apostila estruturas em trelica
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estruturaTRANSCRIPT
-
Estruturas
em Trelia
Prof. Eduardo Mesquita
- 2006 -
EESSTTRRUUTTUURRAASS EEMM TTRREELLIIAA
So estruturas lineares, formadas por barras que no conjunto devem formar uma
-
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1
estrutura indeformvel.
Estrutura deformvel
11.. TTIIPPOOSS DDEE TTRREELLIIAA
11..11 -- TTrreelliiaass PPllaannaass
Suas barras esto num mesmo plano.
11..22 -- TTrreelliiaass TTrriiddiimmeennssiioonnaaiiss
Suas barras esto todas em planos diferentes. As trelias so utilizadas para
coberturas, pontes, como vigas de lanamento, etc.
22.. HHIIPPTTEESSEESS PPAARRAA OOSS VVRRIIOOSS PPRROOCCEESSSSOOSS DDEE CCLLCCUULLOOSS
22..11 As barras da trelia so ligadas entre si por intermdio de articulaes sem atrito.
22..22 As cargas e reaes aplicam-se somente nos ns da estrutura.
22..33 O eixo de cada barra coincide com a reta que une os centros das articulaes (como nas estruturas lineares).
Satisfeitas todas as hipteses mencionadas, as barras da trelia s sero
solicitadas por foras normais.
33.. EESSFFOORROOSS SSOOLLIICCIITTAANNTTEESS
Foras Normais
As tenses provocadas por estas foras so chamadas tenses primrias.
Barra indeformvel
trao
compresso
N
N N
N
A A
B B
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N
S (verificao da resistncia da pea)
Observaes:
1. Na prtica no se consegue obter uma articulao perfeita, sem atrito. As articulaes so formadas por chapas rebitadas ou soldadas, que podem ser
consideradas praticamente rgidas.
2. Devido ao fato de no termos uma articulao perfeita aparecer momento fletor e fora cortante, porm este estudo no parte do nosso curso.
3. Tambm o peso prprio da barra provoca flexo na mesma, s que desprezvel por ser muito pequeno. O peso da barra vai aplicado nos ns.
44.. TTRREELLIIAASS IISSOOSSTTTTIICCAASS EE HHIIPPEERREESSTTTTIICCAASS
Dados os valores das foras P1, P2, P3 e P4, se conseguirmos determinar, pelas
seo da pea
A
B
P/2
P/2
P1 P2
R1 P3 R2
P4
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equaes da esttica, os valores de R1 e R2 e os esforos nas barras, ela isosttica.
Se determinarmos somente as reaes de apoio ela dita internamente hiperesttica
(as incgnitas so as foras normais).
Quando nem as reaes se determinam ela dita externamente hiperesttica.
As incgnitas a se determinarem so:
As reaes de apoio HA, VA e VB, chamadas de vnculos representados pela letra V.
Esforos normais nas barras representados pela letra b.
Logo o nmero de incgnitas (b + V).
Portanto, para cada n da estrutura
ns temos duas equaes, logo se a
estrutura possuir N ns, teremos 2N
equaes.
Portanto, para uma trelia ser isosttica, devemos ter b V 2N
Trelia hiperesttica b + V > 2N.
O grau de hiperestaticidade de uma trelia dado pela equao:
g = (b + V) 2N
Se g = 0 a trelia isosttica.
HA
P2
A
VB
B
VA
P
N1
N2 N3
x x
y y
N P 0
N P 0
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Exemplos:
v = 3, b = 11, N = 7 v = 3, b = 9
b + v = 14 2N = 14 N = 6 b + v = 12 2N = 12
Isosttica Isosttica
v = 4, b = 13, N = 8 v = 3, b = 14, N = 8
b + v = 17 2N = 16 b + v = 17, 2N = 16
Hiperesttica (g = 1) Hiperesttica (g = 1)
Incgnita: uma das reaes de Incgnita: esforo de uma das
apoio externamente barras- internamente hiperesttica. hiperesttica.
55 TTRREELLIIAASS SSIIMMPPLLEESS
Geralmente quase todas as trelias so formadas a partir de um tringulo
inicial. Para cada novo n introduzido, basta acrescentar duas barras no colineares.
Se o nmero de vnculos relativos s trelias acima mencionadas forem iguais a 3, as
trelias sero sempre isostticas b + 3 = 2N
Observaes:
1. A trelia hiperesttica com 3 vnculos, conforme desenho acima, tem uma barra a
mais, logo no entra nesta classificao.
