apostila ft i - ufpa (1)
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CENTRO TECNOLÓGICO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
DIVISÃO DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Disciplina: Fenômenos de Transporte I
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CT/DEQAL DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTE I TE-06033 (Pré-requisito - Cálculo III)
PROFESSOR: CÉLIO SOUZA:
NORMAS DA DISCIPLINA: EMENTA Teoria:
Introdução aos fenômenos de transferência. Transporte molecular de Quantidade de Movimento, Calor e Massa Transporte unidimensional em fluxo laminar: Balanços de quantidade de movimento e Calor. Transporte multidimensional: Equações de variação para sistemas isotérmicos, não isotérmicos e para mistura binárias.
Laboratório:
Análise dimensional. Determinação de propriedades de transporte (viscosidade, condutividade térmica e coeficiente de difusão), determinação de Reynolds críticos e de coeficiente de atrito, medidas de perfis de perda de carga em dutos e localizada. FAIXA DE CONCEITO
REGIME DE CRÉDITO
REGIME DE SERIADO
SR [ 00, 10 ) INS [ 00, 50 ) MAU [ 10, 30 ) REG [ 50, 70 ) INS [ 30, 50 ) BOM [ 70, 85 ) REG [ 50, 70 ) EXC [ 85, 100] BOM [ 70, 90 ) EXC [ 90, 100] APROVAÇÃO NA DISCIPLINA: a) Freqüência igual ou superior a 75% da CH (60h) b) Os conceitos de acordo com o Regimento da UFPA.
BIBLIOGRAFIA: A ) Livros Textos : 1 - BENNET, C. O. & MYERS, J. E. Fenômenos de Transporte. Trad. Eduardo Walter Leser... (et alii). São Paulo. Mc Graw - Hill, 1978, 812p. 2 - SISSOM, Beighton E. & PITTS, Donald R. Fenômenos de Transporte Trad, Adir M, Luiz Rio de Janeiro, Guanabara dois, 1979, 765p. 3 - BIRD, R, B, et alli. Fenômenos de Transporte. Trad, Fidel Mafo Vázques. Espanha, Reverté. 1978. 4 - BRODKEY, R. S. V. & HERSHEY, H.C. Transport Phenomena . McGraw-Hill, 1988. 847p.
5 - WELTY, J.R., WICKS, C.E. E WILSON, R.E. Fundamentals of Momentun, Heat, and Mass Transfer, 3a. ed. Ed. John Wiley & Sons, Inc.1969. 803p. B ) Outros: B.1 ) Transporte de Quantidade de Movimento 1 - SHAMES, J.H. Mechanics of Fluids. Ed. Mc Graw-Hill. Book company. 1982. 692p. 2 - STREET, Victor L. Mecânica dos Fluidos. Guanabara Dois. 1978. 673p. 3 - BASTOS, F. A. A. Problemas de Mecânica dos Fluidos. Ed. Guanabara Dois. 1983, 483p. B.2) Transporte de Calor 1 - KREITH, Frank. Princípios de Transmissão de Calor. Trad. Eitaro Yamane... (et alii), São Paulo. Edgard Blucher. 1973, 650p. 2 - HOLMAN, J.P. Transferência de Calor. Ed. Mc Graw-Hill. 1983, 639p. 3 - INCROPERA, F, P & WITT, D.P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. Ed. Guanabara Koogam. 1992, 455p B.3 ) Transporte de Massa: 1 - HINES, A.L. & MADDOX, R.N. Mass Transfer. Ed. Prentice-Hall, Inc. 1985. 542p. 2 - CUSSLER, EL. Diffusion: Mass Transfer in Fluid Sistems. Ed. Cambridge University Press, 1984. 525p. PROGRAMA DE FEN. DE TRANSP. I (LAB) 1a AULA: ANÁLISE DIMENSIONAL -Considerações gerais -Leis mecânicas -Sistemas de unidades e dimensões -Teorema de Bridgman -Exercícios 2a AULA: DENSIDADE (PRÁTICA) -Considerações gerais -Definições de massa específica, peso específico e densidade -Medida da massa específica de líquidos 3a AULA: VISCOSIDADE (PRÁTICA) -Considerações gerais -Dedução da fórmula da viscosidade para o viscosímetro de Queda de Esfera. -Medida da viscosidade no viscosímetro de Queda de Esfera. 4a AULA: VISCOSIDADE (PRÁTICA) -Considerações gerais
-Manuseio e determinação experimental da viscosidade no viscosímetro Saybolt 5a AULA: EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE -Balanço global de massa 6a AULA: TEOREMA DE BERNOULLI (MEDIDAS DE VAZÃO) -Considerações Gerais -Tubo de Pitot -Venturi -Rotâmetro 7a AULA: MEDIDAS DA VAZÃO DA PLACA DE ORFÍCIO (PRÁTICA) -Considerações Gerais -Dedução da velocidade na placa de orifício -Medida da velocidade na placa de orifício 8a AULA: PERDA DE CARGA POR ATRITO EM FLUIDO INCOMPRESSÍVEL -Considerações gerais -Balanço de energia mecânica - Equação de Bernoulli -Fórmula de Darcy -Experiência de Nikuradse -Comparação da equação de Darcy com a de Poiseuille -Exercícios 9a AULA: PERDA DE CARGA POR ATRITO (PRÁTICA) -Perda de carga em tubo de ferro galvanizado -Perda de carga em tubo de PVC -Comparação entre os dois materiais 10a AULA: PERDA DE CARGA LOCALIZADA -Fórmula de Borda -Método: Coeficiente de resistência e comprimento equivalente -Manuseio de ábacos e tabelas 11a AULA: PERDA DE CARGA LOCALIZADA (PRÁTICA) -Perdas em válvulas globo e gaveta, redução gradual e curvas 12a AULA: DIFUSIVIDADE DE MASSA−GÁS PSEUDO-ESTACIONÁRIO (PRÁTICA)
PROGRAMA DE FEN. DE TRANSP. I (TEO) 1ª AULA: ANÁLISE MATEMÁTICA -Considerações Gerais -Conceito de variável -Teoria de campos -Noções de gradiente, divergente e rotacional -Derivada substancial 2ª AULA: LEI DE NEWTON DA VSICOSIDADE -Introdução ao fenômeno de transferência -Conceitos de força motriz, meio e fluido -Equação de Newton da viscosidade -Viscosidade (conceito, dimensões, influência da temperatura e pressão) -Reologia -Exercícios 3ª AULA: BALANÇO DIFERENCIAL DE MASSA -Equação da continuidade -Exercícios 4ª AULA: EQUAÇÃO GERAL DO MOVIMENTO -Equação de CAUCHY -Outras formas da equação geral do movimento -Exercícios 5ªAULA: TRANSFERÊNCIA DE CALOR -Considerações gerais -Mecanismos de transportes -Modelos matemáticos -Aplicação em corpos de geometria simples ( Eq. de Fourrier da condução) -Exercícios 6ª AULA:EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR -Considerações gerais -Equação geral da condução de calor -Casos particulares -Principais fontes de geração de energia interna -Exercícios 7ª AULA: TÓPICOS EM TRANSP. DE MASSA -Considerações gerais -Definições: concentrações, velocidades e densidades de fluxo -1ª lei de Fick da difusão -Exercícios 8ª AULA: MECANISMOS DE TRANSPORTE DE MASSA -Difusão através de um gás parado -Contra-difusão equimolar -Exercícios
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTES I
CONVERSÃO DE UNIDADES
Dimensões Unidades no Sistema Grandeza
Física MLT FLT CGS MKS (SI) FPS Engenharia
Comprimento L L cm m ft ft
Massa M FL-1T2 g Kg lb slug
Tempo T T s s sec sec
Velocidade LT-1 LT-1 cm/s m/s ft/sec ft/sec
Aceleração LT-2 LT-2 cm/s2 m/s2 ft/sec2 ft/sec2
Força MLT-2 F g.cm/s2 = Dina
kg.m/s2 = Newton (N)
lb.ft/sec2 = Poundal
slug.ft/sec2
= lbf
Quantidade de Movimento MLT-1 FT Dina.s N.s Pdl.sec lbf.sec
Energia e Trabalho ML2T-2 FL Dina.cm
= Erg N.m =
Joule (J) Pdl.ft lbf.ft
Potência ML2T-3 FLT-1 Erg/s Joule/s = Watt (W) Pdl.ft/sec lbf .ft/sec
Torque ML2T-2 FL Erg Joule Pdl.ft lbf.ft
Pressão e Tensão ML-1T-2 FL-2 Dina/cm2 N/m2 =
Pascal (Pa) Pdl/ft2 lbfft2 (p.s.f.)
Densidade ML-3 FL-4T2 g/cm3 Kg/m3 lb/ft3 slug/ft3
Viscosidade Dinâmica ML-1T-1 FL-2T g/cm.s
(poise) Kg/m.s lb/ft.sec = Pdl.sec/ft2
slug/ft.sec = lbf.sec/ft2
Viscosidade Cinemática L2T-1 L2T-1 cm2/s =
Stokes (St) m2/s ft2/sec ft2/sec
Tensão Superficial MT-2 FL-1 Dina/cm N/m Pdl/ft lbf/ft
Velocidade Angular T-1 T-1 rad./s rad./s rad./sec rad./sec
Momento de Inércia ML2 FLT2 g.cm2 kg.m2 lb.ft2 slug.ft2
Vazão Volumétrica L3T-1 L3T-1 cm3/s m3/s ft3/sec
(c.f.s) ft3/sec (c.f.s.)
Vazão Mássica MT-1 FL-1T-1 g/s kg/s lb/sec slug/sec
CONVERSÃO DE UNIDADES 1.1 - Comprimento, Área e Volume:
Comprimento (L) 1Km = 103m 1cm = 10 −2m 1mm = 10−3m
1mícron (µ) = 10−6m 1milimícron (mµ) = 10−9m 1ângstron (A) = 10−10m1ft = 12in = 30,48cm 1in = 2,54cm 1m = 39,32in = 3,28ft
1milha = 1,609Km = 1.609m
Área (A) 1ft2 = 144m2 = 929cm2 1m2 = 10,76ft2 = 104cm2
Volume (V) 1L =103cm3 = 61,02m3 = 0,03532ft3 1m3 = 103L = 35,32ft3
1ft3 = 7,481 US galão = 0,02832m3 = 28,32L 1 US galão = 231in3 =3,785L 1 galão imperial = 1,201 US galão
1.2 - Massa:
↑
→ X Kg g utm lb oz slug Observação
Kg 1 103 0,102 2,205 35,28 6,85x10−2 Quilograma
g 10−3 1 1,02x10−4 2,2x10−3 35,3x10−3 6,85x10-5 grama
utm 9,80665 9806,65 1 21,62 346 0,67 unid. Téc. de massa
lb 0,4535 453,5 4,62x10−2 1 16 3,1x10−2 libra-massa
oz 2,83x10−2
28,3 2,9x10−3 6,25x10−2 1 1,9x10−3 onça
slug 14,59 14589 1,49 32,17 514,7 1 _____
1.3 - Velocidade: 1.4 - Densidade Absoluta: ↑
→ X Km/h m/s no ft/s ↑
→ X Kg/m3 g/cm3 lb/ft3
Km/h 1 0,28 0,54 0,91 Kg/m3 1 10−3 6,25.10−2
m/s 3,6 1 1,94 3,28 g/cm3 103 1 62,5
no 1,852 0,51 1 1,59 lb/ft3 16 1,6.10−2 1
ft/s 1,1 0,3048 0,59 1
1.5 - Força:
↑
→ X dina N Kgf pdl lbf Observações
dina 1 10−5 0,102x10-5 7,23x10−5 2,3x10−6 dina
N 105 1 0,102 7,23 0,225 Newton
Kgf 980665 9,80665 1 70,95 2,205 quilograma-força
pdl 13823 0,138 1,41x10−2 1 3,1x10−2 poundal
lbf 4,45x10−5 4,45 0,453 32,17 1 libra-força
1.6 - Pressão: ↑
→ X Pa atm bar ba Kgf/m2 at lbf/ft2 psi Torr in Hg
Pa 1 9,869.10−6 10−5 10 10,2.10-2 10,2.10−6 20,9.10−3 1,45.10−4 7,5.10−3 2,95.10−4
atm 101325 1 1,01325 1,013.106 10,33.103 1,033 2116 14,6959 760 29,92
bar 105 9,87.10−1 1 106 10,2.103 1,02 2088,5 14,5 750 29,53
ba 10−1 9,87.10−7 10−6 1 10,2.10−3 10,2.10−7 2,09.10−3 14,5.10−6 7,5.10−4 29,5.10−6
Kgf/m2 9,80665 9,68.10−5 9,8.10−5 98 1 10−4 20,5.10−2 14,2.10−4 735.10−4 28,9.10−4
at 98066,5 9,68.10−1 9,8.10−1 98.105 104 1 2048 14,2 735,56 28,958
lbf/ft2 47,88 47,26.10−5 4,79.10−4 478,8 4,88 4,9.10−4 1 69,4.10−4 36.10−4 14.10−3
psi 6894,8 6,80.10−2 6,9.10−2 68,95.103 703 703.10−4 144 1 51,7 2,04
Torr 133,3 13,2.10−4 1,33.10−1 1333 13,595 13,6.10−4 2,78 19,3.10−3 1 39,4.10−3
in Hg 3386,5 3,34.10−2 33,9.10−3 33865 345,3 345.10−4 70,73 49.10−2 25,4 1
Observações:
Pascal atmosfera física ou normal bar bária
--------------------
atmosfera técnica = 1kgf/cm2
-------------------- lbf/in2
Torricelli = 1mmHg polegada de mercúrio
1.7 - Energia e Trabalho: ↑
→ X J KJ L.atm cal Kcal Kgf.m Btu lbf.ft
J 1 10-3 98,7.10−4 238,8.10−5 23,9.10−5 10,2.10−2 94,8.10−5 737,5.10−7
KJ 103 1 98,7.10−1 238,85 23,9.10−2 101,97 94,8.10−2 737,5
L.atm 101,325 101,3.10−3 1 24,2 24,2.10−3 10,33 96.10−3 74,73
cal 4,1868 4,19.10−3 4,13.10−2 1 10−3 426,9.10−4 39,7.10−4 3,09
Kcal 4,187.103 4,1868 41,31 103 1 426,9 3,97 3,09.103
Kgf.m 9,80665 9,8.10−3 96,8.10−3 2,34 2,3.10−3 1 93.10−4 7,2
Btu 1055 1055.10−3 10,413 252 0,252 107,59 1 778,165
lbf.ft 1,356 1,36.10−3 1,3.10−2 0,324 3,2.10−4 138,3.10−3 12,9.10−4 1
Observações: Btu → Unidade Térmica Britânica J → Joule cal → caloria 1.8 - Viscosidade Dinâmica:
↑
→ X P Kg/m.s Kg/m.h Kgf.s/m2 Kgf.h/m2 lb/ft.s lbf.s/ft2
P 1 0,1 360 0,010197 2,833.10−6 0,06721 2,0885.10−5
Kg/m.s 10 1 3600 0,10197 2,833.10−5 0,6721 2,0885.10−2
Kg/m.h 2,778.10−3 2,778.10−4 1 2,833.10−5 78,68.10−10 18,67.10−5 5,801.10−6
Kgf.s/m2 98,07 9,807 353,04.102 1 2,778.10−4 6,5919 0,20482
Kgf.h/m2 353,04.103 353,04.102 127,09.106 3600 1 23730 737,28
lb/ft.s 14,882 1,4882 5357 0,15175 4,214.10−5 1 0,03108
lbf.s/ft2 478,8 47,88 172,4.103 4,882 1,356.10−3 32,174 1
(P)* → Poise = scm
gcm
sdina2 ⋅
=⋅
1.9 - Potência:
↑
→ X W KW cv hp KJ/h KJ/min Kcal/h Kcal / min Kcal/s
W 1 10−3 1,36.10−3 1,34.10−3 3,6 0,06 0,8598 1,43.10−2 2,39.10−4
KW 103 1 1,36 1,34 3,6.103 60 859,8 14,33 0,239
cv 735,5 0,736 1 0,9868 2647,8 44,13 632,41 10,54 0,1757
hp 745,3 0,745 1,013 1 2683 44,72 640,8 10,68 0,178
KJ/h 0,278 278.10−4 3,78.10−4 3,73.10−4 1 1,7.10−2 0,239 3,98.10−3 6,64.10−5
KJ/min 16,67 1,67.10−2 2,27.10−2 2,24.10−2 60 1 14,33 0,239 3,98.10−3
Kcal/h 1,163 1,16.10−3 1,58.10−3 1,56.10−3 4,187 6,97.10−2 1 1,67.10−2 2,78.10−4
Kcal/min 69,78 6,9.10−2 9,49.10−2 9,36.10−2 251,2 4,187 60 1 1.67.10−2
Kcal/s 4186,8 4,186 5,69 5,618 15072 251,2 3600 60 1
Kgf.m/h 2,7.10−3 2,7.10−6 3,7.10−6 3,65.10−6 9,81.10−3 1,63.10−4 2,34.10−3 3,9.10−5 6,5.10−7
Kgf.m/min 0,1634 1,63.10−4 2,22.10−4 2,19.10−4 0,5884 9,81.10−4 0,141 2,34.10−3 3,90.10−5
Kgf.m/s 9,80665 9,8.10−3 1,33.10−2 1,32.10−2 35,3 0,5884 8,432 0,141 2,34.10−3
Btu/h 0,293 2,93.10−4 3,98.10−4 3,93.10−4 1,055 1,76.10−2 0,252 4,2.10−3 7.10−5
Btu/min 17,58 1,76.10−2 2,39.10−2 1,36.10−2 63,3 1,055 15,12 0,252 4,2.10−3
Btu/s 1055 1,055 1,435 1,416 3798,3 63,3 907,2 15,12 0,252
lbf.ft/h 3,77.10−4 3,77.10−7 5,12.10−7 5,05.10−7 1,36.10−3 2,26.10−5 3,24.10−4 5,4.10−6 9.10−8
lbf.ft/min 22,6.10−3 2,26.10−5 3,07.10−5 3,03.10−5 8,14.10−2 1,36.10−3 1,94.10−2 3,24.10−4 5,4.10−6
lbf.ft/s 1,356 1,35.10−3 1,84.10−3 1,18.10−3 4,88 8,14.10−2 1,166 1,94.10−2 3,24.10−4
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1.9 - Potência (continuação):
↑
→ X Kgf.m/h Kgf.m / min Kgf.m/s Btu/h Btu/min Btu/s lbf.ft/h lbf.ft /
min lbf.ft/s
W 367,1 6,12 0,102 3,412 5,68.10−2 9,48.10−4 2655 44,25 0,7375
KW 3,67.10−5 6118 101,97 3412 56,8 0,948 2,66.106 4,43.104 737,5
cv 2,7.105 4500 75 2509,6 41,83 0,697 1,95.106 3,26.104 542,5
hp 2,74.105 4560 76 2543 42,38 0,706 1,98.106 2,4.104 549,7
KJ/h 107,97 1,6695 2,83.10−2 0,9478 1,58.10−2 2,63.10−4 737,53 12,29 0,205
KJ/min 6118,3 101,97 1,6995 56,87 0,9478 1,58.10−2 4,43.104 737,5 12,29
Kcal/h 426,93 7,116 0,1186 3,968 6,61.10−2 1,1.10−3 3088 51,5 0,858
Kcal/min 2,56.104 426,9 7,12 238,1 3,968 6,61.10−2 1,85.105 3088 51,5
Kcal/s 1,54.106 2,56.104 426,9 1,43.104 238,09 3,968 1,11.107 1,85.105 3088
Kgf.m/h 1 1,67.10−2 2,78.10−4 9,3.10−3 1,5.10−4 2,58.10−6 7,23 0,12 2.10−3
Kgf.m/min 60 1 1,67.10−2 0,558 9,3.10−3 1,55.10−4 434 7,23 0,12
Kgf.m/s 3600 60 1 33,46 0,5577 9,3.10−3 26038 434 7,23
Btu/h 107,6 1,793 3.10−2 1 1,67.10−2 2,78.10−4 778,15 12,97 0,216
Btu/min 6455,3 107,6 1,793 60 1 1,67.10−2 46689 778,15 12,97
Btu/s 3,87.105 6455,3 107,6 3600 60 1 2,8.106 46689 778,15
lbf.ft/h 0,138 2,3.10−3 3,8.10−5 1,3.10−3 2,14.10−5 3,57.10−7 1 1,67.10−2 2,78.10−4
lbf.ft/min 8,296 0,138 2,3.10−3 7,7.10−2 1,3.10−3 2,1.10−5 60 1 1,67.10−2
lbf.ft/s 497,74 8,296 0,138 4,626 7,71.10−2 1,3.10−3 3600 60 1
Observações: cv → cavalo vapor hp → cavalo de potência
W → Watt = sJ
1.10 - Condutividade Térmica [k]:
↑
→ X Ccm.º
W
Cm.h.º
Kcal
Ccm.s.º
cal
F.h.ºft
Btu.in2
Fft.h.º
Btu
Fin.h.º
Btu
Ccm.º
W 1 85,985 0,23885 693,5 57,79 4,815
Cm.h.º
Kcal 0,01163 1 2,778.10−3 8,064 0,6719 0,05599
Ccm.s.º
cal 4,1868 360 1 2903 241,9 20,16
F.h.ºft
Btu.in2
1,442.10−3 0,1240 3,445.10−4 1 0,08333 6,944.10−3
Fft.h.º
Btu 1,731.10−2 1,488 4,134.10−3 12 1 0,08333
Fin.h.º
Btu 0,2077 17,858 4,964.10−2 144 12 1
Observação:
Cm.º
W210Ccm.º
W1 =
1.11 - Coeficiente de Transmissão de Calor [h]:
↑
→ X C.ºcm
W2
Cºm
W2
C.h.ºm
Kcal2
C.s.ºcm
cal2
F.h.ºft
Btu2
C.ºcm
W2
1 104 8598,5 0,23885 1761
Cºm
W2
10−4 1 0,85985 2,389.10−5 0,1761
C.h.ºm
Kcal2
1,163.10−4 1,163 1 2,778.10−5 0,2048
C.s.ºcm
cal2
4,1868 4,1868.104 3,6.104 1 7373
F.h.ºft
Btu2
5,681.10−4 5,681 4,886 1,356.10−4 1
1.12 - Viscosidade Cinemática (ν) , Temperatura, Densidade (ρ) e Ângulo:
Viscosidade Cinemática
1Stoke (St) = 102 centistokes (cSt) =1,076.10−3ft2/sec 1ft2/sec = 92900 (cSt) = 0,01 (St)
Temperatura
K = ºC + 273,15 = 9
5 R
R = ºF + 459,67 = 5
9 K
ºC = 9
5 (ºF − 32) = K − 273,15
ºF = 5
9 ºC + 32 = R - 459,67
Densidade 1g/cm3 = 10−3Kg/m3 = 62,43lb/ft3 = 1,94 slug/ft3 1lb/ft3 = 0,01602g/cm3
1slug/ft3 = 0,5154g/cm3
Ângulo 1rad = 57,296º 1º = 0,017453rad
1
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTES I PROFESSOR: CÉLIO SOUZA
ANÁLISE MATEMÁTICA
1 − CONSIDERAÇÕES GERAIS: Tem como principal objetivo o estudo das variáveis e suas inter-relações, ou seja, a análise trata de forma geral o conceito de magnitude (módulo) sem entretanto considerar seu significado físico. 2 − CONCEITO DE VARIÁVEL: Se uma grandeza física assume valores numéricos diferentes, então, podemos afirmar que a mesma é uma variável. 3 − TEORIA DE CAMPOS: 3.1 − Campo escalar: Denomina-se campo escalar a lei de correspondência que associa a cada ponto do espaço ⎥n, ou de parte do espaço, uma grandeza física escalar. Ex: Campo de temperatura, campo de concentração, campo de pressão. Se tivermos uma função escalar do ponto "M", f = f(M), onde M ∈ ⎥n, no sistema cartesiano de coordenadas (x, y, z), teremos f = f (x, y, z), logo se: F = Concentração ⇒ C = C (x, y, z); F = Temperatura ⇒ T = T (x, y, z); f = Pressão ⇒ P = P (x, y, z); 3.2 − Campo Vetorial: É a lei de correspondência que associa a cada ponto do espaço ⎥n, ou parte do espaço, uma quantidade física vetorial. Ex: Campo de velocidade, campo de quantidade de movimento, campo de aceleração.
2
Um campo vetorial escreve-se mediante uma função vetorial do ponto "M".
( ) ( ) ( ) ( )→→→→→
++=∴= kzyxfjzyxfizyxffMff ,,,,,, 321 logo:
( ) ( ) ( )→→→→
++= kzyxvjzyxvizyxvv ,,,,,, 321 # NOTAS:
Campo escalar e vetorial permanente ou estacionário → são aqueles que a função escalar ou vetorial só depende das coordenadas espaciais.
Campo escalar e vetorial transiente → são aqueles que as funções escalares e vetoriais dependem das coordenadas espaciais e do tempo.
Campo escalar e vetorial unidimensional e estacionário → são aqueles que as funções vetoriais e escalares independem do tempo e variam somente em uma direção.
3.3 − Campo Tensorial: Se qualquer ponto "M" do domínio de um tensor for especificado, dizemos que existe campo tensorial no domínio "D".
( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=∴=
333231
232221
131211~ ~
fffffffff
fMff
Ex: Campo de tensão cisalhante: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ =
AFCτ
Obs: A aplicação da teoria de campo escalar, vetorial e tensorial para o espaço Euclidiano ⎥3, mostra-nos que estes campos são tensores, ou seja: / Escalar → é um tensor de ordem "zero"; 30 = 1 (módulo). / Vetor → é um tensor de ordem "1"; 31 = 3 (módulo, direção e
sentido). / Tensor → é um tensor de ordem "2"; 32 = 9 (módulo, direção e
sentido nas três direções)
3
4 − GRADIENTE: É uma função vetorial derivada de uma função escalar. É uma função tensorial derivada de uma função vetorial. Para uma função escalar ϕ = ϕ (x, y, z)
→→→
∂∂
+∂∂
+∂∂
= kz
jy
ix
GRAD ϕϕϕϕ , onde ∇=∂∂
+∂∂
+∂∂ →→→
kz
jy
ix
∇ = Operador Nabla, então: ϕϕ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇→→→k
zj
yi
x
5 − DIVERGENTE: É uma função escalar derivada do produto escalar entre dois vetores.
Dada a função vetorial: ( ) ( ) ( ) ( )→→→→
++= kzyxvjzyxvizyxvzyxv ,,,,,,,, 321
zv
yv
xvvdiv
∂∂
+∂∂
+∂∂
= 321. ∴ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇→→→→→→kvjvivk
zj
yi
xv 321.
zv
yv
xvv
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ 321.
