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Nota do Autor

Esteapostilafiutoueviiosanosueuocnciasenuo iesultauouacompilacouenotasueaulaconstiuiuasaolongouotempo comoobjetivoueuaiapoio uiuticoauiveisasuisciplinasbemcomoue livios especificos ua ieaFoiesciitacomafinaliuaueueuaisupoitesuisciplinasue CaitogiafiaeCaitogiafiaueialuoscuisosueTecnologiaemAgiimensuia eTecnologiaemueopiocessamentouoInstitutoFeueialueEuucaco Cincias e Tecnologia ue uois 0niuaue ue uoiniaPoi essa iazo a sua oiganizacosegueemgianuepaiteaopiogiamaueensinouestas uisciplinasPoiseiummateiialemconstanteconstiucosugestesso bemvinuasuemouoaseteiummateiialconstantementeampliauoe melhoiauo Agosto ue

Nilton Ricetti Xavier de Nazareno IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 1SUMRIO1.1- Introduo .............................................................................................................................. 41.2- Definies .............................................................................................................................. 42 - Generalidades sobre Cartas. ....................................................................................................... 42.1- Caractersticas das Cartas ...................................................................................................... 62.2- Classificao .......................................................................................................................... 62.2.1-Quanto finalidade (ABNT*) ............................................................................................. 62.2.2-Classificao segundo a Diretoria do Servio Geogrfico do Exrcito (DSG) ................... 73 - Superfcies de referncia usadas em cartografia. ....................................................................... 83.1.1-Superfcie de referncia geoidal .......................................................................................... 83.1.2-Superfcie de referncia esfrica ......................................................................................... 83.1.3-Superfcie de referncia elipsoidal ...................................................................................... 93.1.4-O relacionamento entre as superfcies fsica, geoidal e elipsoidal. ................................... 104 - Geometria do Elipside. ........................................................................................................... 114.1- Raios de curvatura do elipside de revoluo. ..................................................................... 124.2- Comprimento de um arco de meridiano (S) ......................................................................... 134.3- rea de um setor elipsidico (A) ......................................................................................... 144.4- rea de um quadriltero elipsidico (T) .............................................................................. 144.5- Aproximao esfrica. ......................................................................................................... 155 - Sistemas de Referncia ............................................................................................................ 165.1- Sistemas de Coordenadas Geogrficas e Geodsicas .......................................................... 165.2- Latitudes Geocntrica e Reduzida. ...................................................................................... 175.3- Sistemas de Coordenadas Cartesianas Tridimensionais. ..................................................... 185.4- Transformao de Coordenadas Cartesianas em Geogrficas. ............................................ 195.5- Transformao de Coordenadas Geogrficas em Cartesianas ............................................. 19IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 26 - Datum. ...................................................................................................................................... 206.1- Mudana de Datum. ............................................................................................................. 226.1.1-Transformao de Coordenadas Geodsicas para Cartesianas Tridimensionais ............... 236.1.2-Transformao de Cartesianas Tridimensionais para Coordenadas Geodsicas ............... 237 - Projees Cartogrficas ........................................................................................................... 257.1- Introduo ............................................................................................................................ 257.2- Superfcies de projeo ........................................................................................................ 267.3- Introduo ao conceito de distoro .................................................................................... 277.3.1-Escala principal. ................................................................................................................ 287.3.2-Escalas particulares ........................................................................................................... 297.3.3-Fator de deformao ao longo dos meridianos (h). ........................................................... 317.3.4-Fator de deformao ao longo dos paralelos (k). .............................................................. 327.3.5-Fator de deformao ao longo de qualquer arco que passe por A. .................................... 327.3.6-Elipse das distores ou Indicatriz de Tissot ..................................................................... 337.3.7-Fator de deformao mximo (a) e mnimo (b) ................................................................ 347.3.8-Fator de deformao de rea (p). ....................................................................................... 347.3.9-Fator de deformao angular mximo (e). ....................................................................... 357.3.10- Propriedades especiais das projees ........................................................................ 368 - Anlise de uma projeo sob a tica da teoria das distores. ................................................ 389 - Construo prtica das Projees Cartogrficas. ..................................................................... 499.1- Projees Azimutais ............................................................................................................. 509.2- Projees cnicas ................................................................................................................. 649.3- Projees cilndricas ............................................................................................................ 7710 - Sistemas de Coordenadas Planas (quadriculado e reticulado) ............................................... 8311 - A Projeo Universal Transversa de Mercator (UTM) .......................................................... 8411.1- As projees TM ................................................................................................................ 8411.2- Transformao de coordenadas Geogrficas para TM ...................................................... 8511.3- Transformao de coordenadas TM para Geogrficas ...................................................... 8711.4- Modificao das coordenadas TM em UTM, RTM e LTM .............................................. 8911.5- O Sistema UTM ( Universal Transversa de Mercator) ...................................................... 90IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 312 - Utilizao de Cartas Topogrficas ......................................................................................... 9212.1- Articulao das folhas ........................................................................................................ 9212.2- Extrao de informaes quantitativas das cartas topogrficas. ........................................ 9512.2.1- Extrao de informaes lineares .............................................................................. 9612.2.2- Extrao de reas ....................................................................................................... 9612.2.3- Extrao de coordenadas ........................................................................................... 96Referncias Bibliogrficas ............................................................................................................ 98ANEXOS ....................................................................................................................................... 99IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 4 CARTOGRAFIA1.1-Introduo 1.2- Definies Cartografia : Arte de levantamento, construo e edio de cartas de qualquer natureza, e a cincia na qual repousa.ouProdutodoconhecimentoobtidonoestudodemapasgeogrficos,dosmtodosparasua produo e reproduo, e de seu uso. Nestas definies aparecem duas palavras que tem o mesmo significado: Carta e Mapa. A palavra carta vem do latim charta que significa papel e a palavra mapa vem de mappaque significa pano. Observa-se ento que a diferena vem da origem do material com que eram produzidos.NoBrasilcostuma-sediferenciarmapadecartaemfunooudaescalaouda fidedignidade das informaes. No tocante a escala costuma-se chamar de carta quando a escala maior do que 1/5.000.000 e de mapa quando a escala menor que este valor. Com respeito confiabilidadedasinformaescostuma-sechamardecartaosprodutoselaboradoscomrigor geomtrico e de mapa aqueles que funcionam apenas como ilustrao. De qualquer forma esta diferena no tem muita importncia. 2 -Generalidades sobre Cartas. Carta :Representaovisual,codificada,geralmentebidimensional,totalouparcial,dasuperfcieda Terra ou de outro objeto. Afinalidadebsicadeumacartatransmitirinformaesespecficasarespeitodarea cartografada para o usurio. INFORMAO MAPA USURIOIFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 5Estas informaes podem ser qualitativas e/ou quantitativas. natureza Qualitativas:formafeies distribuio posies geogrficas altitudes Quantitativas:distncias direes reas, volumes As feies representadas podem ser : da superfcie terrestre naturais visveis : mares, rios, lagos, montanhas, desertos, florestas invisveis :climas, correntes, campos (magntico, gravitacional, etc.) artificiais cidades, estradas, ferrovias, canais, plantaes, aeroportos, barragens, portos de outros objetosesfera celeste : estrelas e planetas Lua : crateras, mares... corpos celestesSol : manchas solares ... Planetas : montanhas, formao de nuvens rgos do corpo humano prdios histricos ... IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 62.1- Caractersticas das Cartas - Permitem a coleta das informaes em gabinete; - Apresentam informaes no visveis no terreno: toponmia, fronteiras indefinidas; - Codificam informaes atravs de smbolos; - Exigem uma atualizao permanente certas feies variam em funo do tempo; - Representamummododearmazenamentodeinformaesconvenienteao manuseio; - Sonecessriasvisualizaoecompreensodefenmenosespaciaisedesua distribuio e relacionamento; - Constituemumdoselementosbsicosdoplanejamentodasatividadesscio-econmicas das comunidades humanas. 2.2- Classificao 2.2.1-Quanto finalidade (ABNT*) Geogrficas : TopogrficasPlanimtricas Cadastrais, plantas AeronuticasNavegao Nuticas Especiais : geolgicas, geomorfolgicas, meteorolgicas, de solos, de vegetao, de uso da terra, geofsicas, globos. IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 72.2.2- Classificao segundo a Diretoria do Servio Geogrfico do Exrcito (DSG) quanto a precisotopogrficas- satisfazem as normas tcnicas em vigor; - obtidas por mtodos de levantamentos regulares. preliminares - obtidas por mtodos de levantamento menos precisos que os regulares quanto ao carter informativo gerais : - com informaes genricas, de uso particularizado. especiais: - com informaes especficas, destinadas em particular a uma nica classe de usurios. temticas: - com uma ou mais assuntos especficos, servindo apenas para situar o tema. Outrosdocumentos cartogrficos Cartas de compilao- obtidas pela reduo de folhas em escalas maiores; - obtidas pela reunio e consolidao de diversos documentos cartogrficos. mosaicosno-controlados : fotosmontadassemapoioempontos de coordenadas conhecidas Semi-controlados :fotosmontadascomapoioempontos de coordenadas conhecidas Controlados : fotosretificadasmontadascomapoio em pontos de coordenadas conhecidas Fotocartas : mosaico(controladoouno)com quadriculado, moldura, nomenclatura foto-ndice : reduofotogrficadamontagemdas faixas de um bloco aerofotogrfico folha-modelo: Representamoaspectodeumafolha(nomenclatura, Quadriculado, legendas, etc) IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 83 -Superfcies de referncia usadas em cartografia. ParasemapearasuperfciedaTerra,antesnecessrioconhecerasuaformae dimenses.Sabe-sequeaTerraumcorpoesfricoirregularequenopossuiumadescrio geomtrica. Ento necessria a utilizao de modelos adequados para sua descrio de acordo com os objetivos pretendidos nos levantamentos e mapeamentos. 3.1.1-Superfcie de referncia geoidal Ogeidedefinidocomoumasuperfcieequipotencial(potencialgravitacional constante)materializadapelonvelmdiodosmares.Aforadagravidadequegeraessa superfcieequipotencialresultantedeumainteraoentremassas.Sabe-sequeexisteuma relaodiretaentreamassaeadensidadedeumcorpo,equeexisteumagrandevariaona constituio densimtrica dos materiais que constituem a parte interna do globo terrestre.Deste modo,essasuperfcieequipontecialnoapresentaumaformaregular.Haindaquese considerar, a questo dos corpos celestes que interagem com o campo gravitacional, provocando variaes constantes nesta superfcie.Algunsautoresdefinemcomosendoaformadogeideaquecorrespondeaformada Terra real.Contudo, como essa superfcie no tem uma definio geomtrica, este postulado no temmuitosentido,quandooobjetivoestanabuscadeummodeloparaomapeamento.No obstante, esta superfcie extremamente importante no estabelecimento das altitudes. 3.1.2-Superfcie de referncia esfrica Se a rea a ser mapeada for extensa mostrando continentes ou a superfcie total da Terra, adota-se o modelo esfrico para a superfcie da Terra. Esta modelo implica em: Levantamento :Geodsia Clculos:Trigonometria esfrica Uso:mapas de formato pequeno mostrando grandes pores da superfcie terrestre Escala :escalas pequenas no maiores que 1:5.000.000 Mapas:Utilizao de projees cartogrficas Monte EveresteFossa das Marianasnvel mdiodos maresTerra esfrica Modelo reduzido~ 9 Km~ 11 Km6cm0,2mm6.378kmIFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 93.1.3- Superfcie de referncia elipsoidal Se a rea a ser levantada e mapeada no for pequena e nem muito extensa, o modelo que melhorrepresenta a superfcie da Terraoelipsidederevoluo,quepossuiumaformulao matemticarazoavelmentesimples.Nestemodelamentoleva-seemcontaoachatamentodos plos.O elipside de revoluo definido pelos seus semi-eixo maior (a)emenor(b) ou pelo semi-eixo maior e o achatamento (f). Por exemplo :a =6.378 km b =6.356 km f =1/298,25 onde : ab af=Este modelo implica em: Levantamento :Geodsia Clculos:GeodsicosMedidas:Reduzidas ao elipside de revoluo Uso:cartas topogrficas (mapeamento sistemtico), nuticas, aeronuticas. Escala :mdias (1:1.000.000 a 1:5.000) Mapas:Utilizao de projees cartogrficas Independentementedomodeloadotado,tantooesfricocomooelipsidicopossuem vrias propostas para os seus parmetros definidores (raio e semi-eixos maior e menor). aabIFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 103.1.4- O relacionamento entre as superfcies fsica, geoidal e elipsoidal. EmboraseutilizemmodelosgeomtricosparadescreverasuperfciefsicadaTerrana tarefademapeamento,asmediessoexecutadasnasuperfcietopogrfica,ousimplesmente fsica. importante ento, definir-se alguns elementos deste relacionamento.Na figura aparecem as superfcies fsica (SF), elipsoidal (SE) e geoidal (SG). A separao entre as superfcies elipsoidal e geoidal recebe o nome de ondulao do geide e representado pela letra N. ImaginemosumpontoPnasuperfciefsicasendoprojetadosegundoadireoda vertical(linhadeprumo)edadireodanormal(retaortogonal asuperfciedoelipside).As duasprojeesgeramospontosPeP.Aosegmento ' PPcorrespondeaaltitudeortomtrica (H), e ao segmento " PP corresponde a altitude geomtrica ou elipsoidal (h). O ngulo formado entreaverticaleanormaldefinidocomodesviodavertical(i).Estengulodaordemdo segundo e, deste modo, possvel se fazeruma relao entre as superfcies sem incorrer em erro significativo.N H h + =S.F.S.E.S.G.v nHhiPPPNIFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 114 -Geometria do Elipside. O elipside de revoluo a forma geomtrica obtida pela rotao de uma semi-elpse ao redordeseueixomenor.Porserumadasformasgeomtricasutilizadasnasoperaesde mapeamento, o estudo da sua geometria extremamente importante. Umelipsideficaperfeitamentedefinidopelosseussemi-eixosmaior(a)emenor(b).Entretanto em geodsia comum se estabelecer a definio pelo semi-eixo maior (a) associado aoachatamento(f).Arelaomatemticaqueestabeleceovnculoentreestasgrandezasesta explicitada na seguinte equao. ab af=Umoutroelementoimportantenoestudodoelipsideaexcentricidade,que pode ser dividida em primeira e segunda. Estes valores so calculados pelas seguintes equaes: 22 22ab ae=ou2 22 f f e =(primeira excentricidade) ; e22 22'bb ae= (segunda excentricidade). Analogamenteexcentricidadepodeseestabelecerosegundoachatamentoque definido pela seguinte equao: bb af= 'Existem outras relaes que devem ser conhecidas. Nafigura aolado,observa-se umpontoPna superfcie doelipside.Porestepontopassaaretanormal (ortogonal ao plano tangente em P) que cruza o eixo de rotaonopontoO.EstamesmaretageraopontoQquando cruza o plano do equador, formando um ngulo o(latitude)comeste.AosegmentoOP d-seonome degrandenormalereferencia-sepelaletraN; eao segmentoQP d-seonomedepequenanormale representa-se pelo smbolo N.PPNPSEquadorNormalNN'oQIFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 12O clculo destas quantidades feito pelas seguintes equaes: o2 21 sen eaN= e ( )21 ' e N N =4.1- Raios de curvatura do elipside de revoluo. Ao contrrio da esfera que possui apenas um raio de curvatura, o elipside de revoluo por possuir semi-eixos maior e menor, tem a sua curvatura variando entre os valores mximo (a)emnimo(b).Portantonecessrioqueseconheaaformulaomatemticaquepermitao clculo destes raios de curvatura para qualquer ponto da superfcie elipsidica. Existem infinitos planos que contm a reta normal. Cada um deles, ao cruzar o elipside de revoluo, gera o que se denomina seo normal. A cada uma destas sees, corresponde um raio de curvatura diferente. Entretanto, apenas dois so de especial interesse, o raio de curvatura daseo1verticaleoraiodaseomeridiana.Aoprimeirocorrespondeoraiomximoeao segundo o raio mnimo. Numericamenteoraiodaseo1verticalequivalenteaovalordagrandenormale utilizaamesmaformulaoparaoseuclculo.Noentantooraiodecurvaturadaseo meridiana calculado pela equao: ( )32 221) 1 (o sen ee aM=A juno destes dois valores nos permite calcular o raio mdio de curvatura. M N R=0e atravs do teorema de Euler, o raio de curvatura de uma seo normal qualquer NsenM Ro o2 2cos 1+ =onde : o azimute da seo meridiana IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 13Noelipsidederevoluoosparalelossocircunfernciaseoraiocalculadopela equao:o cos N r =Almdestesvalores,pode-senecessitarconhecerocomprimentodeumarcode meridiano, a rea de um setor elptico ou a de um quadriltero elptico. Pela constante variao da curvatura, a determinao das frmulas no trivial, e exige a adoo de desenvolvimento em srie.4.2- Comprimento de um arco de meridiano (S) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ] 10 sen 10 sen1018 sen 8 sen816 sen 6 sen614 sen 4 sen412 sen 2 sen21) ( [ ) 1 (1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 22 + + =o o o o o oo o o o o oF E DC B A e a Sonde :

