Material Didtico de Estudo DISCIPLINA: CLCULO I Acadmico(a): __________________________________________ Turma: _________________________________________________ Eu nunca ensino aos meus alunos, apenas tento dar condies nas quais eles possam aprender. (Albert Einstein) 2008/1 Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 2Captulo 1: Funes 1.1 ANLISE GRFICA DAS FUNES 1.1.1 EXERCCIOS Abaixo esto representadas graficamente algumas funes. Analise cada uma dessas funes e responda s perguntas referentes a cada exerccio. 1.Aoacionarofreiodeumautomvel,adistnciaparaqueelepare,denominadaespaode frenagem. Este depende de vrios fatores, entre eles, a velocidade em que o carro se encontra quando o freio acionado. a)Quantos metros o automvel ainda dever percorrer quando freado a uma velocidade de 60 km/h? E a 80 km/h? E a 120 km/h? b)A que velocidade deve estar o veculo para que o espao de frenagem seja de 40 m? c)Quando aumentamos a velocidade de 80 para 120km/h, em quantos metros aumentar o espao de frenagem? 2.Umreservatrio,contendo500litrosdegua,dispedeumavlvulanasuaparteinferior.Um dispositivo foi utilizado para registrar o volume de gua a cada instante, a partir do momento em que a vlvulafoiaberta.Osvaloresobtidosduranteaoperaopermitiramconstruirogrficodovolumede gua (em litros) em funo do tempo (em minutos). a)Quais as variveis envolvidas? b)O volume de gua permaneceu constante no reservatrio? c)Aps 10 minutos, qual o volume de gua existente no reservatrio? d) Quantos minutos decorreram at que o volume da gua existente no reservatrio casse pela metade? Em quanto tempo o reservatrio foi esvaziado? e)Qual o significado do intercepto vertical? E do intercepto horizontal? 010203040506070800 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120Velocidade (km/h)Espao de frenagem (m)01002003004005000 5 10 15 20 25 30 35 40Tempo (min)Volume (litros)Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 33. Em Qumica e Fsica, estudamos os estados da matria. Um grfico representativo da temperatura, em oC, em funo do tempo, em minutos, de aquecimento da gua inicialmente a 20oC at a temperatura de 120oC :

Com os dados do grfico, responda: a)Qual o domnio da funo? b)Qual o conjunto imagem? c)Que trechos da funo so constantes? d)Paraqualintervalodetempoatemperaturamaiorquezero,ouseja,paraquevaloresdettemos a temperatura positiva? e)Para qual intervalo de tempo a temperatura menor que zero, ou seja, para que valores de t temos a temperatura negativa? 4. Sobtemperaturaconstante,ovolumedecertamassade gs funo dapressoaqueo mesmoest submetido, como se v no grfico abaixo: Observando o grfico, responda: a) Qual a varivel independente? b)O que significa o fato, do grfico, medida que avana para a direita, ir descendo? c) Qual a variao do volume deste gs quando alteramos a presso a que est submetido de 0,5 para 1 atmosfera? d)E de 2 para 2,5 atmosferas? 010203040500 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5Presso (atm)Volume (cm3)-40-200204060801001201400 5 10 15 20 25 30t (min)T (oC )Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 45.Umapeaesfricadedimetro5deao1035,comtemperatura1600F,foiresfriadaemguano agitada com temperatura 123F. As temperaturas foram lidas em 2 pontos da pea: e 2. abaixo de sua superfcie, conforme o grfico abaixo. Resfriamento: esfera de ao 1035020040060080010001200140016000 1 2 3 4 5 6 7Tempo (min)Temperatura (oF)Profundidade 1/2" Profundidade 2 1/2" a)qual a temperatura da pea quando medida a uma profundidade de abaixo de sua superfcie, aps 5 minutos de resfriamento? E profundidade de 2.? b)depois de quanto tempo de resfriamento a pea atinge a temperatura de 800F, profundidade de ? E profundidade de 2.? 6.Ogrficoabaixorepresentaatemperatura,em oC,emfunodotempo,emhoras,numadada experincia: Com os dados do grfico, responda: a)Qual o domnio da funo? b)Qual o conjunto imagem? c)Determine em quais momentos a temperatura igual a zero. d)Para qual intervalo de tempo a temperatura maior que zero. e)Para qual intervalo de tempo a temperatura menor que zero. -12,5-10-7,5-5-2,502,557,51012,51517,52022,5250 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Tempo (horas)Temperatura (oC)Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 5010203040506070800 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120Velocidade (km/h)Espao de frenagem (m) 1.2 DEFINIO DE FUNO No grfico ao lado, pode-se observar que o espao de frenagem representa uma grandeza varivel: ele pode ser de 10 metros ou de 30 metros (citando apenas dois exemplos). Avelocidadetambmoutragrandezavarivel,jqueo automvelpodeandaremdiversasvelocidades.Portanto,o espaodefrenagemeavelocidadesovariveis,masseus valoresnosoindependentesentresi.Oespaodefrenagem depende da velocidade do veculo ou, em outras palavras, para cada velocidade h um nico espao de frenagem. Assim,pode-seconsiderarasduasvariveisemquesto,uma assumindovaloresnumconjuntoA(Domnio)eaoutranum conjunto B (Contradomnio), de modo que o grfico retrate uma situao tal que cada elemento do conjunto A corresponda a um nico elemento do conjunto B. Matematicamente, a funo pode ser definida como um tipo especial de relao entre grandezas: Sejam A e B dois conjuntos no vazios e f uma relao de A em B. Essa relao f uma funo de AemBquandoacadaelementoxdoconjuntoAestassociadoum,eapenasum,elementoydo conjunto B. O conjunto A de valores que podem ser atribudos a x chamado domnio da funo e indica-se por D ou Df (sendo que a varivel x chamada varivel independente). Ovalordey,correspondenteadeterminadovaloratribudoax,chamadoimagemdexpela funo e representado por f(x). A varivel y chamada varivel dependente. OconjuntoIm,formadopelosvaloresqueyassumeemcorrespondnciaaosvaloresdex, chamado conjunto imagem da funo. Obs.: podemos representary = f(x). 1.2.1 NOTAO DE FUNO Para indicar que uma funo f tem domnio em A e contradomnio em B, usa-se: f : A B. (l-se: f de A em B). No exemplo apresentado acima, temos que: - Variveis envolvidas: - Domnio da funo:D = [ 0 , 120 ]ouD = { x | 0 x 120 } - Imagem da funo:Im = [ 0 , 70 ]ouIm = { y | 0 y 70 } independente (x) velocidade (km/h) dependente (y) espao de frenagem ( ) Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 61.2.2 GRFICO DE UMA FUNO (No Sistema Cartesiano Ortogonal) OSistemaCartesianoOrtogonal,tambmconhecidocomoPlanoCartesiano(2 ouE2)formadopor dois eixos reais, perpendiculares (ortogonais) entre si, gerando quatro regies denominadas quadrantes. O eixo x, tambm dito eixo das abscissas e o eixo y tambm dito eixo das ordenadas. Aintersecodoseixoscoordenadosdeterminaumpontonico,denominadoorigem(0,0).Cada ponto neste plano determinado por um par ordenado na forma (x , y), sendo que x e y formam as coordenadas de um ponto. Observaes: Todo ponto pertencente ao eixo das abscissas ter ordenada nula, ou seja, ser da forma: (x , 0). Todo ponto pertencente ao eixo das ordenadas ter abscissa nula, ou seja, ser da forma: (0 , y). Construindo um Grfico de Funo atravs da Frmula Matemtica Ogrfico,ouarepresentaogrficadeumafuno,umaformadeapresentarmosocomportamento deumfenmenonumaformavisual(geomtrica),oqueemmuitoscasos,facilitaacompreensodo fenmeno,possibilitandoperceberoseucomportamentodeumaformamaisampla.Paratanto, utilizaremososistemacartesianoortogonal,indicandoosvaloresdexeynosseuseixos correspondentes. Etapas para a construo de um grfico: Montarumatabela,atribuindovaloresparax(conformeoDomniodafuno)ecalculandoos respectivos valores de y; Marcar no plano cartesiano os pontos gerados pelos pares ordenados (x , y) encontrados na tabela; Ligar(ouno)ospontosmarcadosnoplanocartesianopormeiodeumacurva(deacordocoma funo e o domnio desta).

Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 71.3 FUNES ELEMENTARES 1.3.1 FUNO CONSTANTE 1.3.1.1 EXEMPLOS 1) Sob temperatura ambiente, variando de 16oC a54oC, o corpo humano capaz de manter indefinidamente, uma temperatura de 36,7 C. Esta funo, na faixa de temperatura mencionada, pode ser assim representada:| | 54 , 16 : fdefinida por f(x) = 36,7 05101520253035400 10 20 30 40 50 60Temperatura AmbienteTemperatura do Corpo Logo, nesta faixa de temperatura ambiente, tem-se uma funo constante.

2) Em um determinado ano, uma empresa em expanso contratou 100 funcionrios em maro e 100 em outubro.Emjaneirodestemesmoanoonmerodefuncionriosera200.Matematicamente,podemos equacionar esta situao como sendo uma funof : D com D = {meses do ano} definida por: Foisolicitadapelosetorderecursoshumanosdestafirmaumarepresentaovisual,demodoa relacionar os meses do ano com o nmero de funcionrios empregados (meses X funcionrios). Assim temos: Nmero de funcionrios

J F M A M J J A S O N DMeses do ano (200X) =} , , { , 400} , , , , , , { , 300} , { , 200) (dezembro novembro outubro x sesetembro agosto julho junho maio abril maro x sefevereiro janeiro x sex f200 300 400 Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 81.3.1.2 DEFINIO Umafunocujaleideassociaodotipof(x)=k(ouy=k),comkchamadadefuno constante, pois para qualquer valor atribudo varivel x, sua imagem y ser sempre a mesma, de valor k. Podemos acrescentar ainda, que se trata de uma funo que no crescente, nem decrescente, mas sim constante, pois o valor da funo (y) no cresce nem decresce, permanecendo o mesmo, ou seja, constante.Podemos observar que neste caso a taxa se variao nula. Lembre-se que: y = f(x). Graficamente, tem-se uma reta paralela ao eixo das abscissas, cortando o eixo das ordenadas no ponto (0 , k). Sek > 0: Sek = 0: Se k < 0: yyy k 0 x 0x 0 x

k 1.3.1.3 EXERCCIOS PROPOSTOS 1) Construa os grficos das funes dadas por: a) f(x) = 4 com D = d) y = 3 com D = [5 , 2 [ b) g(x) = 340 com D = +e) y = 0 com D = { x | 4 < x 3 } c) y = com D = f) h(x) = 51 com D = g) y = 7com D = { x | x < 6 } 2) Determine o conjunto imagem para cada uma das funes do exerccio anterior. 3)Emumacidade,odepartamentodeguadaprefeituradecidiufazerumaexperinciaepassoua cobrarascontasdeguadosconsumidorescompreosfixosparaintervalosdeconsumo.Assim,por exemplo, para qualquer consumo inferior a 20m3, a conta ser de R$ 18,50. Abaixo, voc pode ver a lei de formaoutilizadaparadeterminarovalorVdaconta,emreais,emfunodoconsumoc,em metros cbicos. < < =50 00 , 5950 20 50 , 4720 0 50 , 18) (c sec sec sec V Obs.: O consumo medido mensalmente. a) Construa o grfico no plano cartesiano V x c (valor da conta por consumo) determinando o D e Im. b) Quanto pagar um morador que consumir 20m3 de gua em um ms? E se consumir 36,4m3 num ms? c) Qual foi o consumo de uma casa cuja conta apresentou um valor de R$ 59,00?d) Quanto pagou um morador que supostamente no consumiu nenhuma quantidade de gua num ms? Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 94) Abaixo, pode-se ver parte de um grfico que mostra o valor y a ser pago (em reais) pelo uso de um determinado estacionamento por um perodo de x horas. Suponha que o padro observado no grfico no se altere quando x cresce. Nestas condies, pergunta-se: a) Quanto dever pagar uma pessoa, por utilizar o estacionamento durante meia hora?E durante duas horas? b) Quanto dever pagar algum que estacionar das 8h e 46min at as 11h e 50min? c) Quanto tempo ficou no estacionamento um carro se o proprietrio pagou R$ 8,00? d) Quanto pagar um indivduo que estacionar seu veculo das 22h de um dia at as 8h e 30min do dia seguinte? Respostas: 1a)1b)1c) 1d) 1e) 1f)1g) 2a) Im = { 4 }2b) Im ={ }340 2c) Im = { }2d) Im ={ } 3 2e) Im = { 0 } 2f) Im = { 51 } 2g) Im = { 7 } 3a) Valor conta (R$) 02050Consumo (m3) 3a) D = { c |c0 } e Im = { 18,50 ; 47,50 ; 59,00 } 3b) R$ 47,50eR$ 47,50 3c) c50 m3 3d) R$ 18,50 4a) R$ 2,00eR$ 3,50 4b) R$ 6,50 4c) { x | 4 < x 5 } 4d) R$ 17,00 y x0 40/3 y x 3 0 4 18,50 47,50 59,00 yx6 70y x51 0 y x 4 0 yx0yx 523 0R$ Horas6,5 5 3,5 2 012 3 4Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 10 1.3.2 FUNO DO 1. GRAU (ou Funo linear) 1.3.2.1 EXEMPLO Umapanelacomguatemperaturade15oClevadaaofogoeobserva-seque,acada1minuto,a temperaturasobe2oC.Deacordocomosdados,forneaalei(frmula)querepresentaoaumentode temperatura em funo do tempo.

