O USO DO SOFTWARE MATLAB PARA O ESTUDO DE ALGUNS TÓPICOS DE ÁLGEBRA LINEAR

Marcello Nobre1

RESUMO

Neste trabalho, pretende-se discutir o uso de tecnologias no ensino da matemática, especialmente do software Matlab apresentado algumas possibilidades deste software no ensino de álgebra linear abordando tópicos sobre equações lineares e álgebra matricial, trazendo comandos e funções para a prática. Para apresentar essa pesquisa de cunho bibliográfico, foram feitos estudos matemáticos em de alguns tópicos de álgebra linear co-relacionando-os com o conteúdo disponível no Matlab.

1. INTRODUÇÃO

O Matlab (acrônimo de MATrix LABoratory) é um software computacional conhecido mundialmente como uma excelente ferramenta para soluções de problemas matemáticos, científicos e tecnológicos, que possuí comandos muito próximos da forma como escrevemos as expressões matemáticas, podem ser usado como prancheta de rascunhos para avaliar expressões digitadas nas linhas de comando, ou para executar programas grandes previamente escritos, pois ele possuí um ambiente de desenvolvimento integrado embutido, um depurador de informações. Por ser muito fácil de usar, a linguagem é ideal para uso educacional e para desenvolver rapidamente protótipos de novos programas. No início o Matlab era apenas um software para operações matemáticas sobre matrizes, mas ao longo dos anos transformou-se em um sistema computacional flexível capaz desenvolver essencialmente qualquer problema técnico. O matlab tem suporte em muitos sistemas computacionais diferentes, proporcionando, em grande medida, uma independência de plataforma para suporte em Windows 9x/NT/2000/XP e em diversas versões de UNIX ou LINUX. O MATLAB possuí uma vasta biblioteca de funções predefinidas, com mais de 1.000 funções, entre elas algumas matemáticas, tais como: Matemática elementar; Funções especiais; Matrizes elementares; Matrizes especiais; Decomposição e fatorização de matrizes; Análise de dados; Polinômios; Solução de equações diferenciais; Equações não-lineares e otimização; Integração numérica; Processamento de sinais entre outras. Neste artigo será apresentado apenas funções do Matlab relativos à álgebra linear e algumas tarefas técnicas básicas para o uso deste software. Para a realização deste, que é de cunho bibliográfico, foi realizada uma revisão literaria de artigos, monografias, sites e tutoriais que abordam a utilização do software Matlab, analisando as vantagens e as desvantagens de sua utilização, mostrando trabalhos já realizados e também foi necessário fazer um aprofundamento no estudo de álgebra linear por meio de pesquisas em livros que abordem aplicações, para a demonstração de comandos para usar o Matlab. A importância da álgebra linear nas aplicações tem crescido de modo diretamente proporcional ao crescimento do poder computacional, onde cada geração de software desencadeia uma demanda de novas funções. Na atualidade, cientistas, matemáticos e engenheiros trabalham com problemas muito complexos, e a álgebra linear tem grande

1 Licenciando em Matemática da Universidade Católica de Brasília – UCB marcellodidatica@yahoo.com.br

potencial tanto nas áreas científicas quanto de negócios, alguns exemplos podem ser vistos na exploração de petróleo, na programação linear, em circuitos eletrônicos, entre outros.

Visto que o uso da informática na educação está cada vez mais freqüente, entre educadores e alunos, hoje estes aproveitam esta tecnologia e o computador é visto como um facilitador. No entanto nem todos dispõem deste recurso, tanto no que tange a sua disponibilidade quanto no que diz respeito à questão do seu manuseio. Nessa sociedade da informação, constatamos que a utilização dos computadores é irreversível, dada a diversidade de suas aplicações e capacidade de armazenar, organizar e processar informações. Na escola, essa realidade não é diferente: o computador renova as práticas docentes e institucionais, traz novos objetivos e funções na educação escolar. Muito além de outras tecnologias, que também atingiram de forma abrangente e transformadora o nosso cotidiano, a informática, cada vez mais miniaturizada e mais interligada com os meios de comunicação, invade o ambiente doméstico, o universo infantil, as pequenas empresas, a medicina, as pesquisas cientificas e as escolas, transformando-se em uma poderosa ferramenta de comunicação e criação. (COTA JÚNIOR, 2002).

Nos Estados Unidos, existem várias pesquisas para elaboração de softwares direcionados às disciplinas, especificamente, e suas peculiaridades. Destacamos o trabalho do Professor John R. Anderson, que utiliza a inteligência artificial na elaboração de softwares de Álgebra e Geometria para um melhor aproveitamento, pelos alunos de Matemática, nestes tópicos específicos. Os resultados são surpreendentes, pois, segundo relatos das pesquisas do professor Anderson, os alunos têm uma melhora excelente nestes tópicos da Matemática e também uma otimização do tempo de estudo. (Revista Iniciação Científica).