NOTA:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⋅
→→→→BABABA ,.cos
1º0cos 1 =∴=⋅=⋅=⋅→→→→→→kkjjii
0º90cos 0 =∴=⋅=⋅=⋅→→→→→→kjkiji
4
6 − OPERADOR DE LA PLACE (∇2): É a divergência do gradiente (div.gradϕ ; ou ; ∇.∇ϕ ; ou ; ∇2ϕ)
2
2
2
2
2
22
zyx ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ , então: 2
2
2
2
2
22
zyx ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ϕϕϕ
7 − ROTACIONAL (ROT): É uma função vetorial derivada do produto vetorial entre dois vetores.
321 vvvkyx
kjivROT ∂∂∂∂∂∂=
→→→
→
onde: ( ) ( ) ( ) ( )→→→→
++= kzyxvjzyxvizyxvzyxv ,,,,,,,, 321 8 − PROPRIEDADES DO OPERADOR NABLA:
( ) 2121 ϕϕϕϕ ∇+∇=+∇ ( ) 2121 VVVV ⋅∇+⋅∇=+⋅∇ ( ) 2121 xxx VVVV ∇+∇=+∇ ( ) ( ) ( )VVV ⋅∇+∇=⋅∇ ϕϕϕ ( ) ( ) ( )VVV xxx ∇+∇=∇ ϕϕϕ ( ) 0x =∇⋅∇ A
APLICAÇÃO: Calcular o gradiente e a divergência do gradiente da função abaixo e provar que 2∇=∇⋅∇ .
332 zyyx +=ϕ
( ) →→→→→→+++=∇∴⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ kzyjzyxixykz
jy
ix
23322 332 ϕϕϕϕϕ
5
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=
=∴
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇⋅∇23
3
3222
1321
33
2
zyvzyxv
xyv
zv
yv
xvϕ
zyyzy 33 662 ++=∇⋅∇ ϕ
zyyzyzyx
3322
2
2
2
2
22 662 ++=∇∴⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ ϕϕϕϕϕ
logo: ϕϕ ∇⋅∇=∇2
9 − DERIVADA SUBSTANTIVA: Representa a taxa de variação de uma grandeza física, associada a uma partícula em movimento.
Sendo [ ]ttztytxBB ),(),(),(= , então:
tz
zB
ty
yB
tx
xB
tB
DtDB
∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
+∂∂
=
onde tz
ty
tx
∂∂
∂∂
∂∂ e , são as componentes da velocidade, então:
zyx vzBv
yBv
xB
tB
DtDB
⋅∂∂
+⋅∂∂
+⋅∂∂
+∂∂
=
e
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ DEQAL/CMEQ DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTE PROFESSOR: CÉLIO SOUZA
LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE
1 − INTRODUÇÃO AO FENÔMENO DE TRANSFERÊNCIA: O processo de transferência é caracterizado pela tendência ao equilíbrio, que é uma condição em que não ocorre nenhuma variação. Numa força motriz, o movimento no sentido do equilíbrio e o transporte de alguma quantidade, são os fatores comuns a todos os processos de transferência.
2 − FORÇA MOTRIZ: É a diferença entre duas grandezas às quais ocorre uma variação ( é
dado pelo gradiente unidirecional dxdB )
Ex1: Transporte de calor: y T1 T2 Fluxo de calor da esquerda para a x direita (T1 > T2) z fonte de aquecimento 0 0
dxdTTk
zTj
yTi
xTT =∇∴
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇→→→
Ex2: Transporte de massa: y C1 x Fluxo de massa (C1 > C2) C2 z 0 0
dxdCTk
zCj
yCi
xCC =∇∴
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇→→→
Ex3: Transporte de quantidade de movimento: y x H2O Fluxo de quantidade de movimento (v1 > v2) z v1 v2 0 0
dxdvv
zv
yv
xvv xzyx =⋅∇∴
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=⋅∇
3 − MEIO: É a porção da matéria em que ocorrem as variações, ou suja, os fenômenos de transferência. Os meios apresentam-se na forma sólida e fluida, sendo os fluidos líquidos e gases. 4 − FLUIDO: São substâncias que podem escoar, movendo-se as moléculas e mudando a posição relativa sem fragmentação da massa. Os fluidos deformam-se continuamente quando submetidos à tensões cisalhantes, por menores que estas sejam, e se adaptam às formas do recipiente que os contém. 5 − EQUAÇÃO DE NEWTON DA VISCOSIDADE: 5.1 − Considerando-se um bloco sólido: y FC (Força cisalhante) Placa Fixa x
AFC
yx =τ
y FC γ P.F. x
# Dentro do regime de deformação elástica, temos:
γτ Gyx = onde: G → constante de proporcionalidade que é o módulo de elasticidade; γ → ângulo de deformação. Obs: O módulo de elasticidade é uma propriedade intrínseca do material. Ela é uma medida direta da resistência interna que o mesmo apresenta face às forças cisalhantes. 5.1 − Considerando um bloco fluido: y γ1 γ2 γ3 FC P. móvel FC x P. fixa
γ1 < γ2 < γ3
dtd
yxγατ ⇒ dt
dyx
γµτ ⋅= (I)
Obs: A equação (I) relaciona a tensão de cisalhamento com a taxa de deformação, conhecida como "Lei de Newton da Viscosidade", sendo "µ" a viscosidade absoluta. Obs: Como a deformação angular não é facilmente mensurável, então, procura-se expressar a equação (I) em grandezas facilmente mensuráveis. 5.3 − Seqüência do fenômeno: y FC P.M. t = 0; placa em repouso x P.F.
y FC P.M. t = pequeno; há um regime transiente, ou seja, o perfil é vx = vx (y, t). x P.F. y FC P.M. t = ∞; perfil de velocidade estacionário, ou seja, vx = vx (y) x P.F. y dx P.M. dy γ vx = vx (y) x P.F.
( )dydxtg =γ ; porém para ângulos pequenos ⇒ ( )γγ tg=
logo dydx
=γ ; então ⇒ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
dydx
dtd
yxτ ∴ dydvx⋅−= µτ yx (II)
Obs: O sinal negativo da equação acima é devido ao atrito, pois o mesmo é exercido pela parede sólida sobre o fluido e em sentido contrário ao escoamento. Matematicamente, podemos dizer que o escoamento está indo de uma região de maior fluxo de quantidade de movimento para uma de menor fluxo.
tAtv
Am
Aam
AFC
yx .movimento de Quantidade.
=⋅===τ , mas...
:logo , áreaTaxaFluxo e
tempograndezaTaxa ==
τyx = Densidade de fluxo de quantidade de movimento.
5.4 − Validade da Lei de Newton da Viscosidade: Fluido newtoniano; Distância entre as placas muito pequena; Utilizado para pequenas deformações.
6 − VISCOSIDADE: A constante de proporcionalidade da equação (I) ou (II) é chamada de viscosidade absoluta ou dinâmica (µ) e mede, portanto, a resistência que o fluido oferece às forças cisalhantes, ou seja, mede o atrito interno que as moléculas constituintes do fluido exercem entre si. A viscosidade cinemática (υ) é uma outra propriedade do fluido. Ela é definida como sendo a relação entre a viscosidade dinâmica (µ) e a massa específica (ρ) do fluido.
ρµυ =
6.1 − Dimensões de "µ" e "υ": a) Sistema [MLT]:
[ ]112
2
.. −−−
=∴⋅=⋅=∴= TMLTL
LL
TLMvy
AF
dydvx
yx µµτ
µ
[ ]123
11
.
.. −−
−−
=∴== TLLM
TLM υρµυ
b) Sistema [FLT]:
[ ]22 −=∴⋅=⋅= FTL
TLL
LF
vy
AF µµ
6.2 − Unidades mais usuais de viscosidade: a) Viscosidade dinâmica (µ): ## Sistema CGS:
100cP1P POISEou .
ou .2 =∴
scmg
cmsdy
## Sistema Internacional:
smKg
msN
.ou .
2
## Sistema Inglês:
sftlbm
ftslbf
.ou .
2
b) Viscosidade cinemática (υ): ## Sistema CGS:
100cSt1St STOKE2
=∴=s
cm
## Sistema Internacional:
sm2
## Sistema Inglês:
sft 2
6.3 − Influência da Pressão e Temperatura: a) Pressão:
Para pressões moderadas a viscosidade dos fluidos independe da pressão (até 10atm).
Para altas pressões, os gases e a maioria dos líquidos variam, porém não existem leis bem definidas. b) Temperatura:
Nos gases, aumentando-se a temperatura, aumenta a viscosidade, devido à transferência de quantidade de movimento entre as moléculas.
Nos líquidos, aumentando-se a temperatura, diminui a viscosidade, devido diminuírem as forças de coesão entre as moléculas.
6.4 − Condições finitas: Mostre que para condições finitas e perfil linear, a tensão de
cisalhamento é dada por: YV
yx =τ .
# Se o perfil de velocidade é linear, então → vx = a.y + b condições de contorno: 1ª: y = 0 ∴ vx = 0 ⇒ 0 = a.0 + b ⇒ b = 0
2ª: y = Y ∴ vx = V ⇒ V = a.Y + 0 ⇒ YVa =
YV
dydv y
YVv x
x =∴=
YV.
dydv. x µτµτ =⇒=
7 − REOLOGIA DE FLUIDOS NÃO-NEWTONIANOS: 7.1 − Definição: É a ciência que estuda a deformação e o fluxo de matérias, tais como: sangue, suspensões, tintas, vernizes, etc. Estas substâncias fluem, porém não obedecem a Lei de Newton da viscosidade, sendo estas substâncias ditas fluidos não Newtonianos. 7.2 − Diagrama Reológico ou Reograma: Na figura abaixo estão esquematizadas as relações de "τ" e "dvx/dy" para fluidos não Newtonianos, independentes do tempo. τ (dy/cm2) (2) (1) n = µ (3) n > 1 α τ0 (4) n < 1 (5) dvx/dy (s−1)
# Curva (1) → Representa um fluido Newtoniano, onde a tangente do
ângulo "α" é igual a " µτ =dydvx ".
Ex: Substâncias de baixo peso molecular (álcool, água e todos os gases), óleos lubrificantes e óleos comestíveis. # Curva (2) → Caracteriza um plástico de Bingham. Este tipo de fluido apresenta um excesso de rigidez, o qual deve ser vencido para que o material possa fluir. Ex: Lamas de perfuração
Equação de Bingham → dydvx
pyx ⋅+= µττ 0
onde "µp" é a viscosidade do plástico. # Curva (3) → Caracteriza um fluido "Dilatante". Observa-se que sua viscosidade aumenta com o aumento da tensão cisalhante (OSBORNE REYNOLDS). Ex: Suspensões de amido, silicato de potássio e areia. # Curva (4) → Caracteriza um fluido "Pseudoplástico". Observa-se que a viscosidade diminui com o aumento do gradiente de velocidade (METZNER). Ex: Soluções de polímeros de moléculas grandes, purês de frutas e legumes, sangue, maionese. # Curva (5) → Representa um fluido ideal ou perfeito, ou seja, sem atrito, visto que a tangente é nula. 7.3 − Modelo matemático para fluidos Dilatante e Pseudoplásticos: É o modelo de Ostwald-de-Walle ou lei da potência.
dydv
dydvK x
nx
yx ⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−1
τ
onde: K → é o índice de consistência do fluido; n → é o índice de comportamento do escoamento do fluido;
1−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛n
x
dydvK → viscosidade aparente.
Obs: Se K = µ e n = 1, o fluido é Newtoniano; Se n > 1, fluido Dilatante; Se n < 1, fluido Pseudoplástico.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTE I PROFESSOR: CÉLIO SOUZA
Lista de Exercícios de Lei de Newton da Viscosidade
1 − A distância entre dois pratos planos e paralelos é 0,00914m e o prato inferior está sendo puxado a uma velocidade relativa de 0,366m/s. O fluido entre os pratos é óleo de soja com viscosidade de 4x10−2Pa.s a 303K. a) Calcule a tensão cisalhante e o gradiente de velocidade, em unidades do S.I. Resp: 1,6 Pa; 40
s-1 b) Caso o glicerol a 293 K com viscosidade 1,069 Kg/m.s seja usado no lugar do óleo de soja,
qual será a velocidade relativa em m/s necessária para a mesma distância entre os pratos e a mesma tensão cisalhante obtida no item (a)? Qual o novo gradiente de velocidade? Resp: 0,014 m/s; 1,5 s-1.
2 − O pistão mostrado na figura abaixo, desliza no cilindro com uma velocidade constante de 0,6m/s. Calcular o peso do pistão, sabendo-se que a viscosidade do fluido lubrificante é 200cP. Resp: 12,4 N. Lubrificante P 45º 3 − Tem-se um viscosímetro rotatório que consta basicamente de dois cilindros coaxiais onde o óleo de ensaio é colocado entre eles (ver figura). É necessário um torque de 2N.m para fazer o cilindro interno girar a 30rpm. Os cilindros possuem 0,457mde comprimento e a folga entre eles é de 0,30cm. Desprezando os efeitos de borda, demonstre que: a) A tensão cisalhante é dada por (τ = 0,697/r2); b) Calcule a viscosidade do óleo de ensaio em "Pa.s" supondo-o Newtoniano e ri
=0,15m.Resp:0,2 Pa.s.
Pistão
Dados: Comprim.Pistão = 40cm DPistão = 11,6cm Dcilindro = 12,0cm 200cP = 2P 0,6m/s = 60cm/s Obs: Considere a espessura do filme muito pequena
re ri
4 − A figura abaixo mostra uma placa "A", com área total de 1,0 m2 e massa de 0,10Kg, deslizando para baixo entre duas placas, entre as quais, encontra-se um óleo (µ = 407cP). Desprezando a espessura da placa "A" e o empuxo calcule: a) A tensão cisalhante no S.I; Resp: a) 0,981 N; b) v= 0,25 m/s. b) A velocidade da placa no S.I. Fc1 Fc2 P 5 − Um eixo com 18 mm de diâmetro externo, gira a 20 rotações por segundo dentro de um mancal de sustentação estacionário de 60 mm de comprimento. Uma película de óleo com espessura de 0,2 mm preenche a folga anular entre o eixo e o mancal. O torque necessário para girar o eixo é de 0,0036 N.m. Estime a viscosidade do óleo que se encontra que se encontra na folga. Resp: 0,0208 Pa.s. 6- Uma fina placa quadrada de 20 cm de lado, desliza ao longo de um palano inclinado de 300. Qual a massa da placa se a viscosidade do fluido é de 800 cP? O perfil de velocidade é dado por Vx= 3,5 y (em cm/s). Resp: 22,834 g. 7- Marque V se for verdadeira e F se for falsa: ( ) Na Lei de Newton da Viscosidade, o gradiente de velocidade eqüivale a taxa de deformação do fluido, cuja dimensão é o segundo, e sempre esse gradiente é negativo, pois o fluido movimenta-se de maiores para menores concentração de velocidade de quantidade de movimento.
( ) A diferença mecânica entre um dilatante é que esse último deve vencer uma tensão inicial para começar a se deformar. ( ) Para µ= 0,06 kg/m.s e d= 0,6, a viscosidade em Stokes é igual a 1. 8- A tabela abaixo contém dados experimentais para um reograma de um material polimérico. Determine se este fluido é um pseudoplastico. Caso o for, determine os parâmetros k e n. Resp: 9604,62 e n< 1. dv/dy (s-1) 10 20 50 100 200 400 600 1000 2000 σ (N/m2).104 2,2 3,1 4,4 5,8 7,4 9,8 11,1 13.9 17,0
y1
y2
Resolução dos Exercícios 1ª) Solução:
Dados:YV
KTmsN
my
yx ⋅=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⋅⋅=
=− µτµ 303
10400914,0
22
x P. Fixa y P. Móvel Fluido a) V=0,366m/s:
PamN
yxyxyx 6,1ou 6,1 00914,0366,0104 2
2 ==⇒⋅⋅= − τττ
140
00914,0366,0 −=⇒= s
YV
YV
b) KTsmKg 293 ; 069,1 =⋅=µ
15,1 069,1
6,1 −=⇒=⇒= sYV
YV
YV yx
µτ
smVV /014,0 00914,05,1 =⇒⋅=
2ª) Solução: # Como a espessura do filme é muito pequena, podemos considerar perfil linear. P. fixa P. móvel (Pistão) PX PY P 45º ∆r
bayVCosPPRRr xx +=⋅=−=∆ ; º45 ; 12
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∆=∴=∴∆=
=∴=∴=
rV
aVVry
bVy
máxmáxx
x
0 0 0
lateraláreaLDAdy
dVxyx ; →⋅⋅=⋅= πµτ
rV
CosLDP
rV
LDCosP
AP
AF máxmáxxx
yx ∆⋅
⋅⋅⋅=⇒
∆⋅=
⋅⋅⋅
===º45
º45 1
1
µπµ
πτ
NPDinasPCos
P 4,12ou 61,898.236.1 6,1112
60º45
2406,11==⇒
−⋅
⋅⋅⋅=π
3ª) Solução:
Dados: ⎩⎨⎧
⎩⎨⎧
=+=
⎩⎨⎧
==
==
mRafoRR
cmyL
rpmfmNT
e
ie
i 153,0lg
; 30,0457,0
; 30
.2
a) ( ) τππττ ⋅⋅⋅=⇒⋅⋅⋅=⇒⋅⋅=⇒⋅= 22 2 rLTrLrTrATrFT
22697,0
45,022
rr=⇒
⋅⋅= τ
πτ
b)
( )153,0
150,022
1697,0 697,0 697,0⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−=−⋅⇒−=⇒==⋅− ∫∫ r
VVrdrdV
rdrdV
ie
r
r
V
V
e
i
e
i
µµτµ
iii V
VV 091,0 091,0 15,01
153,01697,0 =⇒−=⋅−⇒⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=⋅− µµµ
frVrpsfs
Rotf ii ⋅=⋅=∴=⇒⋅= πωω 2 :mas 5,0 60min1
min30
sPam
sNsmVV ii .2,0ou .2,0 471,0091,0 /471,0 15,0
212 2 ==⇒=∴=⇒⋅⋅= µµµπ
4ª) Solução:
smKg
mcm
gKg
scmgPcP
.407,0
110
101
.07,407,4407
2
3 =∴⋅⋅=== µµ
2
212
21 5,0 0,1 mAAmAAA T ==⇒==+
Dado: ⎩⎨⎧
==
⎩⎨⎧
==
??
:se-pede 0,1
10,02 VmA
Kgm
T
τ
# Balanço de força:
21 FFP +=
2.981,0 81,910,0
smKgPgmP =⇒⋅=⋅=
a) Cálculo da tensão:
22121
2
2
1
111 962,1
5,0981,0
5,05,05,05,0 mNPFFFF
AF
AF
=⇒==+
=+=+=+= ττττ
b) Cálculo da velocidade:
22
1121221121
yVA
yVAFFAAFFAF
AF
⋅+⋅=+∴⋅+⋅=+∴⋅=∴= µµττττ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅=⇒==
2121
115,0 5,0 :masyy
VPAA µ
smVV 51,0
15,01
35,01407,05,0981,0 =⇒⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅⋅⋅=
5ª) Solução: h bayVr +=
V1 V2 ⎪⎩
⎪⎨⎧
−=∴=∴=
=∴=∴=
hVVaVVhy
VbVVy
r
r12
2
11
0
r
y ( )h
VVa 21 −−=
( ) ( )
dydV
hVV
dydVVy
hVVV r
yrr
r ⋅−=∴−
−=⇒+⋅−
−= µτ 211
21
( ) dAh
VVdFAF
hVV
cc
yr ⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −−⋅−= 2121 :ando)(diferenci µµτ
⎪⎩
⎪⎨⎧
⋅⋅=
=∴⋅=
cia)ircunferên(Área da cddrrdA
(Torque)r
dTdFrdFdT
θ
∫ ∫ ∫ ⋅=⋅=⇒⋅⋅=π
ππθ2
0
22
0 22 RRAddrrdA
R
⎩⎨⎧
⋅=⋅=
∴⋅⋅⋅⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=
rVrV
ddrrrh
VVdT22
1121 :mas ωω
θµ
∫∫∫ ⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=⇒⋅⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=
πθωωµθωωµ
2
0
2
0
321
0
321 ddrrh
dTddrrh
dTdT
( ) 4214
421
32
422 d
hTd
hT ⋅−⋅
⋅⋅
=⇒⋅
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅= ωωπµωωµπ
( ) 42132
dTh
⋅⋅⋅⋅
=−πµ
ωω
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTES I PROFESSOR: Célio Souza
EQUAÇÕES DE VARIAÇÃO (SISTEMAS ISTÉRMICOS - I)
1 − CONSIDERAÇÕES GERAIS: As equações são baseadas em leis fundamentais, tais como:
Princípio da Conservação da Massa; 2ª Lei da Termodinâmica; Princípio da Conservação da Energia.
2 − EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE: Esta equação é baseada na lei de conservação da massa. Vamos considerar um balanço de massa para um fluido circulando em uma região fixa no espaço em um elemento de volume "∆x. ∆y. ∆z". 2.1 − Lei da Conservação da Massa: − =
skgm
sm
mKgAv =⋅⋅⇒== 2
3 .tempomassamassa de taxa ρ
z (ρvz)/(z+∆z) (ρvy)/(y+∆y) y (ρvx)/x (ρvx)/(x+∆x) (ρvy)/y (ρvz)/z x
Taxa de massa que entra no
volume de
Taxa de massa que sai do volume
de controle
Taxa de acúmulo de massa no vol.
de controle
2.1.1 − Taxa de entrada de massa no volume de controle: # em "x": ( ) zyv xx ∆∆⋅ .ρ # em "y": ( ) zxv yy ∆∆⋅ .ρ # em "z": ( ) yxv zz ∆∆⋅ .ρ 2.1.2 − Taxa de saída de massa do volume de controle: # em "x": ( ) ( ) zyv xxx ∆∆⋅∆+ .ρ # em "y": ( ) ( ) zxv yyy ∆∆⋅∆+ .ρ # em "z": ( ) ( ) yxv zzz ∆∆⋅∆+ .ρ 2.1.3 − Taxa de acúmulo de massa: (variação da massa com o tempo)
( ) tempo ∴÷=∴= ρρ VmVm
tzyx
tm
∂∂⋅∆∆∆=
∂∂ ρ..
# Substituindo cada item no balanço de massa, temos:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] +∆∆⋅−+∆∆⋅− ∆+∆+ zxvvzyvv yyyyyxxxxx .. ρρρρ
( ) ( )[ ] ( )zyxt
zyxyxvv zzzzz ∆∆∆÷∂∂⋅∆∆∆=∆∆⋅−+ ∆+ .. ... ρρρ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∆−
+∆
−+
∆−
−=∂∂ ∆+∆+∆+
zvv
yvv
xvv
tzzzzzyyyyyxxxxx ρρρρρρρ
# Levando o 2º membro ao limite quando (∆x, ∆y, ∆z → 0), teremos:
( ) ( ) ( )xxxxxx v
xxvv
xρρρ
∂∂
=∆−
→∆∆+
0lim
, logo:
( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+∂∂
−=∂∂
zyx vz
vy
vxt
ρρρρ (I)
Obs: A equação (I) é a equação da continuidade que pode também ser escrita da forma:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−∇=
∂∂ →
vt
ρρ . (II)
# Aplicando-se a derivada do produto em (I), teremos:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂∂
−=∂∂
zv
zv
yv
yv
xv
xv
t zz
yy
xx ρρρρρρρ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂+
∂∂
−=∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
zv
yv
xv
zv
yv
xv
tzyx
zyx ρρρρρ
→
∇−= vDtD .ρρ
(III)
Obs: A equação (III) é uma outra forma de se escrever a equação (I). Ambas são definidas para "fluido compressível e regime transiente". Obs: Não existe regime transiente incompressível, visto que para ser incompressível (ρ = cte), a variação com o tempo é nula, o que tornaria o regime em permanente. 3 − CASOS PARTICULARES:
3.1 − Fluido incompressível (ρ = cte) e regime permanente ( 0=∂∂
tρ ).
0
. ∴⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−∇=
∂∂ →
vt
ρρ 0. =∇→v
3.2 − Fluido compressível (ρ ≠ cte) e regime permanente ( 0=∂∂
tρ ).
0
. ∴⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−∇=
∂∂ →
vt
ρρ 0. =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∇
→vρ
4 − OUTROS SISTEMAS DE COORDENADAS: 4.1 − Coordenadas Cilíndricas (r,θ,z):
( ) ( ) ( ) 0..1..1=
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
zr vz
vr
vrrrt
ρρθ
ρρθ
4.2 − Coordenadas Esféricas (r,θ,ϕ):
( ) ( ) ( ) 0.sen1sen..
sen1..1 2
2 =∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
ϕθ ρϕθ
θρθθ
ρρ vr
vr
vrrrt r
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTE I PROFESSOR: CÉLIO SOUZA
Lista de Exercícios de Equação da Continuidade 01 − Faça os cálculos para verificar se equação da velocidade V = (2xy)i + (x − y)j + (z − 2zy)k, satisfaz a equação da continuidade para o escoamento de um fluido incompressível em regime permanente. 02 − Dado o campo de velocidade V = (2x + cosy)i + (senx − 2y)j − 4zk, verifique se o mesmo é compressível ou incompressível. 03 − O escoamento de um fluido bidimensional, vx = 0, é incompressível. O componente "vy" em qualquer ponto é dado por: vy = 4y2 - cos(α)z. Encontre "vz", sabendo-se que para z = 0 ; vz = v0. 04 − Em um duto cilíndrico escoa um fluido com velocidade vz = v0 −
tZ . Ocorre
neste movimento do fluido a variação de sua massa específica somente com o tempo "t", e onde no instante t = t0, ρ = ρ0 (cte). Calcule a expressão para a massa específica "ρ" do fluido. 05 − O escoamento de um fluido incompressível em coordenadas retangulares é dado pelos componentes de velocidade: vx = x3y e vy = 2yx2, onde "vz" é desconhecido. Encontre "vz", sabendo-se que vz = 0 em z = 0. 06 − Seja vx = vx (x,t), o único componente de um escoamento em plano unidimensional e transiente para o qual a massa especifica varia de acordo com ρ = ρ0[2 − cos(ωt)]. Determine a expressão para "vx", se em x = 0; vx = v0, para qualquer valor de "t". 07 − Um campo de escoamento unidirecional é representado por vz = 1 + z. Sabendo-se que ρ = ρ(z), e sendo ρ = ρ0, quando z = 0, obtenha uma expressão para calcular "ρ".
