apostila mecanica estruturas
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1. Introdução:
1.1. Generalidades:
Conceito: mecânica é a ciência física que descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de corpos sob a ação de forças.
Aplicações: cálculo de estruturas, projeto de máquinas, escoamento de fluídos e
instrumentação elétrica. Subdivisão da mecânica:
Estática Mecânica dos Corpos Rígidos: Dinâmica Elasticidade Mecânica dos Corpos Deformáveis: Plasticidade Viscoelasticidade Fluídos Incompressíveis Mecânica dos Fluidos: Fluídos Compressíveis
A divisão da mecânica dos corpos rígidos em estática e dinâmica existe por razões
práticas e históricas, já que a estática é um caso particular da dinâmica. Histórico: Aristóteles (384 a 322 a.C.) maioria dos principios da estática; Arquimedes (287 a 212 a.C.) equilíbrio de alavancas; Galileu Galilei (1564 a 1642 a.C.) pêndulos e corpos em queda livre, medidas
precisas do tempo; Isaac Newton (1564 a 1642) leis fundamentais do movimento e lei
universal da atração gravitacional; D’Alembert, Lagrange, Euler, Hamilton técnicas para aplicação das leis desenvolvidas
por Isaac Newton; Albert Einstein (1905) teoria de relatividade – mecânica relativista.
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1.2. Conceitos Fundamentais:
Quantidades Básicas: Comprimento: é necessário para localizar a posição de um ponto no espaço e
descrever a dimensão de um sistema físico. Tempo: medida da sucessão de eventos. Alem da posição no espaço, o instante em
que ocorre cada evento deve ser conhecido. Massa: é uma propriedade da matéria pela qual se pode comparar a ação de um
corpo com a de outro. Força: é a ação de um corpo sobre outro. Esta ação pode ser por contato ou a
distância (gravidade). É uma grandeza vetorial sendo, então, representada por seu módulo, direção e sentido.
Idealização: ou modelos são usados para simplificar a teoria. Ponto Material (Partícula): possui massa, porém suas dimensões são desprezíveis,
por exemplo, a Terra quando se estuda sua órbita. Corpo Rigido: é uma combinação de um grande número de partículas que ocupam
posições fixas relativamente umas às outras. O corpo se desloca como um todo, não há movimento relativo entre as partículas, portanto não há deformação.
Força Concentrada: representa o efeito de uma carga admitida como atuando em
um ponto do corpo. Pode-se representar uma carga concentrada, desde que a área sobre a qual ela é aplicada seja pequena, comparada às dimensões totais do corpo.
As Leis do Movimento de Newton: Primeira Lei: uma partícula inicialmente em repouso ou em movimento em linha
reta, com velocidade constante, permanece nesse estado desde que não seja submetida a uma força desequilibrada.
Segunda Lei: a aceleração de um corpo tem a direção da força externa resultante
que atua sobre ele. É proporcional ao módulo da força externa resultante e inversamente proporcional à massa do corpo:
amF ⋅= (1.1) A força externa resultante é a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre o
corpo. Terceira Lei: as forças de ação e reação entre corpos em contato têm o mesmo
módulo, direção e sentidos opostos. Lei da Atração Gravitacional de Newton: duas partículas de massa m1 e m2 são
mutuamente atraídas por forças iguais e opostas de mádulo F, dadas pela equação (1.2),
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em que G é Constante Universal de Gravitação (G= 6,673x10-11 m3/(kg·s2)) e r é a distância entre os centros das partículas.
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rmm
GF⋅
⋅= (1.2)
Um caso particular do emprego desta lei se dá na determinação da força exercida
pela Terra sobre uma partícula localizada em sua superfície. Esta força, que é definida como Peso da partícula, é calculada fazendo-se m1 representar a massa da Terra, que é aproximadamente de 5,983x1024kg e m2 a massa da partícula. Considera-se ainda, r como sendo o raio médio da Terra, que é aproximadamente 6,38x106m. Com estes valores defini-se a aceleração da gravidade g pela expressão (1.3), e o peso da partícula pela equação (1.4). O valor de g varia com a posição da partícula sobre a superfície da Terra, o seu valor usual é de 9,806 m/s2.
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rmG
g⋅
= (1.3)
gmP ⋅= 2 (1.4)
1.3. Sistema de Unidades:
A aplicação das unidades é uma fonte de erro comum em problemas. Neste sentido, devemos sempre indicar qual unidade de um certo valor ao longo da solução de um problema, já que um número sem unidade pode ser interpretado de qualquer forma. Deve-se tomar cuidado de se trabalhar com sistemas de unidades coerentes. Finalmente ao se obter uma resposta procure ser crítico com relação a ela. Muitas vezes o uso correto das unidades pode nos revelar algum erro de cálculo durante a solução do problema.
Sistemas de unidades coerentes são os sistemas que têm a constante g0, também chamada de constante de proporcionalidade, empregada na equação (1.5), igual a 1.
0gam
F⋅= (1.5)
Os sistemas de unidades coerentes mais comuns são:
• Sistema CGS: a força de 1 dina acelera a massa de 1 g a 1 cm/s²; • Sistema Inernacional(MKS): a força de 1 newton acelera a massa de 1 kg a 1m/s²; • Sistema pé-libra-segundo: a força de 1 libra-força acelera a massa de 1 slug a 1ft/s².
No entanto, quando se aplica a mesma palavra para indicar a unidade de massa e
de força, num mesmo sistema, o valor de g0 não é mais unitário as definições de força caem neste caso são:
• 1 libra-força é a força que acelera 1 libra-massa a 32,174 ft/s²; • 1 quilograma-força é a força que acelera 1 quilograma-massa a 9,806m/s².
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Para estes sistemas a constante g0 vale respectivamente: 2174,32slbfftlb
⋅⋅
e
2806,9skgfmkg
⋅⋅
.
Na solução de problemas procure sempre aplicar o Sistema Internacional, SI, cujas
grandezas fundamentais são:
Gandeza: Unidades: Símbolo SI comprimento metro m
tempo segundos s massa quilograma kg força Newton N
Múltiplos:
Forma exponencial Prefixo Símbolo SI Múltiplo
1.000.000.000 109 giga G 1.000.000 106 Mega M
1.000 103 quilo k Submúltiplo
0,001 10-3 mili m 0,000.001 10-6 Micro �
0,000.000.001 10-9 nano n
1.4. Classificação das forças:
Forças Externas: são as forças que atuam sobre um corpo devido à ação de outros corpos sobre este. Estas forças podem ser divididas em Ativas e Reativas. As forças Ativas causam uma tendência de movimento no corpo, enquanto que as forças Reativas tendem a evitar o movimento do corpo.
Forças Internas: são as forças responsáveis por manter unidas as partículas que formam o corpo rígido.
Forças Concentradas: são as forças que atuam num único ponto. São uma idealização de realidade, que tem como função facilitar os cálculos, não existe constatação prática de sua existência.
Força Distribuída: são forças que atuam numa determinada região do corpo. Forças Estáticas: são forças que podem ser consideradas constantes no tempo. Forças Dinâmicas: são forças variáveis no tempo.
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2. Vetores Força: 2.1. Escalares e Vetores:
Escalar: uma quantidade caracterizada por um número positivo ou negativo é
chamado escalar Vetor: é uma quantidade que tem intensidade e direção. Na estática,
freqüentemente encontramos as seguintes quantidades vetoriais: posição, força e momento. Em trabalhos manuscritos representa-se normalmente um vetor por uma letra
com uma flecha sobre ela, por exemplo A→
.
2.2. Operações Vetoriais:
2.2.1. Multiplicação e Divisão de um Vetor por um Escalar:
O produto do vetor A→
pelo escalar a, será Aa→
⋅ . O sentido de Aa→
⋅ será o
mesmo de A→
se o escalar for positivo, e será oposto a A→
, se o escalar for negativo. Adivisão de um vetor é definida usando-se as leis da multiplicação, visto que
AAaa
→→
⋅= 1 , com a�0. A figura 2.1 mostra graficamente exemplos dessas
operações.
Figura 2.1
2.2.2. Adição e Subtração Vetorial:
Dois vetores A→
e B→
podem ser somados para formar um vetor “resultante”
BAR→→→
+= usando-se a lei do paralelogramo ou ainda utilizando-se a construção de triângulos, os quais podem ser observados na figura 2.2.
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Figura 2.2
Dois vetores também podem ser subtraídos, onde a resultante diferença entre os
dois vetores pode ser expressa como: ��
���
�−+=−=→→→→→
BABAR .
A figura 2.3 mostra de forma gráfica a subtração de dois vetores. A subtração é um caso especial de adição, de modo que as regras da adição vetorial também se aplicam à subtração vetorial.
Figura 2.3
No caso da existência de mais de duas forças, é preciso realizar aplicações
sucessivas da lei do paralelogramo afim de obter a força resultante. A figura 2.4 demonstra um exemplo de soma de três vetores.
Figura 2.4
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Exemplo: Combine as duas forças P e T que atuam no ponto B da estrutura fixa ilustrada na figura abaixo, numa só força. Considere P=800N e T=600N.
Para solucionar este problema devemos aplicar a lei dos senos e a lei dos
cossenos.
Lei dos senos: senc
Csenb
Bsena
A ==
Lei dos cossenos: cBABAC cos222 ⋅⋅−+= Inicialmente se faz a representação do problema em um diagrama de corpo livre
das forças que estão atuando no ponto B. Para determinar o valor de � faz-se:
msenBD 2,5606 =⋅= mADmCD 0,60,360cos6 =→=⋅=
9,4062,5 =→== αα
ADBD
tg
Com � conhecido obtemos facilmente:
NR 5249,40cos6008002800600 22 ≅⋅⋅⋅−+=
6,48600
9,40524 =→= θ
θsensen
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2.2.3. Adição de um Sistema de Forças Coplanares: Quando é necessário obter a resultante de mais de duas forças, é mais fácil
determinar os componentes de eixos especificados, adicionar algebricamente esses componentes e depois gerar a resultante, em vez de determinar a resultante das forças pela aplicação sucessiva da lei do paralelogramo.
