Notas de F T PARTE 2 Prof. Milton Dall'Aglio Sobrinho

Reviso 1 2012/1 CAPTULO 1 VISCOSIDADE DOS FLUIDOS E REOLOGIA

1.1. VELOCIDADE DE DEFORMAO ....................................................................................... 1 1.2. EQUAO DE NEWTON DA VISCOSIDADE ..................................................................... 3 1.3. MEDIO DA VISCOSIDADE .............................................................................................. 4 1.4. REOLOGIA ........................................................................................................................... 6 1.5. EXERCCIOS ........................................................................................................................ 7

CAPTULO 2 EQUAES BSICAS DE TRANSPORTE ................................................................ 9 2.1. DIFUSO .............................................................................................................................. 9 Difuso de Calor ................................................................................................................... 9 Difuso de Massa ................................................................................................................. 10 Quantidade de Movimento ................................................................................................... 11 Resumindo ........................................................................................................................... 12 2.2. EXEMPLOS NUMRICOS ................................................................................................... 13 2.3. MECANISMO MOLECULAR DA DIFUSO ......................................................................... 15 2.4. FLUXO EM MEIOS POROSOS ............................................................................................ 18 2.5. ADVECO .......................................................................................................................... 19 2.5.1. Ocorrncia da adveco ............................................................................................ 19 2.5.2. Equaes bsicas ...................................................................................................... 21 2.5.3. Mecanismo da Conveco Camada Limite ............................................................. 25 2.5.4. Coeficientes Locais e Coeficiente Global de Transferncia ....................................... 30 2.5.5. Transporte simultneo de duas grandezas ................................................................. 31 2.6. RADIAO: UM TIPO ESPECIAL DE TRANSPORTE ........................................................ 33 2.7. CONSIDERAOES FINAIS .................................................................................................. 36 2.8. EXERCCIOS PROPOSTOS ................................................................................................ 38

CAPTULO 3 DIFUSO UNIDIMENSIONAL .................................................................................... 41 3.1. UMA EQUAO MAIS GERAL PARA A DIFUSO ............................................................. 41 3.2. BALANO DAS GRANDEZAS Equaes de conservao ........................................... 45 3.3. BALANO DE CADA GRANDEZA A PARTIR DO BALANO GERAL ................................ 50 3.4. EXEMPLOS DE APLICAES DO BALANO 1-D ............................................................. 51 3.5. ANLISE QUALITATIVA DO TRANSIENTE UNIDIMENSIONAL ........................................ 58 3.5.1 Transferncia de calor ................................................................................................. 58 3.5.2 Transferncia de massa .............................................................................................. 60 3.5.3 Transferncia de quantidade de movimento .............................................................. 61 3.6. EXERCCIOS PROPOSTOS ................................................................................................ 64

CAPTULO 4 DIFUSO EM 2 E 3 DIMENSES ............................................................................... 71 4.1. FUNDAMENTOS DA DESCRIO 3-D ............................................................................... 71 4.2. EQUAO DOS PROCESSOS DIFUSIVOS EM 3 DIMENSES ........................................ 73 4.3. RELAO ENTRE FLUXO E DENSIDADE DE FLUXO ..................................................... 75 4.4. BALANO GERAL DAS GRANDEZAS TRANSPORTADAS ............................................... 81 4.4.1 Balano de C A L O R ................................................................................................. 83 4.4.2 Balano de M A S S A ................................................................................................. 84 4.4.3 Balano de GUA SUBTERRNEA .......................................................................... 84 4.5. BALANO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO ................................................................ 85 4.5.1 Equao diferencial da quantidade de movimento (Navier-Stokes) ........................... 87 4.5.2 Escoamento entre placas paralelas ............................................................................ 90 4.6. EXERCCIOS PROPOSTOS ................................................................................................ 93

4.7 DIFUSO TRANSIENTE ...................................................................................................... 91

4.7.1 Transientes de sistemas concentrados ....................................................................... 97 4.7.2 Aerao de lquidos bem misturados .......................................................................... 99 4.7.3 Transientes de sistemas distribudos ........................................................................ 101 4.7.4 Medio das propriedades trmicas com ensaios transientes ................................. 108 4.8 EXERCCIOS PROPOSTOS ............................................................................................... 110

CAPTULO 5 TCNICAS DE SOLUO DA EQUAO DA DIFUSO ..................................... 113 5.1. SOLUO NUMRICA DIFERENAS FINITAS ............................................................ 113 5.2 REDES DE FLUXO ............................................................................................................. 122 5.3 MTODO DO BALANO DE ENERGIA ............................................................................ 127 5.4. EXERCCIOS PROPOSTOS .............................................................................................. 133

CAPTULO 6 APLICAO - TRANSFERNCIA DE CALOR ..................................................... 135 6.1 MODOS DE TRANSFERNCIA DE CALOR ...................................................................... 135 6.2 EXEMPLOS UNIDIMENSIONAIS ....................................................................................... 135 6.3 TRANSFERNCIA de CALOR em EDIFICAES ............................................................ 139 6.4. EFEITO DA INRCIA TRMICA DAS COBERTURAS ...................................................... 149 6.4.1. Materiais Ativos no controle das temperaturas ........................................................ 152 6.5. EXERCCIOS DE APLICAO .......................................................................................... 153 6.6. APLICAO Aletas .......................................................................................................... 155

CAPTULO 7 APLICAO TRANSPORTE DE MASSA ............................................................ 157 7.1 EQUAO DA DIFUSO .................................................................................................... 157 7.1.1 Equao de Fick da Difuso Molecular ..................................................................... 157 7.1.2 Soluo Fundamental da Equao ........................................................................... 157 7.2 SOLUES DA EQUAO DA DIFUSO ....................................................................... 162 7.2.1 Lanamento de Massa Instantneo na Origem ........................................................ 162 7.2.2 Lanamento Fora da Origem .................................................................................... 162 7.2.3 Distribuio Inicial de Massa ..................................................................................... 164 7.2.4 Funo Degrau .......................................................................................................... 166 7.2.5 Concentrao Fixa na Origem a Partir de t = 0 ........................................................ 167 7.2.6 Concentrao Definida em Funo do Tempo ......................................................... 169 7.2.7 Fluxo de Massa Definido em Funo do Tempo ...................................................... 170 7.2.8 Fonte de Massa Distribuda m(x,t) ............................................................................ 171 7.2.9 Efeito dos Contornos ................................................................................................. 171 7.2.10 Solues em 2 e 3 Dimenses ............................................................................... 175 7.3 DIFUSO COM ADVECO ............................................................................................. 176 7.3.1 Equaes ................................................................................................................... 176 7.3.2 Soluo para Difuso Longitudinal ........................................................................... 179 7.3.3 Soluo para Difuso Transversal ............................................................................ 181 7.3.4 Soluo para Concentrao Constante na Origem .................................................. 182 7.3.5 Lanamento Constante na Origem em 3-D .............................................................. 182 7.4 DIFUSO TURBULENTA .................................................................................................. 184 7.4.1 Escoamentos Turbulentos ......................................................................................... 185 7.4.2 Escalas de Turbulncia ............................................................................................. 186 7.4.3 Espalhamento de um Traador em Escoamento Turbulento ................................... 187 7.4.4 Difuso em Escoamentos Turbulentos ..................................................................... 189 7.4.5 Valores empricos da Difusividade Turbulenta .......................................................... 191 7.4.6 Lanamento de efluentes em rios ............................................................................. 193 7.5 EXERCCIOS PROPOSTOS ............................................................................................. 195

PARTE 2 PROCESSOS DIFUSIVOS

CAPTULO 1 VISCOSIDADE DOS FLUIDOS E REOLOGIA

Quando submetido a uma dada tenso de cisalhamento um fluido deforma-se porque as suas molculas comeam a deslizar umas em relao s outras com uma velocidade que inversamente proporcional a uma constante chamada viscosidade dinmica, .. possvel quantificar o deslizamento das camadas do fluido por meio do conceito da velocidade de deformao.

1.1. VELOCIDADE DE DEFORMAO

Inicialmente precisamos imaginar como podemos submeter uma camada de fluido

a uma velocidade de deformao controlada. Isso pode ser feito por meio de duas placas planas paralelas, com fluido entre elas. Um exemplo prtico dessa situao ocorre num mancal cilndrico com uma pequena folga entre o eixo e o mancal preenchida com um fluido lubrificante, conforme a Figura 1.1-a.

b) perfil de velocidades

mancal

eixoV

Rr r

t 0 t1 t2 t3

c) deformao de uma) mancal com eixo elemento de fluido resultante

Figura 1.1: Exemplo de situao com fluido submetido a deformao

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_____ Perfil de Velocidades

O fluido adere s superfcies slidas, tanto a do mancal parado como a do eixo em rotao. No interior do fluido, desde que a folga entre o eixo e o mancal seja pequena, ir se desenvolver um perfil de velocidades linear, conforme mostrado em 1.1-b. Se pudermos marcar no instante inicial t0 uma linha de tempo com traador na forma de um pequeno elemento retangular no interior do fluido, veremos que com o passar do tempo ocorre uma mudana na sua forma. Esse comportamento pode ser visto na Figura 1.1-c, para os tempos t1, t2, e t3 , em que o elemento deforma-se progressivamente porque sua face superior avana com uma velocidade maior que a inferior.

A Figura 1.2 permitir definir o ngulo de deformao e apresentar o conceito de velocidade de deformao.

Figura 1.2: ngulo e velocidade de deformao num elemento de fluido

As faces superior e inferior do elemento de fluido da fig. 1.1 possuem velocidades diferentes. A face superior desloca-se mais rapidamente e, ao fim de um intervalo de tempo t ocorrer uma deformao (fig. 1.1b), dada pelo ngulo de deformao .

hx

tgarc

1.1

Supondo um tempo muito pequeno, o ngulo de deformao tambm ser pequeno, de forma que vale:

hxtg

1.2

fcil imaginar que o ngulo cresce com o tempo, sendo que a velocidade com que ele aumenta a velocidade de deformao do elemento. Portanto, a velocidade de deformao , por definio, a taxa de variao no tempo do ngulo de deformao:

hV

thtV

thx

t

1.3

F

V

x

h

t t + t

ngulo de deformao = velocidade de deformao = / t

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A unidade da velocidade de deformao s-1.

