Resolução de problemas envolvendo frações, conjuntos, porcentagens, sequências (com números, com fi guras, de palavras) ........................................................................................................................................................................... 3

Raciocínio lógico-matemá co: proposições, conec vos, equivalência e implicação lógica, argumentos válidos ......................................................... 17

SUMÁRIO

Raciocínio Lógico e Matemá co

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RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICOJosimar Padilha

RESOLUCÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO FRAÇÕES E CONJUNTOS

Neste primeiro tópico estudaremos “Teoria de con-juntos”. Tal assunto trará uma interpretação concreta dos fundamentos u lizados na lógica proposicional. Além disso, ressalta-se que esse conteúdo é constantemente cobrado nas provas de concursos públicos.

Conjuntos

Conjunto é uma coleção de objetos ou elementos. Para que se caracterize um conjunto, faz-se necessária uma regra que nos permita decidir se um dado elemento pertence ou não pertence a determinado conjunto. Assim, se chamarmos M de conjunto dos animais que vivem no mar, podemos dizer, por exemplo, que a baleia é elemento de M, bem como o leão não é elemento de M. Na linguagem de conjuntos, tais considerações serão escritas da seguinte forma:

Baleia M (Lê-se: Baleia é elemento do conjunto M).Leão M (Lê-se: Leão não é elemento do conjunto M).

Relação de Per nência: é a relação existente entre ele-mento e conjunto. Caso você queira relacionar um elemento “x” a um conjunto “X”, a relação deverá ser:

O elemento x pertence a X (x X) ou o elemento x não pertence a X (x X).

Há vários modos de se descrever um conjunto. Um deles é optar por uma regra que permita decidir se um objeto arbi-trário “a” pertence ou não a um determinado conjunto. Por exemplo, A é o conjunto formado pelos algarismos romanos. Nesse caso, u lizaremos a seguinte notação:

A = {a; a é um algarismo romano}Lê-se “A é o conjunto dos elemento ‘a’ tal

que ‘a’ é um algarismo romano”.

Outra maneira de se defi nir conjuntos consiste em escre-ver, entre chaves, uma lista dos elementos do conjunto. Des-se modo, pode-se escrever o conjunto A da seguinte forma:

A = {I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X...}

Um conjunto poderá ser representado por diagramas. Vejamos:

Observe que para dar a descrição completa de um con-junto nem sempre é preciso incluir todos os elementos na lista. Por exemplo, o conjunto dos algarismos poderia ser indicado da seguinte maneira:

M = {0, 1, 2, 3, ..., 9}

Algumas vezes não é possível descrever um conjunto re-lacionando todos os seus elementos; é o caso, por exemplo,

do conjunto N formado pelos números naturais. Entretanto, N pode ser descrito por uma lista parcial, ou seja,

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6...}

Relação de Inclusão: é a relação existente entre conjunto e subconjunto ou subconjunto e conjunto. Caso você quei-ra relacionar um subconjunto A a um conjunto B, veja, no exemplo abaixo, a relação que deverá ser feita.

Exemplo:No diagrama a seguir temos que A contém o conjunto

B. Logo, A é um conjunto e B é um subconjunto. Vejamos a relação existente entre os dois:

A B (“A contém B”) e B A (“B está con do em A”)

Conjunto Universo, Unitário e Vazio

Nas questões envolvendo a Teoria dos Conjuntos, é preciso que se defi na um conjunto que contenha todos os conjuntos considerados, para que se possa ter uma inter-pretação correta dos elementos trabalhados. Assim, todos os conjuntos abordados no problema seriam subconjuntos de um conjunto maior, que é conhecido como Conjunto Universo, ou simplesmente Universo.

Por exemplo: em um problema envolvendo conjuntos de números naturais, o conjunto dos números naturais N é o Conjunto Universo; em um problema envolvendo pes-soas (consideradas como conjuntos de pessoas), o Conjunto Universo são os seres humanos.

Nos tópicos a seguir, será importante ressaltar o Con-junto Universo – necessário para que se possa realizar uma interpretação lógica das sentenças apresentadas – ao traba-lharmos com as proposições categóricas.

Conjunto: representa uma coleção de objetos. Um con-junto é representado por uma letra maiúscula.

Exemplos:• S: Conjunto de todos os servidores públicos.• A: Conjunto de todos os animais.

Dados os conjuntos a seguir:

A = {x | x é par e 6 < x <10} ou A = {8}B = {x | 2x + 3 = 7 e x é inteiro} ou B = {2}

Nos dois conjuntos acima, A e B, temos exemplos de conjuntos unitários, pois cada conjunto possui apenas um elemento.

O elemento 8 A.O elemento 2 B.

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“W = {n | n é natural e 3 < n < 4}” é um conjunto que

não possui nenhum elemento, visto que não há nenhum elemento nesse conjunto entre 3 e 4. Esse po de conjunto é chamado de conjunto vazio.

Indicamos um conjunto vazio por { } ou , nunca por {}.Caso seja feita a seguinte representação U = {}, esta-

remos lidando com um conjunto unitário, em que o é o elemento do conjunto U.

Descrição por uma Propriedade

Um conjunto pode ser descrito por uma ou mais pro-priedades. Na maioria das vezes, representa-se um conjunto dispondo os seus elementos dentro de duas chaves – {2, 5, 6} ou {x Naturais R | x > –5} – e também por meio de forma geométrica:

Diagrama de Euler Venn

a) F = {m: m é uma fruta}

FRUTAS

Maçã

Banana

Figo

Laranja

b) N = {x: x é um número natural}

Conjuntos dos Números Naturais

Conjuntos Iguais

Dois conjuntos são iguais quando todos os elementos de um conjunto forem iguais a todos os elementos do outro conjunto, ou seja, dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A.

A = B (x) (x A x B)

Exemplo:Dados os conjuntos X = {0, 1, 2, 3, 4} e Y = {2, 3, 4, 1, 0}, po-

demos dizer que X = Y, já que todos os elementos são iguais.

Estabelece-se uma relação de equivalência da seguinte forma:

Se o conjunto X está con do no conjunto Y, e se Y está con do no conjunto X, então o conjunto X é igual ao con-junto Y.

Subconjuntos – Relação de Inclusão

O número de subconjuntos de um conjunto pode ser ob do conforme o exemplo a seguir.

A = {a, b} = {a}, {b}, {a, b}, { }.

Temos, nesse caso, 4 subconjuntos de um conjunto A com 2 elementos.

Conjunto vazio é aquele que não possui nenhum ele-mento. E ele está con do em qualquer conjunto.

Representação: ou { }, nunca {}.

Propriedades da Inclusão

Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então valem as seguintes propriedades:

1. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto: A.

2. Propriedade refl exiva: todo conjunto é subconjunto de si próprio: A A.

3. Propriedade antissimétrica: A B e B A A = B.

4. Propriedade transi va: A B e B C A C: se um conjunto é subconjunto de um outro e este é subconjunto de um terceiro, então o primeiro é subconjunto do terceiro.

Conjunto das Partes

Denotado por P(A), possui todos os subconjuntos de A.

n(P(A)) = 2 n(A) (número de elementos do conjunto)

C = {a, b, c} = {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, { } = 23 = 8 subconjuntos.

• Se A = {a, b, c}, então P(A) = {, {a}, {b}, {c}. {a . b}, {a . c}. {b, c}, {a, b, c}}.

• Se B = {a, b}, então P(B) = {, {a}, {b}, {a, b}}.• Se C = {a}, então P(C) = {, {a}}.

Conjuntos das partes de um conjunto A:P(A) = {X | X A}

Exemplo com aplicação prá ca:Uma cozinheira dispõe de cinco frutas para preparar uma

salada de frutas. Sabendo que uma salada deve conter pelo menos duas frutas, quantas podem ser preparadas?

Resposta: Se calcularmos o número de subconjuntos teremos:2n = 25 = 32 subconjuntos, em que cada elemento é represen-tado por uma fruta. Temos, na composição dos subconjuntos, subconjuntos com 1, 2, 3, 4, 5 e nenhum elemento. Logo, temos saladas com 1, 2, 3, 4, 5 e nenhuma fruta. Assim, deve--se subtrair aquilo que não é salada, ou seja, os subconjuntos unitários e o subconjunto vazio, uma vez que para ser salada há que se ter no mínimo duas frutas.

Podem ser preparadas 32 – 6 = 26 saladas.

Operações com Conjuntos

Reunião de Conjuntos

Consideremos os dois conjuntos:

A = {b, l, o, g, i, e} e B = {b, v, i, l, c, h, e}

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Podemos pensar num novo conjunto C, cons tuído por aqueles elementos que pertencem a A ou que pertencem a B. No exemplo em questão, esse novo conjunto é:

C = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}

Repare que o conjunto C foi formado a par r dos conjun-tos A e B, em que os elementos repe dos (os que estão em A e em B) foram escritos apenas uma vez. Dizemos, então, que se trata da reunião (ou união) do conjunto A com o conjunto B. A reunião (ou união) de A e de B (ou de A com B) é usual-mente representada por A B. Com essa notação, tem-se:

A B = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}

Esse exemplo nos sugere a seguinte defi nição geral para reunião de conjuntos.

Conceito. Dados dois conjuntos quaisquer A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos que perten-cem a A ou a B. Em símbolos:

A B = {x | x A ou x B}

Exemplos:• {1; 2} {3; 4} = {1; 2; 3; 4}.• {n, e, w, t, o, n} {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w}.

Um elemento x pertencer a A B é equivalente a dizer que uma das proposições “x pertence A” ou “x pertence a B” é verdadeira. Desse fato decorre que:

A A B e B A B

Propriedades da Reunião

Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são ver-dadeiras as seguintes propriedades:

1. Idempotência: A A = A. A união de um conjunto qualquer A com ele mesmo é igual a A.

2. Comuta va: A B = B A.3. Elemento Neutro: Ø A = A Ø = A. O conjunto Ø é

o elemento neutro da união de conjuntos.4. Associa va: (A B) C = A (B C).

Iden fi car-se-á uma união entre dois conjuntos quan-do houver o termo “OU”.

Intersecção de Conjuntos

Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Josimar para Presidente, e B o conjunto dos eleitores que votaram em Enny Giuliana para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2008, é certo supor que houve eleitores que votaram simultaneamente nos dois candidatos no primeiro turno. Assim, somos levados a defi nir um novo conjunto, cujos elementos são aqueles que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Esse novo conjunto nos leva à seguinte defi nição geral.

Conceito. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, cha-maremos de intersecção de A e de B (ou de A com B) um novo conjunto, assim defi nido:

A B = {x | x A e x B}

Exemplos:

• {1; 2} {3; 4} = • {n, e, w, t, o, n} {h, o, r, t, a} = {o, t}

Da defi nição de intersecção resulta:

(x ) x A B x A(x ) x A B x B

Os fatos acima nos dizem que A intersecção B é um subconjunto de A e de B, ou seja:

A B AA B B

Iden fi car-se-á uma intersecção entre dois conjuntos quando vermos os termos “e”, “simultaneamente” e “ao mesmo tempo”.

Propriedades da Intersecção

Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer, então são ver-dadeiras as seguintes propriedades:

1. Idempotência: A A = A.2. Comuta va: A B = B A.3. Elemento Neutro – o conjunto universo é o elemento

neutro da intersecção de conjuntos: A = A.4. Associa va: A B C) = (A B) C.

Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm ele-mento comum, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção entre eles é igual ao conjunto vazio.

Propriedades que Inter-relacionam a Reunião e a Inter-secção de Conjuntos

Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer, então valem as seguintes propriedades que inter-relacionam união e intersecção de conjuntos:

1. A A B) = A2. A A B) = A3. A B C) = (A B) A C)4. A B C) = (A B) A C)

Diferença entre Conjuntos

Implica conjunto dos elementos que pertencem a A e que não pertencem a B.

Conceito. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos a diferença entre A e B de conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.

A – B = {x | x A e x B}

Exemplos:• {a, b, c} – {a, c, d, e, f} = {b}.• {a, b} – {e, f, g, h, i} = {a, b}.• {a, b} – {a, b, c, d, e} = Ø.

Temos, a seguir, uma interpretação concreta por meio do diagrama de Euler-Venn, em que a diferença corresponde à parte branca de A.

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Iden fi car-se-á, nas provas de concursos públicos, uma diferença entre dois conjuntos quando vermos os termos “apenas”, “somente” e “exclusivamente” ligados ao conjunto. Teremos uma noção melhor nas questões comentadas adiante.

Conjunto Complementar

Dados quaisquer conjuntos A e B, com B con do em A, chama-se de complementar de B em relação a A o conjunto A – B, indicado da seguinte maneira:

BAC A A B

Exemplos:• A = {a, b, c, d, e, f} e B = {a, b}. Complementar: A – B =

{c, d, e, f}.• A = B = {1}. Complementar: A – B = Ø.

No diagrama acima tem-se o conjunto B em relação a A defi nido como: (B está con do em A).

Propriedades da Complementação

Sendo B e C subconjuntos de A, valem as propriedades a seguir:

BA

B BA AAA A

CA(B C) B CA A A(B C) B CA A A

1. C B e C B A

2. C e C A

3. C B

4. C C C

5. C C C

Intervalos

Vejamos o conceito de intervalo na reta real R, ou seja, dos subconjuntos de R que sa sfazem à seguinte proprie-dade:

Se a e b pertencem a A R, a ≤ b, então para todo c tal que a ≤ c ≤ b, então c pertence a A.

Logo, pode-se representar da seguinte maneira:

A = {c ε R | a ≤ c ≤ b}

Os intervalos podem ser classifi cados segundo as:I – Caracterís cas topológicas – abertos, fechados e

semiabertos (fechados ou abertos à esquerda ou à direita).II – Caracterís cas métricas – comprimento nulo, fi nito

não nulo ou infi nito.

NotaçãoU lizam-se os colchetes – “[” e “]” – para indicar que um

dos limites do intervalo é parte desse intervalo, e os parên-teses – “(” e “)” – ou, também, os colchetes inver dos – “]” e “[” – para indicar o contrário.

Assim, por exemplo, dados x e y números reais, com x ≤ y, o intervalo W = (x,y) = ]x,y] representa o conjunto dos a ε R, tal que x < a ≤ y. Note que x não faz parte do intervalo.

Tipos de IntervalosDados t e z números reais, com t ≤ z, s pertencente ao

intervalo e c o seu comprimento, podemos classifi car os intervalos como:

a) Intervalo fechado de comprimento fi nito k = z – t:

[t,z] = {s ε R | t ≤ s ≤ z}

b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento fi nito k = z – t:

[t,z[ = [t,z) = {s ε R | t ≤ s < z}

c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento fi nito k = z – t:

(t,z] = ]t,z] = {s ε R | t < s ≤ z}

d) Intervalo aberto de comprimento fi nito k = z – t:

]t,z[ = (t,z) = {s ε R | t < s < z}

e) Intervalo aberto à direita de comprimento infi nito:

]-∞,z[ = (-∞,z) = {s ε R | s < z}

f) Intervalo fechado à direita de comprimento infi nito:

]-∞,z] = (-∞,z] = {s ε R | s ≤ z}

g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infi nito:

[t,+∞) = [t,+∞[ = {s ε R | t ≤ s}

h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infi nito:

]t,+∞[ = (t,+∞) = {s ε R | s > t}

i) Intervalo aberto de comprimento infi nito:

]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R

j) Intervalo fechado de comprimento nulo: como o com-primento é nulo e o intervalo fechado, então t = z e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {t}, isto é, a um ponto da reta real.

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Representação Gráfi caUm intervalo é representado na reta real por meio de

uma pequena “bolinha vazia”, para indicar que um dos pontos (elemento) extremos não pertence ao intervalo, e de uma “bolinha cheia”, para indicar que o ponto (elemento) extremo pertence ao intervalo.

União e Intersecção de IntervalosPor serem intervalos conjuntos, é natural que as ope-

rações mencionadas anteriormente possam ser efetuadas. Uma forma mais prá ca de realizar essas operações se dá

por meio da representação gráfi ca dos intervalos envolvidos.

Exemplo:Sejam X = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e Y = (1,+∞)

= {x ε R | x > 1} dois intervalos, vamos determinar X Y e X Y.

X Y = {x ε R | 1 < x ≤ 6} e X Y = {x ε R | -1 ≤ x}

X

Y

X Y�

X Y�

x

x

x1 6

QUESTÕES COMENTADAS

1. (Esaf/Técnico/2006) X e Y são dois conjuntos não vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto Z = X Y possui 2 elementos. Desse modo, conclui-se que o número de elementos do con-junto P = Y – X é igual a:a) 4.b) 6.c) 8.

d) vazio.e) 1.

ComentárioNessa questão são dados dois conjuntos não vazios, ou

seja, possuem elementos, mas são fornecidas as quan dades de subconjuntos de cada conjunto. Diante do exposto, devere-mos encontrar o número de elementos da seguinte maneira:

Para o conjunto X, tem-se:

P(X) = 64, sendo P(X) = 2n.

Logo,2n = 64. Ao se fatorar o número 64 temos que 64 = 26.2n = 26.

n = 6 (o número de elementos do conjunto n(X) = 6).

X

Para o conjunto Y, tem-se:

P(Y) = 256, sendo P(Y) = 2n.

Logo, 2n = 256.

Fatorando-se o número 256, tem-se 256 = 28.2n = 28.

Y

n = 8 (o número de elementos do conjunto n(Y) = 8).

Para o conjunto Z, segundo o enunciado, temos que:

Z = X Y possui 2 elementos (n(Z) = 2). Logo,

X Y

Após construirmos os diagramas e suas respectivas operações, percebe-se que a questão solicita o número de elementos do conjunto P = Y – X. Trata-se da diferença entre os conjuntos Y e X. Portanto, deve-se selecionar os elementos que pertencem a Y mas não pertencem a X.

X Y

De acordo com o diagrama acima, tem-se:P = Y – X = 6 elementos.

Resposta: b

2. (Cespe/TRT 5ª Região/2008/adaptada) No curso de lín-guas Esperanto, os 180 alunos estudam inglês, espanhol ou grego. Sabe-se que 60 alunos estudam espanhol e que 40 estudam somente inglês e espanhol. Com base nessa situação, julgue os itens que se seguem.a) Se 40 alunos estudam somente grego, então mais

de 90 alunos estudam somente inglês.b) Se os alunos que estudam grego estudam também

espanhol e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando inglês do que espanhol.

c) Se os 60 alunos que estudam grego estudam tam-bém inglês e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando somente inglês do que espanhol.

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ComentárioAnalisando a questão acima, temos:• 180 alunos estudam inglês, espanhol ou grego. Logo,

vamos representar da seguinte maneira (I E G);• 60 alunos estudam espanhol (E = 60);

• 40 alunos estudam somente inglês e espanhol ((I E) – G).

a) Se 40 alunos estudam somente grego, então mais de 90 alunos estudam somente inglês.

Vimos que as duas áreas pintadas acima totalizam 100 alunos, ou seja, restam 80 para preencher os espaços em branco. Mesmo que a intersecção “somente inglês e grego” fosse igual a zero, ou seja, não vesse nenhum aluno, não teríamos 90 alunos que estudam apenas inglês.

O item a está errado.

b) Se os alunos que estudam grego estudam também espanhol e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando inglês do que espanhol.

De acordo com o diagrama acima, o item b está certo.

c) Se os 60 alunos que estudam grego estudam também inglês e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos es-tudando somente inglês do que espanhol.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Em uma classe, há 20 alunos que pra cam futebol mas não pra cam vôlei e há 8 alunos que pra cam vôlei mas não pra cam futebol. O total dos que pra cam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não pra cam futebol. O número de alunos da classe éa) 30.b) 35.c) 37.

d) 42.e) 44.

2. Julgue os itens.a) (A B)b) A (AB)c) A (AB)

d) (AB) (AB)e) (A B) Bf) (A B) (ABC)

3. Seja E = { a, {a}}. Julgue os itens a seguir.a) a Eb) {a} Ec) a E

d) {a} Ee) Ef) E

4. Em certa comunidade há indivíduos de três raças: bran-ca, negra e amarela. Sabendo que 70 são brancos, 350 são negros e 50% são amarelos, responda:a) Quantos indivíduos tem a comunidade?b) Quantos são os indivíduos amarelos?

5. Numa classe de 45 alunos, 28 falam francês e 14 falam espanhol. Desses alunos, 8 não falam nem francês nem espanhol. Quantos falam as duas línguas?

6. Numa classe de 43 alunos, 27 falam inglês, 15 falam alemão, 6 falam inglês e alemão. Quantos alunos não falam nem inglês nem alemão?

7. Considere o conjunto M = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} e responda quantos subconjuntos tem M.

8. Quantos elementos tem o conjunto do qual se pode obter 32.768 subconjuntos?

9. Um levantamento socioeconômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente:17% têm casa própria;22% têm automóvel;8% têm casa própria e automóvel.

Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel?

10. Uma senhora que costuma fazer saladas de frutas para servir aos fregueses em seu restaurante dispõe de oito frutas diferentes. Sabendo que cada mistura de pelo menos duas frutas resulta numa salada diferente, calcule o número de saladas de frutas diferentes que podem ser ob das.

11. Numa escola existem 84 meninas, 48 crianças loiras, 26 meninos não loiros e 18 meninas loiras. Pergunta-se:a) Quantas crianças existem na escola?b) Quantas crianças são meninas ou são loiras?

12. Dos funcionários de uma empresa, sabe-se que existem:35 homens;18 pessoas que possuem automóvel;15 mulheres que não possuem automóvel;7 homens que possuem automóvel;a) Qual o número de funcionários que há nessa em-

presa?b) Quantos funcionários são homens ou quantos pos-

suem automóvel?

13. Numa classe colheram-se os seguintes dados em relação às três matérias estudadas:20 alunos foram aprovados nas 3 matérias;35 alunos foram aprovados em Química e Física;42 alunos foram aprovados em Matemá ca e Física;22 alunos foram aprovados em Química e Matemá ca;

O professor de Matemá ca aprovou 50 alunos;O professor de Física aprovou 70 alunos;O professor de Química aprovou 40 alunos;Quantos alunos há na classe?

O item c está errado.

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14. Dentre os inscritos em um concurso público, 60% são

homens e 40% são mulheres. Já têm emprego 80% dos homens e 30% das mulheres. Qual a porcentagem dos candidatos que já têm emprego?a) 60%b) 40%c) 30%

d) 24%e) 12%

15. Em um exame ves bular, 30% dos candidatos eram da área de Humanas. Dentre esses candidatos, 20% optaram pelo curso de Direito. Do total de candidatos, qual a porcentagem dos que optaram por Direito?a) 50%b) 20%c) 10%

d) 6%e) 5%

16. Numa universidade com n alunos, 80 estudam Física, 90 Biologia, 55 Química, 32 Biologia e Física, 23 Quí-mica e Física, 16 Biologia e Química e 8 estudam nas três faculdades. Sabendo-se que esta Universidade somente mantém as três faculdades, quantos alunos estão matriculados na Universidade?a) 304.b) 162.c) 146.

d) 154.e) n.d.a.

17. Numa universidade são lidos apenas dois jornais, X e Y. 80% de seus alunos leem o jornal X e 60%, o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos dois jornais, assinale a alterna va que corresponde ao percentual de alunos que leem ambos.a) 80%b) 14%c) 40%

d) 60%e) 48%

18. Dados os conjuntos A = {1; 3; 4; 6},B = {3; 4; 5; 7} e C = {4; 5; 6; 8}, pede-se:a) A B.b) A B.c) A C.d) A C.e) A B C.f) A B C.g) (A B) C.h) A – B.i) (A B) – C.

19. Seja A B a diferença simétrica dos conjuntos A e B, defi nida pela igualdadeA B = (A – B) (B – A). Se A = {a, b, c} eB = {b, c, d, e, f}, então A B é o conjuntoa) {a, c, d, f}.b).c) {a, d, e, f}.d) {a}.e) {b, a}.

20. Suponhamos que:A B = {a, b, c, d, e, f, g, h}A B = {d, e}A – B = {a, b, c}

Então:a) B = {f, g, h}.b) B = {d, e, f, g, h}.c) B = {a, b, c, d, e}.d) B = {d, e}.e) B = .

GABARITO

1. e2. C, E, E, C, C, C3. C, C, E, C, E, C4. a) 560 b) 2805. 5 alunos.6. 7 alunos.7. 2568. 15 elementos.9. 69%10. 24711. a) 140 b) 11412. a) 61 b) 4613. 81 alunos.

14. a15. d16. b17. c18. a) {1; 3; 4; 5; 6; 7} b) {3; 4} c) {1, 3, 4, 5, 6, 8} d) {4; 6} e) {1; 3; 4; 5; 6; 7; 8} f) {4} g) {4; 5; 6} h) {1, 6} i) {1; 3; 7}19. c20. b

QUESTÕES DE CONCURSOS

1. (Cespe/Perito/2003)

Vacinas Crianças VacinadasSabin 5.300Sarampo 5.320Tríplice 4.600Sabin e sarampo 1.020Sabin e tríplice 900Sarampo e tríplice 800Sabin, sarampo e tríplice 500Nenhuma 2.000

Considerando os dados da tabela acima, que represen-tam as quan dades de crianças de uma determinada cidade que receberam, em 2002, as vacinas Sabin, sarampo e tríplice, julgue os itens seguintes.a) Exatamente 3.880 crianças receberam apenas a

vacina Sabin.b) Exatamente 3.700 crianças receberam apenas a

vacina tríplice.c) Exatamente 4.300 crianças receberam apenas a

vacina sarampo.d) 2.720 crianças receberam pelo menos duas vacinas.e) Mais de 16.000 crianças foram vacinadas nessa

cidade em 2002.

2. (Esaf/AFC/2006) Uma escola de idiomas oferece apenas três cur sos: um curso de alemão, um curso de francês e um curso de inglês. A escola possui 200 alunos e cada aluno pode matricular-se em quantos cursos desejar. No corrente ano, 50% dos alunos estão matriculados no curso de alemão, 30% no curso de francês e 40% no de inglês. Saben do-se que 5% dos alunos estão matri-culados em todos os três cursos, o número de alunos matriculados em mais de um curso é igual a:a) 30.b) 10.c) 15.

d) 5.e) 20.