Para isso devemos decompor cada uma das forças em suas componentes retangulares Fx e Fy, que se localizam ao longo dos eixos x e y, respectivamente. Apesar de um eixo ser horizontal e o outro, vertical, podem ser orientados com qualquer inclinação desde que permaneçam perpendiculares um ao outro, como pode ser observado na figura 2.5. Em qualquer dos casos, pela lei do paralelogramo, é necessário que:
Figura 2.5
yx FFF += ''' yx FFF += Expressão semelhante pode ser escrita em função dos vetores unitários i e j, ou
seja jFiFF yx ⋅+⋅= , em que Fx e Fy são as componentes escalares da força F. A figura 2.6 apresenta a representação da força F por suas componentes.
Figura2.6
Como a força F é um vetor são válidas as seguintes propriedades:
θcos⋅= FFx , θsenFFy ⋅= e 22yx FFF += , em que � é o ângulo diretor
da força F em relação ao eixo X.
X
Y
i
j θ
Fy F
Fx
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Exemplo: Aplica-se uma força de 300N na corda AB, conforme figura abaixo. Determine as componentes horizontal e vertical da força exercida pela corda no ponto A.
Solução:
mAB 1068 22 =+=
NFFx 240108300cos =⋅=⋅= α
NFFy 180106300cos =⋅=⋅= θ
As formas de representar o vetor força neste caso são: jiF 180240 −= ou NF )180;240( −= ou NF )6,0;8,0(300 −=
2.3. Equilíbrio de uma Partícula no Plano: Objetos considerados como partículas somente podem ser submetidos a sistemas
de forças concorrentes, ou seja todas as forças passam pelo ponto em que está a partícula.
A condição de equilíbrio de uma partícula está relacionada com a primeira Lei de Newton, logo a condição necessária para que a partícula esteja em equilíbrio no plano é:
0=�F � ( )� +=+ jijFiF yx 00 que resulta em � = 0xF , � = 0yF
Exemplo: Calcular as forças que atuam nos cabos AB e AC, considerando-se que
o objeto sustentado pelos cabos está em equilíbrio. Solução: empregando-se o triângulo de forças deve-se inicialmente fazer um esquema do mesmo. Converter massa em peso:
NPsmkgP 736/806,975 2 ≅→⋅=
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Com base neste esquema pode-se escrever:
NFsenF
senF
sen ABACAB 647406080
736 =→== e NFAC 480=
Outra forma de resolver este exercício seria com as componentes cartesianas das
forças, para isso devemos fazer um diagrama de corpo livre do ponto A e a partir deste escrever as equações de equilíbrio.
ABACABACx FFFFF ⋅=→=⋅−⋅→=Σ 742,0050cos30cos0 (1) 073650300 =−⋅+⋅→=Σ senFsenFF ABACy (2)
Substituindo-se (1) em (2) obtém-se:
NFAB 647= e NFAC 480=
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2.4. Componentes Cartesianas de uma Força no Espaço: A figura abaixo representa a decomposição de uma força F no espaço, onde esta
força é representada pelas suas componentes vetoriais, xF , yF e zF , que são orientadas
nas direções dos eixos X, Y e Z. Logo pode-se escrever: zyx FFFF ++= ou
kFjFiFF zyx ++= utilizando-se os vetores unitários. Neste caso, xF , yF e zF são as componentes escalares de F.
As projeções F nos eixos de referência são dadas por:
yy FF θcos⋅=
yh senFF θ⋅=
φθφ senFsenFF yhz .cos.=⋅=
φθφ cos.cos ⋅=⋅= yhx senFFF O módulo do vetor F é obtido
fazendo-se:
222zyx FFFF ++=
Os ângulos �x, �y e �z representados na figura acima são os ângulos diretores da
força F. Para os cossenos diretores é válida a relação: 1coscoscos 222 =++ zyx θθθ . Emprega-se o conceito dos cossenos diretores para se escrever a força F como
F ( )zyxF θθθ cos,cos,cos⋅= , em que ( )zyx θθθ cos,cos,cos é o vetor unitário que indica a direção e sentido de F.
Se a reta de ação da força F for definida por dois pontos M e N, conforme figura abaixo, devemos definir o vetor unitário � como: MN
( )λ==
d
ddd
MNzyx ,,MN
, onde: ( )12 xxd x −= , ( )12 yyd y −= e ( )12 zzd z −= e d é a
distância entre os pontos M e N, 222zyx dddd ++=
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Se for conveniente escrever o vetor força F, na direção de uma reta s, e se os co-senos diretores de F são l, m e n em relação aos eixos x, y e z. E os co-senos diretores de s �, � e �, então, a componente F na direção de s torna-se:
( )γβα kjis ++=
( ) ( )γβα kjiknjmilFFsFF ss ++⋅++=�⋅=
( )γβα nmlFFs ++=
Uma vez que: 1=⋅=⋅=⋅ kkjjii e 0=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅ jkkjikkiijji Exemplo: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de um
parafuso fixo no ponto A, conforme figura a seguir. Sabendo que a força no cabo é de 2.500N, determine as componentes da força que atua sobre o parafuso, bem como os ângulos diretores da força.
Coordenadas dos pontos: A (40, -80, -30) e B (0, 0, 0)
( ) ( ) 4040012 −=�−=−= xx dxxd ( ) ( ) 8080012 =�−−=−= yy dyyd
( ) ( ) 3030012 =�−−=−= zz dzzd 222
zyxAB dddd ++=
( ) mdd ABAB 3,94308040 222 =�++−=
( ) ( )318,0;848,0;424,03,94
30,80,40 −=�−= ABAB λλ
( )N318,0;848,0;424,02500F −⋅=⋅= ABF λ A partir desta expressão obtêm-se facilmente as componentes da força e seus
ângulos diretores, fazendo-se: ( ) °=�−= 1,115424,0arccos xx θθ
N1060424,02500 −=�−⋅= xx FF ( ) °=�= 32848,0arccos yy θθ
N2120848,02500 =�⋅= yy FF
( ) °=�= 5,71318,0arccos zz θθ N795318,02500 =�⋅= zz FF
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2.5. Equilíbrio de uma Partícula no Espaço: A condição de equilíbrio de uma partícula no espaço também vem da Primeira Lei
de Newton ou seja: ( ) kjikFjFiFF zyx 0000 ++=++→= �� , de onde obtemos:
� = 0xF , � = 0yF , � = 0zF Exemplo 1: O tripé ABCD, conforme figura a seguir, e o tambor E estão
instalados para elevar uma carga de 3tf de um poço. Determinar os esforços nos pés do tripé durante o levantamento da carga, considerando que o triângulo ABC é eqüilátero e os ângulos formados pelos pés e o cabo DE com o plano horizontal são iguais a 600.
A resolução deste problema é feita pelas equações
de equilíbrio, pois as barras e o cabo passam pelo ponto D.
Conforme o texto todas as barras do tripé fazem um
ângulo de 600 com a horizontal e o mesmo vale para o cabo. Com isso podemos escrever a equação de equilíbrio para o eixo z.
� = 0zF
03603606060 =−°−°+°+° sensenFsenFsenF CDADBD 464,6=++ CDADBD FFF (a)
Observa-se na expressão anterior que não basta considerar o peso de 3tf, temos
que levar em conta também o esforço no cabo ED, que neste problema é igual ao peso porque consideramos a polia como perfeita ou seja sem atrito.
Desenhando o diagrama de corpo livre no plano XY das forças que atuam em D,
podemos determinar as outras duas equações de equilíbrio:
� = 0xF
06060cos6060cos =°°+°°− senFsenF ADBD
BDAD FF = (b)
� = 0yF
060cos360cos60cos60cos60cos60cos =°−°−°°+°° CDADBD FFF
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0360cos60cos =−−°+° CDADBD FFF (c) Substituindo (b) em (c) obtêm:
0360cos20360cos60cos =−−°�=−−°+° CDBDCDBDBD FFFFF 3−= BDCD FF (d)
Substituindo (d) e (b) em (a) obtêm:
tfFFFFFF BDBDBDBDBDBD 155,33464,93464,63464,63 =�=�+=�=−++
Logo: tfFF BDAD 155,3== , tfFFFF CDCDBDCD 155,33155,33 =�−=�−= Exemplo 2: Uma caixa está suspensa por três cabos, conforme figura a seguir.
Determine o peso da caixa sabendo que a força no cabo AD é de 4620N.
Coordenadas pontos de interesse: A (0;-1,125;0) B (0,7;0;0) C (0;0;-0,6) D (-0,65;0;0,45) Definir o vetor unitário para cada força:
( ) 7,007,0 =�−=−= xABABxAB dxxd ( ) 125,1125,10 =�−−=−= yABAByAB dyyd
( ) 000 =�−=−= zABABzAB dzzd
mddddd ABzAByABxABAB 325,10125,17,0 222222 =�++=++=
( ) ( )000,0;849,0;528,0325,1
0;125,1;7,0 =�= ABAB λλ
( ) 000 =�−=−= xACACxAC dxxd ( ) 125,1125,10 =�−−=−= yACACyAC dyyd
( ) 6,006,0 −=�−−=−= zABACzAC dzzd
mddddd ACzACyACxACAC 275,1)6,0(125,10 222222 =�−++=++=
( ) ( )471,0;882,0;000,0275,1
6,0;125,1;0 −=�−= ACAC λλ
( ) 65,0065,0 −=�−−=−= xADADxAD dxxd
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( ) 125,1125,10 =�−−=−= yADADyAD dyyd
( ) 45,0045,0 =�−=−= zADADzAD dzzd
mddddd ADzADyADxADAD 375,145,0125,1)65,0( 222222 =�++−=++=
( ) ( )327,0;818,0;473,0375,1
45,0;125,1;65,0 −=�−= ADAD λλ
Escrevendo as forças envolvidas no problema na forma vetorial, obteremos:
( )N000,0;849,0;528,0FAB ⋅= ABF ( )N471,0;882,0;000,0FAC −⋅= ACF
( )N327,0;818,0;473,04620FAD −⋅= kPji 00P −−=
Escrevendo-se as equações de equilíbrio, resolvemos o problema:
� = 0xF
750,4138260,2185528,004620473,00528,0 =�=�=⋅−+ ABABACAB FFFF N
� = 0yF
04620818,0882,0849,0 =−⋅++ PFF ACAB 0160,3779882,0750,4138849,0 =−++⋅ PFAC
0160,3779516,3207882,0750,4138849,0 =−+⋅+⋅ P 0160,3779516,3207882,0750,4138849,0 =−+⋅+⋅ P
988,10121160,3779029,2829799,3513 =�=++ PP N
� = 0zF
516,3207740,1510471,004620327,0471,00 =�=�=⋅+− ACACACAB FFFF N
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Exercícios Propostos:
1)
2)
17
3. Momento de uma Força: 3.1. Momento de uma Força – formulação escalar:
O momento de uma força em relação a um ponto ou a um eixo fornece uma
medida da tendência dessa força de provocar a rotação do corpo em torno de um ponto ou de um eixo, o momento é freqüentemente chamado de torque. Na figura abaixo é apresentada uma representação de momento.