Resolução dos Exercícios
1ª) Solução:
( ) ( ) ( ) yz
vy
vy
xv
kzyzjyxixyv zyx 21 ; 1 ; 2 22 −=∂∂
−=∂
∂=
∂∂
⇒−+−+=→→→→
02112 )( 0 =−+−⇒=∂∂
+∂
∂+
∂∂
yyívelincompressz
vy
vx
v zyx (sim)
2ª) Solução:
( ) ( ) 4 ; 2 ; 2 42sencos2 −=∂∂
−=∂
∂=
∂∂
⇒−−++=→→→→
xv
yv
xv
kzjyxiyxv xyx
4422 )( 0 −=−+−⇒=∂∂
+∂
∂+
∂∂
ívelincompressz
vy
vx
v zyx (compressível)
3ª) Solução:
02 0 0 ? cos4 vv zvvzyv zxzy =⇒=∴=∴=∴−= α
0
08 0 8 =+∴=∂∂
+∂
∂+
∂∂
∴=∂
∂
dzdv
yz
vy
vx
vy
yv zzyxy
∫ ∫ =⇒=∴+−=∴−= 0 :.. 8 v 8 0z zvvcontcondCyzdzydv zz
yzvvvCCyv z 8 08 000 −=∴=∴+⋅−= 4ª) Solução: 0 0
( ) ( ) ( ) ( )⎩⎨⎧
=⇒==
∴=∂∂
+∂∂
++∂∂
00 ,
0 1 1ρρ
ρρθ
ρρθ tt
tzvvv
zv
rvr
drd
rtzz
zr
0
( ) 0 0 0 =∂∂
+∂∂
∴=∂∂
+∂∂
+∂∂
∴=∂∂
+∂∂
zv
tzv
zv
tv
ztz
zz
z ρρρρρρρ
∫ ∫=∴=∴=−∂∂
∴−=∂∂
∴−=tdtd
tdtd
tttzv
tzvv z
z ρρρρρρ 0 1 0
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=∴⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=∴∴+=
0
0
0
0 lnlnln ln .. . lnlnt
tt
CcontcondasubstCtρ
ρρ
ρ
00
0
0 lnlntt
tt
ρρρ
ρ =∴⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅=
5ª) Solução:
0 0:. . ; ? ; 2 ; 23 =⇒==== zvcontcondvyxvyxv zzyx
023 2x
3x
0 2222 =++∴=∂∂
∴=∂∂
∴=∂∂
+∂
∂+
∂∂
dzdvxyxx
vyx
vz
vy
vx
v zxxzyx
( ) ( )∫ ∫ ∴++−=∴+−= : ,. . 23 23 2222 temosccasubstCzxyxvdzxyxdv zz
( ) zxyxvC z 23 0 22 +−=∴=
6ª) Solução:
( ) ( ) 00 0:. . ; ? ; cos2 ; , vvxcontcondvttxvv xxxx =⇒==−== ωρρ 0 0 0 0 0
0 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
zv
yv
xv
zv
yv
xv
tzyx
zyx ρρρρρ
( ) tdtdt
dtdv
dtd
xv
txx sen cos2 0 0 00 ωωρρωρρρρρρ
=∴−=∴=+∴=∂∂
+∂∂
( )tt
dxdv
dxdv
tt xx
cos2 sen 0 cos2 sen 00 ω
ϖϖωρϖϖρ−
−=∴=−+
∫ ∫ +⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−=∴⋅
−−= Cx
ttvdx
ttdv xx cos2
sen cos2 sen
ωϖϖ
ωϖϖ
xttvvvvxcontcond xx ⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−=∴=⇒=
cos2 sen 0:.. 00 ω
ϖϖ
7ª) Solução:
( ) 0 : 0 1 0 =⇒=∴==∴=∴+= zcond.cont.vvzzv yxz ρρρρ
( ) ∫ ∫ +−=∴=++∴=
∂∂
∴=∂∂
+∂∂
zdzd
dzdz
zv
zv
zv xz
z 1 01 1 0
ρρρρρρ
( ) ( ) 00 ln 01lnln:. . 1lnln ρρρ =∴++−=∴++−= CCccasubstCz
( )zz
z+
=∴⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
=∴++−=1
1
lnln ln1lnln 000
ρρ
ρρρρ
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTE I PROFESSOR: CÉLIO SOUZA
EQUAÇÕES DE VARIAÇÃO PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS 1 − EQUAÇÃO GERAL DO MOVIMENTO: Esta equação se fundamenta na 2ª Lei de Newton do movimento, na qual se faz um balanço de forças (taxa de quantidade de movimento) em um elemento de volume de lados "dx, dy, dz". 1.1 − Segunda Lei de Newton: = + +
tF
tvmFamF movimento de quantidade . . =∴=∴=
1.1.1 − Forças de Inércia (Fi):
dxdydzdmdVdmadmFd i . . ρρ =∴=∴=
→→
(1) (2)
( )zyxvvdtvda ,,
→→→
→=∴=
# Aplicando-se a regra da cadeia, temos:
tt
tv
tz
zv
ty
yv
tx
xv
dtvda
∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
==
→→
tv
zvv
yvv
xvva zyx ∂
∂+
∂∂
+∂∂
+∂∂
=→
Forças de Inércia
Forças de Pressão
Forças Viscosas
Forças de Campo
# Da definição de derivada substantiva, observa-se que:
( )Dt
vDaAvtA
DtAD
→→→
→→
=⇒∇+∂∂
= .
(3) # Substituindo-se (2) e (3) em (1), teremos:
( )Dt
vDdxdydz
dFdvDt
vDdxdydzdF ii
→→
=⇒÷= . .. ρρ
(A) 1.1.2 − Força de Pressão (Fp): (em todas as direções) z Pz+dz.dAz Py.dAy Px.dAx Px+dx.dAx Py+dy.dAy Pz.dAz x y
( )( )( )
zyxP
dzzzz
dyyyy
dxxxx
z
y
x
p
dFdFdFdFdxdyPPdFdxdzPPdFdydzPPdF
dxdydAdxdzdAdydzdA
dAPdF
++=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−=−=
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
====
+
+
+
...
.
# Consideremos a série de Taylor truncada no 2º termo: 0 0
....!3!2
33
32
2
2
+∂
∂+
∂∂
+∂∂
+=+ dxxPdx
xPdx
xPPP xxx
xdxx
# Então teremos para cada caso:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⋅∂∂
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−−=
⋅∂
∂−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−−=
⋅∂∂
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−−=
dxdydzzPdxdydz
zPPPdF
dxdydzyP
dxdzdyyP
PPdF
dxdydzxPdydzdx
xPPPdF
zzzzz
yyyyy
xxxxx
.
.
.
( )dvdxdydzzP
yP
xPdFdFdFdF zyx
zyxP ÷⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂+
∂∂
−=++= .
Pdxdydz
dFp −∇= (B)
1.1.3 − Forças Viscosas (Fv): (tensões sobre o elemento de volume) z τzz τzx τzy τxz τyz τxx τxy x τyx y τyy # τxx, τyy e τzz → são tensores normais; # Os demais são tangenciais.
# Explicita-se, então, somente os tensores na direção "x" separadamente. z τzx/z+dz τyx/y τxx/x τxx/x+dx x τyx/y+dy τzx/z y # Temos, então, o balanço de força na direção "x".
( ) ( ) ( )dxdydxdzdydzF dzzzxzzxdyyyxxyxdxxxxxxxx +++ −+−+−=∑ ////// ττττττ # Dividindo-se pelo volume (dv), temos:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−= +++∑dzdydxdxdydz
dF zzxdzzzxyyxdyyyxxxxdxxxxx ////// ττττττ
# Se levarmos ao limite o 2º membro quando dx, dy e dz → 0, então:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂+
∂∂
−=∑zyxdxdydz
dF zxyxxxx τττ ; e analogamente:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∑zyxdxdydz
dF zyyyxyy τττ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∑zyxdxdydz
dF zzyzxzz τττ
τ. −∇=⇒++= ∑∑∑dxdydz
dFdxdydz
dFdxdydz
dFdxdydz
dFdxdydz
dF VzyxV (C)
1.1.4 − Forças de campo (Fc): (campo gravitacional)
( )dvgdxdydzFdgdmFdgmF ccc ÷=∴=∴=→→→→→→
.. . . ρ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
→→→→→→→
zyxc gggggg
dxdydzFd ,, onde , .ρ
(D) # Substituindo (A), (B), (C) e (D) no balanço de força, temos:
→→
+∇−−∇= gPDt
vD ρτρ . (I)
Obs: A equação (I) é a Equação Geral do Movimento, sendo também chamada de equação de "CAUCHY". # Para cada eixo, temos:
eixo "x" → xzxyxxxxx gzyxx
PDt
Dv →+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂+
∂∂
−∂∂
−= ρτττρ
eixo "y" → yzyyyxyyy gzyxy
PDt
Dv →+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂−= ρ
τττρ
eixo "z" → zzzyzxzzz gzyxz
PDtDv →
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂+
∂∂
−∂∂
−= ρτττρ
2 − FORMAS PARTICULARES: 2.1 − Fluido Newtoniano e incompressível: (µ e ρ = cte)
de viscosidadaNewton de lei . →∇−=→vµτ
# Substituindo-se a lei de Newton na equação geral, temos:
→→→
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∇∇+−∇= gvP
DtvD ρµρ .. ; como "µ" é constante, então:
→→→
+∇+−∇= gvPDt
vD ρµρ 2 (II)
Obs: A equação (II) é a equação de Navier-Stokes. Esta equação será utilizada no curso de Fenômenos I (ver tabela). # Escrevendo-se a equação de Navier-Stokes em coordenadas cartesianas na direção "x":
xxxxxx
zx
yx
xx g
zv
yv
xv
xP
zvv
yvv
xvv
tv ρµρ +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
2
2
2
2
2
2
2.2 − Efeitos viscosos nulos: ( 0. =∇τ → fluido ideal) 0
→→
+∇−−∇= gPDt
vD ρτρ . ∴ →
→
+−∇= gPDt
vD ρρ (III)
Obs: A equação (III) é chamada de Equação de Euler, que para regime permanente e fluido incompressível e em uma só direção obtemos a equação de Bernoulli. 2.3 − Fluido em repouso: (M.R.U. → v = cte)
Se v = cte então 0. e 0 =∇=
→
τDt
vD . Logo a equação geral fica:
→
=∇ gP ρ (IV)
# Escrevendo-se a equação (IV) em uma só direção obtemos a equação da estática dos fluidos "P = ρ.g.h".
2.4 − Efeito de pressão e gravidade desprezíveis:( 0g e 0 ==∇→
ρP )
→→
∇= vDt
vD 2µρ ou →
→
∇= vDt
vD 2υ
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTE I PROF: CÉLIO SOUZA
EQUAÇÃO DE VARIAÇÃO PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE NOS DISTINTOS SISTEMAS DE COORDENADAS: Coordenadas retangulares (x, y, z): ( ) ( ) ( ) 0=+++ zyx v
zv
yv
xtρ
∂∂ρ
∂∂ρ
∂∂
∂∂ρ
Coordenadas cilíndricas (r, θ, z): ( ) ( ) ( ) 011
=+++ zr vz
vr
rvrrt
ρ∂∂ρ
∂θ∂ρ
∂∂
∂∂ρ
θ
Coordenadas esféricas (r, θ, φ): ( ) ( ) ( ) 0
sen1sen
sen11 2
2 =+++ Φvr
vr
vrrrt r ρ
∂φ∂
θθρ
∂θ∂
θρ
∂∂
∂∂ρ
θ
EQUACÃO DO MOVIMENTO EM COORDENADAS RETANGULARES (x, y, z): Em função dos gradientes de velocidade para um fluido Newtoniano de "ρ" e "µ" constantes: Componente "x":
xxxxx
zx
yx
xx g
zv
yv
xv
xP
zv
vy
vv
xv
vt
vρ
∂∂
∂∂
∂∂
µ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
ρ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++ 2
2
2
2
2
2
Componente "y":
yyyyy
zy
yy
xy g
z
v
y
v
x
vyP
zv
vy
vv
xv
vt
vρ
∂
∂
∂
∂
∂
∂µ
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
ρ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++ 2
2
2
2
2
2
Componente "z":
zzzzz
zz
yz
xz g
zv
yv
xv
zP
zvv
yvv
xvv
tv ρ
∂∂
∂∂
∂∂µ
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ρ +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++ 2
2
2
2
2
2
EQUAÇÃO DO MOVIMENTO EM COORDENADAS CILÍNDRICAS (r, θ, z): Em função dos gradientes de velocidade para um fluido Newtoniano de "ρ" e "µ" constantes:
Componente "r":
( ) rrr
r
rz
rrr
r
gzvv
rv
rrv
rrr
rP
zv
vr
vvr
vr
vv
tv
ρ∂∂
∂θ∂
∂θ∂
∂∂
∂∂µ
∂∂
∂∂
∂θ∂
∂∂
∂∂
ρ
θ
θθ
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−++
2
2
22
2
2
2
211
Componente "θ":
( ) θθθ
θ
θθθθθθ
ρ∂∂
∂θ∂
∂θ∂
∂∂
∂∂µ
∂θ∂
∂∂
∂θ∂
∂∂
∂∂
ρ
gzvv
rv
rrv
rrr
Prz
vv
rvvv
rv
rv
vt
v
r
zr
r
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++++
2
2
22
2
2211
1
Componente "z":
zzzz
zz
zzr
z
gzvv
rrv
rrr
zP
zv
vv
rv
rv
vt
v
ρ∂∂
∂θ∂
∂∂
∂∂µ
∂∂
∂∂
∂θ∂
∂∂
∂∂
ρ θ
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++
2
2
2
2
2
11
EQUAÇÃO DO MOVIMENTO EM COORDENADAS ESFÉRICAS (r, θ, φ): Em função dos gradientes de velocidade para um fluido Newtoniano de "ρ" e "µ" constantes: Componente "r":
rrr
rrrr
r
gv
rv
rv
rv
rv
rP
rvvv
rvv
rv
rv
vt
v
ρ∂φ∂
θθ
∂θ∂
µ∂∂
φ∂φ∂
θφ
∂θ∂
∂∂
∂∂
ρ
φθ
θ
θθ
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−−∇+−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−+++
sen2cot222
sen
22222
22
Componente "θ":
θφθ
θ
φθθφθθθθ
ρ∂φ∂
θθ
θ∂θ∂µ
∂θ∂
θ∂φ∂
θ∂θ∂
∂∂
∂∂ρ
gv
rrvv
rvP
r
rv
rvvv
rvv
rv
rvv
tv
r
rr
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+∇+−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++++
222222
2
sencos2
sen21
cotsen
Componente "φ":
φθφ
φ
φθφφφφθφφ
ρ∂φ∂
θθ
∂φ∂
θθµ
∂φ∂
θ
θ∂φ∂
θ∂θ∂
∂∂
∂∂
ρ
gvr
vrr
vvP
r
rvv
rvvv
rvv
rv
rv
vt
v
r
rr
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−∇+−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++++
2222222
sencos2
sen2
sensen1
cotsen
Obs: Nestas equações o operador laplaciano é:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=∇ 2
2
2222
22
sen1sen
sen11
∂φ∂
θ∂θ∂θ
∂θ∂
θ∂∂
∂∂
rrrr
rr
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTES I PROFESSOR: CÉLIO SOUZA
Aula de Exercícios de Equação Geral do Movimento
1 − Determinar o perfil de velocidade, o perfil de tensão, velocidade máxima, velocidade média, vazão volumétrica e vazão mássica por unidade de largura, para o escoamento livre e unidimensional de um líquido Newtoniano incompressível em uma placa inclinada em regime permanente (ver figura abaixo). 2 − Seja o tubo circular de raio "R" e comprimento "L", inclinado de um ângulo "α" em relação à vertical, no qual escoa um fluido Newtoniano incompressível em regime permanente. As pressões no tubo em (z = 0) e (z = L) são (P = P0) e (P = PL), respectivamente. Encontre o perfil de velocidade e de tensão, as velocidades máxima e média, a vazão volumétrica. 3 − Encontrar o perfil de velocidade de um fluido Newtoniano, fluindo em regime estacionário entre dois tubos concêntricos, como mostra a figura abaixo. Considerar o fluido incompressível e regime laminar.
4 − Demonstre que a velocidade média de um fluido Newtoniano e incompressível em um duto circular de raio "R", a partir do perfil de velocidade dado por:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⋅
+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆
=++
nn
nn
n
z Rn
nKLPV
111
r12
é como abaixo:
13.
2.
11
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆
=+
nnR
KLPV n
nn
z
Em seguida encontre a relação MAXz,z V/V .
Dado: ∫∫∫∫=
R
Rz
z
VV
0
2
0
0
2
0
rdrd
drdr
θ
θπ
π
5 − Mostre que o perfil de velocidade para fluxo laminar tangencial de um fluido incompressível escoando no espaço compreendido entre dois cilindros verticais coaxiais, quando o cilindro inferior gira com velocidade angular "Ω", é dado por:
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⋅
−⋅Ω
=r
RrK
KV22
2
2
1θ
Resolução dos Exercícios 1ª) Solução: a) Perfil de velocidade: 0 0 0 0 0 0 0
zzzzz
zz
yz
xz g
zV
yV
xV
zP
zVV
yVV
xVV
tV
ρµρ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
2
2
2
2
2
2
µβρ
µβρβρµ cos cos cos0 2
2
2
2 gdx
dVdxdg
dxVdg
xV zzz −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∴−=∴+
∂
∂=
∫ ∫ +⋅−=∴⋅−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
1cos cos Cxg
dxdVdxg
dxdVd zz
µβρ
µβρ
# 1ª cond. de cont.:
0 0ou 0 0
0ou 0 1
,=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==⇒=
==⇒=C
dxdVxem
dxdVVVxem
zxz
zmáxzz
τ
∫ ∫ +⋅−=∴−= 22cos cos CxgVxdxgdV zz µ
βρµ
βρ
# 2ª cond. de cont.: 0 =⇒= zVxem δ
µδβρδ
µβρ
2cos cos0
2
222 ⋅
=∴+⋅−=gCCg
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅=⇒⋅+⋅−=
2222 1
2cos
2cos
2cos
δδ
µβρδ
µβρ
µβρ xgVgxgV zz
b) Perfil de tensão:
xgdx
dVxgdx
dVdx
dV zzzyx ⋅−=∴⋅−=∴−=
µβρ
µβρµτ cos
2cos2
xgxgyxyx ⋅=⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−⋅−= βρτ
µβρµτ cos cos
c) Velocidade máxima: max, 0 zz VVxem =⇒=
2, 2
cos δµβρ⋅=
gV máxz
d) Velocidade média:
∫∫ ∫
∫ ∫∴⋅⋅
⋅=∴
⋅
=δ
δ
δ
δ 0
0 0
0 0 : temos,"" dosubstituin 1 zzzw
w
z
z VdxVww
Vdxdy
dxdyVV
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅⋅−+⋅⋅−= ∫∫ dxgdxxgV z
2
0
2
0 2cos
2cos1 δ
µβρ
µβρ
δ
δδ
( ) 2
cos32
cos10
2
0
3
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= δ
δ
µβδρ
µβρ
δxgxgV z
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⋅=∴⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⋅−= 3
333
32cos1
2cos
32cos1 δδ
µβρ
δµβδρδ
µβρ
δgVggV zz
2
3
3cos
32
2cos1 δ
µβρδ
µβρ
δ⋅=⇒⋅⋅=
gVgV zz
# Relação entre :" " e "" max, zz VV
23
3cos2cos
max,
2
2
max, =⇒⋅
⋅=
z
z
z
z
VV
g
g
VV
δµ
βρ
δµ
βρ
e) Vazão volumétrica (Q)
32
3cos
3cos δ
µβρδδ
µβρ wgQwgQAVQ z ⋅=⇒⋅⋅=∴⋅=
f) Vazão mássica por unidade de largura ( •
mQ )
32
3
3cos
3cos δ
µβρρδ
µβρρ
⋅=⇒⋅⋅=⋅
= •• gQw
wgw
QQ mm
2ª) Solução: a) Perfil de concentração: 0 0 0 0 0 0 0
zzzzz
zzz
rz g
zVV
rrVr
rrzP
zVVV
rV
rVV
tV
ρθ
µθ
ρ θ +⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂
∂+
∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+∂∂
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
2
2
2
2
211
αρµαρµ cos1 cos10 gdzdP
drdVr
drd
rg
rVr
rrzP zz +=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∴−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+∂∂
−= (I)
Pressão Absoluta (P)
# Convenção de sinal: (+) → quando o fluido escoa na direção contrária de "g". (−) → quando o fluido escoa na mesma direção de "g". Obs: no problema em questão é positivo (+), logo:
Onde: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
→→→
estática Pressão dinâmica Pressão Absoluta Presão
gzPPAb
ρ
⎪⎩
⎪⎨
⎧→=−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
segundo. ao relação com constanteé membro 1º o então ,r"" com nem "V" com
varianão como ;z"" com somente variadP"" cos1
zdzdPg
drdVr
drd
rz αρµ
LPP
KLKPPdzKdPdzdPK L
L
L
L
P
P
L0
0 0
−=∴⋅=−∴=∴= ∫∫
αρµ cos1 0 gL
PPdr
dVrdrd
rLz +−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ (A)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=⇒=∴=
=⇒=∴=⇒+=
(2)
(1) 0
00 0
gLPPLzPP
PPzPPgzPP
LAbL
Ab
Ab
Lρ
ρ
# Diminuindo (2) de (1), temos: ( )
zLAbAbL
LAbAb gL
PPPPPgLPPP L
Lρρ +
−=
−⎯⎯ →⎯−+=− ÷ 0
0 L 0
0
L1 cos
L00 (A) em subst.0 AbAbzLAbAb PP
drdVr
drd
rg
LPPPP
LL−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎯⎯⎯⎯ →⎯+
−=
−µαρ
rL
Pdr
dVrdrd
LP
drdVr
drd
rAbzAbz ⋅
∆−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∴
∆−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
µµ 1
12
2 Cr
LP
drdVrrdr
LP
drdVrd AbzAbz +⋅
∆−=∴⋅
∆−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∫ ∫ µµ
PAb = P + ρgz
# 1ª cond. de cont.:
0 0 0 1max, =⇒=∴=∴= Cdr
dVVVr zzz
222
4
2
2Cr
LP
VrdrL
PdVr
LP
drdVr Ab
zAb
zAbz +⋅
∆−=∴
∆−=∴⋅
∆−= ∫∫ µµµ
# 2ª cond. de cont.:
22 4
0 RL
PCVRr Ab
z ⋅∆
=∴=∴=µ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅
∆=∴⋅
∆+⋅
∆−=
2222 1
4
44 RrR
LP
VRL
Pr
LP
V Abz
AbAbz µµµ
b) Perfil de tensão:
rL
Pdr
dVrL
Pdr
dVdr
dV AbzAbzzzr ⋅
∆−=∴⋅
∆−=∴⋅−=
µµµτ
2 2
4
rL
Pr
LP Ab
zrAb
zr ⋅∆
=⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
∆−−=
2
2τ
µµτ
c) Cálculo de " max,zV ":
2max, 4
0 RL
PVVVrem Ab
zzz ⋅∆
=⇒=∴=µ
d) Cálculo da velocidade média ( zV ):
∫∫
∫ ∫
∫ ∫⋅=
⋅
⋅
=
⋅
=R
z
R
z
R
R
z
z rdrdVRR
rdrdV
rdrd
rdrdVV
022
02
0 0
2
0 0 2
22
2θ
π
θπ
θ
θ
π
π
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∆=∴⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
∆+⋅⋅
∆−= ∫ ∫∫∫
R RAb
z
RAb
RAb
z rdrRdrrLR
PVrdrR
LP
rdrrL
PR
V0 0
232
0
2
0
22 4
2
4
42
µµµ
24
2
44
2 8
42
242R
LP
VRLR
PVRR
LRP
V Abz
Abz
Abz ⋅
∆=⇒⋅
∆=∴⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
∆=
µµµ
# Relação entre " "" e "max, zz VV :
2max, =z
z
VV
e) Vazão volumétrica (Q): 422
8
8 R
LP
QRRL
PQAVQ AbAb
z πµ
πµ
⋅∆
=⇒⋅⋅∆
=∴⋅=
3ª) Solução: 0 0 0 0 0 0 0
zzzzz
zzz
rz g
zVV
rrVr
rrzP
zVVV
rV
rVV
tV
ρθ
µθ
ρ θ +⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂
∂+
∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+∂∂
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
2
2
2
2
211
⎩⎨⎧
→=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
dinâmica pressão própria a é absoluta pressão a gravidade da termoo temosnão como caso, neste
1dzdP
drdVr
drd
rzµ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=−∴⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ∫∫ dr
dVrdrd
rLPPdz
drdVr
drd
rdP z
Lz
P
P
1 112
0
2
1
µµ
∫∫∆
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∴
∆−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ rdr
LP
drdVrd
LP
drdVr
drd
rzz
µµ 1
( )r
CrL
Pdr
dVCrL
Pdr
dVr zrz 11
2
2
2+⋅
∆−=⎯⎯→⎯+⋅
∆−= ÷
µµ
212
1 ln2
2
CrCrL
PVrdrCrdr
LPdV zz ++⋅
∆−=⇒+
∆−= ∫ ∫∫ µµ
(1)
# 1ª cond. de cont.:
bCbL
PCCbCbL
PVbrPara z ln4
ln4
0 0 12
2212 −⋅
∆=⇒++⋅
⎩⎨⎧ ∆
−=∴=∴=µµ
# 2ª cond. de cont. (2)
bCbL
PaCaL
PVarPara z ln4
ln4
0 0 12
12 −⋅
∆++⋅
⎩⎨⎧ ∆
−=∴=∴=µµ
( ) ( ) ( )( )baL
baPCbaL
PbaCln
14
4
lnln22
122
1 ⋅−∆
=⇒−∆
=−µµ
(3)
# Substituindo (3) em (2), teremos:
( ) ( ) bba
baL
PbL
PC lnln
144
2222 ⋅⋅−
∆−⋅
∆=
µµ (4)
# Substituindo (4) e (3) em (1), teremos:
( ) ( ))/ln(
ln44
ln)/ln(
144
222222
babba
LPb
LPr
baba
LPr
LPVz ⋅−
∆−⋅
∆+⋅⋅−
∆+⋅
∆−=
µµµµ
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅−−+⋅−+−
∆=
)/ln(ln
)/ln(ln
4222222
barbab
barbar
LPVz µ
( ) ( ) [ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−⋅−
+−∆
= brbabarb
LPVz lnln
)/ln(4
2222
µ
( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅
−+−
∆= )/ln(
)/ln(4
2222 br
babarb
LPVz µ
4ª) Solução:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅−⋅⋅
+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆
=∴
⋅
=
⋅
= ∫ ∫∫
∫ ∫
∫ ∫ ++R R
z
R
z
R
R
z
z drrrdrRn
nKLP
RV
R
rdrV
rdrd
rdrdVV n
nn
nn
0 022
02
0 0
2
0 0121
1
122
22
2
π
π
θ
θ
π
π
onde: cten
nKLP
R
n==
+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆ φ
122
1
2
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=∴
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+⋅−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
++++nn
nn
nn
nn
RnnRRV
nnrrRV z
RR
z131131
132
132
2
00
2φφ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−⋅
+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆
=∴⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⋅
+−=
+++
1321
122
132
131
1313
2 nnR
nn
KLP
RVR
nnRV n
nnnnn
n
zz φ
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡+−+
⋅⋅+
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆
= −+
132213
122 2
131
nnnRR
nn
KLPV n
nnz
132
131.
