INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIA E TECNOLOGIA

DO RIO GRANDE DO NORTE

CMPUS APODI

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Curso: Tcnico de Nvel Mdio Integrado em Informtica Turma: 1.8401.1V

rea profissional: Informao e Comunicao

Disciplina: Fundamentos de Lgica e Algoritmos

Assuntos: Proposies, Conectivos Lgicos, Operaes Lgicas, Tabelas-verdade, Tautologia,

Contradio, Contingncia.

Docente: Cleone Silva de Lima

APOSTILA DE LGICA

# Conceitos iniciais

O conceito mais elementar no estudo da lgica o de Proposio. Proposio vem de

propor que significa submeter apreciao; requerer um juzo. Trata-se de uma sentena

declarativa algo que ser declarado por meio de termos, palavras ou smbolos e cujo contedo

poder ser considerado verdadeiro ou falso.

Ento, se eu afirmar a Terra maior que a Lua, estarei diante de uma proposio cujo

valor lgico verdadeiro.

Fica claro que quando falarmos em valor lgico estaremos nos referindo a um dos dois

possveis juzos que atribuiremos a uma proposio: verdadeiro (V) ou falso (F).

E se algum disser: Feliz ano novo!, ser que isso uma proposio verdadeira ou falsa?

Nenhuma, pois no se trata de uma sentena para a qual se possa atribuir um valor lgico.

Conclumos, pois, que... Sentenas exclamativas: Caramba! ; Feliz aniversrio!

Sentenas interrogativas: como o seu nome? ; o jogo foi de quanto?

Sentenas imperativas: Estude mais. ; Leia aquele livro.

... no sero estudadas. Somente aquelas primeiras sentenas declarativas que podem

ser imediatamente reconhecidas como verdadeiras ou falsas.

Normalmente, as proposies so representadas por letras minsculas (p, q, r, s, etc). So

outros exemplos de proposies:

p: Pedro mdico.

q: 5 > 8

r: Luza foi ao cinema ontem noite.

Na linguagem do raciocnio lgico, ao afirmarmos que verdade que Pedro mdico

(proposio p acima), representaremos isso apenas com: VL(p)=V, ou seja, o valor lgico de p

verdadeiro. No caso da proposio q, que falsa, diremos VL(q)=F. Haver alguma proposio

que possa, ao mesmo tempo, ser verdadeira e falsa? No! Jamais! E por que no? Porque o

Raciocnio Lgico, como um todo, est sedimentado sobre alguns princpios, muito fceis de

entender, e que tero que ser sempre obedecidos. So os seguintes:

Uma proposio verdadeira verdadeira; uma proposio falsa falsa. (Princpio da

identidade);

Nenhuma proposio poder ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (Princpio da No-

Contradio);

Uma proposio ou ser verdadeira, ou ser falsa: no h outra possibilidade. (Princpio

do Terceiro Excludo).

Proposies podem ser ditas simples ou compostas. Sero proposies simples aquelas que

vm sozinhas, desacompanhadas de outras proposies. Nada mais fcil de ser entendido.

Exemplos:

Todo homem mortal.

O novo papa alemo.

Todavia, se duas (ou mais) proposies vm conectadas entre si, formando uma s

sentena, estaremos diante de uma proposio composta. Exemplos:

Joo mdico e Pedro dentista.

Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo.

Ou Lus baiano, ou paulista.

Se chover amanh de manh, ento no irei praia.

Comprarei uma manso se e somente se eu ganhar na loteria.

Nas sentenas acima, vimos em destaque os vrios tipos de conectivos ditos conectivos

lgicos que podero estar presentes em uma proposio composta. Conectivos Lgicos so

expresses que servem para unir duas ou mais proposies. Estudaremos cada um deles a seguir,

uma vez que de nosso interesse conhecer o valor lgico das proposies compostas.

Veremos que, para determinamos se uma proposio composta verdadeira ou falsa,

dependeremos de duas coisas: 1) do valor lgico das proposies componentes; e 2) do tipo de

conectivo que as une.

# Conectivo e: (conjuno)

Proposies compostas em que est presente o conectivo e so ditas CONJUNES.

Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por . Ento, se temos a sentena:

Marcos mdico e Maria estudante

... poderemos represent-la apenas por: pq. onde: p = Marcos mdico e q = Maria

estudante.