1.2. EQUAO DE NEWTON DA VISCOSIDADE

A relao entre a velocidade de deformao e a tenso de cisalhamento necessria para provocar a deformao foi investigada experimentalmente. Para um grande nmero de fluidos descobriu-se que a tenso era diretamente proporcional velocidade de deformao. A constante de proporcionalidade foi chamada de viscosidade dinmica do fluido, ou seja:

1.4

no limite, quando a espessura do elemento tende a zero, podemos definir a tenso de cisalhamento num ponto por meio da derivada da velocidade em funo de h:

lim

1.5 Os fluidos que obedecem relao linear entre tenso de cisalhamento e velocidade de deformao so chamados de Newtonianos. Os demais, por excluso, so chamados de fluidos no newtonianos. As dimenses da viscosidade dinmica so obtidas a partir da equao de Newton. Isolando a viscosidade na equao 1.5 e substituindo as dimenses resulta:

A unidade de viscosidade no SI Pa.s (N.s/m2), ou kg/m.s, e no possui nome especial. Ainda se encontra quem use a viscosidade no sistema cgs, denominada poise (1 d.s/cm2 ou 1 g/cm.s). Um poise dez vezes menor que um Pa.s. _____ Relao com o transporte de quantidade de movimento

Observe na Figura 1.1 que a fora F transformada em tenso de cisalhamento na interface entre a placa superior (eixo) e o fluido, e da transmite-se para baixo at placa inferior (mancal), onde a fora reaparece como reao a F. Portanto, a grandeza transportada tem dimenso de quantidade de movimento por unidade de rea por unidade de tempo. Esta concluso obtida da equao dimensional a seguir:

/

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Assim, podemos dizer que a tenso de cisalhamento um fluxo de quantidade de movimento por unidade de rea, ou uma densidade de fluxo de quantidade de movimento. Portanto, conclumos da equao de Newton da viscosidade que ocorrer um transporte de quantidade de movimento na direo perpendicular s velocidades, sempre que houver diferena de velocidades no interior de um fluido. Este um dos fenmenos responsveis pelas caractersticas adquiridas por um escoamento. Outro fator importante a adeso do fluido s superfcies slidas ou contornos em contato com o escoamento. Esta condio verificada experimentalmente. _____ Mecanismo da Viscosidade Sabe-se que a viscosidade dos gases aumenta com a temperatura e a dos lquidos diminui. Essa diferena de comportamento pode ser explicada examinando-se o mecanismo responsvel pela viscosidade, composto de coeso e transferncia de quantidade de movimento a nvel molecular.

Num lquido as foras de coeso so predominantes devido menor distncia entre as molculas. Quando aumenta a temperatura, as distncias intermoleculares aumentam, diminuindo a coeso e, portanto, a viscosidade.

Nos gases o comportamento difere porque as foras de coeso so muito pequenas, devido distncia maior entre as molculas. A resistncia ao movimento relativo nos gases oferecida principalmente pelo mecanismo de troca de quantidade de movimento molecular. O intercmbio de quantidade de movimento entre duas camadas com velocidades relativas diferentes de um fluido ocorre devido agitao molecular. Qualquer fronteira entre duas camadas de fluido continuamente atravessada por molculas. Este movimento leva as molculas mais lentas a se chocarem com as da camada mais rpida, e vice-versa, originando o aparecimento das foras entre as duas camadas. Como a agitao molecular cresce com a temperatura, tambm cresce o nmero de molculas que cruzam a fronteira entre as camadas, causando aumento das foras. Este acrscimo reflete-se no aumento da viscosidade dinmica dos gases com a temperatura. 1.3. MEDIO DA VISCOSIDADE O mtodo bsico para determinao da viscosidade utiliza diretamente a equao de Newton, aplicando-a a uma situao em que o gradiente de velocidade e a tenso de cisalhamento so conhecidas. O gradiente aplicado por meio de cilindros coaxiais com uma pequena folga preenchida com o fluido. A tenso determinada a partir da medio do momento necessrio para girar um dos cilindros. O esquema da Figura 1.3 ilustra esquematicamente o dispositivo.

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Figura 1.3: Viscosmetros rotatrios (esquemtico). Fonte: Street, p.490.

No viscosmetro de cilindros concntricos mede-se o torque necessrio para provocar uma dada velocidade de rotao conhecida. Conhecendo-se a geometria dos cilindros, pode-se calcular a viscosidade dinmica. Usando a notao da Figura 1.3 as equaes ficam:

2 1.6 sendo que a tenso de cisalhamento dada pela equao 1.5.

2 1.7 A velocidade de deformao w pode ser calculada facilmente quando a folga DR

entre os cilindros, pequena em relao ao raio R. Nesse caso, desenvolve-se um perfil linear de velocidades variando entre 0 no cilindro externo e a velocidade tangencial no cilindro interno. Assim o gradiente fica:

1.8

Substituindo 1.7 e 1.8 em 1.6 e resolvendo em funo de m obtm-se:

1.9

A equao 1.9 mostra que medindo o torque e a velocidade de rotao do cilindro interno, sendo conhecida a geometria do viscosmetro, pode-se determinar a viscosidade dinmica do fluido.

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1.4. REOLOGIA

O estudo da deformao dos fluidos na presena de tenses de cisalhamento chamado de Reologia. Fluidos que seguem a equao de Newton possuem uma relao linear entre a velocidade de deformao e a tenso de cisalhamento e so chamados de Fluidos Newtonianos. Por oposio, os fluidos que no se enquadram na relao linear so chamados de Fluidos No Newtonianos. Um fluido no newtoniano comum o creme dental. Ele se comporta como fluido, escoando para fora do tubo, mas uma pequena poro de pasta pode ser mantida na ponta do tubo de forma que seria impossvel para a gua, por exemplo, ou mesmo para o mel, bastante viscoso. Os fluidos no newtonianos podem ser divididos em Viscoelsticos, Dependentes do tempo e Independentes do tempo. Os dependentes do tempo podem ser Reopticos ou Tixotrpicos. Os tixotrpicos tm a viscosidade diminuda com o tempo de aplicao da tenso de cisalhamento. As tintas so um exemplo de fluido tixotrpico. Os reopticos aumentam a viscosidade com o tempo de aplicao da tenso de cisalhamento. Um exemplo a argila bentonita. Os fluidos no newtonianos cuja viscosidade no depende do tempo de aplicao da tenso de cisalhamento podem apresentar ou no uma tenso inicial mnima para iniciar o movimento. O seu comportamento pode ser resumido no diagrama reolgico da Figura 1.4.

Figura 1.4: diagrama reolgico de fluidos newtonianos e no newtonianos independentes do tempo.

Os fluidos viscoelsticos sofrem deformao quando submetidos tenso (comportamento viscoso), mas quando a tenso retirada ocorre uma recuperao parcial da deformao sofrida (comportamento elstico). Um exemplo a massa de farinha de trigo.

Newtoniano

Dilatante

PseudoplsticoPlsticodeBingham

VelocidadedeDeformao(1/s)

Tensode

Cisalham

ento(P

a.s)

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1.5. EXERCCIOS

1.4.1 Faa uma pesquisa na Internet para identificar fluidos no newtonianos de interesse para a engenharia civil e ambiental. 1.4.2 Um cilindro de Raio R = 120 mm gira concentricamente dentro de um cilindro fixo de raio r = 126 mm. Ambos os cilindros tm 350 mm de comprimento. Pede-se calcular a viscosidade dinmica () do lquido que preenche o espao entre os cilindros, sabendo que um torque de 10 Nm necessrio para uma velocidade angular de 60 rpm.

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CAPTULO 2 EQUAES BSICAS DE TRANSPORTE

2.1. DIFUSO

A difuso ocorre devido a uma distribuio desigual da grandeza no meio e

ocorrer sempre no sentido de buscar a diminuio das diferenas. Observaes experimentais conduzidas desde o sculo 19 revelaram que o fluxo

difusivos diretamente proporcional variao unitria do potencial no espao e rea da seo que conduz o fluxo. A forma mais simples da equao, vlida apenas para regime permanente unidimensional em rea constante, pode ser escrita como:

LPACteF

2.1

em que P o potencial do transporte e P/L sua variao por unidade de comprimento na direo do fluxo, ou variao unitria do potencial; Cte a constante de proporcionalidade, tambm chamada de Coeficiente Fenomenolgico, porque seu valor depende da grandeza considerada; A a rea atravs da qual passa o fluxo.

As equaes fenomenolgicas, como seu nome indica, so equaes empricas, ou seja, obtidas a partir de observao experimental. Isto significa que essas equaes apenas quantificam o transporte das grandezas, sem explicitar as suas causas, normalmente associadas a mecanismos moleculares no caso da difuso.

Difuso de Calor

A equao fenomenolgica 1-D conhecida como a equao de Fourier. Um experimento simples para sua demonstrao aparece na figura 2.1. Dois corpos de prova iguais, de seo constante A e comprimento L so submetidos em suas extremidades a duas temperaturas diferentes e constantes no tempo.

Banho 1

isolamento

Banho 2

T1

amostra 1 amostra 2

F F

aquecedor

T1T2T2

Figura 2.1: Esquema experimental para estudo da conduo de calor

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A temperatura T2 atingida em funo da dissipao de uma potncia conhecida pelo aquecedor eltrico entre as amostras e a temperatura T1 imposta pelos banhos termostticos que atuam como sumidouros do calor transferido. Como as amostras so iguais cada uma transfere metade da potncia dissipada pelo aquecedor eltrico. Variando-se a potncia dissipada, a temperatura dos banhos termostticos e os materiais dos corpos de prova pode-se obter facilmente uma grande quantidade de dados. Pode-se demonstrar que o fluxo de calor transferido dado por:

LTAkFq

2.2

Fq = fluxo de calor transferido por conduo ( W ou J / s ) k = condutividade trmica ( W / mC ou W / m K ) T = diferena de temperatura no corpo de prova ( C ou K ) L = comprimento do corpo de prova ( m )

Comparando-se as equaes 2.1 (geral) e a 2.2 (calor) percebe-se que na difuso de calor o potencial a temperatura e a constante de proporcionalidade a condutividade trmica do material.

Difuso de Massa

Um arranjo experimental relativamente simples para estudar a difuso de massa pode ser implementado com vapor de gua no ar estagnado entre duas placas porosas, conforme esquema da figura 2.2.

gua

slica gel

sC

oCar placas porosas

Fbureta

L

rea A

Figura 2.2: Esquema de um experimento para estudar a difuso de massa

No recipiente superior existe presso negativa, que succiona a gua das mangueiras de alimentao, permitindo que o volume transferido seja determinado pela leitura do nvel na bureta. O ar no penetra na cmara superior devido tenso superficial nos poros da placa porosa. A variao da concentrao ocorre na camada de ar de espessura L porque a slica gel tem a capacidade de absorver toda a umidade que chega placa inferior. O equipamento da figura 2.2 permite variar facilmente o comprimento L e a rea exposta das placas porosas. O experimento deve ficar sob temperatura controlada e a concentrao Cs pode ser mudada variando-se a temperatura do ar.