12
11
11
+⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆
=⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
+⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆
=++
nnR
KLPV
nn
nnR
KLPV n
nnn
nnzz
5ª) Solução: R
Ω KR
0 0 0 0 0 0 0
Componente "θ":
( ) θρ∂
θ∂
∂θ∂
∂θθ∂
θ∂∂
∂∂µ
∂θ∂
∂θ∂θ
∂θθ∂θ
∂θ∂
∂θ∂
ρ
gz
vrv
r
v
rrv
rrr
Prz
vzv
rvrvv
rv
rv
rvt
v
+⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
2
2
22
2
2
211
0 0 0 0
1
( ) ( ) ( ) rdrCrVdCrVdrd
rrV
drd
rdrd
⋅=∴=⋅∴=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅ 11 1 01
θθθ
# Integrando-se, teremos: ( )
rCrCVCrCrV r 21
221
2
2+⋅=⎯⎯→⎯+⋅= ÷
θθ (1)
# Aplicando as condições de contorno abaixo, teremos:
: teremoscont., de cond. as se-dosubstituin ,
0
⎩⎨⎧
Ω=∴==∴=
KRVKRremVRrem
θ
θ
( )( )
( )1 e
12
2
2
22
2
1−
Ω−=
−⋅Ω⋅
=K
KRCK
KC
# Substituindo-se "C1" e "C2" em (1), teremos:
( )( )
( ) ( )( )
( ) rKKRr
KKV
rKKRr
KKV
⋅−Ω
−⋅−
⋅Ω=∴
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅
−Ω
−+⋅−⋅Ω⋅
=11
1121
22
2
2
2
2
2
2
2
θθ
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅
−⋅Ω
=r
RrK
KV22
2
2
1θ
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE ALIMENTOS DISCIPLINA: Transferência de Calor e Massa (REVISÃO) PROFESSOR: CÉLIO SOUZA
LEI DE FOURIER DA CONDUÇÃO DE CALOR
1 − CONCEITOS: A transferência de calor é a transmissão de energia resultante de uma diferença de temperatura. Ex: T0 Tx Fluxo de calor T0 > Tx Nota-se haver uma distribuição desigual de temperatura o que acarretará em um transporte de calor no sentido do Sol para Terra. Observa-se, também, que a temperatura cresce da Terra para o Sol, isto é, no sentido contrário ao do transporte de calor. 2 − MECANISMOS DE TRANSPORTE DE CALOR: 2.1 − Condução: A calor pode ser conduzido através de sólidos, líquidos e gases pela cinética de impacto direto de moléculas adjacentes. O fluxo de energia não é acompanhado por um movimento apreciável de matéria. 2.2 − Convecção: É parcialmente regida pelas leis da mecânica dos fluidos, já que a transferência de energia depende do movimento de porções macroscópicas de um líquido ou gás (fluido). 2.2.1 − Convecção natural: É induzida por diferença de densidade, o que acarreta em uma diferença de temperatura.
Sol
terra
Ex: Correntes convectivas Fonte de calor 2.2.2 − Convecção forçada: É resultante de uma força externa (bombas, agitadores, etc.) 2.3 − Radiação: Propaga-se através do vácuo, gases, líquidos ou sólidos transparentes. A energia é transportada por ondas eletromagnéticas ou fótons de comprimento variando desde 10−11m (ondas curtas dos raios cósmicos) até 103m (ondas longas de rádio comunicação). Obs: Raramente o calor é transferido por um só mecanismo. Geralmente ocorre uma combinação em série ou paralelo. 3 − MODELOS MATEMÁTICOS: 3.1 − Convecção: A taxa de calor por convecção é calculada pela Lei de Newton do Resfriamento.
( )fSC TTdAhdq −= .. onde: dqC → taxa de calor por convecção (Kcal.h−1) ou (Watt); dA → elemento de área em que flui a quantidade de calor "dqC" (m2); TS → temperatura da superfície no elemento "dA" (ºC); Tf → temperatura do fluido ao longe da superfície (ºC); h → coeficiente de convecção local (Kcal/m2.h.ºC) ou (Watt/m2ºC). 1ª Obs: Caso a temperatura do fluido seja maior que a da superfície, então (TS − Tf) fica (Tf − TS). 2ª Obs: "h" depende do tipo de escoamento (laminar ou turbulento), características geométricas, condutividade térmica, viscosidade, calor
H2O
específico, do mecanismo de transferência por convecção (natural ou forçada), etc. 3ª Obs: Caso "h" seja constante ao longo da superfície "A", então a equação de Newton pode ser escrita da seguinte forma:
( ) fSfSC TTTTAhq ⟩∴−= para .. 3.2 − Radiação: A energia radiante pode ser refletida (α), transmitida (β) ou absorvida (γ), onde α + β + γ = 1 Ex: Negro de fumo (γ ≅ 0,97; α ≅ 0,03; β ≅ 0); Placa de alumínio (γ ≅ 0,1; α ≅ 0,9; β ≅ 0). Obs.1: O corpo negro é o corpo que absorve toda a energia radiante que atinge sua superfície (γ = 1) e a taxa de calor é dada por:
4.. SR TAq σ= (Lei de Stefan-Boltzmann) Obs.2: Quando dois corpos negros trocam radiação a taxa de calor é dada por:
( )4421
.. SSR TTAq −=σ Obs.3: Caso o corpo não seja um corpo negro (γ < 1) a taxa de calor é dada por:
( )4421
... SSR TTAq −= σε onde: qR → taxa de troca de calor por radiação térmica (Watt); σ → constante de Stefan-Boltzmann (5,67.10−8W/m2K4); ε → emissividade do meio (adimensional, variando de 0 a 1);
A → área superficial (m2); TS → temperatura da superfície (absoluta, "K" ou "R"). 3.3 − Condução e Condutividade Térmica: y P.S. PLACA SÓLIDA P.I. x y T0 P.S. P.I. x y T0 P.S. T = T (y,t) P.I. x y T0 P.S. T = T(y) P.I. x # De acordo com o experimento acima, podemos concluir que:
FLUXO DE CALOR α GRADIENTE DE TEMPERATURA NA DIREÇÃO (Y)
dydTK
Aq
−= (Lei de Fourrier da Condução)
Obs: O sinal negativo é devido ao fluxo térmico estar no sentido contrário ao gradiente de temperatura.
Considerar que haja um sorvedouro de calor na placa superior,
mantendo-a fria
t = 0 → a placa superior está na mesma temperatura da placa inferior
"T0"
t = pequeno → a placa superior aumenta sua temperatura havendo um regime transiente T = T(y,t)
t = ∞ → haverá formação final do perfil de temperatura, ou seja,
T = T(y)
sendo: q → taxa de calor por condução [Kcal/h; Btu/h; Joule/s (W)]; A → área (m2; ft2); K → condutividade térmica (Kcal/h.m.ºC; Btu/h.ft.ºF);
dydT → gradiente unidirecional de temperatura (ºC/m).
1ª Obs: A condutividade térmica é a capacidade que o material apresenta em conduzir calor. É função do estado molecular e, portanto, depende da temperatura K → ∞ (condutores) → materiais metálicos; K → 0 (isolantes) → isopor, cortiça. 2ª Obs: Quando as condutividades térmicas relacionadas a eixos direcionais são as mesmas, o meio é dito "ISOTRÓPICO", ou seja, quando "K" independe da direção do fluxo. Caso contrário, o meio é dito "ANISOTRÓPICO". z Kz Ky y Kx x # Introduziremos à Lei de Fourrier da Condução a massa específica (ρ) e o calor específico (CP), onde: ρ = (Kg/m3) e CP = (Kcal/Kg.ºC).
( )cteCeC
TCdydK
Aq
dydTK
Aq
pP
P =∴⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=∴−= caso
... ρ
ρρ
αρρ
ρ=⋅−=
PC.K mas,,
...
dydT
CCK
Aq
P
P
Kx = Ky = Kz = K → meio Isotrópico (materiais homogêneos)
Kx ≠ Ky ≠ Kz → meio Anisotrópico (Substâncias amorfas como madeira)
dydTC
Aq
P..ρα−= ou dydTCQ P..ρα−=
Obs: "α" é a difusividade térmica que representa a relação entre a capacidade do material em transportar energia e sua capacidade em absorver energia. # Dimensão de "α":
[ ]1223
.º..
−==∴⋅== TLh
mKgm
CmhKcal
CK
P
αρ
α
4 − APLICAÇÃO EM CORPOS DE GEOMETRIA SIMPLES: 4. 1 − Placa Plana: Dada uma placa plana de espessura "∆x" como mostra a figura abaixo, na qual as duas faces estão mantidas às temperaturas "T1" e "T2" (T1 > T2). A quantidade de calor que passa através da área "A" por
unidade de tempo é dada por "dxdTK.A.q −= ". Encontre uma expressão
para "T2".
∫∫ −=∴−=∆ 1
2. .. x
0
T
TdTAKdxq
dxdTAKq
T1
q T2 ( ) 1212 . .. TT
AKxqTTAKxq +−=
∆⋅∴−−=∆
y
x KxQTT
AKxqTT ∆
⋅−=∆
⋅−= 1212 ou .
∆x
iRU .= iRP .=
AKLR
ALR
.ou .
==ρ
RC 1=
R → resistência (Ω) ρ → resistividade (Ω.m) K → condutância (1/Ω.m) i → corrente (A) U → potencial (Volt)
L → comprimento A → área C → condutância
4.2 − Placa Plana Composta: T1 q T4 ∆xA ∆xB ∆xC
( ) ( ) ( )C
CCB
BBA
AA xTTAKq
xTTAKq
xTTAKq
∆−
⋅⋅=∆−
⋅⋅=∆−
⋅⋅= 433221 ; ;
CBA qqqq ===
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
∆⋅=−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
∆⋅=−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
∆⋅=−
AKxqTT
AKxqTT
AKxqTT
C
c
B
B
A
A
43
32
21
, somando-se membro a membro, temos:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
∆+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
∆+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
∆⋅=−
AKx
AKx
AKxqTT
C
C
B
B
A
A41
# Fazendo-se uma analogia com a resistência elétrica, verificamos que:
AKxR
ALR TE ⋅
∆=⇔=
.ρ
CBA TTT RRRTTq++
−= 41
∴ ∑−
=
−= 1
1
41n
iTR
TTq ∴ ∑−
=
∆= 1
1
n
iTR
Tq
(A)
T2
(B)
T3
(C)
* Reg. Permanente * A = cte * q = cte
* dxdTK.Aq −=
4.3 − Cilindro Oco: T2 r2
( )121
2r
r2
rrlnq 2
rdrq ..2.
2
1
2
1
TTLKdTLKdrdTrLkq
T
T−−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅∴−=∴−= ∫∫ πππ
( )( )
( )( )
( )12
21
12
12
12
12
12
21
ln.2.2
ln2
rrTT
rrLrLrKq
rrrr
rrTTLKq
−−
⋅−
⋅=∴⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
×−
⋅=πππ
( )( )
( )12
21
12
12
ln rrTT
AAAAKq
−−
⋅−
⋅= ∴ rTAKq ml ∆
∆⋅⋅= ,
4.4 − Cilindro Oco Composto: r4 em: r = r1 ⇒ T = T1 ; r = r2 ⇒ T = T2 ; r = r3 ⇒ T = T3 ; r = r4 ⇒ T = T4
r1,T1
* Reg. Permanente * A = 2πrL ≠ cte * q = cte
* drdTK.Aq −=
r1
* Reg. Permanente * A = 2πrL ≠ cte * q = cte
* drdTK.Aq −=
CmlC
BmlB
AmlA r
TAKqrTAKq
rTAKq ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∆∆⋅⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∆∆⋅⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∆∆⋅⋅= , ; , ; ,
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅∆
=−=∆
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅∆
=−=∆
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅∆
=−=∆
CmlC
BmlB
AmlA
AKrqTTT
AKrqTTT
AKrqTTT
,
,
,
43
32
21
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅∆
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅∆
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅∆
=−CmlBmlAml AK
rAKr
AKrqTT
,,,41
Tml
CmlBmlAml
RAKr
AKr
AKr
AKr
TTq =⋅∆
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅∆
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅∆
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅∆
−=
, sendo ,
,,,
41
∑−
=
∆= 1
1
n
iTR
Tq
4.5 − Esfera Oca: r2
r1
* Reg. Permanente * A = 4πr2 ≠ cte * q = cte
* drdTK.Aq −=
( )1222 4.1 4. .4.
2
1
2
1
2
1
TTKr
qdTKrdrq
drdTrKq
r
r
T
T
r
r−−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −∴−=∴−= ∫∫ πππ
( ) ( )2121
1221
21
4 411 TTkrrrrqTTK
rrq −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−
∴−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− ππ
212
22
12121 .4.4.4 .4 rrrrAAA,rTrrKq mg ππππ =⋅=⋅=⇒∆∆
=
rTAKq mg ∆
∆⋅⋅= ,
4.6 − Esfera Oca Composta:(exercício) Deduza a equação para uma esfera oca, composta de três materiais diferentes. Resp.:
∑−
=
∆= 1
1
n
iTR
Tq ; 41 ; ,.
TTTAKrR
mgT −=∆
∆=
5 − BALANÇO DE ENERGIA: T1 INT. EXT. T6 q q T5 y x ∆xA ∆xB ∆xC
T2
(F)
T3
(G)
T4
(H)
* Reg. Permanente * A = cte * q = cte
* dxdTK.Aq −=
qConvec = qF = qG = qH = qConvec
( ) ( ) ( ) ( ) ( )6554433221 TTAhTTx
AKTTx
AKTTx
AKTTAh EC
C
B
B
A
AE −=−
∆=−
∆=−
∆=−
54321
6554433221
TTTTT RTT
RTT
RTT
RTT
RTTq −
=−
=−
=−
=−
=
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⋅=−⋅=−⋅=−⋅=−⋅=−
qRTTqRTTqRTTqRTTqRTT
T
T
T
T
T
5
4
3
2
1
65
54
43
32
21
; ( )5432161 TTTTT RRRRRqTT ++++=−
∑−
=
−= 1
1
61n
iTR
TTq
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE ALIMENTOS DISCIPLINA: TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA PROFESSOR: CÉLIO SOUZA
Aula de Exercícios da Equação de Fourier
1 − Em uma indústria de Alimentos A parede de um forno é constituída de três camadas justapostas: uma camada de tijolo refratário (K1 = 1,38W/mºC), uma intermediária de tijolo isolante (K2 = 0,17W/mºC) e uma de tijolo comum (K3 = 1,73W/mºC).a face externa do material refratário está a 115ºC, e a externa do material comum está a 38ºC. Qual a taxa de calor que atravessa a parede composta, sabendo-se que as espessuras das camadas são: X1 = 0,6m (refratário), X2 = 0,9m (isolante) e X3 = 0,3m (comum), enquanto que a altura e a largura da referida parede são "3m" e "1,5m", respectivamente. 115ºC q 38ºC ∆X1 ∆X2 ∆X3 2 − Considerando o exercício anterior, colocando-se na camada central do material isolante um vazio de "AR", simetricamente disposto e com 2,4m de altura, pede-se verificar qual será a nova taxa de calor, admitindo-se que a condutividade térmica do "AR" seja (KAR = 0,0346W/mºC). 0,3m K4 2,4m 0,3m
K1
K2
K3
* Reg. Permanente * A = cte * q = cte
* dxdTK.Aq −=
K1
K2
K2
K3
3 − Um tubo de parede de aço (KAço = 19W/mºC) com dois centímetros de diâmetro interno e quatro centímetros de diâmetro externo, é coberto com uma camada de isolamento de amianto (KA = 0,2W/mºC). A temperatura da parede interna do tubo é mantida a 120ºC e a superfície externa do isolante a 35ºC. Calcule a perda de calor por metro de comprimento. 0,02 0,04 0,10 4 − Através de um fio de 1mm de diâmetro e 10cm de comprimento passa uma corrente elétrica. O fio está imerso em água à pressão atmosférica. A corrente é aumentada até a água entrar em ebulição. Para esta situação o coeficiente convectivo é igual a 5.000W/m2ºC e a temperatura da água é 100ºC. Qual a potência elétrica que deve ser fornecida ao fio para que sua superfície seja mantida a 114ºC? Qual a temperatura no fio na metade do seu raio, sabendo-se que Kfio = 31W/mºC. 5 − Demonstrar que para qualquer distância "X" da superfície de uma parede plana a temperatura é dada por:
aaKT
aTX
1 Q.X21
0
2
1 −⋅
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
sendo a condutividade térmica uma função da temperatura, obedecendo a relação K = K0(1 + aT), onde "Q" é o fluxo de calor (W/m2) e "T1" a temperatura da superfície da parede (ºC); "a" é uma constante.
Dado: dXdTKQ −=
* ∑∆
=TR
Tq
* RT = Raço + RA *
Amiantoml
AçomlT
AKr
AKrR
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅∆
+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅∆
=
,
,
Resolução dos Exercícios 1ª) Solução:
⎪⎩
⎪⎨⎧
⋅∆
=++
∆=
=⇒==
AKxR
RRRTq
mAxuralxalturaA
;
5,4 5,1 3arg
321
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
++−
=⇒
=⋅
=⋅
∆=
=⋅
=⋅
∆=
=⋅
=⋅
∆=
0385,0176,10966,038115q
0385,05,473,1
3,0AK
xR
176,15,417,0
9,0AK
xR
0966,05,438,1
6,0AK
xR
WCº
3
33
WCº
2
22
WCº
1
11
Watt733,58q =
2ª) Solução: R'2 R1 R' R3 R'2 R2
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⋅
=⋅
∆=
=⋅
=⋅
∆=
⇒++=
WC
Ar
WC
AKxR
AKxR
RRRR º'
º
2
'2'
2
'2
''22 2254,7
5,14,20346,09,0'
7647,115,13,017,0
9,0
1111
WCR
Rº
22
243,3 2254,71
7647,1121
=⇒+=
W 794,22q
0385,0243,30966,077
RRR38115q
321=⇒
++=
++−
=
3ª) Solução:
( ) ( ) 212, 2 0,1
ln1
2mDLDrLAmL
AAA
AAlm πππ ===∴=∴−
=
( )( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−
=−
=
=−
=−
=
)(2057,0ln
04,01,0ln
)(0906,0ln
02,004,0ln
2
04,01,0
23,
2
02,004,0
12,
23
12
mDD
A
mDD
A
DDAmiantolm
DDAçolm
ππ
ππ
AmiantoAço
WCº
Amianto
WCº3
Aço
RR35120q
)(73,02057,02,0
02,005,0R
)(10x81,50906,019
01,002,0R
+−
=⇒
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=⋅−
=
=⋅−
= −
( )mW
352,115q
73,010x81,535120q =⇒+
−=
−
4ª) Solução:
CmW
S hCTCTº2000.5 ; º100 ; º114 === ∞
( ) ( ) 2410142,3 1,0001,0 2 mxALDrLA −=⇒⋅⋅=== πππ a)
( ) ( ) WqxqTTAhq CCSC 99,21 10011410142,3000.5 4 =⇒−⋅⋅=⇒−⋅⋅= −∞
b)
qqq ConvecçãoCondução ==
( )
( )( )
CTTTTLKqR
RRRCond º78,114
ln
1141,031299,21 ln
2 1121
.
21
2=∴
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⋅⋅⋅⋅=∴−
⋅= ππ
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEQAL DISCIPLINA: Transferência de Calor e Massa PROFESSOR: CÉLIO SOUZA
EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR
1 − CONSIDERAÇÕES GERAIS:
Está fundamentada na 1ª Lei da Termodinâmica ou princípio da conservação da energia;
Será estudada a aplicação de um balanço de energia em geometria retangular e, com a introdução da Lei de Fourrier, será possível a obtenção dos perfis de temperatura.
2 − EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR: Esta equação se constitui em um caso particular da equação da energia aplicada a sólidos. Considere o elemento de volume mostrado abaixo. O balanço de energia neste elemento pode ser expresso como: + = z Q/z+∆z Q/y Q/x Q/x+∆x x y Q/y+∆y Q/z
Taxa líquida de ganho de calor por condução
Taxa de geração interna
de calor
Taxa de variação de
calor
Obs: A taxa líquida de ganho de calor representa a diferença entre as taxas de entrada e de saída de calor por condução. 2.1 − Taxa de calor na entrada do elemento de volume: / Em x: Q/x . (∆y.∆z) / Em y: Q/y . (∆x.∆z) / Em z: Q/z . (∆x.∆y) 2.2 − Taxa de calor na saída do elemento de volume: / Em x: Q/x+∆x . (∆y.∆z) / Em y: Q/y+∆y . (∆x.∆z) / Em z: Q/z+∆z . (∆x.∆y) # A taxa líquida de ganho de calor será:
( ) ( ) ( )[ ]x.y.Q/Q/z.x.Q/Q/z.y.Q/Q/ zzzyyyxxx ∆∆−+∆∆−+∆∆− ∆+∆+∆+ 2.3 − Taxa de geração interna de calor(q'''):
Onde (q''') é a geração interna de calor (energia térmica) por unidade de volume (W/m3
ou N/m2.s).
q'''.(∆x∆y∆z) 2.4 − Taxa de variação de calor (acúmulo): É resultante da variação da temperatura com o tempo, e pode ser escrita da seguinte forma:
)zyx.(tT.C. P ∆∆∆∂∂ρ
Onde: CP → calor específico do material (Kcal/Kg ºC); ρ → massa específica (Kg/m3). # Por análise dimensional, o termo da taxa de variação de calor resulta em (Kcal/s).
Substituindo, então, todos os elementos acima no Balanço de Energia, teremos: ( ) ( ) ( )[ ]+∆∆−+∆∆−+∆∆− ∆+∆+∆+ x.y.Q/Q/z.x.Q/Q/z.y.Q/Q/ zzzyyyxxx
zy.x..tT..Czy.x..''q' P ∆∆∆∂∂
=∆∆∆+ ρ
# Invertendo-se a primeira parcela do primeiro membro da equação acima e dividindo-se tudo pelo volume (∆x∆y∆z), teremos:
tT.C.''q'
zQ/Q/
yQ/Q/
xQ/Q/
Pzzzyyyxxx
∂∂
=+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∆−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆
−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∆−
− ∆+∆+∆+ ρ
# A medida que ∆x, ∆y e ∆z → 0, o termo entre colchetes, por definição, torna-se a derivada do fluxo de calor com relação a "x", "y" e "z", respectivamente, então a equação acima fica:
tT..C''q'
zQ
yQ
xQ
Pzyx
∂∂
=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂+
∂∂
− ρ (1)
# Os componentes do fluxo de calor, de acordo com a Lei de Fourrier, são:
zTKQ ;
yTKQ ;
xTKQ zyx ∂
∂−=
∂∂
−=∂∂
−=
# Substituindo as três equações acima em (1), teremos:
tT..C''q'
zTK
zyTK
yxTK
x P ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ (2)
Obs: A equação (2) é aplicável para transferência de calor em regime transiente, com geração interna de calor e condutividade térmica do meio variável, portanto, uma equação geral para condução em sólidos.
3 − CASOS PARTICULARES: 3.1 − Condutividade Térmica Constante:
K)( ; tT.P.C''q'2Z
T2
2Y
T2
2X
T2K ÷
∂∂
=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂ ρ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
∂∂
=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂α
ρρ 1K
P.C ;
tT.
KP.C
'''Kq
2Z
T2
2Y
T2
2X
T2
tT.1
K''q'T2
∂∂
=+∇α ; onde (∇2T) é o laplaciano da temperatura
3.1.1 − Sem geração interna de calor:
tT.1T2
∂∂
=∇α ; Equação de Fourrier da Condução onde (q''' = 0)
3.1.2 − Condução de calor em regime estacionário:
0K
''q'T2 =+∇ ; Equação de Poisson onde ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ =∂∂ 0
tT
3.1.3 − Condução de calor em regime estacionário sem geração interna de calor:
0T2 =∇ ; Equação de La Place, onde ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ==∂∂ 0''' e 0 q
tT
Obs: A aplicação da Equação de La Place na condução de calor através de uma parede plana, permite a demonstração do perfil linear de temperatura através da parede.
4 − PRINCIPAIS FONTES DE ENERGIA INTERNA: Fissão nuclear, como no caso dos elementos combustíveis nos reatores nucleares;
Desintegração de elementos radioativos;
Conversão de energia química em calor;
Degradação da energia mecânica (dissipação viscosa);
Passagem de corrente elétrica através de sólidos (efeito Joule).
