apostila miraglia - logica e teoria dos conjuntos

5/16/2018 Apostila Miraglia - Logica e Teoria Dos Conjuntos - slidepdf.com

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L ´ o g i c a e T e o r i a d o s C o n j u n t o s

F .

M i r a g l i a

Z a r a

I . A b u d 1

J u l h o , 1 9 9 9

1 P r o f e s s o r e s d o I n s t i t u t o d e M a t e m ´ a t i c a d a U S P , S ˜ a o P

a u l o

V a m o s u t i l i z a r , m

u i t a s v e z e s , a e x p r e s s ˜ a o “ s e e s o m e n t e s e ”

, a b r e v i a d a p o r “ s s e ” . E l a

s i g n i fi c a q u e o q u e v e m

a n t e s d e l a p o d e s e r s u b s t i t u i d o p e l o q u e e s t ´ a d e p o i s ; q u e t o d a v e z q u e

u m l a d o a c o n t e c e , o o u t r o t a m b ´ e m ; e v i c e - v e r s a .

T e m

u n s m o c o m e t i d o a s a b i d o

Q u e u s a u m t a r d e “ s e e s o m e n t e s e ”

P ’ r a d i z ˆ e c o m o a s c o i s a d e v i a s ˆ e .

D e p o i s d e m u i t a e x p l i c a c ˜ a o

N ’ u m

s e i p ’ r a q u e t a n t a c o n f u s ˜ a o :

E r a s

´ o f a l ´ a q u e p o d e b o t ´ a u m n o l u g ´ a d o o u t r o ,

O u o

o u t r o n o l u g ´ a d o u m ,

C o n f o r m e g o s t o o u p r e c i s ˜ a o .



C o n t e ´ u d o

P r e f ´ a c i o

4

I

I n t r o d u¸ c ˜ a o ` a T e o r i a d o s C o n j u n t o s e a o C ´ a l c u l o P r o p o s i c i o n a l

5

1

U m P o u c o d e T e o r i a d o s C o n j u n t o s

6

2

O C ´ a l c u l o P r o p o s i c i o n a l

1 4

2 . 1

A E s t r u t u r a P r o p o s i c i o n a l d e u m E n u n c i a d o . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 4

2 . 2

L i n

g u a g e m F o r m a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 6

2 . 3

I n t e r p r e t a c ˜ o e s . L e i s L ´ o g i c a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 8

2 . 4

F o r m a s G e r a i s d a s L e i s L ´ o g i c a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 9

2 . 5

I n t e r p r e t a c ˜ o e s c o m D o i s V a l o r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 3

I I

R e l a¸ c ˜ o e s e F u n¸ c ˜ o e s

4 8

3

R e l a¸ c ˜ o e

s

4 9

3 . 1

P a r e s O r d e n a d o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 9

3 . 2

P r o d u t o C a r t e s i a n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 1

3 . 3

R e l a c ˜ o e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 3

4

F u n¸ c ˜ o e s

6 1

4 . 1

A D e fi n i c ˜ a o d e F u n¸ c ˜ a o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 1

4 . 2

O p

e r a c ˜ o e s c o m F a m ´ ı l i a s d e C o n j u n t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 1

4 . 3

I m a g e m e I m a g e m I n v e r s a c o m o F u n¸ c ˜ o e

s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 3

4 . 4

P o n t o s F i x o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 4

2

3

4 . 5

I n fl a c ˜ a o e D e fl a c ˜ a o

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7

4 . 6

P r o d u t o s e U n i ˜ o e s D i s j u n t a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 3

4 . 7

F e c h o p o r O p

e r a c ˜ o e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 1

4 . 8

S u b o b j e t o s e

O b j e t o s Q u o c i e n t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 0 0

4 . 9

F u n¸ c ˜ o e

s C a r a c t e r ´ ı s t i c a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 0 4

4 . 1 0 I n d u¸ c ˜ a o

n o s N

a t u r a i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 0

4 . 1 1 I n d u¸ c ˜ a o

n a C o m p l e x i d a d e d e P r o p o s i c ˜ o e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 7

4 . 1 2 Q u a n t i fi c a d o r

e s e m T r ˆ e s D i m e n s ˜ o e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 5

4 . 1 3 S e q ¨ u ˆ e n c i a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 9

4 . 1 4 O r d e n s P a r c i a i s e P r i n c ´ ı p i o s G e r a i s d e I n d u¸ c ˜ a o . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 3 4

4 . 1 5 B o a s O r d e n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 4 6

4 . 1 6 O r d i n a i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 5 3

4 . 1 7 B o r e l i a n o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 6 6

5

T o p o l o g i a s

1 7 3

5 . 1

N o c ˜ o e s B ´ a s i c a s

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 7 3

5 . 2

S u p r e m o s e ´ I n fi m o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 7 8

5 . 3

C o m p l e m e n t o

T o p o l ´ o g i c o e D e n s i d a d e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 7 9

5 . 4

I m p l i c a c ˜ a o T o p o l ´ o g i c a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 8 2

5 . 5

L e i s D i s t r i b u t i v a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 8 4

5 . 6

F u n¸ c ˜ o e

s C o n t ´ ı n u a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 8 6



P r e f ´ a

c i o

E s t e ´ e l i v r o ´ e u m a t e n t a t i v a d e c o n s t r u i r u m c a m i n h o q u e l e v a d a T e o r i a E l e m e n t a r d o s

C o n j u n t o s p

a r a a s i n t e r p r e t a c ˜ o e s d o I n t u i c i o n i s m o e m

p r e f e i x e s s o b r e t o p o l o g i a s . N a l ´ ı n g u a

p o r t u g u e s a .

N ˜ a o p o d e m o s d i z e r q u e t e n h a p r e r e q u i s i t o s , a l ´ e m ´ e c l a r o ,

d e a l g u m a m a t u r i d a d e

i n t e l e c t u a l .

M e s m o a s s i m , a l g u m a f a m i l i a r i d a d e c o m

o c o n t e ´ u d o u s u a l m e n t e i n c l u ´ ı d o n o s

c u r r ´ ı c u l o s d o s p r i m e i r o s d o i s a n o s d a g r a d u a c ˜ a o e m M a

t e ´ a t i c a p o d e m a j u d a r .

A l e i t u r a e p r i n c i p a l m e n t e o a p r e n d i z a d o e x i g e p a r t i c i p a¸ c ˜ a o .

I d e a l m e n t e o t e x t o s e r v i r i a

c o m o r o t e i r o d e d e s c o b e r t a p a r a o l e i t o r . H ´ a u m a b o a q u a n t i d a d e d e i n f o r m a c ˜ a o , c o n c e i t o s

e i d ´ e i a s e s p

a l h a d a s e m

q u a s e t o d o l u g a r . A s p r i m e i r

a s d u a s p a r t e s f o r a m

e x p e r i m e n t a d a s

e m u m a d i s

c i p l i n a d e T e o r i a d o s C o n j u n t o s m i n i s t r a d a p o r u m d o s a u t o r e s n a L i c e n c i a t u r a

n o t u r n a e m

M a t e m ´ a t i c a n a U S P .

N o s s o s m a i s s i n c e r o s a g r a d e c i m e n t o s a o s a l u n o s , q u e fi z e r a m

s u g e s t ˜ o e s e a j u d a r a m n a c o r r e c ˜ a o d e e s t i l o e g r a fi a .

4

P a r t e I

I n t r o d u c

˜ a o ` a T e o r i a d o s C o n j u n t o s e

a o

C ´ a l c u l o P r o p o s i c i o n a l

5



C a p ´ ı t

u l o 1

U m P

o u c o d e T e o r i a d o

s C o n j u n t o s

V a m o s

a s s u m i r q u e o l e i t o r t e n h a f a m i l i a r i d a d e c

o m a t e o r i a e l e m e n t a r d o s c o n j u n t o s ,

c o m o ´ e a p r e

s e n t a d a , p o r e x e m p l o , n o e n s i n o m ´ e d i o .

M e

s m o a s s i m ,

d e s e n v o l v e r e m o s u m p o u c o

d e s s a t e o r i a , r e g i s t r a n d o a l g u n s f a t o s i m p o r t a n t e s q u e s e r ˜ a o u t i l i z a d o s c o m f r e q ¨ u e n c i a .

A r e l a c

˜ a o d e p e r t i n ˆ e n c i a ´ e i n d i c a d a p o r ∈ ( ´ e p s i l o n , o “ e ” m i n ´ u s c u l o c u r t o d o g r e g o 1 ) .

A e x p r e s s ˜ a o

“ x ∈ A ” s i g n i fi c a “ x ´ e e l e m e n t o d e A ” o u

“ x p e r t e n c e a A ” . C o m o d e h ´ a b i t o ,

“ x ∈ A ” q u e

r d i z e r q u e x n ˜ a o ´ e e l e m e n t o d e A o u q u e x

n ˜ a o p e r t e n c e a A .

S e A e

B s ˜ a o c o n j u n t o s , d i z e m o s q u e A e s t ´ a c o n t

i d o e m B o u q u e A ´ e s u b c o n j u n t o d e

B – e e s c r e v e m o s A ⊆ B – s e t o d o e l e m e n t o d e A ´ e e l e

m e n t o d e B .

E m s ´ ı m b o l o s :

A ⊆ B

⇐ ⇒

d e f

∀ x ( x ∈ A − →

x ∈ B ) .

L e m b r e - s e q

u e d o i s c o n j u n t o s s ˜ a o i g u a i s s e , e s o m e n t e s e , p o s s u e m o s m e s m o s e l e m e n t o s . T a l

a fi r m a c ˜ a o e q u i v a l e a d i z e r q u e A

= B

⇐ ⇒

A ⊆ B e

B ⊆ A ;

e s t a p r o p r i e

d a d e ´ e c o n h e c i d a c o m o A x i o m a d a E x t e n s i o n a l i d a d e .

