CAPTULO 1UNIDADES DE MEDIDAS USADAS EM MECNICA1. IntroduoNaMecnica, oconhecimentodasunidadesdemedidasfundamental paraa realizao de qualquer tarefa especfica. Umexemplo disso quando umtorneiro mecnico recebeodesenhode uma pea a ser fabricada. Nele,o torneiro nota que as medidas no esto cotadas coma unidade definida pelo projetista. Da, tem-se a importncia do emprego das unidades em Mecnica, cujas unidades mais utilizadas so o milmetro e a polegada. Vale lembrar a importncia de especificar a unidade em relao a sua respectiva grandeza.2. MilmetroEmMatemtica, vocaprendeuque, paramedirascoisasdemodoquetodos entendam, sendo necessrio adotar um padro, ou seja, uma unidade de medida.EmMecnica, a unidade de medida mais comum omilmetro, cuja sua abreviaodadapormm. Estaunidadetocomumque, emgeral, nosdesenhos tcnicos, essa abreviao nem aparece. Mas, na verdade, sempre bom especificar o seu uso para qualquer projeto dentro da Mecnica.Vale lembrar que o milmetro faz parte dos submltiplos de dez, sendo a milsima parte do metro,isto,umaparte de um metro que dividido em 1.000 partes iguais. Embora seja pequena, em Mecnica o milmetro ainda uma medida considerada grande, quando se pensa no encaixe de preciso de peas como rolamentos, buchas, eixos, entre outras. O milmetro maior ainda para instrumentos de medio, como calibradores ou blocos-padro. Assim, aMecnicaempregamedidasaindamenoresqueomilmetro, tambm chamada de submltiplos do milmetro, como mostra a Tabela 1.Tabela 1 Medidas em Mecnica para submltiplos do milmetro (SENAI, 1997).1Submltiplos do milmetroRepresentao CorrespondnciaDcimo de milmetro 0,1 mm101Centsimo de milmetro 0,01 mm1001Milsimo de milmetro 0,001 mm (1 m)10001Na prtica, o milsimo do milmetro tambm representado pela letra grega (l-se mi). Assim, o milsimo de milmetro tambm pode ser chamado de micrmetro, ou simplesmente de mcron, como:1 m 1 x 10-6 m 1 x 10-3 x 10-3 m (1 mm=1 x 10-3 m) 1 x 10-3 mm 0,001 mm importante para o futuro tcnico mecnico estudar os assuntos passo a passo, a fim de no perder nenhuma informao relevante.3. PolegadaApolegada outra unidade de medida muito utilizada em Mecnica, principalmente nos conjuntos mecnicos em pases de lngua inglesa,como os EUA e a Gr-Bretanha. Embora a unificao de vrios blocos econmicos tenha obrigado esses pases a adotarem como norma o Sistema Mtrico Decimal, essa adaptao est sendo feita por etapas. Um exemplo disso so as mquinas de comando numrico computadorizado, conhecidopelasiglaCNC, quevmsendofabricadascomosdois sistemas de medidas (Sistemas Mtrico Decimal e Ingls). Isso permite que o operador escolha o sistema que seja compatvel com aquele empregado em sua empresa. Por essa razo, mesmoqueosistemaadotadonoBrasil sejaoSistemaMtricoDecimal, necessrio conhecer a polegada e aprender a fazer as converses.Por definio, a polegada, que pode ser fracionada ou decimal, uma unidade de medida que corresponde a, aproximadamente, 25,4 mm, ou seja:21 25,4 mmA Figura 1 ilustra uma comparao de duas rguas com unidades distintas, sendo a rgua situada na parte superior est em milmetros e a rgua situada na parte inferior est em polegadas.Figura 1 Comparao das medidas em milmetros e em polegadas com uso de rguas (SENAI, 1998).Observe que, na rgua inferior, os nmeros aparecem acompanhados de um sinal (, l-se aspas). Esse sinal indica a representao de uma medida em polegada ou em frao de polegada. Da mesma forma que o milmetro uma unidade de medida muito grande para a Mecnica sendo, para isso, dividido em submltiplos, a polegada tambm dividida. Ela possui subdivises que podem ser usadas nas medidas de peas de preciso. Assim, a polegada dividida em 2, 4, 8, 16, 32, 64 e 128 partes iguais, seguindo a lgica deumaprogressogeomtrica. Nasescalasgraduadasempolegadas, normalmentea menor diviso corresponde a1/16(l-se: umdezesseis avos depolegada). Essas subdivises so chamadas de polegadas fracionrias.Aoanalisar mais aFigura1, percebe-sequeaescaladarguagraduadaem polegadas apresenta as fraes 1/8, 1/4, 3/8 (lm-se, respectivamente,um oitavo de polegada, um quarto de polegada, trs oitavos de polegada), e assim por diante. Observe que os numeradoresdas fraes so sempre nmeros mpares. Como se chega a essas fraes? Para obter essa resposta, representa-se uma escala de uma polegada de comprimento e verifica-se como so feitas as subdivises, como ilustra a Figura 2.3Figura 2 Diviso de uma polegada em dezesseis partes iguais (SENAI, 1998).Como na Matemtica, j se sabe que algumas das fraes que esto amostra na Figura 2 podem ser simplificadas. Por exemplo:Esseprocedimentorealizadoat aobtenodafraofinal daescala. Os resultados dos exemplos na Figura 2 mostram as subdivises mais comuns da polegada fracionria.Para menores medidas, o procedimento ser o mesmo. As subdivises so obtidas a partir de 1/16 e seus valores em ordem crescente so apresentadas na Figura 3.Figura3Subdivisodaescalaparaobtenodevaloresmenoresapartirde1/16 (SENAI, 1998).A representao da polegada em forma decimal to usada na Mecnica quanto a fracionria. Ela aparece emdesenhos mecnicos, aparelhos de medio como, por exemplo, paqumetros e micrmetros, permitindo a realizao de medidas menores do que 4a menor medida da polegada fracionria, que de 1/128(l-se um centro e vinte e oito avos de polegada). Vale lembrar que uma polegada equivale, aproximadamente, igual a 25,4 mm (1 25,4 mm).Quanto diferena entre as polegadas fracionada e decimal est nas suas subdivises, ou seja, em vez de ser subdividida em fraes ordinrias, a polegada decimal dividida em partes iguais por 10, 100, 1000, etc.A diviso mais comum por 1000. Assim, tm-se como exemplos os seguintes valores dados em polegadas decimais a partir dos valores de polegadas fracionrias:1/2" corresponde a 0,5 (cinco dcimos de polegada);1/4" corresponde a 0,25 (vinte e cinco centsimos de polegada);1/8 corresponde a 0,125 (cento e vinte e cinco milsimos de polegada).4. Converso de Unidades de Medidas4.1 Converso de Polegadas em MilmetrosPara converter uma medida dada em polegadas para milmetros, basta multiplicar a frao por 25,4 mm. A seguir tm-se alguns exemplos:a) 5/16mm 7,9375 x 1612725,4 *165x x - - -165mm 25,4 - - - 1 "" ;b) 3/85mm 9,525 x 876,225,4 * 3 x x - - -83mm 25,4 - - - 1 "" ;4.2 Converso de Milmetros em PolegadasPara converter uma medida dada em milmetros em polegadas, necessrio que o futuro tcnico em mecnicaprecise aplicar mais alguns conhecimentos de aritmtica e simplificao de fraes. Uma forma mais prtica para esta converso dada por:" 25,41mm 1Exemplos:a) uma barra de ao quadrada de 19,05 mm de lado.0,75" x 25,419,05x x - - - mm 19,0525,41mm 1 " ; b) uma chapa de alumnio de 1,588 mm de espessura.0,0625" x 25,41,588x x - - - mm 1,58825,41mm 1 " ; 4.3 Converso de Polegada Decimal em Polegada FracionriaPara converter polegada decimal e polegada fracionria, basta transformar a polegadadecimal emumafraonaqual onumerador ovalor queotcnicoem mecnica dever converter, multiplicado por 10, 100, 1000, etc., enquanto que o denominador onmeroqueotcnicousounamultiplicao(10, 100, 1000, ...), 6dependendo do nmero decimal a ser convertido. Aps a montagem da frao, procede-se a sua simplificao.Exemplos: valores obtidos aps a converso de milmetros em polegadas.a) uma barra de ao quadrada de 19,05 mm de lado convertida para 0,75."43 ) 25 ( 100) 25 ( 75100100 * 75 , 0b) uma chapa de alumnio de 1,588 mm de espessura convertida para 0,0625."161 ) 625 ( 10000) 625 ( 625100100 * 0625 , 04.4 Converso de Polegada Fracionria para Polegada DecimalPara conversodepolegada fracionriaparapolegada decimal, basta apenas dividir o numerador da frao por seu denominador. A seguir tm-se alguns exemplos:a) ""0,3125165b) ""0,375835. Resoluo de Cotas em Projetos MecnicosSuponha que o inspetor de qualidade receba um desenho projetado com as devidas medidas em milmetros e que esteja faltando a cota de uma medida, como ilustra a Figura 4. Vale lembrar que o desenho dessa pea dada em milmetros.7Figura 4 Desenho de uma pea com as cotas dadas na parte superior e a ausncia de uma medida na parte inferior (SENAI, 1998).O inspetor de qualidade precisava calcular o comprimento da pea abaixo. Para que o inspetor obtenha o valor da cota inferior da pea, basta usar os conhecimentos de lgebra e resolver o problema. Assim:x = (20,50+15,80+18,65+42,22) mm x = 97,17 mm5. Exerccios de Fixao1 Converta as medidas cotadas em polegadas fracionrias para milmetros.a) 5/32 b) 1/128 c) 1 5/8 d) 3 3/16 e) 7/162 Converta as medidas cotadas em milmetros para polegadas fracionrias.a) 1,587 mm b) 19,05 mm c) 25,4 mm d) 63,5 mm e) 9,525 mm3 Transforme em polegada decimal as seguintes medies em polegadas fracionrias.8a) 5/64 b) 3/16 c) 1/2" d) 1 7/8 e) 11/164 Transforme em polegada fracionria as seguintes medies em polegadas decimais.a) 0,125 b) 0,4375 c) 1,375 d) 2,500 e) 3,6255 Converta as medidas cotadas em milmetros para polegadas decimais.a) 6,35 mm b) 11,1125 mm c) 60,325 mm d) 79,375 mm e)91,125 mm6 Converta as medidas cotadas em polegadas decimais para milmetros.a) 0,0625 b) 0,001 c) 1,500 d) 2,625 e) 5,3757 Qual o dimetro externo x da arruela desta figura?8 Qual a medida da cota D no desenho abaixo?99 Determine a cota x do seguinte desenho.10Determineonmerodepeas quepodeser obtidodeumachapade3mde comprimento, sendoquecada pea deve ter 30mm de comprimento e que a distncia entre as peas deve ser de 2,5mm.11Ummecnicoprecisavamediradistnciaxentreoscentrosdosfurosdapea representada abaixo. Qual foi a medida obtida?10(Obs.: Vale lembrar que, nas questes 7, 8, 9 e 11, as cotas so dadas em milmetros). 