5 − LAPLACIANO DA TEMPERATURA EM COORDENADAS: 5.1 − Cilíndricas (r,θ,z):
T22Z
T2
2T2
2r
1rTr
rr1
∇=∂
∂+
∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
θ
5.2 − Esféricas (r,θ,ϕ):
T22T2
2sen2r
1Tsensen2r
1rT2r
r2r
1∇=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
ϕθθθ
θθ
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEQAL DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTE I PROFESSOR: CÉLIO SOUZA
Aula de Exercícios de Calor com Geração
1 − Um elemento cilíndrico de um reator nuclear resfriado a gás combustível tem taxa de geração de calor interna por unidade de volume, devido à fissão nuclear, dada pela equação:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
2
0 1'''Rrqq ,
onde "R" é o raio do elemento combustível. A superfície (r = R) está mantida a "T0". Encontre a expressão para o perfil de temperatura radial no elemento cilíndrico. 2 − Uma parede plana tem geração de calor por unidade de volume (q'''). A espessura da placa é "2L". Um dos lados da parede se encontra isolado, enquanto que o outro lado está em contato com um fluido. Calcule a temperatura máxima da parede. Sabe-se que o fluido está a uma temperatura "T∞" e o coeficiente convectivo é "h∞". 3 − Uma corrente elétrica gera calor "G", por unidade de tempo e volume que escoa no interior de um cilindro metálico delgado de raio "R" e comprimento "L". Sabe-se que o condutor está no ambiente a uma temperatura "Tf" e possui coeficiente de troca térmica convectiva "hf". Determine o perfil de temperatura e a temperatura máxima do condutor. 4 − Uma parede de espessura "2L" tem uma geração interna de calor que varia segundo a equação:
( )xaqq .cos''' 0= , onde (q''') é o calor gerado por unidade de volume no centro da parede (x = 0) e "q0" é uma constante dimensional. Se em ambos os lados as paredes forem mantidas a temperatura constante "Tp", obtenha uma expressão da perda de calor total da parede por unidade de área. Considerar regime permanente. 5 - Em um fio de aço inoxidável( k= 19 w/m2 0C) de 3 mm de diâmetro passa uma corrente elétrica de 200 A. A resistividade elétrica do aço e 70 µ.Ω.cm e o comprimento do fio é 1 m. O fio está imerso no fluido a 1100C e o coeficiente de transferência de calor por convecção é 4 Kw/m2 0C. Calcule a temperatura no centro do fio. 6 - Quando passamos uma corrente elétrica I, uma barra de ferro de cobre de seção transversal retangular ( 6mm x 150 mm), experimento uma geração de calor uniforme a uma taxa q,,, ( w/m3) dada por: q,,, = aI2 onde a = 0,015w/m3.A2. Se a barra está num ambiente onde h = 5 w/m2K e sua temperatura máxima não deve exceder a temperatura do ar ambiente mais do que 30 0 C, qual será a corrente elétrica permitida para esta barra? Dado: k= 401 w/mK Resp: I= 1825,7 A. 7- Uma parede plana de espessura 0,1 m e K = 25 w/mk; tendo uma geração de calor volumétrica uniforme de 0,3 x 105 w/m3 está sendo isolada em uma das superfícies enquanto que a outra superfície está exposta a um fluido a 92 oC. O coeficiente de transferência de calor entre a parede e o fluido é 500 w/m2k. Determine a temperatura máxima na parede. R: 104 o C 8- Um fio de resistência elétrica posui uma geração interna de calor que obedece a equação a seguir q’’’= qo. (1 - br), onde qo é a potência de calor gerado por unidade de volume no centro do fio, e sendo b uma constante dimensional. Expresse uma equação para o fluxo de calor Q, sendo que a temperatura na superfície externa do fio se mantém uniforme.
Resolução dos Exercícios 1ª) Solução:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⋅−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∴=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
20 1 0'''1
Rr
Krq
drdTr
drd
Kq
drdTr
drd
r
)( 0 0:.. 42 .12
420
máxTdrdTrcontcondC
Rrr
Kq
drdTr =⇒=∴+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−=
)1( 164
42
0 ; 22
420
2
30
1 CR
rrKq
TRrr
Kq
drdTCentão +⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−=⇒⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−=⇒=
2
220
00 164 :, :.. CRR
Kq
TentãoTTRrcontcond +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−==⇒=
:)1( ; 16
3
411
4 , 2
20
0220
02 em CdosubstituinKRq
TCRK
qTCe +=∴⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −+=
0
4220
20
02
42
2
20
41
43
4
43
4164T
Rr
Rr
KRq
TKRq
TR
rrKR
RqT +
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⇒⋅++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−=
2ª) Solução:
T∞ 0'''=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
Kq
dxdT
dxd
h∞ − L +L 0 isolamento
21
2
)(1 2''' (1) ''' CxCKxqTCx
Kq
dxdT
x ++−=∴+⋅−= (2)
LKqCisolamdTLxcontcond ''' .)( 0
dx :.. 1 −=⇒=∴=
02
2
)( :.. ; '''2
''' TTLxcontcondCxLKq
KxqT x =∴=+⋅−−=
x
KLq
KLqTC
22
02'''
2'''
++= (3)
( )∞∞= −⋅=⋅−⇒=⇒= TTAhdxdTAKq qL xporém, em Lxconvcond 0.. .
( )∞∞ −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−⇒−−=
=TTh
KLq
KLqKde
KLq
KLq
dxdT
Lx 0'''''' )"1" ( ''''''
( ) ∞∞
∞∞ +=∴−= Th
LqTTThLq '''2 '''2 00 (4)
# substituindo (4) em (3); e (3) e "C1" em (2), teremos:
) x é máx. emT(TK
LqKLq
hLq
KxLq
KxqT x 0"" '''
2''''''2'''
2''' 222
)( =∴++++⋅
−−= ∞∞
∞∞
++= TK
Lqh
LqTmáx 2'''3'''2 2
.
3ª) Solução:
12
2 0'''1 Cr
KG
drdTrr
KG
drdTr
drd
Kq
drdTr
drd
r+−=∴−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∴=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
0 0 0 :.. 1 =⇒=⇒= CdrdTrcontcond
022
)( :.. 4
2
TTRrcontcondCrK
GTrK
GdrdT
r =⇒=∴+−=∴−=
convcond q qR mas em rTRK
GCCRK
GT =⇒=∴+=∴+−= .02
222
0 4
4
( ) RK
GdrdT mas TTh
drdTK RrffRr 2
0 −=∴−=− ==
( ) "" ; 2
2 200 Cdo em substituinTR
hGTTThR
KGK f
fff +=∴−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−
ff
rff
Th
GRRr
KGRT, entãoTR
KGR
hGC ++
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=++=
21
4 :
42
22
)(2
2
ff
máxmáx. Th
GRK
GRTT T mas em r ++=∴=⇒=24
02
.
4ª) Solução:
( ) 0''' . cos''' 0 =+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∴=
Kq
dxdT
dxdxaqq
TP TP −L +L
100 ).( sen ).( cos C
axa
Kq
dxdTxa
Kq
dxdT
dxd
+−=∴−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
( )xaaKq
dxdTC
dxdTx . sen (A)
# mas da Eq. de Fourier da condução temos:
5ª) Solução: 10cm 1m δ 2cm
a) 1''' ''' 0''' Cx
Kq
dxdT
Kq
dxdT
dxd
Kq
dxdT
dxd
+−=∴−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∴=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
22
)(1 2''' ''' 0 0 0 Cx
KqTx
Kq
dxdTC
dxdTx x +⋅−=∴⋅−=∴=∴=⇒=
y x
y x
Kxq
KqTT
KqTCTTx PxPP 2
'''2'''
2'''
22
)(
2
2 −+=∴+=∴=⇒=δδδ
PMáxMáxxPx TK
qTTTxxK
qTT +=∴=⇒=∴⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=−
2''' 0 1
2''' 2
..)(
2
)(δ
δδ
b)
LAA
LEq
RE
LAEq
LAiEq
VolP
qmWq elét
⋅⋅⋅
=∴⋅⋅
=∴⋅⋅
=∴=∴=ρ
2.
3 ''' ''' ''' .
''' '''
36
25
2
2
21006,3'''
)1(107,4)12(''' ''' mWxq
xq
LEq =∴
⋅=∴
⋅=ρ
CTCxT MáxMáx º64,790 º76052
)01,0(1006,3.
26
. =∴+⋅⋅
=
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTE I PROFESSOR: CÉLIO SOUZA
TRANSFERÊNCIA DE MASSA − I
1 − CONSIDERAÇÕES GERAIS: 1.1 − Conceito: É a tendência de um componente "i" da mistura passar de uma região de alta concentração para uma região de baixa concentração, deste componente. Ex1: K2Cr2O7 Ex2: Naftaleno Ar ambiente 1.2 − Difusibilidade: Representa a maior ou menor facilidade que um elemento tem em atravessar um plano normal ao gradiente de concentração para outro, sendo uma característica de cada substância. 1.3 − Difusão Molecular: Ocorre em sistemas sólidos, líquidos e gasosos devido ao espaçamento entre as moléculas.
D.M. → G > L > S 10−1 10−5 10−8
H2O Cristal de K2Cr2O7 difundindo-se em H2O facilmente detectado pela coloração laranja (sólido−líquido)
Detectado através do olfato (sólido−gás)
2 − DEFINIÇÕES DE CONCENTRAÇÕES: 2.1 − Concentração: É a relação entre a massa do soluto e o volume da solução ou
mistura. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ =
VmC
2.2 − Concentração de massa (ρi):
Vmi
i =ρ [ ]⎩⎨⎧
mLgcmgML -
; :unidade:dimensão
3
3
2.3 − Concentração molar (Ci):
VnC i
i = ∴ Mol
massamolesdenni == º ∴ i
ii M
mn =
1∴=∴⋅=
i
ii
i
ii M
CVM
mC ρ iii CM=ρ
[ ]⎩⎨⎧ −
mLgmolcmgmolLmoles
; :unidade.:dimensão
3
3
2.4 − Fração de massa (wi):
ρρ i
iw = ; onde: ncba ρρρρρ ++++= ...
2.5 − Fração molar (xi):
CCx i
i = ; onde: ncba CCCCC ...+++=
2.6 − Resumo de concentrações para uma mistura binária (A e B):
BA ρρρ += AAA CM .=ρ VmAA =ρ ρρ AAw =
BA CCC += AAA MC ρ= VnC AA = CCx AA =
1=+ BA xx 1=+ BA ww CM .=ρ
3 − DEFINIÇÕES DE VELOCIDADES: 3.1 − Velocidade média de massa (v):
∑
∑
=
== n
ii
n
iii v
v
1
1.
ρ
ρ
[ ]⎩⎨⎧ −
smscmLT
; :unidade:dimensão 1
# onde "ρ.v" é o fluxo de massa que atravessa uma seção unitária, perpendicular à mistura com velocidade média "v". 3.2 − Velocidade média molar (v*):
∑
∑
=
== n
ii
n
iii
C
vCv
1
1*.
Obs: Em sistemas de fluxo, geralmente temos interesse na velocidade de uma determinada espécie "i" em relação a "v" ou "v*", que, com respeito a um eixo de coordenadas estacionárias, temos as velocidades de difusão. 3.3 − Velocidade de difusão da espécie "i" (vi) em relação a "v":
( )vvi −
3.4 − Velocidade de difusão da espécie "i" (vi) em relação a "v*":
( )*vvi − 3.5 − Resumo de velocidades para uma mistura binária (A e B): Velocidade da espécie "A" em relação a eixos fixos.
Av
Velocidade de difusão da espécie "A" em relação a "v".
vvA −
Velocidade de difusão da espécie "A" em relação a "v*".
*vvA −
Velocidade média de massa. BA
BBAAA
vvvρρρρ
++
=..
Velocidade média molar. BA
BBAAA CC
vCvCv++
=..
4 − DEFINIÇÕES DE DENSIDADE DE FLUXO: 4.1 − Densidade de fluxo relativa a eixos fixos ou estacionários: a) Para massa:
iii v.ρη = [ ]⎩⎨⎧ −−
scmgTML.:unidade
:dimensão2
12
b) Para moles:
iii vCN .= [ ]⎩⎨⎧ −−
scmgmolTLM molar
.:unidade:dimensão
2
12
4.2 − Densidade de fluxo relativa à velocidade média de massa: a) Para massa:
( )vvj iii −= ρ
b) Para moles:
( )vvCJ iii −= 4.3 − Densidade de fluxo relativa à velocidade média molar: a) Para massa:
( )** vvj iii −= ρ b) Para moles:
( )** vvCJ iii −= 4.4 − Resumo de densidades de fluxo para sistemas binários:
GRANDEZA Com relação a eixos fixos
Com relação a "v"
Com relação a "v*"
Velocidade da espécie Av ( )vvA − ( )*vvA −
Densidade de fluxo de massa AAA v.ρη = ( )vvj AAA −= ρ ( )** vvj AAA −= ρ
Densidade de fluxo molar AAA vCN .= ( )vvCJ AAA −= ( )** vvCJ AAA −=
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CAMPUS DO SUL E SUDESTE DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO/CENTRO DE GEOCIÊNCIAS CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM TECNOLOGIA MINERAL E METALURGIA DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTE PROFESSOR: CÉLIO SOUZA
TRANSFERÊNCIA DE MASSA − II
1 − 1ª LEI DE FICK DA DIFUSÃO: y P.Sup. (saturada em água) AR SECO (umidade = 0) P. Inf. (agente dessecante) x onde "A" é o vapor d'água e "B" é o ar seco. y CA1 P.S. P.I. x y CA1 P.S. P.I. x y CA1 P.S. P.I. x
DENSIDADE DE FLUXO MOLAR α
GRADIENTE DE CONCENTRAÇÃO DA
ESPÉCIE "A" EM RELAÇÃO A "y"
t = 0; a placa superior está saturada de água
t = pequeno; começa haver um gradiente de velocidade da espécie "A" em regime
transiente. CA = CA(y,t)
t = grande (∞); em regime permanente, haverá
formação do perfil linear CA = CA (y)
dydCDN A
ABAy−= → 1ª Lei de Fick da difusão
onde: DAB → é a difusividade de "A" em "B" [cm2/s]; NA → é a densidade de fluxo molar da espécie "A" [gmol/cm2.s]; CA → é a concentração molar da espécie "A" [gmol/cm3]; "y" → é a distância entre as placas [cm]. 2 − OUTRAS FORMAS EQUIVALENTES DA 1ª LEI DE FICK:
dydD A
ABaρη −= ;
dydwDj A
ABA .ρ−= ; dydxDCJ A
ABA .* −=
# Mas para pressão e temperatura constantes:
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−=∴−=∴−=C
vCvCCvCJvCvCJvvCJ BBAAAAAAAAAAAAA
*****
( ) ( )BAAAABAAAA NNxJNNNxNJ ++=∴+−= **
( )BAAA
ABA NNxdydxDCN
y++−= .
3 − DIFUSÃO ATRAVÉS DE UM GÁS PARADO: Ar circundante (B) xAδ z δ (A) xA0
H2O
H20
Dispositivo para manter o nível de
água constante
Obs: Ao longo de "z" "xA" decresce e "xB" cresce, sendo (xA + xB = 1). 0
( ) ( )dz
dxDCxNNNxdz
dxDCN AABAABAA
AABA zzzz
.1 . −=−∴++−=
# Condições de contorno:
⎩⎨⎧
=→==→=
δδ AA
AA
xxzxxz 00
⇒ ∫∫ −−=
δδ A
Az
x
x A
AABA x
dxDCdzN01
.0
( )[ ] ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=⋅∴−−−=⋅01
1ln.. 1ln.0
A
AABA
xxAABA x
xDCNxDCNz
AAz
δδδ δ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⋅=01
1ln.
A
AABA x
xDCNz
δ
δ (I)
# A equação (I) é utilizada para o cálculo do fluxo molar de um gás parado. 4 − CONTRADIFUSÃO EQUIMOLAR: A difusão posta desta maneira indica que para cada mol da espécie "A" que difunde em um determinado sentido e direção, um mol de "B" se move na mesma direção, porém em sentido contrário de modo que:
zz BA NN −= xA = xA0 xA = xAδ δ
zAN zBN
Gás A
Gás B
( ) ( )zzzzzz AAA
AABABAA
AABA NNx
dzdxDCNNNx
dzdxDCN −+−=∴++−= . .
∫∫ −=∴−=δδ A
Azz
x
xAABA
AABA dxDCdzN
dzdxDCN
0
. .0
( )0. AAABA xxDCNz
−−=⋅ δδ ⇒ ( )δδ AAAB
A xxDCNZ
−⋅= 0.
(II)
# A equação (II) é utilizada para o cálculo do fluxo molar de um gás em contadifusão equimolar.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA CENTRO TECNOLÓGICO DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTE I LISTA DE EXERCÍCIO -TRANSPORTE DE MASSA - TEORIA - 1O SEM/2005 1- Usando as definições de concentração, mostre que para um sistema binário: a) dwA = MA MB d XA
(XA MA + XB MB)2 b) WA(VA - V) + WB (VB - V*) = (V - V*) c) JA* - JB* = 0 d) XA = WA / M A. (WA + WB)
MA MB)
2- Calcular o fluxo de difusão do açúcar através de um filme de 0,1 cm de espessura, onde as concentrações são 14% e 6%, respectivamente, em cada lado do filme. Assuma a difusividade do açúcar através do café nas dadas condições de 0,7 x 10-5 (cm2/seg) e a densidade da solução a 10% de 1,013 (g/cm3). RESP: NA = 6,31 x 10-6 (g/cm2.seg) 3- Oxigênio esta se difundindo através do monoxido de carbono estacionário. A pressão total e 1 atm e a temperatura t =0OC. A pressão parcial do oxigênio em dois planos separados 0,2 cm e respectivamente 100 e 50 mm de Hg. A difusividade do oxigênio em monoxido de carbono e 0,185 cm2/s ( a 0oC ). Calcule o fluxo molar de oxigênio. RESP: NA = 3,01x 10-3 gmol / cm2.seg. 4- Em uma mistura gasosa de oxigênio e nitrogênio a 1 atm. e 250c, as concentrações molares do oxigênio em 2 planos separados em 2 mm são 10% e 20% respectivamente. Calcular o fluxo de difusão do oxigênio para o caso em que o nitrogênio não esta difundido e quando houver interdifusao. RESP: NA = 5 x 10-3 gmol / cm2.seg NA = 4 x 10-3 gmol / cm2 seg 5- Calcule o tempo necessário para que uma porção de 0,5 lbm de co2 se difunda através de 3 in de espessura, se a área perpendicular a direção do fluxo de massa for igual a 50 ft2 . Considere o co2 de um lado da camada igual a 0,0008 lbmol/ft2 e nula do outro lado, a uma pressão de 1 atm e a uma temperatura de 70oC. DADO:DAB = 0,15 (cm2/s) RESP: 6,1 min. 6- Determine o fluxo de difusão do vapor d'água num poço de 20m de profundidade para o ar existente no topo, a 25oC e 1 atm. Nessas condições a difusividade do vapor d'água no ar e 0,256cm2/s e a pressão de vapor d'água e 23,756 mmHg. Justifique sua resposta para as condições feitas na resolução do problema. DADO: 82,06 atm cm3/gmol k RESP: 1,65 x 10-10 gmoles/cm2 s.
7- Monoxido de carbono difunde através de 0,1 in em um filme de ar estagnado ate um banho de acido sulfurico onde desaparece instantaneamente por reação química. Estime a velocidade de transferencia por área se a temperatura e a pressão do sistema são 100C e 1 atm, respectivamente, e se a concentração do monoxido de carbono na borda exterior da camada de ar e 3 moles percentuais. Determine o perfil de concentração para este processo. Dados: DAB = 0,185(cm2/s) ; R = 82,05(cm3atm/gmol k) RESP: NAZ = 9,55 x 10-7(gmol/cm2seg) 8- Determine a velocidade de evaporação do sistema gasoso binário oxigênio ccl4, considerando o oxigênio no estado estacionário a 0oC. DADOS: Pressão total = 775 mmHg, Do2-ccl4 = 0,0636 (cm2/s) Pressão de vapor do ccl4 a 0oC = 33 mmHg Distancia do nível do liquido a parte superior do tubo = 17,1cm Seccao transversal do tubo de difusão = 0,82cm2 Mccl4 = 154 (g/gmol) RESP: 3,33 x 10-3 (g/h) 9- Gás amônia (A) e nitrogênio (B), estão se difundindo em contra-difusao equimolecular através de um tubo de vidro retilíneo de 0,01 m de comprimento com diâmetro interno de 24,4 mm a 25oC e 101,325 kPa. Ambos os lados do tubo estão conectados a grandes câmaras de misturas a 101,325kPa. A pressão parcial do NH3 em uma das câmaras e constantes e igual a 20 kPa e 6,666 kPa na outra câmara. A difusividade da amônia no nitrogênio, nas condições acima e de 2,3 x 10-5 m2/s. a) Calcule a taxa de difusão do NH3 em kgmol/s b) Calcule a taxa de difusão do N2 em kgmol/s c) Calcule a pressão parcial do NH3, no ponto a 0,305 m do tubo Dado: R = 8314,34 Pa.m3 / kgmol k RESP: a) 9,48 x 10-11 kgmol/s; b) -9,84 x 10-11 kgmol /s; c) 13,48kPa
1
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTES I PROFESSOR: CÉLIO SOUZA
TEOREMA DE BERNOULLI
1 − CONSIDERAÇÕES GERAIS: A equação de Bernoulli e a equação da continuidade são fundamentadas em leis físicas como o Princípio da conservação da massa, a 2ª Lei de Newton e o princípio da conservação da energia. 2 − EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE: A1 A2 dL2 V2 dL1 V1 B C dt B' C' dt Obs: Supor que o fluido entre as seções transversais tomadas nos pontos BB', após um intervalo de tempo "dt", o fluido estará em CC'. Pelo princípio da conservação da massa, a massa entre as seções
C'B' e BC , devem ser iguais. Logo:
222111222121 dLAdLA VV mm ρρρρ =∴=∴=
# Dividindo-se a expressão acima por "dt", tem-se:
2221112
221
11 vAvA dt
dLAdt
dLA ρρρρ =∴=
2
# Se o fluido for incompressível, "ρ" é constante; então:
2211 vAvA = (1) 2.1 − Definições de vazões: a) Vazão volumétrica (Q) → é o produto da velocidade pela área ou
quociente entre o volume pelo tempo.
v.AQ = ou tVQ = Q = [L3T−1]
b) Vazão mássica (Qm) → é o quociente entre a massa pelo tempo ou o
produto entre a vazão volumétrica e a massa específica.
tmQm = ou ρ.QQm = Q = [MT−1]
# Então a equação (1) pode também ser escrita da seguinte forma:
21 QQ = 3 − EQUAÇÃO DE BERNOULLI "FLUIDOS IDEAIS" (µ = 0) A equação de Bernoulli é um caso particular da equação de Euler para regime permanente e unidirecional. A própria equação de Euler é um caso particular da equação geral do movimento (equação de Cauchy). Então, para uma tubulação, escrevemos a equação de Euler em coordenadas cilíndricas. 0 0 0
zz
zzz
rz g.
zP
zvvv
rv
rvv
tv ρ
θρ θ −
∂∂
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
3
zz
z g.zP
zvv. ρρ −
∂∂
−=∂∂
# Como está em uma só direção a derivada passa a ser total:
0g.dzdP
dzdvv. z
zz =++ ρρ (x dz)
0dzg.dPdvv. zzz =++ ρρ (÷ρg = γ)
0dzdPdvvg1
zz =++γ
(integrando-se de "1" a "2")
( ) 0zzPP2g
vv12
2121
22 =−+
−+
−γ
⇒ 22
22
11
21 zP
2gvzP
2gv
++=++γγ
4 − VALIDADE PARA O TEOREMA DE BERNOULLI:
Fluido ideal; Regime permanente; Sujeito somente ao campo gravitacional; Fluido incompressível; Variações isotérmicas.
5 − INTERPRETAÇÃO FÍSICA DE CADA TERMO: 5.1 − Para "z":
"z" representa a energia potencial por unidade de peso da partícula, também chamado de cota geométrica.
wE
Z w.ZE 11 =∴= ∴ z = [L]
5.2 − Para "P/γ":
"P/γ" representa a energia de pressão por unidade de peso da partícula, também chamado de cota piezométrica.
P.VE P.A.LE entoF.deslocamE 222 =∴=∴=
4
wEP wP.E wV 2
2 =∴=∴=γγγ
∴ P/γ = [L]
5.3 − Para v2/2g: "v2/2g" representa a energia cinética por unidade de peso da partícula, também chamada de cota cinética.
2gvw.E
gwm m.g w
2mvE
2
3
2
3 =∴=∴=∴=
wE
2gv 3
2
= ∴ v2/2g = [L]
# Então: CwE
wE
wE 321 =++
5.4 − Conclusão: "E/w" ou "C" é a energia mecânica total da partícula por unidade de peso. Essa energia mecânica permanece constante ao longo de uma tubulação, podendo apenas ocorrer transformação de uma modalidade de energia em outra; jamais em forma de calor, visto que µ = 0. 6 − MEDIDORES DE VAZÃO: Os medidores de vazão podem ser de leitura direta (Rotâmetro) ou leitura indireta (Tubo de Pitot, Medidor Venturi e Placa de Orifício). Os medidores de vazão de leitura indireta geralmente são associados a um balanço hidrostático em um tubo "U". 6.1− Pressões: A pressão pode ser medida em relação a qualquer referência arbitrária, adota-se usualmente para tal o zero absoluto ou vácuo absoluto. a) Pressão Absoluta → É medida com referência ao zero absoluto.
atmefabs PPP += b) Pressão Efetiva ou Manométrica → É medida em relação à pressão
atmosférica local. O instrumento utilizado para medir pressões
5
efetivas é o manômetro. Dentre os vários tipos de manômetro, tem-se: Piezômetro → o mais simples dos manômetros; Manômetro diferencial → mede diferenças de pressões entre dois pontos; Vacuômetro →mede pressões efetivas negativas, nulas e positivas.
Obs: A pressão hidrostática é um tipo de pressão manométrica devida a uma coluna de fluido.
h.P γ=
c) Pressão Atmosférica Local → É medida pelo barômetro, que mede a diferença de pressão entre a atmosfera local e um reservatório onde foi feito vácuo.
