apostila de logica para estudo de concursos

APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos

Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 1

CONCEITOS INICIAIS DO RACIOCÍNIO LÓGICO: PROPOSIÇÕES, VALORES LÓGICOS, CONECTIVOS,

TABELAS-VERDADE, TAUTOLOGIA, CONTRADI-ÇÃO, EQUIVALÊNCIA ENTRE PROPOSIÇÕES, NE-GAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO, VALIDADE DE AR-

GUMENTOS. ESTRUTURAS LÓGICAS E LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO. QUESTÕES DE ASSOCIAÇÃO. VERDADES E MENTIRAS. DIAGRAMAS LÓGICOS

(SILOGISMOS). HISTÓRIA DA LÓGICA A história da lógica começa com os trabalhos do filósofo grego Aristóte-

les (384-322 a.C.) de Estagira (hoje Estavro), na Macedônia, não se conhe-cendo precursores de sua obra, no mundo antigo.

Mais tarde, foram reunidos os trabalhos na obra denominada Organon,

onde encontramos no capítulo Analytica Priora a parte essencial da Lógica. Para Aristóteles, o raciocínio (dedutivo) reduz-se essencialmente ao ti-

po determinado que se denomina silogismo. Os componentes do silogismo aristotélico são sentenças universais ou

particulares, afirmativas ou negativas, isto é , dos tipos seguintes: A: Todos os animais são mortais – universal afirmativa E: Nenhum animal é imortal – universal negativa I: Alguns homens são sábios – particular afirmativa O: Alguns homens não são sábios – particular negativa

Os silogismo aristotélicos constam de duas premissas e uma conclu-são: Num premissa "todo X é Y", X e Y são termos.

Ainda na antiguidade grega, temos a Lógica da escola dos estóicos e megáricos (Euclides de Megara – 400 A.C.). Esta lógica apresenta-se de modo diferente da aristotélica, pois, esta se liga ao Cálculo dos Predicados, ao passo que aquela se refere ao Cálculo Proposicional. Desenvolve as-pectos não encontrados em Aristóteles. Pertence a essa escola, Zenão (336-204 A.C.) que fundou o estoicismo. Crisipo foi o lógico mais fértil dessa época. Filo, também, dessa escola, ensinou que um condicional verdadeiro é a que não tem antecedente verdadeiro e consequente falso, denominada, também, implicação material. Nesta escola, foram ainda dadas as diferenças entre "ou" inclusivo e o "ou" exclusivo e que "se..então.." se define em função de "não" e do "ou".

A Lógica moderna iniciou-se com a obra Investigation of the Laws of Thougt, de George Boole (1815 – 1864). Com isto deu novos rumos à Álgebra da Lógica. Paralelamente, Augustus De Morgan (1806-1871) desenvolveu, também, a Álgebra da Lógica.

As ideias de Boole e De Morgan foram objetos de publicações impor-tantes de Chales Sanders Peirce (1839-1914), nos Estados Unidos.

Surge, então, Gottlob Frege (1848-1925), "o maior lógico dos tempos

modernos", segundo Alonzo Church, com sua obra Begriffsschrift, onde pela primeira vez é desenvolvido axiomaticamente o Cálculo Sentencial, usando negação e implicação com conceitos primitivos, seis axiomas e regras de modus ponens e de substituição.

Muitas ideias de Frege tratadas de maneira menos sistemática encon-tram-se em Peirce.

A seguir vem Bertrand Russel a A.N. Witehead (1861-1947), com uma

das mais importantes obras deste século Principia Matemática, em três volumes.

Entre o grande número de lógicos atuais, mencionamos, Kurt Godel e Alfred Tarski. A Godel deve-se a primeira demonstração de completividade da Lógica elementar e da incompletividade de sistemas mais complexos, como a impossibilidade da existência de um sistema axiomático completo e consistente para a Aritmética usual.

A Tarski deve-se muito no que respeita ao progresso dos estudos lógi-

cos. Dentre as suas contribuições, destaca-se, a definição semântica de verdade, que tem aplicações em numerosos campos da Matemática, com repercussões na Filosofia.

É difícil dar hoje uma ideia da ampliação do campo de estudos da lógi-

ca, quanto às pesquisas e possibilidades, mas o que é certo é que um conhecimento preliminar ainda que intuitivo é necessário em quase todos os ramos de conhecimento.

Sabe-se que a lógica teve sua maior desenvoltura na Filosofia, cami-

nhando pela Linguística, Matemática e Ciência da Computação. A Lógica na Ciência da Computação Segundo John Nolt (et al., 1991), "A lógica pode ser estudada de dois

pontos de vista: a formal e a informal. Lógica formal é o estudo das formas de argumento, modelos abstratos comuns a muitos argumentos distintos. Lógica informal é o estudo de argumentos particulares em linguagem natural e do contexto no qual eles ocorrem." Cabe aqui ressaltar que os dois pontos de vista não são opostos, mas se complementam.

Do ponto de vista da ciência da computação, que se trabalha com o

sentido semântico dos operadores lógicos (princípio de bivalência - verda-de, falso) a lógica formal predomina.

Esta disciplina nos introduzirá no mundo da lógica computacional (Ci-

ência da Computação). Assim, veremos alguns conceitos e teremos a ideia da abrangência do mesmo.

Segundo o dicionário Aurélio, lógica significa "coerência de raciocínio,

de ideias. Modo de raciocinar peculiar a alguém, ou a um grupo. Sequência coerente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas."

Um outro conceito seria: a ciência das leis ideais do pensamento e a

arte de aplicá-los corretamente no processo de investigação e demonstra-ção da verdade.

No nosso dia a dia nos deparamos com vários problemas, nos quais,

usamos a "lógica" de forma "consciente" para resolvê-los, isto é, um racio-cínio detalhista, minucioso, com bastante clareza, ou, raciocinamos de forma lógica sem tomarmos conhecimento, intuitivamente. Para que fique claro, criemos uma situação!!!

Você está viajando e fura um pneu de seu carro. Encosta-o e para. Se-

rá que você é capaz de descrever todos os passos desde a parada do carro até o pneu trocado?

Dê um tempo! Tente ... pegue uma folha e descreva passo a passo ...

depois prossiga a leitura. Se você tentou, agora responda algumas perguntas: Você desligou o carro? Você ligou o alerta? Você tirou o sinto de segurança? Você abriu a porta do carro? Você puxou o freio de mão? Você levou a chave para abrir o porta-malas? Você verificou se o socorro estava cheio? Teríamos N detalhes que muitas vezes fizemos intuitivamente e não

nos preocupamos com isso, no entanto, quando os descrevemos chegamos a esquecer muitos deles. A lógica seria a sequência detalhada e clara do fato.

Quando alguém pergunta qual é a soma de 20 + 30, o resultado multi-

plicado por 4 e este resultado dividido por dois, você faz os cálculos "de



cabeça", no entanto você geralmente segue um raciocínio, uma lógica, como:

- Primeiro, obter o resultado da soma (20+30=50) que chamaremos de resultado 1.

- Segundo, pegar o resultado 1 que é 50 e multiplica por 4 (50*4=200) assim, chamaremos este de resultado 2.

- Terceiro, pegar o resultado 2 que é 200 e dividir por 2 (200/2=100) que chamaremos de resultado 3.

- Quarto, responder o resultado 3 para quem o perguntou, que neste caso é 100.

Raciocínio Lógico Veja a seguinte charada!!! Existe um rio a ser atravessado por três pessoas que pesam 50, 50 e

100 Kg. Para atravessar este rio, as três pessoas dispõe de uma canoa que leva no máximo 100 Kg por viagem. Esta canoa tem que ser conduzida, isto é, ela não anda sozinha. Eis a questão, como estas pessoas chegam no outro lado da margem? É um problema com resolução simples.

Depois de resolver este problema ou alguém lhe mostrar a solução, vo-

cê é capaz de resolver problemas semelhante a este ou outros do gênero e até mais complexos.

Esta é uma forma de "despertar" o Raciocínio Lógico. É impossível al-

guém lhe ensinar a lógica, pois ela já está em você, o máximo que se pode fazer é torná-la consciente.

LÓGICA Com o aparecimento dos diversos sistemas filosóficos e depois de dis-

seminado pela Grécia antiga o gosto pelas teorias racionais abstratas, impôs-se a necessidade de uma ciência que disciplinasse a argumentação e o pensamento, estabelecendo critérios de validade e veracidade das proposições.

Lógica é a ciência que tem por objeto determinar, entre as operações

intelectuais orientadas para o conhecimento da verdade, as que são válidas e as que não são. Estuda os processos e as condições de verdade de todo e qualquer raciocínio. O conhecimento só é científico quando, além de universal, é metódico e sistemático, ou seja, lógico. Assim, a lógica se entende como método, ou caminho que as ciências trilham para determinar e conhecer seu objeto, e como característica geral do conhecimento cientí-fico.

Do ponto de vista didático, a lógica se alinha com a metafísica, a ética,

a estética etc. como disciplina da filosofia. Assim entendida, chama-se mais propriamente lógica formal, pois não se aplica ao conteúdo do que enuncia, mas unicamente aos conceitos, aos juízos e raciocínios.

Origens. A lógica foi desenvolvida de forma independente e chegou a

certo grau de sistematização na China, entre os séculos V e III a.C., e na Índia, do século V a.C. até os séculos XVI e XVII da era cristã. Na forma como é conhecida no Ocidente, tem origem na Grécia.

O mais remoto precursor da lógica formal é Parmênides de Eleia, que

formulou pela primeira vez o princípio de identidade e de não contradição. Seu discípulo Zenão foi o fundador da dialética, segundo Aristóteles, por ter empregado a argumentação erística (arte da disputa ou da discussão) para refutar quem contestasse as teses referentes à unidade e à imobilidade do ser.

Os sofistas, mestres da arte de debater contra ou a favor de qualquer

opinião com argumentos que envolviam falácias e sofismas, também con-tribuíram para a evolução da lógica, pois foram os primeiros a analisar a estrutura e as formas da linguagem. Foi sobretudo em vista do emprego vicioso do raciocínio pelos sofistas que o antecederam que Aristóteles foi levado a sistematizar a lógica.

Sócrates definiu o universal, ou essência das coisas, como o objeto do

conhecimento científico e, com isso, preparou a doutrina platônica das ideias. Ao empregar o diálogo como método de procura e descobrimento das essências, antecipou a dialética platônica, bem como a divisão dos

universais em gêneros e espécies (e das espécies em subespécies), o que permitiu situar ou incluir cada objeto ou essência no lugar lógico correspon-dente.

Lógica aristotélica. Aristóteles é considerado o fundador da lógica for-

mal por ter determinado que a validade lógica de um raciocínio depende somente de sua forma ou estrutura, e não de seu conteúdo. Introduziu a análise da quantificação dos enunciados e das variáveis, realizou o estudo sistemático dos casos em que dois enunciados implicam um terceiro, estabeleceu o primeiro sistema dedutivo ou silogístico e criou a primeira lógica modal, que, ao contrário da lógica pré-aristotélica, admitia outras possibilidades além de "verdadeiro" e "falso".

No século II da era cristã, as obras de Aristóteles sobre lógica foram

reunidas por Alexandre de Afrodísia sob a designação geral de Órganon. Inclui seis tratados, cuja sequência corresponde à divisão do objeto da lógica. Estuda as três operações da inteligência: o conceito, o juízo e o raciocínio.

Conceito é a mera representação mental do objeto. Juízo é um ato

mental de afirmação ou de negação de uma ideia a respeito de outra, isto é, da coexistência de um sujeito e um predicado. Raciocínio é a articulação de vários juízos. O objeto próprio da lógica não é o conceito nem o juízo, mas o raciocínio, que permite a progressão do pensamento. Em outras palavras, não há pensamento estruturado quando se consideram ideias isoladas.

Em Perí hermeneías (Da interpretação), um dos tratados do Órganon,

Aristóteles estuda a proposição, que é a expressão verbal do juízo. O juízo é verdadeiro quando une na proposição o que está unido na realidade, ou separa, na proposição, o que está realmente separado. A verdade é, assim, a adequação ou a correspondência entre o juízo e a realidade. Esse tratado procura principalmente determinar as oposições possíveis entre as proposi-ções.

A partir do juízo de existência ou de realidade, considerado primordial,

Aristóteles estabelece as seguintes modalidades de oposição e de nega-ção: o animal é; o animal não é; o não-animal é; o não-animal não é. As proposições simples apresentam as mesmas modalidades. Outro tipo de proposições admite maior número de modalidades: o homem é mortal; o homem não é mortal; o homem é não-mortal; o homem não é não-mortal; o não-homem é mortal; o não-homem não é mortal etc.

Os juízos se dividem de acordo com a qualidade, a quantidade, a rela-

ção e a modalidade. Quanto à qualidade, podem ser afirmativos ou negati-vos. Os afirmativos sustentam a conveniência do predicado ao sujeito (o homem é racional), enquanto os negativos sustentam a não conveniência entre eles (o homem não é imortal). De acordo com a quantidade, os juízos podem ser de três tipos: universais, quando o sujeito é tomado em toda sua extensão (todo homem é mortal); particulares, quando o sujeito é tomado em parte de sua extensão (alguns homens são brasileiros); e individuais ou singulares, situações em que o sujeito é tomado no mínimo de sua exten-são (Aristóteles é filósofo).

Com relação à quantificação do sujeito, distingue-se a compreensão,

que é o contéudo do conceito, e a extensão, que indica a quantidade de objetos aos quais o conceito se aplica. Quanto maior for o conteúdo, ou conjunto de atributos característicos do conceito, menor será a extensão. Por exemplo, o conceito "mesa" abrange todos os membros da classe. Quando se acrescenta o atributo "branca", aumenta-se a compreensão, mas limita-se a quantidade de mesas individuais a que se refere e diminui-se a extensão.

Do ponto de vista da relação, os juízos se distinguem em categóricos,

hipotéticos e disjuntivos. No juízo categórico, o enunciado independe de condições (Aristóteles é grego); no hipotético, é condicional (se fizer bom tempo, sairemos); no disjuntivo, também condicional, a condição está na própria predicação (o objeto real é físico ou psíquico).

De acordo com a modalidade, os juízos podem ser assertóricos, pro-

blemáticos e apodícticos. No juízo assertórico, a validade do enunciado é de fato e não de direito (o livro está aberto, mas poderia estar fechado); no problemático, a validade é apenas possível (talvez as injustiças sejam



reparadas); no apodíctico a validade é necessária e de direito, e não de fato (dois mais dois são quatro).

Raciocinar, em lógica, significa estabelecer uma relação necessária en-

tre duas proposições ou enunciados. No tratado Analysis próté (Primeiras analíticas), terceira parte do Órganon, Aristóteles estuda o silogismo, cuja doutrina criou, para estabelecer as condições fundamentais do conheci-mento científico. O silogismo é "um argumento do qual, admitidas certas coisas, algo diferente resulta necessariamente de sua verdade, sem que se precise de qualquer outro termo". Aristóteles distingue o silogismo, ou dedução, da indução. A dedução vai do universal ao particular, e a indução do particular ao universal. Mesmo assim, compreende que a indução é no fundo silogística.

No tratado do Órganon intitulado Análysis deutera (Segundas analíti-

cas), Aristóteles estuda a demonstração e a definição. A propósito, indica os temas possíveis da investigação científica: (1) o que a palavra significa; (2) o que o objeto correspondente é; (3) qual a essência desse objeto; (4) quais são suas propriedades; (5) por que tem essas propriedades. Assim, o método científico começa com a determinação de um objeto conhecido apenas pelo nome, e prossegue com a determinação da essência e da existência do objeto.

A demonstração é um silogismo científico cujas premissas devem ser

verdadeiras, primeiras, indemonstráveis e mais inteligíveis do que a conclu-são e a causa da conclusão. Os princípios, ou pontos de partida do conhe-cimento científico, são os axiomas e as teses das diversas ciências, subdi-vididas em hipóteses e definições. Acrescentam-se ainda os postulados que, ao contrário dos tipos de proposição mencionados, só devem ser admitidos depois de demonstrados.

A ciência consiste no encadeamento lógico das proposições que, to-

madas isoladamente, não poderiam ser conhecidas como verdadeiras. A rigor, a demonstração trata de evidenciar, por meio de mediações sucessi-vas, o que é inicialmente admitido como simples hipótese ou suposição. Além da demonstração ou da prova, Aristóteles admite, como forma de conhecimento, os primeiros princípios, que excluem a demonstração.

Perguntar o que é alguma coisa é perguntar qual é a essência dessa coisa, e responder à pergunta é expor essa essência em sua definição. Aristóteles classifica três espécies de definição: a indemonstrável (a unida-de em aritmética, por exemplo); a definição causal ou real; e a definição nominal. A propósito da definição da espécie, recomenda: (1) só tomar como características de espécie os atributos que pertencem a sua essên-cia; (2) apresentar os atributos em ordem, do determinável ao determinan-do; (3) dar as indicações necessárias para distinguir o definido de tudo o que dele difere. A obediência a essas regras permitirá definir, pela indica-ção do gênero próximo e da diferença específica, determinações que, por hipótese, devem conter a essência do objeto definido.

Por consistir numa redução à evidência, a demonstração implica a apreensão dos primeiros princípios, indemonstráveis. No processo que conduz da percepção à ciência, Aristóteles vê que o primeiro momento é a memória ("persistência da percepção") e o seguinte é a experiência, que é a lembrança das percepções dos mesmos objetos e a abstração daquilo que apresentam em comum. A passagem do particular ao universal é possível porque o que se percebe no objeto particular não é o que o parti-culariza, mas os caracteres que tem em comum com objetos semelhantes. Ao ascender a universais cada vez mais extensos, chega-se, pela razão intuitiva, aos primeiros princípios da ciência, os axiomas, as definições, os postulados e as hipóteses. Segundo Aristóteles, é por indução que se aprendem os primeiros princípios, pois é assim que a percepção produz o universal.

Lógica na Idade Média. Traduzidos para o latim por Boécio, alguns tra-tados da obra de Aristóteles passaram a ser usados, na Idade Média, no ensino da lógica, incluída nas disciplinas dos cursos de direito e teologia. A esterilidade criativa que predominou durante cerca de cinco séculos só foi interrompida no século XII com a dialética de Abelardo, teólogo eminente e controvertido, autor de Sic et non (Sim e não).

Durante o século XII, traduções complementares do Órganon de Aristó-teles acrescentaram tópicos desconhecidos da "velha lógica" que foram

agrupados sob o nome geral de "nova lógica". No século XIII, houve uma cisão entre os lógicos: alguns aderiram à ortodoxia aristotélica, enquanto outros adotaram uma visão mais liberal e, nas escolas de artes e nas recém-criadas universidades, propuseram a lógica moderna.

Guilherme de Sherwood e seu discípulo Pedro Hispano (posteriormente

papa João XXI), autor do livro sobre lógica mais utilizado nos 300 anos que se seguiram, foram os principais representantes dessa nova tendência. Entre os lógicos do século XIV, deve-se pelo menos mencionar Guilherme de Occam, além de Jean Buridan e seu aluno Alberto da Saxônia. No século seguinte, Paulo Vêneto, teólogo agostiniano, produziu uma extensa obra intitulada Logica magna, usada como livro didático durante os séculos XV e XVI.

No mundo grego, a tradição de parafrasear e comentar os tratados ló-

gicos de Aristóteles teve continuidade nas obras de João Filopono e Estê-vão de Alexandria, neoplatonista do século VII, entre outros. Nos séculos XI e XIII, foram produzidos vários compêndios de lógica.

Os árabes também cultivaram a lógica e, no início do século IX, já con-

tavam com traduções de alguns tratados do Órganon de Aristóteles. Entre-tanto, a produção dos representantes da escola de Bagdá, surgida no século seguinte, quase toda perdida, foi criticada pelo filósofo Avicena, que a considerava exageradamente servil à doutrina de Aristóteles. Avicena defendeu uma linha mais independente e expressou seu conceito de lógica no livro Kitab al-shifa (O livro da cura).

O valor da contribuição árabe ao desenvolvimento da lógica não é mui-

to grande, exceto pelo fato de ter mantido vivo o interesse na lógica aristo-télica numa época em que, no Ocidente, era pouco divulgada. No mundo medieval, em que houve a lógica bizantina, a árabe e a escolástica, a vertente escolástica parece ter trazido as maiores contribuições.

Lógica no Renascimento. A tradição da lógica medieval sobreviveu por

mais três séculos após ter atingido a maturidade no século XIV. Entretanto, o clima intelectual que se estabeleceu no Ocidente com o advento do Renascimento e do humanismo não estimulava o estudo da lógica. O crescimento das ciências naturais também contribuiu para o abandono da lógica que, como disciplina dedutiva, cedeu lugar às pesquisas metodológi-cas.

Uma nova atitude em relação à lógica surgiu no século XVI com Petrus

Ramus (Pierre de La Ramée), lógico antiaristotélico e reformador educacio-nal. Ramus descreveu a lógica como a "arte de discutir" e distinguiu-a da gramática e da retórica que, a seu ver, concentravam-se nas questões relativas ao estilo. De acordo com Ramus, a lógica deveria tratar de concei-tos, juízos, inferências e provas, nessa ordem de prioridade. Entre as inferências, incluía os silogismos categóricos e hipotéticos.

As divisões da lógica sugeridas por Ramus foram adotadas pelos jan-

senistas Antoine Arnauld e Pierre Nicole, autores de La Logique: ou l'art de penser (1662), traduzido e publicado em inglês em 1851 sob o título The Port-Royal Logic (A lógica de Port-Royal). As duas primeiras de suas quatro partes trazem poucas contribuições originais, muito mais no campo da epistemologia que da lógica. A terceira, sobre o raciocínio, trata da validade dos silogismos. Na quarta parte, sobre o método, a obra Elementos de Euclides é recomendada como modelo do método científico. Como René Descartes, fundador da filosofia moderna, os autores insistiam que, em qualquer investigação científica, termos obscuros ou equívocos devem ser definidos; que somente termos perfeitamente conhecidos devem ser usa-dos em definições; que somente verdades auto-evidentes devem ser usa-das como axiomas; e que todas as proposições que não são auto-evidentes devem ser confirmadas com o auxílio de axiomas, definições e proposições já comprovados. Apesar de competir com uma concepção inteiramente nova da lógica apresentada por Leibniz, racionalista alemão, as ideias expostas pela lógica de Port-Royal mantiveram sua reputação durante o século XIX.

Lógica moderna. Com Leibniz, no século XVII, teve início a lógica mo-

derna, que se desenvolveu em cooperação com a matemática. Leibniz influenciou seus contemporâneos e sucessores com um ambicioso plano para a lógica, que para ele deixava de ser "uma diversão para acadêmicos"



e começava a tomar a forma de uma "matemática universal". Seu plano propunha uma linguagem universal baseada num alfabeto do pensamento (ou characteristica universalis), um cálculo geral do raciocínio e uma meto-dologia geral.

A linguagem universal, na visão de Leibniz, seria como a álgebra ou como uma versão de ideogramas chineses, formada de sinais básicos representativos de noções não analisáveis. Noções complexas seriam representadas por conjuntos apropriados de sinais que, por sua vez, repre-sentariam a estrutura de noções complexas e, em última análise, a noção de realidade.

Uma das contribuições mais positivas de Leibniz para o desenvolvi-mento da lógica foi a aplicação bem-sucedida dos métodos matemáticos à interpretação da silogística aristotélica. Outra foi sua proposta de um "cálcu-lo de adição real", em que demonstra que partes da álgebra são passíveis de interpretação não aritmética. Sua forma de interpretação se comprovaria adequada mesmo à intrincada regra da rejeição proposta para os silogis-mos pelo polonês Jerzy Stupecki, da escola de lógica de Varsóvia, na década de 1940.

Na segunda metade do século XIX, foram lançados os alicerces para os mais notáveis progressos da história da lógica. Merece menção a obra do matemático francês Joseph-Diez Gergonne, cuja grande inovação foi a expansão do vocabulário do silogismo e a proposição de novos tipos de inferência baseados na expansão. A axiomatização de seu trabalho, no entanto, coube ao lógico John Acheson Faris, de Belfast. Também trouxe-ram contribuições importantes o metafísico escocês William Hamilton e os ingleses George Bentham, botânico, e Augustus De Morgan.

Ainda no século XIX, as novas ideias de George Boole, matemático au-todidata, representaram um grande progresso para a lógica. A chamada álgebra de Boole foi aprimorada por vários pesquisadores, entre eles o economista e lógico britânico William Stanley Jevons; o lógico, engenheiro e filósofo americano Charles Sanders Peirce; e o lógico e matemático alemão Ernst Schröder. Coube, porém, ao matemático e filósofo alemão Gottlob Frege estabelecer a relação entre os dois sistemas lógicos tratados por Boole, e outros importantes estudos relativos à teoria da linguagem e à redução da aritmética à lógica. Outra tendência no estudo da lógica e dos fundamentos da matemática foi introduzida pelo matemático e filósofo alemão Georg Cantor.

Lógica no século XX. Quando, no início do século XX, Bertrand Russell se dispôs a mostrar que a aritmética era uma extensão da lógica, foi benefi-ciado pelas pesquisas anteriores de Giuseppe Peano, matemático e lógico italiano que, no fim do século XIX e início do XX, questionara noções primá-rias da aritmética. Após escrever The Principles of Mathematics (1903; Princípios da matemática), Russell produziu, em cooperação com o tam-bém britânico Alfred North Whitehead, a monumental Principia Mathematica (1910-1913), que se tornou um clássico da lógica. A obra, em três volumes, reuniu os resultados das pesquisas sobre lógica e fundamentos da mate-mática que vinham sendo realizadas desde a época de Leibniz e tornou-se o ponto de partida para a evolução da lógica no século XX.

A visão da matemática como continuação da lógica, sem uma linha de-limitadora clara entre as duas disciplinas, como defendeu Russell, chamou-se logicismo. A essa abordagem se opõem o intuicionismo, associado aos nomes de Luitzen Egbertus Jan Brouwer, matemático holandês, e seu discípulo Arend Heyting, e o formalismo, fundado por David Hilbert.

Bertrand Russell afirmou que há duas vertentes da pesquisa em mate-mática: uma visa à expansão, e a outra explora os fundamentos. O mesmo se pode dizer sobre qualquer outra disciplina, mas na exploração dos fundamentos de uma ciência o pesquisador volta a encontrar a lógica, pois todas as ciências que pretendem descrever e comprovar algum aspecto da realidade fazem uso do vocabulário lógico. Isso quer dizer que a lógica, localizada no ponto mais alto de uma hierarquia de ciências, pode ser entendida como a mais abstrata e mais geral descrição da realidade. ©En-cyclopaedia Britannica do Brasil Publicações Ltda.

SILOGISMO A doutrina do silogismo desenvolvida pelo filósofo grego Aristóteles no

século IV a.C. constituiu até a era moderna o principal instrumento da lógica.

