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MEC ˆ ANICA - MAC010 Departamento de Mecˆ anica Aplicada e Computacional MEC ˆ ANICA - MAC010 Departamento de Mecˆ anica Aplicada e Computacional 2 de dezembro de 2009

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Computacional

MECANICA - MAC010

Departamento de Mecanica Aplicada e Computacional

2 de dezembro de 2009

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Produto de inercia de areas

O momento de inercia de uma area e diferente para cadaeixo em relacao ao qual ele e calculado.

Em algumas aplicacoes estruturais ou mecanicas e precisoconhecer a orientacao dos eixos em relacao aos quais se tem,respectivamente, o maximo e o mınimo momentos de inercia.

Para este fim, e necessario calcular o produto de inercia e os

momentos de inercia da area em relacao a um par de eixos

x,y.

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Definicao

O Produto de inercia de um elemento de area dA localizado

no ponto de coordenadas x , y e: dIxy = xydA

Entao, para a area A, o produto de inercia e:

Ixy =

∫A

xydA

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CaracterısticasO produto de inercia tem unidade de comprimento elevado aquarta potencia.

Pode ser: positivo, negativo ou nulo (quando x ou y e umeixo de simetria).

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Teorema dos eixos paralelos

Ixy =

∫A

xydA =

∫A(x ′ + ∆x)(y

′ + ∆y )dA

Ixy =

∫A

x ′y ′dA + ∆x

∫A

y ′dA + ∆y

∫A

x ′dA + ∆x∆y

∫A

dA

Ixy = I x ′y ′ + A∆x∆y

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Teorema dos eixos paralelos

Ixy =

∫A

xydA =

∫A(x ′ + ∆x)(y

′ + ∆y )dA

Ixy =

∫A

x ′y ′dA + ∆x

∫A

y ′dA + ∆y

∫A

x ′dA + ∆x∆y

∫A

dA

Ixy = I x ′y ′ + A∆x∆y

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Teorema dos eixos paralelos

Ixy =

∫A

xydA =

∫A(x ′ + ∆x)(y

′ + ∆y )dA

Ixy =

∫A

x ′y ′dA + ∆x

∫A

y ′dA + ∆y

∫A

x ′dA + ∆x∆y

∫A

dA

Ixy = I x ′y ′ + A∆x∆y

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Teorema dos eixos paralelos

Ixy =

∫A

xydA =

∫A(x ′ + ∆x)(y

′ + ∆y )dA

Ixy =

∫A

x ′y ′dA + ∆x

∫A

y ′dA + ∆y

∫A

x ′dA + ∆x∆y

∫A

dA

Ixy = I x ′y ′ + A∆x∆y

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Exemplo

Determinar Ixy empregando o teorema dos eixos paralelos.

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Exercıcio proposto

Determinar o produto de inercia da area da secao transversal

da viga mostrada abaixo em relacao aos eixos que passam

pelo centroide C.

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Produto de inercia de uma area em

relacao a eixos inclinados

Sao empregadas leis de transformacao que relacionam os

momentos e o produto de inercia de uma area em relacao a

um par de eixos inclinados x ′ e y ′ com os relativos a um

sistema x ,y .

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Computacional

Produto de inercia de uma area em

relacao a eixos inclinados

Sao empregadas leis de transformacao que relacionam os

momentos e o produto de inercia de uma area em relacao a

um par de eixos inclinados x ′ e y ′ com os relativos a um

sistema x ,y .

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Produto de inercia de uma area em

relacao a eixos inclinados

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Produto de inercia de uma area em

relacao a eixos inclinados

Leis de transformacao:

x ′ = x cos θ + y sin θ

y ′ = y cos θ − x sin θ

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Produto de inercia de uma area em

relacao a eixos inclinados

Leis de transformacao:

x ′ = x cos θ + y sin θ

y ′ = y cos θ − x sin θ

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Produto de inercia de uma area em

relacao a eixos inclinados

x ′ = x cos θ + y sin θ y ′ = y cos θ − x sin θ

Momentos e produto de inercia de dA em relacao a x’ e y’:

dIx ′ = y ′2dA

= (y cos θ − x sin θ)2dA

dIy ′ = x ′2dA = (x cos θ + y sin θ)2dA

dIx ′y ′ = x ′y ′dA = (x cos θ + y sin θ)(y cos θ − x sin θ)dA

Expandindo e integrando:Ix ′ = Ix cos2 θ + Iy sin2 θ − 2Ixy sin θ cos θ

Iy ′ = Ix sin2 θ + Iy cos2 θ + 2Ixy sin θ cos θ

Ix ′y ′ = Ix sin θ cos θ − Iy sin θ cos θ + Ixy (cos2 θ − sin2 θ)

