apostila cartografia geral 2009

IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DE GOIÁS Cartografia Geral – Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno

Nota do Autor

Nilton Ricetti Xavier de Nazareno


1

SUMÁRIO

1.1 - Introdução .............................................................................................................................. 4

1.2 - Definições .............................................................................................................................. 4

2 - Generalidades sobre Cartas. ....................................................................................................... 4

2.1 - Características das Cartas ...................................................................................................... 6

2.2 - Classificação .......................................................................................................................... 6

2.2.1 -Quanto à finalidade (ABNT*) ............................................................................................. 6

2.2.2 -Classificação segundo a Diretoria do Serviço Geográfico do Exército (DSG) ................... 7

3 - Superfícies de referência usadas em cartografia. ....................................................................... 8

3.1.1 -Superfície de referência geoidal .......................................................................................... 8

3.1.2 -Superfície de referência esférica ......................................................................................... 8

3.1.3 -Superfície de referência elipsoidal ...................................................................................... 9

3.1.4 -O relacionamento entre as superfícies física, geoidal e elipsoidal. ................................... 10

4 - Geometria do Elipsóide. ........................................................................................................... 11

4.1 - Raios de curvatura do elipsóide de revolução. ..................................................................... 12

4.2 - Comprimento de um arco de meridiano (S) ......................................................................... 13

4.3 - Área de um setor elipsóidico (A) ......................................................................................... 14

4.4 - Área de um quadrilátero elipsóidico (T) .............................................................................. 14

4.5 - Aproximação esférica. ......................................................................................................... 15

5 - Sistemas de Referência ............................................................................................................ 16

5.1 - Sistemas de Coordenadas Geográficas e Geodésicas .......................................................... 16

5.2 - Latitudes Geocêntrica e Reduzida. ...................................................................................... 17

5.3 - Sistemas de Coordenadas Cartesianas Tridimensionais. ..................................................... 18

5.4 - Transformação de Coordenadas Cartesianas em Geográficas. ............................................ 19

5.5 - Transformação de Coordenadas Geográficas em Cartesianas ............................................. 19


2

6 - Datum. ...................................................................................................................................... 20

6.1 - Mudança de Datum. ............................................................................................................. 22

6.1.1 -Transformação de Coordenadas Geodésicas para Cartesianas Tridimensionais ............... 23

6.1.2 -Transformação de Cartesianas Tridimensionais para Coordenadas Geodésicas ............... 23

7 - Projeções Cartográficas ........................................................................................................... 25

7.1 - Introdução ............................................................................................................................ 25

7.2 - Superfícies de projeção ........................................................................................................ 26

7.3 - Introdução ao conceito de distorção .................................................................................... 27

7.3.1 -Escala principal. ................................................................................................................ 28

7.3.2 -Escalas particulares ........................................................................................................... 29

7.3.3 -Fator de deformação ao longo dos meridianos (h). ........................................................... 31

7.3.4 -Fator de deformação ao longo dos paralelos (k). .............................................................. 32

7.3.5 -Fator de deformação ao longo de qualquer arco que passe por A. .................................... 32

7.3.6 -Elipse das distorções ou Indicatriz de Tissot ..................................................................... 33

7.3.7 -Fator de deformação máximo (a) e mínimo (b) ................................................................ 34

7.3.8 -Fator de deformação de área (p). ....................................................................................... 34

7.3.9 -Fator de deformação angular máximo ( ). ....................................................................... 35

7.3.10 - Propriedades especiais das projeções ........................................................................ 36

8 - Análise de uma projeção sob a ótica da teoria das distorções. ................................................ 38

9 - Construção prática das Projeções Cartográficas. ..................................................................... 49

9.1 - Projeções Azimutais ............................................................................................................. 50

9.2 - Projeções cônicas ................................................................................................................. 64

9.3 - Projeções cilíndricas ............................................................................................................ 77

10 - Sistemas de Coordenadas Planas (quadriculado e reticulado) ............................................... 83

11 - A Projeção Universal Transversa de Mercator (UTM) .......................................................... 84

11.1 - As projeções TM ................................................................................................................ 84

11.2 - Transformação de coordenadas Geográficas para TM ...................................................... 85

11.3 - Transformação de coordenadas TM para Geográficas ...................................................... 87

11.4 - Modificação das coordenadas TM em UTM, RTM e LTM .............................................. 89

11.5 - O Sistema UTM ( Universal Transversa de Mercator) ...................................................... 90


3

12 - Utilização de Cartas Topográficas ......................................................................................... 92

12.1 - Articulação das folhas ........................................................................................................ 92

12.2 - Extração de informações quantitativas das cartas topográficas. ........................................ 95

12.2.1 - Extração de informações lineares .............................................................................. 96

12.2.2 - Extração de áreas ....................................................................................................... 96

12.2.3 - Extração de coordenadas ........................................................................................... 96

Referências Bibliográficas ............................................................................................................ 98

ANEXOS ....................................................................................................................................... 99


4

CARTOGRAFIA

1.1 -Introdução

1.2 - Definições

Cartografia :

“Arte de levantamento, construção e edição de cartas de qualquer natureza, e a ciência na qual

repousa.”

ou

“Produto do conhecimento obtido no estudo de mapas geográficos, dos métodos para sua

produção e reprodução, e de seu uso.”

Nestas definições aparecem duas palavras que tem o mesmo significado: Carta e Mapa.

A palavra carta vem do latim charta que significa papel e a palavra mapa vem de mappa

que significa pano. Observa-se então que a diferença vem da origem do material com que eram produzidos.

No Brasil costuma-se diferenciar mapa de carta em função ou da escala ou da fidedignidade das informações. No tocante a escala costuma-se chamar de carta quando a escala é maior do que 1/5.000.000 e de mapa quando a escala é menor que este valor. Com respeito à confiabilidade das informações costuma-se chamar de carta os produtos elaborados com rigor geométrico e de mapa aqueles que funcionam apenas como ilustração.

De qualquer forma esta diferença não tem muita importância.

2 - Generalidades sobre Cartas.

Carta :

“Representação visual, codificada, geralmente bidimensional, total ou parcial, da superfície da

Terra ou de outro objeto.”

A finalidade básica de uma carta é transmitir informações específicas a respeito da área cartografada para o usuário.

INFORMAÇÃO MAPA USUÁRIO


5

Estas informações podem ser qualitativas e/ou quantitativas.

natureza Qualitativas: forma feições distribuição

posições geográficas altitudes Quantitativas: distâncias direções áreas, volumes

As feições representadas podem ser :

da superfície terrestre

naturais

visíveis : mares, rios, lagos, montanhas, desertos, florestas

invisíveis : climas, correntes, campos (magnético, gravitacional, etc.)

artificiais cidades, estradas, ferrovias, canais, plantações, aeroportos, barragens, portos

de outros objetos

esfera celeste : estrelas e planetas

Lua : crateras, “mares”...

corpos celestes Sol : manchas solares ...

Planetas : montanhas, formação de nuvens

órgãos do corpo humano prédios históricos ...


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2.1 - Características das Cartas

Permitem a coleta das informações em gabinete;

Apresentam informações não visíveis no terreno: toponímia, fronteiras indefinidas;

Codificam informações através de símbolos;

Exigem uma atualização permanente – certas feições variam em função do tempo;

Representam um modo de armazenamento de informações conveniente ao manuseio;

São necessárias à visualização e compreensão de fenômenos espaciais e de sua distribuição e relacionamento;

Constituem um dos elementos básicos do planejamento das atividades sócio-econômicas das comunidades humanas.

2.2 - Classificação

2.2.1 - Quanto à finalidade (ABNT*)

Geográficas : TopográficasPlanimétricas

Cadastrais, plantas

Aeronáuticas

Navegação

Náuticas

Especiais : geológicas, geomorfológicas, meteorológicas, de solos, de vegetação, de uso da terra, geofísicas, globos.


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2.2.2 - Classificação segundo a Diretoria do Serviço Geográfico do Exército (DSG)

quanto a precisão topográficas - satisfazem as normas técnicas em vigor; - obtidas por métodos de levantamentos regulares.

preliminares - obtidas por métodos de levantamento menos precisos que os regulares

quanto ao caráter informativo

gerais : - com informações genéricas, de uso particularizado.

especiais: - com informações específicas, destinadas em particular a uma única classe de usuários.

temáticas: - com uma ou mais assuntos específicos, servindo apenas para situar o tema.

Outrosdocumentos cartográficos

Cartas de compilação

- obtidas pela redução de folhas em escalas maiores; - obtidas pela reunião e consolidação de diversos

documentos cartográficos.

mosaicos

não-controlados : fotos montadas sem apoio em pontos de coordenadas conhecidas

Semi-controlados :fotos montadas com apoio em pontos de coordenadas conhecidas

Controlados : fotos retificadas montadas com apoio em pontos de coordenadas conhecidas

Fotocartas : mosaico (controlado ou não) com quadriculado, moldura, nomenclatura

foto-índice : redução fotográfica da montagem das faixas de um bloco aerofotográfico

folha-modelo: Representam o aspecto de uma folha (nomenclatura, Quadriculado, legendas, etc)


8

3 - Superfícies de referência usadas em cartografia.

Para se mapear a superfície da Terra, antes é necessário conhecer a sua forma e dimensões. Sabe-se que a Terra é um corpo esférico irregular e que não possui uma descrição geométrica. Então é necessária a utilização de modelos adequados para sua descrição de acordo com os objetivos pretendidos nos levantamentos e mapeamentos.

3.1.1 - Superfície de referência geoidal

O geóide é definido como uma superfície equipotencial (potencial gravitacional constante) materializada pelo nível médio dos mares. A força da gravidade que gera essa superfície equipotencial é resultante de uma interação entre massas. Sabe-se que existe uma relação direta entre a massa e a densidade de um corpo, e que existe uma grande variação na constituição densimétrica dos materiais que constituem a parte interna do globo terrestre. Deste modo, essa superfície equipontecial não apresenta uma forma regular. Há ainda que se considerar, a questão dos corpos celestes que interagem com o campo gravitacional, provocando variações constantes nesta superfície.

Alguns autores definem como sendo a forma do geóide a que corresponde a forma da Terra real. Contudo, como essa superfície não tem uma definição geométrica, este postulado não tem muito sentido, quando o objetivo esta na busca de um modelo para o mapeamento. Não obstante, esta superfície é extremamente importante no estabelecimento das altitudes.

3.1.2 - Superfície de referência esférica

Se a área a ser mapeada for extensa mostrando continentes ou a superfície total da Terra, adota-se o modelo esférico para a superfície da Terra.

Esta modelo implica em:

Levantamento : Geodésia Cálculos: Trigonometria esférica Uso: mapas de formato pequeno mostrando grandes

porções da superfície terrestre Escala : escalas pequenas não maiores que 1:5.000.000 Mapas: Utilização de projeções cartográficas

Monte Evereste

Fossa das Marianas

nível médiodos mares

Terra esférica Modelo reduzido

9 Km

Km

6 cm

0,2 mm

6.378 km


9

3.1.3 - Superfície de referência elipsoidal

Se a área a ser levantada e mapeada não for pequena e nem muito extensa, o modelo que melhor representa a superfície da Terra é o elipsóide de revolução, que possui uma formulação matemática razoavelmente simples. Neste modelamento leva-se em conta o achatamento dos pólos.

O elipsóide de revolução é definido pelos seus semi-eixo maior (a) e menor (b) ou pelo semi-eixo maior e o achatamento (f).

Por exemplo : a = 6.378 km

b = 6.356 km

f = 1/298,25

onde : a

baf

Este modelo implica em:

Levantamento : Geodésia Cálculos: Geodésicos Medidas: Reduzidas ao elipsóide de revolução Uso: cartas topográficas (mapeamento sistemático),

náuticas, aeronáuticas. Escala : médias (1:1.000.000 a 1:5.000) Mapas: Utilização de projeções cartográficas

Independentemente do modelo adotado, tanto o esférico como o elipsóidico possuem várias propostas para os seus parâmetros definidores (raio e semi-eixos maior e menor).

aa

b


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3.1.4 - O relacionamento entre as superfícies física, geoidal e elipsoidal.

Embora se utilizem modelos geométricos para descrever a superfície física da Terra na tarefa de mapeamento, as medições são executadas na superfície topográfica, ou simplesmente física. É importante então, definir-se alguns elementos deste relacionamento.

Na figura aparecem as superfícies física (SF), elipsoidal (SE) e geoidal (SG). A separação entre as superfícies elipsoidal e geoidal recebe o nome de ondulação do geóide e é representado pela letra N.

Imaginemos um ponto P na superfície física sendo projetado segundo a direção da vertical (linha de prumo) e da direção da normal (reta ortogonal a superfície do elipsóide). As

duas projeções geram os pontos P’ e P”. Ao segmento 'PP corresponde a altitude ortométrica

(H), e ao segmento "PP corresponde a altitude geométrica ou elipsoidal (h). O ângulo formado entre a vertical e a normal é definido como desvio da vertical (i). Este ângulo é da ordem do segundo e, deste modo, é possível se fazer uma relação entre as superfícies sem incorrer em erro significativo.

NHh

S.F.

S.E.

S.G.

vn

Hh

iP

P’

P”N


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4 - Geometria do Elipsóide.

O elipsóide de revolução é a forma geométrica obtida pela rotação de uma semi-elípse ao redor de seu eixo menor. Por ser uma das formas geométricas utilizadas nas operações de mapeamento, o estudo da sua geometria é extremamente importante.

Um elipsóide fica perfeitamente definido pelos seus semi-eixos maior (a) e menor (b).Entretanto em geodésia é comum se estabelecer a definição pelo semi-eixo maior (a) associado ao achatamento (f). A relação matemática que estabelece o vínculo entre estas grandezas esta explicitada na seguinte equação.

a

baf

Um outro elemento importante no estudo do elipsóide é a excentricidade, que pode ser dividida em primeira e segunda. Estes valores são calculados pelas seguintes equações:

2

222

a

bae ou 22 2 ffe (primeira excentricidade) ;

e

2

222'

b

bae (segunda excentricidade).

Analogamente à excentricidade pode se estabelecer o segundo achatamento que é definido pela seguinte equação:

b

baf '

Existem outras relações que devem ser conhecidas.

Na figura ao lado, observa-se um ponto P na superfície do elipsóide. Por este ponto passa a reta normal (ortogonal ao plano tangente em P) que cruza o eixo de rotação no ponto O. Esta mesma reta gera o ponto Qquando cruza o plano do equador, formando um ângulo

(latitude) com este. Ao segmento OP dá-se o nome de grande normal e referencia-se pela letra N; e ao segmento QP dá-se o nome de pequena normal e representa-se pelo símbolo N’.

PPN

PS

Equador

Normal

N

N'

o

Q


12

O cálculo destas quantidades é feito pelas seguintes equações:

221 sene

aN e 21' eNN

4.1 - Raios de curvatura do elipsóide de revolução.

Ao contrário da esfera que possui apenas um raio de curvatura, o elipsóide de revolução por possuir semi-eixos maior e menor, tem a sua curvatura variando entre os valores máximo (a)e mínimo (b). Portanto é necessário que se conheça a formulação matemática que permita o cálculo destes raios de curvatura para qualquer ponto da superfície elipsóidica.

Existem infinitos planos que contém a reta normal. Cada um deles, ao cruzar o elipsóide de revolução, gera o que se denomina seção normal. A cada uma destas seções, corresponde um raio de curvatura diferente. Entretanto, apenas dois são de especial interesse, o raio de curvatura da seção 1º vertical e o raio da seção meridiana. Ao primeiro corresponde o raio máximo e ao segundo o raio mínimo.

Numericamente o raio da seção 1º vertical é equivalente ao valor da grande normal e utiliza a mesma formulação para o seu cálculo. No entanto o raio de curvatura da seção meridiana é calculado pela equação:

322

2

1

)1(

sene

eaM

A junção destes dois valores nos permite calcular o raio médio de curvatura.

MNR0

e através do teorema de Euler, o raio de curvatura de uma seção normal qualquer

N

sen

MR

22cos1

onde : – azimute da seção meridiana


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No elipsóide de revolução os paralelos são circunferências e o raio é calculado pela equação:

cosNr

Além destes valores, pode-se necessitar conhecer o comprimento de um arco de meridiano, a área de um setor elíptico ou a de um quadrilátero elíptico. Pela constante variação da curvatura, a determinação das fórmulas não é trivial, e exige a adoção de desenvolvimento em série.

4.2 - Comprimento de um arco de meridiano (S)

]10sen10sen101

8sen8sen81

6sen6sen61

4sen4sen41

2sen2sen21

)([)1(

121212

1212122

FED

CBAeaS

onde :

65536

43659

16384

11025

256

175

64

45

4

31 108642 eeeeeA

65536

72765

2048

2205

512

525

16

15

4

3 108642 eeeeeB

16384

10395

4096

2205

256

105

64

15 10864 eeeeC

131072

31185

2048

315

512

35 1086 eeeD

65536

3465

16384

315 108 eeE

131072

693 10eF

P

PN

PS

Equador

Normal

o

N

r


14

4.3 - Área de um setor elipsóidico (A)

mmm CBAA 5cos5sen'3cos3sen'cossen'b4 22

1

onde :

212 e

212

m

256

63

28

35

16

5

8

3

2

31' 108642 eeeeeA

256

45

192

35

16

3

16

3

6

1' 108642 eeeeeB

512

45

64

5

16

1

80

3' 10864 eeeeC

4.4 - Área de um quadrilátero elipsóidico (T)

mmm CBAbT 5cos5sen'3cos3sen'cossen'2 2

onde :

212

PN

PS

Equador

A

PN

PS

Equador

T


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4.5 - Aproximação esférica.

