apostila de laboratório de física i

CADERNO DE LABORATÓRIO DFQ – Departamento de Física e Química

Belo Horizonte, 2011

Física I Mecânica

As atividades práticas deste caderno de Laboratório foram escritas, revisadas, testadas e aprimoradas pelos professores de Física do Departamento de Física e Química: Abel Antônio da Silva, Adriana Gomes Dickman, Evandro Conde de Lima, Euzimar Marcelo Leite, Fernando Eustáquio Werkhaizer, Flávio de Jesus Resende, José Carlos Bezerra Filho, José Roberto Faleiro Ferreira, Lev Vertchenko, Maria Inês Martins, Mozart Silvério Soares, Paulo César Reis Cardoso de Melo, Paulo Costa de Oliveira, Peter Leroy Faria, Tomás de Aquino Silveira, Vânia Aguiar Moura e Welerson Romaniello de Freitas.

Índice

Prática 1 Medidas Irreprodutíveis 5 a 10

Prática 2 Medidas de Precisão 11 a 16

Prática 3 Análise de uma Experiência 17 a 24

Prática 4 Pêndulo Bifilar 25 a 30

Prática 5 Movimento de um Projétil 31 a 38

Prática 6 Coeficiente de Atrito 39 a 46

Prática 7 Combinação de Forças 47 a 54

Prática 8 Conjunto de Polias 55 a 64

Prática 9 Alavanca de Apoio Central (interfixa) 65 a 74

Prática 10 Centro de Gravidade de Corpos Planos 75 a 80

Prática 11 Histerese Mecânica 81 a 86

Prática 12 Colisões – Coeficiente de Restituição 87 a 92

Prática 13 Colisão Perfeitamente Inelástica 93 a 98

Prática 14 Determinação do Momento de Inércia de um Volante 99 a 106

Prática 15 Conservação da Energia 107 a 112

Prática 16 Dinâmica de Rotação 113 a 118

Prática 17 Determinação do Módulo de Torção de um Fio de Aço 119 a 126

Apêndice A Medidas e Erros 127 a 132

Apêndice B Erro Aleatório 133 a 140

Apêndice C Gráficos 141 a 148

Bibliografia 149

5

Prática 1 | Medidas Irreprodutíveis

I N T R O D U Ç Ã O Quando se mede um segmento AB com uma régua centimetrada o valor obtido é sempre o mesmo podendo variar a leitura do algarismo duvidoso estando a medida sempre contida dentro de 0,5 cm. Algumas medidas, como por exemplo a medida do tempo, não se reproduzem, pois, dependem de reflexos na partida e na parada cronômetro. Neste caso o valor verdadeiro da grandeza não pode ser conhecido devendo o resultado ser representado pelo valor mais provável que é dado pela média aritmética de uma série de medidas.

Chamando de o valor mais provável de uma série de medidas tem-se:

sendo xi o valor de cada medida e n o numero de medidas realizadas.

A precisão de uma medida é indicada pelo desvio padrão da média dada pela fórmula :

Sendo δxi a diferença entre o valor da medida x e o valor mais provável e n o número de medidas.: xi=xi-

O resultado deverá ser escrito na forma: ( ) unidade.

Ex.: Várias medidas são apresentadas na tabela abaixo. Expressar corretamente a grandeza medida.

±

x

xδ x

x ± σ x

n

xx

n

i i∑== 1

( )

( )11

2

−±=∑

=

nn

xn

ix

δσ

6

Medidas ( Xi ) - δXi (δXi )2

X1 = 2,051 cm + 0,003 cm 9 x 10-6 cm2 X2 = 2,061cm + 0,013 cm 169 x 10-6 cm2 X3 = 2,041cm - 0,007 cm 49 x 10-6 cm2 X4 = 2,043 cm - 0,005 cm 25 x 10-6 X5 = 2,044 cm - 0,004 cm 16 x 10-6

1 = 10,240 cm

δ xi = 0 ( δ xi )2 =268 x 10-6

cm2 X = 2,048 cm

Resultado % Resultado % E X E R C Í C I O Faça como exercício a medida do tempo de queda de uma esfera da superfície da mesa. Para isso use um cronômetro digital. Faça um relatório descritivo de seu trabalho e represente corretamente o tempo de queda da esfera acompanhado do desvio percentual.

X∑ ∑ ∑

( )15510268

x26 −

× −±= cmσ

cm0037,0 x =σ

= ± ×⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟2

0,00372

100,048,048

cm

= ±2 0,2,048cm

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D E S E N V O L V I M E N T O

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Prática 2 | Medidas de Precisão I N T R O D U Ç Ã O Podemos medir uma grandeza física com maior precisão dependendo da escolha do instrumento de medida usado. A quantidade de algarismos significativos no resultado de uma medida é uma indicação da precisão do equipamento. Na Indústria e na Ciência requer medidas com diferentes precisões de acordo com finalidade a que elas se destinam. Na construção civil, por exemplo medidas com a precisão de 1/32 são usualmente satisfatórias. Para este propósito uma escala milimétrica é suficiente. Entretanto, na industria automobilística requer precisão de 0,001 pol. e na indústria aeronáutica a precisão de 0,0001 pol. Para obter tal precisão necessita-se de um instrumento cujo menor divisão corresponda a 0,05 mm e 0,005 mm, respectivamente. Dois instrumentos freqüentemente utilizados para a medição de comprimento na indústria são o micrômetro, também chamado de Palmer ou parafuso micrométrico, e o paquímetro que é também chamado de calibre. A base do funcionamento de Palmer é simples: se um parafuso é girado de uma volta completa em uma porca fixa, ele avança apenas a distância constante entre dois filetes ( ou ranhuras ) consecutivos, o passo do parafuso. Dividindo a volta em um número de partes, pode-se dividir o avanço do parafuso em igual fração. Por exemplo, se o passo do parafuso é de 0,5 mm e a volta é dividida e 100 partes, cada divisão da escala será de 0,005 mm. O paquímetro faz uso de uma escala auxiliar cujo comprimento é 9 vezes a menor divisão da escala principal, subdividida em 10 partes. Ao fazer a leitura de um dado comprimento lê-se a quantidade de centímetros na escala principal. Em seguida, procura-se qual subdivisão do Vernier coincide exatamente ao número de milímetros do comprimento medido. Examine a figura 1 abaixo: O comprimento medido na fig. 1 é 4,4 cm. Como menor divisão da escala é de 0,1 cm, o desvio avaliado é 0,05 cm. O comprimento é representado corretamente como (4,40 0,05) cm. O zero de 4,40 foi avaliado. Identifique o valor da menor divisão da escala do paquímetro. Meça a espessura desta folha. Compare com o resultado encontrado por seus colegas. Meça o diâmetro e a altura da peça cilíndrica que está em sua mesa. Cuide de anotar os desvios avaliados. Calcule o volume da peça.

±

fig. 1

Escala Auxiliar

Escala Principal

9 8765432 1 0 10

9876 5 43 2 1 0 10

12

Identifique o valor da menor divisão da escala do micrômetro. Meça espessura desta folha. Compare o valor obtido com paquímetro. Qual deles lhe parece mais preciso? Explique. Meça as dimensões do bloco sobre a mesa. Calcule seu volume. Os instrumentos que você utilizou podem dar as precisões exigidas nas indústrias automobilística e aeronáutica? Explique.

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Prática 3 | Análise de uma Experiência

I N T R O D U Ç Ã O Você é convidado, a apresentar e analisar estes resultados de forma possibilitá-lo a tirar conclusões sobre a natureza do processo que está sendo investigado e a predizer o resultado de experiências similares. A apresentação e a análise de resultados experimentais, conforme vimos constitui um setor essencial da Física. A experiência em questão constitui em investigar o tempo que leva a água para extravasar pelo buraco no fundo de uma lata. Conforme se esperava, este tempo depende do tamanho do orifício e da quantidade de água no recipiente. 1ª Questão - Quantas variáveis entram em jogo nesse fenômeno? R:Para averiguar a dependência do tempo de escoamento em relação ao tamanho do orifício, extravasou através de orifícios circulares de diferentes diâmetros, relativamente pequenos, a água contida em quatro grandes recipientes cilíndricos de igual tamanho. A seguir, para verificar-se a dependência do tempo de escoamento em relação à quantidade de água, verteu-se este líquido para os mesmos recipientes até alturas diferentes. Cada medição foi repetida diversas vezes, e registraram na tabela os valores médios dos tempos (em segundos) necessários para esvaziar cada recipiente. Devido à dificuldade de medir precisamente intervalos curtos de tempo usando relógio, há um número menor de longos intervalos de tempo.

Todos os dados necessários constam da tabela; uma representação gráfica dos mesmos , porém possibilitar-nos-á inferir conclusões, e facilitará enormemente o estabelecimento de uma relação matemática entre estes dados. Faça, inicialmente, um gráfico representativo de variação do tempo em função do diâmetro do orifício, para uma dada altura, digamos a de 30 cm. É hábito marcar no eixo horizontal os valores da variável independente ( neste caso, o diâmetro d ), e os da variável dependente (no caso, o tempo t ) no eixo vertical. Faça gráficos t em função da altura para um dado diâmetro. 2ª Questão: Obtenha a expressão geral que relacione t, d e h.