6. Referncias BibliogrficasSERVIONACIONALDEAPRENDIZAGEMINDUSTRIALSENAI.Curso Bsico de Medio Industrial. Transformao de Medidas. Centro de Metal Mecnica Euvaldo Lodi, Benfica, Rio de Janeiro, RJ, 1997. Pp. 50:56.SERVIONACIONALDEAPRENDIZAGEMINDUSTRIALSENAI.Clculo TcnicoMetrologiaLeituraeInterpretaodeDesenhoTcnicoMecnico.UsandoUnidadesdeMedida.Telecurso2000Profissionalizante. SoPaulo, SP, 1998. Pp. 3:18.11CAPTULO 2CLCULO DE PEAS METLICAS DILATADAS1. Conceito de TemperaturaNo estudo de sistemas mecnicos, at o momento, eram necessrias apenas trs grandezas fsicas fundamentais do Sistema Internacional SI [comprimento, tempo e massa], pois todas as outras grandezas mecnicas derivadas [fora e energia] so expressas emtermos nessas trs. Agoraserconsideradaumaclassedefenmenos, chamados de fenmenos trmicosou de calor, que requer uma quarta grandeza fsica fundamental no SI: a temperatura.Desde a infncia, o ser humano experimenta as sensaes de quente e frio, que so descritas em termos de adjetivos como frio, quente, tpido, morno, etc. Quando se toca numobjeto, usa-sea prpria sensaode temperatura para atribuirao objetouma propriedade chamada temperatura, que determina se o referido objeto encontra-se quente ou frio. Quanto mais quente se sente o objeto, mais alta a temperatura. Para determinar-se quantitativamente a temperatura de um objeto, deve-se, primeiro, chegar ao conceito por meio de operaes independentes de nossas percepes sensoriais de calor ou frio e que envolvem quantidades mensurveis.Hcertossistemassimplescujosestadospodemser especificadosmedindo-se umagrandezafsica. Considere, por exemplo, umlquidocomomercriooulcool, dentro de um bulbo de paredes muito finas, que se comunica com um tubo capilar (Figura 121A). O estado do sistema especificado pelo comprimento L da coluna lquida, a partir de um ponto arbitrrio. Outro sistema simples apresentado na Figura 1B, que representa um vaso de paredes finas contendo gs, cujo volume mantm-se constante. A presso p medida pela leitura de qualquer termmetro conveniente. Oterceiro exemplo a resistncia eltrica de um fio, que tambm varia com o frio ou o calor. Em cada um desses exemplos, a quantidade que descreve o estado de variao do sistema, seja o comprimento L, a presso p ou a resistncia R, chama-se coordenada de estado do sistema. Figura 1 Em A, tem-se um sistema constitudo por um tubo de parede fina de vidro contendo em seuinterior outrocom bulbo que armazena lcool ou mercrio, cujo seu estado especificado pelo valor de comprimento L; em B, tem-se um sistema contendo um recipiente com um gs, cujo seu estado dado pela presso p. (SEARS et al., 1984).2. TermmetrosPara definir-se uma escala de temperatura, o procedimento mais simples escolher umsistema, por exemplo, umdos descritos anteriormente, e associar-se arbitrariamente um valor numrico de temperatura a cada valor da coordenada de estado dosistema. Istodefinequantitativamenteatemperaturadestesistemaeadetodosos sistemas em equilbrio trmico com ele.Apesar do sistema mostrado na Figura 1A seja um dos mais antigos termmetros, muitos outros sistemas so usados atualmente. As caractersticas importantes de termmetro so:13- sensibilidade (mudana aprecivel da coordenada de estado produzida por uma pequena mudana de temperatura);- preciso na medida da coordenada de estado; e- reprodutibilidade.Outrapropriedadefreqentementedesejadaavelocidadecomquechegaao equilbrio trmico com outros sistemas.Umtermmetro largamente empregado empesquisa ou emlaboratrios de Engenharia o termoeltrico, tambm conhecido como termopar, que se utiliza do fato de que junes de metais ou de ligas metlicas diferentes num circuito eltrico d origem a uma fora eletromotriz, ou tenso eltrica, se eles estiverem em temperaturas diferentes. Na Figura 2, a juno de teste colocada em contato com o sistema cuja temperatura se deseja medir e as duas junes de refernciaso mantidas temperatura constante de referncia que, neste caso, a temperatura do gelo fundente. Freqentemente, insere-se a juno de teste dentro do material cuja temperatura se quer medir. Desde que essa juno seja pequena e tenha uma pequena massa, ela poder seguir rapidamente as variaes de temperatura e chegar logo ao equilbrio.Figura2Apresentaodotermopar com a juno de teste e a juno de referncia (SEARS et al., 1984).Outros tipos de termmetros como termmetro de resistncia, termmetro a gs e pirmetros tmamesmafunodemedir temperaturas, mas comespecificaes de construo distintas que sero discutidas em Instrumentao Industrial.143. Escalas de TemperaturaQualquertipodetermmetro podeser usado para indicara constncia de uma temperatura se sua coordenada de estado ou propriedade termomtrica permanecer constante. Desta maneia, verifica-se que um sistema composto por um slido e por um liquido de mesma substncia, mantidos a presso constante, permanecero em equilbrio de fase, isto , o lquido e o slido coexistem, sem o lquido mudar em slido, ou vice-versa, apenas a uma temperatura definida. Analogamente, um lquido s permanecer em equilbriodefasecomseuvaporemuma temperaturadefinida, quandoapressofor mantida constante.A temperatura em que um slido e um lquido de mesa substncia coexistem em equilbrio de fase apresso atmosfrica chamadaponto normal de fuso. Analogamente, para lquido e vapor, chamada ponto normal de ebulio. Obtm-se, algumas vezes, o equilbrio de fase entre um slido e seu vapor a presso atmosfrica. A temperatura em que esse processo ocorre chama-se ponto normal de sublimao. possvel que as trs fases slida, lquida e vapor coexistam em equilbrio, masapenasempressoetemperaturadefinidas. Essatemperaturaconhecidacomo pontotrplice. Opontotrplicedaguaocorrea4,58mmdemercrioea0,01C. Qualquer destas condies de equilbrio de fase de um material pode ser escolhida como padroderefernciaparaoestabelecimentodeumaescaladetemperatura. Qualquer temperaturaassimescolhidachama-sepontofixo.Opontofixopadrousadoem termometriamodernaopontotrplicedagua, aoqual foi atribudoonmero arbitrrio de 273,16 K (l-se 273,16 kelvins).3.1 Escalas Celsius, Fahrenheit e RankineAescalaCelsiusdetemperatura,algumasvezes chamada deescala centgrada, emprega um grau de mesmo valor que o da escala Kelvin, mas seu ponto zero deslocado de tal maneira que a temperatura Celsius do ponto trplice da gua 0,01 C. Assim, se TC denotar a temperatura em escala Celsius, tem-se:15TC = TK 273,16 (Eq. I)onde TK a temperatura dada em escala Kelvin.A temperatura em escala Kelvin em que o vapor se condensa a presso de 1 atm de 373,16 K, de modo que, na escala Celsius, ela dada por:TC = 373,16 273,16 TC = 100 CH duas outras escalas de uso comum em Engenharia e na vida diria nos EUA e na Gr-Bretanha. Aescala Rankine,TR, cuja abreviao grau Rankine (R), proporcional temperatura na escala Kelvin, de acordo com a relao:K RT59T (Eq. II)Um grau de mesmo valor usado na escala Fahrenheit, TF, cuja abreviao grau Fahrenheit (F), mas com ponto zero deslocado, obedecendo a seguinte relao:TF = TR 459,69 (Eq. III)Substituindo as equaes I e II em III, obtm-se:32 T59T 459,67 - 491,69 T59459,69 - T59459,69 - T59TC F C K R F+ + (Eq. IV)da qual resulta que a temperatura Fahrenheit do ponto de gelo (TC = 0 C) 32 F e a do ponto de vapor (TC = 100 C) 212 F. Os 100 C ou Kelvin entre os pontos de gelo e de vapor correspondem a 180 F ou Rankine, como ilustra a Figura 3, onde as quatro escalas so comparadas.16Figura3ComparaoentreasescalasdetemperaturaKelvin, Celsius, Rankinee Fahrenheit, cujos seus valores so arredondados (SEARS et al., 1984).4. Dilatao TrmicaA maior parte dos slidos dilata-se quando aquecida. Suponha que uma barra de determinadomaterial tenha comprimentoLo temperatura inicial e que, quandoa temperaturacresce,T, ocomprimentoaumentardeL(Figura4).Aexperincia mostraqueseTnofor muitogrande,Lserdiretamenteproporcional aT. Certamente,Ltambmserproporcional aLo. Seduasbarrasdomesmomaterial sofreremamesmavariaodetemperatura, masumafor odobrodaoutra, entoa variaodecomprimentodestatambmserodobrododaoutra. Introduzindouma constantedeproporcionalidade, quediferenteparamateriais diferentes, pode-se resumir esta relao para:L = * Lo * T (Eq. V)onde o coeficiente de dilatao linear dado em C-1.17Figura4Dilataotrmicadeumabarradevidoaoaumentodetemperaturapara promover o aumento do seu comprimento (SENAI, 1998).Pela Figura 4, a dilatao trmica ocorre sempre em trs dimenses: na direo do comprimento, da largura e da altura.Quandoadilataoserefereaessastrsdimenses, aomesmotempo, ela chamada dedilataovolumtrica. Se apenas duas dimenses soconsideradas, a dilatao superficial. Estavariao de tamanho que os materiais apresentam quando aquecidos depende de uma constante caracterstica de cada material, e isso se d atravs docoeficientededilataolinear.A Tabela1apresentaosvaloresdeparacada material utilizado na indstria.Tabela 1 Valores de coeficiente de dilatao linear para cada material (SENAI, 1997; SEARS et al., 1984).Material Coeficiente de dilatao linear (C-1)Ao 0,000 012 (ou 1,2 x 10-5)Alumnio 0,000 024 (ou 2,4 x 10-5)Antimnio 0,000 011 (ou 1,1 x 10-5)Chumbo 0,000 029 (ou 2,9 x 10-5)Cobre 0,000 017 (ou 1,7 x 10-5)Ferro fundido 0,000 010 5 (ou 1,05 x 10-5)Grafite 0,000 007 8 (ou 7,8 x 10-6)Ouro 0,000 014 (ou 1,4 x 10-5)Porcelana 0,000 004 5 (ou 4,5 x 10-6)Vidro 0,000 000 5 (ou 5,0 x 10-7)Lato 0,000 020 (ou 2,0 x 10-5)Invar 0,000 000 9 (ou 9,0 x 10-7)Quartzo fundido 0,000 000 4 (ou 4,0 x 10-7)O aumento de temperatura normalmente causa um aumento no volume tanto de slidos quanto de lquidos. A experincia mostra que, se a variao de temperatura T no for grande demais, o aumento de volume Vser aproximadamente proporcional variao de temperatura. Ela tambm ser proporcional ao volume inicialVo, como na dilatao linear. A expresso para variao de volume V dada por:18V = * Vo * T (Eq. VI)onde o coeficiente de dilatao volumtrica cujo seu valor o triplo do coeficiente de dilatao linear, ou seja: = 3 * (Eq. VII)J para a dilatao superficial em que o aumento de reaSser aproximadamente