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A equao que descreve os resultados experimentais na difuso de massa a equao de Fick. Para o regime permanente no meio de seo constante da Figura 2.2 os resultados experimentais mostram que :

L

CADF AB,AA 2.3

FA = fluxo difusivo de massa da substncia A ; ( kg / s ) CA = concentrao do soluto (substncia A) no meio (substncia B) ; ( kg/m3 ) DA,B = difusividade de A em B ; ( m2/s ) L = comprimento do meio onde se difunde a substncia A.

Comparando-se as equaes 2.1 (geral) e a 2.3 (massa) vemos que na difuso de massa o potencial a concentrao e a constante de proporcionalidade a difusividade da substncia A no meio B. Portanto a difusividade uma propriedade da mistura e no da substncia que se difunde.

QUANTIDADE DE MOVIMENTO

Imaginemos duas placas paralelas, com fluido entre elas. Um exemplo prtico desta situao um mancal cilndrico com uma pequena folga entre o eixo e o mancal preenchida com um fluido lubrificante, conforme a figura 2.3.

Figura 2.3

F

R

V

mancal

a) mancal deslizante b) perfil de velocidades

mancal

eixoV

L

Com esse exemplo, ao verificarmos que aparece no mancal uma reao R igual fora F aplicada no eixo e de sentido contrrio, podemos dizer que a fora foi transferida pelo fluido entre o eixo e o mancal.

Para ocorrer essa transferncia foi necessrio que a fora F provocasse uma movimentao nas camadas de fluido e essa movimentao deu origem a uma tenso de cisalhamento (N/m2 ) no interior do fluido, dada por: A

F 2.4 onde A a rea de contato entre o eixo e o mancal.

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Percebemos ento que os fluidos, por meio do movimento, so capazes de transferir uma tenso de cisalhamento entre dois pontos. Em nosso exemplo a tenso de cisalhamento se propagou para o mancal devido viscosidade do fluido, fazendo surgir no mancal uma fora de igual valor, obrigando-nos a exercer uma reao em sentido contrrio para mant-lo no lugar.

Verificando as dimenses da grandeza transportada, vemos que:

rea

TempoMovimento.Quant

]L[T

TLM

]L[TLM

AF][

22

2 2.5

A tenso de cisalhamento que se propaga representa um fluxo de quantidade de movimento por unidade de rea, ou seja, uma densidade de fluxo.

Comparando a transferncia de quantidade de movimento com a difuso de massa e com a conduo de calor parece existir uma grande diferena, visto que h velocidades de fluido envolvidas. Entretanto, a diferena s aparente pois o fluido no se desloca na direo do transporte da quantidade de movimento e o mecanismo molecular envolvido semelhante. As molculas de fluido aderem ao eixo e ao mancal, fato que pode ser comprovado experimentalmente. Para compatibilizar estes deslocamentos, desenvolve-se no fluido uma distribuio de velocidades, partindo do zero, junto ao mancal, at V, junto ao eixo, conforme se v na figura 2.3b.

Para que o eixo se desloque necessria uma fora. Variando-se a fora aplicada e medindo-se a velocidade resultante, pode-se demonstrar experimentalmente que a fora F dada pela equao de Newton:

LVAF

(vlida apenas para perfil linear de velocidades) 2.6

em que = viscosidade dinmica (kg /s m) ou (Pa s) V = variao da velocidade no fluido (m/s) L = espessura da camada de fluido (m) A = rea lateral do eixo (m2)

A equao de Newton da viscosidade mostra que ocorrer um transporte de quantidade de movimento na direo perpendicular s velocidades, sempre que houver diferena de velocidades no interior de um fluido. O potencial do transporte a velocidade e a constante de proporcionalidade a propriedade do fluido chamada viscosidade dinmica ..

RESUMINDO

A difuso das grandezas (massa, calor ou quantidade de movimento) ocorre sempre que houver uma fora motriz, causada pela distribuio desigual da grandeza no meio, chamada de potencial. A quantidade transportada proporcional a uma propriedade caracterstica do meio, e intensidade da fora motriz, dada pelo variao do

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potencial. A difusividade D, a condutividade trmica k e a viscosidade so as constantes de proporcionalidade que relacionam o gradiente do potencial ao seu resultado, que a transferncia da grandeza por unidade de tempo, ou Fluxo.

2.2. EXEMPLOS NUMRICOS

Exemplo 2.1: Um medidor de condutividade trmica utiliza um aquecedor eltrico entre duas amostras iguais, conforme a figura. As amostras possuem 50mm de dimetro e 90mm de comprimento. As chapas metlicas das extremidades so mantidas a temperatura uniforme Tf = 70C por meio da circulao de um fluido refrigerante. Todas as superfcies de contato recebem uma camada de graxa condutora, de forma que podem ser desprezadas as diferenas de temperatura nas interfaces de contato. Nas amostras ficam embutidos termopares diferenciais espaados de 15mm. As faces laterais das amostras so termicamente isoladas. Com duas amostras de ao o aparelho consome 0,3A a 100V e os termopares diferenciais indicam T1 = T2 = 25C. Qual a condutividade trmica das amostras?

T1 T2

amostra amostra

Chapa T constante

isolamento

Aquecedor Anlise: As temperaturas das extremidades so mantidas constantes pelo banho refrigerador e as laterais da amostra so isoladas, de forma que a transferncia de calor atravs das amostras pode ser considerada unidimensional (1-D) e em regime permanente. Alm disso, as amostras so homogneas (mesmo K) e de rea constante. Portanto aplicvel a equao 2.2.

LTAkF

Conhecidos: A = D2/4 = 0,0502/4 = 0,00196m2 T = 25C (igual nas duas amostras; o problema simtrico) L = 0,015m ( distncia entre os dois termopares em cada amostra) F = ? pode ser determinado com os dados fornecidos k = ? incgnita do problema A potncia inserida pelo aquecedor divide-se igualmente entre as duas amostras, devido simetria amostras iguais e temperaturas iguais nos dois lados. Assim, pode-se calcular o Fluxo que atravessa cada amostra. Clculos: F = 0,5 R I2 = 0,5 V I = 0,5 100 0,3 = 15 W Substituindo-se os valores conhecidos na equao 2.2 e resolvendo em funo de k obtm-se k = 4,6W/mC.

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Resposta: A condutividade trmica das amostras k = 4,6 W/mC.

Exemplo 2.2: Um eixo com 25mm de dimetro desliza num mancal cilndrico com velocidade 1,0m/s. O mancal tem uma folga radial de 0,1mm, lubrificada por um leo com viscosidade 0,08 N.s/m2. Calcule a fora exercida sobre o mancal.

F

F = ?

V

mancal

Perfil de velocidades

1,0 m/s

0,1mm

50 mm

25 mm

Anlise: Considerando escoamento laminar do leo entre o eixo e o mancal, pode-se adotar um perfil de velocidades linear, devido pequena folga entre o eixo e o mancal. O problema tem uma simetria axial, com V = 1,0m/s junto ao eixo e nula junto ao mancal (adeso do fluido aos contornos slidos). Sendo o regime permanente pode-se adotar a equao 2.6 para calcular o fluxo de quantidade de movimento transferido entre o eixo e o mancal. Rigorosamente falando, no seria possvel aplicar a equao 2.6, porque a rea no constante, ou seja, a superfcie do eixo em contato com o leo menor que a do mancal. Mas, como a folga radial (0,1mm) muito pequena em relao ao raio (12,5mm), pode-se considerar vlida a hiptese de rea constante.

Equao 2.6: LVAF

Conhecidos: A = 0,025 0,05 = 0,0039m2 (superfcie do eixo em contato com o mancal) V = 1,0m/s L = 0,0001m (folga radial preenchida pelo fluido) = 0,08 N.s/m2 (viscosidade do fluido) Clculos: Substituindo os valores na equao 2.6 e resolvendo vem:

F = 0,08 0,0039 (1,0/0,0001) = 3,12 N. Resposta: A fora transmitida ao mancal pelo movimento do eixo F = 3,12N. Exemplo 2.3: Um tubo de slica fundida com 25mm de dimetro, 2m de comprimento e parede com espessura 2mm, contm gs hlio a 20C e presso absoluta de 4 atmosferas. Sabendo que a difusividade do hlio na slica 0,4x10-13 m2/s, calcule o fluxo de hlio atravs da parede do tubo. A solubilidade do hlio na slica fundida 0,00045 kmol/m3.bar e a massa molecular do gs hlio MA = 4kg/kmol. Anlise: trata-se de difuso de um gs atravs de um slido entre a face interior e exterior do tubo; como no exemplo anterior a rea no constante, mas pode ser aproximada pela rea interna. Com essas consideraes, o problema torna-se unidimensional na direo radial, podendo ser usada a equao 2.3.

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L

CADF AAB

Conhecidos: A = 0,025 2 = 0,157m2 (rea lateral interna do tubo) DAB = 0,4x10-13 m2/s (difusividade do He na slica) L = 0,0025m (espessura da parede do tubo) CA = ? (variao da concentrao em kg/m3)

As concentraes na parede do tubo no foram dadas, mas podem ser calculadas a partir da solubilidade do gs no slido SAB = 0,00045 kmol/m3.bar. As presses interna e externa so, respectivamente 4 bar e 1 bar (absolutas).

Sabe-se que a concentrao dada por: CAB (kg/m3) = MA SAB PA, Equao (a)

sendo MA a massa molecular (kg/kmol), SAB a solubilidade do elemento A (gs) no elemento B (slica fundida) e PA a presso do gs (elemento A); Clculos:

Com os dados fornecidos pode-se calcular as concentraes do hlio no interior da parede do tubo com a equao (a). Tem-se : superfcie interna do tubo Ci = 4 x 0,00045 x 4 = 0,0072kg/m3

superfcie externa do tubo CE = 4 x 0,00045 x 1 = 0,0018kg/m3 variao da concentrao C = 0,0054kg/m3 . Substituindo-se os valores conhecidos na equao 2.3 tem-se o fluxo de hlio em kg/s:

F = 0,4x10-13 (m2/s) x 0,157 (m2) x 0,0054/0,0025 (kg/m3.m) = 1,36x10-14 kg/s A perda praticamente desprezvel, devido baixssima difusividade do gs hlio na slica fundida.

2.3. MECANISMO MOLECULAR DA DIFUSO

Calor: Na difuso de calor ocorre o transporte difusivo de energia de uma regio para

outra, como resultado da existncia de uma diferena de temperatura entre elas. A transferncia de energia por difuso conhecida tambm como transmisso de calor por conduo. A conduo do calor tende a igualar a temperatura de um meio, seja ele slido, lquido ou gasoso, ocorrendo no sentido das maiores temperaturas para as menores.