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Produto de inercia de uma area em

relacao a eixos inclinados

x ′ = x cos θ + y sin θ y ′ = y cos θ − x sin θ

Momentos e produto de inercia de dA em relacao a x’ e y’:

dIx ′ = y ′2dA = (y cos θ − x sin θ)2dA

dIy ′ = x ′2dA = (x cos θ + y sin θ)2dA

dIx ′y ′ = x ′y ′dA = (x cos θ + y sin θ)(y cos θ − x sin θ)dA

Expandindo e integrando:Ix ′ = Ix cos2 θ + Iy sin2 θ − 2Ixy sin θ cos θ

Iy ′ = Ix sin2 θ + Iy cos2 θ + 2Ixy sin θ cos θ

Ix ′y ′ = Ix sin θ cos θ − Iy sin θ cos θ + Ixy (cos2 θ − sin2 θ)

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Produto de inercia de uma area em

relacao a eixos inclinados

x ′ = x cos θ + y sin θ y ′ = y cos θ − x sin θ

Momentos e produto de inercia de dA em relacao a x’ e y’:

dIx ′ = y ′2dA = (y cos θ − x sin θ)2dA

dIy ′ = x ′2dA

= (x cos θ + y sin θ)2dA

dIx ′y ′ = x ′y ′dA = (x cos θ + y sin θ)(y cos θ − x sin θ)dA

Expandindo e integrando:Ix ′ = Ix cos2 θ + Iy sin2 θ − 2Ixy sin θ cos θ

Iy ′ = Ix sin2 θ + Iy cos2 θ + 2Ixy sin θ cos θ

Ix ′y ′ = Ix sin θ cos θ − Iy sin θ cos θ + Ixy (cos2 θ − sin2 θ)

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Produto de inercia de uma area em

relacao a eixos inclinados

x ′ = x cos θ + y sin θ y ′ = y cos θ − x sin θ

Momentos e produto de inercia de dA em relacao a x’ e y’:

dIx ′ = y ′2dA = (y cos θ − x sin θ)2dA

dIy ′ = x ′2dA = (x cos θ + y sin θ)2dA

dIx ′y ′ = x ′y ′dA = (x cos θ + y sin θ)(y cos θ − x sin θ)dA

Expandindo e integrando:Ix ′ = Ix cos2 θ + Iy sin2 θ − 2Ixy sin θ cos θ

Iy ′ = Ix sin2 θ + Iy cos2 θ + 2Ixy sin θ cos θ

Ix ′y ′ = Ix sin θ cos θ − Iy sin θ cos θ + Ixy (cos2 θ − sin2 θ)

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Produto de inercia de uma area em

relacao a eixos inclinados

x ′ = x cos θ + y sin θ y ′ = y cos θ − x sin θ

Momentos e produto de inercia de dA em relacao a x’ e y’:

dIx ′ = y ′2dA = (y cos θ − x sin θ)2dA

dIy ′ = x ′2dA = (x cos θ + y sin θ)2dA

dIx ′y ′ = x ′y ′dA

= (x cos θ + y sin θ)(y cos θ − x sin θ)dA

Expandindo e integrando:Ix ′ = Ix cos2 θ + Iy sin2 θ − 2Ixy sin θ cos θ

Iy ′ = Ix sin2 θ + Iy cos2 θ + 2Ixy sin θ cos θ

Ix ′y ′ = Ix sin θ cos θ − Iy sin θ cos θ + Ixy (cos2 θ − sin2 θ)

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Produto de inercia de uma area em

relacao a eixos inclinados

x ′ = x cos θ + y sin θ y ′ = y cos θ − x sin θ

Momentos e produto de inercia de dA em relacao a x’ e y’:

dIx ′ = y ′2dA = (y cos θ − x sin θ)2dA

dIy ′ = x ′2dA = (x cos θ + y sin θ)2dA

dIx ′y ′ = x ′y ′dA = (x cos θ + y sin θ)(y cos θ − x sin θ)dA

Expandindo e integrando:Ix ′ = Ix cos2 θ + Iy sin2 θ − 2Ixy sin θ cos θ

Iy ′ = Ix sin2 θ + Iy cos2 θ + 2Ixy sin θ cos θ

Ix ′y ′ = Ix sin θ cos θ − Iy sin θ cos θ + Ixy (cos2 θ − sin2 θ)