proporcional variao de temperatura, ela tambm ser proporcional rea inicial So, como na dilatao linear. A expresso para variao de rea S dada por:S = * So * T (Eq. VIII)onde o coeficiente de dilatao superficial cujo seu valor o dobro do coeficiente de dilatao linear,ou seja: = 2 * (Eq. IX)5. Clculo de Dilatao TrmicaParafinsdeclculo, devem-seconsiderar asdilataeslineares, superficiaise volumtricas. Para os clculos, o tcnico em mecnica dever utilizar as Equaes V, VI e VIII. Aseguir soapresentadostrs exemplos de clculos que envolvem, cada um, os tipos de dilatao.5.1 Clculo de Dilatao Trmica LinearAFigura5ilustraoprojetodeumconjuntocoroa-eixo. Nesseconjunto, cujo material ao, o dimetro do furo da coroa dever ser 0,05 mm menor do que o dimetro do eixo. Seu problema descobrir a que temperatura a coroa dever ser aquecida para se obter o encaixe com o aperto desejado.19Figura 5 Conjunto coroa-eixo (SENAI, 1998).Nafiguraacima, apeaapresenta ocomprimento de 250 mmemtemperatura ambiente de 25 C, sendo aquecida a 500 C. O comprimento da pea aps o aquecimento dada a partir da aplicao da Eq. V. Assim:L = * Lo * T = 1,2 x 10-5 * 250 * (500-25) = 1,2 x 10-5 * 250 * 475 L = 1,425 mm Como L = Lf Lo, logo:L = Lf Lo = 1,425 Lf = 1,425 + Lo = (1,425 + 250) mm Lf = 251,425 mm (Resposta)5.2 Clculo de Dilatao Trmica VolumtricaA seguir tem-se a reproduo de uma questo de vestibular extrada da Pontifcia UniversidadeCatlicadoRioGrandedoSul (PUC-RS), emqueenvolveadilatao volumtrica de um paraleleppedo.20(QUESTODEVESTIBULARDAPUC-RS) Umparaleleppedoa10Cpossui dimensesiguaisa10cmx20cmx30 cm, sendoconstitudodeummaterial cujo coeficiente de dilatao trmica linear 8,0 x 10-6 C. Quando sua temperatura aumenta para 110 C, o acrscimo de volume, em cm3, :a) 144 b) 72,0 c) 14,4 d) 9,60 e) 4,80Soluo:Com base no enunciado, utiliza-se a Eq. VI para o clculo do acrscimo de volume V do paraleleppedo:V = * Vo * T (I)Mas: = 3 = 3 x 8,0 x 10-6 = 24,0 x 10-6 C-1 (II)Com: T = Tf To = (110 10) C T = 100 C = 1,0 x 102 C (III)E: Vo = (10 x 20 x 30) cm3 Vo = 6.000 cm3 = 6,0 x 103 cm3 (IV)Substituindo (II), (III) e (IV) em (I), tem-se, portanto:V = 24,0 x 10-6 x 6,0 x 103 x 1,0 x 102 = 144 x 10-1 V = 14,4 cm3 (Resposta)5.3 Clculo de Dilatao Trmica SuperficialA seguir tem-se a descrio exemplar de dilatao superficial de uma moeda de cobre puro.Uma moeda, fabricada com nquel puro, est temperatura ambiente de 20 C. Ao ser levada a um forno, ela sofre um acrscimo de 1 % na rea de sua superfcie. Qual a temperatura do forno? Dado: nquel = 12,5 x 10-6 C-1.Soluo:A expresso simplificada da dilatao superficial dada pela Eq. VIII:21S = * So * T (I)Sendo: S = 0,01 So(que o acrscimo percentual 1 % na rea da superfcie da moeda de nquel) (II) = 2nquel = 2 x 12,5 x 10-6 = 25,0 x 10-6 C-1 (III)T = Tf To T = Tf 20 (IV)Substituindo (II), (III) e (IV) em (I), tem-se:(Resposta) C 420 T C 20) (400 T 40010 x25,00,0120 - T 20) - (T xS x10 x25,0 S 0,01ff6 -f f o6 -o + 6. Exerccios de Fixao1Umachapadealumniopossui umfuroemsuapartecentral. Sendoaquecida, observamos que:(A) tanto a chapa como o furo tendem a diminuir suas dimenses.(B) o furo permanece com suas dimenses originais e a chapa aumenta.(C) a chapa e o furo permanecem com suas dimenses originais.(D) a chapa aumenta e o furo diminui.(E) tanto a chapa como o furo tendem a aumentar suas dimenses.2 (UFMG) O coeficiente de dilatao trmica do alumnio (Al) , aproximadamente, duas vezes o coeficiente de dilatao trmica do ferro (Fe). A figura mostra duas peas 22em que um anel feito de um desses metais envolve um disco feito do outro. temperatura ambiente, os discos esto presos aos anis.Se as duas peas forem aquecidas uniformemente, correto afirmar que:(A) apenas o disco de Al se soltar do anel de Fe.(B) apenas o disco de Fe se soltar do anel de Al.(C) os dois discos se soltaro dos respectivos anis.(D) os discos no se soltaro dos anis.3 Ao aquecermos um slido de 20 C a 80 C, observamos que seu volume experimenta um aumento corresponde a 0,09 % em relao ao volume inicial. Qual o coeficiente de dilatao linear do material de que feito o slido?4 Uma barra de estanho tem a forma de um prisma reto de 4,0 cm2de rea da base e 1,0 m de comprimento, quando na temperatura inicial de 68 F. Sabendo que o coeficiente dedilataolineardoestanho igual a 2,0 x 10-5C-1,determineo comprimento e o volume dessa barra quando ela atinge a temperatura de 518 F.235 Uma barra de ferro tem, a 20 C, um comprimento igual a 300 cm. O coeficiente de dilatao trmica linear do ferro vale 12 x 10-6 C-1. Determine o comprimento da barra a 120 C.6 Uma vara metlica tem comprimento de 1 m, a 0 C. Ao ser aquecida at 100 C, sofre um aumento de 0,12 cm. Determine o coeficiente de dilatao trmica linear do metal, no intervalo de temperatura considerado.7 (ITA-SP) O coeficiente mdio de dilatao trmica linear do ao 1,2 x 10-5 C-1. Usando trilhos de ao de 8,0 m de comprimento, um engenheiro construiu uma ferrovia deixando um espao de 0,50 cm entre os trilhos, quando a temperatura era de 28 C. Num dia de Sol forte, os trilhos soltaram-se dos dormentes. Qual dos valores abaixo correspondente mnima temperatura que deve ter sido atingida pelos trilhos?(A) 100 C (B) 60 C (C) 80 C (D) 50 C (E) 90 C8 O grfico representa como varia o comprimento L de duas barras homogneas, A e B, em funo da temperatura, sendo, a 0 C, L2 = 2 L1.Essas barras devem ser dispostas verticalmente de modo que uma plataforma Papoiada sobre elas permanea sempre na horizontal para qualquer temperatura > 0 C.24a) Determine a relao entre os coeficientes de dilatao linear A e B das barras.b) Qual o valor dodesnvelxentre as bases de apoio das duas barras em funo dos comprimentos L1 e L2?9 Uma placa tem rea 5,000 m2 a 0 C. Ao ter sua temperatura elevada para 100 C, sua reapassaser 5,004m2. Determineoscoeficientesdedilataotrmicasuperficial e linear da placa.10) Aoser aquecidode10Cpara210C, ovolumedeumcorposlidoaumenta 0,02 cm3. Seovolumedocorpoa10Cera100cm3, determineoscoeficientesde dilatao trmica volumtrica, linear e superficial que constitui o corpo.11 Em um frasco volumtrico usado em laboratrio de qumica est gravado 200 cm3 a 20C. Sendoocoeficientededilataotrmicavolumtricadovidro27 x10-6C-1, determine a capacidade desse frasco.12Umaesferametlicaaquecidade30Cpara110C, eseuvolumesofreum aumento correspondente a 1,2 %. Qual o valor do coeficiente de dilatao linear mdio desse metal?13 Uma pea slida tem uma cavidade cujo volume vale 8 cm3 a 20 C. A temperatura da pea varia para 520 C e o coeficiente de dilatao linear do slido (12 x 10-6 C-1) pode ser considerado constante. Supondo que a presso interna da cavidade seja sempre igual externa, qual a variao percentual do volume da cavidade?14 Uma placa metlica de dimenses 10 cm x 20 cm x 0,5 cm tem em seu centro um furo cujo dimetro igual a 1,00 cm quando uma placa est temperatura de 20 C. O 25coeficiente de dilatao linear do metal da placa 20 x 10-6 C-1. Quando a temperatura de 520 C, a rea do furo:(A) aumenta 1 %.(B) diminui 1 %.(C) aumenta 2 %.(D) diminui 2 %.(E) no se altera.15(UMC-SP) Afiguramostraavariaorelativadocomprimentodeumabarra metlica em funo da temperatura.Se um cubo de aresta a, feito desse metal, for submetido variao de temperatura de 100 C, sua dilatao volumtrica ser:(A) V = 7,2 x 10-3 a3.(B) V = 6,0 x 10-3 a3.(C) V = 5,6x 10-3 a3.(D) V = 4,8 x 10-3 a3.26(E) V = 3,6 x 10-3 a3.7. Referncias BibliogrficasFERRARO, N. G. & SOARES, P. A. T. Fsica Bsica. Volume nico, 2 Edio. Atual Editora. So Paulo, SP, 2004. Pp. 253:257.SEARS,F. et al.Fsica2MecnicadosFluidos, Calor, MovimentoOndulatrio. 2 Edio. Livros Tcnicos e Cientficos Editora Ltda. Rio de Janeiro, RJ, 1984. Pp. 332:339.SERVIONACIONALDEAPRENDIZAGEMINDUSTRIALSENAI.Clculo TcnicoMetrologia-LeituraeInterpretaodeDesenhoTcnicoMecnico.UsandoUnidadesdeMedida.Telecurso2000Profissionalizante. SoPaulo, SP, 1998. Pp. 3:18.VILLASBAS,N. et al.Tpicos deFsica2Termologia, Ondulatria, ptica. 16 Edio reformulada e ampliada. Editora Saraiva. So Paulo, SP, 2004. Pp. 168:169.27CAPTULO 3CLCULO DO COMPRIMENTO DE PEAS DOBRADAS OU CURVADASUm dos problemas mais comuns entre os profissionais em mecnica com relao aocustodamatria-primaparaafabricaodepeas. Paraobter estaresposta, basta calcular o comprimento de peas antes de serem dobradas ou curvadas.1. Peas DobradasO clculo docomprimento de uma pea dobrada no um problema difcil de resolver. Basta empregar os conhecimentos deMatemtica referentes aoclculodo permetro. Paralembrar,permetro a medida do contorno de uma figura geomtrica plana. Um exemplo de permetro ilustrado na Figura 1, onde apresentada a medida do permetro de uma chapa metlica a ser fabricada.28Figura 1 Desenho de uma chapa com todos os lados cotados em milmetros.Atravs do desenho da chapa com todas as dimenses dadas em milmetros que se pode calcular o permetro p desta chapa somando-se os seus valores. Assim:p= (19,75 + 10,21 + 16,07 + 10,55 + 3,56 + 5,15) mm p = 65,29 mmAseguirapresentadoumdesenhodeumapeadobradavistatridimensional (Figura 2A) e em vista frontal com as cotas dadas em milmetros (Figura 2B).29Figura2Desenhodeumapeadobradacomvistastridimensional (A)eemvista frontal (B) (SENAI, 1998).Pela figura acima, basicamente h trs segmentos de reta, que so representados porA,B,Ce D. Os segmentos de reta Ae Cso, respectivamente as alturas da linha neutra e externa da pea, enquanto que os segmentos de reta B e D so, respectivamente, os comprimentos das linhas neutra e externa da base da pea. Vale lembrar que linha neutra aquela que se encontra no meio da espessura, cujo smbolo uma linha curta no meio entre duas linhas longas, conforme a indicao na Figura 2.Parafacilitar aresoluodoproblemaexposto, tm-seos seguintes clculos matemticos:I Comprimento da linha neutra da base da pea dobrada:

,_

+ 22eb B(Eq. I)onde B o comprimento da linha neutra da base, b o comprimento da medida interna da pea e e a espessura da pea.Caso o comprimento externo Dda pea for dado, o clculo do comprimento da linha neutra da base B da pea dobrada dado por:

,_

22eD B(Eq. II)e, para o clculo do comprimento externo D:e b D 2 + (Eq. III)II Clculo da altura da linha neutra da pea dobrada:302eC A (Eq. IV)onde A a altura da linha neutra da pea e C a altura externa (ou total) da pea.Caso a altura da linha neutra A for dada, o clculo da altura externa (ou total) C da pea dado por:2eA C + (Eq. V)III Clculo do comprimento total da pea dobrada:A B T 2 + (Eq. VI)onde T o comprimento total da pea dobrada.Para a pea ilustrada na Figura 2, seu o comprimento interno b mede 50 mm e a sua espessura e, 6 mm. Da, para a Eq. I, tem-se o clculo do comprimento da linha neutra da base B, ou seja:mm B mm mm B 56 ] 6 50 [262 50 + 1]1

,_

+ O comprimento externo D da pea dado na Eq. III :[ ] mm D mm mm D 62 ] 12 50 [ ) 6 * 2 ( 50 + + A altura da linha neutra da pea Adada na Eq. IV, cuja altura externaC de 30 mm, :mm A mm mm A 27 ] 3 30 [2630 1]1

,_

O comprimento total T da pea dobrada dado na Eq. VI , portanto:31mm T mm mm T 104 ] 54 50 [ )] 27 * 2 ( 50 [ + + 2. Peas Curvadas CircularesOclculoparapeas curvadas circulares (Figura3) requer conhecimentode Geometria Plana.precisoconsideraramaneira como osmateriaissecomportam ao sofrerdeformaes, sejamelasaquenteouafrio, comonaspeasdobradas.Aqui, o permetro utilizado para o clculo do comprimento total da pea, junto com os valores dos raios ou dimetros da circunferncia.Figura 3 Ilustrao de uma pea curvada circular em vista tridimensional (A) e em vista frontal (B), indicando os raios interno ri, da linha neutra rn e externo re (SENAI, 1998).As peas curvadas circulares, como os anis, por exemplo, so feitas a partir de perfis planos. Por isso, no possvel calcular a quantidade de material necessrio e nem pelos dimetros interno e externo das peas curvadas, pois se for colocado um pedao de ao no microscpio, ver que formado por cristais arrumados de forma geomtrica.Quando esse tipo de material sofre qualquer deformao nas peas curvadas, bem como das peas dobradas, os cristais que constituem a estrutura do material mudam de forma, alongando-se (trao na parte externa da pea) ou comprimindo-se (compresso na parte interna), como ilustra a Figura 2A. mais ou menos o que acontece com a palma da moquandoabertaoufechada. Apeleseesticarousecontrair, dependendodo movimento que voc fizer.32Nocasoespecficodaspeas curvadas,por causadadeformao,odimetro interno no pode ser usado como referncia para o clculo, pois a pea tender a ser menor do que o tamanho especificado. Pelo mesmo motivo, o dimetro externo tambm no poder ser usado, uma vez que a pea ficar maior do que o especificado. O que se pode utilizar,para fins de clculo, o dimetro da linha neutra que passa pelo meio da espessura da pea curvada, uma vez que esta linha no sofre deformao quando a pea curvada, conforme a ilustrao da Figura 2A.Paradeterminar odimetro da linha neutra em peas curvadas circulares, ela determinada, emMecnica, pormeiodeum ensaiomecnico, isto,umestudodo comportamento do material realizado com o auxlio de equipamentos apropriados em testesrealizadosemlaboratriosespecficosdemecnica. Emtermosdeclculo, a soluo calcular o dimetro da linha neutra dn atravs de um clculo aproximado pelo dimetro mdio da pea curvada circular. Para isso, basta somar os valores dos dimetros interno di e externo de e dividir por 2, isto :2e ind dd+ (Eq. VII)[Nota 1: dimetro da circunferncia d d = 2r (r o raio da circunferncia)]IV Clculo do dimetro externo do anelO clculo do dimetro externo do anel circulardese d pela soma do valor do dimetro interno di com as duas espessuras do mesmo, ou seja:e d di e2 + (Eq. VIII)V Clculo do permetro da circunferncia do anelA expresso para o clculo do permetro da circunferncia dada por:nd p * (Eq. IX)33onde p o permetro da circunferncia do anel, dn o dimetro da linha neutra e uma constante numrica cujo valor a ser adotado aqui = 3,14.[Nota2:Quandosetrabalhacomumachapadeat1mmdeespessura,no h necessidade de correo nessa medida porque, neste caso, a linha neutra do material est bem prxima do dimetro mdio do anel].Para a pea ilustrada na Figura 4, suponha-se que o tcnico em mecnica receba um desenho contendoas seguintes dimenses: dimetro interno di= 80 mm; dimetro externo de = 100 mm; espessura e = 10 mm.Figura4Desenhodeumanel circular comasrespectivas dimenses cotadas em milmetros (SENAI, 1998).Ao utilizar a Eq. VII, tem-se a soma dos dimetros interno e externo para obter o valor da mdia do dimetro interno do anel que, por sua vez, o dimetro da linha neutra do anel circular, ou seja:mm d mm mm dn n9021802) 100 80 ( 1]1