Leia os textos a seguir.

Texto I

Um grupo de 600 turistas desembarcou no aeroporto de Guararapes, em Recife, para uma visita de 10 dias. Desses tu-

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ristas, 260 visitaram também Olinda, 300 visitaram Porto de Galinhas, 80 visitaram Fernando de Noronha, 140 visitaram a Ilha de Itamaracá e 30 preferiram fi car somente na cidade de Recife, desfrutando de suas belezas e seus pontos históricos.

3. (Cespe/2004 – adaptado) Considerando que os 570 turistas, a cada dia, estavam visitando uma das quatro localidades mencionadas no texto I, excluindo a cidade de Recife, julgue os itens seguintes.a) Os turistas que foram para Olinda visitaram somen-

te Olinda, e os que foram para a Ilha de Itamaracá visitaram unicamente este lugar.

b) Todos os turistas que visitaram a Ilha de Itamaracá também visitaram todos os outros locais menciona-dos no texto.

c) Em determinado dia não havia nenhum desses tu-ristas em Fernando de Noronha nem em Itamaracá.

Texto II

Considere que os turistas mencionados no texto I que visitaram Fernando de Noronha somente visitaram esse lugar. Além disso, 100 turistas visitaram somente Olinda, 50 visitaram somente a Ilha de Itamaracá, 40 visitaram somente Olinda e a Ilha de Itamaracá, e 30 visitaram somente a Ilha de Itamaracá e Porto de Galinhas.

4. (Cespe/2004 – adaptado) Com base nas informações dos textos I e II, julgue os itens a seguir.a) Menos de 4% dos turistas visitaram os três locais:

Ilha de Itamaracá, Olinda e Porto de Galinhas.b) O número de turistas que visitaram Olinda e Porto

de Galinhas foi superior a 80.c) O número de turistas que visitaram somente Porto

de Galinhas foi inferior a 140.

Considere os seguintes conjuntos de turistas:O – dos que visitaram Olinda;P – dos que visitaram Porto de Galinhas;I – dos que visitaram a Ilha de Itamaracá;R – dos que fi caram somente em Recife;A – dos que visitaram somente Olinda e Porto de Galinhas;B – dos que visitaram somente Fernando de Noronha;C – dos que visitaram Olinda e não visitaram Porto de Galinhas ou visitaram Porto de Galinhas e não visitaram Olinda.

5. (Cespe/2004 – adaptado) A par r dessas informações e dos textos I e II, e considerando que os símbolos e representam, respec vamente, união e interseção de conjuntos, e Q é o complementar do conjunto Q, julgue os itens que se seguem.a) A ( ) ( ) O P P O Ib) B RIPO c) C ( ) ( ) A B B Ad) A A ( )A Be) POCA

6. (Cespe/Metrô/2005) Uma associação de motoristas e de pilotos de trens elétricos distribui a seus associados dois jornais periódicos, A e B, que tratam de assuntos de interesse das duas categorias profi ssionais. Um total de 4.540 membros compõe a associação. Devido a problemas de comunicação, 75 associados não re-ceberam nenhum dos jornais, 980 receberam os dois

jornais e 2.840 receberam o jornal A. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.a) Mais de 1.800 associados receberam apenas o jor-

nal A.b) Menos de 2.500 associados receberam o jornal B.

GABARITO

1. C, E, E, E, E2. a3. E, E, E

4. C, C, E5. C, C, E, C, E6. C, E

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Assim como existem vários pos de conjuntos, ou seja, de pessoas, de animais, de objetos, temos também o con-junto de números que são importantes para resolver várias questões, uma vez, que muitas delas terão soluções a par r do conjunto de possíveis resultados desse conjunto.

Exemplo:1. (Cespe) Se a soma de três números ímpares naturais

consecu vos é 51, então a soma dos dois números pares que estão entre esses ímpares é maior que 36.

A solução da equação 633

x 633

x é um

número natural.

2. (FCC) Perguntaram a José quantos anos nha sua fi -lha e ele respondeu: “A idade dela é numericamen-te igual à maior das soluções inteiras da inequação 2x2 − 31x − 70 < 0.” É correto afi rmar que a idade da fi lha de José é um númeroa) menor que 10.b) divisível por 4.c) múl plo de 6.d) quadrado perfeito.e) primo.

Comentário:Nesses casos temos que saber o que é um número na-

tural e um número inteiro para podermos responder as questões. Veja exemplos de conjuntos numéricos.

Conjuntos Numéricos

1. Conjunto dos números naturais, representados pela letra Ν:

Estes números foram criados pela necessidade prá ca de contar as coisas da natureza, por isso são chamados de números naturais. São aqueles números que aparecem na-turalmente ao longo de um processo de contagem, são os posi vos.

Ν = {0, 1, 2, 3, ...}

2. Conjunto dos números inteiros, representados pela letra Ζ:

Os números naturais não permi am que todas as ope-rações. A subtração de 7 – 9 era impossível.

• A ideia do número nega vo, aparece na Índia, asso-ciada a problemas comerciais que

envolviam dívidas.• A ideia do número zero surgiu também nesta altura,

para representar o nada.

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É formado por todos os números naturais e por seus

respec vos opostos, são os posi vos e nega vos.Ζ = {... – 3, – 2. – 1, 0, 1, 2, ...}

3. Conjunto dos números racionais, representados pela letra Q:

Entretanto, surgiu outro po de problema: “Como divi-dir 3 bezerras por 2 fazendeiros?”Para resolver esse po de problemas foram criados os nú-meros fracionários. Estesnúmeros, juntamente com os números inteiros formam os racionais, que são os números que podem ser expressos sob a forma de fração de tal forma que

Q={x I x = a/b, com a ∈ Ζ e b ∈ Ζ *}

Obs.: As dízimas periódicas são números racionais, pois todas podem ser representadas por frações em que o nu-merador pertence aos inteiros (Z) e o denominador perten-ce aos inteiros menos o zero (Ζ*) .

Exemplo:a) 0,33333333 = 3/9b) 0,34343434= 34/99c) 0,056565656= 56/990

4. Conjunto dos números irracionais, representados pela letra I:

É o conjunto composto pelas dízimas aperiódicas, são números com infi nitas casas decimais.

Exemplo:O número π = 3,1415926535...

O número 2 1 4142,

5. Conjunto dos números reais, representado pela le-tra R:

É o conjunto formado pela união dos números racionais e irracionais.

R = Q U I

Diagrama de VENN:

QUESTÕES COMENTADAS

1. (FGV/2010) Analise as afi rma vas a seguir:I – 6 é maior do que 5/2.II – 0,555 é um número racional.III – Todo número inteiro tem antecessor.

Assinale:a) Se somente as afi rma vas I e III es verem corretas.b) Se somente a afi rma va II es ver correta.

c) Se somente as afi rma vas I e II es verem corretas.d) Se somente a afi rma va I es ver correta.e) Se somente as afi rma vas II e III es verem corretas.

Comentário:Referente a afi rma va I, temos o resultado 5/2 igual a

2,5, uma maneira de representá-lo é = , logo,

temos que O item está errado.Referente a afi rma va II, temos que todas as dízimas

periódicas pertencem ao conjunto dos números racionais. O item está correto.

Referente a afi rma va III, temos que o conjunto dos números inteiros são todos os números que vão do menos infi nito (- ∞ ) até o mais infi nito ( +∞ ) , logo todo número inteiro irá possuir um antecessor e um sucessor. O item está correto.

Resposta: e

2. (IBFC/MPE-SP/2011) Somando 2,33.... e 3,111... pode-mos dizer que a terça parte dessa soma vale:

a) 4927

b) 499

c) 277

d) 548

Comentário:Devemos primeiro descobrir as funções geratrizes dos

dois números, ou seja,2,333...= 2 + 0,3333...= 2 + 3/9 = 21/93,111...= 3 + 0,111... = 3 + 1/9 = 28/9

Somando-se as duas frações temos que 21/9 + 28/9 = 49/9

A terça parte desta soma será: 49/9 x 1/3 = 49/27

Resposta: a

EXERCÍCIOS

1. (Esaf) Em uma prova de natação, um dos par cipantes desiste de compe r ao completar apenas 1/5 do per-curso total da prova. No entanto, se vesse percorrido mais 300 metros, teria percorrido 4/5 do percurso total da prova. Com essas informações, o percurso total da prova, em quilometros, era igual a:a) 0,75b) 0,25c) 0,15

d) 0,5e) 1

2. (Cespe) Uma empresa contratou um operador de empi-lhadeira para realizar 30 tarefas. A empresa combinou pagar R$ 40,00 por tarefa realizada corretamente e cobrar do operador R$ 20,00 por tarefa executada de forma incorreta. No fi nal do processo, o operador recebeu R$ 840,00. Dessa forma, o número de tarefas realizadas corretamente pelo operador de empilhadeira foi igual aa) 21.b) 22.c) 23.

d) 24.e) 25.

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3. (Cespe) Uma certa empresa resolveu distribuir parte de seus lucros entre seus funcionários. O proprietário veri-fi cou que, se desse R$ 300,00 a cada um, sobrar-lhe-iam R$ 12.000,00 e que, se desse R$ 500,00 a cada um, faltar-lhe- iam R$ 8.000,00. A quan a que o proprietário da empresa pretendia repar r eraa) inferior a R$ 43.000,00.b) superior a R$ 43.000,00 e inferior a R$ 44.500,00.c) superior a R$ 44.500,00 e inferior a R$ 46.000,00.d) superior a R$ 46.000,00 e inferior a R$ 47.500,00.e) superior a R$ 47.500,00.

4. (Cespe) Maria distribuiu 79 pacotes de biscoitos entre as prateleiras A, B e C. Na prateleira A, Maria pôs três pacotes a mais que na prateleira B. Na prateleira C, pôs o dobro de pacotes des nados à prateleira B, menos quatro pacotes. Com base nas informações acima, assinale a opção correta.a) Na prateleira A, Maria pôs mais de 25 pacotes.b) Na prateleira B, Maria pôs menos de 19 pacotes.c) A prateleira C fi cou com mais de 38 pacotes.d) A prateleira A fi cou com mais de 22 pacotes enquanto

a prateleira B fi cou com menos de 19 pacotes.e) Na prateleira B, foram postos mais de 19 pacotes e,

na prateleira C, mais de 35.

5. (FCC) Na entrada de um estádio, em um dia de jogo, 150 pessoas foram revistadas pelos soldados Mauro, Norberto e Orlando. O número das revistadas por

Mauro correspondeu a 34

do número das revistadas

por Orlando, e o número das revistadas por Orlando

correspondeu a 1413

do número das revistadas por

Norberto. O número de pessoas revistadas pora) Mauro foi 45.b) Norberto foi 54.c) Orlando foi 52.d) Norberto foi 50.e) Mauro foi 42.

6. (FCC) Ao dividir o número 762 por um número inteiro de dois algarismos, Natanael enganou-se e inverteu a ordem dos dois algarismos. Assim, como resultado, obteve o quociente 13 e o resto 21. Se não vesse se enganado e efetuasse corretamente a divisão, o quo-ciente e o resto que ele obteria seriam, respec vamen-te, iguais aa) 1 e 12b) 8 e 11c) 10 e 12

d) 11 e 15e) 12 e 11

(Cespe) Com relação a números naturais, inteiros, racionais e reais. Julgue o item.7. Em uma divisão de números naturais, a soma do divi-

sor com o quociente é igual a 50, o divisor é igual a 9 vezes o quociente e o resto é o maior possível. Então o dividendo é um número natural maior que 270.

GABARITO:

1. d2. d3. a4. e

5. e6. e7. E

PORCENTAGEM E PROBLEMAS

É comum o uso de expressões que refl etem acréscimos ou reduções em preços, números ou quan dades, sempre tomando como referencial 100 unidades.

Exemplos:• Os alimentos veram um aumento de 16%.• Signifi ca que em cada R$ 100 houve um acréscimo de

R$ 16,00.• O freguês recebeu um desconto de 12% em todas as

mercadorias.• Signifi ca que em cada R$ 100 foi dado um desconto de

R$12,00.• Dos atletas que jogam no Santos, 80% são craques.• Signifi ca que em cada 100 jogadores que jogam no

Grêmio, 80 são craques.

Razão centesimalToda a razão que tem para consequente (denominador)

o número 100 denomina-se razão centesimal.

Exemplos:

8 34 129 300, , ,100 100 100 100

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

8 0.08 8%10034 0,34 34%100129 1,29 129%100300 3,0 300%100

As expressões 8%, 34% e 129% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

Considere o seguinte exemplo:João pagou uma prestação que corresponde a 50% do

seu salário. Sabendo que seu salário é de 1.200,00 reais, qual o valor pago?

Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o seu salário.

5050% 1200 1200 600,00100

de

Porcentagem

Valor ob do ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Dada uma razão qualquer

vP , denominados de por-

centagem do valor v a todo valor de P que estabelece uma proporção com alguma razão centesimal.

É o valor ob do ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Exemplos 1:• Calcular 10% de 200.

1010% 200 200 20100

de

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• Calcular 25% de 300kg.

2525% 300 300 75100

de Kg

Logo, 75 kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

Exemplos 2:Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato,

cobrou 50 faltas, transformando em gols 30% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

3030% 50 50 15100

de

Portanto, o jogador fez 15 gols de falta.

Fator de Mul plicação

Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um deter-minado valor, podemos calcular o novo valor apenas mul -plicando esse valor por 1,10, que é o fator de mul plicação. Se o acréscimo for de 20%, mul plicamos por 1,20, e assim por diante.

Observe a tabela seguinte.

Acréscimo ou Lucro Fator de Mul plicação10% 1,1012% 1,1225% 1,2548% 1,4868% 1,68

Exemplo 1Aumentando 20% no valor de R$ 15,00 temos:

15 x 1,20 = R$ 18,00.

No caso de haver um decréscimo, o fator de mul pli-cação será:

Fator de mul plicação = 1 – taxa de desconto (na forma decimal)

Observe a tabela seguinte.

Desconto Fator de Mul plicação10% 0,9025% 0,7535% 0,6575% 0,2590% 0,10

Exemplo 2Descontando 15% no valor de R$ 130,00 temos:

130 x 0,85 = R$ 110,50.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

1. Complete:a) 17% de x é igual a ..........................................b) 300% de x é igual a....................................c) se uma mercadoria sofre um aumento de 30% no

seu preço x, então seu novo preço será.................

d) se uma mercadoria sofre uma redução de 15% no seu preço x, então seu novo preço será.................

e) aumentar 40% signifi ca mul plicar por.............a) aumentar 3% signifi ca mul plicar por..................b) diminuir 25% signifi ca mul plicar por.................c) diminuir 9% signifi ca mul plicar por.................d) 20% de 30% é igual a.........................................

2. Em certa cidade, as tarifas de ônibus foram majoradas, passando de R$ 16,00 para R$ 20,00. De quanto foi o percentual de aumento?

3. Meio, quantos por cento são de 5/8?

4. Uma pesquisa revelou que 70% das pessoas entrevista-das assis am à TV. Sabe-se que 60% das pessoas entre-vistadas eram do sexo masculino e que 75% das mulheres entrevistadas assis am à TV. Qual a porcentagem de homens entre as pessoas que não assistam à TV?

5. Num certo grupo de 300 pessoas sabe-se que 98% são do sexo masculino. Quantos homens deveriam sair do grupo para que o restante deles passasse a representar 97% das pessoas presentes no grupo remanescente?

QUESTÕES DE CONCURSOS

1. (FCC/TRF/2006) Em agosto de 2006, Josué gastava 20% de seu salário no pagamento do aluguel de sua casa. A par r de setembro de 2006, ele teve um aumento de 8% em seu salário e o aluguel de sua casa foi ajustado em 35%. Nessas condições, para o pagamento do alu-guel após os reajustes, a porcentagem do salário que Josué deverá desembolsar mensalmente é:a) 22,5%b) 25%c) 27,5%d) 30%e) 32,5%

2. (FCC/TRT/2006) Pedi certa quan a emprestada a meu irmão. Já lhe devolvi R$ 254,40, que correspondem a 80% do valor que ele me emprestou. Se não há paga-mento de juros, o valor total dessa dívida é:a) R$ 63,60b) R$ 203,50c) R$ 318,00d) R$ 2035,20e) R$ 3180,00

3. (FCC/TRT/2003) Dos 120 funcionários convidados para assis r a uma palestra sobre doenças sexualmente transmissíveis, somente 72 compareceram. Em rela-ção ao total de funcionários convidados, esse número representa:a) 45%b) 50%c) 55%d) 60%e) 65%

4. (Cespe/TRT/2002) Julgue os itens.a) Se um trabalhador ganha R$ 800,00 líquidos por

mês, gasta 25% de seu salário em alimentação,

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30% em aluguel, 25% em outras despesas e aplica o restante em uma caderneta de poupança, então o valor aplicado mensalmente é maior que R$ 150,00.

b) Se Antônio e Pedro analisaram juntos 225 proces-sos e Pedro analisou 25% a mais de processos que Antônio, então Antônio analisou 100 processos.

5. (Cespe/TRT/2002) Julgue os itens.a) Considere que a cesta básica tenha seu preço majo-

rado a cada mês, de acordo com a infl ação mensal. Se, em dois meses consecu vos, a infl ação foi de 5% e 10%, então a cesta básica, nesse período, foi majorada em exatamente 15%.

b) Se um funcionário recebia R$ 850,00 por mês e pas-sou a receber R$ 952,00, então ele teve um aumento inferior a 13%.

6. (Cespe/2002) Um comerciante aplicou um capital C, com rendimento de 30% ao ano, no início de 2001. Naquela data, ele poderia comprar, com esse capital, exatamente 20 unidades de um determinado produto. Porém, o preço unitário do produto subiu 25% em 2001. A porcentagem a mais de unidades do produto que o comerciante podia comprar no início de 2002 era:a) inferior a 3,5%.b) superior a 3,5% e inferior a 4,5%.c) superior a 4,5% e inferior a 5,5%.d) superior a 5,5% e inferior a 6,5%.e) superior a 6,5%.

7. (FCC/2002) Desprezando-se qualquer po de perda, ao se adicionar 100 g de ácido puro a uma solução que contém 40 g de água e 60 g deste ácido, obtém-se uma nova solução coma) 75% de ácido.b) 80% de ácido.c) 85% de ácido.d) 90% de ácido.e) 95% de ácido.

8. (FCC/2002) Em janeiro, uma loja em liquidação decidiu baixar todos os preços em 10%. No mês de março, fren-te a diminuição dos estoques a loja decidiu reajustar os preços em 10%. Em relação aos preços pra cados antes da liquidação de janeiro, pode-se afi rmar que, no período considerado, houvea) um aumento de 0,5%b) um aumento de 1%c) um aumento de 1,5%d) uma queda de 1%e) uma queda de 1,5%

9. (Esaf/AFC/2002) Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos: 80% são amarelos e 20% são vermelhos. Uma misteriosa doença matou muitos peixes amare-los, mas nenhum vermelho. Depois que a doença foi controlada, verifi cou-se que 60% dos peixes vivos, no aquário, eram amarelos. Sabendo que nenhuma outra alteração foi feita no aquário, o percentual de peixes amarelos que morreram foi:a) 20 %b) 25 %c) 37,5 %

d) 62,5 %e) 75 %

10. (Esaf/AFC/2002) A remuneração mensal dos funcionários de uma empresa é cons tuída de uma parte fi xa igual a R$ 1.500,00 mais uma comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$ 8.000,00. Calcula-se em 10% o percen-tual de descontos diversos que incidem sobre seu salário bruto (isto é, sobre o total da parte fi xa mais a comissão). Em dois meses consecu vos, um dos funcionários dessa empresa recebeu, líquido, respec vamente, R$ 1.674,00 e R$ 1.782,00. Com esses dados, pode-se afi rmar que as vendas realizadas por esse funcionário no segundo mês foram superiores às do primeiro mês em:a) 8%b) 10%c) 14%d) 15%e) 20%

11. (Esaf/AFC-2004) Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu peso. Primei-ro, ao visitar uma a vegetariana, Alice perdeu 20% de peso. A seguir, passou alguns dias na casa de um o, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também emagre-ceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que, acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso fi nal de Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início dessa sequência de visitas, fi cou:a) exatamente igual.b) 5% maior.c) 5% menor.d) 10% menor.e) 10% maior.

12. (FCC/MPU/2007) No refeitório de certa empresa, num dado momento, o número de mulheres correspondia a 45% do de homens. Logo depois, 20 homens e 3 mulheres re raram-se do refeitório e, concomitantemente, lá aden-traram 5 homens e 10 mulheres, fi cando, então, o número de mulheres igual ao de homens. Nessas condições, o total de pessoas que havia inicialmente nesse refeitório era:a) 46b) 48c) 52d) 58e) 60

13. (Esaf/2002) As vendas de uma microempresa passaram de R$ 3.000,00 no mês de janeiro para R$ 2.850,00 no mês de fevereiro. De quanto foi a dimi-nuição rela va das vendas?a) 4%b) 5%c) 6%d) 8%e) 10%

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14. (Esaf/2002) Um trabalhador teve um aumento salarial

de 10% em um ano e de 20% no ano seguinte. Qual foi o aumento salarial total do trabalhador no período?a) 40% b) 32% c) 30% d) 20% e) 10%

15. (Esaf-2002) Na compra à vista de um produto que cus-tava R$ 180,00, um consumidor conseguiu um desconto de 12%. Por quanto saiu o produto?a) R$ 158,40b) R$ 160,00c) R$ 162,00d) R$ 162,45e) R$ 170,00

Responda às questões 16 e 17, usando a tabela abaixo:

Em uma eleição para a presidência do Conselho Regional, foi apurado o seguinte resultado:

Candidato % do votos Número de votosA 26%

B 24%

C 22%

Brancos e/ou nulos 196

16. (Funiversa) O número de votos ob dos pelo vencedor foi de:a) 178 votosb) 182 votosc) 184 votosd) 188 votose) 191 votos

17. (Funiversa) O número de total de eleitores foi de:a) 504b) 600c) 700d) 804e) 638

18. (Cespe/2002) A bacia amazônica concentra 72% do potencial hídrico nacional. A distribuição regional dos recursos hídricos é de 70% para a região Norte, 15% para o Centro-Oeste, 12% para as regiões Sul e Sudeste, que apresentam o maior consumo de água, e 3% para a Nordeste.

Internet: <h p://www.bndes.gov.br/conhecimento/revista/rev806.pdf>.

Com base no texto, assinale a opção incorreta.

a) Mais de 610

dos recursos hídricos brasileiros

situam-se na região Norte.

b) Na região Sudeste, situam-se 650

dos recursos hídri-cos nacionais.

c) A região Centro-Oeste possui 320

dos recursos hídricos nacionais.

d) A bacia Amazônica concentra 1825

do potencial hídrico nacional.

e) A região Nordeste possui mais de 150

dos recursos hídricos nacionais.

19. (Cespe/BB/2007) Considerando que o número de crianças e adolescentes com até 17 anos de idade que trabalham no Brasil seja igual a 2.899.800 e que a quan dade deles por região brasileira seja diretamen-te proporcional ao número de unidades federa vas da respec va região – são 27 as unidades federa vas brasileiras, incluindo-se o Distrito Federal como unidade federa va da região Centro-Oeste – , julgue o item se-guinte, tendo como referência as informações con das no texto acima.

( ) Considere que, das crianças e adolescentes com até os 17 anos de idade que trabalham no Brasil, 20% tenham entre 5 e 9 anos de idade. Nesse caso, mais de 450.000 dessas crianças e adolescentes trabalham no campo.

20. (Cesgranrio/2007) Em 2006, foram embarcadas, no porto de Porto Velho, cera de 19.760 toneladas de madeira a mais do que em 2005, totalizando 46.110 toneladas. Assim, em relação a 2005, o embarque de madeira aumentou aproximadamente x%. Pode-se concluir que x é igual a:a) 45b) 58c) 65d) 75e) 80

GABARITO

Fixação de aprendizagem

1. a) 0,17x b) 3x c) 1,3x d) 0,85x e) 1,4 f) 1,03 g) 0,75 h) 0,91 i) 6%

j) 9% k) 90% l) 24 m) 32% 2. 25% 3. 80% 4. 66,7% (aprox.) 5. 100 homens

Questões de Concursos

1. b2. c3. d4. C C5. E C6. b7. b

8. d9. d10. e11. d12. d13. b14. b

15. a16. b17. c18. d19. C20. d

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RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO

Estruturas Lógicas

A lógica formal não se ocupa dos conteúdos pensados ou dos objetos referidos pelo pensamento, mas apenas da forma pura e geral dos pensamentos, expressa por meio da linguagem. O objeto da lógica é a proposição, que exprime, por intermédio da linguagem, os juízos formulados pelo pensamento. A proposição é a atribuição de um predicado a um sujeito.

Sentenças

• Expressão de um pensamento completo.• São compostas por um sujeito (algo que se declara)

e por um predicado (aquilo que se declara sobre o sujeito).

Exemplos:• José passou no concurso público.• Lógica não é di cil.• Que horas começa o fi lme?• Que belas fl ores!• Pegue essa xícara agora.

Observação: Percebe-se que as sentenças podem ser:

– Afi rma vas;Ex.: A lógica é uma ciência do raciocínio.

– Nega vas;Ex.: José não vai à festa.

– Impera vas;Ex.: Faça seu trabalho com dedicação.

– Exclama vas;Ex.: Que dia lindo!

– Interroga vas.Ex.: Qual é o seu nome?

Sentenças AbertasSão as sentenças nas quais não podemos determinar

o seu sujeito. Uma forma mais simples de saber se uma sentença é aberta seria não poder iden fi cá-la nem como V (verdadeira) nem como F (falsa).

Exemplo:Ela foi a melhor atleta da compe ção.

Algumas sentenças são chamadas de abertas porque são passíveis de interpretação, podendo ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Se, por exemplo, vermos a proposição expressa “Para todo a, P(a)”, em que a é um ele-mento qualquer do conjunto U, e P(a) é uma propriedade a respeito dos elementos de U, será necessário explicitar U e P para que seja possível valorar.