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Produto de inercia de uma area em

relacao a eixos inclinados

x ′ = x cos θ + y sin θ y ′ = y cos θ − x sin θ

Momentos e produto de inercia de dA em relacao a x’ e y’:

dIx ′ = y ′2dA = (y cos θ − x sin θ)2dA

dIy ′ = x ′2dA = (x cos θ + y sin θ)2dA

dIx ′y ′ = x ′y ′dA = (x cos θ + y sin θ)(y cos θ − x sin θ)dA

Expandindo e integrando:Ix ′ = Ix cos2 θ + Iy sin2 θ − 2Ixy sin θ cos θ

Iy ′ = Ix sin2 θ + Iy cos2 θ + 2Ixy sin θ cos θ

Ix ′y ′ = Ix sin θ cos θ − Iy sin θ cos θ + Ixy (cos2 θ − sin2 θ)

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Produto de inercia de uma area em

relacao a eixos inclinados

x ′ = x cos θ + y sin θ y ′ = y cos θ − x sin θ

Momentos e produto de inercia de dA em relacao a x’ e y’:

dIx ′ = y ′2dA = (y cos θ − x sin θ)2dA

dIy ′ = x ′2dA = (x cos θ + y sin θ)2dA

dIx ′y ′ = x ′y ′dA = (x cos θ + y sin θ)(y cos θ − x sin θ)dA

Expandindo e integrando:Ix ′ = Ix cos2 θ + Iy sin2 θ − 2Ixy sin θ cos θ

Iy ′ = Ix sin2 θ + Iy cos2 θ + 2Ixy sin θ cos θ

Ix ′y ′ = Ix sin θ cos θ − Iy sin θ cos θ + Ixy (cos2 θ − sin2 θ)

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Produto de inercia de uma area em

relacao a eixos inclinados

x ′ = x cos θ + y sin θ y ′ = y cos θ − x sin θ

Momentos e produto de inercia de dA em relacao a x’ e y’:

dIx ′ = y ′2dA = (y cos θ − x sin θ)2dA

dIy ′ = x ′2dA = (x cos θ + y sin θ)2dA

dIx ′y ′ = x ′y ′dA = (x cos θ + y sin θ)(y cos θ − x sin θ)dA

Expandindo e integrando:Ix ′ = Ix cos2 θ + Iy sin2 θ − 2Ixy sin θ cos θ

Iy ′ = Ix sin2 θ + Iy cos2 θ + 2Ixy sin θ cos θ

Ix ′y ′ = Ix sin θ cos θ − Iy sin θ cos θ + Ixy (cos2 θ − sin2 θ)

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Produto de inercia de uma area em

relacao a eixos inclinados

Identidades trigonometricas:sin 2θ = 2 sin θ cos θ e cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ

Ix ′ =Ix + Iy

2+

Ix − Iy2

cos 2θ − Ixy sin 2θ

Iy ′ =Ix + Iy

2− Ix − Iy

2cos 2θ + Ixy sin 2θ

Ix ′y ′ =Ix − Iy

2sin 2θ + Ixy cos 2θ

Momento polar de inercia em relacao ao eixo z que passapela origem O:

JO = Ix ′ + Iy ′ = Ix + Iy

JO independe da orientacao dos eixos x ′ e y ′.

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Produto de inercia de uma area em

relacao a eixos inclinados

Identidades trigonometricas:sin 2θ = 2 sin θ cos θ e cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ

Ix ′ =Ix + Iy

2+

Ix − Iy2

cos 2θ − Ixy sin 2θ

Iy ′ =Ix + Iy

2− Ix − Iy

2cos 2θ + Ixy sin 2θ

Ix ′y ′ =Ix − Iy

2sin 2θ + Ixy cos 2θ

Momento polar de inercia em relacao ao eixo z que passapela origem O:

JO = Ix ′ + Iy ′ = Ix + Iy

JO independe da orientacao dos eixos x ′ e y ′.

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Produto de inercia de uma area em

relacao a eixos inclinados

Identidades trigonometricas:sin 2θ = 2 sin θ cos θ e cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ

Ix ′ =Ix + Iy

2+

Ix − Iy2

cos 2θ − Ixy sin 2θ

Iy ′ =Ix + Iy

2− Ix − Iy

2cos 2θ + Ixy sin 2θ

Ix ′y ′ =Ix − Iy

2sin 2θ + Ixy cos 2θ

Momento polar de inercia em relacao ao eixo z que passapela origem O:

JO = Ix ′ + Iy ′ = Ix + Iy

JO independe da orientacao dos eixos x ′ e y ′.