6.2 − Balanço Hidrostático: Dois pontos de mesmo nível unidos por uma coluna contínua e estática de mesmo fluido estão na mesma pressão. P1 P2 1 2 H 3 6 h 4 5 P4 = P5
Hipótese: P1 > P2
ff14 hHPP γγ ++= ∴ fmf25 hHPP γγ ++=
6
fmf2ff1 hHPhHP γγγγ ++=++ ∴ ( )ffm21 hPP γγ −=− 6.3 − Tubo de Pitot: Os Tubos de Pitot medem a velocidade local ou num ponto pela determinação da diferença entre a pressão de impacto e a pressão absoluta. Pressão absoluta Pressão de impacto . . 1 2 h
P2 > P1 ∴ Z1 = Z2 ∴ v1 > v2 = 0 # Aplicando Bernoulli entre os pontos "1" e "2": 0
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=∴++=++
γγγ122
122
22
11
21 PP2g v zP
2gvzP
2gv
# Aplicando o balanço hidrostático:
( ) ( )f
ffm21ffm12 2gh v hPP
γγγγγ −
=∴−=−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= 12ghv
f
fm1 γ
γ ou ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= 12ghv
f
fm1 ρ
ρ
7
# Caso o fluido que circule na tubulação seja água, então:
( )1d2ghv fm1 −= Obs: Os Tubos de Pitot servem para medir a velocidade em um ponto qualquer de uma corrente líquida (rio, canal, etc.). 6.4 − Medidor Venturi: O Medidor Venturi consiste em um pequeno trecho de tubo retilíneo, ligado à tubulação por meio de seções cônicas. . . 1 2 h
P1 > P2 ∴ Z1 = Z2 ∴ v2 > v1 ∴ A2 > A1
# Aplicando Bernoulli entre os pontos "1" e "2":
2gv
2gv
gP
gP zP
2gvzP
2gv 2
12221
22
22
11
21 −=−∴++=++
ρργγ
Q1 = A1.v1 → v1 = Q1/A1
Q1 = Q2 = Q
Q2 = A2.v2 → v2 = Q2/A2
8
( ) ( )21f
2
1
12
2
221
f
21
22 PP2
AQ
AQ PP2vv −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∴−=−
ρρ
( ) ( )21f
21
22
22
212
21f
21
22
2 PP2AAAAQ PP2
A1
A1Q −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −∴−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
ρρ
22
21
12f
2122
21
12
AA2AAK onde ; PP2
AAAAQ
−=
−⋅⋅
−=
ρ
f
21 PPKQρ−
=
6.5 − Placa de Orifício: . . 1 2 h
P1 > P2 ∴ Z1 = Z2 ∴ v2 > v1 # Aplicando Bernoulli entre os pontos "1" e "2":
2vvPP z
gP
2gvz
gP
2gv 2
122
f
212
222
11
21 −
=−
∴++=++ρρρ
# Pela equação da continuidade, temos:
9
1
2212211 A
Av v AvAv =∴=
( ) ( )21f
21
222
221f
21
22
222
2 PP2AA1 v PP2
AAvv −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−∴−=−
ρρ
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
2
1
2
212
AA1
PP2v
fρ
(I)
# Pelo balanço hidrostático temos que:
( )ffm21 hPP γγ −=− # Substituindo o balanço hidrostático na equação (I), temos:
2
1
2
f
fm
2
AA1
12ghv
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=ρρ
Obs: O Medidor Orifício opera segundo o mesmo princípio que o Medidor Venturi, porém com pequenas diferenças importantes:
A Placa pode ser facilmente mudada para acomodar vazões bastantes diferentes, enquanto que o diâmetro do estrangulamento de um Venturi é fixo. A Placa tem queda brusca de pressão, enquanto que no Venturi as seções cônicas diminuem a pressão gradativamente.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTES I PROFESSOR: CÉLIO SOUZA
EXERCÍCIOS DE BERNOULLI E CONTINUIDADE
1) Um tubo de PVC para drenagem apresenta 312 furos (cada um com 6mm de diâmetro)
por metro linear de tubo. A velocidade de drenagem é de 5cm/s. Obter a vazão em L/h para cada metro de tubo.
Resp.: Q = 1.588L/h, por metro linear de tubo. 2) A água que flui através de um grande reservatório aberto (figura abaixo), descarrega
horizontalmente na atmosfera. Considerando a carga do reservatório constante e que não há perdas de energia em todo o sistema, calcule as velocidades nos pontos (3) e (2).
(1) d2 = 2cm d3 = 1cm 6m (2) (3) 2m Resp.: V2 =8,86m/s ; V3 = 2,22m/s 3) Determine a vazão, em litros por segundo, da água escoando através do dispositivo,
conforme indicado na figura abaixo, se não há perdas de energia entre os pontos "1" e "2".
Dados: cmDsmgdd tuboHgOH 6 ; /81,9 ; 6,13 ; 12
==== H2O 1 2 1cm Hg Resp.: Q = 4,45L/s 4) Determinar no dispositivo abaixo: a) A diferença de pressão em Kgf/m2 entre os dois piezômetros;
b) A vazão em L/s. Sabendo-se que o fluido possui γ = 950Kgf/m3. φ = 2" 10cm 2 90cm 30cm 1 φ = 4" Fluido Resp.: a) ∆P = 760Kgf/m2 ; b) Q = 6,6L/s 5) Pelo tubo "1" de 600mm de diâmetro, escoa água com vazão Q1 = 240 L/s e com
pressão de 5mca. Uma parte do líquido sobe pelo tubo "2" de diâmetro igual a 50mm e altura de 4,5m, para alimentar o reservatório "R", cujo volume é 0,382m3. Determinar o tempo necessário para encher o reservatório "R", sendo desprezadas as perdas nas tubulações.(Ver Fig. abaixo)
Dados: ( )OH2γ = 1000Kgf/m3 ; 1 atm ≡ 10,33mca ≡ 1,033x104Kgf/m2
Tubo − 2 2 h 1 Tubo − 1 Resp.: t = 1minuto 6) Um óleo de densidade 0,75 está escoando através de um tubo (ver figura) de 150mm
de diâmetro sob uma pressão de 1,0Kgf/cm2. Se a energia total relativa a um plano de 2,4m abaixo da linha do centro do tubo é de 18 Kgm/Kgf. Determinar a vazão do óleo em "m3/s".
Reservatório
2,4m Resp.: Q = 0,12m3/s 7) Na determinação do desnível de um trecho de rio, verificou-se a profundidade e as
velocidades das águas em dois pontos distintos, obtendo-se na primeira determinação 8m e 1,2m/s, respectivamente. Na Segunda determinação 2m de profundidade e uma velocidade de 12,4m/s, devido ao desnível do trecho. Calcular esse desnível.
Resp.: h = 1,763m 8) Uma tubulação vertical de 150mm de diâmetro apresenta, em um pequeno trecho, uma
seção contraída de 75mm, onde a pressão é de 1atm. A 3m acima desse ponto, a pressão eleva-se para 21 lb/in2. Calcule as velocidades e a vazão para a água que escoa nessa tubulação.
Dado: 33 /102
mKgfOH =γ Resp.: V = 3,185m/s ; V = 12,74m/s e Q = 55L/s 9) Desprezando-se as perdas, determinar a vazão na figura abaixo: 0,9m H2O 1,2m φ = 4" Resp.: Q = 49L/s 10) Um reservatório de grande seção transversal, dotado de um tubo horizontal de saída,
contém um líquido perfeito. Determinar a velocidade do jato, quando a superfície livre está situada na cota 8m em relação do eixo do tubo (ver figura abaixo).
8m Resp.: V = 12,52m
Óleo d = 0,75
11) De uma pequena barragem parte uma canalização de 250mm de diâmetro, com poucos metros de extensão, havendo depois uma redução para 125mm. Do tubo de 125mm, a água passa para a atmosfera sob a forma de jato d'água. A vazão foi medida, encontrando-se 105 L/s. Calcular a pressão na seção inicial da tubulação de 250mm, a altura da água "H" na barragem e a potência bruta do jato.
H Resp.: P = 3.492,5Kgf/m2 ; H = 3,7m ; Pot = 5,18cv 12) O dispositivo mostrado na figura abaixo é utilizado para determinar a velocidade do
líquido do ponto "1". Esse dispositivo é constituído de um tubo, cuja extremidade inferior é dirigida para montante e cujo ramo vertical é aberto à atmosfera. O impacto do líquido na abertura "2", força o mesmo a subir o ramo vertical a uma altura Z = 10cm acima da superfície livre. O ponto "2" é uma zona de estagnação, onde a velocidade de escoamento anula-se, criando uma pressão devido ao impacto a qual força o líquido no ramo vertical. Calcular a velocidade no ponto "1", sabendo-se que a aceleração da gravidade no local é 9,81m/s2.
Z 1 2 Resp.: V = 1,4m/s 13) Para o Venturi representado na figura abaixo, a deflexão do mercúrio no manômetro
diferencial é 360mm. Determinar a vazão de água através do medidor se não há perdas de energia entre "A" e "B".
B φB = 150mm 750mm A φA = 300mm Z 360mm Resp.: Q = 172L/s 14) Um tubo transportando óleo de densidade 0,877 muda de bitola de 150mm na seção
"A" para 450mm na seção "B". A seção "A" está 3,6m abaixo de "B" e sua pressão é 1,0Kgf/cm2. Se a vazão for de 0,15m3/s, qual será a pressão em "B".
Resp.: PB = 0,6 Kgf/cm2 15) Uma tubulação inclinada de diâmetro igual a 6" é ligada por meio de um redutor a um
tubo de diâmetro igual a 4". A água escoa através do tubo como indicado na figura abaixo. Calcule a velocidade média "V2".
2 h 1 Z 12in Resp.: V2 = 9,705m/s
16) A queda de pressão entre duas seções é medida com um manômetro de mercúrio (ver figura abaixo), com deflexão de 0,5m. Calcule as velocidades nos pontos "1" e "2". Calcule, também, a vazão através do duto.
φ1 = 76,5cm φ2 = 54,1cm 1 2 H2O h = 0,5m d(Hg) = 13,6 Resp.: V1 = 6,42m/s ; V2 = 12,84m/s ; Q = 2,953m3/s 17) Determinar a velocidade V1 e a vazão no Pitot da figura abaixo: φ = 8" 1 2 H2O 30,5cm d = 0,8 Resp.: V1 = 1,09m/s ; Q = 35,34L/s 18) Um fluido incompressível e sem atrito escoa através do dispositivo indicado na figura
abaixo. A densidade do fluido é igual a 0,799. Calcular a descarga em "L/s" e a vazão em "Kg/s".
8" φ = 8" 4" φ = 4" Resp.: Q = 14,46L/s ; Qm = 11,556Kg/s
19) De um depósito, descarrega-se água a uma temperatura de 25ºC, através de um bocal indicado na figura abaixo. Para uma pressão de 1,5atm indicada no manômetro, e, desprezando-se as perdas, qual deverá ser o valor de "H" para uma velocidade de 2,06m/s no tubo de saída de 300mm?
manômetro H φ = 300mm φ = 100mm bocal Resp.: H = 2,015m 20) Em um edifício de 12 pavimentos, a vazão máxima provável, devida ao uso de
diversos aparelhos, em uma coluna de distribuição de 60mm de diâmetro, é de 7,5 L/s. Determinar a velocidade de escoamento.
Resp.: V = 2,65m/s 21) Verificou-se que a velocidade econômica para uma extensa linha de recalque é
1,05m/s. A vazão necessária a ser fornecida pelas bombas é de 450m3/h. Determinar o diâmetro da linha.
Resp.: D = 0,39m 22) Uma tubulação vertical, como mostra a figura abaixo, de 150mm de diâmetro
apresenta, em um pequeno trecho, uma seção contraída de 75mm, onde a pressão é 1atm. A 3,0m acima desse ponto, a pressão eleva-se para 1,43atm. Calcular as velocidades V1 , V2 e a vazão.
1 P1 = 1,43atm 3,0m 2 P2 = 1,0atm Resp.:V1 = 3,16m/s ; V2 = 12,64m/s ; Q = 56L/s
23) Em um canal de concreto, como mostra a figura abaixo, a profundidade é de 1,20m e a água escoa com uma velocidade média de 2,40m/s até um certo ponto, onde, devido a uma queda, a velocidade se eleva a 12m/s, reduzindo-se a profundidade a 0,60m. Desprezando as possíveis perdas por atrito, determinar a diferença de nível entre as duas partes do canal.
1 1,2m h 2 0,60m Resp.: h = 6,50m 24) De um grande reservatório aberto (R), água é drenada por meio de um sifão, como
mostra a figura abaixo. Se a distância entre nível do líquido no tanque e o fim do tubo é h = 0,5m. Calcule a velocidade do fluido no tubo. Considere que a área de seção transversal do tubo é uniforme.
1 2 h = 0,5m 3 (R) Resp.: V = 3,13m/s 25) Água (γ = 1000Kgf/m3) circula pela tubulação da figura abaixo, onde D1 = 200mm e
D2 = 100mm. A tubulação é ligada a um manômetro de mercúrio (γ = 13600Kgf/m3). Admitindo que não haja perdas de energia entre "1" e "2", determine:
a) Uma expressão para a vazão volumétrica em função da altura manométrica; b) Calcular a vazão.
2 λ = 0,75m 1 H h = 0,56m Hg
Resp.: a) ( )
22
21
212
2
AA
ddghAAQ OHHg
−
−⋅⋅= ; b) Q = 0,077m3/s
26) Um tubo de Pitot estático, conforme figura abaixo, é usado para medir a vazão
volumétrica de água (d = 1,0), que circula em uma tubulação de 4cm de diâmetro. Determine a vazão volumétrica, mediante as seguintes considerações: regime permanente e fluido ideal. O fluido manométrico é mercúrio (dHg = 13,6).
φ = 4cm 4cm X h Hg Resp.: Q= 3,96L/s
1
2
27) Uma tubulação de aço para a alimentação de uma usina hidrelétrica deve fornecer 1.500 L/s. Calcule o diâmetro da tubulação de modo que a velocidade da água não ultrapasse 2,5m/s.
Resp.: D ≥ 0,764m 28) Em um tubo de 250mm de diâmetro a velocidade é 40cm/s. Achar a velocidade de um
jato d'água através de um bocal, de 50mm de diâmetro, preso ao tubo. Resp.: 10m/s 29) Pela tubulação abaixo, escoam 71L/s de água de modo que, no manômetro superior,
lê-se a pressão de 0,6Kgf/cm2. Calcule a pressão no manômetro inferior. φ1 = 0,30m D1 4,76m D2 φ2 = 0,15m Resp.: 1,05Kgf/cm2 30) A água escoa na tubulação "BMC", ver figura abaixo, com as seguintes características:
Z1 → cota do ponto "B"= 20m; Z2 → cota do ponto "C"=10m; P1 → pressão em "B"=1,5Kgf/cm2; V1 → velocidade no trecho "BM"= 0,6m/s; D1 → diâmetro no trecho "BM" = 0,2m; D2 → diâmetro no trecho "MC" = 0,1m. B M C Z1 Z2 Plano de referência Calcular: a) A carga total;
b) A velocidade no trecho "MC"; c) A vazão; d) A pressão no ponto "C";
Obs: Considerar g = 10m/s2 Resp.: a) H = 35,018m ; b) VMC = 2,4m/s ; c) Q = 18,8L/s ; d) PC = 2,47Kgf/cm2 31) A água escoa na tubulação da figura abaixo. Calcule o diâmetro "d" para que as
leituras manométricas sejam as mesmas. Dados: V2 = 6m/s ; g = 9,81m/s2 φ1 = 0,30m 2 P2 3,0m 1 P1 d Resp.: d = 0,235m 32) A figura abaixo mostra um sifão. Se desprezarmos inteiramente o atrito, qual será a
velocidade da água em "m/s" que sai pelo ponto "C" como um jato livre? Quais são as pressões da água, em atm, no tubo em "B" e "A"?
B 4ft A 8ft C Reservatório Resp.: a) VC = 6,91m/s ; b) PA = 0,763atm e PB = 0,645atm 33) Calcular a vazão de água no escoamento da figura abaixo:
0,6cm φ = 150mm φ = 75mm Resp.: Q = 6,06L/s 34) Determinar a deflexão em "cm" que deve existir no manômetro diferencial de uma
tubulação, conforme figura abaixo, sabendo-se que pela tubulação escoa um fluido de densidade d = 0,933 que alimenta um tanque, mantendo seu nível constante. Há três orifícios laterais no tanque com D1 = 20mm e V1 = 3,0m/s; D2 = 25mm e V2 = 2,5m/s; D3 = 30mm e V3 = 2m/s.
Dado: ρf.man. = 13,6g/cm3 φ = 60mm φ = 30mm 1 2 h Resp.: h = 9,04cm 35) Caso se despreze inteiramente o atrito no sifão mostrado na figura abaixo, qual será a
vazão de água que sai do ponto "D" como um jato livre? Qual a pressão nos pontos "B" e "C" em "atm"?
Dado: DSifão = 16mm
C 1,22m A B 2,44m D Reservatório Resp.: Q = 1,4L/s ; PB = 0,763atm e PC = 0,645atm 36) Um tanque está suspenso por um dispositivo que foi construído para suportar uma
carga máxima de 15.000N de fluido. Considerando o esquema abaixo, determine o tempo em minutos em que o tanque terá atingido esta carga.
Dado: dfluido = 0,833 ; df.manom. = 13,6 ; Vrecip. = 3m3 ; g = 9,81m/s2 D = 1/2" 1 2 D = 1" h = 0,2m Resp.: t = 29,27min 37) De quanto por cento deve-se reduzir o diâmetro de uma seção num duto circular para
que a velocidade aumente de 44%. Resp.: 16,7% 38) Desprezando-se as perdas, calcular a vazão do reservatório mostrado na figura abaixo: Dados: 1KPa = 1000N/m2; 1atm = 101,325 KPa; 1Kgf/m2 = 9,81N/m2; γ(H2O) = 1000Kgf/m3.
Recipiente
AR 1 Pman = 15KPa 2m 2 φ = 70mm dóleo = 0,82 Cd = 0,74 Resp.: Q = 24,79L/s 39) Um manômetro de Tubo "U" contendo mercúrio e com um de seus ramos fechado está
ligado ao lado inferior de uma linha que transporta água, como indica a figura abaixo. Em eu ponto situado na mesma vertical e acima da toma da de pressão desse manômetro, encontra-se ligada a tomada de pressão anterior de um segundo manômetro de tubo "U", que se encontra em posição invertida. A densidade do líquido manométrico do segundo manômetro é de 0,5 g/cm3. Calcular as pressões nos pontos "1" e "2".
Líquido (d = 0,5g/cm3) 94cm 30cm 1 2 147cm 102cm Mercúrio (d = 13,6g/cm3) Resp.: P1 = 1.210.496g/cm.s ; P2 = 1.179.136g/cm.s
1
PERDA DE CARGA POR ATRITO
1 − CONCEITOS BÁSICOS: As perdas de carga são devido às resistências encontradas pelo fluido no escoamento, sendo essas perdas de energia dissipada na forma de calor. 2 − CLASSIFICAÇÃO: 2.1 − Perdas de Carga por Fricção: É causada unicamente pela circulação do fluido através da tubulação devido ao atrito. É observada em qualquer tipo de tubulação, mesmo nas mais cuidadosamente fabricadas e preparadas. 2.2 − Perda de Carga Localizada: Devido principalmente aos acessórios existentes ao longo da tubulação como válvulas, cotovelos, curvas, etc. 3 − CONSIDERAÇÕES GERAIS: Para escoamento laminar, incompressível e desenvolvido num tubo circular, a simetria axial e a ausência de rotação, significa não existir componente radial nem tangencial da velocidade, ou seja, vθ = vr = 0; portanto a equação de Navier−Stokes em coordenadas cilíndricas se reduz a:
dzdP
drdvr
drd
r1 z =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛µ (1)
# Sendo ρgz = 0, visto que "g" não está na direção "z". # resolvendo-se a equação (1), temos:
( )22Z rR
dzdP
41v −−=µ
(2)
# Mas para r = 0; vZ = vMAX., então a equação (2) fica:
2MAX R
dzdP
41vµ
−= (3)
2
Obs: dzdP < 0, devido à gradual diminuição da pressão do fluido no
sentido do escoamento. # Cálculo da velocidade média ( )Zv :
2MAX R
dzdP
81v v
21v −=∴= ZZ (4)
4 − EQUAÇÃO DE DARCY−WEISBACH: Na prática de engenharia, o gradiente de pressões é usualmente expresso em termos de um fator de atrito "f", definido por:
2v.
Df
dzdP 2ρ
=− (5)
# Resolvendo-se a equação diferencial (5) na seguinte condição de contorno: em l = l1; P = P1 e l = l2; P = P2 ,e, fazendo-se ∆P = P1 − P2 e L = l2 − l1, podemos expressar este resultado como:
g2v
DLfP )( ;
2v.
Df
LP 22
⋅⋅=∆
⇒÷=∆
γγρ
⇒=∆ então , HP como Tγ
g2v
DLfH
2
f ⋅⋅= (6)
Obs: Esta equação é utilizada para todos os tipos de escoamento. # Substituindo-se (5) em (4), temos:
3
vD64f
2D
2v.
Df
81v
22
ρµρ
µ=∴⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅=
DRe64f = ⇒ Para regime laminar ⇒ Re < 2000
# Onde:
Hf → Perda de carga por fricção ao longo da tubulação [L]; f → Fator de atrito [adimensional]; L → Comprimento da tubulação [L]; v → Velocidade média do fluido [LT−1].
6 − EQUAÇÃO DE HAGEN−POISEUILLE (para regime laminar): É normalmente útil escrever equações operativas em termos da vazão volumétrica (Q):
2
2
D.4Q v v
4D.Q A.vQ
ππ
=⇒=∴= (7)
# Substituindo-se (7) em (4), temos:
4
2
2 D.Q128
dzdP
4D
dzdP
81
D.4Q
πµ
µπ−=⇒⋅⋅−= (8)
# Integrando-se (8) sobre um comprimento finito "L", obtemos:
421 D.128QLPPPπ
µ=∆=− (9)
# Dividindo-se (9) por "ρg", obtém-se a equação de Poiseuille abaixo:
gρπµ
4f D.128QLH =
4
7 − COMPARAÇÃO DA EQUAÇÃO DE DARCY E A EQUAÇÃO DE POISEUILLE:
ρπµ
ρπµ
gvD.2v.AvL256H A.vQ se-fazendo e ;
2v2v
D.128QLH 4f4f =⇒=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛×=
g
.v2gD.DLv64H
D.gD.2
Lv4D.256
H2
f4
22
f ρµ
ρπ
µπ
=⇒=
g2v
DL
Re64H
2
f ⋅⋅= (10)
# A equação (10) é a mesma da equação (6), sendo ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ =
Re64f .
8 − EXPERIÊNCIA DE NIKURADSE: Nikuradse utilizou tubulações de três tamanhos diferentes com variação de diâmetro e comprimento. Nelas produziu uma rugosidade artificial, utilizando grãos de areia padronizados (K = diâmetro dos grãos de areia ou rugosidade absoluta). Nikuradse verificou, então, que para um determinado valor de "Re", o coeficiente de atrito "f", era idêntico para as três tubulações, para os mesmos valores de "K/D" ou rugosidade relativa. Logo concluiu que:
É válido o conceito de rugosidade relativa (K/D);
É correta a expressão: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
DK , Ref φ
Gradiente de pressão e potência de bombeamento. Efeito do atrito ∆P Pbomb. 11.1) ∆P no lado dos tubos.
),,,d,U(LP
im εµρφ=∆ para escoamento laminar ou turbulento (10)
onde: ε é a rugosidade [L] Duto circular
( )( ) ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ εφ=ρ
∆i
Fanning de atrito defator como definido ladmensiona grupo
2mi d
Re,2UDL4
P (11)
( )( )2UdL4
Pf 2mi ρ
∆= (12)
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ εφ=id
Re,f (13)
Gráfico de Mood
Re16f = Regime laminar (14.a)
2,0Re046,0f −= 3 x 104 <Re < 106 (turbulento) (14.b) 25,0Re079,0f −= 4 x 103 < Re < 105 (turbulento) (14.c)
Para fluidos Não-Newtonianos
Power Law: n
yU⎟⎠⎞
⎜⎝⎛δδ=τ ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ εφ= n,d
,Refi
a ; ap
ima
dUgReµ
ρ=
Plástico de Bingham: yU
0 δδµ−τ=τ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ εφ= y,
diRe,f ; ( )0fy τ=
Onde: y é o limite de escoamento adimensional.
Herschel-Bulkley: n
0 yUK ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛δδ−τ=τ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ εφ= n,y,
di,Ref a
Nas indústrias: - Caracterização reológica dos fluidos de processo - Determinar f adequadamente - Caracterização reológica: Viscosímetros e reômetros.