Exemplo:{x R | x > 2} – neste caso, x pode ser qualquer número

maior que dois, ou seja, não há um sujeito específi co.

Há expressões às quais não se pode atribuir um valor lógico V ou F.

sente

nças

Exemplo:“Ele é juiz do TRT da 1ª Região”, ou “x + 5 = 10”. O sujeito

é uma variável que pode ser subs tuída por um elemento arbitrário, transformando a expressão em uma proposição que pode ser valorada como V ou F. Expressões dessa forma são denominadas sentenças abertas, ou funções proposi-cionais. Pode-se passar de uma sentença aberta para uma proposição por meio dos quan fi cadores “qualquer que seja” ou “para todo”, indicado por , e “existe”, indicado por .

Sentenças FechadasSão as sentenças nas quais podemos determinar o seu

sujeito.

Exemplos:• Antônio está de férias.• O professor Josimar foi trabalhar.

Expressões

São aquelas que não são sentenças.

Exemplos:• Vinte e cinco centésimos.• A terça parte de um número.

Proposições

Dá-se o nome de proposição a uma sentença (afi rma- va ou nega va) formada por palavras ou símbolos que

expressam um pensamento de sen do completo, aos quais se podem atribuir um valor lógico, ou seja, uma valoração (verdadeiro ou falso).

Essa valoração também é chamada de valor-lógico ou valor-verdade.

Diagrama

AplicaçãoUma questão que deixa às claras a relação entre pro-

posições e sentenças é a que consta na prova para analista do Sebrae, realizada pelo Cespe em 2008, na qual aparece a seguinte proposição: “‘Ninguém ensina ninguém’ é um exemplo de sentença aberta”.

Resolução:Essa questão é interessante, pois exige do candidato

uma diferenciação entre os conceitos já citados. Muitos certamente se deteriam à interpretação da frase sugerida. Observe que, quando o Cespe cita que a proposição “Nin-guém...” é uma sentença aberta, há uma contradição, uma vez que uma proposição pode ser valorada, o que não ocorre com uma sentença aberta (não há como se valorar.) Logo, o item está errado.

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QUESTÕES COMENTADAS

1. (FCC/SFASP/Ag.Fis.Rendas/2006) Considere as seguintes frases:I – Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.II – (x+y) / 5 é um numero inteiro.III – João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.

É verdade que apenasa) I é uma sentença aberta.b) II é uma sentença aberta.c) I e II são sentenças abertas.d) I e III são sentenças abertas.e) II e III são sentenças abertas.

ComentárioNo item I temos uma sentença aberta, pois não se pode

determinar quem foi o melhor jogador do mundo em 2005.No item II vários valores podem ser atribuídos a x

ou a y para que a razão possua resultado inteiro. Ex.: x = 5 e y = 10, temos (5 + 10) / 5 = 3 (3 pertence aos intei-ros); pode acontecer o mesmo com x = 20 e y = 10, temos(20 + 10) = 15 etc. Logo, a sentença é aberta.

Já no item III, temos uma sentença fechada, visto que se pode determinar quem foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000, ou seja, o Sr. João da Silva.

Resposta: c

2. (FCC/SFASP/Ag.Fis.Rendas/2006/Adaptada) Das quatro frases abaixo, três têm uma mesma caracterís ca lógica e comum, enquanto uma delas não tem essa caracte-rís ca.I – Que belo dia!II – Josias é um excelente aluno de raciocínio lógico.III – O jogo terminou empatado?IV – Escreva uma poesia.

A frase que não possui essa caracterís ca comum é a:a) IV.b) III.c) I.d) II.

ComentárioNas frases acima temos quatro sentenças:I – Que Belo dia! (não possui uma interpretação lógica – sentença exclama va – não há como valorar).II – Josias é um excelente aluno de raciocínio lógico (sen-tença afi rma va – há como valorar).III – O jogo terminou empatado? (sentença interroga -va – não há como valorar).IV – Escreva uma poesia. (sentença impera va – não há como valorar).Entre as quatro, apenas uma pode ser valorada. Logo, te-mos uma proposição. Esse caso refere-se à segunda frase.

Resposta: d

3. (Cespe/Banco do Brasil/2008) Julgue o item.a) A frase “Quanto subiu o percentual de mulheres

assalariadas nos úl mos 10 anos?” não pode ser considerada uma proposição.

ComentárioO item não é uma proposição, pois não pode ser va-

lorado. É uma sentença interroga va. O item está correto.

Proposições Simples e Compostas

Proposições Simples ou Atômicas

Proposições Simples ou Básicas: são as proposições que expressam apenas um pensamento.

Exemplos:• Guarapari tem lindas praias.• José passou no concurso.

Proposições Compostas ou Moleculares

Proposições Compostas: são as proposições que expres-sam mais de um pensamento. As proposições compostas costumam ser chamadas de fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas.

Exemplo:José passou no concurso e Guarapari tem lindas praias.

QUESTÕES COMENTADAS

1. (Cespe/STF/Técnico Judiciário/2008)• Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu

conselho.• A resposta branda acalma o coração irado.• O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da

ruína do homem.• Se o fi lho é honesto, então o pai é exemplo de inte-

gridade.

Tendo como referência as quatro frases acima, julgue os itens seguintes.a) A primeira frase é composta por duas proposições

lógicas simples unidas pelo conec vo de conjunção.b) A segunda frase é uma proposição lógica simples.c) A terceira frase é uma proposição lógica com posta.d) A quarta frase é uma proposição lógica em que

aparecem dois conec vos lógicos.

ComentárioO item a está errado, já que temos duas sentenças

impera vas (não são proposições) ligadas por um conec- vo de conjunção. Logo, podemos afi rmar que não é uma

proposição.Já o item b está correto, pois temos apenas uma ideia

completa (proposição simples).Por sua vez, o item c está errado, visto que temos ape-

nas uma ideia completa (proposição simples).O item d também está incorreto, porque temos duas

proposições simples (pensamentos) conectadas pelo conec- vo condicional “Se... então...”.

2. (Cespe/Sebrae/Analista/2008) Com relação à lógica formal, julgue os itens subsequentes.a) A frase “Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE” é

uma proposição simples.b) A proposição “João viajou para Paris e Roberto viajou

para Roma” é um exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por um conec vo de conjunção.

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ComentárioO item a está correto, já que temos uma ideia completa

(proposição simples).O item b está correto, pois temos duas ideias completas

conectadas (operadas) por um conec vo de conjunção “e”.

3. (Cespe/2008) Uma proposição é uma afi rmação que pode ser julgada como verdadeira – V – ou falsa – F –, mas não como ambas. Uma proposição é denominada simples quando não contém nenhuma outra proposição como parte de si mesma, e é denominada composta quando for formada pela combinação de duas ou mais proposições simples. De acordo com as informações con das no texto, julgue os itens a seguir.a) A frase “Você sabe que horas são?” é uma propo-

sição.b) A frase “Se o mercúrio é mais leve que a água, en-

tão o planeta Terra é azul” não é considerada uma proposição composta.

ComentárioLetra a – A frase “Você sabe que horas são?” é uma

sentença interroga va. Assim, as sentenças interroga vas não são proposições, pois elas não podem ser valoradas. Logo, o item está incorreto.

Letra b – As proposições compostas são aquelas que expressam mais de um pensamento completo. Nesse contexto, os conec vos lógicos são u lizados para criar novas proposições, ou até mesmo modifi cá-las. Tomando a seguinte sentença: “Se o mercúrio é mais leve que a água, então o planeta Terra é azul”, temos duas ideias conectadas por um conec vo condicional “se... então...”. Logo, o item está incorreto.

QUESTÕES DE CONCURSOS

1. (Cespe/MRE/2008) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras – V – ou fal-sas – F – mas não cabem a elas ambos os julgamentos. As proposições simples são frequentemente simboliza-das por letras maiúsculas do alfabeto, e as proposições compostas são conexões de proposições simples. Uma expressão da forma A ^ B é uma proposição composta que tem valor lógico V quando A e B forem ambas V e, nos demais casos, será F, e é lida “A e B”. A expressão ¬A, “não A”, tem valor lógico F se A for V, e valor lógico V se A for F. A expressão A V B, lida como “A ou B”, tem valor lógico F se ambas as proposições A e B forem F; nos demais casos, é V. A expressão AB tem valor lógico F se A for V e B for F. Nos demais casos, será V, e tem, entre outras, as seguintes leituras: “se A então B”, “A é condição sufi ciente para B”, “B é condição necessária para A”. Uma argumentação lógica correta consiste de uma sequência de proposições em que algumas são premissas, isto é, são verdadeiras por hipótese, e as outras, as conclusões, são obrigatoriamente verdadei-ras por consequência das premissas.

Considerando as informações acima, julgue o item a seguir.

Considere a seguinte lista de sentenças: I – Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério

das Relações Exteriores? II – O Palácio do Itamaraty em Brasília é uma bela cons-

trução do século XIX.

III – As quan dades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, respec vamente, x e y.

IV – O barão do Rio Branco foi um diplomata no tável. Nessa situação, é correto afi rmar que entre as sentenças

acima apenas uma delas não é uma proposição.

2. (Cespe/STJ/2008 – adaptada) A lógica formal representa as afi rmações que os indivíduos fazem em linguagem do co diano para apresentar fatos e se comunicar. Uma proposição é uma sentença que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F) (embora não se exija que o julgador seja capaz de decidir qual é a alterna va válida).

Nas sentenças a seguir, apenas A e D são proposições.A: 12 é menor que 6.B: Para qual me você torce?C: x + 3 > 10.D: Existe vida após a morte.

3. (Cespe/2008/adaptada) Na comunicação, o elemento fundamental é a sentença, ou proposição simples, cons tuída esquema camente por um sujeito e um predicado, sempre nas formas afi rma va ou nega -va, excluindo-se as interroga vas e exclama vas. Há expressões que não podem ser julgadas como V nem como F, por exemplo: “x + 3 = 7”, “Ele foi um grande brasileiro”. Nesses casos, as expressões cons tuem sen-tenças abertas e “x” e “Ele” são variá veis. Uma forma de passar de uma sentença aberta a uma proposição é pela quan fi cação da variável. São dois os quan fi cadores: “qualquer que seja”, ou “para todo”, indicado por ∀ e “existe”. Por exemplo, a proposição “(∀x)(x ∈ R) (x + 3 = 7)” é valorada como F, enquanto a proposição “(∀x)(x ∈ R)(x + 3 = 7)” é valorada como V.

Com base nessas informações, julgue o item seguinte. Considere as seguintes sentenças: I – O Acre é um estado da Região Nordeste. II – Você viu o cometa Halley? III – Há vida no planeta Marte. IV – Se x < 2, então x + 3 > 1. Nesse caso, entre essas 4 sentenças, apenas duas são

proposições.

GABARITO

1. E2. C

3. E

Valor Lógico de uma Proposição

Como já visto anteriormente, uma proposição é a expres-são de um pensamento completo (sentença) que pode ser valorado, ou seja, na lógica proposicional uma proposição pode ser interpretada da seguinte maneira, respeitando os princípios fundamentais: Verdadeira: V ou Falsa: F.

Representação Literal das Proposições

As proposições podem ser representadas por letras, podendo ser maiúsculas ou minúsculas.

Exemplos:• p: O estado do Espírito Santo é produtor de Petróleo.• q: O mundo precisa de Paz.• r: Renato é um aluno dedicado.

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SIMBOLIZAÇÃO

Na lógica proposicional não analisamos o conteú do das proposições, mas, sim, a forma como estas se relacionam com outras proposições. Por exemplo, as proposições ‘A Terra é quadrada’ ou ‘Todo cachorro é rosa’ podem ser valoradas como verdadeiras mesmo que saibamos que em nosso co- diano não são. Por isso são representadas por símbolos.

As proposições são indicadas com maior frequência pelas letras ‘p’, ‘q’, ‘r’ ou ‘s’ (maiúsculas ou minúsculas).

Símbolos U lizados na Lógica Matemá ca

Símbolo Signifi cado Símbolo Signifi cado~ não pertence

e não pertence

ou união

se... então... intersecção

se e somente se contém

| tal que está con do

implica = igual

equivalente diferente

existe, algum qualquer que

seja, todo

|existe um e

somente um ≤ menor ou igual que

≥ maior ou igual que ≡ congruente> maior que < menor que

Conec vos e Linguagem Formal

Nas provas de concursos é de suma importância co-nhecer os signifi cados dos símbolos, os conec vos lógicos e suas linguagens, bem como os termos atuais que estão sendo u lizados. Nessa perspec va, nos deteremos à “linguagem da lógica formal”.

Os conec vos lógicos são elementos que operam as proposições simples para formarem novas proposições, as proposições compostas. São eles: “e”, “ou”, “se, então”, “se, e somente se” e “ou... ou...”.

Exemplos de proposições compostas:• P: José é irmão de Maria e André é irmão de João.• Q: André é dedicado nos estudos ou José pratica

esporte.• R: Se o professor Josimar Padilha é rigoroso, então seus

alunos gostam de lógica.• S: Josias era um homem admirado se, e somente se,

gostava muito da sua família.

Apresentação dos Conec vos Lógicos e sua Represen-tação Matemá ca

Conec vosOperadores Símbolos Signifi cados

Conjunção e / masDisjunção Inclusiva ouDisjunção Exclusiva ◊ ou... ou...

Condicional Se... então... / QuandoBicondicional Se, e somente se

EXERCÍCIO PROPOSTO

1. Dadas a proposições:p: Estudo lógica.q: Passo em concurso público.r: Estudo com dedicação.

Traduzir para a linguagem corrente as seguintes propo-sições:a) pb) p qc) p qd) q ↔ pe) p → rf) p ↔ qg) ~r ~qh) (r q ) → pi) ~(p ~q) → q

GABARITO

a) Não estudo lógica.b) Estudo lógica e passo em concurso público.c) Estudo lógica ou passo em concurso público.d) Passo em concurso público se e somente se estudo

lógica.e) Se estudo lógica, então estudo com dedicação.f) Estudo lógica se e somente se não passo em concurso

público.g) Não estudo com dedicação e não passo em concurso

público.h) Se estudo com dedicação ou não passo em concurso

público, então estudo lógica.i) Se é falso que estudo lógica e não passo em concurso

público, então passo em concurso público.

QUESTÕES DE CONCURSOS

1. (Cespe/TCU/2004 – adaptada) Considere que as letras P, Q e R representam proposições e os símbolos , e → são operadores lógicos que constroem novas pro-posições e signifi cam não, e e então, respec vamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos, esses operadores estão defi nidos, para cada valoração atribuída às letras proposicionais, na tabela abaixo.

P Q ¬P P /\ Q P → QV V F V VV F F FF V V F VF F F V

Suponha que P represente a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens seguintes.a) A sentença Hoje não choveu então Maria não foi

ao comércio e José não foi à praia pode ser corre-tamente representada por P → (R Q).

b) A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P Q.

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2. (Cespe/2006) Considere que P, Q, R e S representem proposições e que os símbolos , , e sejam ope-radores lógicos que constroem novas proposições e signifi cam “não”, “e”, “ou” e “então”, respec vamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor – verdadeiro (V) ou falso (F). Considere, ainda, que P, Q, R e S representem as sentenças listadas a seguir.P: O homem precisa de limites.Q: A jus ça deve ser severa.R: A repressão ao crime é importante.S: A liberdade é fundamental.

Com base nessas informações, julgue os itens.a) A sentença “A liberdade é fundamental, mas o

homem precisa de limites” pode ser corretamente representada por P ~S.

b) A sentença “A repressão ao crime é importante, se a jus ça deve ser severa” pode ser corretamente representada por R → Q.

c) A sentença “Se a jus ça não deve ser severa nem a liberdade fundamental, então a repressão ao crime não é importante” pode ser corretamente represen-tada por (~Q) (~S) → ~R.

d) A sentença “Ou o homem não precisa de limites e a repressão ao crime não é importante, ou a jus ça deve ser severa” pode ser corretamente represen-tada por ((~P) (~R)) Q.

e) A sentença “Se a jus ça deve ser severa, então o homem precisa de limites” pode ser corretamente representada por Q → P.

3. (Cespe/2006) Uma proposição pode ter valoração verdadeira (V) ou falsa (F). Os caracteres ¬, e que simbolizam “não”, “ou” e “e”, respec vamente, são usados para formar novas proposições. Por exemplo, se P e Q são proposições, então P Q, P Q e ¬P também são proposições. Considere as proposições seguir.A: As despesas foram previstas no orçamento.B: Os gastos públicos aumentaram.C: Os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único.D: A lei é igual para todos.

A par r dessas informações, julgue os itens subse-quentes.a) A proposição “Ou os gastos públicos aumentaram

ou as despesas não foram previstas no orçamento” está corretamente simbolizada por (B) (¬A).

b) A (C (¬B)) simboliza corretamente a proposição “As despesas foram previstas no orçamento e, ou os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único ou os gastos públicos não aumentaram”.

c) A proposição “Não é verdade que os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único nem que os gastos públicos aumentaram” está correta-mente simbolizada pela forma (¬C) (¬B).

4. (Cespe/PF/2004 – adaptada) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos , , e sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e signifi cam não, e, ou e então, res-pec vamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.

Com base nas informações apresentadas no texto aci-ma, julgue os itens a seguir.

Considere as sentenças a seguir. I – Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus

fumam. II – Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à

saúde. III – Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. IV – Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade

que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido.

V – Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; consequentemente, muitos europeus fumam.

Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.

P Fumar deve ser proibido.Q Fumar deve ser encorajado.R Fumar não faz bem à saúde.T Muitos europeus fumam.

Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes.a) A sentença I pode ser corretamente representada

por P (T).b) A sentença II pode ser corretamente representada

por ( P) ( R).c) A sentença III pode ser corretamente representada

por R P.d) A sentença IV pode ser corretamente representada

por (R ( T)) P.e) A sentença V pode ser corretamente representada

por T ((¬ R) (¬ P)).

5. (Cespe/TSE/2007) Na análise de um argumento, pode-se evitar considerações subje vas, por meio da reescrita das proposições envolvidas na linguagem da lógica formal. Considere que P, Q, R e S sejam propo-sições e que “”, “”, “” e “” sejam os conectores lógicos que representam, respec vamente, “e”, “ou”, “negação” e o “conector condicional”. Considere tam-bém a proposição a seguir.

“Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus ou de metrô, ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado”.

Assinale a opção que expressa corretamente a propo-sição acima em linguagem da lógica formal, assumin-do queP= “Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus”.Q= “Quando Paulo vai ao trabalho de metrô”.R= “ele sempre leva um guarda-chuva”.S= “ele sempre leva dinheiro trocado”.

a) P (Q R) c) (P Q) (R S)b) (PQ) R d) P (Q (R S)).

6. (Cespe/Banco do Brasil/2007) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças:I – O BB foi criado em 1980.II – Faça seu trabalho corretamente.III – Manuela tem mais de 40 anos de idade.

7. (Cespe/STF/Analista Judiciário/2008) Considere as se-guintes proposições lógicas representadas pelas letras P, Q, R e S:P: Nesse país o direito é respeitado.

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Q: O país é próspero.R: O cidadão se sente seguro.S: Todos os trabalhadores têm emprego.

Considere também que os símbolos “V”, “^”, “” e “¬” representem os conec vos lógicos “ou”, “e”, “se ... então” e “não”, respec vamente. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.a) A proposição “Nesse país o direito é respeitado, mas

o cidadão não se sente seguro” pode ser represen-tada simbolicamente por P ^ (¬R).

b) A proposição “Se o país é próspero, então todos os trabalhadores têm emprego” pode ser representada simbolicamente por QS.

c) A proposição “O país ser próspero e todos os tra-balhadores terem emprego é uma consequência de, nesse país, o direito ser respeitado” pode ser representada simbolicamente por (Q ^ R)P.

8. (Cespe/2008) Os conec vos e, ou, não e o condicional se ... então são, simbolicamente, representados por , , ¬ e , respec vamente. As letras maiúsculas do alfabeto, como P, Q e R, representam proposições. As indicações V e F são usadas para valores lógicos verdadeiro e falso, respec vamente, das proposições. Com base nessas informações, julgue os item seguinte.a) A proposição “Tanto João não é norte-americano

como Lucas não é brasileiro, se Alberto é francês” poderia ser representada por uma expressão do po P [(Q) (R)].

GABARITO

1. C, C2. E, E, C, C, C3. E, C, C4. E, C, C, C, E

5. c6. C7. C, C, E8. C

Construção de uma Tabela-Verdade

Se uma proposição composta é formada por n variáveis proposicionais, a sua tabela-verdade possuirá 2n linhas.

Nº de linhas = 2n Proposições

Exemplo:Quantas linhas possui a tabela-verdade da proposição

composta (P Q)?

Solução:O número de proposições simples, variáveis proposicio-

nais, é igual a 2, ou seja, n = 2, então o Nº de linhas = 22 = 4 linhas.Veja:

P Q (P Q)V V VV F FF V FF F F

Exemplo:Quantas linhas possui a tabela-verdade da proposição

composta (P Q)R?

Solução:O número de proposições simples, variáveis proposicio-

nais, é igual a 3, ou seja, n = 3, então o Nº de linhas = 23 = 8 linhas.Veja:

P Q R (P Q) (P Q)RV V V V VV V F V VV F V F VV F F F FF V V F VF V F F FF F V F VF F F F F

Número de Valorações Dis ntas

O número de valorações dis ntas que podem ser ob das para proposições com n variáveis proposicionais é igual a 2n de linhas.

Nº de valorações = 2n de linhas

Exemplo:Qual o número de valorações dis ntas que podem ser

ob das para proposições com exatamente duas variáveis proposicionais?

Solução:O número de proposições simples, variáveis pro-

posicionais, é igual a 2, ou seja, n = 2, então temos22 = 4 linhas.

Conec vos ou Operadores Lógicos

Operações com Proposições – Operadores Lógicos

Os conec vos lógicos são u lizados para criar novas proposições ou até mesmo modifi cá-las.

Negação ou Modifi cador LógicoO “não” é chamado de modifi cador lógico, porque ao

ser inserido em uma proposição muda seu valor lógico, ou seja, faz a negação da proposição. Quando representarmos a negação de uma proposição, usaremos (~) ou (¬) antes da letra que representa a proposição.

Proposição p Proposição ¬p

Reginaldo é trabalhador

Reginaldo não é trabalhador.Não é verdade que

Reginaldo é trabalhador.É falso que Reginaldo é trabalhador.

Se uma proposição p é verdadeira, então a sua negação, a proposição ¬p, é falsa. Veja:

Se a proposição... Tem valor lógico...A bola é pesada. Verdadeiro

então a proposição... Tem valor lógico...A bola não é pesada. Falso

Se uma proposição ¬p é verdadeira, então a sua negação, proposição p, é falsa.Veja:

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Se a proposição... Tem valor lógico...Não quero. Verdadeiro

então a proposição... Tem valor lógico...Quero. Falso

Não quero, verdadeiro. Quero, falso. Podemos represen-tar as tabelas anteriores apenas por:

p ~ p ou ¬ pV FF V

ConjunçãoDenomina-se conjunção a proposição composta formada

por duas proposições quaisquer que estejam ligadas (opera-das) pelo conec vo “e”.

Exemplos:• T: José trabalha no Tribunal. (1º Conjun vo)• U: José mora em Brasília. (2º Conjun vo)

A palavra “e” é breve e cômoda, mas tem outros usos, além de interligar enunciados (proposições simples). Por exemplo, o enunciado “Lincoln e Grant eram contemporâneos” não é uma conjunção, mas um simples enunciado que expressa uma relação. “Para ter um símbolo único com a função específi ca de interligar conjun vamente os enunciados, introduzimos o símbolo como símbolo da conjunção”. Assim, a conjunção, previamente mencionada, pode ser escrita como T U: José trabalha no Tribunal e José mora em Brasília.

A noção de conjunto fornece uma interpretação concreta para algumas ideias de natureza lógica que são fundamentais para a Matemá ca e o desenvolvimento do raciocínio.

Quando declaramos que “José trabalha no tribunal” e “José mora em Brasília”, devemos, de acordo com os Axiomas da Lógica, aceitar como verdadeiro que José trabalha no Tribunal e mora em Brasília. As possibilidades de que José trabalhe exclusivamente no Tribunal e de que José more exclusivamente em Brasília ou que não trabalhe no Tribunal e more em Brasília representa um conjunto vazio. A tabela e o diagrama abaixo representam essa situação.

Tabela-VerdadeI E

I E I EV V VV F FF V FF F F

Concluindo, o operador “e” tem o sen do de “ambos”, “simultaneidade”, “ao mesmo tempo”.

O operador “e” em operações de conjuntos dá a ideia de “intersecção” e uma ideia de “mul plicação”.

DisjunçãoA disjunção inclusiva é a proposição composta formada

por duas proposições simples que estejam ligadas (operadas) pelo conec vo “ou”.

Exemplos:• P: Gosto de Lógica. (1º Disjun vo)• Q: Passo no concurso público. (2º Disjun vo)

A disjunção P ou Q pode ser escrita como: Gosto de Lógica ou passo no concurso público.

A noção de conjunto fornece uma interpretação concreta para algumas ideias de natureza lógica que são fundamen-tais para a Matemá ca e o desenvolvimento do raciocínio. Quando declaramos “Gosto de Lógica ou Passo no concurso público”, devemos, de acordo com os Axiomas da Lógica, aceitar como verdadeiro que “Gosto exclusivamente de lógica, passo exclusivamente no concurso” ou pode ainda gostar de lógica e passar no concurso público. A possibilidade de não gostar de lógica e nem passar no concurso público representa um conjunto vazio. A tabela e o diagrama abaixo mostram esse raciocínio.

Tabela-VerdadeP Q PQV V VV F VF V VF F F

O operador “ou” tem o sen do de “um ou outro, possivelmente ambos”.

O operador “ou” em operações de conjuntos dá ideia de União e de Soma.

Disjunção ExclusivaDenomina-se disjunção exclusiva a proposição composta

formada por duas proposições simples que estejam ligadas (operadas) pelo conec vo “ou... ou...”.