Onde em (a) a força Fx faz o tubo girar em torno do eixo Z, provocando o momento: yxOz dFM ⋅= , observe que o eixo Z é perpendicular ao plano que contem a força Fx e a distância dy, e o intercepta no ponto O. Em (b) a força Fz faz o tubo girar em torno do eixo X, provocando o momento: yzOx dFM ⋅= , mesmo que o tubo não possa girar, a tendência ao giro existe. Já em (c) vemos a força Fy sendo aplicada no tubo, mas o tubo não irá girar em torno do eixo X.
3.1.1. Intensidade, Direção e Sentido.
De maneira generalizada, vamos considerar uma força F e um ponto O, conforme
figura a seguir. Onde o momento em relação ao ponto O, terá sua intensidade dada por: dFM O ⋅= ; onde d é chamado de braço do momento e é a distância perpendicular do
ponto O até a linha de ação da força. A unidade do momento é dada pelo produto de uma força por distância [ N·m, kN·m , lb·pé].
A direção e o sentido do momento podem ser determinados pela regra da mão direita, onde curvando-se os dedos da mão direita no sentido do giro do momento o polegar ficará orientado na direção do eixo do momento, indicando a direção e o sentido do vetor momento.
No espaço o vetor momento pode ser representado
conforme na figura (a) acima ou ainda: , onde a seta indica a direção em que deve apontar o polegar da mão direita. E no plano a representação é feita conforme figura (b) acima.
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3.1.2. Momento Resultante de um Sistema de Forças Coplanares. Se um sistema de força se localiza em um plano, conforme figura a seguir, então o
momento produzido por cada força em relação ao ponto O é direcionado ao longo do eixo Z. Conseqüentemente o momento resultante do sistema MRo é obtido através da soma dos momentos provocados por cada uma das forças. O que pode ser representado por: � ⋅= dFM Ro , por convenção dizemos que o momento é positivo quando este provocar um giro anti horário no corpo.
Exemplo: a) Determine o momento da força em relação ao ponto O em cada caso
ilustrado a seguir.
( ) mNMM OO ⋅−=�⋅−= 2002100
( ) mNMM OO ⋅−=�⋅−= 5,3775,050
( )[ ] péslbMM Oo
O ⋅=�+⋅−= 22930cos2440
péslbMsenM O
oO ⋅=�⋅= 4,4245160
( ) mkNMM OO ⋅=�−⋅= 21147
b) Determine o momento resultante das quatro forças que atuam na barra mostrada na figura ao lado em relação ao ponto O.
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3.2. Produto Vetorial: Como passaremos a representar o momento de uma força de forma vetorial, é
interessante fazermos uma revisão dos conhecimentos de álgebra vetorial. Onde: BAC ×= , que é lido como “C é igual ao produto vetorial de A e B”. 3.2.1. Intensidade.
A intensidade de C é definida como o produto das intensidades
de A e B e o seno do ângulo � entre os dois vetores, assim: θsenBAC ⋅×= .
3.2.2. Direção e Sentido. O vetor C tem direção perpendicular ao plano contendo A e B, de modo que seu
sentido é determinado pela regra da mão direita. Conhecendo a intensidade, a direção e o sentido de C, podemos escrever:
( ) csenABBAC λθ⋅=×= (4.1) Onde o escalar ABsen� define a intensidade de C e o
vetor unitário �c define sua direção e sentido, onde os termos da equação acima são ilustrados na figura ao lado.
3.2.3. Leis de Operação com Vetores. 1. O produto vetorial é não-comutativo, isto é:
ABBA ×≠× , na verdade: ABBA ×−=× , o que pode ser comprovado na figura abaixo:
2. Multiplicação por um escalar:
( ) ( ) ( ) ( )αααα BABABABA ×=×=×=× 3. Lei distributiva:
( ) ( ) ( )DABADBA ×+×=+×
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3.2.4. Formulação Vetorial Cartesiana. A equação 4.1 pode ser usada para obter o produto vetorial de um par de vetores
unitários cartesianos. Por exemplo, para obter i x j, a intensidade do vetor resultante é ( )( )( ) ( ) ( )( ) 111190 =→=osenji ; para determinar sua direção e sentido, usamos a regra da mão direita. Conforme figura ao lado, o vetor resultante aponta na direção +k.
Portanto i x j = k. De maneira similar:
i x j = k i x k = -j i x i = 0 j x k = i j x i = -k j x j = 0 k x i = j k x j = -i k x k = 0
Em vez de memorizar as relações apresentadas acima, deve-se compreender como
elas são obtidas, uma forma mais fácil de obter as relações é através do esquema apresentado na figura ao lado. Onde a multiplicação de dois vetores consecutivos gera o terceiro vetor, se a multiplicação for no sentido anti-horário o vetor resultante é positivo, caso contrário é negativo.
Considerando agora o produto vetorial de dois vetores quaisquer A e B, os quais são expressos na forma de vetores cartesianos, obtendo assim:
( ) ( )kBjBiBkAjAiABA zyxzyx ++×++=×
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+×+×+×+×+×+×= kjBAjjBAijBAkiBAjiBAiiBA zyyyxyzxyxxx
( ) ( ) ( )kkBAjkBAikBA zzyzxz ×+×+×+ Efetuando-se as operações de produto vetorial e combinando os termos, teremos:
( ) ( ) ( )kBABAjBABAiBABABA xyyxxzzxyzzy −+−−−=× Onde essa equação pode ser escrita na forma mais compacta do determinante de
uma matriz, como:
zyx
zyx
BBBAAA
kji
BA =×
21
Para calcular o determinante da matriz acima segue-se os seguintes passos:
Para o elemento i : ( )yzzy
zyx
zyx BABAiBBBAAA
kji
−→=
Para o elemento j : ( )xzzx
zyx
zyx BABAjBBBAAA
kji
−−→=
Para o elemento k : ( )xyyx
zyx
zyx BABAkBBBAAA
kji
−→=
3.3. Momento de uma Força – formulação vetorial:
O momento de uma força F em relação a um ponto O,
pode ser expresso na forma de um produto vetorial:
FrM ×=O Onde r representa um vetor posição traçado de O até
qualquer ponto sobre a linha de ação de F. 3.3.1. Intensidade, Direção e Sentido. A intensidade do produto vetorial é dada por:
θsenBAC ⋅×= , assim a expressão do momento fica sendo: θsenO FrM ×= , onde � é medido entre as direções de r e F. E o braço de momento é:
θsend ⋅= r , então: ( ) FdMrsenFMrFsenM OOO =�=�= θθ
A direção e o sentido de MO serão
determinados pela regra da mão direita, com a aplicação do produto vetorial.
22
3.3.2. Princípio da Transmissibilidade. O Princípio da Transmissibilidade diz que: uma força
pode agir em qualquer ponto sobre sua linha de ação e ainda produzir o mesmo momento em relação a um ponto. Conforme figura abaixo.
FrFrFrM CBAO ⋅=⋅=⋅= 3.3.3. Formulação Vetorial Cartesiana. Fixando os eixos coordenados x, y, z, o vetor posição r e a força F podem ser
expressos como vetores cartesianos.
FrM ×=O
zyx
zyx
FFFrrr
kji=
Onde: rx, ry, rz representam os componentes x, y, z, do vetor posição traçado do ponto O até qualquer ponto sobre a linha de ação da força;
Fx, Fy, Fz representam os componentes x, y, z, do vetor força. Desenvolvendo a determinante obtemos: =OM ( ) ( ) ( ) kFrFrjFrFriFrFr xyyxxzzxyzzy ⋅−+⋅−−⋅− Na figura abaixo pode-se ver a representação das componentes do momento MO.
23
3.3.4. Momento Resultante de um Sistema de Forças. Se um corpo está sob a ação de um sistema de
forças, conforme figura ao lado, o momento resultante das forças em relação ao ponto O pode ser determinado pela soma vetorial por meio da aplicação sucessivas da equação, FrM ×=O , onde essa resultante pode ser representada pela seguinte equação:
( )� ×= FrM Ro Exemplos: a) A barra da figura ao lado esta sujeita a uma força de 60N na direção
de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao apoio A.
b) Determine o momento resultante em relação ao ponto O e os cosenos diretores
coordenados para o eixo do momento, da figura abaixo.
24
3.4. Princípios dos Momentos ou Teorema de Varignon: A soma dos momentos de todas as forças de um sistema de forças concorrentes
em relação a um dado ponto, é igual ao momento criado pela resultante do sistema em relação ao mesmo ponto, onde a figura e a equação abaixo ilustram este teorema.
=OM 2211 dFdFdR ⋅=⋅=⋅ Exemplo: Calcular o momento da força de 600N em torno do ponto O na base do
poste.