Para entender como o calor flui desta maneira podemos recorrer teoria cintica. A temperatura de um elemento depende da energia cintica mdia de suas molculas, um dos componentes da energia interna. Quando as molculas de uma regio adquirem uma energia cintica mdia maior, isto percebido macroscopicamente por um aumento de temperatura. Molculas de maior energia cintica transferem sua energia para as mais lentas atravs de impactos elsticos no caso dos fluidos. No caso dos slidos a vibrao das molculas transmitida s adjacentes por meio de foras intermoleculares de atrao e repulso. Sempre que houver diferenas de energia cintica entre molculas de regies adjacentes haver a transmisso desta energia entre as molculas. O efeito

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macroscpico observvel uma equalizao da temperatura. Alm deste mecanismo, existe tambm transferncia de energia atravs da difuso de eltrons nos materiais condutores de eletricidade.

Podemos pensar tambm num modelo analgico para os slidos, constitudo por massas unidas por molas, que representam a intensidade das foras intermoleculares. Se as molas forem mais fortes a vibrao ser propagada mais rapidamente.

Esta habilidade de transmitir a energia em nvel molecular resulta na propriedade observvel macroscpica chamada Condutividade Trmica.

A transferncia por difuso o nico mecanismo em que o calor transmitido em slidos opacos. Ela tambm importante nos fluidos, embora no acontea de forma isolada, mas em conjunto com a adveco. Isto porque em fluidos um aumento de temperatura causa mudanas na massa especfica.

Massa:

A difuso de uma determinada substncia, slida lquida ou gasosa, ocorre no interior de um meio (tambm slido, lquido ou gasoso), sempre que ela no se encontrar uniformemente distribuda, dando origem a gradientes de concentrao. Ressalte-se que no caso de difuso de slidos em slidos, alm do gradiente necessrio que a temperatura seja suficientemente elevada.

Para entender como a simples existncia de uma diferena de concentrao age como fora motora de um transporte de massa, devemos lembrar que as molculas de um fluido esto em permanente movimentao aleatria (movimento Browniano), colidindo umas com as outras, e com qualquer pequena partcula em suspenso no fluido, descrevendo trajetrias completamente aleatrias. Imagine um meio com variao na concentrao de uma substncia em apenas uma direo. Isto pode ser visualizado na figura 2.4, em que a substncia dissolvida representada pelos pontos, cujo nmero proporcional concentrao.

Figura 2.4: i - 1 i i + 1

Supondo duas fatias adjacentes quaisquer i e i+1, vemos que, devido ao movimento aleatrio, a probabilidade de que qualquer partcula cruze a fronteira indo da fatia esquerda para a direita igual de que uma partcula da direita venha para a esquerda.

Imagine para maior clareza que existam 20 molculas esquerda e 40 direita da fronteira conforme a figura 2.5 e que a probabilidade de que qualquer partcula, considerada individualmente, ultrapasse a fronteira num intervalo t seja de 20%.

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Aps t espera-se que em mdia 4 (20 x 0.2) molculas tenham se deslocado para a direita, e no mesmo tempo, 8 (40 x 0.2) tenham sado da fatia direita para a esquerda. Ao fim do perodo t, a diferena de concentrao entre as fatias diminuiu, tornando claro o aspecto fundamental da difuso, que a transferncia de massa no sentido de diminuir as diferenas de concentrao.

Figura 2.5

n = 20 n = 40

tempo t

tempo t + t

n = 20

n = 12

n = 24 n = 36

4

8

Prolongando-se este raciocnio por mais alguns intervalos de tempo, chega-se facilmente concluso de que quanto maior a diferena de concentrao entre duas regies adjacentes, maior ser a transferncia de massa. Para uma dada mistura, ento, a transferncia de massa por difuso proporcional variao da concentrao.

Outro ponto interessante do nosso modelo ilustrativo o valor da probabilidade usada, que foi arbitrariamente definido. Qualquer mudana no seu valor altera tambm em igual proporo a velocidade de transferncia. Esta probabilidade simula a propriedade das misturas chamada Difusividade do elemento A em B, DAB . No exemplo, a substncia dissolvida A representada pelos pontos, e B (meio) representado pelas fatias. A difusividade nos revela com que facilidade uma substncia se difunde no meio

Quantidade de movimento:

A tenso de cisalhamento se propagou para o mancal devido viscosidade do fluido, fazendo surgir no mancal uma fora de igual valor, obrigando-nos a exercer uma reao em sentido contrrio para mant-lo no lugar.

A viscosidade uma propriedade observvel macroscopicamente que surge como resultado de dois tipos de interao entre as molculas: as foras de adeso e o intercmbio de quantidade de movimento por meio de colises.

Nos lquidos predominam as foras de adeso e nos gases, com molculas mais distantes, predominam as trocas resultantes de colises. Isto explica porque os lquidos tem sua viscosidade diminuda com o aumento da temperatura, pois com a dilatao as molculas se afastam, diminuindo a fora de atrao entre as molculas. Nos gases essa adeso tambm diminui, mas como os choques transmitem a maior parte do fluxo, o aumento da agitao molecular compensa a diminuio da adeso e a viscosidade aumenta com a temperatura.

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2.4. FLUXO EM MEIOS POROSOS

Embora seja um transporte advectivo, o escoamento de gua em meios porosos possui uma equao fenomenolgica formalmente idntica equao dos processos difusivos. Isto acontece porque o escoamento normalmente laminar no interior dos solos, levando a uma relao linear entre velocidade e diferena de carga. Em escoamentos turbulentos vistos normalmente em FT1 isto no ocorre.

A investigao experimental deste fenmeno utiliza amostras de material poroso compactados em cilindros chamados permemetros. As amostras so submetidas a diferentes cargas hidrulicas, medidas por piezmetros, conforme esquema da figura 2.6. O volume de gua que atravessa o corpo de prova em um determinado tempo medido, determinando-se a vazo.

solo

rea A

Q

L

hpiezmetros

Figura 2.6: Esquema experimental bsico para o Fluxo em meios porosos

A equao bsica que descreve os resultados experimentais para este caso conhecida como equao de Darcy.

LhAKAVQ

2.7

Q = Fluxo de Volume, ou Vazo (m3/s) V = Velocidade de Darcy ( ou velocidade fictcia ou aparente ) (m/s) h = variao do potencial total ( ou carga hidrulica ) (m) A = rea total da seo transversal do solo (m2) K = condutividade hidrulica saturada ou permeabilidade (m/s)

A carga hidrulica total o potencial do movimento e definida por:

g

VPzh2

2

2.8

A velocidade da frmula chamada de velocidade fictcia, ou velocidade de Darcy porque diferente da velocidade real da gua no meio poroso. Isto porque a gua se move no interior dos poros do solo, numa rea muito menor que a rea total da seo.

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A condutividade hidrulica saturada, ou permeabilidade, depende do tipo de fluido ( no caso, gua), da estrutura e grau de compactao do solo (que afeta o tamanho e quantidade de poros) e da temperatura ( que atua na viscosidade do fluido). Valores de K variam 12 ordens de grandeza nos solos, rochas e materiais granulares naturais:

Cascalho : 10 -3 a 10 5 m/s Areia: 10 -6 a 0,01 m/s Silte: 10 -9 a 10 -5 m/s Arenito 10 -10 a 10 -6 m/s.

Exemplo 2.4: Uma trincheira de 300m de comprimento deve ser escavada paralelamente e a 240 m de um rio, conforme a figura. No local existe uma camada de solo permevel com uma espessura de 4,5m. A condutividade hidrulica do solo de 4,5m por dia. Se o nvel da gua na trincheira deve ser mantido 3m abaixo do nvel da gua no rio, mas ainda acima do topo do aqfero, determine a vazo a ser bombeada para fora da trincheira.

3m

RioTrincheira

Aqfero - solo permevel

Solo no permevel

Anlise: Pode-se considerar escoamento 1-D com rea constante, sendo vlida a equao 2.7. A variao da carga total a diferena de nvel da gua entre o rio e a trincheira. So conhecidos: h = 3,0m L = 240m A = 4,5 x 300 = 1350 m2 (rea transversal ao fluxo) K = 4,5 (m/dia) x 1/(3600 x 24 ) (dia/s) = 5.21x10-5 m/s Clculos: Substituindo os valores: Q = 5,21x10-5 x 1350 x 3,9/240 = 0,0014 m3/s Resposta: A vazo que deve ser retirada da trincheira para manter o nvel 1,4 litros por segundo.

2.5. ADVECO

2.5.1. Ocorrncia da adveco

Os processos advectivos so aqueles em que as quantidades das grandezas so transportadas mecanicamente no interior de fluidos em movimento.

Os efeitos da adveco de quantidade de movimento so as foras e distribuies de presso que ocorrem no interior dos escoamentos e nas fronteiras slidas de objetos

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em contato com o fluido em escoamento. So estudados pela hidrodinmica e no possuem nome especial. Mesmo no estudo da difuso no interior de corpos slidos a adveco pode ser necessria para equacionar uma condio de contorno advectiva, nas faces em que o slido est exposto ao fluido. Sempre que existir uma superfcie de interface entre um slido e um fluido haver uma condio de contorno advectiva nessa superfcie.

Como exemplo pense numa parede plana com difuso 1-D de calor em seu interior. O calor que vem do interior da parede chega superfcie e transferido na interface slido-fluido, conforme o esquema da figura 2.7. Neste caso, como o movimento do fluido provocado pela transferncia da grandeza que est sendo transportada temos a adveco natural.

qk

Difuso

T s

T ar

Ar aquecido sobe adveco

Ar frioSuperfciequente

calor aquece o ar

F

Figura 2.7: Transferncia advectiva de calor numa interface slido fluido.

Exemplo de adveco natural A transferncia de calor por adveco chamada tambm de conveco de calor. No exemplo da figura 2.7 o ar se aquece em contato com a parede quente, fica menos denso e sobe. O movimento do fluido depende da existncia do fluxo de calor e provocado por ele. Por isso o fenmeno que ocorre chamado de adveco natural, ou, tambm, conveco natural de calor.

Um exemplo de adveco na transferncia de massa ocorre em um solo mido transferindo umidade (vapor de gua ) para o ar seco, conforme ilustrado pela figura 2.8.

C s

Difuso de massa

ar seco

C o ar mido

Solo mido

Figura 2.8: Transferncia advectiva de calor e massa numa interface slido fluido.

Exemplo de adveco forada pelo vento

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No exemplo da figura 2.8 j ocorria o escoamento do fluido, independente da

transferncia de massa. O fluxo no foi provocado pela transferncia de massa. Por isso, nesse caso, o fenmeno da transferncia de massa uma adveco forada, ou ainda, conveco forada.