Exemplos:• R: Josimar gosta de matemá ca. (1º Disjun vo)• S: Josimar gosta de esporte. (2º Disjun vo)

A disjunção ou R ou S pode ser escrita como: Ou Josimar gosta de matemá ca ou Josimar gosta de esporte.

Quando declaramos que “Ou Josimar gosta de mate-má ca ou Josimar gosta de esporte” devemos, de acordo com os Axiomas da Lógica, aceitar como verdadeiro que “Josimar gosta exclusivamente de matemá ca ou Josimar gosta exclusivamente de esporte”. A possibilidade de Josimar gostar de matemá ca e Josimar gostar de esporte representa um conjunto vazio. A tabela e o diagrama abaixo mostram esse raciocínio.

Tabela-VerdadeR S RSV V FV F VF V VF F F

O operador “ou... ou...” tem o sen do de “um ou outro, e não ambos”.

O operador “ou... ou...” em operações de conjuntos dá ideia de união e soma dos exclusivos.

Quando se u liza o “ou” no sen do exclusivo, é comum adicionar no fi nal a expressão: “mas não os dois”.

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QUESTÕES COMENTADAS

1. (Esaf) De três irmãos – José, Adriano e Caio, sabe-se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se também que, ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respec vamente:a) Caio e José.b) Caio e Adriano.c) Adriano e Caio.

d) Adriano e José.e) José e Adriano.

ComentárioPar ndo da dica de que todas as proposições (premissas)

são verdadeiras, iremos valorá-las com “V”. Ao aplicarmos a tabela-verdade do conectivo utilizado na proposição, iremos valorando as proposições simples que compõem as premissas P1 e P2.

P1: ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço. V.

P2: ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais ve-lho. V.

Para que os resultados das premissas (P1 e P2) sejam ver-dadeiros, temos que valorar as proposições simples de acordo com a tabela-verdade da disjunção exclusiva. Então, teremos:

F VP1: ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço. V F VP2: ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais ve-

lho. V

“Conclusão: O mais velho é Caio e o mais moço é Adria-no.” V.

QUESTÕES DE CONCURSOS

1. (Esaf) Maria tem três carros: um gol, um corsa e um fi esta. Um dos carros é branco, o outro é preto e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o gol é branco, ou o fi esta é branco; 2) ou o gol é preto, ou o corsa é azul; 3) ou o fi esta é azul, ou o corsa é azul; 4) ou o corsa é preto, ou o fi esta é preto.

Portanto, as cores do gol, do corsa e do fi esta são, respec vamente,a) branco, preto, azul.b) preto, azul, branco.c) azul, branco, preto.

d) preto, branco, azul.e) branco, azul, preto.

2. (MPU/2004) Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é médico, outro é professor e o outro é músico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médi-co; 2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico; 3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico; 4) ou Rogério é professor, ou Renato é professor. Portanto, as profi ssões de Ricardo, Rogério e Renato são, respec vamente,a) professor, médico, músico.b) médico, professor, músico.c) professor, músico, médico.d) músico, médico, professor.e) médico, músico, professor.

3. (Esaf/Aneel/2004) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim,a) estudo e fumo.b) não fumo e surfo.c) não velejo e não fumo.d) estudo e não fumo.e) fumo e surfo.

4. (Cespe/2007) Circuitos lógicos são estruturas que po-dem ser exibidas por meio de diagramas cons tuídos de componentes denominados portas lógicas. Um circuito lógico recebe um ou mais de um valor lógico na entrada e produz exatamente um valor lógico na saída. Esses valores lógicos são representados por 0 ou 1. As portas lógicas OU e N (não) são defi nidas pelos diagramas abaixo.

Nesses diagramas, A e B representam os valores lógicos de entrada e S, o valor lógico da saída. Em OU, o valor de S é 0 quando A e B são ambos 0, caso contrário, é 1. Em N, o valor de S é 0 quando A for 1, e é 1 quando A for 0. Considere o seguinte diagrama de circuito lógico.

Com base nas defi nições apresentadas e no circuito ilustrado acima, julgue os itens subsequentes.a) Considere-se que A tenha valor lógico 1 e B tenha

valor lógico 0. Nesse caso, o valor lógico de S será 0.b) A saída no ponto Q terá valor lógico 1 quando A ver

valor lógico 0 e B ver valor lógico 1.

5. (Cespe/2007) Os símbolos que conectam duas pro-posições são denominados conec vos. Considere a proposição defi nida simbolicamente por A B, que é F quando A e B são ambos V ou ambos F, caso contrário é V. O conec vo é denominado “ou exclusivo” por-que é V se, e somente se, A e B possuírem valorações dis ntas. Com base nessas informações, julgue o item que se segue.a) A proposição “João nasceu durante o dia ou João

nasceu durante a noite” não tem valor lógico V.

6. (CGU/2008) Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar. Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel. Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar. Ora, não sou amiga de Clara. Assim,a) não sou amiga de Nara e sou amiga de Abel.b) não sou amiga de Clara e não sou amiga de Nara.c) sou amiga de Nara e amiga de Abel.d) sou amiga de Oscar e amiga de Nara.e) sou amiga de Oscar e não sou amiga de Clara.

GABARITO

1. e2. e

3. e4. E, C

5. E6. c

CondicionalDenomina-se condicional a proposição composta for-

mada por duas proposições que estejam ligadas (operadas) pelos conec vos “Se..., então...” / “Quando”.

Exemplos:• A: Elisa é estudiosa.• B: Elisa é bem-sucedida.

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A condicional “Se A, então B”/ “Quando A, B” pode ser escrita como: A B: Se Elisa é estudiosa, então Elisa é bem-sucedida.

Ao escrevermos “Se Elisa é estudiosa, então Elisa é bem-sucedida” devemos, de acordo com os axiomas da Lógica, acordar que: Elisa ser estudiosa, obrigatoriamente Elisa é bem-sucedida; se Elisa não é bem-sucedida, então ela não é estudiosa.

A implicação lógica denotada por A B pode ser inter-pretada como uma inclusão entre conjuntos, ou seja, como A B, em que A é o conjunto cujos objetos cumprem a condi-ção a, e b é o conjunto cujos objetos cumprem a condição b.

A B A →BV V VV F FF V VF F V

Em uma proposição condicional não existe a possibilidade de termos a primeira verdadeira e a segunda falsa; então, se sabemos que a primeira é verdadeira, a segunda, por dedu-ção, deverá ser considerada verdadeira; e se sabemos que a segunda é falsa, a primeira deverá ser considerada falsa.

Note também que, se sabemos que a primeira é falsa, não temos como deduzir o valor lógico da segunda, e, se sabemos que a segunda é verdadeira, não temos como deduzir o valor lógico da primeira. Veja:

Antecedente Consequente

Em uma proposição condicional temos as seguintes condições:

X = Condicional sufi cienteY = Condicional necessária

Exemplos:• Se o dia es ver claro, então José vai ao comércio.• P: O dia es ver claro.• Q: José vai ao comércio.

Tem-se:

O dia estar claro é condição sufi cientepara José ir ao comércio.

OUJosé ir ao comércio é condição necessária

para o dia estar claro.

O Operador “Se... então...” dá a ideia de inclusão de dois conjuntos, em que p q p q.

Uma observação muito importante para o conec vo condicional é que ele não pode comutar. A tabela-verdade mostra isso claramente nas linhas 2 e 3, em que os resultados são diferentes.

A B A →BV V VV F FF V VF F V

Uma outra demonstração se dá por meio dos diagramas, nos quais temos: p → q.

QUESTÕES COMENTADAS

1. (Esaf) Se o jardim não é fl orido, então o gato mia. Se o jardim é fl orido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo:

a) O jardim é fl orido e o gato mia.b) O jardim é fl orido e o gato não mia.c) O jardim não é fl orido e o gato mia.d) O jardim não é fl orido e o gato não mia.e) Se o passarinho canta, então o gato não mia.

ComentárioPar ndo do princípio de que todas as premissas são

verdadeiras, temos:

V V (V)P1: O jardim não é fl orido O gato mia.

F F (V)P2: O jardim é fl orido o passarinho não canta.

P3: O passarinho canta. (V)

Par ndo da premissa p3 como (V), temos as seguintes valorações para as demais proposições simples, de acordo com a tabela-verdade da condicional:

a) O jardim é fl orido e o gato mia.F V = F

b) O jardim é fl orido e o gato não mia.F F = F

c) O jardim não é fl orido e o gato mia.V V = V

d) O jardim não é fl orido e o gato não mia.V F = F

e) Se o passarinho canta, então o gato não mia.V F = F

Logo, a sentença c é verdadeira.

Observação: Perceba que analisamos cada uma das opções para encontrar o item verdadeiro.

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QUESTÕES DE CONCURSOS

1. (Esaf) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fi ca em casa. Se Carla fi ca em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla, logo:a) Carla não fi ca em casa e Beto não briga com Glória.b) Carla fi ca em casa e Glória vai ao cinema.c) Carla não fi ca em casa e Glória vai ao cinema.d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.

2. (Esaf) Se não durmo, bebo. Se es ver furioso, durmo. Se dormir, não estou furioso. Se não estou furioso, não bebo. Logo:a) não durmo, estou furioso e não bebo.b) durmo, estou furioso e não bebo.c) não durmo, estou furioso e bebo.d) durmo, não estou furioso e não bebo.e) não durmo, não estou furioso e bebo.

3. (Esaf) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efe vamente come do por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que:

I. Se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada.

II. Ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois.

III. O mordomo não é inocente.

Logo:a) a governanta e o mordomo são os culpados.b) o cozinheiro e o mordomo são os culpados.c) somente a governanta é culpada.d) somente o cozinheiro é inocente.e) somente o mordomo é culpado.

4. (Esaf) José quer ir ao cinema assis r ao fi lme “Fogo contra fogo”, mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luís, e Júlio, têm opiniões discordantes sobre se o fi lme está em cartaz ou não. Se Maria es ver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio es ver enganado, então Luís está enganado. Se Luís es ver enganado, então o fi lme não está sendo exibido. Ora, ou o fi lme “Fogo contra fogo” está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verifi cou-se que Maria está certa. Logo:a) o fi lme “Fogo contra fogo” está sendo exibido.b) Luís e Júlio não estão enganados.c) Júlio está enganado, mas não Luís.d) Luís está enganado, mas não Júlio.e) José não irá ao cinema.

5. (AFC) Ou lógica é fácil, ou Arthur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografi a não é di cil, então Lógica é di cil. Daí segue-se que se Arthur gosta de Lógica, então:a) se Geografi a é di cil, então Lógica é di cil.b) Lógica é fácil e Geografi a é di cil.c) Lógica é fácil e Geografi a é fácil.d) Lógica é di cil e Geografi a é di cil.e) Lógica é di cil ou Geografi a é fácil.

6. (Esaf) Ou Celso compra um carro, ou Ana vai à África, ou Rui vai a Roma. Se Ana vai à África, então Luís compra um livro. Se Luís compra um livro, então Rui vai a Roma. Ora Rui não vaia Roma, logo:

a) Celso compra um carro e Ana não vai à África.b) Celso não compra um carro e Luís não compra o livro.c) Ana não vai à África e Luís compra um livro.d) Ana vai à África ou Luís compra um livro.e) Ana vai à África e Rui não vai a Roma.

7. (Esaf) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul men ram. Se Raul men u, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo:a) Nestor e Júlia disseram a verdade.b) Nestor e Lauro men ram.c) Raul e Lauro men ram.d) Raul men u ou Lauro disse a verdade.e) Raul e Júlia men ram.

8. (Esaf) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Ma-ria e Júlia têm a mesma idade. Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então:a) Carlos não é mais velho do que Júlia, e João é mais

moço do que Pedro.b) Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia

têm a mesma idade.c) Carlos e João são mais moços do que Pedro.d) Carlos é mais velho do que Pedro e João é mais moço

do que Pedro.e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia

não têm a mesma idade.

9. (Esaf) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fi co deprimida. Quando chove, não passeio e fi co deprimi-da. Quando não faz calor e passeio, não vejo Carlos. Quando não chove e estou deprimida, não passeio. Hoje eu passeio. Portanto, hoje:a) vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz

calor.b) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz

calor.c) vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove,

e faz calor.d) não vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove,

e não faz calor.e) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz

calor.

10. Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬, /\, v e sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e signifi cam não, e, ou e então, respec vamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.a) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, en-

tão a proposição (¬P) V (¬Q) também é verdadeira.b) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é

falsa, então a proposição R (¬ T) é falsa.c) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a propo-

sição R é falsa, então a proposição (P /\ R) (¬ Q) é verdadeira.

11. (Cespe/2008) Considere que P, Q e R sejam proposições lógicas e que os símbolos “”, “”, “” e “¬” repre-sentem, respec vamente, os conec vos “ou”, “e”, “im-plica” e “negação”. As proposições são julgadas como

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verdadeiras (V) ou como falsas (F). Com base nessas informações, julgue os itens seguintes relacionados à lógica proposicional.a) A úl ma coluna da tabela-verdade abaixo corres-

ponde à proposição (PR) Q.P Q R P RV V V VV V F VV F V FV F F VF V V FF V F VF F V FF F F V

b) A úl ma coluna da tabela-verdade abaixo corres-ponde à proposição (¬P) (QR).

P Q R ¬P P RV V V VV V F FV F V VV F F VF V V VF V F VF F V VF F F V

GABARITO

1. a2. d3. b

4. e5. b6. a

7. b8. e9. c

10. E, E, C11. E, C

BicondicionalDenomina-se bicondicional a proposição composta

formada por duas proposições que estejam ligadas pelo conec vo “se, e somente se”.

Exemplos:• A: Gosto de lógica.• B: Gosto de matemá ca.

A proposição bicondicional “A se, e somente se, B” pode ser escrita como: A B: Gosto de lógica se, e somente se, gosto de matemá ca.

Uma proposição bicondicional, de acordo com os axiomas da Lógica, deve aceitar como verdadeiro que, se é verdade que gosto de lógica, obrigatoriamente, é verdade que gosto de matemá ca. Se é verdade que gosto de matemá ca, obrigatoriamente, é verdade que gosto de lógica. Se é falso que gosto de lógica, obrigatoriamente, é falso que gosto de matemá ca, e, se é falso que gosto de matemá ca, obri-gatoriamente, é falso que gosto de lógica. Qualquer outra possibilidade representa um conjunto vazio. A tabela e o diagrama a seguir representam essa situação.

A = B

Conclusão:Na proposição bicondicional, se a primeira das duas

proposições simples que a compõem for verdadeira, a se-gunda será verdadeira; se a primeira for falsa, a segunda será falsa; se a segunda for falsa, a primeira será falsa; se a segunda for verdadeira, a primeira será verdadeira.Veja:

V VFF

Tabela-VerdadeA B A BV V VV F FF V FF F V

Quando temos:P → Q P Qe Logo, P = Q P QQ → P Q P

Uma aplicação desse conceito foi comentada na prova do TRF 1ª Região em 2006.

Se todos nossos atos têm causas, então não há atos livres.Se não há atos livres, então todos nossos atos têm causas.

Tomando como proposições:P: Todos nossos atos têm causas.Q: Não há atos livres.

P QQ PP Q “Todos nossos atos tem causas ‘se e somente se’

não há atos livres”.P QP é condição necessária e sufi ciente para Q.

Ressalta-se que em muitas questões de concursos pú-blicos os conec vos lógicos condicional e bicondicional são expressos não em uma linguagem formal (seu signifi cado), mas por meio de condições impostas às proposições simples que compõem uma sentença composta.

QUESTÕES COMENTADAS

1. (Esaf/Técnico/2006) Sabe-se que Beto beber é condição necessária para Carmem cantar e condição sufi ciente para Denise dançar. Sabe-se, também, que Denise dan-çar é condição necessária e sufi ciente para Ana chorar. Assim, quando Carmem canta,a) Denise não dança ou Ana não chora.b) nem Beto bebe nem Denise dança.c) Beto bebe e Ana chora.d) Beto não bebe ou Ana não chora.e) Denise dança e Beto não bebe.

ComentárioPrimeiramente, vamos identificar os conectivos e

construir a estrutura para chegarmos a uma conclusão verdadeira.

(V) (V)P1: Carmem cantar Beto beber (V)

(V) (V)P2: Beto beber Denise dançar (V)

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(V) (V)P3: Denise dançar Ana chorar (V)

(V)P4: Carmem cantar (V)

Logo, par ndo do princípio de que todas as premissas (proposições) são verdadeiras e u lizando as tabelas-ver-dade, valoramos as proposições simples.

Analisando os itens propostos pela questão, para se chegar a uma conclusão verdadeira, temos:

(F) (F) = (F)a) Denise não dança ou Ana não chora.

(F) (F) = Fb) Nem Beto nem Denise dançam.

(V) (V) = Vc) Beto bebe e Ana chora.

(F) (F) = Fd) Beto não bebe e Ana não chora.

(V) (F) = Fe) Denise dança e Beto não bebe.

Portanto, o item correto é a letra c.

QUESTÕES DE CONCURSOS

1. (Esaf) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição sufi ciente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e sufi ciente para Sandra abraçar Sérgio.Assim, quando Sandra não abraça Sérgio:a) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça

Paulo.b) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não

abraça Paulo.c) João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça

Paulo.d) João não está feliz, e Maria não sorri e Daniela não

abraça Paulo.e) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça

Paulo.

2. (Esaf) O Rei ir à caça é condição necessária para o Duque sair do castelo, e é condição sufi ciente para a Duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o Conde encontrar a Princesa é condição necessária e sufi ciente para o Barão sorrir e é condição necessária para a Duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu, logo:a) a Duquesa foi ao jardim ou o Conde encontrou a

Princesa.b) se o Duque não saiu do castelo, então o Conde en-

controu a Princesa.c) o Rei não foi à caça e o Conde não encontrou a

Princesa.d) o Rei foi à caça e a Duquesa não foi ao jardim.e) o Duque saiu do castelo e o rei não foi à caça.

3. (Esaf) Sabe-se que a ocorrência de B é condição neces-sária para a ocorrência de C e condição sufi ciente para a ocorrência de D. Sabe se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e sufi ciente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre:

a) D ocorre e B não ocorre.b) D não ocorre ou A não ocorre.c) B e A ocorrem.d) nem B nem D ocorrem.e) B não ocorre ou A não ocorre.

GABARITO

1. d 2. c 3. c

Equivalências Lógicas

Duas proposições são equivalentes quando são forma-das pelas mesmas proposições simples e os resultados das tabelas-verdade são idên cos.

A B

Leis Associa vas

(A B) C A (B C)

Exemplo:A: José é um aluno dedicado.B: José é um aluno esforçado.C: José gosta de futebol.

(A B) C A (B C)José é um aluno dedicado e esforçado, e gosta de jogar futebol.

José é um aluno dedicado e esforçado e gosta de jogar futebol.

(A B) C A (B C)

Exemplo:A: Josimar é um professor esforçado.B: José é um aluno dedicado.C: Josias gosta de estudar.

(A B) C A (B C)Josimar é um professor esforçado ou José é um aluno dedicado, ou Josias gosta de estudar.

Josimar é um professor es-forçado ou José é um aluno dedicado ou Josias gosta de estudar.

Leis Distribu vas

A (B C) (A B) (A C)

Exemplo:A: Josimar gosta de Lógica.B: Josimar gosta de Português.C: Josimar gosta de Matemá ca.

A (B C) (A B) (A C)Josimar gosta de Lógica e Josimar gosta de Português ou Matemá ca.

Josimar gosta de Lógica e Português ou Josimar gosta de Lógica e Matemá ca.

A (B C) (A B) (A C)

Exemplo:A: Josimar gosta de Lógica.B: Josimar gosta de Português.C: Josimar gosta de Matemá ca.

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A (B C) (A B) (A C)Josimar gosta de Lógica ou Josimar gosta de Português e Matemá ca.

Josimar gosta de Lógica ou Português e Josimar gosta de Lógica ou Matemá ca.

Lei da Dupla Negação

~(~A) A

Demonstração: ~(~A) A

A ~A ~(~A)V F VF V F

Exemplo:

Proposições Proposições EquivalentesNão é verdade que o Prof.

Josimar Padilha não é brasiliense.

O Prof. Josimar Padilha é brasiliense.

Equivalência da Condicional

(A B ~AB) / (A B ~B ~A)

I) A B ~AB

Demonstração: A B ~AB

A B ~A A B ~A BV V F V VV F F F FF V V V VF F V V V

As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposiçõesA B e ~AB são proposições logicamente equivalentes, isto é:

A B ~AB

II) A B ~B ~A (Teorema Contrarrecíproco ou Contraposi va)

Demonstração: A → B ~B → ~A

A B ~A ~B A B ~B ~AV V F F V VV F F V F FF V V F V VF F V V V V

As duas úl mas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo são proposições logicamente equivalentes, isto é:

A B ~B ~A

Essa relação é chamada de Teorema Contrarrecíproco.

Exemplos:Dizer que:

Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia.

É logicamente equivalente a dizer que:Se Beatriz não briga com Bia, então Beraldo não briga

com Beatriz.

Uma relação existente entre as equivalências condicio-nais é dada pela inferência da intersecção das sentenças AB ~A B e AB ~B A, em que podemos concluir: AB ~A B ou AB ~B A.

Observe a tabela abaixo:

A B ~A ~B AB ~A B ~B AV V F F V V VV F F V V V VF V V F V V VF F V V F F F

As três úl mas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições AB, ~A B e ~B A são proposições logicamente equivalentes, isto é:

AB ~A BAB ~B A

~A B ~B A

Exemplos:

Proposição ProposiçãoEquivalente

Se Enny tomar remédio, ela vai fi car boa.

Enny não toma remédio ou fi ca boa.

Clara anda ou corre. Se Clara não anda, então Clara corre.

Equivalência da Bicondicional

[(A B) (B A)] [A B]

Demonstração:

A B A B B A (A B) (B A) A BV V V V V VV F F V F FF V V F F FF F V V V V

As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições[(A B) (B A)] e [A B] são logicamente equivalentes.

Lei de Augustus de Morgan

~(A B) (~A)(~B) / ~(AB) (~A) (~B)

I) ~(A B) (~A)(~B)

Demonstração: ~(A B) (~A)(~B)

A B A B ~(A B) ~A ~B (~A)(~B)V V V F F F FV F F V F V VF V F V V F VF F F V V V V

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As duas úl mas colunas apresentam os mesmos valores

lógicos em todas as linhas, logo as proposições ~(A B) e (~A)(~B) são proposições logicamente equivalentes, isto é:

~(A B) ~ A~ B

II) ~(AB) (~A) (~B)

Demonstração: ~(A B) (~A)(~B)

A B AB ~(AB) ~A ~B (~A) (~B)V V V F F F FV F V F F V FF V V F V F FF F F V V V V

As duas úl mas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições ~(AB) e (~A) (~ B) são proposições logicamente equivalentes, isto é:

~(AB) ~A ~B

Equivalência Comuta va

Conforme visto no estudo das tabelas-verdade, os co-nectivos conjuntivo, disjuntivo, disjuntivo exclusivo e bicondicional possuem a propriedade comuta va, isto é, ao trocarmos a ordem das proposições simples, os resultados das tabelas-verdade permanecem idên cos.

Com relação ao conectivo condicional não ocorre o mesmo, uma vez que os resultados de suas tabelas-verdade não serão os mesmos, ou seja, o conec vo condicional não possui a propriedade comuta va.

Nas úl mas provas de concursos públicos, as equivalências lógicas es-tão aparecendo com maior frequên cia. As leis são cobradas, mas torna-se interessante iden fi car quando duas proposições são equivalentes. Assim, é preciso construir as tabelas-verdade para uma análise concreta.

QUESTÕES DE CONCURSOS

1. (Cespe) Julgue os itens.

a) As tabelas de valorações das proposições P Q e

Q P são iguais.

b) As proposições (P SQ ) e (P )S )( SQ possuem tabelas de valorações iguais.

c) Do ponto de vista lógico, dizer que “Rafael foi ao cinema ou Renata não foi ao parque” é o mesmo que dizer que “Se Rafael foi ao cinema, então Renata foi ao parque”.

e) Do ponto de vista lógico, dizer que “Rafael foi ao cinema ou Renata não foi ao parque” é o mesmo que dizer que “Se Renata foi ao parque, então Rafael foi ao cinema”.

f) As proposições “Quem tem dinheiro, não compra fi ado” e “Quem não tem, compra” são logicamente equivalentes.

g) A tabela de interpretação de (P PQ ) é igual à tabela de interpretação de P .

2. (FGV/2006) Suponha que “Se X = 1, então Y > 7”. Assinale a conclusão correta.

Se X 1 , então Y < 7. Se X 1 , então Y . Se Y > 7, então X = 1.

Se Y 7 , então X . Se Y = 7, então X = 1.

3. (MPOG/2006) Dizer que “Ana não é alegre ou Beatriz é feliz” é, do ponto de vista lógico, o mesmo que di-zer que:

a) Se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz.b) Se Beatriz é feliz, então Ana é alegre.c) Se Ana é alegre, então Beatriz é feliz.d) Se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz.e) Se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz.

4. (Gestor) Dizer que “André é ar sta ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que:a) André é ar sta se e somente se Bernardo não é

engenheiro.b) Se André é ar sta, então Bernardo não é engenheiro.c) Se André não é ar sta, então Bernardo é enge nheiro.d) Se Bernardo é engenheiro, então André é ar sta.e) André não é ar sta e Bernardo é engenheiro.

5. (AFT) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulis-ta” é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista.b) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro.c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista.d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista.e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista.

6. (Esaf) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa é solteira” é:a) Pedro é economista ou Luísa é solteira.b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira.c) Se Luísa é solteira, Pedro é economista.d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é sol-

teira.e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.

7. (TRT) Um economista deu a seguinte declaração em uma entrevista:

“Se os juros bancários são altos, então a infl ação é baixa”. Uma proposição logicamente equivalente à do economista é:

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a) Se a infl ação não é baixa, então os juros bancários não são altos.

b) Se a infl ação é alta, então os juros bancários são altos.

c) Se os juros bancários não são altos, então a infl ação não é baixa.

d) Os juros bancários são baixos e a infl ação é baixa.e) Ou os juros bancários, ou a infl ação é baixa.

