DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

GERAÇÃO, TRANSMISSÃO E DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA

AUTORES

Prof. LUIZ FERNANDO BOVOLATO Profa. MARIÂNGELA DE CARVALHO BOVOLATO

MARÇO / 2009

2a

PARTE

PREFÁCIO

Este material didático foi preparado pelo Professor Luiz Fernando Bovolato e pela Professora Mariângela de Carvalho Bovolato tendo como base, principalmente, o livro de Fuchs, Rubens Dario, Transmissão de Energia Elétrica - Linhas Aéreas, volume 1, Rio de Janeiro, Livros Técnicos Editora / Escola Federal de Engenharia de Itajubá, 1977 e o livro de Stevenson Jr., William D., Elementos de Análise de Sistemas de Potência, São Paulo, Editora McGraw – Hill do Brasil, Ltda, 1974, 1ª Edição em língua portuguesa, com o objetivo de suprir a pequena quantidade de exemplares destes livros, existentes na biblioteca e, por estarem esgotadas todas as edições da primeira referência e a 1ª edição da segunda referência bibliográfica citadas. Estes livros, principalmente o primeiro citado, tratam o conteúdo da disciplina Transmissão de Energia Elétrica em sua totalidade e com a profundidade adequada. Os autores deste material didático desconhecem a existência de referência bibliográfica tão completa neste assunto. Com isto desejamos registrar nosso reconhecimento e homenagem à memória do Professor Rubens Dario Fuchs. A segunda referência bibliográfica é um clássico e também aborda com qualidade diversos tópicos necessários ao desenvolvimento da referida disciplina.

Pelos motivos expostos estes livros formam a base do curso ministrado e deste material.

Finalizando desejamos registrar nossos sinceros agradecimentos aos alunos Matheus Bernado Menossi, Rodrigo Mazo Rocha, Rafael Borges Rodrigues e as alunas Talita Tozetto Esteves e Vanessa Rodrigues Puggina, pela colaboração na digitação deste material. Pelo desprendimento, construção de uma vida acadêmica séria e participativa e ainda pelo trabalho em grupo, não temos dúvidas de que serão excelentes profissionais. A todos, o nosso muito obrigado.

Os autores

9.

Indutâncias e reatâncias indutivas

9.1.

Introdução

A expressão linha de transmissão se aplica em todos os elementos de circuitos, que se destinam ao transporte de energia, independente da quantidade transportada.

Nosso enfoque será dado apenas às linhas clássicas, considerando apenas aquelas formadas por ligações físicas entre uma fonte geradora de energia e um elemento consumidor dessa energia. Essa ligação física é feita através de condutores, os quais são mantidos sob diferença de potencial e através dos quais circula corrente elétrica.

Centro de Produção

ou Geração de Energia

Elétrica

Centro de Consumo

ou Distribuição de Energia Elétrica

Linha de Transmissão

Fig. 9.01 – Representação clássica de uma linha de transmissão O transporte de energia elétrica é diretamente influenciado pelos parâmetros

elétricos das linhas. Assim, é necessário o desenvolvimento de equacionamento por meio do qual seja possível a determinação dos valores destes parâmetros, para as mais diferentes configurações das linhas. Neste desenvolvimento serão consideradas as linhas aéreas alimentadas por tensões e correntes que variam senoidalmente no tempo. O equacionamento envolve a determinação de indutâncias, resistências, capacitâncias e condutâncias.

Este transporte pode ocorrer em diferentes níveis de tensão, em geral, influenciado pela quantidade de energia a ser transportada.

9.2.

Conceitos básicos

Serão empregados alguns conceitos básicos, já abordados na disciplina eletromagnetismo, cuja revisão torna-se necessária dada à importância que desempenham desenvolvimento do equacionamento citado.

As soluções matemáticas de fenômenos físicos exigem, em geral, simplificações e idealizações. Assim, a obtenção de uma expressão matemática, a partir de princípios fundamentais deve, além da fórmula, fornecer todas as informações referentes às restrições, aproximações e limitações que são impostas.

9.2.1. Noção de enlace de fluxo ou fluxo concatenado Considere um condutor metálico percorrido pela corrente i[A]. Esta corrente dá

origem a um fluxo magnético φ[Wb], cujas linhas de fluxo enlaçam ou se concatenam com o condutor ou com a corrente que lhes deu origem, conforme figura 9.02. O enlace de fluxo magnético ocorre tanto interna quanto externamente ao condutor.

Fig. 9.02. – (a) Fluxo concatenado com o condutor, (b) Enlaces de fluxos interno e

externo. 9.2.2. Noção de indutância 9.2.2.1. Indutância própria ou auto-indutância(L) Considere o condutor de um circuito conduzindo a corrente i e seja φ o fluxo

gerado por esta corrente que enlaça o circuito, conforme mostra a figura 9.03.

Fig. 9.03. – Enlace de fluxo magnético com o condutor do circuito. Sendo considerada constante a permeabilidade magnética(µ) do meio onde o fluxo

se estabelece, pode-se afirmar que o fluxo varia linearmente com a corrente, conforme mostrado na figura 9.04.

Fig. 9.04. – Variação linear do fluxo magnético com a corrente. Nestas condições pode-se definir indutância própria como sendo fluxo

concatenado por unidade de corrente, isto é:

iL ϕ= [H] (9.01)

9.2.2.2. Indutância mútua(M) Considere o circuito (1) percorrido pela corrente i1 e o circuito (2) conduzindo a

corrente i2. Seja φ12 o fluxo concatenado com o circuito (2) e gerado pela corrente i1 e φ21 o fluxo concatenado com o circuito (1) e criado pela corrente i2

, conforme ilustrado pela figura 9.05.

i

φ

i φ

(a)

r ϕi i

ϕ i

(b)

ϕe

Fig. 9.05. – Enlace de fluxo magnético entre dois circuitos. Define-se indutância mútua como sendo a relação do fluxo concatenado por um

circuito pela corrente que circula no outro, ou seja, pela corrente que deu origem a este fluxo, isto é:

2

21

1

12

iiM ϕ

=ϕ

= [H] (9.02)

9.2.2.3. Reatância indutiva( Xl

)

Considere a indutância L, mostrada na figura 9.06, percorrida por uma corrente •I .

Fig. 9.06. – Queda de tensão entre os terminais da indutância L.

A queda de tensão •

∆V entre os terminais da indutância é dada por:

••=∆ IXjV l [V] (9.03)

Sendo Xl

a reatância indutiva, calculável por:

Lf2Xl π= [Ω] (9.04) Onde: f = freqüência [Hz] 9.2.2.4. Lei circuital de Ampère

“Estabelece que a integral de linha da intensidade de campo magnético(→H ) em

qualquer percurso fechado é igual à corrente(i) enlaçada pelo percurso”.

idlH =⋅∫→→

(9.05)

Dados os vetores →→BeA , conforme mostrado na figura 9.07, o produto escalar

entre eles é dado pela expressão (9.06).

L

(1) (2) ϕ21 ϕ12

M

i1 i2

Fig. 9.07. – Produto escalar entre dois vetores. Com base nos elementos da figura 9.07 o produto escalar é dado pela expressão a

seguir.

ABcosBABA θ=⋅→→

(9.06)

Caso os vetores →→BeA tenham a mesma direção, isto é, sejam paralelos entre si, o

que equivale adotar θAB = 0o

, a equação 9.06 reduz-se a:

BABA =⋅→→

9.3. Indutância de um condutor Considere um condutor cilíndrico, maciço, retilíneo, de comprimento infinito,

homogêneo e perfeitamente isolado ( nenhuma influência externa altera o campo magnético estabelecido pela corrente que circula no próprio condutor ), tal que as linhas de fluxo que enlaçam o mesmo possam ser consideradas concêntricas ao eixo deste condutor.

O campo magnético gerado pela corrente que circula no condutor da origem às linhas de fluxo magnético que se concatenam tanto interna quanto externamente ao mesmo. O enlace de fluxo magnético total será a soma das parcelas de fluxo que enlaçam o condutor interna ( iϕ ) e externamente ( eϕ ), isto é:

ei ϕ+ϕ=ϕ (9.07)

9.3.1. Indutância devido ao enlace de fluxo interno ao condutor Seja r[m] o raio do condutor descrito no item anterior e i[A] a corrente que

percorre o mesmo, conforme mostra a figura 9.08.

Fig. 9.08. – Secção transversal do condutor de raio r percorrido pela corrente i.

x dx

dα

r ϕi

i

θAB

Aplicado a Lei circuital de Ampère na situação representada pela figura 9.08 e

observando que a direção do vetor intensidade de campo magnético (→H ) e a direção do

deslocamento elementar (→dl ) são coincidentes, tem-se:

idlH ′∫ = (9.08)

Sendo i’ a corrente que atravessa a área limitada pela distância radial x, conforme

mostrado na figura 9.08. Da figura 9.08 pode-se extrair que o deslocamento elementar dl pode ser obtido

por: α= dxdl , com α variando no intervalo [0, 2π]. Levando estas considerações na expressão 9.06, resulta:

idxH2

0′=α∫

π

Logo, devido à simetria, H é constante para todos os pontos eqüidistantes do eixo

do condutor, tem-se:

i2xH ′=π (9.09) Considerando que a corrente se distribui uniformemente pela secção transversal do

condutor, isto é, a densidade de corrente é uniforme, com base na figura 9.08, pode-se escrever:

22 ri

xi

π=

π

′

Logo

irxi 2

2=′ (9.10)

Substituindo a expressão 9.08 na igualdade 9.07, obtém-se:

ir2

xH 2π= [A/m] (9.11)

Do eletromagnetismo sabe-se que a densidade de campo magnético(B) é

calculável por:

HB µ= [Wb / m2

] (9.12)

Sendo μ [H/m] a permeabilidade magnética do meio, obtida por: or µµ=µ , onde μr é a permeabilidade relativa do meio e μo

Substituindo a equação (9.09) na expressão (9.10), resulta; é a permeabilidade magnética do vácuo.

ir2xB 2π

µ= (9.13)

A energia armazenada pelo campo magnético no interior de um condutor de raio r

e percorrido pela corrente i pode ser determinada pela expressão dada a seguir.

i21dvB

21E i

r

0

2 ϕ=∫µ

= [W s] (9.14)

Sendo φi

o enlace de fluxo magnético internamente ao condutor e dv o volume de um elemento tubular cilíndrico infinitesimal, de espessura dx, interno ao condutor e cujo eixo coincide com o eixo do mesmo, dado por:

dxx2dv π= (9.15)

Onde ℓ é o comprimento do condutor e x a distância da parede interna do elemento tubular, na direção radial, a partir do eixo do condutor.

Substituindo–se as expressões 9.12 e 9.13 na equação 9.14, resulta:

πµ

=ϕ8

ii

(9.16)

Tomando o fluxo interno para um condutor de comprimento unitário, a expressão

9.14. pode ser reescrita como segue.

πµ

=ϕ8

ii (9.17)

9.3.2. Indutância devido ao enlace de fluxo externo ao condutor Seja r[m] o raio do condutor descrito no item 9.3. Isto é, maciço, retilíneo, de

comprimento infinito, homogêneo e perfeitamente isolado ( nenhuma influência externa altera o campo magnético estabelecido pela corrente i[A] que circula no condutor), tal que as linhas de fluxo que enlaçam o mesmo possam ser consideradas concêntricas ao eixo deste condutor, conforme figura 9.09.

Fig. 9.09. – Secção transversal do condutor de raio r percorrido pela corrente i.

dϕe

d1

P1

P2

d d2

dS dx x

r

i

P

Sejam P1 e P2 dois pontos externos ao condutor, distantes d1 e d2 respectivamente do mesmo. Considere o enlace de fluxo externo ( φe

Aplicado a Lei circuital de Ampère na situação representada pela figura 9.09 e

observando que a direção do vetor intensidade de campo magnético (

) ao condutor compreendido pelas linhas de fluxo que passam por estes dois pontos.

→H ) e a direção do

deslocamento elementar (→dl ) são coincidentes, tem-se:

x2iHπ

= [A/m] (9.18)

Do eletromagnetismo sabe-se que a densidade de campo magnético( B ) é

calculável por:

HB µ= (9.19) Logo

x2iBπµ

= (9.20)

Ainda do eletromagnetismo, sabe-se que o fluxo magnético elementar através de

uma superfície elementar de área dS é dado por:

dSBd =φ (9.21) Com base na figura 9.09, pode-se escrever que a área elementar é dada por:

dxdS = (9.22) Sendo ℓ o comprimento do condutor. Logo.

dxx2id e πµ

=ϕ (9.23)

O enlace externo de fluxo magnético compreendido pelas linhas que passam pelos

pontos P1 e P2

é dado por:

∫π

µ=∫ ϕ=ϕ

2d

1d

2d

1dee x

dx2

id

Logo

1

2e d

dln2

iπ

µ=ϕ

(9.24)

Considerando o fluxo magnético externo para um condutor de comprimento

unitário, tem-se:

1

2e d

dln

2iπ

µ=ϕ (9.25)

Deslocando o ponto P1 para a superfície do condutor e o ponto P2

para uma distância d, além da qual o fluxo pode ser desprezado, resulta:

rdln

2i

e πµ

=ϕ (9.26)

O enlace total de fluxo é obtido substituindo-se na expressão (9.07) as equações

(9.17) e (9.26), resultando.

rdln

2i

8i

πµ

+πµ

=ϕ (9.27)

Colocando π

µ2

i em evidência, tem-se:

4/14/1

erdln

2i

)rdlneln(

2i

)rdln

41(

2i

−πµ

=+π

µ=+

πµ

=ϕ

Fazendo-se r7788,0err 4/1' == − , resulta:

'rdln

2iπ

µ=ϕ (9.28)

Considerando os valores de permeabilidade magnética relativa, mostrados na

tabela (10.1), pode-se assumir que: μr

≈ 1,0.

Tabela 10.1 – Valores típicos de permeabilidade magnética relativa.

Material μr prata 0,9999800 cobre 0,9999910 vácuo 1,0000000

ar 1,0000004 alumínio 1,0000200

Sendo a permeabilidade magnética do vácuo igual a: μo = 4π10-4

[H/km], a equação (9.28.), fica reduzida a:

'4

rdlni10x2 −=ϕ [Wb / km] (9.29)

A grandeza r’ pode ser interpretada como sendo o raio de um condutor fictício, sem enlace de fluxo interno, e que tem a mesma indutância do condutor de raio r.

9.4. Enlace de fluxo magnético entre dois condutores sendo que o retorno de

corrente ocorre por um deles Considere dois condutores maciços, de raios ra e rb, conduzindo respectivamente

as correntes ia e ib

. Seja P um forme ponto imerso no campo magnético gerado pelas correntes que circulam pelos condutores, conforme mostrado na figura 9.10.

Figura 9.10. – Fluxo concatenado entre dois condutores conduzindo correntes. Assumindo que ia + ib = 0, que ra, rb <<< daP, dbP e ainda que ra, rb <<<dab

. Com base nas expressões (9.25) e (9.29), pode-se escrever que o enlace de fluxo com o condutor a, devido a todas às correntes presentes é dado por:

bab

bP4a'

a

aP4a i

dd

ln10x2ir

dln10x2 −− +=ϕ (9.30)

Desmembrando e reagrupando a expressão (9.30), tem-se:

]id1lni

dd

lnir1[ln10x2

]idlnid1lnidlni

r1[ln10x2

bab

abP

aPa'

a

4a

abPbab

aaPa'a

4a

++=ϕ

−++=ϕ

−

−

Deslocando-se o ponto P para o infinito, a relação daP/dbP tende para a unidade e

ln 1 tende para zero, ou seja: P → ∞ daP/dbP Assim, a expressão do fluxo concatenado com o condutor a toma a seguinte

forma.

→ 1 ln 1 → 0

]id1lni

r1ln[10x2 b

aba'

a

4a +=ϕ − (9.31)

Procedendo da mesma forma para o condutor b e adotando notação matricial,

tem-se:

ra,ia rb,ib

daP dbP

P

a

dab

b

=

ϕϕ

−−

−−

b

a

'b

4

ba

4

ab

4'a

4

b

aii

r1ln10x2

d1ln10x2

d1ln10x2

r1ln10x2

(9.32)

Como a distância dab é igual à distância dba

Lembrando da definição de indutância, pode-se afirmar que os elementos da matriz da expressão (9.32) têm dimensão de indutância, são denominados coeficientes de campo magnético e considerando dois condutores genéricos i e j podem ser escritos de forma genérica, como segue.

a matriz da expressão (9.32) é simétrica.

1. Na diagonal principal – coeficiente de campo magnético próprio

]km/H[r1ln10x2 'i

4ii

−= (9.33)

2. Fora da diagonal principal – coeficiente de campo magnético mútuo

]km/H[d1ln10x2ij

4ij

−= (9.34)

9.5. Enlace de fluxo magnético entre dois condutores com retorno de corrente

pelo solo Considere dois condutores maciços, de raios ra e rb, conduzindo respectivamente

as correntes ia e ib

Seja P um ponto imerso no campo magnético gerado pelas correntes que circulam pelos condutores e condutores imagens, conforme mostrado na figura 9.11.

e suspensos acima do nível do solo, conforme mostrado na figura (9.11). Considere ainda o solo ideal ( condutor perfeito ). Como o retorno da corrente pelo solo não é possível de ser estabelecido, admite-se que este retorno se de pelos condutores imagens, também mostrados na figura a seguir.

Figura 9.11. – Fluxo concatenado entre dois condutores com retorno pelo solo.

b

P

dbP daP

dab

a

a’

b’

rb,ib

rb,-ib

ra,ia

ra,-ia

ha

ha

hb

hb

da’P db’P

Dab

Assumindo que, ra, rb <<< daP, dbP e ainda que ra, rb <<<dab

. Com base nas expressões (9.25) e (9.29), pode-se escrever que o enlace de fluxo com o condutor a, devido a todas às correntes presentes é dado por:

bab

P'b4a

a

P'a4b

ab

bP4a'

a

aP4a i

Dd

ln10x2ih2

dln10x2i

dd

ln10x2ir

dln10x2 −−−− −−+=ϕ

(9.35) Desmembrando e reagrupando a expressão (9.35), tem-se:

]idD

lnidd

lnirh2

[ln10x2

]idlnidD

lnidlnirh2

[ln10x2

bab

aba

bP

aPa'

a

a4a

abPbab

abaaPa'

a

a4a

++=ϕ

−++=ϕ

−

−

Deslocando-se o ponto P para o infinito, a relação daP/dbP tende para a unidade e

ln 1 tende para zero, ou seja: P → ∞ daP/dbP Assim, a expressão do fluxo concatenado com o condutor a toma a seguinte

forma.

→ 1 ln 1 → 0

]idD

lnirh2

ln[10x2 bab

aba'

a

a4a +=ϕ − (9.36)

Procedendo da mesma forma para o condutor b e adotando notação matricial,

tem-se:

=

ϕϕ

−−

−−

b

a

'b

b4

ba

ba4

ab

ab4'a

a4

b

aii

rh2

ln10x2dD

ln10x2

dD

ln10x2rh2

ln10x2 (9.37)

Como são iguais as distâncias dab = dba e

Lembrando da definição de indutância, pode-se afirmar que os elementos da matriz da expressão (9.37) têm dimensão de indutância, são denominados coeficientes de campo magnético e, considerando dois condutores genéricos i e j podem ser escritos de forma genérica, como segue.

Dab = Dba, a matriz da expressão (9.37) é simétrica.

1. Na diagonal principal – coeficiente de campo magnético próprio

]km/H[rh2ln10x2 'i

i4ii

−= (9.38)

2. Fora da diagonal principal – coeficiente de campo magnético mútuo

]km/H[dD

ln10x2ij

ij4ij

−= (9.39)

Demonstra-se que grandeza Dij,

distância entre um condutor genérico i e a imagem de um condutor genérico j, de uma configuração qualquer, é determinável pela expressão mostrada a seguir.

ji2ijij hh4dD += (9.40)

9.6. Cabos condutores em linhas de transmissão Nos desenvolvimentos anteriores os condutores foram considerados maciços.

Entretanto, os condutores das linhas de transmissão não são maciços, mas sim encordoados devido a fatores mecânicos e elétricos.

Os cabos condutores podem ser formados por diversos fios ou filamentos de cobre, alumínio ou ainda alumínio com alma de aço, agrupados em coroas superpostas.

Assim, adaptações devem ser feitas nas expressões desenvolvidas anteriormente. Para tanto é necessário o conceito de raio médio geométrico. Este conceito será ampliado quando for considerado o emprego de condutores múltiplos.

Quando for abordado o desenvolvimento de linhas trifásicas ficará explícita a utilização de um recurso denominado transposição. Daí surge a necessidade do conceito de distância média geométrica.

Assim, estes conceitos serão apresentados considerando situações que ocorrem freqüentemente.