Em alguns problemas o cálculo através de uma aproximação esférica é suficiente, e nesta situação, existem três formas clássicas de aproximação.

a) Média aritmética dos três eixos

)3

1(3

2 fa

baR

b) Raio da esfera de mesma área superficial que o elipsóide

302467

36017

61

642 eeeaRA

c) Raio da esfera com mesmo volume que o elipsóide.

129655

725

61

642 eeeaRV


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5 - Sistemas de Referência

A posição de um ponto na superfície da Terra é determinada a partir de um sistema de coordenadas ou de referência. Estes sistemas estão associados a uma superfície de referência que se aproxima do formato da Terra. É o caso, por exemplo, do elipsóide de revolução.

Existem dois tipos de sistemas de referenciamento. O sistema de coordenadas esféricas e o sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais. No primeiro tipo se enquadram às coordenadas geográficas ou geodésicas.

5.1 - Sistemas de Coordenadas Geográficas e Geodésicas

O sistema de coordenadas geográficas divide o mundo nos hemisférios norte e sul, que utiliza o equador como plano de divisão, e em oriente e ocidente que adota o meridiano de Greenwich como fronteira. Neste sistema um ponto na superfície terrestre fica determinado pela sua latitude e longitude.

Latitude ( ) – define-se latitude de um lugar como sendo o ângulo formado entre a vertical do lugar e o plano do equador, ou a distância angular contada sobre o meridiano deste, desde o equador até ele. A latitude varia de 0º a 90º sendo considerada negativa no hemisfério sul.

Longitude (L) – define-se longitude de um lugar como sendo o ângulo diedro formado pelo plano meridiano de Greenwich e o plano meridiano do lugar, ou a distância angular contada sobre o equador desde o meridiano origem (Greenwich) até o meridiano deste. A longitude varia de 0º a 180º sendo considerada negativa a oeste de Greenwich (hemisfério ocidental).

Meridiano de

Greenwich

L

P

Equador

Meridiano de PParalelo de P

PN

PS

Vertical


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Pode-se estabelecer um sistema de coordenadas similar utilizando-se como modelo para a Terra o elipsóide de revolução. Este sistema de coordenadas é conhecido como Sistema de Coordenadas Geodésicas

Latitude ( ) – define-se latitude geodésica de um lugar como sendo o ângulo formado entre a normal do lugar e o plano do equador. A latitude varia de 0º a 90º sendo considerada negativa no hemisfério sul.

Longitude ( ) – define-se longitude de um lugar como sendo o ângulo diedro formado pelo plano meridiano de Greenwich e o plano meridiano do lugar, ou a distância angular contada sobre o equador desde o meridiano origem (Greenwich) até o meridiano deste. A longitude varia de 0º a 180º sendo considerada negativa a oeste de Greenwich (hemisfério ocidental).

Neste sistema pode-se associar a altitude geométrica ou elipsoidal (distância sobre a normal desde o elipsóide até o ponto na superfície topográfica). Nesta situação o ponto fica assim referenciado ( , h).

5.2 - Latitudes Geocêntrica e Reduzida.

Nos problemas práticos de Geodésia somente o conhecimento da latitude geodésica não é suficiente, é comum se necessitar determinar as latitudes geocêntricas e a reduzida.

Define-se latitude geocêntrica de um ponto P na superfície do elipsóide ao ângulo que o raio

vetor OP deste ponto, forma com a sua projeção no plano do equador. A relação entre a latitude geodésica e a geocêntrica é estabelecida pela seguinte fórmula:

tgetg )1( 2

P

PN

PS

Equador

Normal

o

c


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No caso da latitude reduzida, é necessário observar a ilustração antes de se poder definir. Na figura, aparece um dos círculos principais da elipse que contém P, o circulo cujo raio é igual ao semi-eixo maior (a). Então, a partir de P se constrói uma reta paralela ao eixo de rotação. Esta reta cruza a circunferência em P’. Define-se como latitude reduzida, ao ângulo formado pelo raio

vetor 'OP e sua projeção no plano do equador.

A relação entre a latitude geodésica e a reduzida é estabelecida pela seguinte fórmula:

tgetgu )1( 2

5.3 - Sistemas de Coordenadas Cartesianas Tridimensionais.

Este sistema de coordenadas é caracterizado por um conjunto de três eixos (X, Y e Z), ortogonais entre si. A origem do sistema pode coincidir com o centro de massa da Terra, e neste caso, é denominado de geocêntrico. As características deste sistema são as seguintes:

o eixo X é definido pela intersecção do plano meridiano de Greenwich com o plano do equador, sendo orientado positivamente no sentido do centro para o exterior.

o eixo Y é definido pela intersecção do plano meridiano de longitude 90º Leste com o plano equatorial.

o eixo Z é paralelo ao eixo de rotação da Terra e orientado positivamente na direção do Pólo Norte.

Este sistema é denominado dextrógiro.

P

PN

PS

Equador

o

uc

P’

Meridiano de Greenwich

Equador

= 90º EPN Z

XY

PS


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5.4 -Transformação de Coordenadas Cartesianas em Geográficas.

No sistema de coordenadas geográficas o modelo que é utilizado para representar a Terra é o modelo esférico. Assim, a transformação de coordenadas é dada pelas seguintes equações:

222 zyxR ;

22 yx

zarctg ;

x

yarctgL

onde: R - Raio da esfera que representa a Terra real;

- Latitude geográfica;

L - Longitude geográfica.

A latitude é um ângulo que varia de 0º a 90º e o sinal da equação indica se o ponto está no hemisfério norte ou sul. Entretanto, a longitude é um ângulo que tem uma variabilidade maior (0º a 180º) e neste caso, deve-se proceder a um estudo de sinal.

x y longitude hemisfério

+ + LLeste

+ - 180º + L

- - LOeste

- + -(180 + L)

5.5 -Transformação de Coordenadas Geográficas em Cartesianas

A transformação das coordenadas geográficas em cartesianas é conseguida pela aplicação das seguintes equações:

sen

;sencos

;coscos

Rz

LRy

LRx


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6 - Datum.

Datum é o conjunto de parâmetros que definem o sistema cartográfico de um País.

(Nazareno).

Por parâmetros, se subentende a figura geométrica adotada para representar a Terra, as

especificações relativas ao ponto origem, a orientação do sistema de coordenadas, e a posição da

superfície elipsoidal em relação à física e a geoidal, entre outros parâmetros.

Até meados da década de 70, o Brasil adotava o Datum de Córrego Alegre. Este Datum

utiliza como superfície de referência, o Elipsóide de Hayford (1924) que teve a sua origem

(centro) deslocada do centro de massa da Terra, de modo a melhor ajusta-lo à superfície

topográfica. Este procedimento tornou o sistema topocêntrico. Por questões de simplificação

adotou-se ondulação nula (N=0 – distância medida sobre a vertical do local entre o elipsóide e o

geóide). A seguir são listados os parâmetros definidores deste sistema.

Ponto origem: Vértice Córrego Alegre

Coordenadas: = -19º 50’ 14,91’’

= -48º 57’ 41,98’’

h = 683,81m

Superfície de referência: Elipsóide internacional de Hayford 1924.

Parâmetros: a = 6.378.388,000 m

b = 6.356.911,946 m

f = 1/297

Ondulação Geoidal: N = 0


21

Posteriormente, por um breve período o Brasil conviveu com o Datum Astro-geodésico

de Chuá, que mudou o ponto origem do vértice de Córrego Alegre para o vértice de Chuá. Este

Datum foi um ensaio para a adoção do Datum SAD-69.

O Datum SAD-69 (South American Data) é um sistema regional, que teve a sua

recomendação indicada em 1969 na XI Reunião pan-americana de Consulta sobre Cartografia.

Nem todos os países do continente seguiram a recomendação e oficialmente somente em 1979, o

Brasil o adotou.

Os dados que caracterizam este Datum estão discriminados a seguir.

Ponto origem: Vértice Chuá

Coordenadas: -19º 45’ 41,6527’’

-48º 06’ 04,0639’’

H = 763,28 m altitude ortométrica

Superfície de referência: Elipsóide internacional de Referência 1967.

Parâmetros: a = 6.378.160,000 m

b = 6.356.774,719 m

f = 1/298,25

Ondulação Geoidal: N = 0 determinada

Azimute geodésico: Az = 271º30’04,05” (Chuá-Uberaba)

Esta concepção de Datum, referenciando o sistema a um ponto origem, é considerada

uma solução clássica. Modernamente, principalmente pela tecnologia GPS, a idéia passou a ser a

adoção de uma rede de pontos de coordenadas conhecidas que dão suporte ao mapeamento.

Sob esse novo enfoque desde 25/02/2005, através da resolução IBGE nº 1/2005 o

presidente daquela instituição, resolveu alterar a caracterização do referencial geodésico

brasileiro, que passou a ser o SIRGAS 2000 (Sistema de Referência Geocêntrico para as

Américas).


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A figura geométrica adotada é o elipsóide de revolução geocêntrico denominado

Geodetic Reference System 1980 (GRS 80) cujos parâmetros são os seguintes:

a = 6.378.137,0000000000 m

b = 6.356.752,3141403558 m

f = 1/298,257222101

Este sistema está materializado por 22 estações geodésicas distribuídas no território

nacional, cujos valores estão na tabela a seguir:

Estação

Coordenadas Geodésicas Coordenadas Cartesianas Altitude

elipsoidal (m)

X (m) Y (m) Z(m)

BRAZ 13º 15’ 20,0103” S 43º 25’ 18,2468” W 419,401 4.115.014,085 -4.550.641,549 -1.741.444,019

BOMJ 15º 56’ 50,9112” S 47º 52’ 40,3283” W 1.106,020 4.510.195,835 -4.268.322,325 -1.453.035,300

CAC1 22º 41’ 14,5337” S 44º 59’ 08,8606” W 615,983 4.164.559,941 -4.162.495,407 -2.445.051,218

CANA 25º 01’ 12,8597” S 47º 55’ 29,8847” W 3,688 3.875.253,589 -4.292.587,088 -2.681.107,718

CORU 19º 00’ 01,0131” S 57º 37’ 46,6130” W 156,591 3.229.969,943 -5.095.437,766 -2.063.429,898

CRAT 07º 14’ 16,8673” S 39º 24’ 56,1798” W 436,051 4.888.826,036 -4.017.957,454 -798.309,017

CUIB 15º 33’ 18,9468” S 56º 04’ 11,5196” W 237,444 3.430.711,406 -5.099.641,565 -1.699.432,931

FOR1 03º 43’ 34,3800” S 38º 28’ 28,6040” W 48,419 4.982.893,151 -3.959.968,539 -411.742,293

FORT 03º 52’ 38,8046” S 38º 25’ 32,2051” W 19,451 4.985.386,605 -3.954.998,594 -428.426,440

IMBI 28º 14’ 11,8080” S 48º 39’ 21,8825” W 11,850 3.714.672,427 -4.221.791,488 -2.999.637,883

IMPZ 05º 29’ 30,3584” S 47º 29’ 50,0445” W 105,008 4.289.656,441 -4.680.884,944 -606.347,331

MANA 03º 06’ 58,1415” S 60º 03’ 21,7105” W 40,160 3.179.009,359 -5.518.662,100 -344.401,823

MCAE 22º 22’ 10,3989” S 41º 47’ 04,2080” W 0,056 4.400.142,600 -3.932.040,418 -2.412.305,322

PARA 25º 26’ 54,1269” S 49º 13’ 51,4373” W 925,765 3.763.751,652 -4.365.113,803 -2.724.404,694

POAL 30º 04’ 26,5528” S 51º 07’ 11,1532” W 76,745 3.467.519,402 -4.300.378,535 -3.177.517,730

PSAN 00º 03’ 26,4338” S 51º 10’ 50,3285” W -15,506 3.998.232,011 -4.969.359,526 -6.340,615

RECF 08º 03’ 03,4697” S 34º 57’ 05,4591” W 20,180 5.176588,653 -3.618.162,163 -887.363,920

RIOD 22º 49’ 04,2399” S 43º 18’ 22,5958” W 8,630 4.280.294,879 -4.034.431,225 -2.458.141,380

SALV 13º 00’ 31,2116” S 38º 30’ 44,4928” W 35,756 4.863.495,731 -3.870.312,351 -1.426.347,813

UEPP 22º 07’ 11,6571” S 51º 24’ 30,7223” W 430,950 3.687.624,315 -4.620.818,606 -2.386.880,343

VICO 20º 45’ 41,4020” S 42º 52’ 11,9622” W 665,955 4.373.283,313 -4.059.639,049 -2.246.959,728

SMAR 29º 43’ 08,1260” S 53º 42’ 59,7353” W 113,107 3.280.748,410 -4.468.909,741 -3.143.408,684

6.1 - Mudança de Datum.

Considerando que todo o sistema de mapeamento tem uma ligação íntima com o Datum adotado, a utilização de um parâmetro diverso ao estabelecido, implica numa inconsistência de dados. Deve-se então, tomar o cuidado de verificar em qual Datum está referenciado o mapeamento e fazer as adequações necessárias à compatibilização.

Com a difusão da utilização da tecnologia GPS (Global Positioning System), este cuidado deve ser redobrado, uma vez que o sistema utiliza os parâmetros do sistema WGS-84.


23

O IBGE através da Resolução nº 23, de 21 de fevereiro de 1989, estabeleceu os critérios oficiais para transformações de sistemas geodésicos (mudança de Datum). A Resolução nº 1/2005 complementa no que concerne à mudança para o SIRGAS 2000.

A resolução recomenda que se utilize a transformação das coordenadas geodésicas em tridimensionais, aplique-se nestas os fatores de transformação e posteriormente se retorne ao sistema geodésico. Até essa Resolução aplicavam-se as fórmulas simplificadas de Molodeski.

6.1.1 - Transformação de Coordenadas Geodésicas para Cartesianas Tridimensionais

;sen)1(

;sencos)(

;coscos)(

112111

11111

11111

heNZ

hNY

hNX

onde : 1 = Latitude geodésica do ponto

1 = Longitude geodésica do ponto

N1 = raio de curvatura da seção 1º vertical (grande normal)

h1 = altitude geométrica ou elipsoidal

Transformação de sistema

Considerando que o Datum de Córrego Alegre, SAD 69, SIRGAS 2000 e WGS 84 são paralelos entre si, à transformação neste caso, envolve apenas translação de eixos.

X2 = X1 + X12

Y2 = Y1 + Y12

Z2 = Z1 + Z12

onde: X, Y e Z são parâmetros de transformação, definidos na resolução e estão listados na tabela abaixo.

6.1.2 - Transformação de Cartesianas Tridimensionais para Coordenadas Geodésicas

22

22

22

2

2

22

32

22

22

22

32

222

2

cos

cos

sen'

NYX

h

X

Yarctg

uaeYX

ubeZarctg

onde:

utg

tguu

21sen ;

utgu

21

1cos ;

2

2

22

22

2

b

a

YX

Ztgu


24

Os parâmetros de transformação encontram-se na tabela a seguir

Córr. Alegre

-SAD 69

SAD 69 -

Córr. Alegre

SAD 69 -

SIRGAS 2000

SIRGAS 2000

–SAD 69

SAD 69 –

WGS 84

WGS 84 –

SAD 69

X = -138,70 m 138,70 m - 67,35 m 67,35 m 66,87 m 0,43m - 66,87 m 0,43m

Y = 164,40 m - 164,40 m 3,88 m - 3,88 m - 4,37 m 0,44m 4,37 m 0,44m

Z = 34,40 m -34,40 m -38,22 m 38,22 m 38,52 m 0,40m - 38,52 m 0,40m

obs: Dados obtidos do Boletim de Serviço Nº 1602 (suplemento) e nas resolução Nº 23/89 e Nº 1/2005 – IBGE.

Os parâmetros que definem o elipsóide utilizado pelo sistema WGS 84 são os seguintes:

a = 6.378.137,000 m

WGS 84 b = 6.356.752,314 m

f = 1/298,257223563


25

7 - Projeções Cartográficas

7.1 -Introdução

Define-se projeção cartográfica como sendo qualquer arranjo sistemático de meridianos e paralelos descrevendo a superfície curva da esfera ou elipsóide em um plano. Em outras palavras é a representação da superfície física da Terra no plano do mapa.

Essa relação entre a superfície física e a do mapa se dá através de funções matemáticas de tal modo que cada projeção possui equações únicas.

x = f1 = f3

ou

y = f2 = f4

Estas equações tanto servem para definir a projeção como para construí-la.