S e P ´ e

u m a c e r t a p r o p r i e d a d e e A ´ e u m c o n j u n t o ,

´ e c o m u m i n d i c a r m o s p o r

{ x ∈ A : x s a t i s f a z P }

o s u b c o n j u n

t o d e A f o r m a d o p e l o s e l e m e n t o s q u e v e r i fi c a m a p r o p r i e d a d e P .

S e U ´ e

u m c o n j u n t o ,

d e n o t a m o s p o r P ( U ) o c o n j u n t o d a s p a r t e s d e U ,

i s t o ´ e , o c o n j u n t o

c u j o s e l e m e n t o s s ˜ a o e x a t a m e n t e o s s u b c o n j u n t o s d e U :

P ( U ) = { A : A ⊆ U

} .

A s s i m , p a r a

t o d o c o n j u n t o A ,

A ∈ P ( U )

⇐ ⇒

A

⊆ U ,

d e m a n e i r a

q u e A ∈ P ( U ) e

A ⊆ U s ˜ a o a fi r m a c ˜ o e s s i n ˆ o n i m a s .

E n t r e o s e l e m e n t o s d e P ( U ) ,

h ´ a d o i s q u e

m e r e c e m d e s t a q u e : o c o n j u n t o v a z i o – i n d i c a d o p o r ∅ – e o p r ´ o p r i o U ; ∅ ´ e o m e n o r

1 O “ e ” m i n ´ u s c u l o l o n g o d o g r e g o ´ e i n d i c a d o p o r η , a l e t r a “ e t

a ”

6

7

s u b c o n j u n t o d e U , e n q

u a n t o q u e U ´ e o m a i o r , i s t o ´ e :

P a r a t o d o A ∈ P ( U ) , ∅ ⊆ A ⊆ U .

E x e m p l o 1 . 1

: a ) S

e j a U = { 0 , 1 , 2 } .

Q u e m ´ e P ( U ) ? O s s u b c o n j u n t o s d e U p o d e m s e r

d e s c r i t o s d a s e g u i n t e f o r m a :

– S u b c o n j u n t o s c o

m 0 ( z e r o ) e l e m e n t o s : s ´ o h ´ a u m : o c o n j u n t o v a z i o ∅ ;


m 1 e l e m e n t o : { 0 } , { 1 } , { 2 } ;


m d o i s e l e m e n t o s : { 0 , 1 } , { 0 , 2 } , { 1 , 2 } ;


m t r ˆ e s e l e m e n t o s : s ´ o h ´ a u m d e s t e s : o p r ´ o p r i o U = { 0 , 1 , 2 } .

P o r t a n t o , P ( U ) ´ e

u m c o n j u n t o c o m 8 = 2 3

e l e m e n t o s , d a d o p

o r :

P (

U ) = { ∅ , { 0 } , { 1 } , { 2 } , { 0 , 1 } , { 0 , 2 } , { 1 , 2 } , U } .

b ) E s e U = ∅ ? Q u e m ´ e P ( U ) ? A g o r a ,

∅ ´ e o ´ u n i c o s u b c o n j u n t o d e U .

P o r t a n t o ,

´ e o ´ u n i c o

e l e m e n t o d e P ( U ) . A s

s i m , P ( U ) = { ∅ } .

3

A s o p e r a c ˜ o e s f u n d

a m e n t a i s e n t r e s u b c o n j u n t o s d e U s ˜ a o :

– a u n i ˜ a o ,

i n d i c a d a p o

r ∪ : d a d o s A , B ⊆ U ,

A ∪ B = { x ∈ U : x ∈ A o u x ∈ B } ;

– a i n t e r s e c ˜ a o ,

i n d i c a d

a p o r ∩ : p a r a A , B ⊆ U ,

A ∩ B = { x ∈ U : x ∈ A e x ∈ B } ;

– o c o m p l e m e n t o : s e

A ⊆ U , o c o m p l e m e n t o d e A e m U s e e s c r e v e c o m o U

−

A , s e n d o

d e fi n i d o p o r

U

−

A = { x ∈ U : x ∈ A } .

Q u a n d o n ˜ a o h o u v e r p e r i g o d e c o n f u s ˜ a o e o c o n j u n t o U e s t i v e r c l a r o n o c o n t e x t o , e s c r e v e m o s

s i m p l e s m e n t e A c p a r a

i n d i c a r U

−

A .

A s t r ˆ e s o p e r a c ˜ o e s

s o b r e c o n j u n t o s p o d e m s e r r e p r e s e n t a d a s g r a fi c a m e n t e :

U

& % ' $

A

B

A ´ a r e a m a i s e s c u r a ´ e

A ∪ B

U

& % ' $

A

B

A ´ a r e a m a i s e s c u r a ´ e A ∩ B

U

& % ' $

A

A

´ a r e a m a i s e s c u r a ´ e A c

D a d o u m c o n j u n t o U , P ( U ) ´ e o c o n j u n t o q u e c o n t ´ e m s u b c o n j u n t o s d e U c o m o e l e m e n t o s .

E q u e d i z e r s o b r e u m c o n j u n t o q u e c o n t e n h a t o d o s o s c o n j u n t o s ?



1 2

P r i m e i r

o a d i f e r e n¸ c a

s i m ´ e t r i c a .

D e fi n i c ˜ a o 1 . 7

: S e A e B s ˜ a o s u b c o n j u n t o s d e u m c o n j u n t o U , a d i f e r e n¸ c a s i m ´ e t r i c a e n t r e

A e B , ´ e d a

d a p o r

“ o q u e

e s t ´ a e m A e n ˜ a o e s t ´ a e m B , j u n t o c o m o q u e e s t ´ a e m B e n ˜ a o e s t ´ a e m A ” .

E m s ´ ı m b o l o s e d i a g r a m a s

A

△

B = ( A ∩ B c ) ∪ ( B ∩ A c )

U

& % ' $

A

B

A

´ a r e a m a i s e s c u r a ´ e A △

B

Q u a l ´ e a d i s

t i n¸ c ˜ a o

e n t r e a d i f e r e n¸ c a

s i m ´ e t r i c a e a u n i ˜ a o

? ´ E a i n t e r s e c ˜ a o ! A i n t e r s e c ˜ a o d e d o i s

c o n j u n t o s ´ e

p a r t e d a s u a u n i ˜ a o m a s n ˜ a o d a s u a d i f e r e n¸ c a

s i m ´ e t r i c a . O b s e r v e q u e t e m o s

A ∪ B = ( A △

B ) ∪ ( A

∩ B ) .

A d i f e r e n¸ c a

s i m ´ e t r i c a c o r r e s p o n d e a u m a a l t e r n a t i v a e x c l u s i v a ,

t a m b ´ e m c h a m a d a d e

“ o u e x c l u s i v e ” . A u n i ˜ a o c o r r e s p o n d e a u m a a l t e r n a t i v a q u e i n c l u i a m b a s a s p o s s i b i l i d a d e s ,

c h a m a d a “ o

u i n c l u s i v e ” , q u e i n d i c a m o s p e l o t r a d i c i o n a l

“ e / o u ” d a s c o n t a s b a n c ´ a r i a s . A l g u m a s

d a s p r o p r i e d a d e s f u n d a m e n t a i s d a d i f e r e n¸ c a

s i m ´ e t r i c a

s ˜ a o d e s c r i t a s p e l a p r o p o s i c ˜ a o a b a i x o ,

c u j a d e m o n s t r a c ˜ a o d e i x a m o s p a r a o l e i t o r .

P r o p o s i c ˜ a o 1 . 8

: S e j a m A , B e C s u b c o n j u n t o s d e u

m c o n j u n t o U . E n t ˜ a o :

a ) A △

( B

△

C ) = ( A △

B ) △

C ;

A △

B = B △

A

b ) A △

∅ =

A ;

A △

U = A c .

c ) A △

A c = U ;

A △

A = ∅ .

d ) A ∩ ( B △

C ) = ( A ∩ B ) △

( A ∩ C ) .

e ) A △

B ⊆

A ∪ B ;

A △

B = A ∪ B

s e e s o m e n t e s e

A ∩ B = ∅ .

f ) A c △ B c = A △

B .

g ) S e A △

C = B △

C , e n t ˜ a o A = B .

3

A g o r a i n t r o d u z i m o s a n o c ˜ a o d e i m p l i c a¸ c ˜ a o .

D e fi n i c ˜ a o 1 . 9

: S e S , T s ˜ a o s u b c o n j u n t o s d e u m c o n j u n t o U , d e fi n i m o s

S →

T = S c ∪ T ,

l i d a c o m o “ S i m p l i c a T ” ( e m U ) .

1 3

E x e r c ´ ı c i o 1 . 1 0

: P r o v e q u e , p a r a A , S , T , R ⊆ U :

( 1 ) A ⊆ ( S →

T ) s s

e

A ∩ S ⊆ T .

( 2 ) S →

∅ = S c .

( 3 ) A ⊆ S

i m p l i c a

( S →

T ) ⊆ ( A →

T ) ;

( T →

A ) ⊆ ( T →

S ) .

( 4 ) S →

( T →

R ) = (

S ∩ T ) →

R = ( S →

T ) →

( S →

R ) .

( 5 ) S →

( T ∩ R ) = ( S

→

T ) ∩ ( S →

R ) .

( 6 ) S →

( T ∪ R ) = ( S

→

T ) ∪ ( S →

R ) .