9.6.1. Raio médio geométrico 9.6.1. Raio médio geométrico de uma área Considere uma área qualquer representada na figura (9.12.), segmentada em um

número n de áreas elementares.

Figura 9.12. – Área dividida em n áreas elementares. Define-se raio médio geométrico desta área como sendo: “ o limite para o qual

tende a média geométrica das distâncias de cada área elementar a si mesma e a todas as demais quando o número de áreas elementares tende para o infinito. “

Usando notação matemática, tem-se:

2nnn2n1nn22221n11211n d...ddx...xd...ddxd...ddlimrmg ∞→= (9.41)

2

1

n

d12

dn2

d1n

No caso das áreas elementares terem seção circular de raio r, as distâncias de cada área elementar a ela mesma serão todas iguais a: r’ = 0,7788 r.

Considerando os condutores encordoados, formados com diferentes números de

fios de secção circular e sendo r o raio externo deste condutor, seus rmg podem ser colocados em função de r, conforme mostrado na tabela 10.2.

Tabela 10.2. – Raio médio geométrico de condutores encordoados em função de

seus raios externos.

Cabo de raio externo r / formação Raio médio geométrico Cabo com 7 fios homogêneos rmg = 0,726 r Cabo com 19 fios homogêneos rmg = 0,758 r Cabo com 37 fios homogêneos rmg = 0,768 r Cabo com 61 fios homogêneos rmg = 0,772 r Cabo com 91 fios homogêneos rmg = 0,774 r Cabo com 127 fios homogêneos rmg = 0,776 r Cabo maciço rmg = 0,7788 r

O raio médio geométrico de uma coroa circular, onde ri é o raio interno e re

o raio externo da coroa de material condutor, é calculável por:

( )( ) ( )2

i2e

2e

2i

i

e22

i2e

4i

e rr4rr3

rr

lnrr

rrlnrmgln−−

+−

−=

9.7. Distância média geométrica 9.7.1. Distância média geométrica de um ponto a um grupo de pontos Por definição é a média geométrica das distâncias do ponto considerado aos

pontos do grupo. Considerando o grupo de pontos dispostos sobre uma circunferência, conforme a figura 9.13., a dmg do ponto P aos pontos A, B, C e D será dada pela expressão 9.42.

Figura 9.13. – Distâncias do ponto externo aos pontos sobre a circunferência.

4dcba dddddmg = (9.42.)

A da

db B

d O r

dc C

D

dd

P

Aumentando-se indefinidamente o número de pontos sobre a circunferência, a dmg dada pela equação (9.42.) converge para a dmg do ponto externo à circunferência, cujo valor é igual à distância do ponto ao centro da circunferência, ou seja:

dmg = d

Ainda com base na definição anterior e na figura (9.13.) pode-se afirmar que a

dmg de qualquer ponto sobre a circunferência a todos os demais, também sobre a mesma, será igual ao raio, ou seja:

dmg = r 9.7.2. Distância média geométrica de um ponto a uma área Trata-se de um conceito importante uma vez que é grandemente empregado nos

equacionamentos de linhas de transmissão. Considere uma área dividida em n áreas elementares e seja P um ponto externo a

esta área conforme a figura (9.14.).

Figura 9.14. – Distâncias do ponto externo às áreas elementares da área

considerada. Define-se dmg do ponto à área considerada ao limite para o qual tende a dmg do

ponto às áreas elementares que é igual à média geométrica das distâncias do ponto às áreas elementares, quando o número destas áreas elementares tende para infinito.

Empregando notação matemática, a definição acima pode ser colocada sob a seguinte forma.

n

n21n d...ddlimdmg ∞→= (9.43.) Sendo a área circular, a dmg dada pela equação (9.43.) será igual à distância do

ponto ao centro da área, isto é:

dmg = d 9.7.3. Distância média geométrica entre duas áreas Considere duas áreas quaisquer dividas em áreas elementares. Seja m o número

de áreas elementares de uma das áreas e n o número de áreas elementares da outra área, conforme a figura (9.15.).

1

2

n

dn

d2

d1

P

Figura 9.15. – Distâncias entre as áreas elementares de duas áreas quaisquer. Define-se a distância média geométrica entre duas áreas como sendo: “ o limite da

raiz mn-ésima, dos mn produtos das distâncias entre as m áreas elementares de uma das áreas e as n áreas elementares da outra, quando m e n tendem para infinito.”

Em notação matemática, tem-se:

mn mn1mn221n111nem d...dx...xd...dxd...dlimdmg ∞→= (9.44.) Com base na definição é possível concluir que a dmg entre duas áreas circulares é

igual à distância entre os seus centros. Demonstra-se também que a dmg entre duas coroas circulares, também é igual à distância entre os seus centros.

9.8. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas Considera-se, no desenvolvimento a seguir, que os sistemas de energia elétrica

são em geral trifásicos e ainda alimentados, sob condições normais de operação, por tensões simétricas. A determinação de parâmetros elétricos seqüenciais torna-se necessária em decorrência de possível análise de situações desequilibradas.

As indutâncias das fases de uma linha de transmissão trifásica, quando forem, devido à simetria na disposição dos condutores, iguais entre si, não constituem desequilíbrio para a mesma. Entretanto, quando não houver esta simetria as indutâncias das fases serão diferentes entre si provocando desequilíbrio nas correntes das fases, em geral desprezado em conseqüência das assimetrias não serem acentuadas. Quando se deseja reduzi-lo ou mesmo eliminá-lo deve-se empregar um recurso denominado transposição, que consiste em fazer com que cada uma das fases ocupe a posição física das demais por distâncias iguais ao longo do comprimento da linha. Com isto obtém-se uma simetria elétrica média entre os extremos da linha e como conseqüência o equilíbrio eletromagnético independentemente da disposição dos condutores das fases. Desta forma obtém-se a mesma indutância média por fase ao longo do comprimento total da linha.

A não adoção da transposição provoca desequilíbrios que embora possam ser considerados pequenos, provocam deslocamentos no ponto de neutro, que devem ser mantidos em limites reduzidos para que as correntes de seqüência zero resultantes não provoquem atuações indevidas do sistema de proteção.

A figura (9.16.) ilustra um ciclo completo de transposição.

m

2

d2n

d1n

n 1

1

m

dm1

n

d11 d21

dmn

Figura 9.16. – Ilustração esquemática de um ciclo completo de transposição. A finalidade dos cabos pára-raios é proteger as linhas contra descargas

atmosféricas diretamente nos condutores das fases. A presença destes cabos tem sido desprezada no cálculo de indutâncias de seqüência positiva, não o sendo no cálculo das indutâncias de seqüência nula.

Estes cabos podem ser isolados ou múltiaterrados. Quando isolados, empregam-se isoladores de baixa tensão disruptiva que permitem a abertura de arcos nos pontos de aterramento assim que são atingidos por descargas atmosféricas. Formados os arcos estes pára-raios passam a comportar-se como pára-raios aterrados.

9.8.1. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e sem

cabos pára-raios Considere os condutores das fases a, b e c, percorridos respectivamente pelas

correntes ia, ib e ic

, conforme a figura (9.17.). Considere ainda, por construção, que os condutores das fases sejam idênticos e, portanto, tenham o mesmo raio médio geométrico rmg.

Figura 9.17. – Representação esquemática de uma linha de transmissão trifásica a circuito simples e sem cabo pára-raios.

Fundamentado em desenvolvimentos anteriores e na figura (9.17.) é possível

escrever a expressão que relaciona o fluxo concatenado com cada uma das fases com as correntes que circulam pelas mesmas, como segue.

b

b’

Dab

c’

c

a’

a

ha

ha

dab

ℓ

ia

i

ic

ic

ib

ia ic

ib i

ℓ/3 ℓ/

ℓ/3

A

B

C

=

ϕϕϕ

c

b

a

cccbca

bcbbba

acabaa

c

b

a

iii

(9.45.)

A matriz dos coeficientes de campo magnético da equação (9.45.) é simétrica e

seus elementos próprios e mútuos também podem ser calculados por meio de equações desenvolvidas anteriormente.

Considerando o sistema equilibrado tem-se:

ia + ib + ic

= 0 (9.46.)

Neste caso quando a corrente em uma das fases passa pelo seu valor máximo positivo, nas outras duas fases a corrente passa pela metade do valor máximo negativo. Considerando a fase a, tem-se:

ia = imáx ⇒ ib = ic = - (1/2) imáx

(9.47.)

Levando a condição estabelecida na igualdade (9.47.) na expressão (9.45.) e isolando-se a fase a, resulta:

máxacabaamáxa i])(

21[ +−=ϕ

Fazendo-se: máx

máxa

a iL ϕ

= , resulta:

])(21[L acabaaa +−= (9.48.)

Com procedimento idêntico para as fases b e c, tem-se:

])(21[L bcbabbb +−= (9.49.)

])(21[L cbcaccc +−= (9.50.)

As grandezas La, Lb e Lc

denominam-se indutâncias aparentes. Não possuem significado físico, entretanto são aquelas sentidas pela fonte de alimentação da linha, conforme pode ser constatado na figura (9.18.).

Figura 9.18. – (a) Coeficientes de campo magnético, (b) Indutâncias aparentes

“vistas” pela fonte. Conforme citado anteriormente a matriz dos coeficientes de campo magnético da

equação (9.45.) é simétrica e seus elementos próprios e mútuos podem ser calculados por meio das equações desenvolvidas anteriormente e colocadas em função das condições estabelecidas.

9.8.1a. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e sem

cabos pára-raios, desprezando-se o efeito do solo - linha não transposta Neste caso os coeficientes de campo magnético próprio e mútuo são calculados

pelas expressões (9.33.) e (9.34.), respectivamente. Assim, os elementos da matriz da equação (9.45.) podem ser escritos para a

situação da figura (9.17.), conforme segue: 1. Coeficiente de campo magnético próprio Considerando que por construção os condutores das fases sejam encordoados e

ainda que os mesmos sejam idênticos, isto é, tem o mesmo raio médio geométrico rmg, resulta:

rmg1ln10x2 4

ccbbaa−=== (9.51.)

2. Coeficiente de campo magnético mútuo

Considerando as distâncias entre as fases, mostradas na figura (9.17.), diferentes

entre si, os coeficientes também serão diferentes entre si.

cabcab ≠≠

ca

4ca

bc

4bc

ab

4ab d

1ln10x2;d1ln10x2;

d1ln10x2 −−− === (9.52.)

Com isto as indutâncias aparentes, calculáveis pelas equações (9.48.), (9.49.) e

(9.50.), apresentarão valores diferentes, isto é: La ≠ Lb ≠ LcNestas condições, a indutância de serviço ou de seqüência positiva será a média

aritmética das indutâncias aparentes e, calculável pela equação (9.53.).

L1 = Ls = (La + Lb + Lc

) / 3 (9.53.)

(a)

ia

ib

ic

ℓaa

ℓbb

ℓcc

ℓab

ℓbc

ℓca ia

ic

ib

La

Lb

Lc

(b)

Caso os condutores das fases ocupem os vértices de um triângulo eqüilátero, as distâncias ( dab = dbc = dca ), entre as fases, serão iguais entre si e igualmente os coeficientes de campo magnéticos mútuos, isto é: ℓ ab = ℓbc = ℓca

. Nestas condições as indutâncias aparentes serão iguais entre si e iguais à indutância de seqüência positiva ou serviço, ou seja:

La = Lb = Lc = L1 = Ls = ℓaa - ℓab

(9.54.)

9.8.1b. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e sem cabos pára-raios, considerando-se o efeito do solo ideal - linha não transposta

Neste caso os coeficientes de campo magnético próprio e mútuo são calculados

pelas expressões (9.38.) e (9.39.), respectivamente. Assim, os elementos da matriz da equação (9.45.) podem ser escritos para a

situação da figura (9.17.); 1. Coeficiente de campo magnético próprio

Considerando que, por construção, os condutores das fases sejam encordoados,

que os mesmos sejam idênticos, isto é, tenham o mesmo raio médio geométrico rmg e ainda que estes condutores encontrem-se suspensos em alturas diferentes (ha ≠ hb ≠ hc

) acima do solo, os coeficientes próprios são calculáveis pela equação (9.38.). Logo.

ccbbaa ≠≠ Sendo:

rmgh2

ln10x2;rmg

h2ln10x2;

rmgh2

ln10x2 c4cc

b4bb

a4aa

−−− === (9.55.)

2. Coeficiente de campo magnético mútuo

Considerando que: 1. as três distâncias entre as fases não são iguais; 2. as três alturas com relação à superfície do solo são diferentes entre si. Com base nas considerações, ocorrerá que as distâncias entre os condutores das

fases e as imagens dos condutores adjacentes, também serão diferentes entre si, conforme mostra a figura (9.19.). Com isto os coeficientes mútuos também não terão valores iguais, podendo ser calculados pela expressão (9.39.), isto é:

cabcab ≠≠

Sendo:

ca

ca4ca

bc

bc4bc

ab

ab4ab d

Dln10x2;

dD

ln10x2;dD

ln10x2 −−− === (9.56.)

Com as distâncias Dab, Dbc e Dca calculáveis por:

ac2cacacb

2bcbcba

2abab hh4dD;hh4dD;hh4dD +=+=+=

Com isto as indutâncias aparentes, calculáveis pelas equações (9.48.), (9.49.) e

(9.50.), apresentarão valores diferentes, isto é: La ≠ Lb ≠ LNestas condições, a indutância de serviço ou de seqüência positiva será a média

aritmética das indutâncias aparentes, calculável pela equação (9.51.), conforme segue.

c

L1 = Ls = (La + Lb + Lc

) / 3

Com a consideração do efeito da presença do solo não existe disposição dos condutores das fases que satisfaça a condição de igualdade entre os coeficientes próprios e mútuos. A disposição horizontal dos condutores satisfaz a condição de igualdade entre os coeficientes próprios, porém o mesmo não ocorre entre os coeficientes mútuos.

9.8.2. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e sem

cabos pára-raios - linhas transpostas Considere os condutores das fases a, b e c, percorridos respectivamente pelas

correntes ia, ib e ic

Ao considerar-se um ciclo completo de transposição composto por três trechos de igual comprimento e tomando a fase a para desenvolvimento, a expressão (9.45.) pode ser desmembrada, conforme segue.

Considere ainda, por construção, que os condutores das fases sejam idênticos e, portanto, tenham o mesmo raio médio geométrico rmg.

Logo.

1o )iii(31

cacbabaaaT1

a ++=ϕ Trecho: (9.57.)

2o )iii(31

cbabbcabbT2

a ++=ϕ Trecho: (9.58.)

3o )iii(31

ccbbcaaccT3

a ++=ϕ Trecho: (9.59.)

Somando membro a membro as equações (9.57.), (9.58.) e (9.59.), resulta:

i][i][i][31

ccbbaacbcabcabaccbbaaa ++++++++=ϕ

Fazendo-se:

][31

ccbbaaaa ++=−

(9.60.)

e

][31][

31

cbbaaccabcabab ++=++=−

(9.61.)

Resulta:

i][i][i][31

cabbabaaaa

−−−++=ϕ

Sendo que aa− representa o coeficiente médio próprio e ab

− o coeficiente médio

mútuo considerando o ciclo completo de transposição. É importante observar que no caso de linhas transpostas os coeficientes próprios e mútuos, independentemente da disposição dos condutores e das considerações quanto ao efeito da presença ou não do solo, são todos iguais aos respectivos valores médios.

Considerando o sistema equilibrado tem-se:

ia + ib + ic

= 0

Neste caso quando a corrente em uma das fases passa pelo seu valor máximo positivo, nas outras duas fases a corrente passa pela metade do valor máximo negativo. Considerando a fase a, tem-se:

ia = imáx ⇒ ib = ic = - (1/2) i

máx

Logo, tem-se:

máxababaamáxa i])(

21[

−−−+−=ϕ

Fazendo-se: máx

máxa

a iL ϕ

= , resulta:

abaaaL−−

−= (9.62.) Adotando-se procedimento idêntico para as fases b e c encontra-se o mesmo valor

para as indutâncias aparentes destas fases, isto é:

abaacba LLL−−

−=== (9.63.) Assim, verifica-se que no caso de linhas transpostas as fases apresentam a mesma

indutância aparente média por fase e neste caso a indutância de serviço ou de seqüência positiva poderá ser qualquer uma delas, ou seja:

cba1s LLLLL ==== (9.64.)

9.8.2a. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e sem

cabos pára-raios, desprezando-se o efeito do solo - linha transposta Neste caso os coeficientes médios próprios e mútuos são calculados pelas

expressões (9.60.) e (9.61.), nas quais são substituídos os valores de ℓ aa , ℓbb , ℓcc e ℓab , ℓbc , ℓca

, respectivamente, sendo estes últimos definidos pelas expressões (9.51.) e (9.52.), respectivamente.

1. Coeficiente de campo magnético próprio médio Considerando que, por construção, os condutores das fases sejam encordoados,

resulta:

rmg1ln10x2 4

ccbbaa−

−−−=== (9.65.)

2. Coeficiente de campo magnético mútuo médio Independentemente da igualdade ou não das distâncias entre as fases, mostradas

na figura (9.17.), estes coeficientes serão iguais entre si com seu valor dado pela seguinte equação, obtida considerando os valores dos coeficientes ℓ ab , ℓ bc e ℓca,

definidos pelas expressões (9.52.).

3cabcab

4cabcab

ddd1ln10x2 −

−−−===

Fazendo-se: 3

cabcab ddddmg = , resulta.

dmg1ln10x2 4

cabcab−

−−−===

Com isto as indutâncias aparentes, calculáveis pela equação (9.63.) apresentarão

os mesmos valores, isto é: cba LLL == Nestas condições, a indutância de serviço ou de seqüência positiva será igual a

qualquer das indutâncias aparentes, ou seja: a1s LLL == 9.8.2b. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e sem

cabos pára-raios, considerando-se o efeito do solo ideal - linha transposta

Neste caso os coeficientes de campo magnético médios, próprio e mútuo, são

calculados pelas expressões (9.60.) e (9.61.), respectivamente. Assim, para a situação da figura (9.17.) os coeficientes podem ser calculados

conforme segue. 1. Coeficiente de campo magnético próprio Considerando que por construção os condutores das fases sejam encordoados e

ainda que estes condutores encontrem-se suspensos em alturas diferentes(ha ≠ hb ≠ hc

) acima do solo, estes coeficientes são calculáveis por meio da equação (9.60.). Logo.

rmghmg2ln10x2 4

ccbbaa−===

Sendo: 3

cba hhhhmg =

2. Coeficiente de campo magnético mútuo Considerando que as alturas das fases e que as distâncias elas são diferentes entre

si, ocorre em conseqüência, que as distâncias entre os condutores das fases e as imagens dos condutores adjacentes, também serão diferentes entre si, conforme pode ser observado por meio da figura (9.17.). Entretanto, com o emprego da transposição estes coeficientes serão iguais entre si e calculáveis por:

dmgDMGln10x2 4

cabcab−===

Sendo: 3

cabcab DDDDMG = e 3cabcab ddddmg =

Com as distâncias Dab, Dbc e Dca

calculáveis por:

ac2cacacb

2bcbcba

2abab hh4dD;hh4dD;hh4dD +=+=+=

Com isto as indutâncias aparentes, calculáveis pela equação (9.63.), terão o

mesmo valor, isto é: cba LLL == . Nestas condições, a indutância de serviço ou de seqüência positiva será igual a

qualquer das indutâncias aparentes, ou seja: .LLL a1s == 9.8.3. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e com

um cabo pára-raios - linhas não transpostas Considere os condutores das fases a, b e c, percorridos respectivamente pelas

correntes ia, ib e ic, conforme a figura (9.19.). Considere ainda, por construção, que os condutores das fases sejam idênticos e, portanto, tenham o mesmo raio médio geométrico rmg. O cabo pára-raios é representado por r e seu raio médio geométrico é rmgr

.

Figura 9.19. – Representação esquemática de uma linha de transmissão trifásica a circuito simples e com um cabo pára-raios.

ha

r

Dab

b

b’

c’

c

a’

a

ha

dab

r’

dar

Dar

Fundamentado em desenvolvimentos anteriores e na figura (9.19.) é possível escrever a expressão que relaciona o fluxo concatenado com cada um dos cabos com as correntes que circulam pelos mesmos, como segue.

=

ϕϕϕϕ

r

c

b

a

rrrcrbra

crcccbca

brbcbbba

aracabaa

r

c

b

a

iiii

(9.66.)

A matriz dos coeficientes de campo magnético da equação (9.66.) é simétrica e

seus elementos próprios e mútuos também podem ser calculados por meio de equações desenvolvidas anteriormente, dependendo das condições estabelecidas.

A queda de tensão em um trecho desta linha pode ser calculada pela expressão (9.67.) escrita a seguir.