+34O valor do dimetro da linha neutra da circunferncia obtido com esta equao para a matria-prima necessria. Como o comprimento do material para a fabricao do anel correspondemais oumenos aopermetrodacircunfernciaformadapelalinha mdia, logo o valor desse permetro obtido na Eq. IX, ou seja: mm p mm d pn6 , 282 90 * 14 , 3 * Ao analisar o desenho da Figura 4, a fim de executar o trabalho, o tcnico em mecnicaprecisardeumachapametlicacom10mmdeespessura. Emfunoda deformaopeloprocessodecurvaturadachapametlica, provvel quesetenhaa necessidade de obter uma correo na medida do permetro de 282,6 mm.De acordocomoSENAI (1998), a tendncia, nestes casos, que o anel fique maiorqueo especificado, umavez que,emempresaspequenas,osprocedimentosa serem executados so:- fazer amostras com a medida obtida; - analisar o resultado; e- fazer as correes necessrias.3. Peas Curvadas SemicircularesAo analisar o desenho na Figura 5, tm-se primeiramente de descobrir quais os elementos geomtricos contidos. Assim, percebe-se que h, no desenho, duas semicircunferncias e dois segmentos de reta.35Figura 5 Desenho de uma pea curvada semicircular (SENAI, 1998).Sehdificuldadedeenxergar esses elementos, tem-seoauxliodelinhas pontilhadas nos dois crculos separados nos dois segmentos de reta na Figura 6.Figura 6 Separao dos elementos geomtricos constituintes da pea curvada semicircular (SENAI, 1998).Pela Figura 6, atravs das linhas pontilhadas, tm-se duas circunferncias absolutamente iguais. Com isso, tem-se a execuo dos clculos apenas nas medidas de uma dessas circunferncias, ou seja, do permetro e do comprimento total da pea a ser fabricada.VI Clculo do permetro da semicircunferncia36Como est a trabalhar com a medida do raio, vale lembrar de que, para o clculo do permetro, tem-se o uso da seguinte equao:nr p 2 (Eq. X)onde p o permetro da semicircunferncia e rn o raio da linha neutra.VII Clculo do comprimento total da pea a ser fabricadaPara calcular o comprimento total da pea fabricada, tem-se a seguinte equao:D p E 2 + (Eq. XI)onde E o comprimento total da pea,p o permetro da semicircunferncia e D o segmento de reta da pea.PelaFigura5,asdimensesdadas na pea so,respectivamente,rn=10 mme D = 30 mm.Pela Eq. X, o permetro da pea p em questo :mm p mm r pn8 , 62 10 * 14 , 3 * 2 2 E o comprimento total E dado pela Eq. XI , portanto:mm E mm mm D p E 8 , 122 ] 60 8 , 62 [ )] 30 * 2 ( 8 , 62 [ 2 + + + 4. Peas Curvadas Circulares IncompletasO desenho na Figuras 7 corresponde a uma pea curvada circular incompleta, pois a parte circular no tem uma volta completa, ou seja, no contm o ngulo de 360.37Figura 7 Pea curvada circular incompleta (SENAI, 1998).Pelo desenho na Figura 7, h um segmento de reta em uma circunferncia que, como j havia mencionada, no est completa, formado um arco.Como de hbito, h necessidade de fazer uma anlise no desenho para verificar todasasmedidasdisponveis, ouseja, aespessurada pea, oraiointernodoarcode circunferncia e o valor do ngulo correspondente ao arco que se deseja obter.Aseguir soapresentados osclculos paradimensionamentocorretodapea ilustrada na Figura 7.VIII Clculo do raio da linha neutra da circunfernciaPara este clculo, devem-se ter os raios internorie da linha neutrarnda circunferncia e a espessura e da pea, ou seja:2er ri n+ (Eq. XII)IX Clculo do permetro da circunferncia incompletaComaobtenodovalor doraiodalinhaneutradaEq. XII, opermetroda circunferncia incompleta o mesmo dado para o clculo do permetro da semicircunferncia da Eq. X, ou seja:38nr p 2 X Clculo da medida do arco a 1 de circunferncia de 360Como a circunferncia completa possui o ngulo igual a 360, divide-se o valor calculado do permetro p por 360, isto :360parc (Eq. XIII)onde arc a medida do arco para cada 1 de circunferncia de 360 dada em milmetros.XI Clculo da medida do arco de ngulo de circunferncia Para isso, basta pegar o valor da medida do arco arc em milmetros para cada grau do arco de circunferncia pelo valor do ngulo do arco, isto : * arc c (Eq. XIV)onde c a medida do arco para o ngulo de circunferncia de ngulo do arco.XII Clculo do comprimento aproximado da pea a ser fabricadac F L + (Eq. XV)onde L o comprimento aproximado da pea e F o segmento de reta da pea.Para as dimenses dadas na Figura 7, tm-se, respectivamente, e=6 mm, F = 50 mm, ri = 12 mm e = 340.Pela Eq. XII, o raio da linha neutra da pea em questo :39mm r mm mmer rn i n15 ] 3 12 [ ]2612 [2 +