O site da EDUMATEC, Educação Matemática e Tecnologia Informática tem como um dos objetivos a apresentação de material que trate do potencial da tecnologia informática no âmbito da educação matemática escolar. Especial atenção é dada a seleção de software, com escolhas que recaem sobre aqueles que se caracterizam como ambientes de expressão e exploração, o que significa a oportunidade de viabilizar práticas pedagógicas que coloquem os alunos no papel de ativos aprendizes. Pensando-se naqueles professores ainda com pouca experiência na utilização desta tecnologia também apresentamos atividades que podem servir como ponto de partida para trabalho em sala de aula. E dado o crescente número de informação que circula na Internet, procuramos também selecionar artigos e links que contribuam para a formação de professores e alunos. O site também é utilizado ao longo dos trabalhos da disciplina, de mesmo nome, do curso de Licenciatura em Matemática da UFRGS. Esta disciplina tem como propósito preparar o futuro professor no uso de tecnologia informática no âmbito do ensino e aprendizagem da Matemática escolar. Parte da produção dos alunos tem sido aqui publicada, criando-se desta forma um ambiente para produção de cultura no uso de tecnologia informática. (http://www.edumatec.mat.ufrgs.br). De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN´s), As técnicas, em suas diferentes formas e usos, constituem um dos principais agentes de transformação da sociedade, pelas implicações que exercem no cotidiano das pessoas. Estudiosos do tema mostram que escrita, leitura, visão, audição, criação e aprendizagem são capturados por uma informática cada vez mais avançada. Nesse cenário, insere-se mais um desafio para a escola, ou seja, o de como incorporar ao seu trabalho, apoiado na oralidade e na escrita, novas formas de comunicar e conhecer. O fato de, neste final de século, estar emergindo um conhecimento por simulação, típico da cultura informática, faz com que o computador seja também visto como um recurso didático cada dia mais indispensável. Ele é apontado como um instrumento

que traz versáteis possibilidades ao processo de ensino e aprendizagem de Matemática, seja pela sua destacada presença na sociedade moderna, seja pelas possibilidades de sua aplicação nesse processo. Tudo indica que seu caráter lógico-matemático pode ser um grande aliado do desenvolvimento cognitivo dos alunos, principalmente na medida em que ele permite um trabalho que obedece a distintos ritmos de aprendizagem.

Embora os computadores ainda não estejam amplamente disponíveis para a maioria das escolas, eles já começam a integrar muitas experiências educacionais, prevendo-se sua utilização em maior escala a curto prazo. Isso traz como necessidade a incorporação de estudos nessa área, tanto na formação inicial como na formação continuada do professor do ensino fundamental, seja para poder usar amplamente suas possibilidades ou para conhecer e analisar softwares educacionais.Quanto aos softwares educacionais é fundamental que o professor aprenda a escolhê-los em função dos objetivos que pretende atingir e de sua própria concepção de conhecimento e de aprendizagem, distinguindo os que se prestam mais a um trabalho dirigido para testar conhecimentos dos que procuram levar o aluno a interagir com o programa de forma a construir conhecimento. O computador pode ser usado como elemento de apoio para o ensino (banco de dados, elementos visuais), mas também como fonte de aprendizagem e como ferramenta para o desenvolvimento de habilidades. O trabalho com o computador pode ensinar o aluno a aprender com seus erros e a aprender junto com seus colegas, trocando suas produções e comparando-as. 2. APRESENTAÇÃO DO MATLAB

Desenvolvido pelo “The Mathworks, Inc”, fundado em 1984 em Natick, Massachusetts, o Matlab é um sistema de computação algébrica, numérica e gráfica, desenhado para uso profissional na resolução de problemas que exigem métodos matemáticos. Apresenta soluções para resolução de problemas complexos, auxiliando no desenvolvimento tecnológico de produtos para as áreas: automotiva, aeroespacial, comunicações, serviços financeiros, biotecnologia, eletrônica, dentre outras. Auxiliando cientistas, engenheiros, professores e estudantes destas áreas. Convém observar que esse sistema não é desenhado especialmente para atingir objetivos pedagógicos, mas é projetado para atender às necessidades do profissional na resolução de problemas. É certo que a utilização adequada desse sistema pode contribuir muito para cientistas, professores e alunos a nível de graduação ou profissional. o MATLAB possui uma família de aplicativos específicos (toolboxes1), que são coleções de funções usadas para resolver determinados problemas tais como: otimização, manipulação algébrica, redes neurais, processamento de sinais, simulação de sistemas dinâmicos, entre outros.

A figura abaixo mstra atela inicial do Matlab.

Figura 1 – Tela inicial do Matlab 6.5 Realese 13.

Uma vez inicializado o MATLAB, aparecerá na janela de comandos ao lado direito, um prompt , para a versão utilizada Matlab 6.5 release 13 (Figura 1). O prompt significa que o MATLAB está esperando um comando. Todo comando deve ser finalizado teclando-se Enter. Para sair do Matlab digita-se o comando exit (ou quit) no prompt do programa, porém todas as variáveis são perdidas, a menos que sejam guardadas usando o comando save. Digitando save, todas as variáveis são salvas em um arquivo chamado matlab.mat. O comando load carrega as informações salvas, e é análogo ao save. Outro comando importante é lookfor, que procura entre todas as funções do Matlab a palavra-chave especificada. Inicialmente, para que o usuário avalie as potencialidades dos recursos do MATLAB que podem ser explorados em suas futuras implementações, recomenda-se a execução do programa demonstrativo (Figura 2), acessado através do comando demo.