=

∆∆∆∆

r

c

b

a

rrrcrbra

crcccbca

brbcbbba

aracabaa

r

c

b

a

iiii

jw

VVVV

(9.67.)

Representando a equação (9.67.) na forma compacta, tem-se:

[ ] [ ] [ ]

=

∆

∆

pifi

pppf

fpffjwpVfV

(9.68.)

Desmembrando a expressão (9.68.), resulta:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] pfpffff iijwV +=∆ (9.69.)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] pppfpfp iijwV +=∆ (9.70.) No caso de uma linha sem pára-raios a equação (9.69.) fica reduzida à equação

(9.71.) e a equação (9.70.) deixa de existir.

[ ] [ ] [ ] ffff ijwV =∆ (9.71.) Conforme já citado anteriormente o cabo pára-raios pode ser isolado ou aterrado.

Caso seja isolado não haverá corrente induzida circulando pelo pára-raios, ou seja, [ ip ] = [ 0 ]. Levando essa condição na expressão (9.69.) verifica-se que o cabo pára-raios não provoca nenhum efeito sobre os condutores das fases, isto é, os valores das indutâncias não são alterados pela presença dos mesmos. Entretanto as correntes nas fases induzem uma diferença de potencial no cabo pára-raios, conforme pode ser verificado por meio da equação (9.70.). Caso o pára-raios seja aterrado ocorrerá circulação de correntes pelo mesmo e solo. Essa corrente exerce influência nos

condutores das fases conforme pode ser comprovado pela equação (9.69.). Nesse caso a diferença de potencial sobre o cabo pára-raios será nula, isto é, [ ∆V p

] = [ 0 ]. Levando essa condição na expressão (9.70.), pode-se determinar a corrente no pára-raios conforme equação (9.72.).

[ ] [ ] [ ] [ ]fpppfp ii 1−−= (9.72.) Substituindo-se a equação (9.72.) na equação (9.69.), obtém-se:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]fpf1

ppfpfff ijwV −−=∆ (9.73.) Expandindo a expressão (9.73.), resulta:

−−−

−−−

−−−

=

∆∆∆

c

b

a

rr

2cr

ccrr

crbacb

rr

crraca

rr

brrcbc

rr

2br

bbrr

brraba

rr

arrcac

rr

arrbab

rr

2ar

aa

c

b

a

iii

jwVVV

(9.74.)

Sendo: ℓar = ℓra, ℓbr = ℓrb e ℓcr = ℓrcConsiderando o sistema equilibrado tem-se:

.

ia + ib + ic

= 0

Neste caso quando a corrente em uma das fases passa pelo seu valor máximo positivo, nas outras duas fases a corrente passa pela metade do valor máximo negativo. Considerando a fase a, tem-se:

ia = imáx ⇒ ib = ic = - (1/2) i

máx

Levando a condição estabelecida na igualdade anterior na expressão (9.74.) e isolando-se a fase a, resulta:

máxrr

arrcac

rr

arrbab

rr

2ar

aamáxa i])(

21[

−+

−−

−=ϕ

Fazendo-se: máx

máxa

a iL ϕ

= , resulta:

)(21L

rr

crarac

rr

brarab

rr

2ar

aaa

−+

−−

−=

(9.75.)

Com procedimento idêntico para as fases b e c, tem-se:

)(21L

rr

crbrbc

rr

arbrba

rr

2br

bbb

−+

−−

−=

(9.76.)

)(21L

rr

brcrcb

rr

arcrca

rr

2cr

ccc

−+

−−

−=

(9.77.)

Assim, pelas expressões (9.75.), (9.76.) e (9.77.), pode-se afirmar que o cabo

pára-raios exerce influência sobre as indutâncias aparentes de uma linha, embora esta contribuição seja pequena porque a assimetria entre as fases e o pára-raios não representa grandes diferenças entre os coeficientes de campo magnético próprio e mútuo envolvendo estes cabos.

A equação (9.74.) representa a queda de tensão nas fases de uma linha trifásica sem pára-raios equivalente a uma linha trifásica com um cabo pára-raios.

9.8.3a. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e com

um cabo pára-raios e desprezando-se o solo - linhas não transpostas Assim, os elementos da matriz da equação (9.66.) podem ser escritos para a

situação da figura (9.19.), conforme segue: 1. Coeficiente de campo magnético próprio Considerando que por construção os condutores das fases sejam encordoados e

ainda que os mesmos sejam idênticos, isto é, tem o mesmo raio médio geométrico rmg, e ainda que o cabo pára-raios, também encordoado, tenha raio médio geométrico rmgr

r

4ar

4ccbbaa

rmg1ln10x2

rmg1ln10x2

−

−

=

===

, resulta:

(9.78.)

2. Coeficiente de campo magnético mútuo

Considerando todas as distâncias, mostradas na figura (9.19.), diferentes entre si,

os coeficientes também serão diferentes entre si.

cabcab ≠≠

ca

4ca

bc

4bc

ab

4ab d

1ln10x2;d1ln10x2;

d1ln10x2 −−− === (9.79.)

crbrar ≠≠

cr

4cr

br

4br

ar

4ar d

1ln10x2;d1ln10x2;

d1ln10x2 −−− === (9.80.)

Com isto as indutâncias aparentes, calculáveis pelas equações (9.75.), (9.76.) e

(9.77.), apresentarão valores diferentes, isto é: La ≠ Lb ≠ LNestas condições, a indutância de serviço ou de seqüência positiva será a média

aritmética das indutâncias aparentes.

c

9.8.3b. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e com

um cabo pára-raios, considerando-se o solo ideal - linha não transposta Assim, os elementos da matriz da equação (9.66.) podem ser escritos para a

situação da figura (9.19.). 1. Coeficiente de campo magnético próprio

Considerando que, por construção, os condutores das fases e o pára-raios sejam

encordoados e que tenham, respectivamente, os seguintes raios médios geométricos rmg e rmgr, e ainda que estes cabos encontrem-se suspensos em alturas diferentes( ha ≠ hb ≠ hc ) e hr

, acima do solo, os coeficientes próprios são calculáveis por:

ccbbaa ≠≠

r

r4rr

c4cc

b4bb

a4aa

rmgh2ln10x2

rmgh2ln10x2;

rmgh2ln10x2;

rmgh2ln10x2

−

−−−

=

===

(9.81)

2. Coeficiente de campo magnético mútuo

Considerando que: 1. As distâncias entre as fases, assim como as distâncias entre as fases e o pára-

raios, não são iguais entre si; 2. Todas as alturas com relação à superfície do solo são diferentes entre si. Com base nas considerações 1 e 2 acima, ocorrerá que as distâncias entre os

condutores das fases e as imagens dos condutores adjacentes, assim como as distâncias entre os condutores das fases e a imagem do pára-raios, também serão diferentes entre si. Com isto os coeficientes mútuos também não terão valores iguais, podendo ser calculados pelas expressões mostradas a seguir.

cr

cr4cr

br

br4br

ar

ar4ar

crbrar

ca

ca4ca

bc

bc4bc

ab

ab4ab

cabcab

dDln10x2;

dDln10x2;

dDln10x2

dDln10x2;

dDln10x2;

dDln10x2

−−−

−−−

===

≠≠

===

≠≠

(9.82.)

Com as distâncias Dab , Dbc , Dca , Dar , Dbr e Dcr

calculáveis por:

rc2crcrrb

2brbrra

2arar

ac2cacacb

2bcbcba

2abab

hh4dD;hh4dD;hh4dD

hh4dD;hh4dD;hh4dD

+=+=+=

+=+=+=

Com isto as indutâncias aparentes, calculáveis pelas equações (9.75.), (9.76.) e (9.77.), apresentarão valores diferentes, isto é: La ≠ Lb ≠ L

Nestas condições, a indutância de serviço ou de seqüência positiva será a média aritmética das indutâncias aparentes, calculável pela equação abaixo, conforme segue.

c

L1 = Ls = (La + Lb + Lc

) / 3

Com a consideração do efeito da presença do solo não existe disposição dos condutores das fases que satisfaça a condição de igualdade entre os coeficientes próprios e mútuos. A disposição horizontal dos condutores satisfaz a condição de igualdade entre os coeficientes próprios, porém o mesmo não ocorre entre os coeficientes mútuos.

9.8.4. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e com

um cabo pára-raios - linhas transpostas Ao considerar-se um ciclo completo de transposição composto por três trechos de

igual comprimento e tomando a fase a para desenvolvimento, a expressão (9.66.) pode ser desmembrada, conforme segue.

Logo.

1o )iiii(31

rarcacbabaaaT1

a +++=ϕ Trecho: (9.83.)

2o )iiii(31

rbrcbabbcabbT2

a +++=ϕ Trecho: (9.84.)

3o )iiii(31

rcrccbbcaaccT3

a +++=ϕ Trecho: (9.85.)

Somando membro a membro as equações (9.83.), (9.84.) e (9.85.), resulta:

i][

i][i][i][31

rcrbrar

ccbbaacbcabcabaccbbaaa

+++

+++++++++=ϕ

Fazendo-se:

][31

][31][

31

][31

crbrarar

cbbaaccabcabab

ccbbaaaa

++=

++=++=

++=

−

−

−

(9.86.)

Resulta:

i][i][i][i][31

rarcabbabaaaa

−−−−+++=ϕ

Sendo que aa− representa o coeficiente médio próprio, ab

− o coeficiente médio

mútuo envolvendo as fases e ar− o coeficiente médio mútuo envolvendo as fases e o

pára-raios, considerando o ciclo completo de transposição. É importante observar que no caso de linhas transpostas os coeficientes próprios e mútuos, independentemente da disposição dos condutores e das considerações quanto ao efeito da presença ou não do solo, são todos iguais aos respectivos valores médios. Nesta condição a equação (9.74.) pode ser reescrita como segue.

−−−

−−−

−−−

=

∆∆∆

c

b

a

rr

2ar

aarr

2ar

abrr

2ar

ab

rr

2ar

abrr

2ar

aarr

2ar

ab

rr

2ar

abrr

2ar

abrr

2ar

aa

c

b

a

iii

jwVVV

(9.87.)

Considerando o sistema equilibrado, isto é: ia + ib + ic

abaacbas1 LLLLL−−

−=====

= 0. Logo, tem-se:

(9.88.) Assim, verifica-se que no caso de linhas transpostas as fases apresentam a mesma

indutância aparente média por fase e neste caso a indutância de serviço ou de seqüência positiva poderá ser qualquer uma delas. A equação (9.88.) mostra também que o cabo pára-raios não exerce influência sobre as indutâncias ali definidas.

9.8.4a. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e com

um cabo pára-raios, desprezando-se o efeito do solo - linha transposta Neste caso os coeficientes médios próprios e mútuos são calculados pelas

expressões definidas a seguir. 1. Coeficiente de campo magnético próprio médio Considerando que, por construção, os condutores das fases e o pára-raios sejam

encordoados, resulta:

r

4rr

4ccbbaa

rmg1ln10x2

rmg1ln10x2

−

−−−−

=

===

2. Coeficiente de campo magnético mútuo médio Independentemente da igualdade ou não das distâncias entre as fases e das fases e

pára-raios, mostradas na figura (9.19.), estes coeficientes serão iguais entre si com seus valores dado pelas seguintes equações.

3crbrar

4crbrar

3cabcab

4cabcab

ddd1ln10x2

ddd1ln10x2

−−−−

−−−−

===

===

Fazendo-se: 3

crbrarr3

cabcab ddddmgeddddmg == , resulta.

r

4crbrar

4cabcab

dmg1ln10x2

dmg1ln10x2

−−−−

−−−−

===

===

Com isto as indutâncias aparentes, calculáveis pela equação (9.88.) apresentarão

os mesmos valores, isto é: cba LLL == . Nestas condições, a indutância de serviço ou de seqüência positiva será igual a

qualquer das indutâncias aparentes, ou seja: a1s LLL == . 9.8.4b. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito simples e com

um cabo pára-raios, considerando-se o efeito do solo ideal - linha transposta

Assim, para a situação da figura (9.19.), os coeficientes podem ser calculados

conforme segue. 1. Coeficiente de campo magnético próprio

r

r4rr

4ccbbaa

rmgh2ln10x2

rmghmg2ln10x2

−

−

=

===

Sendo 3

cba hhhhmg = , hr a altura e rmgr

o raio médio geométrico do cabo pára-raios.

2. Coeficiente de campo magnético mútuo Considerando as condições estabelecidas na figura (9.19.) e com o emprego da

transposição estes coeficientes serão iguais entre si e calculáveis por:

r

r4crbrar

4cabcab

dmgDMGln10x2

dmgDMGln10x2

−

−

===

===

Sendo as distâncias médias geométricas dadas pelas expressões apresentadas a

seguir.

3crbrarr

3crbrarr

3cabcab

3cabcab

ddddmg

DDDDMG

ddddmg

DDDDMG

=

=

=

=

Com as distâncias Dab, Dbc, Dca, Dar, Dbr e Dcr

calculáveis por:

rc2crcrrb

2brbrra

2arar

ac2cacacb

2bcbcba

2abab

hh4dD;hh4dD;hh4dD

hh4dD;hh4dD;hh4dD

+=+=+=

+=+=+=

Com isto as indutâncias aparentes, terão o mesmo valor e serão calculáveis por:

abaacba LLL −=== . Nestas condições, a indutância de serviço ou de seqüência positiva será igual a qualquer uma das indutâncias aparentes, ou seja: a1s LLL == .

Para uma linha trifásica a circuito simples com um cabo pára-raios, mostrada na figura (9.19.), os vetores e as matrizes representadas na equação (9.68.), são da seguinte ordem:

[ ] [ ] [ ]

=

∆

∆

1x1

1x3

1x13x1

1x33x3

1x1

1x3

pifi

pppf

fpffjw

pVfV

Assim, neste caso, é possível desenvolver literalmente a expressão (9.68.). O

produto matricial, mostrado na expressão (9.89.), decorrente do desenvolvimento da expressão acima, resulta em uma matriz de ordem 3x3, cujos elementos podem ser visualizados nas expressões (9.74.) ou (9.87.), onde se encontram sendo subtraídos dos elementos da matriz [ ]

3x3ff .

[ ] [ ] [ ][ ]

3x33x1pf1

1x1pp1x3fp −− (9.89.)

Com isto é possível obter equações para o cálculo das indutâncias aparentes

considerando o cabo pára-raios aterrado, conforme mostrado pelas expressões (9.75.), (9.76.) e (9.77).

Quando a linha é de circuito simples com dois cabos pára-raios o equacionamento e desenvolvimento da situação anterior continua válido, embora a ordem dos vetores e das matrizes na expressão (9.68.), mostradas a seguir, impossibilite que o desenvolvimento possa ser feito literalmente, devido ao tamanho das expressões daí decorrentes.

[ ] [ ] [ ]

=

∆

∆

1x2

1x3

2x23x2

2x33x3

1x2

1x3

pifi

pppf

fpffjw

pVfV

9.8.5. Indutâncias de linhas de transmissão trifásicas a circuito duplo e com dois cabos pára-raios - linhas não transpostas

Considere os condutores a, b e c, do circuito I, percorridos respectivamente pelas

correntes ia, ib e ic . Os condutores d, e, e f, do circuito II, percorridos respectivamente pelas correntes id, ie e if , conforme a figura (9.20.). Considere ainda, por construção, que os condutores das fases sejam idênticos e, portanto, tenham o mesmo raio médio geométrico rmg. Os cabos pára-raios são representados por r e s e têm o mesmo raio médio geométrico, isto é, rmgr

.

Figura 9.20. – Representação esquemática de uma linha de transmissão trifásica a circuito duplo e com dois cabos pára-raios – algumas distâncias.

Fundamentado em desenvolvimentos anteriores e na figura (9.20.) é possível

escrever a expressão que relaciona o fluxo concatenado com cada um dos cabos presentes na configuração com as correntes que circulam pelos mesmos ou ainda as quedas de tensão nos cabos com as correntes nos mesmos. Neste caso utilizar a queda de tensão é mais conveniente.

=

∆∆∆∆∆∆∆∆

f

e

d

s

r

c

b

a

fffefdfsfrfcfbfa

efeeedeserecebea

dfdedddsdrdcdbda

sfsesdsssrscsbsa

rfrerdrsrrrcrbra

cfcecdcscrcccaca

bfbebdbsbrbcbbba

afaeadasaracabaa

f

e

d

s

r

c

b

a

iiiiiiii

jw

VVVVVVVV

(9.90.)

Adotando notação compacta a equação (9.90.) pode ser reescrita conforme segue.

II I

a s r

r’ s’

b c e f

d

f’

d’

e’ c’ b’

a’

das

dad

daf dae

dab dac

Dab

Dar

Dae

dar

hr

hr ha

ha

[ ][ ][ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ][ ][ ]

=

∆∆∆

1x3II

1x2p

1x3I

3x3II,II2x3p,II3x3I,II

3x2II,p2x2p,p3x2I,p

3x3II,I2x3p,I3x3I,I

1x3II

1x2p

1x3I

iii

jwVVV

(9.91.)

Os dois circuitos podem ser idênticos ou ter características diferentes e ainda,

estar suspensos por uma mesma estrutura ou por estruturas distintas em uma mesma faixa de servidão e operando em paralelismo físico e/ou elétrico.

Considerando os dois circuitos idênticos, a igualdade [ ] [ ]III ii = é verdadeira. Levando esta condição na equação (9.91.) e desmembrando a mesma, resulta:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]iijwV pp,IIII,II,II ++=∆ (9.92.)

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]iijwV pp,pIII,pI,pp ++=∆ (9.93.)

Considerando apenas o circuito I e voltando a expandir as expressões (9.92.) e

(9.93.), tem-se:

+++++++++++++++

=

∆∆∆∆∆

s

r

c

b

a

sssrsfscsesbsdsa

rsrrrfrcrerbrdra

cscrcfcccecbcdca

bsbrbfbcbebbbdba

asarafacaeabadaa

s

r

c

b

a

iiiii

jw

VVVVV

(9.94)

Como já visto o cabo pára-raios pode ser isolado ou aterrado. No caso do pára-

raios ser isolado não há correntes induzidas nos mesmos, isto é, o vetor corrente nos pára-raios tem todos seus elementos nulos ( [ ip ] = [ 0 ] ). Esta condição, levada na expressão (9.94.), mostra mais uma vez que este tipo de pára-raios não exerce influência na queda de tensão nos cabos presentes na configuração. Estando os pára-raios aterrados haverá circulação de corrente nos mesmos e esta condição levada na equação (9.94.) revela sua influência na queda de tensão nos cabos. Considerando que nesta condição o vetor da queda de tensão nos pára-raios tem todos os elementos nulos( [∆Vp] = [ 0 ] ), pode-se reduzir a ordem da matriz da equação (9.94.), incorporando a influência dos pára-raios nos elementos das fases, conforme mostrado na expressão (9.95.), decorrente das expressões (9.92.) e (9.93.). Com isto obtém-se a equação de uma linha trifásica a circuito simples e sem pára-raios equivalente a uma linha trifásica a circuito duplo com dois pára-raios. Com [∆Vp

] = [ 0 ] na expressão (9.93.) obtém-se [ ip ] que substituído na equação (9.92.), resulta:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]III,pI,p1

p,pp,III,II,II ijwV +−+=∆ − (9.95) O resultado do produto matricial ( [ ] [ ] [ ] [ ][ ]II,pI,p

1p,pp,I +− − ) é uma matriz

de ordem 3x3, assim como [ ] [ ][ ]II,II,I + também é uma matriz de ordem 3x3.

Conforme observado em resultados anteriores, o efeito do solo ideal e do pára-raios pode ser desprezado no cálculo das indutâncias de seqüência positiva. Levando esta consideração na expressão (9.94.), a mesma pode ser reduzida para:

+++++++++

=

∆∆∆

c

b

a

cfcccecbcdca

bfbcbebbbdba

afacaeabadaa

c

b

a

iii

jwVVV

(9.96.)

Considerando o sistema equilibrado as indutâncias aparentes serão calculáveis

pelas expressões definidas a seguir.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )][21L

][21L

][21L

cecbcdcacfccc

bfbcbdbabebbb

afacaeabadaaa

+++−+=

+++−+=

+++−+=

(9.97.)

Com procedimento análogo pode-se obter os valores de Ld, Le e Lf . Caso os

circuitos sejam idênticos verifica-se que: La = Ld , Lb = Le e Lc = Lf

1. – Desprezando o efeito do solo, considerado ideal, e o efeito da presença dos pára-raios fazer com que os condutores fase ocupem os vértices de um hexágono;

. As indutâncias aparentes definidas pelas equações (9.97.) são diferentes entre si. Para que venham ser iguais as condições a seguir devem ser preenchidas, isto é:

2. – Empregar transposição. Assim, as indutâncias de serviço ou de seqüência positiva para linhas transposta,

podem ser confundidas com o valor médio das indutâncias aparentes de uma linha não transposta, ou seja:

Ls = ( La + Lb + Lc

)/3 (9.98.)