3.5. Momento de uma Força em Relação a um Eixo Dado: Em algumas situações pode ser necessário o calculo do momento de uma força em
relação a um eixo inclinado, diferente dos X, Y e Z. Tomando-se como exemplo a figura abaixo, deseja-se calcular o momento da força F em relação ao eixo OL. O primeiro passo é determinar o momento de F em relação ao ponto O. Na seqüência deve-se projetar o momento resultante na direção do eixo OL, para isso devemos definir o vetor unitário �, que tem a mesma direção do eixo OL, e fazer o produto escalar entre os vetores � e Mo.
25
( )FrFM ×⋅=×= λλOL
zyx
zyx
zyx
FFFrrr
λλλ=
Onde: - �x, �y, �z são os cosenos diretores do eixo OL; - MOL é a projeção do momento MO sobre o eixo OL. O momento MOL mede a tendência da força F transmitir ao corpo um movimento
de rotação em relação ao eixo OL. O momento MOL é facilmente escrito na notação vetorial fazendo-se λ⋅= OLOL MM .
Exemplo: a) Determine o momento da força de 400N em relação ao eixo BC. b) Determine o momento da força de 100N, aplicada em A, em relação ao eixo
que passa por OC.
26
4. Redução de Sistemas de Forças: 4.1. Definições Gerais:
4.1.1. Binário. É representado por um conjunto formado por duas forças opostas de mesmo
módulo, mesma direção e não colineares. Um exemplo de binário é apresentado a seguir, na figura vemos uma pessoa girar um volante com as duas mãos.
4.1.2. Conjugado no Plano. É o momento produzido por um binário, na prática podemos substituir um binário
por um conjugado e vice-versa. Na figura abaixo podemos ver o exemplo de um conjugado.
Onde o calculo do momento é feito pela seguinte equação:
( ) �⋅−+⋅= aFdaFM dFM ⋅= Se a resultante das forças for nula, teremos o chamado “Momento Puro”. Neste
caso, o conjugado tem o mesmo valor para todos os pontos, ou seja, é um vetor livre. O efeito de um conjugado pode ser reproduzido por um conjugado equivalente.
22 dFdFM ⋅=⋅=
27
Num sistema com um número n de conjugados, podemos realizar a soma vetorial dos conjugados existentes, obtendo-se o conjugado resultante.
�=
=n
iiR MM
1
4.1.3. Conjugado no Espaço. O momento produzido pelo conjugado é equivalente ao momento de cada uma de
suas forças calculado em relação a um ponto qualquer no, O, do espaço.
como: rrrrrr bab
������ −=→+=
( ) FrFrM bao
�����×+−×=
( ) FrrM abo
����×−=
FrM o
���×=
Este resultado indica que o conjugado é um vetor livre, pois seu momento
depende somente do vetor posição dirigido entre as forças e não dos vetores posição que ligam o ponto O a cada uma das forças.
4.1.4. Decomposição de uma Força em uma Força e um Conjugado. No Plano: aplica-se no ponto desejado um par de forças F, de mesmo módulo e
direção, mas de sentidos contrários, com isso p equilíbrio não é alterado.
Onde o binário formado pela força F, aplicada em A e a força –F, pode ser
substituída pelo conjugado M�
. No Espaço:
28
4.1.5. Simplificação de um Sistema de Forças e Conjugados. Pode-se reduzir um sistema de forças e momentos que atuam sobre um corpo
rígido em uma única força resultante, que atua num ponto arbitrado O e um único conjugado resultante. O procedimento é o mesmo para o plano e para o espaço, o qual consiste em transladar todas as forças para o ponto O, conforme figuras abaixo. Como as forças tornam-se concorrentes em O, podemos somá-las vetorialmente, valendo o mesmo para os momentos. Logo, pode-se escrever:
�=
=n
iiR FF
1
�� �
=
=n
iiR MM
1
��
No Plano:
No Espaço:
Deve-se ressaltar que um sistema onde todas as forças e conjugados foram
resumidos a uma situação estaticamente equivalente em que somente uma força e momento resultante estão atuando, podem ocorrer quatro possibilidades para a configuração final do sistema, que são listadas a seguir.
1- 0=RF
� e 0=RM
�: sistema de forças em equilíbrio;
2- 0≠RF�
e 0=RM�
: sistema de forças equivalentes a uma resultante única;
3- 0=RF�
e 0≠RM�
: sistema de forças equivalente a um momento;
4- 0≠RF�
e 0≠RM�
: este caso admite duas possibilidades;
29
4.1- RF�
e RM�
são perpendiculares entre si, neste caso é possível obter uma resultante única, como é demonstrado abaixo.
dFM RR ⋅=��
R
R
FM
d �
�
=
Isto poderá sempre ser aplicado nas seguintes situações: Sistema de Forças Coplanares:
Sistema de Forças Paralelas:
30
4.2- RF�
e RM�
não são perpendiculares entre si, este caso é o mais geral, onde: Observa-se que o ângulo interno entre
as grandezas é diferente de 90º graus. Logo, temos que providenciar a decomposição do momento em duas componentes: uma contida no plano e outra paralela à força. Em seguida elimina-se a componente 2M
�,
transportando-se a resultante RF�
para um ponto P conveniente, tal que seja gerado um momento 2M
�− . O resultado desse processo
é uma resultante RF�
e um momento 1M�
que atuam na mesma reta suporte, onde a combinação destes é chamado de momento torsor. O efeito provocado por um torsor sobre um corpo é uma translação e um rotação em torno do mesmo eixo.
4.1.6. Exemplos:
a)
b)
31
c)
d)
e)
32
f)
g)
h)
33
i)
4.1.7. Redução de um Sistema Simples de Cargas Distribuídas: Em muitas situações, um parte da superfície de um corpo pode estar submetido a
cargas distribuídas, podemos citar como exemplos: ação do vento, peso próprio do corpo, empuxos, etc. Onde a intensidade dessas cargas em cada ponto é definida como uma pressão, ou seja por uma unidade de força por área (N/m², Pa, etc).
Neste item iremos estudar o caso mais comum de carregamento distribuído, que é o uniformemente distribuído ao longo do eixo do corpo. Um exemplo desse tipo de carregamento é mostrado na figura abaixo. Onde a distribuição da carga é indicada pelo sentido das setas, o carregamento total da placa é formado por um sistema de forças paralelas infinitas em quantidade, cada uma delas atuando em uma área infinitesimal da placa. Sendo nesse caso a função carregamento, p=p(x), uma função de x, já que o carregamento é constante ao longo do eixo Y. Se multiplicarmos a função p(x) pela largura, obteremos w=[p(x)].y � w(x)N/m. Onde este carregamento pode ser reduzido ainda a uma carga concentrada (FR), posicionada a uma distância x.
34
Intensidade da Força Resultante: é determinada através da equação FR=�F,
neste caso deveremos fazer uma integração, pois existe um número infinito de forças paralelas DF atuando no corpo. Como dF atua em um elemento de comprimento dx e w(x) é a força por unidade de comprimento, no ponto x, dF = w(x).dx = dA. Em outras palavras, a intensidade de dF é determinada a partir da área diferencial dA sob a curva de carregamento. Para o comprimento total do corpo:
�=↓+ RR FF ; AdAdxxwF
ALR === ).(
Assim, a intensidade da força resultante é igual à área total A sob o diagrama de carga w=w(x), conforme figura (c).
Localização da Força Resultante: aplicando a equação MRo=�Mo, a localização
x do ponto de aplicação de FR pode ser determinada pela equação dos momentos da força resultante e da distribuição de forças em relação ao ponto O. Como dF produz um momento x.dF=w(x).dx em relação ao ponto O, conforme figura (b), então para todo o corpa, em (c):
�=+ oRo MM ; =LR dxxwxFx ).(..
Podemos resolver para x:
==
A
A
L
L
dA
dAx
dxxw
dxxwxx
.
).(
).(.
Essa equação representa a coordenada x para o centro geométrico ou centróide da área sob o diagrama de carregamento distribuído w(x). Portanto, a força resultante tem uma linha de ação que passa pelo centróide C da área definida pelo diagrama de carregamento distribuído w(x).
Exemplos: Determine a intensidade e a localização da força resultante equivalente
que atua sobre o corpo. a) b)
35
c)
36
5. Sistema de Forças: 5.1. Definições Gerais:
5.1.1. Esforços Externos Ativos. Classificação dos Esforços:
1. Conforme maneira de atuar: 1.1. Relativamente ao tempo:
1.1.1. Permanente: agem permanentemente sobre a estrutura (cargas paradas).
1.1.2. Acidentais: esforços que não agem constantemente sobre a estrutura.
1.2. Relativamente ao tempo e espaço: 1.2.1. Fixas: não se deslocam sobre a estrutura e agem
progressivamente de zero até o valor final. 1.2.2. Moveis: são cargas que se locomovem sobre a estrutura e
agem quase que imediatamente com o valor total. 2. Conforme sua origem:
2.1. Estática: 2.1.1. Permanente: 2.1.2. Acidentais:
2.2. Fixas: 2.3. Móveis: 2.4. Dinâmicas: ex: frenagem 2.5. De Sujeição: quando produzidas por propriedades inertes aos
materiais ou pelo impedimento de um deslocamento, ex. dilatação 3. Tipos de Cargas:
3.1. Cargas Concentradas: são aquelas que agem num só ponto da estrutura.
3.2. Cargas Distribuídas: são aquelas que agem num trecho da estrutura: 3.2.1. Uniformemente distribuídas: 3.2.2. Distribuídas com variação de carga:
4. Carga Vertical: 5. Carga Horizontal: 6. Inclinada:
5.1.2. Esforços Externos Reativos. São as reações de apoio das estruturas, podem ser horizontais, verticais e
momento.