Como se revela o valor lgico de uma proposio conjuntiva? Da seguinte forma: uma

conjuno s ser verdadeira, se ambas as proposies componentes forem tambm

verdadeiras.

Ento, diante da sentena Marcos mdico e Maria estudante, s poderemos concluir

que esta proposio composta verdadeira se for verdade, ao mesmo tempo, que Marcos

mdico e que Maria estudante.

Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposies

componentes seja falsa, e a conjuno ser toda ela falsa. Obviamente que o resultado

falso tambm ocorrer quando ambas as proposies componentes forem falsas.

Essas concluses podem ser resumidas em uma pequena tabela. Trata-se da tabela-

verdade, de fcil construo e de fcil entendimento.

Retomemos as nossas premissas:

p = Marcos mdico e q = Maria estudante.

Se tivermos que ambas so verdadeiras, a conjuno formada por elas (Marcos mdico e

Maria estudante) ser tambm verdadeira. Teremos:

Marcos mdico Maria estudante Marcos mdico e Maria estudante p q pq V V V

Se for verdade apenas que Marcos mdico, mas falso que Maria estudante, teremos:

Marcos mdico Maria estudante Marcos mdico e Maria estudante

p q pq V F F

Por outro lado, se for verdadeiro que Maria estudante, e falso que Marcos mdico,

teremos:

Marcos mdico Maria estudante Marcos mdico e Maria estudante p q pq F V F

Enfim, se ambas as sentenas simples forem falsas, teremos que: Marcos mdico Maria estudante Marcos mdico e Maria estudante

p q pq F F F

Ora, as quatro situaes acima esgotam todas as possibilidades para uma conjuno. Fora

disso no h outras! Criamos, portanto, a tabela-verdade que representa uma conjuno, ou seja,

a tabela-verdade para uma proposio composta com a presena do conectivo e. Teremos:

p q pq V V V V F F F V F F F F

preciso que a informao constante da terceira coluna (em destaque) fique guardada em

nossa memria: uma conjuno s ser verdadeira, quando ambas as partes que a compem

tambm forem verdadeiras. E falsa nos demais casos.

Uma maneira de assimilar bem essa informao seria pensarmos nas sentenas simples

como promessas de um pai a um filho: eu te darei uma bola E te darei uma bicicleta. Ora,

pergunte a qualquer criana! Ela vai entender que a promessa para os dois presentes. Caso o pai

no d nenhum presente, ou d apenas um deles, a promessa no ter sido cumprida. Ter sido

falsa! No entanto, a promessa ser verdadeira se as duas partes forem tambm verdadeiras!

Na hora de formar uma tabela-verdade para duas proposies componentes (p e q),

saberemos, de antemo, que essa tabela ter quatro linhas. Comearemos, ento, fazendo a

seguinte estrutura:

p q

Da, a coluna da primeira proposio ter sempre a seguinte disposio: dois (V) vs

seguidos de dois (F) efes. Assim:

p q V V F F

Enquanto a variao das letras (V e F) para a premissa p ocorre de duas em duas linhas,

para a premissa q diferente: vs (V) e efes (F) se alternando a cada linha, comeando com um

V. Assim:

p q V V V F F V F F

Essa estrutura inicial sempre assim, para tabelas-verdade de duas proposies p e q. A

terceira coluna depender do conectivo que as une, e que est sendo analisado. No caso do

conectivo e, ou seja, no caso da conjuno, j aprendemos a completar a nossa tabela verdade:

p q pq V V V V F F F V F F F F

Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a

conjuno p e q corresponder interseo do conjunto p com o conjunto q. Teremos:

# Conectivo ou: (disjuno)

Recebe o nome de DISJUNO toda proposio composta em que as partes estejam unidas

pelo conectivo ou. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por . Portanto, se temos a

sentena:

Marcos mdico ou Maria estudante

... ento a representaremos por: pq.