8. (UMSP) Duas grandezas, x e y, são tais que “Se x = 3,então y = 7”. Pode-se concluir que:

Se x 3, então y 7. Se y = 7, então x = 3. Se y 7, então x 3. Se x = 5, então y = 5. Nenhuma das conclusões acima é válida.

9. (ANA) Sabendo-se que o símbolo denota negação e que o símbolo denota o conec vo lógico ou, a pro-posição A B, que é lida “Se A, então B”, pode ser reescrita como:

A B

BA A B BA

)( BA

10. (Anpad) Considere a sentença “Se é carnaval, os sam-bistas dançam nas ruas”. A contraposi va dessa sen-tença é:a) Se os sambistas não dançam nas ruas, não é carnaval.b) Se os sambistas dançam nas ruas, não é carnaval.c) Se não é carnaval, os sambistas não dançam nas ruas.d) Se os sambistas dançam nas ruas, é carnaval.e) Se é carnaval, os sambistas não dançam nas ruas.

11. (Cespe/Senado/2002) O Teorema Fundamental da Arit-mé ca afi rma que:

Se n for um número natural diferente de 1, então n pode ser decomposto como um produto de fatores primos, de

modo único, a menos da ordem dos fatores.

Julgue se cada um dos itens subsequentes reescreve, de modo correto e equivalente, o enunciado acima.a) É condição sufi ciente que n seja um número natural

para que n possa ser decomposto como um produto de fatores primos, de modo único, a menos da ordem dos fatores.

b) É condição necessária que n seja um número natural para que n possa ser decomposto como um produto de fatores primos, de modo único, a menos da ordem dos fatores.

c) Se n não possuir decomposição como um produto de fatores primos, que seja única, a menos da or-dem dos fatores, então n não é um número natural diferente de 1.

d) Ou n não é um número natural diferente de 1, ou n tem uma decomposição como um produto de fatores primos, que é única, a menos da ordem dos fatores.

e) n é um número natural diferente de 1 se puder ser decomposto como um produto de fatores primos, de modo único, a menos da ordem dos fatores.

12. (Cespe/Senado/2002) A noção de conjunto fornece uma interpretação concreta para algumas ideias de natureza lógica que são fundamentais para a Matemá ca e o de-

senvolvimento do raciocínio. Por exemplo, a implicação lógica denotada por p q pode ser interpretada como uma inclusão entre conjuntos, ou seja, como P Q, em que P é o conjunto cujos objetos cumprem a condição p, e Q é o conjunto cujos objetos cumprem a condição q. Com o auxílio do texto acima, julgue se a proposição apresentada em cada item a seguir é equivalente à sentença abaixo.

Se um indivíduo está inscrito no concurso doSenado Federal, então ele pode ter acesso

às provas desse concurso.

a) Se um indivíduo não pode ter acesso às provas do concurso do Senado Federal, então ele não está inscrito nesse concurso.

b) O conjunto de indivíduos que não podem ter acesso às provas do concurso do Senado Federal e que estão inscritos nesse concurso é vazio.

c) Se um indivíduo pode ter acesso às provas do concur-so do Senado Federal, então ele está inscrito nesse concurso.

d) O conjunto de indivíduos que podem ter acesso às provas do concurso do Senado Federal é igual ao conjunto de indivíduos que estão inscritos nesse concurso.

e) O conjunto de indivíduos que estão inscritos no con-curso do Senado Federal ou que podem ter acesso às provas desse concurso está con do neste úl mo conjunto.

13. (Cespe/2007) Os símbolos que conectam duas pro-posições são denominados conec vos. Considere a proposição defi nida simbolicamente por A B, que é F quando A e B são ambos V ou ambos F, caso contrário é V. O conec vo é denominado “ou exclusivo” por-que é V se, e somente se, A e B possuírem valorações dis ntas. Com base nessas informações, julgue o item que se segue.a) Considerando que A e B sejam proposições, então a

proposição A B possui os mesmos valores lógicos que a proposição (A B) (A B).

14. (CGU/2008) Um renomado economista afi rma que “A infl ação não baixa ou a taxa de juros aumenta”. Do pon-to de vista lógico, a afi rmação do renomado economista equivale a dizer que:a) se a infl ação baixa, então a taxa de juros não aumenta.b) se a taxa de juros aumenta, então a infl ação baixa.c) se a infl ação não baixa, então a taxa de juros aumenta.d) se a infl ação baixa, então a taxa de juros aumenta.e) se a infl ação não baixa, então a taxa de juros não

aumenta.

15. (Cespe/Serpro/Analista/2008) Uma proposição é uma sentença que pode ser julgada verdadeira (V) ou falsa (F). As proposições são normalmente representadas pelas letras maiúsculas A, B, C etc. A par r de propo-sições dadas, podem-se construir novas proposições compostas, mediante o emprego de símbolos lógicos chamados conec vos: “e”, indicado pelo símbolo lógi-co ^, e “ou”, indicado pelo símbolo lógico v. Usa-se o modifi cador “não”, representado pelo símbolo lógico ¬, para produzir a negação de uma proposição; pode-se, também, construir novas proposições mediante o uso do condicional “se A então B”, representado por AB. O julgamento de uma proposição lógica composta de-pende do julgamento que se faz de suas proposições

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componentes. Considerando os possíveis julgamen-tos V ou F das proposições A e B, tem-se a seguinte tabela-verdade para algumas proposições compostas.

A B AB AB ¬A A B

V V V V F V

V F F V F

F V F V V V

F F F F V

Considerando-se a proposição A, formada a par r das proposições B, C etc. mediante o emprego de conec vos (^ ou v), ou de modifi cador (¬) ou de condicional (), diz-se que A é uma tautologia quando A tem valor lógico V, independentemente dos valores lógicos de B, C etc., e diz-se que A é uma contradição quando A tem valor lógico F, independentemente dos valores lógicos de B, C etc. Uma proposição A é equivalente a uma proposição B quando A e B têm as tabelas-verdade iguais, isto é, A e B têm sempre o mesmo valor lógico. Com base nas informações acima, julgue os itens a seguir.a) A proposição (AB) (¬A v B) é uma tautologia.b) Em relação às proposições A: 16 4 e B: 9 é

par, a proposição composta AB é uma contradição.c) A proposição A B é equivalente à proposi-

ção ¬B¬A.

GABARITO

1. E, E, E, C, E, C2. d3. c4. d5. a

6. e7. a8. c9. b

10. a

11. E, E, C, C, E12. C, C, E, E, C13. e14. d15. C, E, C

Negação de Proposições Compostas

Em duas proposições, uma é negação da outra quando são formadas pelas mesmas proposições simples e os resul-tados das tabelas-verdade são contrários.

AFIR

MAÇ

ÃO

A B AB AB A B A BV V V V V VV F F V F FF V F V V FF F F F V V

NEG

AÇÃO

¬A ¬B ¬A ¬B ¬A¬B A¬B (A¬B) (B¬A)F F F F F FF V V F V VV F V F F VV V V V F F

De acordo com as tabelas-verdade, temos o seguinte:

Negação da ConjunçãoAfi rmação Negação

PQEx.: O réu é culpado e a tes-temunha mente.

¬P¬QEx.: O réu não é culpado ou a testemunha não mente.

Negação da DisjunçãoAfi rmação Negação

PQEx.: Bárbara come ou dorme.

¬P¬QEx.: Bárbara não come e não dorme.

Negação da CondicionalAfi rmação Negação

PQEx.: Se molhar, então vai desmanchar.

P¬QEx.: Vai molhar e não vai desmanchar.

Negação da BicondicionalAfi rmação Negação

P↔QEx.: Eu te darei um carro se, e somente se, eu fi car rico.

(P¬Q)(Q¬P)Ex.: Eu te dou um carro e não fi co rico ou eu fi co rico e não te dou um carro.

Negação de uma SentençaAfi rmação Negação

X>A X≤AX<A X≥AX=A X≠A

QUESTÃO COMENTADA

1. (Cespe/Sebrae/Analista/2008) Com relação à lógica formal, julgue o item subsequente.a) A negação da proposição “2 + 5 = 9” é a proposição

“2 + 5 = 7”.

ComentárioA negação da sentença “2 + 5 = 9” é “2 + 5 ≠ 9”, portanto

o item está errado.

QUESTÕES DE CONCURSOS

1. Dê a negação para cada uma das proposições abaixo.a) O dia está quente e seco.b) Ela trabalhou muito ou teve sorte na vida.c) Maria não é ruiva ou Regina é loirad) Se o tempo está chuvoso, então está em dezembro.e) Faz sol se, e somente se, a família foi à praia.

2. A negação de “O gato mia e o rato chia” é:a) O gato não mia e o rato não chia.b) O gato mia ou o rato chia.c) O gato não mia ou o rato não chia.d) O gato e o rato não miam nem chiam.e) O gato chia e o rato mia.

3. A negação de “Hoje é segunda-feira e amanhã não choverá” é:

a) Hoje não é segunda-feira e amanhã choverá.b) Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá.c) Hoje não é segunda-feira, então amanhã choverá.d) Hoje não é segunda-feira nem amanhã choverá.e) Hoje é segunda-feira ou amanhã não choverá.

4. (Anpad/2002) A negação da proposição “A seleção brasileira classifi cou-se para a copa do mundo, mas não jogou bem” é:a) A seleção brasileira não se classifi cou para a copa do

mundo e não jogou bem.b) A seleção brasileira classifi cou-se para a copa do

mundo ou não jogou bem.

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c) A seleção brasileira não se classifi cou para a copa do mundo, mas jogou bem.

d) A seleção brasileira não se classifi cou para a copa do mundo ou jogou bem.

e) A seleção brasileira classifi cou-se para a copa do mundo e não jogou bem.

5. (M. AGR) A negação da afi rma va “Me caso ou compro sorvete” é:a) Me caso e não compro sorvete.b) Não me caso ou não compro sorvete.c) Não me caso e não compro sorvete.d) Não me caso ou compro sorvete.e) Se me casar, então não compro sorvete.

6. (AFT/1997) A negação da afi rmação condicional “Se es ver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é:a) Se não es ver chovendo, eu levo o guarda-chuva.b) Se não está chovendo e eu levo o guarda-chuva.c) Não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.d) Se es ver chovendo, eu não levo o guarda-chuva.e) Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.

7. (Aneel/2006) A negação da afi rmação condicional “Se Ana viajar, Paulo vai viajar” é:a) Ana não está viajando e Paulo vai viajar.b) Se Ana não viajar, Paulo vai viajar.c) Ana está viajando e Paulo não vai viajar.d) Ana não está viajando e Paulo não vai viajar.e) Se Ana es ver viajando, Paulo não vai viajar.

8. (Gefaz) A afi rmação “Não é verdade que se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris” é logicamente equivalente a afi rmação:a) É verdade que “Pedro está em Roma e Paulo não

está em Paris”.b) Não é verdade que “Pedro está em Roma ou Paulo

está não está em Paris”.c) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou

Paulo não está em Paris”.d) É verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo

está em Paris”.

9. (Anpad/2002) Considere a seguinte sentença: “Não é verdade que se os impostos baixarem, então haverá mais oferta de emprego”. Pode-se concluir que:a) Haverá mais oferta de emprego se os impostos

baixarem.b) Se os impostos baixarem, não haverá mais oferta de

emprego.c) Os impostos baixam e não haverá mais oferta de

emprego.d) Os impostos baixam e haverá mais oferta de empre-

go.e) Se os impostos não baixarem, não haverá mais oferta

de emprego.

10. (Cespe/Petrobras) As sentenças S1, S2 e S3 a seguir são no cias acerca da Bacia de Campos – RJ, extraídas e adaptadas da revista comemora va dos 50 anos da Petrobras.

S1: Foi descoberto óleo no campo de Garoupa, em 1974.

S2: Foi ba do o recorde mundial em perfuração horizon-tal, em profundidade de 905 m, no Campo de Marlim, em 1995.

S3: Foi iniciada a produção em Moreia e foi iniciado o programa de desenvolvimento tecnológico em águas profundas (Procap), em1986.

Quanto às informações das sentenças acima, julgue os itens subsequentes.a) A negação da união de S1 e S2 pode ser expressa por:

Se não foi descoberto óleo no campo de Garoupa, em 1974, então não foi ba do o recorde mundial em perfuração horizontal, em profundidade de 905 m, no Campo de Marlim, em 1995.

b) A negação de S3 pode ser expressa por: Não foi iniciada a produção em Moreia ou não foi iniciado o programa de desenvolvimento tecnológico em águas profundas (Procap), em 1986.

11. A negação de “x ≥ -2” é:a) x ≥ 2.b) x ≤ -2.c) x < -2.d) x < 2.e) x ≤ 2.

12. (Gestor/2002)Se m = 2x + 3y, então m = 4p + 3r.Se m = 4p + 3r, então m = 2w – 3r.m = 2x + 3y ou m = 0.Se m = 0, então m + h = 1.

Ora, m + h ≠ 1. Logo:a) 2w – 3r = 0.b) 4p + 3r ≠ 2w – 3r.c) m ≠ 2x + 3y.d) 2x +3y ≠ 2w – 3r.e) m= 2w – 3r.

13. (Ofi cial de Chancelaria/2002) Se x ≥ y, então Z > P ou Q ≤ R. Se Z > P, então S ≤ T. Se S ≤ T, então Q ≤ R.Ora, Q > R, logo:a) S > T e Z ≤ P.a) S ≥ T e Z >P.b) X ≥ Y e Z ≤ P.c) X > Y e Z ≤ P.d) X < Y e S < T.

14. (AFC/2004) Uma professora de matemá ca faz as três seguintes afi rmações:I – X > Q e Z < Y.II – X > Y e Q > Y, se e somente se Y > Z.III – R ≠ Q, se e somente se Y = X.

Sabendo-se que todas as afi rmações da professora são verdadeiras, conclui-se corretamente que:a) X > Y > Q > Z.b) X > R > Y > Z.c) Z < Y < X < R.d) X > Q > Z > R.e) Q < X < Z < Y.

GABARITO

1. a) O dia não está quente ou não está seco.b) Ela não trabalhou muito e não teve sorte na vida.c) Maria é ruiva e Regina não é loira.d) O tempo está chuvoso e não está em dezembro.e) Faz sol e a família não foi à praia ou a família foi à

praia e não faz sol.

2. c3. b4. d

5. c6. e7. c

8. a9. c10. E, C

11. c12.e13.a

14. b

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DIAGRAMAS LÓGICOS

Go lob Frege construiu uma maneira de reordenar várias sentenças para tornar sua forma lógica clara, com a intenção de mostrar como as sentenças se relacionam em certos as-pectos. Antes de Frege, a lógica formal não obteve sucesso além do nível da lógica de sentenças: ela podia representar a estrutura de sentenças compostas de outras sentenças, usan-do os conec vos lógicos: “e”, “ou” e “não”, mas não podia quebrar sentenças em partes menores. O trabalho de Frege foi um dos que deu início à lógica formal contemporânea. Sendo assim, percebemos a grande incidência de questões de concursos públicos voltadas para essa linguagem e raciocínio.

No estudo das operações com conjuntos e das soluções de problemas envolvendo conjuntos, os diagramas ajudam a visualizar e contribuem para a compreensão de vários assuntos em Lógica.

Um po especial de proposição são as proposições cate-góricas. Podemos iden fi cá-las facilmente porque são pre-cedidas pelos quan fi cadores lógicos: “Todo ()”, “Nenhum (¬)”, “Algum ()”. Na lógica clássica (também chamada de lógica aristotélica) o estudo da dedução era desenvolvido usando-se as proposições categóricas.

Exemplos:“Todos os homens são mortais” se torna “Para todo x,

se x é homem, então x é mortal.”, o que pode ser escrito simbolicamente como: x(H(x) M(x)).

“Alguns homens são vegetarianos” se torna “Existe algum (ao menos um) x tal que x é homem e x é vegetariano”, o que pode ser escrito simbolicamente como: x(H(x) V(x)).

As proposições categóricas podem ser universais ou par- culares, cada uma delas subdividindo-se em afi rma va ou

nega va. Temos, portanto, quatro proposições categóricas possíveis.

As quatro proposições categóricas possíveis, em suas formas picas, são dadas no quadro seguinte:

Proposições Afi rma vas Proposições Nega vas

Proposições Universais

(A) Todo “A” é “B”.

(E) Nenhum “A” é “B”.Todo “A” não é “B”.

Proposições Par culares

(I) Algum “A” é “B”.

(O) Algum “A” não é “B”.

Entre parênteses estão as vogais que representam a quan fi cação.

Podemos observar, no quadro anterior, que cada uma das proposições categóricas, na forma pica, começa por “Todo” ou “Nenhum” (chamados de quan fi cadores universais) ou por “Algum” (chamado de quan fi cador par cular).

Sujeito e Predicado de uma Proposição Categórica

Dada uma proposição categórica, em sua forma pica, chamamos:

– Sujeito: Elemento da sentença relacionado ao quan -fi cador da proposição.

– Predicado: Elemento que se segue ao verbo.

Exemplos:

Proposições Categóricas Sujeito PredicadoTodo estudante dedicado

é bem-sucedido. estudante bem-sucedido

Nenhum animal é imortal. animal imortalAlgum atleta é ar sta. atleta ar staAlgum policial não é

idôneo. policial idôneo

Par cular Afi rma vo: Algum “a” é “B”

Alguns termos que podem subs tuir a palavra “algum” nas provas de concursos públicos:

– Ao menos um – Pelo menos um– Existe – Alguém

Interseção (A B) = {u}Conjunto unitário

O conjunto interseção é formado pelos elementos que pertencem aos conjuntos A e B simultaneamente.

(A B) = {x / x A e x B}

Simbologicamente: x (A(x) B(x)) x (B(x) A(x))

Universal Nega vo: Nenhum “a” é “B”

Conjuntos DisjuntosO termo “nenhum” pode ser subs tuído pela palavra

“não existe” nas provas de concursos públicos:

A e B são disjuntos se A B = Ø.Conjunto vazio

Simbologicamente:¬x (A(x) B(x)) ¬x (B(x) A(x))

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Par cular Nega vo: Algum “a” não é “B”

Alguns termos que podem subs tuir a palavra “algum” nas provas de concursos públicos:

– Ao menos um – Pelo menos um– Existe – Alguém

BAC = A – B = {x / x A e x B}

Complementar

Simbologicamente:x (A(x) ¬B(x))

Universal Afi rma vo: Todo “a” é “B”

Alguns termos que podem subs tuir a palavra “todo” nas provas de concursos públicos:

– Para todo – Qualquer que sejaA B = B A B = A

Inclusão de Conjuntos (A B)

Simbologicamente:

(x) (A(x) B(x))

Obs.: (x) (A(x) B(x)) (x) (B(x) A(x))

Não possui a propriedade comuta va.

Linguagem (Simbologia) das Proposições Categóricas

Nesses úl mos concursos as bancas têm cobrado dos candidatos um conhecimento mais amplo referente à simbologia e à escrita das proposições categóricas. Sendo assim, torna-se importante verifi carmos algumas questões de concursos.

QUESTÕES DE CONCURSOS

1. (Cespe/BB/2008) Julgue os itens.a) Suponha-se que U seja o conjunto de todas as pesso-

as, que M(x) seja a propriedade “x é mulher” e que D(x) seja a propriedade “x é desempregada”. Nesse caso, a proposição “Nenhuma mulher é desempre-gada” fi ca corretamente simbolizada por ¬ (M(x) ^ D(x)).

b) A proposição “Não existem mulheres que ganham menos que os homens” pode ser corretamente simbolizada na forma x (M(x) G(x)).

2. (TRT 5ª Região/2008) Se R é o conjunto dos núme-ros reais, então a proposição (x)(x R)(y)(y R)(x + y = x) é valorada como V.

GABARITO

1. C, E 2. C

Negação das Proposições Categóricas

Duas proposições categóricas dis ntas que tenham o mesmo sujeito e o mesmo predicado ou não poderão ser ambas verdadeiras ou não poderão ser ambas falsas, ou as duas coisas.

Dizemos que estarão sempre em oposição.São quatro os pos de oposição:1) Proposições contraditórias: cada uma delas é a nega-

ção lógica da outra (A-O e E-I).Duas contraditórias terão sempre valores lógicos con-

trários, ou seja, não podem ser ambas verdadeiras nem ambas falsas.

2) Proposições contrárias: uma afi rma va universal e sua nega va (A – E).

Duas sentenças contrárias nunca são ambas verdadeiras, mas podem ser ambas falsas. Desse modo, se soubermos que uma delas é verdadeira, podemos garan r que a outra é falsa. Mas, se soubermos que uma delas é falsa, não poderemos garan r que a outra é falsa também.

3) Proposições subcontrárias: uma afi rma va par cular e sua nega va (I – O).

Duas sentenças subcontrárias nunca são ambas falsas, mas podem ser ambas verdadeiras. Assim sendo, se souber-mos que uma delas é falsa, poderemos garan r que a outra é verdadeira. Mas se soubermos que uma delas é verdadeira, não poderemos garan r que a outra é verdadeira também.

4) Proposições Subalternas: duas afi rma vas (universal e sua par cular correspondente, A – I) ou duas nega vas (universal e sua par cular correspondente, E – O).

Sempre que a universal for verdadeira, sua correspon-dente par cular será verdadeira também, mas a falsidade da sentença universal não obriga que a correspondente sentença par cular seja falsa também.

Sempre que a par cular for falsa, sua correspondente universal será falsa também, mas a verdade da sentença par- cular não obriga que a correspondente sentença universal

seja verdadeira também.

CONTRÁRIAS

Todo A é B Nenhum A é B

Nega quan dade, mas não qualidade.

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SUBCONTRÁRIAS

Algum A é B Algum A não é B

Nega qualidade, mas não quan dade.

CONTRADITÓRIAS

Todo A é B Algum A não é B

Algum A é B Nenhum A é B

Nega quan dade e qualidade.

Sinopse

Negação de Quan fi cadoresNas questões de concursos, as bancas adotam as nega-

ções pelas contraditórias, uma vez que as proposições serão opostas tanto na quan dade como na qualidade.

a) Contrariedade: duas proposições contrárias não po-dem ser verdadeiras ao mesmo tempo, mas podem ser falsas ao mesmo tempo. Exemplo: Todo homem é educado – Ne-nhum homem é educado: ambas são proposições universais, sendo uma verdadeira e outra falsa. Toda mulher é bonita – Nenhuma mulher é bonita: ambas são universais e falsas.

b) Subcontrariedade: duas proposições subcontrárias não podem ser falsas ao mesmo tempo, mas podem ser verdadeiras ao mesmo tempo. Exemplo: Algum homem é inteligente – Algum homem não é inteligente: ambas são proposições par culares, mas uma é verdadeira e a outra é falsa. Algum animal é feroz – Algum animal não é feroz: ambas proposições são par culares e verdadeiras.

c) Contraditoriedade: duas proposições contraditórias não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, nem podem ser falsas ao mesmo tempo. Exemplo: Toda ciência é especial – Al-guma ciência não é especial: a proposição universal afi rma va é verdadeira e a proposição par cular nega va é falsa.

Em primeiro lugar, a qualidade de nega va é mais fraca que a qualidade de afi rma va, porque o juízo nega vo sig-nifi ca meia afi rmação, isto é, é uma advertência de que algo deve ser colocado no lugar. Em segundo lugar, a quan dade par cularizada é mais fraca que a quan dade universalizada, por mo vos óbvios. Consequentemente, uma proposição nega va par cular (O) é mais fraca do que uma proposição nega va universal (E), que é mais fraca do que uma propo-sição afi rma va par cular (I), que é mais fraca do que uma proposição afi rma va universal (A). Segue daí que a conclu-são, para seguir a premissa mais fraca, deve ser nega va se houver no antecedente premissa nega va, e par cular se houver no antecedente premissa par cular.

QUESTÕES DE CONCURSOS

1. Dê a negação para cada uma das proposições abaixo:a) Todos os corvos são negros.b) Nenhum triângulo é retângulo.c) Alguns sapos são bonitos.d) Algumas vidas não são importantes.

2. (FCC) Considere que S seja a sentença: “todo polí co é fi liado a algum par do”. A sentença equivalente à negação da sentença S acima é:

a) Nenhum polí co é fi liado a algum par do.b) Nenhum polí co não é fi liado a qualquer par do.c) Pelo menos um polí co é fi liado a algum par do.d) Pelo menos um polí co não é fi liado a qualquer

par do.

3. (TRT) A correta negação da proposição “Todos os cargos deste concurso são de analista judiciário” é:a) Alguns cargos deste concurso são de analista judiciário.b) Existem cargos deste concurso que não são de ana-

lista judiciário.c) Existem cargos deste concurso que são de analista

judiciário.d) Nenhum dos cargos deste concurso não é de analista

judiciário.e) Os cargos deste concurso são ou de analista, ou de

judiciário.

4. (Anpad/2002) A negação da proposição “Todos os homens são bons motoristas” é:a) Todas as mulheres são boas motoristas.b) Algumas mulheres são boas motoristas.c) Nenhum homem é bom motorista.d) Todos os homens são maus motoristas.e) Ao menos um homem é mau motorista.

5. (CVM/2000) Dizer que a afi rmação “Todos os econo-mistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afi rmação é verdadeira:a) Pelo menos um economista não é médico.b) Nenhum economista é médico.c) Nenhum médico é economista.d) Pelo menos um médico não é economista.c) Todos os não médicos são não economistas.

6. (M. AGR) A negação da afi rma va “Todo tricolor é faná co” é:a) Existem tricolores não faná cos.b) Nenhum tricolor é faná co.c) Nem todo faná co é tricolor.d) Nenhum faná co é tricolor.e) Existe pelo menos um faná co que é tricolor.

7. (Medicina – ABC) A negação de “Todos os gatos são pardos” é:a) Nenhum gato é pardo.b) Existe gato pardo.c) Existe gato não pardo.d) Existe um e só um gato pardo.e) Nenhum gato é não pardo.

8. (Esaf) Fábio, após visitar uma aldeia distante, afi rmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e sufi ciente para que a afi rmação de Fábio seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição:a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a

sesta.b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.