65536436591638411025256175644543110 8 6 4 2+ + + + + + = e e e e e A

65536727652048220551252516154310 8 6 4 2+ + + + + = e e e e e B

163841039540962205256105641510 8 6 4+ + + + = e e e e C

1310723118520483155123510 8 6+ + + = e e e D

6553634651638431510 8+ + = e e E

13107269310+ = e FPoPNPSEquadorNormaloNroIFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 144.3-rea de um setor elipsidico (A) | |A+AA=m m mC B A A o o o o o o too5 cos 5 sen ' 3 cos 3 sen ' cos sen ' b 4221onde : 21 2o oo= Ae21 2o oo+=m

25663283516583231 '10 8 6 4 2+ + + + + + = e e e e e A

256451923516316361'10 8 6 4 2+ + + + + = e e e e e B

51245645161803'10 8 6 4+ + + + = e e e e C4.4-rea de um quadriltero elipsidico (T) ( )+A+AA A =m m mC B A b T o o o o o o 5 cos 5 sen ' 3 cos 3 sen ' cos sen ' 22onde :21 2 = APNPSEquadoro1o2APNPSEquadoro1o2T21IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 154.5-Aproximao esfrica. Em alguns problemas o clculo atravs de uma aproximao esfrica suficiente, e nesta situao, existem trs formas clssicas de aproximao. a) Mdia aritmtica dos trs eixos )31 (32 fab aR =+=b) Raio da esfera de mesma rea superficial que o elipside

= 30246736017616 4 2e e ea RAc) Raio da esfera com mesmo volume que o elipside.