Seremos capazes de criar uma tabela-verdade para uma proposio disjuntiva? Claro! Basta

nos lembrarmos da tal promessa do pai para seu filho! Vejamos: eu te darei uma bola OU te

darei uma bicicleta. Neste caso, a criana j sabe, de antemo, que a promessa por apenas um

dos presentes! Bola ou bicicleta! Ganhando de presente apenas um deles, a promessa do pai j

valeu! J foi verdadeira! E se o pai for abastado e resolver dar os dois presentes? Pense na cara do

menino! Feliz ou triste? Felicssimo! A promessa foi mais do que cumprida. S haver um caso,

todavia, em que a bendita promessa no se cumprir: se o pai esquecer o presente, e no der nem

a bola e nem a bicicleta. Ter sido falsa toda a disjuno.

Da, conclumos: uma disjuno ser falsa quando as duas partes que a compem

forem ambas falsas! E nos demais casos, a disjuno ser verdadeira! Teremos as possveis

situaes:

Ou:

Ou:

Ou, finalmente:

Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta p q p V q V V V

Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta p q p V q V F V

Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta p q p V q F V V

Juntando tudo, teremos:

p q pVq V V V V F V F V V F F F

A promessa inteira s falsa se as duas partes forem descumpridas!

Observem que as duas primeiras colunas da tabela-verdade acima as colunas do p e do q

so exatamente iguais s da tabela-verdade da conjuno (p E q). Muda apenas a terceira coluna,

que agora representa um ou, a disjuno.

Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos por meio de um diagrama, a

disjuno p ou q corresponder unio do conjunto p com o conjunto q,

# Conectivo Ou ... ou ...: (disjuno exclusiva)

H um terceiro tipo de proposio composta, bem parecido com a disjuno que acabamos

de ver, mas com uma pequena diferena. Comparemos as duas sentenas abaixo:

Te darei uma bola Te darei uma bicicleta Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta p q p V q F F F

Te darei uma bola OU te darei uma bicicleta

OU te darei uma bola OU te darei uma bicicleta

A diferena sutil, mas importante. Reparemos que na primeira sentena v-se facilmente

que se a primeira parte for verdade (te darei uma bola), isso no impedir que a segunda parte (te

darei uma bicicleta) tambm o seja. J na segunda proposio, se for verdade que te darei uma

bola, ento teremos que no ser dada a bicicleta. E vice-versa, ou seja, se for verdade que te

darei uma bicicleta, ento teremos que no ser dada a bola.

Em outras palavras, a segunda estrutura apresenta duas situaes mutuamente

excludentes, de sorte que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante ser

necessariamente falsa. Ambas nunca podero ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca

podero ser, ao mesmo tempo, falsas.

Na segunda sentena acima, este tipo de construo uma DISJUNO EXCLUSIVA, pela

presena dos dois conectivos ou, que determina que uma sentena necessariamente

verdadeira, e a outra, necessariamente falsa.

E como fica a sua tabela-verdade? Ora, uma disjuno exclusiva s ser verdadeira se

obedecer mtua excluso das sentenas. Falando mais fcil: s ser verdadeira se houver uma

das sentenas verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjuno exclusiva ser falsa.

O smbolo que designa a disjuno exclusiva o V. E a tabela-verdade ser, pois, a

seguinte:

p q pVq V V F V F V F V V F F F

# Conectivo Se ... ento ...: (condicional)

Estamos agora falando de proposies como as que se seguem:

o Se Pedro mdico, ento Maria dentista.

o Se amanhecer chovendo, ento no irei praia.

Muita gente tem dificuldade em entender o funcionamento desse tipo de proposio.

Convm, para facilitar nosso entendimento, que trabalhemos com a seguinte sentena.

o Se nasci em Fortaleza, ento sou cearense.

Cada um de vocs pode adaptar essa frase acima sua realidade: troque Fortaleza pelo

nome da sua cidade natal, e troque cearense pelo nome que se d a quem nasce no seu Estado. Por

exemplo:

o Se nasci em Apodi, ento sou potiguar.

o Se nasci em Russas, ento sou cearense.

E assim por diante. Pronto?

Agora me responda: qual a nica maneira dessa proposio estar incorreta? Ora, s h um

jeito desta frase ser falsa: se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. Ou seja, se

verdade que eu nasci em Apodi, ento necessariamente verdade que eu sou potiguar. Se algum

disser que verdadeiro que eu nasci em Apodi, e que falso que eu sou potiguar, ento este

conjunto estar todo falso.

importante salientar que o exemplo trabalhado acima (Se nasci em Russas ento sou

cearense) foi escolhido exclusivamente para fins didticos. Na realidade, no preciso que exista

qualquer conexo de sentido entre o contedo das proposies componentes da condicional. Por

exemplo, poderamos ter a seguinte sentena:

Se a baleia um mamfero ento o papa alemo

O que interessa apenas uma coisa: a primeira parte da condicional uma condio

suficiente para obteno de um resultado necessrio.