- Plástico de bingham:
( ) ( )( )28,3
ã3ã125,5
4yRe8
fReã1log073,4
Rey2f
1 21
2 +−−+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−=
−;
fRey2a =
Num duto circular f pode ser relacionado a tensão Tw na parede: P1 P2 No escoamento completamente desenvolvido:
2di4
.PFp π∆= L.di..TF wvisc π=
viscFFp = L.di..TPdi4 w
2 π=∆π 2
w
Um21
Tfρ
= (15)
Dutos de secção não circular: A Onde, De será o diâmetro equivalente (di é substituído por De)
molhado Perímetro
l tranversasecção da Área x 4PA4Dw
e == (16)
b )1(2
b4b)/a2(a
ab/a x 4b)2(a
ab x 4De δ+=
+=
+=
a ab=δ , Se a = b => δ = 1 => De = b
( )( )( ) i0
i0
2i
20
e dddd
dd44D −=+π−π
=
Para um duto circular De = di di do O número de Reynolds de transição para dutos não circulares é aproximadamente 2300. (Como para dutos circulares). Escoamento laminar 2b
b2D ; b U 12
XP
e2m =
µ=
∆∆
( )( )2/UDL4Pf
mo ρ∆= (17)
1
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTES I PROFESSOR: Emanuel Macêdo
PERDA DE CARGA LOCALIZADA
1 − CONSIDERAÇÕES GERAIS: Os casos mais comuns de perdas em tubos, além da perda por atrito, incluem as perdas que ocorrem em conexões e as produzidas quando a configuração da tubulação se expande ou contrai, que são denominadas perdas de carga localizada. 2 − DEFINIÇÕES: As perdas de carga localizadas, também chamadas por perdas singulares, são ocasionadas por mudanças na seção de escoamento ou de direção da corrente. Estas mudanças ocasionam turbilhonamento e, devido a inércia, parte da energia mecânica disponível se converte em calor e se dissipa sob esta forma, resultando numa perda de energia ou perda de carga. 3 − EXPRESSÃO GERAL: De um modo geral, todas as perdas localizadas podem ser expressas pela equação de Borda. (ver tabela)
2gvKH
2
L =
4 − MÉTODOS PARA DETERMINAR HL: 4.1 − Método do Coeficiente de Resistência "K": Neste método a perda de carga por fricção é calculada pela fórmula de Darcy e a perda de carga localizada pela fórmula de Borda. A perda de carga total é dada pela soma das duas perdas de carga. 4.2 − Método dos comprimentos equivalentes: Uma canalização que possui ao longo de sua extensão diversas singularidades equivale, sob o ponto de vista de perda de carga, a um encanamento com comprimento maior sem singularidades. O método
2
consiste em adicionar à extensão da canalização um comprimento tal que corresponda à mesma perda de carga que causariam as singularidades existentes. A fórmula de Darcy é utilizada para o cálculo da perda de carga total. (ver tabela)
( )2gv
DLLfH
2E
T ⋅+
=
Ex - 01: Determine a perda de carga total para o esquema abaixo, utilizando os métodos: a) Coeficiente de resistência; b) Comprimento equivalente. Dados: - tubulação de ferro; - diâmetro nominal 4" SCH 40; - 02 válvulas gavetas aberta; - vazão igual a 32,84 L/s; - fator de atrito igual a 0,016; - comprimento da tubulação 100m a) Método do coeficiente de resistência: RGA RGA L
HT = Hf + HL ; 2gv
DLfH
2
f ⋅= ; 2gvKH
2
L =
1ft = 0,3048m ; 1in = 0,0254m
3
# Cálculo da área: 4" SCH 40 (Trevisan pag. 132) ⇒ Dint =4,026in e Aint = 0,08840ft Dint = 4,026 x 0,0254 ⇒ Dint = 0,102m Aint = 0,08840 x (0,3048)2ft ⇒ Aint = 8,21x10−3m2 # Cálculo de "v":
4m/s v 1021,81084,32
AQv 3
3
=⇒== −
−
xx
# Cálculo de Hf:
m79,12H 81,92
4102,010016,0H f
2
f =⇒⋅
⋅⋅=
# Cálculo de HL: K (RGA) = 0,20 (tabela de singularidades) K = 0,20 x 2 = 0,40 (são duas válvulas RGA)
m32,0H 81,92
440,0H L
2
L =⇒⋅
⋅=
HT = 12,79m + 0,32m ⇒ HT = 13,11m b) Método dos comprimentos Equivalentes: L L1 L2 Le
( )2gv
DLLfH
2E
T ⋅+
= ∴ Le(tabelado) = 0,70
Le = 2 x 0,7 = 1,4 (são duas RGA)
4
( ) m97,12H
81,924
102,04,1100016,0H T
2
T =⇒⋅
⋅+
⋅=
Ex - 02: Determine a perda de carga total para e esquema abaixo, utilizando o método do coeficiente de resistência. Redução Gradual RGA φ = 4" φ = 2" L1 L2 L3 Hf1 Hf2 Hf2 Dado: - Tubo de ferro galvanizado; - υ(H2O) = 1x10−6m2/s; - Vazão = 10−2 m3/s; - L1 = 25m , L2 = 4m , L3 = 6m. # Cálculo de A1 e A2:
( ) 23-1
221
1 m8,1x10A 4
40254,04D.A =⇒
⋅==ππ
( ) 23-2
222
2 mx1002,2A 4
20254,04D.A =⇒
⋅==ππ
# Cálculo de v1 e v2:
m/s23,1 v 8,1x10
10AQv 13
2
11 =⇒== −
−
m/s95,4 v 2,02x10
10AQv 23
2
22 =⇒== −
−
5
# Cálculo de Re:
516
111 1025,1Re
100,02544"1,23DvRe ⋅=⇒⋅⋅
== −υ
526
222 105,2Re
100,02542"95,4DvRe ⋅=⇒⋅⋅
== −υ
# Rugosidade relativa (D/K):
670KD
0,000152
0,02544"KD 11
≅⇒⋅
=
335KD
0,0001520,02542"
KD 22 ≅⇒
⋅=
# Cálculo de f1 e f2: Re1 f1 ⇒ f1 = 0,023 (MOODY ROUSE)
KD1
Re2 F2 ⇒ f2 = 0,028 (MODY ROUSE)
KD2
# Cálculo da perda de carga por fricção (Hf):
( ) m44,0H 9,8120,0254x4"
1,23250,0232gv
DLfH f1
221
1
11f1 =⇒
⋅⋅⋅⋅
=⋅=
( ) ( ) m88,6H 9,8120,0254x2"
4,95100,0282gv
DLLfH f2
222
2
322f2 =⇒
⋅⋅⋅⋅
=⋅+
=
7,32mH 6,880,44HHH fTf2f1fT =⇒+=+=
6
# Cálculo da perda de carga localizada (HL):
2gvKH
2
L =
K (Redução Gradual) = 0,15 K (RGA) = 0,20 KTOT = 0,35 (maior velocidade)
( ) m437,0H 9,8124,950,35H L
2
L =⇒⋅
=
m757,7H 0,4377,32H TOTTOT =⇒+=
# Perda de Carga Unitária:
LHJ f=
# Problemas em que não sejam fornecidas as velocidades:
DRe v vDRe υ
υ=∴=
LfHgD2 v
2gv
DLfH f
2
f ⋅⋅⋅⋅
=∴⋅=
Lf
HgD2D
Re f ⇒⋅⋅⋅⋅
=υ
2f
3
LHgD2fRe
υ⋅⋅⋅⋅
=
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTES I PROFESSOR: Emanuel N. Macêdo
EXERCÍCIOS DE PERDA DE CARGA
1) Um mesmo fluido escoa através de 300m de um tubo "1" de 75mm de diâmetro e em
um outro tubo "2" de 300m de 100mm de diâmetro. Os tubos são lisos e os escoamentos são de tal modo que o número de Reynolds sejam os mesmos. Determine a razão entre suas perdas de carga.
Resp.: Hf1/Hf2 = 2,37 2) Calcular a perda unitária "m/m", devido ao escoamento de 22,5L/s de um óleo com
υ = 0,0001756 m2/s. Este escoamento é feito através de uma canalização de ferro fundido de 6 polegadas de diâmetro interno. O comprimento da tubulação é de 6.100m.
Resp.: J = 0,030m/m 3) Determine a perda de carga total para o esquema abaixo, utilizando o método do
coeficiente de resistência. Dados: L1 = 25cm; L2 = 4cm; L3 = 6cm. Tubo de ferro galvanizado novo. Viscosidade cinemática da água igual a 106m2/s e a vazão de 10L/s.
Redução Gradual RGA φ = 2" φ = 4" L1 L2 L3 Resp.: HT = 6,64m 4) Um fluido de viscosidade de 98,1 cP e densidade 0,85, escoa no interior de um duto de
ferro fundido novo de 259mm de diâmetro e 300m de comprimento à vazão de 0,38m3/s. Calcule a diferença de pressão no duto em atm.
Dados:1atm = 1,033Kgf/cm2 e γ = 103 Kgf/cm3 Resp.: ∆P = 7,33atm 5) Calcular a perda de carga total utilizando: a) O método do coeficiente de resistência e
b) O método dos comprimentos equivalentes no escoamento da água à vazão de 5m3/h, através de uma tubulação horizontal de ferro galvanizado de 1,5 polegadas, constituída de 200m de canos retos, 5 cotovelos de 90º RC, 2 registros de gaveta, 1 válvula globo e uma válvula de retenção tipo leve. Calcule o desvio entre os dois métodos.
Resp.: a) HT = 9,418m ; HT = 9,841m ; Desvio Relativo = 4,29%
6) Determine a vazão e o tipo de regime de escoamento de água que passa por um conduto de ferro fundido novo de diâmetro 0,1m. Sabe-se que a viscosidade da água é 7.10−7m2/s e que a perda de carga unitária é de 0,0115m/m.
Resp.: Q = 7,32L/s ; Turbulento 7) Pelo interior de uma tubulação de PVC de 2" e 60m de comprimento, circula um
fluido com viscosidade de 9,8.10−6Kg/m.s e vazão mássica de 5Kg/min. Determine o fator de atrito desse escoamento.
Resp.: f = 0,015 8) Para o dispositivo da figura abaixo, determine: a) A perda de carga por fricção ao
longo da canalização de saída lateral; b) A perda de carga localizada na redução gradual; c) A perda de carga total; d) O valor de "H" em metros. Utilize o método do coeficiente de resistência para uma vazão de 10L/s, sabendo-se que a canalização é de ferro fundido novo.
Entrada de Canalização H Redução Gradual Saída de canalização smH /10 26
02
−=ν φ = 78mm φ = 155mm 2m 4m Resp.: a) Hf = 0,31465m ; b) HL = 0,033m ; c) HT = 0,578m ; d) H = 0,802m 9) Por uma tubulação lisa de 2" de diâmetro escoa um determinado fluido de viscosidade
cinemática igual a 3,5.10−6m2/s. A perda de carga por fricção em 10 metros de tubulação é 3,85m. Determine a vazão e o tipo de regime desse escoamento.
Resp.: Q = 8,92.10−3 m3/s ; Turbulento 10) Se 680L/s de água fluem numa tubulação de 150mm de diâmetro, tendo
protuberâncias rugosas de altura média igual a 0,75mm, e se rugosidades semelhantes de altura média igual a 0,375mm existem num tubo de 75mm de diâmetro, então, qual será a vazão de óleo cru que deve ocorrer nesse tubo, para que os coeficientes de fricção dos dois tubos sejam os mesmos?
Dados: smcPcmg OHOHOH /1052,3 ; 05,1 ; /9982,0 263222
−⋅=== νµρ Resp.: Qóleo = 18,95L/s
11) Óleo combustível (υ = 0,028cm2/s) é transportado por 50m em uma tubulação de aço de diâmetro interno igual a 3", na qual existem 10 junções, 2 curvas de 90º e 2 registros globo. Esta tubulação sofre uma ampliação gradual de seu diâmetro para 4", onde o fluido percorre 15m. Calcular a perda de carga total, sabendo-se que a vazão do transporte é de 18L/s. Utilize o método do coeficiente de resistência.
Resp.: HT = 31,843m 12) Um fluido de densidade 0,92 e viscosidade igual a 0,096N.s/m2, flui numa tubulação
lisa de bronze de 100mm de diâmetro. Calcule a perda de carga em 300m de tubo para: a) O escoamento laminar no limite máximo; b) O escoamento turbulento no limite mínimo.
Resp.: a) Hf = 21,31m ; b) Hf = 106,553m 13) Por dois tubos, um de ferro fundido e outro de aço novo, fluem, respectivamente,
gasolina e água a 20ºC. Em qual destes tubos a perda de carga é maior? Sabe-se que o 1º tem 50mm de diâmetro e o 2º 45mm e que os fluidos percorrem 24m de tubulação com vazão de 1,0L/s.
Dados: Viscosidade da gasolina = 0,648 centistokes; Viscosidade da água = 1,007.10−6m2/s. Resp.: Hf,Fe = 2,06m < Hf,aço = 2,8m 14) Uma tubulação de aço com 0,3m de diâmetro e 300m de comprimento conduz 130L/s
de água. A rugosidade do tubo é de 0,003m e a viscosidade do fluido é 1,127.10−6m2/s. Determine a velocidade média e a perda de carga por fricção.
Resp.: V = 1,84m/s ; Hf = 6,56m 15) Determine a perda de carga total para o esquema abaixo, utilizando o método do
coeficiente de resistência. Dados: Tubulação de ferro galvanizado; υ(H2O) = 10−6m2/s; vazão de 2.10−2m3/s e L1 = 8m; L2 = 3m; L3 = 3m; L4 = 30m Curva de 90º RGA Ampliação Gradual φ = 6" L2 L3 L4 L1 φ = 2"
Resp.: HT = 41,66m 16) Em um tubo recurvado com diâmetro D1 = 125mm no ponto "1", tem-se a pressão
efetiva P1 = 1,9Kgf/cm2, assinalada pelo manômetro "M". Pela extremidade "2", onde o diâmetro é D2 = 100mm, descarregam-se 23,6L/s de água na atmosfera. Calcular a perda de carga por fricção. Considere g = 10,0m/s2.
2 1,25m M 1 Resp.: Hf = 17,481m 17) Em uma unidade industrial, utiliza-se tubo de PVC de 63,5mm de diâmetro e 50m de
comprimento, onde escoa água com uma vazão de 6,35L/s. Na unidade de refrigeração, utiliza-se tubo de ferro galvanizado novo revestido de asfalto de 50mm de diâmetro, onde flui água com vazão igual a do tubo PVC. Admitindo idênticas as perdas de carga por fricção nos dois tubos, pede-se:
a) O número de Reynolds no tubo de PVC; b) O comprimento do tubo de ferro; c) Regime de escoamento do tubo de ferro. Dado: υágua = 10−6m2/s. Resp.: a) Re = 1,27.105 ; b) LFe = 10,06m ; c) Turbulento 18) Óleo combustível de massa específica igual a 0,820g/cm3 e viscosidade cinemática de
0,028cm2/s circula em uma tubulação horizontal de aço de 150mm de diâmetro interno a uma distância de 50m. A tubulação é constituída de duas válvulas globo, duas curvas de 45º e 15 junções. A razão do escoamento é 18L/s. Calcular a queda de pressão na linha e a perda de carga unitária.
Resp.: ∆P = 0,142atm ; J = 0,036m/m 19) Para o esquema abaixo, calcule o desnível "h" entre os dois tanques. Dados: Q = 7,87ft3/s De "B" até "G" De "G" em diante g = 32,2ft/s2 L = 150ft L = 100ft Filtro "F" (K = 8,0) φ = 12" φ = 6" Válvula cruzeta (K = 0,7) f = 0,025 F = 0,020 Medidor "H" (K = 6,0)
A Cotovelo 90º h RGA B R.GL.A RGA R.GL.A Te saída bilateral Curva 90º Medidor Válvula Cruzeta "G" Te saída bilateral Resp.: h = 604,077ft 20) Um óleo de viscosidade 0,01Kgf.s/m2 e densidade 0,850, flui através de 3.000m de um
tubo de ferro fundido de 300mm de diâmetro a uma vazão de 0,5m3/s. Determinar a diferença de pressão no tubo em atm. Utilize a equação de Darcy.
Resp.: ∆P = 58,7atm 21) Calcular a perda de carga total utilizando o método dos comprimentos equivalentes no
escoamento da água à razão de 5m3/h, através de uma tubulação de ferro galvanizado de "1 2
1 , constituída de 200m de canos retos, 3 cotovelos de 90º RC, 2 registros de gaveta abertos e 1 válvula globo.
Dados: µágua = 1,05 cP e ρágua = 1,0g/cm3 Resp.: HT = 13,41m 22) Determinar a perda de carga associada a um escoamento através de um trecho reto de
tubulação, e determine também, qual o regime de escoamento. Considerar tubo liso Dados: Vazão = 40m3/h; Tubulação de 80m; φinterno = 4"; υ = 5,5 cS Resp.: a) Turbulento ; b) Hf = 1,81m 23) Em uma instalação industrial está uma linha de transporte de tolueno de um tanque
"A" a um sistema de depósito "B", distanciados entre si de 650 metros. Na linha de tubulação existem duas válvulas do tipo globo, dois cotovelos de 45º e 120 junções. A linha de tubulação é de 5in SCHEDULE 40 e transporta tolueno a 20ºC com uma vazão de 650 litros por minuto. Calcular a perda de carga total do sistema, utilizando o método do coeficiente de resistência.
Dados: υTolueno = 0,60.10−6m2/s ; K = 1,28.10−5m Resp.: HT = 5,48m
F
M
24) De uma pequena barragem parte uma canalização de ferro galvanizado (o nível de água na barragem está localizado a 16m acima do nível zero) de 152mm de diâmetro interno, a qual transporta a um reservatório de distribuição (o reservatório está aberto com o nível d'água a 10m acima do nível zero). Determinar o fator de fricção ao longo da canalização, considerando-se que as perdas localizadas eqüivalem a 3% da perda total existente na efetivação do transporte. Sabe-se, ainda, que na tubulação existem 1 curva de 90º, 2 cotovelos de 45º e 1 RGA.
Dados: υágua = 10−6m2/s Resp.: f = 0,020 25) Em um processo industrial, óleo a 80ºC é armazenado. O óleo de viscosidade igual a
0,85 cP escoa com uma vazão de 1800Kg/min, através de uma tubulação de 30 cm de diâmetro, do local onde é produzida até o tanque de armazenamento. A tubulação é de aço inox e lisa de 400m de comprimento. Durante o escoamento, verifica-se uma perda de carga por atrito de 40m. Desprezando-se as outras perdas, determine a vazão volumétrica do escoamento.
Resp.: Q = 0,424m3/s 26) Em uma instalação, circula-se água a 180ºF à razão de 46,80ft3/min, através de uma
tubulação de PVC de 6,5" de diâmetro externo e espessura de parede de 0,021ft. A instalação apresenta um comprimento de 450ft e possui: 3 curvas de 90º, um controlador de vazão e 2 válvulas globo abertas. A viscosidade da água a 180ºF é 0,37cS. Calcular a perda de carga total, utilizando o método do coeficiente de resistência para a perda localizada.
Dado: g = 32,18ft/s2 Resp.: HT = 8,72ft 27) Determinar a taxa volumétrica de um óleo, cuja densidade é 0,80, que escoa por um
conduto liso de bronze de diâmetro igual a 4in a 37ºC. A perda de carga em 60m de tubulação é 0,05m e a viscosidade cinemática do óleo a 37ºC é 2,05.10−2cm2/s.
Resp.: Q = 1,7L/s 28) Um fluido de densidade 0,91 escoa através de uma tubulação de PVC de diâmetro
igual a 5,3in a 40ºC. A perda de carga ao longo da tubulação de 45ft de comprimento é de 0,85m. Determine a taxa volumétrica do fluido de viscosidade cinemática igual a 2,05 cS, em unidades do "CGS".
Resp.: Q = 4,68cm/s 29) Por uma tubulação de PVC de 2,54cm, escoa água (µ = 0,95cP e ρ = 1g/cm3). O
comprimento dessa tubulação é de 50m, sendo a perda de carga unitária de 0,06m/m. Calcule a vazão em "L/s" e o tipo de regime desse escoamento.
Resp.: Q = 0,5685L/s 30) Um líquido escoa através de uma tubulação de aço comercial a uma taxa de 9,89L/s. O
diâmetro da tubulação é 0,0505m, a viscosidade do líquido é 4,46cP e a massa específica 801Kg/m3. Calcule a perda de carga por fricção para 36,6m de tubulação.
Resp.: Hf = 17,81m
31) Água a 4,4ºC (ρ = 103 Kg/m3 e µ = 1,55cP) escoa através de uma tubulação horizontal de aço comercial, tendo um comprimento de 305m e diâmetro igual a 0,0954m. Há uma perda de carga por fricção de 6,1m. Calcule a velocidade e a vazão volumétrica de água na tubulação.
Resp.: V = 1,35m/s e Q = 9,65.10−3m3/s 32) Pela tubulação abaixo, calcule a perda de carga total pelo método do coeficiente de
resistência. Dados: υágua = 10−6 m2/s; φ1 = 0,30m; φ2 = 0,10m; Q = 35L/s; g = 9,81m/s2 L1 = 2,0m; L2 = 6,0m; L3 = L4 = 2,5m; L5 = L6 = 1,5m; L7 = 1,3m L1 Redução Gradual L6 φ1 φ2 Curva de 90º L2 L7 Cotovelo de 90º L5 RGA L3 L4 Resp.: HT = 3,341m 33) Dado o trecho de tubulação abaixo, determine a perda de carga total pelo método do
coeficiente de resistência. Dados: L1 =15m
Fluido = água L2 = 7m
υágua = 10−6m2/s L3 = 2,5m
Vazão = 3,5.10−2m3/s L4 = 2,5m
Tubulação = PVC L5 = 10m
Redução Gradual 10" Curva 90º L2 L1 L3 RGA Cotovelo 90º 4" L4 L5 Resp.: HT = 4,386m 34) Em uma refinaria de óleo de soja, deseja-se bombear algumas toneladas desse óleo
através de uma tubulação lisa de aço-inox de 450ft de comprimento e 6" de diâmetro interno. A tubulação contém algumas singularidades tais como: 3 curvas de 90º, um controlador de vazão e duas válvulas globo. A viscosidade do óleo a 190ºF é 0,37cS. Calcule a perda de carga total utilizando o método dos coeficientes de resistência.
Dados: g = 32,18ft/s2 ; Qóleo = 46,80ft3/min Resp.: HT = 8,75ft 35) Em uma experiência no laboratório de Fenômenos de Transportes, foi realizada uma
experiência de perda de carga por fricção ao longo de um tubo de comprimento igual a 5m, através do qual escoa água (dágua = 1,0). Neste comprimento há um tubo manométrico diferencial contendo mercúrio (dHg = 13,6), que acusa uma deflexão h = 10cm. Através desses parâmetros, determine:
a) Que a perda de carga por fricção, é função da deflexão e propriedades físicas dos fluidos;
b) A perda de carga em "m/m". Resp.: a) ( )1−= Hgf dhH ; b) J = 0,252m/m 36) Em uma fábrica, deseja-se transportar um ácido através de uma tubulação de aço
revestido de chumbo. O ácido é transportado a 25ºC por uma tubulação de 3" (D.I) à vazão de 350L/min a 450m de distância. Calcule a perda de carga por fricção, desprezando-se as outras perdas.
Dados: dácido = 1,84 ; µácido = 1cP ; ρágua = 1g/cm3 Resp.: Hf = 9,37m 37) Por uma tubulação horizontal de 50mm de diâmetro interno, flui água com uma
velocidade média de 2m/s. A tubulação está conectada, mediante uma redução, a outra de 40mm de diâmetro. Dispõe-se de um tubo de vidro vertical em um ponto "A", 30mm antes da conexão e outro em "B". A perda de carga por fricção de "A" até a conexão é de 3,5cm e desde a conexão até "B" é de 1,1cm. Calcular a diferença entre os níveis de água "h" nos dois tubos. (Ver figura abaixo).
h A B Redução Gradual Resp.: h = 0,4136 38) Em uma indústria existe um tanque de armazenagem de benzeno, do qual sai uma
tubulação de ferro galvanizado revestido de asfalto de 5in de diâmetro e 1.200m de comprimento, onde ocorre uma perda de carga por fricção de 25m. Do tanque de depósito, o fluido escoa a razão de 63Kg/s, com uma viscosidade de 0,702cP. Desprezando as perdas localizadas, determine a velocidade média do escoamento.
Resp.: V = 1,62m/s 39) Determine a perda de carga total para os dados abaixo, utilizando os métodos: a)
coeficiente de resistência e b) comprimento equivalente. Dados: # Diâmetro nominal 4" SCH 40; # 2 RGA; # Vazão = 32,84L/s; # Fator de atrito = 0,016; # Comprimento da tubulação = 100m. Resp.: a) HT = 13,11m ; b) HT = 12,97m
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTES I
VALORES DOS COMPRIMENTOS EQUIVALENTES PARA PERDAS LOCALIZADAS (Le)
(Expressos em metros de canalização retilínea)
DIÂMETRO (D)
mm pol.
Cotovelo 90º
(Raio Longo)
Cotovelo90º
(Raio Médio)
Cotovelo90º
(Raio Curto)
Cotovelo
45º
Curva 90º
R/D = 11/2
Curva 90º
R/D = 1
Curva
45º
Entrada
normal
Entrada
de borda
Saída de
canalização
13 1/2 0,3 0,4 0,5 0,2 0,2 0,3 0,2 0,2 0,4 0,4
19 3/4 0,4 0,6 0,7 0,3 0,3 0,4 0,2 0,2 0,5 0,5
25 1 0,5 0,7 0,8 0,4 0,3 0,5 0,2 0,3 0,7 0,7
32 1 e 1/4 0,7 0,9 1,1 0,5 0,4 0,6 0,3 0,4 0,9 0,9
38 1 e 1/2 0,9 1,1 1,3 0,6 0,5 0,7 0,3 0,5 1,0 1,0
50 2 1,1 1,4 1,7 0,8 0,6 0,9 0,4 0,7 1,5 1,5
63 2 e 1/2 1,3 1,7 2,0 0,9 0,8 1,0 0,5 0,9 1,9 1,9
75 3 1,6 2,1 2,5 1,2 1,0 1,3 0,6 1,1 2,2 2,2
100 4 2,1 2,8 3,4 1,5 1,3 1,6 0,7 1,6 3,2 3,2
125 5 2,7 3,7 4,2 1,9 1,6 2,1 0,9 2,0 4,0 4,0
150 6 3,4 4,3 4,9 2,3 1,9 2,5 1,1 2,5 5,0 5,0
200 8 4,3 5,5 6,4 3,0 2,4 3,3 1,5 3,5 6,0 6,0
250 10 5,5 6,7 7,9 3,8 3,0 4,1 1,8 4,5 7,5 7,5
300 12 6,1 7,9 9,5 4,6 3,6 4,8 2,2 5,5 9,0 9,0
350 14 7,3 9,5 10,5 5,3 4,4 5,4 2,5 6,2 11,0 11,0
CONTINUA →
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTES I
VALORES DOS COMPRIMENTOS EQUIVALENTES PARA PERDAS LOCALIZADAS (Le)
(Expressos em metros de canalização retilínea)
DIÂMETRO (D)
mm pol.
Registro de gaveta
aberto
Registro de globo aberto
Registro de ângulo
aberto
Tê Passagem
direta
Tê Saída de
Lado
Tê Saída
Bilateral
Válvula de pé e crivo
Válvula de Retenção tipo leve
Válvula de Retenção
tipo pesado
13 1/2 0,1 4,9 2,6 0,3 1,0 1,0 3,6 1,1 1,6
19 3/4 0,1 6,7 3,6 0,4 1,4 1,4 5,6 1,6 2,4
25 1 0,2 8,2 4,6 0,5 1,7 1,7 7,3 2,1 3,2
32 1 e 1/4 0,2 11,3 5,6 0,7 2,3 2,3 10,0 2,7 4,0
38 1 e 1/2 0,3 13,4 6,7 0,9 2,8 2,8 11,6 3,2 4,8
50 2 0,4 17,4 8,5 1,1 3,5 3,5 14,0 4,2 6,4
63 2 e 1/2 0,4 21,0 10,0 1,3 4,3 4,3 17,0 5,2 8,1
75 3 0,5 26,0 13,0 1,6 5,2 5,2 20,0 6,3 9,7
100 4 0,7 34,0 17,0 2,1 6,7 6,7 23,0 6,4 12,9
125 5 0,9 43,0 21,0 2,7 8,4 8,4 30,0 10,4 16,1
150 6 1,1 51,0 26,0 3,4 10,0 10,0 39,0 12,5 19,3
200 8 1,4 67,0 34,0 4,3 13,0 13,0 52,0 16,0 25,0
250 10 1,7 85,0 43,0 5,5 16,0 16,0 65,0 20,0 32,0
300 12 2,1 102,0 51,0 6,1 19,0 19,0 78,0 24,0 38,0
350 14 2,4 120,0 80,0 7,3 23,0 22,0 90,0 28,0 45,0
NOTA → Os valores indicados para registros de globo aplicam-se também às torneiras, válvulas para chuveiros e válvulas de descarga.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTES I
VALORES DOS COEFICIENTES "K" CORESPONDENTES
ÀS DIVERSAS SINGULARIDADES
FÓRMULA DE BORDA →
SINGULARIDADES K
Ampliação Gradual 0,30* Bocais 2,75 Comporta Aberta 1,00 Controlador de vazão 2,50 Cotovelo de 90º 0,90 Cotovelo de 45º 0,40 Crivo 0,75 Curva de 90º 0,40 Curva de 45º 0,20 Curva de 22 1/2º 0,10 Entrada Normal de Canalização 0,50 Entrada de Borda 1,00 Existência de pequena derivação 0,03 Junção 0,40 Medidor Venturi 2,50** Redução Gradual 0,15* Registro de Ângulo Aberto 5,00 Registro de Gaveta Aberto 0,20 Registro de Globo Aberto 10,00 Saída de Canalização 1,00 Tê, Passagem Direta 0,80 Tê, Saída de Lado 1,30 Tê, Saída Bilateral 1,80 Válvula de pé 1,75 Válvula de Retenção 2,50 Velocidade 1,00 * Com base na velocidade maior (seção menor). ** Relativa à velocidade na canalização.