Resoluo: Tempo inicial (to): 0 min Temperatura inicial (To) : 15o C Cada temperatura a temperatura inicial mais um acrscimo de 2oC por minuto. Logo, a lei que relaciona o aumento de temperatura em funo do tempo : T(t) = 15 + 2t ,sendo esta, a soluo do problema em questo. 1.3.2.2 DEFINIO So funes que tm taxa constante de crescimento ou decrescimento. Uma funo dita do 1. grau se sua inclinao, ou taxa de variao, a mesma em toda parte. E o fato da taxa de variao ser constante que faz de seu grfico uma reta. Logo, esta inclinao pode ser calculada com valores das funes em 2 pontos, m e n, usando a frmula: . ) ( var) ( ) (b e a entre x f de iao de mdia taxaa ba f b fxypercursosubidaInclinao === = Para uma funo no linear, a taxa de variao varia. Esta funo tem a forma y = ax + b, com a 0 e a e b R, com domnio e contra-domnio real. Seu grfico uma reta tal que: a a inclinao, ou taxa de variao de y com relao a x ou ainda, coeficiente angular da reta. O valor da abscissa onde o grfico corta o eixo x denomina-se raiz ou zero da funo, que pode ser determinado algebricamente fazendo f(x) = 0.b o intercepto vertical ou intercepto y, ou seja, o valor de y quando x zero. A raiz tambm conhecida como intercepto horizontal ou intercepto x. 1.3.2.3 FUNES CRESCENTES E DECRESCENTES Os termos crescente e decrescente podem ser aplicados a outras funes, no apenas s lineares. Qualquerfunocrescenteseosvaloresdey=f(x)crescemquandoxcresceedecrescenteseos valores de y= f (x) decrescem quando x cresce. Uma funo linear, y = ax + b, crescente quando a taxa de variao for positiva, ou seja, quandoa > 0. Uma funo linear, y = ax + b, decrescente quando a taxa de variao for negativa, ou seja, quando a < 0. Tempo (min)Temperatura (oC) 015 117 (17 = 15 + 2.1) 219 (19 = 15 + 2.2) 321 (21 = 15 + 2.3) Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 111.3.2.5 GRFICO Geometricamente, a funo polinomial do 1 grau representada por uma linha reta oblqua aos eixos coordenados, cortando o eixo das ordenadas no ponto (0 , b). Sea > 0 f(x) crescenteSe a < 0 f(x) decrescente yy f(x)f(x)

b b

x0 x 0x x 1.3.2.6 EXERCCIOS PROPOSTOS 1)Construa, no sistema cartesiano ortogonal, os grficos das funes dadas por: a) 4xy = d)3259+ = C Fg)x y =21j)x y 3 1+ = comD = { x x 0 } b)5 2 ) ( + = x x f e)3 ) ( + = x x f h)x y 3 = comD = [ 2, + [ c)0 3 2 = + + y xf)x x g = 1 ) ( i)2 2 ) ( + = x x h comD = [ 1, 2 [ 2) Construa, num mesmo sistema cartesiano ortogonal, os grficos das funes dadas por f(x) = x eg(x) = x. Respostas: 1a)1b)1c)1d) 1e) 1f) 1g) 1h)1i)1j)

2) Raiz ou zero da funo Raiz ou zero da funo y x 5 5/2 0 y x 4 1 0 yx033/2 y x 1/2 1/2 0 yx062yx 410 1FC 160/9 032 yx330 y x 3 3 3 f(x)g(x)4545 y x1 0 1 yx21 62Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 121.3.2.7 DETERMINAO DA FUNO DO 1 GRAU A PARTIR DO SEU GRFICO Relembrando: f(x) = ax + b, sendo: a coeficiente angular (declividade) e b coeficiente linear Calculando o coeficiente angular a atravs do grfico: Conhecendo o ngulo (inclinao) formado entre a reta r e o eixo x (no sentido anti-horrio), usa-se: tg a = Conhecendo dois pontos A(xA , yA)eB(xB , yB), pertencentes a reta r, usa-se:xytg a= =

x0xA xB r 1.3.2.8 EXEMPLOS 1) Uma barra de ao com temperatura inicial de 10C foi aquecida at 30C. O grfico abaixo representa a variao da temperatura da barra em funo do tempo gasto nesta experincia. Determine: a)a taxa de variao da temperatura em funo do tempo; b)a funo (frmula matemtica) que representa o fenmeno em questo; c)em quanto tempo, aps o incio da experincia, a temperatura da barra atingiu 0C; d)o Domnio e o conjunto Imagem desta situao. temperatura (C) 30 tempo (min) 5

- 10 Observaes: Variao da inclinao da reta de uma funo do 1 grau: < < 180 0 com 90 . Se = 0 a = 0,tem-se neste caso uma funo constante (reta paralela ao eixo x). n yB yA y xB A Raiz ou zero da funo yx Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 132)Ogrficoabaixorepresentaavariaodapressodaguadomaremfunodaprofundidade. Construa a funo que relaciona presso e profundidade Calcule a presso sofrida pelo mergulhador se estiveraumaprofundidadede35metros.Qualodomnioeaimagemdafunosabendoquea profundidade mxima do local de 35 metros? Presso (atm)

3 1 20 profundidade (m) 3) Umcerto encanador(A)cobrapor serviofeitoum valor fixo deR$60,00 mais R$ 10,00porhorade trabalho. Um outro encanador (B) cobra um valor fixo de R$ 40,00 mais R$ 15,00 por hora de trabalho.Determine a lei da funo que relaciona preo e tempo de servio para cada um dos encanadores. Faa o grfico das duas funes num mesmo plano cartesiano. Considerando o menor custo para a realizao de umtrabalho,analiseasvantagensedesvantagensdacontrataodosserviosdecadaumdos encanadores. 4) Analisando o grfico abaixo, determine: a) as funes f(x) e g(x); b) as razes de f(x) e g(x); c) as coordenadas do ponto P (interseco das retas). 5) Determine a funo geradora do grfico abaixo: 3 212 5 g(x) f(x)y x 0 P y x3 1 9 2 0 Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 141.3.2.9 EXERCCIOS PROPOSTOS 1)Duasoperadorasdetelefoniacelularapresentamplanossimilaresparaseususurios.Oplanoda operadoraVtemumamensalidadenovalordeR$25,00eumatarifadeR$0,70porminutoem ligaeslocais.OplanodaoperadoraTtemcustodeR$0,50porminutoparaligaeslocaiseuma mensalidadenovalordeR$30,00.Utilizandoseusconhecimentossobrefunopolinomialdo1grau, determinealeidafunoquerelacionapreoetempodeligaoparacadaumdosoperadoras,faao grficodasduasfunesnummesmoplanocartesianoeanaliseasvantagensedesvantagensdecada uma das operadoras. 2) Determine a funo geradora de cada um dos grficos a seguir. a) b)c)

3) O valor total cobrado por um eletricista inclui uma parte fixa correspondente visita e outra varivel correspondentequantidadedefiorequeridapeloservio.Ogrficoabaixorepresentaovalordo servioefetuadoemfunodametragemdefiousadanoservio.Construaaleidafunoque determina a presso em funo da quantidade de fio e determine quanto cobrar o eletricista se usar 18 metros de fio para executar o servio? Preo (R$) 72 6 1420metros 4) Um fabricante vende um produto por R$ 2,00 a unidade. O custo total do produto consiste numa taxa fixa de R$ 120,00 mais o custo de produo de R$ 0,40 por unidade. a) Qual a funo matemtica que expressa o lucro em funo das peas vendidas? b) Qual o grfico desta funo? c) Se vender 200 unidades desse produto, qual ser o lucro? d)Qual o nmero de unidades que o fabricante deve vender para no ter lucro nem prejuzo?

5) Observando o grfico ao lado, determine as equaes dasretas (funes); as coordenadas do ponto P e os zeros das funes. y x 4 2 0 y x3 2 2 0 yx062xy P 2 42fg 2 1 Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 156) O grfico ao lado apresenta uma situao de frenagem, onde a velocidade do veculo varia em funo do tempo. Sendo assim, responda: a) Qual a taxa de variao da velocidade em funo do tempo? b) Qual a velocidade do veculo no instante 3s? c) O que acontece com o veculo aps 5s de frenagem?d) Qual o Domnio e o Conjunto Imagem do problema? Nota: Para se ter uma melhor noo da velocidade (neste caso), podemos convert-la de m/s para km/h, que a unidade mais utilizada em nosso cotidiano. Para isto, basta multiplicar o valor da velocidade em m/s por 3,6 que teremos o resultado em km/h. 7)O valor de uma mquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale 10.000 dlares, e daqui 5 anos, 1.000 dlares, qual ser seu valor em 3 anos? 8)Uma companhia tem funo de custo( ) 4000 2 C q q = + e funo receita( ) 10 R q q = . a)Qual o custo fixo da companhia. b)Qual o custo varivel por unidade? c)Que preo a companhia est pedindo por seu produto? d) Faa os grficos de R(q) e C(q) no mesmo plano cartesiano.e)Ache o ponto de equilbrio. f)Faa a anlise econmica da situao. 9)Uma fbrica que produz quebra-cabeas tem custo fixo de R$6000 e custo varivel de R$2 por jogo. A companhia vende os jogos a R$5 cada. a)Ache as funes custo, receita e lucro. b)Esboce os grficos das funes receita e custo no mesmo plano cartesiano. c)Esboce o grfico da funo lucro. d)Ache o ponto crtico. e)Analise a situao econmica da fbrica. 10)Grficos das funes custo e receita para uma empresa so dados abaixo. a) Aproximadamente, que quantidade a empresa deve produzir para ter lucro? b) Avalie o lucro se a empresa produzir 600 unidades. c) O que representa o ponto onde as funes receita e custo se interceptam? v (m/s)t (s) 0 5 20025050075010001250150017502000225025000 100 200 300 400 500 600receitacustoClculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 1611) Considerando as funes f(x) = 8 xeg(x) = 3x, determine: a) as razes das funes f e g dadas;b) as coordenadas do ponto P, que representa a interseo das retas em questo; c) qual a classificao [crescente ou decrescente] para cada uma das funes. 12) Dada as equaes2x y 1 = 0ex y = 2 , determine:a) O ponto de interseco das retas; b) Os pontos de encontro das retas com os eixos coordenados. c)Construa o grfico das duas retas no mesmo plano cartesiano. Respostas: 1) 2a) 5452xy + = 2b) y = 2x + 42c) y = 3x 3) y = 2 x + 32, R$ 68,00

4a) L = 1,6x 1204b) Grfico4c) R$ 200,004d) 75 unidades 5) f(x) = 2 x21+e g(x) =223x /P(4 , 4) raiz de f(x):x = 4, raiz de g(x):x = 34 6a) 4 m/s2 (que o coef. angular) 6b) 8 m/s6c) Sua velocidade torna-se zero, ou seja, o veculo pra. 6d) D = { t | 0t5 } e Im = { v | 0v20 }7) 4.600 dlares 8a)4000 8b) 28c)108d)grfico 8e)500 9a)C = 6000 +2q ; R = 5q ; L= 3q - 60009) b,c) grficos 9d)2000 10a)acima de 300 unidades10b) 75010c)ponto de equilbrio 11a) raiz de f(x):x = 8,raiz de g(x):x = 011b) P(2 , 6)11c) f(x) decrescenteeg(x) crescente. 12 a) (1, 3)12 b) (1/2 , 0) e (0 , 1) / (2 , 0) e (0 , 2) V(x) = 0,7x + 25 T(x) = 0,5x + 30 Resposta:d R$ min25 42,50 0 30,00 25,00 V T Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 171.3.3 FUNO DO 2 GRAU (ou quadrtica) 1.3.3.2 DEFINIO Funo Polinomial do 2 grau toda funo definida pela leif(x) = ax2 + bx + c, com a R*, b Rec R. Exemplos: Na funo7 x 4 x ) x ( f2+ = temos:a = 1,b = 4 e c= 7. Na funox 5 1 x 2 ) x ( g2+ =temos:a = 2,b = 5 e c= 1. Na funox 3 x ) x ( h2+ = temos:a = 1,b = 3 e c= 0. Na funo9 x ) x ( P2 = temos:a = 1,b = 0 e c= 9. Na funo 2x y =temos:a = 1,b = 0 e c= 0. Graficamente,afunopolinomialdo2graurepresentadaporumafiguraabertaeinfinita denominada parbola. Particularidades: O grfico de uma funo de 2o grau uma parbola com eixo de simetria paralelo ao eixo y.Se o coeficiente de x2 for positivo (a > 0), a parbola tem a concavidade voltada para cima.Se a < 0, a parbola tem a concavidade voltada para baixo. A interseco do eixo de simetria com a parbola determina um ponto chamado vrtice (V). Se a parbola interceptar o eixo x, ento a interseco define as razesx1ex2da funo [paraisto, faz-se f(x) = 0]. A parbola intercepta o eixo das ordenadas (y) no ponto (0 , c) [para isto, faz-se x = 0]. Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 18No esquema abaixo, caracterizamos as diversas possibilidades grficas:

As Coordenadas do Vrtice da Parbola e o Conjunto Imagem da Funo Quadrtica: V(ponto demximo)