Percebam, pois, que se algum disser que: Pedro ser rico condio suficiente para Maria

ser mdica, ento ns podemos reescrever essa sentena, usando o formato da condicional.

Teremos:

o Pedro ser rico condio suficiente para Maria ser mdica igual a:

o Se Pedro for rico, ento Maria mdica

Por outro lado, se ocorrer de algum dizer que: Maria ser mdica condio necessria

para que Pedro seja rico, tambm poderemos traduzir isso de outra forma:

o Maria ser mdica condio necessria para que Pedro seja rico igual a:

o Se Pedro for rico, ento Maria mdica

No podemos, pois esquecer disso:

o Uma condio suficiente gera um resultado necessrio.

Pois bem! Como ficar nossa tabela-verdade, no caso da proposio condicional?

Pensaremos aqui pela via de exceo: s ser falsa esta estrutura quando houver a condio

suficiente, mas o resultado necessrio no se confirmar. Ou seja, quando a primeira parte

for verdadeira, e a segunda for falsa. Nos demais casos, a condicional ser verdadeira.

A sentena condicional Se p, ento q ser representada por uma seta: pq.

Na proposio Se p, ento q, a proposio p denominada de antecedente, enquanto a

proposio q dita conseqente. Teremos:

p q pq V V V V F F F V V F F V

Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a

proposio condicional Se p ento q corresponder incluso do conjunto p no conjunto q (p

est contido em q):

# Conectivo ... se e somente se ...: (bicondicional)

A estrutura dita bicondicional apresenta o conectivo se e somente se, separando as duas

sentenas simples. Trata-se de uma proposio de fcil entendimento. Se algum disser:

Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri.

o mesmo que fazer a conjuno entre as duas proposies condicionais:

o Eduardo fica alegre somente se Mariana sorri e Mariana sorri somente se Eduardo

fica alegre.

Ou ainda, dito de outra forma:

o Se Eduardo fica alegre, ento Mariana sorri e se Mariana sorri, ento Eduardo fica

alegre.

.

So construes de mesmo sentido!

A bicondicional uma conjuno entre duas condicionais. Haver duas situaes em

que a bicondicional ser verdadeira: quando antecedente e conseqente forem ambos

verdadeiros, ou quando forem ambos falsos. Nos demais casos, a bicondicional ser falsa.

Sabendo que a frase p se e somente se q representada por pq, ento nossa tabela-

verdade ser a seguinte:

p q pq V V V V F F F V F F F V

Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a

proposio bicondicional p se e somente se q corresponder igualdade dos conjuntos p e q.

Observao: Uma proposio bicondicional p se e somente se q equivale proposio

composta: se p ento q e se q ento p, ou seja,

p q a mesma coisa que (p q) e (q p)

# Partcula no: (negao)

Veremos algo de suma importncia: como negar uma proposio.

No caso de uma proposio simples, no poderia ser mais fcil: basta pr a palavra no

antes da sentena, e j a tornamos uma negativa. Exemplos:

o Joo mdico. Negativa: Joo no mdico.

o Maria estudante. Negativa: Maria no estudante.

Reparemos que caso a sentena original j seja uma negativa (j traga a palavra no), ento

para negar a negativa, teremos que excluir a palavra no. Assim:

o Joo no mdico. Negativa: Joo mdico.

o Maria no estudante. Negativa: Maria estudante.

Pronto! Em se tratando de fazer a negao de proposies simples, j estamos craques!

O smbolo que representa a negao uma pequena cantoneira () ou um sinal de til (~),

antecedendo a frase. (Adotaremos o til).

A tabela-verdade da negao mais simplificada que as demais j vistas. Teremos:

p ~p V F F V

Podem-se empregar, tambm, como equivalentes de "no A", as seguintes expresses:

o No verdade que A.

o falso que A.

Da as seguintes frases so equivalentes:

o Lgica no fcil.

o No verdade que lgica fcil.

o falso que lgica fcil.