TERRA MAPA


26

7.2 - Superfícies de projeção

A Terra é um corpo plástico que sofre deformações percebidas pela maré terrestre. Sua forma é aproximadamente esférica, mas não tem uma forma geométrica definida. Por essa razão, são utilizados modelos para representá-la (esférico e elipsóidico). A partir desse modelamento é que se estabelecem as relações matemáticas, contudo, a correspondência entre os pontos da superfície e do mapa não é exata. Em primeiro lugar existe um fator de escala que deve ser considerado e em segundo lugar é impossível transformar uma superfície curva em uma plana sem provocar deformações (estiramentos, descontinuidades). O que se procura fazer é eleger alguma área da superfície e então minimizar os efeitos da distorção nesta região.

É dentro dessa lógica que foram imaginadas três superfícies de projeção para tentar contornar o problema: a superfície plana, a cônica e a cilíndrica. Estas três superfícies também servem como um dos parâmetros classificatórios das projeções, ou seja:

Projeções azimutais plana

Projeções cônicas superfície cônica

Projeções Cilíndricas cilíndrica

Qualquer uma destas superfícies pode estar na posição normal, transversa ou oblíqua, dependendo da necessidade.

NORMAL TRANSVERSO OBLÍQÜO

A

Z

I

M

U

T

A

L

C

Ô

N

I

C

A

C

I

L

Í

N

D

R

I

C

A


27

7.3 - Introdução ao conceito de distorção

A representação de um trecho ou totalidade da superfície física da Terra remete a idéia de escala. O conceito de escala indica quantas vezes um objeto foi reduzido ou ampliado para poder ser representado no papel. Contudo, este valor deve ser entendido como sendo um valor médio porque diferentes pontos do mapa sofrem diferentes deformações. Este fato é causado pela transformação da superfície curva da Terra para a superfície plana do mapa e variam seu valor em função da projeção cartográfica que se está utilizando.

Em cartografia pode-se pensar em representar a superfície da Terra de duas maneiras:

a) Cortando a superfície do globo ao longo de certos paralelos e meridianos. Este procedimento minimiza as distorções, contudo apresenta o inconveniente de se representar o mesmo paralelo e meridiano duas vezes, além de haver descontinuidade no mapa.

b) Estirando a superfície em alguma direção. Por exemplo, se estirarmos na direção dos meridianos observa-se que a deformação vai aumentando na medida em que se aproxima do limite do mapa; a distância entre dois paralelos cresce a partir do centro; a separação entre dois meridianos quaisquer permanece praticamente constante; não há descontinuidade (Projeção Policônica – Hassler 1820 – Eqüidistante segundo os paralelos).

Fonte : MALING, D.H. Coordinate Systems and Map Projections. Pergamon Press Inc. New York. 1992.


28

Em qualquer um dos casos têm-se vantagens e desvantagens e, dependendo da finalidade, aplica-se uma solução ou outra.

Em termos práticos pode-se, para o segundo caso, restringir-se a amplitude da área a ser mapeado, caso, por exemplo, da projeção UTM que está contida em fusos de 6°. Este valor foi adotado porque além desse limite a deformação passa a ter um valor significativo. Entende-se, neste caso, por significativo aquele valor que pode ser mensurado com um escalímetro num mapa, ou seja, qualquer deformação maior que o erro gráfico (0,2 mm).

7.3.1 - Escala principal.

Escala é definida como a razão entre um comprimento no mapa e o seu valor real no terreno. Normalmente utiliza-se a relação:

1

E

d

D

onde : d - distância no mapa;

D - distância real.

Todavia pode-se usar outra formulação mais adequada para cartografia. Essa nova equação tem relação direta com o conceito de esfera modelo ou globo gerador. Define-se esfera modelo como o modelo reduzido da Terra Real. Essa entidade matemática tem raio unitário.

Então a partir dessa conceituação pode-se definir escala principal de um mapa como a relação entre o raio da esfera modelo com o da Terra real.

TR

R

E

1 onde : R - raio da esfera modelo;

D - raio da Terra real.

Fonte : MALING, D.H. Coordinate Systems and Map Projections. Pergamon Press Inc. New York. 1992.


29

7.3.2 - Escalas particulares

Observando-se ainda o segundo mapa, pode-se intuir que dependendo da direção tomada têm-se valores diferentes para a deformação. Este fato real implica no conceito de escalas particulares que é definido como sendo uma taxa de variação da escala principal ao longo de uma direção infinitamente curta. Esta taxa de variação varia conforme a direção escolhida.

Vamos supor um quadrilátero infinitesimal, construído a partir do ponto A de coordenadas e , ABCD sobre a superfície de referencia esférica (esfera modelo). Esse quadrilátero ao ser transposto para a superfície de projeção sofre distorções fazendo com que os pontos B, C, e D sejam deslocados, gerando o quadrilátero A’B’C’D’. Esta situação pode ser visualizada na figura abaixo.

A’

B’

C’

D’

P’

Q’

R’

S’

’

’

dx

dy

y

x

Superfície de Projeção

ds’

A

B C

D

ds

d

+ d

Superfície de Referência

Quadriláteroinfinitesimal

A

R

d

d

rp

Estes deslocamentos têm significado geométrico e podem ser representados simbolicamente por uma notação de derivadas parciais, que estão explicitados na tabela a seguir.

Deslocamento Significado Símbolo

A’P’Incremento na direção de Y ocasionado por uma variação infinitesimal da latitude (d )

dy

P’B’Incremento na direção de X ocasionado por uma variação infinitesimal da latitude (d )

dx

A’S’Incremento na direção de X ocasionado por uma variação infinitesimal da longitude (d )

dx

S’D’Incremento na direção de Y ocasionado por uma variação infinitesimal da longitude (d )

dy


30

Escala é uma relação entre o comprimento real e o representado, assim as escalas particulares podem ser calculadas como sendo as relações entre os comprimentos dos segmentos na esfera e os seus correspondentes no plano de projeção. Esta variação pode ser entendida como um fator de deformação que varia ao longo de toda superfície de projeção. Então pode-se determinar o fator de deformação ao longo dos paralelos, ao longo dos meridianos, em uma direção qualquer, segundo um azimute e assim por diante. Para tanto, antes vamos estabelecer algumas relações existentes do quadrilátero A’B’C’D’.

dx = A’S’ + D’R’ mas D’R’ = P’B’ então dx = dx

+ dx

analogamente

dy = A’P’ + B’Q’ mas B’Q’ = S’D’ então dy = dy

+ dy

A’B’2 = A’P’2 + P’B’2 A’B’2 = 2

2

dy

+ 2

2

dx

= 2

22

dyx

A’D’2 = A’S’2 + S’D’2 A’D’2 = 22

dx

+ 22

dy

= 222

dyx

A’C’2 = dx2 + dy2 A’C’2 =

22

dy

dy

dx

dx

Desenvolvendo chega-se a:

A’C’2 = 2

22

dyx

+ 2 ddyyxx

+ 222

dyx


31

Fazendo

E = 22

yx

F = yyxx

G = 22

yx

e lembrando que, A’C’ = ds’, vem:

A’B’ = dE ; A’D’ = dG ; ds’ = 22 2 GddFdEd

Os valores E, F e G são denominados quantidades fundamentais de Gauss.

Definidas estas relações, pode-se então partir para o cálculo das escalas particulares.

7.3.3 - Fator de deformação ao longo dos meridianos (h).

O fator de deformação ao longo dos meridianos é representado pela letra h. É definido pela relação:

h = AB

BA '';

A’B’ já foi deduzido e AB é o comprimento de um arco de meridiano de raio R e amplitude d ou seja:

AB = R.d considerando que a esfera tem raio unitário AB d

Finalmente

h = d

dEh E


32

7.3.4 - Fator de deformação ao longo dos paralelos (k).

O fator de deformação ao longo dos paralelos é representado pela letra k. É definido pela relação:

k = AD

DA '';

A’D’ já foi deduzido e AD é o comprimento de um arco de paralelo de raio rp e amplitude d ou seja:

AD = R.cos d considerando uma esfera de raio unitário AD = cos d

Finalmente

k = d

dG

cosk secG

7.3.5 - Fator de deformação ao longo de qualquer arco que passe por A.

Este fator de deformação é representado pela letra sendo definido pela relação:

= ds

ds' ;

Considerando que o quadrilátero é infinitesimal, pode-se calcular ds pelo teorema de Pitágoras.

ds2 = R2 d 2 + R2 cos2 d 2 considerando R = 1 ds = 222 cos dd

Finalmente

= 222

22

cos

2

dd

GddFdEd

A equação a seguir calcula a escala em função do ângulo azimutal

22

22

cos2

coscos sen

Gsen

FE


33

7.3.6 - Elipse das distorções ou Indicatriz de Tissot

Uma circunferência na superfície da esfera, infinitamente pequena, quando é transformada para o plano da projeção, ao sofrer deformação assume a forma elíptica. Esta elipse recebe o nome de elipse das distorções ou Indicatriz da Tissot.

Teorema de Tissot:

Sobre qualquer ponto de uma projeção existem duas direções perpendiculares entre si, que ao

serem transformadas, embora existindo deformação angular, permanecem perpendiculares entre si.

As direções I e II são conhecidas como direções principais e é sobre elas que ocorrem as deformações máxima e mínima (a e b).

Na esfera os paralelos se cruzam segundo um ângulo de 90º, porém esse valor é alterado pela distorção. Pode-se demonstrar que:

cos'cos

kh

F

onde ’ é o ângulo reto na superfície da esfera modelo após ser deformado.

aa

a

a ’

’

ds ds’

C C’

y y’

x x’

II II’

I I’

A A’

na projeçãona esfera

a

’b

Mer

idia

no

Paralelo

kh


34

7.3.7 - Fator de deformação máximo (a) e mínimo (b)

As seguintes relações podem ser deduzidas a partir do conceito de elipse das distorções.

h2 = a2.cos2 ’+b2.sen2 ’

k2 = a2.sen2 ’+b2.cos2 ’

associando as duas equações:

h2 + k² = a2.cos2 ’+b2.sen2 ’ + a

2.sen2 ’+b2.cos2 ’ colocando a² e b² em evidência, vem:

h2 + k² = a2 (cos2 ’+ sen2 ’) + b2(sen2 ’ + cos2 ’) mas sen2 ’ + cos2 ’ = 1, então:

h2 + k2 = a2 + b2

Esta expressão representa o 1º Teorema de Apolônio, que mostra que a soma ao quadrado de dois diâmetros conjugados na elipse é uma constante. O 2º Teorema de Apolônio mostra que a área formada por dois semi-diâmetros conjugados na elipse é igual à área do retângulo formado pelos semi-eixos da elipse, ou seja:

h.k.sen ’= a.b

As duas equações anteriores permitem avaliar a evolução das distorções máxima e mínima para qualquer projeção a partir dos valores conhecidos h, k e ’.

Multiplicando as segunda equação por 2 e somando e subtraindo da primeira equação resulta:

h2 + k2 2.h.k.sen ’ = a2 + b2 2.a.b

finalmente

(a b)2 = h2 + k2 2.h.k.sen ’

A resolução deste sistema de equações permite determinar os valeres dos fatores de deformação máximo e mínimo.

7.3.8 - Fator de deformação de área (p).

Considerando que o quadrilátero A’B’C’D’ é muito pequeno, pode-se definir que o fator de deformação da área é A’B’.A’D’.sen ’. Então:

p = h.k.sen ’ ou p = a.b


35

7.3.9 - Fator de deformação angular máximo ( ).

A equação que permite o cálculo do fator de deformação angular máximo é a seguinte:

ba

ba

2sen

Dependendo da função de projeção que se utilize, têm-se valores diferentes para as deformações, que são do tipo linear, angular e de área.

Em resumo, as escalas particulares ou fatores de deformação assumem valores máximos e mínimos e podem ocorrer:

ao longo dos meridianos = h

ao longo dos paralelos = k

ao longo das direções principais (máxima) = a

ao longo das direções principais (mínima) = b

de área = p

Angular máxima =

Não obstante, existem certos pontos ou linhas onde essas deformações não ocorrem e são conhecidos como pontos ou linhas de distorção zero (pdz ou ldz ). A figura a seguir exemplifica a situação.

ldz pdz

ldz ldz


36

7.3.10 - Propriedades especiais das projeções

Apesar da escala principal só ser preservada ao logo de certos pontos ou linhas (pdz ou

ldz) e as escalas particulares variarem tanto em posição como em direção num mapa, é possível

criar certas combinações especiais de escalas particulares que podem ser mantidas em toda a

extensão de um sistema de projeção, com exceção aos pontos singulares. Pontos singulares são

aqueles onde o Teorema de Tissot não se aplica. Por exemplo, em algumas projeções os pólos

aparecem como sendo linhas ao invés de pontos.

Estas propriedades classificam as projeções em conformes, equivalentes, eqüidistantes e

afiláticas. A tabela abaixo resume as características de cada uma das propriedades :

PropriedadeEscala

particularEfeito Aplicação

Conformidade a =b

não há deformação angular; a forma dos objetos “é mantida”.

Mapas onde a medida de ângulos é importante. Ex.: Cartas Topográficas, Cartas de Navegação e Cartas Militares.

Equivalência a.b = 1

os ângulos são deformados, porém não há deformação de área.

Mapas onde a medida das áreas é importante. Ex.: Mapas de uso da terra, vegetação, populacionais.

Eqüidistância

h = 1 não há deformação segundo os meridianos.

Mapas onde a conformidade ou a equivalência não sejam primordiais. Atlas, mapas de planejamento estratégico. k = 1

não há deformação segundo os paralelos.

Afiláticas não apresentam nenhuma propriedade

As projeções eqüidistantes apresentam uma característica importante, elas deformam

menos os ângulos que as equivalentes e menos as áreas que as conformes, sendo então útil

quando as outras duas propriedades não são necessárias.


37

A figura a seguir mostra as deformações sofridas pela Projeção Sinusoidal ou Projeção de

Sansom-Flamsteed. Esta projeção classificada como equivalente pertence às pseudo-cilíndricas.

Observa-se que ao longo do equador e do meridiano de Grrenwich as Indicatrizes de Tissot são

circunferências de mesmo tamanho, o que indica que estas linhas são linhas de distorção zero.

Fora delas observa-se um estiramento na medida em que se aproxima do Polo Norte.

Fonte : MALING, D.H. Coordinate Systems and Map Projections. Pergamon Press Inc. New York. 1992


38

8 - Análise de uma projeção sob a ótica da teoria das distorções.

Todas as projeções cartográficas, indistintamente, provocam deformações nas feições

cartografadas no processo de transferência da superfície física para a de projeção. Deste modo,

ao se adotar uma ou outra formulação, deve-se levar em consideração qual as características que

queremos preservar, ou seja, que propriedade nos interessa.

As projeções são classificadas quanto às propriedades em conformes, eqüidistantes,

equivalentes e afiláticas. Dependendo da formulação (lei da projeção) mesmo a propriedade

sendo igual, não se tem o mesmo resultado. É necessário se fazer um estudo sob a luz da teoria

das distorções antes de se optar por esta ou aquela projeção.

Como exemplo vamos fazer este estudo utilizando a projeção cilíndrica conforme de

Mercator. Ronan (1983) apud Maling(1993) em sua obra “The Cambribge Ilustrated History of

the World’s Science”, afirma que esta projeção foi utilizada por Ch’ien Lo-Chih num primitivo

mapa de estrelas (Tunhuang – 940). Na Europa, a sua utilização é datada de 1.511 por Etzlaud e

1.569 por Mercator. A navegação passou a adota-la a partir de 1.599.

A formulação desta projeção (lei de projeção) é a seguinte:

x =

y = 24

ln tg

a) Cálculo das derivadas parciais

;0x

;1x

;0y

;

24cos

242

121

242cos

1

24(

24cos

21

242sec

24

1

sensentg

y

;)cos(

11

2

1

224 sensen

y);sec(

y


39

b) Cálculo das quantidades fundamentais de Gauss

;101)()(

;00)sec(10

);(2sec2)sec(20)()(

2222

22

yx

yyxx

yx

G

F

E

c) Cálculo das escalas particulares

c.1) Fator de deformação ao longo dos meridianos

Eh h = sec( )

c.2) Fator de deformação ao longo dos paralelos

)sec(Gk k = sec( )

c.3) Fator de deformação máximo (a) e mínimo (b)

0)(

0

)()'cos(

senkhsenkh

F => ’ = 90º

khbakhkhkhkhkhba 222222 2)'sen(2

c.4) Fator de deformação de área

p = a.b p=sec2( )

c.5) Deformação angular máxima.

00sencomo;2

sen b aba

ba


40

d) Tabela de deformações

h k a b p

0 º 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 º

15 º 1,04 1,04 1,04 1,04 1,07 0,00 º

30 º 1,15 1,15 1,15 1,15 1,33 0,00 º

45 º 1,41 1,41 1,41 1,41 2,00 0,00 º

60 º 2,00 2,00 2,00 2,00 4,00 0,00 º

75 º 3,86 3,86 3,86 3,86 14,93 0,00 º

90 º 0,00 º

Observa-se que as deformações crescem na direção dos Pólos, tendendo para o infinito.

Isso acontece porque esta projeção não é definida para latitude de 90º.