3

E x e r c ´ ı c i o 1 . 1 1 : S e j a U u m c o n j u n t o e s e j a O = { ∩ , ∪ ,

( · ) c , → , △ } o c o n j u n t o d a s o p e r a c ˜ o e s

s t a n d a r d e n t r e s u b c o n

j u n t o s d e U .

M o s t r e q u e t o d a s a s o p e r a c ˜ o e s e m O p o d e m s e r d e fi n i d a s

a p a r t i r d e

a ) I n t e r s e c ˜ a o e c o m p l e

m e n t a c ˜ a o ( ( · ) c ) ;

b ) U ,

d i f e r e n¸ c a

s i m ´ e t r i c a ( △ ) e i n t e r s e c ˜ a o ;

c ) ∅ e i m p l i c a c ˜ a o ( → ) .

3

O b s e r v a¸ c ˜ a o 1 . 1 2 : S e U ´ e u m c o n j u n t o , a s o p e r a c ˜ o e s d e u n i ˜ a o e i n t e r s e c ˜ a o p o d e m s e r f e i t a s

c o m q u a l q u e r s u b c o n j u n t o d e P ( U ) 2 .

P a r a S ⊆ P ( U ) , t e m o s

∗ S = { x ∈ U : x p

e r t e n c e a a l g u m e l e m e n t o d e S } .

( U n i ˜ a o d e S )

∗ S = { x ∈ U : x p

e r t e n c e a t o d o s o s e l e m e n t o s d e S } .

( A i n t e r s e c ˜ a o d e S ) .

A s p r o p r i e d a d e s f u n d a m e n t a i s d e s t a s o p e r a c ˜ o e s s ˜ a o p a r e c i d a s c o m a s d a u n i ˜ a o e i n t e r s e c ˜ a o

fi n i t a s . E l a s a p a r e c e m

, p a r a f a m ´ ı l i a s , n a P r o p o s i c ˜ a o 4 . 2 8 e n ˜ a o

v a m o s r e p e t ´ ı - l a s a q u i , e m

p a r t i c u l a r , p o r q u e n ˜ a o p r e c i s a r e m o s d e l a s n a P a r t e I .

3

E x e r c ´ ı c i o 1 . 1 3

: S e j a m A e B s u b c o n j u n t o s d e u m c o n j u n t o U .

a ) P r o v e q u e a s s e g u i n

t e s c o n d i c ˜ o e s s ˜ a o e q u i v a l e n t e s :

( 1 ) B = A c ;

( 2 ) B v e r i fi c a a s e q u a c ˜ o e s

A ∩ B

=

∅

A ∪ B

=

U .

b ) U t i l i z a n d o ( a ) , d e s c

u b r a u m a p r o v a d o s ´ ı t e n s ( d ) e ( e ) d e 1 . 6 .

3

2

N ˜ a o a p e n a s p a r a s u

b c o n j u n t o s d a f o r m a { A ,

B } . . .



4 2

o n d e H 1 , . . . , H n e C s ˜ a o s e q ¨ u e n t e s e m u m a l i n g u a g e m

L .

A i d ´ e i a ´ e q u e , s e t e m o s t o d o s o s

s e q ¨ u e n t e s H

1 , . . . , H n n o “ n u m e r a d o r ” , p o d e m o s c o n c l u i r o s e q ¨ u e n t e C .

V a m o s r e e s c r e v e r a s

r e g r a s q u e d

e s e n v o l v e m o s , s e p a r a n d o a s q u e t r a t a m d o s c o n e c t i v o s e a l g u m a s q u e s ˜ a o c h a m a d a s

d e e s t r u t u r a i s .

I n t r o d u z i r e m o s u m a n o t a c ˜ a o p a r a s i m p

l i fi c a r o s e n u n c i a d o s .

N ˜ a o h ´ a n a d a d e

r e a l m e n t e n

o v o n e s t a n o t a c ˜ a o , s e n d o s ´ o u m a a b r e v i a

¸ c ˜ a o c o n v e n i e n t e d o q u e j ´ a e s t ´ a v a m o s

u s a n d o .

S e j a L

u m a l i n g u a g e m p r o p o s i c i o n a l . S e ∆ 1 1

´ e u m a s e q ¨ u ˆ e n c i a fi n i t a e m L ,

∆ = P 1 , . . . , P n ,

e σ ´ e u m a

p e r m u t a c ˜ a o d o c o n j u n t o { 1 , 2 , . . . , n } , i n d i c a m o s p o r ∆ σ

a s e q ¨ u ˆ e n c i a o b t i d a

p e r m u t a n d o

- s e o s ´ ı n d i c e s s e g u n d o σ ,

i s t o ´ e ,

∆ σ = P σ ( 1 ) , P σ ( 2 ) , . . . , P

σ ( n ) .

S e ∆ ´ e u m a

s e q ¨ u ˆ e n c i a fi n i t a e m L e P ´ e u m a p r o p o s i c ˜ a

o d e L ,

i n d i c a m o s p o r

∆ , P

a s e q ¨ u ˆ e n c i a

q u e c o n s i s t e d e ∆ , s e g u i d a d e P .

P o r e x e m

p l o , s e ∆ = P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , e n t ˜ a o

∆ , P = P 1 , P 2 , P 3 , P 4

, P .

A g o r a ,

o s e n u n c i a d o s d a s r e g r a s .

P a r a o s c o n e c

t i v o s , e l a s s ˜ a o d e d o i s t i p o s : a s d e

i n t r o d u¸ c ˜ a o ,

q u e d e s c r e v e m c o m o o s c o n e c t i v o s p o d e m a

p a r e c e r , e a s r e g r a s d e e l i m i n a c ˜ a o , q u e

d i z e m c o m o

o c o n e c t i v o ´ e a n a l i s a d o e m t e r m o s d a s p r o p o s i c ˜ o e s c o m p o n e n t e s . E s t a ´ e o m o t i v o

p a r a o s “ I ’ s ” e “ E ’ s ” q u e a p a r e c e m n o n o m e d a s r e g r a s

.

2 . 4 1

: A l g u m a s r e g r a s d a L ´ o g i c a C l ´ a s s i c a ( s e g u

n d o G e n t z e n 1 2 )

S e j a ∆

u m a s e q ¨ u ˆ e n c i a fi n i t a d e L ( p o s s i v e l m e n t e

v a z i a ) e P e Q p r o p o s i c ˜ o e s e m L .

A s

s e g u i n t e s r e g r a s s ˜ a o l o g i c a m e n t e v ´ a l i d a s :

1 . R e g r a s E s t r u t u r a i s :

[ W ] :

∆ | = Q

∆ , P | = Q

[ P ] : P a

r a t o d a p e r m u t a c ˜ a o σ d e ∆ ,

∆ | = P

∆ σ | = P

[ C o r t e ]

:

∆ | = P 1 ; . . . ; ∆ | = P n ;

P 1 , . . . , P n

| = Q

∆ | = Q

2 . R e g r a s p a

r a a C o n j u n¸ c ˜ a o :

[ ∧ I ] :

∆ | =

P ;

∆ | = Q

∆ | = ( P ∧ Q )

[ ∧ E 1 ] :

∆ | = ( P ∧ Q )

∆ | = P

1 1

∆ ´ e o “ d

” m a i ´ u s c u l o g r e g o , c h a m a d o d e d e l t a m a i ´ u s c u l o .

1 2

G e r h a r d t G e n t z e n ´ e u m

i m p o r t a n t e l ´ o g i c o a l e m ˜ a o d o s a n o s

3 0 d o s ´ e c u l o v i n t e .

4 3

[ ∧ E 2 ] :

∆ | = ( P ∧ Q )

∆ | = Q

3 . R e g r a s p a r a a D i s j u

n¸ c ˜ a o :

[ ∨ I 1 ] :

∆ | =

P

∆ | = ( P

∨ Q )

[ ∨ I 2 ] :

∆ | =

Q

∆ | = ( P

∨ Q )

[ ∨ E 1 ] :

∆ , P | =

R ;

∆ , Q | = R

∆ , P ∨ Q | = R

[ ∨ E 2 ] :

∆ | = ( P ∨ Q ) ;

∆ | = ¬ P

∆ | = Q

[ ∨ E 3 ] :

∆ | = ( P ∨ Q ) ;

∆ | = ¬ Q

∆ | = P

4 . R e g r a s p a r a a I m p l i

c a c ˜ a o :

[ →

I ] :

∆ , P | = Q

∆ | = ( P

→

Q )

[ →

E ] :

∆ | = ( P

→

Q ) ;

∆ | = P

∆ | = Q

5 . R e g r a s p a r a a N e g a¸ c ˜ a o :

[ ¬ I ] :

∆ , P | = Q

;

∆ , P | = ¬ Q

∆

| = ¬ P

[ ¬ E ] :

∆ , ¬ P | = Q ;

∆ , ¬ P | = ¬ Q

∆ | = P

T o d a s e s t a s r e g r a s f o r a m d e m o n s t r a d a s a c i m a . F i c a o

E x e r c ´ ı c i o 2 . 4 2

: a )

D e s c u b r a a q u e e n u n c i a d o s a s r e g r a s a c i m a

c o r r e s p o n d e m .

b ) E s c r e v a o s o u t r o s e n u n c i a d o s d e s t a s e c ˜ a o n a f o r m a d a s r e g r a s a c i m a .

3

2 . 5

I n t e r p r e t a¸ c ˜ o e s c o m D o i s V a l o r e s

S u p o n h a q u e U =

{ • } s e j a u m c o n j u n t o u n i t ´ a r i o .

Q u a l a ´ e

e s t r u t u r a d e P ( U ) ? B e m ,

P ( U ) s ´ o t e m d o i s e l e m

e n t o s : ∅ e o p r ´ o p r i o U .

