CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE SANTA CATARINA – CEFET-SC

DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA

Apostila Básica do Software Matlab

André Luís Dalcastagnê

Florianópolis, agosto de 2008

APRESENTAÇÃO

O Matlab é um software criado pela Mathworks em 1984 destinado à análise e

modelagem de sistemas e algoritmos. Devido à sua praticidade, essa poderosa

ferramenta computacional vem sendo utilizada tanto em universidades quanto em

empresas do mundo todo.

Em relação a uma linguagem de programação tradicional (como C/C++ ou

Fortran), o desenvolvimento de algoritmos no ambiente Matlab é sem dúvida mais fácil

e rápido. A desvantagem é que utilizando uma linguagem de programação tradicional é

possível desenvolver algoritmos mais eficientes.

O objetivo deste curso é fornecer a base necessária para desenvolver programas

no ambiente Matlab. Devido à grande quantidade de funções disponibilizadas pelo

Matlab, é impossível aprender todo o seu conteúdo em um único curso. Entretanto, o

aluno será capaz de entender como o Matlab funciona e descobrir quais funções são

úteis para as suas aplicações.

1 Introdução ao Matlab

O Matlab (Matrix Laboratory) pode ser definido como um ambiente de

computação numérica baseado em matrizes. Dentre as suas principais características,

destacam-se:

• gráficos e visualização de dados;

• linguagem de programação de alto nível;

• toolboxes, que oferecem funcionalidades específicas por área de aplicação.

Como exemplos de toolboxes, podem-se citar:

• Optimization, Statistics, Financial;

• Fuzzy Logic, Neural Networks, Control System;

• Signal Processing, System Identification.

A estrutura de diretórios do Matlab é a seguinte:

• diretório base: c:\matlab;

• executáveis: c:\matlab\bin;

• diretório de trabalho: c:\Matlab\work.

1.1 Ambiente Matlab

a) Área de trabalho

A área de trabalho do Matlab apresenta duas partes principais:

• Command Window: área na qual os dados e instruções são digitados e os

resultados são apresentados;

• Workspace: área de memória de trabalho do Matlab, na qual todas as variáveis

são armazenadas.

Como exemplo, digite no Command Window a instrução “ver”. Como resultado, o

usuário recebe as informações acerca das versões do Matlab, do Simulink e de todos os

toolboxes instalados no computador. O sinal de prompt “>>” dessa janela indica que o

sistema está apto a receber comandos.

1

>> ver

--------------------------------------------------

MATLAB Version 6.0.0.88 (R12) on PCWIN

MATLAB License Number: 0

--------------------------------------------------

MATLAB Toolbox Version 6.0 (R12) 06-Oct-2000

Simulink Version 4.0 (R12) 16-Jun-2000

Stateflow Version 4.0 (R12) 04-Oct-2000

Stateflow Coder Version 4.0 (R12) 04-Oct-2000

Communications Blockset Version 2.0 (R12) 01-Sep-2000

Communications Toolbox Version 2.0 (R12) 01-Sep-2000

Control System Toolbox Version 5.0 (R12) 01-Sep-2000

DSP Blockset Version 4.0 (R12) 01-Sep-2000

Filter Design Toolbox Version 2.0 (R12) 01-Aug-2000

Fixed-Point Blockset Version 3.0 (R12) 26-May-2000

Image Processing Toolbox Version 2.2.2 (R12) 10-Mar-2000

MATLAB Compiler Version 2.1 (R12) 26-Jul-2000

Model Predictive Control Toolbox Version 1.0.5 (R12) 10-May-2000

Nonlinear Control Design Blockset Version 1.1.4 (R12) 12-Jun-2000

Optimization Toolbox Version 2.1 (R12) 07-Jun-2000

Partial Differential Equation Toolbox Version 1.0.3 (R12) 31-Dec-1999

Robust Control Toolbox Version 2.0.7 (R12) 10-May-2000

SB2SL (converts SystemBuild to Simu... Version 2.1 (R12) 16-Jun-2000

Signal Processing Toolbox Version 5.0 (R12) 01-Jun-2000

Simulink Accelerator Version 1.0 (R12) 01-Mar-2000

Model Differencing for Simulink and... Version 1.0 (R12) 19-Jul-2000

Simulink Model Coverage Tool Version 1.0 (R12) 02-Jun-2000

Simulink Report Generator Version 1.1 (R12) 01-Apr-2000

Statistics Toolbox Version 3.0 (R12) 01-Sep-2000

Symbolic Math Toolbox Version 2.1.2 (R12) 11-Sep-2000

System Identification Toolbox Version 5.0 (R12) 27-Aug-2000

Wavelet Toolbox Version 2.0 (R12) 16-Jun-2000

b) Janelas

A versão Matlab para ambiente Windows apresenta as seguintes janelas:

2

• Command Window: ambiente de trabalho;

• Launch Pad: apresenta informações, textos explicativos e exemplos dos produtos

instalados;

• Workspace: apresenta as variáveis do ambiente de trabalho;

• Command History: histórico das instruções já executadas.

c) Menus

O Matlab também possui uma série de menus: File, Edit, View, Web, Window e

Help. Os mais importantes serão vistos ao longo do curso. Alguns menus são bastante

utilizados:

• File: manipulação de arquivos;

o File/Set Path: configura a lista de diretórios de busca (equivalente ao

comando “pathtool”);

o File/Preferences: configura parâmetros do ambiente Matlab (equivalente

ao comando “preferences”);

• Edit: recursos de edição;

• View: configuração de visualização da tela do Matlab;

• Web: aciona web browser;

• Window: fecha janelas de figuras (gráficos);

• Help: aciona textos de ajuda.

d) Barra de ferramentas

A primeira parte da barra de ferramentas do Matlab segue o padrão Windows. As

demais opções são próprias do Matlab:

• New M-File, Open, Cut, Copy, Paste, Undo e Redo;

• Simulink: abre um modelo do Simulink;

• Current Directory: apresenta o diretório de trabalho corrente;

• Browse for folder: busca um novo diretório de trabalho.

3

1.2 Configuração de Parâmetros do Ambiente Matlab

Os parâmetros do Matlab são configuráveis pelo comando “preferences” ou pelo

menu “File/Preferences”. As principais opções desse menu são:

• General: parâmetros gerais.

o Habilita/desabilita textos explicativos de ícones;

o Tipo de impressão desejado.