A deformação angular máxima é igual a Zero, o que era de se esperar, uma vez que a

projeção é conforme e os ângulos, neste caso, são preservados.

Nota-se ainda, que uma área localizada na latitude de 75º, sofre uma ampliação da ordem

de 14,93 vezes.

Se por projeto for estabelecida uma tolerância de 4% em termos de deformação linear, só

a região compreendida entre os meridianos de 15º N e 15º S terá a sua área mapeada por esta

projeção.


41

Na tabelas seguintes, são apresentados os fatores de deformação de algumas projeções azimutais.

Projeção Azimutal Estereográfica - conforme

h k a b p

0 º 2,00 2,00 2,00 2,00 4,00 0,0 º

15 º 1,59 1,59 1,59 1,59 2,52 0,0 º

30 º 1,33 1,33 1,33 1,33 1,78 0,0 º

45 º 1,17 1,17 1,17 1,17 1,37 0,0 º

60 º 1,07 1,07 1,07 1,07 1,15 0,0 º

75 º 1,02 1,02 1,02 1,02 1,03 0,0 º

90 º 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,0 º

Projeção Azimutal Postel - Equidistante nos meridianos.

h k a b p

0 º 1,00 1,57 1,57 1,00 1,57 25,6 º

15 º 1,00 1,36 1,36 1,00 1,36 17,5 º

30 º 1,00 1,21 1,21 1,00 1,21 10,9 º

45 º 1,00 1,11 1,11 1,00 1,11 6,0 º

60 º 1,00 1,05 1,05 1,00 1,05 2,8 º

75 º 1,00 1,01 1,01 1,00 1,01 0,6 º

90 º 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,0 º


42

Projeção Azimutal de Lambert - Equivalente.

h k a b p

0 º 0,71 1,41 1,41 0,71 1,00 38,6 º

15 º 0,79 1,26 1,26 0,79 1,00 26,5 º

30 º 0,87 1,15 1,15 0,87 1,00 15,9 º

45 º 0,92 1,08 1,08 0,92 1,00 9,2 º

60 º 0,97 1,04 1,04 0,97 1,00 4,0 º

75 º 0,99 1,01 1,01 0,99 1,00 1,1 º

90 º 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,0 º

Projeção Azimutal Gnomônica - afilática.

h k a b p

0 º

15 º 14,93 3,86 14,93 3,86 57,68 72,2 º

30 º 4,00 2,00 4,00 2,00 8,00 38,9 º

45 º 2,00 1,41 2,00 1,41 2,83 19,9 º

60 º 1,33 1,15 1,33 1,15 1,54 8,3 º

75 º 1,07 1,04 1,07 1,04 1,11 1,6 º

90 º 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,0 º

A partir destas tabela é possível se fazer o estudo de que projeção é mais adequada para o

projeto cartográfico que se pretende. Este tipo de análise deve ser aplicado sempre que se

pretende utilizar uma projeção diferente das tradicionais.


43

Para efeito de ilustração, criou-se na Projeção Cilíndrica de Carrée, cuja tabela de deforma

encontra-se abaixo, uma feição humana (rosto) para obtenção das coordenadas geográficas dos seus

traços definidores. A partir destas, gerou-se em diversas projeções o reticulado e o rosto, para

demonstrar as diferenças que os contornos de uma área cartografada, podem sofrer.

Projeção Cilíndrica de Plate Carrée – Eqüidistante ao longo dos meridianos

h k a b p

0 º 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,0 º

15 º 1,00 1,04 1,04 1,00 1,04 -2,2 º

30 º 1,00 1,15 1,15 1,00 1,15 -8,0 º

45 º 1,00 1,41 1,41 1,00 1,41 -19,6 º

60 º 1,00 2,00 2,00 1,00 2,00 -38,9 º

75 º 1,00 3,86 3,86 1,00 3,86 -72,1 º

90 º 1,00 1,00


44


45


46


47


48


49

9 - Construção prática das Projeções Cartográficas.

A construção de um mapa passa necessariamente por algumas etapas como:

a escolha da superfície de referência (modelo geométrico/datum);

a escolha da superfície de projeção (plana, cônica ou cilíndrica);

o aspecto da superfície de projeção (normal, obliqua ou transversa);

a propriedade especial (conforme, equidistante nos paralelos, equidistante nos meridianos, equivalente ou afilática);

a escala de saída da representação.

As definições quanto as superfície de referência e de projeção, ao aspecto e a propriedade

especial, normalmente já estão meio que resolvidas. Via de regra, adota-se o padrão mais usual.

Por exemplo, o mapeamento sistemático brasileiro utiliza o sistema UTM (Universal Transverso

de Mercator) como padrão, então, na maioria dos projetos que envolvem cartografia, esta

solução é a adotada. Basta lembrar a lei de georreferenciamento de imóveis rurais que

normatizou essa solução na definição territorial das propriedades.

É comum também que, em mapas estaduais do estremo sul do País, se opte pelas

projeções policônicas. Alguns mapeamentos geológicos adotam as cônicas equivalentes como

opção, e algumas cidades adotam o LTM (Local Transverso de Mercator), variação da UTM,

como opção para seus mapeamentos cadastrais. Observa-se então que, sobre estes aspectos,

quase tudo já está definido não havendo muito espaço para variações.

Com respeito ao Datum, embora o Brasil tenha optado pelo SAD 69 desde meados da

década de 70 e que em fevereiro de 2005 o tenha substituído oficialmente pelo SIRGAS 2000, é

comum ainda se verem projetos adotando o Córrego Alegre. Esta decisão equivocada está

calcada nas cartas do mapeamento sistemático que foram confeccionadas no final da década de

60 e início da 70, quando o Datum vigente ainda era o Córrego Alegre. Isto denota uma falta de

conhecimento técnico em mapeamento pelas pessoas que tomam as decisões. Ainda se tem uma

visão de que mapa é simplesmente um desenho e não um documento que se construído

corretamente poderá poupar muito das etapas de levantamento de dados para o planejamento.


50

Finalmente, quanto à escala de saída, embora os sistemas automatizados tenham

ferramentas que facilitam a saída na escala adequada, é interessante que se conheça o processo

na elaboração dos mapas. Então este material didático se propõe a mostrar de que forma isso é

feito.

Para efeito de organização será mostrado a seguir o processo de construção das projeções

conforme elas pertençam à classe das azimutais, cônicas e cilíndricas. Todas as construções

apresentadas adotarão o aspecto normal e será adotada a esfera como modelo geométrico para a

Terra. Esse modelo recebe o nome de esfera modelo ou globo gerador e tem o raio unitário.

9.1 -Projeções Azimutais

As projeções classificadas como azimutais são aquelas que adotam o plano tangente ou

secante como superfície de projeção. Essa superfície pode assumir os aspectos normal,

transverso ou oblíquo, conforme o plano tangencie o modelo de referência (modelo geométrico

da Terra) em um dos pólos, sobre o equador ou em um local diferente destes. Por esta

característica as azimutais só representam no máximo um hemisfério por superfície.

As fórmulas gerais para as projeções azimutais, no caso normal e tangente, são as seguintes.

Equações polares

r = f( )=F( ;

Equações cartesianas

x = r.cos

= y r.sen

onde : r - raio do paralelo no plano de projeção - latitude - colatitude ( = 90º - )

- longitude.

- ângulo correspondente a longitude no plano de projeção.

As escalas particulares ao longo dos paralelos e meridianos são definidas por:

rrh e cossen

rrk

A figura 2 mostra graficamente os elementos envolvidos nas projeções azimutais.


51

Analisando a figura observa-se que o ponto P, na superfície da esfera modelo, é projetado

no plano de projeção em P’. A posição de P’ depende fundamentalmente das suas coordenadas e

da projeção cartográfica utilizada. Assim, um mesmo ponto é projetado em posições diferentes

no plano de projeção simplesmente com a variação da projeção cartográfica.

A projeção cartográfica é uma função matemática conhecida como “Lei da Projeção”.

Esta Lei, no caso de coordenadas polares, é constituída por uma função que depende da

colatitude do ponto P, e que calcula a distância entre o ponto de tangência e P’, representada pela

letra r, e pelo ângulo que corresponde à longitude de P.

Estas coordenadas polares, para serem transformadas em cartesianas, tem sua origem no

ponto de tangência e o eixo das abscissas é coincidente com o meridiano de Greenwich,

conforme figura 1.

r

X

Y

xP

yP

Meridiano deGreenwich

90 Wo

180 o

90 Eo

P

PN

Figura 1 - Eixos cartesianos nas projeções azimutais.


52

R

P

P`

PN r

PS

Lei de projeção :

r = f( ) = F ( )

rcosk

h -mrm

mrm

rsen

Superfície de projeção

P`

r

(Esfera modelo - R=1)

Superfície de referência


Figura 2 – Aspectos geométricos envolvidos numa projeção azimutal.


53

Algumas projeções permitem sua demonstração porque sua Lei é constituída por

equações geométricas. A seguir serão demonstradas algumas destas.

9.1.1 - Projeção Azimutal Gnomônica.

A projeção Gnomônica é atribuída a Tales de Mileto que viveu entre 624 a 546 a.C.

Esta projeção adota o centro da esfera (c) como ponto de vista da projeção (PV). Desta forma o ponto P é projetado a partir de PV em P’. A distância entre P’ e o pólo é denominada pela letra r (figura 3).

Observa-se também que o pólo, PV e P’ formam um triangulo retângulo.

Aplicando-se uma relação trigonométrica simples, obtém-se:

)(.tgRr

como a esfera tem raio unitário, vem:

)(tgr

Esta equação não é definida para pontos cuja colatitude é igual 90º, de forma que o equador não é representado.

9.1.2 - Projeção Azimutal Estereográfica.

A projeção Estereográfica é atribuída a Hiparco de Nicéia que viveu entre 160 a 125 a.C.

Esta projeção adota o ponto antípoda ao ponto de tangência do plano de projeção com a esfera, como ponto de vista (PV). Desta forma o ponto P é projetado a partir de PV em P’. A distância entre P’ e o pólo é denominada pela letra r (figura 4).

Observa-se também que o pólo, PV e P’ formam um triangulo retângulo.

R=1P

P’r

pólo

plano deprojeção

esfera modelo

c=PV

Figura 3 - Projeção Gnomônica.

R=1P

P’r

pólo

plano deprojeção

esfera modelo

PV

c

Figura 4 - Projeção Estereográfica.


54


)(2 tgRr

mas, do triângulo formado entre PV, c e P, têm-se

2902

901802180)90(.2

o

oooo

Considerando-se ainda, que a esfera tem raio unitário, vem:

)2(2 tgr

9.1.3 - Projeção Azimutal Ortográfica.

A projeção Ortográfica é atribuída a Apolônio de Perga que viveu entre 262 a 190 a.C.

Esta projeção adota o ponto antípoda que é deslocado para o infinito como ponto de vista (PV). Desta forma o ponto P é projetado, paralelamente ao eixo de rotação, a partir de PV em P’. A distância entre P’ e o pólo é denominada pela letra r (figura 5).

Observa-se também que c, q’ e P formam um triangulo retângulo.


)cos()(senRr

Considerando-se que a esfera tem raio unitário, vem:

cos)(senr

Conforme informado anteriormente estas três projeções tem sua Lei definida por equações

geométricas cuja demonstração é simples, todavia, a classe das azimutais não se limita somente a

estas três, existindo outras proposições (anexo 1).

R=1P

P’r

pólo

plano deprojeção

esfera modelo

PV

q’c

Figura 5 - Projeção Ortográfica.

P

PV

c


55

9.1.4 - Construção das projeções azimutais.

Definida a lei de projeção que balizara os cálculos, pode-se pensar em duas situações distintas:

a. dado o formato do papel onde se deseja gerar a projeção, calcular a escala;

b. dada a escala da projeção definir quais as dimensões do papel que a comporta.

Tanto para o caso “a” como para o “b” é necessário se fazer algumas considerações. A

primeira é que a área ocupada por uma projeção azimutal é constituída por um círculo cujo raio é

determinado pela colatitude limite (figura 1). Esta colatitude limite é definida pelo limite da

projeção, ou seja, até que distância angular, a partir do ponto de tangência do plano com a esfera,

se pretende representar. A segunda, que as projeções azimutais representam um único

hemisfério.

Então, imaginando um papel com dimensões hipotéticas dx e dy (figura 6).

O círculo para ser representado

na integra deve ter seu raio máximo

(rMáx) menor que a menor dimensão do

papel. No caso da ilustração a menor

dimensão ocorre em dx.

O raio máximo tem sua dimensão

definida por dois fatores. O primeiro

está atrelado a Lei da projeção e o

segundo ao raio da esfera modelo (R).

Nas deduções apresentadas

anteriormente o raio da esfera modelo

era considerado unitário, mas é

facilmente percebido que o valor de “r”

é diretamente dependente de “R”, ou

seja, se for dobrado o valor de “R”

automaticamente se dobra o de “r”.

Então, para se ocupar a menor dimensão do papel deve-se variar o raio da esfera modelo (R).

Chamando de “d” a menor dimensão do papel, tem-se:

r Máx

dy

dx

Limite da projeção

Figura 6 - Dimensões úteis de uma folha de papel


56

Calculado o raio da esfera modelo ideal pode-se agora calcular em que escala será representada esta projeção. Sabe-se que escala é a proporção existente entre o real e o representado. Então, a escala é a proporção entre o raio da esfera modelo (R) e o raio da Terra real (RT), ou seja:

Esta proporção será um número menor do que 1. Em cartografia costuma-se indicar a escala como uma fração, assim:

A escala calculada normalmente não será um número inteiro, deste modo, deve-se arredondá-la para uma escala menor. Quando isso é feito, a proporção é modificada e precisa-se calcular novamente o raio da esfera modelo.

Definida a escala e o raio da esfera modelo passa-se a construir uma tabela onde serão calculados os raios dos paralelos. Os meridianos são constituídos por linhas radiais onde o ângulo = . Ao conjunto de paralelos e meridianos representados na superfície de projeção dá-se o nome de reticulado ou canevá da projeção.

No caso de ser fornecida a escala da projeção a ordem dos cálculos é diferente. Inicialmente calcula-se o raio da esfera modelo e depois a dimensão mínima.


57

Com os exemplos seguintes, o procedimento de cálculo do canevá ficará mais claro.

Exemplo 1 – Gere o canevá da projeção Azimutal Gnomônica, aspecto normal, em uma folha padrão A4, intervalando os paralelos e meridianos de 15º em 15º. Para o cálculo adote RT = 6.380 km.

Para iniciar o cálculo da projeção precisa-se:

a – Lei da projeção;

b – espaço útil no papel;

c – cálculo do raio da esfera modelo;

d – cálculo da escala;

e – geração da tabela com os raios dos paralelos.

A lei de projeção da Azimutal Gnomônica é determinada pelas equações

)(tgr

Esta equação não é definida para = 90º. Considerando que foi pedido que o intervalo fosse de 15º em 15º,

então a colatitude máxima a ser adotada será: Máx =75º.

Com respeito ao papel, para se calcular a área útil, deve-se descontar das dimensões do formato A4 as

margens, os espaços definidos para cabeçalho, escala e textos adicionais. Na figura 7, estes espaços estão

delimitados. É importante frisar que excetuando as margens, os outros espaços podem ser livremente estipulados

pelo autor do mapa.

dx = 158 mm

7 mm

r Máx

Título

Escala

text

o

text

o

10

mm

30 mm

40 mm

25

mm

10

mm

7 m

m

7 mm

dy =

213

mm

Figura 7 - Definição da área útil.


58

Para o cálculo do raio da esfera modelo de uma projeção azimutal utiliza-se a seguinte fórmula:

d = 158 mm e rMáx = tg( Máx) = tg(75º) rMáx =3,73

então

Tendo-se o Raio da esfera modelo cujo valor faz com que a projeção azimutal Gnomônica ocupe a área útil total, é necessário agora se calcular a escala desta projeção, assim:

O denominador calculado não é, normalmente, um número inteiro, então arredondando para um número maior, vem

Recalculando o raio da esfera

Finalmente passa-se a fase de cálculo dos raios dos paralelos.

r = R. tg ( ) (R = 2 ,1 cm)

0º 90º -

15º 75º 7 ,8 cm

23º 27 ' 66º 33 ' 4 ,8 cm

30º 60º 3 ,6 cm

45º 45º 2,1 cm

60º 30º 1 ,2 cm

66º 33 ' 23º 27 ' 0 ,9 cm

75º 15º 0 ,6 cm

90º 0º 0,0 cm

Os valores 23º27’ e 66º33’ correspondem ao Trópico de Câncer e ao Círculo Ártico ou ao Trópico de Capricórnio e ao Círculo Antártico conforme os dados fizerem referência ao hemisfério Norte ou ao hemisfério Sul respectivamente. A figura 8 mostra o canevâ da projeção Gnomônica.


59

Projeção Azimutal GnomônicaAspecto Normal

Atribuida a Tales de Mileto (624 - 546 a.C.)

