apostila controle - 03 - função de transferência e diagrama de blocos

Modelagem matemtica de Sistemas g de Controle

Caractersticas EDG Operador Derivativo FTO DB

Controle de Sistemas Mecnicos

Modelagem Matemtica de Sistemas de Controler(t)1 In 1 1 Comparao 1 1

e(t) ()1

u(t)1

y(t)Processo 11

Controlador 1

Medio 1

1

Obter inicialmente a E.D. de cada subsistema Obter para Obterpara cada subsistema uma funo que relacione a entrada com a sada (FT) Obter uma representao grfica (diagrama de blocos) que descreva as relaes entre os subsistemas Do DB do sistema obter sua E.D. ou sua FT Estes subsistemas podem ser mecnicos, hidrulicos, , , p trmicos, eltricos, eletrnicos ou pneumticos.Controle de Sistemas Mecnicos

Principio da superposioUm i t U sistema dit linear se segue a lei da dito li l id superposio. Significa que a resposta a combinao linear de duas entradas simultneas igual mesma combinao aplicada as respostas consideradas separadamente. separadamente Ou seja o fato das entradas seja, ocorrerem simultaneamente no interfere com o resultado.y1 = Pu1 y = P (u1 + u 2 ) = y1 + y2 , , y2 = Pu2


Caractersticas da Modelagem matemtica a ser abordadaLinearidade obedece aos princpios da superposio e homogeneidade

Parmetros concentrados equaes diferenciais ordinrias no tempo contnuo

Invarincia no tempo p coeficientes da equao constantes

Causalidade sistemas s respondem aps a excitao i t d it


Equao Diferencial GeralSistemas Lineares Si t Li Parmetros concentrados Invariantes no tempo Mnico (an = 1)

d n y (t ) d n 1 y (t ) dy (t ) + a n 1 + ... + a1 + a 0 y (t ) = n n 1 dt dt dt d m u (t ) bm + ... + b0 u (t ) m dtAdmite-se sempre

m n

Sistema prprio


Transformada de Laplaced n y (t ) d n 1 y (t ) dy (t ) + a n 1 + ... + a1 + a 0 y (t ) = n n 1 dt dt dt d m u (t ) bm + ... + b0 u (t ) m dtTransformada de T f d d Laplace com CI nulas

( s n + an 1s n 1 + L + a1s + a0 )Y ( s ) = (bm s n + L + b1s + b0 )U ( s )Controle de Sistemas Mecnicos

Equao Geral Simplificada

( s n + an 1s n 1 + L + a1s + a0 )Y ( s ) = (bm s n + L + b1s + b0 )U ( s )

D(s )O resultado fica

N (s )

D( s )Y ( s ) = N ( s )U ( s )Controle de Sistemas Mecnicos

Funo de Transferncia

D( s )Y ( s ) = N ( s )U ( s )N (s) Y ( s) = U (s) D( s)P( p)

Y ( s) N ( s) FT = P ( s ) = = U ( s) D( s)FT do Sistema

m n

Sistema prprio Sistema bi-prprio Sistema estritamente prprio Polinmio CaractersticoControle de Sistemas Mecnicos

m=n m< nD(s )

Definindo FT para SSOAplicando Laplace numa equao de segunda ordem:

& a2 (s 2Y (s) y(0) sy(0)) + a1 (sY (s) y(0)) + a0Y (s) = b0U (s)Substituindo as condies iniciais:y ( 0) = 0 & y ( 0) = 0

a2 s 2Y (s) + a1sY (s) + a0Y (s) = b0U (s) (a2 s 2 + a1s + a0 )Y (s) = b0U (s)

Colocando Y(s) em evidencia: Definimos a FT:

FT(s) =

b Y (s) = 2 0 U (s) a2 s + a1s + a0Controle de Sistemas Mecnicos

Diagramas de blocos bsicosSero i t S vistos cinco blocos bsicos: i bl b i Amplificador Somador Diferena Integrador Ramificao