Silogismo, segundo a definição de Aristóteles, é uma expressão propo-sicional na qual, admitidas certas premissas, delas resultará, apenas por serem o que são, outra proposição diferente das estabelecidas anterior-mente. O termo vem do grego syllogismós, que significa argumento ou raciocínio. Posteriormente, a terminologia tradicional passou a definir essa operação lógica como um argumento formado de três proposições -- duas premissas e uma conclusão -- que apresentam a forma "sujeito-predicado".

Indubitavelmente, o silogismo é a forma mais simples de demonstração

ou de argumento inferencial. É sempre precedido de uma pergunta: quer-se saber se um dado predicado convém ou não, necessariamente, a um sujeito. A resposta, quando está de acordo com as regras do silogismo, é rigorosa e necessariamente certa. O exemplo mais clássico é o seguinte: "Todo animal é mortal; todo homem é animal; logo, todo homem é mortal."

As duas premissas, estruturadas segundo a fórmula "sujeito-

predicado", são denominadas maior e menor. Por meio delas, dois termos (maior e menor) são postos em relação com um terceiro (médio). No exem-plo citado, "mortal" é o termo de maior extensão, e portanto o termo maior. O termo de menor extensão, chamado termo menor, é "homem". O termo médio, que contém ambos, é "animal". Por ser afirmativo, esse tipo de silogismo é chamado categórico e se baseia na lei de generalização do universal para o particular. Os termos que compõem cada premissa são sempre os mesmos -- maior e médio na premissa maior, menor e médio na premissa menor -- mas sua ordem pode mudar. O termo médio pode assu-mir quatro posições diferentes, segundo as quais se definem as quatro "figuras" do silogismo. Tais figuras, em função do caráter e das combina-ções de suas proposições (universais ou particulares, afirmativas ou negati-vas) dão lugar aos 23 tipos de silogismo conhecidos como silogismos modais.

Os chamados silogismos hipotéticos são mais complexos que os cate-

góricos e os modais, ainda que derivem das mesmas leis. A denominação se explica devido à ocorrência de premissas hipotéticas, que de acordo com sua forma podem ser condicionais ou disjuntivas. Uma formulação clássica de silogismo hipotético condicional seria, por exemplo: se P então Q; se Q então não R; logo, se P então não R.

A teoria silogística teve grande desenvolvimento durante a Idade Mé-dia. A distinção entre os termos maior, menor e médio foi elaborada pelos pensadores escolásticos, que distinguiam três espécies de silogismo: regulares, irregulares e compostos. Os regulares se constituem dos três termos clássicos. Os irregulares e os compostos se caracterizam por terem termos implícitos (ocultos), ou por terem mais de três proposições. Um exemplo de silogismo irregular, conhecido como entimema, expressa-se na frase "penso, logo existo", na qual está subentendida a premissa maior, que poderia ser "tudo o que pensa existe".

Os pensadores renascentistas, no entanto, assim como os racionalistas do século XVII, criticaram o silogismo como insuficiente e tautológico. Para eles, todas as conclusões se encontram implícitas nas premissas e portanto nada acrescentam ao conhecimento. A moderna lógica formal, contudo, reconheceu o valor histórico do silogismo como instrumento de formaliza-ção e integrou os antigos esquemas silogísticos à lógica quantificativa e à lógica de classes. ©Encyclopaedia Britannica do Brasil Publicações Ltda.

LÓGICA MATEMÁTICA Por influência do pensamento de Aristóteles, a lógica dizia respeito,

tradicionalmente, apenas às proposições da linguagem verbal. A partir do século XIX, no entanto, seus princípios foram aplicados à linguagem simbó-lica da matemática.

Lógica matemática é o conjunto de estudos que visam a expressar em signos matemáticos as estruturas e operações do pensamento, deduzindo-as de um pequeno número de axiomas, com o propósito de criar uma linguagem rigorosa, adequada ao pensamento científico, da qual estejam afastadas as ambiguidades próprias da linguagem comum. Fundamenta-se na construção de sistemas formais, ou seja, modelos, para cuja definição se enunciam certos axiomas (conceitos básicos) e métodos de dedução ou demonstração.

Evolução histórica. O termo "sistema" foi proposto por Laozi (Lao-tsé) 500 anos antes da era cristã, ao dizer que "uma carroça é mais que a soma



de suas partes", ou seja, que a relação entre os diversos elementos que formam a carroça faz com que ela tenha propriedades especiais e diferen-tes da soma das propriedades de cada um de seus componentes em separado. Aristóteles já assinalara um princípio de abstração ao descrever sistema como um conjunto de funções, características e atributos que podem ser definidos. No entanto, o termo lógica matemática denota prefe-rencialmente o conjunto de regras e raciocínios dedutivos elaborado a partir da segunda metade do século XIX. Mediante a eliminação das imprecisões e erros lógicos da linguagem comum e a adoção de critérios de formaliza-ção e emprego de símbolos, a lógica formal converteu-se numa disciplina associada à matemática.

Em 1854, George Boole descobriu que os conectivos, ou operadores,

propostos por Aristóteles para as proposições (do tipo "e", "ou", "não" etc.) seguiam regras similares às da soma e da multiplicação. Projetou, então, a chamada álgebra de Boole, que se baseia na lógica binária de "verdadeiro" e "falso" como alternativas para cada proposição.

Pouco depois, Georg Cantor criou a teoria dos conjuntos e suas opera-

ções. Definiu conjunto como a união de objetos que satisfazem proprieda-des exprimíveis, e conjunto de conjuntos como um novo conjunto que contém a si mesmo, sendo um de seus próprios elementos. Bertrand Rus-sell detectou o paradoxo desse raciocínio e argumentou que um conjunto pertence à primeira categoria se não contém a si mesmo, e à segunda se contém a si mesmo como elemento. Assim, se o conjunto A tem como elementos os conjuntos da primeira categoria, não pode, por dedução, pertencer a nenhuma das duas categorias mencionadas, ainda que inicial-mente se atribuísse uma categoria a cada conjunto.

Ernst Zermelo formulou em 1904 um axioma de escolha sobre conjun-

tos não-vazios, isto é, que contêm elementos. Numa família de conjuntos não-vazios, qualquer que seja seu tamanho, pode-se escolher ao mesmo tempo um elemento de cada conjunto e considerar o conjunto A, que não podia pertencer a nenhuma categoria, como constituído desses elementos. Com esse axioma puderam ser demonstrados teoremas matemáticos clássicos carentes de lógica aparente, mas ao mesmo tempo começou a polêmica quanto à validade dos teoremas demonstrados com base nele, e a equiparação destes com aqueles que não necessitam desse axioma para sua demonstração. Enfim, tornou-se prática indicar se em determinado teorema havia sido usado ou não o axioma de escolha.

Para Kurt Gödel, um sistema matemático que só fosse suficiente para a

aritmética clássica seria necessariamente incompleto. Acrescentou que qualquer sistema pode ser coerente ao se lhe incorporar o axioma de escolha, e assim se mantém quando nele se inclui a negação desse mesmo axioma. A hipótese de continuidade geral também é coerente com a mate-mática comum, que mantém a coerência quando se lhe acrescentam simul-taneamente o axioma de escolha e a hipótese de continuidade geral. Essa hipótese propõe uma explicação provável de um fato ou série de fatos cuja verdadeira causa se desconhece.

Sistemas e subsistemas lógicos. No século XX, define-se sistema como

um conjunto cujos elementos estão em interação e no qual prevalecem as relações recíprocas entre os elementos, e não os elementos em si. Por sua própria natureza, sistema é um conjunto de partes, o que significa que pode ser analisado. O conjunto como um todo, porém, não pode ser obtido pela simples acumulação das partes. A trama das relações entre os elementos constitui a estrutura do sistema, ou, o que é a mesma coisa, o mecanismo de articulação de suas partes.

As grandezas tomadas para descrever um sistema não são sempre as

mesmas. Se uma delas se comporta de forma particular, deve ter proprie-dades que suscitam tal comportamento e dêem lugar a certas regras de organização. Os sistemas têm limites precisos, de modo que é possível determinar sem ambiguidades se um elemento pretence a um ou a outro sistema.

Os sistemas classificam-se em fechados, se não permutam matéria

com o exterior, mesmo que haja permuta de energia para chegar ao equilí-brio, e abertos, se podem permutar matéria e energia com o exterior e tendem à estabilidade. Os últimos se caracterizam por um comportamento não plenamente determinado por uma cadeia causal, nem por puro acaso.

Os sistemas abertos tendem a se manter no estado em que melhor se adequam a possíveis perturbações. Essa tendência à estabilidade lhes permite alcançar um estado final característico a partir de estados iniciais distintos e caminhos diferentes. A atuação ou comportamento de cada subsistema ou componente de um sistema se difunde pelo sistema inteiro. Os sistemas são representados formalmente mediante modelos, e chama-se simulação a geração de possíveis estados do sistema pelo modelo que representa.

Conceitos de lógica matemática. O processo dedutivo matemático exi-

ge rigor. O modelo tradicional de um sistema consiste na apresentação das assertivas principais em forma de teoremas, como já o fizera Euclides na Grécia antiga. Formalmente, dá-se o nome de teorema a uma proposição cuja validade se prova por demonstração. Assim, os axiomas, que se definem como primeiros teoremas e se admitem sem demonstração, per-tencem a uma categoria lógica diferente. Os teoremas se demonstram a partir de outros teoremas, mediante procedimentos de dedução ou indução nos quais se encadeiam consequências lógicas. A axiomática da matemáti-ca, e das ciências em geral, constitui o elemento básico para a dedução de teoremas derivados, e a escolha adequada dos axiomas é um dos pontos mais delicados na elaboração dos modelos de qualquer sistema. Um con-junto de axiomas é aceitável, do ponto de vista matemático, quando tem coerência lógica, o que implica que de um mesmo axioma não é possível deduzir dois teoremas contraditórios.

Desenvolvendo certo raciocínio, conclui-se que, além dos axiomas, as

próprias regras de dedução deveriam estar sujeitas a variações. Quando os axiomas e regras de dedução são abertos, fala-se de sistema matemático, ou formal, que exige que o sistema seja coerente uma vez estabelecido o método. Quando se pode demonstrar uma proposição ou sua negativa, o sistema é completo. Se um sistema que contém um teorema se altera, a mesma proposição, ou a que corresponde à nova entidade, passa a ser duvidosa ou inteiramente falsa. Mesmo que sua validade se mantenha, seria preciso uma nova demonstração, devido à possibilidade de que os axiomas ou as regras de dedução do sistema tenham perdido sua pertinên-cia.

As regras básicas da lógica matemática exigem a formulação de enun-

ciados, nos quais se definem previamente os conceitos da proposição, e predicados ou sentenças matemáticas que empregam os enunciados descritos anteriormente.

A terminologia e a metodologia da lógica matemática tiveram, ao longo

do século XX, importante papel no progresso das novas ciências da infor-mática e cibernética. Desde as origens, elas adotaram as estruturas formais da lógica binária e da álgebra de Boole e empregaram a filosofia de enunci-ado-predicado em suas proposições, numa axiomática e num conjunto de regras hipotético-dedutivas definidas previamente. ©Encyclopaedia Britan-nica do Brasil Publicações Ltda.

PROPOSIÇÃO Segundo Quine, toda proposição é uma frase mas nem toda frase é

uma proposição; uma frase é uma proposição apenas quando admite um dos dois valores lógicos: Falso (F)ou Verdadeiro (V). Exemplos:

1. Frases que não são proposições o Pare! o Quer uma xícara de café? o Eu não estou bem certo se esta cor me agrada 2. Frases que são proposições o A lua é o único satélite do planeta terra (V) o A cidade de Salvador é a capital do estado do Amazonas (F) o O numero 712 é ímpar (F) o Raiz quadrada de dois é um número irracional (V) Composição de Proposições É possível construir proposições a partir de proposições já existentes.

Este processo é conhecido por Composição de Proposições. Suponha que tenhamos duas proposições,

1. A = "Maria tem 23 anos" 2. B = "Maria é menor" Pela legislação corrente de um país fictício, uma pessoa é considerada

de menor idade caso tenha menos que 18 anos, o que faz com que a

http://www.inf.ufsc.br/ine5365/bibliog.html#QUINE,



proposição B seja F, na interpretação da proposição A ser V. Vamos a alguns exemplos:

1. "Maria não tem 23 anos" (nãoA) 2. "Maria não é menor"(não(B)) 3. "Maria tem 23 anos" e "Maria é menor" (A e B) 4. "Maria tem 23 anos" ou "Maria é menor" (A ou B) 5. "Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B) 6. "Maria não tem 23 anos" ou "Maria é menor" (não(A) ou B) 7. "Maria tem 23 anos" ou "Maria não é menor" (A ou não(B)) 8. "Maria tem 23 anos" e "Maria não é menor" (A e não(B)) 9. Se "Maria tem 23 anos" então "Maria é menor" (A => B) 10. Se "Maria não tem 23 anos" então "Maria é menor" (não(A) =>

B) 11. "Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B) 12. "Maria tem 18 anos" é equivalente a "Maria não é menor" (C

<=> não(B)) Note que, para compor proposições usou-se os símbolos não (nega-

ção), e (conjunção), ou (disjunção), => (implicação) e, finalmente, <=> (equivalência). São os chamados conectivos lógicos. Note, também, que usou-se um símbolo para representar uma proposição: C representa a proposição Maria tem 18 anos. Assim, não(B) representa Maria não é menor, uma vez que B representa Maria é menor.

Algumas Leis Fundamentais

Lei do Meio Excluido Um proposição é falsa (F) ou verdadei-ra (V): não há meio termo.

Lei da Contradição Uma proposição não pode ser, simul-taneamente, V e F.

Lei da Funcionalidade

O valor lógico (V ou F) de uma propo-sição composta é unicamente determi-nada pelos valores lógicos de suas proposições constituintes.

PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS

Proposição - é todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes.

Exemplo: a) a lua é um satélite da Terra; b) O sol é amarelo; c) Brasília é a capital do Brasil. Princípios Adotados como Regras Fundamentais do Pensamento,

na Lógica Matemática • Princípio da não contradição - uma proposição não pode ser

verdadeira e falsa ao mesmo tempo. • Princípio do terceiro excluído - toda proposição ou é verdadeira

ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.

Valores Lógicos das Proposições Chama-se valor lógico de uma proposição a verdade se a proposição é

verdadeira e a falsidade se a proposição é falsa.

Valor Lógico Símbolo de Designação

Verdade V

Falsidade F

Toda proposição tem um e um só dos valores V, F (de acordo os dois

princípios supracitados). Exemplo: a) o mercúrio é mais pesado que a água; valor lógico da proposição:

verdade (V) b) o sol gira em torno da Terra; valor lógico da proposição: falsidade

(F)

TIPOS DE PROPOSIÇÃO Simples ou Atômicas - é a proposição que não contém nenhuma ou-

tra proposição como parte integrante de si mesma. As proposições simples são geralmente designadas por letras minúsculas p, q, r, s ..., chamadas letras proposicionais.

Observação: Pode ser usada qualquer letra do alfabeto minúsculo para

representar uma proposição simples. Exemplo: p: Oscar é prudente; q: Mário é engenheiro; r: Maria é morena. Composta ou Molecular - é a proposição formada pela combinação

de duas ou mais proposições. São habitualmente designadas por letras maiúsculas P, Q, R, S ..., também denominadas letras proposicionais.

Exemplo: p : Walter é engenheiro E Pedro é estudante; q : Mauro é dedicado OU Pedro é trabalhador; r : SE Flávio é estudioso ENTÃO será aprovado. Observação: As proposições compostas são também denominadas

fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas. Quando interessa destacar que uma proposição composta P é formada pela combinação de proposi-ções simples, escreve-se: P ( p, q, r ...);

Conectivos - são palavras que se usam para formar novas proposi-

ções a partir de outras. Exemplo: P: 6 é par E 8 é cubo perfeito; Q: NÃO vai chover; R: SE Mauro é médico, ENTÃO sabe biologia; S: o triângulo ABC é isósceles OU equilátero; T: o triângulo ABC é equilátero SE E SOMENTE SE é equilátero. São conectivos usuais em lógica Matemática as palavras que estão gri-

fadas, isto é "e", "ou", "não", "se ... então", "... se e somente se ..." TABELA VERDADE Proposição simples - Segundo o princípio do terceiro excluído, toda

proposição simples p,é verdade ou falsa, isto é, tem o valor lógico verdade (V) ou o valor lógico falso (F).

p

V

F

Proposição composta - O valor lógico de qualquer proposição com-

posta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinados.

Tabela-Verdade É um dispositivo prático muito usado para a determinação do valor lógi-

co de uma proposição composta. Neste dispositivo figuram todos os possí-veis valores lógicos da proposição composta, correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componen-tes.

Proposição Composta - 02 proposições simples Assim, por exemplo, no caso de uma proposição composta cujas pro-

posições simples componentes são p e q, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p e a q são:

p q

V V

V F

F V

F F



Observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de dois em dois para a primeira proposição p e de um em um para a segunda proposição q, e que, além disso, VV, VF, FV e FF são os arranjos binários com repetição dos dois elementos V e F.

Proposição Composta - 03 proposições simples No caso de uma proposição composta cujas proposições simples com-

ponentes são p, q e r as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, a q e a r são:

p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de

quatro em quatro para a primeira proposição p, de dois em dois para a segunda proposição q e de um em um para a terceira proposição r, e que, além disso, VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF sãos os arranjos ternários com repetição dos dois elementos V e F.

Notação O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim,

exprime-se que p é verdadeira (V), escrevendo: V(p) = V. Analogamente, exprime-se que p é falsa (F), escrevendo: V(p) = F. Exemplos: p: o sol é verde; q: um hexágono tem nove diagonais; r: 2 é raiz da equação x² + 3x - 4 = 0 V(p) = F V(q) = V V(r) = F

OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES

Operações Lógicas Fundamentais Quando pensamos, efetuamos muitas vezes certas operações sobre

proposições, chamadas operações lógicas. As operações lógicas obede-cem regras de um cálculo, denominado cálculo proposicional, semelhante ao da aritmética sobre números

Negação Chama-se negação de uma proposição p a proposição representada

por "não p", cujo valor lógico é verdade (V) quando p é falso e falsidade quando p é verdadeiro.

Assim, "não p" tem valor lógico oposto daquele de p. Simbolicamente, a negação de p é indicada com notação "~ p", que se

lê "não p". O valor lógico da negação de uma proposição é, portanto, defini-do pela seguinte tabela-verdade:

p ~ p

V F

F V

ou seja, pelas igualdades ~ V = F e ~ F = V V (~ p) = ~ V(p) O valor lógico da negação de p é igual à negação do valor lógico de p. Em linguagem comum a negação efetua-se nos casos mais simples,

antepondo o advérbio "não" ao verbo da proposição dada.

Exemplo: p : o sol é uma estrela ~p : o sol não é uma estrela Outra maneira de efetuar a negação consiste em antepor à proposição

dada expressões tais como "não é verdade que", "é falso que". Exemplo: q : Carlos é engenheiro ~q : é falso que Carlos é engenheiro; ~q : não é verdade que Carlos é engenheiro. ~q : não acontece que Carlos é engenheiro. Conjunção Chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição repre-

sentada por "p e q", cujo valor lógico é a verdade (V) quando as proposi-ções p e q são verdadeiras e a falsidade (F) nos demais casos.

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Disjunção Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição represen-

tada por p ou q, cujo o valor lógico é a verdade (V) quando ao menos uma das proposições p e q é verdadeira e a falsidade (F) quando as proposições p e q são ambas falsas.

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

Disjunção Exclusiva Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição

representada simbolicamente por p V q, que se lê: "ou p ou q" ou "p ou q, mas não ambos", cujo valor lógico é a verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são ambas verdadei-ras, e a falsidade (F) quando p e q são ambas verdadeiras ou falsas.

p q q

V V F

V F V

F V V

F F F

Condicional Chama-se proposição condicional ou apenas condicional uma proposi-

ção representada por "se p então q", cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa e a verdade (V) nos demais casos.

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Bicondicional Chama-se proposição bicondicional ou apenas bicondicional uma pro-

posição representada por "p se e somente q", cujo valor lógico é a verda-de(V) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas, e a falsidade (F) nos demais casos.

p q q

V V V



V F F

F V F

F F V

Tabelas-verdade: Tautologia, Contradição e Contingência

Construção de Tabelas - Verdade Dada várias proposições simples p, q, r , ..., podemos combiná-las pe-

los conectivos lógicos:

Negação ~

Conjunção

Disjunção

Condicional

Bicondicional

e construir proposições compostas, tais como:

P(p,q) = ~ p (p q)

Q(p,q) = (p ~ q) q

R(p,q,r) = (p ~ q r ) ~ (q (p ~ r)) Tabela Verdade de uma Proposição Composta Então, com o emprego das tabelas verdade das operações lógicas fun-

damentais é possível construir a tabela verdade esta que mostrará exata-mente os casos em que a proposição composta será verdadeira (V) ou falsa (F), admitindo-se, como é sabido, que o seu valor lógico só depende dos valores lógicos das proposições simples componentes.

Números de Linhas de uma Tabela Verdade O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta

depende do número de proposições simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema:

A tabela-verdade de uma proposição composta, com n proposições

simples componentes, contém 2 elevado a n linhas. Para se construir a tabela-verdade de uma proposição composta dada,

procede-se da seguinte maneira: a. determina-se o número de linhas da tabela- verdade que se quer

construir; b. observa-se a precedência entre os conectivos, isto é, determina-se

a forma das proposições que ocorrem no problema; c. aplicam-se as definições das operações lógicas que o problema

exigir.

Exemplo

Construir a tabela-verdade da proposição: P(p,q) = ~ (p ~ q)

p q ~ q p ~ q ~ ( ~ q)

V V F F V

V F V V F

F V F F V

F F V F V

O uso de parênteses É óbvia a necessidade de usar parêntesis na simbolização

das proposições, que devem ser colocados para evitar qual-quer tipo de ambiguidade. Assim, por exemplo, a expressão p

q r dá lugar, colocando parêntesis, às duas seguintes proposições:

(i) (p q) r

(ii) p ( q r) que não têm o mesmo significado lógico, pois na (i) o co-

nectivo principal é " ", e na (ii), o conectivo principal é " ".

Por outro lado, em muitos casos, parêntesis podem ser suprimidos, a fim de simplificar as proposições simbolizadas, desde que, naturalmente, ambiguidade alguma venha a aparecer.

A supressão de parêntesis nas proposições simbolizadas se faz medi-

ante algumas convenções, das quais são particularmente importante as duas seguintes:

A "ordem de precedência" para os conectivos é:

(1º) ~ ; (2º) e ; (3º) ; (4º) Portanto o conectivo mais "fraco" é "~" e o conectivo mais

"forte" é " ". Assim, por exemplo, a proposição:

pq s r é uma bicondicional e nunca uma condicional ou uma con-

junção. Para convertê-la numa condicional há que usar parên-

tesis: p (q s r)

e para convertê-la em uma conjunção: (p q s) r Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente

repetido, suprimem-se os parêntesis, fazendo-se a associa-ção a partir da esquerda.

Exemplo:

((~ (~ (p q))) (~ p) fica como ~ ~ (p q ) ~ p TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇÕES E CONTINGÊNCIAS Tautologia - Chama-se tautologia toda a proposição composta cuja úl-

tima coluna de sua tabela-verdade encerra somente a letra V (verdadeira). Em outros termos, Tautologia é toda proposição composta P(p, q, r...) cujo valor lógico é sempre (V) verdade, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes.

Exemplos:

a) A proposição "~ (p ~ p)" (Princípio da não contradi-ção) é tautológica, conforme se vê pela sua tabela-verdade:

p ~ p p ~ p ~ (p ~ q)

V F F V

F V F V

b) A proposição "p ~ p" (Princípio do terceiro excluído) é uma tautologia.

p ~ p p ~ p

V F V

F V V

Contradição - Chama-se contradição toda a proposição composta cuja

última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra F (falsidade). Em outros termos, contradição é toda proposição composta P(p, q, r,...)

cujo valor lógico é sempre F (falsidade), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes p, q, r, ... Como uma tauto-logia é sempre verdadeira (V), a negação de uma tautologia é sempre falsa (F), ou seja, é uma contradição, e vice-versa.

p ~ p p ~ p

V F F

F V F

p ~ p p ~ p

V F F

F V F



Contingência - Chama-se contingência toda a proposição composta em cuja última coluna de sua tabela-verdade figuram as letras V e F cada uma pelo menos uma vez.

Em outros termos, contingência é toda proposição composta que não é

tautologia nem contradição. As contingências são também denominadas proposições contingentes ou proposições indeterminadas.

p ~ p p ~ p

V F F

F V V

Álgebra das proposições

Equivalência Lógica Diz-se que uma proposição P (p, q, r, ...) é logicamente equivalente ou

apenas equivalente a uma proposição Q (p, q, r, ...), se as tabelas-verdade destas duas proposições são idênticas.

Indica-se que a proposição P (p, q, r, ...) é equivalente a proposição Q

(p, q, r, ...) com a notação P (p, q, r, ...) Em particular, se as proposições P (p, q, r, ...) e Q (p, q, r, ...) são am-

bas tautológicas ou são ambas contradições, então são equivalentes. Equivalências Notáveis Propriedades da Conjunção Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições

também simples cujos valores lógicos respectivos são V (verdade) e F (falsidade).

(a) Idempotente : p p p

p p p p p p

V V V

F F V

(b) Comutativa : p q q p

p q p q q p p q q p

V V V V V

V F F F V

F V F F V

F F F F V

(c) Associativa : (p q) r p (q r)

p q r p q (p q) r q r p (q r) (p q) r

p (q r)

V V V V V V V V

V V F V F F F V

V F V F F F F V

V F F F F F F V

F V V F F V F V

F V F F F F F V

F F V F F F F V

F F F F F F F V

As colunas 5 e 7 são equivalentes

(d) Identidade: p t p e p c c

p t c p t p c p t p p c c

V V F V F V V

F V F F F V V

As colunas equivalentes são 1, 4 e 3, 5. Propriedades da Disjunção Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições

também simples cujos valores lógicos respectivos são V (verdade) e F (falsidade).

(a) Idempotente : p p p

p p p p p p

V V V

F F V

(b) Comutativa: p q q p

p q p q q p p q q p

V V V V V

V F V V V

F V V V V

F F F F V

(c) Associativa: (p q) r p (q r)

p q r p q (p q) r q r p (q r) (p q) r

p (q r)

V V V V V V V V

V V F V V V V V

V F V V V V V V

V F F V V F V V

F V V V V V V V

F V F V V V V V

F F V F V V V V

F F F F F F F V


(d) Identidade : p t t e p c p

p t c p t p c p t p p c c

V V F V V V V

F V F V F V V

As colunas equivalentes são 1, 5 e 2, 4.