Escala 1:302.000.000

0o15 Eo

30 Eo

45Eo

60Eo

75

Eo

90

Eo10

5E

o

120

Eo

135Eo

150Eo

165Eo

180o165W

o

150Wo

135Wo

120W o

105

W o

90

W o75

W o

6 0Wo

45Wo

30 Wo

15 Wo

Mer

idia

no

de G

ree

nwic

h

PN

30o

45o

60o

T

R

ÓP

IC

OD E C

ÂN

CE

R

CÍR

CU

LO

P O L A R

ÁR

TI

CO

3.020 6.040 9.060 12.080 15.100 km3.020 0

15o

Figura 8 – Canevá da Projeção Azimutal Gnomônica em um papel formato A4 (210 mm x 297 mmm)


60

Exemplo 2 – Gere o canevá da projeção Azimutal Estereográfica, aspecto normal, em uma folha padrão A4, intervalando os paralelos e meridianos de 15º em 15º. Para o cálculo adote RT = 6.380 km.

Os cálculos são similares ao exemplo anterior, mudando-se somente a Lei da Projeção, ou seja:

)2(2 tgr

Esta equação é definida para = 90º que será o limite da projeção. Como o formato do papel é o mesmo

que do exercício anterior e se for adotado as mesmas dimensões, vem:

d = 158 mm e

então

Tendo-se o Raio da esfera modelo calcula-se a escala desta projeção:

arredondando o denominador para um número maior inteiro, vem


61


Finalmente passa-se a fase de cálculo dos raios dos paralelos.

r = 2 .R. tg ( ) ( R = 3 ,9 c m)

0º 90º 7,8 cm

15º 75º 6 ,0 cm

23º 27 ' 66º 33 ' 5 ,1 cm

30º 60º 4 ,5 cm

45º 45º 3,2 cm

60º 30º 2 ,1 cm

66º 33 ' 23º 27 ' 1 ,6 cm

75º 15º 1 ,0 cm

90º 0º 0,0 cm

A figura 9 mostra o aspecto do canevá da projeção estereográfica.


62

Projeção Azimutal EstereográficaAspecto Normal

Atribuida a Hiparco de Nicéia (160 - 125 a.C.)

Escala 1:162.000.000

0o15 Eo

30 Eo

45Eo

60Eo

75

Eo

90

Eo10

5E

o

120

Eo

135Eo

150Eo

165Eo

180o165W

o

150Wo

135Wo

120W o

105

W o

90

W o75

W o

6 0Wo

45Wo

30 Wo

15 Wo

Mer

idia

no

de G

ree

nwic

h

PN

30o

45o

75o

TR

ÓP

I CO D E

CÂ

NC

ER

CÍR

C

UL O

P O L A RÁ R

T

I CO

1.620 3.240 4.860 6.480 8.100 km1.620 0

60o

15o

Figura 9 – Canevá da Projeção Azimutal Estereográfica em um papel formato A4 (210 mm x 297 mmm)


63

Observa-se nos dois exemplos que o procedimento de geração do canevá é simples.

A partir do canevá a construção do mapa exige que sejam conhecidas as coordenadas

geográficas ( ) das diversas feições que compõe a região representada como, limites dos

continentes, dos países, cidades ou locais importantes, cursos d’água, entre outros. Neste caso é

melhor empregar as fórmulas que utilizam o sistema cartesiano. Assim:

x = r.cos

y = r.sen

No caso da projeção Gnomônica as fórmulas cartesianas são:

x = R.tg .cos

y = R.tg .sen

e as da Estereográfica são:

x = 2.R.tg( /2).cos

y = 2.R.tg( /2).sen

Basta ir substituindo paulatinamente as coordenadas nas equações e ir obtendo as coordenadas cartesianas.


64

9.2 -Projeções cônicas

As projeções classificadas como cônicas são aquelas que adotam o “cone reto” tangente

ou secante como superfície de projeção. Essa superfície pode assumir os aspectos normal,

transverso ou oblíquo, conforme o eixo do cone seja paralelo, transverso ou oblíquo em relação

ao eixo de rotação do modelo de referência (modelo geométrico da Terra). Similarmente as

azimutais, elas só representam um único hemisfério por superfície.

As fórmulas gerais para as projeções cônicas, no caso normal e tangente, são as seguintes.

Equações polares

r = f( )=F( ;

Equações cartesianas

x = r.sen

= y C - r.cos

onde : r - raio do paralelo no plano de projeção

- latitude

- colatitude ( = 90º - )

- longitude.

- ângulo correspondente a longitude no plano de projeção.

- fator de redução ou constante do cone

C - raio do paralelo-padrão no plano de projeção


rrh e cossen

rrk

A figura 10 mostra graficamente os elementos envolvidos nas projeções cônicas.


65

P`

PN

V

Lei de projeção :

r = f( ) = F ( )

constante do coner

coskh -crc

P`

C

V


P

R




PS

r

(Cone - tangente)

Paralelo padrão (L.d.z.)

C

Paralelo-padrão (L.d.z.)

r

Figura 10 – Aspectos geométricos envolvidos nas projeções cônicas.


66

Dependendo do paralelo padrão que se adote a altura do cone e a dimensão da base variam.

Observa-se na figura 10 que o raio do paralelo (r) é considerado desde o vértice do cone

até o ponto P’, e que o ângulo ao ser transformado em , ao contrário das projeções azimutais,

sobre uma redução. Essa redução, também denominado de constante do cone e designada pela

letra grega , é uma função matemática que depende da latitude do paralelo padrão ( o) ou da

colatitude do paralelo padrão ( o).

Além do paralelo padrão, nas projeções cônicas, existe a figura do Meridiano Central

(MC) que pode ser coincidente com o Meridiano de Greenwich. Quando o meridiano central é

em outro local, substitui-se a longitude por uma diferença dada por:

onde : - longitude do ponto;

MC - longitude do meridiano central.

A figura 11 mostra esses elementos em relação às coordenadas cartesianas.

r

X

Y

xP

yPMeridiano de Greenwich

18 0E

o

180

Eo

P

Figura 11 - Eixos cartesianos nas projeções cônicas.

PN

C

paralelo-padrão

0oC = F( ) = f ( )o o


67

9.2.1 - Construção das projeções cônicas.

As projeções cônicas ocupam a área útil do papel em função da Lei da projeção e do

paralelo padrão escolhido de duas formas distintas. Essas situações serão definidas por “caso a”

quando o Máx > 90º e “caso b” quando o Máx < 90º. Em ambos os casos o espaço requerido na

direção dos eixos das abscissas é diferente do eixo das ordenadas. Assim é necessário se calcular

um raio ideal na direção de x (RX) e um raio ideal na direção de y (RY). Assumindo como dx o

espaço útil na direção de x e dy o espaço na direção de y pode-se formular as equações para os

dois casos.

Caso a - Máx > 90º

Máx

rM

áx

X

Y


180Wo

180

Eo

Figura 12 - Projeções cônicas - caso .a

0o

2.rMáx

rMáx

r sen( -90 )Máx. Máx

o

Analisando a figura 12 pode-se extrair:

E


68

Caso b - Máx < 90º

Máx

r Máx

X

Y


180 Wo 180E

o

Figura 13 - Projeções cônicas - caso .b

0o

rMáx

2.r sen( )Máx. Máx

Analisando a figura 13 pode-se extrair:

e

Calculados os raios ideais nas direções dos eixos cartesianos, tanto para o “caso a” como

para o “caso b”, adota-se o menor deles como raio da esfera modelo. A seguir procede-se como

nas projeções azimutais, ou seja, calcula-se a escala, arredonda-se o denominador para um valor

inteiro maior e torna-se a calcular o raio da esfera modelo utilizando-se as seguintes fórmulas:

e


69

No caso de ser fornecida a escala da projeção a ordem dos cálculos é diferente. Inicialmente calcula-se o raio da esfera modelo e depois as dimensões mínimas.

Caso a

Caso b

Definida a escala e o raio da esfera modelo passa-se a construir duas tabelas com a

finalidade de gerar o reticulado ou canevá da projeção. Na primeira serão calculados os raios dos

paralelos e na segunda os ângulos = .

Com os exemplos seguintes, o procedimento de cálculo do canevá ficará mais claro.

Exemplo 3 – Gere o canevá da projeção Cônica Conforme de Lambert, aspecto normal, em uma folha padrão A4. Considere para os cálculos o paralelo padrão com o = 60º e o intervalo para os paralelos e meridianos de 15º em 15º. Para o cálculo adote RT = 6.380 km.

Para iniciar o cálculo da projeção, precisa-se:

a – Lei da projeção;

b – espaço útil no papel;

c – cálculo do raio da esfera modelo;

d – cálculo da escala;

e – geração da tabela com os raios dos paralelos.

A lei de projeção da Cônica Conforme de Lambert é determinada pelas equações


70

Inicialmente determina-se em qual caso a projeção se enquadra.

Considerando que se pretende gerar o cavevá de um hemisfério, então:

Máx = 180º e que é o caso a.

Máx = 90º equador

Com respeito ao papel, como no exemplo 1 e 2, para se calcular a área útil, deve-se descontar das

dimensões do formato A4 as margens, os espaços definidos para cabeçalho, escala e textos adicionais. Na figura 14,

estes espaços estão delimitados.

dx = 158 mm

7 mm

r Máx

Título

Escala

text

o

text

o

10

mm

30 mm

40 mm

25

mm

10

mm

7 m

m

7 mm

dy =

213

mm

Figura 14 - Definição da área útil.

Embora fique evidente na figura 14 qual dos raios será o menor, é importante no exercício se mostrar a lógica de cálculo. Nem sempre esta situação ocorre. Então prosseguindo no cálculo do raio ideal da esfera modelo nas direções x e y vem:


71

Como já se previa o menor raio da esfera modelo ocorre na direção de x, então .

Tendo-se o valor do raio da esfera modelo passa-se a calcular a escala:

como o denominador da fração é um número inteiro não há necessidade de se proceder ao arredondamento. O próximo passo é o cálculo das tabelas dos paralelos e dos meridianos.

Tabe la 1 - Ra ios dos para le los - Cônica conforme de Lamber t

(R = 4 ,4c m)

0º 90º 7,9 cm

15º 75º 6,3 cm

23º 27 ' 66º 33 ' 5,5 cm

30º 60º 4,9 cm

45º 45º 3,7 cm

60º 30º 2,5 cm

66º 33 ' 23º 27 ' 2,0 cm

75º 15º 1,4 cm

90º 0º 0,0 cm

OBS.: O

=30 O

= 0,866

Tabela 2 – Ângulos para os meridianos da Projeção Cônica Conforme de Lambert

0 º 0,00 º

15 º 12,99 º

30 º 25,98 º

45 º 38,97 º

60 º 51,96 º

75 º 64,95 º

90 º 77,94 º

105 º 90,93 º

120 º 103,92 º

135 º 116,91 º

150 º 129,90 º

165 º 142,89 º

180 º 155,88 º

A figura 15 representa o aspecto do canevá da projeção Cônica Conforme de Lambert.


72

Projeção Cônica Conforme de LambertAspecto Normal

Escala 1:145.000.000

0o 15 Eo

30 Eo

45Eo

60Eo

75Eo

90

Eo

105

Eo

120

Eo

135

Eo

150

Eo

165E

o

180Eo

180Wo

165Wo

150Wo

135

W o

120W o

105

W o9

0W o

75

Wo

60W

o

45 Wo

30 Wo

15 Wo

Me

ridi

ano

de

Gre

enw

ich

PN

30o

45o

75o

1.450 2.900 4.350 5.800 7.250 km1.450 0

60o

15o

Figura 15 – Canevá da Projeção Cônica Conforme de Lambert.


73

Exemplo 4 – Gere o canevá da projeção Cônica Equidistante de Ptolomeu, aspecto normal, em uma folha padrão A4. Considere para os cálculos o paralelo padrão com o = 25º e o intervalo para os paralelos e meridianos de 15º em 15º. Para o cálculo adote RT = 6.380 km.

Os cálculos são similares ao exemplo anterior, mudando-se somente a Lei da Projeção, ou seja:

Novamente, inicia-se pela determinação de em qual caso a projeção se enquadra.

Considerando que se pretende gerar o cavevá de um hemisfério, então:

Máx = 180º e que é o caso b.

Máx = 90º equador

Obs.: a multiplicação pelo fator /180º é para transformar a diferença angular em graus, para radianos. Esse procedimento tem a finalidade de tornar o valor dimensionalmente compatível com o resultado da tangente.

Utilizando as mesmas dimensões úteis dos exercícios anteriores vem:

Adota-se o raio menor para a esfera modelo. Assim:

Tendo-se o valor do raio da esfera modelo passa-se a calcular a escala:


74

Arredondando para um denominador maior


O próximo passo é o cálculo das tabelas dos paralelos e dos meridianos.

Tabela 1 - Raios dos parale los - Cônica Equidis tante de Ptolomeu

(R = 3 ,2c m)

0º 90º 8,3 cm

15º 75º 7,4 cm

23º 27 ' 66º 33 ' 6 ,9 cm

30º 60º 6,6 cm

45º 45º 5,7 cm

60º 30º 4,9 cm

66º 33 ' 23º 27 ' 4 ,5 cm

75º 15º 4,1 cm

90º 0º 3,2 cm

OBS.: O = 65 O

Tabela 2 – Ângulos para os meridianos da Projeção Cônica Equidistante de Ptolomeu

0 º 0,00 º

15 º 6,34 º

30 º 12,69 º

45 º 19,04 º

60 º 25,38 º

75 º 31,72 º

90 º 38,07 º

105 º 44,42 º

120 º 50,76 º

135 º 57,10 º

150 º 63,45 º

165 º 69,80 º

180 º 76,14 º

obs.: = 0,423


75

A figura 17 representa o canevá da projeção Cônica Equidistante de Ptolomeu.

Observa-se na figura 17 que o Pólo Norte é representado por uma linha ao invés de um ponto. Neste caso se diz que

o pólo é truncado. É possível notar também que se tivesse sido colocado a projeção girada de 90º a escala poderia

ser maior. Este fato é simples de se constatar. Basta definir a área útil para o papel A4 girado e calcular os raios da

esfera.

dy =

128

mm 7

mm

rM

áx

Título

Escala

text

o

text

o

30 mm

20 m

m

20 m

m

25 mm

20 mm

7 mm

7 m

m

dx = 243 mm

Figura 16 - Definição da área útil no papel A4 girado de 90 .o

Recalculando a escala vem:


76

Projeção Cônica Equidistante de PtolomeuAspecto Normal - Pólo truncado

Atribuida a Ptolomeua (130 a.C.)

Escala 1:200.000.000

0o 15 Eo 30 Eo45 Eo

60 Eo

75 Eo

90Eo

105

Eo

120

Eo

135

Eo

150

Eo

1 65

Eo

180

Eo

1 65

W o150

Wo135

Wo

120W

o

105Wo

90 Wo

75 Wo

60 Wo

45 Wo30 W

o

15 Wo

Me

ridia

no

de

Gre

en

wic

h

30o

45o

75o

2.000 4.000 6.000 8.000 10.000 km2.000 0

60o

15o

180

W o

Figura 17 – Canevá da Projeção Cônica Equivalente de Ptolomeu.


77

9.3 -Projeções cilíndricas

As projeções classificadas como cilíndricas são aquelas que adotam o “cilindro” tangente

ou secante como superfície de projeção. Essa superfície pode assumir os aspectos normal,

transverso ou oblíquo, conforme o eixo do cilindro seja paralelo, transverso ou oblíquo em

relação ao eixo de rotação do modelo de referência (modelo geométrico da Terra). Nesta classe

de projeção tem-se a possibilidade de representar a Terra com um todo.

As fórmulas gerais para as projeções cilíndricas, no caso normal e tangente, são as

seguintes.

x =

y f( )=F( ;

Observa-se que para as cilíndricas não se utilizam equações polares e que a abcissa é

igual a longitude. Para haver compatibilidade de unidades é necessário que se transforme a

longitude de graus para radianos. Isso é feito multiplicando-se o ângulo por uma constante

( /180º ).


yh e

A figura 18 mostra graficamente os elementos envolvidos nas projeções cilíndricas.


78

PN

PS

PP`

R




(Cilindro - tangente)

“Equador”Paralelo padrão (L.d.z.)

Equador

Mer

idia

no

de

Gre

en

wic

h

18

0º

E

18

0º

W


0º

90º S

90º N

Lei de projeção :

y = f( ) = F ( ) x

coskcos

hcyc

Figura 18 – Aspectos geométricos envolvidos nas projeções cilíndricas.


79

9.3.1 - Construção das projeções cilíndricas.

As projeções cilíndricas ocupam a área útil do papel, em função da Lei da projeção, na

forma de um retângulo. Similarmente ao caso das cônicas, o espaço requerido na direção dos

eixos das abscissas é diferente do eixo das ordenadas. Assim é necessário se calcular um raio

ideal na direção de x (RX) e um raio ideal na direção de y (RY). Assumindo como dx o espaço

útil na direção de x e dy o espaço na direção de y pode-se formular as seguintes equações:

e

onde xMáx e yMáx representam os limites da projeção.