Quando a > 0, a parbola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mnimo: V(xV , yV).O valor mnimo o yV e seu conjunto Imagem Im = { y R | yyV }. Quando a < 0, a parbola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de mximo: V(xV , yV). O valor mximo yV e seu conjunto Imagem Im = { y R | yyV }. As coordenadas do vrtice V so( )V Vy x , , podendo ser calculadas atravs de: abxV2 =e ayV4 =. = b2 4ac > 0 a parbola intercepta o eixo x em dois pontos distintos. = b2 4ac = 0 a parbola intercepta o eixo x em um nico ponto. = b2 4ac < 0 a parbola no intercepta o eixo x. a > 0 valor mnimoyV V (ponto de mnimo) xV a < 0 xV valor mximoyV c c c c cx1 x2 x1= x2= xVx1 x2 VV a > 0 x1 , x2 c x1 , x2 x1= x2= xVa < 0 VV V V Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 191.3.3.3 EXEMPLOS 1. Construir a representao grfica da funo y = x2 - 5x + 6. a)Concavidade para cima pois a > 0. b)Razes da funo (fazer y = 0): x2 - 5x + 6 = 0(a = 1, b = -5 , c = 6) ac 4 b 2 = = (-5)2 4.(1).(6) = 1 d)Coordenadas do vrtice

41) 1 .( 41425) 1 .( 2) 5 (2= = == = =v v vv v vy yayx xabx 2 321 521 521 5) 1 .( 21 ) 5 (22 12 1= ==+= = = =x e xx e x xxabx c) Intercepto y (ponto onde a parbola corta o eixo y): Fazendo x = 0 temos que a parbola corta o eixo yem(0,c)logoestafunointerceptaoeixoy em (0, 6) e)Grfico: -5051015-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 2. Construir a representao grfica da funo y = -x2 + 7x - 10. a) Concavidade para baixo pois a < 0. b)Razes da funo (fazer y = 0): -x2 + 7x - 10 = 0(a = -1, b = 7, c = -10) = (7)2 4.(-1).(-10) = 9 d) Coordenadas do vrtice 4949 -) 1 .( 49 -4-2727) 1 .( 2) 7 ( -2-= ==== == =v vv vyayxabx 5 x e 2 x 23 7x e23 7x 23 7x1 29 7 -x2 12 1= = = + = ==) .() ( c) Intercepto y (ponto onde a parbola corta o eixo y): Fazendo x = 0 temos que a parbola corta o eixo yem(0,c),logoestafunointerceptaoeixoy em (0, -10) e) grfico -20-15-10-50510-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 203. Construir a representao grfica da funo y = -x2 + 3x - 10. 4. Construir a representao grfica da funo y = x2 - 2x + 1. a)Concavidade para cima pois a > 0. b)Razes da funo (fazer y = 0): x2 - 2x + 1 = 0(a =1, b = -2, c = 1) ac 4 b 2 = = (-2)2 4.(1).(1) = 0 1120 - 2120 220 2) 1 .( 20 ) 2 ( -2-2 12 1= == = =+== = =x xx e x xxabx c)Interceptoy(pontoondeaparbolacortao eixo y): Fazendox=0temosqueaparbolacorta oeixoyem(0,c)logoestafuno intercepta o eixo y em (0, 1) d) Coordenadas do vrtice 0) 1 .( 404-122) 1 .( 2) 2 ( -2-= === == =v vv vyayxabx e) Grfico: -5051015-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 a)Concavidade para baixo pois a < 0. b)Razes da funo (fazer y = 0): -x2 + 3x - 10 = 0(a= -1, b = 3, c = -10) ac b 42 = = (3)2 4.(-1).(-10) = -31 d)Coordenadas do vrtice

431431) 1 .( 4(-31) -4-232 -3 -) 1 .( 2) 3 ( -2- = ==== =+= =v vv vyayxabx Portanto essa equao no tem razes. c)Interceptoy(pontoondeaparbolacortao eixo y): Fazendox=0temosqueaparbolacortao eixo y em (0,c),logo esta funo intercepta o eixo y em (0, -10) e) Grfico: -30-25-20-15-10-505-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 215.Umobjetolanadoverticalmente,dosoloparacima,temposiesnodecorrerdotempodadaspela funo horria s=40t 5t2 ( t em segundos e s em metros). Esboce o grfico que esta funo descreve. Qual a altura mxima atingida?Em quanto tempo? 6.Ocentrodegravidadedeumgolfinhosaltadordescreveumaparbolaconformeodesenho.Sendo assim, determine a altura mxima atingida pelo mesmo. Resoluo: Neste exemplo, temos a trajetria do golfinho dada por uma parbola do tipo y = ax2 + bx + c. De acordo com a figura acima, percebemos que o golfinho passa pelos pontos (0 ; 0), (1,0 ; 2,4) e (3,5 ; 1,4). Como o golfinho sai da origem, ou seja, do ponto (0 ; 0), o valor de c igual a zero. Sendo assim ficamos comduasincgnitas,aeb.Comospontosdadosmontamosumsistemadeduasequaeseduas incgnitas: + =+ =b ab a5 , 3 25 , 12 4 , 14 , 2 Isolando o valor de a na primeira equao temos a = 2,4 b. Substituindo este valor na segunda equao obtemos: ( )2 , 375 , 8 285 , 3 25 , 12 4 , 29 4 , 15 , 3 4 , 2 25 , 12 4 , 1= = + =+ =bbb bb b Se b = 3,2ea = 2,4 b, ento8 , 02 , 3 4 , 2 = =aa Assim: x x y 2 , 3 8 , 02+ =Agora podemos calcular a altura mxima atingida pelo golfinho. ( )( )metros 2 , 38 , 0 4) 2 , 3 (444yy mxima altura2 2vv= = = ==a ac ba a) 01020304050607080900 1 2 3 4 5 6 7 8 9tempo (segundos)posio (metros) b)Aalturamximaatingidaporesteobjeto exatamenteacoordenadadopontochamado vrtice. Logo, basta calcular yv. 80) 5 .( 41600 -1600 ) 0 ).( 5 .( 4 - ) 40 (. . 4 - ,4-22= = = = = =v vvy yc a bay logo a altura mxima 80 metros. O tempo gasto para se atingir a altura mxima a abscissa do vrtice. Logo basta calcular xv. , 4) 5 .( 240. 2== =v v vx xabxlogo o tempo de 4 segundos. Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 221.3.3.4 EXERCCIOS PROPOSTOS 1) Construa o grfico das funes abaixo, determinando o valor mximo (ou mnimo) e o conjunto imagem para cada item. 12x 3x f(x)16 8x x g(x) 2 5x 2x g(x)x f(x) 9 x f(x)22 22 2+ = = + == =c)e) b)d) a) 2 2)OcustodiriodeproduodeumaindstriadeaparelhostelefnicosdadoporC(x)=x286x+ 2500, onde C(x) o custo em dlares e x o nmero de unidades fabricadas. Quantos aparelhos devem ser produzidos diariamente para que o custo seja mnimo? 3) Um foguete experimental disparado do topo de uma colina,tocaaextremidadesuperiordeumarvore,sem mudarsuatrajetriaeatingeosolo,conformeafigura a seguir. Determine a altura mxima atingida. 4)Certodia,numapraia,atemperaturaatingiuoseu valormximos 14h. Suponhamos que,nestedia,atemperatura f(t)em grausCelsiusera umafuno do tempo t, medido em horas, dada por f(t) = t2 + bt 160, quando8 t20. Obtenha: a) o valor de b; b) a temperatura mxima atingida nesse dia; c) o grfico de f. 5) Duas plantas de mesma espcie A e B, que nasceram no mesmo dia, foram tratadas desde o incio com adubos diferentes. Um botnico mediu todos os dias o crescimento (em centmetros) destas plantas. Aps 10 dias de observao, ele notou que o grfico que representa o crescimento da planta A uma reta que passa por (2 , 3) e o que representa o crescimento da planta B pode ser descrito pela funo 12242x xy= . Um esquema desta situao est apresentado ao lado. Calcule: a) a lei que descreve o crescimento da planta A; b) o dia em que as plantas A e B atingiram a mesma altura e qual foi essa altura. Planta APlanta BTempo x (dias)Altura y (cm) 2 3 0 Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 236) Qual a funo geradora da prabolaabaixo? 7) Sabendo-se que uma curva que representa uma funo de segundo grau passa pelos pontos (-3, 1), (1, 1) e(0, 6), determine a lei desta funo. 8)Sabe-se que o lucro total L de uma empresa dado pela frmulaL = R C, em que, R a receita total e C o custo total da produo (em reais). Numa certa empresa que produziu p unidades em determinadoperodo,verificou-sequeR(p)=1000pp2eC(p)=300+40p+p2.Nestascondies, determine: a) a funo L(p); b) a produo p para que o lucro da empresa seja o mximo possvel para esta situao; c) o lucro mximo;d) o lucro obtido para uma produo de 300 unidades. 9)Sabe-se que o lucro total de uma empresa dado pela frmula L = R C, em que L o lucro total, R a receita total e C o custo total de produo. Numa empresa que produziu x unidades, verificou-se que R(x)=600xx2eC(x)=x2+2000.Nessascondies,qualdeveseraproduoxparaqueolucroda empresa seja mximo? -20-15-10-50510-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 24Respostas: 1. a) b)

c) d)

3 x y - 9 3 Valor mnimo = - 9 Ponto de mnimo (0,- 9) Im = { y | y - 9 }x 1/22 y 2

-9/8

5/4 Valor mnimo = - 9/8 Ponto de mnimo (5/4,- 9/8) Im = { y | y - 9/8 }x2 4 12 y 0 V Valor mximo = 12 Ponto de mximo (2, 12) Im = { y | y 12 }x 82y 1 1 2 2 Valor mnimo = 0 Ponto de mnimo (0,0) Im = { y | y 0 }Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 25 e)

x 16 8y 4 0 V Valor mximo = 0 Ponto de mximo ( 4, 0) Im = { y | y 0 } 2) 43 aparelhos 3) 29,3 m4a) b = 284b) temper. mxima = 36 C (YV) 4c)tempo (h)81420 36 temperatura (C) 0 V 5 a) y = 3x/2 b) atingiram a mesma altura, de 9 cm, no 6 dia 6) y= -x2+7x-10 7) y = (-5/3) x2- (10/3) x+6 8.a) L(p) = 2p2 + 960p 300; b) p = 240; c) 114.900; d) 107.700 9) 150

Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 261.3.4 FUNO EXPONENCIAL E FUNO LOGARTMICA 1. Em uma experincia sobre deteriorao de alimentos, constatou-se que a populao de um certo tipo de bactrias dobrava a cada hora. Se no instante que comearam as observaes havia 50 bactrias, qual a populao de bactrias aps 4 horas? Resoluo: No instante inicial : 50 bactrias Aps 1 hora ser: 50 . 2 Aps 2 horas ser:50 . 2. 2 = 50 . 22 Aps 3 horas ser:50 . 22. 2 = 50 . 23 Aps 4 horas ser:50 . 23. 2 = 50 . 24 , logo, teremos 800 bactrias depois de 4 horas. Enfim, para cada hora x que se escolha h um nmero y de bactrias. O valor de y, portanto, uma funo de x, e a lei que expressa y em funo de x y = 50 . 2x, que um caso particular de funo exponencial. 2. Considere os dados da tabela a seguir, que mostram o crescimento de uma populao (em milhares) de bactrias. Qual a equao que descreve esse crescimento populacional de bactrias? Esboce o grfico. Resoluo: Osdadosdatabelaacimamostramocrescimentodeumapopulao(emmilhares)debactrias inoculadasemummeiodecultura.Paraavaliarcomoapopulaoestaumentando,observa-seseu crescimentoacadageraonosdadosdaterceiracoluna.Seapopulaoestivessecrescendo linearmente, todos os nmeros na terceira coluna seriam iguais. Tambm, podem-se analisar a segunda e aterceiravariaesparaconcluirqueestasnotendemaseestabilizar.Assim,estecrescimento populacionalnopodeserdescritoporpolinmios.Defato,populaesemgeralcrescemmuito rapidamente,poisacadageraosomaisindivduosparasereproduzir,oquejustificaofatodeos valores da terceira coluna serem sempre crescentes. Dividindo a populao de cada gerao pela da gerao anterior, obtm-se: 3 , 11401820 gerao da populao1 gerao da populao= =3 , 11826 , 2361 gerao da populao2 gerao da populao= = x (gerao) P(x) (milhares) 0140 1182 2236,6 3307,58 4399,854 5519,81 6675,753 Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 27Efetuandoosmesmosclculosparaosoutrosdados,ter-se-tambmovalor1,3.Considerando-sexo nmero de geraes, a populao pode ser escrita da seguinte maneira: ( )xx P 3 , 1 140 ) ( = ou seja, quando x = 0, a populao = 140 =( )03 , 1 140 ; quando x = 1, a populao = 182 =( )13 , 1 140 ; quando x = 2, a populao = 236,6 =( )23 , 1 140 ; quando x = 3, a populao = 307,58 =( )33 , 1 140 ; Estaumafunoexponencialcombase1,3,assimchamadaporqueavarivelxestnoexpoente.A base representa um fator de crescimento pelo qual a populao muda a cada gerao. Considerando r a taxa percentual, diz-se neste caso que a taxa de crescimento r = 30% = 0,3. Se a equao for vlida para as prximas 10 geraes, a populao ser( ) 02 , 1930 3 , 1 140 ) 10 (10= = P . Graficamente, tem-se: Populao de Bactrias050010001500200025000 2 4 6 8 10 12xP(x) P(x) uma funo crescente, pois os valores aumentam para valores crescentes de x. Note tambm que a populao cresce mais rpido quanto maior o nmero de geraes. Este comportamento prprio das funes exponenciais. Emboraogrficosejaumalinhacheia,isto,contnua,elemostraapenasumaboaaproximaoda realidade, pois sabe-se que no h frao de populao. Parareconhecerqueosdadosdeumatabeladescrevemumafunoexponencial,bastaobservarseas razes do um fator constante. Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 281.3.4.1 DEFINIO Toda funo f: definida por f(x) = y0. ax , com a , a > 0 e a 1 ex denominada funo exponencial de base a. Propriedades: Sea > 1a funof(x) = y0. axser crescente. Exemplos: f(x) = 2x,g(x) =( )x23