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Gráficos e Ajustes

Nesta prática você verá como fazer gráficos de uma maneira rápida e eficiente utilizando um programa chamado ORIGIN. O programa permite também que você faça ajustes dos dados para obter deles informações quantitativas importantes dentro das limitações das montagens experimetais. Abra o ORIGIN . Na janela DATA1 acrescente uma coluna e preencha com os dados:

A 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75B 1,40 2,10 2,65 2,86 3,45 4,06 4,40C 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50

Mude os nomes das colunas, A para tempo e B para altitude. OBS.: Nos nomes das colunas na planilha do Origin não devem ser colocados parênteses, espaços, pontos, etc., que causam problemas no uso de vários seus recursos. Caso seja necessário acrescentar expressões que usem, por exemplo, parênteses, faça-o no espaço destinado ao label da coluna. Faça o gráfico “altitude x tempo” com os dados DATA1 da seguinte forma: a) escolha plot e depois scatter b) transfira tempo para x e altitude para y c) acrescente frame (moldura) ao gráfico d) mude os nomes (dos eixos), x para t(s) e y para h(m). Explore as opções dos eixos e símbolos. Discuta com o professor sobre regressão linear, mínimos quadrados e ajustes. Faça a regressão linear e anote os parâmetros de ajuste. Copie-os para a área do gráfico. Imprima o gráfico. Um bom gráfico deve conter as informações necessárias para sua interpretação: titulo: com nome da experiência e dos alunos legenda: com o nome do gráfico e os parâmetros de ajuste eixos: com unidades e algarismos significativos adequados Apresentar um layout claro e informativo Denomine a coluna C de altura ideal.Faça novo gráfico colocando hideal(m) como y. Faça novos gráficos com os dados das tabelas abaixo. Os dois últimos podem apresentar uma novidade; confira com o professor. Faça os ajustes adequados.

19

Tabela 2: Y 0,6 3,4 6,7 9,2 11,8 15,7 x 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 Tabela 3: y 1,0 3,0 5,0 7,0 9,0 11,0 x 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 Tabela 4 y 2,0 3,0 6,0 11,0 18,0 27,0 38,0 51,0 66,0 x 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 Tabela 5: y 3,0 5,5 9,0 13,5 19,0 25,5 33,0 x 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

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Prática 4 | Pêndulo Bifilar

INTRODUÇÃO E OBJETIVOS DA EXPERIÊNCIA Uma aplicação interessante da análise gráfica é o estudo pêndulo bifilar. Chamamos ao conjunto formado por uma barra horizontal presa a dois fios do mesmo comprimento, podendo oscilar em torno de um eixo vertical, passando pelo centro da barra, como mostra a figura. Iremos estudar a variação do período com comprimento dos fios ( L ) e em seguida com a distância entre os fios ( d ). Repare que nós poderíamos estudar a relação do período com outras grandezas; a escolha é nossa. A função a estudar é: T = f ( L, d ). DESCRIÇÃO DA EXPERIÊNCIA Em primeiro lugar, faremos o estudo T x L mantendo constante distância d. Para obter o período, contemos um número determinado de oscilações completas ( 20, por exemplo ) e dividimos o intervalo de tempo obtido pelo número de oscilações. Façamos uma tabela e dados ( pelo menos 10 ), e em seguida um gráfico T x L. Nosso gráfico não será retilíneo. Para linearizá-lo poderemos usar papel log log ou tomar os logaritmos dos valores obtidos. Em seguida faremos o gráfico T e d, usando o mesmo processo anterior, Fixando o valor de L em todas as operações, Façamos de maneira análoga, a linearização do gráfico. Obteremos uma relação entre T e d. De posse das relações. T x d e T x L, vamos relacionar T com L e d usando a propriedade fundamental da proporcionalidade entre várias grandezas. É claro que a relação T = f ( L, d ) ficará com função de uma constante K representativa da relação entre T e outras grandezas que não foram estudadas . Com esta experiência nós aplicamos o método geral de verificação das relações entre grandezas pelo método experimental.

LL

d

26

QUESTIONÁRIO a) Quais as unidades da constante K ? b) Estas unidades podem sugerir uma nova pesquisa. Qual a relação a estudar ? c) Qual dimensão física da constante K ? d) Por que nós medimos o tempo de um grande número de oscilações, para calcular cada período ? e) Como poderíamos confirmar a validade da relação obtida ? f) Faça uma medida do período para determinarmos valores de L e d e calcule o período pela formula. Como se comparam esses resultados ? g) Calcule o erro cometido na medida anterior supondo a fórmula correta.

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Prática 5 | Movimento de um Projétil

INTRODUÇÃO O vetor velocidade média de uma partícula é a razão entre o vetor deslocamento Δ

rr e o intervalo de tempo Δt necessário para este deslocamento.

tr

mVΔΔ

=rr

Definimos o vetor velocidade instantânea como o limite do vetor velocidade média quando o intervalo de tempo tende para zero.

dtrdvrrr =Δ

Δ= tr lim

Vetor aceleração média é definido como a razão entre a variação do vetor velocidade

instantânea Δ vr e o intervalo de tempo Δt.

tva M Δ

Δ=rr

O vetor aceleração instantânea é definido como limite do vetor aceleração média quando o intervalo de tempo tende para zero.

dtvd

tv

tarr

r =ΔΔ

= lim)(

0t →Δ

y

x

v2

v1

Δt 0

Δr

r r0

y

x

(7.1)

(7.2)

(7.3)

(7.4)

32

Um caso importante do movimento em duas dimensões ocorre quando a aceleração permanece constante. Um exemplo deste tipo de movimento é um projétil nas proximidades da superfície da terra caso se possa desprezar a resistência do ar. Neste caso podemos

determinar o vetor velocidade instantânea vr e o vetor posição rr a partir das equações.

taVV rrr+= 0

2ta

21

t0v0rr rrrr++=

As componentes x e y das equações (7.5) e (7.6) são Vx = V0x + axt X = X0 + V0xt + ½ axt2 (7.7) Vy = V0y + ayt Y = Y0 + V0yt + ½ ayt2 (7.8) Podemos aplicar estes resultados ao movimento de um projétil. Desprezando a resistência do

ar a aceleração do projétil é aceleração da gravidade rg . A aceleração da gravidade próxima à

superfície da terra é aproximadamente igual a 9,8 m/s2 e verticalmente para baixo. Logo a aceleração do projétil ax = 0 e ay = -g. Temos: Vx = V0x = V0 cos θ (7.9) X = X0 + Voxt = X0 + (V0 cos θ) .t Vy = V0y - gt = (V0 senθ) - gt (7.10) Y = Y0 + V0yt - ½ gt2 = Y0 + (V0 sen θ).t - ½ gt2 Vamos estudar uma situação onde X0 = 0 e θ = 0. Neste caso as componentes X e Y poderão ser escritas como:

y

x

ayt

V0 VV0y Vy

axt V0x

Vx

y

½ at2 ½ ayt2

v0t v0yt y

r0 y0

x ½ axt2 v0xt x0

x

(7.6)

(7.5)

33

(7.13) 20v2

2gx0yy

(7.12) 2gt21

0yy

(7.11) t0vx

−=

−=

=

O alcance R do projétil poderá ser obtido a partir da equação (7.13), Fazendo Y = 0

(7.14) g

0y20vR =

DESENVOLVIMENTO O objetivo deste trabalho é comparar as características dos movimentos ao longo dos dois eixos, ou seja, verificar se o movimento do projétil é descrito pelas equações (7.7) e (7.8). Você dispõe em sua mesa de uma montagem que consiste se uma rampa inclinada e um anteparo. A rampa foi montada de modo que uma bolinha abandonada a uma altura h em relação à mesa, deixa a rampa com velocidade horizontal Vo. Variando a distância, X, do anteparo à base da rampa, meça o tempo de movimento de bolinha, a partir do momento em que deixa a rampa até chocar com o anteparo. Anote também os valores da coordenada Y do ponto em que a bolinha atinge o anteparo. Resolva as questões seguintes: Construa os gráficos X x t, Y x t, Y x X. Use a regressão linear para encontrar a velocidade inicial da bolinha. Os gráficos obtidos estão de acordo com as equações (7.11), (7.12) e (7.13) ? Quais as fontes de erro ? Usando a equação (7.14) determine a aceleração da gravidade.

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Prática 6 | Coeficiente de Atrito

INTRODUÇÃO A força de atrito estático atua num corpo em repouso, em relação a uma superfície, sempre que o mesmo tende a deslizar sobre esta superfície. Essa força varia desde zero, quando não há tendência de movimento de corpo relativo à superfície, até o valor máximo, quando o corpo estiver em iminência de se mover relativamente à superfície. A força de atrito estático máxima é dada por fe,máx = μe N (7.1) onde μe é o coeficiente de atrito estático e N a força que a superfície exerce sobre o corpo, sempre normal ao ponto ou região de contato. A força de atrito estático que atua sobre o corpo em qualquer situação é:

A força de atrito dinâmico é aquela que age sobre o corpo quando em movimento relativamente à superfície de apoio. Em de tratando de superfícies sólidas a experiência tem mostrado que a força de atrito é praticamente constante e depende apenas das superfícies e da força que comprime o corpo contra a superfície. A força de atrito dinâmico é dada por:

onde μc é o coeficiente de atrito dinâmico ou cinético e N é a força normal que comprime o corpo contra a superfície e vice-versa.