Propriedades da Conjunção e da Disjunção

(a) Distributivas

(i) p (q r) (p q) (p r)

p q r q r p (q r) p q p r (p q)

(p r)

V V V V V V V V

V V F V V V F V



V F V V V F V V

V F F F F F F F

F V V V F F F F

F V F V F F F F

F F V V F F F F

F F F F F F F F


(ii) p (q r) (p q) (p r)

p q r q

r

p (q

r)

p

q

p

r

(p q)

(p r)

V V V V V V V V

V V F F V V V V

V F V F V V V V

V F F F V V V V

F V V V V V V V

F V F F F V F F

F F V F F F V F

F F F F F F F F


(b) Absorção

(i) p (p q) p

p q p q p (p q) p (p q) p

V V V V V

V F V V V

F V V F V

F F F F V


(ii) p (p q) p

p q p q p (p q) p (p q) p

V V V V V

V F F V V

F V F F V

F F F F V


(c) Regras de DE MORGAN (1806 – 1871)

(i) ~ (p q) ~ p ~ q

p q p q ~ (p q) ~ p ~ q ~ p ~

q

V V V F F F F

V F F V F V V

F V F V V F V

F F F V V V V


(ii) ~ (p q) ~ p ~ q

p q p q ~ (p q) ~ p ~ q ~ p ~ q

V V V F F F F

V F V F F V F

F V V F V F F

F F F V V V V


Condicional

p q ~ p q

p q p q ~ p ~ p q

V V V F V

V F F F F

F V V V V

F F V V V

As colunas 3 e 5 são equivalentes Argumentos e suas validades REPRESENTAÇÃO DE ARGUMENTOS USANDO O FLUXOGRAMA Introdução A quem interessa o estudo da lógica? Aos filósofos? Aos matemáticos?

Aos homens de ciências? Proposta: analise as mensagens abaixo e seus argumentos. Ou você é a favor do presidente ou você é contra a reeleição. Você não é a favor do presidente. Conclui-se que: Você é contra a reeleição. Criança que tem brinquedo roletrex é feliz. A criança é feliz. Conclui-se que: A criança tem brinquedo roletrex. O primeiro argumento tem um erro de falsa dicotomia e o segundo in-

duz a pensar que o antecedente segue do consequente, ou o contrário. Vivemos no nosso dia-a-dia recebendo mensagens publicitárias através

dos mais diversos meios e argumentando com nossos interlocutores a respeito dos mais diversos assuntos. Para que não caiamos prisioneiros de argumentos enganosos (as falácias) ou de frases ambíguas, faz-se neces-sário um mínimo de conhecimento de lógica. Assim, podemos afirmar que o estudo da lógica interessa a todos.

Definição de Argumento Consideremos a informação extraída da seção Ciência, do Jornal do

Brasil, de 5 de julho de 1997, a respeito do pouso da sonda Pathfinder, em Marte.

"Um sinal de rádio emitido pela nave para euforia dos cientistas que acompanhavam a missão do centro de controle indicou que a Pathfinder havia penetrado com sucesso na atmosfera marciana..."

Podemos reconstituir esta informação da seguinte maneira:

Alguns cientistas acompanhavam a missão do centro de controle (NASA).

Um sinal de rádio foi emitido pela nave (para o centro de controle).

(O sinal de rádio) indicou que a Pathfinder havia penetrado com sucesso a atmosfera marciana.

Os cientistas ficaram eufóricos. Notemos nesta reconstituição que a afirmação "Os cientistas ficaram

eufóricos" decorre das declarações anteriores. Temos, aí, um argumento.



Sejam P1, P2,...,P e Q proposições quaisquer, simples ou compostas.

Chama-se argumento toda a afirmação de que uma dada sequência fi-nita P1, P2,...,P de proposições tem como consequência ou acarreta uma proposição final Q.

As proposições P1, P2,..., P dizem-se as premissas do argumento, e a proposição final Q diz-se a conclusão do argumento.

Um argumento de premissas P1, P2,...,P e de conclusão Q indica-se por:

P1, P2,...,P e se lê: "P1P2,...,P acarretam Q". Na forma padronizada as premissas invocadas para "servir de justifica-

tiva", acham-se sobre o traço horizontal e a conclusão do argumento estará sob o mesmo traço horizontal.

Validade de um Argumento Um argumento P1,P2,...,P Q diz-se válido se e somente se a conclusão

Q é verdadeira todas as vezes que as premissas P1,P2,...,P são verdadei-ras.

Portanto, todo argumento válido goza da seguinte característica: A ver-dade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão.

Um argumento não-válido diz-se um sofisma.

Deste modo, todo argumento tem um valor lógico, digamos V se é váli-do(correto, legítimo) ou F se é um sofisma(incorreto, ilegítimo).

As premissas dos argumento são verdadeiras ou, pelo menos admiti-das como tal. Aliás, a Lógica só se preocupa com a validade dos argumen-tos e não com a verdade ou falsidade das premissas e das conclusões.

A validade de um argumento depende exclusivamente da relação exis-

tente entre as premissas e a conclusão. Portanto, afirmar que um dado argumento é válido significa afirmar que as premissas são verdadeiras.

Regras de inferência usadas para demonstrar a validade dos ar-

gumentos

Regra de adição (AD):

i) ii)

Regra de simplificação (SIMP):

i) ii)

Regra da conjunção (CONJ):

i) ii)

Regra da absorção(ABS):

Regra modus ponens(MP):

Regra modus tollens(MT):

Regra do silogismo disjuntivo(SD):

i) ii)

Regra do silogismo hipotéti-co(SH):

Regra do dilema construtivo(DC):

Regra do dilema destrutivo(DD):

Com o auxílio destas dez regras de inferência pode-se demonstrar a validade de um grande número de argumento mais complexos.

A validade de qualquer argumento pode ser demonstrada, verificada e testada mediante Tabelas-verdade, Regra de Inferência, Equivalências e Fluxogramas. Nos deteremos, agora, nos fluxogramas.

O fluxograma constitui um método alternativo para as Tabelas-verdade na verificação da validade de um argumento, no qual se ilustra o raciocínio utilizado.

Neste método, para verificação da validade de um argumento ou prova de um teorema, procede-se da seguinte maneira:

1. consideram-se as premissas verdadeiras; 2. aplicam-se as definições dos conectivos lógicos para determinar o

valor lógico da conclusão que deverá se a verdade(V), para que o argumento seja válido ou o teorema provado;

Caso ocorram situações em que não se possa determinar o valor lógico da conclusão, ou em que F = V(contradição), o argumento não é válido.

O teste de validade de argumentos ou prova de teoremas mediante o uso do fluxograma pode ser feito pelo método direto ou indireto (por absur-do).

http://mjgaspar.sites.uol.com.br/logica

LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO

A argumentação é um instrumento sem o qual não podemos compre-

ender melhor o mundo nem intervir nele de modo a alcançar os nossos objetivos; não podemos sequer determinar com rigor quais serão os melho-res objetivos a ter em mente.

Os seres humanos estão sós perante o universo; têm de resolver os seus problemas, enfrentar dificuldades, traçar planos de ação, fazer esco-lhas. Para fazer todas estas coisas precisamos de argumentos. Será que a Terra está imóvel no centro do universo? Que argumentos há a favor dessa ideia? E que argumentos há contra ela? Será que Bin-Laden é responsável pelo atentado de 11 de Setembro? Que argumentos há a favor dessa ideia? E que argumentos há contra? Será que foi o réu que incendiou proposita-damente a mata? Será que o aborto é permissível? Será que Cristo era um deus? Será que criaremos mais bem-estar se o estado for o dono da maior parte da economia? Será possível curar o cancro? E a Sida? O que é a consciência? Será que alguma vez houve vida em Marte?

Queremos respostas a todas estas perguntas, e a muitas mais. Mas as respostas não nascem das árvores nem dos livros estrangeiros; temos de ser nós a procurar descobri-las. Para descobri-las temos de usar argumen-tos. E quando argumentamos podemos enganar-nos; podemos argumentar bem ou mal. É por isso que a lógica é importante.

A lógica permite-nos fazer o seguinte: 1) Distinguir os argumentos corretos dos incorretos; 2) Compreender por que razão uns são corretos e outros não; e 3) Aprender a argumentar corretamente.

Os seres humanos erram. E não erram apenas no que respeita à in-formação de que dispõem. Erram também ao pensar sobre a informação de que dispõem, ao retirar consequências dessa informação, ao usar essa informação na argumentação. Muitos argumentos inválidos não são enga-nadores: são obviamente inválidos. Mas alguns argumentos inválidos parecem válidos. Por exemplo, muitas pessoas sem formação lógica aceita-riam o seguinte argumento:

Tem de haver uma causa para todas as coisas porque todas as coisas têm uma causa.

Contudo, este argumento é inválido. A lógica ajuda-nos a compreender por que razão este argumento é inválido, apesar de parecer válido. O argumento é inválido porque ainda que a premissa seja verdadeira, a conclusão pode ser falsa.

Retirado do livro O Lugar da Lógica na Filosofia (Plátano, 2003)



RACIOCÍNIO LÓGICO – VERDADES & MENTIRAS

Nos enunciados abaixo, encontraremos uma série de declarações en-

trelaçadas entre si, e que, a princípio, não sabemos se são declarações verdadeiras ou mentirosas. Facilmente identificaremos que a questão é uma dessas, de “verdades & mentiras”. Vejamos uma delas abaixo:

01) (ESAF) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Per-guntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu:

Armando: "Sou inocente" Celso: "Edu é o culpado" Edu: "Tarso é o culpado" Juarez: "Armando disse a verdade" Tarso: "Celso mentiu" Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os ou-

tros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é: a) Armando b) Celso c) Edu d) Juarez e) Tarso Sol.: Pois bem! Questão recente da Esaf, extraída de uma prova de ní-

vel superior. Percebemos que as cinco pessoas envolvidas na trama do enunciado (Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso) estão fazendo uma declaração! Que pode ser uma verdade ou uma mentira! Como procedere-mos?

O primeiro passo será, senão outro, relacionar todas as declarações feitas no enunciado. Façamos isso:

Armando: "Sou inocente" Celso: "Edu é o culpado" Edu: "Tarso é o culpado" Juarez: "Armando disse a verdade" Tarso: "Celso mentiu" Agora, veremos que, além das declarações, o enunciado dessas ques-

tões de “verdade e mentira” SEMPRE nos fornecerão alguma ou algumas INFORMAÇÕES ADICIONAIS!

Estas informações adicionais serão a base do raciocínio que iremos desenvolver para resolver a questão! Em geral, são informações referentes às pessoas envolvidas na situação do enunciado, ou referentes ao número de pessoas que estariam mentindo ou dizendo a verdade, em suas decla-rações!

Procuremos nesse nosso enunciado, se há e quais são essas informa-ções adicionais!

Achamos? Claro. São as seguintes: 1º) O crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa. Podemos inclusive traduzir essa informação apenas como sendo: Só há um culpado! E, teremos ainda: 2º) Apenas um dos suspeitos mentiu e todos os outros disseram a ver-

dade. Traduziremos por: Só há um mentiroso! Percebamos que, até aqui, nada fizemos, além de reunir os dados do

enunciado, com os quais iremos trabalhar a nossa resolução. Mas esse procedimento é ESSENCIAL!

Daí, transcrevendo novamente tudo o que vamos precisar para “matar a questão”, teremos:

INFORMAÇÕES ADICIONAIS: 1º) Só há um culpado. 2º) Só há um mentiroso. DECLARAÇÕES: 1º) Armando: "Sou inocente" 2º) Celso: "Edu é o culpado" 3º) Edu: "Tarso é o culpado" 4º) Juarez: "Armando disse a verdade" 5º) Tarso: "Celso mentiu"

Passemos à resolução propriamente dita! O que faremos agora é CRIAR UMA HIPÓTESE de verdades ou menti-

ras para as declarações que dispomos, partindo do que nos fornecem as informações adicionais.

Acerca da verdade ou mentira das declarações, o que nos dizem as in-

formações adicionais? Ora, dizem-nos que haverá apenas um mentiroso! Logo, você pode perfeitamente criar a HIPÓTESE de que a pessoa que

mente seja a primeira da fila (a que está fazendo a primeira declaração), no caso, o Armando. Se você está SUPONDO que o Armando está mentindo, restará perfeitamente claro que as demais pessoas estarão dizendo a verdade (uma vez que sabemos que só há um mentiroso)!

Daí, para essa nossa PRIMEIRA HIPÓTESE, podemos até criar um

esqueminha. Vejamos:

hipótese I

DECLARAÇÕES: 1º) Armando: "Sou inocente" --------------- Mentira 2º) Celso: "Edu é o culpado" --------------- Verdade 3º) Edu: "Tarso é o culpado" ---------------- Verdade 4º) Juarez: "Armando disse a verdade" ---- Verdade 5º) Tarso: "Celso mentiu" ------------------- Verdade

E agora, o que fazer? Ora, não podemos esquecer que essas atribui-

ções de VERDADE e MENTIRA que fizemos para cada declaração são apenas uma HIPÓTESE, uma SUPOSIÇÃO. Não sabemos ainda se esta HIPÓTESE será aquela que resolverá a questão!

E como poderemos estar certos se esta hipótese servirá para nós? TESTANDO-A!

É o que faremos agora. Iremos extrair as CONCLUSÕES desta nossa HIPÓTESE criada. Vejamos:

hipótese I

1º) Armando: "Sou inocente" --------------- Mentira 2º) Celso: "Edu é o culpado" --------------- Verdade 3º) Edu: "Tarso é o culpado" ---------------- Verdade 4º) Juarez: "Armando disse a verdade" ---- Verdade 5º) Tarso: "Celso mentiu" ------------------- Verdade

CONCLUSÕES: Da primeira declaração, extraímos que, se é MENTIRA o que Ar-

mando está dizendo, então, concluímos que: Armando é culpado. Da segunda declaração, extraímos que, se é VERDADE o que

Celso está declarando, então, concluímos que: Edu é culpado. Ora, basta analisarmos estas duas primeiras conclusões, e já perce-

bemos que elas estão entrando em CHOQUE, estão INCOMPATÍVEIS, estão CONFLITANTES! E por quê? Porque uma das nossas INFORMA-ÇÕES ADICIONAIS nos diz que SÓ HÁ UM CULPADO.

Somente estas duas primeiras conclusões já nos levariam a dois cul-pados pelo crime, o que não pode acontecer!

Daí, descobrimos que A PRIMEIRA HIPÓTESE NÃO FUNCIONOU! Não é com ela que chegaremos à resposta da questão. E quando isso ocorrer, o que teremos de fazer, então? Teremos, obviamente, de passar a uma SEGUNDA HIPÓTESE!

Se na primeira hipótese (que falhou), dissemos que o mentiroso era a primeira pessoa, podemos perfeitamente agora supor que quem disse a mentira foi a segunda pessoa da fila, aquela que fez a segunda declaração. Então, de acordo com essa nova hipótese, teríamos que:

(hipótese

descartada!)

hipótese I hipótese II

1º) Armando: "Sou inocente" --------------- Mentira Verdade 2º) Celso: "Edu é o culpado" --------------- Verdade Mentira 3º) Edu: "Tarso é o culpado" --------------- Verdade Verdade 4º) Juarez: "Armando disse a verdade" -- Verdade Verdade 5º) Tarso: "Celso mentiu" ------------------- Verdade Verdade

Para descobrirmos se a HIPÓTESE II servirá para a nossa resolução,

teremos que extrair dela as nossas conclusões.



Teremos: CONCLUSÕES: Da primeira declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Ar-

mando está dizendo, então, concluímos que: Armando é inocen-te.

Da segunda declaração, extraímos que, se é MENTIRA o que Cel-so está declarando, então, concluímos que: Edu é inocente.

Da terceira declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Edu está declarando, então, concluímos que: Tarso é culpado.

Da quarta declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Jua-rez está declarando, então, concluímos que: Armando diz a ver-dade. Neste momento, temos que nos reportar ao ARMANDO, e confirmar se ele, nesta nossa hipótese, está mesmo dizendo a ver-dade! E aí? Armando diz a verdade ou não? Sim, ele diz. Então, esta nossa quarta conclusão está COERENTE com as demais.

Da quinta e última declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Tarso está dizendo, então, concluímos que: Celso mentiu. Também aqui nos reportaremos ao CELSO, e conferiremos se ele de fato mentiu! E aí, Celso mentiu ou não? Sim! Pela nossa hipóte-se em análise, Celso de fato mentiu. Deste modo, novamente, não achamos nenhuma INCOMPATIBILIDADE entre essa conclusão e as demais.

Feita essa análise, eu pergunto: as conclusões que extraímos da nossa SEGUNDA HIPÓTESE estão COMPATÍVEIS ENTRE SI? Estão de acordo com o que mandam as INFORMAÇÕES ADICIONAIS? Ou, ao contrário, estariam entrando em choque umas com as outras? Ora, observamos que as conclusões são COMPATÍVEIS, e estão plenamente de acordo com as informações adicionais do enunciado. Daí, diremos que esta segunda hipótese é a que de fato resolve a questão!

Quem foi o culpado do crime? O culpado foi Tarso, e somente ele!

Questão respondida! Uma observação: se, acaso, ao trabalharmos com a SEGUNDA HIPÓ-

TESE, houvéssemos chegado (como se deu com a primeira hipótese) a conclusões conflitantes entre si, e conflitantes com as informações adicio-nais do enunciado, então teríamos que criar uma TERCEIRA HIPÓTESE, e passar a analisá-la, tal qual foi feito com as anteriores. E esse processo de criação da hipótese e análise das conclusões iria se repetir, até que che-gássemos a uma hipótese da qual extrairíamos conclusões compatíveis, coerentes entre si, e que estariam de acordo com as informações adicionais do enunciado.

Dito isso, podemos traçar uma sequência de passos, que podem ser úteis na resolução de qualquer questão de “verdade & mentira”.

1º Passo) Transcrever todas as DECLARAÇÕES do enunciado; 2º Passo) Transcrever todas as INFORMAÇÕES ADICIONAIS, que

guiarão o nosso raciocínio, durante a resolução; 3º Passo) Criar uma HIPÓTESE de verdades ou mentiras para as

DECLARAÇÕES, tendo por base o que dispõem as INFORMA-ÇÕES ADICIONAIS;

4º Passo) Testar a HIPÓTESE criada, extraindo todas as conclusões dela oriundas, e comparando essas conclusões entre si, e em rela-ção às INFORMAÇÕES ADICIONAIS.

Caso tais conclusões estejam compatíveis entre si, e compatíveis com as informações adicionais, então esta será a HIPÓTESE que resolverá, de fato, o nosso problema.

Caso contrário, se se verificar que as conclusões extraídas daque-la HIPÓTESE são incompatíveis entre si, ou que vão de encontro ao que prescrevem as informações adicionais, então diremos que tal HIPÓTESE falhou! Não serviu para resolver a nossa questão! Nesse caso, CRIA-SE UMA NOVA HIPÓTESE, e reinicia-se o pro-cedimento de análise (4º Passo).

Só isso! Beleza, né não? Questãozinha garantida na prova! Um pontinho a mais pra gente co-

memorar! Passemos a mais um exemplo! 02) (ESAF) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles

entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram:

– “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos. – “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário. – “Foi a Mara”, disse Manuel.

– “O Mário está mentindo”, disse Mara. – “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria. Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-

se logicamente que quem entrou sem pagar foi: a) Máriob) Marcosc) Marad) Manuele) Maria Sol.: Novamente temos aqui cinco pessoas envolvidas na situação do

enunciado. Cada qual faz uma declaração, e nós não sabemos, a priori, quem está falando a verdade ou quem está mentindo. Daí, não resta dúvi-da: estamos diante de uma questão de “verdades & mentiras”.

Aliás, esse nome (“verdades & mentiras”) nem é um nome técnico. Eu

é que tenho mania de dar nomes às coisas, e resolvi chamar assim... O importante é que você saiba identificar o tipo de questão, e como resolvê-la. Passemos aos nossos passos de resolução.

Reunindo as DECLARAÇÕES e as INFORMAÇÕES ADICIONAIS do

enunciado, teremos: INFORMAÇÕES ADICIONAIS: 1º) Só há um que entrou sem pagar. 2º) Só há um mentiroso. DECLARAÇÕES: 1º) Marcos: "Não foi o Marcos; Não foi o Manuel" 2º) Mário: "Foi o Manuel ou foi a Maria" 3º) Manuel: "Foi a Mara" 4º) Mara: "Mário está mentindo" 5º) Maria: "Foi a Mara ou foi o Marcos" E chegou o momento de criarmos a nossa primeira HIPÓTESE. Sabendo que só há um mentiroso (informação adicional do enunciado),

podemos dizer que quem mentiu foi, por exemplo, a primeira pessoa a fazer uma declaração. Neste caso, o Marcos. Daí, teríamos que:

hipótese I

1º) Marcos: "Não foi o Marcos; Não foi o Manuel"-- Mentira 2º) Mário: "Foi o Manuel ou foi a Maria" --------------- Verdade 3º) Manuel: "Foi a Mara" -------------------------------- Verdade 4º) Mara: "Mário está mentindo"------------------------ Verdade 5º) Maria: "Foi a Mara ou foi o Marcos"----------------- Verdade

Agora, para TESTAR A HIPÓTESE I, tiraremos dela as nossas conclu-

sões: CONCLUSÕES: Da primeira declaração, extraímos que, se é MENTIRA o que Mar-

cos está dizendo, então, concluímos que: Foi o Marcos e foi o Manuel. Pronto! A análise desta HIPÓTESE I morre por aqui mesmo! Nem ire-

mos adiante! E por quê? Porque a nossa primeira conclusão já é INCOM-PATÍVEL com o que nos diz a INFORMAÇÃO ADICIONAL do enunciado, segundo a qual somente uma pessoa entrou sem pagar. E a conclusão acima nos diz que quem entrou sem pagar foi o Marcos e foi o Manuel. Duas pessoas, portanto! E não pode!

O que concluímos com isso? Que a primeira HIPÓTESE falhou! Criaremos, pois, uma segunda HIPÓTESE. Já que só há um mentiro-

so, vamos passar a MENTIRA agora para a mão da segunda pessoa da fila, qual seja, o Mário. Teremos, pois, que:

(hipótese

descartada!)


1º) Marcos: "Não foi o Marcos; Não foi o Manuel"----

Mentira Verdade

2º) Mário: "Foi o Manuel ou foi a Maria" --------------- Verdade Mentira 3º) Manuel: "Foi a Mara" -------------------------------- Verdade Verdade 4º) Mara: "Mário está mentindo"------------------------ Verdade Verdade 5º) Maria: "Foi a Mara ou foi o Marcos"----------------- Verdade Verdade



Passemos às conclusões desta nova HIPÓTESE. Teremos: CONCLUSÕES: Da primeira declaração, extraímos que, se é VERDADE o que

Marcos está dizendo, então, concluímos que: Não foi o Marcos e não foi o Manuel.

Da segunda declaração, extraímos que, se é MENTIRA o que Má-rio está dizendo, então, concluímos que: Não foi o Manuel e não foi a Maria.

Da terceira declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Ma-nuel está dizendo, então, concluímos que: Foi a Mara.

Da quarta declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Mara está dizendo, então, concluímos que: Mário está mentindo. Aqui, como já sabemos, temos que parar, e procurar saber se o Mário está mesmo mentindo, ou se não está. E aí, de acordo com a nos-sa hipótese II, o Mário está mesmo mentindo? SIM. Vemos, pois, que esta quarta conclusão está de coerente. Seguimos em frente!

Da última declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Maria está dizendo, então, concluímos que: Foi a Mara ou foi o Mar-cos. Isso quer dizer que um dos dois entrou no parque sem pagar. Ou um, ou outro! Vamos analisar o que nos dizem as demais con-clusões que extraímos acima, acerca da Mara e acerca do Marcos. A primeira conclusão nos diz: “Não foi o Marcos”. E a terceira conclusão nos diz: “Foi a Mara”. Então está perfeito! Ou seja, essa nossa última conclusão (Foi a Mara ou foi o Marcos) está inteira-mente de acordo, inteiramente compatível com as demais conclu-sões.

Enfim, percebemos que a segunda HIPÓTESE, que acabamos de ana-lisar, forneceu-nos conclusões que não conflitaram entre si, e nem foram incompatíveis com as INFORMAÇÕES ADICIONAIS do enunciado. Em outras palavras: a HIPÓTESE II funcionou! É ela quem nos dará a resposta da questão. E então, quem foi a pessoa que entrou sem pagar? Foi a Mara. Questão respondida!

Façamos mais uma! 03) (ESAF) Três amigos – Luís, Marcos e Nestor – são casados com

Teresa, Regina e Sandra (não necessariamente nesta ordem). Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os três fizeram as seguintes declarações:

Nestor: "Marcos é casado com Teresa" Luís: "Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina" Marcos: "Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra" Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa

disse a verdade, segue-se que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são, respectivamente:

a)Sandra, Teresa, Regina b)Sandra, Regina, Teresa c)Regina, Sandra, Teresa d)Teresa, Regina, Sandra e) Teresa, Sandra, Regina Sol.: Sem mais delongas, transcrevamos as INFORMAÇÕES ADICIO-

NAIS do enunciado e as DECLARAÇÕES. Teremos: INFORMAÇÕES ADICIONAIS: 1º) O marido de Sandra mentiu. 2º) O marido de Tereza disse a verdade. DECLARAÇÕES: 1º) Nestor: " Marcos é casado com Tereza" 2º) Luís: "Marcos e casado com Regina" 3º) Marcos: "Marcos é casado com Sandra" Pois bem! Vamos criar a nossa primeira HIPÓTESE. Vamos supor, por

exemplo, que o primeiro da fila, o Nestor, esteja dizendo a verdade. Veja-mos:

hipótese I

1º) Nestor: " Marcos é casado com Tereza"-------- Verdade 2º) Luís: "Marcos e casado com Regina" ----------- 3º) Marcos: "Marcos é casado com Sandra"--------

Ora, segundo uma das INFORMAÇÕES ADICIONAIS do enunciado,

sabemos que aquele que diz a VERDADE é o marido de Tereza. Daí,

decorre que se estamos supondo (nesta primeira HIPÓTESE) que o Nestor disse a VERDADE, então teremos que Nestor é o marido de Tereza. Mas, se assim é, vejamos o que foi que o Nestor, falando a VERDADE, declarou: “Marcos é casado com Tereza”.

Percebemos aí um choque de informações! A Tereza estaria sendo ca-sada com o Nestor e com o Marcos. E não pode!

Daí, resta-nos concluir que essa primeira HIPÓTESE falhou! Ou seja, constatamos que Nestor não pode estar dizendo a VERDADE. Partiremos para uma nova HIPÓTESE: a de que Nestor está mentindo! Teremos:

(hipótese

descartada!)