Levando as equações definidas em (9.97.) na expressão (9.98.), resulta:

Ls = 1/3 ( ℓaa + ℓbb + ℓcc ) + (ℓad + ℓbc + ℓcf ) – 1/2[ 2(ℓab + ℓbc + ℓca

) +

(ℓae + ℓaf + ℓbd + ℓbf + ℓcd + ℓce

)] (9.99.)

Desconsiderando a presença do solo os coeficientes de campo magnético são definidos genericamente por: ℓ ii = 2x10-4 ln ( 1/rmg ) e ℓij = 2x10 -4 ln ( 1/dij

). Escrevendo estes coeficientes para a situação da figura (9.20.) e substituindo-os na equação (9.99.), resulta:

)dddddd

1ln

ddd1ln

ddd1ln

rmg1ln(10x2LL

6cecdbfbdafae

3cabcab

3cfbead

41s

−

+−+== −

(9.100.)

Fazendo-se:

3cabcab ddddmg= - distância média geométrica entre condutores do circuito I;

3

cfbeadI dddD = - distância média geométrica entre os condutores dos circuitos I e II que conduzem corrente de mesma fase;

6cecdbfbdafaeII ddddddD = - distância média geométrica entre os condutores

dos circuitos I e II que conduzem corrente de fases distintas. Logo a equação (9.100.) toma a seguinte forma.

)DDln

rmgdmgln(10x2LL

I

II4s1 +== − (9.101.)

Esta equação difere da sua correspondente para linha de circuito simples pelo

segundo termo do segundo membro, que representa a indutância mútua entre circuitos. Em geral, no caso de linhas a circuito duplo, os dois circuitos são idênticos,

entretanto, pode ocorrer que os circuitos apresentem características diferentes. Por outro lado é freqüente que linhas diferentes encontrem-se operando em paralelo e na mesma faixa de servidão. Nas duas condições descritas as correntes nas fases poderão ser diferentes em módulo e fase.

Para linhas de uma mesma classe de tensão a defasagem entre as correntes é pequena, sendo em geral desprezada.

Quando duas ou mais linhas ocupam a mesma faixa de servidão, ou uma mesma estrutura, mesmo que alimentadas por uma mesma barra, as defasagens entre as correntes podem ser maiores. Nestas condições o valor da indutância mútua é, em geral, muito menor, podendo ser desconsiderada.

Assim, o cálculo das indutâncias para cada um dos circuitos é feito considerando apenas as diferenças físicas.

Logo.

)DDln

rmgdmgln(10x2LL

I

II

I

I4I,sI,1 +== −

)DDln

rmgdmgln(10x2LL

I

II

II

II4II,sII,1 +== −

Nos cálculos de desempenho é de praxe substituir-se uma linha por seu circuito

elétrico equivalente, isto é:

II,1I,1

II,1I,1eq,1 LL

LLL

+=

Quando houver várias linhas em paralelo o procedimento a ser adotado é o

mesmo, isto é, consideram-se todas as indutâncias mútuas entre o circuito sob análise e

os demais. Assim, na equação (9.101.), bastaria ir acrescentando os termos que representam as indutâncias mútuas envolvendo o circuito considerado com os outros circuitos.

9.8.6. Condutores múltiplos em linhas de transmissão - bundle No cálculo da indutância de um condutor múltiplo, considera-se este condutor

substituído por um condutor fictício equivalente. O raio médio geométrico do condutor equivalente deverá ser tal que o fluxo magnético produzido seja igual ao fluxo magnético total a ser produzido pelos subcondutores que formam o condutor múltiplo. Assim tudo se resume na determinação do raio médio geométrico ( RMG ) do condutor equivalente.

Considere um condutor múltiplo formado por n subcondutores iguais e distribuídos sobre um círculo de raio R, conforme a figura (9.21.).

Figura 9.21. – Representação de um condutor múltiplo formado por n

subcondutores iguais e de raio médio geométrico igual a rmg. Demonstra-se que o raio médio geométrico deste condutor múltiplo é dado pela

expressão definida a seguir.

nn1k111 d...d...dRMG =

Onde a variável d11 é o próprio raio médio geométrico de um subcondutor, isto é:

rmg. As grandezas dij

são as distâncias entre os subcondutores que compõe o condutor múltiplo. Logo.

nn1k1 d...d...rmgRMG = (9.102.)

A expressão (9.102.) fornece o raio médio geométrico ( RMG ) de um condutor

múltiplo formado por n subcondutores de raio médio geométrico ( rmg ), podendo ser determinada por meio da definição de raio médio geométrico, desenvolvida no item 9.6.1. O desenvolvimento por meio da definição não leva em conta alguns aspectos físicos que introduzem erros, felizmente suficientemente pequenos para que possam ser desconsiderados.

Os condutores múltiplos empregados em linhas de transmissão são padronizados podendo ser formados por 2, 3, 4 e 6 subcondutores, espaçados entre si por 6, 9, 12, 15 e 18 polegadas.

1

2

d12 d1n

d1k

k

n

R

9.8.7. Correção da altura dos condutores As linhas de transmissão aéreas têm seus condutores suspensos a alturas finitas

acima da superfície do solo. Em condições normais de operação, nas quais as correntes nas linhas podem ser

consideradas equilibradas, o retorno de corrente pelo solo pode ser considerado insignificante e seu efeito sobre os valores das indutâncias pode ser desprezado. Quando ocorrerem faltas assimétricas em sistemas aterrados o retorno da corrente pelo solo influencia no valor das indutâncias. Sendo o solo um condutor não ideal, possui resistência e ainda deve-se atribuir-lhe indutância, seu efeito deve ser considerado nos cálculos, conforme será desenvolvido mais à frente.

Ao serem suspensos os condutores tomam a forma aproximada de catenárias e sua altura com relação à superfície do solo será variável. Nas expressões desenvolvidas emprega-se a altura média dos condutores, calculável pela equação definida a seguir.

h = H – 0,7 f (9.103.)

Onde: h = altura média corrigida, a ser empregada nas expressões desenvolvidas; H = altura de fixação dos condutores na cadeia de isoladores; f = flecha. Esta equação é empregada com a finalidade de promover a correção das alturas

dos condutores com relação à superfície do solo e sua demonstração não é trivial. 9.8.8. Reatância indutiva – emprego de tabelas Conforme já visto, a reatância indutiva é calculável pela seguinte expressão.

xL1 = 2 π f L1,IOnde:

[ Ω / km ] (9.104.)

f = freqüência, [ Hz ]; L1,I

– indutância, [ H / km ].

Assim, levando a expressão mais geral para cálculo da indutância, dada pela equação (9.101.), na expressão (9.104.), tem-se:

)DDln

rmgdmgln(10xf4x

I

II4L I,1

+π= −

A expressão anterior pode ser decomposta em três parcelas conforme segue.

]km

[)DD(ln10xf4)dmg(ln10xf4)

rmg1(ln10xf4x

I

II444L I,1

Ωπ+π+π= −−−

A primeira parcela é denotada por:

)rmg

1(ln10xf4x 4'L

−π=

Denomina-se reatância indutiva para espaçamento unitário e seus valores encontram-se tabelados para condutores singelos e múltiplos em função das características destes condutores e para as freqüências de 50 e 60 Hz. No caso dos condutores singelos as características necessárias são: a bitola e/ou o código e a freqüência. Para os condutores múltiplos necessita-se do código e/ou bitola e ainda do número de subcondutores e espaçamento entre eles. A expressão acima mostra que esta parcela depende da freqüência e do raio médio geométrico do condutor.

A segunda parcela é denotada por:

)dmg(ln10xf4x 4''L

−π=

Esta parcela é denominada fator de espaçamento indutivo e seus valores encontram-se tabelados em função da freqüência e da distância média geométrica – dmg calculada para a linha ou circuito em estudo. Considere que o valor calculado da dmg foi de XY, ZW. Com a parte inteira ( XY, 00 ) do valor da dmg entra-se na escala vertical da tabela calibrada para o intervalo [ 0,00, 20,00 ] e com a parte fracionária ( 0, ZW ) entra-se na escala horizontal cujo intervalo é [ 0,00, 0,90 ]. No cruzamento dos valores definidos nas escalas obtém-se o correspondente valor do fator de espaçamento indutivo. A expressão acima mostra que esta parcela depende da freqüência e da distância média geométrica entre os condutores do circuito.

A terceira parcela é denotada por:

)DD(ln10xf4x

I

II4'''L

−π=

A parcela acima é denominada reatância indutiva mútua entre circuitos e seus

valores encontram-se tabelados em função da freqüência e da relação ( DII/DI) entre as distâncias médias geométricas DII e DI

Caso exista mais do que dois circuitos em paralelo, basta acrescentar as parcelas mútuas entre circuitos correspondentes, conforme expressão a seguir.

calculadas para as distâncias envolvendo os condutores dos dois circuitos. Considere que o valor encontrado para a relação entre as distâncias médias geométricas seja igual a X, YZ. Com a parte até a primeira casa decimal ( X, Y ) do valor da relação entra-se na escala vertical da tabela calibrada para o intervalo [ 0,5, 1,5 ] e com o valor centesimal ( 0, 0Z ) entra-se na escala horizontal cujo intervalo é [ 0,00, 0,09 ]. No cruzamento dos valores definidos nas escalas obtém-se o correspondente valor da reatância indutiva mútua entre circuitos. A expressão acima mostra que esta parcela depende da freqüência e relação entre as distâncias médias geométricas entre os condutores dos circuitos I e II. Verifica-se que esta parcela não existe para linhas de circuito simples.

( ) ( ) ( ) ...xxxxxx 3

'''L2

'''L1

'''L

''L

'LL I,1

+++++=

Onde: ( )1'''

Lx = reatância indutiva mútua entre os circuitos I e II;

( )2'''Lx = reatância indutiva mútua entre os circuitos I e III;

( )3'''Lx = reatância indutiva mútua entre os circuitos I e IV.

10. Resistências e efeito pelicular 10.1. Introdução Constitui-se na principal causa de perda de energia na transmissão. Sabe-se que os condutores apresentam diferentes valores de resistências à

passagem de correntes com diferentes freqüências, sendo esta diferença tanto maior quanto maior for a diferença de freqüências.

Assim, define-se resistência efetiva ou resistência à corrente alternada pela relação definida a seguir.

2ca ]correntedaeficazValor[]condutornodisipadaPotência[r = [Ω/km]

Sendo a potência dissipada no condutor em [KW / km] e a corrente em [A]. Esta

resistência será efetivamente obtida se for medida à mesma freqüência com que as perdas foram determinadas.

Por outro lado a resistência à corrente contínua é definida por meio da expressão mostrada a seguir.

Arcc

ρ= [Ω] (10.01.)

Onde: ρ = resistividade do material do condutor à determinada temperatura, [Ω mm2

ℓ = comprimento do condutor, [m]; /m];

A = área da seção transversal do condutor, [mm2

].

A resistividade de um condutor metálico é afetada pelos seguintes fatores: 1. – Têmpera do material: a resistividade do cobre recozido é menor do que a do

cobre têmpera dura; 2. – Pureza do material: em geral, as impurezas aumentam a resistividade do

material; 3. – Temperatura: a resistividade dos condutores metálicos cresce com o aumento

da temperatura. A tabela apresentada a seguir mostra algumas características de alguns condutores

metálicos mais empregados à temperatura de 20º C. Tabela 10.01. – Características de alguns condutores metálicos.

Material Condutibilidade Resistividade [Ω mm2

T /m] [oC]

Cobre recozido(*) 100% 0,017241 234,5 Cobre têmpera dura 97,3% 0,017720 241,0 Alumínio 61,0% 0,026260 228,0 (*) tomado como padrão

10.2. Efeito da variação da temperatura na resistência A resistividade e em conseqüência a resistência de um condutor metálico variam

com a temperatura conforme indicado na figura a seguir.

Figura 10.01. – Variação da resistência de condutores metálicos com a

temperatura. Sabe-se que a variação é linear dentro dos limites normais de operação a que é

submetido um condutor. Com base na figura (10.01.) e na equação da reta é possível escrever uma

expressão para promover correções nas variações da resistência com a temperatura. A equação da reta que passa por dois pontos (x1, y1) e (x2, y2

) é dada por:

y - y1 = m(x - x1 b = (x

) = m x + b, sendo m = (y2 – y1) / (x2 – x1) e 2y1 – x1y2) / (x2 – x1

)

Representando a temperatura t no eixo y e a resistência r no eixo x, conforme a figura (10.01.) tem-se:

Para x1 = 0 → y1 = -T e para x2 = r2 → y2 = tLogo, levando esta condição na equação da reta acima[ y - y

2.

1 = m(x - x1) ], resulta: t + T = [(t2 + T) / r2

Para x] r.

1 = 0 → y1 = -T e para x2 = r1 → y2 = tLogo, levando esta condição na equação da reta acima[ y - y

1. 1 = m(x - x1) ],

resulta: t + T = [(t1 + T) / r1Igualando-se estas duas expressões resultantes, tem-se:

] r.

[(t2 + T) / r2] r = [(t1 + T) / r1

] r

Logo, resulta:

r2 / r1 = (t2 + T) / (t1

+ T)

Ou ainda

r2 = r1 [(t2 + T) / (t1 + T)] (10.02.)

Onde: r1 = resistência na temperatura t1, r2 = resistência na temperatura t2 T = constante característica do material condutor, conforme tabela (10.01.).

e

A expressão (10.02.) pode ainda ser colocada na seguinte forma:

r2 = r1 [ 1 + αt1(t2 – t1

)]

Sendo αt1 = 1,0 / (t1 + T) [oC]-1

No processo de fabricação os filamentos que compõe o cabo são agrupados em forma de espiral em torno do fio central, resultando em filamentos com comprimento maior que o do próprio cabo. Assim, grosseiramente, estima-se um aumento da resistência, devido ao encordoamento, da ordem de 1% a 2% do valor calculado para um condutor cilíndrico de mesma seção.

o coeficiente de aumento da resistência com a temperatura.

10.3. Contribuição do efeito pelicular na resistência à corrente alternada Em um condutor cilíndrico percorrido longitudinalmente por uma corrente

alternada, a densidade de corrente varia em função da distância radial com relação ao seu eixo longitudinal, sendo máxima junto à superfície. Este fenômeno é conhecido como efeito pelicular (skin effect). Como conseqüência, tem-se um aumento na resistência do condutor à corrente alternada e uma diminuição em sua reatância indutiva interna.

A determinação rigorosa das conseqüências do fenômeno envolve equacionamento com funções de Bessel, segundo expressão apresentada a seguir.

]))mr(ber())mr(bei([)mr(ber)mr(bei)mr(bei)mr(ber

2mr

rr

2'2'

''

cc

ca

+−

= (10.03.)

A dedução desta equação encontra-se desenvolvida na referência: STEVENSON,

W. D. Elementos de análise de sistemas de potência. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1974.

O argumento mr que aparece na equação (10.03.) é definido como segue:

ρµω

=m (10.04.)

Sendo: r0 µµ=µ ;

mH104 7

0−π=µ ;

f2π=ω ;

2cc

ccrr

Ar

π=ρ⇒ρ= .

Tomando ρ por unidade de comprimento, resulta: 2cc rr π=ρ . Levando todas

estas igualdades na expressão (10.04.), resulta:

mi/emrpara1098,635m/emrpara1085,15kcom

rfkmr

cc4

cc4

cc

r

ΩΩ

=

µ=

−

− (10.05.)

Onde: f = freqüência e rcc

= resistência à corrente contínua na temperatura desejada.

Com base na tabela (10.02.) a expressão (10.05.) fica reduzida à equação (10.06.), definida a seguir.

Tabela 10.02. – Valores de permeabilidade magnética relativa de alguns materiais. .

Material Permeabilidade Relativa ( μr )

Prata 0, 9999800 Cobre 0, 9999910 Vácuo 1,0000000 Ar 1,0000004 Alumínio 1,0000200

ccrfkmr = (10.06.)

As funções de Bessel podem ser obtidas por:

Bessel real: ...)!4(

)2/mr()!2()2/mr(1)mr(ber 2

8

2

4−+−=

Bessel imaginária: ...)!5()2/mr(

)!3()2/mr()2/mr()mr(bei 2

10

2

62 −+−=

Os termos )mr(ber' e )mr(bei' são obtidos dividindo-se por m as derivadas em

relação à x de )mx(ber e )mx(bei , fazendo x = r, sendo r o raio externo do condutor. Normalmente os valores de resistência utilizados encontram-se tabelados para

toda a gama de condutores. Entretanto é possível obter estes valores por meio de procedimento bastante prático, como desenvolvido a seguir.

Procedimento: 1. Obtém-se rcc2. Calcula-se mr para a freqüência desejada por meio da expressão

(10.06.);

do condutor maciço desejado e na temperatura desejada;

3. Com o valor de mr calculado entra-se na curva representada na figura (10.02.) obtendo-se o valor da relação rca / rcc. Conhecendo-se rcc, determina-se rca

.

Observações: 1. Nos cálculos de desempenho em linhas de transmissão, a resistência dos

condutores é, em geral, considerada na temperatura de 75o

2. A curva da figura (10.02.) foi obtida por meio da equação (10.03.) para condutores maciços, com r

C como forma de compensar o aumento da temperatura provocado pelo sol e efeito Joule das correntes;

cc em Ω/mi, considerando que o encordoamento tem efeito desprezível na relação rca / rcc , para freqüências até 60Hz.

Figura (10.02.) – Relação rca / rcc para um condutor cilíndrico, com rcc

em Ω/mi. Fig. 4.4, página 76, extraída da referência: STEVENSON, W. D. Elementos de análise de sistemas de potência. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1974.

No caso dos cabos condutores com alma de aço a experiência demonstra que estes cabos comportam-se como condutores tubulares uniformes e como no caso dos condutores homogêneos a sua resistência efetiva pode ser obtida por meio de procedimento idêntico ao do caso anterior, empregando as curvas representadas na figura (10.03.).

Figura (10.03.) – Relação rca / rcc para cabos CAA, com rcc em Ω/mi. Figura 9.2,

página 454, extraída do volume 2 da referência: FUCHS, R. D. Transmissão de energia elétrica: linhas aéreas. Rio de Janeiro: LTC, 1977. 2v.

10.4. Contribuição do efeito pelicular na indutância interna de um condutor A indutância interna de um condutor também é alterada em conseqüência deste

fenômeno, e como no caso da resistência pode ser determinada por meio da expressão definida a seguir.

]))mr(ber())mr(bei([)mr(ber)mr(ber)mr(bei)mr(bei

mr4

LL

2'2'

''

i

i

++

= (10.07.)

Sendo ]m/H[8

Li πµ

= a indutância interna de um condutor admitindo

distribuição uniforme de corrente. A relação definida pela expressão (10.07.) aumenta à medida que a freqüência

diminui, tornando-se unitária quando a freqüência cai para zero. À medida que a freqüência aumenta a relação diminui em conseqüência do efeito pelicular que provoca maior concentração de corrente junto à superfície do condutor, provocando a redução do enlace de fluxo magnético interno.

Figura (10.04.) – Relação

i

i

LL para um condutor cilíndrico, com iL calculada pela

expressão acima. Fig. 4.5, página 78, extraída da referência: STEVENSON, W. D. Elementos de análise de sistemas de potência. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1974.

A figura (10.04.) representa os valores extraídos da equação (10.07.) e permite obter, com procedimento similar ao empregado para as resistências, Li

iLtendo-se os

valores de mr e . Nas tabelas o valor da reatância indutiva para espaçamento unitário encontra-se

ajustado para a freqüência especificada. Nas expressões definidas para o cálculo dos coeficientes de campo magnético próprio ou da reatância indutiva para espaçamento unitário a correção é feita por meio do valor do raio médio geométrico que é ajustado para a freqüência que o acompanha. Desta forma o efeito pelicular fica incorporado nos cálculos das indutâncias e/ou reatâncias indutivas.

11. Impedâncias das linhas de transmissão São constituídas por uma componente real ( resistência à corrente alternada ) e

uma componente imaginária ( reatância indutiva na freqüência do sistema ). É representada por:

Lcaca xjrLf2jrz +=π+=•

Caso a linha seja formada por condutores múltiplos e sendo n o número de

subcondutores por condutor múltiplo, a resistência a ser empregada na expressão da impedância será 1/n do valor da resistência de um subcondutor.

Da mesma forma que para as indutâncias, pode-se definir uma matriz de impedâncias, cuja ordem depende do número de circuitos e pára - raios.

11.1. Componentes real e imaginária da impedância de circuitos com retorno

pelo solo As expressões desenvolvidas anteriormente, para o cálculo das reatâncias

indutivas, consideram o sistema equilibrado. Estas reatâncias nos sistemas desequilibrados são as de seqüência positiva e negativa. Para que os sistemas desequilibrados possam ser analisados é necessário obter-se também as reatâncias de seqüência nula ou zero.