N o t e a i n d a q u e a r

e l a c ˜ a o d e i n c l u s ˜ a o e m P ( U )

´ e u m a o r d e m l i n e a r , p o i s ∅ ⊆ U

e ∅ = U

A s t a b e l a s d a s o p

e r a c ˜ o e s d e i n t e r s e c ˜ a o ,

d i f e r e n¸ c a

s i m ´ e t r i c a , c o m p l e m e n t a c ˜ a o e u n i ˜ a o e m

P ( U ) s ˜ a o a s s e g u i n t e s

:



P a r t e I I

R e l a¸ c ˜ o e s e F u

n¸ c ˜ o e s

4 8

C a p ´ ı t u l o 3

R e l a¸ c ˜ o e s

3 . 1

P a r e s O r d e n a d o s

C o m o t u d o o q u e

f a r e m o s d a q u i p a r a f r e n t e d e p e n d e d e f u

n¸ c ˜ o e

s e r e l a c ˜ o e s , d e c i d i m o s

e s t u d a r e s s e t e m a c o m

a l g u m c u i d a d o . T o d o s o s e n t e s q u e t r a t a r e m

o s a s e g u i r s e r ˜ a o c o n j u n t o s .

T o d o s . A s s i m , s e A ´ e u m c o n j u n t o , o s e l e m e n t o s d e A t a m b ´ e m

s ˜ a o c o n j u n t o s . V o c ˆ e p o d e

n ˜ a o e s t a r a c o s t u m a d o

a e s t a i d ´ e i a – t u d o ´ e c o n j u n t o – , m a s e s t e ´ e

o m o d o m a i s g e r a l u t i l i z a d o

q u a n d o s e q u e r e s t a b e l e c e r f u n d a m e n t o s p r e c i s o s p a r a a s n o v a s t e o

r i a s q u e q u e r e m o s c o n s t r u i r .

A n o c ˜ a o d e i g u a l d a d e

e n t r e c o n j u n t o s – v o c ˆ e s a b e – ´ e a e x t e n s i o n a l i d a d e :

A = B

s e e s o m e n t e s e A e B t ˆ e m o s m e s m o s e l e m e n t o s .

P a r a d i s c u t i r r e l a

¸ c ˜ o e s e f u n¸ c ˜ o e

s p r e c i s a m o s d o c o n c e i t o d e

p a r o r d e n a d o .

D i r e t o a o

a s s u n t o :

D e fi n i c ˜ a o 3 . 1

: S e j a m

a e b c o n j u n t o s . O p a r o r d e n a d o d

e p r i m e i r a c o o r d e n a d a a e

s e g u n d a c o o r d e n a d a b ´ e o c o n j u n t o

a , b = d e f { { a } , { a , b } } .

3

A s s i m , o p a r o r d e n a d o a , b ´ e o c o n j u n t o q u e p o s s u i d o i s e l e m e

n t o s : o c o n j u n t o { a } , c u j o

´ u n i c o e l e m e n t o ´ e a , e o c o n j u n t o { a , b } , q u e p o s s u i c o m o e l e m e n t o s a e b . N o t e q u e , s e a = b ,

e n t ˜ a o

a , a = { { a } } ,

p o i s { a } = { a , b } ( t ˆ e m

o s m e s m o s e l e m e n t o s ! ) . A p r o p r i e d a d e f u n d a m e n t a l d o s p a r e s o r d e -

n a d o s ´ e d e s c r i t a p e l o

L e m a 3 . 2

: S e j a m a

, b , c , d c o n j u n t o s . E n t ˜ a o

[ p a r ]

a , b = c , d

s e e s o m e n t e s e

a = c

e

b = d .

P r o v a : E s t ´ a c l a r o q u e , s e a =

c e b =

d , e n t ˜ a o a , b =

c , d . S u p o n h a a g o r a q u e

a , b = c , d . D e v e m

o s d i s c u t i r d o i s c a s o s : 4 9



6 0

E x e m p l o 3

. 3 1 : S e j a m A e B c o n j u n t o s p a r c i a l m e n t e

o r d e n a d o s .

I n d i c a r e m o s a s o r d e n s e m

A e B p o r ≤

A

e ≤ B , r e s p e c t i v a m e n t e .

a ) A o r d e m

p r o d u t o : N o p r o d u t o c a r t e s i a n o A × B

d e fi n i m o s u m a r e l a c ˜ a o ≤ d a s e g u i n t e

m a n e i r a :

a , b ≤ c , d

s s e

a ≤ A c

e b ≤ B d .

´ E s i m p l e s v e r i fi c a r q u e ≤ ´ e u m a o r d e m p a r c i a l e m A ×

B ,

d e n o m i n a d a o r d e m p r o d u t o .

b ) A o r d e m

l e x i c o g r ´ a fi c a : N o p r o d u t o c a r t e s i a n o A

× B d e fi n i m o s u m a r e l a c ˜ a o ≤ p o r :

a , b ≤ c , d

s s e

( a < A c ) o u

( a = c e b ≤ B d ) .

E s t a o r d e m

c h a m a - s e l e x i c o g r ´ a fi c a p o r q u e ´ e a o r d e m

d a l i s t a t e l e f ˆ o n i c a ( o u o u t r a l i s t a g e m

a l f a b ´ e t i c a ) : c o m p a r a - s e a p r i m e i r a l e t r a d e d o i s n o m e s ; o n o m e c u j a p r i m e i r a l e t r a v e m a n t e s

n a o r d e m u

s u a l d o a l f a b e t o a p a r e c e a n t e s n a l i s t a .

C a s o a s p r i m e i r a s l e t r a s s e j a m i g u a i s ,

p a s s a m o s p a r a a s e g u n d a e p r o c e d e m o s c o m o a n t e s ; e a

s s i m p o r d i a n t e .

N o t e q u e , s e t o d a s a s

l e t r a s c o i n c i d e m , o s n o m e s s ˜ a o o s m e s m o s !

c ) A s o m a

d i s j u n t a d e o r d e n s p a r c i a i s : S e j a X a u n i ˜ a o d i s j u n t a d e A e B ,

i s t o ´ e ,

X = A B = ( { 0 } × A ) ∪

( { 1 } × B ) .

E m X d e fi n

i m o s u m a o r d e m p a r c i a l , c h a m a d a s o m a d i s j u n t a d e ≤ A e ≤ B d a f o r m a s e g u i n t e :

j , x ≤ i , y

s s e

j = i = 0

e x ≤ A y , o u

j = i = 1

e x ≤ B y .

T o d o s o s e x e m p l o s a c i m a p o d e m s e r e s t e n d i d o s a q u a l q u e r n ´ u m e r o d e c o o r d e n a d a s .

d ) A o r d e m

o p o s t a .

A r e l a c ˜ a o i n v e r s a d e ≤ A ´ e u m a o r d e m p a r c i a l e m A ,

d e n o m i n a d a o r d e m

o p o s t a d e ≤

A .

3

E x e r c ´ ı c i o 3 . 3 2 : P r o v e q u e a o r d e m p r o d u t o , a o r d e m

l e x i c o g r ´ a fi c a , s o m a d i s j u n t a d e o r d e n s

e a o r d e m o

p o s t a s ˜ a o r e a l m e n t e o r d e n s p a r c i a i s .

3

N a s e c ˜ a

o 4 . 1 4 , v o l t a r e m o s a d i s c u t i r o r d e n s p a r c i a i s .

H ´ a m u i t a s o u t r a s o p e r a c ˜ o e s i n t e r e s s a n t e s c o m r e l a c ˜ o e s : a m a i s i m p o r t a n t e ´ e a q u a n -

t i fi c a¸ c ˜ a o , q

u e v e r e m o s m a i s t a r d e , e m m o m e n t o o p o r

t u n o . A g o r a , p a s s e m o s a o e s t u d o d a s

f u n¸ c ˜ o e

s .


F u n¸ c ˜ o e s

4 . 1

A D e fi n i¸ c ˜ a o d e F u n¸ c ˜ a o

O c o n c e i t o d e f u n¸ c ˜ a o

´ e f u n d a m e n t a l e m M a t e m ´ a t i c a . S e X e

Y s ˜ a o c o n j u n t o s , a i d ´ e i a d e

u m a f u n¸ c ˜ a o

f d e X e m

Y ,

i n d i c a d a p o r

f : X − →

Y

o u

X

f − →

Y ,

´ e a d e u m a r e g r a q u e , a c a d a e l e m e n t o d e x d e X , a s s o c i a u m

´ u n i c o e l e m e n t o f ( x ) d e Y .

A r e p r e s e n t a c ˜ a o g e o m

´ e t r i c a d e u m p r o d u t o c a r t e s i a n o , a p r e s e n t

a d a n a s e c ˜ a o 3 . 2 , p o d e s e r

u t i l i z a d a p a r a t e r m o s

u m a i d ´ e i a d e u m a f u n¸ c ˜ a o .

P o r c o n v e n¸ c ˜ a o ,

X ´ e o e i x o h o r i z o n t a l e Y o

e i x o v e r t i c a l :

E

T

X

Y

r x

f ( x )

x , f

( x )

C o m o t o r n a r r i g o

r o s a e s s a i d ´ e i a d e f u n¸ c ˜ a o

? O q u e ´ e e s s a

t a l ” r e g r a ” o u ” l e i ” ?

P a r a

f o r m a l i z a r a d e fi n i c ˜ a o d e f u n¸ c ˜ a o , v a m o s l e v a r a s ´ e r i o a i n t e r p r e t a c ˜ a o g e o m ´ e t r i c a d e u m a f u n¸ c ˜ a o .