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66.. PPRROOCCEESSSSOOSS DDEE RREESSOOLLUUOO
66..11 PPrroocceessssoo ddooss NNss
Seja o n C, da trelia ABCDEF. Nele concorrem as barras conforme a figura
abaixo:
Conforme j dissemos, cada n apresenta duas equaes e, se admitirmos que todas as barras estejam tracionadas, teremos:
N C: 1 1 3 2 4
1 1 3 2 2
H 0 P cos N cos N 0
V 0 P sen N sen N 0
Genericamente, teremos:
Ncos H (componente horizontal de P1) = 0
Nsen V (componente vertical de P1) = 0
As componentes verticais em funo do seno.
As componentes horizontais em funo do cosseno.
Os valores de H e V podem ser positivos ou negativos, se as foras forem de trao e
compresso, respectivamente.
Conveno: H e V
C D E 4 5
2 3
1
A
6 7 9
8
F B
P1
N2 N3
N4
P1
C
2
1
+ +
-
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66..22 CCaassooss ddee SSiimmpplliiffiiccaaoo
Para carregamentos particulares pode acontecer que uma trelia possua barra
ou barras no solicitada(s), ou ento solicitadas pela mesma fora normal. Em muitos casos a identificao destas barras imediata, simplificando bastante o
clculo da trelia.
Seja a trelia abaixo:
N A duas barras no coaxiais sem foras externas aplicadas.
N1 = N4 = 0 as barras no esto solicitadas.
N C duas barras no coaxiais sem foras externas aplicadas.
N5 = 0
N2 = N6
N B duas barras no coaxiais sem foras externas aplicadas.
N17 = -P3 (compresso).
N16 = 0
N D duas barras no coaxiais sem foras externas aplicadas.
N10 = N14
N13 = 0
N E duas barras no coaxiais sem foras externas aplicadas.
N8 = N12
N9 = - P2 (compresso).
A E2 4 8
1 3
2
5 7 9
6
C
B
P1
12 16
11
10
13 15 17
14
D
P2
P3
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66..33 PPrroocceessssooss ddooss CCooeeffiicciieenntteess ddee FFoorraa
Esse processo anlogo ao dos ns, mas leva muito mais vantagens se
houver muitas barras com inclinaes diferentes, principalmente se os
comprimentos dessas barras forem obtidos por simples medio num esquema da estrutura.
Vamos supor uma barra AB qualquer de comprimento l de projees h e v (horizontal e vertical, respectivamente).
Da figura, tiramos: v h
sen e cos , sendol l
o ngulo que a barra AB faz com
a horizontal. Voltando ao processo dos ns, onde tnhamos:
N cos H 0 , substitumos os valores do cos e sen , ficando:
N sen V 0
hN H 0
l
v
N V 0l
onde N, h, v e l em cada parcela das somatrias, referem-se a uma mesma
barra.
O coeficiente de foras de uma barra obtido da relao: N
tl
, que substituindo nas
equaes acima nos d: th H 0
tv V 0
A
B
h
v l
horizontal
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Atravs das equaes acima, determinamos os valores de t correspondentes s diversas barras da estrutura. Em seguida, obtemos as foras normais, multiplicando-
se os valores de t pelos comprimentos das respectivas barras.
Exerccio: Resolver a trelia dada nos exemplos anteriores pelo processo dos
coeficientes de fora.
N Equao Barra t (tf/m) l (m) N (tf)
A V 3,97 + 3t1 = 0 1 -1,32 3 -3,96
H 5,2 + 4t2 = 0 2 -1,3 4 -5,2
B
V -3t1 - 3t3 = 0 3 1,32 5 6,6
H 4t4 + 4t3 = 0 4 -1,32 4 -5,28
C V -2-3t5 - 3t7 = 0 5 -1,32 3 -3,96
H -4t4 + 4t7 + 4t8 = 0 6 0,02 4 0,08
D
V +3t3 + 3t5 = 0 7 0,65 5 3,25
H -4t2 - 4t3 + 4t6 = 0 8 -1,97 4 -7,88
E V -4 - 3t9 - 3t11 = 0 9 -0,65 3 -1,95
H -4t8 + 4t12 + 4t11 = 0 10 0,68 4 2,72
F
V 3t9 + 3t7 = 0 11 -0,68 5 -3,4
H -4t7 - 4t6 + 4t10 = 0 12 -1,29 4 -5,16
G V -6cos60 - 3t13 = 0 13 -1 3 -3
H
66..44 PPrroocceessssoo ddaass SSeeeess oouu ddee RRiitttteerr
Como vimos no processo dos ns, admitimos cortadas todas as barras da trelia
e consideramos sucessivamente as condies de equilbrio (H = 0 e V = 0) relativas a todos os ns, um a um.