As componentes de seqüência nula das correntes, em sistemas trifásicos, são iguais em módulo e fase, fluindo pelos condutores das fases e retornando pelo solo, condutor neutro, pára – raios ou uma combinação destes percursos. Como, em geral, o solo é envolvido, sua resistividade deve ser considerada, bem como a distribuição das correntes no mesmo. Com este objetivo foram desenvolvidos os métodos desenvolvidos a seguir.

11.1.1. Método de Carson – “exato” No desenvolvimento do método os condutores foram considerados paralelos ao

solo e este com resistividade uniforme em todas as direções e tendo extensão infinita. Mostrou que as impedâncias próprias e mútuas de circuitos com retorno pelo solo,

considerado real, são iguais às impedâncias para um circuito envolvendo solo ideal corrigida por um fator definido por: ∆R + j ∆XL

Considere a figura (11.01.) onde estão representados dois condutores suspensos acima do solo e seus retornos através dos respectivos condutores imagens.

.

Figura 11.01. – Condutores com retornos individuais pelo solo.

Com base nos elementos da figura (10.01.), Carson definiu as impedâncias

próprias e mútuas para circuitos com retorno pelo solo. 1.1.a. – Impedância própria de circuitos com retorno pelo solo:

)XjR(f108rmg

h2lnf104jrz L4

i

i4iiii ∆+∆π+π+= −−

• [ Ω / km] (11.01.)

1.1.b. – Impedância mútua de circuitos com retorno pelo solo:

)XjR(f108dDlnf104jz L

4

ik

ik4ik ∆+∆π+π= −−•

[ Ω / km] (11.02.)

O fator de correção (∆R + j ∆ XL

) é função de duas variáveis, definidas por Carson como segue.

a.1. - Para as impedâncias próprias:

0ii =θ

ρ= − fh10620,5p i

3ii , com ρ em [Ω / m3

]

b.1. - Para as impedâncias mútuas:

]hh

x[tgarcki

ikik +

−=θ

ρ= − fD101004,28p ik

4ik , com ρ em [Ω / m3

]

Sendo as componentes ∆R e ∆XL

definidas por.

]km/[]1536

4cosp2453cosp

2sen16p)

p2ln6728,0(2cos

16pcos

23p

8 [R

33

22

Ωθπ

−θ

+

+θθ++θ+θ−π

=∆

(11.03.)

]km/[])0895,1p2ln(

384cosp

3844senp

2453cosp

642cospcosp

231

p2ln

210386,0[X

44

32

L

Ω+θ

−θθ

−

+θ

+θπ

−θ++−=∆

(11.04.)

Assim, a matriz de impedâncias corrigidas por meio da metodologia de Carson, considerando o solo um condutor real, será dada por:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

f108sendo

XXjRrZ4

LLc,b,a

corr−π=ξ

∆ξ++∆ξ+= (11.05.)

A matriz [ r ] é diagonal e as demais são cheias. A ordem da matriz

[ ] c,b,acorrZ depende do número de circuitos e do número de pára-raios. Caso este seja

aterrado esta matriz pode ser reduzida à ordem 3x3, representativa de uma linha trifásica equivalente a circuito simples e sem pára - raios.

11.1.2. Método aproximado Trata-se de uma simplificação do método de Carson, denominado exato.

Resultados analisados mostram que as simplificações introduzem erros aceitáveis. A simplificação consiste em desprezar os termos das equações de ∆R e ∆XL

8 R π

=∆

que contenham θ. Nestas condições resulta:

p2ln

210386,0XL +−=∆

Ou seja, o termo ξ [∆R] torna-se constante e proporcional à freqüência da rede enquanto que o termo ξ [∆XL

Com isto as impedâncias próprias e mútuas passam a ser calculadas por:

] é proporcional à resistividade do solo e inversamente proporcional à freqüência.

1.2.a. – Impedância própria de circuitos com retorno pelo solo:

i

442iiii rmg

f37,658

lnf104j)f10r(z

ρ

π+π+= −−•

[ Ω / km ] (11.06.)

1.2.b. – Impedância mútua de circuitos com retorno pelo solo:

ik

442ik d

f37,658

lnf104jf10z

ρ

π+π= −−•

[ Ω / km ] (11.07.)

Sendo f

37,658Deρ

= em metros.

Os termos imaginários das expressões (11.06.) e (11.07.) são os coeficientes de

campo magnético próprios e mútuos, multiplicados por 2πf, corrigidos pela substituição de 2hi por De , na expressão dos coeficientes próprios e Dik por De , na expressão dos coeficientes mútuos. A distância De

pode ser interpretada como sendo aquela entre os condutores e um único condutor de retorno de corrente e de diâmetro unitário, conforme mostrado na figura (11.02.).

Figura 11.02. – Retorno de corrente por meio de um condutor de retorno único. A tabela mostrada a seguir traz alguns valores típicos de resistividade e valores da

distância equivalente De para a freqüência de 60 Hz, e mostra que os valores desta distância são muito grandes quando comparados com as distâncias horizontais xik

entre os condutores i e k.

Tabela 11.01. – Valores típicos de resistividade e distâncias equivalentes – tabela 7.1., página 332, extraída do volume 2 da referência: FUCHS, R. D. Transmissão de energia elétrica: linhas aéreas. Rio de Janeiro: LTC, 1977. 2v.

Elemento Resistividade

[ Ω /m3D

] [ m ] e

Água do mar 0,01 a 1,0 8,5 a 85,0 Solo pantanoso 10,0 a 100,0 268,8 a 850,0 Terra seca 1.000 2.688,0 Pedregulho 1,0 x 10 268.800,0 7 Arenito 1,0 x 10 2.688.000,0 9 Valor médio de um grande número de medições

100,0

850,0

Embora a simplificação do método de Carson possa parecer drástica, o método

vem sendo empregado pela sua simplicidade mesmo diante de diferenças da ordem de 10% em cálculos comparativos, pois nem mesmo este grau de certeza pode-se ter com relação aos valores de resistividade do solo. A resistividade de um mesmo tipo de solo varia muito em função da umidade do mesmo. Medições realizadas obtiveram valores de resistividade da ordem de 10.000 [ohm/m3] em época de seca e 1.000 [ohm/m3

] em período de chuva, para o solo de arenito.

11.2. Impedâncias seqüenciais das linhas de transmissão A forma mais rápida e direta de obter as impedâncias seqüenciais de linhas de

transmissão é por meio de transformação matricial. Este procedimento fornece as impedâncias de seqüência positiva, negativa e nula. Além destas fornece ainda possíveis impedâncias interseqüenciais.

Considere o trecho de linha mostrado na figura a seguir.

Figura 11.03. – Segmento de uma linha trifásica. A queda de tensão entre os extremos R e S, em componentes de fase, da linha é

dada por:

[ ] [ ] [ ] c,b,ac,b,a3x3

c,b,aRS IZV =∆ (11.08.)

A queda de tensão e a corrente colocadas em termos de componentes simétricas

podem ser escritas conforme segue.

[ ] [ ] [ ] 2,1,0RS

c,b,aRS VAV ∆=∆ (11.09.)

[ ] [ ] [ ] 2,1,0c,b,a IAI = (11.10.) Substituindo-se as expressões (11.09.) e (11.10.) em (11.08.), resulta:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] 2,1,0c,b,a3x3

12,1,0RS IAZAV −=∆ (11.11.)

Sendo as matrizes [ A ] e [ A ]-1

definidas por:

[ ] [ ]

=

= −

aa1aa1111

31Ae

aa1aa1111

A2

21

2

2

O produto matricial na equação (11.11.) é a matriz de impedâncias seqüenciais,

sendo designada por:

[ ] [ ] [ ] [ ]AZAZ c,b,a3x3

12,1,03x3

−= (11.12.) A matriz de impedâncias em componentes de fase [ ] c,b,a

3x3Z pode representar a matriz de qualquer linha trifásica, seja ela sem, com um ou dois pára-raios e ainda com um ou mais circuitos, reduzida à ordem 3x3, cujos elementos podem agregar os efeitos dos outros circuitos e ainda o efeito de pára-raios aterrados.

Considerando a matriz resultante do processo de redução [ ] c,b,a3x3Z dada a seguir, o

desenvolvimento do produto matricial, mostrado na expressão (11.12.), fornece a matriz de impedâncias seqüenciais [ ] 2,1,0

3x3Z , também definida a seguir.

[ ]

=

cccbca

bcbbba

acabaac,b,a

3x3

ZZZZZZZZZ

Z

(11.13.)

[ ]

=

222120

121110

0201002,1,0

3x3

ZZZZZZZZZ

Z

(11.14.)

Expandindo, os elementos da matriz definida na expressão (11.14.), são

calculáveis por.

)ZZZ(32)ZZZ(

31Z cabcabccbbaa00

+++++= (11.15.)

)ZZZ(31)ZZZ(

31ZZ cabcabccbbaa2211

++−++== (11.16.)

As impedâncias 00Z , 11Z e 22Z são respectivamente as impedâncias de seqüência

nula, positiva e negativa da linha. As impedâncias interseqüenciais 01Z , 02Z , 10Z , 12Z , 20Z e 21Z se forem

diferentes de zero anulam a simplificação introduzida pela ferramenta componente simétrica. Estas impedâncias são calculáveis por:

)ZaZZa(32)ZaZaZ(

31Z ca

2bcabccbb

2aa12

+++++=

)ZaZZa(32)ZaZaZ(

31Z cabcab

2cc

2bbaa21

+++++=

)ZaZZa(31)ZaZaZ(

31ZZ cabcab

2cc

2bbaa0210

++−++==

)ZaZZa(31)ZaZaZ(

31ZZ ca

2bcabccbb

2aa2001

++−++==

A simplificação ocorre quando estas últimas são iguais a zero. Para que as

impedâncias interseqüenciais sejam nulas é necessário que haja transposição, fazendo com que as impedâncias próprias sejam iguais entre si e as mútuas também sejam iguais entre si, ou seja:

cabcab

ccbbaa

ZZZ

ZZZ

==

==(11.17.)

Considerando-se as igualdades definidas a seguir, as impedâncias seqüenciais

mostradas nas equações (11.15.) e (11.16.) ficam reduzidas às equações (11.18.) e (11.19.).

)ZZZ(31Z

)ZZZ(31Z

cabcabab

ccbbaaaa

++=

++=

Logo.

abaa00 Z2ZZ += (11.18.)

abaa2211 ZZZZ −== (11.19.) E a matriz de impedâncias seqüenciais passa a ser definida por.

[ ]

=

22

11

002,1,0

3x3

Z000Z000Z

Z

12. Capacitâncias, reatâncias e susceptâncias capacitivas. 12.1. Introdução Para o desenvolvimento das equações que definem as capacitâncias das linhas de

transmissão são feitas idealizações que irão agregar erros aos valores calculados. Estas idealizações são: considerar os condutores com secção cilíndrica, retilíneos, isolados entre si e com relação ao solo, e ainda paralelos entre si e ao solo. Estas considerações não são verdadeiras em linhas reais. Os condutores por serem formados por diversos filamentos não possuem curvatura única. Os cabos suspensos entre estruturas assumem a forma de catenária, tendo sua altura variável ao longo do vão. As estruturas de sustentação quando metálicas estão ao mesmo potencial do solo, comportando-se como eletrodos, provocam o aumento das capacitâncias parciais entre os condutores e o solo. Os isoladores, ou as cadeias de isoladores, se comportam como capacitores inseridos entre os condutores e a estrutura.

Todas estas idealizações são fontes de erros. Entretanto, apenas a primeira não é a mais significativa devido ao fato de que todas as distâncias envolvidas são muito maiores que o diâmetro dos condutores. Além disso, os condutores das linhas, em geral, apresentam grandes diâmetros e elevado número de filamentos na camada externa, tornando a curvatura quase que única. No caso de condutores múltiplos, os campos de cada subcondutor se compõem com os demais para formar um único. Assim, torna-se suficiente o emprego do raio externo do condutor para o cálculo das capacitâncias. A variação das alturas é compensada com a correção segundo procedimento apresentado no cálculo das indutâncias. Embora, não possa ser considerado exato, verifica-se que o procedimento é satisfatório. No tocante às outras idealizações, recomenda-se um aumento no valor das capacitâncias parciais entre fase e terra, em torno de 5%.

Embora pequeno, o erro por considerar a superfície do solo como uma eqüipotencial de potencial nulo, pode suplantar os demais. Talvez este plano devesse ser considerado coincidente com o lençol freático, que se encontra a uma desconhecida profundidade sob a linha, cuja determinação é impraticável. Com relação a esta idealização não é feita nenhuma correção.

Os condutores de uma linha de transmissão, quando energizados, ficam sujeitos a uma diferença de potencial entre si e com relação ao solo. No processo de energização, a linha absorve cargas da fonte da mesma forma que um capacitor. Quando submetida a uma tensão alternada, em um ponto qualquer dos condutores, a carga elétrica varia segundo a variação do valor instantâneo da tensão. Esta movimentação de cargas constitui-se em uma corrente, denominada de corrente de carregamento(carga ou capacitiva). Para linhas aéreas curtas seu efeito é geralmente desprezado, não podendo ser desconsiderado no caso de linhas longas de tensões elevadas onde seu efeito pode afetar o comportamento da linha.

12.2. Conceitos básicos 12.2.1. Lei de Gauss “ O fluxo elétrico que atravessa uma superfície fechada é numericamente igual à

carga envolvida por esta superfície “

Figura 12.01. – Fluxo elétrico através de uma superfície fechada. Onde: Q = carga envolvida pela superfície – [ Coulombs – C ]; S = área da superfície fechada – [ metro2 – m2

Φ = fluxo elétrico que atravessa a superfície. ];

Com base na definição pode-se escrever:

QN=ϕ (12.01.)

Define-se densidade de fluxo elétrico por:

SQ

SD =

ϕ= [ C/m2

] (12.02.)

Do eletromagnetismo sabe-se que a intensidade de campo elétrico, no espaço livre, pode ser obtida por:

ε=

DE [ V/m] (12.03.)

Onde ε é a permissividade elétrica do meio – [ F/m ], sendo dada por: r0 εε=ε

Como a permissividade relativa do meio( εr

), para o espaço livre(ar) vale 1(um), a expressão (12.03.) reduz-se a:

0

DEε

= [ V/m] (12.04.)

12.2.2. Campo elétrico devido a um condutor longo e retilíneo carregado Considere o condutor maciço, longo e retilíneo mostrado na figura (12.02.).

Considere ainda que este condutor esteja carregado com uma densidade linear de cargas e afastado da influência de cargas externas. Nestas condições o fluxo elétrico será radial e todos os pontos eqüidistantes do condutor estarão sobre uma superfície equipotencial e terão a mesma densidade de fluxo elétrico.

Figura 12.02. – Condutor retilíneo carregado. Sendo l o comprimento do condutor, a área da superfície equipotencial será:

S = 2 π x l Considerando a área por unidade do condutor tem-se: S = 2 π x . Assim, a

densidade de fluxo elétrico através da superfície será:

x2QDπ

= [ C/m2

]

Onde Q é o valor instantâneo da carga por unidade de comprimento do condutor considerada uniformemente distribuída em sua superfície e x é à distância do centro do condutor à superfície equipotencial. Assim, para estas condições a intensidade de campo elétrico será dada por:

x2QE

0επ= [V/m] (12.05.)

12.2.3. Diferença de potencial entre dois pontos situados no campo de uma

carga Q Considere um condutor longo e retilíneo mostrado na figura (12.03.) carregado

com carga Q[C/m].

Figura 12.03. – Pontos situados no campo de uma carga Q distribuída na

superfície de um condutor. O ponto P1 por estar mais próximo da carga encontra-se a um potencial mais

elevado que o ponto P2. Portanto para deslocar uma carga q, também positiva, do ponto P2 ao ponto P1 realiza-se trabalho contra as forças do campo. Para que a carga q vá de P1 para P2

Do eletromagnetismo sabe-se que a diferença de potencial entre dois pontos, situados no campo elétrico de uma carga Q, é numericamente igual ao trabalho(Joules/Coulomb) necessário para levar uma carga de prova q(q=1C) de um destes pontos ao outro, independentemente do percurso realizado. Assumindo o percurso P

o campo realiza trabalho.

1P’2P2

tem-se:

+

=2

'2

'21

12 PparaPde

qvarleparaTrabalho

PparaPde

qvarleparaTrabalhov (12.06.)

A segunda parcela da expressão (12.06.) é nula considerando que os pontos P’2 e

P2Define-se trabalho como sendo o produto da força pelo deslocamento.

estão ao mesmo potencial, isto é, sobre a mesma superfície equipotencial.

Ainda do eletromagnetismo sabe-se que sobre uma carga q colocada em um campo elétrico aparece uma força dada por:

EqF

= [N] Assim, a integral de linha entre dois pontos, da força que age sobre a carga de

prova é o trabalho realizado para movimentar esta carga entre os pontos considerados. Logo, como q = 1C resulta:

∫ ∫== 21

'2

1

PP

PP12 xd.Eld.Ev

Como xdeE

tem a mesma direção tem-se:

dxx2

Qdx.Ev 21

21

dd

dd

012 ∫ ∫

επ==

Assim o valor instantâneo da diferença de potencial entre os pontos P1 e P2

será:

1

2

012 d

dln2

Qvεπ

= [V] (12.07.)

O valor de v12 pode ser positivo ou negativo, dependendo do sinal de Q ou ainda

do valor de d2 ser maior ou menor do que o valor de d1

.

12.2.4. Diferença de potencial entre dois condutores carregados Considere os dois condutores cilíndricos, paralelos entre si, cujos raios valem r1 e

r2, conforme mostrado na figura (12.04.)

Figura 12.04 – Dois condutores cilíndricos, maciços e carregados. Considere inicialmente que apenas o condutor 1 encontra-se carregado com uma

carga Q1 enquanto que o condutor 2 encontra-se descarregado. Verifica-se que o campo criado pela carga Q1

Assim, assumindo o ponto P

deforma-se nas proximidades do condutor 2, isto porque este último é uma superfície equipotencial e encontra-se ao potencial da superfície que o corta. Isto, entretanto, não altera a d.d.p. entre os condutores, uma vez que esta d.d.p. pode ser determinada passando por percursos que não atravessam a região distorcida. É sabido que qualquer caminho adotado leva ao mesmo resultado.

1 sobre o condutor 1 e o ponto P2 sobre o condutor 2, resulta d1 = r1 e d2 = d12

Logo a d.d.p. devido apenas à carga Q.

1

é dada por:

1

12

0

1Q12 r

dln2

Qv 1

επ=

Supondo agora que apenas o condutor 2 encontra-se carregado com carga Q2,

resulta d1 = d12 e d2 = rLogo a d.d.p. devido apenas à carga Q

2 2

será dada por:

12

2

0

2Q12 d

rln2Qv 2

επ= (12.08.)

Considerando a superposição de efeitos tem-se:

12

2

0

2

1

12

0

112 d

rln2Q

rdln

2Qv

επ+

επ= (12.09.)

Fazendo-se Q1 = Q e Q2

= -Q a expressão (12.09.), reduz-se a:

]drln

rdln[

2Q

v12

2

1

12

012 −

επ= (12.10.)

Considerando que r1 = r2

= r, a expressão (12.10.) transforma-se em:

rdln

Qv 12

012 επ

= (12.11.)

Para a condição em que Q1 = + Q, Q2 = -Q e r1 = r2 = r e estando os condutores

paralelos entre si, existirá entre os mesmos à distância d12

/2 um plano sobre os qual todos os pontos estão ao potencial zero. Assim, este plano pode ser confundido com um condutor neutro.

12.2.5. Diferença de potencial entre condutor carregado e o solo. Considere um condutor de raio r e carregado com uma carga Q suspenso acima

do solo conforme mostrado na figura (12.05.).

Figura 12.05 – Condutor carregado com carga Q e suspenso acima do solo. Conforme visto anteriormente o solo pode ser representado por um condutor

fictício, denominado condutor imagem, carregado com uma carga –Q e a uma profundidade h com relação à superfície do solo.

Com base na equação (12.11.) e com as condições estabelecidas na figura (12.05.), tem-se:

rh2ln

Qv

011 επ=′ (12.11.)

Desta forma tomando-se o potencial do condutor com relação a um condutor

neutro de potencial nulo, resulta:

rh2ln

2Q

v21v

011n1 επ== ′ (12.12.)

12.2.6. Diferença de potencial entre condutores carregados e o solo. Considere a situação da figura (12.06.) onde dois condutores de raios r1 e r2,

carregados com cargas Q1 e Q2 respectivamente, instantâneas e uniformemente distribuídas ao longo de seus comprimentos, encontram-se suspensos acima do solo.