37
5.1.3. Esforços Internos Solicitantes. Classificação dos esforços solicitantes:
1. Normais: quando agem isoladamente tende a provocar um deslocamento paralelo a seção:
1.1. Tração: 1.2. Compressão:
2. Cortante: quando age isoladamente tende a provocar um escorregamento na seção.
3. Momento Torçor: agindo isoladamente provoca uma rotação entorno do eixo normal a seção passando pelo seu centro de gravidade. 4. Momento Fletor: agindo isoladamente tenta provocar uma rotação entorno
de um eixo contido na seção. 5.1.4. Esforços Internos Resistentes. Classificação dos esforços resistentes:
1. Tensão Normal: Tração e compressão 2. Tensão Tangencial: Cisalhamento
38
6. Equilíbrio dos Corpos Rígidos: 6.1. Condição de Equilíbrio de um Corpo Rígido:
Um corpo rígido está em equilíbrio quando as forças externas que atuam sobre ele
podem ser reduzidas a um sistema equivalente com força resultante nula e momento resultante nulo. É importante ressaltar que o ponto em relação ao qual é feita a redução pode ser qualquer ponto pertencente ao corpo ou não. Esta condição é representada na figura abaixo e pela equação:
� == 0iFR ; � == 0iRo MM
É importante ressaltar que a condição representada pela equação acima, é valida
para um corpo em equilíbrio ou para um corpo em movimento retilíneo uniforme, sendo esta equação escrita na forma escalar, é representada pelo conjunto de equações abaixo, que são as Equações de Equilíbrio Estático.
� = 0xF ; � = 0yF ; � = 0zF
� = 0xM ; � = 0yM ; � = 0zM No caso do plano, as forças estão definidas apenas no plano XY e os momentos
estão definidos no eixo Z. Logo, as equações de equilíbrio indicadas ficam resumidas a três equações, apresentadas a seguir, as quais nos permitem resolver problemas com no máximo três incógnitas.
� = 0xF ; � = 0yF ; � = 0zM 6.2. Vínculos e Reações:
A função dos vínculos é a de restringir um ou mais movimentos de um corpo
rígido. Para cada movimento restringido surge uma reação de apoio correspondente. Movimento de corpo rígido: são os movimentos que um corpo pode realizar sem
que sofra alguma deformação.
39
Grau de liberdade: representa uma possibilidade de movimento do corpo rígido, no espaço o corpo possui seis graus de liberdade, que são três translações (ux, uy, uz); e três rotações (Rx, Ry, Rz). E no plano os graus de liberdades se restringem a três, duas translações (ux e uy) e uma rotação (Rz). A figura abaixo ilustra os graus de liberdade.
Para que um corpo esteja em equilíbrio é necessário que a sua vinculação elimine
todas as possibilidades de movimento de corpo rígido. Teoricamente os vínculos são sempre completos, por exemplo, se um vinculo
impede o movimento vertical, este deve restringir o movimento nos dois sentidos (para cima e para baixo). Consideremos o caso de uma mesa, seus pés impedem o movimento vertical para baixo, mas permite que ergamos a mesa. Por tanto para que os pés da mesa fossem realmente um vinculo estes deveriam se parafusados no chão de modo a impedir tanto o movimento vertical para baixo quanto o para cima. Por isso devemos tomar cuidado de projetar os vínculos com as características necessárias definidas no cálculo.
Do ponto de vista teórico os vínculos são perfeitos, isso quer dizer que ou o vinculo impede totalmente o movimento numa direção ou este movimento é totalmente livre. Não existe vinculação parcial.
6.3. Tipos de Vínculos para o Plano:
Vínculos de 1a Classe: A reação deste tipo de vínculo é equivalente a uma força
com linha de ação conhecida, existindo apenas uma incógnita. Os principais tipos de ligação desta categoria são apresentados na tabela a seguir.
O vínculo de primeira classe mais comum é o apoio simples, que corresponde ao caso do rolete, e a sua representação mais usual é mostrada no desenho abaixo.
Vínculos de 2a Classe: A reação deste tipo de vínculo é equivalente a uma força
com linha de ação desconhecida, o que é equivalente a uma força representada por duas
V
40
componentes, existindo duas incógnitas. Os principais tipos de ligação desta categoria são apresentados na tabela a seguir.
O vínculo de segunda classe mais comum é o apoio rotulado e a sua representação mais usual é mostrada no desenho abaixo.
Vínculos de 3a Classe: A reação deste tipo de vínculo é equivalente a duas
componentes de força e um momento. O exemplo típico deste vínculo é o engaste e sua representação mais usual é mostrada no desenho abaixo.
H
V
M
H
V
41
6.4. Classificação Simplificada das Estruturas:
As estruturas podem ser classificadas em função do número de reações externas.
Estruturas cujas reações podem ser calculadas com as equações de equilíbrio são ditas Isostáticas. A figura a seguir apresenta um exemplo deste tipo de estrutura.
42
Estruturas cujas reações não podem ser calculadas apenas com as equações de equilíbrio são ditas Hiperestáticas. A figura abaixo mostra um exemplo de estrutura hiperestática. Neste tipo de problema o número de incógnitas é maior que o número de equações.
Aplicando as equações � = 0yF e � = 0AM , obtemos VA e VB. Aplicando
terceira equação� = 0xF , determinamos que HA = HB. Onde estas reações são ditas estaticamente indeterminadas, para resolvê-las necessitamos de mais uma equação, que é determinada em função da forma como a estrutura se deforma, o que será estudado em outra disciplina.
Estruturas onde o número de reações é menor que o número de equações é dita Hipoestática. Na realidade, podemos ter mais reações que equações, desde que os vínculos estejam dispostos de modo não eficaz. A estrutura a seguir possui duas reações e três equações.
Nesta estrutura o movimento de corpo rígido na direção X é livre. É interessante
observar que a colocação de mais apoios simples, iguais aos dos pontos A e B, não muda a condição de hipoestaticidade do problema, embora aumente o número de reações. Este seria um exemplo típico de vínculos aplicados de modo não eficaz.
6.5. Procedimentos para Calcular as Reações de Apoio:
Para determinar as reações de apoio apresentamos a seguir um roteiro: a) Retirar os apoios e introduzir as reações correspondentes, com o sentido das
reações fixado arbitrariamente, desenhamos o diagrama de corpo livre, que é uma representação esquemática da estrutura a ser calculada. No diagrama de corpo livre indicamos as reações e cargas;
VB VA
H
B A
Diagrama de Corpo Livre
43
b) Estabelecer uma convenção de sinais para os sentidos dos esforços; c) Montar o sistema de equações de equilíbrio de acordo com as condições de
equilíbrio da Mecânica Geral; d) Resolver o sistema de equações; e) Manter o sentido das reações positivas e inverter o sentido das reações
negativas. 6.5.1. Exemplos. a) b) c) d)
1,5m 4m
5tf/m
B A
50kgf
3m 2m
3m 2m
B A
1tf
2m 1m
4tf 1,5tf
2m 1 m 2m
7tf/m
44
e) f) g) h) i)
2m
30o
7m
5tf
1,5m 1m 1 m 2m
3tf/m
14tf
4m
3tf/m
6tf
3m
1m
2tf 5tf
2m
45
j) k) l) m)
46
6.6. Tipos de Vínculos para o Espaço: Os tipos de vínculos utilizados em problemas tridimensionais podem ser bastante
variados tais como: juntas esféricas, mancais de rolamento, mancais de escora, dobradiças etc. Na figura a seguir apresentam-se apoios de corpos rígidos no espaço, dentre os quais os utilizados mais frequentemente são: cabo, apoio sobre superfície lisa, junta esférica, mancal, dobradiça e engaste.
47
Não existe grande diferença entre o procedimento para solução de problemas no
plano ou no espaço. No caso de problemas tridimensionais utilizamos seis equações de equilíbrio, apresentadas no item 6.1.
Em alguns casos é mais vantajosa a utilização da notação vetorial para resolver o problema.
6.6.1. Exemplos. a) Uma barra de aço com peso de 1.960N é suportada por uma rotula em A e por
uma esfera apoiada em B. Calcule as forças exercidas pelas paredes e pelo piso sobre as extremidades da barra.
48
b) Considerando que o peso de 100kgf é levantado de modo uniforme pelo mecanismo representado na figura abaixo, determine a força P aplicada na manivela e as reações nos mancais C e E. A corda sai do tambor por uma tangente inclinada de 60o com o eixo X.
c) Uma placa de 1200N de peso está apoiada em uma junta esférica em A e por
dois cabos (EF e BG). Determine as reações em A e as forças nos cabos.
d) As hastes AB e BC estão articuladas em B e sustentadas pelo cabo DE e por
juntas esféricas em A e C. Determine a força que atua no cabo.
49
�
�
� �
7. Análise Estrutural: 7.1. Treliças Simples:
7.1.1. Definição. Treliça é uma estrutura de elementos delgados ligados entre si pelas extremidades,
normalmente os elementos são de madeira ou de metal e geralmente são unidos uns aos outros por meio de uma placa de reforço.
Treliças planas são aquelas que se distribuem em um único plano e geralmente são utilizadas na sustentação de telhados e pontes.
Dado: r = número de reações b = número de barras n = número de rótulas Quando r + b < 2n , número de incógnitas é menor que o número de equações a
treliça é hipostática. Quando r + b = 2n , número de incógnitas é igual ao número de equações a
treliça é isostática. Quando r + b > 2n , número de incógnitas é maior que o número de equações a
treliça é hiperestática. 7.1.2. Hipóteses de Projeto. Para projetar os elementos e as conexões de uma treliça, primeiramente devemos
determinar a força que atua nas barras que compõem a treliça em função do carregamento a que ela esta submetida. Para isso usamos duas hipóteses importantes:
1- Todas as cargas são aplicadas nos nós; 2- Os elementos são ligados por pinos lisos.
50
Em função destas hipóteses, cada barra da treliça atua como um elemento de duas forças e estas atuam ao longo do eixo da barra. E as barras estarão sujeitas a tração ou a compressão, dependendo do sentido das forças.
7.1.3. Resolução de Treliças Planas. As treliças podem ser resolvidas pelos seguintes métodos: Método de Ritter,
Método dos nós, Método de Maxwell Cremona. Iremos apenas ver o método dos nós por ser o mais simples de ser aplicado.