Se o corpo de massa m sustentado por uma superfície sofre a ação externa mas permanece em repouso, então tem-se (Veja a figura 7.1). mg = N (7.4) F = fe (7.5) (fig. 7.1)

(7.2) 0 Nf ee μ≤≤

(7.3) Nf cc μ=

rF

N

Ffe

mg

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DESENVOLVIMENTO II.1 - Atrito Estático Coloque um bloco sobre um plano inclinado e, a seguir aumente gradualmente o ângulo de inclinação até o bloco ficar na iminência de descer o plano. QUESTIONÁRIO Desenhe todas as forças que atuam no bloco. Mostre que para o bloco na iminência de descer o plano o coeficiente de atrito estático é dado por: μe = tg θ (7.6) onde θ é o ângulo formado entre o plano inclinado e a horizontal. II.2 - Atrito cinético Incline o plano para que o bloco desça com movimento acelerado. Meça o tempo para o bloco percorrer as distâncias x1 = 0,10m, x2 = 0,20m, etc. e complete a tabela 7.1 Tabela 7.1 x(m) 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

t(s) 0,00

t2(s2) 0,00

(fig. 7.2)

(fig.7.3)

θ

θ

41

QUESTIONÁRIO Desenhe todas as forças que atuam no bloco. Faça o gráfico da posição X versus tempo t. Faça o gráfico de X versus t2. Determine a inclinação do gráfico X versus t2. Qual é o significado físico desta inclinação? Determine a aceleração do bloco. Calcule a força resultante que atua no bloco. Determine a força de atrito que atua no bloco. Determine o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano.

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Prática 7 | Combinação de Forças

INTRODUÇÃO Neste experimento, encontraremos a força F que, agindo na direção vertical e no sentido de cima para baixo, compensará o efeito combinado das duas forças 1F

r e 2F

r, que fazem com a

vertical, respectivamente, os ângulos 1α e 2α , conforme se vê na Figura 1.

A condição de que Fr

tenha a direção vertical impõe que as componentes horizontais de 1F

r e de 2F

r sejam

opostas e iguais em valor absoluto:

2211 sinsin αα FF = .

Logo, 1α e 2α estão relacionados pela expressão

1

2

2

1

sinsin

FF

=αα

. (1)

Nós podemos obter o valor de F

r adicionando as

componentes verticais de 1Fr

e 2Fr

:

2211 coscos αα FFF += . (2) Chamando a resultante das forças 1F

r e 2F

rde resF

r, podemos escrever as seguintes relações:

FFres

rr= , e FFres

rr=− .

Figura 1. Definição de F, F1, F2, α1 e α2.

48

PARTE EXPERIMENTAL

a) Objetivo

• Encontrar a força Fr

necessária para neutralizar o efeito de duas forças 1Fr

e 2Fr

,

na situação em que a resultante de 1Fr

e 2Fr

tem direção vertical e sentido de

baixo para cima.

• Comparar a força Fr

obtida experimentalmente com a força obtida pela adição

vetorial das forças 1Fr

e 2Fr

.

b) Material

• Polias • Pesos variados • Transferidor • Dinamômetro • Tripés e barras pré-montados • Papel milimetrado ou quadriculado • Régua e compasso

c) Procedimento

Inicialmente, procure compreender a escala do dinamômetro. É até recomendável fazer algumas leituras de forças antes de efetuar a experiência propriamente dita, determinando os pesos dos objetos que serão utilizados no experimento. Após se familiarizar com a montagem (veja a Figura 2), coloque os pesos, por exemplo, 60 gramas de cada lado. Em seguida, faça os ajustes necessários para que o fio que desce até a polia inferior fique na vertical, e o ponto de junção entre ele e os fios que sustêm os pesos coincida com o centro do transferidor. Leia e anote os valores de F

r, 1α e 2α , valendo-se da

tabela abaixo. Mude os valores das massas, colocando, por exemplo, 60 gramas de um lado e 100 gramas do outro lado, e repita as medidas. É prudente fazer mais um conjunto de medidas, com mais um conjunto de valores de m1 e m2.

49

Figura 2. Esquema da montagem do experimento. No laboratório, o dinamômetro estará montado em uma haste superior, medindo a força F através de uma polia cuja única função é mudar a direção da força. O ponto a é o centro do transferidor.

50

Tabela 1

Medida 1 Medida 2 Medida 3

Massa m1 (g) Massa m2 (g) Força F1 (gf) Força F2 (gf) Ângulo 1α (°)

Ângulo 2α (°)

Força F (gf) Para cada conjunto de medidas, determine a resultante das forças 1F

r e 2F

r pela adição

vetorial, obtendo o que chamaremos de Fteórica. Faça esse cálculo com a expressão (2), mas também pelo método geométrico (uso da regra do paralelogramo), representando as forças em escala, no papel milimetrado ou quadriculado, e obtendo a resultante também através da escala. Para esse passo será importante a orientação do professor. Anote os resultados na Tabela 2.

Tabela 2

Medida F2/ F1 sin α1 / sin α2

Fteórica(gf)(algébrica)

Fteórica(gf)(geométrica)

Fexperimental(gf)

1 2 3

d) Análise dos resultados e conclusão Na Tabela 2, compare os valores de F2/ F1 com os valores de sin α1 / sin α2, para

verificar a expressão (1). Compare também os valores de Fteórica, tanto o obtido pelo método algébrico quanto o obtido pelo método geométrico, com os valores de Fexperimental. Discuta os resultados.

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Prática 8 | Conjunto de Polias

INTRODUÇÃO No caso de um conjunto de n polias, o peso FC da carga aplicada é distribuído igualmente entre n trechos de corda. Como a corda está sujeita a uma tração uniforme ao longo de todo o seu comprimento, a tração FT necessária no final da corda é dada por:

nF

F CT = . (1)

Essa expressão será verificada quantitativamente no presente experimento, que consistirá em duas partes. Na primeira, você mostrará que a tração FT é proporcional ao peso aplicado, usando dois conjuntos de polias, um com quatro e outro com seis polias. Ainda nessa mesma parte, será verificada a relação propriamente dita, medindo-se diretamente FT com um dinamômetro, para uma carga FC conhecida. Na segunda parte, faremos uma comparação do trabalho feito pela tração, com o aumento de energia potencial da carga. PARTE EXPERIMENTAL

a) Objetivo • Verificar que, em um conjunto de polias, a tração na corda é proporcional à

carga aplicada, e que essa tração é inversamente proporcional ao numero de polias empregadas.

• Verificar que, em um conjunto de polias, o trabalho feito pela força aplicada é igual ao ganho de energia potencial da carga.

b) Material • Conjuntos de polias previamente montados • Dinamômetros • Réguas de 30 centímetros e de 1 metro.

56

c) Procedimento

1ª Parte. O aparato será montado conforme a Figura 1. As diferenças são duas: haverá uma polia fixa para que nosso dinamômetro possa fazer a medida da força aplicada nele de cima para baixo, e nosso conjunto de polias tem seis, e não quatro polias. Em nossa montagem, a massa da parte inferior do conjunto de polias (polias c e d em nossa figura) não é desprezível. Ela foi previamente determinada: para o conjunto inferior de polias pretas ela é 54 g, e para o conjunto inferior de polias prateadas, 78 g. A prática consistirá em colocar cargas conhecidas no conjunto de polias, e medir a força necessária para que essa carga seja equilibrada pelo fio tracionado. Cada grupo trabalhará com dois conjuntos de polias, em que estão empregadas quatro ou seis polias. Os resultados devem ser lançados nas Tabelas 1 e 2. As alterações da montagem podem ser compreendidas com a Figura 2, colocada ao final deste texto.

Figura 1 – Representação esquemática da montagem

Número de polias do conjunto = n = 4

57

Tabela 1

massa total (g) (carga + massa da parte inferior do

conjunto)

FC (gf) (Carga total)

FT (gf) (Tração no fio)

FT · n


Tabela 2

massa total (g) (carga + massa da parte inferior do

conjunto)



FT · n

Compare a coluna de FC e a coluna de FT · n, e tire suas conclusões, baseado nos objetivos da prática (1ª parte.) 2ª Parte. A montagem é a mesma, mas agora será efetuado um deslocamento da carga. Use massas similares às empregadas na 1ª Parte e, para cada conjunto, meça o deslocamento dC da carga quando o fio é tracionado ao longo de um comprimento dT fixo. Sugerimos para dT o valor de 60 cm, mas isso pode ser modificado conforme as possibilidades práticas do arranjo. Do mesmo modo que na 1ª Parte, os resultados devem ser lançados em duas Tabelas, que são apresentadas a seguir. A primeira coluna das tabelas anteriores foi omitida, porque o aluno já tem conhecimento de que os valores numéricos que constam dela são os mesmos constantes da segunda coluna. A coluna FC · dC representa o aumento da energia potencial gravitacional da carga, e a coluna FT · dT representa o trabalho feito pelo agente que traciona o fio. O deslocamento deve ser feito lentamente, para que a força seja mantida constante.

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Deslocamento do fio tracionado = dT = cm .

Tabela 3

FC (gf)

(Carga total) FT (gf)

(Tração no fio)dC (cm)

(Deslocamento da carga)

FC · dC (gf ·cm)

FT · dT (gf·cm)


Deslocamento do fio tracionado = dT = cm .