• Command Window: configura a janela Command Window.

o Formato de exibição de números;

o Formato de exibição de matrizes;

o Cor e tipo de fonte.

• Editor/Debugger: configura o editor de textos do Matlab (edit).

• Help: configurações da ajuda do Matlab.

• Current Directory: configura a opção Current Directory da barra de ferramentas.

• Workspace: configura parâmetros da janela Workspace.

• Array Editor: configura parâmetros da janela Array Editor.

• Guide: configura parâmetros do ambiente de desenvolvimento de interfaces

gráficas guide (Graphical User Interface).

• Figure Copy Template: configura parâmetros para cópia de figuras.

• Simulink: configura parâmetros do Simulink.

1.3 Configuração de Diretórios do Matlab

Para que uma função possa ser utilizada por qualquer programa Matlab, o

diretório no qual ela está salva deve estar incluído na lista de diretórios de busca do

Matlab (arquivo pathdef.m). Para realizar tal tarefa, pode-se utilizar a instrução

“pathtoll” ou o menu “File/Set Path” (mais prático). Se isso não for feito, a função

criada só poderá ser utilizada por programas Matlab (.m) que estiverem gravados no

mesmo diretório da função.

4

O Matlab possui algumas funções do sistema operacional, apresentados na tabela

abaixo.

Tabela 1.1: Comandos do sistema operacional

Comando Função Exemplo

cd ou pwd Informa ou altera diretório cd

dir ou ls Lista conteúdo do diretório dir

what exibe arquivos Matlab salvos no diretório what

which Identifica e localiza arquivo which cos

! Chama comando do sistema operacional !del arquivo.m

5

2 Elementos Básicos do Matlab

2.1 Notações

O Matlab utiliza as seguintes notações para representar um número:

Tabela 2.1: Notações adotadas no Matlab

número negativo sinal “-“

casa decimal ponto final “.”

notação científica “e”

−1 “j” ou “i”

Exemplos:

>> -2.5e-3

ans =

-0.0025

>> 1+2j

ans =

1.0000 + 2.0000i

Note que o Matlab atribui o resultado de cada operação a uma variável

denominada ans (de answer). Ela é utilizada pelo Matlab para armazenar o último valor

calculado pelo Matlab, a não ser nos casos em que o usuário explicita o nome de uma

variável juntamente com o comando. Veja o exemplo abaixo.

>> a=-2.5e-3

a =

-0.0025

>> b=1+2j

b =

1.0000 + 2.0000i

2.2 Matrizes

Para o Matlab, qualquer valor numérico é interpretado como uma matriz. Uma

matriz é definida da seguinte forma:

6

• valores numéricos são definidos entre colchetes (“[...]”);

• elementos de uma linha são separados por “,” ou por espaço em branco;

• final de uma linha é informado por “;”.

Alguns exemplos

Tabela 2.2: Tipos de matrizes

tipo de matriz exemplo

escalar >> 2

ans =

2

vetor linha (1 ) n×>> [1 2 3]

ans =

1 2 3

vetor coluna ( ) n×1

>> [1;2;3]

ans =

1

2

3

matriz bidimensional ( ) m n×

>> [1 2 3;4 5 6;7 8 9]

ans =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

matriz de dimensão

mn n n× × ×1 2

mostrado adiante

2.3 Variáveis

Para criar uma variável no Matlab deve-se seguir algumas regras. Assim, o nome

de uma variável Matlab

• deve ser alfanumérico e iniciado por uma letra.

• é case-sensitive;

• pode conter o caractere “_”;

7

• pode possuir no máximo 32 caracteres;

• não pode ser uma palavra reservada, como “for” ou “while”.

As variáveis criadas no Matlab ficam registradas na região Workspace (ver

Capítulo 1). A Tabela 2.3 apresenta alguns comandos para manipular essas variáveis.

Tabela 2.3: Comandos para manipulação de variáveis

comando descrição

who lista nomes das variáveis do Workspace

whos lista os nomes e tipos das variáveis do Workspace

clear elimina variáveis do Workspace

>> a = 1;

>> b = [1 2; 3 4];

>> texto = 'matlab';

>> who

Your variables are:

a b texto

>> whos

Name Size Bytes Class

a 1x1 8 double array

b 2x2 32 double array

texto 1x6 12 char array

Grand total is 11 elements using 52 bytes

>> clear b;

>> whos

Name Size Bytes Class

a 1x1 8 double array

texto 1x6 12 char array

Grand total is 7 elements using 20 bytes

>> who

Your variables are:

a texto

8

2.4 Funções Matemáticas

O Matlab possui uma série de funções matemáticas (built-in functions). Além

dessas funções previamente programadas, o usuário também pode criar funções para

atender as suas necessidades. Uma função no Matlab apresenta a seguinte sintaxe:

[saída1, saída2, ... , saídaN] = NomeFunção [entrada1, entrada2, ... ,entradaM],

onde

saída1 a saídaN são os N parâmetros de saída da função;

entrada1 a entradaM são os M parâmetros de entrada da função;

NomeFunção é o nome da função.

Para obter ajuda em alguma função, pode-se utilizar o comando

help NomedaFunção

Exemplo

>> help sin

SIN Sine.

SIN(X) is the sine of the elements of X.

Overloaded methods

help sym/sin.m

>> x = pi/2;

>> a = sin(x)

a =

1.0000

É interessante notar a função do “;” no Matlab. Na definição da variável “x”, o

seu valor não foi apresentado na tela devido à inserção do “;”. Já quando se definiu a

variável “a”, o seu valor foi apresentado na tela porque não se colocou o “;” no final da

instrução. Em termos numéricos, não há diferença alguma; o sinal “;” serve apenas para

informar ao Matlab que não se deseja ver o resultado de uma operação na tela.

9

3. Manipulação de Matrizes

Como mencionado no Capítulo 2, uma matriz é definida da seguinte forma:

• valores numéricos são definidos entre colchetes (“[...]”);

• elementos de uma linha são separados por “,” ou por espaço em branco;

• final de uma linha é informado por “;”.