7.1.4. Método dos Nós. A resolução de treliças pelo método dos nós, consiste em resolver os nós da treliça
separadamente, podendo ser utilizado o seguinte roteiro: I) determinam-se as reações de apoio da treliça; II) escolhe-se um dos nós dos apoios, e determinam-se as forças atuantes nas
barras que estão ligadas a este nó, as forças desconhecidas são consideradas de tração, ou seja, estão se afastando do nó;
III) passa-se para outro nó, onde as forças já conhecidas das barras, são aplicadas neste nó e determina-se as forças nas outras barras;
IV) repete-se o passo 3 até ter-se determinado as forças em todas as barras. Apresenta-se a baixo um exemplo da resolução de uma treliça: 3m 3m
3m
25kgf
A B
3 2 1
4
51
a) Determinação das reações de apoio:
� =�= 00 Ax HF
� =−+�= 0250 BAy VVF
� =�=⋅−⋅�= kgfVVM BBA 5,12032560 � kgfVV AA 5,12255,12 =�=+ b) Começando pelo nó 1:
45cos045cos0 14121412 ⋅−=�=⋅++�=� FFFFHF Ax
kgfFsenFsenFVsenFVF AAy 678,17455,12450450 14141414 −=�−=�⋅−=�=⋅+�=�
Logo: kgfFF 5,1245cos)678,17( 1212 =�⋅−−= Por simetria: F12 = F23 ; F14 = F34
HA
3m 3m
3m
25kgf
VA VB
3 2 1
4
F12
F14
HA
VA
52
c) Resolvendo nó 4:
43414341 045450 FFsenFsenFFx =�=⋅+⋅−�=�
�=−⋅−−⋅−�=� 02545cos45cos0 434341 FFFFy
( ) ( ) kgfFF 002545cos678,1745cos678,17 4343 =�=−⋅−−−⋅−− 7.1.5. Exercícios. a) b)
F43
F43
F41
25kgf
5m 5m
2m
40kgf
A B
4m 4m
1,5m
50kgf
A B
30kgf
53
c) d)
3m 3m
1,5m
60kgf
20kgf
30kgf 30kgf
3m 3m
1,5m
A B
60kgf
60o
10kgf
3m 2m
2,5m
20kgf
35kgf 35kgf
2m 3m
2,5m
A B
54
7.2. Treliças Espaciais: 7.2.1. Definição. Uma treliça espacial consiste de elementos ligados entre si em suas extremidades
para formar uma estrutura estável. O exemplo de treliça espacial mais simples é mostrado na figura a seguir.
7.2.2. Hipóteses de Projeto. Os elementos de uma treliça espacial devem ser tratados como elementos de duas
forças, já que o carregamento é aplicado diretamente nos nós, os quais podem ser considerados conexões de juntas esféricas.
7.2.3. Resolução de Treliças Espaciais. As treliças espaciais também podem ser calculadas pelo método dos nós,
conforme exemplo a seguir:
a) Nó A: forças que atuam no nó A: kNj}4{P −= ; }{F jFABAB = ; }{F kFACAC −= ; ( )kjiFF AEAEAEAE 577,0577,0577,0F −+⋅�⋅= λ
Coordenadas dos nós da treliça: A (0 ; 0 ; 2) B (0 ; 2 ; 2) C (0 ; 0 ; 0) D (0 ; 2 ; 0) E (2 ; 2 ; 0)
( )d
ddd zyx ;;=λ
( )577,0;577,0;577,0 −=AEλ ( )707,0;000,0;707,0 −=BEλ ( )000,0;707,0;707,0=CEλ
55
Para o equilíbrio: →=� 0F →=+++ 0FFFP EACAAB 0577,0577,0577,04 =−++−+− kFjFiFkFjFj AEAEAEACAB
� =�=→= 00577,00 AEAEx FFF
� =�=++−→= kNFFFF ABAEABy 40577,040
� =�=−−→= 00577,00 ACAEACz FFFF b) Nó B: � =�=+−→= BBEBEBx RFFRF 0707,045cos0
� =�=+−→= kNRsenRF BBy 66,504540
� =�=−+→= kNFFFF BEBEBDz 20707,020 c) Nó D: � =�=→= 000 DEDEx FFF
� =�=→= 000 CDCDy FFF
� ==�=−→= kNFRRFF BDDDBDz 200 d) Nó E: � =�=→= 00707,00 CECEx FFF
� �=+−−→= 0707,00 CECCDy FRFF
0707,0 =+−= CECDC FFR
� =�=−→= 0000 ACz FF
RD
FCD FDE
x
y
z
FBD
FCD
RC FCE
x
y
z
FAC
56
7.2.4. Exercícios. a) b)
57
7.3. Forças Internas: 7.3.1. Definição. Seja uma barra qualquer, restringida por vínculos (apoios), que está solicitada de
uma maneira qualquer. Os apoios são substituídos pelas suas respectivas reações, obtendo assim um sistema formado pelas forças e pelas reações de apoio que deverá estar em equilíbrio.
Se separarmos esta barra em duas partes simplesmente, o equilíbrio seria rompido, pois teríamos eliminado a continuidade molecular existente entre elas.
Aplicando nos pontos de seção as forças elementares Ro e Mo teríamos cada uma das partes separadamente em equilíbrio.
58
Ro = ΣF esquerda Ro' = ΣF direita Mo = ΣM esquerda Mo' = ΣM direita
Como temos equilíbrio:
Ro = Ro' Mo = Mo'
Logo podemos determinar os esforços em uma seção qualquer empregando
esforços externos da esquerda ou da direita obedecendo simplesmente uma convenção de sinais.
No sistema tridimensional ocorre o seguinte:
Isto significa que: - A força Ro pode ser decomposta em duas: • uma normal a seção - (Rx) – N
• uma paralela a seção - (Ry + Rz) – Q - O momento Mo pode ser decomposto em dois: • um normal a seção - Mt (momento torçor) • um contido na seção - (My + Mz) – M (momento fletor)
59
a) A componente normal (N - força normal) Quando age isoladamente tende a provocar um deslocamento normal a seção.
Pode ser uma força de tração ou compressão e é igual a soma algébrica de todas as forças normais em um lado da seção ou do outro lado, com sinal contrário.
b) A componente tangencial (Q - esforço cortante) Quando age isoladamente tende a provocar um escorregamento da seção e é igual
a soma geométrica de todas as forças tangenciais de um lado da seção ou do outro lado com sinal contrário.
c) Momento torçor (Mt) Quando age isoladamente tende a provocar uma rotação em torno de um eixo
normal a seção passando por seu centro de gravidade (CG). É igual a soma algébrica dos momentos das forças de um lado da seção, ou das do
outro com o sinal trocado, em relação ao eixo normal a seção, passando pelo seu centro de gravidade.
d) Momento fletor (M) Quando age estaticamente isolado tende a provocar uma rotação em torno de um
eixo contido na seção. É a soma geométrica das projeções dos momentos relativos ao centro de
gravidade da seção das forças de um lado da seção ou das forças do outro lado com sinal contrário.
Esses esforços são os que chamamos de Esforços Internos Solicitantes. peça esf, normal (tração) esf, normal (compressão) esf, cortante momento fletor
momento torçor
60
Convenção de Sinais para determinar os Esforços Internos Solicitantes:
7.3.2. Exercícios.
a) Determine as forças internas nos pontos A, B, C e D (quando existir). Adote P = 20kN
Momento Fletor (+)
Momento Torçor (+)
Esforço Normal (+)
Esforço Cortante (+)
61
8. Propriedades Geométricas de Seções Planas: 8.1. Determinação do Centróide de uma Superfície Plana:
O centróide de um corpo depende apenas da geometria deste, como se verifica nas
equações abaixo:
=
V
VC
dV
dVxx
. ;
=
V
VC
dV
dVyy
. ;
=
V
VC
dV
dVzz
.
Quando a forma do corpo não varia na profundidade ou quando a espessura do
corpo é muito pequena, se comparada com as outras dimensões, podemos fazer dAtdV ⋅= , onde t representa a espessura do corpo. Substituindo dV nas equações
acima por dAt ⋅ , obteremos as seguintes expressões que permitem localizar o centróide de um corpo definido num plano.
=
A
AC
dA
dAxx
. ;
=
A
AC
dA
dAyy
. ;
=
A
AC
dA
dAzz
.
Quando o corpo é unidimensional, por exemplo, um arame, faz-se dlbdA ⋅= , que
substituído nas equações anteriores resulta em:
=
L
LC
dL
dLxx
. ;
=
L
LC
dL
dLyy
. ;
=
L
LC
dL
dLzz
.
É importante ressaltar que o centróide é o centro geométrico do corpo e depende
inteiramente de suas propriedades geométricas. Quando o corpo é homogêneo o centro de gravidade e o centróide são coincidentes.
O procedimento de localização do centro de gravidade e centróide pode ser bastante simplificado se o corpo tem simetria com um ou mais eixos. Quando o corpo tem um eixo de simetria, o centróide estará localizado sobre este eixo. Quando o corpo possuir dois eixos de simetria o centróide estará localizado na intersecção destes. A figura abaixo ilustra alguns exemplos de determinação de centróide através da simetria.
62
8.1.1. Momento Estático de 1a Ordem. A integral A dAx. é conhecida como momento estático de 1a ordem da área A em
relação ao eixo y. Analogamente a integral A dAy. é o momento estático de 1a ordem da
área A em relação ao eixo x. Sendo esta definição ilustrada pela figura a seguir.
=�
⋅=⋅=
AxA
cx dAySA
dAyAyAS .
.
=�⋅=Aycy dAxSxAS .
Pela própria definição do momento estático de 1a ordem, verifica-se que o
momento de 1a ordem em relação o um eixo de simetria é nulo (uma área é considerada simétrica em relação a um ponto O se a todo ponto P da área corresponder um ponto P’ da mesma área, de modo que o segmento PP’ seja dividido em duas partes iguais pelo ponto O. Afigura abaixo ilustra esta definição.