Se0 < a < 1a funof(x) = y0. axser decrescente . Exemplos: f(x) =( )x21,g(x) = (0,3)x Sendoafunof(x)=ax,definidaanteriormente,temosquexR,encontraremosax>0.Como todos os valores de y sero positivos, o grfico se localizar totalmente acima do eixo x, concluindo-se ento que o conjunto imagem da funo serdado porIm = { y R / y > 0 } ou ainda, de forma mais breve:Im = R+. Decorrente do item anterior teremos, coincidente com o eixo das abscissas, uma assntota horizontal. 1.3.4.2 GRFICOS Exemplo 1: y = 2x

Exemplo 2: y = (1/2)x Xy -30,125 -20,25 -10,5 01 12 24 38 xy -38 -24 -12 01 10,5 20,25 30,125 y =(1/2)x0123456789-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4xy

y = 2x0123456789-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4xy Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 291.3.4.3 EXERCCIOS PROPOSTOS 1) Construa cada dupla de grficos das funes abaixo no mesmo sistema cartesiano ortogonal. a) xx f 3 ) ( = e ( )xx g31) ( = b) 12 ) (+=xx f e 1 2 ) ( + =xx g 2)Construaogrficodasfunesabaixo,determinandooconjuntoimagemerepresentando tambm as respectivas assntotas. a)1 2 ) ( =xx f b)2 2 + =xyc) 13 ) (=xx g d) 23 ) (=xx h e) xx f22 ) ( = f) xx g231) ( |.|

\|=g) xy|.|

\|=31 1.3.4.4 LOGARITMAO Resolver as seguintes equaes exponenciais: a) 2x 512 = 0 b) 3 . 4x+1 = 96c) 3x = 2 Utilizandosomenteosconceitosusuaisdeequaesexponenciais,nopoderemossolucionara equaodoitemc.Parachegarmossoluodareferidaequaoprecisaremosconheceros logaritmos. Matematicamente, podemos escrever um nmero de vrias formas: O nmero 43 pode ser escrito na forma) 25 , 0 .( 3413 = . Observequenaforma1forma,afraopodeserconsideradaumadivisoena2forma,a operao utilizada a multiplicao. Podemos trocar a operao de um nmero sem alterar o seu valor. Utilizando um raciocnio similar, podemos transformar as equaes: 2 3 =x x = 2 log3 forma exponencialforma logartmica Desta maneira, temos a definio da operao logaritmao: bxa x ba= = log >>x1 a e 0 a0 bcom baselogaritmando ou antilogaritmo Logaritmo Simbolo da operao ExpoenteBase baselogaritmando ou antilogaritmo Logaritmo Smbolo da operao ExpoenteBaseClculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 30Atravs da definio podemos observar que o logaritmo um expoente. Assim sendo... 8 23= 3 8 log2= 32 25= 5 32 log2= 81 3 =xx = 81 log3 Neste ltimo caso, resolvendo o logaritmo, temos que:x = 81 log3 81 3 =x

43 3 =x 4 = x4 81 log3= Logaritmo decimal (base 10) 2 100 log 100 log10= = Logaritmo natural ou neperiano (basee ) 0 1 log 1 ln = =e e = 2,7182818284... (nmero de Euler ou Neperiano) Propriedades Importantes dos Logaritmos: c b c ba a= = log log b n bnlog . log = c a c ab b blog log ) . ( log + =c acab b blog log log =|.|

\| Mudana de Base: Para mudarmos a base a de um logaritmo, para uma base c de livre escolha (c > 0ec 1), utilizamos a frmula: abbccalogloglog = 1.3.4.5 EXERCCIOS PROPOSTOS 1)CurvadeAprendizagemumconceitocriadoporpsiclogosqueconstataramarelao existenteentreaeficinciadeumindivduoeaquantidadedetreinamentoouexperincia possudaporesteindivduo.UmexemplodeCurvadeAprendizagemdadopelaexpresso te Q5 , 0300 700 = , em que:Q = quantidade de peas produzidas mensalmente por um funcionrio; t = meses de experincia; a) De acordo com essa expresso, quantas peas um funcionrio com 1 ms de experincia dever produzir mensalmente? b)Eumfuncionriosemqualquerexperincia,quantaspeasdeverproduzirmensalmente? Compare esse resultado com o resultado do item a. H coerncia entre eles? c) Construa o grfico Q X t Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 312)A produo de uma pea numa empresa expressa pela funo y = 100 100.e-0,2d, onde y o nmero de peas e d o nmero de dias. A produo de 87 peas ser alcanada em quantos dias? Esboce o grfico que representa esta funo. 3)Umaimobiliriaacreditaqueovalorvdeumimvelnolitoralvariasegundoaleiv(t)= 50.000(0,9)t, em que t o nmero de anos contados a partir de hoje. a) Qual o valor atual desse imvel? b) Qual a desvalorizao percentual anual desse imvel? c) Quanto valer esse imvel daqui a 2 anos? d) Daqui a quantos anos o imvel valer R$ 29.524,50? 4)Aexpresso tk t P05 , 02 ) ( = forneceonmeroPdemilharesdehabitantesdeumacidade, emfunodotempot,emanos.Seem1990essacidadetinha300.000habitantes,quantos habitantes, aproximadamente, ela possua no ano 2000? 5)Umcorpocomtemperaturade200oCexpostoaoareaps30segundossuatemperatura atinge 120oC. Sabendo que seu resfriamento obedece a funo: T = c.ekt + Ta Onde: T temperatura; t tempo; c, k constantes; Ta 20oC. a)Determinar a temperatura aps 1 hora. b)Determinar o tempo necessrio para atingir 40oC. 6)Sabe-se que a populao de bactrias em uma cultura pode ser modelada pela funo p = c.ekt, ondeprepresentaonmerodebactriasetotempo.Sabe-sequeem8horasdeculturaa populaoerade1200bactrias,istoparaumapopulaoinicialde250bactrias.Determinea populao para 1 dia e 2 dias. 7)Umestudorevelou que a populaodepeixesde umlagoestcrescendo taxade 25% ao ano.Issosignificaqueapopulaodepeixesemumdeterminadoano1,25vezmaiorquea populao do ano anterior. Atualmente, essa populao est estimada em 1.000 peixes. a)Obtenha a lei que define o nmero de peixes n nesse lago daqui a t anos. b)Qual ser a populao de peixes daqui a 1 ano? E daqui a 3 anos? c) Esboce o grfico dessa funo. 8)Uma maionese mal conservada causou mal-estar nos freqentadores de um restaurante. Uma investigaorevelouapresenadabactriasalmonela,quesemultiplicasegundoalei: att n 2 200 ) ( = ,emquen(t)onmerodebactriasencontradasnaamostrademaioneset horas aps o incio do almoo e a uma constante real. a)Determine o nmero inicial de bactrias. b)Sabendo que aps 3 horas do incio do almoo o nmero de bactrias era de 800, determine o valor da constante a. c)Determine o nmero de bactrias aps 1 dia da realizao do almoo. 9)Segundodadosdeumapesquisa,apopulaodecertaregiodopasvemdecrescendoem relao ao tempo t, contado em anos, aproximadamente, segundo a relao: tP t P25 , 04 ) 0 ( ) ( = . SendoP(0)umaconstantequerepresentaapopulaoinicialdessaregioeP(t)apopulaot anos aps, determine quantos anos se passaro para que essa populao fique reduzida metade. 10)Considerando-seastaxasdenatalidadeemortalidade,apopulaodacidadeAapresenta crescimentode5%aoano,eapopulaodacidadeBaumenta,acadaano,1.500habitantesem relaoaoanoanterior.Em1990,apopulaodacidadeAerade200.000habitantesea populao da cidade B era de 220.000 habitantes. a)Obtenha a lei que representa a populao P de cada uma das duas cidades em t anos, a partir de 1990. b)Fornea a populao de A e de B em 2003. c)Faaumesboodosgrficosquerepresentamasleisobtidasnoitemanomesmoplano cartesiano. Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 32 11)Noprimeirodiatilde2003(dataqueserchamadadedata-base),uminvestidortemo saldo de R$ 15.000,00 numa aplicao financeira (estamos supondo que os rendimentos do ltimo perodo que antecedeu data-base j tenham sido creditados). Durante os prximos meses, so pagos a esse investidor rendimentos a uma taxa de 15% ao ms. Supondo que a partir da data-base no foram feitos nem depsitos nem retiradas, calcule o saldo dessa conta com relao data-base, aps: a)1 ms; b)2 meses; c) 3 meses; d) 12 meses; e) n meses (n inteiro, n 0). 12)SuponhaquevocdepositeR$1000numacontaquerendejuroscujataxa2%aomse acumuleessejuroaoseucapitalinicialmensalmente.Quantovocteraps6mesesde aplicao? 13) O grfico abaixo gerado pela funo y = c.ekx + 10. Determinar: a)o valor de y para x = 30b)o valor de x para y = 12

y 50

20

10x Respostas: 1) a) 518 peas; b) 400 peas 2) 10,2 dias 3) a) R$ 50.000,00; b) 10%; c) R$ 40.500,00; d) 5 anos 4) 424.264 habitantes 5) a) T = 20oC; b) t 112 segundos 6) P(24) = 27.647 bactrias e P(48) = 3.057.647 bactrias 7) a) n = 1000(1,25)t;b)1250 peixes; 1953 peixes; c) Grfico 8) a) 200 bactrias; b) a = 2/3; c) 13.107.200 bactrias 9) 2 anos 10)a) PA =200.000 (1,05)t e PB =220.000 + 1500t; b) PA = 377.129 habitantes e PB = 239.500 habitantes; c) Grfico 11)a) R$ 17.250,00; b) R$ 19.837,50; c) R$ 22.813,13; d) R$ 80.253,75; e) saldo = 15.000 (1,15)n 12)R$ 1126,16 13)a) y = 10,6255b) x = 21,6142 Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 331.3.5 FUNES TRIGONOMTRICAS 1.3.5.1 RAZES TRIGONOMTRICAS NO TRINGULO RETNGULO Considerando o tringulo retngulo da figura:

Teorema de Pitgoras:a hipotenusa ao quadrado igual a soma dos quadrados dos catetos(2 2 2c b a + = ) Obs. a hipotenusa sempre o maior lado do tringulo retngulo. Para um ngulo agudo de um tringulo retngulo, define-se: Senodeumnguloarazoentreamedidadocatetoopostoaessenguloeamedidada hipotenusa. Cosseno de um ngulo a razo entre a medida do cateto adjacente a esse ngulo e a medida da hipotenusa. Tangentedeumnguloarazoentreamedidadocatetoopostoaessenguloeamedidado cateto adjacente a esse ngulo. 1.3.5.2 CICLO TRIGONOMTRICO Denomina-seciclotrigonomtricoumacircunfernciaderaiounitrio,fixadaemumplano cartesiano,decentroO,sobreaqualmarcamosumpontoA(origem),eadotamoscomosentido positivo de percurso o sentido anti-horrio. abBsen =acBcos =cbBtg =acCsen =abCcos =bcCtg =cateto hipotenusa catetob

c a

A CB B C D A y r = 1 x + _ O Os pontos A(1, 0); B(0,1); C(-1, 0) e D(0, -1) pertencem a circunfernciaeadividemem4partesiguais denominadas quadrantes. Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 341.3.5.3 SENO, COSSENO E TANGENTE NO CICLO TRIGONOMTRICO TABELAS DOS VALORES NOTVEIS

Observaes: Relao Fundamental entre o seno e o cosseno:sen2 x + cos2 x = 1 x cossenx= x tg 1.3.5.4 FUNES SENO, COSSENO E TANGENTE a.Funo seno a funo que faz corresponder a cada nmero real x o nmero y = sen x. b.Funo Cosseno a funo que faz corresponder a cada nmero real x o nmero y = cos x. c.Funo Tangente a funo que faz corresponder a cada nmero real x, x /2 + k, onde k Z, o nmero y = tg x. Funo Seno e Funo Cosseno: Domnio: D = R Conjunto Imagem: Im = [-1,1] 30o (/6) 45o (/4) 60o (/3) seno 21 22 23 cosseno 23 22 21 tangente 33 1 3 0o (0 rad) 90o (/2 rad) 180o (rad) 270o (3/2 rad) 360o (2rad) seno 0 1 0 -1 0 cosseno 1 0 -1 0 1 tangente 0 / 0 / 0 sen /2 0 1 232221212223 1 /4 /3 /6 cos Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 351.3.5.5 GRFICOS 1. SENO Funo Seno-1,5-1-0,500,511,5xy 2. COSSENO

Funo Cosseno-1,5-1-0,500,511,5xy 1.3.5.6PROPRIEDADES DAS FUNES SENO E COSSENO a. Funo Limitada Estas funes so limitadas pois : -1 sen x 1e-1 cos x 1, para todo x real. b. Amplitude Amplitude a metade da diferena entre os valores mximo e mnimo de uma funo. Os valores mximo e mnimo das funes seno e cosseno so 1 e 1, assim a amplitude de ambas as funes 1. c.Funo Peridica Perodo: o tempo para que a funo execute um ciclo completo. Ogrficodafunosenoetambmodafunocosseno,percorreumciclocompletode0a2, todo o resto do grfico s uma repetio deste pedao. Portanto o perodo destas 2 funes p = 2. xy 00 /21 0 3/2-1 20 D =Im =XY = cos x 01 /20 -1 3/20 21 D =Im = 2/2 3/2-/2 -2 -3/2 - 3/22/2-/2-2-3/2 -Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 361.3.5.7. EXEMPLOS 1. Esboce o grfico de y = 3 sen t e use-o para determinar a amplitude e o perodo.

y = 3 sen t-3-2-10123ty As ondas tm um mximo de 3 e um mnimo de 3, assim a amplitude 3. O grfico completa um ciclo entre t = 0 e t = 2, sendo assim o perodo 2. 2. Esboce o grfico de y =cos 2 t e use-o para determinar a amplitude e o perodo. y = cos 2 t-1,5-1-0,500,511,5ty As ondas tm um mximo de 1 e um mnimo de 1, logo a amplitude 1. O grfico completa um ciclo entre t = 0 e t = , logo o perodo p = . 3. Esboce o grfico de y =sen (t + /2) e use-o para determinar a amplitude e o perodo.

y = sen (t+/2)-1,5-1-0,500,511,5ty 2/2 3/2 -/2-2 -3/2 - 2/2 3/2-/2-2 -3/2 - 2 /23/2 -/2-2 -3/2- Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 37Tem amplitude A = 1. Tem perodo p = 2. o grfico de y = sen t deslocado de /2 unidades para a esquerda. (Observe que o grfico dey = cos t) 4. Faa o grfico de y = A sen t para diferentes valores de A. Descreva o efeito de A sobre o grfico. -4-3-2-101234ty 5. Faa o grfico de y = sen B t para diferentes valores de B. Descreva o efeito de B sobre o grfico.

