Matemática

Lógica Proposicional

Professor Dudan

Sentenças Abertas

Sentenças matemáticas abertas ou simplesmente sentenças abertas são expressões que não podemos identificar como verdadeiras ou falsas.Exemplos: Ø x + 4 = 12.Essa expressão pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor da incógnita x. Ø Ele esta estudando.Nessa outra , precisaríamos saber de quem está se falando para poder atribuir valor lógico à sentença.

Sentenças Fechadas ou Proposições

Sentenças matemáticas fechadas ou proposições são expressões que podemos identificar como verdadeiras ou falsas.Exemplos: Ø5 + 4 = 12.Essa expressão é falsa, logo uma proposição

Ø Dudan está estudando para preparar suas aulas.Essa outra também pois sabemos ser uma “eterna” verdade.

Proposições Compostas

Proposição composta é a união de proposições simples por meiode um conector lógico. Esse conector irá ser decisivo para o valor lógico da expressão.Proposições podem ser ligadas entre si por meio de conectivoslógicos. Conectores que criam novas sentenças mudando ou nãoseu valor lógico (Verdadeiro ou Falso).

Proposições Compostas

• Uma proposição simples possui apenas dois valores lógicos, verdadeiro ou falso.• Já proposições compostas terão mais do que duas possibilidades distintas de

combinações dos seus valores lógicos.• Portanto , de acordo com o número de proposições simples que compõem uma

proposição composta, montamos a tabela verdade com um número de linhasque pode ser calculado elevando o algarismo 2 ao numero de proposiçoessimples que usaremos.• Exemplo: Uma proposição composta construída com duas simples terá 4 linhas

na sua tabela verdade.Isso porque 2² = 4;• Caso tenhamos 3 proposições simples compondo a composta, teremos 2³ = 8

linhas na tabela verdade e assim por diante.

Conectivos : “e” / “^”Tabela Verdade: V V = VExemplo: Dudan viaja e ensina Matemática.

Conjunção

Dudan viaja p Dudan ensina Matemática q Dudan viaja e ensina Matemática.p ^ q

V V VV F FF V FF F F

Se usarmos Teoria dos Conjuntos , basta lembrar que “p ^ q” é a intersecção, logo a região que pertence a ambos, portanto é onde ambos se confirmam Verdadeiros.

Mais Exemplos:• Adoro Matemática e passarei nesse concurso.

• Vou ser nomeado e agradecerei aos professores.

Conectivos : “ou” / “v”Tabela Verdade: F F = FExemplo: Dudan viaja ou ensina Matemática.

Disjunção Inclusiva

Dudan viaja p Dudan ensina Matemática q Dudan viaja ou ensina Matemática.p v q

V V VV F VF V VF F F

Se usarmos Teoria dos Conjuntos , basta lembrar que “p v q” é a união, logo toda a região que é limitada pelos conjuntos, portanto é onde algum deles se confirma Verdadeiro.

Mais Exemplos:• Adoro Matemática ou passarei nesse concurso.

• Vou ser nomeado ou agradecerei aos professores.

Conectivos : “Se...então” / “à”Tabela Verdade: V F = F “Vera Fischer Falsa”Exemplo: Se Dudan viaja então ensina Matemática.

Condicional

Dudan viaja p Dudan ensina Matemática q Se Dudan viaja , então ensina Matemática.p à q

V V VV F FF V VF F V

Na Condicional temos uma ideia de “causa e efeito”.Assim a proposição inicial é a condição necessária e a outra , a condição suficiente.

Mais Exemplos:

• Se adoro Matemática então passarei nesse concurso.

• Se vou ser nomeado então agradecerei aos professores.

Conectivos : “Ou...ou...” / “v”Tabela Verdade: V V = F e F F = FExemplo: Ou Dudan viaja ou ensina Matemática.

Disjunção Exclusiva

Dudan viaja p Dudan ensina Matemática q Ou Dudan viaja ou ensina Matemática.p v q

V V F

V F V

F V V

F F F

Se usarmos Teoria dos Conjuntos , basta lembrar que “p v q” a região de exclusividade dos conjuntos, portanto é onde somente um deles se confirma Verdadeiro.

Mais Exemplos:

• Ou adoro Matemática ou passarei nesse concurso.

• Ou vou ser nomeado ou agradecerei aos professores.