Tabela 4



dC (cm) (Deslocamento

da carga)

FC · dC (gf ·cm)

FT · dT (gf·cm)

59

Figura 2 – Foto da montagem real, mostrando o conjunto empregado, e a polia inferior fixa, que permite o uso do dinamômetro pendurado na barra horizontal.

60

d) Análise dos resultados e conclusão

Verifique e comprove que: • Na 1ª Parte, os dados confirmam a validade da expressão (1). • Na 2ª Parte, os dados confirmam que a vantagem mecânica de uma força

menor é compensada por um deslocamento maior, e que o trabalho feito é igual à variação da energia potencial gravitacional.

e) Questionário 1. Demonstre a relação (1), valendo-se de um esquema do conjunto de polias

empregado. 2. Discuta o resultado obtido na 2ª parte, do ponto de vista dos conceitos de

trabalho e de energia. 3. Pesquise o conceito de vantagem mecânica, e faça uma pequena análise da 2ª

Parte empregando esse conceito. Como sugestão, consulte o endereço http://www.feiradeciencias.com.br/sala06/06_RE01.asp .

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Prática 9 | Alavanca de Apoio Central (interfixa)

INTRODUÇÃO Neste experimento, determinaremos a lei das alavancas para uma alavanca interfixa. Para atingir esse objetivo, encontraremos a força F necessária para manter a alavanca carregada em equilíbrio. Isso será feito em três partes:

a) A força F será determinada em função do braço de alavanca da carga, rL, para carga FL constante e para braço de alavanca da força, rF, constante.

b) A força F será determinada em função da carga FL, para braço de alavanca da carga, rL, constante, e para braço de alavanca da força, rF, constante.

c) A força F será determinada em função do braço de alavanca da força, rF, para carga FL constante e para braço de alavanca da carga, rL, constante.

Na alavanca interfixa, a força F e a carga FL atuam em lados opostos em relação ao ponto de apoio. PARTE EXPERIMENTAL

a) Objetivo • Determinar a força necessária para equilibrar uma alavanca em várias situações

de carga. • Determinar a lei das alavancas.

b) Material

• Alavanca (régua graduada com furo central) • Pesos variados • Dinamômetro • Tripés e barras pré-montados

66

c) Procedimento

O dinamômetro a ser utilizado deve ser inicialmente calibrado. Para isso, certifique-se de que ele indica uma leitura nula quando não houver nenhuma carga. A seguir, determine a força-peso, com o dinamômetro, de uma carga (suporte e massa), com massa correspondente a 100 g (50 g para o suporte, 50 g para o peso). Faça o mesmo para uma massa total de 150 g e para uma massa total de 200 g. Todos os resultados devem ser anotados. Eles serão empregados em algumas das análises que serão feitas. Após essas medidas, reposicione o dinamômetro na montagem, da forma como você encontrou, posicionando o fio que o prende à régua em seu marco de 10 cm (posição a). A Figura 1 ilustra nosso experimento, com uma alteração, que é a posição do dinamômetro, o que é mostrado na Figura 2. 1ª Parte. Verifique se a régua está na posição horizontal, que é sua posição de equilíbrio inicial. Pendure um peso com massa total de 100 g sucessivamente em f (na posição 90 cm da régua), em e (na posição 80 cm) e em d (na posição 70 cm). Determine o comprimento do braço de alavanca rF da força e de cada um dos braços de alavanca rL das cargas. Para estabelecer o equilíbrio, a régua deve ser posta novamente na horizontal, movendo o dinamômetro e a polia que conduz o fio ligado a ele, de modo que esse fio fique na vertical. Em seguida, leia no dinamômetro, e anote, a força F necessária para esse equilíbrio.

Figura 1. Montagem para experimento com alavanca interfixa (ou alavanca do primeiro tipo).

67

Os resultados das medidas deverão ser anotados na Tabela 1, e os cálculos indicados deverão ser efetuados.

Braço de alavanca rF = m = constante.

Carga FL = gf (correspondente à massa de 100 g).

Tabela 1

Medida 1 Medida 2 Medida 3

Braço de alavanca rL (m)

Força F (gf) FL• rL (gf•m) F• rF (gf•m)

Analise os resultados das duas últimas linhas, e tire suas conclusões.

Figura 2. Em nossa montagem, foi necessário acrescentar uma barra horizontal inferior para prender uma polia, o que permitiu empregar um dinamômetro que só funciona adequadamente para medidas de forças de cima para baixo.

68

2ª Parte. Agora, o braço de alavanca rF da força será mantido constante (fio do dinamômetro em a, na posição 10 cm da régua), assim como o braço de alavanca rL da carga (carga em d, na posição 70 cm da régua). Coloque sucessivamente cargas correspondentes às massas de 100, 150 e 200 gramas, e, para cada uma delas, estabeleça o equilíbrio, como na 1ª Parte, faça a leitura do dinamômetro, e anote a força F necessária para esse equilíbrio. Os resultados das medidas deverão ser anotados na Tabela 2, e os cálculos indicados deverão ser efetuados.

Braço de alavanca rF = m = constante.

Braço de alavanca rL = m = constante.

Tabela 2

Medida 1

(para a massa de 100 g)

Medida 2(para a massa de

150 g)

Medida 3 (para a massa de

200 g) FL (gf) Força F (gf) FL• rL (gf•m) F• rF (gf•m)

Analise os resultados das duas últimas linhas, e tire suas conclusões.

3ª Parte. Nesta etapa, usaremos uma carga constante FL (obtida com uma massa de 100 g) na alavanca em f (posição 90 cm da régua). O fio que está ligado ao dinamômetro será posicionado sucessivamente em a, b e c (respectivamente, marcas de 10, 20 e 30 cm da régua). Para cada uma dessas posições, estabeleça o equilíbrio, como na 1ª e na 2ª Partes, faça a leitura do dinamômetro, e anote a força F necessária para esse equilíbrio. Os resultados das medidas deverão ser anotados na Tabela 3, e os cálculos indicados deverão ser efetuados.

Braço de alavanca rL = m = constante.

Carga FL = gf = constante.

69

FL• rL = gf•m = constante.

Tabela 3

Medida 1

Medida 2

Medida 3

rF (m) Força F (gf) F• rF (gf•m)

Compare os resultados da última linha com o produto FL• rL, e tire suas conclusões.


Verifique e comprove que: • Na 1ª Parte, para uma carga constante e o braço de alavanca da força

constante, se o braço de alavanca da carga varia, a força necessária para o equilíbrio varia na mesma proporção.

• Na 2ª Parte, para braços de alavanca da carga e da força constantes, se a carga varia, a força necessária para o equilíbrio varia na mesma proporção.

• Na 3ª Parte, para uma carga constante e braço de alavanca da carga constante, se o braço de alavanca da força é reduzido por um fator, a força aumenta pelo mesmo fator, e vice-versa.

Após comprovar isso para cada caso, escreva a expressão que engloba esses três resultados. Veja em sala, com o professor, mais discussões sobre a aplicação das condições de equilíbrio a esta montagem. Uma questão importante é a seguinte: aplicamos todo o tempo a equação que diz que o somatório dos momentos em relação ao ponto central da montagem é nulo. Para o equilíbrio da régua, também é necessário que o somatório das forças na vertical seja nulo. Como isso se verifica na montagem, se todas as forças medidas são verticais, com o sentido de cima para baixo? Analise bem a montagem antes de responder.

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Prática 10 | Centro de Gravidade de Corpos Planos

I N T R O D U Ç Ã O Um corpo plano será pendurado por meio de um furo que passa por um ponto do corpo, que denominaremos de A. O eixo que passa pelo ponto A e tem a direção do fio de prumo é chamado de eixo de gravidade. O centro de gravidade é determinado a partir da interseção dos vários eixos de gravidade obtidos. O resultado é verificado demonstrando-se que o corpo fica em equilíbrio quando, estando em posição horizontal, ele se apoia apenas sobre um lápis, ou uma agulha, que o suporta no centro de gravidade. Compara-se ainda o resultado com a posição do centro de gravidade obtida por métodos geométricos, no caso de triângulos ou figuras com fortes simetrias, ou por uma combinação desses métodos com aplicação da definição de centro de gravidade, no caso de figuras compostas por outras mais simples.

PARTE EXPERIMENTAL

a) Objetivo • Determinar os eixos de gravidade de corpos planos usando fio de prumo. • Determinar os centros de gravidade G desses corpos.

b) Material

• Conjunto de corpos planos de madeira, com pelo menos três furos em cada um • Fio de prumo • Tripés e barras pré-montados • Lápis para desenho em madeira

c) Procedimento

1ª Parte. O aparato será montado conforme a Figura 1. Suspenda cada um dos corpos planos por pelo menos três furos, um de cada vez. O fio de prumo deve passar pela posição do ponto de suspensão (A) do corpo. Em cada caso, desenhe, no corpo, uma linha que represente a posição do fio de prumo. Essas linhas se interceptarão em um único ponto, que é o centro de gravidade. A seguir, equilibre o corpo com um lápis, ou uma agulha, colocado(a) no centro de gravidade, conforme o destaque superior direito da Figura 1. 2ª Parte. Agora, considere o quadrado e o círculo. Discuta qual a maneira geométrica de encontrar o centro de gravidade desses objetos. Efetue a operação, e compare o resultado com o obtido na 1ª Parte. 3ª Parte. Considere agora o trapézio. Ele pode ser decomposto em dois triângulos. Encontre o centro de gravidade desses triângulos pelo método geométrico. Em seguida, discuta como, a partir daí, se pode determinar, usando a definição de centro de gravidade, o centro de

76

gravidade do objeto completo. Faça-o e compare com o resultado obtido na 1ª Parte. No seu relatório, explique cuidadosamente o que foi feito, incluindo os cálculos efetuados.