,_

+ + O permetro da pea :mm p mm r pn2 , 94 15 * 14 , 3 * 2 2 Pela Eq. XIII, a medida do arco a 1 de circunferncia :mm arc mmparc 26166 , 03602 , 94360 Pela Eq. XIV, a medida do arco para o ngulo de circunferncia de 340 :mm c mm arc c 97 , 88 340 * 26166 , 0 * Pela Eq. XV, o comprimento aproximado da pea a ser fabricada , portanto:mm L mm c F L 97 , 138 ) 97 , 88 50 ( + + 5. Exerccios de Fixao1 Calcule o material necessrio para a fabricao das seguintes peas dobradas.a)40b)c)2 Calcule o comprimento do material necessrio para fabricar as seguintes peas.a)41b)6. Referncias BibliogrficasSERVIONACIONALDEAPRENDIZAGEMINDUSTRIALSENAI.Clculo TcnicoMetrologia-LeituraeInterpretaodeDesenhoTcnicoMecnico.UsandoUnidadesdeMedida.Telecurso2000Profissionalizante. SoPaulo, SP, 1998. Pp. 1:8.CAPTULO 4CLCULO DE MEDIDAS DESCONHECIDAS 1 PARTE1. Procedimentos FundamentaisSuponha que um torneiro mecnico que, na sua rotina de trabalho, receba ordens deservio junto com osdesenhos mecnicos de peas a serem torneadas. Uma dessas ordensdeservioparaproduodeumapeaindicadanodesenhoapresentadana Figura 1.42Figura 1 Ilustrao de uma ordem de servio para produo de uma pea a ser torneada (SENAI, 1998).A indicao do desenho mostra que o torneiro ter de tornear um tarugo cilndrico para que ofresador produza uma pea cuja extremidade seja umperfil quadrado. Contudo, o desenho apresenta apenas a medida do lado do quadrado. Para isso, o torneiro mecnico ter que descobrira medida do dimetro do cilindroque, ao ser desbastado pelo fresador, fornecer a pea desejada.Afimde resolver o problema, remeta-se a recorrer os conhecimentos de Geometria, uma vez que h um teorema que pode ajudar na descoberta da medida que falta em um dos lados do tringulo retngulo: Teorema de Pitgoras. O tringulo retngulo (Figura 2) um tringulo que possui um ngulo reto (90), cujo seu lado maior chama-se hipotenusa (a) e os outros dois lados menores chamam-se 43catetos (b e c). Pelo Teorema de Pitgoras, o quadrado da hipotenusa igual a soma dos quadrados dos catetos, isto :a2 = b2 + c2(Eq. I)Figura 2 Tringulo retngulo com identificao dos lados: hipotenusa (a) e catetos (b e c) (SENAI, 1998).Emprimeirolugar,otorneiro mecnico deve identificar as figuras geomtricas que esto presentes no desenho do tarugo. Ao analisar atentamente o desenho, h uma circunferncia e um quadrado.Emseguida, necessriover quais as medidas queestonodesenhoeque podero ser usadas no clculo. No desenho que o torneiro mecnico recebeu, a medida disponvel a do lado do quadrado, que tem 30 mm.A Geometria diz que se houver um quadrado inscrito em uma circunferncia,o dimetro da circunferncia corresponde diagonal do quadrado (Figura 3).44Figura 3 Quadrado inscrito em uma circunferncia (SENAI, 1998).A ttulo de recordao, diagonal o segmento de reta que une dois vrtices no consecutivos de um polgono, ou seja, de uma figura geomtrica plana que tenha mais de trs lados (Figura 4).Figura4Exemplos dediagonais formados emumhexgono(esquerda) eum quadrado ( direita) (SENAI, 1998)Paraentender melhoroquefoi explicado, observenaFigura3odesenhodo quadradoinscrito na circunferncia ao qual foi acrescentada a diagonald. Ao analisar comcuidado, oquadradofoi divididoemdois tringulos retngulos issceles pela 45diagonal. Por sua vez, a diagonal traada no quadrado corresponde a hipotenusa dos dois tringulos e os catetos correspondem aos lados do quadrado e medem 30 mm. Assim, a medida que falta a hipotenusa do tringulo retngulo, ou seja, o dimetro da pea a ser calculada pelo torneiro mecnico.Transportando as medidas do desenho para o Teorema de Pitgoras, tem-se:Para garantir que o torneiro mecnico, como qualquer profissional em Mecnica, aprenda a descobrir a medida que falta em um desenho, h um outro exemplo de uma pea, neste caso um parafuso rosqueado com cabea sextavada. Nela no se tem uma das medidas, como indica a Figura 5.Figura 5 Desenho de um parafuso rosqueado com cabea sextavada (SENAI, 1998).Otorneiromecnicoprecisaprepararomaterial namedidacorretaparaqueo fresador usine a extremidade da pea a ser sextavada.Ao analisar o desenho da Figura 5, a primeira coisa que se tem a fazer traar uma linha diagonal dentro da figura sextavada que corresponda ao dimetro da circunferncia(Figura6A)que, porsuavez, passaaser ahipotenusaadotringulo 46retngulo. O lado do sextavado do qual a hipotenusa partiu o cateto c (Figura 6B) que, junto com o cateto b, formam o ngulo reto do tringulo (Figura 6C).Figura 6 Mtodo de desenvolvimento para o clculo do dimetro da cabea sextavada do parafuso (SENAI, 1998).Se era possvel obter um tringulo retngulo, poderia ser aplicado o Teorema de Pitgoras. Porm, surgiu outro problema: apenas o cateto maior apresentou um valor de 26 mm.Apesardenoterasmedidas, aFigura6forneceaotorneiromecnicodados importantes, a saber: a hipotenusa corresponde ao dimetro da circunferncia que, por sua vez, o dobro do raio r(d = 2r). Por isso, a hipotenusa igual a duas vezes o valor do raio dessa mesma circunferncia.necessrio saber, tambm, que,quando se tem um desenho tcnico de uma pea sextavada inscrita em uma circunferncia, os lados desse desenho correspondem ao raio da circunferncia onde ele est inscrito.Comisso, esses dadospodemser representadosmatematicamentedaseguinte forma: a hipotenusa a = 2r; e o cateto menor c = r.47Aplicando o Teorema de Pitgoras e substituindo os valores, tem-se:(2r)2 = 262 + r2 4r2 + 676 + r2 4r2 r2 = 676 3r2 = 676 r2 = 225,33 r =33 , 225 r 15,01 mmComo a hipotenusa a igual a 2r e sabendo que o valor de r 15,01 mm, logo tem-se:a= 2 x 15,01 = 30,02 mmSabendoqueahipotenusatambmcorrespondeaodimetrodacircunferncia, logo conclui-se que esse dimetro para a usinagem do parafuso de 30,02 mm.Como visto, h maneiras de se fazer os clculos para as peas com perfis distintos. A seguir apresentada uma tabela com resoluo de clculos geomtricos.Tabela 1 Clculos geomtricos para peas com perfis hexagonais e do quadrado.Para peas com perfis do quadrado Para peas com perfis hexagonaisClculo do lado: 2DL Clculo da medida entre faces: 155 , 1DC Clculo da diagonal: 2 * L D Clculo da diagonal: 155 , 1 * C D 2. Exerccios de Fixao1 Qual a medida da diagonal no desenho da porca quadrada mostrado a seguir?482 preciso fazer um quadrado em um tarugo de 40 mm de dimetro. Qual deve ser a medida do lado do quadrado?3 Calcule o comprimento da cota x da pea a seguir.4 De acordo com o desenho a seguir, qual deve ser o dimetro de um tarugo para fresar uma pea de extremidade quadrada?495 Calcule na placa a seguir a distncia entre os centros dos furos A e B.6 Qual a distncia entre os centros das polias A e B?507 Calcule o dimetro do rebaixo onde ser encaixado um parafuso de cabea quadrada, conforme ilustra o seguinte desenho. Considere 6 mm de folga. Depois de obter o valor da diagonal do quadrado, acrescente a medida da folga.8 Qual a distncia entre os centros dos furos A e B? D a resposta em milmetros.9 Calcule a distncia entre os centros dos furos igualmente espaados da pea a seguir.5110 Calcule o valor de x no desenho a seguir.11 Calcule o valor de x nos seguintes desenhos.12) Calcule a distncia entre dois chanfros opostos do bloco representado a seguir.523. Referncias BibliogrficasSERVIONACIONALDEAPRENDIZAGEMINDUSTRIALSENAI.Clculo TcnicoMetrologia-LeituraeInterpretaodeDesenhoTcnicoMecnico.UsandoUnidadesdeMedida.Telecurso2000Profissionalizante. SoPaulo, SP, 1998. Pp. 1:8.53CAPTULO 5CLCULO DE MEDIDAS DESCONHECIDAS 2 PARTE1. Clculo do Comprimento de CorreiasQuandosefalaemreformaemanutenodemquinas, os profissionais em mecnicaprecisamdeconhecimentos ecriatividadepararesolver os problemas que envolvem este tipo de trabalho.Na maioria dos casos, as mquinas apresentam problemas com falta de peas, falta deesquemasedesenhos, ondeconjuntosmecnicosgastosprecisamser substitudos, ainda mais quandose tratamde mquinas mais antigas ondenohreposiode componentes danificados porque as peas para substituio deixaram de ser fabricadas e comercializadas. A tarefa do tcnico em mecnica, no entanto, , alm de adaptar as peas e dispositivos, modernizar a mquina para que possa ser empregada com mais eficincia.Um dos maiores problemas a serem solucionados calcular o comprimento das correias. Suponha que,em uma empresa, o tcnico em mecnica receba ordens de seu chefe para calcular o comprimento de todas as correias das mquinas que esto sendo reformadas.Paraasoluodesteproblema, otcnicoprecisaconhecer, primeiro, queas mquinas possuem sistemas rotativos, os quais so constitudos basicamente de motor e rotor. A partir da, ele precisa conhecer os tamanhos das polias integrantes que, por ora, podempossuir dimetrosiguaisoudiferentes. Aseguir soapresentadosostiposde clculos do comprimento de polias a serem feitos de acordo com os dimetros das polias integrantes do sistema rotativo das mquinas.1.1 Clculo do Comprimento de Correias com Polias de Dimetros IguaisNosconjuntosmecnicos, otcnicoemmecnicatemvriascombinaesde polias e correias. Assim, possvel combinar polias de dimetros iguais, movidas por 54correiasabertas(Figura1A, esquerda)ecorreiascruzadas(Figura1B, direita). A razo para o cruzamento das correias, no entanto, inverter a rotao da polia.Figura 1 Esquema ilustrativo de polias de dimetros iguais para correia aberta (A) e para correia cruzada (B) (SENAI, 1998).Para identificar qual a polia que est montada no eixo do motor, basta analisar o sentido do movimento da correia. Na Figura 1A, o sentido de movimento horrioe, portanto, a polia da direita a polia do motor, uma vez que a polia da esquerda a polia do rotor. Caso o sentido de movimento for anti-horrio, a polia da esquerda a polia do motor, uma vez que a polia da direita a polia do rotor.A partir da anlise do desenho feito pelo tcnico em mecnica, o comprimento da correia corresponde ao permetro desse desenho. O raciocnio a seguir semelhante ao que foi seguido para solucionar o problema do comprimento do material para fabricao de peas curvadas. Pelo desenho, nota-se que a rea de contato da correia com a polia est localizada nas duas semicircunferncias.Em termos de clculos geomtricos, consideram-se as duas semicircunferncias das extremidades das duas polias como se fossem formar uma nica circunferncia. Logo, o comprimento das partes curvas ser o permetro da circunferncia p, isto :d p (Eq. I)ondedodimetrodacircunfernciae(l-sealetragregapi)umaconstante invarivel (adota-se o valor de = 3,14).55Assim, para oclculo do comprimento da correia aberta para polias de dimetros iguais Lai, tem-se a seguinte expresso matemtica:c p Lai2 + (Eq. II)onde c a distncia entre os centros dos eixos das polias.J para o clculo do comprimento da correia cruzada para polias de dimetros iguais Lci, tem-se:2 22 d c p Lci+ + (Eq. III)1.2 Clculo do Comprimento de Correias com Polias de Dimetros DiferentesEm uma instalao de um sistema rotativo de mquinas em que se tm polias de dimetros diferentes, o tcnico em mecnica repete o mesmo procedimento de medir os dimetros de cada polia e a distncia entre os centros dos eixos. A combinao de polias de dimetros diferentes tempor finalidadealterar a relao de transmisso de velocidade derotaodamquina,aumentando-aoudiminuindo-a. Essetipode conjunto de polias pode igualmente ser movimentado por meio de correias abertas (Figura 2A, esquerda) ou por correias cruzadas (Figura 2B, direita).Figura 2 Esquema ilustrativo de polias de dimetros diferentes para correia aberta (A) e para correia cruzada (B) (SENAI, 1998).Nocasonosdimetros daspolias, tem-secomorefernciaparaoclculodo comprimento de correias o raio de cada polia (d/2 = r, para polia menor, e D/2 = R, para 56polia maior). Uma informao importante para este tipo de sistema que a polia menorrepresenta a polia do motor, enquanto que a polia maior representa a polia do rotor.Paraoclculodocomprimentodacorreiaabertaparapoliasdedimetrosdiferentes Lad, tem-se a seguinte expresso matemtica:( ) ( )2 22 r R c r R Lad + + + (Eq. IV)onde R e r so, respectivamente, os raios das polias maior e menor.Nota:O clculo na Eq. IV aproximado, porque a regio de contato da polia com a correia no exatamente correspondente a uma semicircunferncia.J para o clculo do comprimento da correia cruzada para polias de dimetros diferentes Lcd, tem-se:( ) ( )2 22 r R c r R Lcd+ + + + (Eq. V)Exemplos prticos:1Calculeovalor aproximadodo comprimento da correia aberta para uma mquina abaixo em que as polias do motor e do rotor possuem o mesmo dimetro.Dados do problema: d = 20 cm = 200 mm; c = 40 cm = 400 mmSoluo: O permetro da circunferncia formada pela metade de cada polia dado por:mm p d p 628 200 * 14 , 3 57Pela Eq. II, tem-se:mm L mm mm c p Lai ai1428 ] 800 628 [ )] 400 * 2 ( 628 [ 2 + + + Portanto, o comprimento da correia aberta deve ser, aproximadamente, de 1430 mm.OBSERVAO:Ocomprimento fsico das correias, independentemente de serem abertas ou cruzadase dos dimetros das polias, tem de sermaiorque o comprimento calculado.2Calculeo valoraproximadodo comprimento da correia aberta para uma mquina abaixo em que as polias do motor e do rotor possuem dimetros diferentes.Dados do problema: D = 25 cm = 250 mm; d = 10 cm = 100 mm; c = 45 cm = 450 mmSoluo:Aoanalisarafiguraacima, nota-sequeossegmentosderetaentreasduas polias esto inclinadas. Para calcular a distncia entre os centros dos eixos das polias c, tem-secomoferramenta idealo Teorema de Pitgoras, bastando traar uma linha para c, conforme ilustra o desenho a seguir.58Assim, o segmento de reta da correia a a hipotenusa, a distncia entre os centros dos eixos das poliasc o cateto maior e a medida bque corresponde a diferena entre os raios maior e menor (b = R r) o cateto menor.Com base destas informaes, utiliza-se a Eq. IV para o clculo em questo:( ) ( )2 22 r R c r R Lad + + + Substituindo os valores, tem-se:( ) [ ] ( )[ ] ( ) [ ] { }[ ] { } [ ] { } { }mm Lmm mm mmmm mmmm Ladad68 , 204768 , 948 1099 34 , 474 * 2 1099 225000 * 2 10992250 202500 * 2 1099 150 202500 * 2 350 * 14 , 3100 250 450 * 2 100 250 * 14 , 322 2 + + + + + ;'1]1