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Produto de inercia de uma area em

relacao a eixos inclinados

Identidades trigonometricas:sin 2θ = 2 sin θ cos θ e cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ

Ix ′ =Ix + Iy

2+

Ix − Iy2

cos 2θ − Ixy sin 2θ

Iy ′ =Ix + Iy

2− Ix − Iy

2cos 2θ + Ixy sin 2θ

Ix ′y ′ =Ix − Iy

2sin 2θ + Ixy cos 2θ

Momento polar de inercia em relacao ao eixo z que passapela origem O:

JO = Ix ′ + Iy ′ =

Ix + Iy

JO independe da orientacao dos eixos x ′ e y ′.

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Produto de inercia de uma area em

relacao a eixos inclinados

Identidades trigonometricas:sin 2θ = 2 sin θ cos θ e cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ

Ix ′ =Ix + Iy

2+

Ix − Iy2

cos 2θ − Ixy sin 2θ

Iy ′ =Ix + Iy

2− Ix − Iy

2cos 2θ + Ixy sin 2θ

Ix ′y ′ =Ix − Iy

2sin 2θ + Ixy cos 2θ

Momento polar de inercia em relacao ao eixo z que passapela origem O:

JO = Ix ′ + Iy ′ = Ix + Iy

JO independe da orientacao dos eixos x ′ e y ′.

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Produto de inercia de uma area em

relacao a eixos inclinados

Identidades trigonometricas:sin 2θ = 2 sin θ cos θ e cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ

Ix ′ =Ix + Iy

2+

Ix − Iy2

cos 2θ − Ixy sin 2θ

Iy ′ =Ix + Iy

2− Ix − Iy

2cos 2θ + Ixy sin 2θ

Ix ′y ′ =Ix − Iy

2sin 2θ + Ixy cos 2θ

Momento polar de inercia em relacao ao eixo z que passapela origem O:

JO = Ix ′ + Iy ′ = Ix + Iy

JO independe da orientacao dos eixos x ′ e y ′.

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Computacional

Momentos principais de inercia de uma

area

Sao os valores maximos e mınimos dos momentos de inerciada area em relacao a eixos com origem em um determinadoponto O - eixos principais de inercia.

Ix ′ =Ix + Iy

2+

Ix − Iy2

cos 2θ − Ixy sin 2θ

dIx ′

dθ= −2

Ix − Iy2

sin 2θ − 2Ixy cos 2θ = 0

2Ix − Iy

2sin 2θ = −2Ixy cos 2θ

sin 2θ

cos 2θ= − Ixy

(Ix − Iy )/2

tan 2θp =−Ixy

(Ix − Iy )/2

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Momentos principais de inercia de uma

area

Sao os valores maximos e mınimos dos momentos de inerciada area em relacao a eixos com origem em um determinadoponto O - eixos principais de inercia.

Ix ′ =Ix + Iy

2+

Ix − Iy2

cos 2θ − Ixy sin 2θ

dIx ′

dθ= −2

Ix − Iy2

sin 2θ − 2Ixy cos 2θ = 0

2Ix − Iy

2sin 2θ = −2Ixy cos 2θ

sin 2θ

cos 2θ= − Ixy

(Ix − Iy )/2

tan 2θp =−Ixy

(Ix − Iy )/2

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Momentos principais de inercia de uma

area

Sao os valores maximos e mınimos dos momentos de inerciada area em relacao a eixos com origem em um determinadoponto O - eixos principais de inercia.

Ix ′ =Ix + Iy

2+

Ix − Iy2

cos 2θ − Ixy sin 2θ

dIx ′

dθ= −2

Ix − Iy2

sin 2θ − 2Ixy cos 2θ = 0

2Ix − Iy

2sin 2θ = −2Ixy cos 2θ

sin 2θ

cos 2θ= − Ixy

(Ix − Iy )/2

tan 2θp =−Ixy

(Ix − Iy )/2

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MECANICA -MAC010

Departamento deMecanicaAplicada e

Computacional

Momentos principais de inercia de uma

area

Sao os valores maximos e mınimos dos momentos de inerciada area em relacao a eixos com origem em um determinadoponto O - eixos principais de inercia.

Ix ′ =Ix + Iy

2+

Ix − Iy2

cos 2θ − Ixy sin 2θ

dIx ′

dθ= −2

Ix − Iy2

sin 2θ − 2Ixy cos 2θ = 0

2Ix − Iy

2sin 2θ = −2Ixy cos 2θ

sin 2θ

cos 2θ= − Ixy

(Ix − Iy )/2

tan 2θp =−Ixy

(Ix − Iy )/2

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Computacional

Momentos principais de inercia de uma

area

Sao os valores maximos e mınimos dos momentos de inerciada area em relacao a eixos com origem em um determinadoponto O - eixos principais de inercia.