3.1 Criação de Matrizes a) Matrizes numéricas: formadas por qualquer número ou operação numérica:

>> m = [-2.8 sqrt(2) (5+4)/8 1; sin(0.4) exp(0.7) fix(4.5) 100]

m =

-2.8000 1.4142 1.1250 1.0000

0.3894 2.0138 4.0000 100.0000

b) Acrescendo valores em uma matriz: é possível acrescentar apenas um valor em

uma matriz; os demais novos componentes são considerados iguais a zero:

>> m(1,6) = 666

m =

-2.8000 1.4142 1.1250 1.0000 0 666.0000

0.3894 2.0138 4.0000 100.0000 0 0

c) Criação de vetores linearmente espaçados: através do símbolo “:”. Veja o exemplo

abaixo, no qual x é um vetor que varia entre 1 e 5 com incremento 1 (valor padrão).

>> x = 1:5

x =

1 2 3 4 5

Se o incremento for diferente de 1, o seu valor deve ser incluído na instrução.

Veja o exemplo a seguir, no qual o incremento do vetor x é 0,5 e o do vetor y é . 0,5−

> x = 1:0.5:5

x =

1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 3.5000 4.0000 4.5000 5.0000

>> y = 5:-0.5:1

y =

5.0000 4.5000 4.0000 3.5000 3.0000 2.5000 2.0000 1.5000 1.0000

10

d) Principais instruções relacionadas com matrizes.

Tabela 3.1: Comandos para criação de matrizes elementares

função descrição Exemplo

eye

cria matriz identidade

>> eye(3)

ans =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

zeros

cria matriz com todos os

elementos nulos

>> zeros(2,3)

ans =

0 0 0

0 0 0

ones

cria matriz com todos os

elementos iguais a um

>> ones(2,3)

ans =

1 1 1

1 1 1

rand

cria matriz com números pseudo-

randômicos com distribuição

uniforme entre 0 e 1

>> rand(2,3)

ans =

0.9501 0.6068 0.8913

0.2311 0.4860 0.7621

e) Concatenação de matrizes: criação de matrizes a partir de outras matrizes:

>> A = [1 2 3]; >> B = [4 5 6]; >> C = [A B] C = 1 2 3 4 5 6 >> D = [A ; B] D = 1 2 3 4 5 6 >> E = [A' B'] E = 1 4 2 5 3 6

11

3.2 Operações com Matrizes

É muito importante notar que o Matlab pode realizar uma operação matricial (em

uma ou entre duas matrizes) como também uma operação elemento a elemento (em uma

ou entre matrizes). Para exemplificar, considere as matrizes

A=

1 23 4

e . B=

5 67 8

A Tabela 3.2 apresenta as principais operações realizáveis com essas duas matrizes.

Tabela 3.2: Operações com matrizes

Operação Operador Exemplo

soma

+ A B=+ +

+ = + +

1 5 2 6 6 83 7 4 8 10 12

subtração

- A B=− − − −

− = − − − −

1 5 2 6 4 43 7 4 8 4 4

multiplicação vetorial

* A*B=

19 2243 50

multiplicação escalar

.* A .*B=× ×

= × ×

1 5 2 6 5 123 7 4 8 21 32

divisão matricial

(equivale a ) -1A B×

/ A / B=−

−

3 22 1

divisão escalar

./ / / , ,A ./ B= =

/ / , ,

1 5 2 6 0 2 0 3333 7 4 8 0 428 0 5

divisão esquerda

(equivale a ) -1A B×

\ A \ B=− −

3 44 5

potência matricial

^ A^2=A*A=

7 1015 22

potência escalar

.^ A .^2=

=

2 2

2 2

1 41 29 163 4

transposta

‘ A'=

1 32 4

12

Exemplo 1: Considere o seguinte sistema de equações lineares

1 1 2

2 1 2 3

3 1 2

23

3 4

y x x xy x x xy x x

= − + += − += − + +

3

3x

1 1

2 2

3 3

1 1 23 1 11 3 4

y xy xy x

− ⇒ = − −

ou AXY =

a) Qual o valor de se ? Y [ ]X 1 1 2 T= −

Nesse caso, utiliza-se diretamente a operação matricial : Y A*X=

>> A = [-1 1 2 ; 3 -1 1; -1 3 4]

A =

-1 1 2

3 -1 1

-1 3 4

>> Y = A*[1 ; -1 ; 2]

Y =

2

6

4

b) Qual o valor de se Y ? X [ ]0 2 1 T=

Nesse caso, pode-se deduzir que . No Matlab, esse operação é

equivalente a (divisão esquerda, ver tabela 3.2).

-1X=A Y

X=A\Y

>> Y = [0 ; 2 ; 1];

>> X = A\Y

X =

0.7000

0.3000

0.2000

Exemplo 2: Utilizando o Matlab, plote a função , para − ≤ . 2 2y x x= + − 3 5 5x ≤

Note que nesse caso deve-se utilizar a operação de potência escalar, e não a

matricial, pois para cada elemento de x deve-se calcular um valor de y. Veja como fica

o código Matlab:

>> x=[-5:0.1:5];

>> y = x.^2 + 2*x -3;

>> plot(x,y)

13

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

0

5

10

15

20

25

30

35

Figura 3.1: Gráfico de . 2 2 3y x x= + −

3.3 Tratamento de Matrizes por Funções Uma característica muito importante do Matlab é a forma como uma função

manipula matrizes. Uma função no Matlab trata uma matriz como um todo, e não

elemento a elemento. Tal característica é conhecida na literatura como bulk processing.

Para entender tal característica, veja o seguinte exemplo. No primeiro caso, x é um

escalar de valor 2. A variável a é simplesmente e . No segundo caso,

considera-se uma matriz m de dimensão . Nesse caso, B também é uma matriz

, no qual cada elemento é dado por .

2 7,3891=

2 3×

ijae2 3× Bij

>> x = 2;

>> a = exp(2)

a =

7.3891

>> M = rand(2,3)

M =

0.9501 0.6068 0.8913

0.2311 0.4860 0.7621

>> B = exp(m)

B =

2.5860 1.8346 2.4383

1.2600 1.6258 2.1428

14

Tal propriedade facilita bastante o desenvolvimento de programas. Por

exemplo, se for desejado plotar o seno de x, para x variando entre 0 e 2 . No Matlab, o

código seria o seguinte:

π

>> x = 0:0.1:2*pi;

>> plot(x,sin(x));

Em uma linguagem de programação sem bulk processing, o código seria algo desse

tipo:

inc = 0.1

xi = 0

i = 1

while xi <= 6.28

x(i) = xi

yi = sin(xi)

xi = xi + inc

end

plot(x,y)

O gráfico fornecido pelo Matlab é mostrado na figura abaixo.