Os grficos de y = sen Bt, para B = 1/2o perodo 4, quando B = 1 o perodo 2, quando B = 2 o perodo . O valor de B afeta o perodo da funo. Os grficos sugerem que quanto maior for B, mais depressa a onda se repete e mais curto o perodo. Nos grficos de y = A sen t para A = 1, 2, 3, valores positivos, observa-se que A a amplitude. Faa o grfico de y = A sen t para valores negativos de A e descreva o efeito de A sobre o grfico. y = sen 1/2 t ( B =1/2)-1,5-1-0,500,511,5ty 2 y = sen t ( B = 1)-1,5-1-0,500,511,5tyy = sen 2t (B = 2)-1,5-1-0,500,511,5ty234 2 4 24 Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 381.3.5.8FAMLIA DE CURVAS As constantes A, B, C e D so chamadas parmetros. Pode-se estudar as famlias de curvas variando um dos parmetros de cada vez. As funes y = A sen (Bt + C) + D e y = A cos (Bt + C) + D so peridicas com: Amplitude = IAI, Perodo IBIp=2, Deslocamento horizontal = C/B Deslocamento vertical = D 1.3.5.9EXERCCIOS PROPOSTOS 1) Esboce o grfico das funes abaixo. Quais so seus perodos e suas amplitudes? a)y =3 sen xb)y = -3 sen x c)y =5 cos t d)y = -5 cos t e)y =sen (x) + 1 f)y =cos (x/2) g)y =sen (5x) + 1 h)y =sen(x + ) 2) A 10 de fevereiro de 1990, a mar alta em determinada cidade foi meia noite. A altura de gua no porto uma funo peridica, pois oscila regularmente entre mar alta e baixa. A altura (em ps) aproximada pela frmula ) t6cos( 9 , 4 + 5 = y, onde t o tempo em horas desde a meia noite de 10 de fevereiro de 1990. a)Esboce um grfico dessa funo em 10 de fevereiro de 1990 (de t = 0 a t = 24) b)Qual era a altura da gua mar alta? c)Quando foi a mar baixa e qual era a altura da gua nesse momento? d)Qual o perodo desta funo e o que ele representa em termos das mars? e)Qual a amplitude desta funo e o que ela representa em termos das mars? i) y = 2 sen (x + ) j)y = (cos 3x) +1 k) y = cos(t/4) 2 l)y = 2 sen(4x) 2 m)y = 3 cos (x + ) -1 n) y = 2 sen (x + /2) + 1 o) y = -1cos (2t) -2 p) y = -3 cos (x + ) +1 Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 39Respostas: 1) a)e)y = 3 sen x-3-2-101230 90 180 270 360 b) y = -3 sen x-3-2-101230 90 180 270 360 c) y = 5 cos t-5-4-3-2-10123450 90 180 270 360 d) y = -5 cos t-5-4-3-2-10123450 90 180 270 360 y = sen (x) + 1-2-10120 90 180 270 360 f)y = cos(x/2)-1-0,500,510 180 360 540 720 g)

y=sen(5x)+1-1-0,500,511,520 18 36 54 72 h)

y=sen(x+p)-1-0,500,51-270 -180 -90 0 90 180 270 360 Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 40 i) m) y=2 sen(x+p)-2-1012-270 -180 -90 0 90 180 270 360 j) y=0,5(cos3x)+1-1,5-1-0,500,511,50 30 60 90 120 k) y=(cosx/4)-2-3-2,5-2-1,5-1-0,500 360 720 1080 1440 l) y=2sen(4x)-2-4-3-2-100 22,5 45 67,5 90 2)a) grfico;b) 9,9 m; c) 6 e 18 horas e altura de 0,1 m;d) 12 horas; e)4,9 y=3cos(x+p)-1-4-3-2-1012-270 -180 -90 0 90 180 270 360 n) y=2sen(x+p/2)+1-2-10123-180 -90 0 90 180 270 360 o) y=-cos(2x)-2-3-2,5-2-1,5-10 45 90 135 180 p)

y=-3cos(x+p)+1-2-101234-270 -180 -90 0 90 180 270 360 Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 41Captulo 2:Limite e Continuidade 2.1 EXEMPLO 1. Sob temperatura constante, o volume de certa massa de um gs perfeito funo da presso a que omesmoestsubmetido.Aleidessafunodadapelogrficoabaixo,querepresenta: PkV = , onde k uma constante que depende da massa e da temperatura do gs. a)Comrespeitoafuno PkV = ,comP>0(notemsentidofsicoconsiderarapressoPcomo sendo nula ou negativa), o que se pode dizer de V quando P diminui, tendendo a zero? b)ParaamesmafunooqueacontececomVquandoPcresce,tornando-semuitogrande,to grande quanto se queira, isto , quando P tende para mais infinito? Resoluo: a)QuandoPdiminui,tendendoazero,escrevemos: P +0 , ou seja, P tende a zero por valores maiores que zero, pela direita. E quando isto acontece, V se torna muito grande, to grande quanto se queira, isto , V tende para mais infinito e escrevemos: V +. Para exprimir essa simultaneidade de tendncias usamos a linguagem dos limites: + =+ VPlim . b) Quando P cresce, tornando-se muito grande, to grande quanto se queira, isto , quando P +, Vtenderazero,ouseja,V0.Eparaexprimiressasimultaneidadeusamosmaisumaveza linguagem dos limites:0 lim =+ VP. 2.2 NOO INTUITIVA DE LIMITE Sejaa funof(x)= 2x+1.Vamosdarvalores axquese aproximemde1,pelasuadireita(valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y: xy = 2x + 1xy = 2x + 1 1,540,52 1,33,60,72,4 1,13,20,92,8 1,053,10,952,9 1,023,040,982,96 1,013,02 0,992,98 010203040500 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5Presso (atm)Volume (cm3)Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 42 Notamos quemedida que x se aproximade 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para1 (x1),ytendepara3(y3),ou seja: 3 1 2 lim1= +xx Vemos que possvel fazer o valor de f(x) to prximode3quantodesejarmos,tornandox suficientemente prximo de 1. 2.3 DEFINIO Assim, de forma geral, escrevemos: ( ) b x fa x=limquando x se aproxima de a (x a), f(x) se aproxima de b (f(x) b). 2.4 LIMITES LATERAIS Seja f uma funo definida em um intervalo aberto I (a, c). Dizemos que um nmero real L o limite direita da funo f quando x tende para "a" pela direita, e escrevemos: L x fa x=+) ( lim isto , todos os valores de x so sempre maiores do que "a". SejafumafunodefinidaemumintervaloabertoI(a,c).DizemosqueumnmerorealLolimite esquerda da funo f quando x tende para "a" pela esquerda, e escrevemos: L x fa x=) ( lim isto , todos os valores de x so sempre menores do que "a". TEOREMA: Seja f uma funo definida em um intervalo aberto I contendo a, exceto possivelmente no ponto a, ento: L x fa x=) ( lim se e somente se:L x f x fa x a x= = + ) ( lim ) ( limL-se: limite de f de x, quando x tende a a LClculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 43EXEMPLOS: 1) Verifique se existe o limite da funo f(x) = x + 1, quando x tende a 1. Soluo: 1 lim21+xx = (1) + 1 = 2 1 lim21++xx = (1) + 1 = 2 Como2 ) ( lim ) ( lim1 1= =+ x f x fx x, logo,2 1 lim21= +xx 2)Verifique se existe o limite de < +=1 , 21 , 1) (x se xx se xx f , em x = 1. Soluo: 1 lim1+xx = 1 + 1 = 2 xx+2 lim1 = 2 1 = 1 Como) ( lim ) ( lim1 1x f x fx x+ , Logo, existe no x fx=) ( lim1

3) Seja f(x) a funo definida pelo grfico: Intuitivamente, encontre se existir: a)1 ) ( lim3 =x fxd)1 ) ( lim = x fx b)3 ) ( lim3=+x fxe)3 ) ( lim =+ x fx c) =) ( lim3x fxf)3 ) ( lim4=x fx Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 442.5 EXERCCIOS PROPOSTOS 1.OscientistasP.F. Verhulst, R.Pearl eL.J. Reed, contrariando ateoriadeMalthusde queaspopulaes crescememprogressogeomtrica,propuseramumaleidecrescimentopopulacionalcujogrficotemo seguinte aspecto: Para Pearl e Reed as condies fsicas determinavam um limite superior L para a populao de uma regio ou pas e, utilizando os censos norte-americanos de 1790 a 1910, obtiveram a lei experimental: txP+=03 , 1 32 , 67 1274 , 197 onde P a populao norte-americana em milhes de habitantes, t anos aps 1790. Calcule o limite da funo P, quando t +. 2. A populao de uma colnia de bactrias varia segundo a funo definida por: tet P+=7 560) (, onde P(t) dadaembilhesetemdias.Descrevaoqueacontececomapopulaonodecorrerdotempo.Verifiquea sua concluso achando). ( lim t Pt + 3. Seja f(x) a funo definida por cada grfico, intuitivamente, encontre se existir: a)b) Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 45 c) d) e)f) Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 46 g)h) Respostas: 1) L = 197,274 milhes de habitantes 2) 12 3) a) 4,+ , no existe, 4, 4,+b) , + , no existe, 3, 1, 1 c) 5, 5, 5, 0, -1,d) , , , 1, -1 e) 2, , no existe, 2,+ , 1 f) 4, -1, no existe, 2, 1, 4 g) 3, 0, no existe, 2, 6,+h)+ , + , + , 1, 4, 1 Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 472.6 PROPRIEDADES DOS LIMITES P1)c ca x=limExemplo:5 5 lim2= x P2)a xa x=limP3)) ( lim ) ( lim x f c x f ca x a x = Exemplo:10 2 5 ) 1 ( lim 5 ) 1 ( 5 lim1 1= = + = + x xx x P4)| | ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim x g x f x g x fa x a x a x = Exemplo: 8 2 6 4 2 lim 3 lim lim ) 2 3 ( lim2 22222= + = + = + x x x xx x x x P5)| | ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim x g x f x g x fa x a x a x = Exemplo:60 10 6 5 lim 3 lim ) 5 3 ( lim2 2 2= = = x x x xx x x P6) ) ( lim) ( lim) () (limx gx fx gx fa xa xa x=Exemplo:111limlimlim12121= = = xxxxxxx P7)| |na xna xx f x f((