A transferncia por conveco entre uma superfcie e o fluido circundante ocorre em vrias etapas. Em primeiro lugar h uma transferncia por difuso da superfcie para as partculas adjacentes do fluido. Essa difuso aumenta a quantidade da grandeza nas partculas fluidas, que se movem ento para outra regio, levando consigo quantidades da grandeza transportada.

No caso do calor, a energia transmitida por conduo para o fluido, que a armazena atravs de um aumento de temperatura. Ao se movimentarem, estas partculas levam o calor para outras regies, sendo substitudas por outras pores de fluido mais frias.

A conveco de massa ocorre em micro escala da mesma forma que a conveco de calor. O transporte inicia-se com difuso molecular de massa para as partculas de fluido adjacentes, que acumulam esta massa atravs do aumento de concentrao. Depois, com o movimento, estas pores de fluido so carregadas para longe, sendo substitudas por outras pores de fluido com menor concentrao da substncia advectada.

2.5.2. Equaes bsicas

A equao fenomenolgica utilizada para quantificar a adveco ou conveco bastante simples, baseada em ensaios do tipo esquematizado na figura 2.9.

FluidoVelocidade = VPotencial = P

Superfcie

Potencial = Psrea = A s

Figura 2.9: Esquema do ensaio para definir Fluxo Advectivo de uma superfcie

Considere uma superfcie de rea AS com uma diferena de potencial em relao

ao fluido circundante. O slido alimentado com um fluxo constante que sai por conveco para o fluido. Em regime permanente, o fluxo inserido no corpo de prova igual ao transferido para o fluido, e pode-se medir o potencial na superfcie do corpo de

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prova. Pode-se demonstrar que os dados experimentais ajustam-se a uma equao do tipo:

)( PPAhF sSconveco 2.9 em que: h = coeficiente mdio de transferncia por conveco As = rea total da superfcie (m2) Ps = potencial da superfcie P = potencial do fluido.

Por conveno, quando a transferncia se d do slido para o fluido, (Ps > P ) o fluxo considerado positivo. Na equao 2.9 o termo h representa uma propriedade conjunta da superfcie, do fluido e da velocidade do escoamento, chamada tambm de coeficiente global, de transferncia por conveco ou ainda coeficiente de pelcula. CALOR

Para fluxo de calor o potencial a temperatura, e o fluxo de calor dissipado pode ser gerado facilmente com uma resistncia eltrica no interior da amostra. A equao 2.9 fica:

)( TTAhF sSc 2.10 com h = coeficiente de pelcula (W/m2C) ou (W/m2K); Ts = temperatura da superfcie (C) ou (K); T = temperatura do fluido (C) ou (K). MASSA

Para a transferncia de massa o potencial normalmente utilizado a concentrao volumtrica da substncia e a equao bsica 2.9 fica:

)( CCAhF sSc 2.11 com h = coeficiente de pelcula ( m/s ) ; Cs = concentrao da substncia no fluido junto superfcie (Kg/m3 ); C = concentrao da substncia no fluido, longe da superfcie (Kg/m3 ).

Exemplo 2.5 (calor): O chip microprocessador de um computador pessoal dissipa 20W de potncia e possui uma superfcie de contato com o ar de 3,0 x 3,0 cm, resfriada por conveco forada por meio de um ventilador auxiliar. Sabendo que o chip no pode ultrapassar a temperatura de 120C e que o coeficiente de transferncia por conveco de 35W/m2.K, verifique se a superfcie de contato suficiente para garantir a segurana do componente. Anlise:

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Tem-se transferncia de calor por conveco de uma superfcie com temperatura uniforme para o ar, podendo ser aplicada a equao 2.11. A resposta depende da temperatura do ar no interior do gabinete do computador, que no foi fornecida. Ser adotada uma temperatura mdia de 35C para o ar. So conhecidos: TS,mx = 120C (mxima admitida) T = 35C Tmx = (120 + 273) (35 + 273) = 85 K = 85C Dimenses do chip (0,03m x 0,03m) h = 35 W/m2.K Clculos: Superfcie em contato com o ar: A = 0,03 0,03 = 0,0009 m2 Substituindo os valores na equao 2.11: FC, mx = 35 0,0009 85 = 2,70 W < 20W. Resposta: O fluxo transferido com o mximo aquecimento permitido menor que o fluxo gerado pelo componente, de forma que seu funcionamento nessas condies invivel. Consideraes adicionais:

A temperatura necessria para dissipar a potncia gerada dada por: Fc = 20 = 35 0,0009 T T = 635 K T = 635 + 35 = 670C.

A temperatura muito alta e provocar a queima do componente. A rea mnima que seria necessria para a superfcie em contato com o ar no

ultrapassar 120C dada por: Fc = 20 = hc Amn Tmx Amn = 20 / (35 85) = 0,0067m2 (7,5 vezes maior que a rea disponvel)

Recomendao prtica: A queima do componente ser evitada aumentando-se a rea de contato com o ar, com a utilizao de aletas.

As aletas so as extenses da superfcie de contato com o ar que podem ser observadas nos dissipadores de calor empregados nos microcomputadores. A rea necessria de aletas no dissipador maior que a rea mnima calculada acima porque a superfcie da aleta nunca fica a uma temperatura uniforme, mais fria medida que se afasta do bloco em contato com o componente. O clculo do calor dissipado por uma aleta ser visto mais adiante. Comentrios adicionais: Na utilizao do equipamento deve-se considerar ainda que o coeficiente de pelcula pode diminuir (por exemplo, pelo desgaste dos mancais do ventilador) e que a temperatura interna do gabinete pode aumentar (por exemplo, pela obstruo das entradas de ar pelo p acumulado). Por isso, na prtica, adotada uma rea maior, por segurana.

Exemplo 2.6 (massa): O nvel de gua num tanque evaporimtrico diminuiu 15mm ao longo de 10 horas de observao, num dia ventoso em que a temperatura mdia do ar foi de 25C e a umidade relativa foi UR = 20%. Durante a medio a temperatura mdia da gua no tanque foi de 22C. Estime o coeficiente mdio de transferncia de vapor de gua para a atmosfera, em m/s, para as condies do experimento.

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Anlise: Trata-se de um problema de conveco forada de vapor de gua a partir da superfcie do tanque de medio de evaporao. O potencial a concentrao de vapor de gua no ar. A diferena de potencial existe porque junto superfcie o ar encontra-se na umidade de saturao (UR = 100%) a 22C e no ar dada pela umidade relativa. Entretanto, precisamos inicialmente transformar os dados de umidade relativa em concentrao de vapor de gua em kg/m3 para uso na equao 2.11. Clculo das concentraes de vapor:

A presso de saturao esat em mmHg encontrada na literatura, em funo da temperatura. Consultando a Tabela 5.1, pg 87 do livro Hidrologia Aplicada, de Villela e Mattos (1975), obtm-se: - esat (22C) = 19,83 mm de Hg - esat (25C) = 23,76 mm de Hg Com esses dados pode-se calcular as presses parciais do vapor dgua:

es = UR esat = 19,83 mm de Hg (saturado na superfcie da gua, UR = 1) e = 0,2 esat = 4,752 mm de Hg (no ar, umidade relativa 20% UR = 0,2) A transformao das presses parciais em concentraes feita pela equao dos

gases perfeitos: e Vol = n R T e Vol = (mV/Mv) R T

sendo R a constante universal dos gases (R = 8,314 J/K mol) e n o nmero de moles do gs, n = (mv/Mv) em que mv a massa de vapor contida no volume e Mv a massa molecular da gua (Mv = 18,016 10-3 kg/mol). Assim, pode-se escrever:

v = mv/Vol = e / (Rv T) em que Rv a constante particular do gs (vapor de gua), Rv = R/Mv .

Para utilizar as presses parciais na equao da massa especfica necessrio converter os valores para Pascais (1 Pa = 1N/m2), multiplicando os valores pelo peso especfico do mercrio (Hg = 133280N/m3).

288,133)()(001,0)()( 32 HgHg mmpmN

mmmmmp

mNe

Substituindo-se todos os dados na equao da massa especfica, acima, vem: Superfcie: Cs = v,s = 19,83 133,280 /[ (8,314/18,016 10-3) (22+273)] Cs = 19,41 10-3 kg/m3. Ar : C = v, = 4,752 x133,280 /[ (8,314/18,016x10-3) (25+273)] C = 4,6 10-3 kg/m3. Clculo do coeficiente de pelcula: Antes, calculamos o fluxo de vapor evaporado em kg/s. Como no foi fornecida a rea da superfcie, calculamos para rea unitria. Fv = (massa evap/tempo) = gua (Vol. evap/tempo) = 1000 x 0,015 x 1/(10 x 3600) Fv = 4,17 x 10-4 kg/s

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Finalmente , podemos substituir os valores na equao da adveco. Fv = h As (Cs - C) 4,17 x 10-4 = h x 1 (19,41 4,6) x 10-3 h = 0,028m/s. Resposta: o coeficiente de transferncia de massa por adveco no processo de evaporao nas condies dadas foi 0,028 m/s. Comentrios adicionais: O coeficiente depende das condies reinantes no dia, podendo variar com a temperatura e umidade do ar e com a temperatura da gua na superfcie, conforme visto nas frmulas usadas para calcular as concentraes de vapor de gua no ar. O coeficiente pode variar tambm com a velocidade mdia do vento, que diminui a camada limite, conforme ser visto no prximo item.

2.5.3. Mecanismo da Conveco Camada Limite

A conveco um modo de transferncia de calor composto por dois mecanismos. Alm da transferncia de energia devido ao movimento aleatrio das molculas (difuso) existe energia sendo carreada pelo movimento macroscpico do fluido (adveco).

Assim, dando incio ao processo advectivo sempre h uma difuso, o que explica porque a velocidade do fluido aumenta o coeficiente de pelcula (h). Quanto maior a velocidade, menor o tempo de contato para que a difuso aumente o potencial das partculas de fluido, antes que sejam levadas. Resulta ento um gradiente maior, visto que a poro de fluido substituda por outra de menor potencial, antes que tenha tempo de elevar o valor do potencial. Assim, maiores velocidades de fluido implicam em maior fluxo por adveco. Essa relao entre velocidade e coeficiente de pelcula melhor compreendida ao levarmos em conta o conceito de camada limite. _____conceito de camada limite

Quando um fluido escoa sobre uma superfcie slida surge uma regio com baixas velocidades junto superfcie, chamada de camada limite. Devido adeso das molculas de fluido ao slido, na superfcie a velocidade do fluido nula. A viscosidade faz com que a velocidade aumente rapidamente medida que nos afastamos da superfcie. Essa regio de variao rpida da velocidade define a camada limite. Devido s baixas velocidades e presena prxima do contorno slido, as perturbaes do movimento so amortecidas e o escoamento na camada limite torna-se laminar. Fora da camada limite temos o chamado ncleo no perturbado do escoamento. Nesta regio o perfil de velocidades uniforme, e a presena do contorno slido no causa efeitos no escoamento. Na figura 2.10 vemos o crescimento da camada limite de velocidades a partir da borda de ataque de uma placa plana.