Verifique e comprove que: • Na 1ª Parte, o resultado foi confirmado pelo experimento demonstrado no

destaque da Figura 1. • Na 2ª Parte, houve boa concordância com os resultados da 1ª Parte. • Na 3ª Parte, com um pouco mais de trabalho, desenvolveu-se um método

interessante para determinar o centro de gravidade de figuras compostas.

Figura 1. Montagem empregada para determinação dos eixos de gravidade. No destaque, aparece o corpo em equilíbrio apoiado em um único ponto, seu centro de gravidade. A é o furo pelo qual o corpo é pendurado, e a é o fio de prumo.

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Prática 11 | Histerese Mecânica

Quando submetido a tração, um fio deforma-se, de inicio elasticamente. Porém avançado além do limite da elasticidade, a proporcionalidade entre a força e a deformação não mais se verifica. Se formos reduzindo a agora a tração, o material não retorna ás suas dimensões originais, permanecendo uma deformação residual. Tal fato denomina-se “ Histerese Mecânica ”. O comportamento do material pode ser representado, qualitativamente, pelo gráfico: Neste gráfico, o aumento de tração corresponde ao trecho AB e a redução de tração ao trecho BC e a deformação residual é AC. Se a partir do ponto C, aumentarmos novamente a tração o fato se repetirá e assim por diante. Isto fará que a energia perdida em cada vez, sob forma de calor para o ambiente, deixe o corpo extremamente debilitado, rompendo-se com facilidade. Assim a histerese mecânica representa uma energia perdida durante o processo, a qual pode se calculada através da área ABC do gráfico. Nesta experiência, analisaremos a histerese mecânica usando uma tira de borracha que será tracionada. PROCEDIMENTO a) Vá colocando massa no suporte e anotando na tabela, de cada vez, o valor de ΔL da deformação. b) Retire as massas, uma por vez, lendo de cada feita o valor ΔL’ da deformação, completando a tabela.

F (N)

ΔL(m)

ΔL’(m)

c) Trace um gráfico de deformação em função da tração. Calcule a área ABC. Qual é o significado físico da área ABC?

B

C

A

Deformação

Tração

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Prática 12 | Colisões – Coeficiente de Restituição

INTRODUÇÃO Em física dá-se o nome de colisão a uma interação entre partículas ou corpos cuja duração é extremamente pequena. Durante uma colisão as forças que atuam sobre o sistema de partículas podem ser internas ou externas. As forças internas são as forças de interação entre as partículas do mesmo sistema. As forças externas são quaisquer forças exercidas por agentes fora do sistema. Se durante uma colisão a resultante das forças externas for nula, o momento linear total do sistema imediatamente antes e imediatamente depois da colisão são iguais. O momento linear de um partícula é um vetor definido como produto de sua massa m pela velocidade v.

(10.1) O momento linear de um sistema de partículas é o vetor-soma dos momentos lineares das partículas consideradas isoladamente.

(10.2) Quando a energia do sistema é conservada a colisão é elástica. Neste caso a velocidade relativa das partículas se conserva. Se a colisão não conservar a energia cinética do sistema diz-se que ela é inelástica. Uma colisão pode totalmente inelástica ou parcialmente inelástica. Na colisão totalmente ou perfeitamente inelástica as duas partículas não se separam uma da outra, continuando juntas após a colisão. A velocidade relativa das partículas é nula após o choque. Coeficiente de restituição. O coeficiente de restituição ε de uma colisão é definido pela equação:

Para uma colisão elástica: ε = 1. Para uma colisão perfeitamente inelástica: ε = 0. Para uma colisão parcialmente inelástica: 0 < ε < 1.

vmp rr =

r r r rp p p pn= + + +1 2 ...

velocidade relativa imediatamente depois da colsão velocidade relativa imediatamente antes da colisãoε =

88

DESENVOLVIMENTO II.1 - Determinação do coeficiente de restituição Solte o planador do trilho o ar, inclinado de um θ relativo à horizontal, a partir de uma distância Ro da base. Ele colide com uma mola colocada na extremidade mais baixa do trilho e retorna percorrendo uma distância R1. O movimento se repete até que o planador pare por completo. Meça o alcance R em função do número de colisões (n) com a mola. Veja a figura 10.1 Construa o gráfico R x n, sendo n o número de choques.

Mostre que o alcance após n choques é dado por

onde ε é o coeficiente de restituição. Construa o gráfico ln R x n Mostre que a inclinação do gráfico está relacionada ao coeficiente de restrição. Use a regressão linear para ajustar uma reta ao gráfico lnR x n. Calcule o coeficiente de restituição.

R Rnn= ε2

0

θ

R

h

Fig. 10.1

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Prática 13 | Colisões Perfeitamente Inelásticas

OBJETIVO Examinar colisões perfeitamente inelásticas entre planadores sobre um trilho sem atrito, verificando a compatibilidade dos dados experimentais com a “lei de conservação do momento linear”. I – INTRODUÇÃO Na Física, grandezas para as quais existe uma lei de conservação despertam grande interesse, pois podem ser usadas para se fazerem previsões. O momento linear, conhecido por “quantidade de movimento” no Ensino médio, é uma destas grandezas, ao lado da energia, carga elétrica, etc. Nesta prática examinaremos uma seqüência de colisões perfeitamente inelásticas de dois planadores sobre um trilho sem atrito, com a finalidade de percebermos que a “lei de conservação do momento linear” permite relacionar os comportamentos dos planadores antes e depois da colisão entre eles, ou seja, conhecido o comportamento dos planadores anteriormente à colisão, podemos prever o seu comportamento após a colisão. II – TEORIA FÍSICA ENVOLVIDA Para uma partícula de massa m, movendo-se com uma velocidade vr , o seu momento linear é definido como vmp rr = . Sendo nula a força externa resultante atuando sobre um sistema de partículas, a “lei de conservação do momento linear” afirma que o momento linear total do sistema, ∑=

iiiTOTAL vmP rr, deve ser constante, isto é, se conservar.

Na nossa experiência um planador de massa m1 será impulsionado de forma a movimentar-se com uma velocidade avr em direção a um planador de massa m2, inicialmente em repouso. Os planadores colidirão e movimentar-se-ão grudados após a colisão, com uma velocidade

dvr , em acordo com o que se chama de colisão perfeitamente inelástica. Assim, para este caso, desprezando-se o efeito de qualquer força externa aos planadores durante a colisão, a “lei de conservação do momento linear” pode-se escrever como

da vmmvm )( 211 += , (1) onde abolimos a notação vetorial por tratar-se de uma colisão unidimensional. III – MATERIAL - Trilho sem atrito - Dois planadores - Dois pares de sensores de infravermelho ligados a um cronômetro - Balança - Régua

94

IV – PROCEDIMENTOS 1- O planador de massa m1, que possui uma haste vertical para acionar os sensores, deverá ser impulsionado com o dedo, anteriormente ao primeiro par de sensores sobre o trilho sem atrito, de forma a provocar uma colisão perfeitamente inelástica com o segundo planador, de massa m2, que encontra-se em repouso na região entre os dois pares de sensores. O primeiro par de sensores, ligado ao cronômetro, permite registrar o tempo (ta) que o planador de massa m1 leva para percorrer a distância entre eles (Da), enquanto o segundo par de sensores, localizado após a região em que ocorre a colisão, fornece o tempo (td) que o conjunto constituído pelos dois planadores grudados leva para percorrer a distância entre os sensores deste último par (Dd). Execute pelo menos 5 vezes a ação aqui descrita de modo que cada vez o planador impulsionado pelo dedo apresente uma velocidade perceptivelmente distinta e anote numa tabela os respectivos valores dos tempos anterior (ta) e posterior à colisão (td). 2- Resolva o seguinte exercício: Supondo que a lei de conservação do momento linear seja obedecida na colisão examinada, use a equação (1) para obter uma expressão que relacione o tempo registrado pelos sensores após a colisão, td, ao tempo registrado anteriormente à colisão, ta, em termos dos parâmetros mencionados no texto.

( Solução: aa

dd t

DD

mmmt

1

21 )( += )

3- Com os dados dos tempos, ta e td anotados na tabela, construa um gráfico de td vs. ta. Baseando-se na solução do exercício anteriormente resolvido, ajuste a função adequada aos dados. 4- Use a balança para determinar as massas dos planadores e meça as distâncias entre os sensores, Da e Dd . De posse destes dados, verifique a compatibilidade dos resultados do ajuste com o que é previsto pela solução do exercício do item 2. V – DISCUSSÃO ADICIONAL SUGERIDA 1- Procure responder como a relação entre os tempos ta e td seria alterada se uma força externa agisse significativamente durante a colisão entre os planadores. 2- Qual é a relação entre a energia cinética inicial, anterior à colisão, e final, posterior à colisão, para o sistema constituído pelos dois planadores, prevista pelo uso da equação (1) para o caso da colisão perfeitamente inelástica? Interprete a diferença entre essas energias cinéticas final e inicial.