M a i s e s p e c i fi c a m e n t e , d e fi n i r e m o s f u n¸ c ˜ a o

r e s p o n d e n d o ` a s e g u i n t e p e r g u n t a : q u a n d o ´ e q u e u m

s u b c o n j u n t o f ⊆ X ×

Y ´ e o g r ´ a fi c o d e u m a f u n¸ c ˜ a o

d e X e m Y ?

´ E s i m p l e s : f d e v e s a t i s f a z e r

` a s e g u i n t e c o n d i c ˜ a o :

[ f u n ] P a r a c a d a x ∈ X

, e x i s t e e m f u m ´ u n i c o p a r o r d e n a d o c u j a

p r i m e i r a c o o r d e n a d a ´ e x !

E m s ´ ı m b o l o s :

[ f u n ]

∀ x ( x ∈ X →

∃ ! y ( y ∈ Y ∧ ( x , y ) ∈

f ) ) ,

6 1



1 0 8

f →

g = ¬ f ∨ g .

C o m o o i s o

m o r fi s m o χ d o T e o r e m a 4 . 8 8 p r e s e r v a u n i

˜ a o e c o m p l e m e n t o s , i r ´ a p r e s e r v a r i m -

p l i c a c ˜ a o , i s t

o ´ e ,

χ ( S → T ) = χ S → χ T .

E x e r c ´ ı c i o 4 . 8 9

: S e j a A u m c o n j u n t o .

P a r a f , g , h ∈

2 A , m o s t r e q u e

a ) f ≤ g s s e f ∧ g = f

s s e f ∨ g = g .

b ) f ∧ ( g ∨

h ) = ( f ∧ g ) ∨ ( f ∧ h ) .

c ) ¬ f ´ e a ´ u n i c a s o l u¸ c ˜ a o

e m 2 A d o s e g u i n t e s i s t e m a d e e q u a c ˜ o e s :

x ∧ f =

0

x ∨ f =

1

d ) S e { g i : i ∈ I } ⊆ 2 A , e n t ˜ a o

1 . f ∧ i ∈ I g i =

i ∈ I (

f ∧ g i ) .

2 . f ∨ i ∈ I g i =

i ∈ I (

f ∨ g i ) .

e ) f ≤ ( g →

h )

s s e

f ∧ g ≤ h .

3

S e j a f

: A − →

B u m a f u n¸ c ˜ a o .

D a d o W

∈ P ( B ) , a q u e c o r r e s p o n d e a c o m p o s i c ˜ a o d a

f u n¸ c ˜ a o

c a r a c t e r ´ ı s t i c a d e W

c o m f ?

A

E B

?

χ W

2 f

e ee e

e e e

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

P o i s b e m , p a r a a ∈ A ,

t e m o s [ χ W

◦ f ] ( a ) =

1

s e f ( a ) ∈ W

0

s e f ( a ) ∈ W ,

o u ,

d e f o r m a e q u i v a l e n t e

[ χ W

◦ f ] ( a ) =

1

s e a ∈

f ∗ ( W )

0

s e a ∈

f ∗ ( W ) ,

i s t o ´ e , χ W ◦

f ´ e a f u n¸ c ˜ a o

c a r a c t e r ´ ı s t i c a d e f ∗ ( W ) ⊆ A ,

χ f ∗ ( W ) .

C o m o p e l o T e o r e m a 4 . 8 8 ( o u

4 . 8 3 ) , t o d o e l e m e n t o d e 2 B ´ e d a f o r m a χ W , p a r a a l g u m

W

⊆ B , a a r g u m e n t a c ˜ a o a p r e s e n t a d a

a c i m a j u s t i fi

c a a s e g u i n t e

D e fi n i c ˜ a o 4 . 9 0

: S e f ∈ B A e β ∈ 2 B

s ˜ a o f u n¸ c ˜ o e s , d

e fi n i m o s

1 0 9

f ∗ ( β ) = d e f β ◦ f

2 A c

E B

©

f ∗ ( β )

f

β

d e n o m i n a d a i m a g e m

i n v e r s a d e β p o r f .

C o n s i d e r e a g o r a S ⊆

A .

A i m a g e m d e S p o r f ´ e f ∗ ( S ) = { f ( a ) ∈ B : a ∈ S } .

N ˜ a o h ´ a

u m a e x p r e s s ˜ a o n a t u r a

l p a r a e s t e c o n j u n t o e m

t e r m o s d e c o m p o s i c ˜ a o d e f u n¸ c ˜ o e

s . P o i s , s e

i d e n t i fi c a m o s S c o m s u a f u n¸ c ˜ a o

c a r a c t e r ´ ı s t i c a χ S e o c o n j u n t o f ∗

( S ) c o m χ f ∗ ( S ) , e s s a f u n¸ c ˜ a o

n ˜ a o ´ e o b t i d a d e m a n e i

r a n a t u r a l c o m o c o m p o s t a d e f e χ S .

2 A c

E B ©

α

f ?

S e α f o r a f u n¸ c ˜ a o

χ S ,

p o d e m o s t r o c a r o s i n a l ( ? )

d o d i a g r a m

a a c i m a p e l a f u n¸ c ˜ a o

f ∗ ( α )

d e fi n i d a p o r f ∗ ( α ) = χ S α , o n d e S α = { a ∈ A : α ( a ) = 1 } .

E s t ´ a

c o r r e t o , m a s n ˜ a o t e m g r a c a

n e n h u m a .

O r e s u l t a d o c o r r e s p o n d e n t e a 4 . 3 1 . ( a ) q u a n d o o s s u b c o n j u n t

o s s ˜ a o t r o c a d o s p o r f u n¸ c ˜ o e

s

c a r a c t e r ´ ı s t i c a s ´ e o s e g u i n t e :

P r o p o s i c ˜ a o 4 . 9 1 S e

j a f : A − →

B u m a f u n¸ c ˜ a o . P a r a { β , γ } ∪ { γ i : i ∈ I } ⊆ 2 B , t e m o s

a ) β ≤ γ

i m p l i c a f ∗ ( β ) ≤ f ∗ ( γ ) .

b ) f ∗ ( i ∈ I γ i ) =

i ∈ I

f ∗ ( γ i )

e

f ∗ ( i ∈ I γ i ) =

i ∈ I f ∗ ( γ i ) .

c ) f ∗ ( ¬ β ) = ¬ f ∗ ( β ) .

d ) f ∗ ( β → γ ) = f ∗ ( β ) →

f ∗ ( γ ) .

e ) f ∗ ( 0 ) =

0

e

f ∗ ( 1 ) =

1 .

P r o v a : E x e r c ´ ı c i o .

3

4 . 9 2

: F u n¸ c ˜ o e s c o m

V a l o r e s e m P ( B ) .

C o m o j ´ a d i s c u t i d o n a s e c ˜ a o 2 . 5 , p o d e m o s i d e n t i fi c a r 2 = { 0 , 1 } c o m a s p a r t e s d e u m

c o n j u n t o u n i t ´ a r i o .

O d e s e n v o l v i m e n t o d e s t a s e c ˜ a o s u g e r e a p e r g u n t a : s e r ´ a p o s s ´ ı v e l d a r u m



1 7 2

c a r d i n a l d e x .

Q u a n d o n ˜ a o v a l e o A x o m a d a E s c o l h

a , a s i t u a c ˜ a o c o m p l i c a - s e e , e m g e r a l ,

e s t u d a - s e o

c a r d i n a l d e c o n j u n t o s q u e p o d e m s e r b e m o r d e n a d o s .

3


T o p o l o g i a s

N e s t e C a p ´ ı t u l o i r

e m o s r e u n i r a l g u m a s p r o p r i e d a d e s d e t o p o l o g i a s q u e s e r ˜ a o u t i l i z a d a s

m a i s t a r d e . N o s s o i n t ´ u i t o n ˜ a o ´ e s u b s t i t u i r u m c u r s o d e T o p o l o g

i a , a p e n a s r e c o l h e r a q u e l a s

p r o p r i e d a d e s n e c e s s ´ a r i a s a o d e s e n v o l v i m e n t o f u t u r o .

A s n o t a c ˜ o e s

e c o n c e i t o s i n t r o d u z i d o s n a

s e c ˜ a o 4 . 7 s e r ˜ a o d e u s o

c o n s t a n t e .

U m t e m a s c e n t r a i s ´ e e s t a b e l e c e r

p a r a t o p o l o g i a s o s a n ´ a l o g o s

d a s o p e r a c ˜ o e s c o n j u n t ´ ı s t i c a s d e u n i ˜ a o ,

i n t e r s e c ˜ a o , c o m p l e m e n t o e

i m p l i c a c ˜ a o .

5 . 1

N o¸ c ˜ o e s B

´ a s i c a s

C o m e c a m o s r e - e n u n c i a n d o a D e fi n i c ˜ a o 4 . 4 3 :

D e fi n i c ˜ a o 5 . 1

: S e j a

X u m c o n j u n t o . U m a t o p o l o g i a e m X ´ e

u m s u b c o n j u n t o τ d e P ( X )

q u e s a t i s f a z

[ t o p 1 ] :

∅ , X ∈ τ ;

[ t o p 2 ] :

τ ´ e f e c h a d o

p o r i n t e r s e c ˜ o e s fi n i t a s e u n i ˜ o e s q u a i s q u e r .

R e f e r i m o - n o s a o s e l e m

e n t o s d e τ c o m o a b e r t o s ( d e τ ) . O s e l e m e n t o s d e ¬ τ = { U c : U ∈ τ }

d e n o m i n a m - s e f e c h a d

o s d e τ .