Figura 12.06 – Condutores carregados e suspensos acima do solo. A d.d.p. instantânea do condutor 1 com relação ao solo devido a todas as cargas

presentes pode ser escrita com base em resultados anteriores. Assim, considerando o condutor 1 e, empregando as expressões (12.08.) e (12.12.), resulta:

12

2

0

2

12

2

0

2

10

1n1 D

rln2Q

drln

2Q

rh2ln

2Qv

επ−

επ+

επ= (12.13.)

Manipulando a expressão (12.13.), obtêm-se:

12

12

0

2

1

1

0

1n1 d

Dln2Q

rh2ln

2Qv

επ+

επ= (12.14.)

Considerando o condutor 2 e precedendo de forma análoga, resulta:

2

2

0

2

21

21

0

1n2 r

h2ln2Q

dDln

2Qv

επ+

επ=

Adotando notação matricial, tem-se:

επ=

2

1

2

2

21

21

12

12

1

1

0n2

n1

QQ

rh2ln

dDln

dDln

rh2ln

21

vv

(12.15.)

Considerando notação compacta a equação (12.15.) transforma-se em:

[ ] [ ] [ ]QEv = (12.16.)

A matriz [ E ] denomina-se matriz dos coeficientes de potencial elétrico ou ainda matriz dos coeficientes de campo elétrico. Para ε 0

dado em [F/km], a unidade dos elementos da matriz será [km/F]. Estes elementos podem ser escritos na forma genérica para diversos condutores i e j que estejam presentes na configuração, conforme segue:

a. Coeficientes de campo elétrico próprios: i

i

0ii r

h2ln2

1eεπ

= [km/F]

b. Coeficientes de campo elétrico mútuos: ji

ji

0ji d

Dln

21eεπ

= [km/F]

Onde: hir

= altura média do i-ésimo condutor; i

D = raio do i-ésimo condutor; i j

d = distância do i-ésimo condutor à imagem do j-ésimo condutor;

i j

= distância do i-ésimo ao j-ésimo condutor.

12.2.7. Definição de capacitância. Define-se capacitância entre dois condutores como sendo a carga nos condutores

pela diferença de potencial entre eles, isto é:

vQC = [ F/km ] (12.17.)

Onde: Q = carga nos condutores – [ C/km]; v = diferença de potencial entre os condutores – [ V ]. Exemplo: aplicação dos conceitos no cálculo da capacitância entre dois

condutores. Considere a figura mostrada a seguir, onde dois condutores de raios r1 e r2

encontram-se carregados respectivamente com as cargas +Q e –Q.

Com base em definições e resultados anteriores é possível escrever:

]drln

rdln[

2

]drln

rdln[

2Q

QvQC

12

2

1

12

0

12

2

1

12

0

1212

−

επ=

−επ

==

Considerando r1 = r2 = r a equação anterior fica reduzida a:

rdln

C12

012

επ=

No cálculo da capacitância de linhas de transmissão é de grande interesse

conhecê-las com relação a elementos de potencial nulo. Como a d.d.p. entre condutores e neutro é a metade da d.d.p. entre condutores, a capacitância do condutor para o neutro será o dobro da capacitância entre condutores.

A figura mostrada a seguir ilustra esta situação.

Sendo:

rdln

2C2CC 012n2n1

επ===

No cálculo da d.d.p. entre condutores carregados e solo chegou-se a uma

formulação matricial representada pela equação (12.16.).

[ ] [ ] [ ]QEv = A partir desta equação, tem-se:

[ ] [ ] [ ]vEQ 1−= (12.18.) Considerando a definição de capacitância para uma configuração de múltiplos

condutores, pode-se escrever:

[ ] [ ] [ ] 1vQC −= (12.19.) Da expressão (12.19.) obtêm-se:

[ ] [ ] [ ]vCQ = (12.20.) Comparando a expressão (12.18.) com a equação (12.20.), resulta:

[ ] [ ] 1EC −= (12.21.) A igualdade representada pela equação (12.21.) revela que a inversa da matriz dos

coeficientes de potencial elétrico é a própria matriz de capacitâncias escrita para a mesma configuração de condutores.

A figura (12.07.) mostra dois condutores carregados e suspensos acima do solo e as capacitâncias envolvendo os condutores( C12 ) e ainda as capacitâncias envolvendo os condutores e o solo( C1n e C2n ).

Figura 12.07 – Capacitâncias entre condutores e condutores e solo. Para o arranjo representado na figura (12.07.), pode-se escrever:

=

2

1

2221

1211

n2

n1

QQ

eeee

vv

(12.22.)

Onde: vi ne

= ddp entre o i-ésimo condutor e o solo; i i e ei j

Q são os coeficientes de potencial elétrico próprios e mútuos para o arranjo;

i

= carga do i-ésimo condutor.

Da equação (12.22.) obtêm-se:

∆∆

∆∆=

n2

n1

2221

1211

2

1

vv

ff

ff

QQ

(12.23.)

Onde: ∆ = determinante da matriz [ E ]; fii e fij

são os menores co-fatores da matriz adjunta da matriz [ E ] transposta.

A partir da definição de capacitância e considerando o arranjo da figura (12.07.) pode-se escrever:

Q1 = C1n v1n + C12 v12 = C1n v1n + C12 (v1n – v2n) = ( C1n + C12 ) v1n – C12 v

2n

Q2 = C21 v21 + C2n v2n = C21 (v2n – v1n) + C2n v2n = – C21 v1n + ( C2n + C21 ) v

2n

Adotando notação matricial, resulta:

+−

−+=

n2

n1

21n221

1212n1

2

1

vv

CCCCCC

QQ

(12.24.)

Comparando as matrizes das expressões (12.23.) e (12.24.), tem-se:

∆+

=⇒

∆−=⇒−=

∆

+=∆ 1211

n112

121212

12n111

ffCfCCf

CCf

∆+

=⇒

+=∆

∆−=⇒−=

∆ 2221n2

21n222

212121

21ffC

CCf

fCCf

O determinante da matriz [ E ] vale: Δ = e11 e22 – e12 e21. Considerando o método

clássico de inversão de matrizes, os menores co-fatores valem: f11 = e22, f12 = -e12, f21 = -e21 e f22 = e11

Logo as capacitâncias definidas pelas expressões acima podem ser colocadas em função dos coeficientes de campo elétrico, próprios e mútuos, conforme segue.

.

∆−

= 1222n1

eeC ∆

= 1212

eC

∆−

= 2111n2

eeC ∆

= 2121

eC

Como a matriz dos coeficientes de campo elétrico é simétrica, os coeficientes

mútuos são iguais entre si, isto é, e12 = e21, portanto as capacitâncias C12 e C21

]dDln

dDln

rh2ln

rh2ln[

21

dDln

rh2ln

C

21

21

12

12

2

2

1

1

0

12

12

2

2

n1−

επ

−=

também serão iguais entre si. Considerando que os coeficientes são determináveis pelas expressões desenvolvidas anteriormente, as capacitâncias ficam perfeitamente definidas, ou seja:

]dDln

dDln

rh2ln

rh2ln[

21

dDln

rh2ln

C

21

21

12

12

2

2

1

1

0

21

21

1

1

n2−

επ

−=

]dDln

dDln

rh2ln

rh2ln[

21

dDln

CC

21

21

12

12

2

2

1

1

0

12

12

2112−

επ

==

As capacitâncias C1n e C2n são as parciais entre os condutores 1, 2 e solo. A

capacitância C12 é a parcial entre os condutores 1 e 2. A figura (12.07.) mostra que as capacitâncias parciais C1n e C2n estão em série e a resultante desta associação, em paralelo com a capacitância parcial C12

.

n2n1

n2n1

n2n1

n CCCC

C1

C1

1C+

=+

=

A fonte de alimentação enxerga a resultante final desta associação, ou seja:

n2n1

n2n112n12 CC

CCCCCC+

+=+=

A capacitância definida pela expressão anterior denomina-se aparente. NOTA: Inversão clássica de matrizes Considere a matriz [ E ] a ser invertida, dada por:

[ ]

=

333231

232221

131211

eeeeeeeee

E

O determinante desta matriz, ∆, é obtido por meio da regra de Kramer. ∆ = e11 e22 e33 + e12 e23 e31 + e13 e21 e32 – ( e13 e22 e31 + e11 e23 e32 + e33 e12 e21

)

Ou ainda

3231

222113

)31(

3331

232112

)21(

3332

232211

)11( )1()1()1(eeee

eeeee

eeeee

e +++ −+−+−=∆

A matriz transposta da matriz [ E ] é dada por:

[ ]

=

332313

322212

312111T

eeeeeeeee

E

A matriz adjunta é obtida a partir da matriz [ E ]T

conforme segue.

−−−

−−−

−−−

=

+++

+++

+++

2212

2111)33(

3212

3111)23(

3222

3121)13(

3332

2322)32(

3313

3111)22(

3323

3121)12(

2313

2212)31(

3313

3212)21(

3323

3222)11(

eeee

)1(eeee

)1(eeee

)1(

eeee

)1(eeee

)1(eeee

)1(

eeee

)1(eeee

)1(eeee

)1(

]E[adj

Ou seja:

=

333231

232221

131211

fffffffff

]E[adj

Sendo:

f11 = e22 e33 – e23 e

32 f12 = - e12 e33 + e13 e f32 13 = e12 e23 – e13 e

f

22

21 = - e21 e33 + e23 e

31 f22 = e11 e33 – e13 e f31 23 = - e11 e23 + e13 e

f

21

31 = e21 e32 – e22 e

31 f32 = - e11 e32 + e12 e F31 33 = e11 e22 – e12 e

21

A matriz inversa da matriz [ E ] será:

∆∆∆

∆∆∆

∆∆∆

=∆

=−

333231

232221

131211

1

fff

fff

fff

]E[adj]E[

12.3. Capacitâncias de linhas trifásicas. 12.3.1. Introdução Cada condutor está acoplado capacitivamente aos demais condutores, pára-raios e

solo. Estas capacitâncias são aquelas denominadas parciais. A representação de um acoplamento equivalente pode ser complexa, dependendo do numero de condutores e pára-raios presentes na configuração da cabeça de torre da linha.

As denominadas capacitâncias aparentes são grandezas fictícias entre os condutores e um elemento de potencial nulo(solo), que produzem sobre a fonte de alimentação da linha o mesmo efeito que as capacitâncias associadas. É por meio destas capacitâncias que se pode evidenciar possíveis desequilíbrios eletrostáticos existentes nas linhas, anulado pelo emprego da transposição.

Nos circuitos e modelos das linhas, são empregadas as capacitâncias de serviço ou de seqüência positiva, obtidas a partir das aparentes ou por meio de transformação direta.

As capacitâncias de seqüência nula, usadas em cálculos de curtos-circuitos assimétricos, também podem ser obtidas a partir das capacitâncias aparentes ou ainda por transformação direta.

12.3.2. Capacitâncias de linhas trifásicas a circuito simples sem pára-raios. Considere a figura (12.08.) representativa destas linhas, onde estão mostradas

todas as capacitâncias parciais presentes.

Figura 12.08. – Linha trifásica a circuito simples e sem pára-raios. Para a linha da figura (12.08.) a matriz dos coeficientes de potencial elétrico será

simétrica e dada por:

[ ]

=

cccbca

bcbbba

acabaa

eeeeeeeee

E

Sendo sua inversa a matriz fornecida a seguir.

∆∆∆

∆∆∆

∆∆∆

=−

cccbca

bcbbba

acabaa

1

fff

fff

fff

]E[ (12.25.)

Ainda com base em desenvolvimentos anteriores a matriz de capacitâncias escrita

para a mesma configuração - figura (12.08.) é fornecida pela expressão (12.26.), isto é:

++−−−++−−−++

=

cn

bn

an

cbcacncbca

bcbcbabnba

acabacaban

c

b

a

vvv

CCCCCCCCCCCCCCC

QQQ

(12.26.)

Comparando a matriz da expressão (12.25.), com a matriz da expressão (12.26.),

elemento por elemento, encontram-se os valores da todas as capacitâncias parciais presentes, definidas por:

∆−= ab

abfC

∆++

= acabaaan

fffC

∆−= bc

bcfC

∆++

= bcbbbabn

fffC

∆−= ca

cafC

∆++

= cccbcacn

fffC

Como os menores co-fatores e o determinante da matriz [E] são definidos em função dos coeficientes de campo elétrico, todas as capacitâncias parciais ficam perfeitamente determinadas, uma vez que a matriz de capacitâncias é simétrica.

Em um sistema equilibrado quando a tensão em uma das fases passa pelo seu valor máximo positivo, nas demais passa por metade do valor máximo com o sinal trocado. Assim, considerando a expressão (12.26.) e isoladamente a fase a, quando a tensão passa pelo valor máximo( Vmáx. ), a carga nesta fase também assume o valor máximo( Qmáx.

), permitindo escrever:

.máxacabacabana

.máx V])CC(21)CCC([Q ++++= (12.27.)

Fazendo .máx

a.máx

a VQC = na equação (12.27.), resulta:

)CC(23CC acabana ++= [F/km] (12.28.)

Com procedimento análogo para as demais fases, tem-se:

)CC(23CC bcbabnb ++= [F/km] (12.29.)

)CC(23CC cbcacnc ++= [F/km] (12.30.)

Desta forma, o arranjo de capacitâncias parciais pode ser substituído por outro

com três capacitâncias equivalentes, ligadas conforme mostrado na figura (12.09.).

Figura 12.09. – Ligação das capacitâncias equivalentes. É por meio destas capacitâncias que se podem evidenciar possíveis desequilíbrios

eletrostáticos. O equilíbrio é verificado para o caso em que as capacitâncias equivalentes são iguais entre si( Ca = Cb = Cc ). Para que a igualdade entre os valores seja verificada é necessário que os coeficientes de campo elétrico próprios sejam iguais entre si( eaa = ebb = ecc ) e ainda que os mútuos também sejam iguais entre si( eab = ebc = eca

a. coeficientes médios próprios de campo elétrico.

). Estas igualdades ocorrem somente, independentemente do arranjo da cabeça de torre, para o caso destas linhas serem transpostas. Neste caso os coeficientes de campo elétrico, próprios e mútuos, assumirão valores médios definidos pelas expressões genéricas apresentadas a seguir.

]F

km[r

hmg2ln2

1ei0

ii επ= (12.31.)

b. coeficientes médios mútuos de campo elétrico.

]F

km[dmg

DMGln2

1e0

ji επ= (12.32.)

Onde: hmg – altura média geométrica das alturas dos condutores; riDMG – distância média geométrica das distâncias entre os condutores e a imagem

dos condutores adjacentes;

– raio externo do i – ésimo condutor;

dmg – distância média geométrica das distâncias entre os condutores. Para a silhueta da linha representada na figura (12.08.) e considerando ainda que a

linha é transposta, pode-se escrever:

rhhh2

ln2

1)eee(31eee

3cba

0ccbbaaccbbaa επ

=++=== (12.33.)

3cabcab

3cabcab

0cabcabcabcab ddd

DDDln

21)eee(

31eee

επ=++=== (12.34.)

Sendo a linha transposta a matriz dos coeficientes de campo elétrico será:

[ ]

=

aaabab

abaaab

ababaa

eeeeeeeee

E (12.35.)

Logo, a sua inversa será:

∆∆∆

∆∆∆

∆∆∆

=−

aaabab

abaaab

ababaa

1

fff

fff

fff

]E[ (12.36.)

Onde:

2ab

2aaccbbaa eefff −=== (12.37.)

aaab2abcabcab eeefff −=== (12.38.)

)e2e()ee( abaa2

abaa +−=∆ (12.39.)

E as capacitâncias parciais serão dadas por:

∆+

==++

=== abaa0

cnbnancnbnan

f2fC3

CCCCCC (12.40.)

∆−=== ab

cabcabfCCC (12.41.)

Levando as expressões (12.37.), (12.38.) e (12.39.) em (12.40.) resulta:

abaa eeC

21

0 += [ F/km] (12.42.)

Substituindo (12.38.) e (12.39.) na expressão (12.41.), obtém-se:

)e2e()ee(eC

abaaabaa

abab +−= [F/km] (12.43.)

Para uma linha transposta as capacitâncias equivalentes, calculáveis pelas

expressões (12.28.), (12.29.) e (12.30.), tornam-se iguais entre si, assumindo o valor médio entre os valores de Ca, Cb e Cc

e ficam reduzidas à seguinte expressão:

aban1cba

cba C3CC3

CCCCCC +==++

=== (12.44.)

Substituindo em (12.44.) as expressões (12.42.) e (12.43.), tem-se:

abaa1 ee

1C−

= [F/km] (12.45.)

A capacitância média entre fases e solo, C0, é a capacitância de seqüência zero

desta linha e a capacitância C1Substituindo os coeficientes de campo elétrico médios na expressão (12.45.),

resulta:

é a de serviço ou de seqüência positiva da linha.

dmgDMGln

rhmg2ln

2C 01

−

επ=

Como por conta da construção das linhas, em geral, as quantidades 2hmg e DMG,

assumirem valores muito próximos, ocorre a seguinte simplificação:

rdmgln

2C 01

επ= (12.46.)

A forma representada pela equação (12.46.) é aquela encontrada nos textos sobre o assunto. Devido a esta consideração pode-se afirmar que a presença do solo não exerce influência na capacitância de seqüência positiva de linhas de transmissão de energia elétrica transposta.

12.3.3. Capacitâncias de linhas trifásicas a circuito simples com um pára-raios. Considere a silhueta representada pela figura (12.10.) a seguir, onde a, b, c

representam os condutores das fases e r representa o cabo pára-raios.

Figura 12.10. – Silhueta de uma linha trifásica com um cabo pára-raios. Para a situação da figura (12.10.) e considerando os desenvolvimentos feitos

anteriormente, pode-se escrever para este caso as seguintes equações:

=

r

c

b

a

rrrcrbra

crcccbca

brbcbbba

aracabaa

rn

cn

bn

an

QQQQ

eeeeeeeeeeeeeeee

vvvv

(12.47.)

e

+++−−−−+++−−−−+++−−−−+++

=

rn

cn

bn

an

rcrbrarnrcrbra

crcrcbcacncbca

brbcbrbcbabnba

aracabaracaban

r

c

b

a

vvvv

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

QQQQ

(12.48.)

Sendo os coeficientes de campo elétrico, próprios e mútuos, envolvendo os pára-

raios determináveis pelas seguintes expressões:

]F

km[rh2ln

21e

r

r

0rr επ=

]F

km[dDln

21e;

dDln

21e;

dDln

21e

cr

cr

0cr

br

br

0br

ar

ar

0ar επ

=επ

=επ

=

Sabe-se que os pára-raios podem estar isolados ou aterrados. As duas situações

podem ser analisadas a partir do conjunto de equações (12.47.) (12.48.), bastando utilizar as condições de contorno adequadas em cada um dos casos.

12.3.3.a. Pára-raios isolados. Na figura (12.11.) estão representadas todas as capacitâncias parciais presentes

para esta situação.

Figura 12.11. – Linha com pára-raios isolado. O cabo pára-raios não tem cargas próprias, isto é: QrLevando a condição Q

= 0 r

= 0 na equação (12.47.) verifica-se que os potenciais dos condutores das fases com relação ao solo não são afetados. Entretanto, as cargas nos condutores das fases induzirão eletrostaticamente uma d.d.p. entre o solo e o pára-raios. Substituindo-se esta condição na última equação do sistema, representado em (12.48.), é possível obter a igualdade mostrada na equação (12.49.) que permite a determinação do valor desta d.d.p. induzida, empregada para efeito de dimensionamento da isolação do cabo pára-raios.

rcrbrarn

cnrcbnrbanrarn CCCC

vCvCvCv+++

++= (12.49.)

A d.d.p. definida na expressão (12.49.) exerce influência sobre as cargas dos

condutores das fases, como pode ser comprovado na equação (12.48.) Para a determinação das capacitâncias parciais é necessária a inversão da matriz

dos coeficientes de potencial elétrico definida na expressão (12.47.) e a posterior comparação com a matriz das capacitâncias parciais mostrada na expressão (12.48.), resultando em:

∆−= ab

abfC

∆+++

= aracabaaan

ffffC

∆−= bc

bcfC

∆+++

= brbcbbbabn

ffffC

∆−= ca

cafC

∆+++

= crcccbcacn

ffffC

∆−= ar

arfC

∆+++

= rrrcrbrarn

ffffC

∆−= br

brfC

∆−= cr

crfC

Verifica-se que todas as capacitâncias parciais definidas pelas expressões

imediatamente anteriores encontram-se representadas na figura (12.11.). 12.3.3.b. Pára-raios aterrados. Na figura (12.12.) estão representadas todas as capacitâncias parciais presentes

para esta situação.