Todos os sistemas que sero analisados aqui podero ser representados usando apenas esses cinco blocos e suas associaes


AmplificadorO amplificador, ou multiplicao por escalar, lifi d lti li l representado conforme a figura onde consta o seu ganho (a constante de multiplicao) g ( p )u(t) K y(t)

y (t ) = Ku (t )

Notar que dimensional

[K ] = [ y ] [u ]Controle de Sistemas Mecnicos

Ganhos em cascataDois D i amplificadores podem ser associados em lifi d d i d cascatau(t) K1 v(t) K2 y(t)

y (t ) = K 2 v (t ) = K 2 K1u (t ) = Ku (t ) K = K 2 K1


SomadorRepresenta a soma entre d i sinais R t t dois i i

u(t) y(t) v(t)

y (t ) = u (t ) + v(t )


DiferenaO mesmo bloco tambm pode representar a bl t b d t diferena entre sinais

u(t) v(t)

y(t)

y (t ) = u (t ) v(t )


Associao com o ganhoO diagrama de blocos abaixo representa uma di d bl b i t associao muito comumu(t)K1

y(t)

v(t)

K2

y (t ) = K1u (t ) + K 2v(t )


IntegradorRepresenta a i t R t integrao d sinal de entrada ao do i l d t d longo do tempou(t) y(t)

t 0

y (t ) = u ( )d


RamificaoRepresenta a bif R t bifurcao d um sinal de i l

y(t)y(t)

y(t)

y(t)

y(t)


Diagrama de Bloco sem derivadas no numeradorPara obter o DB d uma E P bt de Equao Dif Diferencial i l sem derivadas no numerador,d n y (t ) d n 1 y (t ) dy (t ) y + an 1 + L + a1 + a0 y (t ) = u (t ) dt n dt n 1 dt

D( s )Y ( s ) = U ( s )

u1/D

y

isola-se o termo de maior ordem e utiliza-se dos blocos bsicos (numero de integradores igual a ordem do sistema) i l d d i t )d n y (t ) d n 1 y (t ) dy (t ) = an 1 L a1 a0 y (t ) + u (t ) dt n 1 dt dt nControle de Sistemas Mecnicos

Exemplo:Obter Obt o DB da Equao Diferencial abaixo d E Dif i l b id 3 y (t ) d 2 y (t ) dy ( t ) +8 + 37 + 50 y ( t ) = u ( t ) 3 2 dt dt dt

D( s )Y ( s ) = U ( s )P( s) =

u1/D

y

Y (s) 1 = 3 U ( s ) s + 8s 2 + 37 s + 50Controle de Sistemas Mecnicos

Soluo:A E.D. EDd 3 y (t ) d 2 y (t ) dy ( t ) +8 + 37 + 50 y ( t ) = u ( t ) 3 2 dt dt dt Pode ser rescrita na forma d 3 y (t ) d 2 y (t ) dy ( t ) = 8 37 50 y ( t ) + u ( t ) 3 2 dt dt dt


Soluo:d 3 y (t ) d 2 y (t ) dy ( t ) = 8 37 50 y ( t ) + u ( t ) 3 2 dt dt dt&&(0) y & y(0) && y y(0) & y &y& &

u(t )

8

y(t )

37 50


Diagrama de Bl Di d Bloco com d i d derivadas no numerador dDada E.D.G

d n y(t ) d n1 y(t ) d mu(t ) + an1 + ... + a0 y(t ) = bm + ... + b0u(t ) n n1 m dt dt dt

(s

Pode-se rescrev-la na notao de operadorn

+ an 1s n 1 + K + a1s1 + a0 Y ( s ) = bm s m + K + b0 U ( s )D (s ) N (s)

)

(

)

D( s)Y ( s) = N ( s)U ( s)Controle de Sistemas Mecnicos

Como o sistema linear

D ( s )Y ( s ) = N ( s )U ( s )Y (s) D(s) = U (s) N (s) (s

U (s) X (s) = D (s)