+ +;'1]1

+ + + Portanto, o comprimento da correia aberta deve ser, aproximadamente, de 2050 mm.3Calculeocomprimentodeumacorreiacruzadaqueligaduaspoliasiguais, com 350 mm de dimetro e distncia entre os centros dos eixos de 600 mm.Dados do problema: D = 350 mm; c = 600 mm.Soluo: Como se trata de uma correia cruzada no sistema rotativo da mquina, tem-se o clculo de seu comprimento atravs da Eq. III. Assim:2 22 d c p Lci+ + 59onde p o permetro da circunferncia das polias dadas na Eq. Id p Com os dados do problema, tem-se:mm p mm d p 1099 ) 350 * 14 , 3 ( E:( ) [ ] ( ) [ ]( ) [ ] ( ) [ ] [ ]mm Lm mm mmmm mm d c p Lcici62 , 248824 , 1389 1099 62 , 694 * 2 1099 482500 * 2 1099122500 360000 * 2 1099 350 600 * 2 1099 22 2 2 2 + + + + + + + + + Portanto, o comprimento da correia cruzada deve ser, aproximadamente, de 2500 mm.4Calculeocomprimentodeumacorreiacruzadaquedeverligar duaspoliasde dimetros diferentes (D = 200 mm e d = 150 mm) e com a distncia entre os centros dos eixos de 400 mm.Dados do problema: D = 200 mm, d = 150 mm; c = 400 mm.Soluo:Pelo enunciado, tem-se um sistema rotativo com uma correia cruzada e duas poliasdedimetrosdiferentes. Estas,porsuavez, paraefeitos declculo, devemdar valores de seus respectivos raios, ou seja:Polia maior mm mmDR 10022002

,_

; Polia menor mm mmdr 7521502

,_

Assim, o desenho para o sistema rotativo em questo descrito a seguir.60Pela Eq. V e com os dados em questo, tem-se:( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ] ( ) [ ] { }[ ] { } [ ] { } { }mm Lmm mm mmmm mmmm r R c r R Lcdcd72 , 142222 , 873 5 , 549 61 , 436 * 2 5 , 549 190625 * 2 5 , 54930625 160000 * 2 5 , 549 175 160000 * 2 175 * 14 , 375 100 400 * 2 75 100 * 14 , 3 222 2 2 2 + + + + + ;'1]1