9. (Anpad/2002) A negação da sentença “Nenhuma pessoa lenta em aprender frequenta esta escola” é:a) Todas as pessoas lentas em aprender frequentam

esta escola.b) Todas as pessoas lentas em aprender não frequen-

tam esta escola.c) Algumas pessoas lentas em aprender frequentam

esta escola.

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d) Algumas pessoas lentas em aprender não frequen-tam esta escola.

e) Nenhuma pessoa lenta em aprender frequenta esta escola.

10. (Esaf) Se não é verdade que “alguma professora universitária não dá aulas interessantes”, portanto é verdade que:a) Todas as professoras universitárias dão aulas inte-

ressantes.b) Nenhuma professora universitária dá aulas interes-

santes.c) Nenhuma aula interessante é dada por alguma

professora universitária.d) Nem todas as professoras universitárias dão aulas

interessantes.e) Todas as aulas não interessantes são dadas por

professoras universitárias.

11. (Ofi cial de Chancelaria/2002) Se a professora de mate-má ca foi à reunião, nem a professora de Inglês nem a professora de Francês deram aula. Se a professora de francês não deu aula, a professora de português foi à reunião. Se a professora de português foi à reunião, todos os problemas foram resolvidos. Ora, pelo menos um problema não foi resolvido. Logo,a) a professora de matemá ca não foi à reunião e a

professora de francês não deu aula.b) a professora de matemá ca e a professora de por-

tuguês não foram à reunião.c) a professora de francês não deu aula e a professora

de português não foi à reunião.d) a professora de francês não deu aula ou a professora

de português foi à reunião.e) a professora de inglês e a de francês não deram aula.

GABARITO

1. a) Pelo menos um corvo não é negro. b) Algum triângulo é retângulo. c) Nenhum sapo é bonito. d) Todas as vidas são importantes.2. d 4. e 6. a 8. c 10. a3. b 5. a 7. c 9. c 11. b

Inferências Lógicas

É uma operação mental pela qual extraímos uma nova proposição, denominada conclusão, de proposições já co-nhecidas, denominadas premissas.

P1: Proposição Premissa (Hipótese)P2: Proposição Premissa (Hipótese)P3: Proposição Premissa (Hipótese)P4: Proposição Premissa (Hipótese)P5: Proposição Premissa (Hipótese)Pn: Proposição Premissa (Hipótese)C: Proposição Conclusão (Tese)

Regras de Inferência

1. Modus PonensA, A B B

2. Generalização UniversalxA

Teoremas

Nos teoremas abaixo:– as premissas estão sempre à direita do sinal (Lê-se

“portanto”);– uma vírgula separa duas premissas;– Rec. signifi ca teorema recíproco do apresentado na

linha anterior.

T1: A AT2: ~(~A) AREC: A ~(~A)T3: A, B ABT4: A A BT5: AB AT6: A B, ~A BT7: AB, BC ACT8: A, (AB) BT9: (A B), BC (A C)T10: AB ~B~AREC: ~B~A ABT11: AB, (~AB) BT12: (AB)C A(BC)REC: A(BC) (AB)CT13: (A~B) (C~C) AB (Princípio da não

contradição)T14: A(B C, ~B AC)

QUESTÃO COMENTADA

1. (Cespe/Sebrae/2008) Considere as seguintes proposi-ções:

I – Todos os cidadãos brasileiros têm garan do o direito de herança.II – Joaquina não tem garan do o direito de herança.III – Todos aqueles que têm direito de herança são cida-dãos de muita sorte.

Supondo que todas essas proposições sejam verdadeiras, é correto concluir logicamente que:

a) Joaquina não é cidadã brasileira.b) Todos os que têm direito de herança são cidadãos

brasileiros.c) Se Joaquina não é cidadã brasileira, então Joaquina

não é de muita sorte.

ComentárioSegundo as premissas, podemos construir o diagrama a

seguir.

Pela premissa I, temos a inclusão de dois conjuntos: Todos os cidadãos brasileiros têm garan do o direito de herança. Cidadão brasileiro está con do no conjunto “garan a de direito de herança”.

Pela premissa II, temos que Joaquina não pode pertencer ao conjunto “garan a de direito de herança”, podendo, assim, fi car nas duas posições indicadas no diagrama.

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Pela premissa III, temos que o conjunto “cidadãos de

muita sorte” pode possuir, ou não, Joaquina.

Julgando os itens:a) Certo, pois Joaquina não pertence ao conjunto “cida-

dão brasileiro”.b) Errado, pois comutou o quan fi cador universal afi r-

ma vo, que não aceita tal propriedade.c) Errado. Temos um conec vo condicional, com o qual

podemos valorar as proposições dadas:

Se Joaquina não é cidadã brasileira, então não é de muita sorte.V (V / F) = V / F

Sendo assim, temos que o item está errado, pois não podemos garan r a verdade da proposição dada.

QUESTÕES DE CONCURSOS

1. (Cespe/2006) Considere que os diagramas abaixo representam conjuntos nomeados pelos seus pos de elementos. Um elemento específi co é marcado com um ponto.

O diagrama da esquerda representa a inclusão descrita pela sentença “Todos os seres humanos são bípedes”. O diagrama da direita representa a inclusão descrita pela sentença “Miosó s é bípede”. Nessas condições, é correto concluir que “Miosó s é um ser humano”.

2. Todo cristão é monoteísta. Algum cristão é lutera-no, logo:a) todo monoteísta é luterano.b) algum luterano é monoteísta.c) algum luterano não é cristão.d) nenhum monoteísta é cristão.e) nenhum luterano é monoteísta.

3. (Esaf) Todo professor é graduado. Alguns professores são pós-graduados, logo:a) alguns pós-graduados são graduados.b) alguns pós-graduados não são graduados.c) todos pós-graduados são graduados.d) todos pós-graduados não são graduados.e) nenhum pós-graduado é graduado.

4. Se Rodrigo men u, então ele é culpado. Logo:a) se Rodrigo não é culpado, então ele não men u.b) Rodrigo é culpado.c) se Rodrigo não men u, então ele não é culpado.d) Rodrigo men u.e) se Rodrigo é culpado, então ele men u.

5. (TCU) Se é verdade que “alguns escritores são poetas” e que “nenhum músico é poeta”, então, também é necessariamente verdade que:

a) nenhum músico é escritor.b) algum escritor é músico.c) algum músico é escritor.d) algum escritor não é músico.e) nenhum escritor é músico.

6. (TCU) Em uma pequena comunidade sabe-se que: “nenhum fi lósofo é rico” e que “alguns professores são ricos”. Assim, pode-se afi rmar, corretamente, que nesta comunidade:a) alguns fi lósofos são professores.b) alguns professores são fi lósofos.c) nenhum fi lósofo é professor.d) alguns professores não são fi lósofos.e) nenhum professor é fi lósofo.

7. Considere verdadeiras as seguintes proposições:I – Quem sabe colecionar selos não é ocioso.II – Macacos não sabem dirigir automóvel.III – Quem não sabe dirigir automóvel é ocioso.

Dentre as sentenças a seguir, diga qual pode ser con-clusão das proposições.a) Quem não sabe dirigir automóvel é macaco.b) Quem sabe dirigir automóvel não é ocioso.c) Quem não sabe colecionar selos é ocioso.d) Macacos não sabem colecionar selos.e) As pessoas ociosas não sabem dirigir automóveis.

8. Em uma prova, nem todos os alunos ob veram aprova-ção. Sabemos que todos os alunos aprovados fi zeram a lista de exercícios proposta pelo professor do curso. Podemos concluir, com absoluta certeza, que:a) existem alunos que não fi zeram a lista de exer cícios.b) se algum aluno não fez a lista de exercícios, ele foi

reprovado.c) existem alunos que não fi zeram a lista de exercícios

e foram aprovados.d) todos os alunos que fi zeram a lista de exercícios

foram aprovados.e) todos os alunos fi zeram a lista de exercícios.

9. Considere as seguintes sentenças:I – Nenhum espor sta é alcoólatra.II – Osmar é pescador.III – Todos os pescadores são alcoólatras.

Admitindo que as três sentenças são verdadeiras, verifi que qual das sentenças a seguir é certamente verdadeira.a) Todos os alcoólatras são pescadores.b) Algum espor sta é pescador.c) Alguns pescadores são espor stas.d) Osmar não é espor sta.

10. Todos os ar stas são belos.Alguns ar stas são indigentes.a) Alguns indigentes são belos.b) Alguns indigentes não são belos.c) Todos os indigentes são belos.d) Todos os indigentes não são belos.e) Nenhum indigente é belo.

11. (Serpro) Todos os alunos de Matemá ca são, também, alunos de Inglês, mas nenhum aluno de Inglês é aluno de História. Todos os alunos de Português são também alunos de Informá ca, e alguns alunos de Informá ca são também alunos de História. Como nenhum aluno

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de Informá ca é aluno de Inglês, e como nenhum aluno de Português é aluno de História, então:a) pelo menos um aluno de Português é aluno de Inglês.b) pelo menos um aluno de Matemá ca é aluno de

História.c) nenhum aluno de Português é aluno de Matemá ca.d) todos os alunos de Informá ca são alunos de Mate-

má ca.e) todos os alunos de Informá ca são alunos de Portu-

guês.

12. Todas as plantas verdes têm clorofi la. Algumas plantas que têm clorofi la são comes veis, logo:a) algumas plantas verdes são comes veis.b) algumas plantas verdes não são comes veis.c) algumas plantas comes veis têm clorofi la.d) todas as plantas que têm clorofi la são comes veis.e) todas as plantas verdes são comes veis.

13. (Serpro) Todas as amigas de Aninha que foram à sua festa de aniversário es veram antes na festa de aniver-sário de Be nha. Como nem todas amigas de Aninha es veram na festa de aniversário de Be nha, conclui-se que, das amigas de Aninha:a) todas foram à festa de Aninha e algumas não foram

à festa de Be nha.b) pelo menos uma não foi à festa de Aninha.c) todas foram à festa de Aninha e nenhuma foi a Festa

de Be nha.d) algumas foram à festa de Aninha, mas não foram à

festa de Be nha.e) algumas foram à festa de Aninha e nenhuma foi à

festa de Be nha.

14. (Vunesp) Todos os marinheiros são republicanos. Assim sendo:a) o conjunto dos marinheiros contém o conjunto dos

republicanos.b) o conjunto dos republicanos contém o conjunto dos

marinheiros.c) todos os republicanos são marinheiros.d) algum marinheiro não é republicano.e) nenhum marinheiro é republicano.

15. (AFC) Considere as seguintes premissas (onde A, B, C e D são conjuntos vazios):

Premissa 1: “A está con do em B e em C, ou A está con do em D”.

Premissa 2: “A não está con do em D”.

Pode-se, então, concluir corretamente que:a) B está con do em C.b) A está con do em C.c) B está con do em C ou em D.d) A não está con do nem em D nem em B.e) A não está con do nem em B e nem em C.

16. (TTN) Se é verdade que “alguns A são R” e que “nenhum G é R”, então é necessariamente verdadeiro que:a) algum A não é G.b) algum A é G.c) nenhum A é G.d) algum G é A.e) nenhum G é A.

17. (Esaf) Nenhum M é K. Alguns R são K, logo:a) nenhum R é M.b) todo R é M.

c) algum R não é M.d) algum R é M.e) todo R não é M.

18. Considere as premissas: P1: Os bebês são ilógicos. P2: Pessoas ilógicas são desprezadas. P3: Quem sabe amestrar um crocodilo não é desprezado.

Assinale a única alterna va que é uma consequência lógica das três premissas.a) Bebês não sabem amestrar crocodilos.b) Pessoas desprezadas são ilógicasc) Pessoas desprezadas não sabem amestrar crocodilos.d) Pessoas ilógicas não sabem amestrar crocodilos.e) Bebês são desprezados.

19. Valter tem inveja de quem é mais rico do que ele. Ge-raldo não é mais rico do que quem o inveja. Logo:a) quem não é mais rico do que Valter é mais pobre do

que Valter. b) Geraldo é mais rico do que Valter.c) Valter não tem inveja de quem não é mais rico do

que ele.d) Valter inveja só quem é mais rico do que ele.e) Geraldo não é mais rico do que Valter.

20. (Anpad) Considere as seguintes proposições: I – Todo ar sta é simpá co. II – Todo polí co não é simpá co.

Pode-se afi rmar que:a) alguns ar stas são polí cos.b) algumas pessoas simpá cas são polí cos.c) nenhum ar sta é simpá co.d) nenhum ar sta é polí co.e) nenhuma pessoa simpá ca é ar sta.

GABARITO

1. E2. b3. a4. a

5. d6. d7. d8. b

9. d10. a11. c12. c

13. b14. b15. b16. a

17. c18. b19. e20. d

Lógica de Argumentação

A lógica formal, também chamada de lógica simbólica, preocupa-se, basicamente, com a estrutura do raciocínio. Os conceitos são rigorosamente defi nidos, e as sentenças são transformadas em notações simbólicas precisas, compactas e não ambíguas.

Argumento é a relação que associa um conjunto de proposições P1, P2, P3, ... Pn, chamadas de premissas (hipó-teses), a uma proposição C, chamada de conclusão (tese) do argumento.

Estrutura do argumento:

p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 ... p n C(Premissas/Hipóteses) (Conclusão/Tese)

Silogismo

Quando temos um argumento formado por três propo-sições, sendo duas premissas e uma conclusão, trata-se de um Silogismo.

P1: premissaP2: premissaC: conclusão

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Exemplos:

I – P1: Todos os professores são dedicados. (V) P2: Todos os dedicados são bem-sucedidos. (V) C: Todos os professores são bem-sucedidos. (V)

Representação por diagrama:

II – P1: Todos os professores são dedicados. (V) P2: Josimar é dedicado. (V) C: Josimar é professor. (V / F)

Representação por diagrama:

Silogismo CategóricoUm silogismo é denominado categórico quando é com-

posto por três proposições categóricas, e as três proposições categóricas devem conter, ao todo, três termos e cada um dos termos devem estar exatamente em duas das três pro-posições que compõem o silogismo.Ex.: No silogismo

P1: Todo aluno dedicado é aprovado.P2: Josilton é um aluno dedicado.C: Josilton será aprovado.

Exemplos de argumentos:P1: De acordo com a acusação, o réu roubou um carro ou

roubou uma motocicleta.P2: O réu roubou um carro.C: Portanto, o réu não roubou uma motocicleta.

P1: Se juízes fossem deuses, então juízes não cometeriam erros.

P2: Juízes cometem erros.C: Portanto, juízes não são deuses.

P1: Todo cachorro é verde.P2: Tudo que é verde é vegetal.C: Logo, todo cachorro é vegetal.

A Lógica não se preocupa com o valor lógico das pre-missas e da conclusão, preocupa-se apenas com a forma e a

estrutura como as premissas se relacionam com a conclusão, ou seja, se o argumento é válido ou inválido. Isso quer dizer que para ser argumento é necessário possuir forma.

Validade de um Argumento

Um argumento será válido, legí mo ou bem construí-do quando a conclusão é consequência obrigatória do seu conjunto de premissas.

Sendo as premissas de um argumento verdadeiras, isso implica necessariamente que a conclusão será verdadeira.

A validade de um argumento depende tão somente da relação existente entre as premissas e a conclusão.

p1(V) p2(V) p3(V) p4(V) p5(V) ... pn(V) C(V)

Percebemos que existe um conectivo de conjunção que opera as premissas. Assim, para que a conclusão seja verdadeira, torna-se necessário que as premissas sejam ver-dadeiras, até mesmo porque se uma das premissas for falsa, tornará a conclusão falsa. Logo, a verdade das premissas garante a verdade da conclusão do argumento.

Nas provas realizadas pelo Cespe para o concurso do Tribunal Superior Eleitoral (TSE), em 2007, e para Polícia Federal, em 2004, foi cobrado do candidato o conhecimento do que seja um argumento válido. Sendo assim, seguem os comentários dessas questões.

QUESTÃO COMENTADA

1. (Cespe/TSE/2007) Assinale a opção que apresenta um argumento válido.

a) Se estudo, obtenho boas notas. Se me alimento bem, me sinto disposto. Ontem estudei e não me sen disposto, logo obterei boas notas mas não me alimentei bem.

b) Se ontem choveu e estamos em junho, então hoje fará frio. Ontem choveu e hoje fez frio. Logo, estamos em junho.

c) Choveu ontem ou segunda-feira é feriado. Como não choveu ontem, logo segunda-feira não será feriado.

d) Quando chove, as árvores fi cam verdinhas. As árvores estão verdinhas, logo choveu.

Comentárioa) Se estudo, obtenho boas notas. Se me alimento bem,

me sinto disposto. Ontem estudei e não me sen disposto, logo obterei boas notas mas não me alimentei bem.

Temos:P1: Estudo obtenho boas notas.P2: Me alimento bem me sinto disposto.P3: Ontem estudei não me sen disposto.Logo, C: Obterei boas notas não me alimentei bem.

Par ndo do princípio de que todas as premissas são verdadeiras, temos:

P1: Estudo (V) obtenho boas notas (V). = (V)P2: Me alimento bem (F) me sinto disposto (F). = (V)P3: Ontem estudei (V) não me sen disposto (V). = (V)

Após a valoração das premissas, podemos verifi car se a verdade das premissas realmente garante a verdade da conclusão? Vejamos:

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Logo, C: Obterei boas notas (V) não me alimentei bem (V). = (V)

Sendo assim, temos que o argumento é válido.

b) Se ontem choveu e estamos em junho, então hoje fará frio. Ontem choveu e hoje fez frio. Logo estamos em junho.

Temos:P1: (Ontem choveu estamos em junho) hoje fará frio.P2: Ontem choveu fez frio.Logo, C: Estamos em junho.

Par ndo do princípio de que todas as premissas são verdadeiras, temos:

P1: Ontem choveu (V) estamos em junho (V/F) hoje fará frio (V). = (V)

P2: Ontem choveu (V) fez frio (V). = (V)Logo, C: Estamos em junho. (V/F)

Após a valoração das premissas, podemos verifi car se a verdade das premissas realmente garante a verdade da conclusão? Vejamos:

Logo, C: Estamos em junho. (V/F)Sendo assim, temos que o argumento é inválido.

c) Choveu ontem ou segunda-feira é feriado. Como não choveu ontem, logo segunda-feira não será feriado.

Temos:P1: Choveu ontem segunda-feira é feriado.P2: Não choveu ontem.Logo, C: Segunda-feira não é feriado.

Par ndo do princípio de que todas as premissas são verdadeiras, temos:

P1: Choveu ontem (F) segunda-feira é feriado (V). = (V)P2: Não choveu ontem. = (V)Logo, C: Segunda-feira não é feriado = (F)

Após a valoração das premissas, podemos verifi car se a verdade das premissas realmente garante a verdade da conclusão? Vejamos:

Logo, C: Segunda-feira não é feriado. = (F)Sendo assim, temos que o argumento é inválido.

d) Quando chove, as árvores fi cam verdinhas. As árvores estão verdinhas, logo choveu.

Temos:P1: Choveu as árvores fi cam verdinhas.P2: As árvores estão verdinhas.Logo, C: Choveu.

Par ndo do princípio de que todas as premissas são verdadeiras, temos:

P1: Choveu (V/F) as árvores fi cam verdinhas (V). = (V)

P2: As árvores estão verdinhas. = (V)

Logo, C: Choveu. (V/F)

Após a valoração das premissas, podemos verifi car se a verdade das premissas realmente garante a verdade da conclusão? Vejamos:

Logo, C: Choveu. (V/F)Sendo assim, temos que o argumento é inválido.

QUESTÕES DE CONCURSOS

1. Todos os bons estudantes são pessoas tenazes. Assim sendo:a) alguma pessoa tenaz não é um bom estudante.b) o conjunto dos bons estudantes contém o conjunto

das pessoas tenazes.c) toda pessoa tenaz é um bom estudante.d) nenhuma pessoa tenaz é um bom estudante.e) o conjunto das pessoas tenazes contém o conjunto

dos bons estudantes.

2. Todo baiano gosta de axé music. Sendo assim:a) todo aquele que gosta de axé music é baiano.b) todo aquele que não é baiano não gosta de axé

music.c) todo aquele que não gosta de axé music não é baiano.d) algum baiano não gosta de axé music.e) alguém que não goste de axé music é baiano.

3. Todo atleta é bondoso. Nenhum celta é bondoso. Daí pode-se concluir que:a) algum atleta é celta.b) nenhum atleta é celta.c) nenhum atleta é bondoso.d) alguém que seja bondoso é celta.e) ninguém que seja bondoso é celta.

4. Se chove, então faz frio. Assim sendo:a) chover é condição necessária para fazer frio.b) fazer frio é condição sufi ciente para chover.c) chover é condição necessária e sufi ciente para fa-

zer frio.d) chover é condição sufi ciente para fazer frio.e) fazer frio é condição necessária e sufi ciente para

chover.

5. (Gestor/2000) A par r das seguintes premissas:Premissa 1: “X é A e B, ou X é C”.Premissa 2: “Se Y não é C, então X não é C”.Premissa:3 “Y não é C”.

Conclui-se corretamente que X é:a) A e B.b) Não A ou C.c) Não A e B.

d) A e não B.e) Não A e não B.

6. (AFC/2004) Uma professora de matemá ca faz as três seguintes afi rmações:

– “X > Q e Z < Y”.– “X > Y e Q > Y, se e somente se Y > Z”.– “R > Q, se e somente se Y = X”.

Sabendo que todas as afi rmações da professora são verdadeiras, conclui-se corretamente que:a) X > Y > Q > Z.b) X > R > Y > Z.c) Z < Y < X < R.

d) X > Q > Z > R.e) Q < X < Z < Y.

(Cespe)

P v Q

¬P

P v Q

¬Q

P→Q

P

P→Q

¬QQ P Q ¬PI II III IV

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As letras P, Q e R representam proposições, e os esquemas acima representam quatro formas de dedução, nas quais, a par r das duas premissas (proposições acima da linha tracejada), deduz-se a conclusão (proposição abaixo da linha tracejada). Os símbolos ¬ e → são operadores lógicos que signifi cam, respec vamente, não e então, e a defi nição de v é dada na seguinte tabela-verdade.

P Q P v QV V VV F VF V VF F F

Considerando as informações acima e as do texto, julgue os itens que se seguem quanto à forma de dedução.

7. Considere a seguinte argumentação: Se juízes fossem deuses, então juízes não cometeriam

erros. Juízes cometem erros. Portanto, juízes não são deuses.

Essa é uma dedução da forma IV.

8. Considere a seguinte dedução: De acordo com a acusação, o réu roubou um carro ou

roubou uma motocicleta. O réu roubou um carro.Portanto, o réu não roubou uma motocicleta.Essa é uma dedução da forma II.

9. Dadas as premissas P → Q; ¬ Q; R → P, é possível fazer uma dedução de ¬R usando-se a forma de dedução IV.

10. Na forma de dedução I, tem-se que a conclusão será verdadeira sempre que as duas premissas forem ver-dadeiras.

(Cespe)A seguinte forma de argumentação é considerada válida. Para cada x, se P(x) é verdade, então Q(x) é verdade, e para x = c, se P(c) é verdade, então se conclui que Q(c) é verdade. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.

11. Considere o argumento seguinte: Toda prestação de contas submetida ao TCU que

expresse, de forma clara e obje va, a exa dão dos demonstra vos contábeis, a legalidade, a legi midade e a economicidade dos atos de gestão do responsável é julgada regular. A prestação de contas da Presidên-cia da República expressou, de forma clara e obje va, a exa dão dos demonstra vos contábeis, a legalidade, a legi midade e a economicidade dos atos de gestão do responsável. Conclui-se que a prestação de contas da Presidência da República foi julgada regular.

Nesse caso, o argumento não é válido.

12. Considere o seguinte argumento: Cada prestação de contas submetida ao TCU que

apresentar ato an econômico é considerada irregular. A prestação de contas da prefeitura de uma cidade foi considerada irregular. Conclui-se que a prestação de contas da prefeitura dessa cidade apresentou ato an econômico.

Nessa situação, esse argumento é válido.

(Cespe)A forma de uma argumentação lógica consiste de uma se-quência fi nita de premissas seguidas por uma conclusão. Há formas de argumentação lógica consideradas válidas e há formas consideradas inválidas.A respeito dessa classifi cação, julgue os itens seguintes.

13. A seguinte argumentação é inválida: Premissa 1: Todo funcionário que sabe lidar com orça-

mento conhece contabilidade. Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabi-

lidade.Conclusão: João não sabe lidar com orçamento.

14. A seguinte argumentação é válida: Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos

devidos.Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos.Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta.

(Cespe)A lógica proposicional trata das proposições que podem ser interpretadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Para as proposições (ou fórmulas) P e Q, duas operações básicas, “¬” e “→”, podem ser defi nidas de acordo com as tabelas de interpretação abaixo.

P Q P → Q P ¬ PV V V V FV F F F VF V VF F V

Com base nessas operações, novas proposições podem ser construídas. Uma argumentação é uma sequência fi nita de proposições. Uma argumentação é válida sempre que a ve-racidade (V) de suas (n – 1) premissas acarreta a veracidade de sua n-ésima – e úl ma – proposição.

Com relação a esses conceitos, julgue os itens a seguir.

15. A sequência de proposições:– Se existem tantos números racionais quanto números

irracionais, então o conjunto dos números irracionais é infi nito.

– O conjunto dos números irracionais é infi nito.– Existem tantos números racionais quanto números

irracionais.

é uma argumentação da formaP→QQP

16. Julgue se a argumentação é válida. Premissa 1: Se lógica é fácil, então Sócrates foi mico de

circo. Premissa 2: Lógica não é fácil. Conclusão: Sócrates não foi mico de circo.

17. A tabela de interpretação de (P → Q)→¬P é igual à tabela de interpretação de P → Q.

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(Cespe)Considere os enunciados I e II a seguir.I – Desde que a Ponte JK, que liga o Lago Sul ao Plano Piloto, foi inaugurada, o tráfego entre oLago Sul e o Plano Piloto melhorou.II – Houve muitas mudanças nas técnicas de construção, desde que a Ponte JK foi construída.