# Negao de um proposio composta

J sabemos negar uma proposio simples. Mas, e se for uma proposio composta, como

fica? A, depender de qual a estrutura em que se encontra essa proposio. Veremos, pois, uma a

uma:

Negao de uma proposio conjuntiva: ~(p e q)

Para negar uma proposio no formato de conjuno (p e q), faremos o seguinte:

1. Negaremos a primeira parte (~p);

2. Negaremos a segunda parte (~q);

3. Trocaremos e por ou.

E s!

Da, a questo dir: No verdade que Joo mdico e Pedro dentista, e pedir que

encontremos, entre as opes de resposta, aquela frase que seja logicamente equivalente a esta

fornecida.

Analisemos: o comeo da sentena no verdade que.... Ora, dizer que no verdade

que... nada mais nada menos que negar o que vem em seguida. E o que vem em seguida? Uma

estrutura de conjuno!

Da, como negaremos que Joo mdico e Pedro dentista? Da forma explicada acima:

1. Nega-se a primeira parte (~p) = Joo no mdico;

2. Nega-se a segunda parte (~q) = Pedro no dentista;

3. Troca-se E por OU, e o resultado final ser o seguinte:

JOO NO MDICO OU PEDRO NO DENTISTA.

Traduzindo para a linguagem da lgica, dizemos que:

~(p q) = ~p V ~q

Como fomos chegar essa concluso? Ora, por meio da comparao entre as tabelas-

verdade das duas proposies acima. Vejamos como foi isso. Primeiro, trabalhemos a tabela-

verdade do ~(p q).

Tudo comea com aquele formato bsico, que j nosso conhecido:

p q V V V F F V F F

Da, faremos a prxima coluna, que a da conjuno (e). Teremos:

p q p q V V V V F F F V F F F F

Por fim, construiremos a coluna que a negativa desta terceira. Ora, j sabemos que com a

negativa, o que verdadeiro vira falso, e o que falso vira verdadeiro. Logo, teremos:

p q p q ~(p q) V V V F V F F V F V F V F F F V

Guardemos, pois, essa ltima coluna (em destaque). Ela representa o resultado lgico da

estrutura ~(p q). Agora, construamos a tabela-verdade da estrutura ~p v ~q, e comparemos os

resultados. No incio, teremos:

p q V V V F F V F F

Faremos agora as duas colunas das duas negativas, de p e de q. Para isso, conforme j

sabemos, quem for V virar F, e vice-versa. Teremos:

p q ~p ~q V V F F V F F V F V V F F F V V

Agora, passemos coluna final: ~p v ~q. Aqui nos lembraremos de como funciona uma

disjuno. A disjuno a estrutura do ou. Para ser verdadeira basta que uma das sentenas

tambm o seja. Da, teremos:

p q ~p ~q ~p V ~q V V F F F V F F V V F V V F V F F V V V

Finalmente, comparemos a coluna resultado (em destaque) desta estrutura (~p ~q) com

aquela que estava guardada da estrutura ~(p q). Teremos:

~(p q) ~p V ~q F F V V V V V V

Resultados idnticos! Da, do ponto de vista lgico, para negar p e q, negaremos p,

negaremos q, e trocaremos e por ou.

J sabendo disso, no perderemos tempo na prova construindo tabela-verdade para saber

como se faz a negativa de uma conjuno! Esse exerccio que fizemos acima, de comparar as

colunas-resultado das duas tabelas, serviu apenas para explicar a origem dessa equivalncia lgica.

Ou seja, para dizer se uma proposio , do ponto de vista lgico, equivalente a outra, basta

fazer uma comparao entre suas tabelas-verdade.

Negao de uma proposio disjuntiva: ~(p ou q)

Para negar uma proposio no formato de disjuno (p ou q), faremos o seguinte:

1. Negaremos a primeira parte (~p);

2. Negaremos a segunda parte (~q);

3. Trocaremos OU por E.

E s!

Se uma questo de prova disser: Marque a assertiva que logicamente equivalente

seguinte frase: No verdade que Pedro dentista ou Paulo engenheiro.