+ + ;'1]1

+ + + + + + + + Portanto, o comprimento da correia cruzada deve ser, aproximadamente, de 1450 mm.2. Exerccios de FixaoCalcule o comprimento das correias mostradas nos desenhos a seguir. Favor converter os valores cotados para milmetros.613. Referncias BibliogrficasSERVIONACIONALDEAPRENDIZAGEMINDUSTRIALSENAI.Clculo TcnicoMetrologia-LeituraeInterpretaodeDesenhoTcnicoMecnico.UsandoUnidadesdeMedida.Telecurso2000Profissionalizante. SoPaulo, SP, 1998. Pp. 1:6.62CAPTULO 6CLCULO DE MEDIDAS DESCONHECIDAS 3 PARTE1. Clculo TrigonomtricoJ foi dito nos Captulos 4 e 5 que a necessidade de descobrir medidas desconhecidas umadas atividades mais comuns dentrodaMecnica. Por isso, os profissionais na rea como engenheiros, tcnicos, desenhistas, fresadores, torneiros, retificadores, ajustadores e ferramenteiros tm de dominar esse conhecimento com muita segurana para realizar bem seu trabalho.Desde o Captulo 4 que o Teorema de Pitgoras usado para descobrir a medida de um dos lados do tringulo retngulo descritos em desenhos mecnicos. Contudo, nem sempre as medidas disponveis no so aquelas adequadas aplicao desse teorema. So asocasies queotcnicoemmecnica precisa encontrarmedidasauxiliaresdispondo somente de medidas de um lado e de um ngulo agudo do tringulo retngulo. Neste caso, o tcnico emmecnica temde aplicar seus conhecimentos de Trigonometria para resoluo do problema exposto.ATrigonometriaoramodaMatemticaqueestudaasrelaesentreosngulos agudos do tringulo retngulo e seus lados (Figura 1).Figura 1 Tringulo retngulo com a hipotenusa a e seus catetos b e c juntamente com os ngulos agudos e (GIOVANNI & BONJORNO, 1986).63Considerando o que est exposto na figura acima, tem-se que:* Para o ngulo agudo :absenBCAChipotenusatoa catetoopossen > ^^^ acBCABhipotenusacentea catetoadja > ^^^cos cos cbtgABACcentea catetoadjatoa catetoopostg > ^^^^* Para o ngulo agudo :acsenBCABhipotenusatoa catetoopossen > ^^^abBCAChipotenusacentea catetoadja > ^^^cos cos bctgACABcentea catetoadjatoa catetoopostg > ^^^^Pela importncia que a Trigonometria fornece aos profissionais de Mecnica, ela estsemprepresente nos testes de seleo para emprego. Suponha que o candidato ao cargo de tcnico em mecnica depare, durante a aplicao de uma prova de seleo em uma dada empresa, uma questo que contenha um desenho de um flange o qual pede-se calcular a distncia entre os furos (Figura 2).64Figura 2 Desenho de um flange com dez furos (SENAI, 1998).Pela questo pedida, tem-se como calcular a distncia entre os furos do flange. Para isso, o candidato a tcnico em mecnica pode usar o tringulo retngulo a fim de dar aanlisedarelaoentreaspartes dessetringuloeobter arespostaesperada. Na aplicao do Teorema de Pitgoras, ele analisa a relao entre os catetos e a hipotenusa. Porm, h casos nos quais as relaes compreendem tambm o uso de ngulos agudos do tringulo retngulo, e que estas relaes so estabelecidas pela Trigonometria.Analisando com cuidado o desenho proposto na questo, o candidato verifica se possvel obter oresultadocomoTeoremadePitgorasoucomaTrigonometria. A primeira coisa que o candidato deve fazer na resoluo do problema (bem como no dia-a-dianolocaldetrabalho assimque for aprovado na seleo e admitido na empresa) traar um tringulo dentro do desenho do flange (Figura 3), pois o tringulo que dar as medidas que so pedidas na questo.65Figura 3 Descrio de um tringulo dentro do desenho do flange (SENAI, 1998).UnindoospontosA, B eC,tem-seumtringuloissceles(em vermelho,na Figura 2), pois ele o caminho para se chegar ao tringulo retngulo. No vrtice A, traa-se um ngulo agudo . Em seguida, traa-se uma reta bissetriz no meio do ngulo agudo a partir no vrtice A, fazendo uma diviso simultnea do ngulo agudo em dois ngulos e do tringulo ABC em dois tringulos retngulos ADB e ADC (Figura 4).Figura 4 Formao de dois tringulos retngulos e de dois ngulos no vrtice A do tringulo ABC (SENAI, 1998).66Como os dois tringulos retngulos da Figura 4 so iguais, o candidato a tcnico em mecnica analisa as medidas disponveis de apenas um deles: a hipotenusa, a qual igual ao valor do raio da circunferncia que passa pelo centro dos furos (75 mm). Alm da hipotenusa, tem-se o ngulo , que a metade do ngulo .Primeiro, o candidato tem de fazer o clculo do ngulo agudo bastando dividir 360 pelo nmero total de furos do flange projetado no desenho, que de 10 furos, ou seja: 3610 360 > Em seguida, calcula-se o ngulo a partir da diviso do ngulo agudo por 2, ou seja: 182 36 > Comapenasasmedidasdongulo 18 edahipotenusa(R=75mm), o Teorema de Pitgoras no pode ser aplicado, mas sim a Trigonometria, atravs do clculo do seno de um dos tringulos retngulos da Figura 4 (ADB ou ADC). Assim:RBDsen Pelo clculo do seno do ngulo que se pode achar o valor do cateto oposto do tringulo retngulo ADB, ou seja:mm BD mm mm sen R sen BD 175 , 23 75 * 3090 , 0 75 * 18 * O tringulo ABCque o candidato a tcnico em mecnica descobriu foi dividido em dois. O resultado obtido ( mm BD 175 , 23 ) corresponde metade da distncia entre os furos BC. Por isso, esse resultado deve ser multiplicado por 2, ou seja:67mm BC mm BD BC 350 , 46 175 , 23 * 2 * 2 Portanto, arespostaparaadistnciaentreosfurosdoflangeencontradapelo candidato a tcnico em mecnica de 46,350 mm.Outro exemplo de clculo que envolve a Trigonometria ilustrado na Figura 5A em que apresentado um problema para definir a profundidade x da pea projetada pelo desenhista.Figura 5 Em A, desenho de uma pea em que se deseja calcular a profundidade x; em B, construo de um tringulo ABC dividido em dois tringulos retngulos (SENAI, 1998).Comoprimeiropasso, otcnicoemmecnicatemdeconstruir umtringulo isscelesABCque, na verdade, por conta do ngulo de 60, um tringulo eqiltero dentro do desenho e dividi-lo em dois tringulos retngulos, conforme a Figura 5B.Pelo desenho, o ngulo de 60 dividido por uma linha bissetrizDAem dois ngulos iguais, ou seja, 30 . Essa linha bissetriz que divide o ngulo de 60 paralela a profundidade x, a qual se deseja calcul-la, ou seja: x = DA.Pela Trigonometria, os valores de seno, cosseno e tangente para o ngulo 30 so, respectivamente: sen 30 = 0,50; cos 30 = 0,87; tg 30 = 0,58.68Em um dos tringulos retngulos formados na Figura 5B, o lado DA obtido pelo clculo do cosseno de 30, ou seja:20 30DAsen Como cos 30 = 0,87, logo:mm DA DADA40 , 17 20 * 87 , 02087 , 0 Ecomox=DA, portanto, aprofundidade dapea projetada nodesenhox de 17,40 mm.2. Peas ConadasUmadasoperaesmaiscomunsqueumtorneiromecnicodeverealizaro torneamento cnico. Quando necessrio tornear peas cnicas, uma das tcnicas mais utilizadas a inclinao do carro superior do torno.Paraqueissosejafeito, precisocalcularongulodeinclinaodocarro. Contudo, muitasdasvezesodesenhodapeanotemumdado derefernciaparaa execuodesseservio. Ento, existeumjeitodeamenizaroproblema: desenharum tringulo retngulo dentro do desenho da pea a ser torneara (Figura 6).Figura 6 Desenho de um tringulo retngulo em vermelho dentro do desenho de uma pea cnica a ser torneada (SENAI, 1988).69Em termos de clculos para descobrir o ngulo de torneamento da mesa do torno, a primeira tarefa costumeira do torneiro mecnico, bem como de qualquer profissional de Mecnica, analisar o desenho e visualizar o tringulo retngulo. atravs da relao entre os lados e ngulos que o torneiro encontrar a medida que procura. No desenho da Figura 6, o cateto maior do tringulo retngulo corresponde ao comprimento do cone c, e o cateto menor corresponde a diferena entre o dimetro maior D e o dimetro menor d do cone dividido por 2. Logo, o ngulo agudo do tringulo retngulo ser o ngulo de inclinao do cone, e a expresso para calcular este ngulo dada pela sua tangente, isto :cd Dtgcd Dtg22 (Eq. I)Com esta expresso, utiliza-se a tcnica de inclinao do carro superior do carro.Alm depeas cnicas,existem outros tipos de peas que apresentam medidas desconhecidas para o operador e que tambm empregam a relao tangente. Esse o caso dos clculos relacionados a medidas do encaixe tipo rabo de andorinha (Figura 7).Figura 7 Desenho de uma pea tipo rabo de andorinha (SENAI, 1998).Tomando o exemplo deste tipo de pea, imagine que o tcnico em mecnica tenha de calcular a cota x (Figura 8).70Figura 8 Desenho em vista frontal da pea rabo de andorinha com a cota x a ser calculada (SENAI, 1998).Antes derealizar osclculos, importantenotar queasduascircunferncias dentro da pea no fazem parte da mesa. Elas representam os roletes que servem para controlar a medida x da pea e que auxiliaro no desenvolvimento dos clculos.Na Figura 8, a primeira coisa a fazer desenhar um tringulo retngulo dentro do desenho da pea a ser produzida, a qual est destacada na cor vermelha.Ao analisar o desenho em questo, a medida x, na verdade, a largura do rasgo da pea c menos duas vezes o cateto adjacente ca do tringulo menos duas vezes o raio r do rolete. Ou seja, matematicamente falando, tem-se:r ca c x 2 2 (Eq. II)Suponha que o tcnico em mecnica depare com esta pea cujas cotas so dadas pelo projetista a fim de ser produzida empresa em que trabalha (Figura 9).71Figura 9 Desenho de rabo de andorinha comcotas dadas emmilmetros (SENAI, 1998).Aprimeira coisa a fazer analisar o desenho para calcular a medidax correspondentelarguradorasgode100mm. Contudo, otcnicoprecisafazer um desenho de um tringulo retngulo sobre o desenho projetado a fim de calcular o cateto adjacente, como na Figura 8 e, em seguida, dividir o ngulo de 60 pela metade, ou seja, 30. O cateto oposto do tringulo retngulo o raio R do rolete, que de 8 mm. Assim, pela Trigonometria, o clculo do cateto adjacente obtido pela tangente do ngulo agudo de 30 no tringulo retngulo, ou seja:caRtg 30Como tg 30 0,57, tem-se:mm ca caca04 , 1457 , 08 857 , 0 Portanto, o valor da medida x para o rasgo as pea em questo :mm x mm mm r ca c x 92 , 55 ] 16 08 , 28 100 [ )] 8 * 2 ( ) 04 , 14 * 2 ( 100 [ 2 2 723. Exerccios de Fixao1Calculeaalturados blocos-padronecessrios paraqueamesadesenofique inclinada a 9 30.2 Calcule a cota x dos seguintes desenhos.733 Calcule o ngulo do chanfro da pea a seguir.4 Calcule a cota x da pea chanfrada mostrada a seguir.5 Calcule a distncia entre furos do flange com 12 furos igualmente espaados, cujo raio da circunferncia que passa pelo centro dos furos de 150 mm (Tome como exemplo a resoluo do problema do flange de 10 furos nas pginas 2, 3 e 4).746Calculeongulode inclinao do carro superior do torno para tornear a pea na figura a seguir. No se esquea de usar a Eq. I para o clculo da tangente do ngulo .7 Qual o ngulo de inclinao do carro superior do trono para que se possa tornear a pea mostrada conforme ilustra o desenho a seguir?8 Um torneiro mecnico precisa tornear a polia mostrada no desenho a seguir. Calcule a cota x correspondente maior largura do canal da polia.759 Calcule a cota x do eixo com extremidade cnica.7610 Calcule os ngulos desconhecidos das peas a seguir.4. Referncias BibliogrficasGIOVANNI, J. R. &BONJORNO, J. R.Matemtica 2 Grau Conjuntos, Funes,Trigonometria. Editora FTD. So Paulo, SP, 1986. Pp. 218.SERVIONACIONALDEAPRENDIZAGEMINDUSTRIALSENAI.Clculo TcnicoMetrologia-LeituraeInterpretaodeDesenhoTcnicoMecnico.UsandoUnidadesdeMedida.Telecurso2000Profissionalizante. SoPaulo, SP, 1998. Pp. 1:6.77