63
Exercícios: 1) Determine o centróide do retângulo abaixo em relação aos eixos x e y. 2) Determine o centróide da triangulo abaixo em relação aos eixos x e y. 3) Localize o centróide do arame de formato circular a seguir.
4) Localize o centróide da área de um quarto de circulo, mostrado na figura a
seguir:
b
dy h
x
y
x
b
dy h
x
y
x
64
5) Localize o centróide da área mostrada na figura a seguir:
65
8.2. Tabela com Principais Centróide de uma Superfície Plana:
66
67
8.3. Determinação do Centróide de uma Superfície Composta:
Muitas vezes é possível dividir um corpo em várias partes com formas mais
simples, cuja posição do centróide já conhecemos. Este procedimento, se combinado com o uso de tabelas, quase sempre dispensa o uso da integração. A figura a seguir ilustra a divisão de um corpo complexo em corpos mais simples. A equação de trabalho será a seguinte, onde n é o numero de peças simples em que o corpo foi dividido.
�
�
=
=
⋅= n
ii
n
iii
C
A
Axx
1
1 ;
�
�
=
=
⋅= n
ii
n
iii
C
A
Ayy
1
1 ;
�
�
=
=
⋅= n
ii
n
iii
C
A
Azz
1
1
Para evitar erros no cálculo do centróide usamos as seguintes regras:
• Escolher um par de eixos X e Y que facilitem o cálculo; • Lembrar que furos e vazados tem área negativa; • As cotas dos centróides de cada uma das peças deve ser medido em relação
aos eixos X e Y adotados, ou seja estas cotas podem ser positivas ou negativas;
• Procurar reduzir os cálculos, sempre que possível, aplicando o conceito de simetria.
Exercícios: 1) Determinar o centróide da peça do desenho acima.
68
2) Determinar o centróide da peça a seguir.
3) Determinar o centróide da peça a seguir.
69
8.4. Determinação de Momentos de Inércia: O termo “inércia” é normalmente associado com a dificuldade de se colocar um
corpo em movimento de translação, ou de fazer um corpo parar de se mover. Quando o movimento que o corpo realiza é do tipo rotação, a dificuldade de
colocar o corpo em movimento ou de parar o movimento que este realiza está associado com o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação, o qual é função do modo como a massa do corpo é distribuída em relação ao eixo de rotação. É importante salientar que o termo “momento de inércia” é empregado em Engenharia, na maioria das vezes referindo-se ao momento de inércia de área, ou melhor, ao momento estático de segunda ordem.
8.4.1. Momento de Inércia de Áreas. O momento de inércia de área ou simplesmente momento de inércia pode ser
definido pela figura abaixo.
Os momentos de inércia do elemento dA em relação aos eixos X e Y são definidos
como:
dAydI x ⋅= 2 e dAxdI y ⋅= 2 O momento de inércia do elemento dA em relação ao eixo Z, também chamando
de momento de inércia polar, é definido como:
dArdIdI oz ⋅== 2 Logo, os momentos de inércia da área A em relação aos mesmos eixos X, Y e Z
são dados por:
⋅=A
x dAyI 2 ; ⋅=A
y dAxI 2 e ⋅==A
zo dArII 2
Pode-se demonstrar que os momentos de inércia Ix, Iy e o momento de inércia
polar Io são relacionados, substituindo a relação 222 yxr += na equação de Io: ( ) yxo
AAAAo IIIdAydAxdAyxdArI +=�⋅+⋅=⋅+=⋅=
22222
70
8.4.2. Raio de Giração. Os raios de giração Rx, Ry e Ro (Rz) são definidos por:
AIR x
x = ; AI
R yy = ; A
IR oo =
8.4.3. Teorema dos Eixos Paralelos (Teorema de Steiner). Quando o momento de inércia de uma área em relação a um eixo que passa pelo
centróide da área é conhecido, pode-se empregar o Teorema dos Eixos Paralelos para determinar o momento de inércia da área em relação a um outro eixo paralelo ao eixo central. A dedução da expressão dos eixos paralelos esta baseada na figura abaixo.
Na qual C é o centróide da área A e os eixos X’ e Y’ são os eixos centrais desta
área e são paralelos aos eixos X e Y. Para calcular o momento de inércia da área da figura acima em relação ao eixo X
podemos fazer: ( ) dAyydI cx ⋅+= 2' , e substituindo na equação de Ix obtemos:
( ) ⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅+⋅⋅+=⋅+=A A
ccAA
ccA
cx dAydAyydAydAyyyydAyyI 22222 '2''2''
Como: ⋅=
Ax dAyI 2'' ; 0'. =A dAy , já que X’ é o eixo central; AdA
A= e como yc
é constante. Obteremos:
AyIIAyyIIdAydAyydAyI cxxccxxA A
ccA
x ⋅+=�+⋅⋅+=�⋅+⋅⋅⋅+⋅= 2222 '02''2'
E de modo análogo obteremos as equações para os outros momentos de inércia: ; AxII cyy ⋅+= 2' ; AdII co ⋅+= 2
71
8.4.4. Cálculo do Momento de Inércia de uma Área por Integração. O cálculo de momento de inércia por integração é útil para obter os momentos de
inércia de figuras comuns, os quais são tabelados. No caso de peças mais complexas, o cálculo é feito decompondo-se a peça em figuras mais simples, ou aplicando-se integração numérica.
a) Momento de Inércia de um Retângulo: seja o retângulo mostrado na figura a
seguir, calcular o momento de inércia em relação aos eixos X e Y e aos eixos Xc e Yc.
Calculo do momento de inércia em relação ao eixo X: dybdA ⋅=
33
3
0
3
0
2
0
22 bhI
ybIdyybIdybyIdAyI x
h
x
h
x
h
xA
x =��
� �
�=�⋅=�⋅⋅=�⋅=
Por analogia: 3
3hbI y =
Aplicando-se o Teorema dos Eixos Paralelos podemos determinar o momento de
inércia em relação a Xc:
124323
333232 bh
Ibhbh
Ibhh
Ibh
AyII xcxcxccxcx =�−=�⋅��
���
�+=�⋅+=
Por analogia: 12
3hbI yc =
72
b) Momento de Inércia de um Triângulo: seja o triângulo mostrado na figura a seguir, calcular o momento de inércia em relação aos eixos X e Xc.
Calculo do momento de inércia em relação ao eixo X: dyxdA ⋅= e a variável x é
definida por uma relação de triângulos, como sendo: ( )yhhb
x −⋅=
( ) ( ) �⋅−=�⋅−⋅⋅=�⋅⋅=�⋅= dyyhyhb
Idyyhhb
yIdyxyIdAyIh
x
h
x
h
xA
x 0
32
0
2
0
22
124343
344
0
43 bhI
hhhb
Iyhy
hb
I xx
h
x =����
����
�−=�
�
� �
�−=
Aplicando-se o Teorema dos Eixos Paralelos podemos determinar o momento de
inércia em relação a Xc:
3618122312
333232 bh
Ibhbh
Ibhh
Ibh
AyII xcxcxccxcx =�−=�⋅��
���
�+=�⋅+=
b) Momento de Inércia de um Circulo: seja o circulo mostrado na figura a seguir,
cuja equação é 222 ryx =+ , calcular o momento de inércia em relação aos eixos Xc e Yc.
Adotando uma área com altura dy paralela ao eixo Xc podemos escrever:
dyxdA ⋅= 2
422
422
0
222 rIdyyryIdyxyIdAyI xc
h
xc
r
rxcA
xc
⋅=�⋅−⋅=�⋅⋅=�⋅= −
π
Por analogia: 4
4rI yc
⋅= π
73
8.4.5. Momento de Inércia de Áreas Compostas. O processo para calcular o momento de inércia de áreas compostas consiste em
decompor a área em figuras simples cuja solução seja conhecida, tabelada ou de fácil determinação.
O momento de inércia em relação aos eixos X e Y de uma figura composta é determinado pelas seguintes expressões:
( )��==
⋅+==n
iicixi
n
ixix AyIII
1
2
1
' , ( )��==
⋅+==n
iiciyi
n
iyiy AxIII
1
2
1
'
Onde: '
xiI e 'yiI são os momentos de inércia em relação aos eixos centrais das
figuras, paralelos aos eixos X e Y; iA é a área da figura; cix e ciy são as distancias ortogonais entre os eixos X e Y e os eixos
centrais. Exemplo: Determinar os momentos de inércia da peça a seguir em relação aos
eixos X e Y e o momento de inércia polar em relação a O.
Exercícios: Determinar os momentos de inércia dos perfis a seguir em relação aos
seus eixos centrais Xc e Yc. Sabendo que: b=10cm; h=25cm; tb=5cm; tn=8cm; b1=10cm; b1=20cm; t1=5cm; t2=7,5cm
a)
74
b) c)
75
8.5. Produto de Inércia: O produto de inércia de um elemento de área dA, localizado num ponto (x,y), é
definido como dAyxdI xy ⋅⋅= conforme ilustrado a seguir, logo para toda a área o produto de inércia é calculado por:
⋅⋅=A
xy dAyxI
Pela equação acima podemos ver que o produto de inércia pode ser positivo,
negativo ou nulo. Conforme o quadrante em que se localiza o elemento dA, fica definido o sinal da integral, conforme figura a seguir.
Do resultado apresentado na figura anterior pode-se concluir que quando pelo
menos um dos eixos x ou y for eixo de simetria, então o produto de inércia em relação a estes eixos será nulo. É importante ressaltar que não basta que o eixo seja central para que o produto de inércia seja nulo, mas sim que este seja eixo de simetria.
76
8.5.1. Teorema dos Eixos Paralelos. O teorema dos eixos paralelos também pode ser aplicado ao produto de inércia. O
processo de dedução da expressão resultante é semelhante ao já apresentado para os momentos de inércia. Para explicar a dedução considere a figura abaixo, na qual C é o centróide da área, X’ e Y’ são eixos centrais e paralelos aos eixos X e Y respectivamente.