1º) Nestor: " Marcos é casado com Tereza"-- Verdade Mentira 2º) Luís: "Marcos e casado com Regina" ----- 3º) Marcos: "Marcos é casado com Sandra"-

Vamos lá! Agora estamos dizendo que o Nestor está falando uma

MENTIRA. Segundo as INFORMAÇÕES ADICIONAIS do enunciado, a pessoa que mente é o marido de Sandra. Logo, a primeira conclusão nossa é a de que Nestor é marido de Sandra.

Ora, como o Nestor está mentindo (segundo nossa hipótese II), então, pelo que ele declarou, concluímos que Marcos não é casado com Tereza.

Ora, ora: se já sabemos que o Marcos não é casado com a Tereza e também não é casado com a Sandra (quem é casado com a Sandra é o Nestor), então só restou uma mulher para ser o par do Marcos. Quem? A Regina, obviamente. Daí, temos que a nossa segunda conclusão é que o Marcos é casado com Regina.

Ora, ora, ora: vejamos as declarações acima! Tem alguém que está confirmando essa conclusão a que acabamos de chegar? Sim! O Luís está dizendo exatamente isso que já constatamos: “Marcos é casado com Regina”. Daí, percebemos que o Luís está dizendo a VERDADE! E se Luís diz a VERDADE, então, conforme as INFORMAÇÕES ADICIONAIS do enunciado, ele (Luís) será o marido de Tereza.

Pronto! Chegamos à definição dos três casais: Luís é casado com Tereza; Marcos é casado com Regina; e Nestor é casado com Sandra. Questão respondida! Vamos pra saideira. 04) (ESAF) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é

verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja ver-dadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição:

a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta. Sol.: Essa é das fáceis! E questão igualzinha a essa aqui já caiu em

mais de uma prova da Esaf. Portanto, fiquemos ligados! É um pontinho a mais garantido pra nós!

O que temos que fazer aqui? Temos apenas que analisar uma frase. A seguinte: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”

A coisa é bem simples: o que pode talvez entornar um pouco o caldo aqui nessa frase é que o nosso cérebro costuma raciocinar com mais facilidade com declarações afirmativas do que com as negativas.

Daí, o jeito mais fácil de compreender essa frase é transformando os “núcleos negativos” em “núcleos positivos” equivalentes!

Ora, vamos identificar o que seria o primeiro “núcleo negativo” desta sentença. Acharam? Claro. São as palavras: “Não é verdade”. Pelo que poderíamos trocar esse “núcleo”, para que ele ficasse na afirmativa? Pode-ria ser: “É mentira”.

Percebamos que “Não é verdade” tem exatamente o mesmo significado de “É mentira”. A diferença é que um núcleo está na negativa (“não é verdade”) e o outro, na afirmativa (“é mentira”).

Meio caminho andado!



Resta encontrarmos o outro “núcleo negativo” da frase. Achamos? Cla-ro: “Não dormem a sesta”. Como poderíamos dizer a mesma coisa, de uma maneira afirmativa? Poderíamos dizer, por exemplo: “Ficam acordados”.

Observemos que tanto faz eu dizer “Não dormem”, como dizer “Ficam acordados”. São perfeitamente equivalentes!

Agora, sim! Vamos transcrever a sentença trazida pelo enunciado e depois, reescrevê-la nos moldes das alterações que fizemos. Teremos: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”

“É mentira que todos os aldeões daquela aldeia ficam acordados”

Confira novamente que as duas frases acima são perfeitamente equi-valentes entre si!

Agora, veja como ficou mais fácil a compreensão. O que o enunciado quer? Ele quer que seja verdadeira essa sentença. Daí, para que seja mentira que todos os aldeões da aldeia fiquem

acordados, basta que apenas um deles, um dos aldeões, durma a sesta!

É o que nos diz a opção C, que é a resposta da questão! Ficou claro? Todos entenderam? Entenderam mesmo? De verdade? Então, veja se você é capaz de matar essa frase abaixo: “Não é verdade que todas as pessoas daquela família não são magras” Suponha que a questão lhe peça que você identifique qual a condição

suficiente e necessária para que a frase acima esteja correta. E aí? Ora, e aí que você irá fazer da mesma forma que fizemos na re-

solução anterior. Ou seja, você vai tentar transformar os “núcleos negati-vos” da sentença em “núcleos afirmativos” correspondentes!

O “não é verdade” você troca por “É mentira”. E o “não são magras” você troca por “são gordas”. Daí, nossa nova frase, que é perfeita e exatamente correspondente à

anterior, será: “É mentira que todas as pessoas daquela família são gordas”

Daí, ficou muito fácil deduzir que, para que seja mentira que todas as

pessoas daquela família sejam gordas, basta que uma delas seja magra! Seria esta a resposta desta questão.

Ok! E só para ninguém dizer que eu resolvi tudo e não deixei vocês re-

solverem nada, eu apresento abaixo um pequeno simulado, só com ques-tões de “verdades e mentiras”, todas elas elaboradas pela ESAF e cobra-das em concursos recentes. O gabarito vem no final do simulado.

Próxima aula, eu falarei sobre um assunto facílimo e que também está no programa do MPU, que é Diagramas Lógicos.

Um abraço forte a todos e até a próxima!

SIMULADO DE QUESTÕES DE “VERDADE & MENTIRA”

01) (ESAF) Cinco amigas, Ana, Bia, Cati, Dida e Elisa, são tias ou irmãs

de Zilda. As tias de Zilda sempre contam a verdade e as irmãs de Zilda sempre mentem. Ana diz que Bia é tia de Zilda. Bia diz que Cati é irmã de Zilda. Cati diz que Dida é irmã de Zilda. Dida diz que Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda, isto é: se uma é tia a outra é irmã. Elisa diz que Ana é tia de Zilda. Assim, o número de irmãs de Zilda neste conjunto de cinco amigas é dado por:

a) 1 b) 2c) 3d) 4e) 5 02) (ESAF) Percival encontra-se à frente de três portas, numeradas de 1

a 3, cada uma das quais conduz a uma sala diferente. Em uma das salas encontra-se uma linda princesa; em outra, um valioso tesouro; finalmente, na outra, um feroz dragão. Em cada uma das portas en-contra-se uma inscrição:

• Porta 1: “Se procuras a linda princesa, não entres; ela está atrás da porta 2.”

• Porta 2: “Se aqui entrares, encontrarás um valioso tesouro; mas cuidado: não entres na porta 3 pois atrás dela encontra-se um feroz dragão.”

• Porta 3: “Podes entrar sem medo pois atrás desta porta não há dragão algum.”

Alertado por um mago de que uma e somente uma dessas inscrições é falsa (sendo as duas outras verdadeiras), Percival conclui, então, corretamente que atrás das portas 1, 2 e 3 encontram-se, respecti-vamente:

a) o feroz dragão, o valioso tesouro, a linda princesa b) a linda princesa, o valioso tesouro, o feroz dragão c) o valioso tesouro, a linda princesa, o feroz dragão d) a linda princesa, o feroz dragão, o valioso tesouro e) o feroz dragão, a linda princesa, o valioso tesouro 03) (ESAF) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis, obtiveram os

quatro primeiros lugares em um concurso de oratória julgado por uma comissão de três juízes. Ao comunicarem a classificação final, cada juiz anunciou duas colocações, sendo uma delas verdadeira e a outra falsa:

• Juiz 1: “André foi o primeiro; Beto foi o segundo” • Juiz 2: “André foi o segundo; Dênis foi o terceiro” • Juiz 3: “Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto” Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e

o quarto colocados foram, respectivamente: a) André, Caio, Beto, Dênis b) André, Caio, Dênis, Beto c) Beto, André, Dênis, Caio d) Beto, André, Caio, Dênis e) Caio, Beto, Dênis, André 04) (ESAF) Numa ilha há apenas dois tipos de pessoas: as que sempre

falam a verdade e as que sempre mentem. Um explorador contrata um ilhéu chamado X para servir-lhe de intérprete. Ambos encontram outro ilhéu, chamado Y, e o explorador lhe pergunta se ele fala a verdade. Ele responde na sua língua e o intérprete diz – Ele disse que sim, mas ele pertence ao grupo dos mentirosos. Dessa situação é correto concluir que:

a) Y fala a verdade. b) a resposta de Y foi NÃO. c) ambos falam a verdade. d) ambos mentem. e) X fala a verdade. 05) (ESAF) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado

a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade; Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: "Tânia é quem está sentada no meio". A que está sen-tada no meio diz: "Eu sou Janete". Finalmente, a que está sentada à direita diz: "Angélica é quem está sentada no meio". A que está sen-tada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente:

a) Janete, Tânia e Angélica b) Janete, Angélica e Tânia c) Angélica, Janete e Tânia d) Angélica, Tânia e Janete e) Tânia, Angélica e Janete

GABARITO: 01) D 02) E 03) B 04) E 05) B

DIAGRAMAS LÓGICOS

História Para entender os diagramas lógicos vamos dar uma rápida passada

em sua origem. O suíço Leonhard Euler (1707 – 1783) por volta de 1770, ao escrever

cartas a uma princesa da Alemanha, usou os diagramas ao explicar o significado das quatro proposições categóricas:

Todo A é B. Algum A é B. Nenhum A é B. Algum A não é B.



Mais de 100 anos depois de Euler, o logicista inglês John Venn (1834 – 1923) aperfeiçoou o emprego dos diagramas, utilizando sempre círculos. Desta forma, hoje conhecemos como diagramas de Euler/Venn.

Tipos Existem três possíveis tipos de relacionamento entre dois diferentes

conjuntos:

Indica que um conjunto está completamente contido no outro, mas o inverso não é verdadeiro.

Indica que os dois con-juntos tem alguns ele-mentos em comum, mas não todos.

Indica que não existem elementos comuns entre os conjuntos.

Obs: Considere que o tamanho dos círculos não indica o tamanho rela-

tivo dos conjuntos.

Exercício 1) Considere as seguintes opções de diagramas e indique aquele que

resolve o exercício: aquário, peixe, sardinha.

a) b) c) d) e)

Solução: A resposta correta é a letra a) porque toda sardinha é peixe e

não existe relação entre os dois com aquário. 2) Considere as seguintes opções de diagramas e indique aquele que

resolve o exercício: bebê, ser infantil, recém-nascido.

a) b) c) d) e)

Solução: A resposta correta é a letra d) porque todo recém-nascido é

bebê e um ser infantil e, todo bebê é um ser infantil. 3) Considere as seguintes opções de diagramas e indique aquele que

resolve o exercício: pó de café, cappuccino, café expresso.

a) b) c) d) e)

Solução: A resposta correta é a letra c), onde o círculo do meio repre-

senta o pó de café.

4) Considere as seguintes opções de diagramas e indique aquele que resolve o exercício: jovens, estudantes, bonitos.

a) b) c) d) e)

Solução: A resposta correta é a letra b).

EXERCÍCIOS

01. Imagine que seu relógio adiante exatamente 4 minutos em 24 horas. Quando eram 7,30 da manhã, ele marcava 7 horas e 30 minutos e meio. Que horas estará marcando quando forem 12 horas do mesmo dia?:

a) 12 horas, 1 minuto e 15 segundos; b) 12 horas e 1 minuto; c) 12 horas e 45 segundos; d) 12 horas e 30 segundos; e) 12 horas e 30 minutos.

02. Quantas dezenas há no número 469?: a) nenhuma b) 4,6; c) 6; d) 6,9; e) 46.

03. Quantos quartos de quilo existem em meia tonelada?: a) 500; b) 1000; c) 1500; d) 2000; e) 2500.

04 O carro azul é maior do que o vermelho e o vermelho é menor do

que o amarelo. Qual o maior dos carros?: a) o vermelho; b) o amarelo; c) o azul; d) o azul e o amarelo; e) impossível responder.

05. O carro amarelo anda mais rapidamente do que o vermelho e este

mais rapidamente do que o azul. Qual o carro que está se movimen-tando com maior velocidade?:

a) o amarelo; b) o azul; c) o vermelho; d) o vermelho e o azul; e) impossível responder.

06. Para que haja uma representação teatral não pode faltar: a) palco: b) bilheteria; c) ator; d) auditório; e) texto.

07. João e José têm, juntos, 125 anos. João tem 11 anos menos que

Júlio e 7 mais que José. Quantos anos tem Júlio?: a) 83; b) 77; c) 71: d) 66: e) 59.



08. Na série de números colocada a seguir, sempre que dois algarismos vizinhos somados proporcionem o total de 10, faça a soma. E indique o total geral desta forma encontrado.

35546322881374511246678791829: a) 45: b) 50: c) 60: d) 70: e) 80. 09 Qual o número que colocado no lugar do traço deixará o conjunto

coerente?: 57 19 38 - 19 38 57 - 38 57 a) 19; b) 35: c) 38; d) 57; e) 85; 10 O time azul, jogando uma partida de futebol com o time verde, tem

70% de possibilidade de ganhar, atuando durante o dia; mas sob a luz dos refletores, sua possibilidade (por motivos ignorados) desce para 20%, Qual sua possibilidade ganhar num jogo que terá, dos 90 minutos regulamentares, 18 jogados ainda de dia e 72 disputados já com os refletores acesos:

a) 80%; b) 60%; c) 50%; d) 45%; e) 30%. 11. Qual o menor número de carros que nos permite armar o seguinte

conjunto de afirmações: Nesta rua vimos passar 2 carros na frente de 2, 2 atrás de 2 e 2 entre 2?:

a) 12; b) 8; c) 6; d) 4; e) 3. 12. Qual o número que, acrescido da 3, dá metade de 9 vezes um oitavo

de 32?: a) 15; b) 16; c) 21; d) 27; e) 34; 13. Esta a situação: Cinco moças estão sentadas na primeira fila da sala

de aula: são Maria, Mariana, Marina, Marisa e Matilde. Marisa está numa extremidade e Marina na outra. Mariana senta-se ao lado de Marina e Matilde, ao lado de Marisa

Este o esquema para responder: Para quantidades Para nomes a) = 1 a) = Mariana b) =2 b) = Maria c) = 3 c) = Matilde d) = 4 d) = Marina e) = 5 e) = Marisa E estas as perguntas: Quantas estão entre Marina e Marisa?: 14. Quem está no meio?: 15. Quem está entre Matilde e Mariana?: 16 Quem está entre Marina e Maria?: 17 Quantas estão entre Marisa e Mariana?

18 Imagine dois recipientes opacos, com a forma de garrafa de boca estreita, que vamos chamar A e B. E bolas brancas e pretas, que po-dem ser colocadas nos recipientes e que irão ser retiradas como se fosse um sorteio . O problema é este: de qual recipiente você terá mais chance de retirar uma bola preta numa. primeira e única tentati-va, havendo, em A 2 bolas pretas e 4 brancas em B 3 bolas pretas e 7 brancas? Opções:

a) do A; b) do B; c) é indiferente; d) impossível responder por falta de dados; e) impossível responder por estarem os dados mal colocados. 19. O mesmo problema, com as mesmas opções anteriores: havendo,

em A 4 bolas pretas e 8 brancas em B 6 bolas pretas e 12 brancas. 20 ldem, havendo, em 1 bola preta e 3 brancas em B 2 bolas pretas e 5

brancas. 21 ldem, havendo, em A 6 bolas pretas e 10 brancas em B 3 bolas

pretas e 6 brancas. 22. Considere, agora, três recipientes, permanecendo o mesmo proble-

ma: havendo, em A 5 bolas pretas e 10 brancas em B 4 bolas pretas e 7 brancas em C 2 bolas pretas e 5 brancas. As opções, para este caso 22, são as seguintes:

a) do A; b) do B; c) do C; d) é indiferente; e) é impossível responder. 23. Indique entre as opções o melhor sinônimo: Para "pecúlio": a) roubo; b) porção; c) bens; d) herança; e) criação. 24. Para "misantropia": a) religiosidade; b) sociabilidade; c) aversão; d) ira; e) caridade. 25 Para "exasperação": a) alisamento; b) espera; c) evocação; d) exatidão; e) irritação. 26 está para assim como está para a) b) c) d) e) 27 Uma família gastou 1/4 de seu salário mensal em alimentação e 1/3

do restante em pagamento de prestações. Que porcentagem de salá-rio lhe restou?:

a) 15% b) 25%; c) 35%; d) 45%; e) 50%. 28. 32 42 52...21 31 41.....40 50 _ a) 24; b) 30; c) 33; d) 60; e) 63.



29. Sendo este quadro um código - linhas e colunas -, o que está repre-sentando a fórmula 45551142?

a) Ele; b) Fae; c) lNRl; d) Deus; e) Jesus. 30. Descobriu-se num código, até então secreto, que o número 12=8=4

realmente significava 9=5=1. Daí, como se espera que esteja escrito "revolução" :

a) vibapegia; b) tgyqnxebq; c) obslirzxl; d) sfxpmvdbp; e) uhzroyfdr. 31. 14 64 24 11 61 21 15 65 - a) 45; b) 26; c) 25; d) 22; e) 16. 32. Afirmando que o fogo é "frio" e que o açúcar é "salgado", poderíamos

dizer que o perito é alguém: a) inábil b) experimentado; c) sábio; d) prático; e) culto. 33. Seguem-se alguns raciocínios (duas premissas e uma conclusão)

que você deve julgar como verdadeiros ou falsos, isto é, se a conclu-são é correta ou não, dadas como verdadeiras as premissas:

1. A não é B B não é C logo, A não é C. 2. Algum B é C algum C é A logo, algum A é B. 3. Nenhum D é A todo A é C logo, nenhum D é C. 4. Todo C é B algum B é A logo, todo A é C, 5. Algum D é B nenhum B é A logo, algum D é A. E assinale conforme as seguintes opções: a) Todos os raciocínios são falsos; b) Todos os raciocínios são verdadeiros; c) Apenas o terceiro é verdadeiro; d) Apenas os raciocínios 2 e 4 são falsos; e) Nenhum dos casos anteriores. 34. Confira os raciocínios seguintes: 1. Todo P é O ora, R é P logo, R é O. 2. Todo R é S ora, P não é S logo, P não é R, 3. Todo S é P todo S é O logo, algum P é O.

4. Todo P é O todo O é R logo, P é R. 5. Nenhum S é T .....ora, R é T .....logo, R não é S. E assinale conforme as seguintes opções a) Todos os raciocínios são verdadeiros; b) São falsos os raciocínios 4 e 5; c) São verdadeiros apenas os de números 1 e 3; d) São falsos todos os raciocínios; e) Nenhum dos casos anteriores. 35. O contrário do contrário de exato é: a) duvidoso; b) provável; c) inexato; d) errado; e) certo. 36. Quantos cubos você

necessária para repro-duzir a construção apre-sentada a seguir

a) 60; b) 40; c) 32; d) 24; e) 16.

37. E esta outra a) 10; b) 16; c) 17; d) 20; e) 24. 38. Medo está para coragem assim como esperança está para: a) fé; b) cólera; c) desespero; d) tristeza; e) melancolia. 39. Admitindo que cada quadra é percorrida em 5 minutos e que para

atravessar uma rua sempre pelas faixas situadas junto às esquinas -,você dispenderá 50 segundos, permanecendo 10 minutos em cada local, qual a sequência que você seguirá para ir, o mais rapidamente possível, de sua casa até a livraria, e voltar, passando, na ida ou na volta, pelo correio, pela panificadora, pela casa de lanches e pelo banco?

CO = correio CL = casa de lanches L = livraria P = panificadora C = casa B = banco



a) é indiferente; b) livraria - correio - casa de lanches - panificadora - banco; c) banco - panificadora - casa de lanches - livraria - correio; d) livraria - casa de lanches - panificadora - correio - banco: e) correio - panificadora - casa de lanches - livraria - banco. 40. Fogo está para fumaça assim como velhice está para: a) mocidade; b) imaturidade; c) cansaço d) cãs; e) morte. 41. Precoce está para cedo assim como tardio está para: a) inverno; b) manhã; c) serôdio; d) inoportuno; e) inicial. 42. Direita está para esquerda assim como destro está para: a) ágil; b) esperto; c) sinistro; d) inábil; e) reto. 43. Franco está para a França assim como Lira está para: a) Música; b) Mentiroso; c) Bulgária; d) Itália; e) Espanha. 44 Há uma lesma que pretende subir um muro de 8 metros de altura - e

ela sabe percorrer um caminho exatamente perpendicular. Das 6 ás 18 horas, ela sobe 3 metros. Dai, descansa, e das 18 ás 6

horas, desce, deslizando, 2 metros. Tendo iniciado a subida ás 6 horas de uma segunda feira, quando

atingirá os 8 metros? a) às 18 horas de sábado; b) às 6 horas de domingo; c) ás 18 horas de domingo; d) às 6 horas da segunda feira seguinte; e) ás 18 horas da segunda feira seguinte. 45 O número que continua a sequência 12 34 56 a) 65; b) 68; c) 75; d) 76; e) 78. 46. São apresentados cinco raciocínios, isto é, algumas premissas,

seguidas de uma conclusão. Aceitando como verdadeiras as premis-sas, verifique se a conclusão é verdadeira ou não.

1. Quadrados são figuras que têm ângulos. Esta figura não tem nenhum ângulo. Logo, esta figura é necessariamente um círculo.

2. Se o mar é pequeno, a ilha é grande. Se o lago é médio, também a ponte é média. Mas, ou o mar é pequeno ou a ilha é média, nunca os dois juntos. Então, tanto a ponte como a ilha são médios.

3. Eu moro entre o estádio e o centro da cidade. O estádio fica entre a rodoviária e o centro da cidade. Logo, eu moro mais perto do estádio do que da rodoviária.

4. Somente quando domingo é lua cheia. Segunda é lua nova. Terça é lua cheia ou lua nova somente quando segunda não é lua nova. Lo-go, quando domingo é lua cheia, Terça não é nem lua cheia nem lua nova.

5. Enquanto rabanete for vermelho, alface será verde. Alface não sendo verde, o repolho será amarelo. Porém o repolho nunca será amarelo enquanto o rabanete for vermelho. Logo, desde que o repolho seja amarelo, a alface será verde.

Assinale conforme as seguintes hipóteses. a) todas as conclusões são falsas; b) são falsas as conclusões 2, 3 e 5: c) são verdadeiras as conclusões 1 e 2; d) são verdadeiras as conclusões 3 e 4; e) nenhum dos casos anteriores. 47. O diretor de um presídio resolve dar uma chance a um condenado á

morte e lhe propõe o seguinte: “Vá até o fim desse corredor e lá você encontrará duas portas, cada uma com um guarda. Uma delas con-duz á câmara de gás e a outra á liberdade. Os guardas sabem onde vai dar cada uma das portas. Você tem o direito de fazer somente um pedido a um deles. Mas um dos guardas sempre faz o contrário do que lhe pedem e o outro sempre obedece cegamente. Que pedido deve fazer o prisioneiro para sair pela porta da liberdade?”.

48. Quatro irmãs dividem uma herança de 70 milhões de maneira que

cada uma recebe 3 milhões a mais que a irmã imediatamente mais velha. Quanto recebe exatamente cada uma das quatro?:

49. Um rei, na iminência de contratar um cobrador de impostos, propõe a

ele o seguinte problema: "Você tem aqui dez sacos cheios de moe-das, todos iguais, mas um deles só contém moedas falsas. As ver-dadeiras pesam 10 gramas cada uma e as falsas, 9 gramas. Você tem que descobrir qual é o saco que contém moedas falsas, usando uma balança de um prato só e fazendo apenas uma pesagem". O cobrador de impostos conseguiu passar no teste. Como?

50. Polycrato pergunta a Pitágoras quantos alunos ele tem em sua

escola. Pitágoras lhe responde o seguinte: - a metade estuda matemática - um quarto estuda ciências - um sétimo estuda filosofia - e há mais três mulheres. Quantos são os discípulos de Pitágoras

RESPOSTAS 1) Se o relógio adianta 4 minutos em 24 horas, ou seja, em 1.440

minutos, então ele adianta 10s por hora. Entre 7h30 e 12h temos 4h30, ou seja, um adiantamento de 45s. Acrescendo estes 45s aos 30s que o relógio já marcava às 7h30 teremos às 12h a marcação 12 h/min e 15 segundos.

2) No número 469 temos mais exatamente 46,9 dezenas, mas se considerarmos apenas os inteiros, temos então 46 dezenas.

3) Para sabermos quantos quartos de kilo temos em meia tonelada basta dividirmos os 500 kg que equivalem a uma tonelada por 0.25kg, que é um quarto de kilo. Assim sendo, temos 2.000 quartos de kilo em meia tonelada.

4) É impossível responder qual é o maior dos carros, sabe-se apenas que o vermelho é o menor entre eles.

5) O carro que dentre os três está se movimentando com maior rapidez é o amarelo.

6) Para que haja uma representação teatral aquilo que absolutamente imprescindível é que exista um ator ou uma atriz.

7) Chamando de x a idade de João, y a de José e z a de Júlio, teremos o seguinte sistema de equações: x + y = 125. Resolvendo por x = y + 7 substituição encontraremos que João tem 66 anos. Portanto Júlio, que é 11 anos mais velho tem 77 anos.

8) Teste fácil, cuja resposta correta é a letra D.

9) Questão sobre lei de formação, que neste caso é começar a linha pelo segundo termo da linha anterior e terminá-la com o primeiro termo da anterior. Desta maneira o número a ser colocado no espaço em branco é 19.

10) Para resolvermos este problema basta fazermos uma média ponde-rada: durante 4/5 de jogo, ou seja, 80% é dia durante 20% de jogo à noite, ou seja, há o uso dos refletores. Basta multiplicarmos cada fra-ção do jogo pela chance do time azul, ou seja, fazermos: 80% x 70% + 20% x 20%, o que resulta em 60% de chance de vitória.



11) O menor número de carros que nos permite armar o conjunto propos-to é 6. Suponhamos que à frente dos 6 tenhamos os carros azuis; atrás destes os vermelhos e por último dois amarelos. Consequen-temente teremos duas possibilidades para vermos passarem 2 na frente de 2. Teremos 3 possibilidades de vermos 2 atrás de 2 e uma possibilidade de termos 2 entre 2.

12) Um oitavo de 32 é 4. 9 vezes isto é 36. A metade de 36 é 18. Portan-to o número que acrescido de 3 dá metade de 9 vezes um oitavo de 32 é15.

13) Devemos responder com a letra C pois há 3 moças entre Marina e Marisa.

14) No meio das 5 encontra-se sentada Maria. 15) Quem está entre Matilde e Marina é Maria, a que está no meio de

todas. 16) Entre Marina e Maria está sentada Mariana. 17) Duas estão entre Marisa e Mariana: Matilde e Maria. 18) No recipiente A a possibilidade de tirarmos uma bola preta é maior

que no recipiente B, pois a fração 2/6 é maior que 3/10, pois em de-cimais temos respectivamente 0,333... e 0,30.