Calculados os raios ideais nas direções dos eixos cartesianos, adota-se o menor deles

como raio da esfera modelo. A seguir procede-se como nas projeções anteriores, ou seja, calcula-

se a escala, arredonda-se o denominador para um valor inteiro maior e torna-se a calcular o raio

da esfera modelo utilizando-se as seguintes fórmulas:

e

Definida a escala e o raio da esfera modelo passa-se a construir duas tabelas com a

finalidade de gerar o reticulado ou canevá da projeção. Na primeira serão calculadas as

ordenadas dos paralelos (y) e na segunda as abscissas dos meridianos (x).

O exercício seguinte vai esclarecer todo o procedimento.

Exemplo 5 – Gere o canevá da projeção Cilíndrica Conforme de Mercator, aspecto normal, em

uma folha padrão A4. Considere para os cálculos o intervalo para os paralelos e meridianos de

15º em 15º. Para o cálculo adote RT = 6.380 km.

A lei de projeção da Projeção de Mercator é dada pelo seguinte conjunto de equações:

x = ; e h = k = sec


80

Para se calcular os elementos do canevá, inicialmente é preciso se estabelecer os limites da projeção. Com respeito ao eixo das abscissas o limite é dado pela longitude máxima possível, ou seja, Máx = 180°. Já no caso das ordenadas, não se pode utilizar a latitude máxima (90°), porque nesse ponto a função não é definida. Considerando que o intervalo pedido foi de 15° em 15° então se adota como valor máximo para a latitude Máx = 75°. É importante frisar que os valores do canevá são simétricos a partir do meridiano de Greenwich e do equador.

xMáx = 180° este valor tem que ser convertido para radianos xMáx = 3,14

y Máx = ln(7,5957) y Máx = 2,03

Definido os valores máximos das coordenadas do canevá calculam-se os raios ideais na direção de x e y. Para isso é preciso se conhecer a área útil no papel. A figura 19 mostra essas dimensões:

dy =

12

8 m

m 7 m

m

Título

Escala

text

o

text

o

30 mm

20

mm

20

mm

25 mm

20 mm

7 mm

7 m

m

dx = 243 mm

Figura 19 - Definição da área útil no papel A4 girado de 90 .o

Rx = 38,69 mm

Ry = 31,53 mm

Adotando-se o menor raio calcula-se a escala

arredondando para uma escala menor;


81

Como a escala foi arredondada e o raio da Terra não mudou então é preciso recalcular o raio da esfera modelo, ou seja:

R = 31,1 cm R = 3,1 cm

O próximo passo é o cálculo das tabelas dos paralelos e dos meridianos.

Tabela 1 - Ci l índr ica Conforme de Mercator – ordenadas – (R = 3 ,1cm)

N o r t e y S u ly

0º 0 cm 0º 0 cm

15º 0,8 cm -15º - 0 ,8 cm

23º 27 ' 1 ,3 cm -23º 27 ' - 1 ,3 cm

30º 1,7 cm -30º -1,7 cm

45º 2,7 cm -45º - 2 ,7 cm

60º 4,1 cm -60º - 4 ,1 cm

66º 33 ' 4 ,9 cm -66º 33 ' - 4 ,9 cm

75º 6,3 cm -75º - 6 ,3 cm

90º - -90º -

A figura 20 representa o aspecto do canevá da Projeção Cilíndrica Conforme de Mercator.

Tabela 2 – Cilíndrica Conforme de Mercator – abscissas – x = R. rad (R = 3,1cm)

Leste x Oeste x

0 º 0 cm 0 º 0 cm

15 º 0,8 cm -15 º -0,8 cm

30 º 1,6 cm -30 º -1,6 cm

45 º 2,4 cm -45 º -2,4 cm

60 º 3,2 cm -60 º -3,2 cm

75 º 4,1 cm -75 º -4,1 cm

90 º 4,9 cm -90 º -4,9 cm

105 º 5,7 cm -105 º -5,7 cm

120 º 6,5 cm -120 º -6,5 cm

135 º 7,3 cm -135 º -7,3 cm

150 º 8,1 cm -150 º -8,1 cm

165 º 8,9 cm -165 º -8,9 cm

180 º 9,7cm -180 º -9,7cm


82

Pro

jeçã

o C

ilín

dri

ca C

on

form

e d

e M

erc

ato

r.A

spe

cto

No

rma

l

Esc

ala

1:2

05.0

00.

000

2.0

504

.100

6.1

50

8.2

00

10

.25

0 k

m2.

05

00

15°

Su

l

30°

Su

l

45°

Su

l

60°

Su

l

75°

Su

l

15°

Nor

te

30°

Nor

te

45°

Nor

te

60°

Nor

te

75°

Nor

te

TR

ÓP

ICO

D

E

CÂ

NC

ER

TR

ÓP

ICO

DE

CA

PR

ICÓ

RN

IO

CÍR

CU

LO

ÁR

TIC

O

CÍR

CU

LO A

NT

ÁR

TIC

O

EQ

UA

DO

R

15° W

30° W

60° W

75° W

90° W

105° W

120° W

135° W

150° W

165° W

180° W

45° W

15° E

30° E

45° E

60° E

75° E

90° E

105° E

120° E

135° E

150° E

165° E

180° E

GREENWICH

Figura 20 – Canevá da Projeção Cilíndrica Conforme de Mercator.


83

10 - Sistemas de Coordenadas Planas (quadriculado e reticulado)

Nos mapas as diversas feições representadas podem ser referenciadas a dois tipos de

coordenadas planas : o quadriculado e o reticulado.

43º W44º W45º W46º W47º W

29º S

30º S

31º Sy4

y5

y3

y2

y1

600 km500 km

500 km

400 km

400 km

300 km

300 km

200 km

200 km

100 km

100 km

x6x5x4x3x2x1

Quadriculado

Reticulado

Define-se como quadriculado ao conjunto de duas famílias de retas paralelas aos eixos

coordenados. Uma família aproximadamente na direção leste (y constante) e outra família

perpendicular a primeira e na direção norte (x constante).

Define-se como reticulado ao conjunto de duas famílias de linhas transformadas de

paralelos e meridianos. Uma família na direção leste-oeste ( constante paralelos) e a outra na

direção norte-sul ( constante meridianos).

No quadriculado as linhas são paralelas e eqüidistantes entre si, o que não ocorre com o

reticulado.


84

11 - A Projeção Universal Transversa de Mercator (UTM)

11.1 - As projeções TM

A projeção de Mercador é uma projeção conforme, cilíndrica tangente a esfera modelo no

equador, que nesta situação é representado em verdadeira grandeza. A projeção Transversa de

Mercator também conhecida como projeção Conforme de Lambert-Gauss é uma variante da

primeira onde a tangência se dá num meridiano qualquer. Segundo Brunetti (1993), Gauss,

planejando o levantamento do território de Hannover, estabeleceu um sistema de projeção

conforme utilizando como modelo para a Terra, o elipsóide de revolução. Esta projeção

denominada Gauss Hannoversche Projeksion, possuí o cilindro tangente ao meridiano central,

sendo a sua seção, elíptica. Krüger, a partir dos estudos de Gauss, estabeleceu a projeção em

sistemas parciais, composto por fusos com 3° de amplitude. Posteriormente, Tardi, concebeu um

sistema semelhante, só que secante ao elipsóide e com fusos de 6° em amplitude.

A partir do estudo destes geodesistas chegou-se ao UTM, que segundo Brunetti (1993), é

a denominação inglesa da Projeção de Gauss, com 60 fusos de 6° de amplitude e secante ao

elipsóide de revolução.

Figura 1 – Reticulado de um hemisfério na projeção Transversa de Mercator. Observa-se que somente a zona central do mapa esta relativamente livre de exageros em termos de distorção.

Com a aplicação de um fator de escala e a adoção de valores para as coordenadas do

meridiano central do fuso e do equador diferentes, além da variação da amplitude do fuso,


85

obtém-se projeções similares ao UTM, porém, com diferentes graus de secância como a LTM

(Local Transverso de Mercator) e RTM (Regional Transverso de Mercator)

11.2 -Transformação de coordenadas Geográficas para TM

As expressões gerais que transformam as coordenadas geográficas em TM são, segundo BLACHUT (1979) dadas por:

x = B + a2l 2 + a4l 4 + a6l 6 + ...

y = a1l +a3l 3 + a5l 5

+ ... (1)

onde : B - arco de meridiano entre o equador e o ponto de latitude ;

l =

- longitude do ponto

- longitude do meridiano central

a1, a2, a3, a4, a5 – coeficientes.

O valor de B é calculado por um desenvolvimento em série:

B = A0c A1csen cos ( A sen A sen + A sen + A sen )

A e e e e e02 2 2 2 21

3

41

15

161

35

361

63

641

99

100' ' ' ' ' ;

A e e e e e12 2 2 2 23

41

25

161

77

601

837

7041

2123

1860' ' ' '

.

.' ;

A e e e e22 2 2 25

81

139

1441

1087

11121

513 427

521760' '

.

.'

.

.' ;

A e e e44 2 235

721

125

641

221069

150 000' '

.

.' ;

A e e66 2105

2561

1179

400'

.' ;

A e88231

640' .


86

onde :

b

ac

2

( raio polar de curvatura );

2

222'

b

bae ( segunda excentricidade );

a e b(semi-eixo maior e menor respectivamente).

e os coeficientes são calculados por :

21

2

2

1 'cos

1eca ;

sen121

2 aa ;

4216

13 coscos21aa ;

64422212

14 cos'4cos'9cos61 eeaa ;

624221120

15 cos'72cos'5824cos201 eeaa ;

;cos120cos601 422360

16 aa

A expressão que calcula o fator de deformação da projeção ou fator de escala, é dada por :

k = 1 + a8l 2 + a10l 4 + (2)

onde : 22221

8 cos'1cos ea ;

42222241

10 cos'42cos'2894cos eea.


87

e a convergência meridiana plana, que é o ângulo formado entre o norte verdadeiro e o de quadrícula é calculado pela expressão:

= a7 + a9 l 3 + a11l 5 ...

onde : sen7a ;

4422231

9 cos'2cos'31cossen eea ;

22151

11 cos31cossena

11.3 -Transformação de coordenadas TM para Geográficas

As expressões gerais que transformam as coordenadas TM em geográficas são, segundo BLACHUT (1979) dadas por:

= + b2 y 2 + b4 y 4 + b6 y 6 + ...

= 0 + b1y + b3y3 + b5y

5 + ... (3)

onde: 0 - longitude do meridiano central;

1 - latitude correspondente ao comprimento do arco de meridiano B (latitude aproximada);

b1, b2, b3, b4, b5 e b6 – coeficientes.

21

2

2

1

11 '

cos

1ecb ;

122

112

121

2 cos'1cossen ebb ;

142

123

161

3 cos'cos2 ebb ;

164

142

122

22

1121

4 cos'4cos'10cos'923 eeebbb ;

162

122

125

11201

5 cos'2cos'81cos2024 eebb ;

;cos1645 14

24

13601

6 bbb


88

P

X1 =F(X)

N=X

E=Y

M.C.

Figura 2 - Latitude Aproximada ?

O cálculo de 1 é iterativo e dado por :

1 10

1i iiX B

A c

quando |X - B(n) | 0 para-se a iteração.

na primeira iteração 10

X

A c

O cálculo do fator de deformação em coordenadas planas (de projeção) é feito pela equação :

410

281 ybybk (4)

onde :2

1222

212

121

8 cos'1 ecRb ;

1224

1241

10 cos'41 eRb .


89

e a convergência meridiana plana em coordenadas planas (de projeção) é obtido pela equação :

= b7y + b9y3 + b11y

5 + ...

51

12

111

31

164

142

19

1

17

15

...cos3sen

3

cos'2cos'1sen

sen

Pb

P

eeb

Pb

P N1cosc

e

cos

' cos

1

2 21

121

11.4 -Modificação das coordenadas TM em UTM, RTM e LTM

Para se obter as variações da projeção TM em UTM (Universal Transverso de Mercator),

LTM (Local Transverso de Mercator) e RTM (Regional Transverso de Mercator), basta

multiplicar as expressões (1) e (2) por uma constante K0 adequada, além das constantes de

translação em relação aos eixos x ( N) e y ( E).

Desta forma pode-se escrever novas expressões com o seguinte aspecto:

N = N + k0x

E = E + k0y

k = k0(1 + a8l 2 + a10l 4 + ...) (3)

onde k0, N e E assumem valores diferentes conforme a modificação que se pretende, como pode ser constatado na TABELA 1.


90

Tabela 1 – Variações mais usuais da projeção TM

Projeção UTM LTM RTM

k0 0,999600 0,999995 0,999995

N - hn

hs

0

10.000.000

0

5.000.000

0

5.000.000

E 500.000 200.000 400.000

Fuso 6° 1° 2°

MeridianoCentral

múltiplos de 6 contados a partir do antemeridiano de Greenwich no sentido oeste para leste

a cada 30’ nas longitudes de grau impar

obs.: hn - hemisfério norte (Dados extraídos de BRUNETTI (1993) ) hs - hemisfério sul

11.5 -O Sistema UTM ( Universal Transversa de Mercator)

As cartas do mapeamento sistemático brasileiro, que abrangem as escalas de 1:1.000.000 a 1:25.000, adotam como projeção cartográfica a UTM.

Esta projeção, desenvolvida por Gauss-Tardi, adota como modelo geométrico para a Terra, o elipsóide de revolução e como superfície de desenvolvimento (projeção) o cilindro transverso e secante. Para evitar distorções muito grandes, o mundo é dividido em 60 cilindros, abrangendo cada um deles, uma amplitude de 6º em longitude. A cada faixa de 6º dá-se o nome de fuso.

A posição desses cilindros é convencionada, ou seja, os meridianos limites são fixos e a contagem dos fusos inicia-se no anti-meridiano de Greenwich no sentido de oeste para leste. Cada fuso possui um meridiano central onde o fator de deformação é igual a k0 = 0,9996.

Fuso UTM

Cilindro Secante

6º

Meridiano de

Greenwich

Anti-meridianode Greenwich

Sentido decontagemdos fusos

Fusos

272625

PN

PS


91

A equação que calcula o número do fuso em função da coordenada geográfica é a seguinte:

º6

º183F

obs.: se a parte decimal de F for igual a :

0 (zero) - meridiano central

0,5 - divisa de fuso

onde : F - Número do fuso.

- Longitude de um ponto. Na equação deve-se levar em consideração que a oeste de Greenwich o valor da longitude é negativa.

A equação que determina a longitude do meridiano central a partir do número do fuso é a seguinte:

º183º6 FMC

A origem do sistema plano está na interseção do meridiano central do fuso com o equador. Para evitar coordenadas negativas convencionou-se adicionar 500.000 metros na abscissa, e para pontos do hemisfério sul ,10.000.000 metros na ordenada.

A partir destas considerações, as equações completas para a transformação são as seguintes :

hemisfério norte E = k0.y + 500.000

N = k0.x

hemisfério sul E = k0.y + 500.000

N = k0.x + 10.000.000

6º6º

abcissaabcissa

orde

nada

orde

nada

EE

NN

hn

hs

hn

hs

Fuso UTMFuso UTM

MeridianoCentralMeridianoCentral

EquadorEquador


92

12 - Utilização de Cartas Topográficas

12.1 - Articulação das folhas

As cartas do mapeamento sistemático brasileiro abrangem as escalas que vão de 1:1.000.000

a 1:25.000 e adotam a articulação de folhas do mundo ao milionésimo.

Nesta articulação o mundo é dividido em fusos

de 6º de longitude e em faixas de 4º de latitude. A

divisão e numeração dos fusos é a mesma adotada

no UTM, conforme já explicado.

Com respeito as faixas, a partir do equador, tanto

para o hemisfério norte como para o sul, a cada 4º

de latitude adota-se seqüencialmente uma letra do

alfabeto. Desta forma, uma carta na escala

1:1.000.000, que abrange uma área de 6º de

longitude e 4º de latitude , recebe o nome da seguinte forma : primeiro a letra indicadora do

hemisfério (N ou S), seguido da letra que indica a faixa de latitude e finalmente o número do

fuso.

Por exemplo, a carta S.F-22 corresponde a uma região do hemisfério Sul, abrangida pelo faixa de latitude F e pelo fuso 22.

A partir dessas informações é possível se determinar quais as latitudes e longitudes limites da folha.

Faixa = F F 6ª letra do alfabeto = 6x4 = 24º

Como o hemisfério é sul, então a latitude = 24º sul.

Esta latitude calculada representa o limite inferior da faixa, como ela possui 4º de largura, então o limite superior é igual a = 20º sul.

Fuso 22º6

º183F = F.6º –180º

= 22x6º –183º = 132º –183º = -51º ou 51º oeste

D

D

C

C

B

B

A

A

Equador

12º Sul

8º Sul

4º Sul

12º Norte

8º Norte

4º Norte

0º


93

54º oeste 48º oeste

24º sul

20º sul

S.F-22

Esta longitude calculada corresponde ao meridiano central da folha, como o fuso tem 6º de

amplitude, ou seja, 3° para cada lado do meridiano central, então o limite esquerdo é igual a =

54º oeste (-51° - 3°) e o direito = 48º oeste (-51° + 3°)

A seqüência da articulação em função da escala e do enquadramento segue conforme a ilustração abaixo.

