m/2).

b) Deseja-se F (lbf ); utiliza-se m(lbm) e a (ft/s2).

c) Deseja-se F (lbf ); utiliza-se m(slug) e a (ft/s2).

2. No escoamento de fluidos, um parmetro freqentemente utilizado o nmero de Reynolds,definido por:

Re =D v

onde e so, respectivamente, a densidade e a viscosidade do fluido, D um compri-mento caracterstico e v uma velocidade caracterstica. Mostre que o nmero de Reynolds adimensional e calcule seu valor numrico para as seguintes condies:

a) = 62 lbm/ft3;

b) = 1 cp;

c) v = 4 ft/s;

d) D = 2 in.

3. A frmula simplificada para transferncia de calor de um tubo para o ar ambiente dada por:

h = 0, 026G0,6

D0,4

onde h o coeficiente de transferncia de calor, dado em BTU/(h ft2oF), G o fluxomssico em lbm/(h ft2) e D o dimetro do tubo, em ft. Se G e D forem expressos emg/(min cm2) e cm, respectivamente, qual ser o novo valor da constante para que h sejaexpresso em cal/(min cm2oC)?

4. Um coeficiente de difuso tem um valor de 0,5 lbm/(h ft2atm). Calcular o valor correspon-dente nas seguintes unidades: g/(s cm2mmHg).

5. 5) Responda se as seguintes afirmativas esto certas ou erradas, justificando a resposta:

a) Um fluido viscoso em repouso ou em escoamento uniforme no apresenta tenses cisa-lhantes.

b) Para o escoamento de um fluido viscoso em uma tubulao as tenses cisalhantes sonulas.

c) Um fluido ideal em escoamento no apresenta tenses cisalhantes.

d) Denomina-se fluido newtoniano aquele que apresenta viscosidade.

6. Qual o valor da fora que deve ser aplicada placa superior da figura 4.20, cuja rea de0,035 m2, para que sua velocidade seja de 0,40 ft/s, sendo de 0,05 in a distncia entre asplacas e 0,09 poise a viscosidade do fluido?. Supor perfil linear de velocidades para o fluidono espao entre as placas.


Figura 4.20: Placas paralelas com fluido no espao interno entre elas

7. Um fluido de Bingham escoa junto a uma placa vertical sendo conhecido o perfil de tensescisalhantes (txy versus x, linear) no fluido. A tenso junto a placa p , que maior que atenso crtica do fluido. Esboar o perfil de velocidade do fluido, justificando e explicandosua forma.

Figura 4.21: Escoamento de um fluido de Binghan junto a uma placa vertical

8. O viscosmetro de cilindros concntricos indica um torque de 3 lbf ft, quando o cilindrointerno gira a 30 rpm. Qual a viscosidade do fluido, admitindo perfil linear de velocidadesdo fluido entre os cilindros.

9. Uma fora de 1000 lbf exerrcida na alavanca AB apresentada na Figura 4.22. A ponta Bda alavanca conectada a uma barra que aciona um pisto de 2 in de dimetro. Qual a foraF que deve ser exercida no pisto maior, de 10 in de dimetro,para que haja equilbrio?

10. No sistema ilustrado na Figura 4.23, calcular a diferrena de nvel entre o leo dos doistanques.

11. Para a Figura 4.24, determinar h.

12. Calcular a presso atmosfrica, expressa em psia, a uma altura de 2 km a partir do nvel domar, sabendo que:

ar se comporta como gs ideal; a temperatura do ar decresce linearmente com a altura, de acordo com a equao, T =To a h, onde a a constante de decrscimo de temperatura (a = 3, 6 103oF/ft)e h a diferena de altura entre o plano considerado e o plano de referncia (nvel domar).


Figura 4.22: equilibrio de foras atravs de pistes

Figura 4.23: diferena de nvel entre dois tanques

Figura 4.24: Diferena de presso entre dois tanques conetados


13. No esquema ilustrado na Figura 4.25, determinar a altura h.

Figura 4.25: Diferena de presso entre tanques

14. Para o sistema ilustrado na Figura 4.26 a seguir, determinar a fora F , expressa em libras-fora, que deve ser exercida no pisto menor para que o sistema permanea em equilbrio. Ofluido dentro do sistema tem a seguinte equao de estado:

= g = K P 1/2

ondeK = 0, 10lb1/2f /ft2. Considere que o pisto maior constitudo por um bloco metlico

de 5 5000 lbm e 1,25 ft2 de rea de seo transversal e que o pisto menor apresenta 0,10ft2 de rea.