= 129655725616 4 2e e ea RVIFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 165 - Sistemas de Referncia AposiodeumpontonasuperfciedaTerradeterminadaapartirdeumsistemade coordenadas ou de referncia. Estes sistemas esto associados a uma superfcie de referncia que se aproxima do formato da Terra. o caso, por exemplo, do elipside de revoluo.Existem dois tipos de sistemas de referenciamento. O sistema de coordenadas esfricas e osistemadecoordenadascartesianastridimensionais.Noprimeirotiposeenquadrams coordenadas geogrficas ou geodsicas. 5.1- Sistemas de Coordenadas Geogrficas e Geodsicas Osistemadecoordenadasgeogrficasdivideo mundonoshemisfriosnorteesul,queutilizao equadorcomoplanodediviso,eemorientee ocidentequeadotaomeridianodeGreenwich comofronteira.Nestesistemaumpontona superfcieterrestreficadeterminadopelasua latitude e longitude. Latitude(m) define-selatitudedeumlugarcomosendoonguloformadoentrea verticaldolugareoplanodoequador,ouadistnciaangularcontada sobre o meridiano deste, desde o equador at ele. A latitude varia de 0 a 90 sendo considerada negativa no hemisfrio sul. Longitude(L) define-selongitudedeumlugarcomosendoongulodiedroformado pelo plano meridiano de Greenwich e o plano meridiano do lugar, ou a distnciaangularcontadasobreoequadordesdeomeridianoorigem (Greenwich)atomeridianodeste.Alongitudevariade0a180 sendoconsideradanegativaaoestedeGreenwich(hemisfrio ocidental). Meridiano de Greenwichm LPEquadorMeridiano de PParalelo de PPNPSVerticalIFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 17Pode-se estabelecer um sistema de coordenadas similar utilizando-se como modelo para a Terraoelipsidederevoluo.EstesistemadecoordenadasconhecidocomoSistemade Coordenadas Geodsicas Latitude(o) define-selatitudegeodsicadeumlugarcomosendoongulo formado entre a normal do lugar e o plano do equador. Alatitudevariade0a90sendoconsideradanegativano hemisfrio sul. Longitude () define-selongitudedeumlugarcomosendoongulodiedro formado pelo plano meridiano de Greenwich e o plano meridiano do lugar,ouadistnciaangularcontadasobreoequadordesdeo meridianoorigem(Greenwich)atomeridianodeste.Alongitude varia de 0 a 180 sendo considerada negativa a oeste de Greenwich (hemisfrio ocidental). Nestesistemapode-seassociaraaltitudegeomtricaouelipsoidal(distnciasobrea normaldesdeoelipsideatopontonasuperfcietopogrfica).Nestasituaoopontofica assim referenciado(o. , h). 5.2-Latitudes Geocntrica e Reduzida. Nos problemas prticos de Geodsia somente o conhecimento da latitude geodsica no suficiente, comum se necessitar determinar as latitudes geocntricas e a reduzida.Define-se latitude geocntrica v de um ponto P na superfcie do elipsideao ngulo que o raio vetor OPdeste ponto, forma com a sua projeo no plano doequador.Arelaoentrealatitudegeodsicaea geocntrica estabelecida pela seguinte frmula: o v tg e tg = ) 1 (2PoPNPSEquadorNormalovcIFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 18Nocasodalatitudereduzida,necessrioobservarailustraoantesdesepoderdefinir.Na figura, aparece um dos crculos principais da elipse que contm P, o circulo cujo raio igual ao semi-eixomaior(a).Ento,apartirdePseconstriumaretaparalelaaoeixoderotao.Esta reta cruza a circunferncia em P. Define-se como latitude reduzida, ao ngulo formado pelo raio vetor ' OPe sua projeo no plano do equador. A relao entre a latitude geodsica e a reduzida estabelecida pela seguinte frmula: o tg e tgu = ) 1 (25.3- Sistemas de Coordenadas Cartesianas Tridimensionais. Estesistemadecoordenadascaracterizadoporumconjuntodetrseixos(X,YeZ), ortogonais entre si. A origem do sistema pode coincidir com o centro de massa da Terra, e neste caso, denominado de geocntrico. As caractersticas deste sistema so as seguintes: oeixoXdefinidopelaintersecodoplanomeridianodeGreenwichcomoplanodo equador, sendo orientado positivamente no sentido do centro para o exterior.o eixo Y definido pela interseco do plano meridiano de longitude 90 Leste com o plano equatorial.oeixoZparaleloaoeixoderotaodaTerraeorientadopositivamentenadireodo Plo Norte. Este sistema denominado dextrgiro. PoPNPSEquadorou cPMeridiano de GreenwichEquador = 90 EPN ZXYPSIFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 195.4-Transformao de Coordenadas Cartesianas em Geogrficas.No sistema de coordenadas geogrficas o modelo que utilizado para representar a Terra o modelo esfrico. Assim, a transformao de coordenadas dada pelas seguintes equaes: 2 2 2z y x R + + = ;2 2y xzarctg+= m; xyarctg L =onde:R-Raio da esfera que representa a Terra real; m -Latitude geogrfica; L-Longitude geogrfica. A latitude um ngulo que varia de 0 a 90 e o sinal da equao indica se o ponto est no hemisfrio norte ou sul. Entretanto, a longitude um ngulo que tem uma variabilidade maior (0 a 180) e neste caso, deve-se proceder a um estudo de sinal. xylongitudehemisfrio ++LLeste +-180 + L --LOeste -+-(180 + L) 5.5-Transformao de Coordenadas Geogrficas em Cartesianas A transformao das coordenadas geogrficas em cartesianas conseguida pela aplicao das seguintes equaes: mmmsen; sen cos; cos cos ===R zL R yL R xIFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 206 - Datum.Datum o conjunto de parmetros que definem o sistema cartogrfico de um Pas. (Nazareno).Porparmetros,sesubentendeafigurageomtricaadotadapararepresentaraTerra,as especificaes relativas ao ponto origem, a orientao do sistema de coordenadas, e a posio da superfcie elipsoidal em relao fsica e a geoidal, entre outros parmetros. At meados da dcada de 70, o Brasil adotava o Datum de Crrego Alegre. Este Datum utilizacomosuperfciedereferncia,oElipsidedeHayford(1924)queteveasuaorigem (centro)deslocadadocentrodemassadaTerra,demodoamelhorajusta-losuperfcie topogrfica.Esteprocedimentotornouosistematopocntrico.Porquestesdesimplificao adotou-se ondulao nula (N=0 distncia medida sobre a vertical do local entre o elipside e o geide). A seguir so listados os parmetros definidores deste sistema. Ponto origem: Vrtice Crrego AlegreCoordenadas:o=-19 50 14,91 =-48 57 41,98 h =683,81m Superfcie de referncia:Elipside internacional de Hayford 1924. Parmetros: a = 6.378.388,000 m b = 6.356.911,946 m f = 1/297Ondulao Geoidal:N =0 IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 21Posteriormente,porumbreveperodooBrasilconviveucomoDatumAstro-geodsico de Chu, que mudou o ponto origem do vrtice de Crrego Alegre para o vrtice de Chu.Este Datum foi um ensaio para a adoo do Datum SAD-69. ODatumSAD-69(SouthAmericanData)umsistemaregional,queteveasuarecomendaoindicadaem1969naXIReuniopan-americanadeConsultasobreCartografia. Nem todos os pases do continente seguiram a recomendao e oficialmente somente em 1979, o Brasil o adotou.Os dados que caracterizam este Datum esto discriminados a seguir. Ponto origem:Vrtice Chu Coordenadas:o =-19 45 41,6527 =-48 06 04,0639 H =763,28 maltitude ortomtrica Superfcie de referncia:Elipside internacional de Referncia 1967. Parmetros:a =6.378.160,000 m b =6.356.774,719 m f =1/298,25 Ondulao Geoidal:N =0determinada Azimute geodsico:Az =2713004,05(Chu-Uberaba) EstaconcepodeDatum,referenciandoosistemaaumpontoorigem,considerada uma soluo clssica. Modernamente, principalmente pela tecnologia GPS, a idia passou a ser a adoo de uma rede de pontos de coordenadas conhecidas que do suporte ao mapeamento.Sobessenovoenfoquedesde25/02/2005,atravsdaresoluoIBGEn1/2005o presidentedaquelainstituio,resolveualteraracaracterizaodoreferencialgeodsico brasileiro,quepassouaseroSIRGAS2000(SistemadeRefernciaGeocntricoparaas Amricas).IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 22Afigurageomtricaadotadaoelipsidederevoluogeocntricodenominado Geodetic Reference System 1980 (GRS 80) cujos parmetros so os seguintes: a =6.378.137,0000000000 m b =6.356.752,3141403558 m f =1/298,257222101Estesistemaestmaterializadopor22estaesgeodsicasdistribudasnoterritrio nacional, cujos valores esto na tabela a seguir: EstaoCoordenadas GeodsicasCoordenadas Cartesianas o Altitude elipsoidal (m) X (m)Y (m)Z(m) BRAZ13 15 20,0103 S43 25 18,2468 W419,4014.115.014,085-4.550.641,549-1.741.444,019BOMJ15 56 50,9112 S47 52 40,3283 W1.106,0204.510.195,835-4.268.322,325-1.453.035,300CAC122 41 14,5337 S44 59 08,8606 W615,9834.164.559,941-4.162.495,407-2.445.051,218CANA 25 01 12,8597 S47 55 29,8847 W3,6883.875.253,589-4.292.587,088-2.681.107,718CORU19 00 01,0131 S57 37 46,6130 W156,5913.229.969,943-5.095.437,766-2.063.429,898CRAT07 14 16,8673 S39 24 56,1798 W436,0514.888.826,036-4.017.957,454-798.309,017CUIB 15 33 18,9468 S56 04 11,5196 W237,4443.430.711,406-5.099.641,565-1.699.432,931FOR103 43 34,3800 S38 28 28,6040 W48,4194.982.893,151-3.959.968,539-411.742,293FORT 03 52 38,8046 S38 25 32,2051 W19,4514.985.386,605-3.954.998,594-428.426,440IMBI 28 14 11,8080 S48 39 21,8825 W11,8503.714.672,427-4.221.791,488-2.999.637,883IMPZ 05 29 30,3584 S47 29 50,0445 W105,0084.289.656,441-4.680.884,944-606.347,331MANA 03 06 58,1415 S60 03 21,7105 W40,1603.179.009,359-5.518.662,100-344.401,823MCAE 22 22 10,3989 S41 47 04,2080 W0,0564.400.142,600-3.932.040,418-2.412.305,322PARA25 26 54,1269 S 49 13 51,4373 W925,7653.763.751,652-4.365.113,803-2.724.404,694POAL 30 04 26,5528 S51 07 11,1532 W76,7453.467.519,402-4.300.378,535-3.177.517,730PSAN00 03 26,4338 S51 10 50,3285 W-15,5063.998.232,011-4.969.359,526-6.340,615RECF08 03 03,4697 S34 57 05,4591 W20,1805.176588,653-3.618.162,163-887.363,920RIOD 22 49 04,2399 S 43 18 22,5958 W8,6304.280.294,879-4.034.431,225-2.458.141,380SALV 13 00 31,2116 S38 30 44,4928 W35,7564.863.495,731-3.870.312,351-1.426.347,813UEPP 22 07 11,6571 S51 24 30,7223 W430,9503.687.624,315-4.620.818,606-2.386.880,343VICO 20 45 41,4020 S42 52 11,9622 W665,9554.373.283,313-4.059.639,049-2.246.959,728SMAR 29 43 08,1260 S53 42 59,7353 W113,1073.280.748,410-4.468.909,741-3.143.408,6846.1- Mudana de Datum. Considerando que todo o sistema de mapeamento tem uma ligao ntima com o Datum adotado,autilizaodeumparmetrodiversoaoestabelecido,implicanumainconsistnciade dados.Deve-seento,tomarocuidadodeverificaremqualDatumestreferenciadoo mapeamento e fazer as adequaes necessrias compatibilizao. Com a difuso da utilizao da tecnologia GPS (Global Positioning System), este cuidado deve ser redobrado, uma vez que o sistema utiliza os parmetros do sistema WGS-84. IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 23O IBGE atravs da Resoluo n 23, de 21 de fevereiro de 1989, estabeleceu os critrios oficiaisparatransformaesdesistemasgeodsicos(mudanadeDatum).AResoluon 1/2005 complementa no que concerne mudana para o SIRGAS 2000. Aresoluorecomendaqueseutilizeatransformaodascoordenadasgeodsicasem tridimensionais,aplique-senestasosfatoresdetransformaoeposteriormenteseretorneao sistema geodsico. At essa Resoluo aplicavam-se as frmulas simplificadas de Molodeski. 6.1.1- Transformao de Coordenadas Geodsicas para Cartesianas Tridimensionais ( ) ; sen ) 1 (; sen cos ) (; cos cos ) (1 121 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1o o oh e N Zh N Yh N X+ =+ =+ =onde : o1= Latitude geodsica do ponto 1= Longitude geodsica do ponto N1=raio de curvatura da seo 1 vertical (grande normal) h1=altitude geomtrica ou elipsoidal Transformao de sistema ConsiderandoqueoDatumdeCrregoAlegre,SAD69,SIRGAS2000eWGS84so paralelos entre si, transformao neste caso, envolve apenas translao de eixos. X2 = X1 + AX12Y2 = Y1 + AY12Z2 = Z1 + AZ12onde:AX, AYeAZsoparmetrosdetransformao,definidosnaresoluoeesto listados na tabela abaixo. 6.1.2- Transformao de Cartesianas Tridimensionais para Coordenadas Geodsicas2222222222322222223222 22coscossen 'NY XhXYarctgu a e Y Xu b e Zarctg+=||.|