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 3.2: Gráfico de para . sen(x) 0 x 2≤ ≤ π

3.4 Indexação de Matrizes

Uma tarefa que aparece com freqüência em programas é a necessidade de

utilizar apenas determinados elementos de uma matriz, e não a matriz como um todo.

Para isso, realiza-se uma indexação matricial. Considere a matriz M definida abaixo:

15

>> M = [1 2 3 4 ; 5 6 7 8 ; 9 10 11 12]

M =

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

a) Indexação de apenas um elemento. Se apenas um elemento for desejado, deve-se

informar a posição que tal elemento ocupa na matriz (linha e coluna).

>> a = M(3,2)

a =

10

No Matlab, os elementos também são indexados seqüencialmente. Essa indexação segue

por linha e depois por coluna. Assim, a matriz anterior é indexada da seguinte forma:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

elem. 1 elem. 4 elem. 7 elem. 10

elem. 2 elem. 5 elem. 8 elem. 11

elem. 3 elem. 6 elem. 9 elem. 12

1 2 3 4

M 5 6 7 8

9 10 11 12

=

.

>> b = M(6)

b =

10

>> c = M(10)

c =

4

b) Indexação de mais de um elemento. Se for desejado indexar uma faixa de

elementos de uma matriz, pode-se utilizar o símbolo “:“. Dessa forma, cria-se

submatrizes. Por exemplo, considere que se deseja criar uma matriz .

Nesse caso, a matriz Z deve receber os elementos da 2

[ ]Z 6 7 8=

a linha de M, começando da

coluna 2 até a coluna 4. Veja o exemplo:

>> Z = M(2,2:4)

Z =

6 7 8

16

A mesma operação pode ser realizada com a ajuda de um “end”, que representa o final

de um intervalo. Por exemplo:

>> Z = M(2,2:end)

Z =

6 7 8

c) Indexação de uma linha ou coluna completa. Outra ferramenta útil consiste em

utilizar “:” sem números. Nesse caso, “:” representa todos os números de uma linha ou

coluna. Por exemplo, se for desejado criar uma matriz Y formada pela primeira coluna

de M. Nesse caso, define-se:

>> Y = M(:,1)

Y =

1

5

9

3.5 Matrizes Multidimensionais

O Matlab permite a criação de matrizes com mais de duas dimensões. A

forma de criação é idêntica a de matrizes bidimensionais.

Exemplo: Criação de uma matriz de dimensão . 2 2 2× ×

>> A = [1 2 ; 3 4] A = 1 2 3 4 >> B = [5 6 ; 7 8] B = 5 6 7 8 >> C(:,:,1) = A; >> C(:,:,2) = B C(:,:,1) = 1 2 3 4 C(:,:,2) = 5 6 7 8

17

3.5 Funções Matriciais Básicas

Tabela 3.3: Funções matriciais básicas

função descrição Exemplo

det (X)

determinante da matriz quadrada X

>> X = [1 2 ; 4 5];

>> det(X)

ans =

-3

inv (X)

matriz inversa da matriz

>> inv(X)

ans =

-1.6667 0.6667

1.3333 -0.3333

diag (X)

retorna a diagonal principal de X

>> diag(X)

ans =

1

5

diag (v)

se v é um vetor, cria matriz diagonal

utilizando elementos de v

>>>> v = [1 2 3];

>> diag(v)

ans =

1 0 0

0 2 0

0 0 3

reshape(x,n,m)

cria matriz de dimensão a partir

da matriz x

n m×

>> x = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 0];

>> reshape(x,2,5)

ans =

1 3 5 7 9

2 4 6 8 0

3.6 Outros Tipos de Dados Além de matrizes, o Matlab trabalha com outros três tipos de dados:

• cadeias de caracteres (strings);

• células (cell arrays);

• estruturas (structus).

a) Cadeias de caracteres (strings)

18

Cadeias de caracteres são dados tipo texto, formados por cadeias de caracteres

ASCII (American Standard Code for Information Interchange). Cada caractere ocupa

dois bytes de memória. No Matlab, uma string é definida entre ‘ ‘. Veja o exemplo.

>> texto1 = 'Curso'

texto1 =

Curso

Através do comando “whos” pode-se verificar as informações acerca da variável texto1.

Ela é um vetor de dimensão 1 , do tipo char array, que ocupa 10 bytes de memória. 5×

>> whos texto1

Name Size Bytes Class

texto1 1x5 10 char array

Grand total is 5 elements using 10 bytes

Internamente, os caracteres são armazenados através dos respectivos códigos

ASCII. Para obter a string em formato numérico, pode-se utilizar a função “double”:

>> double(texto1)

ans =

67 117 114 115 111

A operação inversa que transforma um código ASCII em uma string é efetuada pela

função “char”:

>> a = [84 101 120 116 111];

>> char(a)

ans =

Texto

A indexação de uma string é idêntica a de uma matriz. Veja o exemplo.

>> a = texto1(1:3)

a =

Cur

Da mesma forma, pode-se realizar a concatenação de strings:

>> texto2 = ' de Matlab';

>> textototal = [texto1 texto2]

textototal =

Curso de Matlab

19

b) Células (cell arrays)

Uma célula é um tipo de variável que permite armazenar matrizes de

naturezas diferentes (escalares, vetores, matrizes, strings) em uma única estrutura. Para

criar uma célula, utiliza-se a função “cell”. Células utilizam {} ao invés de []. Veja o

exemplo abaixo, de uma célula de dimensão . 2 2×

>> celula = cell(2)

celula =

[] []

[] []

>> celula{1,1} = eye(2);

>> celula{1,2} = 'matriz identidade 2x2';

>> celula{2,1} = 2;

>> celula{2,2} = [1 2 3]

celula =

[2x2 double] [1x21 char ]

[ 2] [1x3 double]

>> whos celula

Name Size Bytes Class

celula 2x2 474 cell array

Grand total is 33 elements using 474 bytes

Costuma-se utilizar células em bancos de dados que mesclam elementos

numéricos e alfanuméricos. Por exemplo, uma lista de alunos e suas respectivas

matrículas.

c) Estruturas (structs)

É um tipo de dado que permite o armazenamento de matrizes de naturezas

diferentes (escalares, vetores, matrizes, strings) identificáveis por nomes de campos.