= ) ( lim ) ( lim Exemplo:1 1 lim2 21= =xx P8)na xna xx f x f ) ( lim ) ( lim =Exemplo:( ) 3 1 8 16 1 4 lim 1 4 lim4242= + = + = + x x x xx x P9)) ( lim log ) ( log lim x f x fa xb ba x = comf(x) > 0 Exemplo:1 10 log lim log log lim10 10= = = x xx x 2.7 LIMITES INDETERMINADOS Noestudodelimitesconsideradoumindeterminaoquandoocorrerasseguintessituaes: 0, , 1 , ,00, 0 . Para evitarmos (ou sairmos de) uma indeterminao de limite devemos simplificar a funo. Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 48EXEMPLOS: 1)Seja 24 4 3) (2 =xx xx fe considere o problema da determinao do) (lim2x fx. Resoluo:002 24 2 . 4 4 . 324 4 3lim22= = xx xx que uma indeterminao. Intuitivamente podemos ter a idia do comportamento da funo quando x tende a 2 calculando f(x) quando x chega bem perto do valor 2, mas sem assumi-lo. Fazendo 2 x(valores menores que 2) x11,251,501,751,901,991,999 f(x)55,756,507,257,70 Fazendo +2 x(valores maiores que 2) x32,752,502,252,012,001 f(x)1110,259,508,30 Evidentemente quando2 x ,8 ) ( x f , 82 x4 x 4 x 3lim22 x= Obs.8 2 2 . 3 2 x 3lim2 x) 2 x ).( 2 x 3 (lim2 x4 x 4 x 3lim2 x 2 x22 x= + = + = += Esta uma funo descontnua. 2)ao Indetermin 003 x9 x 6 xlim23 x= + .Nestetipodelimite,seonumeradoreodenominador aproximam-se de zero quando x a, ento o numerador e o denominador tero um fator comum(x a) e o limitepode,freqentemente,serobtidocancelando-seprimeiroosfatorescomuns: 0 ) 3 x ( lim3 x) 3 x (lim3 x9 x 6 xlim3 x23 x23 x= == + 3) Calcule o limite de 416 8lim24+ + + xx xx. Soluo:004 416 ) 4 ( 8 ) 4 (lim24=+ + + xindeterminao. 0 4 4 4 lim4) 4 (lim416 8lim42424= + = + =++=+ + + xxxxx xx x x Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 492.8 PROPRIEDADES DOS LIMITES NO INFINITO P1) Limites de xn, quando x = nxx lim ,para n = 1, 2, 3, ... = = += ... 5, 3, 1, npara , -... 6, 4, 2, npara ,limnxxMultiplicando-se xn por um nmero real positivo, isto no afeta os limites mas, multiplicando-se por um nmero real negativo invertem-se os sinais. Exemplos: + =+ 52 lim xx; = 52 lim xx; + =+ 64 lim xx; + = 64 lim xx; = + 87 lim xx; = 87 lim xx P2) Limite de Polinmios -quando x O polinmiop(x) = c0 + c1x + ... + cnxn , comporta-se como o seu termo de maior grau quando x : Exemplo:+ = = + + + 5 3 57 lim ) 9 2 4 7 ( lim x x x xx x P3) Limite das Funes Racionais- quando x = n m se0n m sen m se lim0000bax b x anmx Exemplos: n) m (pois 2lim23> + =+ xxx n) m (pois22lim22= = xxx n) m (pois03lim2< = xxx Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 502.9 EXERCCIOS PROPOSTOS 1)Seja > =3 xse 7, - 3x3 xse ,) (1 xx f .Calcule: a)) ( limx f3 x = 2b)) ( lim x f3 x+= 2c)) ( lim x f3 x= 2 2)Seja4 x x f = ) ( .Calcule: a)) ( lim x f4 x+= 0b)) ( limx f4 x= 0c)) ( lim x f4 x= 0 3)Seja >=< x -2 D = R {-2} = |.|

\|+ 21lim2xxtem assntota vertical na reta x = -2. 021lim = |.|

\|+ xxtem assntota horizontal na reta y = 0. 2.12 CONTINUIDADE DE UMA FUNO Continuidade de uma funo num ponto Ponto interior: Uma funo y = f(x) contnua em um ponto interior c do seu domnio quando: ) ( ) ( lim ) () ( lim ) () ( ) (c f x f IIIx f IIc f Ic xc x= EXEMPLOS:1) Analise a continuidade da funo:==1 , 11 ,11) (2x sex sexxx fSoluo: D = R {1} f(1) = 1 2 1 lim1) 1 ( ) 1 (lim11lim1 121= + = + =||.|

\| xxx xxxx x x ) 1 ( ) ( lim1f x fx,portanto, a funo dada descontnua em x = 1. Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 532) Analise a continuidade da funo: = + =2 , 32 ,21) (x sex sex x gSoluo: D = R {-2} =+ 21lim2 x x portanto, a funo dada descontnua em x = -2. 2.13 EXERCCIOS PROPOSTOS 1) Analise as seguintes funes, verificando as assntotas (se tiver) e a continuidade. a) < =1 , 41 , 1) (2x se xx se xx fd) 21) (2 +=x xxx fb) = +=2 , 22 , 3) (x sex se xx f e)4 ) ( = x x fc) 63) (2 +=x xx f f) 12+=xxy 2) Verifique se as funes f(x) a seguir, so contnuas no ponto x0 indicado. a)0; ) (0 = = x x x f e)< +=0, 10, 1) (2xx xx f; x0 = 0 b) ==1 , 21 ,) 1 (1) (2x sexxx f; x0 = 1f)11) (2 =xx f ; x0 = 1 c)2 ) (2 + = x x f ; x0 = 2 g) xx xx f+=2) ( ; x0 = 0 d) 11) (+=xx f ; x0 = 0 Respostas dos Exerccios Propostos a, c, d, e so contnuas Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 54Captulo 3 : Derivadas Oclculoamatemticadasvariaeseoinstrumentoprincipalparaestudarastaxasdevariaoum mtodoconhecidocomoderivao.Nestecaptulo,vamosdescreveressemtodoemostrar comopodeser usadoparadeterminarataxadevariaodeumafunoetambmainclinaodaretatangenteauma curva. 3.1 EXEMPLO 1. Uma partcula caminha sobre uma trajetria qualquer obedecendo funo horria s(t) = 3t2 5t + 2 (s em metros , t em segundos) a)Qual a velocidade mdia da partcula no intervalo de tempo [ 2 , 4]? b)Qual a velocidade mdia da partcula no intervalo de tempo [ 2 , 3 ] ? c)Qual a velocidade mdia da partcula no intervalo de tempo [ 2 ; 2,1 ]? d) Qual a velocidade mdia da partcula no intervalo de tempo [ 2 , (2 + t) ], comt 0? e)Como voc interpretaria fisicamente a velocidade mdia da partcula no item anterior, quando t tende a zero? f)Qual a velocidade da partcula no instante t = 2 s? Resoluo: a)Velocidade mdia de uma partcula num certo intervalo de tempo definida pelo quociente entre o espao percorrido (s = sfinal sinicial) e o intervalo de tempo gasto em percorr-lo (t = tfinal tinicial): s m v Logos tm ss s stsvmm/ 13226:2 2 426 4 30) 2 2 . 5 2 . 3 ( ) 2 4 . 5 4 . 3 ( ) 2 ( ) 4 (2 2= == = = = + + = = = b)Neste item, temos: s m v Logos tm ss s stsvmm/ 10110:1 2 310 4 14) 2 2 . 5 2 . 3 ( ) 2 3 . 5 3 . 3 ( ) 2 ( ) 3 (2 2= == = = = + + = = = c)Neste item, temos: s m v Logos tm ssss s stsvmm/ 3 , 71 , 073 , 0:1 , 0 2 1 , 273 , 04 73 , 4) 2 2 . 5 2 . 3 ( ) 2 1 , 2 . 5 1 , 2 . 3 () 2 ( ) 1 , 2 (2 2= == = = = + + = = = Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 55d)Neste item, temos: t v seja outt tv Logot t st t st t ss t s sm m + = + = + = + + = + + + + = + = 3 7 ,3 7:3 74 ] 3 7 4 [) 2 2 . 5 2 . 3 ( ] 2 ) 2 .( 5 ) 2 .( 3 [) 2 ( ) 2 (2222 2 Observe que este item com t genrico engloba os itens anteriores: Item a)t = 2 svm = 7 + 3.2 = 13 m/s Item b)t = 1 svm = 7 + 3.1 = 10 m/s Item c)t = 0,1 s vm = 7 + 3.0,1 = 7,3 m/s e)No item anterior obtivemos a velocidade mdia da partcula no intervalo de tempo [2, (2 + t)], com t 0. Quando t tende a zero, o segundo extremo de intervalo de tempo tende a 2 e o referido intervalo tende a [2, 2], que um intervalo de amplitude nula, caracterizando o instante t = 2 s. Logo,fisicamente,quandottendeazero,avelocidademdiatenderparaavelocidadeinstantneada partcula para t = 2s e esta velocidade ser denotada por v(2). f) Portanto, conclumos que:s / m 7 t 3 7 lim ) 2 ( v0 t= + = O grfico abaixo representa a funo da questo acima. Trace a reta secante para calcular a velocidade mdia nointervalode2a4segundosearetatangenteparacalcularavelocidadeinstantneanoinstante2 segundos. Espao Percorrido X Tempo -505101520253035404550550 1 2 3 4 5tempo (s)deslocamento (m) Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 56Anlise do Exemplo Vamos aprofundar o raciocnio usado anteriormente na resoluo o exemplo dividindo em etapas: Etapa 1 As funes dadas e as solicitaes feitas: S = S (t) = 3t2 5t + 2 ; determinar v(2) Etapa 2 Clculo das variaes, (incrementos), das variveis independentes: de 2 a ( 2 + t ), com t 0 : variao = t Etapa 3 Clculo das correspondentes variaes ou incrementos sofridos pela varivel dependente: S ( 2 + t ) S( 2 ) = 7t + 3t2 Etapa 4 Clculo da razo incremental, que a relao entre o incremento (variao) da varivel dependente e o incremento (variao) da varivel independente: Etapa 5 Clculo do limite da funo quando o denominador da razo incremental tender a zero: quando t0 , ento (7 + 3 t) 7 Sintetizando as 5 etapas analisadas, obtm-se a seguinte definio: 3.2 DEFINIO Derivada de uma funo A derivada da funo f(x) em relao a x a funo f(x) (que se l como f linha de x) dada por: Uma funo f(x) derivvel no ponto c se f(x) existe, ou seja, se o limite existe no ponto x = c. O processo de calcular a derivada chamado de derivao. Notao de derivada A derivada f(x) muitas vezes escrita na forma dy/dx , que se l d y sobre d x Nesta notao, o valor da derivada no ponto x = a ou seja, f(a) , escrito na forma: a xdxdy= De acordo com o exemplo 1 : Para calcularmos a velocidade no instante 2, calculamos a derivada da funo S no ponto t = 2. S(2) = V(2). Ou ainda:s / m 7 ) 2 ( vdtdS2 t= == | | t 2 , 2 ervalo int no mdia velocidade a que , t 3 7t) 2 ( S ) t 2 ( S + + = +h) x ( f ) h x ( flim ) x ( f0 h +=Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 57Podemos tambm dizer que a derivada da funo horria nos fornece a funo velocidade, ou seja) t ( vdtdS= Generalizando tudo o que foi visto no exemplo, pode-se concluir que, se o grfico de f(x) :

P A inclinao da reta tangente curva y = f(x) no ponto (a, f(a)) dada por mt = f(a).Ento,f(a)=tgt=mt,ousejaaderivadadafunodef(x)nopontoaocoeficienteangulardareta tangente curva no ponto P de abscissa a. A taxa de variao instantnea de uma grandeza f(x) em relao x no ponto a f(a). 3.3 EXERCCIOS RESOLVIDOS 1. Considere o movimento de um corpo ao cair de uma grande altura. De acordo com a fsica clssica, em t segundos de queda, o corpo percorre uma distncia s(t) = 4,9t2 metros. Suponha que estejamos interessados emdeterminaravelocidadedocorpoaps2segundos.Amenosqueocorpocaiaequipadoporum velocmetro, difcil medir diretamente a velocidade. Mas podemos determinar a distncia percorrida pelo corpo entre o instante t = 2 e t = 2 + h e calcular a velocidade mdia durante esse intervalo de tempo: Resoluo: hhh hhh hhhhs h sempo ervaloercorrida distnciapVm 9 , 4 6 , 199 , 4 6 , 19 ) 4 ( 9 , 4 ) 4 4 ( 9 , 4 ) 2 ( 9 , 4 ) 2 ( 9 , 42 2) 2 ( ) 2 (det int2 2 2 2+ =+= + += += + += = Se o intervalo de tempo h pequeno, a velocidade mdia est prxima da velocidade instantnea no instante t = 2. Assim, razovel determinar a velocidade instantnea tomando o limite da expresso anterior quando h tende a zero: 6 , 19 ) 9 , 4 6 , 19 ( lim0= + =h Vhou, usando a notao de derivada:s / m 6 , 19dtdS2 t== Dessa forma, aps 2 segundos de queda, o corpo estar viajando a uma velocidade de 19, 6 m/s. 2. UmacidadeXatingidaporumamolstiaepidmica.Ossetoresdesadecalculamqueonmerode pessoasatingidaspelamolstiadepoisdeumtempot(medidoemdiasapartirdoprimeirodiada epidemia) , aproximadamente, dado por:

3tt 64 ) t ( n3 =a)Qual a razo da expanso da epidemia no tempo t =4? b)Qual a razo da expanso da epidemia no tempo t =8? c)Quantas pessoas so atingidas pela epidemia no 5o dia?

a f(a) y x y = f(x) t Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 58Resoluo: A taxa com que a epidemia se propaga dada pela razo de variao da funo n(t) em relao t. Usaremos a definio de derivada para resolver os itens a e b. Para t = 4: dia pessoas 48dtdnderivada de notao a Usandodia pessoas 48t 3t 12 t t 144t67 234364 t 48 t 12 t256 t 64t344 6434 t4 t 64t4 n 4 t n4 4 t4 n 4 t n4 t2 30 t2 30 t3 30 t0 t 0 t/ :/ lim,) (lim) (.) () (lim) ( ) (lim) () ( ) (lim== =+ + + +=(((

(((

+ += += + += b)Para t = 8

dia / pessoas 0t 3t 16 tlimt310243) 512 t 192 t 24 t (512 t 64limt3) 8 (8 . 643) 8 t () 8 t ( 64limt) 8 ( n ) 8 t ( nlim8 ) 8 t () 8 ( n ) 8 t ( nlim2 30 t2 30 t3 30 t0 t 0 t= =+ + + +=(((

(((

+ += += + + dia / pessoas 0dtdn: derivada de notao a Usando8 t== c) Para calcularmos quantas pessoas foram atingidas pela epidemia no 5o dia, basta calcular n(5) n(4): ( )pessoas n nn n6 , 43 ) 4 ( ) 5 (3) 4 () 4 ( 6435) 5 ( 64 ) 4 ( ) 5 (3 3= ((

((

= Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 593. Uma partcula caminha sobre uma trajetria retilnea de modo que sua velocidade obedece funo v(t) = 8t 2 (v em metros , t em segundos). Determinar a acelerao da partcula no instante t = 4s.