Figura 4.26: Sistema de transmisso de presso por pistes

CAPTULO 5

Distribuia de velocidades para sistemasem escoamento laminar isotrmico

5.1. As simplificaes da equao do movimentoA equao do movimento

Dv

Dt= P T + g (5.1)

J foi mostrado que para o caso de fluidos estticos a mesma simplificada para

P = g (5.2)e que para o caso de fluidos estticos linearmente acelerados ela

P = (g a) (5.3)

Para o caso de escoamento de fluidos ideais tem-se a equao de Euler

Dv

Dt= P + g (5.4)

Uma forma bastante importante da equao do movimento aquela que descreve o escoa-mento de fluidos newtonianos com e constantes. A equao que relaciona a tenso com ataxa de deformao (equao constitutiva) para o caso de fluidos newtonianos

T = (v +vT ) + 23( v)I (5.5)

ondevT o tensor gradiente de velocidade transposto

T = (v +vT ) + 23 ( v)I (5.6)

Para o caso de fluidos incompressveis v = 0 (equao da continuidade), logo T = v vT (5.7)

Se o fluido tiver = cte. pode-se escrever

T = v vT = 2v 2vT (5.8)

79

5.1 As simplificaes da equao do movimento 80

Mas

2vT = ei xi

ek vkxj

ej = ik2vkxixj

ej = 2vIxixj

ej =

xj

(vixi

)eJ (5.9)

2vT = ( v) (5.10)

Como v = 0

2vT = 0 (5.11)

Assim, a equaa do movimento para fluidos newtonianos incompressveis e com viscosi-dade constante

Dv

Dt= P + 2v + g (5.12)

que chamada de equao de Navier-Stokes.

5.2. Estudo do escoamento laminar isotrmico e unidimensi-onal de fluidos (estado estacionrio)

(a) Escoamento de um filme lquido sobre um plano inclinado

Seja um fluido escoando sobre um plano inclinado que faz um ngulo com a verticalHipteses

Figura 5.1: Escoamento inclinado Figura 5.2: Escoamento do filme lquido

Raio de curvatura infinito na placa. Fluido newtoniano incompressvel. Escoamento laminar estabelecido.

Captulo5 Distribuio de Velocidades 81

Filme lquido com espessura uniforme. Transferncia de momentum despresvel na interface lquido-gs (gslquido)

vx = 0 (placa no porosa)vz = 0 (placa muito longa,W >> )

Equao da continuidade

t+ v = 0 (5.13)

v = 0 (fluido newtoniano)vxx

+vyy

+vzz

= 0 (5.14)

mas

vx = 0 vxx

= 0 (5.15)

vz = 0 vzz

= 0 (5.16)

logovyy

= 0, vy independe de y. assim

vy(x, y, z, t) = vy(x, z) (5.17)

uma vez que vy no depende de y pela equao da continuidade e independe de t devido aoescoamento permanente.

Como a placa muito larga vy no deve ser funo de z, por questes de simetria. Assim,conclui-se que

vy = vy(x) (5.18)

A equao do movimento na direo y

[vyt

+ vxvyx

+ vyvyy

+ vzvyz

]= P

y+ gy+

[Txyx

+Tyyy

+Tzzz

](5.19)

mas

Escoamento permanente vyt

= 0 (5.20)

vx = 0 vxvyx

= 0 (5.21)

vyy

= 0 vy vyy

(5.22)

vz = 0 vz vyz

= 0 (5.23)

5.2 Escoamento Laminar Estacionrio 82

logo

Py

+ gy +[Txyx

+Tyyy

+Tzzz

]+ gy = 0 (5.24)

P

y= 0 pois o fluido no est submetido a uma diferena de presso para escoar.

gy = g cos (5.25)

Figura 5.3: Composio da gravidade

T = 2v (5.26) T = ei

xi Tjkejek = Tik

xiek (5.27)