B E 4 8
1 3
2
5 7 9
6
D
A
2tf
12
16 11
10
13 3 m
HA=5,2 tf
H F
30 C G
4tf 6tf
4 m
VB=5,03 tf
4 m 4 m
VA=3,97 tf
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Esse processo utilizado quando se deseja determinar as foras normais em
todas as barras.
No processo das sees temos condies de obter a fora normal em
apenas algumas barras ou somente em uma nica.
Neste caso, estabelecemos as condies de equilbrio do reticulado que resulta,
quando aplicamos os cortes naquelas barras cujas foras normais procuramos. Este processo permite, com sucesso, a resoluo de diversos casos de trelias
simples e compostas (associao de uma ou mais trelias que no podem ser
obtidas seguindo-se a lei da formao das trelias simples) tornando-se, entretanto, impraticvel no caso das trelias complexas.
Ao partirmos a barra CE a trelia se transforma em dois reticulados geomtricos indeformveis e interligados pela articulao F.
Logo os momentos relativos a quaisquer foras de um lado ou de outro lado dos
reticulados devem ser nulos.
Tomando, por exemplo, a parte situada esquerda de F, temos:
3NCE 2x4 3,97x8 0 3NCE 23,76 NCE 7,92tf
B E
D
A
2tf
3 m
5,2 tf
H F
30 C G
4tf 6tf
4 m
5,03 tf
4 m 4 m
3,97 tf
B E
D
A
2tf
3 m
5,2 tf
H F
30 C G
4tf 6tf
4 m
5,03 tf
4 m 4 m
3,97 tf
NCE NCE
Banzo sup.
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Calcular a fora normal na barra CF diagonal:
Nestas condies os dois reticulados esto ligados por duas barras biarticuladas paralelas CE e DF, incapazes de impedir o deslocamento na direo vertical.
Desta forma, para no acontecer movimento relativo das partes, fazemos V 0 . Relativo a um ou outro reticulado.
Tomando o reticulado da esquerda, temos:
V 0 3,97 2 NCFsen 0
1,971,97 0,6NCF NCF 3,28 tf
0,6
Os reticulados esto interligados por duas retas paralelas BC e DF. Tambm neste caso os reticulados so incapazes de impedir o deslocamento na direo vertical. Logo
B E
D
A
2tf
3 m
5,2 tf
H F
30 C G
4tf 6tf
4 m
5,03 tf
4 m 4 m
3,97 tf
NCF
NCF
3 m
B E
D
A
2tf
5,2 tf
H F
30 C G
4tf 6tf
4 m
5,03 tf
4 m 4 m
3,97 tf
NCD
NCD
-
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temos que fazer V 0.
Vamos pega os reticulado da esquerda, logo teremos:
O da esquerda: V 0 3,97 NCD 0 NCD 3,97tf.
O da direita: 2 NCD 4 5,03 6x0,5 0 9 5,03 NCD NCD 3,97tf.
Exerccio: Dado o sistema reticulado abaixo, pede-se:
Calcular as reaes de apoio.
Calcular os esforos normais em todas as barras.
Obs: Utilizar duas casas decimais.