Resoluo: Para obter a acelerao da partcula no instante t = 4s, deve-se inicialmente calcular a acelerao mdia da mesma no intervalo de tempo [ 4, (4 + t) ]. Assim: V= v (4 + t) v(4)=[ 8(4 + t) 2 ] (8.4 2) = [32 + 8t 2] 30 = 8 t Logo: am = 8t / tou seja,am = 8m/s2 Para obter a(4), voc deve observar o que acontece com am = 8 quando t tende a zero. Como am = 8 uma funo que independe de t, quando t tende a zero, am continua sendo 8, ouseja: a(4) = 8m/s2 24/ 8 : derivada de notao a Usando s mdtdvt== Observe que a derivada da velocidade em funo do tempo nos fornece a funo acelerao.

) t ( adtdv: derivada de notao a Usando = Observao: Quando derivamos a funo horria encontramos a velocidade, se a derivarmos novamente encontramos a acelerao. Sendo assim, podemos dizer que a acelerao a segunda derivada do espao e indicamos por: ) t ( adtS d) t ( S22= = 4.Obtenha a equao da reta tangente curva y = x2 no ponto ( 1, 1 ) Resoluo: Calculando o coeficiente angular da reta secante parbola dada, que passa pelos seus pontos de abscissas 1 e ( 1+h ): Logo,ocoeficienteangulardatangenteparboladadapeloseuponto(1,1)serobtidoapartirdems, fazendo-se h tender a zero; ento ms tender a 2, isto , mt = 2. A equao da reta tangente solicitada ser dada por: y = 2x 1. 3.4EXERCCIOS PROPOSTOS 1.Umapartculacaminhasobreumatrajetriaqualquerdemodoquesuavelocidadeobedecefuno:v(t)=t24t(vemmetros,temsegundos).Sabe-sequeaaceleraomdiadapartculaam, numcerto intervalo de tempo, dada poram = V / t , determine: a) Qual a acelerao mdia da partcula no intervalo de tempo [ 0 , 1 ] ? b) Qual a acelerao mdia da partcula no intervalo de tempo [ 0 ;0,5 ] ? c) Qual a acelerao mdia da partcula no intervalo de tempo [ 0 ;0,1] d) Qual a acelerao mdia da partcula no intervalo de tempo [ 0, t ], comt 0? e) Como voc interpretaria fisicamente a acelerao mdia da partcula no item anterior, quando t tende a zero? f) Qual a acelerao da partcula no instante t = 0 s? ( )h 2hh h 2h1 ) h h 2 1 (1 ) h 1 (1 h 1m2 2 2 2s+ =+= + += + +=Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 602. Uma partcula caminha sobre uma trajetria qualquer obedecendo funo horria: S(t) = t2 7t + 10 ( s em metros e t em segundos) a) Determine a lei de sua velocidade em funo do tempo. b) Calcular a velocidade da partcula no instante t = 3 s c) Obter a lei de sua acelerao em funo do tempo. d)Calcular a acelerao da partcula no instante t = 3 s. 4. Encontre a equao da reta tangente curva y = x2 - 2x + 1 no ponto (2, 1) 5. Encontre a equao da reta tangente curva y = 2x2 +3 no ponto (2, 11) 6.Dada a funo f(x) = 5x2 + 6x 1, encontre f (2). 7. Dada a funo f(x) = 3x21 e g(x) = 5 2x determinar: a) f (1)b) g (1) c) f (1) + g (1) 8. Usando a definio, determinar a derivada das seguintes funes: a) f(x) = 1 4x2 b) f(x) = 2x2 x 1 Respostas: 1.a) -3 m/s2; b) -3,5 m/s2; c) -3,9 m/s2; d)4 t ; e) acelerao instantnea ; f)-4 m/s2 2. a) v = 2t- 7; b) -1 m/s; c) 2 m/s2; d) 2 m/s2 3. y = 2x-3 4. y = 8x 5 5. 26 6. a) 6; b) -2; c) 4 7. a) -8x; b) 4x-1 Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 613.5REGRAS DE DERIVAO 3.5.1TABELA GERAL DE DERIVADAS u u y u tg yu sen u y u yu u y u sen yu v u u u v y u yu u y u ya u u y a e a ye u y e ya a u y a e a a yu u y u yvuv v uyvuyv u v u y v u yu k y cte k u k yy x yy k k yx de funes v ute cons kConsiderev v vuau uu u211 -2sec . ) 14. cos ) 13cos . ) 12ln . . ] [ . ] [ . , ] [ ) 11/ ln ) 10) ln . ( / 1 0 , log ) 9'. ) 8ln . '. 1 0 , ) 7. ] [ . 0 , R , ] [ ) 6' '' ) 5' . '. ' . ) 4. , . ) 31 ' ) 20 cte , ) 1,, tan: = = = = = = + = = = = = > == == > = = == =+ = = = = == == = = ( )( )u u u y u yu u u y u yu u y u yu u y u yu u y u yu u y u yu u u y u yu u u y u yu u y u yu u y u yu u y u yu u y u yu ec u g u y u ec yu u tg u y u yu ec u y u g ycosechcotghcosech) 29sechtghsech) 28hcosec coth) 27hsec tgh) 26senhcosh) 25coshsenh) 241 - . / , arccosec ) 231 - . / , arcsec ) 22) 1 ( / arccotg ) 21) 1 ( / arctg ) 20- 1 / arccos ) 19- 1 / arcsen) 18cos . cot ' ' cos ) 17sec . '. ' sec ) 16cos '. ' cot ) 15222222222 = = = = = = = = = = = = = = = =+ = =+ = = = = = = = == = = = Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 623.5.2EXERCCIOS PROPOSTOS I) Encontre a derivada para as funes abaixo: 1) x 7 y =2) 4 x 3 y2 + = 3) 3 x x 4 x y2 5 + = 4)3x y = 5) 3 x x 7 x 3 y2 5 + = 6) + = x 5 x32y2

7) x 4 x25x32y2 3 + = 8) 5 x x y7 13+ = 9) ( )( ) 2 x 3 5 x 2 y + = 10) ( )( ) 3 x 2 x 3 x y2 + = 11) ( )( ) x 3 x 5 x 2 3 x 5 y2 3+ =12) ( )( ) 18 x 3 7 x 5 x y3 2 + =13) ( )( ) 3 x x x 3 y2 + = 14)2x3y = 15)4x5y =16)5x 32y =17)x1y =18)1 x2y+= 19)7 x 25 x 3y+= 20)5 x 33 x 5y+= 21)1 x 83 x 7y+=22)x cos 7 y =23) 3senxx ln 2 y + =24)x cossenx3eyx+ = Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 63Respostas: 1)7 y' =2) x 6 y' = 3)1 x 8 x 5 y4 '+ =4) 2 'x 3 y =5)1 x 14 x 15 y4 ' + =6)5 x34dxdy+ =7)4 x 5 x 2 y2 ' + =8)6 12 'x 7 x 13 y =9) 11 x 12 y'+ = 10) ( ) 3 x 2 x 2 3 y2 ' + = 11) 9 x 60 x 93 x 40 y2 3 ' + =12) 90 x 36 x 63 x 60 x 15 y2 3 4 '+ + = 13) 3 x 16 x 9 y2 ' + =14)3x6dxdy =15)5x20dxdy= 16)6x 310dxdy = 17)2x1dxdy = 18)( )21 x2dxdy+ = 19)( )27 x 231dxdy =20)( )25 x 334dxdy+=21)( )21 x 831dxdy =22)senx 7 y' = 23) 3x cosx2y'+ = 24)x sec3ey2x'+ = Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 643.5.3DERIVADA DE UMA FUNO COMPOSTA As regras de derivao que estudamos at agora so usadas para derivarmos funes simples. Para derivarmos funes compostas, como por exemplo1 3 + = x y , usaremos uma outra maneira de derivar, conhecida como regra da cadeia. 3.5.3.1 REGRA DA CADEIA Em muitas situaes, a taxa de variao de uma grandeza pode ser expressa como um produto de outras taxas. Por exemplo, um automvel que esteja viajando a 80 km/h e o consumo de gasolina a esta velocidade seja de 0,1 l/km. Para calcular o consumo de gasolina em litros por hora, basta multiplicar as duas taxas: h lhkmkml/ 8 80 . 1 , 0 = No exemplo anterior, temos uma funo composta onde para calcularmos a derivada desta funo multiplicamos as duas taxas de variao. Essa expresso um caso particular de uma regra importante conhecida como regra da cadeia. E para derivarmos funes compostas que utilizamos a regra da cadeia, definida abaixo: Se y uma funo derivvel de u e u uma funo derivvel de x, y uma funo composta de x e

dxdu.dudydxdy=Ou seja, a derivada de y em relao a x igual ao produto da derivada y em relao a u pela derivada de u em relao a x. 3.5.3.2 EXEMPLOS 1)Determine dy/dx para2 x u e 1 u 3 u y2 2 3+ = + = Soluo: 2 ,2 ). 6 3 ( . : ,2 6 3222+ = == =x por u emos substituir x de funo em y de derivada a queremos comox u udxdududydxdytemos cadeia da regra pelaxdxdue u ududyComo ) 2 .( 6 ) ).( 2 .( 6] 2 ) 2 ).[( 2 .( 6) 2 )}.( 2 .( 6 ) 2 .( 3 [2 3 2 22 22 2 2+ = + = + + =+ + =x x x x xdxdyx x xdxdyx x xdxdy Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 652) Determine a derivada das funes abaixo utilizando a regra da cadeia: 2 2 2 2223 23 2) 1 3 .( 18 6 . ) 1 3 ( 36 . 3 :6 31 3:) 1 3 ( )+ = + === == + =+ =x x x xdxdyx udxdytemos cadeia da regra pelaxdxdue ududyComou y ento x u FaremosSoluox y a x uuuxe edxdytemos cadeia da regra peladxdue edudyComoe y ento x u FaremosSoluoe y b33. 3 3 . :33:)= == == == 222cos . 2 2 . cos :cos 2:)t t t udxdytemos cadeia da regra pelaudxdue tdudyComou sen y ento t u FaremosSoluot sen y c= == == == 3.5.3.3 EXERCCIOS PROPOSTOS I) Derive usando a regra da cadeia: 1 3 )) 3 ( ))) 1 2 ln( 2 )8 cos )4 )) 3 ln( )4 2522+ =+ ==+ ===+ =x y gt y fe y et y dt y cx sen y bx y ax