\|=||.|

\| ++=ooonde:u tgtguu21sen+= ;u tgu211cos+= ;2222222baY XZtgu +=IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 24Os parmetros de transformao encontram-se na tabela a seguir Crr. Alegre -SAD 69 SAD 69 -Crr. Alegre SAD 69 -SIRGAS 2000 SIRGAS 2000 SAD 69 SAD 69 WGS 84 WGS 84 SAD 69 AX =-138,70 m138,70 m- 67,35 m67,35 m66,87 m 0,43m- 66,87 m0,43m AY =164,40 m- 164,40 m3,88 m- 3,88 m- 4,37 m 0,44m4,37 m0,44m AZ = 34,40 m-34,40 m-38,22 m 38,22 m38,52 m0,40m- 38,52 m0,40m obs:Dados obtidos do Boletim de Servio N 1602 (suplemento) e nas resoluo N 23/89 e N 1/2005 IBGE. Os parmetros que definem o elipside utilizado pelo sistema WGS 84 so os seguintes: a =6.378.137,000 m WGS 84b =6.356.752,314 m f =1/298,257223563 IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 257 - Projees Cartogrficas 7.1-Introduo Define-se projeo cartogrfica como sendo qualquer arranjo sistemtico de meridianos e paralelos descrevendo a superfcie curva da esfera ou elipside em um plano. Em outras palavras a representao da superfcie fsica da Terra no plano do mapa. Essa relao entre a superfcie fsica e a do mapa se d atravs de funes matemticas de tal modo que cada projeo possui equaes nicas. x = f1(o.) p = f3(o.)ou y = f2(o.) u = f4(o.)Estas equaes tanto servem para definir a projeo como para constru-la. TERRA MAPAIFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 267.2- Superfcies de projeo ATerraumcorpoplsticoquesofredeformaespercebidaspelamarterrestre.Sua forma aproximadamente esfrica, mas no tem uma forma geomtrica definida. Por essa razo, so utilizados modelos para represent-la (esfrico e elipsidico). A partir desse modelamento queseestabelecemasrelaesmatemticas,contudo,acorrespondnciaentreospontosda superfcieedomapanoexata.Emprimeirolugarexisteumfatordeescalaquedeveser consideradoeemsegundolugarimpossveltransformarumasuperfciecurvaemumaplana semprovocardeformaes(estiramentos,descontinuidades).Oqueseprocurafazereleger alguma rea da superfcie e ento minimizar os efeitos da distoro nesta regio. dentrodessalgicaqueforamimaginadastrssuperfciesdeprojeoparatentar contornaroproblema:asuperfcieplana,acnicaeacilndrica.Estastrssuperfciestambm servem como um dos parmetros classificatrios das projees, ou seja: Projees azimutaisplana Projees cnicassuperfciecnica Projees Cilndricascilndrica Qualquerumadestassuperfciespodeestarnaposionormal,transversaouoblqua, dependendo da necessidade. NORMAL TRANSVERSO OBLQOAZIMUTALCNICACILNDRICAIFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 277.3- Introduo ao conceito de distoro A representao de um trecho ou totalidade da superfcie fsica da Terra remete a idia de escala. O conceito de escala indica quantas vezes um objeto foi reduzido ou ampliado para poder serrepresentadonopapel.Contudo,estevalordeveserentendidocomosendoumvalormdio porquediferentespontosdomapasofremdiferentesdeformaes.Estefatocausadopela transformaodasuperfciecurvadaTerraparaasuperfcieplanadomapaevariamseuvalor em funo da projeo cartogrfica que se est utilizando.Em cartografia pode-se pensar em representar a superfcie da Terra de duas maneiras: a)Cortandoasuperfciedogloboaolongodecertosparalelosemeridianos.Este procedimentominimizaasdistores,contudoapresentaoinconvenientedeserepresentaro mesmo paralelo e meridiano duas vezes, alm de haver descontinuidade no mapa. b)Estirandoasuperfcieemalgumadireo.Porexemplo,seestirarmosnadireodos meridianosobserva-sequeadeformaovaiaumentandonamedidaemqueseaproximado limite do mapa; a distncia entre dois paralelos cresce a partir do centro; a separao entre dois meridianosquaisquerpermanecepraticamenteconstante;nohdescontinuidade(Projeo Policnica Hassler 1820 Eqidistante segundo os paralelos). Fonte : MALING, D.H. Coordinate Systems and Map Projections. Pergamon Press Inc. New York. 1992.IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 28Em qualquer um dos casos tm-se vantagens e desvantagens e, dependendo da finalidade, aplica-se uma soluo ou outra. Em termos prticos pode-se, para o segundo caso, restringir-se a amplitude da rea a ser mapeado, caso, por exemplo, da projeo UTM queest contida em fusos de 6. Este valor foi adotadoporquealmdesselimiteadeformaopassaaterumvalorsignificativo.Entende-se, nestecaso,porsignificativoaquelevalorquepodesermensuradocomumescalmetronum mapa, ou seja, qualquer deformao maior que o erro grfico (0,2 mm). 7.3.1- Escala principal. Escaladefinidacomoarazoentreumcomprimentonomapaeoseuvalorrealno terreno. Normalmente utiliza-se a relao: 1EdD=onde :d- distncia no mapa; D- distncia real. Todaviapode-seusaroutraformulaomaisadequadaparacartografia.Essanova equaotemrelaodiretacomoconceitodeesferamodeloouglobogerador.Define-se esferamodelocomoomodeloreduzidodaTerraReal.Essaentidadematemticatemraio unitrio.Entoapartirdessaconceituaopode-sedefinirescalaprincipaldeummapacomoa relao entre o raio da esfera modelo com o da Terra real. TRRE=1onde :R- raio da esfera modelo; D - raio da Terra real. Fonte : MALING, D.H. Coordinate Systems and Map Projections. Pergamon Press Inc. New York. 1992.IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 297.3.2- Escalas particulares Observando-se ainda o segundo mapa, pode-se intuir que dependendo da direo tomada tm-sevaloresdiferentesparaadeformao.Estefatorealimplicanoconceitodeescalas particularesquedefinidocomosendoumataxadevariaodaescalaprincipalaolongode uma direo infinitamente curta. Esta taxa de variao varia conforme a direo escolhida. Vamossuporumquadrilteroinfinitesimal,construdoapartirdopontoAde coordenadas o e ,ABCDsobreasuperfciedereferenciaesfrica(esferamodelo).Esse quadriltero ao ser transposto para a superfcie de projeo sofre distores fazendo com que os pontosB,C,eDsejamdeslocados,gerandooquadrilteroABCD.Estasituaopodeser visualizada na figura abaixo. ABCDPQRSoudxdyyxSuperfcie de ProjeodsAB CDdsoo +o d + d Superfcie de RefernciaQuadrilteroinfinitesimalARododrpEstesdeslocamentostmsignificadogeomtricoepodemserrepresentados simbolicamente por uma notao de derivadas parciais, que esto explicitados na tabela a seguir. DeslocamentoSignificadoSmbolo APIncrementonadireodeYocasionadoporuma variao infinitesimal da latitude (do)mmdyccPBIncrementonadireodeXocasionadoporuma variao infinitesimal da latitude (do)mmdxccASIncrementonadireodeXocasionadoporuma variao infinitesimal da longitude (d)dxccSDIncrementonadireodeYocasionadoporuma variao infinitesimal da longitude (d)dyccIFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 30Escalaumarelaoentreocomprimentorealeorepresentado,assimasescalas particulares podem ser calculadas como sendo as relaes entre os comprimentos dos segmentos na esfera e os seus correspondentes no plano de projeo. Esta variao pode ser entendida como umfatordedeformaoquevariaaolongodetodasuperfciedeprojeo.Entopode-se determinarofatordedeformaoaolongodosparalelos,aolongodosmeridianos,emuma direoqualquer,segundoumazimuteeassimpordiante.Paratanto,antesvamosestabelecer algumas relaes existentes do quadriltero ABCD.dx = AS + DRmas DR = PBento dx = dxcc +mmdxccanalogamente dy = AP + BQmasBQ = SDento dy =mmdycc +dyccAB2 = AP2 + PB2AB2 = 22mmdy||.|

\|cc + 22mmdx||.|

\|cc = 22 2mm mdy x

||.|

\|cc+||.|

\|ccAD2 = AS2 + SD2AD2 = 22dx|.|

\|cc + 22dy|.|

\|cc = 22 2 dy x

|.|

\|cc+|.|

\|ccAC2 = dx2 + dy2AC2=2 2

cc+cc+

cc+ccmmmmdydydxdxDesenvolvendo chega-se a: AC2 =22 2mm mdy x

||.|

\|cc+||.|

\|cc + 2 m m md dy y x x

||.|

\|cc

cc+||.|

\|cc

cc + 22 2 dy x

|.|

\|cc+|.|

\|ccIFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 31FazendoE =

||.|

\|cc+||.|

\|cc2 2m my xF =

||.|

\|cc

cc+||.|

\|cc

cc m my y x xG =

|.|

\|cc+|.|

\|cc2 2 y xe lembrando que,AC = ds, vem:AB = m d E;AD = d G ; ds = 2 22 m m Gd d Fd Ed + +Os valores E, F e G so denominados quantidades fundamentais de Gauss. Definidas estas relaes, pode-se ento partir para o clculo das escalas particulares. 7.3.3- Fator de deformao ao longo dos meridianos (h). Ofatordedeformaoaolongodosmeridianosrepresentadopelaletrah.definido pela relao: h = ABB A ' ';ABjfoideduzidoeABocomprimentodeumarcodemeridianoderaioRe amplitude dm. ou seja: AB = R.dmconsiderando que a esfera tem raio unitrioAB = dmFinalmente h = mmdd Eh =E :IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 327.3.4- Fator de deformao ao longo dos paralelos (k). O fator de deformao ao longo dos paralelos representado pela letra k. definido pela relao:k = ADD A ' ';ADjfoideduzidoeADocomprimentodeumarcodeparaleloderaiorpe amplitude d. ou seja: AD = R.cosm.dconsiderando uma esfera de raio unitrio AD = cosm.dFinalmente k = mdd G cosk =m sec G : 7.3.5- Fator de deformao ao longo de qualquer arco que passe por A. Este fator de deformao representado pela letra u. sendo definido pela relao: u = dsds' ; Considerandoqueoquadrilteroinfinitesimal,pode-secalculardspeloteoremade Pitgoras. ds2 = R2dm2 + R2cos2m d2considerando R = 1 ds = 2 2 2cos m m d d+Finalmente u = 2 2 22 2cos2 m m m md dGd d Fd Ed ++ +A equao a seguir calcula a escala em funo do ngulo azimutal o. + + + = ooomo uo222 2cos2coscos senGsenFEIFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 337.3.6- Elipse das distores ou Indicatriz de Tissot Umacircunferncianasuperfciedaesfera,infinitamentepequena,quando transformada para o plano da projeo, ao sofrer deformao assume a forma elptica. Esta elipse recebe o nome de elipse das distores ou Indicatriz da Tissot. Teorema de Tissot: Sobrequalquerpontodeumaprojeoexistemduasdireesperpendicularesentresi,queao serem transformadas, embora existindo deformao angular, permanecem perpendiculares entre si.As direes I e II so conhecidas como direes principais e sobre elas que ocorrem as deformaes mxima e mnima (a e b).Na esfera os paralelos se cruzam segundo um ngulo de 90, porm esse valor alterado pela distoro. Pode-se demonstrar que: mucos' cos =k hFonde u o ngulo reto na superfcie da esfera modelo aps ser deformado. aaoaoa o odsdsCCy yxxII III IA Ana projeona esferaaubMeridianoParalelokhIFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 347.3.7- Fator de deformao mximo (a) e mnimo (b)As seguintes relaes podem ser deduzidas a partir do conceito de elipse das distores. h2 = a2.cos2+b2.sen2k2 = a2.sen2+b2.cos2associando as duas equaes: h2 + k = a2.cos2+b2.sen2+a2.sen2+b2.cos2colocando a e b em evidncia, vem:h2 + k = a2 (cos2+sen2)+ b2(sen2 +cos2)massen2 +cos2 = 1, ento: h2 + k2 = a2+ b2Estaexpressorepresentao1TeoremadeApolnio,quemostraqueasomaaoquadradode doisdimetrosconjugadosnaelipseumaconstante.O2TeoremadeApolniomostraquea rea formada por dois semi-dimetros conjugados na elipse igual rea do retngulo formado pelos semi-eixos da elipse, ou seja: h.k.senu= a.b Asduasequaesanteriorespermitemavaliaraevoluodasdistoresmximae mnima para qualquer projeo a partir dos valores conhecidos h, k e u. Multiplicandoassegundaequaopor2esomandoesubtraindodaprimeiraequao resulta:h2 + k2 2.h.k.senu = a2+ b2 2.a.bfinalmente (a b)2=h2 + k2 2.h.k.senu Aresoluodestesistemadeequaespermitedeterminarosvaleresdosfatoresde deformao mximo e mnimo. 7.3.8- Fator de deformao de rea (p). Considerando que o quadriltero ABCD muito pequeno, pode-se definir que o fator de deformao da reaAB.AD.senu. Ento: p = h.k.senuoup = a.bIFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 357.3.9- Fator de deformao angular mximo (e).A equao que permite o clculo do fator de deformao angular mximo a seguinte: b ab a+=|.|