A e x p r e s s ˜ a o “ X ´ e u m

e s p a c o t o p o l ´ o g i c o ” s i g n i fi c a q u e e s t a m o s c o n s i d e r a n d o u m p a r X , τ

o n d e X ´ e c o n j u n t o e τ

´ e u m a t o p o l o g i a e m X .

N o t e q u e a e x p r e s s ˜ a o e n t r e a s p a s ´ e i m p r e c i s a 1 ,

j ´ a q u e , e m g e r a l , h ´ a m

u i t a s t o p o l o g i a s d i s t i n t a s e m X .

C o m o u m a t o p o l o

g i a ´ e f e c h a d a p o r u n i ˜ o e s q u a i s q u e r e i n t e r s

e c ˜ o e s fi n i t a s , o ´ ı t e m ( 3 ) e m

4 . 6 8 f o r n e c e

C o r o l ´ a r i o 5 . 2

: S e

X , τ ´ e u m e s p a c o t o p o l ´ o g i c o , ¬ τ ( o c o n

j u n t o d o s f e c h a d o s e m τ ) , ´ e

u m a ´ a l g e b r a d e B r o w e r e m P ( X ) , i s t o ´ e ,

∅ , X ∈ ¬ τ

e

¬ τ ´ e f e c h a d o p o r u n i ˜ o e s fi n i t a s e

i n t e r s e c ˜ o e s q u a i s q u e r .

3

1

E m b o r a u n i v e r s a l m e n t e u t i l i z a d a !

1 7 3



1 7 6

c ) D e fi n i m o

s A ′ = { x ∈ X : x ´ e p o n t o d e a c u m u l a¸ c ˜ a o

d e A } .

c ) D e fi n i m o

s

A = { x ∈ X : P a r a t o d o V ∈ ν x , V ∩ A = ∅ } ,

d e n o m i n a d o

f e c h o d e A

e m τ .

d ) D e fi n i m o

s a f r o n t e i r a d e A

( e m X ) c o m o o c o n j u n t o ∂ A =

A ∩ A c .

E x e r c ´ ı c i o 5 . 1 0

: S e j a X , τ u m e s p a c o t o p o l ´ o g i c o , A , B ⊆ X , x ∈ X e K u m a b a s e d e τ .

M o s t r e q u e

a ) ν x ´ e f e c h a d o p o r i n t e r s e c ˜ o e s fi n i t a s e u n i ˜ o e s q u a i s q u e r .

c ) x ∈ A ′

s s e p a r a t o d o V ∈ ( ν x

∩ K ) , V ∩ A c o n t ´ e

m u m p o n t o d i s t i n t o d e x .

d ) x ∈ A

s s e p a r a t o d o V ∈ ( ν x

∩ K ) , V ∩ A = ∅ .

e ) A ⊆ B

⇒

A ′ ⊆ B ′ ;

A ⊆

B .

f ) A = A ′ ∪ A .

E m p a r t i c u l a r , A ⊆

A .

g ) A =

{ F ∈ ¬ τ : A ⊆ F } .

h ) A ´ e o m

e n o r f e c h a d o ( n a o r d e m p a r c i a l ⊆ ) q u e c o n t ´ e m A .

A l ´ e m d i s s o ,

( A ) = A .

i ) A ∈ ¬ τ

s s e

A = A .

j ) A ∪ B =

A ∪ B .

k ) ∂ A ∈ ¬ τ

.

3

D u a l d a o p e r a c ˜ a o d e f e c h o ´ e a o p e r a c ˜ a o d e i n t e r i o r :

D e fi n i c ˜ a o 5 . 1 1

: S e j a X , τ u m e s p a c o t o p o l ´ o g i c o e

A ⊆ X . D e fi n i m o s

◦ A =

{ V ∈ τ : V ⊆

A } ,

d e n o m i n a d o

i n t e r i o r d e A

e m τ . O b s e r v e q u e

◦ A ∈ τ

. Q u a n d o c o n v e n i e n t e , i n d i c a r e m o s o

i n t e r i o r d e A e m τ p o r i n t ( A ) .

E x e r c ´ ı c i o 5 . 1 2

: S e j a X , τ u m e s p a c o t o p o l ´ o g i c o

, A , B s u b c o n j u n t o s d e X

e x ∈ X .

M o s t r e q u e

a ) x ∈ i n t ( A

) s s e e x i s t e V ∈ ν x t a l q u e V ⊆ A .

b ) i n t ( A ) ⊆

A . i n t ( A ) ´ e o m a i o r a b e r t o ( n a o r d e m p a r c i a l ⊆ ) c o n t i d o e m A .

c ) A ⊆ B

⇒

i n t ( A ) ⊆ i n t ( B ) .

d ) P a r a U ∈

τ , U ⊆ i n t ( A ) s s e U ⊆ A .

e ) A ∈ τ s s e i n t ( A ) = A .

A l ´ e m d i s s o , i n t ( i n t ( A ) ) =

i n t ( A ) .

1 7 7

f ) i n t ( A ∩ B ) = i n t ( A

) ∩ i n t ( B ) .

g ) i n t ( A c ) = ( A ) c ; i n t ( A ) = ( A c ) c .

h ) X = i n t ( A ) ∪ ∂ A ∪ i n t ( A c ) .

3

O s E x e r c ´ ı c i o s 5 . 1 0

e 5 . 1 2 a c a r r e t a m

P r o p o s i c ˜ a o 5 . 1 3 : S e X , τ ´ e u m e s p a c o t o p o l ´ o g i c o , a s o p e r a¸ c ˜ o e s

i n

t : P ( X ) − →

P ( X ) , A − →

i n t ( A )

( i

n t e r i o r )

·

: P ( X ) − →

P ( X ) , A − →

A

( f

e c h o )

s ˜ a o c r e s c e n t e s e i d e m p

o t e n t e s . A l ´ e m d i s o ,

a ) A o p e r a c ˜ a o d e i n t e r i o r ´ e d e fl a c i o n ´ a r i a , p r e s e r v a i n t e r s e c ˜ o e s fi

n i t a s e o c o n j u n t o d o s s e u s

p o n t o s fi x o s ´ e p r e c i s a m

e n t e τ .

b ) A o p e r a c ˜ a o d e f e c h

o ´ e i n fl a c i o n ´ a r i a , p r e s e r v a u n i ˜ o e s fi n i t a s e

o c o n j u n t o d e s e u s p o n t o s

fi x o s ´ e p r e c i s a m e n t e ¬

τ .

3

N a r e a l i d a d e , a s p

r o p r i e d a d e s i m p o r t a n t e s d e 5 . 1 0 e 5 . 1 2 s ˜ a o

s i n t e t i z a d a s p o r 5 . 1 3 .

5 . 1 4

: T o p o l o g i a s I n d u z i d a s . S e X , τ ´ e u m e s p a c o t o p o l ´ o g

i c o e T ⊆ X ,

d e fi n i m o s

τ | T = { U ∩ T : U ∈ τ } .

´ E f ´ a c i l v e r i fi c a r q u e τ | T c o n t ´ e m ∅ e T , s e n d o f e c h a d a p o r i n t e r s e c ˜ o e s fi n i t a s e u n i ˜ o e s q u a i s q u e r .

A t o p o l o g i a τ | T d e n o m

i n a - s e t o p o l o g i a i n d u z i d a e m T p o r τ .

P a r a A ⊆ T , a s n o c ˜ o e s d e

i n t e r i o r e f e c h o e m T

, τ | T s e r ˜ a o i n d i c a d a s , r e s p e c t i v a m e n t e , p o r

i n t T ( A )

e

A T

.

A m e n o s d e d e c l a r a c ˜ a

o e x p l ´ ı c i t a e m c o n t r ´ a r i o , u m s u b c o n j u n t o

d e X , q u a n d o c o n s i d e r a d o

c o m o e s p a c o t o p o l ´ o g i c

o , p o r t a r ´ a s e m p r e a t o p o l o g i a i n d u z i d a .

3

E x e r c ´ ı c i o 5 . 1 5

: S e

X , τ ´ e u m e s p a c o t o p o l ´ o g i c o , T ⊆ X e A

⊆ T , m o s t r e q u e

a ) T ∈ τ

s s e τ | T ⊆ τ .

b ) i n t X ( A ) ⊆

i n t T ( A ) . D ˆ e e x e m p l o s m o s t r a n d o q u e , e m g e r a l , n ˜ a o v a l e a i g u a l d a d e .

c ) A T

⊆

A X

. D ˆ e e

x e m p l o s m o s t r a n d o q u e , e m g e r a l , n ˜ a o v a l e

a i g u a l d a d e .

d ) T ∈ τ

⇒

i n t T ( A ) = i n t X ( A ) .

c ) T ∈ ¬ τ

⇒

A T =

A X

.

3



1 8 0

U ⊆ V

⇒

N ( V ) ⊆ N ( U ) ⇒

N ( V ) ⊆ N ( U ) ,

p r o v a n d o ( b

) .

c ) P o r ( a ) t e m o s

N ( ¬ U ) = { W

∈ τ : W

∩ ¬ U = ∅ } = { W

∈ τ : W

∩ i n t ( U c ) = ∅ } .

L o g o , p e l o ´ ı t e n s ( g ) e ( d ) e m 5 . 1 2

W

∈ N ( ¬ U ) s s e W

⊆

U

s s e

W

⊆ i n t ( U ) ,

o q u e p r o v a

( c ) . A a fi r m a c ˜ a o s o b r e a t r i p l a n e g a c ˜ a o , b e

m c o m o o ´ ı t e m ( d ) fi c a m p a r a o l e i t o r .

e ) P a r a U , V ∈ τ

W

∈ N ( U ∪ V ) s s e W

∩ ( U ∪ V ) = ∅

s s e ( W

∩ U

) = ∅ = ( W

∩ V )

s s e W

∈ ( N ( U ) ∩ N ( V ) ) .

