Universidade Federal de Juiz de Fora

Faculdade de Engenharia

Departamento de Mecanica Aplicada e Computacional

Apostila de Resistencia dosMateriais I

Prof. Joao Chafi HallackProf. Afonso Celso de Castro Lemonge(afonso.lemonge@ufjf.edu.br)

Prof. Flavio de Souza Barbosa (flavio.barbosa@ufjf.edu.br)Profa. Patrcia Habib Hallak (patriciahallak@yahoo.com)

Novembro de 2012

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Sumario

1 Introducao 51.1 Aspectos gerais do curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Objetivos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Ementa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Programa e distribuicao das aulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Visao geral do conteudo do curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Um conceito de calculo estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Pressupostos e hipoteses basicas da Resistencia dos Materiais . . . . 121.2.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 O Metodo das Secoes e Esforcos Internos 152.1 O Metodo das Secoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Esforcos Internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Classificacao dos Esforcos Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Casos Particulares Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5 Exerccios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Introducao a Analise de Tensoes e Deformacoes 263.1 Estudo das tensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.3 O Tensor de tensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2 Estudo das deformacoes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.2 Componentes de Deformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Relacoes entre tensoes e deformacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.1 O Teste ou Ensaio de Tracao: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.2 Ensaio de Compressao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3.3 O ensaio de torcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3.4 Lei de Hooke generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4 Tensoes e Deformacoes em Barras de Eixo Reto . . . . . . . . . . . . . . . 493.4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.4.2 Relacoes gerais entre esforcos e tensoes . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

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4 Solicitacao por esforco normal 554.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5 Solicitacao por momento torsor 725.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.2 Analise de tensoes e deformacoes na torcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.3 Calculo do angulo de torcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.4 Torque Aplicado ao eixo na Transmissao de Potencia . . . . . . . . . . . . 775.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.6 Torcao em tubos de paredes delgadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6 Solicitacao por momento fletor 916.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.2 Calculo das Tensoes Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.4 Varias formas da secao transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.4.1 Secoes simetricas ou assimetricas em relacao a LN . . . . . . . . . . 1026.4.2 Secoes simetricas a LN - Secoes I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.6 Vigas de dois materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.6.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.6.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.7 Flexao Inelastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.7.1 Exemplos de aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.7.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7 Solicitacao por Esforco Cortante em Vigas 1287.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.2 Tensoes de Cisalhamento em Vigas de Secao Retangular Constante . . . . 1307.3 Tensoes de Cisalhamento em Vigas de Secao de Diferentes Formas . . . . . 1337.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

8 Deflexao em vigas de eixo reto 1418.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.2 Equacao diferencial da LE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

9 Problemas estaticamente indeterminados 1619.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

9.1.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

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AgradecimentosEsta apostila possui diversas partes extradas da apostila de Resistencia

dos Materiais do Prof. Joao Chafi Hallack que dedicou parte de sua vidaacademica ao magisterio da disciplina Resistencia dos Materiais na UFJF

e a quem gostaramos de agradecer pelas diversas contribuicoes presentesneste material. O Estudante Diego Fernandes Balbi contribuiu na revisaodesta apostila realizada no primeiro semestre de 2012.

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Captulo 1

Introducao

1.1 Aspectos gerais do curso

1.1.1 Objetivos Gerais

Fornecer ao aluno conhecimentos basicos das propriedades mecanicas dos

solidos reais, com vistas a sua utilizacao no projeto e calculo de estruturas.Os objetivos do curso sao: Capacitar o aluno ao calculo de tensoes e de-

formacoes causadas pelos esforcos simples, no regime da elasticidade, bemcomo a resolucao de problemas simples de dimensionamento, avaliacao everificacao.

1.1.2 Ementa

Princpios e Objetivos da Resistencia dos Materiais. Metodos de Analise.Tensoes e Deformacoes. Tracao e Compressao Simples. Cisalhamento Sim-

ples. Torcao. Flexao Pura em Vigas. Tensoes de Cisalhamento em Vigas.Deformacoes em Vigas.

1.1.3 Programa e distribuicao das aulas

1. Introducao (2 aulas)

2. Tensoes (4 aulas)

3. Deformacoes (2 aulas)

4. Relacoes entre tensoes e deformacoes (2 aulas)

5. Tensoes e deformacoes em barras

(a) Solicitacao por esforco normal (6 aulas)

(b) Solicitacao por momento torsor ( 6 aulas)

5

(c) Solicitacao por momento fletor (10 aulas)

(d) Solicitacao por esforco cortante (6 aulas)

6. Linha elastica em vigas sujeitas a flexao (6 aulas)

7. Provas, atividades extras (12 aulas)

1.2 Visao geral do conteudo do curso

Este captulo visa dar uma visao geral sobre o estudo de resistencia dos

materiais e suas hipoteses basicas, da organizacao deste texto e da formacom que cada captulo abrange o conteudo da disciplina.

O estudo da Resistencia dos Materiais tem por objetivo fornecer co-nhecimentos basicos das propriedades mecanicas de solidos reais, visandoutiliza-los no projeto, modelagem e calculo de estruturas.

Por esta razao, em muitos cursos de Engenharia (Civil, Mecanica, Naval,Eletrica, etc) esta disciplina e intitulada Introducao a Mecanica dos Solidos

ou simplesmente Mecanica dos Solidos.A boa compreensao dos conceitos que envolvem a mecanicas de solidos

esta intimamente ligada ao estudo de duas grandezas fsicas: que sao atensao e a deformacao, que serao abordadas durante todo o tempo neste

curso.Estas duas grandezas fsicas sao fundamentais nos procedimentos que

envolvem o calculo de uma estrutura. Mas o que e uma estrutura? Es-

trutura e a parte resistente de uma construcao e e constituda de diversoselementos estruturais que podem ser classificados como:

blocos - os blocos sao elementos estruturais nos quais tem-se as tresdimensoes (imaginando-se um retangulo envolvente) com valores sig-

nificativos numa mesma ordem de grandeza. Alguns exemplos saomostrados nas Figuras 1.1.

placas - sao elementos estruturais para os quais uma das dimensoes(espessura) e bastante inferior as demais. Alguns exemplos sao mos-trados nas Figuras 1.2 e 1.3. As placas curvas sao denominadas de

cascas. Exemplos nas Figuras 1.4.

barras - sao elementos estruturais para os quais duas das dimensoes(largura e altura) sao bastante inferiores a terceira (comprimento).Podem ser retas (vigas, pilares, tirantes e escoras) ou curvas (arcos).

Alguns exemplos sao mostrados na Figura 1.5 onde tem-se a concepcao

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(a) F