D(s) X (s) = U (s)

Y ( s) = N ( s) X ( s)y

xu1/D

xN


continuandoU (s) X (s) = D(s) (sdiagrama de bloco j construdo d anteriormente

D(s) X (s) = U (s)

Y (s) X (s) = N (s)

Y (s) = N (s) X (s)

utiliza-se os valores de x que saram do diagrama acima


Exemplo:Obter Obt o DB d equao abaixo da b idu ( t ) d 3 y (t ) d 2 y (t ) dy ( t ) +8 + 37 + 50 y ( t ) = 3 + 5u (t ) 3 2 dt dt dt dt

u1/D

xN

y


Soluo:A equao abaixo b id 3 y (t ) d 2 y (t ) dy ( t ) du ( t ) +8 + 37 + 50 y ( t ) = 3 + 5u (t ) 3 2 dt dt dt dt

Pode ser reescrita na forma

(s

3

+ 8 s 2 + 37 s + 50 Y ( s ) = (3 s + 5 )U ( s )D (s ) N (s)

)


Soluo:Representa-se o DB para entrada u e sada x R t t d d

D(s) X (s) = U (s)d 3 x (t ) d 2 x (t ) dx ( t ) = 8 37 50 x ( t ) + u ( t ) 3 2 dt dt dt

Em seguida representa-se o DB para entrada x e sada y Y (s) = N (s) X (s) & y = 3x + 5x Y = (3 s + 5 ) XControle de Sistemas Mecnicos

Soluo:d 3 x (t ) d 2 x (t ) dx ( t ) = 8 37 50 x ( t ) + u ( t ) 3 2 dt dt dt& y = 3x + 5xu (t )

3

&x& &

8

&& x

& x

x

5

y (t )

37 50


Exerccio:Obter Obt o DB e a FTO da equao abaixo d b idu ( t ) d 3 y (t ) d 2 y (t ) dy ( t ) 2 +4 +6 + 8 y (t ) = 5 + 7 u (t ) 3 2 dt dt dt dt

u1/D

xN

y


Equao Diferencial a partir do Di E Dif i l ti d Diagrama de Bl d BlocosPara obter a Equao Dif P bt E Diferencial a partir do i l ti d Diagrama de Bloco1. Identificar com letras as sadas dos somadores, entradas e sadas das funes de transferncia 2. 2 Escrever uma equao para cada sada do somador e para cada funo de transferncia 3. Obter a funo de transferncia relacionando a sada e a entrada do sistema total utilizando as total, equaes escritas no item 2 4. Obter a Equao Diferencial a partir da FTO


Exemplo:Obter Obt a equao diferencial do diagrama de dif i l d di d blocos abaixo.3

u (t )1 1 1 ss+1 +1 1 1 s s 5

y (t )1

2


Soluo:Identificar com letras entradas e sadas das Id tifi l t t d d d FTO e dos somadores.3

u (t )1

a A

1 1 ss+1 +1

b B

1 1 s s

c C

y (t )5 1

2


Soluo:Escrever as equaes. E 3

U u(ts ) )1

a A

1 1 ss+1 +1

b B

1 1 s s

c C

Y (t() s ) y5 1

2

A = U 2B CB 1 = A s +1

Y = 5C + 3B

C 1 = B s


Soluo:Com as equaes C A = U 2B C Y = 5C + 3BB 1 = A s +1 C 1 = B s

Obter a FT

P( s) =

Y ( s) U ( s)5 Y = + 3B s

C 1 = B s B 1 = A s +1

Y = 5C + 3B

A = U 2B C

s B= 2 U s + 3s + 1

Y 5 + 3s = 2 U s + 3s + 1


Exerccio:Dado D d o sistema abaixo, obter a sua FTO, sada i t b i bt FTO d y(t) e entrada u(t).H2 s1

u(t)1

y(t )G1 s H1 s1 1

G2 s

1

G3 s

1

1


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