19) Neste caso é diferente porque a proporção de bolas pretas para o total é a mesma: 1 para 3.

20) É maior agora a possibilidade de tirarmos uma bola preta do recipien-te B, pois a fração 2/7 é maior que 1/4, em decimais, respectivamen-te 0,285 e 0,25.

21) A fração 6/16 é maior que 3/9, portanto no recipiente A a possibilida-de de tirarmos primeiro uma bola preta é maior.

22) A maior probabilidade de tirarmos uma bola preta em primeiro lugar é a do recipiente B, pois a fração 4/7 é a maior de todas e corresponde a uma chance de 57,14%.

23) A definição mais exata de pecúlio é soma ou quantidade de dinheiro que alguém conseguiu acumular pelo seu trabalho e economia, po-rém o sinônimo bens não é incorreto.

24) Misantropia é um tipo de aversão, mais especificamente aversão social, aversão ao contato com pessoas.

25) O sinônimo mais correto para exasperação é o contido na alternativa E: irritação.

26) A figura que corresponde ao par de figuras anteriores se encontra na letra B, pois o que foi feito foi uma repetição do mesmo desenho ori-ginal dobrado.

27) Se a família gastou 1/4, então lhe restam 3/4. Gastando 1/3 do que restou, isso significa mais um quarto, pois 1/3 de 3/4 é 1/4. Desta maneira a família ainda dispõe de 50% do salário total.

28) Pela lei de formação deste problema, repete-se o segundo número e substitui-se o primeiro pelo seu consecutivo. Assim sendo, o número que deve ser colocado no espaço é 60.

29) Se é um quadro de linhas e colunas, então devemos analisar cada par de números, sendo o primeiro número do paro que designa a li-nha e o segundo o que designa a coluna. Desta maneira a fórmula dada corresponde a Deus.

30) Pelo código apresentado, cada termo deve ser substituído por outras três unidades inferiores. Assim as letras devem ser substituídas por outras que as precedem 3 vezes. Por exemplo d corresponde à letra a. Transcrevendo então resolução obteremos uma palavra análoga à contida na alternativa C.

31) O número que deve ser colocado no espaço em branco é 25, de acordo com o estabelecido nas linhas anteriores à incompleta.

32) Se as afirmações são ao contrário; então podemos dizer que o perito é alguém inábil.

33) De acordo com o nosso raciocínio apenas a terceira afirmação é perfeitamente condizente.

34) De acordo com nossa opinião todos os raciocínios apresentados estão corretos.

35) O contrário do contrário de algo é o próprio algo. Portanto o contrário do contrário do exato é certo.

36) São precisos 40 cubos para erguermos uma construção igual à apresentada.

37) São precisos 20 cubos para fazermos uma construção análoga à desenhada no enunciado.

38) As coisas estão com valor inverso, portanto esperança está para desespero, assim como medo está para coragem.

39) Cremos que o itinerário contido na alternativa C é o que despende menor quantidade de tempo.

40) Fogo está para fumaça assim como velhice está para cãs, ou seja, fumaça é um sinal de fogo assim como cãs o é de velhice.

41) Precoce está para cedo assim como tardio está para serôdio. 42) Destro é sinônimo de direito, que usa a mão direita. Portanto de

acordo com a proposição feita devemos associá-lo a sinistro, que é a pessoa que usa a mão esquerda.

43) Franco é a moeda da França, assim como a libra o é da ltália. 44) se a lesma subir neste ritmo chegará ao topo do muro às 18 horas de

sábado, quando deixará de escorregar porque já chegou ao topo. 45) A sequência apresentada é uma P.A. de razão 22, portanto o quarto

termo é 78. 46) Acreditamos que apenas as posições lll e lV são verdadeiras, o que

nos leva a assinalar a letra D. 47) O condenado deve pedir a qualquer dos guardas que mande o outro

mostrar a porta que conduz à morte e poderá, com toda a segurança, sair pela porta que o guarda indicar. Se ele se dirigir ao guarda do contra, ele >mandará o outro mostrar a porta da liberdade. E. na hi-pótese de ele se dirigir ao guarda obediente, ele mandará o outro mostrar a porta da morte, mas a porta mostrada será a da liberdade.

48) Da mais velha à mais moça: 13, 16, 19 e 22 milhões. 49) Ele numerou as sacolas de 1 a 10 e tirou de cada uma delas tantas

moedas quanto fosse o número da sacola. Pesou então todas as moedas. Se fosse verdadeiras, o resultado seria 550 gramas. A dife-rença a menos desse peso indica quantas moedas falsas foram pe-sadas. E o número de moedas é igual ao número da sacola de onde elas foram tiradas.

50. Com efeito os homens reunidos fazem

28

25

28

4714

7

1

4

1

2

1

de toda a escola. Os

38

3 res-

tantes são compostos por três mulheres, donde - é igual a 1 estudan-te. Portanto, a escola ter 28 alunos.

TESTANDO RAPIDAMENTE SUA LÓGICA

1. Escreva o número seguinte nessa sequência 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, a. ( ) 9 b. ( ) 10 c. ( ) 11 d. ( ) 12 e. ( ) 13 1: E - Solução: Cada termo é igual a soma dos dois anteriores.

Logo: 5 + 8 = 13 2. Escreva o número seguinte nessa sequência 0, 1 , 1 , 2, 4, 7, 13, 24, a. ( ) 44 b. ( ) 45 c. ( ) 46 d. ( ) 47 e. ( ) 48 2: A - Solução: Cada termo é a soma dos três termos anteriores.

Logo: 7 + 13 + 24 = 44 3. Um missionário foi capturado por canibais em uma floresta. Os cani-

bais então fizeram-lhe a seguinte proposta: - Se fizer uma declaração verdadeira, será cozido com batatas. - Se fizer uma declaração falsa, será assado na churrasqueira.

Como o missionário usará a lógica, podemos concluir que: a. ( ) será cozido b. ( ) será assado c. ( ) não poderá ser cozido nem assado d. ( ) será cozido e assado ao mesmo tempo e. ( ) Dirá: "É ruim, heim!!!" 3: C Solução: Basta dizer: - Serei assado na churrasqueira 4. O algarismo das unidades do número N =1 x 3 x 5 x 7 x 9 x ...... x 999 a. ( ) 1 b. ( ) 3 c. ( ) 5 d. ( ) 7 e. ( ) 9



4: C - Solução: Observe que todos os números do produto, são ímpares, e além disso o produto de qualquer número ímpar por 5 termina com o algarismo 5. Logo a opção correta é: o algarismo das unidades é 5.

5. Numa certa cidade, dez por cento das mulheres pensam que são

homens e dez por cento dos homens pensam que são mulheres. To-das as outras pessoas são perfeitamente normais. Certo dia todas as pessoas dessa cidade foram testadas por um psicólogo, verificando que 20% das pessoas pensavam que eram homens. Qual a porcen-tagem real de mulheres?

a. ( ) 75,5% b. ( ) 80,0% c. ( ) 85,5% d. ( ) 87,5% e. ( ) 95,5% 5: D - solução: Sejam H e M o número de homens e mulheres.

Então: O número de mulheres que pensam que são homens é M/10

O número de homens que pensam que são homens é 9H/10. Logo o total de pessoas que pensam que são homens é M/10+9H/10=2(M+H)/10

Daí M + 9H = 2(M + H), logo 7H = M. O problema quer a porcenta-gem de mulheres M / (H+M) = 7 H / (H+7H) = 7/ 8=0,875

RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO

Os problemas seguintes requerem raciocínio para sua solução. A fim de provar que uma resposta é correta, uma vez encontrada, necessita-se de um raciocínio cujas premissas estejam contidas no enunciado do problema, e cuja conclusão seja a resposta ao mesmo. Se a resposta é correta, poder-se-á construir um raciocínio válido. 0 leitor é solicitado, ao trabalhar com estes problemas, a preocupar-se não só em encontrar as respostas corretas, mas em formular também os raciocínios que provem a correção das respostas.

Daremos, a seguir, alguns exercícios resolvidos para que o candidato

possa inteirar-se do funcionamento do assunto. Exercício 1 Assinale a alternativa que não faz parte do conjunto dado: a) São Paulo b) Campinas c) Porto Alegre d) Santos e) Franca

Resposta: C – São Paulo, Campinas, Santos e Franca são cidades do Estado de São Paulo, ao passo que Porto Alegre não é cidade do nos-so Estado.

Exercício 2 Assinale o número que completa a sequência apresentada: 1, 3, 5, 7,

9, ... a) 13 b) 11 c) 15 d) 17 e) 19

Resposta: b – Os números 1, 3, 5, 7, 9 formam uma sequência, ou seja, a sequência dos números ímpares. Portanto, o próximo número é 11.

Exercício 3 REAL está para BRASIL assim como DÓLAR está para ................. a) Estados Unidos b) França c) Canadá d) Austrália e) Alemanha Resposta – A - Real é a moeda brasileira e dólar é a moeda dos Estados

Unidos.

Exercício 4 O carro amarelo anda mais rapidamente do que o vermelho e este

mais rapidamente que o azul. Qual o carro que está se movimen-tando com maior velocidade?

a) o amarelo b) o azul c) o vermelho d) o vermelho e o azul e) impossível responder Resposta – A – Lendo direitinho o enunciado vemos claramente que o

carro amarelo anda mais depressa. Exercício 5 Um tijolo pesa 1 quilo mais meio tijolo. Quanto pesam três tijolos? a) 5 kg b) 4 kg c) 4,5 kg d) 5,5 kg e) 3,5 kg Resposta C – Pelo enunciado, um tijolo pesa um quilo e meio. Portanto,

três tijolos deverão pesar 3 x 1,5 = 4,5 kg. Enunciado para as próximas questões: Cinco moças estão sentadas na primeira fila da sala de aula: são

Maria, Mariana, Marina, Marisa e Matilde. Marisa está numa extremidade e Marina na outra. Mariana senta-se ao

lado de Marina e Matilde, ao lado de Marisa. Responda as perguntas: 6 – Quantas estão entre Marina e Marisa? 7 – Quem está no meio? 8 – Quem está entre Matilde e Mariana? 9 – Quem está entre Marina e Maria? 10 – Quantas estão entre Marisa e Mariana? Se lermos direitinho o enunciado podemos concluir e fazer um desenho

para ilustrar e assim responder a todas as perguntas:

MARISA MATILDE MARIA MARIANA MARINA

Respostas: 6 – três 7 – Maria 8 – Maria 9 – Mariana 10 – duas Exercício 11 Qual o número que falta no quadro a seguir? 5 10 5 6 14 8 3 10 ...... Resposta: 7 – A soma dos extremos é o número central. 5 + 5 = 10 6 + 8 = 14 3 + 7 = 10 Exercício 12 Qual a palavra que não faz parte do grupo? a) LIVRO b) REVISTA c) JORNAL d) ENCICLOPÉDIA e) CARNE Resposta E – Os quatro primeiros são vendidos em livrarias e carne não.



Exercício 13 ALTO está para BAIXO, assim como GRANDE está para ................. a) nanico b) baixinho c) pequeno d) gabiru e) mínimo Resposta: C – O contrário de grande é pequeno. Exercício 14 Assinale a alternativa que não tem as mesmas características das

demais, quanto às patas: a) formiga b) aranha c) abelha d) traça e) borboleta Resposta – b – Aranha tem oito patas. As outras têm seis. Exercício 15 Assinale qual destes animais, cujos nomes estão ocultos entre as

letras, é o menor: a) OSÃBI b) TOGA c) LIVAJA d) ATOR e) RAFAGI Resposta: D – RATO (as outras: bisão, gato, javali, girafa)

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE VESTIBULARES

01. Sendo p a proposição Paulo é paulista e q a proposição Ronaldo é

carioca, traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposi-ções:

a) ~q b) p ^ q c) p v q d) p " q e) p " (~q) RESOLUÇÃO: a) Paulo não é paulista. b) Paulo é paulista e Ronaldo é carioca. c) Paulo é paulista ou Ronaldo é carioca. d) Se Paulo é paulista então Ronaldo é carioca. e) Se Paulo é paulista então Ronaldo não é carioca. 02. Sendo p a proposição Roberto fala inglês e q a proposição Ricardo

fala italiano traduzir para a linguagem simbólica as seguintes propo-sições:

a) Roberto fala inglês e Ricardo fala italiano. b) Ou Roberto não fala inglês ou Ricardo fala italiano. c) Se Ricardo fala italiano então Roberto fala inglês. d) Roberto não fala inglês e Ricardo não fala italiano. RESOLUÇÃO: a) p ^ q b) (~p) v p c) q " p d) (~p) ^ (~q) 03. (UFB) Se p é uma proposição verdadeira, então: a) p ^ q é verdadeira, qualquer que seja q; b) p v q é verdadeira, qualquer que seja q; c) p ^ q é verdadeira só se q for falsa; d) p =>q é falsa, qualquer que seja q e) n.d.a. RESPOSTA: B

04. (MACK) Duas grandezas x e y são tais que "se x = 3 então y = 7". Pode-se concluir que:

a) se x 3 antão y 7 b) se y = 7 então x = 3 c) se y 7 então x 3 d) se x = 5 então y = 5 e) se x = 7 então y = 3 RESPOSTA: C 05. (ABC) Assinale a proposição composta logicamente verdadeira: a) (2 = 3) => (2 . 3 = 5) b) (2 = 2) => (2 . 3 = 5) c) (2 = 3) e (2 . 3 = 5) d) (2 = 3) ou (2 . 3 = 5) e) (2 = 3) e (~ ( 2= 2)) RESPOSTA: A 06. (UGF) A negação de x > -2 é: a) x > 2 b) x #-2 c) x < -2 d) x < 2 e) x #2 RESPOSTA: C 07. (ABC) A negação de todos os gatos são pardos é: a) nenhum gato é pardo; b) existe gato pardo; c) existe gato não pardo; d) existe um e um só gato pardo; e) nenhum gato não é pardo. RESPOSTA: C 08. (ABC) Se A negação de o gato mia e o rato chia é: a) o gato não mia e o rato não chia; b) o gato mia ou o rato chia; c) o gato não mia ou o rato não chia; d) o gato e o rato não chiam nem miam; e) o gato chia e o rato mia. RESPOSTA: C 09. Duas grandezas A e B são tais que "se A = 2 então B = 5". Pode-se

concluir que: a) se A 2 antão B 5 b) se A = 5 então B = 2 c) se B 5 então A 2 d) se A = 2 então B = 2 e) se A = 5 então B 2 RESPOSTA: C

10. (VUNESP) Um jantar reúne 13 pessoas de uma mesma família. Das afirmações a seguir, referentes às pessoas reunidas, a única neces-sariamente verdadeira é:

a) pelo menos uma delas tem altura superior a 1,90m; b) pelo menos duas delas são do sexo feminino; c) pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo mês; d) pelo menos uma delas nasceu num dia par; e) pelo menos uma delas nasceu em janeiro ou fevereiro. RESPOSTA: C

11. (UFF) Na cidade litorânea de Ioretin é rigorosamente obedecida a seguinte ordem do prefeito: "Se não chover então todos os bares à beira-mar deverão ser abertos." Pode-se afirmar que:

a) Se todos os bares à beira-mar estão abertos, então choveu. b) Se todos os bares à beira-mar estão abertos, então não choveu. c) Se choveu, então todos os bares à beira-mar não estão abertos. d) Se choveu, então todos os bares à beira-mar estão abertos. e) Se um bar à beira-mar não está aberto, então choveu.

RESOLUÇÃO: Sejam as proposições: P = "Choveu"; Não P = "Não choveu"; Q = "Os bares à beira-mar estão abertos"; Não Q = "Os bares à beira-mar não estão abertos". Observe a tabela verdade onde V = verdadei-ro e F = falso.

http://www.uff.br/



Não P Q Não P Þ Q Não Q P Não Q Þ P

V V V F F V

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V V

Temos que "Não P implica em Q" é equivalente a "Não Q implica em

P", ou seja, se um bar à beira-mar não está aberto, então choveu. Logo, (e) é a opção correta.

QUESTÕES COMENTADAS

1) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo

de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Pergunta-dos sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu:

Armando: "Sou inocente" Celso: "Edu é o culpado" Edu: "Tarso é o culpado" Juarez: "Armando disse a verdade" Tarso: "Celso mentiu" Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os

outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é: a) Armando b) Celso c) Edu d) Tarso Comentar essa questão é difícil, mas foi TARSO, porque se todos

disseram a verdade, e apenas um mentiu, apenas UM dos dois que falaram que uma pessoa era culpado falou a verdade. Logo, se Tarso disse que Celso mentiu, e ele está tb falando a verdade, quem matou foi Tarso.

2) Das seguintes premissas: A: "Bia é alta e patriota, ou Bia é educada".

B: "Bia não é educada", conclui-se que Bia é: a) não alta e não patriota. b) alta ou patriota. c) não alta ou não educada. d) alta e patriota. Bia é alta e patriota, ou Bia é educada (o conectivo OU indica PELO

MENOS UM), ou seja, pelo menos um da minha sentença tem que ocorrer para que ela seja verdadeira, se eu nego que BIA não é EDUCADA, não quebra a condição, letra (D) correta

3) O prefeito de um município, em campanha para reeleição, divulgou

que, durante seu governo, o número de crianças na escola aumentou em 100%. Considere os comentários feitos por Pedro, João e André sobre esta afirmativa:

Pedro: “Agora temos muito mais crianças na escola.” João: “Agora todas as crianças estão na escola”. André: “Ainda existem mais crianças fora da escola do que crianças

na escola”. A única afirmativa de que podemos ter certeza ser verdadeira é: a) Se André está correto, então o prefeito mentiu. b) Se o prefeito disse a verdade, então João está correto. c) Se Pedro está correto, então André está errado. d) Se André está correto, então João está errado. Resposta D. O prefeito NÃO afirmou que todas as crianças estão

na escola. O prefeito disse que houve um aumento de 100%, is-so significa que se a cidade tinha 100 crianças na escola, o nú-mero agora é 110. Se André afirma que há mais crianças fora da escola, nem todas as crianças estão na escola, o que torna a afirmação de JOÃO falsa.

4) A negação da sentença "se você estudou lógica, então você acertará esta questão" é:

a) se você não acertar esta questão, então você não estudou lógica. b) você não estudou lógica e acertará esta questão. c) se você estudou lógica, então não acertará esta questão. d) você estudou lógica e não acertará esta questão. Para que o enunciado seja uma Negação... E como trata-se de

uma implicação então... A primeira proposição deverá ser posi-tiva e a segunda negativa... opção correta letra D.

5) Se Joaquim não joga futebol, ele estuda. Se Joaquim joga futebol,

ele faz amizades. Se Joaquim não estuda, ele não faz amizades. Se Joaquim faz amizades, ele não estuda. Então, conclui-se que Joa-quim:

a) joga futebol e faz amizades, mas não estuda. b) joga futebol, mas não faz amizades nem estuda. c) joga futebol e estuda, mas não faz amizades. d) não joga futebol, mas estuda e faz amizades. A resposta é óbvia, pois basta somente tomarmos a intersecção

de suas atividades. Veja: quando joga futebol, ele faz amizades e, consequentemente, não estuda. Quando estuda, não joga fu-tebol e não faz amizades. Logo, a resposta é o ítem a.

6) Uma das formas mais simples de argumentar consiste em duas

frases, uma das quais é conclusão da outra, que é chamada premis-sa. Dentre as opções a seguir, assinale aquela em que a associação está correta.

a) Premissa: Os exames finais devem ser extintos. Conclusão: Os exames finais dão muito trabalho a alunos e a profes-sores.

b) Premissa: Os índios brasileiros eram culturalmente primitivos. Conclusão: Os índios brasileiros cultuavam vários deuses.

c) Premissa: N é um número inteiro múltiplo de 6. Conclusão: N não é um número ímpar.

d) Premissa: É possível que um candidato ganhe as eleições presiden-ciais. Conclusão: O tal candidato tem muitos eleitores no interior do país.

As únicas afirmações que estão diretamente relacionadas são as da

alternativa "C". Não existem múltiplos de 6 que sejam números ímpa-res.

7) Em um clube, uma comissão, composta por três pessoas, será

formada para gerenciar o clube até o fim de ano. Fernanda, Ivany, Carlos, Roberto e Manoel se apresentaram para formar a comissão. Porém há algumas restrições:

• Ivany e Carlos se recusam trabalhar juntos. • Manoel só fará parte da comissão se Ivany também fizer. • A comissão não pode ser formada com pessoas do mesmo sexo. • Roberto e Manoel se recusam trabalhar juntos. Quantas comissões podem ser formadas com 2 homens participan-

do? a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 Somente uma comissão pode se formar com 2 homens, isto

porque são em 3 participantes, se fossem 4 participantes pode-riam se formar 2 comissões.

8) Após uma reunião de negócios, foram trocados um total de 15 aper-

tos de mão. Sabendo que cada empresário cumprimentou todos os outros, qual o número de empresários que estavam presentes nessa reunião?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7



A resposta correta é a "C", se fosse 4 empresários teriam sido trocados 6 apertos, se fossem 5 seriam 10 apertos, se fossem 7 seriam 21 apertos.

9) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou

sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria sa-ber qual deles entrou sem pagar, eles informaram:

- "Não fui eu, nem o Manuel", disse Marcos. - "Foi o Manuel ou a Maria", disse Mário. - "Foi a Mara", disse Manuel. - "O Mário está mentindo", disse Mara. - "Foi a Mara ou o Marcos", disse Maria. Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, con-

clui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi: a) Mário b) Marcos c) Mara d) Manuel Levando em consideração que a primeira está correta: Mário mente na segunda; Manoel pode estar falando a verdade na terceira; Mara diz a verdade ao dizer que Mário mente na quarta; Maria diz a verdade ao dizer que foi o Marcos ou a Mara Portanto a letra C é a correta. 10) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica

lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia. A frase que não possui essa característica comum é a: a) IV. b) V. c) I. d) II.

A característica lógica é que todas podem ocorrer, menos a IV pois não existe nada comprovado sobre vida em outros planetas

PROVA SIMULADA FINAL

01) Considere as afirmações: A) se Patrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade; B) se Vítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga; C) se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é uma boa amiga.

A análise do encadeamento lógico dessas três afirmações permite concluir que elas:

a) implicam necessariamente que Patrícia é uma boa amiga b) são consistentes entre si, quer Patrícia seja uma boa amiga, quer

Patrícia não seja uma boa amiga c) implicam necessariamente que Vítor diz a verdade e que Helena não

é uma boa amiga d) são equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa amiga 02) Na questão, observe que há uma relação entre o primeiro e o segun-

do grupos de letras. A mesma relação deverá existir entre o terceiro grupo e um dos cinco grupos que aparecem nas alternativas, ou seja, aquele que substitui corretamente o ponto de interrogação. Conside-re que a ordem alfabética adotada é a oficial e exclui as letras K, W e Y.

CASA: LATA: LOBO: ? a) SOCO b) TOCO c) TOMO d) VOLO 03) Uma das formas mais simples de argumentar consiste em duas

frases, uma das quais é conclusão da outra, que é chamada premis-sa. Dentre as opções a seguir, assinale aquela em que a associação está correta.

a) Premissa: Os exames finais devem ser extintos. Conclusão: Os exames finais dão muito trabalho a alunos e a profes-sores.

b) Premissa: Os índios brasileiros eram culturalmente primitivos. Conclusão: Os índios brasileiros cultuavam vários deuses.

c) Premissa: N é um número inteiro múltiplo de 6. Conclusão: N não é um número ímpar.

d) Premissa: É possível que um candidato ganhe as eleições presiden-ciais.

Conclusão: O tal candidato tem muitos eleitores no interior do país. 04) Em uma carpintaria há mestres-carpinteiros e aprendizes. Os mes-

tres têm todos a mesma capacidade de trabalho. Os aprendizes, também.

Se 8 mestres juntamente com 6 aprendizes têm a mesma capacida-de de produção de 6 mestres juntamente com 10 aprendizes, a ca-pacidade de um dos mestres, sozinho, corresponde à de:

a) 2 aprendizes. b) 3 aprendizes. c) 4 aprendizes. d) 5 aprendizes. 05) Regina e Roberto viajaram recentemente e voltaram três dias antes

do dia depois do dia de antes de amanhã. Hoje é terça-feira. Em que dia Regina e Roberto voltaram?

a) Quarta-feira. b) Quinta-feira. c) Sexta-feira. d) Domingo. 06) Considere as seguintes afirmativas: I. Todas as pessoas inteligentes gostam de cinema; II. Existem pessoas antipáticas e inteligentes.

Admitindo-se que as afirmações acima são corretas, pode-se concluir que:

a) todas as pessoas que gostam de cinema são inteligentes. b) toda pessoa antipática é inteligente. c) podem existir pessoas antipáticas que não gostem de cinema. d) as afirmações a, b e c são todas falsas. 07) Considere uma pergunta e duas informações as quais assumiremos

como verdadeiras. Pergunta: Entre João, Nuno e Luís, quem é o mais baixo? Informação 1: João é mais alto do que Luís. Informação 2: Nuno é mais alto do que Luís. Diante desses dados conclui-se que: a) a primeira informação, sozinha, é suficiente para que se responda

corretamente à pergunta, e a segunda, insuficiente. b) a segunda informação, sozinha, é suficiente para que se responda

corretamente à pergunta, e a primeira, insuficiente. c) as duas informações, em conjunto, são suficientes para que se

responda corretamente à pergunta, e cada uma delas, sozinha, é in-suficiente.

d) as duas informações, em conjunto, são insuficientes para que se responda corretamente à pergunta.

08) Se Lucia é pintora, então ela é feliz. Portanto: a) Se Lucia não é feliz, então ela não é pintora. b) Se Lucia é feliz, então ela é pintora. c) Se Lucia é feliz, então ela não é pintora. d) Se Lucia não é pintora, então ela é feliz. 09) Considere que, em um determinado instante, P passageiros aguar-

davam seu vôo em uma sala de embarque de certo aeroporto. Na primeira chamada embarcaram os idosos, que correspondiam à me-tade de P; na segunda, embarcaram as mulheres não idosas, cuja quantidade correspondia à metade do número de passageiros que haviam ficado na sala; na terceira, embarcaram alguns homens, em quantidade igual à metade do número de passageiros que ainda res-tavam na sala. Se, logo após as três chamadas, chegaram à sala mais 24 passageiros e, nesse momento, o total de passageiros na sala passou a ser a metade de P, então na:

a) primeira chamada embarcaram 34 passageiros. b) primeira chamada embarcaram 36 passageiros. c) segunda chamada embarcaram 16 passageiros. d) segunda chamada embarcaram 18 passageiros.