Para criar uma estrutura, utiliza-se a função “struct”. Como exemplo, considere que se

deseja criar uma estrutura para armazenar a Tabela 3.4.

Tabela 3.4: Exemplo de tabela para ser utilizada em uma estrutura

Aluno Matrícula Nota

João 001 1,0

Maria 002 10,0

José 003 7,0

20

>> s = struct('Aluno',{'Joao'},'Matricula',{001},'Nota',{1.0})

s =

Aluno: 'Joao'

Matricula: 1

Nota: 1

>> s(2).Aluno = 'Maria';

>> s(2).Matricula = 002;

>> s(2).Nota = 10;

>> s(3).Aluno = 'Jose';

>> s(3).Matricula = 003;

>> s(3).Nota = 7;

>> whos s

Name Size Bytes Class

s 1x3 998 struct array

Grand total is 28 elements using 998 bytes

Os conteúdos de uma estrutura são acessados da seguinte forma:

>> s

s =

1x3 struct array with fields:

Aluno

Matricula

Nota

>> s(1)

ans =

Aluno: 'Joao'

Matricula: 1

Nota: 1

>> s(2)

ans =

Aluno: 'Maria'

Matricula: 2

Nota: 10

21

4. Programação no Matlab

4.1 Editor de programas Existe um ambiente próprio do Matlab para edição de programas. Para abri-lo,

digita-se o comando “edit”. Tal editor apresenta algumas características interessantes:

• linhas numeradas, o que é útil principalmente para a localização de erros de

programação;

• o caractere “%” indica comentário;

• o caractere “...” indica que o comando continua na próxima linha. Tal recurso

permite deixar o texto mais “organizado”;

• a cor atribuída pelo editor a um texto indica a sua classe. O padrão de cores varia

de acordo com a versão do Matlab.

4.1 Tipos de arquivos Matlab Um programa em Matlab possui a extensão “.m” e é chamado de m-file.

Existem dois tipos de arquivos Matlab: script e função.

a) Script

Um script é simplesmente uma seqüência de comandos Matlab. Qualquer

seqüência de comandos pode ser implementada diretamente na janela de comando do

Matlab. Entretanto, se for desejado alterar algum parâmetro ou simplesmente repetir a

operação, os comandos devem ser digitados novamente. Tal situação não é prática. Para

solucionar esse tipo de problema existe o script. Se a seqüência de comandos for salva

em um script, basta digitar o seu nome na janela de comando para repetir o processo.

Exemplo: script denominado scriptEq2Grau.m, que plota uma equação do segundo grau

do tipo , com , b e : 2y ax bx c= + + 1a = 2= 3c = −

x = [-10:0.1:10];

a = 1;

b = 2;

c = -3;

y = x.^ 2 + b*x + c;

plot(x,y);

22

Note que o script não apresenta parâmetros de entrada nem de saída. Ele

apenas realiza as operações desejadas e utiliza variáveis do workspace. Isso significa

que todas as variáveis de um script são salvas no workspace (digite comando whos).

b) Função

Uma função também realiza uma seqüência de comandos. Diferentemente de

um script, uma função possui parâmetros de entrada e pode retornar parâmetros de

saída. Por exemplo, considere que se deseje criar um arquivo Matlab que calcule uma

função do segundo grau para valores variáveis de a, b e c. Nesse caso, um script não

serve; deve-se criar uma função. Veja o exemplo.

Exemplo: Função denominada FuncaoEq2Grau.m.

% Apresenta o gráfico de uma equação do segundo grau

function y = FuncaoEq2Grau(a,b,c)

x = [-10:0.1:10];

y = x.^ 2 + b*x + c;

plot(x,y);

Para que a função tenha os mesmos parâmetros do script anterior, digita-se

z = FuncaoEq2Grau(1,2,-3);

Note que a única variável criada no workspace (digite comando whos) é z.

Todas as variáveis utilizadas por uma função são internas, o que significa que não são

salvas no workspace (diferentemente do caso de um script0). Uma característica

interessante é a possibilidade de criar um texto explicativo para uma função, que é

apresentado ao se utilizar a função help do Matlab. Esse texto deve ser escrito como

comentário (através de %) no início do m-file.

4.2 Tipos de funções O Matlab reconhece três tipos de função:

• built-in functions: são funções internas do Matlab, cujo código não é acessível

ao usuário (por exemplo, digite which cos);

• Matlab m-files: funções escritas em arquivos m-file. O código é acessível ao

usuário, podendo inclusive ser modificado (por exemplo, digite which roots);

• User m-files: funções escritas em arquivos m-file pelo próprio usuário, como a

FuncaoEq2Grau.m descrita anteriormente.

23

4.3 Operadores lógicos O Matlab possui operadores utilizáveis em expressões lógicas (Booleanas),

que são utilizadas em tomadas de decisões. Para o Matlab, considera-se que

• 0 (zero) ou nil indica condição falsa;

• 1 (um) ou diferente de zero indica condição verdadeira.

A Tabela 4.1 apresenta os símbolos adotados para os operadores lógicos.

Tabela 4.1: Operadores lógicos

Operador Verdadeiro se Exemplo

= = ou eq A igual a B A = = B ou eq(A,B)

~= ou ne A diferente de B A ~= B ou ne(A,B)

< ou lt A menor do que B A < B ou lt(A,B)

> ou gt A maior do que B A > B ou gt(A,B)

<= ou le A menor ou igual a B A <= B ou le(A,B)

>= ou ge A maior ou igual a B A >= B ou ge(A,B)

~ ou not lógica not ~A ou not(A)

& ou and lógica and

>> A = 2;

>> B = 4;

>> A == B

ans =

0

>> A < B

ans =

1

>> A > B & A ~= B

ans =

0

O Matlab também possui funções para teste de matrizes

24

Tabela 4.2: Funções matriciais

Função verdadeiro se matriz M for

isempty(M) vazia

isequal(M,M2) igual a matriz M2

isnumeric(M) numérica

ischar(M) alfanumérica

issparse(M) esparsa

Existem também as funções any e all. Veja o seu funcionamento no exemplo.