Conectivos : “Se e somente se...” / “ßà”Tabela Verdade: F F = V e V V = V Exemplo: Dudan viaja se e somente se ensina Matemática.

Bicondicional

Dudan viaja p Dudan ensina Matemática q Dudan viaja se e somente se ensina Matemática. p ßà q

V V VV F FF V FF F V

Podemos entender a bicondicional como uma condicional de ida e outra de volta.

Mais Exemplos:• Adoro Matemática se e somente se passarei nesse concurso.

• Vou ser nomeado se e somente se agradecerei aos professores.

Negação Simples

Para negar uma sentença acrescentamos o não ou o retiramos, sem mudar a estrutura da frase, mas mudando seu valor lógico.

Exemplo: Dudan adora Matemática.Negação: Dudan não adora Matemática.

Exemplo: Amanha não vai chover.Negação: Amanha vai chover.

Negação de Proposições Compostas

Negar uma proposição composta não é tão simples como negaruma proposição simples mas a ideia de mudar seu valor lógicopermanece.Sendo assim uma proposição composta será negada de acordocom o conectivo .As regras são específicas e devem ser decoradas.

Conectivos : “e” / “^”Tabela Verdade: V V = VNegação: nega ambas as proposições e troca “e”por “ou”.

~(p^q) = ~p V ~qExemplo: Dudan viaja e ensina Matemática.Negação: Dudan não viaja ou não ensina Matemática.

Conjunção

p q p ^ q ~p ~q ~p v ~q

V V V F F FV F F F V VF V F V F VF F F V V V

Observe que de fato, o valor lógico da proposição composta mudou em todas as linhas da tabela verdade.

Mais Exemplos:• Adoro Matemática e passarei nesse concurso.

Negando, temos:

• Não adoro Matemática ou não passarei nesse concurso.

Mais Exemplos:• Vou ser nomeado e agradecerei aos professores.Negando , temos:• Não vou ser nomeado ou não agradecerei aos professores.

Conectivos : “ou” / “V”

Tabela Verdade: F F = F

Negação: nega ambas as proposições e troca “ou”por “e”.

~(pVq) = ~p ^ ~q

Exemplo: Dudan viaja ou ensina Matemática.

Negação: Dudan não viaja e não ensina Matemática.

Disjunção Inclusiva

p q p v q ~p ~q ~p ^ ~q

V V V F F F

V F V F V F

F V V V F F

F F F V V V

Observe que de fato, o valor

lógico da proposição

composta mudou em todas

as linhas da tabela verdade.

Mais Exemplos:

• Adoro Matemática ou passarei nesse concurso.Negando, temos:• Não adoro Matemática e não passarei nesse concurso.

Mais Exemplos:

• Vou ser nomeado ou agradecerei aos professores.Negando , temos:• Não vou ser nomeado e não agradecerei aos professores.

Conectivos : “Se ...então ” / “à”Tabela Verdade: V F = FNegação : Confirma a causa “e” nega a consequencia

~(p à q ) = p ^ ~qExemplo: Se Dudan viaja, então ensina Matemática.

Negação : Dudan viaja e não ensina Matemática.

Condicional

p q p à q p ~q ~p ^ ~q

V V V V F F

V F F V V V

F V V F F F

F F V F V F

Observe que de fato, o valor lógico da proposição composta mudou em todas as linhas da tabela verdade.

Mais Exemplos:

• Se adoro Matemática então passarei nesse concurso.Negando, temos:• Adoro Matemática e não passarei nesse concurso.

Mais Exemplos:

• Se vou ser nomeado então agradecerei aos professores.Negando , temos:• Vou ser nomeado e não agradecerei aos professores.

Conectivos : “Ou...ou...” / “V”Tabela Verdade: F F = F e V V = FNegação: ~(p V q) = p ↔ qExemplo: Ou Dudan viaja ou ensina Matemática.Negação :Dudan viaja se e somente se ensina Matemática.

Disjunção Exclusiva

Mais Exemplos:

• Ou adoro Matemática ou passarei nesse concurso.Negando, temos:• Adoro Matemática se e somente se passarei nesse concurso.

Mais Exemplos:

• Ou vou ser nomeado ou agradecerei aos professores.Negando , temos:• Vou ser nomeado se e somente se agradecerei aos professores.