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PRÁTICA 14 | Determinação do Momento de

Inércia de um Volante INTRODUÇÃO O momento de inércia de um sólido em relação a um eixo fixo é obtido teoricamente pela equação:

Este somatório é obtido por integração, e muitos exemplos são desenvolvidos na teoria. Se o corpo não tem forma geométrica simples ou densidade constante, o cálculo da integral pode-se tornar sumamente difícil, e é necessário utilizar um método experimental. Se o corpo tem apenas movimento de translação, sua energia cinética é dada por:

sendo m sua massa e v a velocidade de translação do centro de massa. Por outro lado, se um corpo tem apenas movimentação de rotação, sua energia cinética é dada por:

onde I é o seu momento de inércia em relação ao eixo de rotação e ωé a velocidade angular em relação ao mesmo eixo. A energia cinética total de um sistema em movimento é dada pela equação:

OBJETIVO Obter experimentalmente o momento de inércia de um volante, sem conhecer a sua massa e sua forma geométrica. PROCEDIMENTO a) O corpo do qual vai ser determinado o momento de inércia é um cilindro que pode girar livremente em torno de dois mancais de atrito desprezível. Um fio de nylon é enrolado no cilindro e preso no extremo um peso P. O sistema se acha inicialmente em repouso, com o fio inteiramente enrolado. Abandone o peso P e, com um cronômetro, meça o tempo necessário para desenrolar completamente o fio. Repita 5 vezes esta experiência:

I r m ri dm= = ∫∑ 2 2Δ

E mvc = 12

2

E Ic = 12

2ω

E mv Ic = +12

2 12

2ω

100

t1= t2= t3= t4= t5= b) Calcule o valor mais provável deste intervalo de tempo e o desvio padrão. c) O fenômeno observado é a transformação da energia potencial do peso (mpg h) em energia cinética de rotação e translação do sistema. Podemos escrever:

onde:

logo

d) Meça o raio do cilindro no qual o fio está enrolado ( r ), a massa do peso ( mp )e o comprimento do fio esticado( h ). r = mp = h = e) Calcule o momento de inércia do volante.

2212

21 ωIvmghm pp +=

th2v e

rv ==ω

I m rgt

hp= −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2

2

21

101

QUESTIONÁRIO Qual o momento de inércia do volante obtido pela teoria ? Qual o significado físico do momento de inércia ? Sendo ρ = 7,87 x 103 kg/ m3 a densidade do ferro, calcule o momento de inércia do volante pela teoria. Quais as razões da diferença entre o resultado teórico e o experimental ? Sugira outro processo para determinar o momento de inércia deste corpo. Qual a utilidade prática de um volante em um máquina ? Como se pode aumentar o momento de inércia de um corpo sem variar sua massa ?

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Prática 15 | Conservação da Energia OBJETIVOS Diferenciar a energia cinética de translação de energia cinética de rotação ? Relacionar as transformações energéticas sofridas por um esfera ao rolar em uma rampa. Verificar o princípio de conservação de energia. INTRODUÇÃO O módulo da velocidade de um partícula num corpo rígido girando em torno de um eixo fixo é v=ϖr; onde r é a distância da partícula ao eixo e ω a velocidade angular do corpo. A energia cinética de rotação da partícula é

E mv mrc = =12

2 12

2 2ω.

A energia cinética da rotação total do corpo é

E m r m r m rc n n= + + +12 1 1

2 2 12 2 2

2 2 12

2 2ω ω ω...

E m rc i i= ∑ 12

2 2ω

( )E m rc i i= ∑12

2 2ω,

onde m ri i2∑ é chamado de momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação.

O momento de inércia pode ser calculado por I = m ri i2∑ para qualquer sistema constituído

por partículas discretas. Para um corpo constituído de uma distribuição contínua de matéria o momento de inércia é dado por: I ∑ ∫== dmrmr 22lim

Δm → 0

Para uma esfera maciça

I mr= 25

2, onde m é a massa da

esfera e r o seu raio.

108

DESENVOLVIMENTO Uma esfera de massa m e raio r parte do repouso do ponto A a uma altura h em relação ao ponto B. A esfera desce rampa adquirindo o movimento de rotação e um de translação. No ponto A a esfera tem, em relação ao ponto B, uma energia gravitacional Ep = mgh. Ao passar pelo ponto B a esfera tem uma energia

cinética de rotação E Ic = 1

22ω e uma energia

cinética de translação . No ponto B a esfera liga um cronômetro que é desligado ao chegar em C. Como no ponto B a velocidade é horizontal seu valor é dado por:

v xt=

, onde x é a distância de B ao anteparo e t o tempo gasto neste movimento. Varie a altura h, meça o tempo t e preencha a tabela abaixo.

h (m)

t (s)

V (m/s)

ω (rad/s)

Ep(J)

Ec(J)

E’p(J)

Ec+E’c (J)

0,10 0,15 0,20 0,25

Resolva as questões seguintes: Compare os valore da energia (Ep) no ponto A com a energia (Ec+E’c) no ponto B. Houve conservação da energia ? Justifique sua resposta indicando as fontes de erros. Descreva o movimento da esfera do ponto A até o ponto B analisando as transformações de sua energia.

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Prática 16 | Dinâmica de Rotação

INTRODUÇÃO E OBJETIVOS DA EXPERIÊNCIA O objetivo desta experiência é fazer com que você verifique leis e princípios relacionados com a dinâmica de rotação. 1 ª EXPERIÊNCIA Monte um plano inclinado e coloque sobre ele um cilindro oco, um cilindro maciço e uma esfera, todos com mesmo diâmetro e mesma massa. Deixe-os rolar ao longo do plano. 1. Levarão todos ao mesmo tempo de queda ? 2. Qual deles terá mais energia cinética de rotação na base do plano e qual terá maior energia cinética de translação ? Justifique. 3. Se o plano fosse liso e os corpos caíssem escorregando, o tempo de queda seria o mesmo para os três ? Justifique. 4. Um disco de aço rola entre dois trilhos inclinados, apoiados em um eixo de raio pequeno. Observe o que acontece quando o disco chega a base dos trilhos, no momento em que toca a superfície horizontal. A velocidade de translação do disco variou ? explique o que você observou. 2 ª EXPERIÊNCIA Na montagem da figura 1 você poderá realizar varias experiências que lhe permitirão verificar a conservação do momento angular. Em primeiro lugar, procure lembrar-se do caráter vetorial desta grandeza em que condições ela se conserva.

a) Se você se assentar sobre a plataforma, e um colega colocar a girar, como será o vetor que representa em módulo, direção e sentido o momentum angular adquirido por você ?

114

b) Carregue nas mãos o par de alteres que está sobre a mesa e sentado na plataforma, mantenha os braços abertos, pedindo ao colega que lhe comunique a rotação. Em seguida feche os braços. O que acontece à sua velocidade a angular ? Por quê ? c) Torne a esticar os braços e escolha um deles. Verifique o que vai acontecer e dê uma explicação para os fatos. (Você provavelmente já observou dançarinos de balet, patinadores e nadadores que saltam em trampolim, lançarem mão destes efeitos para variarem suas velocidades de rotação.) d) Ainda sobre a plataforma tome em suas mãos uma roda de bicicleta parada. Se você fizer esforço e colocá-la a girar, o que acontece à plataforma ? Explique. Descreva o momento angular do conjunto antes e depois da roda ser posta em rotação. e) Se você estiver sobre a Terra, em lugar de estar sobre a plataforma ( isto é, se sua plataforma for Terra) e repetir a experiência, o mesmo efeito será observado? O momento angular se conserva ? f) Novamente assentado sobre a plataforma parada, peça um colega para lhe entregar a roda de bicicleta já a girar em alta velocidade. O que acontece à plataforma depois que você recebe a roda ?A velocidade da roda diminui ? g) Mantenha o eixo da roda na vertical. Depois, incline-o até que mude de sentido de rotação. Em cada posição, procure observar o que está acontecendo à plataforma e acompanhe suas observações com explicações do fato. Desenhe diagramas vetoriais dos momentos angulares postos em jogos e veja se a conclusão tirada através deles para a variações de rotação da plataforma e da roda, confirmam suas observações.

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Prática 17 | Determinação do Módulo de Torção de um Fio de Aço

OBJETIVOS Usar a balança de torção para medir o módulo de torção. INTRODUÇÃO Balança de torção: Num fio esticado, tenso, prende-se uma haste rígida, perpendicular ao fio. Se esta haste for colocada a girar num plano perpendicular ao fio, este fio será torcido, e exercerá um torque sobre a haste, fazendo-a voltar à posição de equilíbrio. Este é um torque restaurador. Para pequenas torções encontramos que:

Onde k é uma haste constante que depende das propriedades do fio, e chama-se constante de torção. O sinal negativo indica torque restaurador, ou seja, o sentido do torque é oposto ao sentido de abertura do ângulo q. O movimento deste sistema é descrito pelas equações:

Logo, podemos escrever:

Onde I é o momento de inércia do corpo em rotação. Podemos solucionar a equação acima fazendo:

Resolvendo a equação (isto será pedido como exercício) chegamos ao período da oscilação:

120

PROCEDIMENTO a) Material utilizado: 1 Balança de torção com acessórios. 1 Régua milimetrada. 1 Cronômetro digital 1 Haste metálica cilíndrica 1 Balança b) Montagens: 1. Determinação da constante de torção: Vamos colocar uma haste metálica no suporte do fio de torção, bem centralizada.