Pensemos: a frase comea com um no verdade que..., ou seja, o que se segue est sendo

negado! E o que se segue uma estrutura em forma de disjuno. Da, obedecendo aos passos

descritos acima, faremos:

1. Nega-se a primeira parte (~p) = Pedro no dentista;

2. Nega-se a segunda parte (~q) = Paulo no engenheiro;

3. Troca-se OU por E, e o resultado final ser o seguinte:

PEDRO NO DENTISTA E PAULO NO ENGENHEIRO.

Na linguagem apropriada, conclumos que:

~(p V q) = ~p ~q

Se formos curiosos, poderemos fazer a comprovao via tabelas-verdade desta

concluso acima. Somos curiosos? Claro! Tomemos a primeira parte: ~(p V q). Teremos, de incio:

p q V V V F F V F F

Da, construindo a coluna da disjuno (p ou q). Teremos:

p q p V q V V V V F V F V V F F F

Finalizando, fazendo a negao da coluna da disjuno, teremos:

p q p V q ~(p V q) V V V F V F V F F V V F F F F V

Guardemos essa coluna resultado para o final. E passemos segunda parte da anlise: a

estrutura ~p ~q. Teremos, a princpio, o seguinte:

p q V V V F F V F F

Construindo-se as colunas de negaes de p e q, teremos:

p q ~p ~q V V F F V F F V F V V F F F V V

Finalizando, fazendo a conjuno ~p e ~q, teremos os seguintes resultados:

p q ~p ~q ~p ~q V V F F F V F F V F F V V F F F F V V V

Concluindo, comparemos a coluna resultado (em destaque) desta estrutura (~p ~q) com

aquela que estava guardada da estrutura ~(p q). Teremos:

~(p V q) ~p ~q F F F F F F V V

Resultados idnticos! Da, do ponto de vista lgico, para negar p ou q, negaremos p,

negaremos q, e trocaremos ou por e.

Negao de uma proposio condicional: ~(p q)

Como que se nega uma condicional? Da seguinte forma:

1) Mantm-se a primeira parte; e

2) Nega-se a segunda parte.

Por exemplo, como seria a negativa de Se chover, ento levarei o guarda-chuva?

1) Mantendo a primeira parte: Chove E

2) Negando a segunda parte: eu no levo o guarda-chuva.

Resultado final: Chove e eu no levo o guarda-chuva.

Na linguagem apropriada, conclumos que:

~(p q) = p ~q

Na sequncia, apresento duas tabelas que trazem um resumo das relaes vistas at o

momento. Vejamos:

Estrutura

Lgica

verdade quando falso quando

p q p e q so, ambos, verdade um dos dois for falso

p V q um dos dois for verdade p e q, ambos, so falsos

p q Nos demais casos p verdade e q falso

pq p e q tiverem valores lgicos iguais p e q tiverem valores lgicos diferentes

~p p falso p verdade

Negativa das proposies compostas:

Negativa de (p e q) ~p ou ~q

Negativa de (p ou q) ~p e ~q

Negativa de (p q) p e ~q

Negativa de (pq) [(p e ~q) ou (q e ~p)]

# Tabelas-verdade

Trataremos agora um pouco mais a respeito de TABELA-VERDADE. Trata-se de uma tabela

mediante a qual so analisados os valores lgicos de proposies compostas.

J vimos que uma Tabela-Verdade que contm duas proposies apresentar exatamente

um nmero de quatro linhas! Mas e se estivermos analisando uma proposio composta com trs

ou mais proposies componentes? Como ficaria a tabela-verdade neste caso? Generalizando para

qualquer caso, teremos que o nmero de linhas de uma tabela-verdade ser dado por:

N linhas da Tabela-Verdade = 2n de proposies

Ou seja, se estivermos trabalhando com duas proposies p e q, ento a tabela-verdade ter

4 linhas. Se estivermos trabalhando com uma proposio composta que tenha trs componentes

p, q e r, a tabela-verdade ter 23 = 8. E assim, por diante.

Tabelas-verdade para p e q:

Trabalhando com duas proposies componentes, a estrutura inicial da tabela-verdade

ser sempre aquela que j aprendemos. Qual seja:

p q V V V F F V F F

E a prxima coluna (ou prximas colunas) da tabela-verdade depender dos conectivos que

estaro presentes na proposio composta.