Conectivos : “Se e somente se” / “↔”Tabela Verdade: F F = V e V V = VNegação: ~(p ↔ q) = (q v p)Exemplo: Dudan viaja se e somente se ensina Matemática. Negação: Ou Dudan viaja ou ensina Matemática.

Bicondicional

Mais Exemplos:

Adoro Matemática se e somente se passarei nesse concurso.Negando, temos:• Ou adoro Matemática ou passarei nesse concurso.

Mais Exemplos:

Vou ser nomeado se e somente se agradecerei aos professores.Negando , temos:• Ou vou ser nomeado ou agradecerei aos professores.

COMO AFCC

COBRA ISSO?

Considere a afirmação I como sendo FALSA e as outras três afirmações como sendo VERDADEIRAS.

I. Lucas é médico ou Marina não é enfermeira.II. Se Arnaldo é advogado, então Lucas não é médico.III. Ou Otávio é engenheiro, ou Marina é enfermeira, mas não ambos.IV. Lucas é médico ou Paulo é arquiteto.A partir dessas informações, é correto afirmar quea) Paulo não é arquiteto ou Marina não é enfermeira.b) Marina é enfermeira e Arnaldo não é advogado.c) Se Lucas não é médico, então Otávio é engenheiro.d) Otávio é engenheiro e Paulo não é arquiteto.e) Arnaldo é advogado ou Paulo é arquiteto.

FCC 2018

Considere que a afirmação I é falsa e que as demais são verdadeiras.I. Se Bernardo é músico, então Andreia é cantora.II. Cátia é baterista e Bernardo é músico.III. Ou Danilo é violonista, ou Cátia é baterista.A partir dessas afirmações, é correto concluir que a) Andreia é cantora ou Danilo é violonista. b) ou Bernardo é músico, ou Cátia é baterista.c) se Danilo é violonista, então Andreia é cantora. d) Cátia é baterista e Danilo é violonista. e) se Cátia é baterista, então Danilo é violonista.

FCC 2018

Considere as afirmações:

I. Se Enzo é engenheiro, então Fábio é farmacêutico.

II. Carlos é contador ou Daniel é dentista.

III. Antônio é artista ou Bruno é biblioteconomista.

IV. Se Daniel é dentista então Antônio é artista.

Sabe-se que as afirmações II e III são verdadeiras e que as demais são afirmações falsas.

A partir dessas afirmações é correto concluir que

a) Antônio é artista e Daniel é dentista.

b) Carlos é contador ou Antônio é artista.

c) Bruno é biblioteconomista e Enzo não é engenheiro.

d) Enzo é engenheiro e Carlos é contador.

e) Bruno é biblioteconomista ou Fábio é farmacêutico.

FCC 2018

Considere verdadeiras as afirmações I, II, III, e falsa a afirmação IV.I. Se acordo, então abro os olhos.II. Se me levanto, então caminho.III. Se não caminho, então fico em casa.IV. Abro os olhos ou caminho.A partir dessas afirmações, é verdade que

a) não caminho e abro os olhos.b) não abro os olhos e acordo.c) acordo e não me levanto.d) não fico em casa ou me levanto.e) acordo ou fico em casa.

FCC 2018

Uma afirmação que corresponda à negação lógica da afirmação “Pedro distribuiu amor e Pedro colheu felicidade” é:

a) Pedro não distribuiu amor ou Pedro não colheu felicidade.b) Pedro distribuiu ódio e Pedro colheu infelicidade.c) Pedro não distribuiu amor e Pedro não colheu felicidade. d) Se Pedro colheu felicidade, então Pedro distribuiu amor.e) Pedro não distribuiu ódio e Pedro não colheu infelicidade.

FCC 2018

Se um retângulo tem as medidas de seus quatro lados iguais, então ele é chamado de quadrado.A alternativa que contém uma negação lógica da afirmação anterior é:

a)Um retângulo não tem as medidas de seus quatro lados iguais ou ele não é chamado de quadrado. b)Um retângulo é chamado de quadrado e ele tem as medidas de seus quatro lados iguais.c)Um retângulo tem as medidas de seus quatro lados iguais e ele não é chamado de quadrado.d)Se um retângulo não tem as medidas de seus quatro lados iguais, então ele não é chamado de quadrado.e)Se um retângulo não é chamado de quadrado, então ele não tem as medidas de seus quatro lados iguais.

FCC 2018