Ao deslocarmos a haste sua posição de equilíbrio ela oscilará, podendo o período T ser encontrado pela expressão (10.8). O momento de inércia I de uma barra em torno de um eixo perpendicular ao seu centro é:

Onde m é sua massa, e l é seu comprimento. Assim obtemos:

121

DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO 1.2.1 Colocar a haste metálica em seu suporte no fio de torção, centralizada. 1.2.2 Deslocar ligeiramente a haste de sua posição de equilíbrio, dando-lhe um pequeno ângulo de deslocamento. 1.2.3 Medir o tempo gasto em 10 ou mais oscilações, e calcular a média de uma única oscilação:

1.2.4 Calcular a constante de torção k pela expressão (10.10) : k =

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Apêndice A | Medidas e Erros

Todo e qualquer produto ao ser produzido possui especificações das grandezas a ele associado: a chapa de aço tem espessura, um fio de níquel-cromo possui resistividade, o papel possui gramatura, o óleo de carro possui viscosidade, etc. Cabe ao controle de qualidade de quem produz certificar-se que o produto final encontra-se dentro das especificações desejadas ou determinadas. Ou seja, tem-se de medir; e nesta ação temos envolvidos, no mínimo, quem mede, os procedimentos de medida e os equipamentos de medição; e, por mais cuidadosos e refinados que sejam, erros (ou desvios) serão cometidos; poderão eles ser aleatórios, inerentes a qualquer processo de medida, ou sistemáticos, aqui devido a algum problema em algum elemento do processo de medição. Como expressar os valores encontrados, os erros cometidos, e suas implicações será o objetivo desta prática. 1a Experiência. Utilizando as réguas sobre a mesa, meça as dimensões da caixa sobre ela; primeiro utilizando a régua graduada em decímetros, depois em centímetros e finalmente em milímetros. Complete a tabela (faça a lápis, pois provavelmente terá de fazer correções).

A B C Volume dm cm mm

Algumas questões:

a) Todas as medidas foram expressas com o mesmo número de algarismos? b) Você introduziu algum algarismo para expressar alguma medida? c) Em caso afirmativo, isto ocorreu em com todas as réguas?

Em verdade, no presente caso, será permitido “acrescentar” um algarismo além dos que temos certeza -ou que nos informa a régua-, mesmo que isto seja praticamente impossível para a resolução de nossa visão. Desta maneira, o valor por nós expresso carregará consigo um erro (desvio) devido a nossa aproximação e à precisão do instrumento utilizado. Como expressar então o valor de nossas medidas e informar qual o erro (desvio) cometido? As grandezas serão expressas acrescentando-se ao valor encontrado +- à metade da menor divisão do aparelho. Exemplo: 48,6 ± 0,5 cm. (0,5 cm é chamado de desvio avaliado) Desvio avaliado: metade da menor divisão do aparelho de medida. Aos algarismos que expressamos o valor de uma grandeza, chamamos de algarismos significativos. Podemos formular outra questão: qual das réguas mediu com maior precisão? Mais que natural se a resposta indicada for a régua graduada em milímetros (não necessariamente correta). Mas se perguntássemos qual das grandezas medidas (A,B ou C)

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está expressa com maior precisão, se medidas em milímetros, como ficaria sua resposta? O que então poderia, à primeira vista, apontar se uma medida é mais precisa? Justifique sua resposta. Talvez o que esclareça melhor a questão levantada será a introdução do conceito de desvio relativo e/ou desvio percentual que é uma maneira de expressar de forma mais clara o quanto se “erra” ao se expressar o valor medido de uma grandeza - e de certa forma é o que irá determinar a qualidade de um produto. Por exemplo, em produtos industriais, quanto se desvia as propriedades de um produto, de uma especificação desejada. Desvio relativo : desvio avaliado dividido pelo e valor medido Desvio percentual : desvio relativo x100 Obs. Para equipamentos digitais assumiremos que o desvio percentual é de 3%. Tome uma das grandezas medidas (A, B ou C) e avalie o desvio percentual para cada escala e escreva a medida ± o desvio percentual. Um segundo problema que irá aparecer advém de quando desejamos fazer operações com nossas medidas. Alguns procedimentos: a) Somamos apenas valores escritos na mesma escala; b) Ao reescrevermos qualquer valor não poderemos alterar o número de algarismos com que efetuou-se a medida ; c) O resultado da soma terá de ser escrito, infelizmente, com o número de algarismos da medida menos precisa – mas apenas após efetuarmos a adição; d) O desvio será expresso como a soma dos desvios de cada medida, mas com apenas um algarismo. Como exercício some A + B + C sendo cada medida com uma escala - faça a mudança de escala antes de somar ( não se esqueça de expressar o desvio). (Obs.: Não é usual somar-se medidas feitas com diferentes escalas, mas fica o exercício como ilustração). O que irá acontecer quando desejar-se expressar uma grandeza que é o produto ou razão de outras: velocidade, por exemplo, ou o volume, em nosso caso? O cálculo do volume é trivial, mas o desvio será mais complicado. Para calcular o desvio relativo teríamos (v, a, b,c = erros; V,A,B,C = grandezas) : v/V = [(a/A)2 + (b/B)2 + (c/C)2]0,5

Calcule o “volume” da mesa em centímetros e determine o desvio percentual e absoluto.

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Apêndice B | Erro Aleatório

Foi visto anteriormente como expressar o valor de uma grandeza e os desvios associados àquele valor tendo em vista o equipamento utilizado. Desejaremos agora mostrar como expressar o valor de uma grandeza quando não conseguimos que este valor se repita, sejam por diferentes equipamentos, processos ou operadores. Por exemplo: em uma indústria a mesma peça está sendo fabricada por diferentes máquinas, com diferentes operadores que trabalham com diferentes equipamentos de medida ou aferição. “Por mais perfeito que seja o operador ou o processo de medição de uma grandeza, nunca deixaremos de contar com os fatores acidentais que afetam uma ou mais medidas. Os principais fatores que implicam no aparecimento dos erros acidentais ou ao acaso são (equipamento descalibrado não é erro acidental) : 1. Defeitos não sistemáticos de leitura (imperícia do operador).

2. Variação da capacidade de avaliação, com o número de medidas efetuadas (cansaço).

3. Variação da capacidade de avaliação ou da perícia, no caso da observação de uma mesma

grandeza por vários observadores.

4. Condições próprias dos aparelhos de medidas (certos aparelhos dão erros de paralaxe que variam com o tamanho da grandeza).

5. Reflexos variáveis do operador (por exemplo no caso de apertar um cronômetro).

6. Dificuldades na obtenção de certas medidas (ajuste do zero de uma escala, aplicação de um aparelho a uma peça em diferentes posições).

7. Interesse do operador em obter medidas em situações diferentes para obtenção de um valor mais representativo de uma grandeza.

8. Outros fatores não intencionais, tais que não possam ser considerados como falta grave de operação.

Os erros acidentais ou aleatórios podem ser minimizados pela perícia do operador, mas jamais eliminados por completo. Aos erros acidentais ou aleatórios são aplicados a teoria dos erros.”

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Para ilustrar o nosso problema faremos o seguinte experimento: Dispondo de uma esfera e um cronômetro, iremos medir o tempo de queda de uma altura conhecida (um metro-não nos esquecendo da imprecisão que já irá existir nesta medida). Faça 20 medidas. N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ti N 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ti Qual o valor mais correto para o tempo de queda? Calcule se for o caso. Como expressar o desvio associado a este valor? Se à pergunta anterior foi respondido que o valor mais provável foi o valor médio, o mesmo acontecerá com o desvio associado a este valor, e será calculado pela média da soma dos desvios de cada medida em relação ao valor médio (δt* = Σ(|t*-ti|))/n), ou seja o desvio médio. Calcule este valor e escreva finalmente qual o tempo mais provável de queda com o desvio associado. Cabe aqui um parêntesis, embora tenhamos calculado o desvio médio, há um outro desvio que será calculado quando o número de medições for muito grande (> 100). Este desvio é chamado desvio padrão da média, sendo que há fundamentação tanto experimental, quanto estatística para esta escolha. O que segue foi extraído do site http://www.ifi.unicamp.br/~turtelli/apost1.html (que pode ser consultado, bem como o por ele indicado http://www.ifi.unicamp.br/~brito/graferr.pdf). Fizemos N vezes a medida de uma grandeza física x e obtivemos os valores: x1, x2, ..., xi,...,xn. Definiremos seu valor médio como ⟨ξ⟩ = ∑[ξι/Ν] e o desvio da i-ésima medida:εi=xi-⟨x⟩. O erro deve ser a diferença entre o valor da grandeza física real (o qual não conhecemos) e o valor da correspondente medida. Como não podemos determinar esse erro, tentaremos ao menos estimá-lo, recorrendo à determinação dos desvios. A teoria dos erros consiste exatamente em associar a uma certa medida não o erro que se comete mas um intervalo de valores dentro do qual o valor verdadeiro tem uma determinada probabilidade de estar. Do modo como definimos os erros casuais, a soma dos desvios da média é nula, se o número de medidas for suficientemente elevado. Define-se desvio quadrático médio (ou desvio padrão, ou, impropriamente, erro quadrático médio) como: σ = {Σει

2/(Ν−1)}1/2 e o desvio padrão da média σ = {Σει2/Ν.(Ν−1)}1/2.