10) Dizer que "André é artista ou Bernardo não é engenheiro" é logica-mente equivalente a dizer que:

a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. 11) Um trapézio ABCD, com altura igual a h, possui bases AB = a e CD =

b, com a > b. As diagonais deste trapézio determinam quatro triângu-los. A diferença entre as áreas dos triângulos que têm por bases AB e CD respectivamente e por vértices opostos a interseção das diago-nais do trapézio é igual a:

a) (a + b)/2 b) (a + b)h/2 c) (a - b)h/2 d) (a - b)/2 12) Um psicólogo faz terapia de grupo com quatro pessoas: João, Pedro,

Paulo e José. Em um determinado dia, sua sessão foi realizada em uma mesa retangular com dois lugares de cada lado oposto da mesa e com o psicólogo e Paulo nas cabeceiras. Sendo assim, um lugar na mesa estava vago e este não estava perto do psicólogo. Dado esse cenário, pode-se afirmar, com certeza, que:

a) o lugar vago estava perto do Paulo. b) o lugar vago estava perto do José. c) o lugar vago estava perto do João. d) o lugar vago estava perto do Pedro. 13) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido,

então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo: a) o jardim é florido e o gato mia b) o jardim é florido e o gato não mia c) o jardim não é florido e o gato mia d) o jardim não é florido e o gato não mia 14) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado

em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade; Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à es-querda diz: "Tânia é quem está sentada no meio". A que está senta-da no meio diz: "Eu sou Janete". Finalmente, a que está sentada à direita diz: "Angélica é quem está sentada no meio". A que está sen-tada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente:

a) Janete, Tânia e Angélica b) Janete, Angélica e Tânia c) Angélica, Janete e Tânia d) Angélica, Tânia e Janete 15) Com a promulgação de uma nova lei, um determinado concurso

deixou de ser realizado por meio de provas, passando a análise cur-ricular a ser o único material para aprovação dos candidatos. Neste caso, todos os candidatos seriam aceitos, caso preenchessem e en-tregassem a ficha de inscrição e tivessem curso superior, a não ser que não tivessem nascido no Brasil e/ou tivessem idade superior a 35 anos. José preencheu e entregou a ficha de inscrição e possuía curso superior, mas não passou no concurso. Considerando o texto acima e suas restrições, qual das alternativas abaixo, caso verdadei-ra, criaria uma contradição com a desclassificação de José?

a) José tem menos de 35 anos e preencheu a ficha de inscrição corre-tamente.

b) José tem mais de 35 anos, mas nasceu no Brasil. c) José tem menos de 35 anos e curso superior completo. d) José tem menos de 35 anos e nasceu no Brasil. 16) Se Beatriz não é mãe de Ana, é tia de Paula. Se Beatriz é irmã de

Flávio, é mãe de Ana. Se Beatriz é mãe de Ana, não é irmã de Flá-vio. Se Beatriz não é irmã de Flávio, não é tia de Paula. Logo, Bea-triz:

a) não é mãe de Ana, é irmã de Flávio e não é tia de Paula. b) é mãe de Ana, é irmã de Flávio e não é tia de Paula. c) não é mãe de Ana, é irmã de Flávio e é tia de Paula. d) é mãe de Ana, não é irmã de Flávio e não é tia de Paula.

17) Em uma empresa, há 12 dirigentes de níveis hierárquicos distintos capacitados para a elaboração de determinado estudo: 5 diretores e 7 gerentes. Para isso, entre esses 12 dirigentes, 4 serão sorteados aleatoriamente para integrarem um grupo que realizará o referido es-tudo. A probabilidade de os 4 dirigentes sorteados serem do mesmo nível hierárquico está entre:

a) 0,01 e 0,05. b) 0,06 e 0,10. c) 0,11 e 0,15. d) 0,16 e 0,20. 18) Estava olhando para o Norte. Girei 90º para a esquerda e passei,

portanto, a olhar para o Oeste. Girei 180º e depois girei 45º à es-querda. Depois girei 90º à esquerda e, depois, 135º à direita. Passei, nesse momento, a olhar para o:

a) Norte; b) Leste; c) Nordeste; d) Sudeste; 19) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e

é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo:

a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa. b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa. c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa. d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim. 20) Antônio, Bento, Ciro e Dorival são profissionais liberais. Um deles é

advogado, outro é paisagista, outro é veterinário e outro é professor. Sabe-se que: o veterinário não é Antônio e nem Ciro; Bento não é veterinário e nem paisagista; Ciro não é advogado e nem paisagista. A conclusão correta quanto à correspondência entre carreira e pro-fissional está indicada em:

a) advogado - Dorival b) paisagista - Dorival c) paisagista - Antônio d) advogado - Antônio 21) Um psicólogo faz terapia de grupo com quatro pessoas: João, Pedro,

Paulo e José. Em um determinado dia, sua sessão foi realizada em uma mesa retangular com dois lugares de cada lado oposto da mesa e com o psicólogo e Paulo nas cabeceiras. Sendo assim, um lugar na mesa estava vago e este não estava perto do psicólogo. Dado esse cenário, pode-se afirmar, com certeza, que:

a) o lugar vago estava perto do Paulo. b) o lugar vago estava perto do José. c) o lugar vago estava perto do João. d) o lugar vago estava perto do Pedro. 22) Em um certo aeroporto, Ana caminhava à razão de um metro por

segundo. Ao utilizar uma esteira rolante de 210 metros, que se mo-vimenta no mesmo sentido em que ela caminhava, continuou andan-do no mesmo passo. Ao chegar ao final da esteira, Ana verificou ter levado exatamente 1 minuto para percorrer toda a extensão da estei-ra. Se Ana não tivesse continuado a caminhar quando estava sobre a esteira, o tempo que levaria para ser transportada do início ao fim da esteira seria igual a:

a) 1 minuto e 20 segundos. b) 1 minuto e 24 segundos. c) 1 minuto e 30 segundos. d) 1 minuto e 40 segundos. 23) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo

de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Pergunta-dos sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu:

Armando: "Sou inocente" Celso: "Edu é o culpado" Edu: "Tarso é o culpado" Juarez: "Armando Disse a verdade"



Tarso: "Celso mentiu" Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os

outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é: a) Armando b) Celso c) Edu d) Tarso

24) Três amigos, Mário, Nilo e Oscar, juntamente com suas esposas, sentaram-se, lado a lado, à beira do cais, para apreciar o pôr-do-sol. Um deles é flamenguista, outro é palmeirense, e outro vascaíno. Sa-be-se, também, que um é arquiteto, outro é biólogo, e outro é cozi-nheiro. Nenhum deles sentou-se ao lado da esposa, e nenhuma pes-soa sentou-se ao lado de outra do mesmo sexo. As esposas cha-mam-se, não necessariamente nesta ordem, Regina, Sandra e Tâ-nia. O arquiteto sentou-se em um dos dois lugares do meio, ficando mais próximo de Regina do que de Oscar ou do que do flamenguista. O vascaíno está sentado em uma das pontas, e a esposa do cozi-nheiro está sentada à sua direita. Mário está sentado entre Tânia, que está à sua esquerda, e Sandra. As esposas de Nilo e de Oscar são, respectivamente:

a) Regina e Sandra b) Tânia e Sandra c) Sandra e Tânia d) Regina e Tânia

25) Se é verdade que “Nenhum artista é atleta”, então também será verdade que:

a) todos não-artistas são não-atletas b) nenhum atleta é não-artista c) nenhum artista é não-atleta d) pelo menos um não-atleta é artista

26) Os advogados Clóvis, Rui e Raimundo trabalham em agências diferentes de um mesmo banco, denominadas Norte, Sul e Leste. Exercem, não necessariamente nesta ordem, suas funções nos seto-res de Financiamento, Cobrança e Ouvidoria. Sabe-se, ainda, que:

• Clóvis e o advogado da Agência Leste não trabalham na Ouvidoria. • O advogado da Agência Norte não é Clóvis nem Rui. • Na Agência Sul, o advogado não trabalha na Ouvidoria nem no

Financiamento. É possível concluir que: a) Clóvis trabalha no setor de Cobranças da Agência Norte. b) Rui, o advogado da Agência Leste, trabalha no setor de Ouvidoria. c) nem Raimundo, nem Rui trabalham no setor de Financiamento. d) nas Agências Sul e Norte, os advogados não trabalham com Finan-

ciamento.

27) Uma grande empresa multinacional oferece a seus funcionários cursos de português, inglês e italiano. Sabe-se que 20 funcionários cursam italiano e inglês; 60 funcionários cursam português e 65 cur-sam inglês; 21 funcionários não cursam nem português nem italiano; o número de funcionários que praticam só português é idêntico ao número dos funcionários que praticam só italiano; 17 funcionários praticam português e italiano; 45 funcionários praticam português e inglês; 30, entre os 45, não praticam italiano. Com estas informações pode-se concluir que a diferença entre o total de funcionários da em-presa e o total de funcionários que não estão matriculados em qual-quer um dos cursos é igual a:

a) 93 b) 83 c) 103 d) 113

28) Suponha que exista uma pessoa que só fala mentiras às terças, quartas e quintas-feiras, enquanto que, nos demais dias da semana, só fala a verdade. Nessas condições, somente em quais dias da se-mana seria possível ela fazer a afirmação "Eu menti ontem e também mentirei amanhã."?

a) Terça e quinta-feira. b) Terça e sexta-feira. c) Quarta e quinta-feira. d) Quarta-feira e sábado.

29) Paulo, João, Beto, Marcio e Alfredo estão numa festa. Sabendo-se que cada um deles possui diferentes profissões: advogado, adminis-trador, psicólogo, físico e médico. Temos: o advogado gosta de con-versar com beto, Marcio e João, mas odeia conversar com o médico Beto joga futebol com o físico Paulo, Beto e Marcio jogam vôlei com o administrador Alfredo move uma ação trabalhista contra o médico. Podemos afirmar que Paulo é....

a) Paulo é o advogado, João é o administrador b) Alfredo é o advogado, Paulo é o médico. c) Marcio é o psicólogo, Alfredo é o médico d) Beto é o físico, Alfredo é o administrador 30) Considerando-se que todos os Gringles são Jirnes e que nenhum

Jirnes é Trumps, a afirmação de que nenhum Trumps pode ser Grin-gles é:

a) Necessariamente verdadeira. b) Verdadeira, mas não necessariamente. c) Necessariamente falsa. d) Falsa, mas não necessariamente. 31) Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois

cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número máximo de tentativas para abrir os cadeados é

a) 518.400 b) 1.440 c) 720 d) 120 32) Uma companhia de ônibus realiza viagens entre as cidades de Co-

rumbá e Bonito. Dois ônibus saem simultaneamente, um de cada ci-dade, para percorrerem o mesmo trajeto em sentido oposto. O ôni-bus 165 sai de Corumbá e percorre o trajeto a uma velocidade de 120 km/h. Enquanto isso, o 175 sai de Bonito e faz a sua viagem a 90 km/h. Considerando que nenhum dos dois realizou nenhuma pa-rada no trajeto, podemos afirmar que: I - Quando os dois se cruza-rem na estrada, o ônibus 175 estará mais perto de Bonito do que o 165. II - Quando os dois se cruzarem na estrada, o ônibus 165 terá andado mais tempo do que o 175.

a) Somente a hipótese (I) está errada. b) Somente a hipótese (II) está errada. c) Ambas as hipóteses estão erradas. d) Nenhuma das hipóteses está errada. 33) A hipotenusa de um triangulo retângulo mede 10 cm, e um de seus

catetos mede 6 cm. A área deste triangulo é igual a: a) 24 cm2 b) 30 cm2 c) 40 cm2 d) 48 cm2 34) O menor complementar de um elemento genérico xij de uma matriz X

é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y = yij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que (aij) = (i+j)2 e que bij = i2 , então o menor complementar do elemento y23 é igual a:

a) 0 b) -8 c) -80 d) 8 35) Maria vai de carona no carro de sua amiga e se propõe a pagar a

tarifa do pedágio, que é de R$ 3,80. Verificou que tem no seu porta-níqueis moedas de todos os valores do atual sistema monetário bra-sileiro, sendo: duas moedas do menor valor, três do maior valor e uma moeda de cada um dos outros valores. Sendo assim, ela tem o suficiente para pagar a tarifa e ainda lhe sobrarão:

a) doze centavos. b) onze centavos. c) dez centavos. d) nove centavos.



36) Existem três caixas I, II e III contendo transistores. Um técnico cons-tatou que:

se passasse 15 transistores da caixa I para a caixa II, esta ficaria com 46 transistores a mais do que a caixa I tinha inicialmente;

se passasse 8 transistores da caixa II para a caixa III, esta ficaria com 30 transistores a mais do que a caixa II tinha inicialmente.

Se o total de transistores nas três caixas era de 183, então o número inicial de transistores em:

a) I era um número par. b) II era um número ímpar. c) III era um número menor que 85. d) I e III era igual a 119. 37) Para asfaltar 1 quilômetro de estrada, 30 homens gastaram 12 dias

trabalhando 8 horas por dia, enquanto que 20 homens, para asfalta-rem 2 quilômetros da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia, gastam x dias. Calcule o valor de x.

a) 30 b) 22 c) 25 d) 24 38) Uma circunferência sobre um plano determina duas regiões nesse

mesmo plano. Duas circunferências distintas sobre um mesmo plano determinam, no máximo, 4 regiões. Quantas regiões, no máximo, 3 circunferências distintas sobre um mesmo plano podem determinar nesse plano?

a) 4 b) 7 c) 5 d) 8 39) Luís é prisioneiro do temível imperador Ivan. Ivan coloca Luís à frente

de três portas e lhe diz: “Atrás de uma destas portas encontra-se uma barra de ouro, atrás de cada uma das outras, um tigre feroz. Eu sei onde cada um deles está. Podes escolher uma porta qualquer. Feita tua escolha, abrirei uma das portas, entre as que não escolhes-te, atrás da qual sei que se encontra um dos tigres, para que tu mesmo vejas uma das feras. Aí, se quiseres, poderás mudar a tua escolha”. Luís, então, escolhe uma porta e o imperador abre uma das portas não-escolhidas por Luís e lhe mostra um tigre. Luís, após ver a fera, e aproveitandose do que dissera o imperador, muda sua esco-lha e diz: “Temível imperador, não quero mais a porta que escolhi; quero, entre as duas portas que eu não havia escolhido, aquela que não abriste”. A probabilidade de que, agora, nessa nova escolha, Lu-ís tenha escolhido a porta que conduz à barra de ouro é igual a:

a) 1/2. b) 1/3. c) 2/3. d) 2/5. 40) Num concurso para preencher uma vaga para o cargo de gerente

administrativo da empresa M, exatamente quatro candidatos obtive-ram a nota máxima. São eles, André, Bruno, Célio e Diogo. Para de-cidir qual deles ocuparia a vaga, os quatro foram submetidos a uma bateria de testes e a algumas entrevistas. Ao término dessa etapa, cada candidato fez as seguintes declarações: André declarou: Se Diogo não foi selecionado, então Bruno foi selecionado. Bruno declarou: André foi selecionado ou eu não fui selecionado. Célio declarou: Se Bruno foi selecionado, então eu não fui seleci-onado. Diogo declarou: Se André não foi selecionado, então Célio foi. Admitindo-se que, das quatro afirmações acima, apenas a declara-ção de Diogo seja falsa, é correto concluir que o candidato selecio-nado para preencher a vaga de gerente administrativo foi:

a) Célio b) André c) Bruno d) Diogo

41) Os 61 aprovados em um concurso, cujas notas foram todas distintas, foram distribuídos em duas turmas, de acordo com a nota obtida no concurso: os 31 primeiros foram colocados na turma A e os 30 se-guintes na turma B. As médias das duas turmas no concurso foram calculadas. Depois, no entanto, decidiu-se passar o último colocado da turma A para a turma B. Com isso:

a) A média da turma A melhorou, mas a da B piorou. b) A média da turma A piorou, mas a da B melhorou. c) As médias de ambas as turmas melhoraram. d) As médias de ambas as turmas pioraram. 42) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira,

independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:

a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Gui-

lherme é gordo 43) Na Consoantelândia, fala-se o consoantês. Nessa língua, existem 10

letras: 6 do tipo I e 4 do tipo II. As letras do tipo I são: b, d, h, k, l, t. As letras do tipo II são: g, p, q, y. Nessa língua, só há uma regra de acentuação: uma palavra só será

acentuada se tiver uma letra do tipo II precedendo uma letra do tipo I. Pode-se afirmar que:

a) dhtby é acentuada. b) pyg é acentuada. c) kpth não é acentuada. d) kydd é acentuada. 44) A seção "Dia a dia", do Jornal da Tarde de 6 de janeiro de 1996,

trazia esta nota: "Técnicos da CETESB já tinham retirado, até o fim da tarde de on-

tem, 75 litros da gasolina que penetrou nas galerias de águas pluvi-ais da Rua João Boemer, no Pari, Zona Norte. A gasolina se espa-lhou pela galeria devido ao tombamento de um tambor num posto de gasolina desativado."

De acordo com a nota, a que conclusão se pode chegar a respeito da quantidade de litros de gasolina vazada do tambor para as galerias pluviais?

a) Corresponde a 75 litros. b) É menor do que 75 litros. c) É maior do que 75 litros. d) É impossível ter qualquer ideia a respeito da quantidade de

gasolina. 45) Certo dia, durante o expediente do Tribunal de Contas do Estado de

Minas Gerais, três funcionários Antero, Boris e Carmo executaram as tarefas de arquivar um lote de processos, protocolar um lote de do-cumentos e prestar atendimento ao público, não necessariamente nesta ordem. Considere que:

- cada um deles executou somente uma das tarefas mencionadas; - todos os processos do lote, todos os documentos do lote e todas as

pessoas atendidas eram procedentes de apenas uma das cidades: Belo Horizonte, Uberaba e Uberlândia, não respectivamente;

- Antero arquivou os processos; - os documentos protocolados eram procedentes de Belo Horizonte; - a tarefa executada por Carmo era procedente de Uberlândia.

Nessas condições, é correto afirmar que: a) Carmo protocolou documentos. b) a tarefa executada por Boris era procedente de Belo Horizonte. c) Boris atendeu às pessoas procedentes de Uberaba. d) as pessoas atendidas por Antero não eram procedentes de Uberaba. 46) Se Rasputin não tivesse existido, Lenin também não existiria. Lenin

existiu. Logo, a) Lenin e Rasputin não existiram. b) Lenin não existiu. c) Rasputin existiu. d) Rasputin não existiu.



47) Assinale a alternativa correspondente ao número de cinco dígitos no qual o quinto dígito é a metade do quarto e um quarto do terceiro dígito. O terceiro dígito é a metade do primeiro e o dobro do quarto. O segun-do dígito é três vezes o quarto e tem cinco unidades a mais que o quin-to.

a) 17942 b) 25742 c) 65384 d) 86421 48) De quantos modos é possível formar um subconjunto, com exatamente

3 elementos, do conjunto {1 ,2,3,4,5,6} no qual NÃO haja elementos consecutivos?

a) 4 b) 6 c) 8 d) 18 49) Se todos os jaguadartes são momorrengos e todos os momorrengos

são cronópios então pode-se concluir que: a) É possível existir um jaguadarte que não seja momorrengo. b) É possível existir um momorrengo que não seja jaguadarte. c) Todos os momorrengos são jaguadartes. d) É possível existir um jaguadarte que não seja cronópio. 50) Em uma urna temos 3 bolas azuis, cada uma com 5 cm³ de volume, 3

cubos pretos, cada um com 2 cm³ de volume e 1 cubo azul de 3 cm³ de volume. Retirando-se quatro objetos da urna, sem reposição, necessa-riamente um deles:

a) terá volume menor do que 3 cm³. b) terá volume maior do que 3 cm³. c) será uma bola. d) será azul.

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Princípio fundamental da contagem (PFC) Se um primeiro evento pode ocorrer de m maneiras diferentes e um

segundo evento, de k maneiras diferentes, então, para ocorrerem os dois sucessivamente, existem m . k maneiras diferentes.

Aplicações Uma moça dispõe de 4 blusas e 3 saias. De quantos modos distintos

ela pode se vestir?

Solução: A escolha de uma blusa pode ser feita de 4 maneiras diferentes e a de

uma saia, de 3 maneiras diferentes. Pelo PFC, temos: 4 . 3 = 12 possibilidades para a escolha da blusa e

saia. Podemos resumir a resolução no seguinte esquema;

Blusa saia

4 . 3 = 12 modos diferentes Existem 4 caminhos ligando os pontos A e B, e 5 caminhos ligando os

pontos B e C. Para ir de A a C, passando pelo ponto B, qual o número de trajetos diferentes que podem ser realizados?

Solução: Escolher um trajeto de A a C significa escolher um caminho de A a B e

depois outro, de B a C.

Como para cada percurso escolhido de A a B temos ainda 5 possibili-

dades para ir de B a C, o número de trajetos pedido é dado por: 4 . 5 = 20. Esquema:

Percurso AB

Percurso BC

4 . 5 = 20 Quantos números de três algarismos podemos escrever com os alga-

rismos ímpares? Solução: Os números devem ser formados com os algarismos: 1, 3, 5, 7, 9. Exis-

tem 5 possibilidades para a escolha do algarismo das centenas, 5 possibili-dades para o das dezenas e 5 para o das unidades.

Assim, temos, para a escolha do número, 5 . 5 . 5 = 125.

algarismos da centena

algarismos da dezena

algarismos da unidade

5 . 5 . 5 = 125 Quantas placas poderão ser confeccionadas se forem utilizados três le-

tras e três algarismos para a identificação de um veículo? (Considerar 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.)

Solução: Como dispomos de 26 letras, temos 26 possibilidades para cada posi-

ção a ser preenchida por letras. Por outro lado, como dispomos de dez algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), temos 10 possibilidades para cada posição a ser preenchida por algarismos. Portanto, pelo PFC o número total de placas é dado por:

Quantos números de 2 algarismos distintos podemos formar com os al-

garismos 1, 2, 3 e 4? Solução: Observe que temos 4 possibilidades para o primeiro algarismo e, para

cada uma delas, 3 possibilidades para o segundo, visto que não é permitida a repetição. Assim, o número total de possibilidades é: 4 . 3 =12

Esquema:

01. B 02. B 03. C 04. A 05. D 06. C 07. C 08. A 09. C 10. D

11. C 12. A 13. C 14. B 15. D 16. D 17. B 18. B 19. C 20. C

21. A 22. B 23. D 24. C 25. D 26. D 27. A 28. A 29. B 30. A

31. B 32. C 33. A 34. C 35. A 36. D 37. D 38. D 39. C 40. D

41. C 42. A 43. D 44. C 45. B 46. C 47. D 48. A 49. A 50. D



Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os al-

garismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? Solução: Existem 9 possibilidades para o primeiro algarismo, apenas 8 para o

segundo e apenas 7 para o terceiro. Assim, o número total de possibilida-des é: 9 . 8 . 7 = 504

Esquema:

Quantos são os números de 3 algarismos distintos? Solução: Existem 10 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Temos 9 possibilida-

des para a escolha do primeiro algarismo, pois ele não pode ser igual a zero. Para o segundo algarismo, temos também 9 possibilidades, pois um deles foi usado anteriormente.

Para o terceiro algarismo existem, então, 8 possibilidades, pois dois de-

les já foram usados. O numero total de possibilidades é: 9 . 9 . 8 = 648 Esquema:

Quantos números entre 2000 e 5000 podemos formar com os

algarismos pares, sem os repetir? Solução: Os candidatos a formar os números são : 0, 2, 4, 6 e 8. Como os

números devem estar compreendidos entre 2000 e 5000, o primeiro algarismo só pode ser 2 ou 4. Assim, temos apenas duas possibilidades para o primeiro algarismo e 4 para o segundo, três para o terceiro e duas paia o quarto.

O número total de possibilidades é: 2 . 4 . 3 . 2 = 48 Esquema:

ARRANJOS SIMPLES

Introdução: Na aplicação An,p, calculamos quantos números de 2 algarismos distin-

tos podemos formar com 1, 2, 3 e 4. Os números são : 12 13 14 21 23 24 31 32 34 41 42 43

Observe que os números em questão diferem ou pela ordem dentro do

agrupamento (12 21) ou pelos elementos componentes (13 24). Cada número se comporta como uma sequência, isto é :

(1,2) (2,1) e (1,3) (3,4) A esse tipo de agrupamento chamamos arranjo simples. Definição: Seja l um conjunto com n elementos. Chama-se arranjo simples dos n

elementos de /, tomados p a p, a toda sequência de p elementos distintos,

escolhidos entre os elementos de l ( P n). O número de arranjos simples dos n elementos, tomados p a p, é

indicado por An,p Fórmula: Aplicações 1) Calcular: a) A7,1 b) A7,2 c) A7,3 d) A7,4 Solução: a) A7,1 = 7 c) A7,3 = 7 . 6 . 5 = 210 b) A7,2 = 7 . 6 = 42 d) A7,4 = 7 . 6 . 5 . 4 = 840 Resolver a equação Ax,3 = 3 . Ax,2. Solução: x . ( x - 1) . ( x – 2 ) = 3 . x . ( x - 1)

x ( x – 1) (x –2) - 3x ( x – 1) =0

x( x – 1)[ x – 2 – 3 ] = 0

x = 0 (não convém) ou x = 1 ( não convém) ou x = 5 (convém)

S = 5

Quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever com os

algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? Solução: Essa mesma aplicação já foi feita, usando-se o principio fundamental

da contagem. Utilizando-se a fórmula, o número de arranjos simples é: A9, 3 =9 . 8 . 7 = 504 números Observação: Podemos resolver os problemas sobre arranjos simples

usando apenas o principio fundamental da contagem.

FATORIAL Definição:

Chama-se fatorial de um número natural n, n 2, ao produto de todos os números naturais de 1 até n. Assim :

n ! = n( n - 1) (n - 2) . . . 2 . 1, n 2 (lê-se: n fatorial) 1! = 1 0! = 1 Fórmula de arranjos simples com o auxílio de fatorial:

A n ,p = n . (n -1) . (n –2) . . . (n – (p – 1)),

IN n p, e np

lN np, e n p ,

! pn

! nA P,N



Aplicações Calcular:

a) 5! c) ! 6

! 8 e)

2)! - (n

! n

b) ! 4

! 5 d)

! 10

! 10 ! 11

Solução: 5 ! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

5! 4

! 4 5

! 4

! 5

56! 6

! 6 7 8

! 6

! 8

12

! 10

111! 10

!10

! 10 ! 10 11

! 10

! 10 ! 11

nnn

2

! 2 -n

! 2 -n 1 -n

2)! -(n

!n

Obter n, de modo que An,2 = 30. Solução: Utilizando a fórmula, vem :

302)! - (n

! 2) - n ( 1) - n ( n30

2)! - (n

! n

n = 6 n2 – n – 30 = 0 ou n = –5 ( não convém)

Obter n, tal que: 4 . An-1,3 = 3 . An,3. Solução:

! 1 - n

! n3

! 4 - n

! 3 - n 4

! 3 - n

! n3

! 4 - n

! 1 - n 4

21n n312n4

! 1 - n

! 1 - n n3

! 4 - n

! 4 - n 3 - n 4

Obter n, tal que : 4! n

! ) 1n ( - ! ) 2 n (

Solução:

4!