\|2seneDependendodafunodeprojeoqueseutilize,tm-sevaloresdiferentesparaas deformaes, que so do tipo linear, angular e de rea. Emresumo,asescalasparticularesoufatoresdedeformaoassumemvalores mximos e mnimos e podem ocorrer:ao longo dos meridianos=h ao longo dos paralelos=k ao longo das direes principais (mxima)=aao longo das direes principais (mnima)=bde rea=p Angular mxima= e No obstante, existem certos pontos ou linhas onde essas deformaes no ocorrem e so conhecidos como pontos ou linhas de distoro zero (pdz ou ldz ). A figura a seguir exemplifica a situao. ldzpdzldzldzIFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 367.3.10- Propriedades especiais das projees Apesardaescalaprincipalsserpreservadaaologodecertospontosoulinhas(pdzou ldz) e as escalas particulares variarem tanto em posio como em direo num mapa, possvel criarcertascombinaesespeciaisdeescalasparticularesquepodemsermantidasemtodaa extensodeumsistemadeprojeo,comexceo aospontossingulares.Pontossingularesso aquelesondeoTeoremadeTissotnoseaplica.Porexemplo,emalgumasprojeesosplos aparecem como sendo linhas ao invs de pontos. Estaspropriedadesclassificamasprojees emconformes,equivalentes,eqidistantese afilticas. A tabela abaixo resume as caractersticas de cada uma das propriedades : PropriedadeEscalaparticularEfeitoAplicao Conformidadea =bnohdeformao angular;aformados objetos mantida. Mapasondeamedidadengulos importante.Ex.:CartasTopogrficas, CartasdeNavegaoeCartas Militares. Equivalncia a.b = 1 osngulosso deformados,porm nohdeformaode rea. Mapasondeamedidadasreas importante. Ex.: Mapas de uso da terra, vegetao, populacionais.Eqidistnciah = 1 nohdeformao segundo os meridianos.Mapasondeaconformidadeoua equivalncianosejamprimordiais. Atlas,mapasdeplanejamento estratgico. k = 1 nohdeformao segundo os paralelos. Afilticasno apresentam nenhuma propriedade Asprojeeseqidistantesapresentamumacaractersticaimportante,elasdeformam menososngulosqueasequivalentesemenosasreasqueasconformes,sendoentotil quando as outras duas propriedades no so necessrias. IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 37A figura a seguir mostra as deformaes sofridas pela Projeo Sinusoidal ou Projeo de Sansom-Flamsteed.Esta projeo classificada como equivalente pertence s pseudo-cilndricas. Observa-se que ao longo do equador e do meridiano de Grrenwich as Indicatrizes de Tissot so circunfernciasdemesmotamanho,oqueindicaqueestaslinhassolinhasdedistorozero. Fora delas observa-se um estiramento na medida em que se aproxima do Polo Norte. Fonte : MALING, D.H. Coordinate Systems and Map Projections. Pergamon Press Inc. New York. 1992 IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 388 - Anlise de uma projeo sob a tica da teoria das distores. Todasasprojeescartogrficas,indistintamente,provocamdeformaesnasfeies cartografadasnoprocessodetransfernciadasuperfciefsicaparaadeprojeo.Destemodo, ao se adotar uma ou outra formulao, deve-se levar em considerao qual as caractersticas que queremos preservar, ou seja, que propriedade nos interessa.Asprojeessoclassificadasquantospropriedadesemconformes,eqidistantes, equivalenteseafilticas.Dependendodaformulao(leidaprojeo)mesmoapropriedade sendo igual, no se tem o mesmo resultado. necessrio se fazer um estudo sob a luz da teoria das distores antes de se optar por esta ou aquela projeo. Comoexemplovamosfazeresteestudoutilizandoaprojeocilndricaconformede Mercator. Ronan (1983) apud Maling(1993) em sua obra The Cambribge Ilustrated History of the Worlds Science, afirma que esta projeo foi utilizada por Chien Lo-Chih num primitivo mapa de estrelas (Tunhuang 940). Na Europa, a sua utilizao datada de 1.511 por Etzlaud e 1.569 por Mercator. A navegao passou a adota-la a partir de 1.599. A formulao desta projeo (lei de projeo) a seguinte: x= y=|.|

\|+2 4lnm ttga) Clculo das derivadas parciais ; 0 =ccmx; 1 =ccx; 0 =ccy;2 4cos2 421212 42cos12 4(2 4cos212 42sec2 41|.|