3 2522) 3 .( 8 )5 )1 24)8 . 16 )4 cos 4 )32): Re+ = =+= ==+=t tdtdyfedxdyet dtdydt sen tdtdycxdxdybxxdxdyaspostasx Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 66 II) Derive as funes: III) Calcule as derivadas das funes abaixo: 1)7 6 3 ' 7 6 32 2). 12 12 ( . 2+ + + ++ = =x x x xe x y e y2)x xe y e y = =3 ' 33131 3)x xy6 322+= x xx y6 3 '22 . 2 ln ). 6 6 (++ =4)xe y6. 4 = 26'24xeyx =5) ) 7 5 ln( x y = xy7 57' =6)3 5 225+ =x xy 3 5 2 '25 . 5 ln ). 5 4 (+ =x xx y7) x sen y 2 =x y 2 cos . 2' =8) x x y cos . =xsenx x y = cos' 9) x y ln =xy1' =10) senx x y .4=) 4 cos (3 'senx x x x y + =11) x y2cos = x senx y cos . 2' =12)xsen y1= xxy1cos12' =13)senxy 3 =x ysenxcos . 3 ln . 3' =14) x y 6 cos = x sen y 6 6' =15) ) x ln( y 13 + = 1332+=xxy' 16)7x cos y = 7 67 senx x y' =17) ) x x ( sen y 1 42+ = ) x x cos( ). x ( y'1 4 4 22+ =18) x sen . x y 5 3 = ) x sen x cos x .( y'5 5 5 3 + = 1) 3) 5 ( = x y 2) 6) 4 3 ( + = x y 3) 4 3)212 ( = x y 4)x y 5 = 5) 52 . 5 x y = 6)2 = x y 7) 2. 3 x y = 8) 5 3452 = x y 9) 38x y = 10) 3 2) 1 2 ( = x yRespostas: 1)75 30 32 '+ = x x y2) 5 ') 4 3 .( 18 + = x y3) 3 3 2 ')212 .( 24 = x x y4) xy5 . 25' =5) xxy2252' =6) 2 . 21'=xy7)3' = y8) 5 4 32') 4 ( . 256=xxy9) 3 2') 8 ( . 38xy =10) 3'1 2 . 34=xyClculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 673.6DERIVADAS SUCESSIVAS 3.6.1 EXEMPLOS 0 ' ' :7 ' : Pr7 ) 12===y derivada Segunday derivada imeirax y .' ' ' :cos ' ' :' : Pr2 cos ) 2ente sucessivam assim esenx y derivada Terceirax y derivada Segundasenx y derivada imeirax y= = == 3.6.2 NOTAES Para a primeira derivada: y=f(x) = dxdy Para a segunda derivada: y=f(x)= 22dxy d Para a terceira derivada: y=f(x)= 33dxy d 3.6.3 EXERCCIOS PROPOSTOS Nos exerccios 1 a 4, calcule a derivada: 1) 24 ln y x x x = + +2)10 ln y x = 3) .ln 1 x xyx +=4)ln y x = 1' ?2y | | = |\ . 5) Determine qual a equao da reta tangente a funo 2ln y x x = +no ponto (1,1). 6) Determine o ponto no qual o grfico da funo ln y x =tem inclinao 2. 7) Determine o ponto no qual a reta tangente a funo2ln y x x = + horizontal. Nos exerccios 8 a 14, calcule a derivada: 8) 5ln yx| |= |\ . Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 68 9)ln y x = 10) 32ln yt| |= |\ . 11) 23 1ty e t = + 12) 12xy ex= 13) 12tey+= 14) lnln( )x x xy e e e = + + 15) Determine a equao da reta tangente a funo xy e e = no ponto x = 1. Nos exerccios 16 a 27, calcule a derivada: 16) 3xy e = 17) 1tye= 18) 33ty t = + 19) 2 23 3xyx= + 20) 12ty+= 21).xy x e=22) 1.ln y xx= 23) 3.lnxy e x= 24) 2224xyx=+ 25)=1( )3f xx 26)=53( ) f x x Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 6927)=1( ) f xx 28) Determine a inclinaodo grfico da funo =3y xno ponto com=12x . 29) Determine a equao da reta tangente ao grfico da funo=3y xno ponto (2,8). 30) Se =23( ) f x x , determine os pontos nos quais=1'( )6f x . Nos exerccios 31 a 34, calcule a derivada: 31)= + +5 3( ) 3 2 5 7 g t t t t 32) ( )= +3 31( )2g x x x 33) = +12 22( ) 3 5 f s s s s 34)= +21( )2 2zf z z35) Determine a equao da reta tangente ao grfico da funo= + + + 4 3 22 5 4 2 y x x x xno ponto x = -1. Nos exerccios 36 a 39, calcule a derivada: 36) = +3( ) 3 1 f x x 37)=4( ) (ln ) f x x 38) +=1( )xxef xe 39)= +3( ) 1xf x e Nos exerccios 40 e 41, calcule y: 40) =2ln y x 41)= + 2 1 y x 42)= + 23 2 1 y x x 43)= cos y x senx 44)=2xy e Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 70Respostas: 1) 1' 2 4 y xx= + +2) 1' yx= 3) 21'xyx=4)' 2 y =5)3 2 y x = 6) 1 1,ln2 2| | |\ . 7) 1 1 1, ln22 2| | |\ . 8) 1' yx= 9) 1'2yx=10) 3' yt= 11)' 3 2ty e t = 12) 31' 22xy ex= +13) 1'2ty e =14)' 2xy e = +15)( 1) y e x = 16) 31'3xy e =17) 1'tye= 18) 2' 3 ln3 3ty t = +19) 22 2' ln23 3xyx= 20) 1' 2 ln2ty+=21)' (1 )xy e x= 22) 21' (1 ln ) y xx= 23) 31' 3lnxy e xx| |= + |\ . 24) 2 212'( 4)xyx=+ Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 7125)= 21'( )3f xx 26)=235'( )3f x x27)= 321'( )2f xx 28)= ' 48 y29)= 12 16 y x 30)(64,16)31)= + 4 2'( ) 15 6 5 g t t t 32) ( )= 2 43'( )2g x x x33) = + +1325'( ) 2 62f s s s s34)= +21'( )2 2zf z z35)= 4 6 y x36)= +23'( ) (3 1) f x x37)=34(ln )'( )xf xx 38) = '( )xf x e39)=+333'2 1xxeye 40)= 22'' yx 41)= +31''(2 1)yx 42)= '' 6 y43)= + '' cos y x senx44)= +22'' (2 4 )xy e x Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 723.7 REGRA DELHOSPITAL Agora apresentaremos um mtodo geral para levantar indeterminaes do tipo 00 ou e g(x) 0. O limite de uma funo quociente igual ao limite dos quocientes de suas derivadas: Obs.: A regra de LHospital continua vlida se+ =) ( ') ( 'limx gx fa x ou =) ( ') ( 'limx gx fa x. Ela tambm vlida para os limites laterais e para os limites no infinito. 3.7.1 Exemplos: Determinar os limites abaixo: 1) 1lim21xx xx 2) xsenxx 0lim 3) 1lnlim1xxx 3.7.2 Exerccios Propostos: Utilizando a regra de LHospital, determine os limites abaixo: 1) 11lim21+ xxx 2) 11lim591xxx 3) 301limtett 4) xxxlnlim 5) 201limxx exx 6) 3lim33xe exx ) () (lim) ( ) () ( ) (lim) ( ) (lim) ( ) (lim) ( ') ( 'limx gx fa g x ga f x fa xa g x ga xa f x fx gx fa x a xa xa xa x ===Lx gx fx gx fa x a x= = ) ( ') ( 'lim) () (limClculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 737) 20cos 1limxxx 8) 3limxexx 9) senx xx e ex xx 2lim20 10)30limxsenx xx Respostas:1)-2 2) 59 3)+ 4)0 5) 21 6)e3 7) 21 8)+ 9)2 10)61 Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 743.8APLICAO DE DERIVADAS: TAXA DE VARIAO 3.8.1 EXEMPLOS 1. O fator limitante na resistncia atltica o desempenho cardaco, isto , o volume de sangue que o corao podebombardearporunidadedetempoduranteumacompetioatltica.Afiguraaoladomostraum grficodetestedeesforodedesempenhocardacoVemlitros(L)desangueversusaquantidadede trabalho que est sendo feita W em kilogramas-metros (kg.m) durante um minuto de levantamento de peso. Este grfico ilustra o conhecido fato mdico de que o desempenho cardaco aumenta com a quantidade de trabalho mas, depois de atingir um valor de pico, comea a cair. Use a reta secante da figura a para estimarataxamdiade desempenhocardacoemrelao aotrabalhoaserexecutado quandoesteaumentade300para 1200 kg.m. Usearetatangentedafigurab paraestimarataxadevariao instantneadodesempenho cardacoemrelaoaotrabalho queestsendoexecutadono ponto onde ele de 300 kg.m. Resoluo: Usando os pontos estimados (300, 13) e (1200, 19), a inclinao da reta secante da figura 1 : m kgLm.0067 , 0300 120013 19secDessaforma,ataxadevariaomdiadedesempenhocardacoemrelaoaotrabalhoqueestsendo executado no intervalo dado de aproximadamente 0,0067 L / kg.m. Issosignificaque,emmdia,oaumentode1unidadenotrabalhoqueestsendoexecutadoproduzum aumento de 0,0067 L, no desempenho cardaco no intervalo dado. Usando a reta tangente estimada na figura 2 e os pontos estimados (0,7) e (900,25) sobre esta reta obtemos: m kgLmtg.02 , 00 9007 25 Assim,ataxadevariaoinstantneadodesempenhocardaco,emrelaoaotrabalhode aproximadamente 0,02 L / kg.m. 2. Um estudo ambiental realizado em umcerto municpio revela que a concentrao mdia de monxidodecarbononoar17 5 , 0 ) (2 + = p p c partespormilho,ondeppopulaoemmilharesde habitantes.Calcula-sequedaquiatanosapopulaodomunicpioser 21 , 0 1 , 3 ) ( t t p + = milharesde habitantes. Qual ser a taxa de variao da concentrao de monxido de carbono daqui 3 anos? Resoluo: Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 75O nosso objetivo obter o valor dedt dc / para t = 3. Como 2 / 1 2 2 / 1 2) 17 5 , 0 .(21)] 2 .( 5 , 0 [ ) 17 5 , 0 (21 + = + = p p p pdpdc e tdtdp2 , 0 = Temos, de acordo com a regra da cadeia: 17 5 , 01 , 0) 2 , 0 .( ) 17 5 , 0 .(21.22 / 1 2+= + = =pptt p pdtdpdpdcdtdc Para t = 3: 4 ) 3 ( 1 , 0 1 , 3 ) 3 (2 = + = p Logo,ano por milho pordtdcdtdcdtdcdtdc24 , 052 , 1252 , 117 ) 4 .( 5 , 0) 3 ).( 4 .( 1 , 02===+= 3.8.2. EXERCCIOS PROPOSTOS 1)Uma partcula move-se sobre uma reta de forma que, aps t segundos ela est a s = 2t2 + 3t metros de sua posio inicial. a) Determine a posio da partcula aps 2 s. b) Determine a posio da partcula aps 3s. c) Calcule a velocidade mdia da partcula no intervalo de tempo [2 , 3]. d) Calcule a velocidade instantnea em t = 2. 2) Um projtil disparado diretamente para cima e, nos primeiros 30 segundos, a altura atingida por ele em t segundos de h = 4t2 metros. a) Qual a altura atingida em 20s? b) Qual a velocidade mdia do projtil nos primeiros 30s? c) Qual a velocidade instantnea aps 30s? 3)Umobjetocaiemdireoaosolodealturade180metros.Emtsegundos,adistnciapercorridapelo objeto de s = 20t2 m. a) Quantos metros o objeto percorre aps 2 segundos? b) Qual a velocidade mdia do objeto nos 2 primeiros segundos? c) Qual a velocidade instantnea do objeto em t = 2 s? d) Quantos segundos o objeto leva para atingir o solo? e) Qual a velocidade mdia do objeto durante a queda? f) Qual a velocidade instantnea do objeto quando ele atinge o solo? 4)A populao inicial de uma colnia de bactrias 10.000. Depois de t horas a colnia ter a populao P(t) que obedece a lei: P(t) = 10.000.1,2t. Clculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 76a) Qual o nmero de bactrias depois de 10 horas? b) Encontre a lei que d a variao da populao P em relao ao tempo t. c) Determine essa variao instantnea aps 10 horas. 5)Um tanque est sendo esvaziado segundo a funo V(t) = 200.(30 t)2, onde o volume dado em litros e o tempo em minutos. A que taxa a gua escoar aps 8 minutos? Qual a taxa mdia de escoamento durante os primeiros 8 minutos? 6) Uma saltadora de pra-quedas pula de um avio. Supondo que a distncia que ela cai antes de abrir o pra-quedasdes(t)=986.(0,835t1)+176t,ondesestempsetemsegundos,calculeavelocidade instantnea (em m/s) da pra-quedista quando t = 15. (Obs.: 1 p = 0,3048 m) 7)Asposiesdedoismveisnuminstantetsegundossodadaspors1=3t312t2+18t+5mes2 = -t3 + 9t2 12t m. Em que instante as partculas tero a mesma velocidade? 8)Um objeto se move de modo que no instante t a distncia dada por s =3t4 2t. Qual a expresso da velocidade e da acelerao desse objeto? 9)Achar a velocidade e a acelerao no instante t = 3 segundos onde s = 3t3 2t2 + 2t +4 a funo que informa a posio (em metros) de um corpo no instante t. 10)Umcorposedeslocasobreumplanoinclinadoatravsdaequaos=5t22t(semmetrosetem segundos). Calcular a velocidade e a acelerao desse corpo aps 2 segundos da partida. 11)Um corpo abandonado do alto de uma torre de 40 metros de altura atravs da funo y = 6t2 2. Achar sua velocidade quando se encontra a 18 metros do solo onde y medido em metros e t em segundos. 12)Umapartculasemovesegundoaequaos(t)=t32t2+5t1,sendosmedidoemmetrosetem segundos. Em que instante a sua velocidade vale 9 m/s? 13)Dois corpos tm movimento em uma mesma reta segundo as equaes s1 = t3 + 4t2 + t 1 e s2 = 2t3 5t2 + t + 2. Determine as velocidades e posies desses corpos quando as suas aceleraes so iguais. 14)Umapartculadescreveummovimentocircularsegundoaequao=2t43t24(emradianos). Determine a velocidade e a acelerao angulares aps 4 segundos. 15)Uma caixa dgua est sendo esvaziada para limpeza. A quantidade de gua na caixa, em litros, t horas aps o escoamento ter comeado dada por: ( )280 50 t v =Determinar: a) A taxa de variao mdia do volume de gua no reservatrio durante as 8 primeiras horas de escoamento. b) A taxa de variao do volume de gua no reservatrio aps 10 horas de escoamento. c) A quantidade de gua que sai do reservatrio nas 7 primeiras horas de escoamento. d) Esboce o grfico da funo e resolva graficamente os itens a, b e c. 16)Numa granja experimental, constatou-se que uma ave em desenvolvimento pesa em gramas onde t medido em dias. a) Qual a razo do aumento do peso da ave quando t= 50? b) Quanto a ave aumentar no 51o dia? c) Qual a razo de aumento de peso quando t=80? ( ) + + +=, 90 60 , 604 4 , 2460 0 , 4 .2120) (2t para tt para tt wClculo I Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes 7717)Numapequenacomunidadeobteve-seumaestimativaquedaquiatanosapopulaoserde .1520 ) ( milharestt p+ =Daqui a 18 meses, qual ser a taxa de variao da populao desta comunidade? 18)Umapiscinaestsendodrenadaparalimpeza.Seoseuvolumeinicialdeguaerade72.000litrose depois de um tempo de t horas este volume diminuiu 2.000t2 litros, determinar: a) tempo necessrio para o esvaziamento da piscina; b) taxa mdia de escoamento no intervalo [3,6]; c) taxa de escoamento depois de 3 horas do incio do processo. 19) Uma piscina est sendo drenada para limpeza.O seu volume depois de t horas dado por V = 90.000 - 2.500t2 litros. Determine: a)O tempo necessrio para o esvaziamento da piscina; b)A vazo mdia de escoamento no intervalo [2,5]; c)A v