Figura 12.12. – Linha com pára-raios aterrado. Pelo fato do pára-raios estar aterrado a d.d.p. entre o mesmo e o solo será nula

(vrn = 0). Como conseqüência capacitância parcial entre o pára-raios e o solo ( Crn ) não pode ser definida e não é representada na figura (12.12.). É importante observar que as capacitâncias parciais entre os condutores das fases e o solo estão em paralelo com as capacitâncias parciais entre as fases e o cabo pára-raios. Assim, em termos práticos esta associação paralela pode ser substituída pelo valor resultante. Com isto valores individuais são perdidos sem comprometer os resultados. Estando o pára-raios aterrado, por condução desde o solo, este absorve cargas fazendo com que: Qr

Seu valor irá influenciar no valor das capacitâncias parciais, aparentes e de seqüência nula, não afetando as capacitâncias de seqüência positiva.

≠ 0

Neste caso a matriz dos coeficientes de potencial elétrico, definida em (12.47.), deve ser reduzida a uma matriz equivalente de ordem 3x3 representativa de uma linha trifásica a circuito simples sem pára-raios. Este processo de redução conhecido como método de Kron, agrega aos coeficientes de potencial elétrico, próprios e mútuos das fases, a contribuição da presença do cabo pára-raios, conforme expressão (12.50.) mostrada a seguir.

−−−

−−−

−−−

=

c

b

a

rr

2cr

ccrr

brcrcb

rr

arcrca

rr

crbrbc

rr

2br

bbrr

arbrba

rr

crarac

rr

brarab

rr

2ar

aa

cn

bn

an

QQQ

eee

eeee

eeee

eeee

eee

eeee

eeee

eeee

eee

vvv

(12.50.)

Adotando notação simplificada a expressão representada em (12.50.) pode ser

escrita na seguinte forma.

=

c

b

a

ccc

ccb

cca

cbc

cbb

cba

cac

cab

caa

cn

bn

an

QQQ

eeeeeeeee

vvv

(12.51.)

Qualquer das matrizes mostradas nas expressões (12.50.) ou (12.51.),

denominadas por [Ec

], uma vez invertida fornecerá os elementos para a determinação das capacitâncias parciais, lembrando que deverá ser escrita uma matriz de capacitâncias compatível para a situação de uma linha trifásica equivalente sem pára-raios. Assim procedendo pode-se escrever:

∆−=

cab

abfC

∆++

=cac

cab

caa

anfffC

∆−=

cbc

bcfC

∆++

=cbc

cbb

cba

bnfffC

∆−=

cca

cafC

∆++

=ccc

ccb

cca

cnfffC

Onde as grandezas c

jicii fef são os menores co-fatores da adjunta da matriz [Ec] e

Δ é o determinante da mesma matriz [Ec]. Os valores das capacitâncias parciais Car , Cbr e Ccr foram perdidos individualmente embora estejam incorporados aos valores das capacitâncias parciais Can , Cbn e Ccn

As capacitâncias equivalentes podem ser obtidas empregando-se as mesmas equações definidas para linhas trifásicas a circuito simples sem pára-raios, isto é:

, respectivamente.

)CC(23CC acabana ++= )CC(

23CC bcbabnb ++= )CC(

23CC cbcacnc ++=

Considerando a linha transposta os coeficientes de campo elétrico, próprios e

mútuos, assumirão valores médios definidos pelas equações (12.33.), (12.34.) e pela equação (12.52.) definida a seguir.

3crbrar

3crbrar

0crbrarcrbrar ddd

DDDln

21)eee(

31eee

επ=++=== (12.52.)

O coeficiente próprio do cabo pára-raios, por ser único, continua sendo definido

pela expressão, já mostrada anteriormente e fornecida novamente a seguir.

r

r

0rr r

h2ln2

1eεπ

=

Assim, os elementos próprios e mútuos da matriz definida na expressão (12.51.)

passarão a ser calculados pelas seguintes expressões:

rr

2ar

aaccc

cbb

caa e

eeeee −=== (12.53.)

rr

2ar

abcca

cbc

cab e

eeeee −=== (12.54.)

Logo as capacitâncias de seqüência positiva e zero passam a ser definidas pelas

seguintes expressões:

abaacab

caa

1 ee1

ee1C

−=

−= (12.55.)

rr

2ar

abaa

cab

caa

0

ee3e2e

1e2e

1C−+

=+

= (12.56.)

A equação (12.55.) demonstra a afirmação feita anteriormente de que a presença

do cabo pára-raios não afeta a capacitância de seqüência positiva. 12.3.4. Capacitâncias de linhas trifásicas a circuito simples com dois pára-raios. Considere a figura (12.13.) representativa destas linhas. Onde a, b e c são os

condutores das fases e r e s os cabos pára-raios.

Figura 12.13. – Linha a circuito simples com dois pára-raios. Neste caso a matriz dos coeficientes de potencial elétrico será de ordem 5x5

conforme representação definida a seguir.

[ ]

=

sssrscsbsa

rsrrrcrbra

cscrcccbca

bsbrbcbbba

asaracabaa

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

E (12.57.)

A matriz mostrada em (12.57.) pode ser subdividida conforme segue:

[ ][ ] [ ][ ] [ ]

=

2x2pp3x2pf

2x3fp3x3ff

EEEE

E (12.58.)

Considerando os pára-raios aterrados, a matriz representada em (12.58.) pode ser reduzida à ordem 3x3 representativa de uma linha trifásica a circuito simples sem pára-raios equivalente à linha trifásica a circuito simples com dois pára-raios, conforme procedimento empregado quando do desenvolvimento de indutâncias, isto é:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]

3x33x2pf1

2x2pp2x3fp3x3ff3x3c EEEEE −−= (12.59.)

Com isto o efeito da presença dos pára-raios é incorporado aos coeficientes de

campo elétrico, próprios e mútuos, das fases, presentes na matriz [Eff]3x3Admitindo a transposição, é possível demonstrar que o produto matricial

mostrado na expressão (12.59.) resulta em uma matriz de ordem 3x3, cujos elementos são para efeitos práticos aproximadamente iguais a:

.

rsrr

2ar

eee2e+

≅∆ (12.60.)

Neste caso o coeficiente médio, devido à existência de dois pára-raios, que

aparece na expressão (12.60.) é calculável por:

6csbsascrbrar

6csbsascrbrar

0ar dddddd

DDDDDDln

21eεπ

= (12.61.)

Os demais coeficientes presentes na expressão (12.60.) são determinados por

expressões desenvolvidas em tópicos anteriores e reapresentadas a seguir.

r

r

0rr r

h2ln2

1eεπ

=

rs

rs

0rs d

Dln2

1eεπ

=

Sendo Drs a distância do cabo r à imagem do cabo s e drs

Assim, as capacitâncias seqüenciais são calculáveis por equações já definidas em (12.55.) e (12.56.) empregando os coeficientes médios corrigidos, definidos como segue:

é a distância do cabo r ao cabo s.

rsrr

2ar

aacaa ee

e2ee+

−= (12.62.)

rsrr

2ar

abcab ee

e2ee+

−= (12.63.)

Logo, tem-se:

abaacab

caa

1 ee1

ee1C

−=

−=

rsrr

2ar

abaa

cab

caa

0

eee6e2e

1e2e

1C

+−+

=+

=

As capacitâncias parciais e equivalentes têm seus valores afetados pela presença

dos pára-raios aterrados e a determinação delas segue procedimento idêntico ao de uma linha a circuito simples com um pára-raios, lembrando que neste caso os fatores de correção serão obtidos por meio de um produto matricial, definido na expressão (12.59.).

12.3.5. Capacitâncias de linhas trifásicas a circuito duplo com dois pára-raios. Considere a figura (12.14.) mostrada a seguir representativa destas linhas e na

qual será baseado o desenvolvimento do equacionamento. Para efeito de equacionamento a silhueta mostrada na figura (12.14.) pode ser representativa de uma linha a circuito duplo com dois pára-raios, assim como, duas linhas idênticas a circuito simples com um pára-raios e em paralelo. O equacionamento é aplicável em ambos os casos.

Figura 12.14. – Linha a circuito duplo com dois pára-raios. Neste caso a matriz dos coeficientes de potencial elétrico [E] será de ordem 8x8,

conforme representado na expressão (12.64.).

=

f

e

d

s

r

c

b

a

fffefdfsfrfcfbfa

efeeedeserecebea

dfdedddsdrdcdbda

sfsesdsssrscsbsa

rfrerdrsrrrcrbra

cfcecdcscrcccaca

bfbebdbsbrbcbbba

afaeadasaracabaa

fn

en

dn

sn

rn

cn

bn

an

QQQQQQQQ

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

vvvvvvvv

(12.64.)

Adotando notação compacta a equação (12.64.) pode ser reescrita conforme

segue. [ ][ ][ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ][ ][ ]

=

1x3II

1x2p

1x3I

3x3II,II2x3p,II3x3I,II

3x2II,p2x2p,p3x2I,p

3x3II,I2x3p,I3x3I,I

1x3N,II

1x2N,p

1x3N,I

QQQ

EEEEEEEEE

vvv

(12.65.)

Considerando a sobreposição de efeitos é possível realizar o desenvolvimento

para cada um dos circuitos isoladamente. Assim, admitindo que os circuitos são idênticos, é possível estabelecer as

seguintes igualdades: [ ] [ ]N,IIN,I vv = (12.66.)

[ ] [ ]III QQ = (12.67.)

Desmembrando a equação (12.65.), levando em conta apenas o circuito I e

considerando ainda as igualdades representadas nas equações (12.66.) e (12.67.), resulta:

[ ][ ]

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]

[ ][ ]

++

=

1x2p

1x3I

2x2p,p3x2II,p3x2I,p

2x3p,I3x3II,I3x3I,I

1x2N,p

1x3N,I

QQ

EEEEEE

v

v (12.68.)

Expandindo o conjunto (12.68.), tem-se:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

+++++++++++++++

=

s

r

c

b

a

sssrsfscsesbsdsa

rsrrrfrcrerbrdra

cscrcfcccecbcdca

bsbrbfbcbebbbdba

asarafacaeabadaa

sn

rn

cn

bn

an

QQQQQ

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

vvvvv

(12.68.a.)

Desmembrando o conjunto (12.68.), tem-se:

[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ]1x2p2x2p,p1x3I3x2II,p3x2I,p1x2N,p

1x2p2x3p,I1x3I3x3II,I3x3I,I1x3N,I

QEQEEv

QEQEEv

++=

++=

(12.68.b.)

Admitindo que os pára-raios sejam aterrados, o conjunto (12.68.) de ordem 5x5

pode ser reduzido à ordem 3x3 representativo de uma linha de circuito simples sem pára-raios equivalente à linha trifásica de circuito simples e dois pára-raios.

Para a condição de pára-raios aterrado, tem-se: [ ] [ ]0v1x2N,p = . Logo isolando

[ ]1x2pQ na segunda expressão do conjunto (12.68.b.) e substituindo este resultado na

primeira expressão do mesmo conjunto, resulta: [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ][ ][ ] 1x3I3x2II,p3x2I,p

12x2p,p2x3p,I3x3II,I3x3I,I1x3N,I QEEEEEEv +−+= −

Assim, obtém-se a matriz dos coeficientes de potencial elétrico da linha

equivalente, cujos elementos incorporam a contribuição do circuito II e dos pára-raios, isto é:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ]

3x33x2II,p3x2I,p1

2x2p,p2x3p,I3x33x3II,I3x3I,I3x3c EEEEEEE +−+= − (12.69.)

Os elementos próprios e mútuos da matriz [Ec

] podem ser representados genericamente pelas expressões escritas a seguir.

ii'iiiicii e)ee(e ∆−+= (12.70.)

ji'jijic

ji e)ee(e ∆−+= (12.71.) Considerando i e j condutores genéricos do circuito I, i’ e j’ condutores genéricos

do circuito II, os coeficientes presentes em (12.70.) (12.71.) serão obtidos por;

ji

ji

0ji

i

i

0ii d

Dln

21ee

rh2ln

21e

επ=

επ=

'ji

'ji

0'ji

'ii

'ii

0'ii d

Dln

21ee

dD

ln2

1eεπ

=επ

=

Onde: hir

= altura do i-ésimo condutor do circuito I; i

d = raio externo do i-ésimo condutor do circuito I; i j

D = distância do i-ésimo condutor ao j-ésimo condutor,ambos do circuito I;

i j

d

= distância do i-ésimo condutor à imagem do j-ésimo condutor, ambos do circuito I;

i i’

D

= distância do i-ésimo condutor do circuito I ao i’-ésimo condutor do circuito II;

i i’

d

= distância do i-ésimo condutor do circuito I à imagem do i’-ésimo condutor do circuito II;

i j’

D

= distância do i-ésimo condutor do circuito I ao j’-ésimo condutor do circuito II;

i j’

= distância do i-ésimo condutor do circuito I à imagem do j’-ésimo condutor do circuito II.

É pertinente observar que a sistemática de indexação impõe que os condutores i e i’ sejam condutores dos circuitos I e II, respectivamente e que estão ao mesmo potencial.

O produto matricial mostrado na expressão (12.69.) e reescrito abaixo, representa a matriz que define os fatores de correção, próprios(Δeii) e mútuos(Δeij

), que incorporam o efeito da presença dos pára-raios aos elementos representativos fases do circuito I.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]3x2II,p3x2I,p

12x2p,p2x3p,I3x3

c EEEEE +=∆ − (12.72.)

As capacitâncias parciais e equivalentes são obtidas com procedimento idêntico ao empregado na determinação destas grandezas, para o caso de linha a circuito simples com um pára-raios, observando que neste caso existem três capacitâncias parciais conectadas entre cada condutor fase e o solo. Os termos de correção que representam o efeito da presença dos pára-raios são decorrentes de um produto matricial(eq. 12.72.).

A determinação das capacitâncias seqüenciais segue procedimento análogo ao do item anterior, porém com os coeficientes de potencial elétrico médios, próprios e mútuos, corrigidos, definidos por:

e)ee(e adaa

caa ∆−+= (12.73.)

e)ee(e aeabcab ∆−+= (12.74.)

Sendo:

rhmg2ln

21eee

0ccbbaa επ

=== ;

dmgDMGln

21eee

0cabcab επ=== ;

I

3cfbead

0cfbead D

DDDln

21eeeεπ

=== ;

II

6cecdbfbdafae

0cecdbfbdafae D

DDDDDDln

21eeeeeeεπ

====== ;

6csbsascrbrar

6csbsascrbrar

0csbsascrbrar dddddd

DDDDDDln

21eeeeeeεπ

====== .

Onde: 3

cba hhhhmg = = altura média geométrica dos condutores do circuito I; 3

cabcab DDDDMG = = distância média geométrica entre os condutores e as respectivas imagens de condutores adjacentes, todos do circuito I;

3cabcab ddddmg = = distância média geométrica entre os condutores do circuito

I; 3

cfbeadI dddD = = distância média geométrica entre os condutores dos circuitos I e II que estão ao mesmo potencial;

6cecdbfbdafaeII ddddddD = = distância média geométrica entre os condutores

dos circuitos I e II que estão em diferentes potenciais;

rsrr

2ar

eee2e+

≅∆ - como definido na expressão (12.60).

Substituindo-se os coeficientes definidos nas equações (12.73.) e (12.74.) na

equação da capacitância de seqüência positiva, definida em (12.65.), resulta:

)ee()ee(1

ee1C

aeabadaacab

caa

1 +−+=

−=

Levando os coeficientes correspondentes na expressão anterior obtém-se:

)D

DDDDDDln

dmgDMGln

DDDD

lnr

hmg2ln(2

11C

II

6cecdbfbdafae

I

3cfbead

0

1

−−+επ

=

Como visto anteriormente 2hmg ≈ DMG. Levando esta consideração na expressão

de C1 acima e reagrupando convenientemente a expressão, tem-se:

)DDDDDD

DDDln

DDln

rdmgln(

2C

6cecdbfbdafae

3cfbead

I

II

01

++

επ= (12.75.)

Devido à proximidade entre os valores dos dois radicais mostrados na expressão

anterior, o terceiro termo do denominador desta mesma expressão pode ser desprezado. Assim, a expressão para cálculo da capacitância de seqüência positiva assume a seguinte forma:

)DDln

rdmgln(

2C

I

II

01

+

επ= (12.76.)

A capacitância de seqüência nula definida em (12.66.), assume a seguinte forma:

e3)ee(2)ee(1

]e)ee[(2e)ee(1

e2e1C

aeabadaa

aeabadaacab

caa

0

∆−+++=

=∆−++∆−+

=+

=

Logo.

rsrr

2ar

aeabadaa

0

eee6)ee(2)ee(

1C

+−+++

= (12.77.)

12.3.6. Condutores múltiplos. Considere um condutor múltiplo representado na figura (12.15.). Este condutor é

formado por n subcondutores iguais e de raio r, uniformemente distribuídos sobre um círculo de raio R, cujo centro encontra-se a uma altura h acima da superfície do solo, tal que h >> R. Suponha que o condutor múltiplo encontra-se carregado com uma carga Q, uniformemente distribuída e que cada subcondutor fique carregado com uma carga Q/n.

Figura 12.15. – Condutor múltiplo. Netas condições é possível demonstrar que este condutor múltiplo pode ser

substituído por um condutor fictício único e cilíndrico cujo raio externo Rc

é dado por:

nn1k112c s...s...srR = (12.78.)

A grandeza Rc

Nas linhas reais isto não ocorre. As cargas elétricas presentes nas demais fases irá provocar deformidade na distribuição do campo elétrico em torno dos condutores múltiplos, fazendo com que os subcondutores externos fiquem mais expostos a esta deformação e consequentemente apresentarão gradiente de potencial mais elevado.

pode ser interpretada como o raio de um condutor cilíndrico fictício que possuindo a mesma carga Q, gera o mesmo campo elétrico que o condutor múltiplo. A condição h >> R garante que o condutor fictício tem o mesmo gradiente de potencial que cada um dos subcondutores, em conseqüência do campo elétrico não sofrer deformações devido à presença das cargas do solo.

Assim, nas linhas com condutores múltiplos, nas expressões dos coeficientes de campo elétrico próprios, o raio do condutor singelo deverá ser substituído pelo raio equivalente do condutor múltiplo ( Rc

), isto é:

c

i

0ii R

h2ln2

1eεπ

= (12.79.)

A aplicabilidade das equações desenvolvidas verifica-se nas seguintes situações: a. para linhas ou circuitos idênticos, em paralelo e simétricos com relação a um

eixo de simetria; b. para linhas ou circuitos diferentes, operando em paralelismo elétrico( mesma

tensão ) e físico; c. linhas em simples paralelismo físico – em geral é desprezada a iteração entre

circuitos. Havendo necessidade de incluir a iteração, é preciso conhecer as defasagens das fases de um circuito com relação ao outro.

Nas análises e estudos de desempenho, as linhas paralelas ou de circuito duplo podem ser substituídas por linhas de circuito simples equivalente. Para tanto é preciso

determinar a capacitância se serviço ou de seqüência positiva da linha equivalente, associando em paralelo às capacitâncias de serviço das linhas ou circuitos.

12.3.7. Definição de reatâncias capacitivas e emprego de tabelas. A reatância capacitiva é definida pela expressão (12.80.), dada a seguir.

Cf21xc π

= [ Ω km] (12.80.)

Para uma linha de comprimento ℓ[km], a capacitância total será ( Cℓ ) , isto é, ℓ capacitâncias por unidade de comprimento associadas em paralelo. Para esta condição a reatância capacitiva total será dada por:

Cf21Xc π

= [ Ω ]

Sendo C[ F/km ] qualquer das capacitâncias definidas por condutor da linha. A unidade Farad[ F ] pode ser colocada em termos de unidades básicas, isto é,

[ F ] = [ A s / V]. Logo a unidade de capacitância pode ser escrita como: [ A s / V km]. A unidade de freqüência é [ 1 / s]. Levando estas grandezas na expressão (12.80.), obtém-se para xc

A reatância de serviço ou de seqüência positiva pode ser determinada por meio de tabelas pré-definidas. Assim substituindo-se C

a unidade [ V km / A ], ou seja: [ Ω km ]. Com isto demonstrou-se que a unidade de reatância capacitiva é [ Ω km ] e não [ Ω / km ], como encontrado, as vezes, em textos sobre o assunto.

1, calculada pela expressão (12.76.), com ε0 = (1/36 π) 10-6

+

π×

=+

I

II

cm

6

1 DDln

rourdmgln

f109x

F/km, na equação (12.80.) e agrupando os termos convenientemente, resulta:

[ Ω km ] (12.81.)

Desmembrando a expressão (12.81.) de forma conveniente, resulta:

I

II66

c

6

1 DDln

f109dmgln

f109

Rour1ln

f109x

π×

+π×

+π×

=+++

(12.82.)

Fazendo-se:

c

6

c Rour1ln

f109xπ×

=′+

;

dmglnf

109x6

c π×

=′′+

;

I

II6

c DDln

f109xπ×

=′′′+

.