Ix ′ =Ix + Iy

2+

Ix − Iy2

cos 2θ − Ixy sin 2θ

dIx ′

dθ= −2

Ix − Iy2

sin 2θ − 2Ixy cos 2θ = 0

2Ix − Iy

2sin 2θ = −2Ixy cos 2θ

sin 2θ

cos 2θ= − Ixy

(Ix − Iy )/2

tan 2θp =−Ixy

(Ix − Iy )/2

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Computacional

Momentos principais de inercia de uma

area

Dada a origem O, os eixos principais de inercia temorientacao definida pelo angulo θp.

tan 2θp =−Ixy

(Ix − Iy )/2

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Computacional

Momentos principais de inercia de uma

area

Para θp1 :sin 2θp1 =

−Ixy√(Ix−Iy

2

)2+ I 2

xy

cos 2θp1 =Ix − Iy

2

√(Ix−Iy

2

)2+ I 2

xy

Para θp2 :sin 2θp2 =

Ixy√(Ix−Iy

2

)2+ I 2

xy

cos 2θp2 = − Ix − Iy

2

√(Ix−Iy

2

)2+ I 2

xy

Imaxmin

=Ix + Iy

√(Ix − Iy

2

)2

+ I 2xy

Ix ′y ′ = 0 −→ todo eixo de simetria e eixo principal de inercia.

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Computacional

Momentos principais de inercia de uma

area

Para θp1 :sin 2θp1 =

−Ixy√(Ix−Iy

2

)2+ I 2

xy

cos 2θp1 =Ix − Iy

2

√(Ix−Iy

2

)2+ I 2

xy

Para θp2 :sin 2θp2 =

Ixy√(Ix−Iy

2

)2+ I 2

xy

cos 2θp2 = − Ix − Iy

2

√(Ix−Iy

2

)2+ I 2

xy

Imaxmin

=Ix + Iy

√(Ix − Iy

2

)2

+ I 2xy

Ix ′y ′ = 0 −→ todo eixo de simetria e eixo principal de inercia.

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Momentos principais de inercia de uma

area

Para θp1 :sin 2θp1 =

−Ixy√(Ix−Iy

2

)2+ I 2

xy

cos 2θp1 =Ix − Iy

2

√(Ix−Iy

2

)2+ I 2

xy

Para θp2 :sin 2θp2 =

Ixy√(Ix−Iy

2

)2+ I 2

xy

cos 2θp2 = − Ix − Iy

2

√(Ix−Iy

2

)2+ I 2

xy

Imaxmin

=Ix + Iy

√(Ix − Iy

2

)2

+ I 2xy

Ix ′y ′ = 0 −→ todo eixo de simetria e eixo principal de inercia.

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Momentos principais de inercia de uma

area

Para θp1 :sin 2θp1 =

−Ixy√(Ix−Iy

2

)2+ I 2

xy

cos 2θp1 =Ix − Iy

2

√(Ix−Iy

2

)2+ I 2

xy

Para θp2 :sin 2θp2 =

Ixy√(Ix−Iy

2

)2+ I 2

xy

cos 2θp2 = − Ix − Iy

2

√(Ix−Iy

2

)2+ I 2

xy

Imaxmin

=Ix + Iy

√(Ix − Iy

2

)2

+ I 2xy

Ix ′y ′ = 0 −→

todo eixo de simetria e eixo principal de inercia.

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Computacional

Momentos principais de inercia de uma

area

Para θp1 :sin 2θp1 =

−Ixy√(Ix−Iy

2

)2+ I 2

xy

cos 2θp1 =Ix − Iy

2

√(Ix−Iy

2

)2+ I 2

xy

Para θp2 :sin 2θp2 =

Ixy√(Ix−Iy

2

)2+ I 2

xy

cos 2θp2 = − Ix − Iy

2

√(Ix−Iy

2

)2+ I 2

xy

Imaxmin

=Ix + Iy

√(Ix − Iy

2

)2

+ I 2xy

Ix ′y ′ = 0 −→ todo eixo de simetria e eixo principal de inercia.

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Computacional

Exemplo

Determinar as orientacoes dos eixos principais de inerciapassando pelo centroide da secao L e determine osmomentos de inercia maximo e mınimo correspondentes.

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Raio de giracao

Raio de giracao de uma area plana e uma grandeza usadaem projetos de colunas (pilares). A definicao e dada por:

kx =

√IxA

ky =

√IyA

k0 =

√J0

A

O raio de giracao e usado para calcular o ındice deesbeltez de barras, que define o comportamento doelemento estrutural em problemas relacionados aestabilidade (flambagem).