Julgue os itens que se seguem, acerca desses enunciados.

18. O enunciado I é um argumento.

19. O enunciado II é um argumento.

(Cespe)Considere a asser va seguinte, adaptada da revista come-mora va dos 50 anos da Petrobras.

“Se o governo brasileiro vesse ins tuído, em 1962, o mo-nopólio da exploração de petróleo no território nacional, a Petrobras teria a ngido, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil barris/dia”.

Julgue se cada um dos itens a seguir apresenta uma propo-sição logicamente equivalente à asser va acima.

20. Se a Petrobras não a ngiu a produção de 100 mil barris/dia em 1962, o monopólio da importação de petróleo e derivados não foi ins tuído pelo governo brasileiro nesse mesmo ano.

21. Se o governo brasileiro não ins tuiu, em 1962, o mo-nopólio da importação de petróleo e derivados, então a Petrobras não a ngiu, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil barris/dia.

(Cespe)Considere a seguinte argumentação lógica:– Todo psiquiatra é médico.– Nenhum engenheiro de so ware é médico.– Portanto, nenhum psiquiatra é engenheiro de so ware.

Denote por x um indivíduo qualquer e simbolize por P(x) o fato de o indivíduo ser psiquiatra, por M(x) o fato de ele ser médico e por E(x) o fato de ser engenheiro de so ware. Nesse contexto e com base na argumentação lógica, julgue os itens seguintes.

22. A argumentação lógica pode ser simbolizada por( )(P(x) v M(x))¬ ( x) (E(x) M(x))¬ ( x) (P(x) E(x))

23. A forma simbólica ¬ ( x) (E(x) /\ M(x)) é logicamente equivalente a ( x) (¬E(x) /\ ¬M(x)).

(Cespe)

ARGUMENTO IP1: Toda pessoa saudável pra ca esportes.P2: Alberto não é uma pessoa saudável.Conclusão: Alberto não pra ca esportes.

ARGUMENTO IIP1: Toda pessoa saudável pra ca esportes.P2: Alberto pra ca esportes.Conclusão: Alberto é saudável.

Considerando os argumentos I e II acima, julgue os próximos itens.

24. O argumento I não é válido porque, mesmo que as premissas P1 e P2 sejam verdadeiras, isso não acarreta que a conclusão seja verdadeira.

25. O argumento II é válido porque toda vez que as pre-missas P1 e P2 forem verdadeiras, então a conclusão também será verdadeira.

GABARITO

1. e2. c3. b4. d5. a

6. b7. c8. E9. C

10. C

11. E12. E13. E14. E15. C

16. E17. E18. C19. E20. C

21. E22. E23. C24. C25. E

SEQUÊNCIAS

As questões adiante exigem do aluno atenção epercepção, que serão adquiridas apenas pela prática. Perceber-se-á que tais questões são muito parecidas, o que facilita a resolução. Elas também são tradicionais nas provas da FCC e de outras bancas. Logo, dar-se-á ênfase às questões da Fundação Carlos Chagas, pois é a que mais trabalha com questões desse po.

Sucessões ou Sequências

Defi nição

Conjunto de elementos de qualquer natureza, organiza-dos ou escritos numa ordem bem determinada.

A representação de uma sequência se dá quando seus elementos, ou termos, es verem dispostos entre parênteses.

Não pode haver uma interpretação como ocorre nos conjuntos, pois qualquer alteração na ordem dos elementos de uma sequência altera a própria sequência.

Exemplos:a) Sucessão dos meses do ano: (janeiro, fevereiro, março,

abril... dezembro).b) O conjunto ordenado (0, 1, 2, 3, 4, 5...) é chamado

sequência ou sucessão dos números naturais.

Termos de uma Sucessão

Uma sequência ou uma sucessão numérica pode possuir uma quan dade fi nita ou infi nita de termos.

Exemplos:a) (4, 8, 12, 16) é uma sequência fi nita.b) (a, e, i, o, u) é uma sequência fi nita.c) (3, 6, 9...) é uma sequência infi nita.

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CÍN

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ORA

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IO L

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ÁTIC

O

d)a1 = 1a2 = 3a3 = 5a4 = 7

...

O número que aparece no nome do ele-mento é a “ordem” dele. Ou seja, a1 é o primeiro, a2 é o segundo etc.

Representação de uma Sequência

A representação matemá ca de uma sucessão é dada da seguinte forma:

(b1, b2, b3... bn-1, bn), em que:

• b1 é o primeiro termo;

• b2 é o segundo termo;

• bn é o enésimo termo.

Exemplo:Dada a sequência (-1, 2, 5, 8, 11), calcular:

a) a 3 – a2 b) a2+ 3a1

Solução:a) a3 = 5 e a2 = 2 a3 – a2 = 5 – 2 = 3

b) a2 + 3 . a1 = 2 + 3 x -1 = 2 – 3 = -1

QUESTÃO COMENTADA

1. (Cesgranrio/Caixa Econômica Federal/2008)

1

2

n n 1 n 2

a 2a 3a a a

Qual é o 700 termo da sequência de números (an) defi -nida acima?

a) 2. b) 1. c) – 1. d) – 2. e) – 3.

ComentárioPrimeiro construiremos a sequência para que possamos

verifi car qual foi o padrão u lizado na sucessão dos termos.a1 = 2a2 = 3a3 = a2 – a1 = 1a4 = a3 – a2 = -2a5 = a4 – a3 = -3a6 = a5 – a4 = -1a7 = a6 – a5 = 2a8 = a7 – a6 = 3...

Representando a sequência, temos:

2, 3, 1, -2, -3, -1, 2, 3, 1...Ao representar, torna-se notável que a sequência pos-

sui outra sequência que se repete de seis em seis termos. Logo, podemos realizar o seguinte cálculo para resolver o problema:

Se sobraram 4 termos, o termo a70 corresponde ao 4o

termo: (2, 3, 1, -2, -3, -1, 2, 3, 1...).

Resposta: d.

Lei de Formação de uma Sequência

Progressão Aritmé ca (P.A.)A lei de formação é a relação estabelecida entre os ele-

mentos da sequência que gera os demais elementos.Um exemplo clássico é uma Progressão Aritmé ca (P.A.).

Consideremos o exemplo abaixo:

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...)

O primeiro termo dessa P.A. é 1, o segundo é 3, e assim por diante.

Quando temos um termo e não sabemos sua posição, chamamos de an, em que “n” é a posição ocupada pelo termo em questão. Esse é o termo geral, pois pode ser qualquer um.

No que se refere ao exemplo:

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...)

Como é uma P.A., segue um “ritmo defi nido” (ritmo este que é a soma de 2 unidades a cada elemento que acrescenta-mos). Esse ritmo também tem um nome: chama-se “RAZÃO” e é representada por “r” minúsculo. Portanto, o segundo termo será a soma do primeiro mais a razão; o terceiro será a soma do segundo mais a razão.

Vemos no nosso exemplo que cada próximo termo da progressão é acrescido de 2 unidades, portanto r = 2. A razão pode ser estabelecida da seguinte maneira:

r = an – a n- 1

Tabela 1

a1 = 1 = 1a2 = 3 = 1 + 2a3 = 5 = 1 + 2 + 2a4 = 7 = 1 + 2 + 2 + 2a5 = 9 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2... ...

Tabela 2

a1 = a1a2 = a1 + ra3 = a1 + r + ra4 = a1 + r + r + ra5 = a1 + r + r + r + r... ...

Ao analisar as tabelas 1 e 2, verifi ca-se a soma do primeiro termo a1 com (n – 1) vezes a razão.

a1= a1 + 0 . ra2 = a1 + 1 . ra3 = a1 + 2 . ra4 = a1 + 3 . ra5 = a1 + 4 . r

an = a1 + (n – 1) . r

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CÍN

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ÁTIC

ORA

CIO

CÍN

IO L

ÓG

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ÁTIC

O

Logo, pode-se defi nir que a Lei de Formação de uma P.A. é a seguinte:

an = a1 + (n – 1) . r

Outro exemplo clássico é a Progressão Geométrica (P.G.). Consideremos o exemplo a seguir.

Observe a sequência:

(4, 8, 16, 32, 64...)

Note que, dividindo um termo qualquer dessa sequência pelo termo antecedente, o resultado é sempre igual a 2.

a2 : a1 = 8: 4 = 2a4 : a3 = 32 : 16 = 2a5 : a4 = 64 : 32 = 2

Progressão Geométrica (P.G.)É a sequência de números reais não nulos em que o quo-

ciente entre um termo qualquer (a par r do 2º) e o termo antecedente é sempre o mesmo (constante).

Essa constante é chamada de razão, representada pela letra q.

Exemplos:• (1, 2, 4, 8, 16...) é uma P.G. de razão q = 2.• (2, -4, 8, -16...) é uma P.G. de razão q = -2.

Termo Geral de uma P.G.Para obtermos o termo geral de uma P.G., u lizamos o

primeiro termo (a1) e a razão (q).Seja (a1, a2, a3, ..., an) uma P.G. de razão q. Temos:

a2 : a1 = q → a2 = a1 . q

a3 : a2 = q → a3 = a2 . q → a3 = a1 . q²

a4 : a3 = q → a4 = a3 . q → a4 = a1 . q³

Logo, concluímos que an ocupa a n-ésima posição da P.G., dada pela expressão:

an = a1 . qn – 1

QUESTÕES DE APRENDIZAGEM

1. (FGV/2007) A fi gura abaixo mostra uma ra formada por quadradinhos de lado 1cm. Sobre essa ra foi desenhada uma linha quebrada, começando no canto inferior esquerdo e que mantém sempre o mesmo padrão. As retas ver cais estão numeradas, e, na reta ver cal de número 50, o desenho foi interrompido.

O comprimento da linha é de:a) 150cm.b) 138cm.c) 144cm.

d) 140cm.e) 156cm.

2. (Cesgranrio/2006) Na sequência (1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...)o número que sucede 22 é:a) 28.b) 29.c) 30.

d) 31.e) 32.

3. (Cesgranrio/2006) Leonardo queria jogar “bolinhas de gude” mas, como não nha com quem brincar, pegou suas 65 bolinhas e resolveu fazer várias letras “L” de tamanhos diferentes, seguindo o padrão apresentado abaixo.

Leonardo fez o maior número possível de “L” e, assim, sobraram n bolinhas. O valor de n foi igual a:a) 5.b) 6.c) 7.

d) 8.e) 9.

4. (FCC/2006) Observe a seguinte sequência de fi guras formadas por “triângulos”:

Con nuando a sequência de maneia a manter o mesmo padrão, é correto concluir que o número de “triângulos” da fi gura 100 é:a) 403.b) 401.c) 397.

d) 395.e) 391.

5. (FCC/2007) Uma aranha demorou 20 dias para co-brir com sua teia a super cie total de uma janela.Ao acompanhar o seu trabalho, curiosamente, obser-vou-se que a área da região coberta pela teia duplicava a cada dia. Se desde o início ela vesse contado com a ajuda de outra aranha de mesma capacidade operacio-nal, então, nas mesmas condições, quantos dias seriam necessários para que, juntas, as duas reves ssem toda a super cie de tal janela?a) 10.b) 12.c) 15.

d) 18.e) 19.

6. (FCC/2007) Indagado sobre a quan dade de projetos desenvolvidos nos úl mos 10 anos em sua área de trabalho, um analista legisla vo que era afi cionado em matemá ca respondeu o seguinte: “O total de projetos é igual ao número que, no criptograma matemá co abaixo, corresponde à palavra ESSO”.

(SO)2 = ESSO

Considerando que nesse criptograma letras dis ntas equivalem a algarismos dis ntos escolhidos de 1 a 9, então, ao decifrar corretamente esse enigma, conclui-se que a quan dade de projetos à qual ele se refere é um número

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CÍN

IO L

ÓG

ICO

E M

ATEM

ÁTIC

ORA

CIO

CÍN

IO L

ÓG

ICO

E M

ATEM

ÁTIC

O

a) menor que 5 000.b) compreendido entre 5 000 e 6 000.c) compreendido entre 6 000 e 7 000.d) compreendido entre 7 000 e 8 000.e) maior que 8 000.

7. (FCC/2007) Se a é um número inteiro posi vo, defi -ne-se uma operação & como a& = 3a – 2. Considere a sequência (a1, a2, a3, ..., an, ...) cujo termo geral é

& &na (n ) , para todo n = 1, 2, 3, ... . A soma do

terceiro e quinto termos dessa sequência é igual a:a) 42.b) 46.c) 48.

d) 52.e) 56.

8. (FCC/2007) Carol recebeu uma promoção na Repar ção Pública onde trabalha e Sueli, sua colega de trabalho, foi incumbida de fazer um discurso no dia de sua posse. Para tal, Sueli anotou alguns dados que serviriam de base para redigir o discurso:a) Carol começou a trabalhar enquanto cursava o En-

sino Médio, aos 16 anos de idade.b) Carol ingressou no serviço público após ter cursado

a pós-graduação em Direito.c) Seus pais mudaram-se para o Rio de Janeiro, onde

Carol cursou o Ensino Básico.d) Quando cursávamos o 4º ano da faculdade, Carol

apresentou-me seu marido Gastão, uma semana após ter começado a namorá-lo.

e) Eu fui escolhida para elaborar o discurso em sua homenagem.

f) Conheci Carol na Universidade, em que ambas in-gressamos no curso de Direito.

g) Carol nasceu em São Paulo no dia 18 de maio de 1975.

h) Carol concluiu o curso de bacharelado em Direito, em 1999.

i) Seu primeiro emprego foi como auxiliar em um escritório de advocacia.

j) Carol casou-se com Gastão 6 meses após o início do namoro.

Para que todos esses dados sejam incluídos no discurso na ordem cronológica em que ocorreram, a ordem de inserção deverá ser:a) g – c – a – d – f – j – h – i – b – eb) g – a – c – i – f – d – h – j – b – ec) g – c – a – i – f – d – j – h – b – ed) e – g – c – a – i – f – d – j – h – be) e – a – i – c – f – h – g – b – d – j

9. (FCC/2008). Analise a sequência abaixo.

1 × 9 + 2 = 11 12 × 9 + 3 = 111 123 × 9 + 4 = 1 111 . . . . . . . . . . . .

Nessas condições, quantas vezes o algarismo 1 aparece no resultado de 12 345 678 × 9 + 9?

a) 9. b) 10. c) 11. d) 12. e) 13.

10. (FCC/2008) Observando a sequência (2, 5, 11, 23, 47, 95, ...) verifi ca-se que, do segundo termo em diante,

cada número é ob do a par r do anterior, de acordo com uma certa regra.

Nessas condições, o sé mo elemento dessa sequência éa) 197.b) 191.c) 189.d) 187.e) 185.

11. (FCC/2009) Observe o diagrama.

Usando a mesma ideia, é possível determinar os núme-ros do interior de cada um dos 4 círculos do diagrama a seguir.

Desses quatro números, oa) menor é 3.b) menor é 4.c) maior é 6.d) maior é 9.e) maior é 12.

12. (Cespe) Julgue o item seguinte.( ) Considere as seguintes sequências de números:

{3, 6, 12, 24, ...} e {11, 13, 15, ...} e suponha que haja uma relação entre elas, defi nida da seguinte forma: 3 → 11, 6 → 13, 12 → 15, .... Nesse caso, o número da segunda sequência que está relacionado ao número 24, da primeira sequência, é o número 19.

13. (Cesgranrio) Em um caminho re líneo há um canteiro formado por 51 roseiras, todas enfi leiradas ao longo do caminho. A distância entre quaisquer duas roseiras consecu vas é 1,5 m. Nesse caminho, há ainda uma torneira a 10,0 m da primeira roseira. Gabriel decide molhar todas as roseiras desse caminho. Para isso, u li-za um regador que, quando cheio, tem capacidade para molhar 3 roseiras. Dessa forma, Gabriel enche o regador na torneira, encaminha-se para a 1a roseira, molha-a, caminha até a 2a roseira, molha-a e, a seguir, caminha até a 3a roseira, molhando-a também, esvaziando o regador. Cada vez que o regador fi ca vazio, Gabriel volta à torneira, enche o regador e repete a ro na anterior para as três roseiras seguintes. No momento em que acabar de regar a úl ma das roseiras, quantos metros Gabriel terá percorrido ao todo desde que encheu o regador pela primeira vez?

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CÍN

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ÓG

ICO

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ÁTIC

ORA

CIO

CÍN

IO L

ÓG

ICO

E M

ATEM

ÁTIC

O

a) 1666,0b) 1581,0c) 1496,0d) 833,0e) 748,0

14. (Cespe) Considere que os números reais a, b e c este-

jam em progressão aritmé ca e que b

a = 3

2 . Julgue os

itens subsequentes com relação a essa progressão. a) Se a + b + c = 36, então a < 9. b) c

b=5

3.

15. (Cespe) Julgue o item que se segue.( ) Se uma dívida foi paga em 16 prestações, sendo a

primeira parcela de R$ 50,00, a segunda de R$ 55,00, a terceira de R$ 60,00 e assim por diante – ou seja, as parcelas estavam em progressão aritmé ca de razão igual a R$ 5,00 – , então o valor total da dívida era inferior a R$ 1.500,00.

GABARITO

1. a 6. b 11. d 2. b 7. e 12. E 3. a 8. c 13. b 4. b 9. a 14. C, E 5. e 10. b 15. C

QUESTÕES COMENTADAS MÚLTIPLOS DATAS

1. (FGV/FNDE/2007) Em certo ano, o dia primeiro de março caiu em uma terça-feira. Nesse ano, o úl mo dia de abril foi:a) quarta-feira.b) sábado.c) sexta-feira.d) quinta-feira.e) domingo.

ComentárioSabemos que a semana possui 7 (sete) dias, e que, por

exemplo, de uma segunda-feira para outra segunda-feira temos um intervalo de 7 (sete) dias, isto é, podemos afi rmar que acontece da seguinte maneira: dias: M (7):(7, 14, 21, 28, 35, 42, 49...) – múl plos de sete.

É necessário sabermos quantos dias possui cada mês do ano, por isso falaremos um pouco sobre o ano bissexto.

“O ano de 2008 é um ano bissexto. Em nosso calendário, chamado Gregoriano, os anos comuns têm 365 dias e os anos bissextos têm um dia a mais, totalizando 366 dias. Essa infor-mação pra camente todo mundo sabe, mas o entendimento sobre o funcionamento dos anos bissextos ainda é recheado de dúvidas na cabeça de muita gente. Você saberia dizer quais são os anos bissextos?

Os anos bissextos são anos com um dia a mais, tendo, portanto, 366 dias. O dia extra é introduzido como o dia 29 de fevereiro, ocorrendo a cada quatro anos. O período de um ano se completa com uma volta da terra ao redor do sol. Como instrumentos de uso prá co, os calendários adotam uma quan dade exata de dias para o período de um ano: 365 dias. Mas, na realidade, a terra leva aproximadamente 365 dias e 6 horas para completar uma volta ao redor do sol.

Portanto, um calendário fi xo de 365 dias apresenta um erro de aproximadamente 6 horas por ano, equivalente a 1 dia a cada quatro anos ou 1 mês a cada 120 anos. Um erro como esse tem sérias implicações nas sociedades, principal-mente nas a vidades que dependem de um conhecimento preciso das estações do ano, como a agricultura.

Para diminuir esse erro, foi adotado o ano bissexto, acrescentando-se 1 dia a cada quatro anos. Foi adotado pela primeira vez no Egito, em 238 a.C. O calendário Julia-no, introduzido em 45 a.C, adotou a regra de que todo ano divisível por quatro era bissexto. Mas mesmo com essa regra ainda exis a um erro de aproximadamente 1 dia a cada 128 anos. No fi nal do século XVI, foi introduzido o calendário Gregoriano, usado até hoje na maioria dos países, adotando as seguintes regras:

1) Todo ano divisível por 4 é bissexto.2) Todo ano divisível por 100 não é ano bissexto.3) Mas se o ano for também divisível por 400, é ano

bissexto”.

De forma mais prá ca, consideremos que anos bissextos são anos Olímpicos...

Quan dade de dias em cada mês:Janeiro – 31 diasFevereiro – 28 dias – (bissexto – 29 dias)Março – 31 diasAbril – 30 diasMaio – 31 diasJunho – 30 diasJulho – 31 diasAgosto – 31 diasSetembro – 30 diasOutubro – 31 diasNovembro – 30 diasDezembro – 31 dias

Diante do exposto, temos que calcular quantos dias há entre o dia primeiro de março, que caiu em uma terça-feira, e o úl mo dia de abril.

01/03 – Uma observação importante é que o primeiro dia não pode entrar, a fi m de se manter uma sequência de sete dias (múl plos de sete). Temos, assim, um total de 30 dias.

30/04 – (Conta-se o úl mo dia). Temos, assim, 30 dias.TOTAL: 60 DIAS

– 60 7

56 8 Passaram-se 8 semanas 4 Sobraram 4 dias

Como foi de terça a terça, então é só contar mais 4 dias, o que acontecerá sábado.

2. (Cesgranrio/2007) O ano de 2007 tem 365 dias. O pri-meiro dia de 2007 caiu em uma segunda-feira. Logo, neste ano, o dia de Natal cairá numa:a) segunda-feira. d) quinta-feira.b) terça-feira. e) sexta-feira.c) quarta-feira.

ComentárioDo dia 1º de janeiro de 2007 até o Natal – 25/12/2007 –

passaram-se quantos dias? Vejamos abaixo:

Jan. Fev. Março Abril Maio Junho Julho Agosto Set. Out. Nov. Dez.

30 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 25

48

RA

CIO

CÍN

IO L

ÓG

ICO

E M

ATEM

ÁTIC

ORA

CIO

CÍN

IO L

ÓG

ICO

E M

ATEM

ÁTIC

O

Em janeiro, não entra o primeiro dia. Em dezembro,

entram todos os dias até a data desejada.Somando-se os números acima, temos: 358 dias.Um cálculo mais simples é o seguinte: o total (365 dias)

menos 7 dias, que vai de 25 de dezembro até 1º de janeiro. Assim: 365 – 7 = 358 dias.

– 358 7 357 51 (passaram-se 51 semanas)

1 (sobrou 1 dia)

Passaram-se 51 semanas de segunda a segunda, e sobrou 1 dia. Logo, caiu em uma terça-feira.

QUESTÕES DE CONCURSOS

1. (Cesgranrio/2007) Os anos bissextos têm, ao contrário dos outros anos, 366 dias. Esse dia a mais é colocado sempre no fi nal do mês de fevereiro, que, nesses casos, passa a terminar no dia 29. O primeiro dia de 2007 caiu em uma segunda-feira. Sabendo que 2007 não é ano bissexto, mas 2008 será, em que dia da semana começará o ano de 2009?

a) Terça-feira. d) Sexta-feira.b) Quarta-feira. e) Sábado.c) Quinta-feira.

2. (FCC/MPU/2007) Considerando que, em certo ano, o dia 23 de junho ocorreu em um sábado, o dia 22 de outubro desse mesmo ano ocorreu em

a) uma segunda-feira. d) um sábado.b) uma terça-feira. e) um domingo.c) uma quinta-feira.

GABARITO

1. c 2. a

Sequências Numéricas

Sequência é todo conjunto ou grupo que possui os seus elementos escritos em uma determinada ordem.

De acordo com o tópico “Lei de formação de uma se-quência”, pode-se perceber que uma sequência numérica é cons tuída de termos numéricos, ou seja, números que seguirão um padrão de formação. Toda sequência numérica possui uma ordem para organização dos seus elementos. As-sim, podemos dizer que em qualquer se quência os elementos são dispostos da seguinte forma: (a1, a2, a3, a4... an...) ou (a1, a2, a3... an), em que a1 é o 1º elemento; a2, o segundo elemento e assim por diante, e an o enésimo elemento.

Exemplos:a) (1, 0, 0, 1) – (4, 3, 3, 4) – (5, 4, 4, 5) – (6, 7, 7, 6) –

(9, 8, 8, 9)b) 2, -4, 6, -8, -12...

Essas sequências são diferenciadas em dois pos:Sequência fi nita: é uma sequência numérica na qual os

elementos têm fi m. Por exemplo, a sequência dos números múl plos de 5 maiores que 10 e menores que 40.

(a1, a2, a3, a4... an) – sequência fi nita

Sequência infi nita: é uma sequência que não possui fi m, ou seja, seus elementos seguem ao infi nito. Por exemplo: a sequência dos números inteiros.

(a1, a2, a3, a4... an...) – sequência infi nita

Logo, podemos citar algumas sequências ou séries:

Série de Fibonacci: é uma sequência defi nida na prá ca da seguinte forma: você começa com 0 e 1, e então produz o próximo número de Fibonacci somando os dois anteriores. Os primeiros números de Fibonacci para n = 0, 1... são: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946...

Essa sequência foi descrita primeiramente por Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci. Nela, ele descreveu o aumento de uma população de coelhos. Os termos descre-veram o número de casais em uma população de coelhos depois de n meses, supondo que:

1. nascesse apenas um casal no primeiro mês;2. os casais reproduzissem-se apenas após o segundo

mês de vida;3. no cruzamento consanguíneo não houvesse proble-

mas gené cos;4. cada casal fér l desse a luz a um novo casal todos os

meses;5. não houvesse morte de coelhos.

Número Tribonacci: um número Tribonacci assemelha-se a um número de Fibonacci, mas em vez de começarmos com dois termos pré-defi nidos, a sequência é iniciada com três termos pré-determinados, e cada termo posterior é a soma dos três termos anteriores. Os primeiros números de uma pequena sequência Tribonacci são: 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, 121415, 223317 etc.

Progressão Aritmé ca: é uma sequência de números que obedecem a uma lei de formação já citada antes, isto é, an = a1 + (n – 1) . r, em que podemos defi nir cada elemento por meio do termo anterior juntamente com a razão.

Exemplo: (10, 15, 20, 25, 30, 35, 40...).

Progressão Geométrica: é uma sequência de números que obedecem a uma lei de formação já citada antes, isto é, an = a1 . q

n – 1, em que podemos defi nir cada elemento por meio do termo anterior juntamente com a razão.