>> A = [0 2 4 6 8];

>> isempty(A)

ans =

0

>> any(A)

ans =

1

>> all(A)

ans =

0

>> all(A>=0)

ans =

1

4.4 Controladores de fluxo O Matlab possui estruturas para tomada de decisões, iguais às existentes em

linguagens de programação estruturadas. As principais são as estruturas for, if e while.

A tomada de decisão se baseia no resultado de uma expressão booleana. Se uma

expressão retorna 0, o Matlab interpreta condição falsa. Se uma expressão retorna um

valor diferente de zero, o Matlab considera como condição verdadeira.

a) For

for variável = <valor inicial> : <incremento> : <valor final>

comandos

end

25

Exemplo: Criação de um vetor formado por 10 múltiplos de 3.

for i = 1:10

v(i) = 3*i;

end

b) While

O laço while permite que uma seqüência de comandos seja repetida enquanto

uma certa condição for verdadeira. Apresenta a seguinte estrutura:

while <expressao>

comandos

end

Por exemplo, considere que se deseja determinar o maior valor de n tal que

. Pode-se utilizar o seguinte código. 100! 10n <

n = 1;

while prod(1:n) < 1e100

n = n + 1;

end

c) If, elseif, else.

O laço if, elseif, else estabelece diversos caminhos para a fluência de um

programa. A sua estrutura é mostrada abaixo.

if <expressao1>

comandos

elseif <expressao2>

comandos

.

elseif <expressaon>

comandos

else

comandos

end

Veja um exemplo de utilização da estrutura. O valor da variável b depende do valor da

variável a, que varia entre 0 e 10.

26

a = round(10*rand(1)); % a eh uma variavel com valor entre 0 e 10 if a > 5 b = 3*a; elseif a < 5 b = a/3; else b = a; end

4.5 Implementação do algoritmo de Gauss O algoritmo de Gauss é útil para resolver um sistema de equações lineares de

ordem , do tipo , com A singular ( ). O método possui duas etapas: n AX Y= det(A) 0≠

1 Triangularização: consiste em transformar A numa matriz triangular superior,

mediante permutações e combinações lineares de linhas;

2 Retrossubstituição: cálculo de X, solução de , a partir da solução do último

componente de X, e então substituindo regressivamente nas equações anteriores.

AX Y=

1a etapa: triangularização da matriz A

1. Entrada { , , | , } n ija iy 1(1)i n= 1(1)j n=

2. Para 1(1) 1k n= −

2.1. Para i k 1(1)= + n

n

k

nn

n

ix

kk

2.1.1. m a /ik ik kka= −

2.1.2. Para j k 1(1)= +

2.1.2.1. a a *ij ij ik kjm a= +

2.1.3. y y *i i ikm y= +

3. Saída { , , | , } n ija iy 1|i n= 1|j n=

2a etapa: Retrossubstituição 1. Entrada {{ , , | i n , , são coefic. de uma matriz triang. sup.} n ija iy 1(1)= 1(1)j = n ija2. /n nx y a=

3. Para 1( 1)1k n= − −

3.1. x y k k←

3.2. Para i k 1(1)= +

3.2.1. x x *k k kia← −

3.3. x x /k k a←

4. Saída { } | 1(1)ix i n=

27

O algoritmo implementado em Matlab pode ser o seguinte:

% Triangularizacao

% Passo 1.

A=[3 2 0 1 ; 9 8 -3 4 ; -6 4 -8 0 ; 3 -8 3 -4];

Y=[3 ; 6 ; -16 ; 18];

n=length(A);

for k=1:n-1 % Passo 2

for i = k+1:n % Passo 2.1

mik = -A(i,k)/A(k,k); % Passo 2.1.1

A(i,:) = A(i,:) + mik*A(k,:); % Passos 2.1.2 e 2.1.2.1.

Y(i) = Y(i) + mik*Y(k); % Passo 2.1.3

end

end

% Retrossubstituicao

x(n)=Y(n)/A(n,n); % Passo 2

for k = n-1:-1:1 % Passo 3

x(k)=Y(k); % Passo 3.1

for i = k+1:n % Passo 3.2

x(k) = x(k) - A(k,i)*x(i); % Passo 3.2.1

end

x(k)=x(k)/A(k,k); % Passo 3.3

end

disp('Vetor x='); % Passo 4

disp(x');

28

5. Gráficos no Matlab

O Matlab possui sofisticados recursos para a visualização de dados na forma

gráfica. Ele trabalha com objetos gráficos, tais como linhas e superfícies. As

propriedades de tais objetos podem ser controladas através das propriedades dos

objetos. Entretanto, o Matlab disponibiliza diversas funções que facilitam a

configurações das propriedades de objetos. As principais funções com esse fim são

vistas neste capítulo.

5.1 Cor, linha e marcador de uma curva (clm) Antes de apresentar as funções de plotagem, é interessante apresentar as

propriedades de cor, tipo de linha e tipo de marcador de uma curva. A Tabela 5.1

apresenta as diferentes possibilidades.

Tabela 5.1: Cores, tipos de linha e marcadores

Cor Tipo de linha Marcador

y (amarela) - (sólida) . (ponto)

m (magenta) : (pontilhada) o (círculo)

c (azul-claro) -. (ponto-traço) x (marcador x)

r (vermelha) -- (tracejada) + (cruz)

g (verde) * (estrela)

b (azul) s (quadrado)

w (branca) d (losango)

k (preta) h (hexagrama)

p (pentagrama)

v ou ^ (triângulo p/ baixo ou cima)

< ou > (triângulo p/ esquerda ou direita)

5.2 Principais funções relacionadas com gráficos

A Tabela 5.2 apresenta algumas das principais funções relacionas com

gráficos Matlab.

29

Tabela 5.2: Funções relacionadas com gráficos

title título ylabel nome do eixo y

text texto em local especificado grid desenha linhas de grade

gtext texto usando mouse axis intervalo dos eixos

xlabel nome do eixo x legend legendas no gráfico

5.3 Funções utilizadas para plotagem A Tabela 5.3 apresenta as principais funções utilizadas para gerar gráficos 2D.

Tabela 5.3: Funções para plotagem 2D

Função Descrição

plot(x1,y1,clm1,...,xN,yN,clmN) eixos X e Y em escala linear

semilogx(x1,y1,clm1,...,xN,yN,clmN) eixo X logarítmico e eixo Y linear

semilogy(x1,y1,clm1,...,xN,yN,clmN) eixo X linear e eixo Y logarítmico

loglogy(x1,y1,clm1,...,xN,yN,clmN) eixos X e Y logarítmicos

plotyy(x1,y1,clm1,x2,y2,clm2) duas curvas com escalas em Y diferentes

stem(x,y) plota seqüências discretas

5.4 Propriedades de textos Textos em gráficos possuem propriedades que podem ser alteradas, tais como

tipo e tamanho da fonte. A Tabela 5.4 apresenta comandos que realizam essas tarefas.