! n ) 1 n ( - !n ) 1n ( ) 2 n (

n

4

!

1- 2 n ) 1 n ( !n

n

n + 1 = 2 n =1 (n + 1 )2 = 4 n + 1 = –2n = –3(não convém)

PERMUTAÇÕES SIMPLES

Introdução: Consideremos os números de três algarismos distintos formados com

os algarismos 1, 2 e 3. Esses números são : 123 132 213 231 312 321 A quantidade desses números é dada por A3,3= 6.

Esses números diferem entre si somente pela posição de seus elemen-tos. Cada número é chamado de permutação simples, obtida com os alga-rismos 1, 2 e 3.

Definição: Seja I um conjunto com n elementos. Chama-se permutação simples

dos n elementos de l a toda a sequência dos n elementos. O número de permutações simples de n elementos é indicado por Pn. OBSERVA ÇÃO: Pn = An,n . Fórmula: Aplicações Considere a palavra ATREVIDO.

quantos anagramas (permutações simples) podemos formar?

quantos anagramas começam por A?

quantos anagramas começam pela sílaba TRE?

quantos anagramas possuem a sílaba TRE?

quantos anagramas possuem as letras T, R e E juntas?

quantos anagramas começam por vogal e terminam em consoante?

Solução: a) Devemos distribuir as 8 letras em 8 posições disponíveis. Assim:

Ou então, P8 = 8 ! = 40.320 anagramas b) A primeira posição deve ser ocupada pela letra A; assim, devemos

distribuir as 7 letras restantes em 7 posições, Então:

c) Como as 3 primeiras posições ficam ocupadas pela sílaba TRE, de-

vemos distribuir as 5 letras restantes em 5 posições. Então:

d) considerando a sílaba TRE como um único elemento, devemos

permutar entre si 6 elementos,

e) Devemos permutar entre si 6 elementos, tendo considerado as letras

T, R, E como um único elemento:



Devemos também permutar as letras T, R, E, pois não foi especificada a ordem:

Para cada agrupamento formado, as letras T, R, E podem ser dispostas

de P3 maneiras. Assim, para P6 agrupamentos, temos P6 . P3 anagramas. Então: P6 . P3 = 6! . 3! = 720 . 6 = 4 320 anagramas f) A palavra ATREVIDO possui 4 vogais e 4 consoantes. Assim:

PERMUTAÇÕES SIMPLES, COM ELEMENTOS REPETIDOS

Dados n elementos, dos quais :

1 são iguais a

2 são iguais a

. . . . . . . . . . . . . . . . .

r são iguais a

sendo ainda que: r2 1 . . . = n, e indicando-se por

) . . . , ,(p r21n o número das permutações simples dos n elemen-

tos, tem-se que: Aplicações Obter a quantidade de números de 4 algarismos formados pelos alga-

rismos 2 e 3 de maneira que cada um apareça duas vezes na formação do número.

Solução:

os números são

3223 3232 3322

2332 2323 2233

A quantidade desses números pode ser obtida por:

números 61 2 ! 2

! 2 3 4

! 2 ! 2

! 4P 2,2

4

Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra

AMADA? Solução: Temos: Assim:

anagramas 20 ! 3

! 3 4 5

! 1 ! 1 ! 3

! 5 p 1,1,3

5

Quantos anagramas da palavra GARRAFA começam pela sílaba RA? Solução: Usando R e A nas duas primeiras posições, restam 5 letras para serem

permutadas, sendo que: Assim, temos:

anagramas 60 ! 2

! 2 3 4 5 p 1,1,2

5

COMBINAÇÕES SIMPLES

Introdução: Consideremos as retas determinadas pelos quatro pontos, conforme a

figura.

Só temos 6 retas distintas ,CD ,BC ,AB( )AD e BD ,AC por-

que , . . . ,BA e AB DC e CD representam retas coincidentes.

Os agrupamentos {A, B}, {A, C} etc. constituem subconjuntos do

conjunto formado por A, B, C e D.

Diferem entre si apenas pelos elementos componentes, e são

chamados combinações simples dos 4 elementos tomados 2 a 2. O número de combinações simples dos n elementos tomados p a p é

indicado por Cn,p ou

p

n.

OBSERVAÇÃO: Cn,p . p! = An,p. Fórmula:

Aplicações calcular: a) C7,1 b) C7,2 c) C7,3 d) C7,4 Solução:

C7,1 = 7! 6

! 6 7

! 6 ! 1

! 7

C7,2 = 21! 5 1 2

! 5 6 7

! 5 ! 2

! 7

C7,3 = 35! 4 1 2 3

! 4 5 6 7

! 4 ! 3

! 7

Seja l um conjunto com n elementos. Chama-se combinação sim-ples dos n elementos de /, tomados p a p, a qualquer subconjunto de p elementos do conjunto l.

1 13

D M A A,,A

{{{

1121

F R AA, G

1

11 11 a ., . . , a ,a a

2

2222 a , . . . ,a ,a a

r

rrrr a , . . . ,a ,a a

lN } n p, { e np ,! ) p - n ( ! p

! n C p, n

! . . . ! !

! n) . . . , ,(p

r1r21n



C7,4= 35 1 2 3 ! 4

! 4 5 6 7

! 3 ! 4

! 7

Quantos subconjuntos de 3 elementos tem um conjunto de 5

elementos?

ossubconjunt 101 2 ! 3

! 3 4 5

! 2 ! 3

! 5 C5,3

obter n, tal que 3

4

C

C

n,2

n,3

Solução:

3

4

! n

! ) 2- n ( ! 2

) 3 - n ( ! 3

! n

3

4

! ) 2 - n ( ! 2

! n

! ) 3 - n ( ! 3

! n

42-n 3

4

! ) 3 - n ( 2 3

! ) 3 - n ( ) 2 - n ( 2

convém Obter n, tal que Cn,2 = 28. Solução:

56! )2(

! ) 2 -n ( ) 1 -n ( 28

)! 2 -n ( ! 2

!n

n

n

n = 8 n2 – n – 56 = 0

n = -7 (não convém) Numa circunferência marcam-se 8 pontos, 2 a 2 distintos. Obter o nú-

mero de triângulos que podemos formar com vértice nos pontos indicados:

Solução: Um triângulo fica identificado quando escolhemos 3 desses pontos, não

importando a ordem. Assim, o número de triângulos é dado por:

56! 5 . 2 3

! 5 . 6 7 8

! 5 ! 3

! 8C8,3

Em uma reunião estão presentes 6 rapazes e 5 moças. Quantas co-

missões de 5 pessoas, 3 rapazes e 2 moças, podem ser formadas? Solução: Na escolha de elementos para formar uma comissão, não importa a

ordem. Sendo assim :

escolher 3 rapazes: C6,3 =! 3 ! 3

! 6= 20 modos

escolher 2 moças: C5,2= 3! 2!

! 5 = 10 modos

Como para cada uma das 20 triplas de rapazes temos 10 pares de mo-

ças para compor cada comissão, então, o total de comissoes é C6,3 . C5,2 = 200.

Sobre uma reta são marcados 6 pontos, e sobre uma outra reta,

paralela á primeira, 4 pontos. Quantas retas esses pontos determinam? Quantos triângulos existem com vértices em três desses pontos? Solução: a) C10,2 – C6,2 – C4,2 + 2 = 26 retas onde C6,2 é o maior número de retas possíveis de serem determinadas por

seis pontos C4,2 é o maior número de retas possíveis de serem determinadas por quatro pontos .

b) C10,3 – C6,3 – C4,3 = 96 triângulos onde C6,3 é o total de combinações determinadas por três pontos alinhados

em uma das retas, pois pontos colineares não determinam triângulo. C4,3 é o total de combinações determinadas por três pontos alinhados

da outra reta.

Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos é

possível tirar 7 bolas das quais pelo menos 4 sejam pretas? Solução: As retiradas podem ser efetuadas da seguinte forma: 4 pretas e 3 brancas C6,4 . C10,3 = 1 800 ou

5 pretas e 2 brancas C6,5 . C10,2 = 270 ou

6 pretas e1 branca C6,6 . C10,1 = 10

Logo. 1 800 + 270 + 10 = 2 080 modos

PROBABILIDADE

ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO

Suponha que em uma urna existam cinco bolas vermelhas e uma bola branca. Extraindo-se, ao acaso, uma das bolas, é mais provável que esta seja vermelha. Isto irão significa que não saia a bola branca, mas que é mais fácil a extração de uma vermelha. Os casos possíveis seu seis:

Cinco são favoráveis á extração da bola vermelha. Dizemos que a proba-

bilidade da extração de uma bola vermelha é 6

5 e a da bola branca,

6

1 .

Se as bolas da urna fossem todas vermelhas, a extração de uma verme-

lha seria certa e de probabilidade igual a 1. Consequentemente, a extração de uma bola branca seria impossível e de probabilidade igual a zero.

Espaço amostral: Dado um fenômeno aleatório, isto é, sujeito ás leis do acaso, chamamos

espaço amostral ao conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrerem. Vamos indica-lo pela letra E.

EXEMPLOS: Lançamento de um dado e observação da face voltada para cima: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Lançamento de uma moeda e observação da face voltada para cima : E = {C, R}, onde C indica cara e R coroa. Lançamento de duas moedas diferentes e observação das faces voltadas

para cima: E = { (C, C), (C, R), (R, C), (R, R) }

n = 6



Evento: Chama-se evento a qualquer subconjunto do espaço amostral. Tome-

mos, por exemplo, o lançamento de um dado : ocorrência do resultado 3: {3} ocorrência do resultado par: {2, 4, 6} ocorrência de resultado 1 até 6: E (evento certo)

ocorrência de resultado maior que 6: (evento impossível)

Como evento é um conjunto, podemos aplicar-lhe as operações entre

conjuntos apresentadas a seguir. União de dois eventos - Dados os eventos A e B, chama-se união de A e

B ao evento formado pelos resultados de A ou de B, indica-se por A B.

Intersecção de dois eventos - Dados os eventos A e B, chama-se inter-

secção de A e B ao evento formado pelos resultados de A e de B. Indica-se por A B.

Se A B = , dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos,

isto é, a ocorrência de um deles elimina a possibilidade de ocorrência do outro.

Evento complementar – Chama-se evento complementar do evento A

àquele formado pelos resultados que não são de A. indica-se por A .

Aplicações Considerar o experimento "registrar as faces voltadas para cima", em três

lançamentos de uma moeda. Quantos elementos tem o espaço amostral? Escreva o espaço amostral. Solução: a) o espaço amostral tem 8 elementos, pois para cada lançamento

temos duas possibilidades e, assim: 2 . 2 . 2 = 8. b) E = {(C, C, C), (C, C, R), (C, R, C), (R, C, C), (R, R,C), (R, C, R), (C,

R, R), (R, R, R) } Descrever o evento "obter pelo menos uma cara no lançamento de duas

moedas". Solução: Cada elemento do evento será representado por um par ordenado.

Indicando o evento pela letra A, temos: A = {(C,R), (R,C), (C,C)} Obter o número de elementos do evento "soma de pontos maior que 9 no

lançamento de dois dados".

Solução: O evento pode ser tomado por pares ordenados com soma 10, soma 11

ou soma 12. Indicando o evento pela letra S, temos: S = { (4,6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)}

n(S) = 6 elementos

Lançando-se um dado duas vezes, obter o número de elementos do

evento "número par no primeiro lançamento e soma dos pontos igual a 7". Solução: Indicando o evento pela letra B, temos: B = { (2, 5), (4, 3), (6, 1)} n(B) = 3 elementos

PROBABILIDADE Sendo n(A) o número de elementos do evento A, e n(E) o número de

elementos do espaço amostral E (A E), a probabilidade de ocorrência do evento A, que se indica por P(A), é o número real:

OBSERVAÇÕES: Dizemos que n(A) é o número de casos favoráveis ao evento A e n(E) o

número de casos possíveis. Esta definição só vale se todos os elementos do espaço amostral tiverem

a mesma probabilidade.

A é o complementar do evento A. Propriedades:

Aplicações No lançamento de duas moedas, qual a probabilidade de obtermos cara

em ambas? Solução: Espaço amostral: E = {(C, C), (C, R), (R, C), (R,R)} n(E).= 4

Evento A : A = {(C, C)} n(A) =1

Assim: 4

1

) E ( n

) A ( n ) A ( P

Jogando-se uma moeda três vezes, qual a probabilidade de se obter cara

pelo menos uma vez? Solução: E = {(C, C, C), (C, C, R), (C, R, C), (R, C, C), (R, R, C), (R, C, R), (C, R,

R), (R. R, R)} n(E)= 8

A = {(C, C, C), (C, C, R), (C, R, C), (R, C, C), (R, R, C), (R, C, R), (C, R,

R) n(A) = 7

8

7P(A)

) E ( n

) A ( n ) A ( P

(Cesgranrio) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por an-

dar, tem apenas três apartamentos ocupados. A probabilidade de que cada um dos três andares tenha exatamente um apartamento ocupado é :

2/5 c) 1/2 e) 2/3 3/5 d) 1/3 Solução: O número de elementos do espaço amostral é dado por : n(E) = C6,3 =

! 3 ! 3

! 6 = 20

) E ( n

) A ( n ) A ( P



O número de casos favoráveis é dado por n (A) = 2 . 2 . 2 = 8, pois em

cada andar temos duas possibilidades para ocupa-lo. Portanto, a probabilida-de pedida é:

5

2

20

8

) E ( n

) A ( n ) A ( P (alternativa a)

Numa experiência, existem somente duas possibilidades para o

resultado. Se a probabilidade de um resultado é 3

1 , calcular a probabilidade

do outro, sabendo que eles são complementares. Solução:

Indicando por A o evento que tem probabilidade 3

1, vamos indicar por

A o outro evento. Se eles são complementares, devemos ter:

P(A) + P( A ) = 1 3

1 + P( A ) = 1

8) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de obtermos na face voltada para cima um número primo?

Solução: Espaço amostral : E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(E) = 6

Evento A : A = {2, 3, 5} n(A) = 3

Assim: 2

1)A(P

6

3

) E ( n

) A ( n ) A ( P

No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de se obter soma dos

pontos igual a 10? Solução: Considere a tabela, a seguir, indicando a soma dos pontos:

A B

1

2

3

4

5

6

1 2

3

4

5

6

7

2 3

4

5

6

7

8

3 4

5

6

7

8

9

4 5

6

7

8

9

10

5 6

7

8

9

10

11

6 7

8

9

10

11

12

Da tabela: n(E) = 36 e n(A) = 3

Assim: 12

1

36

3

) E ( n

) A ( n ) A ( P

ADIÇÃO DE PROBABILIDADES Sendo A e B eventos do mesmo espaço amostral E, tem-se que:

"A probabilidade da união de dois eventos A e B é igual á soma das pro-

babilidades de A e B, menos a probabilidade da intersecção de A com B."

Justificativa: Sendo n (A B) e n (A B) o número de elementos dos eventos A

B e A B, temos que: n( AB) = n(A) +n(B) – n(A B)

)E(n

)BA(n

)E(n

)B(n

)E(n

)A(n

)E(n

)BA(n

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) OBSERVA ÇÃO:

Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, isto é: A B = ,

então, P(A B) = P(A) + P(B). Aplicações Uma urna contém 2 bolas brancas, 3 verdes e 4 azuis. Retirando-se uma

bola da urna, qual a probabilidade de que ela seja branca ou verde? Solução: Número de bolas brancas : n(B) = 2 Número de bolas verdes: n(V) = 3 Número de bolas azuis: n(A) = 4 A probabilidade de obtermos uma bola branca ou uma bola verde é dada

por: P( B V) = P(B) + P(V) - P(B V) Porém, P(B V) = 0, pois o evento bola branca e o evento bola verde

são mutuamente exclusivos. Logo: P(B V) = P(B) + P(V), ou seja:

P(B V) = 9

5)VB(P

9

3

9

2

Jogando-se um dado, qual a probabilidade de se obter o número 4 ou um

número par? Solução: O número de elementos do evento número 4 é n(A) = 1. O número de elementos do evento número par é n(B) = 3. Observando que n(A B) = 1, temos: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

P(AB) = 2

1)BA(P

6

3

6

1

6

3

6

1

A probabilidade de que a população atual de um pais seja de 110 milhões

ou mais é de 95%. A probabilidade de ser 110 milhões ou menos é 8%. Calcular a probabilidade de ser 110 milhões.

Solução: Temos P(A) = 95% e P(B) = 8%. A probabilidade de ser 110 milhões é P(A B). Observando que P(A

B) = 100%, temos: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A B)

100% = 95% + 8% - P(A B)

(AB) = 3% PROBABILIDADE CONDICIONAL Muitas vezes, o fato de sabermos que certo evento ocorreu modifica a

probabilidade que atribuímos a outro evento. Indicaremos por P(B/A) a proba-

P(A B) = P (A) + P(B) – P(A B)

3

2)A(P



bilidade do evento B, tendo ocorrido o evento A (probabilidade condicional de B em relação a A). Podemos escrever:

Multiplicação de probabilidades: A probabilidade da intersecção de dois eventos A e B é igual ao produto

da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro em relação ao primeiro.

Em símbolos: Justificativa:

)A( n

)BA( n)A/B(P

)E(n

)A( n

)E(n

)BA( n

)A/B(P

)A( P

)BA( P)A/B(P

P(A B) = P(A) . P(B/A) Analogamente: P(A B) = P(B) . P(A/B) Eventos independentes: Dois eventos A e B são independentes se, e somente se: P(A/B) = P(A)

ou P(B/A) = P(B) Da relação P(A B) = P(A) . P(B/A), e se A e B forem independentes,

temos:

Aplicações: Escolhida uma carta de baralho de 52 cartas e sabendo-se que esta carta

é de ouros, qual a probabilidade de ser dama? Solução: Um baralho com 52 cartas tem 13 cartas de ouro, 13 de copas, 13 de

paus e 13 de espadas, tendo uma dama de cada naipe. Observe que queremos a probabilidade de a carta ser uma dama de ou-

ros num novo espaço amostral modificado, que é o das cartas de ouros. Chamando de:

evento A: cartas de ouros evento B: dama evento A B : dama de ouros Temos:

Jogam-se um dado e uma moeda. Dê a probabilidade de obtermos cara

na moeda e o número 5 no dado. Solução: Evento A : A = {C} n(A) = 1

Evento B : B = { 5 } n ( B ) = 1

Sendo A e B eventos independentes, temos:

P(A B) = P(A) . P(B) P(A B) = 6

1

2

1

P(A B) = 12

1

(Cesgranrio) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo

amarelo, outro é todo vermelho, e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra a um jogador. A probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é:

a) 2

1 b)

5

2 c)

5

1 d)

3

2 e)

6

1

Solução: Evento A : cartão com as duas cores Evento B: face para o juiz vermelha e face para o jogador amarela, tendo

saído o cartão de duas cores Temos:

P(A B) = P(A) . P(B/A), isto é, P(A B) =2

1

3

1

P(A B) = 6

1 (alternativa e)

TEORIA DOS CONJUNTOS

Conjunto Em matemática, um conjunto é uma coleção de elementos. Não inte-

ressa a ordem e quantas vezes os elementos estão listados na coleção. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto.

Conjuntos são um dos conceitos básicos da matemática. Um conjunto

é apenas uma coleção de entidades, chamadas de elementos. A notação padrão lista os elementos separados por vírgulas entre chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum) como os seguintes exemplos:

{1, 2, 3} {1, 2, 2, 1, 3, 2} {x : x é um número inteiro tal que 0<x<4} Os três exemplos acima são maneiras diferentes de representar o

mesmo conjunto. É possível descrever o mesmo conjunto de diferentes maneiras: listan-

do os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos) ou definindo uma propriedade de seus elementos. Dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se cada elemento de um é também elemento do outro, não importando a quantidade e nem a ordem das ocorrências dos elemen-tos.

Conceitos essenciais

Conjunto: representa uma coleção de objetos, geralmente repre-sentado por letras maiúsculas;

Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geral-mente representado por letras minúsculas;

Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto;

Pertence ou não pertence

Se é um elemento de , nós podemos dizer que o elemento

pertence ao conjunto e podemos escrever . Se não é

um elemento de , nós podemos dizer que o elemento não pertence

ao conjunto e podemos escrever .

)A( n

)BA( n)A/B(P

P(A B) = P(A) . P(B)

13

1

)A( n

)BA( n)A/B(P

http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Multiconjunto&action=edit

http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica



1. Conceitos primitivos Antes de mais nada devemos saber que conceitos primitivos são

noções que adotamos sem definição.

Adotaremos aqui três conceitos primitivos: o de conjunto, o de elemen-to e o de pertinência de um elemento a um conjunto. Assim, devemos entender perfeitamente a frase: determinado elemento pertence a um conjunto, sem que tenhamos definido o que é conjunto, o que é elemento e o que significa dizer que um elemento pertence ou não a um conjunto.

2 Notação Normalmente adotamos, na teoria dos conjuntos, a seguinte notação:

os conjuntos são indicados por letras maiúsculas: A, B, C, ... ;

os elementos são indicados por letras minúsculas: a, b, c, x, y, ... ;

o fato de um elemento x pertencer a um conjunto C é indicado com

x C;

o fato de um elemento y não pertencer a um conjunto C é indicado

y C.

3. Representação dos conjuntos Um conjunto pode ser representado de três maneiras: por enumeração de seus elementos; por descrição de uma propriedade característica do conjunto; através de uma representação gráfica. Um conjunto é representado por enumeração quando todos os seus

elementos são indicados e colocados dentro de um par de chaves. Exemplo: A = (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 ) indica o conjunto formado pelos

algarismos do nosso sistema de numeração. B = (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, x, z) indica o

conjunto formado pelas letras do nosso alfabeto. Quando um conjunto possui número elevado de elementos, porém

apresenta lei de formação bem clara, podemos representa-lo, por enumeração, indicando os primeiros e os últimos elementos, intercalados por reticências. Assim: C = (2; 4; 6;... ; 98 ) indica o conjunto dos números pares positivos, menores do que100.

Ainda usando reticências, podemos representar, por enumeração,

conjuntos com infinitas elementos que tenham uma lei de formação bem clara, como os seguintes:

D = (0; 1; 2; 3; ...) indica o conjunto dos números inteiros não negativos;

E = (...; -2; -1; 0; 1; 2;...) indica o conjunto dos números inteiros; F = (1; 3; 5; 7; ...) indica o conjunto dos números ímpares positivos. A representação de um conjunto por meio da descrição de uma propri-

edade característica é mais sintética que sua representação por enumera-ção. Neste caso, um conjunto C, de elementos x, será representado da seguinte maneira:

C = { x | x possui uma determinada propriedade } que se lê: C é o conjunto dos elementos x tal que possui uma

determinada propriedade: Exemplos O conjunto A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } pode ser representado por

descrição da seguinte maneira: A = { x | x é algarismo do nosso sistema de numeração }

O conjunto G = {a; e; i; o, u } pode ser representado por descrição da

seguinte maneira G = { x | x é vogal do nosso alfabeto} O conjunto H = { 2; 4; 6; 8; ...} pode ser representado por descrição da

seguinte maneira: H = { x | x é par positivo } A representação gráfica de um conjunto é bastante cômoda. Através

dela, os elementos de um conjunto são representados por pontos interiores a uma linha fechada que não se entrelaça. Os pontos exteriores a esta linha representam os elementos que não pertencem ao conjunto.

Exemplo

Por esse tipo de representação gráfica, chamada diagrama de Euler-

Venn, percebemos que x C, y C, z C; e que a C, b C, c

C, d C.

4 Número de elementos de um conjunto Consideremos um conjunto C. Chamamos de número de elementos

deste conjunto, e indicamos com n(C), ao número de elementos diferentes entre si, que pertencem ao conjunto.

Exemplos O conjunto A = { a; e; i; o; u } é tal que n(A) = 5. O conjunto B = {0; 1; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} é tal que n(B) = 10. O conjunto C = (1; 2; 3; 4;... ; 99 ) é tal que n (C) = 99. 5 Conjunto unitário e conjunto vazio Chamamos de conjunto unitário a todo conjunto C, tal que n (C) = 1. Exemplo: C = ( 3 ) E chamamos de conjunto vazio a todo conjunto c, tal que n(C) = 0. Exemplo: M = { x | x2 = -25}

O conjunto vazio é representado por { } ou por .

Exercício resolvido Determine o número de elementos dos seguintes com juntos : A = { x | x é letra da palavra amor } B = { x | x é letra da palavra alegria } c é o conjunto esquematizado a seguir D = ( 2; 4; 6; . . . ; 98 ) E é o conjunto dos pontos comuns às relas r e s, esquematizadas a

seguir :

Resolução n(A) = 4 n(B) = 6,'pois a palavra alegria, apesar de possuir dote letras, possui

apenas seis letras distintas entre si. n(C) = 2, pois há dois elementos que pertencem a C: c e C e d e C observe que: 2 = 2 . 1 é o 1º par positivo 4 = 2 . 2 é o 2° par positivo 6 = 2 . 3 é o 3º par positivo 8 = 2 . 4 é o 4º par positivo . . . . . . 98 = 2 . 49 é o 49º par positivo logo: n(D) = 49 As duas retas, esquematizadas na figura, possuem apenas um ponto

comum.

Logo, n( E ) = 1, e o conjunto E é, portanto, unitário.



6 igualdade de conjuntos Vamos dizer que dois conjuntos A e 8 são iguais, e indicaremos com A

= 8, se ambos possuírem os mesmos elementos. Quando isto não ocorrer,

diremos que os conjuntos são diferentes e indicaremos com A B. Exem-

plos . a) {a;e;i;o;u} = {a;e;i;o;u} b) {a;e;i;o,u} = {i;u;o,e;a} c) {a;e;i;o;u} = {a;a;e;i;i;i;o;u;u}

d) {a;e;i;o;u} {a;e;i;o}

e) { x | x2 = 100} = {10; -10}

f) { x | x2 = 400} {20}

7 Subconjuntos de um conjunto Dizemos que um conjunto A é um subconjunto de um conjunto B se

todo elemento, que pertencer a A, também pertencer a B. Neste caso, usando os diagramas de Euler-Venn, o conjunto A estará

"totalmente dentro" do conjunto B :

Indicamos que A é um subconjunto de B de duas maneiras: A B; que deve ser lido: A é subconjunto de B ou A está contido em

B ou A é parte de B; B A; que deve ser lido: B contém A ou B inclui A. Exemplo Sejam os conjuntos A = {x | x é mineiro} e B = { x | x é brasileiro} ;

temos então que A B e que B A. Observações:

Quando A não é subconjunto de B, indicamos com A B ou B A.