D

4

SE

C

3

SO

B

2

NE

III

VI

A

1

NO

I

IV

II

V

54º oeste

51º30’ oeste

51º15’ oeste

52º30’ oeste 51º30’ oeste

52º30’ oeste

51º15’ oeste

51º07’30“ oeste

52º’ oeste

51º oeste

51º00’ oeste

51º00’ oeste

51º oeste

22º sul

21º30’ sul

21º30’00“ sul

22º00’ sul

21º sul

21º15’ sul

21º22’30“ sul

21º30’ sul

20º sul

21º00’ sul

21º15’00“ sul

21º00’ sul

S.F-22-V

S.F-22-V-D-III

S.F-22-V-D-III-4

S.F-22-V-D

ZY

XV

54º oeste 51º oeste 48º oeste

24º sul

20º sul

22º sulS.F-221:500.000

1:250.000

1:50.000

1:25.000

1:100.000

A mesma seqüência se repete para cada faixa e fuso.


94

Na folha seguinte encontra-se o mapa do Brasil com a articulação brasileira na escala 1:1.000.000.

RORAIMANB-201982

BOA VISTANA-201982

IÇASA-191982

MANAUSSA-201980

SANTARÉMSA-211982

BELÉMSA-221979

SÃO LUÍSSA-231980

FORTALEZASA-241980

NATALSB-251980

JAGUARIBESB-241978

TERESINASB-231979

ARAGUAIASB-221979

TAPAJÓSSB-211979

PURUSSB-201980

JURUÁSB-191982

JAVARISB-181982

RECIFESC-251980

ARACAJUSC-241978

SALVADORSD-241978

RIO DOCESE-241976

BRASÍLIASD-231978

1976SE-23

GOIÁSSD-221979

GOIÂNIASE-221980

CUIABÁSD-211979

CORUMBÁSE-211979

RIO APASF-211976

ASUNCIÓNSG-211979

1976SH-21

1976SI-22

CURITIBASG-221976

1982SH-22

IGUAPESG-231989

1980SF-22

1978SF-23

VITÓRIASF-241979

GUAPORÉSD-201980

RIO SÃOFRANCISCO

SC-231978

TOCANTINSSC-221980

JURUENASC-2119791979

SC-20RIO BRANCO

SC-191982

CONTAMANASC-181982

1982NA-19

MACAPÁNA-2219821982

NA-21

66º

66º

60º

48º54º

4º4º

8º8º

72º

78º

78º

72º

0º0º

12º12º

8º8º

4º4º30º

30º

36º42º

20º20º

16º16º

36º 36º

32º 32º

28º28º

24º

24º

42º

48º54º

60º

(Carta do Mundo ao Milionésimo)

Projeção Policônica

600 km4503001500


95

12.2 - Extração de informações quantitativas das cartas topográficas.

Conforme definido anteriormente, uma carta é uma representação visual (gráfica), codificada, geralmente bidimensional, total ou parcial da superfície da Terra ou de outro objeto. Esta definição pressupõe o conceito de escala, ou seja, qualquer feição representada sofreu ou uma redução (caso mais geral) ou uma ampliação.

Define-se escala como sendo a relação entre o tamanho real e o representado de um objeto quando esta passa da superfície física da Terra para a superfície de projeção (mapa).

Existem dois tipos de escalas utilizadas em cartografia, a escala numérica e a gráfica.

a) Escala numérica

Esta escala implica em uma relação que indica quantas vezes um objeto foi reduzido ou ampliado na fase de construção do mapa, ou seja :

D

d

E

1 onde : E – módulo da escala

d – distância na representação

D – distância real

Por exemplo, num mapa na escala 1:100.000, a distância de 1 cm corresponde a 100.000 cm no terreno ou 1.000 m.

b) Escala gráfica

Neste tipo de escala a relação entre o tamanho real e o representado é indicado por um gráfico (ver figura). Quando se deseja determinar uma distância através do mapa, basta comparar esta com a escala gráfica.

A vantagem da escala gráfica sobre a numérica reside no fato de se preservar a relação entre o tamanho real com o representado nas copiagens com redução ou ampliação.

5 km43211 km 0

Escala Gráfica


96

12.2.1 - Extração de informações lineares

Quando se mede qualquer distância sobre a carta é necessário aplicar a escala desta para se obter a distância “real”. Por exemplo, num mapa na escala 1:100.000, uma distância de 14 cm eqüivale a 1.400.000 cm ou 14.000 m.

D = dxE D = 14 x 100.000 = 1.400.000 cm

p/ metros corre-se a vírgula duas casas decimais.

D = 14.000 m

12.2.2 - Extração de áreas

No caso de áreas é necessário aplicar a escala duas vezes. Por exemplo, supondo um quadrado de 10 por 10 cm . No mapa a área é igual a 100 cm2, ao passo que no terreno é igual a 100 km2.

S = 10 x 10 x 100.000 x 100.000 = 1.000.000.000.000 cm2

p/ km corre-se a vírgula cinco casas decimais, como é área, implica em dez casas decimais.

S = 100 km2.

12.2.3 - Extração de coordenadas

É possível se extrair tanto coordenadas geográficas como coordenadas UTM (plana) das

cartas topográficas. As coordenadas geográficas estão associadas ao reticulado e as UTM ao

quadriculado. Por questões de precisão é sempre preferível extrair coordenadas planas e

posteriormente transforma-las em geográficas através de programas específicos.

Qualquer que seja o tipo de coordenada escolhido, o processo de extração envolve um

procedimento conhecido como interpolação linear.


97

Suponha que deseja-se determinar as coordenadas UTM da confluência do Rio Quebra Perna com o Córrego do Limoeiro. Com o auxílio de um escalímetro mede-se as distâncias conforme a figura ao lado. Em seguida faz-se a seguinte relação :

E

1,3cm

m786.000-m788.000

2cmE = 1.300 m

e

N

1,5cm

m8.482.000-m8.484.000

2cmN = 1.500 m

Finalmente as coordenadas da confluência são :

EP = 786.000 m + 1.300 m EP = 787.300 m

NP = 8.482.000 m + 1.500 m NP = 8.483.500 m

O processo de locar pontos numa carta é o mesmo, contudo a incógnita passa a ser a distância do quadriculado até o ponto.

Cór r.

do

Lim

oeiro

Ri o

Qu

eb

ra

P e r n a 84

84

84

82

86 887 7

2 cm

2 cm

1,5

cm

1,3 cm


98

Referências Bibliográficas

1. BLACHUT, T. J., CHRZANOWSKI, A., SASTAMOINE, J. H. Urban Surveying andMapping. New York : Springer-Verlag,. 1979.

2. GEMAEL, C. Geodésia Geométrica. Curitiba : UFPR, 1977.

3. IBGE – MPO/Diretoria de Geociências / Departamento de Geodésia. Especificaçõese Normas Gerais para Levantamentos Geodésico: Coletânea das normas vigentes. Brasília : Preprint, 1998.

4. MALING, D. H. Coordinate System and Map Projections. London : Philip and Son, 1973. 255p


99

ANEXOS

IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DE GOIÁS Cartografia Geral – Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno – Anexo I

1

x = f1( )

y = f2( )

r = f1( )

= f2( )

r = f1( )

= f2( )

x = f1( , )

y = f2( )

r = f1( )

= f2( , )

x = f1( , )

y = f2( , )


2

Grupo D: Classe das Cilíndricas

Expressões gerais para projeções cilíndricas no aspecto normal.

x = ; y = f( ) ; ; k = sec ; p = h.k ; = 90° - ' = 0

;

ou, quando modificado

x = cos 0. ; y = f( ) ; ; k = cos 0 /cos ; p = h.k ; = 90°- ' = 0

Espaçamento decrescente dos paralelos

1 – Projeção Cilíndrica Equivalente de Lambert.

x sin k sec h

1.a – Modificação da projeção cilíndrica equivalente.

Descrita pela primeira vez em 1848. Várias versões, com diferentes padrões paralelos foram descritos posteriormente, normalmente na ignorância do que já havia sido feito.

A seguinte lista é constituida pelas projeções que diferem apenas na escolha do padrão

paralelos, o

Data Autor e/ou nome Paralelo padrão1 1855 Projeção ortográfica de Gall’s2 1910


3

Espaçamento igual dos paralelos

2 Projeção Cilíndrica Equidistante ou Projeção de Plate Carrée.

x = ; y = h = 1,0; k = sec

2.a Projeção de Cassini.

2b Modificação da Projeção cilíndrica equidistante.

x =cos ; y = h = 1,0; k = cos

Espaçamento decrescente dos paralelos ou série das tangentes.

3 Projeção de Mercator.

).

x = ; y = ln(tg( /4 + /2)); h = k = cos 0/cos


4

3.a – Modificação da Projeção de Mercator

x = cos 0. ; y = cos 0.ln(tg( /4 + /2)); h = k = cos 0/cos

3.b Projeção Transversa de Mercator.

3.c – Projeção Oblíqua de Mercator.

4.a e 4.b Projeção Cilíndrica de Miller's.

x = ; y = n.ln(tg ( /4 + /2m)

y = (5/4).ln(tg ( /4 + /5) ; y = (3/2).ln(tg ( /4 + /3)

5 – Projeção Cilíndrica Perspectiva de Braun2

x = ; y = 2.tan( /2)


5

5.a – Projeção Estereográfica de Gall’s.

x = cos 0.. ; y = ;

h = ; k =

5.b – Projeção de BSAM

Grupo D: Classe das Azimutais

Expressões gerais para projeções azimutais no aspecto normal.

Espaçamento decrescente dos paralelos.

6 – Projeção Azimutal Estereográfica.

7 – Projeção Azimutal Gnomônica.


6

8 – Projeção Azimutal de Erro Mínimo (Airy).

9 – Projeção Azimutal Breusing (média geométrica).

10 – Projeção Azimutal Breusing (média harmônica).


11 – Projeção Azimutal Equidistante de Postel.


7


12 – Projeção Azimutal Equivalente de Lambert.

13 – Projeção Azimutal Equidistante Ortográfica.

Grupo D: Classe das Cônicas

Expressões gerais para projeções cônicas no aspecto normal.

r = f1( ) = F1( ); = . ; x = r.sen ; y =C - r.cos ;

C = constante; = constante;

; k = .r /cos ; = 90° - ' = 0


14 – Projeção Cônica Equivalente com um paralelo padrão.

;

; h =sen( )/ .r; k = .r/sen( )


8

14.a – Projeção Cônica Equivalente com dois paralelos padrão. (Albers)

15 – Projeção Cônica Equivalente com um paralelo padrão (Lambert).

;


16 – Projeção Cônica Equidistante com um paralelo padrão (Ptolomeu).

16.a – Projeção Cônica Equidistante com dois paralelos padrão (L’ Isle).

;

;

;


9

17 – Projeção Cônica Equidistante com um paralelo padrão (Mendeleev).

r = ;

;

18 – Projeção Cônica de Murdoch I.

19 – Projeção Cônica de Erro Mínimo (Murdoch III)

Espaçamento crescente dos paralelos.

20.a – Projeção Cônica Conforme de Lambert

;


10

20.b – Projeção Cônica Conforme de Lambert

Grupo C: Classe das Pseudo Cilíndricas.

Expressões gerais para projeções pseudo cilíndricas no aspecto normal.

x = f1( , ); y = f2( );

; ; p = h.k.cos


21 – Projeção de Mollweid.

;

onde é um ângulo auxiliar obtido a partir da equação transcendental.

;


11

22 – Projeção pseudo cilíndrica equivalente (Fournier II)

; ;

23 – Projeção pseudo cilíndrica equivalente (Eckert IV)


24 – Projeção Parabólica de Craster

25 – Projeção Pseudo Cilíndrica Equivalente. (Eckert VI)



12

26 – Projeção Pseudo Cilíndrica Equivalente. (Nell Hammer)

27 – Projeção Pseudo Cilíndrica Equivalente. (Kavraisky V)

28 – Projeção Pseudo Cilíndrica Equivalente. (Kavraisky VI)

29 – Projeção Eumórfica de Boggs




13

30 – Projeção de Sansom Flamsteed ou Projeção Sinusoidal

h = sec ; k = cos

30.a – Projeção Sinusoidal Modificada ou Projeção de Tissot

h =m. sec ; k = n.cos ; m = 0,875; n = 1,25

31 – Projeção de Apianus II.

h = sec ; k = cos /cos ;

sen = 2. /

32 – Projeção de Ortelius ou Projeção de Eckert III

sen = 2. /


14

33 – Projeção de Eckert V

;

Grupo C: Classe das Pseudo Cônicas.

Expressões gerais para projeções pseudo cônicas no aspecto normal.

r = f1( ) = F1( ) = f2( , ); x = sen ; y = q – r.cos ;

;

; ; p = h.k.cos


34 – Projeção Equivalente de Bonne

h = sec ; k = cos ; p = 1

34.a – Projeção de Stab Werner


15

Grupo C: Classe das Pseudo Azimutais.

Expressões gerais para projeções pseudo azimutais no aspecto normal.

r = f1( ) = F1( ) = f2( , ); x = sen ; y = r.cos ;

;

; ; p = h.k.cos

Espaçamento crescente dos paralelos.

35 – Projeção Equivalente deWiechel

35.a – Projeção de TsNIIGAiK ou Projeção de Ginzburg III.

Grupo A: Classe das Policônicas

Expressões gerais para projeções policônicas no aspecto normal.

x = f1( , ); y = f2( , ); r = f3( , ); = f4( , );


16


36 – Projeção Equivalente de Hammer Aitoff

36.a – Projeção Equivalente de Hammer Aitoff Modificada

36.b – Projeção Equivalente de Briesemeister

36.c – Projeção Equivalente de Bomford

36.d– Projeção Equivalente de Hammer Wagner


17

Espaçamento igual dos paralelos.

37– Projeção Policônica ou Projeção Policônica Simples

38– Projeção Policônica de Aitoff.

38.a Projeção Policônica de Aitoff Wagner.

39 Projeção Policônica deWinkel (Tripel).

IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DE GOIÁS Cartografia Geral – Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno – Anexo II

1

Resumo de Trigonometria esférica

1. IntroduçãoCapitulo da geometria que estuda as propriedades geométricas dos triângulos sobre a superfície da esfera. Os conceitos da trigonometria esférica são necessários ao desenvolvimento de outros conceitos da astronomia de posição, da cartografia e da geodésia.

1.1. Definições

Esfera – superfície geométrica formada pelos pontos que equidistam de um ponto no seu interior denominado centro.

Círculo Máximo – qualquer círculo que contiver o centro da esfera, ou cujo raio (R) seja igual ao raio da esfera.

Círculo Mínimo – qualquer círculo que não contiver o centro da esfera, ou cujo raio (r) seja menor que o raio da esfera.

Triângulo Esférico – figura limitada por três arcos de círculo máximo. Na figura, ABC. Ele recebe a denominação de retângulo, birretângulo ou trirretângulo quando um,

dois ou três vértices forem iguais a 90º. Da mesma forma ele é chamado de retilátero, birretilátero e trirretilátero quando um, dois ou três lados forem iguais a 90º.

Polar – lugar geométrico dos pontos de uma superfície esférica que eqüidistam de 90º de um ponto denominado Pólo. O círculo máximo k é polar do pólo P.

Triângulos Polares – Dado dois triângulos ABC e A’B’C’ tais que o lado de um seja o polar do vértice do outro, tem-se :

A’ + a = 180ºB’ + b = 180º ouC’ + c = 180º

A + a’ = 180ºB + b’ = 180º C + c’ = 180º

1.2. Propriedades.

Num triângulo esférico, tanto os ângulos (A, B, C) como os lados (a, b, c) são medidas angulares, então :

a) 180º < A + B + C < 540º

b) A + B + C = 180º + onde: excesso esférico)

c) ao maior lado se opõem o maior ângulo

d) a < b + c ; b < a + c ; c < a + b

e) a + b + c < 360º

Círculo Mínimo

CírculoMáximo

onde : centro da esferao

r

o

P

ko

A

B

C

A B

C

A’ B’

C’

ab

c

a’b’

c ’


1.3. Fórmulas

a) Fórmula dos 4 elementos (3 lados e 1 ângulo)

Acbcba cossensencoscoscosBcacab cossensencoscoscosCbabac cossensencoscoscos

b) Analogia dos senos (2 lados e 2 ângulos)

C

c

B

b

A

a

C

c

B

b

C

c

A

a

B

b

A

a

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen;

sen

sen

sen

sen;

sen

sen

sen

sen

c) Fórmula das cotangentes (3 lados e 2 ângulos)

CagBCgba coscoscotsencotsenBagCBgca coscoscotsencotsenCbgACgab coscoscotsencotsenAbgCAgcb coscoscotsencotsen

AcgBAgbc coscoscotsencotsen

d) Área do triângulo esférico

º180

2rS ;

onde : = 3,1415 ...