2v = v = ei xi

ej xj

vkek =2vkx2i

ek (5.28)

logo

Tikxi

ek = 2vkx2i

ek (5.29)

na direo y

Txyx

= 2vyx2

(5.30)

Tyyy

= 2vyy2

= 0 (vyno funo de y) (5.31)

Tzyz

= 2vyz2

= 0 (vyno funo de z) (5.32)

A equao do movimento na direo y fica, ento

0 = Txyx

+ g cos (5.33)


dTxydx

= g cos (5.34)

Txy = (g cos )x+ c1 (5.35)

Txy(x = 0) = 0 c1 = 0 (5.36)

Txy = (g cos )x (5.37)

Mas Txy = dvydx

dvydx

= (g cos )x (5.38)

vy = g cos 2

x2 + c2 (5.39)

mas vy(x = ) = 0 (placa)

c2 =g2 cos

2(5.40)

vy =g2 cos

2

[1

(x

)2](5.41)

vy(x = 0) = vmax =g2 cos

2(5.42)

vyvmax

= 1(x

)2(5.43)

A vazo volumtrica que est relacionada ao escoamento

V =

vydA =

0

W0

vy(x)dxdz (5.44)

V =

0

W0

vmax

[1

(x

)2]dxdz (5.45)

V = Wvmax

0

{1 x

2

2

}dx (5.46)

V = Wvmax

[

3

32

](5.47)

V =2

3vmaxW (5.48)


Figura 5.4: Escoamento inclinado

v 1A

vdA =

V

A(5.49)

v = 23vmax (5.50)

A fora exercida pelo fluido sobre a placa

F = Txy|x=WL (5.51)F = gWL cos (5.52)

Mas

WL = massa de fluido (5.53)g cos = componente de g na direo y (5.54)

(b) Escoamento laminar estabelecido em um tubo cilndrico vertical com raio R e comprimentoL

Figura 5.5: Escoameno laminar em um tubo cilindrico

P0 = P (z = 0) (5.55)Pl = P (z = l) (5.56)

Hipteses


Escoamento laminar estabelecido Fluido newtoniano incompressvel e isotrmico

vr = 0 (tubo no poroso)v (escoamento no rotacional)

vz = vz(r, , z, t) = vz(r, z) (5.57)

uma vez que h simetria axial vz no funo de e como o escoamento permanente vzno funo de t. Equao da continuidade

t+ v = 0 (5.58)

mas

O escoamento est estabelecido t

= 0

logo

v = 0 (5.59)

v = 1r

r(rvr) +

1

r

v

+vzz

= 0 (5.60)

mas

vr = 0 1r

r(rvr) = 0 (5.61)

v = 0 1r

v

= 0 (5.62)

logovzz

= 0 vzindepende de z (5.63)logo vz = vz(r)

A equao do movimento na direo z (coordenadas cilndricas)

[vzt

+ vrvzr

+vr

vz

+ vzvzz

]= +

Pz

[1

r

r(rTrz) + 1

r

Tz

+Tzzz

]+ g (5.64)

mas

O escoamento est estabelecido vzt

= 0 (5.65)

vr = 0 vr vzr

= 0 (5.66)

v = 0 vr

vz

= 0 (5.67)

vzz

= 0 vz vzz

= 0 (5.68)

vz 6= vz() 1r

Tz

= 0 (5.69)

vz 6= vz(z) Tzzz

= 0 (5.70)


logo

1

r

r(rTrz)

funo de r

= Pz

funo de z

(5.71)

P

z= cte. logo

PL P0L

=P

z(5.72)

Assim, tem-se

1

r

d

dr(rTrz) = (PL P0)

L+ g (5.73)

1

r

d

dr(rTrz) = P0 PL + gL

L(5.74)

Definindo a presso piezomtrica como sendo

P = P gz (5.75)tem-se

1

r

d

dr(rTrz) =

(P0 PL

L

)(5.76)

onde z medida de cima para baixo

d

dr(rTrz) =

(P0 PL

L

)r (5.77)

rTrz =(P0 PL

2L

)r2 + c1 (5.78)

Trz =(P0 PL

2L

)r +

c1r

(5.79)