Admitiremos que o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. 8 Número de subconjuntos de um conjunto dado Pode-se mostrar que, se um conjunto possui n elementos, então este

conjunto terá 2n subconjuntos. Exemplo O conjunto C = {1; 2} possui dois elementos; logo, ele terá 22 = 4

subconjuntos. Exercício resolvido: 1. Determine o número de subconjuntos do conjunto C = (a; e; i; o; u ) . Resolução: Como o conjunto C possui cinco elementos, o número dos

seus subconjuntos será 25 = 32. Exercícios propostas: 2. Determine o número de subconjuntos do conjunto C = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } Resposta: 1024 3. Determine o número de subconjuntos do conjunto

C = 1

2

1

3

1

4

2

4

3

4

3

5; ; ; ; ;

Resposta: 32 B) OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 1 União de conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chamamos união ou reunião de A com B,

e indicamos com A B, ao conjunto constituído por todos os elementos que pertencem a A ou a B.

Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando com hachuras a

interseção dos conjuntos, temos:

Exemplos {a;b;c} U {d;e}= {a;b;c;d;e} {a;b;c} U {b;c;d}={a;b;c;d} {a;b;c} U {a;c}={a;b;c} 2 Intersecção de conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chamamos de interseção de A com B, e

indicamos com A B, ao conjunto constituído por todos os elementos que pertencem a A e a B.

Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando com hachuras a

intersecção dos conjuntos, temos:

Exemplos

a) {a;b;c} {d;e} =

b) {a;b;c} {b;c,d} = {b;c} c) {a;b;c} {a;c} = {a;c} Quando a intersecção de dois conjuntos é vazia, como no exemplo a,

dizemos que os conjuntos são disjuntos. Exercícios resolvidos Sendo A = (x; y; z); B = (x; w; v) e C = (y; u; t), determinar os seguintes

conjuntos: a) A B f) B C

b) A B g) A B C

c) A C h) A B C

d) A C i) (A B) U (A C) e) B C

Resolução A B = {x; y; z; w; v }

A B = {x } A C = {x; y;z; u; t }

A C = {y } B C={x;w;v;y;u;t}

B C=

A B C= {x;y;z;w;v;u;t}

A B C=

(A B) u (A C)={x} {y}={x;y}

2. Dado o diagrama seguinte, represente com hachuras os conjuntos: : a) A B C b) (A B) (A C)



Resolução

3. No diagrama seguinte temos: n(A) = 20 n(B) = 30 n(A B) = 5 Determine n(A B). Resolução

Se juntarmos, aos 20 elementos de A, os 30 elementos de B, estaremos considerando os 5 elementos de A n B duas vezes; o que, evidentemente, é incorreto; e, para corrigir este erro, devemos subtrair uma vez os 5 elementos de A n B; teremos então:

n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B) ou seja:

n(A B) = 20 + 30 – 5 e então:

n(A B) = 45.

4 Conjunto complementar Dados dois conjuntos A e B, com B A, chamamos de conjunto

complementar de B em relação a A, e indicamos com CA B, ao conjunto A - B.

Observação: O complementar é um caso particular de diferença em

que o segundo conjunto é subconjunto do primeiro. Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando com hachuras o

complementar de B em relação a A, temos:

Exemplo: {a;b;c;d;e;f} - {b;d;e}= {a;c;f} Observação: O conjunto complementar de B em relação a A é formado

pelos elementos que faltam para "B chegar a A"; isto é, para B se igualar a A.

Exercícios resolvidos: 4. Sendo A = {x; y; z} , B = {x; w; v} e C = {y; u; t}, determinar os

seguintes conjuntos: A – B B – A A – C

C - A B – C C – B

Resolução A - B = { y; z } B - A= {w;v} A - C= {x;z} C – A = {u;t} B – C = {x;w;v} C – B = {y;u;t}

Exemplos de conjuntos compostos por números Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais, enquanto r e s são

números reais.

Números naturais são usados para contar. O símbolo usualmente representa este conjunto.

Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a =

b. O símbolo usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).

Números racionais aparecem como soluções de equações como a + bx

= c. O símbolo usualmente representa este conjunto (da palavra quoci-ente).

Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais

(com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números

irracionais. O símbolo ou usualmente representa este conjunto. Números reais incluem os números algébricos e os números transcen-

dentais. O símbolo usualmente representa este conjunto. Números imaginários aparecem como soluções de equações como x 2

+ r = 0 onde r > 0. O símbolo usualmente representa este conjunto. Números complexos é a soma dos números reais e dos imaginários:

. Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero; então os conjuntos dos números reais e o dos imaginários são subconjuntos do

conjunto dos números complexos. O símbolo usualmente representa este conjunto.

PROVA SIMULADA

1. Todos os marinheiros são republicanos. Assim sendo (A) o conjunto dos marinheiros contém o conjunto dos republicanos. (B) o conjunto dos republicanos contém o conjunto dos marinheiros. (C) todos os republicanos são marinheiros. (D) algum marinheiro não é republicano. (E) nenhum marinheiro é republicano. 2. Assinale a alternativa que apresenta uma contradição. (A) Todo espião não é vegetariano e algum vegetariano é espião. (B) Todo espião é vegetariano e algum vegetariano não é espião. (C) Nenhum espião é vegetariano e algum es pião não é vegetariano. (D) Algum espião é vegetariano e algum es pião não é vegetariano. (E) Todo vegetariano é espião e algum espião não é vegetariano. 3. Todos os que conhecem João e Maria admiram Maria. Alguns que

conhecem Maria não a admiram. Logo, (A) todos os que conhecem Maria a admiram. (B) ninguém admira Maria. (C) alguns que conhecem Maria não conhecem João. (D) quem conhece João admira Maria. (E) só quem conhece João e Maria conhece Maria.

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_inteiro

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_alg%C3%A9brico

http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_polinomial

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_alg%C3%A9brico

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_transcendental

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_transcendental

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_imagin%C3%A1rios

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_complexos



4. Válter tem inveja de quem é mais rico do que ele. Geraldo não é mais rico do que quem o inveja. Logo,

(A) quem não é mais rico do que Válter é mais pobre do que Válter. (B) Geraldo é mais rico do que Válter. (C) Válter não tem inveja de quem não é mais rico do que ele. (D) Válter inveja só quem é mais rico do que ele. (E) Geraldo não é mais rico do que Válter. 5. Em uma avenida reta, a padaria fica entre o posto de gasolina e a

banca de jornal, e o posto de gasolina fica entre a banca de jornal e a sapataria. Logo,

(A) a sapataria fica entre a banca de jornal e a padaria. (B) a banca de jornal fica entre o posto de gasolina e a padaria. (C) o posto de gasolina fica entre a padaria e a banca de jornal. (D) a padaria fica entre a sapataria e o posto de gasolina. (E) o posto de gasolina fica entre a sapataria e a padaria. 6. Um técnica de futebol, animado com as vitórias obtidas pela sua

equipe nos últimos quatro jogos, decide apostar que essa equipe também vencerá o próximo jogo. Indique a Informação adicional que tornaria menos provável a vitória esperada.

(A) Sua equipe venceu os últimos seis jogos, em vez de apenas quatro. (B) Choveu nos últimos quatro jogos e há previsão de que não choverá

no próximo jogo. (C) Cada um dos últimos quatro jogos foi ganho por uma diferença de

mais de um gol. (D) O artilheiro de sua equipe recuperou-se do estiramento muscular. (E) Dois dos últimos quatro jogos foram realizados em seu campo e os

outros dois, em campo adversário. 7. Marta corre tanto quanto Rita e menos do que Juliana. Fátima corre

tanto quanto Juliana. Logo, (A) Fátima corre menos do que Rita. (B) Fátima corre mais do que Marta. (C) Juliana corre menos do que Rita. (D) Marta corre mais do que Juliana. (E) Juliana corre menos do que Marta. 8. Há 4 caminhos para se ir de X a Y e 6 caminhos para se ir de Y a

Z. O número de caminhos de X a Z que passam por Y é (A) 10. (B) 12. (C) 18. (D) 24. (E) 32. 9. Todas as plantas verdes têm clorofila. Algumas plantas que tem

clorofila são comestíveis. Logo, (A) algumas plantas verdes são comestíveis. (B) algumas plantas verdes não são comestíveis. (C) algumas plantas comestíveis têm clorofila. (D) todas as plantas que têm clorofila são comestíveis. (E) todas as plantas vendes são comestíveis. 10. A proposição 'É necessário que todo acontecimento tenha causa' é

equivalente a (A) É possível que algum acontecimento não tenha causa. (B) Não é possível que algum acontecimento não tenha causa. (C) É necessário que algum acontecimento não tenha causa. (D) Não é necessário que todo acontecimento tenha causa. (E) É impossível que algum acontecimento tenha causa. 11. Continuando a sequência 47, 42, 37, 33, 29, 26, ... , temos (A) 21. (B) 22. (C) 23. (D) 24. (E) 25. 12. ' ... ó pensador crítico precisa ter uma tolerância e até predileção por

estados cognitivos de conflito, em que o problema ainda não é total-mente compreendido. Se ele ficar aflito quando não sabe 'a resposta correta', essa ansiedade pode impedir a exploração mais completa do problema.' (David Canaher, Senso Crítico).

O autor quer dizer que o pensador crítico (A) precisa tolerar respostas corretas. (B) nunca sabe a resposta correta. (C) precisa gostar dos estados em que não sabe a resposta correta.

(D) que não fica aflito explora com mais dificuldades os problemas. (E) não deve tolerar estados cognitivos de conflito. 13. As rosas são mais baratas do que os lírios. Não tenho dinheiro

suficiente para comprar duas dúzias de rosas. Logo, (A) tenho dinheiro suficiente para comprar uma dúzia de rosas. (B) não tenho dinheiro suficiente para comprar uma dúzia de rosas. (C) não tenho dinheiro. suficiente para comprar meia dúzia de lírios. (D) não tenho dinheiro suficiente para comprar duas dúzias de lírios. (E) tenho dinheiro suficiente para comprar uma dúzia de lírios. 14. Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo, (A) seu esforço é condição suficiente para vencer. (8) seu esforço é condição necessária para vencer. (C) se você não se esforçar, então não irá vencer. (D) você vencerá só se se esforçar. (E) mesmo que se esforce, você não vencerá. 15. Se os tios de músicos sempre são músicos, então (A) os sobrinhos de não músicos nunca são músicos. (B) os sobrinhos de não músicos sempre são músicos. (C) os sobrinhos de músicos sempre são músicos. (D) os sobrinhos de músicos nunca são músicos. (E) os sobrinhos de músicos quase sempre são músicos. 16. O paciente não pode estar bem e ainda ter febre. O paciente está

bem. Logo, o paciente (A) tem febre e não está bem. (B) tem febre ou não está bem. (C) tem febre. (D) não tem febre. (E) não está bem. INSTRUÇÃO: Utilize o texto a seguir para responder às questões de

nº 17 e 18. "O primeiro impacto da nova tecnologia de aprendizado será sobre a

educação universal. Através dos tempos, as escolas, em sua maio-ria, gastaram horas intermináveis tentando ensinar coisas que eram melhor aprendidas do que ensinadas, isto é, coisas que são aprendi-das de forma comportamental e através de exercícios, repetição e feedback. Pertencem a esta categoria todas as matérias ensinadas no primeiro grau, mas também muitas daquelas ensinadas em está-gios posteriores do processo educacional. Essas matérias - seja ler e escrever, aritmética, ortografia, história, biologia, ou mesmo matérias avançadas como neurocirurgia, diagnóstico médico e a maior parte da engenharia - são melhor aprendidas através de programas de computador. O professor motiva, dirige, incentiva. Na verdade, ele passa a ser um líder e um recurso.

Na escola de amanhã os estudantes serão seus próprios instrutores, com programas de computador como ferramentas. Na verdade, quanto mais jovens forem os estudantes, maior o apelo do computa-dor para eles e maior o seu sucesso na sua orientação e instrução. Historicamente, a escola de primeiro grau tem sido totalmente inten-siva de mão-de-obra. A escola de primeiro grau de amanhã será for-temente intensiva de capital.

Contudo, apesar da tecnologia disponível, a educação universal apresenta tremendos desafios. Os conceitos tradicionais de educa-ção não são mais suficientes. Ler, escrever e aritmética continuarão a ser necessários como hoje, mas a educação precisará ir muito além desses itens básicos. Ela irá exigir familiaridade com números e cálculos; uma compreensão básica de ciência e da dinâmica da tec-nologia; conhecimento de línguas estrangeiras. Também será neces-sário aprender a ser eficaz como membro de uma organização, como empregado." (Peter Drucker, A sociedade pós-capitalista).

17. Para Peter Drucker, o ensino de matérias como aritmética, ortografia,

história e biologia (A) deve ocorrer apenas no primeiro grau. (B) deve ser diferente do ensino de matérias como neurocirurgia e

diagnóstico médico. (C) será afetado pelo desenvolvimento da informática. (D) não deverá se modificar, nas próximas décadas. (E) deve se dar através de meras repetições e exercícios.



18. Para o autor, neste novo cenário, o computador (A) terá maior eficácia educacional quanto mais jovem for o estudante. (B) tende a substituir totalmente o professor em sala de aula. (C) será a ferramenta de aprendizado para os professores. (D) tende a ser mais utilizado por médicos. (E) será uma ferramenta acessória na educação. 19. Assinale a alternativa em que se chega a uma conclusão por um

processo de dedução. (A) Vejo um cisne branco, outro cisne branco, outro cisne branco ...

então todos os cisnes são brancos. (B) Vi um cisne, então ele é branco. (C) Vi dois cisnes brancos, então outros cisnes devem ser brancos. (D) Todos os cisnes são brancos, então este cisne é branco. (E) Todos os cisnes são brancos, então este cisne pode ser branco. 20. Cátia é mais gorda do que Bruna. Vera é menos gorda do que Bruna.

Logo, (A) Vera é mais gorda do que Bruna. (B) Cátia é menos gorda do que Bruna. (C) Bruna é mais gorda do que Cátia. (D) Vera é menos gorda do que Cátia. (E) Bruna é menos gorda do que Vera. 21. Todo cavalo é um animal. Logo, (A) toda cabeça de animal é cabeça de cavalo. (B) toda cabeça de cavalo é cabeça de animal. (C) todo animal é cavalo. (D) nem todo cavalo é animal. (E) nenhum animal é cavalo. 22. Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas não praticam

vôlei e há 8 alunos que praticam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não praticam futebol. O número de alunos da classe é

(A) 30. (B) 35. (C) 37. (D) 42. (E) 44. INSTRUÇÃO: Utilize o texto a seguir para responder às questões de

nº 23 e 24. "Os homens atribuem autoridade a comunicações de posições supe-

riores, com a condição de que estas comunicações sejam razoavel-mente consistentes com as vantagens de escopo e perspectiva que são creditadas a estas posições. Esta autoridade é, até um grau con-siderável, independente da habilidade pessoal do sujeito que ocupa a posição. E muitas vezes reconhecido que, embora este sujeito possa ter habilidade pessoal limitada, sua recomendação deve ser superior pela simples razão da vantagem de posição. Esta é a autoridade de posição.

Mas é óbvio que alguns homens têm habilidade superior. O seu conhecimento e a sua compreensão, independentemente da posição, geram respeito. Os homens atribuem autoridade ao que eles dizem, em uma organização, apenas por esta razão. Esta é a autoridade de liderança.'

(Chester Barnard, The Functions of the Executive). 23. Para o autor, (A) autoridade de posição e autoridade de liderança são sinônimos. (B) autoridade de posição é uma autoridade superior à autoridade de

liderança. (C) a autoridade de liderança se estabelece por características individu-

ais de alguns homens. (D) a autoridade de posição se estabelece por habilidades pessoais

superiores de alguns líderes. (E) tanto a autoridade de posição quanto a autoridade de liderança são

ineficazes. 24. Durante o texto, o autor procura mostrar que as pessoas (A) não costumam respeitar a autoridade de posição.

(B) também respeitam autoridade que não esteja ligada a posições hierárquicas superiores.

(C) respeitam mais a autoridade de liderança do que de posição. (D) acham incompatíveis os dois tipos de autoridade. (E) confundem autoridade de posição e liderança. 25. Utilizando-se de um conjunto de hipóteses, um cientista deduz uma

predição sobre a ocorrência de um certo eclipse solar. Todavia, sua predição mostra-se falsa. O cientista deve logicamente concluir que

(A) todas as hipóteses desse conjunto são falsas. (B) a maioria das hipóteses desse conjunto é falsa. (C) pelo menos uma hipótese desse conjunto é falsa. (D) pelo menos uma hipótese desse conjunto é verdadeira. (E) a maioria das hipóteses desse conjunto é verdadeira. 26. Se Francisco desviou dinheiro da campanha assistencial, então ele

cometeu um grave delito. Mas Francisco não desviou dinheiro da campanha assistencial. Logo,

(A) Francisco desviou dinheiro da campanha assistencial. (B) Francisco não cometeu um grave delito. (C) Francisco cometeu um grave delito. (D) alguém desviou dinheiro da campanha assistencial. (E) alguém não desviou dinheiro da campanha assistencial. 27. Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo, (A) se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu. (B) Rodrigo é culpado. (C) se Rodrigo não mentiu. então ele não é culpado. (D) Rodrigo mentiu. (E) se Rodrigo é culpado, então ele mentiu. 28. Continuando a sequência de letras F, N, G, M, H . . ..., ..., temos,

respectivamente, (A) O, P. (B) I, O. (C) E, P. (D) L, I. (E) D, L. 29. Continuando a sequência 4, 10, 28, 82, ..., temos (A) 236. (B) 244. (C) 246. (D) 254. (E) 256. 30. Assinale a alternativa em que ocorre uma conclusão verdadeira (que

corresponde à realidade) e o argumento inválido (do ponto de vista lógico).

(A) Sócrates é homem, e todo homem é mortal, portanto Sócrates é mortal.

(B) Toda pedra é um homem, pois alguma pedra é um ser, e todo ser é homem.

(C) Todo cachorro mia, e nenhum gato mia, portanto cachorros não são gatos.

(D) Todo pensamento é um raciocínio, portanto, todo pensamento é um movimento, visto que todos os raciocínios são movimentos.

(E) Toda cadeira é um objeto, e todo objeto tem cinco pés, portanto algumas cadeiras tem quatro pés.

31. Cinco ciclistas apostaram uma corrida. • "A" chegou depois de "B". • "C" e "E" chegaram ao mesmo tempo. • "D" chegou antes de "B". • quem ganhou, chegou sozinho. Quem ganhou a corrida foi (A) A. (B) B. (C) C. (D) D. (E) E.



GABARITO

1-B; 2-A; 3-C; 4-E; 5-E; 6-B; 7-B; 8-D; 9-C; 10-B; 11-C; 12-C; 13-D; 14-A; 15-A; 16-D; 17-C; 18-A; 19-D; 20-D; 21-B; 22-E; 23-C; 24-B; 25-C; 26-E; 27-A; 28-D; 29-B; 30-E; 31-D.

EXERCÍCIOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA

1) Uma indústria automobilística oferece um determinado veículo em três padrões quanto ao luxo, três tipos de motores e sete tonalidades de cor. Quantas são as opções para um comprador desse carro?

2) Sabendo-se que num prédio existem 3 entradas diferentes, que o prédio é dotado de 4 elevadores e que cada apartamento possui uma única porta de entrada, de quantos modos diferentes um morador pode chegar à rua?

3) Se um quarto tem 5 portas, qual o número de maneiras distintas de se entrar nele e sair do mesmo por uma porta diferente da que se uti-lizou para entrar?

4) Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B, e 4 outras ligando B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. Quantas linhas de ônibus diferentes poderá utilizar na viagem de ida e volta, sem utilizar duas vezes a mesma linha?

5) Quantas placas poderão ser confeccionadas para a identificação de um veículo se forem utilizados duas letras e quatro algarismos? (Ob-servação: dispomos de 26 letras e supomos que não haverá nenhu-ma restrição)

6) No exercício anterior, quantas placas poderão ser confeccionadas se forem utilizados 4 letras e 2 algarismos?

7) Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algaris-mos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

8) Quantos números de três algarismos podemos formar com os alga-rismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5?

9) Quantos números de 4 algarismos distintos podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

10) Quantos números de 5 algarismos não repetidos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7?

11) Quantos números, com 4 algarismos distintos, podemos formar com os algarismos ímpares?

12) Quantos números, com 4 algarismos distintos, podemos formar com o nosso sistema de numeração?

13) Quantos números ímpares com 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

14) Quantos números múltiplos de 5 e com 4 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 4, 5 e 7, sem os repetir?

15) Quantos números pares, de 3 algarismos distintos, podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? E quantos ímpares?

16) Obtenha o total de números de 3 algarismos distintos, escolhidos entre os elementos do conjunto (1, 2, 4, 5, 9), que contêm 1 e não contêm 9.

17) Quantos números compreendidos entre 2000 e 7000 podemos escrever com os algarismos ímpares, sem os repetir?

18) Quantos números de 3 algarismos distintos possuem o zero como algarismo de dezena?

19) Quantos números de 5 algarismos distintos possuem o zero como algarismo das dezenas e começam por um algarismo ímpar?

20) Quantos números de 4 algarismos diferentes tem o algarismo da unidade de milhar igual a 2?

21) Quantos números se podem escrever com os algarismos ímpares, sem os repetir, que estejam compreendidos entre 700 e 1 500?

22) Em um ônibus há cinco lugares vagos. Duas pessoas tomam o ônibus. De quantas maneiras diferentes elas podem ocupar os luga-res?

23) Dez times participam de um campeonato de futebol. De quantas formas se podem obter os três primeiros colocados?

24) A placa de um automóvel é formada por duas letras seguidas e um número de quatro algarismos. Com as letras A e R e os algarismos pares, quantas placas diferentes podem ser confeccionadas, de mo-do que o número não tenha nenhum algarismo repetido?

25) Calcular quantos números múltiplos de 3 de quatro algarismos distin-tos podem ser formados com 2, 3, 4, 6 e 9.

26) Obtenha o total de números múltiplos de 4 com quatro algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

Respostas 1) 63 2) 12 3) 20 4) 72 5) 6 760 000 6) 45 697 600 7) 216 8) 180 9) 360 10) 2 520 11) 120 12) 4 536 13) 60

14) 24 15) 90 pares e 120 ímpares 16) 18 17) 48 18) 72 19) 1 680 20) 504 21) 30 22) 20 23) 720 24) 48 25) 72 26) 96

EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE

1) Para sortear uma vaga em uma reunião de condomínio, da qual

participaram 12 pessoas, foram colocados 12 pedaços de papel idên-ticos, todos em branco, exceto um, no qual foi escrita a palavra “va-ga”. Cada pessoa retira, na sua vez, um papel da urna. O que é me-lhor: ser o primeiro ou o último a sortear seu papel?

2) Um casal decidiu que vai ter 4 filhos. Qual é a probabilidade de que: a) tenham pelo menos um menino? b) tenham filhos de ambos os sexos? c) tenham dois filhos de cada sexo? 3) Os alunos de um certo curso fazem 4 matérias, entre as quais Cálculo

e Estatística. As provas finais serão realizadas em uma única sema-na (de segunda a sexta). Admitindo que cada professor escolha o dia da sua prova ao acaso, qual é a probabilidade de que:

a) as provas de Álgebra e Estatística sejam marcadas para o mesmo dia?

b) não haja mais do que uma prova em cada dia? 4) 24 times são divididos em dois grupos de 12 times cada. Qual é a

probabilidade de dois desses times ficarem no mesmo grupo? 5) Em um armário há 6 pares de sapatos. Escolhem-se 2 pés de sapa-

tos. Qual é a probabilidade de se formar um par de sapatos? 6) No jogo da Mega-Sena são sorteados, a cada extração, 6 dos núme-

ros de 1 a 60. a) Quantos são os resultados possíveis da Mega-Sena? b) Um apostador aposta nos números 2, 7, 21, 34, 41 e 52. Qual é a

sua chance de ganhar? E se ele tivesse apostado nos números 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

c) Quantas vezes maiores são as chances de ganhar de quem aposta em 8 números?

d) Suponha que o número 17 não é sorteado há muito tempo. Isto modifica as chances de ele ser sorteado da próxima vez?

7) Cinco dados são jogados simultaneamente. Determine a probabilida-

de de se obter: a) um par (os demais diferentes); b) dois pares diferentes (o quinto diferente dos pares); c) uma trinca (os demais diferentes); d) uma quadra (o quinto diferente); e) uma quina; f) uma sequência; g) um "full hand", isto é, uma trinca e um par (par diferente da trinca). 8) Em um grupo de 4 pessoas, qual é a probabilidade de: a) haver alguma coincidência de signos zodiacais? b) haver exatamente três pessoas com um mesmo signo e uma pessoa

com outro signo? c) as quatro pessoas terem o mesmo signo? d) haver duas pessoas com um mesmo signo e duas outras pessoas

com outro signo?



9) Em um torneio há 16 jogadores de habilidades diferentes. Eles são sorteados em grupos de 2, que jogam entre si. Os perdedores são eliminados e os vencedores jogam entre si, novamente divididos em grupos de 2, sem novo sorteio, até restar só um jogador, que é decla-rado campeão. Suponha que não haja “zebras” (ou seja, o jogador de habilidade superior sempre vence)

a) Qual é a probabilidade de o segundo melhor jogador ser vice-campeão do torneio?

b) Qual é a probabilidade de o quarto melhor jogador ser vice-campeão do torneio?

c) Qual é o número máximo de partidas que o décimo melhor jogador consegue disputar?

d) Qual é a probabilidade de ele disputar esse número máximo de partidas?

10) Um dado honesto tem duas de suas faces pintadas de vermelho e as

demais de azul. O dado é lançado três vezes, anotando-se a cor da face obtida.

a) Qual é a probabilidade de que a cor obtida no 1o lançamento seja igual à obtida no 3o?

b) Dado que a mesma cor foi obtida no 1o e 2o lançamentos, qual é a probabilidade de que no 3o lançamento saia esta mesma cor?

Respostas:

1) Tanto faz

2) a) 15/16 b) 7/8

c) 3/8

3) a) 1/5 b) 24/125

4) 11/23

5) 1/11

6) a) 50.063.860 b) em ambos: 1/50.063.860

c) 28 d) não

7) a) 25/54 b) 25/108 c) 25/162 d) 25/1296

e) 1/1296 f) 5/162 g) 25/648

8) a) 41/96 b) 11/432

c) 1/1728 d) 11/576

9) a) 8/15 b) 8/65

c) 3 d) 4/91

10) a) 5/9 b) 3/5

BIBLIOGRAFIA

©Encyclopaedia Britannica do Brasil Publicações Ltda. INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA Edgard de Alencar Filho Livraria Nobrel S/A São Paulo, SP

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apostila de logica para estudo de concursos

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