A equação (12.82.) pode ser escrita como segue.

ccc1 xxxx ′′′+′′+′= (12.83.) A parcela cx′ , denominada como reatância capacitiva para espaçamento unitário,

pode ser encontrada, em função do raio dos condutores - r, nas tabelas III.1(condutores singelos de cobre, para 50 e 60 Hz), III.2(condutores singelos de alumínio – CA, para 50 e 60 Hz), III.3(condutores singelos de alumínio com alma de aço – CAA, para 50 e 60 Hz) e, em função do raio equivalente do condutor múltiplo - Rc

A parcela

, na tabela III.3b(condutores múltiplos, para 60 Hz).

cx ′′ , denominada fator de espaçamento capacitivo, pode ser determinada em função dos valores da dmg entre os condutores, nas tabelas III. 8. e III.9., respectivamente para as freqüências de 50 e 60 Hz.

A parcela cx ′′′ , denominada reatância capacitiva unitária entre circuitos, pode ser encontrada, em função dos valores da relação DII / DI

, nas tabelas III.10. e III.11., respectivamente para as freqüências de 50 e 60 Hz.

12.3.8. Definição de susceptâncias capacitivas. Nos estudos de desempenho dos sistemas elétricos de potência, nos quais as linhas

são representadas por seus circuitos unipolares, as capacitâncias de serviço ou de seqüência positiva são introduzidas como admitâncias, ou seja, na forma de susceptâncias.

É definida como sendo o inverso da reatância capacitiva, sendo representada por:

Cf2x1b

cc π== [ Siemens / km] (12.84.)

Para uma linha de comprimento ℓ[km], resulta;

Cf2x1B

cc π== [ Siemens ] (12.85.)

12.3.9. Reatâncias e susceptâncias capacitivas seqüenciais obtidas por meio de

tranformação direta. A partir da matriz dos coeficientes médios e corrigidos de potencial elétrico, de

uma linha equivalente a uma linha real com qualquer configuração, é possível determinar por transformação linear as grandezas seqüenciais por meio da equação (12.86.) definida a seguir.

[ ] [ ] [ ] [ ]TETf2

1X 33c1

cseq ×−

π= (12.86.)

Sendo

[ ]

=−

aa1aa1111

31T

2

21 ; [ ]

=

2

2

aa1aa1111

T ; 120jea = e 120j2 ea −=

Sendo a matriz dos coeficientes médios e corrigidos dada por:

[ ]

=caa

cab

cab

cab

caa

cab

cab

cab

caa

c

eeeeeeeee

E

O produto matricial representado na expressão (12.86.) gera uma matriz, também

de ordem 3x3, com elementos diferentes de zero somente na diagonal principal, calculáveis pelas seguintes equações:

Na posição (1,1): )e2e(f2

1x cab

caac00+

π=

Na posição (2,2): )ee(f2

1x cab

caac11−

π=

Na posição (3,3):

1122 cc xx = Caso a linha não seja transposta os elementos da matriz [ ]cE não serão valores

médios e o produto matricial mostrado na equação (12.86.) gera elementos diferentes de zero fora da diagonal principal, que serão os acoplamentos capacitivos mútuos entre os circuitos seqüenciais.

Lembrando da definição de susceptância capacitiva pode-se escrever para o arranjo de uma linha qualquer a seguinte equação:

[ B ] = 2 π f [ C ] [ Siemens/km ] (12.87.)

Onde: [ B ] – matriz de susceptâncias capacitivas da linha considerada; [ C ] – matriz de capacitâncias escrita para o arranjo da linha considerada. Como [ C ] = [ E ]-1

a expressão (12.87.) pode ser escrita como segue.

[ B ] = 2 π f [ E ]-1

[ Siemens/km ] (12.88.)

Lembrando que a matriz [ E ]-1

Fundamentado na teoria de componentes simétricas, resulta:

é a inversa da matriz dos coeficientes de potencial elétrico da linha trifásica a circuito simples sem cabos pára-raios, equivalente á linha real considerada.

[ ] [ ] [ ] [ ]TBTB 33

1seq ×

−= (12.89.) Da diagonal principal da matriz [ Bseq ] são extraídos os elementos b00, b11 e b22

Substituindo a equação (12.88.) na expressão (12.89.), obtém-se:

, nas posições (1,1), (2,2) e (3,3) respectivamente.

[ ] [ ] [ ] [ ] TETf2B 1

331

seq−×

−π= [ Siemens/km ] (12.90.) O resultado obtido com a equação (12.90.) exige a inversão da matriz [ E ], sendo

mais demorado que o cálculo empregando as reatâncias capacitivas seqüenciais. As susceptâncias capacitivas seqüenciais são determináveis por meio do inverso

das respectivas reatâncias capacitivas seqüenciais, ou seja:

00c00 x

1b = 11c

11 x1b =

22c22 x

1b =

13. Condutância de dispersão e efeito corona. 13.1. Introdução. A condutância de dispersão é um parâmetro com característica de admitância e

que aparece nos modelos das linhas como elemento em derivação entre a fase e o neutro, representando as perdas que são proporcionais à tensão da linha.

É definida por: 3

2 10V

Pg −∆= [ S/km] (13.01.)

Onde: ∆P – soma das perdas de energia, por dispersão, em uma fase da linha em

[kW/km]; V – tensão de operação entre fase e neutro em [kV]. As perdas por dispersão incluem as perdas devido ao efeito corona e as perdas nos

isoladores. 13.2. Perdas nos isoladores. Concentram-se nos isoladores, entretanto, para efeito prático, são consideradas

uniformemente distribuídas ao longo do comprimento da linha. São caracterizadas pela fuga de corrente em freqüência normal, através do

material que compõe os isoladores( porcelana ou vidro ). A determinação destas perdas de energia, provocada por estas correntes é bastante

complexa, sendo seu valor dependente de um grande número e fatores, cabendo destacar:

1. Qualidade do material do isolador; 2. Condições superficiais do isolador; 3. Geometria do isolador; 4. Freqüência da tensão aplicada; 5. Potencial a que são submetidos; 6. Condições meteorológicas.

Experiências realizadas em uma linha experimental de 275kV revelam que estas perdas variam muito com as condições meteorológicas, como mostram os valores extraídos dos ensaios e registrados a seguir.

• Com tempo bom: 0,25 - 1,50 W/isolador; • Sob chuva fraca: 2,5 W/isolador; • Sob chuva forte: 25 W/isolador.

Em geral, são suficientemente pequenas podendo ser desprezadas na maioria das

situações. 13.3. O efeito corona. Este efeito manifesta-se na superfície dos condutores das linhas de transmissão

aéreas quando o valor da intensidade de campo elétrico ( ou gradiente de potencial elétrico ), aí existente, supera o valor da intensidade crítica disruptiva do ar, que é controlada por algumas condições, tais como:

• Pressão atmosférica; • Presença de vapor de água; • Poeira em suspensão; • Etc.

É caracterizado por descargas individuais na superfície do condutor. Estas

descargas representam perdas de energia para a rede elétrica. Estas perdas, em geral, relacionam-se com:

• Geometria do condutor e as condições superficiais do mesmo; • Tensão de operação; • Campo elétrico na superfície do condutor; • Condições meteorológicas – principalmente.

Além das perdas de energia, este fenômeno provoca ainda a rádiointerferencia e

ruídos acústicos. As descargas individuais de corona provocam pulsos de tensão e corrente de curta duração que se propagam ao longo das linhas, resultando em campos eletromagnéticos em suas proximidades, que interferem na recepção de rádio, mesmo fora da faixa de servidão da linha. O ruído auditivo, também conseqüência dos eflúvios corona, é função dos máximos gradientes de potencial elétrico na superfície dos condutores. Assim, observa-se que o dimensionamento criterioso de uma linha de transmissão, em extra e ultra-alta tensão, está diretamente relacionado com a escolha do gradiente de potencial máximo admissível na superfície dos condutores.

13.4. Formação dos eflúvios corona. O pesquisador Peek observou experimentalmente que o fenômeno começa com

valores de gradientes de potencial na superfície dos condutores mais elevados que o valor eficaz do gradiente crítico disruptivo do ar ( da ordem de 21,6 kV/cm em atmosfera padrão de 20o C e 760 mm de Hg), quando se iniciam também as manifestações luminosas. Denominou este valor de gradiente crítico visual e observou ainda que um condutor atinge o gradiente crítico visual quando o gradiente crítico

disruptivo é atingido a uma distância do condutor, denominada distância de energia, calculável por 0,301 / r [cm] em atmosfera padrão, sendo r o raio do condutor

De acordo com este pesquisador o valor eficaz do gradiente crítico visual é obtido por meio da seguinte expressão:

Ecrv r = 21,6 [ 1 + ( 0,301 / )] [kV/cm] (13.02.)

Outro pesquisador, Miller, verificou que o gradiente crítico visual depende muito

mais das dimensões dos condutores e propôs a expressão mostrada a seguir.

]r

54187,01[m1,18Eeq

crv δ+δ= [ kV / cm ] (13.03.)

Sendo δ é a pressão atmosférica relativa e calculável pela expressão que segue.

t0,273)h086,00,760(386,0

+−

=δ (13.04.)

Onde: t – valor da temperatura média anual em graus Celsius; h – altitude média local em metros. A grandeza m, denominada fator de superfície, encontra-se definido para

diferentes condições superficiais dos condutores na tabela (13.01.). Tabela 13.01. – Fatores de superfície.

Condições superficiais dos condutores m Condutores cilíndricos polidos e secos 1,00 Cabos novos, secos, limpos e sem abrasão 0,92 Cabos de cobre expostos ao tempo em atmosfera limpa 0,82 Cabos de cobre expostos ao tempo em atmosfera agressiva 0,72 Cabos de alumínio novos, limpos e secos com condições superficiais decorrentes do grau de cuidado com que foram estendidos

0,53 a 0,73

Cabos molhados, novos ou usados 0,16 a 0,25 A grandeza req

É calculável pela seguinte expressão.

, denominada raio equivalente de um condutor múltiplo pode ser definida como o raio de um condutor cilíndrico fictício que se colocado no lugar do condutor múltiplo, apresentará o mesmo valor do gradiente médio existente na superfície dos subcondutores.

eqrrn

ceq Rdmg

rdmg

= (13.05.)

Sendo: dmg – distância média geométrica entre fases;

Rc

r – raio do subcondutor;

– raio capacitivo equivalente do condutor múltipo, definido na equação (12.78.);

n – número de subcondutores que formam o condutor múltiplo. A equação (13.05.) é transcedental, ou seja, deve ser resolvida por tentativas. Para que a linha apresente desempenho adequado é necessário que o gradiente de

potencial na superfície dos condutores ou subcondutores seja menor do que o gradiente crítico visual desta linha, isto é:

E < E

crv

Pesquisas recentes mostram que se pode esperar desempenho satisfatório para Ecrv

da ordem de 17,0 kV/cm.

13.5. Gradientes de potencial nos condutores das linhas de transmissão. Existem diversos métodos para o cálculo deste parâmetro. Todos eles partem de

considerações teóricas mais ou menos exatas e empregam dados básicos nunca conhecidos exatamente. Assim, métodos envolvendo elaborações complicadas e demoradas podem não acrescentar nada, em termos de precisão, caso a exatidão dos elementos de projeto possam comprometer a sofisticação das elaborações.

No caso de linhas de transmissão e, em particular, no cálculo de gradientes de potencial estas incertezas são bastante evidentes, cabendo destacar:

• Incerteza da altura média geométrica dos condutores sobre o solo – o solo

não é plano sob as linhas; • Incerteza quanto à profundidade do lençol freático. Em muitas situações é

desconhecida e seguramente varia ao longo da linha e deveria ser usada como superfície equipotencial, de potencial elétrico nulo. Entretanto, é a superfície do solo que assume esta função nos cálculos;

• O efeito do encordoamento – afeta o valor dos gradientes de potencial. Entretanto os condutores são considerados cilíndricos e suas superfícies lisas.

13.5.1. Gradientes de potencial médios em linhas com condutores simples. Considere uma linha trifásica de circuito simples com condutores de raio r e dois

pára-raios de raio rpPara esta situação pode-se escrever:

.

[ ] [ ] [ ]i1

ii VE

r1

21E −

επ

= (13.06.)

Onde: [ ]iE – vetor dos gradientes de potencial na superfície dos cabos da configuração; [ 1/ri[ E ]

] – matriz com os inversos dos raios dos cabos presentes na configuração; -1

[ ]iV

– matriz inversa dos coeficientes de potencial, definida no cálculo de capacitâncias;

– vetor das diferenças de potencial entre os cabos da configuração e o solo.

A expressão (13.06.) desmembrada é colocada na seguinte forma:

[ ][ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ][ ]

επ=

p

f

ppp

pfp

fpff

p

f

VV

Er1E

r1

Er1E

r1

21

EE

[kV/cm] (13.07.)

Conforme visto em ocasiões anteriores os cabos pára-raios podem ser isolados ou

aterrados. 13.5.1.a. Pára-raios aterrados. Neste caso [ ]pV = [ 0 ], pois os pára-raios estão ao mesmo potencial do solo.

Entretanto, possuem cargas [ ]pQ ≠ [ 0 ], que aí chegam por condução desde o solo. Assim, observam-se gradientes de potencial em suas superfícies. Logo, a partir da equação (13.07.) e da condição [ ]pV = [ 0 ], determinam-se os gradientes de potencial na superfície de todos os cabos.

[ ] [ ] [ ]ffff VEr2

1E επ

= (13.08.)

13.5.1.b. Pára-raios isolados. Neste caso [ ]pE = [ 0 ], uma vez que não possuem cargas. Entretanto, estão

submetidos a uma diferença de potencial não nula, isto é, [ ]pV ≠ [ 0 ]. Com a condição

[ ]pE = [ 0 ] levada na expressão (13.07.) obtém-se a partir do segundo subconjunto de

equações o vetor [ ]pV que substituído no primeiro subconjunto fornece:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]fpf1

ppfpfff VEEEEr2

1E −−επ

= (13.09.)

Lembrando que quando a d.d.p. em uma das fases passa pelo seu valor máximo

positivo, nas demais fases estarão passando pela metade de seu valor máximo negativo, determinam-se os gradientes de potencial na superfície dos condutores das fases.

13.5.2. Gradientes de potencial médios em linhas com condutores múltiplos. A partir das equações desenvolvidas no caso anterior é possível construir a matriz

[ E ] para o cálculo das cargas médias em cada subcondutor de uma linha trifásica. Se os condutores de uma linha trifásica forem constituídos por n subcondutores e p pára-raios, a matriz [ E ] será de ordem (3n + p). Resultados satisfatórios podem ser obtidos de maneira bem mais simples assumindo o condutor múltiplo substituído por um equivalente sob o ponto de vista eletrostático, como feito no caso do cálculo das capacitâncias. Assim, os gradientes médios nos subcondutores poderão ser calculados pelas equações determinadas para a situação anterior substituindo-se r por nr(n-número

de subcondutores) e os elementos próprios da matriz [ Eff ] calculados empregando o raio capacitivo( ou eletrostático ), também identificado como sendo o raio equivalente do condutor múltiplo(Rc

Devido à proximidade das cargas em um mesmo condutor múltiplo, a divergência do campo em suas proximidades é grande. Para corrigir esta distorção determina-se o coeficiente de irregularidade dado por:

).

R2)1n(d −

=∆ (13.10.)

Onde: R – raio do círculo sobre o qual estão os subcondutores; n – número de subcondutores; d – diâmetro dos subcondutores. Assim, têm-se as equações finais para o cálculo dos gradientes máximos dadas

por: )1(EE medmáx ∆+= (13.11.)

Considerando separadamente os pára-raios aterrados e isolados a expressão

(13.11.) pode ser individualizada para cada uma das situações conforme segue. 13.5.2. a. Pára-raios aterrados.

[ ] ( )[ ][ ]fffmáxf VErn2

1Eεπ∆+

= [kV/cm] (13.12.)

13.5.2. b. Pára-raios isolados.

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]fpf1

ppfpffmáxf VEEEErn2

1E −−επ

= [kV/cm] (13.13.)

13.6. Perda de energia por efeito corona. A determinação analítica destas perdas é feita por meio de expressões em sua

grande maioria obtidas experimentalmente. 13.6.1.Perda de potência com tempo bom. Podem ser determinadas pela expressão definida a seguir.

2

26

tb

rdmgln

Vf10022,111P

φ×=

−

[kW/km/condutor ou subcondutor] (13.14.)

Onde: f – freqüência, [ Hz ]; V – valor eficaz da tensão entre fase e neutro, [ kV]; r – raio do condutor ou subcondutor, [ cm ]; dmg – distância média geométrica

entre condutores, [ cm ]; Φ – fator experimental, função da relação E / Ecrv , sendo

E[kV/cm] o valor médio para a pior condição do condutor ou subcondutor e Ecrv

[kV/cm] é o valor crítico visual do condutor ou subcondutor.

A figura mostrada a seguir fornece coeficientes de perdas por efeito corona de Peterson(Φ) para relações E / Ecrv

no intervalo entre 0,6 e 1,8.

Figura 13.01. – Coeficiente de perdas por efeito corona (Figura 10.9, página 502, extraída do volume 2 da referência: FUCHS, R. D. Transmissão de energia elétrica: linhas aéreas. Rio de Janeiro: LTC, 1977. 2v.).

13.6.2.Perda de potência sob chuva. Pode ser obtida por meio de processo analítico, verificado experimentalmente,

empregando a expressão fornecida a seguir.

P = K Pn

[ W/m ] (13.14.)

Onde:

43429,0Rln

Rln

RRln

)rn(50fK cc2

ρ

ρ

β= (13.15.)

Sendo: f – freqüência, [Hz]; r – raio dos subcondutores, [cm]; r

3,01+=β ;

Rc

múltiploscondutores/p4rn18simplescondutoresparar18

]cm[−+

−=ρ

– raio capacitivo ou raio equivalente do condutor múltiplo, [cm];

;

s

8

c C105538,5lnantiRR

−×= , [cm].

A grandeza Cs é a capacitância de serviço ou de seqüência positiva da linha e Pn representa as perdas reduzidas, obtidas na figura (13.03) em função de um coeficiente de estado da superfície m do condutor e da relação E / Ecrv. A relação E / Ecrv , também denominada gradiente de potencial relativo é determinada empregando o gradiente de potencial médio dos condutores (E[kV/cm]) e o gradiente crítico visual (Ecrv

[kV/cm]) obtido pela expressão (13.02.), corrigida apenas para levar em conta o efeito da variação da densidade relativa do ar, como na expressão (13.16.), e considerando somente o raio dos subcondutores, como definida a seguir.

]r

54187,01[1,18Eeq

crv δ+δ= (13.16.)

O coeficiente de estado de superfície m é obtido na figura (13.02.) em função do

índice de precipitação em [mm/h].

Figura 13.02. – Coeficiente de estado de superfície (Figura 10.10b, página 505, extraída do volume 2 da referência: FUCHS, R. D. Transmissão de energia elétrica: linhas aéreas. Rio de Janeiro: LTC, 1977. 2v.).

Assim, de posse do coeficiente superficial m e do gradiente de potencial relativo

E / Ecrv, obtém-se Pn na figura (13.03.).

Figura 13.03. – Perda reduzida (Figura 10.10a, página 504, extraída do volume 2 da referência: FUCHS, R. D. Transmissão de energia elétrica: linhas aéreas. Rio de Janeiro: LTC, 1977. 2v.).

13.6.3.Perdas mínimas, médias e máximas. Conforme visto as condições meteorológicas exercem significativa influência na

determinação das perdas por efeito corona e , em geral, variam ao longo do comprimento da linha caso esta seja suficientemente longa para atravessar regiões climatológicas diferentes. Assim, qualquer estudo sério, somente poderá fornecer resultados confiáveis se alicerçados em dados meteorológicos também merecedores de confiança. Desta forma, é necessário dispor de índices pluviométricos registrados hora a hora durante longos períodos, envolvendo vários ciclos de cada região climática atravessada pela linha. A ordenação destes dados permite a obtenção da curva de duração dos índices de precipitação em mm/h por ano. Com base nestes dados, é determinada pelo exposto a curva de duração de perdas anuais de potência decorrentes do efeito corona, em kW, que integrada permite determinar o valor das perdas médias anuais, conforme ilustrado na figura (13.04.).

Figura 13.04. – Curva de duração de perdas por efeito corona (Figura 10.11, página 507, extraída do volume 2 da referência: FUCHS, R. D. Transmissão de energia elétrica: linhas aéreas. Rio de Janeiro: LTC, 1977. 2v.).

Perd

as d

e Po

tênc

ia

kW

Perdas Médias Anuais Perdas c/ Bom Tempo

Perdas Máximas

Duração das Perdas Horas/Ano