Exemplo: (2, 6, 18, 54...).

QUESTÕES COMENTADAS SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS

1. (FGV/FNDE/2007) Na sequência numérica 3, 10, 19, 30, 43, 58..., o termo seguinte ao 58 é:a) 75.b) 77.c) 76.

d) 78.e) 79.

ComentárioAs questões de sequências, em sua maioria, trazem uma

lógica que só será percebida com bastante treino. Vejamos:• Primeiro termo: 3.• Segundo termo: 10.• Terceiro termo: 19.• Quarto termo: 30.

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RA

CIO

CÍN

IO L

ÓG

ICO

E M

ATEM

ÁTIC

ORA

CIO

CÍN

IO L

ÓG

ICO

E M

ATEM

ÁTIC

O

Pode-se concluir que o quinto termo realmente é 43, pois entre o primeiro e o segundo aumentaram 7 unidades, entre o segundo e o terceiro aumentaram 9 unidades, entre o ter-ceiro e o quarto aumentaram 11 unidades. Logo, o aumento acontece da seguinte forma: (7, 9, 11, 13, 15, 17...). Assim, do termo 58 para o seu sucessor temos um aumento de 17 unidades, que resulta em 75 (próximo número).

2. (FGV/FNDE/2007) Na sequência de algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3..., o 2007º algarismo é:a) 1.b) 2.c) 4.

d) 5.e) 3.

ComentárioNa sequência acima temos o seguinte: 1, 2, 3, 4, 5, 4,

3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3... Ao observar, percebemos que se torna um pouco di cil encontrar um padrão, pois o intervalo entre os termos não é constante. Contudo, devemos agrupar uma quan dade maior de termos, transformando-os em termos maiores.

Assim, percebe-se que agrupando [1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2][1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2] [1, 2, 3...] criam-se termos com maior quan dade de números. Cada termo possui 8 números.

Se quisermos o termo de posição 2007º, calcularemos assim:

– 2007 8 Grupos de 8 números

2000 250 Termos de oito números

7 Sobram 7 posições

O número estará na 7ª posição. Logo, na sequência 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, será o número 3 (três).

Sequências Alfabé cas

Da mesma maneira que temos as sequências numéricas, em que os termos são cons tuídos de números, podemos construir uma sequência alfabé ca, na qual os termos são letras, possuindo também uma lei de formação.

Um exemplo de sequência alfabé ca pode ser a seguin-te: {a, e, i, o, u} – os termos da sequência são as vogais do alfabeto.

Um outro exemplo de sequência alfabé ca pode ser: {a, c, e, g, i...} – os termos da sequência são as letras que ocupam as posições ímpares do alfabeto.

Em muitas provas de concursos públicos temos questões que envolvem sequências alfabé cas. Nelas o candidato é subme do a interpretar qual a lei de formação, ou qual o padrão u lizado para construção da série disposta.

Exemplo:Observe que há uma relação entre os dois primeiros

grupos de letras apresentados abaixo. A mesma relação deve exis r entre o terceiro e o quarto grupo, que está faltando.

DFGJ: HJLO:: MOPS: ?

Considerando que as letras K, Y e W não pertencem ao alfabeto ofi cial usado, o grupo de letras que subs tuiria corretamente o ponto de interrogação é QSTX, uma vez que, dada a primeira parte DFGJ: HJLO, da letra D para a letra H saltaram-se três letras (E, F e G), da letra F para a letra J saltaram-se também três letras, da letra G para a letra L saltaram-se também três e da mesma forma da letra J para a letra O. Na segunda parte temos que analisar seguindo o

mesmo padrão. Par ndo das letras M, O, P e S, e saltando três letras, teremos QSTX.

Um desafi o para você! Na sucessão de fi guras seguintes, as letras do alfabeto ofi cial foram dispostas segundo um determinado padrão.

A C E ? I L N

Z V T ? P N L

Considerando que o alfabeto ofi cial exclui as letras K, Y e W, então, para que o padrão seja man do, a fi gura que deve subs tuir aquela que tem os pontos de interrogação é

a) I b) H c) H d) G e) G

R T R T R

Resposta: e.

Sequências com Figuras

As sequências com fi guras exigem dos candidatos uma percepção de objetos ligados a um determinado padrão. A prá ca determinará uma melhor interpretação de tais pro-blemas, uma vez que as bancas que cobram essas questões seguem um determinado raciocínio.

Vejamos alguns exemplos de sequências com fi guras.

1. Observe que há uma relação entre as duas primeiras fi guras representadas na sequência abaixo.

está para assim como está para...

A mesma relação deve exis r entre a terceira fi gura e a quarta, que está faltando. Essa quarta fi gura é

a) d)

b) e)

c)

A resposta é a letra e, uma vez que a primeira fi gura está para segunda, obedecendo ao seguinte padrão: a parte interna da fi gura ora fi ca hachurada, ora não; e a parte externa segue o mesmo esquema. A fi gura também vai realizando um movimento de rotação. Logo, temos que a úl ma fi gura, o retângulo, fi cará na posição ver cal, e serão inver das as regiões hachuradas.

2. Escolha, entre as fi guras, a que deve ocupar a vaga assinalada pela interrogação.

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RA

CIO

CÍN

IO L

ÓG

ICO

E M

ATEM

ÁTIC

ORA

CIO

CÍN

IO L

ÓG

ICO

E M

ATEM

ÁTIC

O

a) b) c) d) e)

Observe nessa sequência tanto a posição dos braci-nhos alternando-se, como a posição das perninhas se abrindo e fechando. Da primeira fi gura para a terceira, os bracinhos se alternam e as perninhas fi cam na mesma posição. Da segunda fi gura para a quarta (desejada), as perninhas permanecem na mesma posição e os bra-cinhos se alternam.

Resposta: d.

3. Escolha, entre as fi guras, a que deve ocupar a vaga assinalada pela interrogação.

a) b) c) d) e)

Observe nessa questão que há uma inversão nopreenchimento das regiões e que a fi gura posterior é a parte interna da anterior. Logo, a fi gura que subs tuirá o ponto de interrogação deve ser o triângulo interno, alternando sua cor.

Resposta: a.

Podemos dizer que a prá ca das questões envolvendo sequências de fi guras é a melhor forma de o candidato entender os padrões estabelecidos pelas bancas.

QUESTÕES DA FCC COM FIGURAS E SEQUÊNCIA

2006

1. Se x e y são números inteiros tais que x é par e y é ímpar, então é correto afi rmar quea) X + y é par.b) X + 2y é ímpar.c) 3X – 5y é par.d) X x y é ímpar.e) 2X – y é ímpar.

2. Observe que há uma relação entre os dois primeiros grupos de letras apresentados abaixo. A mesma relação deve exis r entre o terceiro e quarto grupo, que está faltando.

DFGJ : HJLO :: MOPS : ?

Considerando que as letras K, Y e W não pertencem ao alfabeto ofi cial usado, o grupo de letras que subs tuiria corretamente o ponto de interrogação éa) OQRU. c) QSTX. e) RTUZ.b) QSTV. d) RTUX.

3. O esquema abaixo representa a subtração de dois números inteiros, em que alguns algarismos foram subs tuídos pelas letras X, Y, Z e T.

Ob do o resultado correto, a soma X + Y + Z + T é igual aa) 12.b) 14.c) 15.

d) 18.e) 21.

4. As afi rmações seguintes são resultados de uma pesquisa feita entre os funcionários de certa empresa.– Todo indivíduo que fuma tem bronquite.– Todo indivíduo que tem bronquite costuma faltar ao

trabalho.

Rela vamente a esses resultados, é correto concluir quea) existem funcionários fumantes que não faltam ao

trabalho.b) todo funcionário que tem bronquite é fumante.c) todo funcionário fumante costuma faltar ao traba-

lho.d) é possível que exista algum funcionário que tenha

bronquite e não falte habitualmente ao trabalho.e) é possível que exista algum funcionário que seja

fumante e não tenha bronquite.

5. Sabe-se que os pontos marcados nas faces opostas de um dado devem somar 7 pontos. Assim sendo, qual das fi guras seguintes não pode ser a planifi cação de um dado?

a)

b)

c)

d)

e)

6. Os termos da sequência (2, 5, 8, 4, 8, 12, 6, 11, 16,....) são ob dos por meio de uma lei de formação. A soma

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RA

CIO

CÍN

IO L

ÓG

ICO

E M

ATEM

ÁTIC

ORA

CIO

CÍN

IO L

ÓG

ICO

E M

ATEM

ÁTIC

O

do décimo e do décimo segundo termos dessa sequên-cia, ob dos segundo essa lei, éa) 28.b) 27.c) 26.

d) 25.e) 24.

7. A sequência de fi guras abaixo foi construída obedecen-do a determinado padrão.

Segundo esse padrão, a fi gura que completa a sequên-cia é:

a) d)

b) e)

c)

8. Na sentença abaixo, falta a úl ma palavra. Procure nas alterna vas a palavra que melhor completa essa sentença.

Estava no portão de entrada do quartel, em frente à guarita; se es vesse fardado, seria tomado por ...a) comandante.b) ordenança.c) guardião.d) porteiro.e) sen nela.

9. Das 30 moedas que estão no caixa de uma padaria, sabe-se que todas têm apenas um dos três valores: 5 centavos, 10 centavos e 25 centavos. Se as quan dades de moedas de cada valor são iguais, de quantos mo-dos poderá ser dado um troco de 1 real a um cliente, usando-se exatamente 12 dessas moedas?a) Três.b) Quatro.c) Cinco.d) Seis.e) Sete.

10. Aluísio, Bento e Casimiro compraram, cada um, um único terno e uma única camisa. Considere que:– tanto os ternos quanto as camisas compradas eram

nas cores branca, preta e cinza;– apenas Aluísio comprou terno e camisa nas mesmas

cores;– nem o terno e nem a camisa comprados por Bento

eram brancos;– a camisa comprada por Casimiro era cinza.

Nessas condições, é verdade quea) o terno comprado por Bento era preto e a camisa

era cinza.b) a camisa comprada por Aluísio era branca e o terno

comprado por Casimiro era preto.c) o terno comprado por Bento era preto e a camisa

comprada por Aluísio era branca.d) os ternos comprados por Aluísio e Casimiro eram

cinza e preto, respec vamente.e) as camisas compradas por Aluísio e Bento eram preta

e branca, respec vamente.

11. Uma pessoa tem 7 bolas de mesmo peso e, para calcular o peso de cada uma, colocou 5 bolas em um dos pratos de uma balança e o restante junto com uma barra de ferro de 546 gramas, no outro prato. Com isso, os pratos da balança fi caram totalmente equilibrados. O peso de cada bola, em gramas, é um númeroa) maior que 190.b) entre 185 e 192.c) entre 178 e 188.d) entre 165 e 180.e) menor que 170.

12. Para um grupo de funcionários, uma empresa oferece cursos para somente dois idiomas estrangeiros: inglês e espanhol. Há 105 funcionários que pretendem estudar inglês, 118 que preferem espanhol e 37 que pretendem estudar simultaneamente os dois idiomas. Se 1/7 do total de funcionários desse grupo não pretende estu-dar qualquer idioma estrangeiro, então o número de elementos do grupo éa) 245.b) 238.c) 231.

d) 224.e) 217.

13. Suponha que, num banco de inves mento, o grupo responsável pela venda de tulos é composto de três elementos. Se, num determinado período, cada um dos elementos do grupo vendeu 4 ou 7 tulos, o total de tulos vendidos pelo grupo é sempre um número múl plo dea) 3.b) 4.c) 5.

d) 6.e) 7.

14. Os clientes de um banco contam com um cartão magné- co e uma senha pessoal de quatro algarismos dis ntos

entre 1.000 e 9.999. A quan dade dessas senhas, em que a diferença posi va entre o primeiro algarismo e o úl mo algarismo é 3, é igual aa) 936.b) 896.c) 784.

d) 768.e) 728.

15. Na sequência dos quadriculados a seguir, as células pretas foram colocadas obedecendo a um determinado padrão.

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RA

CIO

CÍN

IO L

ÓG

ICO

E M

ATEM

ÁTIC

ORA

CIO

CÍN

IO L

ÓG

ICO

E M

ATEM

ÁTIC

O

Mantendo esse padrão, o número de células brancas

na Figura V seráa) 101.b) 99.c) 97.

d) 83.e) 81.

16. Das 5 fi guras abaixo, 4 delas têm uma caracterís ca geométrica em comum, enquanto uma delas não tem essa caracterís ca.

A fi gura que não tem essa caracterís ca é aa) I.b) II.c) III.

d) IV.e) V.

17. Na fi gura abaixo, tem-se um conjunto de ruas paralelas às direções I e II indicadas.

Sabe-se que 64 pessoas partem de P: metade delas na direção I, a outra metade na direção II. Con nuam a ca-minhada e, em cada cruzamento, todos os que chegam se dividem prosseguindo metade na direção I e metade na direção II. O número de pessoas que chegarão nos cruzamentos A e B são, respec vamente,a) 15 e 20.b) 6 e 20.c) 6 e 15.

d) 1 e 15.e) 1 e 6.

18. Considere a fi gura abaixo.

Supondo que as fi guras apresentadas nas alterna vas abaixo possam apenas ser deslizadas sobre o papel, aquela que coincidirá com a fi gura dada é:

a)

b)

c)

d)

e)

19. Analise a fi gura abaixo.

O maior número de triângulos dis ntos que podem ser vistos nessa fi gura é:a) 20.b) 18.c) 16.

d) 14.e) 12.

20. Um quadrado de madeira é dividido em 5 pedaços como mostra a fi gura:

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RA

CIO

CÍN

IO L

ÓG

ICO

E M

ATEM

ÁTIC

ORA

CIO

CÍN

IO L

ÓG

ICO

E M

ATEM

ÁTIC

O

Todas as fi guras a seguir podem ser ob das por meio de uma reordenação dos 5 pedaços, exceto uma. Indique-a.

a)

b)

c)

d)

e)

21. Um certo jogo consiste em colocar onze pessoas em círculo e numerá-las de 1 a 11. A par r da pessoa que recebeu o número 1, incluindo-a, conta-se de 3 em 3, na ordem natural dos números, e cada 3ª pessoa é eliminada, ou seja, são eliminadas as pessoas de números 3, 6 etc. Depois de iniciada, a contagem não será interrompida, ainda que se complete uma volta. Nesse caso, a contagem con nua normalmente com aqueles que ainda não foram eliminados. Vence quem sobrar. O vencedor é a pessoa de número:a) 2.b) 5.c) 7.

d) 9.e) 11.

22. Na fi gura acima, quantos caminhos diferentes levam de A a E, não passando por F e sem passar duas vezes por um mesmo ponto?a) 6.b) 5.c) 4.

d) 3.e) 2.

23. Uma loja de ar gos domés cos vende garfos, facas e colheres. Cada um desses ar gos tem seu próprio preço. Comprando-se 2 colheres, 3 garfos e 4 facas, paga-se R$13,50. Comprando-se 3 colheres, 2 garfos e 1 faca, paga-se R$8,50. Pode-se afi rmar que, comprando-se 1 colher, 1 garfo e 1 faca, pagar-se-á, em reais:a) 3,60.b) 4,40.c) 5,30.

d) 6,20.e) 7,00.

24. Em um quarto totalmente escuro, há uma gaveta com 3 pares de meias brancas e 4 pares de meias pretas. Devido à escuridão, é impossível ver a cor das meias. Quantas meias devem ser re radas para que se tenha certeza de que, entre as meias re radas, haja pelo menos um par de meias pretas?a) 8.b) 6.c) 5.

d) 4.e) 2.

25. Na Consoantelândia, fala-se o consoantês. Nessa língua, existem 10 letras: 6 do po I e 4 do po II.

– As letras do po I são: b, d, h, k, l, t. – As letras do po II são: g, p, q, y.

Nessa língua, só há uma regra de acentuação: uma palavra só será acentuada se ver uma letra do po II precedendo uma letra do po I. Pode-se afi rmar que:a) dhtby é acentuada.b) pyg é acentuada.c) kpth não é acentuada.d) kydd é acentuada.e) btdh é acentuada.

26. Na sequência (1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...) o número que sucede 22 é:a) 28.b) 29.c) 30.

d) 31.e) 32.

27. Dado o cubo ABCDEFGH de arestas medindo 1, pode-se afi rmar que a distância entre:a) um ponto do segmento BE e um ponto do segmento

DH é sempre maior que 1.b) um ponto do segmento BE e um ponto do segmento

BH é sempre maior que 0.c) um ponto do segmento CD e um ponto do segmento

EF é sempre maior que 1.d) os pontos G e D é 1.e) os pontos A e H é igual à distância entre B e C.

28. A seguir, tem-se um fragmento de uma das composições de Caetano Veloso.

“Luz do sol Que a folha traga e traduz Em verde novo, Em folha, em graça, em vida, em força, em luz.”

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RA

CIO

CÍN

IO L

ÓG

ICO

E M

ATEM

ÁTIC

ORA

CIO

CÍN

IO L

ÓG

ICO

E M

ATEM

ÁTIC

O

A par r da leitura do fragmento, pode-se afi rmar que:

a) todos os dias, pode-se ver de novo a graça da natu-reza (do “verde”).

b) a folha traz a luz do sol para si a fi m de traduzi-la em novas folhas.

c) a luz do sol é a fonte de toda vida.d) o texto fala da fotossíntese.e) a luz do sol é fonte de energia gratuita.

29. A seção “Dia a dia”, do Jornal da Tarde de 6 de janeiro de 1996, trazia esta nota:

“Técnicos da CETESB já nham re rado, até o fi m da tarde de ontem, 75 litros da gasolina que penetrou nas galerias de águas pluviais da Rua João Boemer, no Pari, Zona Norte. A gasolina se espalhou pela galeria devido ao tombamento de um tambor num posto de gasolina desa vado.”

De acordo com a nota, a que conclusão se pode chegar a respeito da quan dade de litros de gasolina vazada do tambor para as galerias pluviais?a) Corresponde a 75 litros.b) É menor do que 75 litros.c) É maior do que 75 litros.d) É impossível ter qualquer ideia a respeito da quan-

dade de gasolina.e) Se se considerar a data de publicação do jornal e o

dia do acidente, vazaram 150 litros de gasolina.

30. Suponha que todos os professores sejam poliglotas e todos os poliglotas sejam religiosos. Pode-se concluir que, se:a) João é religioso, João é poliglota.b) Pedro é poliglota, Pedro é professor.c) Joaquim é religioso, Joaquim é professor.d) Antônio não é professor, Antônio não é religioso.e) Cláudio não é religioso, Cláudio não é poliglota.

31. Sejam a, b e c números reais dis ntos, sobre os quais afi rma-se:

I – Se b > a e c > b, então c é o maior dos três números. II – Se b > a e c > a, então c é o maior dos três números. III – Se b > a e c > a, então a é o menor dos três números.

É correta a afi rma va:a) I, somente.b) II, somente.c) III, somente.d) I e III, somente.e) I, II e III.

32. Se todo Y é Z e existem X que são Y, pode-se con-cluir que:a) existem X que são Z.b) todo X é Z.c) todo X é Y.d) todo Y é X.e) todo Z é Y.

33. Considere as seguintes fi guras geométricas: Triângulo – Retângulo – Círculo – Quadrado – Losango A única dessas fi guras que não apresenta uma caracte-

rís ca comum às demais é oa) triângulo.b) retângulo.c) círculo.d) quadrado.e) losango.

34. Na sucessão de fi guras seguintes, as letras do alfabeto ofi cial foram dispostas segundo um determinado pa-drão.

Considerando que o alfabeto ofi cial exclui as letras K, Y e W, então, para que o padrão seja man do, a fi gura que deve subs tuir aquela que tem os pontos de inter-rogação é:

a) c) e)

b) d)

35. Observe as seguintes sequências de números:

(1,0,0,1) – (4,3,3,4) – (5,4,4,5) – (6,7,7,6) – (9,8,8,9)

A sequência que não apresenta as mesmas caracterís- cas das demais é:

a) (1,0,0,1).b) (4,3,3,4).c) (5,4,4,5).

d) (6,7,7,6).e) (9,8,8,9).

36. Qual o melhor complemento para a sentença “O mel está para a abelha assim como a pérola está para ...”?a) o colar.b) a ostra.c) o mar.

d) a vaidade.e) o peixe.

37. Os números no interior do círculo representado na fi gura abaixo foram colocados a par r do número 2 e no sen do horário, obedecendo a um determinado critério.

Segundo o critério estabelecido, o número que deverá subs tuir o ponto de interrogação é:a) 42.b) 44.c) 46.

d) 50.e) 52.

38. A sentença seguinte é seguida de um número entre parênteses, que corresponde ao número de letras de uma palavra que se aplica à defi nição dada.

Cidade que abriga a sede do governo de um Estado.(7) A alterna va onde se encontra a letra inicial de tal

palavra é:a) B.b) C.c) M.

d) P.e) S.

55

RA

CIO

CÍN

IO L

ÓG

ICO

E M

ATEM

ÁTIC

ORA

CIO

CÍN

IO L

ÓG

ICO

E M

ATEM

ÁTIC

O

39. Observe que há uma relação entre as duas primeiras fi guras representadas abaixo. A mesma relação deve exis r entre a terceira fi gura e a quarta, que está fal-tando.

A quarta fi gura é:

a)

b)

c)

d)

e)

40. Observe a fi gura abaixo.

Se ela pudesse ser deslizada sobre esta folha de papel, com qual das fi guras seguintes ela coincidiria?

a) d)

b) e)

c)

41. No quadro seguinte, as letras A e B subs tuem os sím-bolos das operações que devem ser efetuadas em cada linha a fi m de obter-se o correspondente resultado que se encontra na coluna da extrema direita.

Para que o resultado da terceira linha seja correto, o ponto de interrogação deverá ser subs tuído pelo númeroa) 6.b) 5.c) 4.d) 3.e) 2.

42. Alcides, Ferdinando e Reginaldo foram a uma lancho-nete e pediram lanches dis ntos entre si, cada qual cons tuído de um sanduíche e uma bebida. Sabe-se também que:– os pos de sanduíches pedidos eram de presunto,

misto quente e hambúrguer;– Reginaldo pediu um misto quente;– um deles pediu um hambúrguer e um suco de laranja;– Alcides pediu um suco de uva;– um deles pediu suco de acerola.

Nessas condições, é correto afi rmar quea) Alcides pediu o sanduíche de presunto.b) Ferdinando pediu o sanduíche de presunto.c) Reginaldo pediu suco de laranja.d) Ferdinando pediu suco de acerola.e) Alcides pediu o hambúrguer.

43. Na sucessão de fi guras seguintes as letras foram colo-cadas obedecendo a um determinado padrão.

Se a ordem alfabé ca adotada exclui as letras K, W e Y, então, completando-se corretamente a fi gura que tem os pontos de interrogação obtém-se

a) d)

b) e)

c)

44. Das seis palavras seguintes, cinco deverão ser agrupadas segundo uma caracterís ca comum.

CARRETA – CANHADA – CAMADA – CREMADA –CANHOTO – CARRINHO

56

RA

CIO

CÍN

IO L

ÓG

ICO

E M

ATEM

ÁTIC

ORA

CIO

CÍN

IO L

ÓG

ICO

E M

ATEM

ÁTIC

O

A palavra a ser descartada é:a) canhoto.b) cremada.c) camada.

d) canhada.e) carreta.

45. Considere que, no interior do círculo abaixo os números foram colocados, sucessivamente e no sen do horário, obedecendo a um determinado critério.

Se o primeiro número colocado foi o 7, o número a ser colocado no lugar do ponto de interrogação está compreendido entrea) 50 e 60.b) 60 e 70.c) 70 e 80.

d) 80 e 90.e) 90 e 100.

46. Na sentença abaixo falta a úl ma palavra. Procure nas alterna vas a palavra que melhor completa essa sentença.

A empresa está revendo seus obje vos e princípios à procura das causas que obstruí ram o tão esperado sucesso e provocaram esse inesperadoa) êxito.b) susto.c) malogro.

d) fulgor.e) lucro.

47. Se um livro tem 400 páginas numeradas de 1 a 400, quantas vezes o algarismo 2 aparece na numeração das páginas desse livro?a) 160.b) 168.c) 170.

d) 176.e) 180.

48. Considere a fi gura abaixo:

Se você pudesse fazer uma das fi guras seguintes deslizar sobre o papel, aquela que, quando sobreposta à fi gura dada, coincidiria exatamente com ela é:

a) d)

b) e)

c)

49. Considere a sequência:

(16, 18, 9, 12, 4, 8, 2, X)

Se os termos dessa sequência obedecem a uma lei de formação, o termo X deve ser igual aa) 12.b) 10.c) 9.

d) 7.e) 5.

50. Uma pessoa dispõe apenas de moedas de 5 e 10 centa-vos, totalizando a quan a de R$ 1,75. Considerando que ela tem pelo menos uma moeda de cada po, o total de moedas que ela possui poderá ser no máximo igual aa) 28.b) 30.c) 34.

d) 38.e) 40.

51. Alice, Bruna e Carla, cujas profi ssões são advogada, den sta e professora, não necessariamente nesta or-dem, veram grandes oportunidades para progredir em sua carreira: uma delas foi aprovada em um concurso público; outra recebeu uma ó ma oferta de emprego e a terceira, uma proposta para fazer um curso de es-pecialização no exterior.

Considerando que: – Carla é professora; – Alice recebeu a proposta para fazer o curso de espe-

cialização no exterior; – a advogada foi aprovada em um concurso público; é correto afi rmar que

a) Alice é advogada.b) Bruna é advogada.c) Carla foi aprovada no concurso público.d) Bruna recebeu a oferta de emprego.e) Bruna é den sta.

GABARITO

1. e2. c3. d4. c5. b6. a7. d8. e9. a

10. b11. c12. e13. a14. e15. a16. c17. b18. d19. b20. d21. c22. e23. b24. a25. d26. b

27. c28. d29. c30. e31. d32. a33. c34. e35. d36. b37. a38. b39. c40. e41. d42. a43. a44. b45. d46. c47. e48. a49. d50. c51. b