J sabemos construir, pelo menos, cinco tabelas-verdade de proposies compostas! A

tabela-verdade da conjuno, da disjuno, da disjuno exclusiva, da condicional e da

bicondicional. Com este conhecimento prvio, j estamos aptos a construir as tabelas-verdade de

qualquer outra proposio formada por duas proposies componentes (p e q). Designaremos tal

proposio composta da seguinte forma: P(p, q).

Suponhamos, pois, que estamos diante da seguinte proposio composta: P(p, q)=~(p v

~q) e desejamos construir a sua tabela-verdade. Como seria? O incio da tabela , conforme

sabemos, sempre o mesmo. Teremos:

p q V V V F F V F F

Agora olhemos para a proposio que estamos trabalhando [~(p v ~q)] e comparemos o

que j temos na tabela acima com o que ainda precisamos encontrar. J temos o ~q? Ainda no!

Ento, nosso prximo passo: construir a coluna da negao de q. Teremos:

p q ~q V V F V F V F V F F F V

Seguindo adiante, construiremos agora a coluna referente ao parnteses (p v ~q). Trata-se

pois, de uma disjuno, cujo funcionamento j nosso conhecido (s ser falsa se as duas partes

forem falsas!). Colocaremos em destaque (sombreado) as colunas de nosso interesse para a

formao desta disjuno. Teremos:

p q ~q p v ~q V V F V V F V V F V F F F F V V

Por fim, concluindo a anlise desta proposio composta, resta-nos construir a coluna que

a prpria proposio: ~(p v ~q). Ou seja, faremos a negao da disjuno acima. Para isso, quem

for VERDADEIRO vira FALSO e vice-versa. Teremos:

p q ~q p v ~q ~( p v ~q)

V V F V F V F V V F F V F F V F F V V F

este, portanto, o resultado final da tabela-verdade para a proposio ~(p v ~q). Uma coisa

muito importante que deve ser dita neste momento que, na hora de construirmos a tabela-

verdade de uma proposio composta qualquer, teremos que seguir uma certa ordem de

precedncia dos conectivos. Ou seja, os nossos passos tero que obedecer a uma seqncia.

Comearemos sempre trabalhando com o que houver dentro dos parnteses. S depois,

passaremos ao que houver fora deles. Em ambos os casos, sempre obedecendo seguinte ordem:

1. Faremos as negaes (~);

2. Faremos as conjunes ou disjunes, na ordem em que aparecerem;

3. Faremos a condicional;

4. Faremos o bicondicional.

Para fixar nossos conhecimentos vamos construir a tabela-verdade da seguinte proposio

composta: P(p,q) = (p~q) V (q~p).

SOLUO: Observamos que h dois parnteses. Comearemos, pois, a trabalhar o primeiro deles,

isoladamente. Obedeceremos ordem de precedncia dos conectivos:

1 passo: Negao de q

p q ~q V V F V F V F V F F F V

2 passo: Conjuno

p q ~q p~q V V F F

V F V V F V F F F F V F

3 passo: Negao de p

p q ~p V V F V F F F V V F F V

4 passo: Conjuno

p q ~p q~p V V F F V F F F F V V V F F V F

5 passo: uma vez trabalhados os dois parnteses, faremos a disjuno que os une.

p~q q~p (p~q)V(q~p) F F F V F V F V V F F F

Se quisssemos, poderamos ter feito tudo em uma nica tabela maior, da seguinte forma:

p q ~q p~q ~p q~p (p~q)V(q~p) V V F F F F F V F V V F F V F V F F V V V F F V F V F F

Pronto! Conclumos mais um problema. J estamos craques em construir tabelas-verdade

para proposies de duas sentenas. Mas, e se estivermos trabalhando com trs proposies

simples (p, q e r)? Como que se faz essa tabela-verdade? A primeira coisa definir o nmero de

linhas que esta tabela-verdade ter. Conforme j aprendemos, este clculo ser dado por N

linhas = 2 N de proposies. Logo, haver oito linhas (23=8) numa tabela-verdade para trs

proposies simples. Para duas proposies, a tabela-verdade se inicia sempre do mesmo jeito. O

mesmo ocorrer para uma tabela-verdade de trs proposies. Ter sempre o mesmo incio. E ser

o seguinte:

p q r

A coluna da proposio p ser construda da seguinte forma: quatro V alternando com

quatro F; a coluna da proposio q tem outra alternncia: dois V com dois F; por fim, a coluna da

proposio r alternar sempre um V com um F. Teremos, portanto, sempre a mesma estrutura

inicial:

p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

Saber construir esta tabela acima obrigao. Ela corresponde estrutura inicial de uma

tabela-verdade para trs proposies simples.