Tabela 5.4: Propriedades de textos em gráficos Matlab

Propriedade Comando Exemplo

Tipo de fonte \fontename \fontname{Arial}

Tamanho da fonte \fontesize \fontsize{14}

Texto em negrito \bf \bfTexto

Texto em itálico \it \itTexto

Subscrito _ X_n

Sobrescrito ^ X^n

Letras gregas '\nomeletra' '\pi'

30

5.5 Exemplos

a) Plotar a função , para . ( )xy e sen x−= 0 10x< <

% Exemplo a

clear

close all

x = 0:0.1:10;

y = exp(-x).*sin(x);

plot(x,y,'r'); % Plota curva em vermelho

title('\fontsize{18}f(x)=e^{-x}*sen(x)'); % Titulo em fonte 18

xlabel('Eixo X');

ylabel('Eixo Y');

axis([0 10 -0.1 0.4]); % escala de x varia entre 0 e 10; de y entre -0.1 e 0.4

% insere texto em fonte times 16

gtext('\fontname{timesnewroman}\fontsize{16}ponto de maximo local');

b) Plotar as funções e , para 0 , no mesmo

gráfico.

1( ) ( )xf x e sen x−= 2 ( ) ( )f x sen x= 10x< <

% Exemplo b

clear

close all

x = 0:0.1:10;

y1 = exp(-x).*sin(x);

y2 = exp(-x);

y3 = sin(x);

plot(x,y1,'r',x,y2,'b',x,y3,'k');

title('\fontsize{18}f(x)=e^x*sen(x)'); % Titulo em fonte 18

legend('f_1(x)=e^{-x}*sen(x)','f_2(x)=e^{-x}','f_3(x)=sen(x)');

xlabel('Eixo X');

ylabel('Eixo Y');

axis([0 10 -1 1]); % escala de x varia entre 0 e 10 e a de y entre -1 e 1

31

c) Função semilogx e comando figure: Diagramas de Bode de . ( ) /(10 )H j j jω = ω + ω

% Exemplo c

clear

close all

w = logspace(-2,3,1000); % w vetor logaritmicamente espacado entre 10^-1 e 10^2, com 1000 pontos

H = j*w./(j*w+10);

magH = 20*log10(abs(H)); % Magnitude em dB

fasH = angle(H)*180/pi; % Fase em graus

figure(1) % Grafico de magnitude

semilogx(w,magH); % Eixo X em escala logaritmica

title('Magnitude');

xlabel('\omega (rad/s)');

ylabel('dB');

grid

figure(2) % Grafico de fase

semilogx(w,fasH); % Eixo X em escala logaritmica

title('Fase');

xlabel('\omega (rad/s)');

ylabel('graus');

grid

d) Função subplot: Diagramas de Bode de na mesma figura. ( ) /(10 )H j j jω = ω + ω

% Exemplo d

clear

close all

w = logspace(-2,3,1000); % w vetor logaritmicamente espacado entre 10^-1 e 10^2, com 1000 pontos

H = j*w./(j*w+10);

magH = 20*log10(abs(H)); % Magnitude em dB

fasH = angle(H)*180/pi; % Fase em graus

subplot(1,2,1) % Figura com 1 linha, 2 colunas, grafico 1

32

semilogx(w,magH); % Eixo X em escala logaritmica

title('Magnitude');

xlabel('\omega (rad/s)');

ylabel('dB');

grid

subplot(1,2,2) % Figura com 1 linha, 2 colunas, grafico 2

semilogx(w,fasH); % Eixo X em escala logaritmica

title('Fase');

xlabel('\omega (rad/s)');

ylabel('graus');

grid

e) Função stem: plotar em função de k. ( ) * ( )ky k a u k=

% Exemplo e

k = -10:10;

% Criacao do degrau unitario u(k)

for i = 1:length(k)

if k(i) >= 0

u(i) = 1;

else

u(i) = 0;

end

end

% alternativa ao for:

% u = (k >= 0)

% Criacao de y(k) = a^k*u(k)

a = 0.5;

y = (a).^k.*u;

stem(k,y);

Gráficos 3D O Matlab possui diversas funções destinadas à criação de gráficos em 3D. A

Figura 5.1 apresenta apenas algumas delas. Quem desejar se aprofundar no assunto deve

ler a documentação do próprio Matlab.

33

Gráfico 3D

Curvas Superfícies

curvas em 3D

curvas de nível

plot3

contour

superfícies 3D

malhas 3D

surf

mesh

Figura 5.1: Tipos de gráficos e funções 3D.

a) Exemplo de uma curva em 3D (função plot3)

t = 0:pi/50:10*pi;

x = sin(t);

y = cos(t);

z = t;

plot3(x,y,z);

xlabel('sin(t)'); ylabel('cos(t)'); zlabel('t');

Se for desejado plotar uma função de duas variáveis é necessário gerar matrizes X e Y contendo linhas repetidas, que definem o domínio da função. A função Malab que define X e Y a partir de vetores x e y é a meshgrid. Feito isso, pode-se utilizar a função desejada para plotar a função z. Veja o exemplo abaixo, no qual se deseja obter as curvas de superfície (função surf) e de malha (função mesh) de

( , )z f x y=

( )2 2

2 2

sen( , )

x yz f x y

x y

+= =

+

clear

close all

x = -8:0.5:8;

y = -8:0.5:8;

[X,Y] = meshgrid(x,y); % Geracao de matrizes X e Y a partir de x e y

r = sqrt(X.^2 + Y.^2);

Z = sin(r)./r;

figure(1) % Grafico de superficie

surf(X,Y,Z);

figure(2) % Grafico de malha

mesh(X,Y,Z);

34

6. Funções relacionadas com arquivos de dados

O Matlab possui diversas funções para leitura e gravação de arquivos de

dados (texto, imagem e som). Algumas das principais são apresentadas neste capítulo.