\|+|.|

\|+= |.|

\|+

|.|

\|+|.|

\|+=|.|

\|+ |.|

\|+=ccmtmtmtmtmtmtmtmsen sen tgy( ) ( );) cos(1 1212 2 4m m mtmt=+=+=ccsen seny ); sec(mm=ccyIFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 39b) Clculo das quantidades fundamentais de Gauss ( ) ( )( ) ( ) ; 1 0 1 ) ( ) (; 0 0 ) sec( 1 0); (2sec2) sec(20 ) ( ) (2 2 2 22 2= + = + ==+=+== + = + =cccccccccccccccc m mm mmm myxy yx xyxGFEc) Clculo das escalas particulares c.1) Fator de deformao ao longo dos meridianos E h = h = sec(m)c.2) Fator de deformao ao longo dos paralelos ) sec(m= G k k = sec(m)c.3) Fator de deformao mximo (a) e mnimo (b)0) (0) () ' cos( = = =m musen k h sen k hF=> u = 90 ( ) ( ) k h b a k h k h k h k h k h b a = = = = + = + = 2 2 2 2 2 22 ) ' sen( 2 uc.4) Fator de deformao de rea p = a.b p=sec2(m)c.5) Deformao angular mxima. 0 0 sen como ;2sen == =+= e eeb ab ab aIFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 40d) Tabela de deformaes mhkabpe 0 1,001,001,001,001,000,00 15 1,041,041,041,041,070,00 30 1,151,151,151,151,330,00 45 1,411,411,411,412,000,00 60 2,002,002,002,004,000,00 75 3,863,863,863,8614,930,00 90 0,00 Observa-sequeasdeformaescrescemnadireodosPlos,tendendoparaoinfinito. Isso acontece porque esta projeo no definida para latitude de 90.AdeformaoangularmximaigualaZero,oqueeradeseesperar,umavezquea projeo conforme e os ngulos, neste caso, so preservados. Nota-se ainda, que uma rea localizada na latitude de 75, sofre uma ampliao da ordem de 14,93 vezes. Se por projeto for estabelecida uma tolerncia de 4% em termos de deformao linear, s aregiocompreendidaentreosmeridianosde15Ne15Sterasuareamapeadaporesta projeo.IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 41Natabelasseguintes,soapresentadososfatoresdedeformaodealgumasprojees azimutais. Projeo Azimutal Estereogrfica - conformemhkabpe 0 2,002,002,002,004,000,0 15 1,591,591,591,592,520,0 30 1,331,331,331,331,780,0 45 1,171,171,171,171,370,0 60 1,071,071,071,071,150,0 75 1,021,021,021,021,030,0 90 1,001,001,001,001,000,0 Projeo Azimutal Postel - Equidistante nos meridianos.mhkabpe 0 1,001,571,571,001,5725,6 15 1,001,361,361,001,3617,5 30 1,001,211,211,001,2110,9 45 1,001,111,111,001,116,0 60 1,001,051,051,001,052,8 75 1,001,011,011,001,010,6 90 1,001,001,001,001,000,0 IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 42Projeo Azimutal de Lambert - Equivalente.mhkabpe 0 0,711,411,410,711,0038,6 15 0,791,261,260,791,0026,5 30 0,871,151,150,871,0015,9 45 0,921,081,080,921,009,2 60 0,971,041,040,971,004,0 75 0,991,011,010,991,001,1 90 1,001,001,001,001,000,0 Projeo Azimutal Gnomnica - afiltica.mhkabpe 0 15 14,933,8614,933,8657,6872,2 30 4,002,004,002,008,0038,9 45 2,001,412,001,412,8319,9 60 1,331,151,331,151,548,3 75 1,071,041,071,041,111,6 90 1,001,001,001,001,000,0 A partir destas tabela possvel se fazer o estudo de que projeo mais adequada para o projetocartogrficoquesepretende.Estetipodeanlisedeveseraplicadosemprequese pretende utilizar uma projeo diferente das tradicionais. IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 43Paraefeitodeilustrao,criou-senaProjeoCilndricadeCarre,cujatabeladedeforma encontra-seabaixo,umafeiohumana(rosto)paraobtenodascoordenadasgeogrficasdosseus traosdefinidores.Apartirdestas,gerou-seemdiversasprojeesoreticuladoeorosto,para demonstrar as diferenas que os contornos de uma rea cartografada, podem sofrer. Projeo Cilndrica de Plate Carre Eqidistante ao longo dos meridianos mhkabpe 0 1,001,001,001,001,000,0 15 1,001,041,041,001,04-2,2 30 1,001,151,151,001,15-8,0 45 1,001,411,411,001,41-19,6 60 1,002,002,001,002,00-38,9 75 1,003,863,861,003,86-72,1 90 1,00 1,00 IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 44IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 45IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 46IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 47IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 48IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 499 - Construo prtica das Projees Cartogrficas. A construo de um mapa passa necessariamente por algumas etapas como:- a escolha da superfcie de referncia (modelo geomtrico/datum); - a escolha da superfcie de projeo (plana, cnica ou cilndrica); - o aspecto da superfcie de projeo (normal, obliqua ou transversa); - a propriedade especial (conforme, equidistante nos paralelos, equidistante nos meridianos, equivalente ou afiltica); - a escala de sada da representao.As definies quanto as superfcie de referncia e de projeo, ao aspecto e a propriedade especial, normalmente j esto meio que resolvidas. Via de regra, adota-se o padro mais usual. Por exemplo, o mapeamento sistemtico brasileiro utiliza o sistema UTM (Universal Transverso deMercator)comopadro,ento,namaioriadosprojetosqueenvolvemcartografia,esta soluoaadotada.Bastalembraraleidegeorreferenciamentodeimveisruraisque normatizou essa soluo na definio territorial das propriedades.comumtambmque,emmapasestaduaisdoestremosuldoPas,seoptepelas projeespolicnicas.Algunsmapeamentosgeolgicosadotamascnicasequivalentescomo opo,ealgumascidadesadotamoLTM(LocalTransversodeMercator),variaodaUTM, comoopoparaseusmapeamentoscadastrais.Observa-seentoque,sobreestesaspectos, quase tudo j est definido no havendo muito espao para variaes.ComrespeitoaoDatum,emboraoBrasiltenhaoptadopeloSAD69desdemeadosda dcada de 70 e que em fevereiro de 2005 o tenha substitudo oficialmente pelo SIRGAS 2000, comumaindaseveremprojetosadotandooCrregoAlegre.Estadecisoequivocadaest calcada nas cartas do mapeamento sistemtico que foram confeccionadas no final da dcada de 60 e incio da 70, quando o Datum vigente ainda era o Crrego Alegre. Isto denota uma falta de conhecimento tcnico em mapeamento pelas pessoas que tomam as decises. Ainda se tem uma visodequemapasimplesmenteumdesenhoenoumdocumentoqueseconstrudo corretamente poder poupar muito das etapas de levantamento de dados para o planejamento. IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 50Finalmente,quantoescaladesada,emboraossistemasautomatizadostenham ferramentasquefacilitamasadanaescalaadequada,interessantequeseconheaoprocesso naelaboraodosmapas.Entoestematerialdidticosepropeamostrardequeformaisso feito.Para efeito de organizao ser mostrado a seguir o processo de construo das projees conformeelaspertenamclassedasazimutais,cnicasecilndricas.Todasasconstrues apresentadas adotaro o aspecto normal e ser adotada a esfera como modelo geomtrico para a Terra. Esse modelo recebe o nome de esfera modelo ou globo gerador e tem o raio unitrio. 9.1-Projees AzimutaisAsprojeesclassificadascomoazimutaissoaquelasqueadotamoplanotangenteou secantecomosuperfciedeprojeo.Essasuperfciepodeassumirosaspectosnormal, transverso ou oblquo, conforme o plano tangencie o modelo de referncia (modelo geomtrico daTerra)emumdosplos,sobreoequadorouemumlocaldiferentedestes.Poresta caracterstica as azimutais s representam no mximo um hemisfrio por superfcie.Asfrmulasgeraisparaasprojeesazimutais,nocasonormaletangente,soas seguintes.Equaes polares r = f(o)=F(;);Equaes cartesianas x = r.cosuu = :y = r.senu onde :r-raio do paralelo no plano de projeo o-latitude;- colatitude ( ; = 90 - o ) -longitude. u-ngulo correspondente a longitude no plano de projeo. As escalas particulares ao longo dos paralelos e meridianos so definidas por: o ; cc =cc=r rh eo ; cos senr rk = =A figura 2 mostra graficamente os elementos envolvidos nas projees azimutais. IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 51Analisando a figura observa-se que o ponto P, na superfcie da esfera modelo, projetado no plano de projeo em P. A posio de P depende fundamentalmente das suas coordenadas e daprojeocartogrficautilizada.Assim,ummesmopontoprojetadoemposiesdiferentes no plano de projeo simplesmente com a variao da projeo cartogrfica.AprojeocartogrficaumafunomatemticaconhecidacomoLeidaProjeo.EstaLei,nocasodecoordenadaspolares,constitudaporumafunoquedependeda colatitude do ponto P, e que calcula a distncia entre o ponto de tangncia e P, representada pela letra r, e pelo ngulo u que corresponde longitude de P.Estas coordenadas polares, para serem transformadas em cartesianas, tem sua origem no pontodetangnciaeoeixodasabscissascoincidentecomomeridianodeGreenwich, conforme figura 1. urXYxPyPMeridiano deGreenwich90Wo180o90EoPPNFigura 1 - Eixos cartesianos nas projees azimutais.IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 52o;RPP`PN rPSLei de projeo : r = f( ) = F ( ) o ;u = rcosok =h - =mrmomrm;==rsen;Superfcie de projeouP` r(Esfera modelo - R=1)Superfcie de refernciaSuperfcie de projeoFigura 2 Aspectos geomtricos envolvidos numa projeo azimutal. IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 53AlgumasprojeespermitemsuademonstraoporquesuaLeiconstitudapor equaes geomtricas. A seguir sero demonstradas algumas destas. 9.1.1- Projeo Azimutal Gnomnica. A projeo Gnomnica atribuda a Tales de Mileto que viveu entre 624 a 546 a.C.Esta projeo adota o centro da esfera (c) como ponto de vista da projeo (PV). Desta forma o pontoPprojetadoapartirdePVemP.A distnciaentrePeoplodenominadapela letra r (figura 3).Observa-setambmqueoplo,PVeP formam um triangulo retngulo.Aplicando-seumarelaotrigonomtrica simples, obtm-se: ) ( . ; tg R r =como a esfera tem raio unitrio, vem: u;== ) ( tg rEsta equao no definida para pontos cuja colatitude igual 90, de forma que o equador no representado. 9.1.2- Projeo Azimutal Estereogrfica. A projeo Estereogrfica atribuda a Hiparco de Nicia que viveu entre 160 a 125 a.C.Estaprojeoadotaopontoantpodaaoponto de tangncia do plano de projeo com a esfera, comopontodevista(PV).Destaformaoponto P projetado a partir de PV em P.A distncia entrePeoplodenominadapelaletrar (figura 4).Observa-se tambm que o plo, PV e P formam um triangulo retngulo.R=1PPo;rploplano deprojeoesfera modeloc=PVFigura 3 - Projeo Gnomnica.R=1PPo;rploplano deprojeoesfera modeloPVocFigura 4 - Projeo Estereogrfica.IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 54Aplicando-se uma relao trigonomtrica simples, obtm-se: ) ( 2 o tg = R rmas,do tringulo formado entre PV, c e P, tm-se ( )290 290 180 2 180 ) 90 ( . 2;o o oo o o o= =+ = = + +oo o o oConsiderando-se ainda, que a esfera tem raio unitrio, vem: u;= = ) 2 ( 2tg r9.1.3- Projeo Azimutal Ortogrfica. A projeo Ortogrfica atribuda a Apolnio de Perga que viveu entre262 a 190 a.C.Estaprojeoadotaopontoantpodaque deslocadoparaoinfinitocomopontodevista (PV).DestaformaopontoPprojetado, paralelamenteaoeixoderotao,apartirdePV emP.AdistnciaentrePeoplo denominada pela letra r (figura 5).Observa-setambmquec, qePformamum triangulo retngulo.Aplicando-seumarelaotrigonomtrica simples, obtm-se: ) cos( ) ( o ; == sen R rConsiderando-sequeaesferatemraiounitrio, vem: ( ) uo ;== = cos ) ( sen rConformeinformadoanteriormenteestastrsprojeestemsuaLeidefinidaporequaes geomtricas cuja demonstrao simples, todavia, a classe das azimutais no se limita somente a estas trs, existindo outras proposies (anexo 1). R=1PPo;rploplano deprojeoesfera modeloPVqcFigura 5 - Projeo Ortogrfica.Po;PVocoIFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 559.1.4- Construo das projees azimutais. Definida a lei de projeo que balizara os clculos, pode-se pensar em duas situaes distintas: a. dado o formato do papel onde se deseja gerar a projeo, calcular a escala; b. dada a escala da projeo definir quais as dimenses do papel que a comporta. Tantoparaocasoacomoparaobnecessriosefazeralgumasconsideraes.A primeira que a rea ocupada por uma projeo azimutal constituda por um crculo cujo raio determinadopelacolatitudelimite(figura1).Estacolatitudelimitedefinidapelolimiteda projeo, ou seja, at que distncia angular, a partir do ponto de tangncia do plano com a esfera, sepretenderepresentar.Asegunda,queasprojeesazimutaisrepresentamumnico hemisfrio. Ento, imaginando um papel com dimenses hipotticas dx e dy (figura 6).Ocrculoparaserrepresentado naintegradeveterseuraiomximo (rMx)menorqueamenordimensodo papel.Nocasodailustraoamenor dimenso ocorre em dx. O raio mximo tem sua dimenso definidapordoisfatores.Oprimeiro estatreladoaLeidaprojeoeo segundoaoraiodaesferamodelo(R).Nasdeduesapresentadas anteriormenteoraiodaesferamodelo eraconsideradounitrio,mas facilmentepercebidoqueovalorderdiretamentedependentedeR,ou seja,sefordobradoovalordeRautomaticamente se dobra o de r.Ento,paraseocuparamenordimensodopapeldeve-sevariaroraiodaesferamodelo(R). Chamando de d a menor dimenso do papel, tem-se: rMxdydxLimite da projeoFigura 6 - Dimenses teis de uma folha de papelIFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 56uiR R Calculadooraiodaesferamodeloidealpode-seagoracalcularemqueescalaser representadaestaprojeo.Sabe-sequeescalaaproporoexistenteentreorealeo representado. Ento, a escala a proporo entre o raio da esfera modelo (R) e o raio da Terra real (RT), ou seja: Estaproporoserumnmeromenordoque1.Emcartografiacostuma-seindicara escala como uma frao, assim: Aescalacalculadanormalmentenoserumnmerointeiro,destemodo,deve-se arredond-la para uma escala menor. Quando isso feito, a proporo modificada e precisa-se calcular novamente o raio da esfera modelo. Definidaaescalaeoraiodaesferamodelopassa-seaconstruirumatabelaondesero calculadososraiosdosparalelos.Osmeridianossoconstitudosporlinhasradiaisondeo ngulo u=. Ao conjunto de paralelos e meridianos representados na superfcie de projeo d-se o nome de reticulado ou canev da projeo. Nocasodeserfornecidaaescaladaprojeoaordemdosclculosdiferente. Inicialmente calcula-se o raio da esfera modelo e depois a dimenso mnima. IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 57Com os exemplos seguintes, o procedimento de clculo do canev ficar mais claro. Exemplo1GereocanevdaprojeoAzimutalGnomnica,aspectonormal,emumafolha padroA4,intervalandoosparalelosemeridianosde15em15.ParaoclculoadoteRT= 6.380 km. Para iniciar o clculo da projeo precisa-se: a Lei da projeo; b espao til no papel; c clculo do raio da esfera modelo; d clculo da escala; e gerao da tabela com os raios dos paralelos. A lei de projeo da Azimutal Gnomnica determinada pelas equaes u;== ) ( tg rEsta equao no definida para ; = 90. Considerando que foi pedido que o intervalo fosse de 15 em 15, ento a colatitude mxima a ser adotada ser:;Mx =75.Comrespeitoaopapel,parasecalcularareatil,deve-sedescontardasdimensesdoformatoA4as margens,osespaosdefinidosparacabealho,escalaetextosadicionais.Nafigura7,estesespaosesto delimitados.importantefrisarqueexcetuandoasmargens,osoutrosespaospodemserlivrementeestipulados pelo autor do mapa. dx = 158 mm7 mmr MxTtuloEscalatextotexto10 mm30 mm40 mm25 mm10 mm7 mm7 mmdy = 213 mmFigura 7 - Definio da rea til.IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 58Para o clculo do raio da esfera modelo de uma projeo azimutal utiliza-se a seguinte frmula: R d = 158 mmerMx = tg(;Mx) = tg(75) rMx =3,73ento Tendo-se o Raio da esfera modelo cujo valor faz com que a projeo azimutal Gnomnica ocupe a rea til total, necessrio agora se calcular a escala desta projeo, assim: Odenominadorcalculadono,normalmente,umnmerointeiro,entoarredondandoparaumnmero maior, vem Recalculando o raio da esfera Finalmente passa-se a fase de clculo dos raios dos paralelos.m; r=R. t g( ;)( R=2, 1cm)0 90 -15 75 7, 8cm 23 27' 66 33' 4, 8cm 30 60 3, 6cm 45 45 2, 1cm 60 30 1, 2cm 66 33' 23 27' 0, 9cm 75 15 0, 6cm 90 0 0, 0cm Osvalores2327e6633correspondemaoTrpicodeCncereaoCrculorticoouaoTrpicode Capricrnio e ao Crculo Antrtico conforme os dados fizerem referncia ao hemisfrio Norte ou ao hemisfrio Sul respectivamente.A figura 8 mostra o canev da projeo Gnomnica. IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 59Projeo Azimutal GnomnicaAspecto NormalAtribuida a Tales de Mileto (624 - 546 a.C.)Escala 1:302.000.0000o15 Eo30Eo45E o60E o75E o90Eo105Eo120Eo135Eo150Eo1 6 5Eo1 8 0o1 6 5Wo150Wo135W o120W o105W o90Wo75Wo60Wo45Wo30Wo15 WoMeridiano de GreenwichPN30o45o60oTRPICOD ECNCERCRCULOPO L ARRTICO3.020 6.040 9.060 12.080 15.100 km 3.020 015oFigura 8 Canev da Projeo Azimutal Gnomnica em um papel formato A4 (210 mm x 297 mmm) IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 60Exemplo 2 Gere o canev da projeo Azimutal Estereogrfica, aspecto normal, em uma folha padroA4,intervalandoosparalelosemeridianosde15em15.ParaoclculoadoteRT= 6.380 km. Os clculos so similares ao exemplo anterior, mudando-se somente a Lei da Projeo, ou seja: u;= = ) 2 ( 2tg rEsta equao definida para ; = 90 que ser o limite da projeo. Como o formato do papel o mesmo que do exerccio anterior e se for adotado as mesmas dimenses, vem:R d = 158 mme ento Tendo-se o Raio da esfera modelo calcula-se a escala desta projeo: arredondando o denominador para um nmero maior inteiro, vemIFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 61Recalculando o raio da esfera Finalmente passa-se a fase de clculo dos raios dos paralelos.m; r=2. R. t g( ;/ 2)( R=3, 9cm)0 90 7, 8cm 15 75 6, 0cm 23 27' 66 33' 5, 1cm 30 60 4, 5cm 45 45 3, 2cm 60 30 2, 1cm 66 33' 23 27' 1, 6cm 75 15 1, 0cm 90 0 0, 0cm A figura 9 mostra o aspecto do canev da projeo estereogrfica.IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 62Projeo Azimutal EstereogrficaAspecto NormalAtribuida a Hiparco de Nicia (160 - 125 a.C.)Escala 1:162.000.0000o15 Eo30Eo45E o60E o75E o90Eo105Eo120Eo135Eo150Eo1 6 5Eo1 8 0o1 6 5Wo150Wo135W o120W o105W o90Wo75Wo60Wo45Wo30Wo15 WoMeridiano de GreenwichPN30o45o75oTRPICOD ECNCERCRCULOP O L A RRTICO1.620 3.240 4.860 6.480 8.100 km 1.620 060o15oFigura 9 Canev da Projeo Azimutal Estereogrfica em um papel formato A4 (210 mm x 297 mmm) IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 63Observa-se nos dois exemplos que o procedimento de gerao do canev simples.Apartirdocanevaconstruodomapaexigequesejamconhecidasascoordenadas geogrficas(m. )dasdiversasfeiesquecompearegiorepresentadacomo,limitesdos continentes, dos pases, cidades ou locais importantes, cursos dgua, entre outros. Neste caso melhor empregar as frmulas que utilizam o sistema cartesiano. Assim: x = r.cosuy = r.senu No caso da projeo Gnomnica as frmulas cartesianas so: x = R.tg ;.cosy = R.tg ;.sen e as da Estereogrfica so: x = 2.R.tg(;/2).cosy = 2.R.tg(;/2).sen Bastairsubstituindopaulatinamenteascoordenadasnasequaeseirobtendoascoordenadas cartesianas.

IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 649.2-Projees cnicas As projees classificadas como cnicas so aquelas que adotam ocone reto tangente ousecantecomosuperfciedeprojeo.Essasuperfciepodeassumirosaspectosnormal, transverso ou oblquo, conforme o eixo do cone seja paralelo, transverso ou oblquo em relao aoeixoderotaodomodelodereferncia(modelogeomtricodaTerra).Similarmenteas azimutais, elas s representam um nico hemisfrio por superfcie. As frmulas gerais para as projees cnicas, no caso normal e tangente, so as seguintes. Equaes polares r = f(o)=F(;);Equaes cartesianas x = r.senuu = n:y = C - r.cosuonde :r-raio do paralelo no plano de projeo o-latitude ;- colatitude ( ; = 90 - o ) -longitude. u-ngulo correspondente a longitude no plano de projeo. n-fator de reduo ou constante do cone C-raio do paralelo-padro no plano de projeo As escalas particulares ao longo dos paralelos e meridianos so definidas por: o ; cc =cc=r rheon;ncos senr rk

=

=A figura 10 mostra graficamente os elementos envolvidos nas projees cnicas. IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 65P`PNVuLei de projeo : r = f( ) = F ( ) o ;u = n-n = constante do conen-rcosok = h - =crcouP` CVSuperfcie de projeoPRo;o0Superfcie de projeo(Esfera modelo - R=1)Superfcie de refernciaPS r(Cone - tangente)Paralelo padro (L.d.z.) CParalelo-padro (L.d.z.) rFigura 10 Aspectos geomtricos envolvidos nas projees cnicas. IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 66Dependendo do paralelo padro que se adote a altura do cone e a dimenso da base variam.Observa-se na figura 10 que o raio do paralelo (r) considerado desde o vrtice do cone at o ponto P, e que o ngulo ao ser transformado em u, ao contrrio das projees azimutais, sobreumareduo.Essareduo,tambmdenominadodeconstantedoconeedesignadapela letragregan,umafunomatemticaquedependedalatitudedoparalelopadro(oo)ouda colatitude do paralelo padro (;o).Almdoparalelopadro,nasprojeescnicas,existeafiguradoMeridianoCentral (MC)quepodesercoincidentecomoMeridianodeGreenwich.Quandoomeridianocentral em outro local, substitui-se a longitude por uma diferena dada por: onde : - longitude do ponto; MC- longitude do meridiano central. A figura 11 mostra esses elementos em relao s coordenadas cartesianas.urXYxPyPMeridiano de Greenwich180Eo180E oPFigura 11 - Eixos cartesianos nas projees cnicas.PNCparalelo-padro0oC = F( ) = f ( ) o ;o oIFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 679.2.1-Construo das projees cnicas.AsprojeescnicasocupamareatildopapelemfunodaLeidaprojeoedo paralelo padro escolhido de duas formas distintas. Essas situaes sero definidas por caso aquando o uMx > 90 e caso b quando o uMx < 90. Em ambos os casos o espao requerido na direo dos eixos das abscissas diferente do eixo das ordenadas. Assim necessrio se calcular um raio ideal na direo de x (RX) e um raio ideal na direo de y (RY). Assumindo como dx o espao til na direo de x e dy o espao na direo de y pode-se formular as equaes para os dois casos. Caso a - uMx > 90uMxrMxXYMeridiano de Greenwich180Wo180E oFigura 12 - Projees cnicas - caso. a0o2.rMxrMxr sen( -90 )Mx. MxuoAnalisando a figura 12 pode-se extrair: E IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 68Caso b - uMx < 90uMxr MxXYMeridiano de Greenwich180Wo180EoFigura 13 - Projees cnicas - caso. b0orMx2.r sen( )Mx. Mx uAnalisando a figura 13 pode-se extrair: e Calculados os raios ideais nas direes dos eixos cartesianos, tanto para o caso a como para o caso b, adota-se o menor deles como raio da esfera modelo. A seguir procede-se como nas projees azimutais, ou seja, calcula-se a escala, arredonda-se o denominador para um valor inteiro maior e torna-se a calcular o raio da esfera modelo utilizando-se as seguintes frmulas: e IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 69Nocasodeserfornecidaaescaladaprojeoaordemdosclculosdiferente. Inicialmente calcula-se o raio da esfera modelo e depois as dimenses mnimas. Caso a Caso b Definidaaescalaeoraiodaesferamodelopassa-seaconstruirduastabelascoma finalidade de gerar o reticulado ou canev da projeo. Na primeira sero calculados os raios dos paralelos e na segunda os ngulos u = n..Com os exemplos seguintes, o procedimento de clculo do canev ficar mais claro. Exemplo 3 Gere o canev da projeo Cnica Conforme de Lambert, aspecto normal, em uma folha padro A4. Considere para os clculos o paralelo padro com oo = 60 e o intervalo para os paralelos e meridianos de 15 em 15. Para o clculo adote RT = 6.380 km. Para iniciar o clculo da projeo, precisa-se: a Lei da projeo; b espao til no papel; c clculo do raio da esfera modelo; d clculo da escala; e gerao da tabela com os raios dos paralelos. A lei de projeo da Cnica Conforme de Lambert determinada pelas equaes IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 70Inicialmente determina-se em qual caso a projeo se enquadra. cos Considerando que se pretende gerar o cavev de um hemisfrio, ento: Mx = 180 e que o caso a.;Mx = 90equador Comrespeitoaopapel,comonoexemplo1e2,parasecalcularareatil,deve-sedescontardas dimenses do formato A4 as margens, os espaos definidos para cabealho, escala e textos adicionais. Na figura 14, estes espaos esto delimitados.dx = 158 mm7 mmr MxTtuloEscalatextotexto10 mm30 mm40 mm25 mm10 mm7 mm7 mmdy = 213 mmFigura 14 - Definio da rea til.Emborafiqueevidentenafigura14qualdosraiosseromenor,importantenoexercciosemostrara lgica de clculo. Nem sempre esta situao ocorre. Ento prosseguindo no clculo do raio ideal da esfera modelo nas direes x e y vem: IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 71Como j se previa o menor raio da esfera modelo ocorre na direo de x, ento .Tendo-se o valor do raio da esfera modelo passa-se a calcular a escala: comoodenominadordafraoumnmerointeironohnecessidadedeseprocederaoarredondamento.O prximo passo o clculo das tabelas dos paralelos e dos meridianos. Tabel a1- Rai osdospar al el os- Cni caconf or medeLamber tm; ( R=4, 4cm)0 90 7, 9cm 15 75 6, 3cm 23 27' 66 33' 5, 5cm 30 60 4, 9cm 45 45 3, 7cm 60 30 2, 5cm 66 33' 23 27' 2, 0cm 75 15 1, 4cm 90 0 0, 0cm OBS. :;O=30On = 0, 866Tabela 2 ngulos para os meridianos da Projeo Cnica Conforme de Lambert u =n. 0 0,00 15 12,99 30 25,98 45 38,97 60 51,96 75 64,95 90 77,94 105 90,93 120 103,92 135 116,91 150 129,90 165 142,89 180 155,88 A figura 15 representa o aspecto do canev da projeo Cnica Conforme de Lambert. IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 72Projeo Cnica Conforme de LambertAspecto NormalEscala 1:145.000.0000o15Eo30Eo45Eo60E o75E o90E o105Eo120Eo135Eo150Eo165Eo180Eo1 80Wo165Wo150W o135W o120W o105Wo90Wo75Wo60Wo45Wo30Wo15WoMeridiano de GreenwichPN30o45o75o1.450 2.900 4.350 5.800 7.250 km 1.450 060o15oFigura 15 Canev da Projeo Cnica Conforme de Lambert. IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 73Exemplo 4 Gere o canev da projeo Cnica Equidistante de Ptolomeu, aspecto normal, em umafolhapadroA4.Considereparaosclculosoparalelopadrocomoo=25eointervalo para os paralelos e meridianos de 15 em 15. Para o clculo adote RT = 6.380 km. Os clculos so similares ao exemplo anterior, mudando-se somente a Lei da Projeo, ou seja: Novamente, inicia-se pela determinao de em qual caso a projeo se enquadra. cos Considerando que se pretende gerar o cavev de um hemisfrio, ento: Mx = 180 e que o caso b.;Mx = 90equador Obs.:amultiplicaopelofatort/180paratransformaradiferenaangularemgraus,pararadianos.Esse procedimento tem a finalidade de tornar o valor dimensionalmente compatvel com o resultado da tangente. Utilizando as mesmas dimenses teis dos exerccios anteriores vem: Adota-se o raio menor para a esfera modelo. Assim: Tendo-se o valor do raio da esfera modelo passa-se a calcular a escala: IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 74Arredondando para um denominador maior Recalculando o raio da esfera O prximo passo o clculo das tabelas dos paralelos e dos meridianos. Tabel a1- Rai osdosparal el os-Cni caEqui di st ant edePt ol omeum; ( R=3, 2cm)0 90 8, 3cm 15 75 7, 4cm 23 27' 66 33' 6, 9cm 30 60 6, 6cm 45 45 5, 7cm 60 30 4, 9cm 66 33' 23 27' 4, 5cm 75 15 4, 1cm 90 0 3, 2cm OBS. : ;O=65OTabela 2 ngulos para os meridianos da Projeo Cnica Equidistante de Ptolomeu u =n. 0 0,00 15 6,34 30 12,69 45 19,04 60 25,38 75 31,72 90 38,07 105 44,42 120 50,76 135 57,10 150 63,45 165 69,80 180 76,14 obs.: n = 0,423 IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 75A figura 17 representa o canev da projeo Cnica Equidistante de Ptolomeu. Observa-se na figura 17 que o Plo Norte representado poruma linha ao invs de um ponto. Neste caso se diz que o plo truncado. possvel notar tambm que se tivesse sido colocado a projeo girada de 90 a escala poderia ser maior. Este fato simples de se constatar. Basta definir a rea til para o papel A4 girado e calcular os raios da esfera. dy = 128 mm7 mmrMxTtuloEscalatextotexto30 mm20 mm20 mm25 mm20 mm7 mm7 mmdx = 243 mmFigura 16 - Definio da rea til no papel A4 girado de 90 .o