Quando o escoamento no perturbado for turbulento, o crescimento progressivo da camada limite pode levar a uma espessura crtica em que no mais possvel manter o escoamento laminar e forma-se uma camada limite turbulenta. Os vrtices do

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escoamento turbulento penetram ento na camada limite que comea a crescer mais rapidamente com as trocas macroscpicas de quantidade de movimento nos turbilhes. O escoamento laminar persiste numa pequena regio prxima ao contorno, formando a subcamada laminar, onde predomina a conduo (difuso molecular). Entre a subcamada laminar e a camada limite turbulenta aparece uma regio de transio, a camada amortecedora.

TurbulentaTransioLaminar

Sub camada LaminarCamada Amortecedora

Camada Turbulenta

x

Figura 2.10: desenvolvimento da camada limite sobre uma placa plana

Existem outras definies, mas a espessura da camada limite, , pode ser

definida de forma prtica como a distncia a partir do contorno onde V = 0,99V, sendo V a velocidade na regio fora da camada limite.

O nmero de Reynolds local usado para determinar quando a camada limite se torna turbulenta. definido como:

xVRex , 2.12

sendo x a distncia a partir da borda inicial do contorno e = / a viscosidade cinemtica do fluido.

O Rex que ocorre na transio entre a camada limite laminar e a turbulenta depende muito da intensidade da turbulncia do escoamento, mas em condies usuais na engenharia, pode-se adotar o valor de 3,2 105 como o limite para iniciar-se a transio para a camada limite turbulenta.

O conceito da camada limite de velocidades explica porque a contribuio do processo difusivo domina nas camadas mais prximas superfcie, onde as velocidades so mais baixas. Na interface slido fluido (z = 0) temos velocidade nula, devido aderncia das partculas fluidas. Assim, apenas a difuso molecular pode ocorrer na interface entre o slido e o fluido.

Portanto, a adveco inicia-se sempre com a difuso entre o slido e a primeira camada de fluido.

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A figura 2.11 ilustra o conceito para o caso de uma parede vertical. Na regio imediatamente em contato com o fluido a velocidade praticamente nula, e todo o transporte ocorre por difuso entre as camadas de fluido. medida que nos afastamos da parede, dentro da camada amortecedora, a parcela carregada por adveco cresce em importncia relativa, at que prevalece apenas a adveco.

Figura 2.11: desenvolvimento da camada limite sobre uma placa vertical, ilustrando o progressivo aumento do fluxo transportado por conveco.

Essa natureza dupla do mecanismo da adveco permite relacionar a densidade

de fluxo espessura da camada limite laminar. Em locais em que a camada limite pequena, ocorre uma grande variao do potencial em um comprimento pequeno, ou seja P/L muito grande. Em locais onde a espessura da camada limite grande ocorre o inverso, pois a mesma diferena de potencial ocorre numa distncia grande (P/L pequeno), e a densidade de fluxo diminui.

_____camada limite trmica

Ao considerar o escoamento de um fluido sobre a superfcie aquecida de um slido, conforme a figura 2.12, surge o conceito de camada limite trmica, formada pela regio onde a diferena de temperaturas inferior a 99% da diferena total entre a temperatura do fluido no ncleo no perturbado e a temperatura da superfcie.

SubcamadaLaminarFK

FC

FCFC

FK

FK

CamadaAmortecedora

CamadaLimiteTurbulenta

Slido

PerfildeVelocidade

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Escoamento

q cTs

Too

T ( z )u ( z )

uoo

zz

distribuiode temperaturadistribuiode velocidade

superfcie quente

Camada limitetrmica

t

Figura 2.12: camadas limite trmica e de velocidades na conveco

A contribuio do movimento do fluido surge devido ao crescimento da camada

limite medida que o escoamento avana para jusante. Assim, o calor que conduzido para a camada limite levado para jusante e para longe da superfcie quente, podendo sair da camada limite de velocidades e ser transferido para o fluido no escoamento no perturbado.

_____camada limite de concentrao

No caso da transferncia de massa por adveco a partir da superfcie, forma-se uma camada limite de concentrao, em tudo semelhante camada limite trmica.

Uma situao importante ocorre ao considerarmos o ar seco passando sobre um lago ou uma rea de solo mido, provocando o fluxo advectivo chamado de evaporao. O esquema da figura 2.13 mostra o crescimento gradual da camada limite medida que o ar seco percorre a superfcie mida. Observe que existe uma regio com densidade de fluxo maior, prximo s reas de montante, devido menor espessura da camada limite nessa regio. Esse fenmeno o chamado efeito de borda, ou de fronteira. Com o aumento da camada limite em direo a jusante, a densidade de fluxo vai diminuindo gradualmente de maneira assinttica.

z

ar seco

superfcieseca

Cooz

Camada limitede vapor d'gua

Coo

superfciesaturada

Fc Fc

Figura 2.13: Evaporao de gua num lago pelo ar seco. O aumento da camada limite de

concentrao diminui o fluxo de massa Fc da evaporao.

FT 2012/1 - Reviso 1 29

O efeito de borda da camada limite de concentrao explica porque pequenas

superfcies, como um tanque evaporimtrico ou uma piscina, possuem evaporao maior que a observada num lago de grandes dimenses, com gua na mesma temperatura. _____Papel da velocidade do escoamento na adveco Vimos como a existncia da camada limite transforma a conveco num modo de transferncia composto por dois mecanismos. Alm da transferncia devido ao movimento aleatrio das molculas (difuso), existe o transporte pelo movimento macroscpico do fluido (adveco). Com o conceito da camada limite possvel mostrar tambm como o aumento da velocidade do escoamento afeta o coeficiente de transferncia por conveco. Na interface entre o fluido e o slido todo o calor transferido por conduo no fluido.

0

zfksc z

Tk'q)TT(h'q 2.13

A equao 2.13 mostra que a densidade de fluxo por adveco qc (primeiro membro) igual densidade de fluxo por difuso qk na superfcie (ltimo membro). Assim, quanto menor for a camada limite trmica, maior ser o gradiente de temperatura na superfcie e, portanto, maior o coeficiente de transferncia por conveco h. Este mesmo fenmeno ocorre na adveco de massa.

Por outro lado, a camada limite trmica, assim como a de concentrao, depende fortemente do perfil de velocidades. Quanto maior a velocidade menor ser a espessura das camadas limite, tanto a de velocidades quanto a de temperatura ou a de concentrao. Este fato ilustrado pela figura 2.14.

Ts

Toouooz

Laminar

Ts

Toouooz

0

zzu t

t

Turbulento

0

zzu

Figura 2.14: diminuio da camada limite com o aumento da velocidade

Das inclinaes dos perfis mostrados na figura 2.14 podemos escrever as relaes:

turbzlamz z

uzu

,0,0

laminar > turbulento

FT 2012/1 - Reviso 1 30

ts TT

zT

0 turbzlamz z

TzT

,0,0

2.14

O efeito de diminuio da camada limite ocorre no s na mudana de regime laminar para turbulento. Mesmo sem mudana do regime, quando aumenta a velocidade, diminui a espessura das camadas limite trmica e de velocidades.

Exemplo 2.7: Ar a 20C escoa a presso atmosfrica sobre uma superfcie plana a 100C, em regime permanente. A espessura da camada limite trmica em um determinado ponto de 1,5mm. Sabendo que a condutividade trmica do ar k = 0,0338 W/m.K, calcule o coeficiente de pelcula para a transferncia convectiva de calor. Soluo: No ponto considerado o fluxo de calor que deixa a superfcie transfere-se por conduo na subcamada limite laminar. Sendo o regime permanente, o fluxo por conduo igual ao fluxo por conveco entre a superfcie e o ar, conforme a equao 2.13 e a aproximao para a derivada dada na equao 2.14: q'k = F/A = k T/t = qc = hc T hc = K/t = 0,0338/0,0015 = 22,5 W/m2C.

2.5.4. Coeficientes Locais e Coeficiente Global de Transferncia A influncia da camada limite e da velocidade local sobre a adveco permitem imaginar que o fenmeno ir ocorrer com diferentes taxas ao longo da superfcie de um slido exposto ao fluido. Com isso podemos definir um coeficiente local de transferncia por conveco, que afetar a densidade de fluxo por conveco qc numa rea dAs , conforme a equao:

)TT(h'q sc 2.15-a em que h o coeficiente local de transferncia por conveco, com unidades (W/m2C). O coeficiente h varia conforme a localizao da rea ao longo do corpo slido e tambm com as caractersticas do escoamento do fluido. No caso da adveco de massa a equao similar:

)( CChJ sC 2.15-b em que h o coeficiente local de transferncia de massa por adveco, com unidades (m/s). O coeficiente h, assim como no caso do calor, varia conforme a localizao da rea no slido e com as propriedades do escoamento do fluido. Usando o conceito de coeficiente local o fluxo total transferido a partir do corpo dado por uma integrao que permite definir o coeficiente global, ou coeficiente mdio:

)()( TTAhFdAhTTF sscAs ssc 2.16

FT 2012/1 - Reviso 1 31

em que h = coeficiente mdio de transferncia por conveco.

As ss

dAhA

h 1 2.17

2.5.5. Transporte simultneo de duas grandezas

comum a ocorrncia de trocas de 2 ou mais quantidades. Por exemplo, quando o ar frio escoa sobre uma placa quente (a superfcie do solo, por exemplo), ocorre a troca simultnea de calor e quantidade de movimento. Se, alm disso, o ar estiver seco e a placa mida (solo saturado, por exemplo), ocorrer a troca simultnea de calor, massa e quantidade de movimento. Vimos que as espessuras das camadas limite so muito importantes na quantificao das transferncias convectivas. A camada limite de velocidades depende tanto da viscosidade do fluido quanto da massa especfica do fluido em escoamento. Observe que um fluido pouco viscoso mas muito leve pode ter uma camada limite maior que um muito viscoso mas bem mais pesado, nas mesmas condies. A importncia dessas duas propriedades pode ser combinada num nico parmetro que a viscosidade cinemtica = /. _____definio: Viscosidade Cinemtica = / A viscosidade cinemtica tem dimenso [L2/ T] Da mesma forma, a camada limite trmica depender da condutividade trmica k e da capacidade trmica do fluido. A capacidade de absorver calor por unidade de volume e por variao unitria de temperatura mc/Vol = c.