= excesso esférico

e) Fórmula de L’Hüllier (excesso esférico em função dos lados)

)()()( 21

21

21

21

412 cstgbstgastgstgtg

onde :

2

cbas

d) Fórmula dos “4 elementos” (3 ângulo e 1 lados)

aCBCBA cossensencoscoscosbCACAB cossensencoscoscoscBABAC cossensencoscoscos

e) Fórmula do 5 elementos (3 lados e 2 ângulos)

BcacaCb cossencoscossencossenBacacAb cossencoscossencossenAbcbcBa cossencoscossencossenAcbcbCa cossencoscossencossenCababAc cossencoscossencossenCbabaBc cossencoscossencossen

BcgABgac coscoscotsencotsen


1.4. Triângulos Retângulos

Triângulos esféricos retângulos são aqueles em que um dos ângulos é igual a 90º.

Sendo A – ângulo reto a – hipotenusa b e c – catetos

Regra Mnemônica de Mauduit

A regra de Mauduit válida somente para triângulos retângulos diz :

“ O cosseno do elemento médio é igual ao produto dos cossenos dos elementos conjuntos ou igual ao

produto dos senos dos elementos separados “.

ou seja cos = co co = se se

para aplicação da regra tem que se observar :

1º - O ângulo reto deve ser ignorado; 2º - Quando o elemento for cateto deve-se utilizar o seu complemento.

Por exemplo : Se o elemento médio for o vértice B, os conjuntos são os lados a (hipotenusa) e c (cateto) e os elementos separados são o cateto b e o vértice C , então :

CbcggaB sen)º90sen()º90(cotcotcos

obs.: Para calcular um triângulo esférico por Mauduit deve-se escolher o elemento médio a partir dos elementos conhecidos; Evita-se sempre que possível, no cálculo dos elementos do triângulo, utilizar valores calculados em passos anteriores.

Regra de Mauduit

E L E M E N T O S MÉDIO CONJUNTOS SEPARADOS

a B C b c b C c B ac B b a CB a c b CC a b B c

F Ó R M U L A S cos a = cotg B.cotg C = sen (90º- b).sen (90º- c)

cos (90º- b) = cotg C.cotg (90º- c) = sen B .sen acos (90º- c) = cotg B .cotg (90º- b) = sen a .sen C

cos B = cotg a.cotg (90º- c) = sen(90º- b) .sen Ccos C = cotg a.cotg (90º- b) = sen B .sen (90º- c)

A B

C

ab

c

A B

C

ab

c

separados

separados


Exercícios :

1. Sendo dados os lados a =31º17’, b =84º20’ e c = 115º10’ de um triângulo, determinar o excesso esférico de seu polar.

2. Determinar a área de um triângulo esférico sabendo que seus ângulos são : A = 102º14’12”; B= 54º32’24” e C = 89º05’46” (r = 1 m).

3. Qual a área de um triângulo esférico trirretângulo desenhado sobre uma esfera de raio 10 metros ?

4. Qual o excesso esférico do triângulo ABC polar de A’B’C’ ? A’= 46º ; B’= 116º; C’ = 36º.

5. Um triângulo esférico desenhado sobre o globo terrestre, cujo raio é de aproximadamente R=6.327 Km tem a área igual a 115Km2 . Qual o excesso esférico desse triângulo ?

6. Dado a = 54º20’ e b = 43º32’30” calcular os elementos do triângulo esférico retângulo em A.

7. Dado b = 12º17’ e c = 9º45’ calcular os elementos do triângulo esférico retângulo em A.

8. Dado B = 147º19’47” e C = 105º44’21” calcular os elementos do triângulo esférico retângulo em A.

9. Dado a = 64º40’ e B = 64º38’ calcular os elementos do triângulo esférico retângulo em A.

10. Dado B = 81º59’ e C = 132º14’ calcular os elementos do triângulo esférico retângulo em A.

11. Dado b = 32º11’01” e B = 47º54’54” calcular os elementos do triângulo esférico retângulo em A.

12. Dado b = 140º’ e B = 120º30’ calcular os elementos do triângulo esférico retângulo em A.

13. Calcular o triângulo esférico retilátero em a do qual são dados C = 110º47’50” e B = 135º25’35”. Dica : calcule pelo polar.

14. Resolver o triângulo esférico onde são dados os três lados. a = 52º 05’50” ; b = 66º06’10”; c = 68º13’

15. Resolver o triângulo esférico onde são dados os três ângulos. A = 110º30’20” ; B = 130º40’10” ; C = 100º20’50”.

IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DE GOIÁS Cartografia

Geral – Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno – Anexo III

1 - Sistemas de Coordenadas

Um método conveniente de se descrever a posição de pontos no espaço é através de

um sistemas de coordenadas. Neste contexto pode-se adotar um sistema cartesiano plano,

um cartesiano tridimensional, um polar ou ainda um cilíndrico. A adoção de um desses

sistemas está relacionado diretamente a aplicação que se pretende abordar.

1.1 - Coordenadas Planas

1.1.1 - Sistema cartesiano

O sistema de coordenadas cartesianas é definido por um par de eixos coplanares e

perpendiculares entre si. O eixo designado por X é denominado eixo das abscissas, e o eixo

designado por Y, das ordenadas. O ponto “0” é a

origem do sistema. Neste sistema qualquer ponto

fica definido por um par de coordenadas (x,y).

Em função do valor das coordenadas poder

assumir valores positivos ou negativos, tem-se a

possibilidade do ponto estar localizado em um dos

quatro quadrantes, conforme se pode observar na

figura ao lado. Na tabela seguinte estão

demonstradas as diversas situações possíveis.

abscissa ordenada quadrante

+ + 1º- + 2º

- - 3º

+ - 4º



2

1.1.2 - Sistema polar.

No sistema de coordenadas polares é necessário que se defina um ponto origem e

uma direção de referência. A partir destes parâmetros o

ponto fica definido em função da distância que o separa

do ponto origem ( ) e do ângulo que o segmento de reta

OP forma com a direção de referência ( ). Este ângulo

tem orientação anti-horária e varia de 0º a 360º.

1.1.3 - Transformação de coordenadas

Algumas vezes tem-se a necessidade de se

transformar as coordenadas de um ponto do sistema

cartesiano para o polar ou ao contrário. Para se chegar às

equações de transformação vamos inicialmente sobrepor

os dois sistemas, de modo que as origens dos dois, o

eixo das abscissas e a direção origem sejam

coincidentes. Da figura resultante pode-se extrair as

seguintes relações.

1;sen

;cos

p

p

y

x e 2

22

P

P

PP

x

yarctg

yx

Na equação para o cálculo de “ ” o argumento da função arco tangente pode

assumir valores positivos ou negativos em razão do ponto pertencer a um dos quatro

quadrantes. Ocorre que a tangente é positiva no 1º e 3º quadrantes e negativa nos outros

dois. Este fato faz com que a simples aplicação da equação não resolva o problema. É

necessário então que se faça um estudo de sinal para definir o verdadeiro valor “ ”.

o



3

A partir do circulo trigonométrico associado ao

sistema cartesiano, mostrado ao lado, pode-se construir

as relações da tabela a abaixo.

X Y Quadrantevalor intervalo

+ + 1º =x

yarctg 0º - 90º

- + 2º = 180º +

x

yarctg

90º - 180º

- - 3º 180º - 270º

+ - 4º = 360º + x

yarctg 270º - 360º

É necessário salientar que o resultado da equação será sempre um valor

entre 90º e que o sinal deve ser respeitado na aplicação do estudo de sinais.

As equações indicadas pelo número (1) são utilizadas para transformar coordenadas

polares em cartesianas e as indicadas pelo número (2) para a operação inversa, ou seja,

cartesianas em polares.

1.1.4 - Translação e rotação de eixos coordenados

Em algumas situações é necessário se modificar a origem de um sistema e/ou

rotacionar os seus eixos de um ângulo dado. Como conseqüência todas as coordenadas



4

ligadas ao sistema original sofrerão modificações. É necessário então que se estabeleçam

as equações de transformação.

Translação

Dados dois sistemas cartesianos

paralelos entre si, conforme figura.

Observa-se que o ponto “ P ” possui

coordenadas nos dois sistema, (xP,yP) e

(x’P, y’P) respectivamente. A diferença

entre as duas coordenadas é representada

pelas quantidades x e y.

Então,'

'

'

'

PP

PP

PP

PP

yyy

xxx

yyy

xxx

É fácil perceber que a diferença de coordenadas entre um sistema e o outro é um

valor constante e válido para todos os pontos. Deste modo, para se proceder à

transformação basta que se conheçam as coordenadas de um ponto em ambos os sistemas.

Rotação

No processo de rotação entre sistemas cartesianos é necessário que a origem de

ambos estejam coincidentes e que se conheçam o valor e a direção que se pretende

rotacionar (horária ou anti-horária).

Inicialmente vamos deduzir as equações para rotação no sentido horário. Para isso,

vamos observar a figura a seguir onde existem dois sistemas rotacionados entre si do

ângulo “ ”.



5

Da figura pode-se extrair as seguintes

equações:

4sen

cose3

sen

cos'

'

P

P

P

P

y

x

y

x

Da trigonometria plana obtém-se as

seguintes relações:

sencoscossensen

sensencoscoscos

substituindo em (4), vem:

5sencoscossen

sensencoscos

sencoscossen

sensencoscos'

'

'

'

P

P

P

P

y

x

y

x

substituindo ( 3 ) em ( 5 ), obtém-se as equações de rotação horária

cossen

sencos'

'

PPP

PPP

yxy

yxx

Estas equações podem ser escritas na forma matricial assumindo o seguinte

aspecto:

cossen

sencos'

'

P

P

P

P

y

x

y

x

o



6

Da mesma forma que foram deduzidas as equações para o caso horário pode-se

proceder no caso anti-horário. Assim, da figura pode-se extrair as seguintes equações:

sen

cose3

sen

cos'

'

P

P

P

P

y

x

y

x

Aplicando-se as relações

trigonométricas já mostradas na

dedução anterior,

sencoscossen

sensencoscos

sencoscossen

sensencoscos'

'

'

'

P

P

P

P

y

x

y

x

fazendo-se as mesmas substituições chega-se a,

cossen

sencos'

'

PPP

PPP

yxy

yxx

que representa as equações de rotação no caso anti-horário. Em termos matriciais

tem-se o seguinte.

cossen

sencos'

'

P

P

P

P

y

x

y

x

Em ambos os casos as equações são válidas quando os sistemas têm suas origens

coincidentes. Este fato não acontece na maioria das vezes, então é necessário que se

escrevam novas equações prevendo essa nova situação.

o



7

A figura a seguir procura mostrar o que aconteceria se fosse aplicada uma rotação

onde os sistemas têm origens distintas. É

preciso entender que a rotação vai ocorrer ao

redor do ponto “o” e não do ponto “1”. Como

resultado a origem do sistema a ser rotacionado

se desloca de “1” para “2” provocando uma

rotação associada a uma translação não

desejada. Como solução para o problema deve-

se inicialmente fazer com que os pontos “1”. e

“o” ocupem o mesmo local. Isso se consegue ao

se promover uma translação, ou seja, tornar igual a zero as coordenadas do ponto “1”. Em

seguida aplica-se a rotação no valor e sentidos desejados. Finalmente retorna-se o ponto

“1” para sua coordenada original. Algebricamente essa operação é representada pelas

seguintes equações, no caso da rotação horária:

cossen

sencos

000'

000'

yyyxxy

xyyxxx

PPP

PPP

ou

cossen

sencos

0

0

0

0

'

'

y

x

yy

xx

y

x

P

P

P

P

e pelas seguintes, no caso da rotação anti-horária :

cossen

sencos

000'

000'

yyyxxy

xyyxxx

PPP

PPP

ou

cossen

sencos

0

0

0

0

'

'

y

x

yy

xx

y

x

P

P

P

P



8

onde (x0, y0) representam as coordenadas do ponto ao redor do qual se deseja efetuar a

rotação, também conhecido como ponto pivô.

Ainda é possível se pensar em mais uma situação, rotação associada à translação.

Este caso não é muito diferente do anterior havendo um modificação apenas na última

etapa, ou seja, ao invés de se voltar o ponto pivô para a coordenada original, pode-se

simplesmente deslocá-lo para uma nova posição. Deste modo, as equações descritas

anteriormente assumem o seguinte aspecto:

Rotação horária associada à translação de eixos

cossen

sencos

00'

00'

NPPP

NPPP

yyyxxy

xyyxxx

ou

cossen

sencos N

0

0

'

'

NP

P

P

P

y

x

yy

xx

y

x

Rotação anti-horária associada à translação de eixos:

cossen

sencos

00'

00'

NPPP

NPPP

yyyxxy

xyyxxx

ou

cossen

sencos N

0

0

'

'

NP

P

P

P

y

x

yy

xx

y

x

onde: x’P , y’P - coordenadas após a aplicação da rotação e translação;

xP , yP - coordenadas originais; - ângulo de rotação;

x0 , y0 - coordenadas do ponto pivô;

xN , yN - coordenadas do ponto pivô no sistema transladado.



9

1.2 - Coordenadas Tridimensionais

1.2.1 - Sistema cartesiano

O sistema cartesiano tridimensional é constituído por três eixos coordenados

ortogonais entre si. O primeiro eixo é o das abscissas, o segundo das ordenadas e o terceiro

das cotas. Dependendo da posição dos eixos ele pode ser classificado como dextrógiro ou

levógiro. Um sistema é dito dextrógiro quando o rebatimento do eixo X sobre o Y ocorre

no sentido anti-horário e levógiro quando o sentido de rebatimento é no sentido horário. A

figura a seguir ilustra os dois casos.

Independente da orientação adotada qualquer ponto pode ser definido por por suas

coordenadas cartesianas tridimensionais (xP, yP, zP).



10

1.2.2 - Sistema cilíndrico

O sistema cilíndrico, algumas vezes citado como polar no espaço, é definido por

um plano, uma origem e uma direção de referência sobre esse plano. O ponto P fica

definido pela coordenada “ ”, que representa a distância inclinada entre o ponto e a

origem (OP), pelo ângulo horizontal “ ”, formado entre a direção de referência e a

projeção da distância inclinada (OP’) e pelo ângulo vertical “ ”, formado entre a distância

inclinada (OP) e sua projeção sobre o plano (OP’). Na figura abaixo estão representados

graficamente estes elementos.

1.2.3 - Transformação de coordenadas

A transformação de um sistema de coordenadas cilíndrico para um cartesiano

tridimensional, segue a mesma lógica da transformação no plano, porém existe alguns

elementos que devem ser definidos a priori. Inicialmente, deve-se escolher se o sistema

cartesiano é dextrógiro ou levógiro. Em seguida, deve-se fazer com que o eixo das

abscissas, a direção de referência e a origem dos dois sistemas seja coincidente. No

presente caso, vai se optar por um sistema dextrógiro. A figura a seguir mostra a

superposição dos dois sistemas.



11

p'p''

o

Primeiramente vamos examinar o triangulo OP’P”

Da figura pode-se extrair as seguintes relações geométricas:

6;sen'

;cos'

OPy

OPx

p

p

7' 22

P

P

PP

x

yarctg

yxOP

Do triangulo OP’P

p'p''

o



12

sen

8cos'

pz

OP

10'

9' 22

OP

zarctg

zOP

P

P

substituindo (9) em (6) e (7) em (9) e (10) obtém-se as seguintes equações

sen

;sencos

;coscos

p

p

p

z

y

x

e

22

222

PP

P

P

P

PPP

yx

zarctg

x

yarctg

zyx

Os dois conjuntos de equações constituem as fórmulas de transformação do sistema

cilíndrico para o cartesiano e do cartesiano para o cilíndrico. Da mesma forma que no caso

bidimensional é necessário que se faça um estudo de sinais.

1.2.4 - Representação gráfica tridimensional

Tão importante quanto se saber calcular as transformações, é a capacidade de se

fazer a representação gráfica do problema. A geração do gráfico, principalmente no caso

tridimensional, auxilia no raciocínio lógico espacial e esta habilidade é útil para que

trabalha na área de geomática. Apesar disso, é comum que algumas pessoas ainda tenham

dificuldades em conseguir gerar esses gráficos.



13

Um bom método, para quem está iniciando, é o desenho auxiliado por um cubo

onde os vértices estão numerados. O segredo é, conhecendo-se apenas os sinais das

coordenadas cartesianas, descobrir onde está a origem do sistema e os pontos P e P’. A

partir dessa definição, é só marcar os outros valores. A figura abaixo mostra o referido

cubo com os vértices numerados e o desenho correspondente ao caso das coordenadas

serem todas positivas. A tabela que aparece na seqüência mostra, em função dos sinais das

coordenadas cartesianas, qual o vértice origem, qual o dos pontos P e P’, qual o quadrante

de e o seu intervalo de variação e o sinal do ângulo vertical..

1 2

34

5 6

78

o

X

Y

Z

x

y

z

P

P'

x y z orige

mP P’

quad intervalo

+ + + 5 3 2 1º 0º - 90º

++ + - 8 2 3 - - + + 1 7 6

2º 90º - 180º +

- + - 4 6 7 - - - + 2 8 5

3º 180º - 270º +

- - - 3 5 8 - + - + 6 4 1

4º 270º - 360º +

+ - - 7 1 4 -

apostila cartografia geral 2009

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