Se, os xi são o resultado de uma série de medidas da mesma grandeza, escolhemos um número Δε bastante pequeno (em relação ao desvio máximo) e subdividimos os desvios do seguinte modo: um primeiro grupo compreende os desvios entre: (1/2)Δε e (1/2)Δε; o seguinte entre (1 - 1/2)Δε e (1 + 1/2)Δε e assim por diante.Dentro de cada um desses intervalos nós teremos um número de desvios que em geral será diferente do anterior e do posterior. Para visualizar essa distribuição, façamos um gráfico, dividindo o eixo dos x ( abscissa) em segmentos proporcionais a Δε e em ordenada colocaremos o número de vezes que um determinado valor cai naquele intervalo. O resultado é mostrado na Fig. 1. Nunca se

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consegue reproduzir uma medida exatamente. Intuitivamente, podemos perceber que realizando-se uma série muito grande de medidas, elas deverão se distribuir simetricamente em torno de um certo valor, que por razões óbvias é chamado de valor médio. Quanto mais estreita for a distribuição, maior será a precisão da série de medidas. Foi Gauss quem desenvolveu a teoria matemática dos erros. Essa teoria se baseia nos cálculos de probabilidade e tem por finalidade conhecer melhor o grau de precisão de uma particular série de medidas.

N é o número de medidas encontradas dentro de cada intervalo x*± nΔε, e x* corresponde ao valor 0 no eixo das abscissas. Voltando às medidas. Uma vez que os grupos que realizaram as medidas devem ter encontrado valores diferentes, cabem as perguntas: Qual o melhor valor encontrado? Qual o mais preciso? A discussão terá maior sentido comparando-se os valores. Sendo assim completemos a tabela. t* δt* δt*/t* (δt*/t*).100 Grupo1 Grupo2 Grupo3 Grupo4 Grupo5 Conseguimos avaliar desta maneira qual grupo realizou as operações de medir de forma a obter o tempo médio de forma mais precisa. Mas será que foi a mais acurada? Para responder a esta questão vamos utilizar a expressão matemática que relaciona a posição de um corpo em movimento uniformemente acelerado e o tempo. y = 1/2at2 que em nosso caso fica y = 1/2gt2

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Uma vez que temos y e t podemos determinar g e ver quanto se desvia do valor conhecido (9,81m/s2) e assim ver qual grupo realizou as medidas que fornecem um valor do tempo de queda - consequentemente g - de forma mais acurada. gcalc. |gcalc-g| = Δg (Δg/g).100 Grupo1 Grupo2 Grupo3 Grupo4 Grupo5

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Apêndice C | Gráficos

As “famosas” equações da Física do segundo grau, foram, muitas delas, estipuladas teoricamente, isto é, através de argumentos e suposições chegou-se a funções matemáticas que estabeleciam como determinadas grandezas se relacionavam. Entretanto, sem uma verificação experimental – observações. medições e comparações - equivaleriam a uma discussão sobre sexo dos anjos. Se a obtenção de dados experimentais já é um procedimento que exige uma série de cuidados – planejamento, controle, escolha de equipamento, método, etc – a análise de resultados não fica atrás. Sendo claro: os mesmos resultados podem levar a diferentes conclusões, que por sua vez podem concordar ou divergir de alguma teoria previamente estabelecida. Uma maneira de estudar o comportamento de grandezas para obter uma conclusão de como elas se relacionam matematicamente é através de gráficos, que na verdade são formas de dispor os dados experimentais, que, antes em uma tabela, agora em eixos ortogonais (cartesianos). Construir gráficos implica em alguns procedimentos básicos para que, não só possamos realizar uma análise correta, como tenha uma apresentação estética agradável. Se construídos manualmente, devemos nos ater a algumas diretrizes, se utilizarmos programas de computadores, estes já possuem uma maneira default de construir, mas que permitem uma nova estruturação (formatação). Seguem abaixo recomendações sobre construção de gráficos extraídos do site http://www.ifi.unicamp.br/~brito/graferr.pdf (Obs. Ao longo do curso, não iremos nos ater sobre a construção da barra de erros nos gráficos construídos) 1) Escolha a área do papel com o tamanho adequado (mais ou menos meia página do Caderno de Laboratório). 2) Em geral a relação de aspecto (altura / largura) deve ser menor do que 1, pois o gráfico será de mais fácil leitura (por esta razão é que a tela de cinema e a da televisão tem relação de aspecto menor do que 1). 3) Desenhe os eixos claramente: a variável dependente deve estar sempre no eixo vertical (y) e avariável independente no eixo horizontal (x). 4) Marque nos eixos as escalas, escolhendo divisões que resultem em fácil leitura de valores intermediários (por exemplo, divida de 2 em 2, e não de 7,7 em 7,7). Se possível cada um dos eixos deve começar em zero. 5) Marque abaixo do eixo horizontal e ao lado do eixo vertical o nome da variável ali representada e, entre parênteses, as unidades usadas.

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6) Escreva, na parte superior da área do gráfico, o Título do gráfico. Todo gráfico deve ter um título. 7) Marque cada um dos pontos do gráfico cuidadosamente e claramente, escolhendo para isto um símbolo adequado e de tamanho facilmente visível (por exemplo, um círculo ou um quadradinho) com um pontinho no centro. Nunca marque os pontos apenas com um pontinho do lápis. 8) Marque claramente as barras de erro em cada ponto. Se o erro for muito pequeno para aparecer na escala escolhida anote ao lado: "as barras de erro são muito pequenas para aparecer na figura". 9) Se desejar, desenhe uma linha suave através dos pontos. Se os erros forem aleatórios, aproximadamente 1/3 das barras de erro poderão ficar fora da linha. 10) Não esqueça de numerar e escrever uma legenda breve explicando de que se trata a figura e fornecendo a informação necessária para que o leitor entenda a figura. Todas as figuras são numeradas em sequência. Esquemas, desenhos e gráficos são figuras. Gostaríamos de ressaltar alguns pontos: a) Não se escreve nos gráficos os dados da tabela, apenas assinala-se os pontos, no gráfico apenas os valores de escala (item 4); b) Assinala-se os pontos (par ordenado) apenas, não há necessidade de marcar os pontos experimentais nos eixos (item 4); c) Ao se construir a linha que “una” os pontos, deve-se buscar uma linha suave (mais ou menos como uma função matemática) e não segmentos de reta (item 9); d) As escalas não serão necessariamente as mesmas para os eixos horizontal e vertical, dependerão obviamente dos valores experimentais. Além disso, algumas vezes não começarão necessariamente de (0,0); como saber a experiência (vivência) dirá; e) Os gráficos devem ser fechados, isto é emoldurados – os eixos rebatido acima e à direita (mas não há necessidade de se escrever as escalas). Os gráficos, quando feitos manualmente devem ser feito em papel apropriado, no mínimo quadriculado, quando impresso em computadores não há esta necessidade. Trabalharemos com papel milimetrado o que facilitará sobremaneira a confecção dos mesmos.

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Segue modelo ( http://blig.ig.com.br/mundo_matematico/ ):

Seguem algumas tabelas para que construam os gráficos. x(m) 2 6 10 14 18 22 26 30

t(s) 2 4 6 8 10 12 14 16 a(m/s2) 0,31 1,1 1,58 2,3 3,02 3,75 4,31 5,11

F(N) 1 3 5 7 9 11 13 15 y 0 1,09 1,79 2,2 2,48 2,71 2,89 3,04

x 1 3 6 9 12 15 18 21 w 10 5 3,33 2,5 2 1,66 1,42 1,25

z 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

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Referências Bibliográficas CAMPOS, Agostinho Aurélio Garcia; ALVES, Elmo Salomão; SPEZIALI, Nivaldo Lúcio. Física experimental básica na universidade. Belo Horizonte: Ed. UFMG, 2007. CHAVES, Alaor; SAMPAIO, J. F. Física básica: mecânica. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2007. CUTNELL, John D.; JOHNSON, Kenneth W. Física: volume 1. 6. Ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2006. HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física: volume 1 : mecânica. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, c2006 NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica: volume 1 : mecânica. 4. ed. rev. São Paulo: E. Blücher, 2002. PIACENTINI, João J.; GRANDI, Bartira C. S.; HOFMAN, Márcia P.; LIMA, Flávio; ZIMERMAN, Erika. Introdução ao Laboratório de Física. 2 ed. Florianópolis: Ed. UFSC, 2001. SEARS, Francis Weston; ZEMANSKY, Mark Waldo; YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física I : mecânica. 12. ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008 SERWAY, Raymond A.; JEWETT, John W. Princípios de Física: volume 1 : mecânica clássica. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. TIPLER, Paul Allen; MOSCA, Gene. Física para cientistas e engenheiros: volume 1 : mecânica, oscilações e ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, c2009 * TREFIL, James S.; HAZEN, Robert M. Física viva:. uma introdução à física conceitual. volume 1. São Paulo: LTC - Livros Técnicos e Científicos, c2006.

apostila de laboratório de física i

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