Um fluido com uma dada condutividade k, mas com alta capacidade trmica, no ir se aquecer tanto e a camada limite trmica ficar pequena. Por outro lado se sua capacidade de absorver calor for pequena ele ir aquecer-se rapidamente e a camada limite ser grande. A combinao dessas duas variveis dada pela difusividade trmica, = k / c. A difusividade trmica tem dimenso de [L2/ T].

A espessura da camada limite de concentrao depende da difusividade, DAB, da substncia A dissolvida na substncia B. Se a difusividade alta, a espessura da camada limite cresce rapidamente e vice versa. A difusividade tem dimenses [L2/ T].

Como todas as variveis influentes possuem as mesmas dimenses, claro que a combinao delas fornecer adimensionais que indicam a importncia relativa da transferncia de cada uma das grandezas.

_____ Nmero de Prandtl (quant. mov. e calor)

k

cPr 2.18

FT 2012/1 - Reviso 1 32

Adimensional importante quando ocorre transferncia simultnea de calor e quantidade de movimento. Fisicamente expressa a velocidade relativa da propagao da quantidade de movimento e da energia. Portanto importante para determinar a relao entre as espessuras das camadas limites de velocidade e trmica. Para muitos casos Pr da ordem de 1, mas pode variar bastante. Metais lquidos, por exemplo, possuem Pr muito pequenos, enquanto que fluidos viscosos, como leos, podem ter Pr da ordem de 100. _____ Nmero de Lewis (calor e massa)

Dck

DLe

2.19 Adimensional importante quando ocorre transferncia simultnea de calor e massa. Por exemplo, no processo de evaporao em um termmetro de bulbo mido, utilizado para determinar a umidade relativa do ar. _____ Nmero de Schmidt (quant. mov. e massa)

DDSc

2.20

Importante em sistemas isotrmicos com transferncia simultnea de massa e quantidade de movimento. Sc aproximadamente unitrio para gases, mas grande para lquidos. _____relembrando

Existe o processo de conveco natural e forada, classificados segundo a causa do movimento do fluido, mas a equao bsica 2.9 vale para os dois tipos. CONVECAO NATURAL - o que causa o fluxo de fluido que efetua o transporte so as

diferenas de densidade causadas pela prpria difuso da grandeza no fluido. Assim, por exemplo, o ar que entra em contato com uma parede aquecida, fica menos denso e sobe, dando incio ao processo.

CONVECAO FORADA - o movimento de transporte provocado por uma fonte externa, como um ventilador ou o vento. Essas velocidades so normalmente muito maiores que as da conveco natural, tornando a conveco forada mais eficiente. Esta a razo pela qual equipamentos que dissipam pouco calor so normalmente esfriados por conveco natural, enquanto que os de maior potncia e tamanho reduzido em relao ao calor dissipado so refrigerados por conveco forada.

Por conveno, quando o potencial do corpo slido maior que o do fluido o fluxo advectivo considerado positivo.

FT 2012/1 - Reviso 1 33

2.6. RADIAO: UM TIPO ESPECIAL DE TRANSPORTE A radiao trmica a energia emitida por qualquer matria que estiver a uma temperatura finita T. A radiao a nica forma de transporte de energia que ocorre atravs do vcuo, sem necessitar de um meio fsico para ocorrer.

Toda a energia que a Terra recebe do Sol chega por radiao. Essa energia responsvel por manter o movimento de circulao da atmosfera e o ciclo hidrolgico, transferindo em escala planetria enormes quantidades de massas de ar, de calor e de umidade. Da sua importncia no estudo da Hidrologia, em que est na base de vrios mtodos para determinar a evaporao.

A radiao solar tambm uma importante parcela a considerar na anlise trmica de edificaes, e sua utilizao em sistemas de aquecimento tende a crescer cada vez mais. Em paredes externas de edificaes ocorre simultaneamente a troca de calor por conveco e absoro da radiao solar, num mecanismo em paralelo. Em processos de engenharia que envolvem altas temperaturas a radiao pode ser um mecanismo de troca de energia to importante quanto a conveco, ou mesmo o mais importante. Isso ocorre porque a emisso de energia trmica proporcional temperatura absoluta elevada quarta potncia. Percebe-se ento que em vrios problemas de interesse para o engenheiro a radiao trmica estar presente junto com os mecanismos de difuso e adveco. Por isso, embora no seja um fenmeno de transporte que envolva meios fsicos como a difuso e a adveco, a radiao ser abordada em vrios tpicos ao longo do curso.

A radiao ocorre como um fenmeno volumtrico nos gases e nos slidos semitransparentes, como o vidro. Aparece tambm como fenmeno de superfcie na maioria dos slidos e lquidos. Isto porque a radiao emitida internamente absorvida pelas molculas adjacentes, de forma que s a radiao emitida pelas molculas prximas superfcie atinge o exterior. A radiao caracterizada por seu comprimento de onda (), dado normalmente em micrmetros (1 m = 10-6m) ou sua freqncia ( f ). Lembrar que c = f, sendo c a velocidade da luz no meio considerado. Os textos de referncia trazem o espectro da radiao eletromagntica. A parte intermediria do espectro, entre 0,1 e 100m, a radiao trmica, de interesse na transferncia de calor.

A emisso mxima de radiao trmica a uma temperatura T ocorre de um corpo negro, ou irradiador perfeito e dada pela lei de Stefan-Boltzmann

4TA

F'q rr 2.21 em que Fr o fluxo de calor emitido por radiao (W), qr = densidade de fluxo por radiao (W/m2), T = temperatura absoluta (K) e = 5,67x10-8 W/m2K4 a constante de Stefan-Boltzmann. O corpo negro absorve toda a radiao incidente, independentemente do comprimento de onda e direo. A radiao emitida por um corpo negro independente da direo, ou seja, o corpo negro um emissor difuso.

FT 2012/1 - Reviso 1 34 O fluxo emitido por um corpo real menor que o de um irradiador perfeito e depende da emissividade ( ) da superfcie: 4' Tq r 2.22 A radiao emitida por um corpo depende do comprimento de onda considerado, constituindo uma distribuio espectral, que varia com o tipo da superfcie emissora e sua temperatura. Alm da distribuio espectral, outra propriedade da radiao emitida diz respeito sua direo, visto que uma superfcie pode emitir mais numa determinada direo do que em outras, dando origem a uma distribuio direcional da radiao emitida. Uma superfcie que emite igualmente em todas as direes chamada de difusa. Neste texto, a menos que explicitamente registrado, os valores de emissividade considerados sero a mdia sobre todo o espectro e todas as direes. Quando a radiao recebida pela superfcie entra em ao a propriedade chamada coeficiente de absoro, ou absortividade ( , que relaciona o calor radiante incidente (qinc) ao absorvido (qabs):

incabs qq 2.23 O valor da absortividade depende da distribuio espectral da radiao incidente, de forma que um corpo pode ter uma absortividade para a radiao solar e outra diferente para a radiao emitida por corpos a temperaturas menores. A radiao solar possui um espectro semelhante ao de um corpo negro a temperatura de 5.800K. Quando a emissividade e a absortividade so iguais, temos um corpo com superfcie cinzenta. Quando a radiao incide sobre uma superfcie opaca, parte absorvida e parte refletida. A caracterstica que define a quantidade refletida a refletividade ( ). A absoro e a reflexo so responsveis pela percepo da cor das superfcies a baixas temperaturas. A cor se deve absoro e a reflexo seletiva de parcelas do espectro da radiao visvel que a tinge a superfcie. Uma folha verde porque a clorofila das clulas absorve fortemente os comprimentos de ondas das cores azul e vermelha, refletindo a verde. Uma superfcie parece negra porque absorve todas as componentes visveis da radiao.

Entretanto a cor refere-se apenas reflexo dos comprimentos de onda visveis e a refletividade de um corpo pode ser bastante diferente para outros comprimentos de ondas. Este o caso da neve sob a radiao solar. A neve intensamente refletora na faixa visvel, e portanto totalmente branca, mas absorve fortemente a parcela de ondas longas, aproximando-se de um corpo negro para o Infra Vermelho.

Quando a superfcie de material transparente existe ainda uma parcela que transmitida atravs do corpo, dada pela transmissividade ( ) do material. Como as outras propriedades, a transmissividade depende do comprimento de onda considerado. O vidro um exemplo de material bem transparente para a radiao solar incidente de ondas curtas (Ultra Violeta e Visvel), sendo opaco aos comprimentos de ondas longas (Infra-Vermelho) emitidos por superfcies a baixas temperaturas. O fluxo lquido de calor trocado entre um corpo com superfcie a temperatura T1 e = (superfcie cinzenta) e outro temperatura T2 que o envolve totalmente dado por:

FT 2012/1 - Reviso 1 35

)(' 424

1, TTA

Fq lquidorr 2.24

Numa situao qualquer dois corpos trocam radiao entre si numa taxa que depende das reas e da orientao relativa entre elas, dada por um fator de forma F1-2:

)( 424

1, TTAF lqr 21F 2.25 Em muitas situaes desejvel escrever a troca por radiao com uma equao semelhante da conveco:

)(' TTAhAqF srrr 2.26 em que hr o coeficiente de transferncia de calor por radiao trmica, ou coeficiente de pelcula para radiao. Igualando as equaes 2.25 e 2.26 vemos que o coeficiente global de transferncia de calor por radiao dado por:

))(()()( 2

22

12121

42

41 TTTT

TTTThr

2121 FF 2.27 importante perceber que com a equao 2.26 ns linearizamos a equao da transferncia por radiao, mas, como resultado dessa simplificao, a equao 2.27 mostra que o coeficiente hr vai depender fortemente da temperatura. Exemplo 2.8: Um forno para assar pizzas est numa sala a 25C. O coeficiente de transferncia por conveco 15W/m2C e a emissividade da parede 0,8. Calcule o calor perdido pelo forno, sabendo que a rea das paredes externas 2,5m2 e sua temperatura 75C. Soluo: Considerando regime permanente e que o forno menor que a sala onde se encontra e est totalmente envolvido por ela, podemos utilizar a equao 2.17 para o fluxo por radiao. O fluxo por conveco calculado com a equao 2.10. Fluxo por radiao: FR = A (Ts4 - T4) = 2,5 (m2) x 0,8 x 5,67 x 10-8 (W/m2K4) . . .

. . . x [(75 + 273)4 (25 + 273)4] (K4) = 769 W Fluxo por conveco: Fc = hc A (Ts - T) = 15(W/m2C) x 2,5(m2) x (75 25) (C) = 1875W Fluxo Total: F = FR + Fc = 1875 + 769 = 2644 W. Resposta: o calor total perdido pelo forno 2644W. Comentrios:

A parcela transferida por radiao menor que a convectiva devido s baixas temperaturas envolvidas.