AH 0 H 3 3 0 AH 6KN
A B A BV 0 V V 2 2 2 0 V V 6KN AV 6,8KN
A B BM 0 5V 3x5 2x3 2x7 3x3 0 5V 4KN BV 0,8KN
cos sen 0,71
3cos 0,83
3,61
sen 0,55
2cos 0,55
3,61
3sen 0,83
3,61
+
+
+
3 m
2 m
5 7
6
90 90
90
90 3
4
1
A
D 3 KN
B
C E
2 KN
3 KN
2 KN
2 KN
3 m 2 m 2 m
HA = 6 KN
VA = 6,8 KN VB = -0,8 KN
-
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N E
6 7 6 6H 0 3 N N x0,55 0 3 2,41x0,55 N N 1,67KN
7 7V 0 2 N x0,83 0 N 2 /0,83 2,41KN
N D
2 2H 0 3 N x0,83 0 N 3 /0,83 3,61KN
1 1V 0 2 N 3,61x0,55 0 N 3,99KN
N A
1 3 3 3V 0 6,8 N N x0,71 0 6,8 3,99 N x0,71 N 3,96KN
3 4 4H 0 6 N x0,71 N N 3,19KN
N B
5 7V 0 0,8 N x0,83 N x0,83 0
5 50,8 2,41x0,83 N x0,83 N 2,8 /0,83 3,37KN
2 KN
3 KN N6
N7
+
3 KN
+
2 KN
N2
N1
90
N4
6 KN
N3 N1
90
6,8 KN
N4
6 KN
N7 N5 90
-0,8 KN
90
-
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cos 0,6
sen 0,8
cos sen 0,71
5cos 0,86
5,83
3sen 0,51
5,83
A BH 0 2 8 H H 0 A B BH H 10KN H 15,14KN
BV 0 V 4 6 0
BV 10,00KN
BBM 0 V 4x9 8x3
6x 4 A7H 0 AH 5,14KN
N A
2H 0 N x0,71 5,14 2N 7,24KN
1 2V 0 N N x0,71 0
1N 5,14KN
N C
4V 0 N x0,51 4
4N 7,84KN
5H 0 2 7,84x0,86 N 5N 8,75KN
N B
1 3 3V 0 N N x0,6 10 0 5,14 10 N x0,6
3N 8,1KN
Prova:
+
+
90
N2
N1
90
-5,14 KN
N4
2 KN
4 KN
N5
+
+ N5
N3
15,14 KN
N1
10 KN
90
5 m 4 m
4 kn
2 kn
4
C 5
3
90
90
90
90
D
8 kn
10 kn 6 kn 2
1
90
A HA = -5,14 KN
4 m
3 m
B HB =15,14 KN
VB = 10 KN
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3 3H 0 15,14 8,75 N x0,8 6,39 N x0,8 3N 7,99KN
NS EQUAES BAR RAS
N (KN)
A H 2 1 2
N N cos 0 N 8,13x0,55 2 -4,47
V 1 16,75 N sen 0 N 6,75 /0,83 1 8,13
C H 4 4
4 8,13x0,55 3,87x0,71 N 0 N 3,22 4 3,22
V 1 3N sen N cos 4
3 38,13x0,83 N x0,71 4 N 2,75 /0,71 3 -3,87
B H
5 7N 10 N x0,71 0
5 5N 10 3,25 0 N 6,75 5 -6,75
V 7 73,25 N x0,71 0 N 3,25 /0,71 7 4,58
E H
4 6 7N N xcos N cos 6 0
6 63,22 4,58x0,71 6 N x0,89 N 0,47 /0,89 6 -0,53
V
H
2 3cos 0,55;sen 0,83
3,61 3,61
sen cos 0,71 cos sen 0,71
V 6 3cos 0,89 sen 0,45
6,71 6,71
2 3cos 0,55 sen 0,83 sen cos 0,71
3,61 3,61
A B D 2
VA = 6,75 KN VB = 3,25 KN
5
3 KN
HB = 10 KN
3 m 3
E 6 KN
3 KN
7
90 90
90
90
90 1
4
C
2 m
4 KN
3 m 3 m 3 m
4 KN
6
N1
N2
6,75 KN
90
N1
N4 4 KN
90 N3
4 KN
N7
10 KN
6,75
90
N5
N6
6 KN N4
90
3 KN
N7
-
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15
6 3cos 0,89 sen 0,45 cos sen 0,71
6,71 3,61
H 0 AH 5 KN A JV 0 V V 4KN
AV 2,07KN
AM 0 1x2 1x 4 1x9 1x12 2x2
2x2 J14V JV 1,93KN
NDE
DEV 0 N 1 2,07 0
DEN 1,07KN (Ret. a esq.)
NDG
DG DGV 0 N x0,63 1 1 2,07 0 0,63N 0,07
DGN 0,11KN (Ret. a esq.)
NEG
EGDM 0 1x2 2,07x 4 5x2 N x 4 0
EGN 0,93KN (Ret. a esq.)
NFH
FHIM 0 N x 4 2x 4 1,93x2 1x2 0
FHN 3,47KN (Ret. a dir.)
1 KN
B
1 KN
D
1 KN
F
1 KN
H 2 KN
2 m
1 KN
2 m
2 KN
2 m 3 m 5 m 2 m 2 m C E G I
J
VJ=1,93 KN VA=2,07KN
A
HA=5 KN
6,4 90
+
-
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BH 0 2 2 H 0 BH 4 KN
A BV 0 V V 5KN
AV 5 2,31 2,69KN
AM 0 2x3 1x1,5
1x 1,5 B1x5,5 1x7,5 1x12,5 2x3 4x5 V x14,5 0
B14,5V 33,5KN BV 2,31KN
NIK
IK IKLM 0 3N 2x3 2,31x2 4x1 0 3N 2,62KN
IKN 0,87KN (Ret. a dir.)