L o g o , a p r o p r i e d a d e d i s t r i b u t i v a e m 4 . 2 8 . ( g ) f o r n e c e

¬ ( U ∪ V ) =

N

( U ) ∩ N ( V )

=

N ( U ) ∩

N ( V ) =

¬ U ∩ ¬ V ,

c o m p l e t a n d o a p r o v a d e ( e ) .

i ) S e x ∈ X

e V ∈ ν x , n o t e q u e V ∩ U = ∅

⇒

V ⊆

¬ U .

C o m o V = ∅ ( x ∈ V ) , c o n c l u i m o s q u e V ∩ ( U ∪ ¬ U ) = ∅ .

I s t o m o s t r a q u e U ∪ ¬ U = X e

p o r t a n t o

¬ ( U ∪ ¬ U ) = ∅

e ¬ ¬ ( U ∪

¬ U ) = X ,

e n c e r r a n d o a p r o v a .

3

D e fi n i c ˜ a o 5 . 2 2

: S e X , τ ´ e u m e s p a c o t o p o l ´ o g i c o e A ⊆ X , d i z e m o s q u e A ´ e d e n s o e m

X s e A = X .

E x e r c ´ ı c i o 5 . 2 3

: S e j a D τ = { V ∈ τ : V ´ e d e n s o e m X } .

M o s t r e q u e

a ) V ∈ D τ

s s e ¬ ¬ V = X

s s e ¬ V = ∅ .

b ) V ∈ D τ e V ⊆ U

⇒

U ∈ D τ .

E m p a r t i c u l a r , X ∈

D τ .

c ) D τ

´ e f e c h

a d o p o r i n t e r s e c ˜ o e s fi n i t a s e u n i ˜ o e s q u a i s q u

e r .

3

T e o r e m a 5

. 2 4

: S e τ ´ e u m a t o p o l o g i a e m u m c o n j u n t o X , c o n s i d e r e a s c o n d i c ˜ o e s :

( 1 ) τ ´ e

u m a a B c d e s u b c o n j u n t o s d e X .

( 2 ) P a r a t o d o V ∈ τ , ¬ V = V c .

( 3 ) P a r a t o d o V ∈ τ , ¬ ¬ V = V .

( 4 ) D τ = { X } .

1 8 1

( 5 ) P a r a t o d o V ∈

τ , V ∪ ¬ V = X .

( 6 ) P a r a t o d o U , V ∈ τ , ¬ ( U ∩ V ) = ¬ U ∪ ¬ V .

E n t ˜ a o , a s c i n c o p r i m e i r a s s ˜ a o e q u i v a l e n t e s e q u a l q u e r u m a d e l a s i m p l i c a ( 6 ) .

P r o v a : P a r a ( 1 ) ⇒

( 2 ) , s e τ ´ e u m a a B c e n t ˜ a o ´ e f e c h a d a p o r c

o m p l e m e n t o s . L o g o , c o m a

n o t a c ˜ a o d a p r o v a d e 5 . 2 1 , p a r a t o d o V ∈ τ , V c ∈ N ( V ) . S e g u e i m

e d i a t a m e n t e q u e V c = ¬ V .

A g o r a , n o t e q u e :

– ( 3 ) ´ e c o n s e q ¨ u ˆ e n c i a d

e ( 2 ) e d o f a t o q u e ( V c ) c = V ;

– ( 4 ) v e m d e ( 3 ) e d o f a t o q u e V ∈ D τ s s e ¬ ¬ V = X ( 5 . 2 3 . ( a ) ) ;

– ( 5 ) ´ e i m e d i a t o a p a r t i r d e ( 4 ) e d a s e g u n d a i g u a l d a d e e m 5 . 2 1 . ( i ) ;

– C o m o V ∪ V c = X

e ¬ V ⊆

V c , ( 5 ) f o r c a q u e V c = V , m

o s t t r a n d o q u e τ ´ e f e c h a d a

p o r c o m p l e m e n t o s s e n

d o , p o r t a n t o u m a a B c . I s t o c o m p l e t a a p r o v a d e q u e ( 1 ) – ( 5 ) s ˜ a o

e q u i v a l e n t e s .

P a r a e n c e r r a r a d e m o n s t r a c ˜ a o v e r i fi c a r e m o s q u e ( 5 ) ⇒

( 6 ) . P

r i m e i r o o b s e r v e q u e

( U ∩ V ) ∩ ( ¬

U ∪ ¬ V ) = ( U ∩ V ∩ ¬ U ) ∪ ( V ∩ ¬ U ∩

¬ V ) = ∅ ∪ ∅ = ∅ ,

m o s t r a n d o q u e ( ¬ U ∪

¬ V ) ⊆

¬ ( U ∩ V ) . 3

P o r o u t r o l a d o , ( 5 ) a c a r r e t a

( U ∩ V ) ∪ ¬ U ∪ ¬ V

=

( U ∪ ¬ U ∪ ¬ V ) ∩

( V ∪ ¬ U ∪ ¬ V ) =

X ∩ X

=

X .

( I )

T o m a n d o a i n t e r s e c ˜ a o

d e ( I ) c o m ¬ ( U ∩ V ) , s a b e n d o q u e ( U ∩ V ) ∩ ¬ ( U ∩ V ) = ∅ , o b t e m o s

¬ ( U ∩ V ) ∩ ¬ U ∪ ¬ V = ¬ ( U ∩ V ) ,

e a s s i m , ¬ ( U ∩ V ) ⊆

( ¬ U ∩ ¬ V ) , c o m p l e t a n d o a p r o v a d e ( 6 ) e d o T e o r e m a .

3

E x e r c ´ ı c i o 5 . 2 5 : S e

τ ´ e u m a t o p o l o g i a e m u m c o n j u n t o X , m o s t r e q u e a s s e g u i n t e s c o n d i c ˜ o e s

s ˜ a o e q u i v a l e n t e s :

( 1 ) P a r a t o d o U , V ∈ τ , ¬ ( U ∩ V ) = ¬ U ∪ ¬ V .

( 2 ) P a r a t o d o U ∈

t a , ¬ U ∪ ¬ ¬ U = X .

4

3

D e fi n i c ˜ a o 5 . 2 6

: S e j a X , τ u m e s p a c o t o p o l ´ o g i c o .

a ) U m a b e r t o U ∈ τ ´ e

r e g u l a r s e U = i n t ( U ) , i s t o ´ e , U = ¬ ¬ U . I n d i c a m o s p o r R e g ( X ) o

c o n j u n t o d o s a b e r t o s r e g u l a r e s d e X .

b ) U m f e c h a d o F ∈ ¬

τ ´ e r e g u l a r s e F =

i n t ( F ) .

E x e r c ´ ı c i o 5 . 2 7


3

ˆ E p a , a c a b a m o s f a z e n

d o a p r o v a d e 5 . 2 1 . ( d ) . . .

4

E x i s t e m

t o p o l o g i a s q

u e s a t i s f a z e m

( 2 ) m a s n ˜ a o U

∪ ¬ U

=

X . N ˜ a o v a

m o s d i s c u t i - l a s , m a s c h a m a m - s e

e x t r e m a m e n t e d e s c o n e x a s

. . .



1 8 2

a ) M o s t r e q u e p a r a t o d o U ∈ τ , ¬ U ∈ R e g ( X ) . E m p

a r t i c u l a r , ∅ , X ∈ R e g ( X ) .

b ) C o m a n o t a c ˜ a o d e 5 . 2 3 , D τ

∩ R e g ( X ) = { X } .

c ) M o s t r e q u e R e g ( X ) ´ e f e c h a d o p o r i n t e r s e c ˜ o e s q u a i s q

u e r .

d ) P a r a U , V ∈ R e g ( X ) , d e fi n i m o s

U ∧ V = U ∩ V

e

U ∨ V =

i n t ( U ∪ V ) .

M o s t r e q u e , c o m U , V ∈ R e g ( X ) ,

( 1 ) E s t a s o p e r a c ˜ o e s s ˜ a o c o m u t a t i v a s , a s s o c i a t i v a s e

i d e m p o t e n t e s ( i . e . , U 3 U = U ) .

( 2 ) U ∨

¬ U = X .

e ) D e s c u b r a

u m a e s t r u t u r a d u a l ` a d e R e g ( X ) n o c o n j u n t o d o s f e c h a d o s r e g u l a r e s d e X .

3

5 . 4

I m

p l i c a¸ c ˜ a o T o p o l ´ o g i c a

D e fi n i c ˜ a o 5 . 2 8

: S e j a X , τ u m e s p a c o t o p o l ´ o g i c o e

U , V ∈ τ . D e fi n i m o s

( U →

V ) =

{ W

∈ τ : W

∩ U ⊆ V } ,

d e n o m i n a d a

i m p l i c a¸ c ˜ a o e m τ .

P r o p o s i c ˜ a o 5 . 2 9


. P a r a U , V , W

∈ τ

a ) W

⊆ ( U

→

V ) s s e

W

∩ U ⊆ V .

b ) ( U → V ) = i n t ( U c ∪ V ) .

c ) ¬ U = ( U

→

∅ ) .

d ) ( M o d u s P

o n e n s ) U ∩ ( U →

V ) = U ∩ V .

e ) U ⊆ V

s s e

( U →

V ) = X .

f ) ( U → ( V

→

W ) ) = ( U ∩ V ) →

W .

g ) U ⊆ V

⇒

( W

→

U ) ⊆

( W

→

V )

( V →

W ) ⊆

( U →

W )

h ) ¬ U ∪ V

⊆

( U →

V ) .