Recalculando a escala vem:

IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 76Projeo Cnica Equidistante de PtolomeuAspecto Normal-Plo truncadoAtribuida a Ptolomeua (130 a.C.)Escala 1:200.000.0000o15 Eo 30Eo45Eo60Eo75Eo90E o105Eo120E o135E o150E o165E o180E o165Wo150Wo135Wo120Wo105Wo90Wo75Wo60Wo45Wo30Wo15 WoMeridiano de Greenwich30o45o75o2.000 4.000 6.000 8.000 10.000 km 2.000 060o15o180Wo Figura 17 Canev da Projeo Cnica Equivalente de Ptolomeu. IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 779.3-Projees cilndricas As projees classificadas como cilndricas so aquelas que adotam o cilindro tangente ousecantecomosuperfciedeprojeo.Essasuperfciepodeassumirosaspectosnormal, transversoouoblquo,conformeoeixodocilindrosejaparalelo,transversoouoblquoem relao ao eixo de rotao do modelo de referncia (modelo geomtrico da Terra). Nesta classe de projeo tem-se a possibilidade de representar a Terra com um todo. Asfrmulasgeraisparaasprojeescilndricas,nocasonormaletangente,soas seguintes.x = y =f(m)=F(;);Observa-sequeparaascilndricasnoseutilizamequaespolaresequeaabcissa igualalongitude.Parahavercompatibilidadedeunidadesnecessrioquesetransformea longitudedegrauspararadianos.Issofeitomultiplicando-seonguloporumaconstante (t/180 ). As escalas particulares ao longo dos paralelos e meridianos so definidas por: m cc=yh e A figura 18 mostra graficamente os elementos envolvidos nas projees cilndricas. IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 78PNPSo;PP`RSuperfcie de projeo(Esfera modelo - R=1)Superfcie de referncia(Cilindro - tangente)EquadorParalelo padro (L.d.z.)EquadorMeridiano de Greenwich180 E180 WSuperfcie de projeo0 90 S90 NLei de projeo : y = f( ) = F ( ) o ; x = cosok =coso0h =cycoFigura 18 Aspectos geomtricos envolvidos nas projees cilndricas. IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 799.3.1- Construo das projees cilndricas. Asprojeescilndricasocupamareatildopapel,emfunodaLeidaprojeo,na formadeumretngulo.Similarmenteaocasodascnicas,oespaorequeridonadireodos eixosdasabscissasdiferentedoeixodasordenadas.Assimnecessriosecalcularumraio idealnadireodex(RX)eumraioidealnadireodey(RY).Assumindocomodxoespao til na direo de x e dy o espao na direo de y pode-se formular as seguintes equaes: e onde xMx e yMx representam os limites da projeo. Calculadososraiosideaisnasdireesdoseixoscartesianos,adota-seomenordeles como raio da esfera modelo. A seguir procede-se como nas projees anteriores, ou seja, calcula-se a escala, arredonda-se o denominador para um valor inteiro maior e torna-se a calcular o raio da esfera modelo utilizando-se as seguintes frmulas: e Definidaaescalaeoraiodaesferamodelopassa-seaconstruirduastabelascoma finalidadedegeraroreticuladooucanevdaprojeo.Naprimeiraserocalculadasas ordenadas dos paralelos (y) e na segunda as abscissas dos meridianos (x). O exerccio seguinte vai esclarecer todo o procedimento.Exemplo 5 Gere o canev da projeo Cilndrica Conforme de Mercator, aspecto normal, em umafolhapadroA4.Considereparaosclculos ointervaloparaosparalelosemeridianosde 15 em 15. Para o clculo adote RT = 6.380 km. A lei de projeo da Projeo de Mercator dada pelo seguinte conjunto de equaes: x = ; o eh = k = seco IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 80Para se calcular os elementos do canev, inicialmente preciso se estabelecer os limites da projeo. Com respeito aoeixodasabscissasolimitedadopelalongitudemximapossvel,ouseja,Mx=180.Jnocasodas ordenadas,no se pode utilizar a latitude mxima (90), porque nesse ponto a funo no definida. Considerando que o intervalo pedido foi de 15 em 15 ento se adota como valor mximo para a latitude oMx = 75. importante frisar que os valores do canev so simtricos a partir do meridiano de Greenwich e do equador. xMx = 180este valor tem que ser convertido para radianos xMx = 3,14 yMx = ln(7,5957) yMx = 2,03 Definido os valores mximos das coordenadas do canev calculam-se os raios ideais na direo de x e y. Para isso preciso se conhecer a rea til no papel. A figura 19 mostra essas dimenses: dy = 128 mm7 mmTtuloEscalatextotexto30 mm20 mm20 mm25 mm20 mm7 mm7 mmdx = 243 mmFigura 19 - Definio da rea til no papel A4 girado de 90 .o Rx=38,69 mm Ry =31,53 mm Adotando-se o menor raio calcula-se a escala arredondando para uma escala menor; IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 81Como a escala foi arredondada e o raio da Terra no mudou ento preciso recalcular o raio da esfera modelo, ou seja: R = 31,1 cmR = 3,1 cm O prximo passo o clculo das tabelas dos paralelos e dos meridianos. Tabel a1- Ci l ndr i caConfor medeMercat orordenadas o( R=3, 1cm)mNo r t ey mS u ly0 0cm0 0cm 15 0, 8cm-15 -0, 8cm 23 27' 1, 3cm-23 27' -1, 3cm 30 1, 7cm-30 -1, 7cm 45 2, 7cm-45 -2, 7cm 60 4, 1cm-60 -4, 1cm 66 33' 4, 9cm-66 33' -4, 9cm 75 6, 3cm-75 -6, 3cm 90 - -90 -A figura 20 representa o aspecto do canev da Projeo Cilndrica Conforme de Mercator. Tabela 2 Cilndrica Conforme de Mercator abscissas x = R.rad(R = 3,1cm) Lestex Oestex 0 0 cm0 0 cm 15 0,8 cm-15 -0,8 cm 30 1,6 cm-30 -1,6 cm 45 2,4 cm-45 -2,4 cm 60 3,2 cm-60 -3,2 cm 75 4,1 cm-75 -4,1 cm 90 4,9 cm-90 -4,9 cm 105 5,7 cm-105 -5,7 cm 120 6,5 cm-120 -6,5 cm 135 7,3 cm-135 -7,3 cm 150 8,1 cm-150 -8,1 cm 165 8,9 cm-165 -8,9 cm 180 9,7cm-180 -9,7cm IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 82Projeo Cilndrica Conforme de Mercator.Aspecto Normal Escala 1:205.000.0002.0504.1006.1508.20010.250 km2.050015 Sul30 Sul45 Sul60 Sul75 Sul15 Norte30 Norte45 Norte60 Norte75 NorteTRPICO DE CNCERTRPICO DE CAPRICRNIOCRCULO RTICOCRCULO ANTRTICOEQUADOR15 W30 W60 W75 W90 W105 W120 W135 W150 W165 W180 W45 W15 E30 E45 E60 E75 E90 E105 E120 E135 E150 E165 E180 EG R E E N W I C HFigura 20 Canev da Projeo Cilndrica Conforme de Mercator. IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 8310 - Sistemas de Coordenadas Planas (quadriculado e reticulado) Nosmapasasdiversasfeiesrepresentadaspodemserreferenciadasadoistiposde coordenadas planas : o quadriculado e o reticulado.43 W 44 W 45 W 46 W 47 W29 S30 S31 So1o2o3y4y5y3y2y1600 km 500 km500 km400 km400 km300 km300 km200 km200 km100 km100 kmx6x5x4x3x2x1QuadriculadoReticuladoDefine-secomoquadriculadoaoconjuntodeduasfamliasderetasparalelasaoseixos coordenados.Umafamliaaproximadamentenadireoleste(yconstante)eoutrafamlia perpendicular a primeira e na direo norte (x constante). Define-secomoreticuladoaoconjuntodeduasfamliasdelinhastransformadasde paralelos e meridianos. Uma famlia na direo leste-oeste (o constante paralelos) e a outra na direo norte-sul ( constante meridianos). No quadriculado as linhas so paralelas e eqidistantes entre si, o que no ocorre com o reticulado.IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 8411 -A Projeo Universal Transversa de Mercator (UTM) 11.1- As projees TM A projeo de Mercador uma projeo conforme, cilndrica tangente a esfera modelo no equador,quenestasituaorepresentadoemverdadeiragrandeza.AprojeoTransversade MercatortambmconhecidacomoprojeoConformedeLambert-Gaussumavarianteda primeiraondeatangnciasednummeridianoqualquer.SegundoBrunetti (1993),Gauss, planejandoolevantamentodoterritriodeHannover,estabeleceuumsistemadeprojeo conformeutilizandocomomodeloparaaTerra,oelipsidederevoluo.Estaprojeo denominadaGaussHannoverscheProjeksion,possuocilindrotangenteaomeridianocentral, sendoasuaseo,elptica.Krger,apartirdosestudosdeGauss,estabeleceuaprojeoem sistemas parciais, composto por fusos com 3 de amplitude. Posteriormente, Tardi, concebeu um sistema semelhante, s que secante ao elipside e com fusos de 6 em amplitude.A partir do estudo destes geodesistas chegou-se ao UTM, quesegundo Brunetti (1993), adenominaoinglesadaProjeodeGauss,com60fusosde6deamplitudeesecanteao elipside de revoluo.Figura 1 Reticulado de um hemisfrio na projeo Transversa de Mercator. Observa-se que somente a zona central do mapa esta relativamente livre de exageros em termos de distoro. Comaaplicaodeumfatordeescalaeaadoodevaloresparaascoordenadasdo meridianocentraldofusoedoequadordiferentes,almdavariaodaamplitudedofuso,IFG - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIAS E TECNOLOGIA DE GOISCartografia Geral Prof. Nilton Ricetti Xavier de Nazareno 85obtm-seprojeessimilaresaoUTM,porm,comdiferentesgrausdesecnciacomoaLTM (Local Transverso de Mercator) e RTM (Regional Transverso de Mercator)11.2-Transformao de coordenadas Geogrficas para TM AsexpressesgeraisquetransformamascoordenadasgeogrficasemTMso, segundo BLACHUT(1979) dadas por: x = B + a2l2 + a4l4 + a6l6 + ...y = a1l +a3l 3 + a5l5 + ...(1) onde : B - arco de meridiano entre o equador e o ponto de latitude o;l= 0 - longitude do ponto 0- longitude do meridiano central a1, a2, a3, a4, a5 coeficientes.O valor de B calculado por