Suponhamos que uma questo de prova pea que construamos a tabela-verdade da

proposio composta seguinte: P(p,q,r)=(p ~q) (q v ~r). A leitura dessa proposio a

seguinte: Se p e no q, ento q ou no r.

Vamos fazer esse exerccio? Comearemos sempre com a estrutura inicial para trs

proposies. Teremos:

p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

Da, j sabemos que existe uma ordem de precedncia a ser observada, de modo que

trabalharemos logo os parnteses da proposio acima. Comeando pelo primeiro deles, faremos

os seguintes passos:

1 passo: Negao de q

p q r ~q V V V F V V F F V F V V V F F V F V V F F V F F F F V V F F F V

2 passo: Conjuno do primeiro parnteses

p q r ~q p ~q V V V F F V V F F F V F V V V

V F F V V F V V F F F V F F F F F V V F F F F V F

3 passo: Negao de r

p q r ~q p ~q r V V V F F F V V F F F V V F V V V F V F F V V V F V V F F F F V F F F V F F V V F F F F F V F V

4 passo: Disjuno do segundo parnteses

p q r ~q p ~q ~r q V ~r V V V F F F V V V F F F V V V F V V V F F V F F V V V V F V V F F F V F V F F F V V F F V V F F F F F F V F V V

5 passo: Finalmente, vamos fazer a condicional.

RECORDANDO: a condicional s ser falsa se tivermos VERDADEIRO na primeira parte e FALSO

na segunda!!!

p q r ~q p ~q ~r q V ~r (p ~q)( q V ~r) V V V F F F V V V V F F F V V V V F V V V F F F

V F F V V V V V F V V F F F V V F V F F F V V V F F V V F F F V F F F V F V V V

Pronto! Mais uma etapa concluda. Estamos aptos a construir tabelas-verdade para

proposies compostas de duas ou trs proposies componentes.

Chegou o momento de passarmos a conhecer trs outros conceitos: Tautologia,

Contradio e Contingncia.

Tautologia

Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, ... ser dita uma

Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lgicos das

proposies p, q, r, ... que a compem. Em palavras mais simples: para saber se uma proposio

composta uma Tautologia, construiremos a sua tabela-verdade! Da, se a ltima coluna da

tabela-verdade s apresentar verdadeiro (e nenhum falso), ento estaremos diante de uma

Tautologia. S isso!

Exemplo: A proposio (p q) (p V q) uma tautologia, pois sempre verdadeira,

independentemente dos valores lgicos de p e de q, como se pode observar na tabela-verdade.

p q pq p v q (pq)(pVq) V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V

Observe que o valor lgico da proposio composta (pq)(pVq), que aparece na

ltima coluna, sempre verdadeiro. Passemos a outro exemplo de Tautologia: [(p V q) (p

s)] p. Construa a tabela-verdade e demonstre que se trata de uma tautologia.

Contradio

Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, ... ser dita uma

contradio se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lgicos das proposies p,

q,r ... que a compem. Ou seja, construindo a tabela-verdade de uma proposio composta, se

todos os resultados da ltima coluna forem FALSOS, ento estaremos diante de uma

contradio.

Exemplo: A proposio p ~p uma contradio, pois sempre falsa independentemente do

valor lgico de p, como possvel observar na tabela-verdade abaixo:

p ~p p ~p V F F F V F

Contingncia

Uma proposio composta ser dita uma contingncia sempre que no for uma tautologia

ou uma contradio. Somente isso! Voc pegar a proposio composta e construir a sua tabela-

verdade. Se voc verificar que aquela proposio nem uma tautologia (s resultados V), e nem

uma contradio (s resultados F), ento, pela via de exceo, ser dita uma contingncia!

Exemplo: A proposio p (pq) uma contingncia. Por que essa proposio uma

contingncia? Porque nem uma tautologia e nem uma contradio. S por isso! Vejamos sua

tabela-verdade a seguir.

p q pq p (pq) V V V V V F F F F V F V F F F V