P r o v a : O ´ ı t e m ( a ) v e m d i r e t a m e n t e d a d e fi n i c ˜ a o .

b ) P a r a W

∈ τ ,

W

∩ U ⊆ V

s s e W

⊆ U c ∪ V ,

e a s s i m ,

( U

→

V ) = i n t ( U c ∪ V ) .

c ) S e g u e d i r

e t a m e n t e d a d e fi n i c ˜ a o d e i m p l i c a c ˜ a o o u d o ´ ı t e m ( a ) .

1 8 3

d ) T e m o s ( U ∩ V ) ∩ U

= U ∩ V ⊆ V , m o s t r a n d o q u e ( U ∩ V ) ⊆

( U →

V ) . P a r a a i n c l u s ˜ a o

o p o s t a ,

´ e s u fi c i e n t e m o s t r a r q u e U ∩ ( U →

V ) ⊆ V .

A l e i d i s t r i b u t i v a d e 4 . 2 8 . ( c ) f o r n e c e

U ∩ ( U →

V ) =

U

∩ { W

∈ τ : W

∩ U ⊆ V }

=

{ U ∩

W

: U ∩ W

⊆ V }

⊆

V ,

c o n f o r m e n e c s s ´ a r i o . O

´ ı t e m ( e ) ´ e d e i x a d o p a r a o l e i t o r .

f ) P o r ( a ) , d e v e m o s m o s t r a r

( i ) ( U ∩ V ) ∩ ( U

→

( V →

W ) ) ⊆

W ;

( i i ) U ∩ V ∩ ( ( U

∩ V ) →

W ) ⊆

W .

P a r a ( i ) , t e m o s , u s a n d

o s u c e s s i v a s v e z e s a l e i d e M o d u s P o n e n s n o ´ ı t e m ( d )

( U ∩ V ) ∩ ( U →

( V →

W ) ) =

V ∩ ( U ∩ ( U →

( V →

W ) ) ⊆

V ∩ ( V →

W ) ⊆

W ,

c o m o n e c e s s ´ a r i o .

O ´ ı t e m ( i i ) ´ e a n ´ a l o g o .

O m e s m o m ´ e t o d o s e a p l i c a a o s o u t r o s q u e s i t o s d o

e n u n c i a d o , q u e s ˜ a o d e i x a d o s p a r a o l e i t o r .

3

E x e m p l o 5 . 3 0

: O ´ ı t e m ( b ) e m 5 . 2 9 d ´ a a e x a t a m e d i d a d a d i f e r e n¸ c a

e n t r e a i m p l i c a c ˜ a o e m

u m a t o p o l o g i a e m X e

e m P ( X ) . C o m o u m e x e m p l o , c o n s i d e r e a

r e t a r e a l R

c o m a t o p o l o g i a

d a o r d e m e U = ( 0 , 2 ) V = ( 3 , 4 ) . E n t ˜ a o

– E m P ( R ) , t e m o s

( U →

V ) =

( 0 , 2 ) c ∪ ( 3 , 4 ) =

( − ∞ ,

0 ] ∪ [ 2 , ∞ ) ∪ ( 3 , 4 )

=

( − ∞ ,

0 ] ∪ [ 2 , ∞ ) ;

– N a t o p o l o g i a d a o r d e m ,

d e v e m o s t o m a r o i n t e r i o r d o c o n j u n t o a

c i m a , o b t e n d o

( U →

V ) =

( − ∞ ,

0 ) ∪ ( 2 , ∞ ) ,

q u e ´ e d i s t i n t o d o a n t e r i o r , e m b o r a e m a p e n a s d o i s p o n t o s !

3

E m c o m p l e m e n t o

` a s c o n d i c ˜ o e s e m 5 . 2 4 t e m o s

L e m a 5 . 3 1

: S e j a X , τ u m e s p a c o t o p o l ´ o g i c o . A s s e g u i n t e s c o

n d i c ˜ o e s s ˜ a o e q u i v a l e n t e s :

( 1 ) τ ´ e u m a a B c d e s u b c o n j u n t o s d e X ;

( 2 ) P a r a t o d o U , V ∈ τ , ( U →

V ) =

U c ∪ V .

P r o v a : C o m o u m a a B c ´ e f e c h a d a p o r c o m p l e m e n t o s e u n i ˜ o e s , ( U

c ∪ V ) ∈ τ , p a r a t o d o U , V

e m τ .

A l ´ e m d i s s o , U ∩

( U c ∪ V ) ⊆ V .

L o g o ,

( U c ∪ V ) ⊆ ( U →

V ) ,

e o ´ ı t e m ( b ) e m 5 . 2 9 a

c a r e t a a i g u a l d a d e d e s e j a d a . P a r a a r e c ´ ı p r o

c a , u t i l i z a m o s o ´ ı t e m ( c ) d e

5 . 2 9 p a r a o b t e r

¬ U = ( U →

∅ ) = U c ∪ ∅ = U c ,

e a c o n c l u s ˜ a o s e g u e d a

e q u i v a l ˆ e n c i a e n t r e a s c o n d i c ˜ o e s ( 2 ) e ( 1 ) n o T e o r e m a 5 . 2 4 .

3

E x e r c ´ ı c i o 5 . 3 2 : S e j a X , τ u m e s p a c o t o p o l ´ o g i c o . M o s t r e q u e s e V ∈ R e g ( X ) e n t ˜ a o p a r a

t o d o U ∈ τ t e m o s ( U

→

V ) ∈ R e g ( X ) .

3



1 8 6

r e t i c u l a d o s

c o m p l e t o s , q u e i n c l u i a s t o p o l o g i a s ( m a s ´ e

d i s t i n t a ) , d e n o m i n a d o s ´ a l g e b r a s d e

H e y t i n g c o m p l e t a s ( a H c ) .

U m r e t i c u l a d o c o m p l e t o

H ´ e u m a a H c s s e p a r a t o d o a ∈ H e

t o d o S ⊆ H

[ , ∧ ]

a ∧ S

=

s ∈ S a ∧ s .

E s t a s e s t r u t u r a s s ˜ a o m u i t o i m p o r t a n t e s t a n t o p a r a a L ´ o g i c a q u a n t o p a r a t e o r i a s a b s t r a t a s d e

f e i x e s .

C o n s u l t e , p o r e x e m p l o ,

[ F S ] , [ M i 1 ] o u [ M M ] .

3

5 . 6

F u

n¸ c ˜ o e s C o n t ´ ı n u a s

E m t o d

a t e o r i a m a t e m ´ a t i c a a s f u n¸ c ˜ o e

s q u e p r e s e r v a m a e s t r u t u r a e m c o n s i d e r a c ˜ a o t ˆ e m

p a p e l f u n d a

m e n t a l . N o c a s o d e e s p a c o s t o p o l ´ o g i c o s , s ˜ a o a s f u n¸ c ˜ o e

s c o n t ´ ı n u a s .

D e fi n i c ˜ a o 5 . 3 8

: S e X , τ X e Y , τ Y s ˜ a o e s p a c o s

t o p o l ´ o g i c o s , u m a f u n¸ c ˜ a o f : X − →

Y

´ e c o n t ´ ı n u a

s e

P a r a t o d o V ∈ τ Y , f ∗ ( V

) ∈ τ X .

I n d i c a m o s p

o r C ( X , Y

) o c o n j u n t o d a s f u n¸ c ˜ o e s c o n t ´ ı n u a s d e X e m Y . Q u a n d o Y = R

c o m a

t o p o l o g i a u s u a l , e s c r e v e m o s C ( X ) n o l u g a r d e C ( X , R ) .

P r o p o s i c ˜ a o 5 . 3 9 : S e j a m τ X e τ Y t o p o l o g i a s n o s c o n j u n t o s X e Y , r e s p e c t i v a m e n t e . S u p o n h a

q u e K ´ e u m a s u b - b a s e p a r a τ Y

e q u e T ´ e u m a b a s e p a r a τ X . S e j a f : X − →

Y u m a f u n¸ c ˜ a o .

a ) A s s e g u i n t e s c o n d i c ˜ o e s s ˜ a o e q u i v a l e n t e s :

( 1 ) f ´ e

c o n t ´ ı n u a ;

( 2 ) P a r a t o d o F ∈ ¬ τ Y , f ∗ ( F ) ∈ ¬ τ X .

( 3 ) P a r a t o d o T ∈ K , f ∗ ( T ) ∈ τ X .

( 4 ) P a r a t o d o T ∈ K e x ∈ f ∗ ( T ) , e x i s t e U ∈ T t a l q u e x ∈ U ⊆ f ∗ ( T ) .

( 5 ) P a r a t o d o T e m K e x ∈ f ∗ ( T ) , e x i s t e U ∈ ν x t a l q u e f ∗ ( U ) ⊆ T .

b ) S e f : X

− →

Y ´ e c o n t ´ ı n u a , e n t ˜ a o p a r a t o d o T ⊆ X

, a r e s t r i c ˜ a o f | T : T − →

Y t a m b ´ e m ´ e

c o n t ´ ı n u a , s e

T t i v e r a t o p o l o g i a i n d u z i d a p o r X .

c ) A c o m p o s i c ˜ a o d e f u n¸ c ˜ o e s c o n t ´ ı n u a s ´ e c o n t ´ ı n u a .

P r o v a : ´ E c o n s e q ¨ u ˆ e n c i a d a s b o a s p r o p r i e d a d e s d a i m a g e m i n v e r s a e m 4 . 3 1 .

3

apostila miraglia - logica e teoria dos conjuntos

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