NFH
FHEM 0 N x3 1x3 2,69x1,5 0
FHN 0,35KN (Ret. a esq.)
NGJ
GJ GJV 0 1 N x0,83 1 2,31 0 N 0,31/0,83 0,37KN
GIN 0,37KN (Ret. a dir.)
2 3cos 0,55 sen 0,83
3,61 3,61
NIJ
IJ IJV 0 N 1 2,31 0 N 1,31KN
IJN 1,31KN (Ret. a dir.)
1 KN 1 KN 1 KN 1 KN
1 KN
2 KN
3 m
2 m
1 m
2 m
VB=2,31KN
HB=4KN
2 m 5 m
B
L J H
K I G E
F
C
D
A
4 m 1,5 m 1,5 m
VA=2,69KN
2 KN
+
-
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17
5sen
5
2 5cos
5
2 5sen
5
5cos
5
Reaes de Apoio
A C A
C C
C A A
V 0 V V 12t V 12t
H 0 H 12t V 0
M 0 V x6 6 x6 6 x6 0 V 12t
Equilbrio dos Ns
N A A 1 2
2
V 0 V N N sen 0
H 0 6 N cos 0
N B 1 3
5 3
V 0 6 N N sen45 0
H 0 6 N N cos45 0
N C C 4
C 5 4
V 0 V 6 N sen 0
H 0 H N N cos 0
6 t
6 t
6 t
HC
VC
VA
2 m 4 m
6 t
C B
A
D
5
3 4
1
2
2 m
4 m
1
2
N 0
N 6 5t
3
4
5
N 6 2 t
N 6 5 t
N 0
-
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N Equao
A V A 1V 5T 0
H 5 T2 = 0
B V VB + 5T3 + 10T4 + 10T5 = 0
H -HB 5T2 5T3 5T4 = 0
C V -5T1 5T3 + 5T7 + 5T9 =0
H - 12T9 + 5T3 = 0
D V -P2 10T5 = 0
H -5T6 = 0
E V -5T7 10T4 = 0
H -12T8 + 5TA + 5T6 = 0
F V -P1 5T9 = 0
H 12T8 + 12T9 = 0
A B
C
D E F
5
6
4
3
2
1
7
8
9
HB
VB VA 5 m 12 m
5 m
5 m
P1=500kg P2=1500kg
Reaes
VA 1700
VB 300
HB 0
T L Normal
1 -340 5 -1700
2 0 5 0
3 -240 7,07 -1697
4 240 11,18 2683
5 -150 10 -1500
6 0 5 0
7 -480 5 -2400
8 100 12 1200
9 -100 13 -1300
-
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19
Exerccio:
N Equao
B V 91 N 0
H 1 2N N 0
E V 9 5 42 N N sen N sen 0
H 5 4N cos N cos 0
F V 5 7 63 N sen N sen N 0
H 5 7N cos N cos 0
D V 4 8N sen N sen 3 0
H A 85 N cos N cos 0
C V C 3 7V N N sen 0
H 2 7N N cos 0
A V A 6 8V N N sen 0
H A 1 8H N N cos 0
2t
E
5t D F
A
6
7
5
9
4
8
3
2 1
3t
HA C
B 1t
VA VC
2 m 2 m
1,5 m
3 m
-
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Estruturas em Trelia
20
1. Calcular as foras normais nas barras da trelia:
2. a) Verificar se a trelia isosttica.
b) Calcular a fora normal em todas as barras da trelia, utilizar o processo dos
ns ou o processo dos coeficientes de fora.
3t 5t
2t D 7 E
6
5
4
3
C
1
2
A B
4 m 4 m
6 m
1000 kgf
A
B
1 2
3 C 500 kgf
4
D
5 6
7 E
8
4 m
9
F
2 m
3 m
3 m
5 m
-
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Estruturas em Trelia
21
3. Dada a trelia, determinar as reaes de apoio e a fora normal nas barras:
4. Determinar as foras normais da trelia abaixo (qualquer mtodo):
5. Dada a trelia abaixo, pede-se verificar se a mesma isosttica, suas reaes de apoio e as foras normais em todas as suas barras.
5t 4 m 4 m
3 m
3t
2t
C
B
D
6 m 4 m
3 m
3 m 7 m
A E B
C D F 5 t
2 t
4 m
A B
4
3
1 2
C D 7
3 m
8
6 5 3 m
E F
3 m
11
12 10 9
2 KN
G 13
2,54 KN 4 KN
60
-
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22
NS EQUAES N (EM KN)
A H
V
B H
V
C H
V
D H
V
E H
V
F H
V
G H
V
H H
V