Apesar de Trz(r = 0) no ser conhecida, sabe-se que deve ser finita, logo c1 = 0 eTrz = (P0 PL)

2Lr

Trz(R) = (P0 PL)2L

R = TR (5.80)

TrzTR =

r

R(5.81)

Para o caso de um fluido newtoniano incompressvel

Trz = dvzdr

(ver tabela (3.2)) (5.82)


dvzdr

=(P0 PL)

2Lr (5.83)

vz = (P0 PL)2L

r2

2+ c2 (5.84)

vz(r = R) = 0 , c2 =(P0 PL)

4LR2 (5.85)

vz =(P0 PL)

4LR2[1

(r

R

)(P0 PL)

2L

2](5.86)

vz(r = 0) =(P0 PL)

4LR2 = vmax (5.87)

vz = vmax

[1

(r

R

)2](5.88)

A vazo volumtrica dada por

V =

vzdA =

2pi0

R0

vzr dr d (5.89)

Figura 5.6: Clculo da rea infinitesimal

V =

2pi0

R0

vmax

[1 r

2

R2

]d r dr (5.90)

V = 2pivmax

R0

{r +

r3

R2

}dr (5.91)

V = 2pivmax

[R2

2 R

4

4R2

]= 2piR2vmax

[1

2 1

4

]=

piR2

2vmax (5.92)


A velocidade mdia do escoamento

v = VA

=V

piR2(5.93)

v = vmax2

=(P0 PL)R2

8L(5.94)

V =piR4

8L(P0 PL) (5.95)

que a equao de Hagen-Poisewille, onde P = P gz e z uma medida para baixo. Afora exercida pelo fluido nas paredes paredes do tubo

F =

Trz(R)dA =

L0

2pi0

TRRRRddz (5.96)

F = 2piRLTR (5.97)

Mas TR =(P0 PL

2L

)R

F = piR2(P0 PL) (5.98)

(c) Escoamento laminar estabelecido de um fluido newtoniano incompressvel em um espaoanular

Figura 5.7: Escoamento em um espao anular

Hipteses:

Escoamento laminar estabelecido FLuido newtoniano incompressvel Escoamento no espao anular cilndrico entre kR e R na direo axial

vr = 0 (cilindros no porosos)

v = 0 (escoamento no rotacional)

vz = vz(r, , z, t) (5.99)


mas existe simetria axial e o escoamento est estabelecido, logo

vz = vz(r, z) kR < r < R (5.100)

Equao da continuidade

t+ v = 0 (5.101)

uma vez que o fluido incompressvel

t= 0 (5.102)

e

v = 0 (5.103)

v (5.104)

1

r

(rvr)

r+

1

r

v

+vzz

= 0 (5.105)

mas

vr = 0 e v = 0

logo

vzz

= 0 vz no depende de z (5.106)

vz = vz(r) (5.107)

Equao do movimento

Dv

Dt= P T + g (5.108)

na direo z

[vzt

+ vrvzr

+vr

vz

+ vzvzz

]= +

Pz

[1

r

(rTrz)r

+1

r

Tz

+Tzzz

]+ g (5.109)

mas

O escoamento est estabelecido vzt

= 0 (5.110)

vr = 0 vr vzr

= 0 (5.111)

v = 0 vr

vz

= 0 (5.112)

vzz

= 0 vz vzz

= 0 (5.113)


logo

Pz

[1

r

(rTrz)r

+1

r

Tz

+Tzzz

]+ g = 0 (5.114)

Considerando-se os cilindros verticais e o eixo z no sentido para cima 1r

Tz

= 0 eTzzz

= 0.

Pz

1r

(rTrz)r

+ g (5.115)

Tz = Tzz = 0 pois vz no varia com ou com z.1

r

d(rTrz)dr

funo de r

= Pz

funo de z

+g (5.116)

Pz

= cte. portanto Pz

=P0 PL

L(5.117)

1

r

d

dr(rTrz) = P0 PL

L g (5.118)

1

r

d

dr(rTrz) = P0 (PL + gL)

L(5.119)

Definiu-se P = P g z onde z a distncia vertical para baixo. No caso de medida dadistncia vertical para cima tem-se P = P + g h.

1

r

d

apostila i - transporte de qntd. movimento (1)

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