6.1 Leitura e gravação de arquivos de dados

a) Funções dlmread e dlmwrite

Para ler ou gravar um arquivo ASCII delimitado utiliza-se as funções dlmread

e dlmwrite, respectivamente. O arquivo possui um caractere delimitador, que separa os

dados uns dos outros. Veja os exemplos.

A função dlmread(‘NomeArquivo’,’delimitador’) lê um arquivo ASCII com

determinado delimitador. Por exemplo, considere um arquivo dados.txt, cujo

delimitador é um espaço em branco. O exemplo abaixo mostra como ler este arquivo e

salvar o seu conteúdo em uma variável denominada “a”.

>> type dados.txt

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

>> a = dlmread('dados.txt',' ')

a =

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

A função dlmwrite(‘NomeArquivo’,matriz,’delimitador’) permite gravar os

dados de uma matriz em um arquivo ASCII com determinado delimitador. O exemplo

abaixo mostra salva a matriz M no arquivo gravar.txt, cujo delimitador é a “,”.

>> M = [1 3 5 7;2 4 6 8]

M =

1 3 5 7

2 4 6 8

>> dlmwrite('gravar.txt',M,',');

>> type gravar.txt

1,3,5,7

2,4,6,8

35

b) Funções load e save

As funções load e save servem para ler/gravar variáveis armazenadas em

arquivos com extensão .mat, que é um formato binário proprietário do Matlab. A sintaxe

é a seguinte:

load(‘NomeArquivo’)

save(‘NomeArquivo’,’var1’,’var2’,...,’varN’)

save(‘NomeArquivo’,’var1’,’var2’,...,’varN’,’-ASCII’)

No comando save, se nenhuma variável for especificada, o Matlab salva todas

as variáveis do worspace no arquivo especificado. A opção ‘-ASCII’ salva o arquivo no

formato ASCII. Veja alguns exemplos.

>> a = [1 2];

>> b = 3;

>> texto = 'teste';

>> save('arquivo1','a','texto');

>> clear

>> whos

>> load('arquivo1')

>> whos

Name Size Bytes Class

a 1x2 16 double array

texto 1x5 10 char array

Grand total is 7 elements using 26 bytes

Existem diversas outras funções para carregar arquivos de dados. Elas podem

ser acessadas pelo comando importdata (help importdata).

6.2 Leitura e gravação de arquivos de imagem Para ler ou gravar um arquivo de imagem, utiliza-se as funções imread e

imwrite, respectivamente. A sintaxe é a seguinte:

A = imread(‘NomeArquivo’)

imwrite(Matriz,‘NomeArquivo’)

As extensões permitidas são: bmp, cur, gif, hdf, iço, jpg, jpeg, pcx, png, tif,

tiff e xwd

36

6.3 Leitura e gravação de arquivos de imagem Para ler arquivo de som, utilizam-se as funções auread (som NeXT/SUN) e

wavread (som Microsoft wave). Para gravar um arquivo de som, utilizam-se as funções

auwrite (som NeXT/SUN) e wavwrite (som Microsoft wave).

37

7. Polinômios

a) Raízes de um polinômio: função roots

Dado um vetor p com n elementos, a função roots retorna as raízes do

polinômio P definido por P . Veja o exemplo,

onde se considera um polinômio P .

1(1) (2) ( 1) ( )n np x p x p n x p n−= + + + − +

5 4 26 15 3 4 1x x x x= − + + +

>> p = [6 -15 0 3 4 1];

>> roots(p)

ans =

2.3531

0.9461

-0.2579 + 0.4447i

-0.2579 - 0.4447i

-0.2833

b) Coeficiente de um polinômio a partir de suas raízes: função poly

Dado um vetor r contendo as raízes de um polinômio, a função poly retorna

um vetor contendo os coeficientes do polinômio. Veja o exemplo, no qual se deseja um

polinômio com raízes –1 e 2. O resultado é . 2P 2x x= − −

> >> r = [-1 2];

>> P = poly(r)

P =

1 -1 -2

c) Valor de um polinômio: fução polyval

A função polyval calcula o valor de um polinômio P(X) para cada valor de um

vetor X. Por exemplo, considere que se deseja calcula o valor de P 2 para

. Veja o exemplo.

2x x= − −

3 x− < < 3

>> p = [1 -1 -2];

>> x = -3:0.1:3;

>> resultado = polyval(p,x);

>> plot(x,resultado);

d) Ajuste de curvas por polinômio de grau n: fução polyfit

38

Dados vetores x e y, a função polyfit retorna os coeficientes de um polinômio

de grau n que melhor aproxima os pontos definidos por (x,y). Veja o exemplo, no qual a

curva é aproximada por um polinômio de grau 3, dado por

. 3 2P 0,0046 0,7995 3,5478 99,8667x x x= − + +

>> x = 1:10;

>> y = [100 110 105 98 102 107 103 100 99 103];

>> p = polyfit(x,y,3);

>> p = polyfit(x,y,3)

p =

0.0466 -0.7995 3.5478 99.8667

>> aprox = polyval(p,x);

>> plot(x,y,x,aprox,'r');

e) Multiplicação/divisão de polinômios: fuções conv/deconv

Dados dois vetores p1 e p2, contendo os coeficientes de dois polinômios, as

funções conv e deconv retornam os coeficientes de um vetor dado pela multiplicação e

divisão entre p1 e p2, respectivamente. Veja o exemplo.

>> p1 = [2 1 3 4];

>> p2 = [1 -1 2];

>> p3 = conv(p1,p2)

p3 =

2 -1 6 3 2 8

>> p4 = deconv(p1,p2)

p4 =

2 3

39

8. Bibliografia

MATSUMOTO, E. Y. MATLAB 6 – Fundamentos de Programação. 1. ed. São

Paulo: Editora Érica Ltda., 2001.

Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas. Matlab – Curso Introdutório. Disponível

em: <http://mesonpi.cat.cbpf.br/e2002/cursos/NotasAula/Tutorial_matlab.pdf>

Acesso em: 06 jul. 2005.

Apostila do II Workshop Internacional de Ensino de Engenharia. Mini-curso Uso do

Matlab no Ensino de Engenharia.

40