A partir desta figura pode-se escrever 'xxx c += e 'yyy c += , que substituídos
na equação a seguir resulta em:
( ) ( ) AyxIIdAyyxxI ccyxxyA
ccxy ⋅⋅+=�⋅+⋅+= ''''
8.5.2. Produto de Inércia de Áreas Compostas. O processo para calcular o produto de inércia de áreas compostas consiste em
decompor a área em figuras simples cuja solução seja conhecida, tabelada ou de fácil determinação.
O produto de inércia em relação aos eixos X e Y de uma figura composta é determinado pelas seguintes expressões:
( )��==
⋅⋅+==n
iiciciiyx
n
ixyixy AyxIII
1''
1
Onde: iyxI '' é o produto de inércia em relação aos eixos centrais das figuras,
paralelos aos eixos X e Y; iA é a área da figura; cix e ciy são as distancias ortogonais entre os eixos X e Y e os eixos
centrais. É importante salientar que sempre que a figura simples tiver pelo menos um eixo
de simetria, como por exemplo: triângulos eqüiláteros , retângulos , circulo, o termo iyxI '' correspondente será nulo.
77
Exemplo: Determinar o produto de inércia em relação aos eixos centrais do perfil cantoneira de abas iguais. Onde: a=20cm e t=5cm.
78
8.6. Cálculo do Momento de Inércia em Relação a eixos Inclinados:
O produto de inércia que vimos anteriormente é útil para calcularmos os
momentos de inércia de uma área em relação a um par de eixos inclinados, conforme figura abaixo.
Para determinar o momento de inércia em relação aos eixos u e v, bem como seu
respectivo produto de inércia, é necessário uma transformação de coordenadas, que é ilustrada na figura acima, conforme a seguinte expressão.
���
����
����
����
�
−=��
�
����
�
y
x
sen
sen
v
u
θθθθ
coscos
Aplicando-se as definições de momento de inércia e substituindo-se as relações
obtidas com a expressão acima, tem-se
( ) +⋅⋅−=−==AAAAA
u dAxsenxydAsendAydAxsenydAvI 222222 cos2coscos θθθθθθ
( ) +⋅⋅−=+==AAAAA
v dAysenxydAsendAxdAysenxdAuI 222222 cos2coscos θθθθθθ
Que pode ser rescrita como:
xxyyv
yxyxu
IsenIsenII
IsenIsenII
⋅+⋅⋅⋅+⋅=
⋅+⋅⋅⋅−⋅=
θθθθ
θθθθ22
22
cos2cos
cos2cos (eq. A)
Aplicando-se o mesmo procedimento para calcular o produto de inércia Iuv,
teremos:
79
( )( )
xyxyxyuv
AAAAuv
AAuv
IsenIsenIsenII
xydAsendAysendAxsenxydAI
dAxsenyysenxuvdAI
⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅=
−⋅+⋅−=
−+==
θθθθθθ
θθθθθθ
θθθθ
22
2222
coscoscos
coscoscos
coscos
Que pode ser rescrita como:
( ) xyxyuv IsenIsenIsenI ⋅⋅+⋅⋅−⋅−= θθθθθθ coscoscos 22 (eq. B) Aplicando-se nas equações A e B as relações trigonométricas
θθθ cos22 ⋅= sensen e θθθ 22cos2cos sen−= , podemos escrever:
θθ
θθ
θθ
2cos22
22cos22
22cos22
xyyx
uv
xyyxyx
v
xyyxyx
u
IsenII
I
senIIIII
I
senIIIII
I
+⋅−
=
+⋅−
++
=
−⋅−
++
=
(eq. C)
Com estas expressões pode-se determinar os momentos de inércia e o produto de
inércia de uma figura qualquer em relação a um par de eixos inclinados com relação à horizontal. É interessante observar que a soma dos momentos de inércia Iu e Iv resulta num invariante de inércia ou seja.
vuyxzo IIIIII +=+== O que mostra que o momento de inércia polar Io é independente da orientação dos
eixos u e v.
80
8.7. Momento Principais de Inércia. As equações apresentadas no item anterior determinam os momentos de inércia
em função do ângulo de inclinação �. Do ponto de vista da Engenharia faz-se necessário determinar para que ângulos � os momentos de inércia Iu e Iv são extremos. Este par de eixos são denominados de Eixos Principais de Inércia e os momentos de inércia calculados em relação a estes eixos são chamandos de Momentos Principais de Inércia. De modo geral, para cada origem escolhida há um par de eixos principais.
Para se determinar os valores extremos de Iu e Iv deriva-se a primeira das equações em relação a � e iguala-se a zero.
02cos222
2 =−⋅���
����
� −−= θθ
θ xyyxu Isen
II
ddI
Reescrevendo esta equação e chamando de �P o ângulo que localiza os eixos
principais de inércia, teremos:
( )yx
xy
yx
xy
II
IIII
−−
=��
���
� −−
=2
2
2tan θ
Esta equação fornece duas raízes, �P1 e �P2, defasadas de 90o, que localiza os eixos
principais de inércia conforme figura a seguir. Substituindo-se estes ângulos nas expressões a seguir obtém-se os momentos de inércia Iu e Iv. A identificação do momento de inércia máximo Imax e do momento de inércia mínimo Imin é feito por simples comparação entre Iu e Iv. Além disso, pode-se também verificar que o produto de inércia Iuv em relação aos eixos principais de inércia é nulo, ou seja
( ) ( ) 021 == PuvPuv II θθ .
A figura a seguir apresenta as quatro situações possíveis para o ângulo � que
localiza os eixos principais de inércia, no caso da figura são os eixos principais centrais de inércia.
81
Os momentos de inércia Imax e Imin podem ser calculados através de uma expressão
mais simples, para tal deve-se determinar o seno e o cosseno de �P1 e �P2, o que pode ser feito a partir dos triângulos apresentados na figura abaixo, os quais são obtidos através da equação anterior que determina o valor da tan2�.
221
2
2
xyyx
xyP
III
Isen
+���
����
� −
−=θ ;
221
2
22cos
xyyx
yx
P
III
II
+���
����
� −
���
����
� −
=θ
222
2
2
xyyx
xyP
III
Isen
+���
����
� −=θ ;
222
2
22cos
xyyx
yx
P
III
II
+���
����
� −
���
����
� −−
=θ
Substituindo-se estes resultados na equação de Iu , obteremos:
( )2
22
21
22
222
xyyx
xyxy
xyyx
yx
yxyxPu
III
II
III
IIIIII
I
+���
����
� −
−⋅−
+���
����
� −
���
����
� −
⋅−
++
=θ
82
Que pode ser rescrita como.
( ) ( ) 22
1
22
22
1 22
2
22 xy
yxyxPu
xyyx
xyyx
yxPu I
IIIII
III
III
III +��
�
����
� −+
+=�
+���
����
� −
+���
����
� −
++
= θθ
Considerando-se que o mesmo procedimento pode ser aplicado para o ângulo �P2,
obteremos:
( ) 22
2 22 xyyxyx
Pu IIIII
I +���
����
� −−
+=θ
Podemos demonstrar ainda que ( ) ( ) 021 == PuvPuv II θθ fazendo-se:
( ) 0
2
2
2
22
22
21 =
������
�
�
������
�
�
+���
����
� −
−
+
������
�
�
������
�
�
+���
����
� −
−−=
xyyx
yx
xy
xyyx
xyyxPuv
III
II
I
III
IIII θ
Os expressões obtidas podem ser resumidas na equação abaixo, que conforme o
uso do sinal fornece a momento de inércia máximo ou mínimo.
22
min
max 22 xyyxyx I
IIIII +��
�
����
� −±
+=
Uma pergunta comum que surge quando se aplica a equação acima é como
identificar os eixos de máximo e mínimo. Para responder a esta pergunta iremos considerar hipoteticamente que Ix > Iy. Lembrando a dedução anterior pode-se escrever:
221
2
22cos
xyyx
yx
P
III
II
+���
����
� −
���
����
� −
=θ
Como Ix > Iy, o resultado da expressão acima é um número positivo; que
lembrando o funcionamento da função cosseno, indica que o ângulo �P1 está no 1o ou 2o quadrantes. Seguindo-se o raciocínio, pode-se demonstrar que:
83
( ) ( )
( ) ( )�
� �
� −−+=
�
� �
� −++=
1
1
2cos21
2cos21
P
yxyxv
P
yxyxu
IIIII
IIIII
θ
θ
Como cos2�P1>0, nota-se pelas equações acima, que se Ix > Iy tem-se
necessariamente Iu > Iv. Logo, pode-se escrever:
22
min
22
max
22
22
xyyxyx
v
xyyxyx
u
IIIII
II
IIIII
II
+���
����
� −−
+==
+���
����
� −+
+==
Quando Iy > Ix teremos Iv > Iu e neste caso teremos:
22
min
22
max
22
22
xyyxyx
v
xyyxyx
u
IIIII
II
IIIII
II
+���
����
� −+
+==
+���
����
� −−
+==
Do ponto de vista do projeto estrutural, o ponto O adotado para a origem do sistema de referencia é o centróide da área. Neste caso, os eixos principais de inércia são chamados de eixos principais centrais de inércia, e os momentos de inércia correspondentes à estes eixos são chamados de momentos principais centrais de inércia. Como o produto de inércia em relação a um par de eixos é nulo, sempre que pelo menos um dos eixos for eixo de simetria, pode-se afirmar que um eixo de simetria é sempre um eixo principal central de inércia para a área.
A seguir apresenta-se uma tabela com os momentos de inércia das principais
figuras planas.
84
85
Exercício: Para o perfil da figura abaixo determine: a localização do centróide, os momentos centrais de inércia e seus respectivos raios de giração, o momento polar de inércia em relação ao centróide e seu respectivo raio de giração, os eixos principais centrais de inércia indicando eles no desenho, os momentos principais centrais de inércia e seus respectivos raios de giração. Indicar no desenho os eixos de inércia máxima e mínima.