Observe que o fluxo convectivo pode ser calculado com as temperaturas em C, mas para o clculo da radiao precisamos utilizar a temperatura absoluta.

FT 2012/1 - Reviso 1 36

Exemplo 2.9: Uma superfcie exposta ao sol recebe uma radiao incidente em ondas curtas de 800W/m2. A superfcie reflete 30% da radiao incidente e resfriada pelo ar a 25C com um coeficiente de transferncia convectiva de 15W/m2C. A face inferior est isolada e a temperatura radiante da atmosfera de 293K. Calcule a temperatura de equilbrio da superfcie nessas condies. Soluo: Como o regime permanente, o fluxo de calor recebido do sol (ondas curtas) pela superfcie deve ser igual ao fluxo perdido por radiao (ondas longas) e por conveco.

Fincidente = FR + Fc A I = A (Ts4 - T4) + hc A (Ts - T) Supondo superfcie cinzenta ( = ), e dividindo pela rea A: 0,7 x 800(W/m2) = 0,7 x 5,67x10-8 (W/m2K4) x [Ts4 (25 + 273)4] (K4) + . . . . . . + 15(W/m2K) x (Ts - 25 - 273) (K)

560 = 3,969x10-8 Ts4 313 + 15Ts - 4470 3,969x10-8 Ts4 + 15Ts 5343 = 0 ; Resolvendo em Ts vem: Ts = 326,23 K Resposta: A temperatura de equilbrio Ts = 53,23C. Comentrio: aplicando a soluo encontrada para Ts na equao original encontram-se os fluxos por radiao e conveco e novamente verifica-se que a parcela trocada por radiao pequena em relao conveco devido s baixas temperaturas envolvidas:

FR/A = 449,5 W/m2 Fc/A = 4893,5 W/m2

2.7. CONSIDERAOES FINAIS

As definies e notaes utilizadas, embora coerentes e unificadas, no so ainda de uso geral, porque permanecem por tradio as definies das reas de conhecimento que deram origem disciplina FT. A difuso de calor, por exemplo, era tradicionalmente chamada de conduo. O principal cuidado a tomar refere-se s definies de fluxo e densidade de fluxo que, por incrvel que parea, no so unificadas. Uma tendncia muito comum chamar de fluxo o que ns definimos como densidade de fluxo. Portanto, ateno s unidades que indicaro sem dvida do que se trata.

Neste texto e em nossa escola adotou-se uma terminologia coerente com a maioria dos textos de eletromagnetismo e de hidrodinmica, que tradicionalmente desenvolveram a teoria dos campos potenciais. Ela consistente na medida em que os fluxos sempre so escalares e as densidades de fluxo sempre so vetores.

Em alguns textos brasileiros recentes encontramos o termo descarga como equivalente ao nosso fluxo. Assim, a descarga de volume seria a vazo e o fluxo de volume corresponderia velocidade. Apesar de consistente, essa nomenclatura desconsidera que descarga o termo tradicional para fluxo de massa.

FT 2012/1 - Reviso 1 37

Existe ainda, particularmente na engenharia qumica, uma maneira de se referir aos dois processos fundamentais como difuso. Esses livros usam Difuso Molecular (=DIFUSO) e Difuso Turbulenta ( = CONVECO ). Na hidrulica, em modelos ambientais, tambm h muitos termos consagrados que so tipos especializados de adveco e conveco.

2.8. EXERCCIOS PROPOSTOS 2.1 Com base na equao bsica dos processos difusivos (eq. 2.1) pede-se (a) identificar os potenciais para o transporte difusivo de massa, calor e quantidade de movimento; (b) as constantes de proporcionalidade para cada grandeza citada em (a).

2.2 Usando a definio de fluxo de uma grandeza e a lei da homogeneidade dimensional na equao 2.1 deduza as dimenses para o gradiente de potencial de cada grandeza e das constantes de proporcionalidade envolvidas. Informe ainda as unidades no sistema SI.

2.3 Usando a equao bsica da conveco de calor (eq. 2.10) e a lei da homogeneidade dimensional deduza as dimenses e informe as unidades no sistema SI do coeficiente mdio de transferncia de calor por conveco.

2.4 Imagine uma barra metlica cilndrica com dimetro constante isolada nas laterais e com as extremidades imersas em banhos trmicos mantidos a temperaturas constantes T1 e T2, conforme a figura e sendo T1 > T2 pede-se: (a) qual o mecanismo de transporte envolvido? (b) sabendo que a condutividade trmica k constante e uniforme ao longo de toda a barra, o que podemos dizer a respeito da magnitude do fluxo de calor ao longo da barra? (c) com as hipteses do item b) o que podemos afirmar sobre a variao do gradiente da temperatura ao longo da barra? (d) qual a forma da curva da temperatura em funo de x?

T1

Banho 1

isolamento

T2

Banho 2

x

amostra

2.5 Duas placas paralelas esto separadas por um espao de 6mm, preenchido com um fluido com massa especfica = 800kg/m3. A placa inferior estacionria e a superior possui V = 3m/s. Se uma fora de 350N por m2 de placa necessria para manter a velocidade d placa superior, encontre a viscosidade dinmica e a viscosidade cinemtica do fluido entre as placas. Resposta: 0,7 Pa.s ; 0,000875m2/s)

2.6 Um medidor de condutividade trmica utiliza um corpo de prova padro em srie com duas amostras do material que se quer ensaiar. O conjunto todo prensado entre duas chapas mantidas a temperatura constante, de forma que se estabelea um fluxo de

FT 2012/1 - Reviso 1 38 calor em regime permanente. Cada uma das amostras possui 50mm de dimetro e 90mm de comprimento. Todas as superfcies de contato recebem uma camada de graxa condutora, de forma que podem ser desprezadas as resistncias de contato. Nas amostras ficam embutidos termopares diferenciais espaados 15mm entre si. As faces laterais das amostras so termicamente isoladas, de forma que a transferncia de calor atravs das amostras pode ser considerada unidimensional. Em um ensaio o termopar diferencial do corpo de prova padro indica T2 = 15C e os termopares das amostras indicam T1 = T3 = 25C. Pede-se calcular: a) a condutividade trmica das amostras; b) o fluxo de calor atravs do equipamento e c) a diferena de temperaturas entre as duas chapas, sabendo que o corpo de prova padro possui condutividade k = 50w/mK.

T1 T2

amostra padro

Chapa Quente T constante

isolamento trmico

Chapa Fria T cte

amostra

T3

fig. Ex. 2.6

amostra amostra

Chapa T constante

isolamento

Aquecedor

T1 T2

1 2

fig. Ex. 2.7

2.7 Um medidor de condutividade trmica utiliza um aquecedor eltrico entre duas amostras do mesmo material, mas com tamanhos diferentes, conforme a figura. As amostras possuem 50mm de dimetro; a amostra 1 tem 60mm de comprimento e a 2 apenas 45mm. As chapas metlicas so mantidas a temperatura uniforme Tf = 70C por meio da circulao de um fluido refrigerante. Todas as superfcies de contato recebem uma camada de graxa condutora, de forma que podem ser desprezadas as resistncias de contato. As laterais das amostras so isoladas, de forma que a transferncia de calor pode ser considerada 1-D. Sabendo que o aquecedor consome 0,3A a 100V e que sua temperatura atinge 170C pede-se determinar: a) a condutividade trmica das amostras; b) a diferena de temperaturas indicada pelos termopares diferenciais , T1 e T2, com sensores instalados a 15mm de distncia entre si.

2.8 Quando percorrida por uma corrente eltrica I uma barra de metal com seo retangular (6mm x 15 mm) provoca uma gerao de calor taxa g (w/m3) dada por g = 1,5 I2 W/m3. Qual ser a mxima corrente admissvel na barra se a sua temperatura mxima no puder superar em 30C a temperatura do ar ambiente? A barra est num ambiente em que o coeficiente de transferncia convectiva do ar 25W/m2C. Resposta: 4830A.

2.9 Um corpo cilndrico com dimetro de 10cm e altura 15cm feito de material metlico com alta condutividade e possui em seu interior uma fonte trmica que gera calor a uma taxa desconhecida, embora constante no tempo, e 3 termopares distribudos em pontos representativos de sua superfcie. Quando imerso em um banho termosttico mantido a temperatura de 20C os termopares indicam Ts1 = 135C, Ts2 = 115C e Ts3 = 120C. Sabendo que o coeficiente mdio de transferncia por conveco 500W/m2C pede-se calcular o fluxo de calor gerado pela fonte trmica.

FT 2012/1 - Reviso 1 39 2.10 Uma trincheira de 100m de comprimento deve ser escavada paralelamente e a 140 m de um rio, conforme a figura. No local existem duas camadas de solo permevel superpostas, conforme a figura. A camada superior tem 3m de espessura com condutividade hidrulica de 4,0m por dia e a camada inferior tem 1,5m de espessura e solo com K = 8,5m/dia . Se o nvel da gua na trincheira deve ser mantido 3,5m abaixo do nvel da gua no rio, mas ainda acima do topo do aqfero, determine a vazo a ser bombeada para fora da trincheira.

3,5m

RioTrincheira

Camada 1

Solo no permevel

Camada2

2.11 Uma trincheira de 100m de comprimento deve ser escavada paralelamente e a 110 m de um rio, conforme a figura. No local existem duas formaes de solo permevel, com 6m de altura, e dispostas lado a lado, conforme a figura. A formao 1 tem condutividade hidrulica de 4,0m por dia e a formao 2 tem K = 8,5m/dia . Se o nvel da gua na trincheira deve ser mantido 3,5m abaixo do nvel da gua no rio, mas ainda acima do topo do aqfero, determine a vazo a ser bombeada para fora da trincheira.

3,5m

RioTrincheira

Formao 1

Solo no permevel

Formao 2

40m 70m

2.12 A figura mostra um bloco metlico cilndrico (k = 50W/m.K) com 0,15m de dimetro, com as laterais engastadas em material que pode ser considerado isolante, cuja face superior mantida a temperatura constante e com a face inferior exposta ao ar, de forma que o bloco transfere um fluxo de calor da face superior para a inferior em regime permanente. Com as demais informaes da figura, pede-se: a) Determine o fluxo transferido; b) calcule a temperatura na face inferior; c) Sabendo que o ar encontra-se a 20C, calcule o coeficiente mdio de transferncia de calor por conveco na face inferior.

isolamento105C

110C

0,10m

0,20m

T = 20CAr

h = ?c

Resposta: a) 44,2W; b) 100C; c) 31,25 W/m2C

FT 2012/1 - Reviso 1 40

2.13 A figura mostra uma parede de um