2gVKH
2
L ⋅=
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTES I
Tubos normalizados para condução de fluidos: Padrão Schedule
Diâmetro nominal do
tubo
Diâmetro externo
Padrão Schedule
Espessura da parede
Diâmetro interno
Área de seção
transversal do metal
Área de seção
transversal interna
1/8 0,405 40⊥ 80+
0,068 0,095
0,269 0,215
0,072 0,093
0,00040 0,00025
1/4 0,540 40⊥ 80+
0,088 0,119
0,364 0,302
0,125 0,157
0,00072 0,00050
3/8 0,675 40⊥ 80+
0,091 0,126
0,493 0,423
0,167 0,217
0,00133 0,00098
1/2 0,840 40⊥ 80+ 160
0,109 0,147 0,187
0,622 0,546 0,466
0,250 0,320 0,384
0,00211 0,00163 0,00118
3/4 1,050 40⊥ 80+ 160
0,113 0,154 0,218
0,824 0,742 0,614
0,333 0,433 0,570
0,00371 0,00300 0,00206
1 1,315 40⊥ 80+ 160
0,133 0,179 0,250
1,049 0,957 0,815
0,494 0,693 0,815
0,00600 0,00499 0,00362
1 e 1/4 1,660 40⊥ 80+ 160
0,140 0,191 0,250
1,380 1,278 1,160
0,699 0,881 1,107
0,01040 0,00891 0,00734
1 e 1/2 1,900 40⊥ 80+ 160
0,145 0,200 0,281
1,610 1,500 1,338
0,799 1,068 1,429
0,01414 0,01225 0,00976
2 2,375 40⊥ 80+ 160
0,154 0,218 0,343
2,067 1,939 1,689
1,075 1,477 2,190
0,02330 0,02050 0,01556
2 e 1/2 2,875 40⊥ 80+ 160
0,203 0,276 0,375
2,469 2,323 2,125
1,704 2,254 2,945
0,03322 0,02942 0,02463
3 3,500 40⊥ 80+ 160
0,216 0,300 0,437
3,068 2,900 2,626
2,228 3,016 4,205
0,05130 0,04587 0,03761
3 e 1/2 4,000 40⊥ 80+
0,226 0,318
3,548 3,364
2,680 3,678
0,06870 0,06170
4 4,500 40⊥ 80+ 120 160
0,237 0,337 0,437 0,531
4,026 3,826 3,626 3,438
3,173 4,407 5,578 6,621
0,08840 0,07986 0,07170 0,06447
↑in
Unidades → in _____ in in in2 ft2
+ Padrão ASA B36−10 ⊥Designa tamanhos padrões antigos CONTINUA
→
Tubos normalizados para condução de fluidos: Padrão Schedule (continuação)
Diâmetro nominal do
tubo
Diâmetro externo
Padrão Schedule
Espessura da parede
Diâmetro interno
Área de seção
transversal do metal
Área de seção
transversal interna
5 5,563 40⊥ 80+ 120 160
0,258 0,375 0,500 0,625
5,047 4,813 4,563 4,313
4,304 6,112 7,953 9,696
0,1390 0,1263 0,1136 0,1015
6 6,625 40⊥ 80+ 120 160
0,280 0,432 0,562 0,718
6,065 5,761 5,501 5,189
5,584 8,405 10,71 13,32
0,2006 0,1810 0,1650 0,1469
8 8,625
20 30⊥ 40⊥ 60
80+ 100 120 140 160
0,250 0,277 0,322 0,406 0,500 0,593 0,718 0,812 0,906
8,125 8,071 7,981 7,813 7,625 7,439 7,189 7,001 6,813
6,570 7,260 8,396 10,48 12,76 14,96 17,84 19,93 21,97
0,3601 0,3553 0,3474 0,3329 0,3171 0,3018 0,2819 0,2673 0,2532
10 10,75
20 30⊥ 40⊥ 60+ 80 100 120 140 160
0,250 0,307 0,365 0,500 0,593 0,718 0,843 1,000 1,125
10,250 10,136 10,020 9,750 9,564 9,314 9,064 8,750 8,500
8,24 10,07 11,90 16,10 18,92 22,63 26,24 30,63 34,02
0,5731 0,5603 0,5475 0,5185 0,4989 0,4732 0,4481 0,4176 0,3941
12 12,75
20 30⊥ 40 60 80 100 120 140 160
0,250 0,330 0,406 0,562 0,687 0,843 1,000 1,125 1,312
12,250 12,090 11,938 11,626 11,376 11,064 10,750 10,500 10,126
9,82 12,87 15,77 21,52 26,03 31,53 36,91 41,08 47,14
0,8185 0,7972 0,7773 0,7372 0,7058 0,6677 0,6303 0,6013 0,5592
14 14
10 20 30 40 60 80 100 120 140 160
0,250 0,312 0,375 0,437 0,593 0,750 0,937 1,062 1,250 1,406
13,500 13,376 13,250 13,126 12,814 12,500 12,126 11,876 11,500 11,188
10,80 13,42 16,05 18,61 24,98 31,22 38,45 43,17 50,07 55,63
0,9940 0,9750 0,9575 0,9397 0,8956 0,8522 0,8020 0,7693 0,7213 0,6827
↑in
Unidades →
in _____ in in in2 ft2
1
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTES I PROFESSOR: Célio
VISCOSIDADE − HOEPPLER (PRÁTICA)
1 − CONSIDERAÇÕES GERAIS: A viscosidade é a propriedade que um fluido apresenta em resistir ao escoamento, ou seja, à deformação quando forças constantes atuam sobre o fluido. Como propriedade do fluido a viscosidade depende da temperatura e da pressão e composição. 1.1 − Viscosidade em função da temperatura: a) Para gases → a viscosidade de um gás aumenta com a temperatura,
devido as forças de coesão aumentarem com o choque entre as moléculas.
b) Para líquidos → a viscosidade diminui com o aumento da temperatura,
devido as forças de coesão diminuírem com o aumento da temperatura. 1.2 − Viscosidade em função da pressão: Para pressões moderadas, a viscosidade é independente da pressão. Para pressões elevadas, a viscosidade dos gases e da maioria dos líquidos varia, porém não existem leis bem definidas. 1.3 − Viscosidade em função da composição: Depende diretamente da massa específica, ou seja, quanto maior a massa específica maior a viscosidade. Ex: Melaço e alcatrão são muito viscosos, enquanto que a água e o ar são pouco viscosos. 2 − VISCOSÍMETRO DE QUEDA DE ESFERA (HOEPPLER): 2.1 − Balanço de massa para partículas esféricas (M.R.U): As forças atuantes em uma partícula esférica que cai em um fluido são o seu "Peso" (P), o "Empuxo" (E) e as forças de resistência, também conhecidas como "Arraste" (D).
2
D E ( ) ∑ ==+−dt
dvmFEDP t
Vt = cte ⇒ 0dtdv
=
0E)(D-P =+ (I) P 2.1.1 − Peso da esfera (P):
pppp
ppp .Vm
Vm
.gmP ρρ =∴=⇒=
p
3p
p
3p
p3pp 6
d.m
6d.
V ou r.34V ρ
πππ ×=∴==
g6.d
P3p
p ×⋅=π
ρ (1)
2.1.2 − Força de empuxo (devida ao fluido): # Postulado ou Princípio de Arquimedes → Um corpo imerso num fluido recebe um empuxo numericamente igual ao peso do fluido deslocado.
ffff
fff .Vm
Vm .gmE ρρ =∴=⇒=
f
3p
fpf 6d.
m VV ρπ
×=∴= ⇒ g6.d
E3p
f ×⋅=π
ρ (2)
3
2.1.3 − Forças de resistência ou Arraste (D): As forças de resistência surgem de duas maneiras: resistências de forma ou sustentação e resistência de fricção ou atrito. a) Resistência de forma ou sustentação → é baseada na Lei de Newton da
viscosidade.
2
AA Lv..AF esfera
St
SS =∴= µ
2d.
Aou 2r.4
A2p
S
2p
Sππ
==
L = comprimento característico da esfera = 2
dr pp =
2dv
2d.
Fp
t2p
S ××= µπ
⇒ tpS v..d.F µπ= (3)
b) Resistência de fricção → também é baseada na lei de Newton da
viscosidade. → Atua em toda a superfície do fluido
esferaft
ff AA Lv..AF =∴= µ
2
pf2pf d.A r.4A ππ =∴=
L = rp = 2
dp
∴⋅⋅=
2dvd.F
p
t2pf µπ tpf v..d.2F µπ= (4)
4
D = FS + Ff = ∴+ v..d.2v..d. tptp µπµπ tp v..d.3D µπ= (5) 2.1.4 − Substituindo (1), (2) e (5) em (I):
0g6
d.v..d3 g
6d. 3
ptp
3p =⋅−⋅
πρµπ
πρ fp - ⇒ 0g6
dv.3 g
6d 2
pt
2p =⋅−⋅ fp - ρµρ
t
2p
2p v.3g
6d
g6
dµρρ =⋅−⋅ fp ⇒ ( ) t
2p v.36.gd
µρρ =− fp
( )fp ρρµ −⋅=t
2p
18v.gd
ou ( )fp ρρµ −⋅⋅=t
2p
18v.gd
K
Obs: "K" é o fator de correção para o viscosímetro HOEPPLER. É função da esfericidade, dos ajustes nas condições físicas, efeito de parede, desvio na velocidade terminal, etc. Obs: Para se usar a Lei de Newton da viscosidade tem que se fazer algumas considerações:
Perfil ser linear; A esfera ser bem pequena; Movimento retilíneo uniforme.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTES I PROFESSOR: MARCOS VINÍCIOS PINTO
EXERCÍCIOS DE ANÁLISE DIMENSIONAL
1) A força por unidade de área que um líquido em movimento exerce sobre a parede de
um conduto pode ser determinada pela fórmula empírica:
31
2021,0−
= rvρτ onde: ρ → é a massa específica do líquido (lbm/ft3); v → é a velocidade média do líquido (ft/s); r → é o quociente da seção reta pelo perímetro molhado - raio hidráulico - (ft) Modifique essa fórmula para que ela dê resultados para "τ" expressos no sistema SI.
Resp.: 31
200141,0−
rvρ 2) Sabendo-se que A, B, C e D são respectivamente homogêneas a um comprimento, a
um trabalho, a uma força e a uma área, verificar se a equação:
( )43
21
31
−
⋅⋅=
D
CBA
é homogênea. Tem-se que a constante é expressa por "1/N.m". Resp.: Sim 3) Determine que a vazão "Q", através de um tubo capilar horizontal, depende da queda
de pressão por unidade de comprimento "∆P/L", do diâmetro do capilar "d" e da viscosidade absoluta do fluido "µ".
Resp.: µ
4dLPKQ ⋅
∆⋅=
4) Um vertedor triangular é uma placa com um entalhe de ângulo de abertura "φ",na sua
parte superior, colocada transversalmente num canal. O líquido no canal é retido e obrigado a escoar pelo entalhe. A vazão "Q" é uma certa função de cota "H" da superfície livre a montante do vertedor, medida a partir do fundo do entalhe. Além disso a vazão depende da aceleração da gravidade "g" e da velocidade "v0" de aproximação ao vertedor. Determinar a forma da equação que fornece a vazão, sendo "g" e "H" as grandezas da base.
Resp.: φπππ ==⋅
= 30
22
51 ; ; gHv
Hg
Q
5) Por análise dimensional, expresse a vazão mássica "Qm" através de um tubo circular em termos do raio "R" do cilindro, da velocidade média "v" e da massa específica "ρ" no fluido, sendo:
( )L
RPPK L
µπ
8 ve
20 −==
Resp.: ( )
ρµ
π⋅
−=
LRPPQ L
m 8
40
6) A força de atração entre dois pontos materiais "m1" e "m2", segundo a Lei de Newton,
tem por expressão:
221
rmmKF =
sendo "r" a distância entre ambos os pontos. Encontre a dimensão da constante nos sistemas [FLT] e [MLT], respectivamente. Resp.: 231441 e −−−− == TLMKTLFK 7) O aumento de pressão através de uma bomba "∆P" pode considerar-se afetado pela
densidade do fluido "ρ", a velocidade angular "ϖ", o diâmetro do motor "D", a rapidez do fluxo volumétrico "Q" e a viscosidade do fluido "µ". Encontre os grupos adimensionais adequados, escolhendo-os de tal maneira que "∆P", "Q" e "µ" apareçam, cada um, somente em um parâmetro adimensional.
Resp.: 2332221 e ; DD
QD
Pρϖµπ
ϖπ
ϖρπ ==
∆=
8) A potência de uma hélice de avião depende do raio da hélice, da velocidade angular e
massa específica do ar. Determine no sistema [MLT] uma expressão para essa dependência.
Resp.: ρϖ 35rKP ⋅= 9) A seguinte equação representa a variação que ocorre na concentração em um tanque
agitado contendo etanol, com uma concentração "C0"(Kg/m3), ao qual é adicionada água pura à vazão constante. Qual é a dimensão de "K" de acordo com a expressão:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
VQtEXPKCC 0
onde: C → concentração em massa por unidade de volume; Q → vazão de alimentação d'água no tanque; V → volume do tanque; T → tempo; K → constante experimental do sistema. Resp.: Adimensional
10) Defini-se uma grandeza hipotética "X", como sendo o produto da força e tempo, dividido pelo volume. Apresente a equação dessa grandeza "X" no sistema [MLT] e diga de quantas unidades C.G.S desta grandeza correspondem a uma unidade SI da mesma.
Resp.: unidades deTML 101 ; 12 −−
11) Em 1890 Robert Manning, um engenheiro irlandês, propôs a seguinte fórmula
empírica para o cálculo da velocidade média em um canal aberto sob ação da gravidade em um escoamento uniforme (em unidades inglesas):
21
3249,1 SR
nv ⋅⋅=
onde: R → raio hidráulico do canal; S → inclinação do canal; n → fator de rugosidade de Manning. "n" é uma constante para uma dada condição de superfície das paredes e base do canal. Pergunta-se: a) A fórmula de Manning é dimensionalmente consistente? b) Tal fórmula é comumente usada para fornecer resultados em unidades inglesas, com
"n" tomado como um parâmetro adimensional. Rescreva-a em unidades SI.
Resp.: b) 21
321v SR
n⋅⋅=
12) Determinar a pressão dinâmica exercida pelo escoamento de um fluido incompressível
sobre um objeto imerso, considerando-se que a pressão "P" é função da massa específica "ρ" e da velocidade "v" do fluido.
Resp.: 2vρ⋅= KP 13) No escoamento laminar, a tensão cisalhante "τ" é considerada uma função da forma:
( )dyd ,v,µττ = onde:
µ → viscosidade absoluta ou dinâmica do fluido; dv → gradiente de velocidade; dy → distância entre duas placas horizontais onde o fluido escoa.
Determine a forma de "τ", utilizando o teorema de Bridman no sistema [MLT] e no sistema [FLT].
Resp.: dydK vµτ ⋅= , para ambos os sistemas
14) A densidade de um fluido pode ser expressa pela fórmula empírica:
( ) cPebTa ⋅+=ρ
onde: ρ → é expressa em g/cm3; T → é expressa em ºC; P → é expressa em atm. Determine as dimensões e as unidades das constantes "a", "b" e "c", para que a equação acima seja dimensionalmente homogênea. Resp.: [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )121313133 ; /º ; / −−−−−−− =⋅== atmLTMccmgCMLbcmgMLa θ 15) Para um fluido ideal, expressar a vazão volumétrica, através de um orifício, em termos
do diâmetro do orifício, da diferença de pressão e de sua massa específica.
Resp.:ρPDKQ ∆
⋅= 2
16) O número de Reynolds, definido abaixo, é um parâmetro encontrado em problemas de
quantidade de movimento para caracterizar o tipo de escoamento de fluidos:
µρvRe D
=
sendo: D → comprimento característico v → velocidade característica ρ e µ → massa específica e viscosidade absoluta do fluido respectivamente. Demonstre que "Re" é um parâmetro adimensional. 17) Um aluno de Fenômenos de Transportes, precisa definir uma equação para a pressão
"P" que um líquido ao escoar exerce sobre um sólido imerso. Ele considerou que a pressão depende da massa específica "ρ", da viscosidade dinâmica "µ" do fluido e da velocidade de escoamento "v". determine a expressão para essa dependência e diga se o aluno está correto ou não em adotar as três variáveis do fenômeno.
Resp.: nãoKP ; v2ρ⋅= 18) Determinar a dimensão da grandeza "X" na equação abaixo, definida como segue:
PetWX⋅⋅
= 2
onde: W → trabalho; e → comprimento; t → tempo; P → pressão. Resp.: [ ]LTX = 19) Mostrar que a energia cinética de uma partícula é expressa em termos da massa e
velocidade dessa partícula.
Resp.: 2vmKEc ⋅= 20) Um método para determinação da velocidade de escoamento em condutos é através do
conhecimento da vazão volumétrica, área de seção transversal do duto e viscosidade do fluido. Utilizando o conceito do teorema de Bridman, determine a equação que descreva o fenômeno, utilizando o sistema [MLT].
Resp.: AQK ⋅=v
21) Em um duto de comprimento "L", escoa um fluido de viscosidade absoluta "µ" e
massa específica "ρ". Demonstre, através do teorema de Bridman, uma equação para a velocidade de escoamento.
Resp.: 11v −−= ρµLK 22) A energia "E" e a massa "m" são relacionadas pela equação E = mc2, onde "c" é a
velocidade da luz. Verificar se esta equação é dimensionalmente homogênea. Resp.: Sim 23) Verificar se é dimensionalmente homogênea a equação do movimento uniformemente
variado: 2
00 21v attee ++=
onde "1/2" é adimensional. Analisar o caso particular para 1546te 2 +−= t . Resp.: A equação é homogênea. No caso particular os números "+6", "−4" e "+15" não são simples fatores sem dimensão. 24) Considerando a potência "P", fornecida por uma bomba, como função do peso
específico "γ" do fluido, da vazão volumétrica "Q" e da altura "H". Estabelecer uma equação através de análise dimensional.
Resp.: QHKP γ⋅= 25) A potência "P" que é necessária para fazer funcionar um compressor, varia de acordo
com o diâmetro "D", sua velocidade angular "ϖ", a vazão volumétrica "Q", a massa específica "ρ" e a viscosidade do fluido "µ". Encontre uma relação entre essas variáveis através da análise dimensional na qual apareçam a viscosidade e a velocidade angular, cada uma, somente em um grupo adimensional.
Resp.: ρµπϖπ
ρπ
QD
QD
QPD
=== 3
3
23
4
1 ; ;
26) Num processo de galvanização, a velocidade com que os íons se movem em situações
eletrolíticas diluídas para o eletrodo em forma de disco é função da velocidade de difusão de massa dos íons. O processo depende do controle das variáveis abaixo. Obtenha os grupos adimensionais para estas variáveis, onde "K", "µ" e "D" estejam em grupos separados.
onde: K → é o coeficiente de transferência de massa (m/s); D → é o coeficiente de difusão (m2/s); d → é o diâmetro do disco (m); ϖ → é a velocidade angular (s−1); ρ → é a massa específica (Kg/m3); µ → é a viscosidade (Kg/m.s).
Resp.: ϖ
πρϖ
µπϖ
π 23221 ; .
; d
Ddd
K===
27) Um fluido está passando sobre um corpo sólido. A força "F" exercida sobre o corpo é
função da velocidade do fluido "v", da massa específica do fluido "ρ", da viscosidade do fluido "µ" e de uma dimensão do corpo "L". Por análise dimensional, obter os grupos adimensionais formados pelas variáveis dadas. Faça com que "µ" esteja em uma única equação.
Resp.: ρ
πρµπ 2221 v
; v L
FL
==
28) A perda de carga por unidade de comprimento "∆H/L" no escoamento, em regime
turbulento, num conduto liso, depende da velocidade "v", do diâmetro "D", da aceleração da gravidade "g", da viscosidade dinâmica "µ" e da massa específica "ρ". Determinar, com o auxílio da análise dimensional, os grupos adimensionais formados pelas variáveis mencionadas. Faça com que "v", "D" e "ρ" sejam as variáveis da base.
Resp.: LHgD
D∆
=== 3221 ; v
; v
ππρ
µπ
29) Para medir a vazão em peso "G" de um gás através de um orifício, adota-se a fórmula:
QGondePgDG . ; ...24
... 2
γγπεα=∆⋅=
sendo: α → coeficiente de vazão (adimensional); ε → coeficiente de compressibilidade (adimensional); D → diâmetro do orifício G → aceleração da gravidade; γ → peso específico do gás no orifício; ∆P → diferença de pressão; Q → vazão volumétrica. Verifique se esta fórmula é dimensionalmente homogênea. Resp.: Sim 30) A análise dimensional é usada para correlacionar dados sobre tamanhos de bolhas com
as propriedades do líquido, quando bolhas de gás são formadas por um insuflamento de gás a partir de um pequeno orifício abaixo da superfície do líquido. Assumir que as
variáveis significantes são: o diâmetro da bolha "D", o diâmetro do orifício "d", a massa específica do líquido "ρ", a tensão superficial "τ", a viscosidade absoluta do líquido "µ" e a aceleração da gravidade "g". Encontre os parâmetros adimensionais, sabendo-se que "d", "ρ" e "g" como variáveis repetidas.
Resp.: 23
21321
.. ;
.. ;
dgdgd
D
ρ
µπρτππ ===
31) Na transferência de massa para convecção forçada as variáveis pertinentes são: a
massa específica "ρ" (g/cm3), o comprimento característico "L" (cm), a difusividade mássica "DAB" (cm2/s), a viscosidade absoluta "µ" (g/cm.s), a velocidade "v∞" (cm/s)e do coeficiente de transferência de massa convectivo "Kc" (cm/s). Determine os grupos adimensionais sendo que "µ", "v∞" e "Kc" devem aparecer, cada um, somente em uma equação.
Resp.: AB
C
ABAB DLK
DL
D=== ∞
321 ; v ; ππρ
µπ
32) Um observador olhando a ação de um pêndulo simples observa que seu período de
vibração "τ" depende do comprimento "L" do pêndulo, de sua massa "m" e da aceleração da gravidade "g". Determine, pelo teorema dos "π's" seu período em função dessas variáveis.
Resp.: τ = π1 gL
33) Estabeleça a equação para a velocidade "v" de um corpo que cai livremente de uma
altura "h" a partir do repouso. A velocidade dependerá da aceleração da gravidade "g" e da altura "h".
Resp.: v = g.hK 34) Aplicando o teorema de Buckingham, obtenha o número admensional N1, que
relaciona as seguintes grandezas: Tensão superficial “σ” (Kg/m2), massa específica “ρ” (Kg/m3) e viscosidade dinâmica “µ” (Kg/m.s) do fluido, além da aceleração da gravidade “g” (m/s2). Confirme o resultado através do princípio da homogeneidade dimensional.
Resp.: 35) Em uma experiência de Fenômenos de transportes, um tanque de água, com diâmetro
"D" é drenado a partir do seu nível inicial "h0". O orifício de drenagem, perfeitamente arredondado e de bordas muito lisas, tem um diâmetro "d". Admita que a vazão em massa de saída do tanque é uma função de "h0", "D", "d", "g", "ρ" e "µ", onde "g" é a aceleração da gravidade e "ρ" e "µ" são propriedades do fluido. As variáveis devem ser correlacionadas de forma admensional, empregando-se o teorema de Buckingham. Determine:
a) O número de grupamentos adimensionais resultantes;
b) O grupamento admensional que contém a viscosidade dinâmica; para tal, "d", deve ser considerada uma variável de base.
Resp.: 36) Em uma coluna de spray para transferência de massa, um líquido é aspergido dentro
de uma corrente de ar, e a massa é trocada entre o líquido e a fase gás. A massa das gotas formadas no tubo do spray é considerada como função do diâmetro do tubo "D", da aceleração da gravidade "g", da tensão superficial do líquido contra o gás "σ", da densidade "ρL", da viscosidade dinâmica "µL" e da velocidade "vL" do líquido, viscosidade dinâmica "µG" e densidade média "ρG" do gás. Arranje estas variáveis em grupos adimensionais. Considere "ρL", "µL" e "D" como variáveis repetidas.
Resp.:
L
G
L
G
L
LL
L
L
L
L
L
DDgDD
mρρ
πµµ
πµ
ρπµ
σρπµ
ρπρ
π ====== 654232
32
231 ; ; v ; ; ;
37) coeficiente de transferência de calor "h" foi encontrado dependendo da velocidade "v",
massa específica "ρ", da capacidade calorífica "Cp", viscosidade "µ", condutividade térmica "K" e diâmetro "d" num experimento específico. Determine os números adimensionais, de modo que "h", "Cp" e "v", apareçam cada uma somente uma vez num grupo. Sabendo-se que : Nu = h.d/K ; Pr = Cp.µ / K ; Re = ρ.v.d / µ
Resp.: 38) Verifica-se por experimentos que ∆P = f ( d, L, v, ρ, µ ) onde: ∆P = diferença de
pressão, d = diâmetro do tubo, L = comprimento do tubo, v = velocidade do fluido, ρ = massa específica do fluido, µ = viscosidade do fluido. Encontre os grupos adimensionais de forma que "L" apareça em um só grupo.
Resp.: 0v
;v
;12 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∆ρρ
µπ Pdd
39) A taxa à qual íons metálicos são depositados em um eletrodo rotativo é governada pela
difusão de íons da solução ao eletrodo. O processo parece ser controlado pelas variáveis:
K ( coeficiente de transporte de massa) → [ L/T]; D (coeficiente de difusão) → [ L2/T]; d (diâmetro do disco) → [L]; a (velocidade angular do eletrodo) → [T –1]; ρ ( massa específica) → [M /L3]; µ (viscosidade dinâmica) → [M/LT];
Obtenha um conjunto de grupos adimensionais, de forma que "K", "µ" e "D" apareçam em grupos separados.
Resp.: 0;;. 22 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
µπadad
Dad
K
40) As variáveis necessárias para descrever um problema de transferência de calor são: o comprimento característico "L", a velocidade "v", a densidade absoluta "ρ", o incremento de temperatura "∆T", o coeficiente de expansão volumétrica "β", a aceleração da gravidade "g", a viscosidade dinâmica "µ", a condutividade térmica "K", o coeficiente de transferência de calor "h" e o calor específico "Cp". Determine um conjunto de parâmetros adimensionais aplicando o Teorema de Buckingham.
Resp.: 0v;;v
;v
;v;v
.2
3
3 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∆K
CLKhLgL
LKL
LTK Pρ
ρµβρ
ρπ
41) Para um líquido ideal (µ = 0), expressar a vazão volumétrica "Q", através de um
orifício, em termos de massa específica "ρ" do líquido, do diâmetro do orifício "D", e da diferença de pressão "∆P".
Resp.: 21
2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∆=
ρPKDQ