A Figura abaixo mostra o comando Demo executado

Figura 2 – comando Demo Matlab 6.5 Realese 13

Ao digitar o comando help o MATLAB apresenta uma listagem de todos os pacotes disponíveis. Para se ter ajuda sobre um pacote específico ou sobre um comando ou função específica, deve-se combinar o comando help e o nome do pacote, comando ou função de interesse. Ao se executar o comando helpwin, abre-se uma nova janela textual de ajuda (Figura 3).

Figura 3 – comando Helpwin do Matlab 6.5 Realese 13 Combinando-se o um click sobre um dos itens e os botões Back , Forward e Home

obtêm-se os vários níveis de ajuda de um pacote específico e de um comando ou função de interesse. O nome de uma função pode ser introduzida no campo superior esquerdo para se ter diretamente uma ajuda deste comando. No menu à direita deste campo encontram-se os tópicos relacionados com a função que está sendo explicada no momento. É possível armazenar em arquivo as variáveis criadas no decorrer de uma sessão do MATLAB para recuperá-las em uma outra sessão. Para isto, recorra à opção “File/Save WorkspaceAs (arquivo/salvar como)” da barra de menu (Figura 4).

A Figura abaixo mostra como salvar um arquivo no Matlab.

Figura 4 – barra de menu do Matlab 6.5 Realese 13. Os arquivos referentes ao matlab possuem a extensão de final “.mat”. No MATLAB não é necessário que sejam declaradas as variáveis para iniciá-las, como é feito em outras linguagens de programação. Ao jogar dados numa variável, o programa aloca memória automaticamente. A maneira mais fácil de entrar com pequena quantidade de valores é digitando diretamente os dados: · envolva os elementos com colchetes, [ ]; · separe cada elemento com espaços ou vírgulas; · use ponto-e-vírgula (;) para indicar fim da linha. Isto é muito útil para evitar que o computador fique mostrando números de cálculos intermediários e para acelerar as operações.

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3. A ÁLGEBRA LINEAR E O MATLAB

Em 1949, Wassily Leontief, professor de Harvard cuidava de informações sobre a economia americana e possuia cartões contendo um resumo de mais de 250.000 itens produzidos pelo Departamento de Estatística dos EUA, após dois anos intensos de trabalho Leontief dividiu a economia americana em 500 “setores”, como indústria automobolística, agricultura, comuniçações e assim por diante. Para cada setor ele escreveu uma equação linear de acordo com a sua produção, com o uso do Mark II, um dos maiores computadores da época, que no entanto não podia lidar com 500 equações e 500 incógnitas, Leontief precisou resumir em um sistema de 42 equações e 42 incógnitas, sendo que o Mark II levou 56 horas pra produzir uma solução. Leontief, ganhou o Prêmio Nobel de Economia em 1973 e abriu a porta para um nova era da modelagem matemática, pois devido a uma enorme quantidade de dados envovidos, os modelos são geralmente lineares, ou seja, são descritos por sistemas de equações lineares. A mesma solução produzida pelo Mark II por ser obtida pelo Matlab em poucos minutos, porque uma das características do Matlab é a sua extensibilidade, que permite que engenheiros, programadores, matemáticos cientistas, e até mesmo você, contribuam para o enriquecimento, porém conforme os ambientes informatizados tornam-se mais ricos nos seus recursos, mais acessíveis vão se tornando aos alunos idéias matemáticas significativas e profundas, mas na forma que se apresentam hoje, por si só, não garantem a construção do conhecimento. Para que haja avanço no conhecimento matemático, é importante que o professor projete as atividades a serem desenvolvidas. Uma tarefa difícil é conciliar o que se julga importante a ser aprendido com a liberdade de ação do aluno perante um software. Assim, por exemplo, se o objetivo é o aprendizado da álgebra linear, atividades devem ser projetadas para tal. Não basta colocar a disposição do aluno um programa de construção em álgebra linear, o aluno certamente vai aprender alguma coisa. Mas a apropriação de idéias matemáticas significativas nem sempre acontecem de forma espontânea, mesmo nestes ambientes, e assim um trabalho de orientação por parte do professor, se faz necessário.

3.1 EQUAÇÕES LINEARES

Arthur Cayley (1821-1895): Matemático inglês nascido em Richmond, diplomou-se no Trinity College de Cambridge. Na sua vida, Cayley encontrou rivais em Euler e Cauchy sendo eles os três maiores produtores de materiais no campo da Matemática. Em 1858, Cayley apresentou representações por matrizes. Segundo ele, as matrizes são desenvolvidas a partir da noção de determinante, isto é, a partir do exame de sistemas de equações, que ele denominou: o sistema. Cayley desenvolveu uma Álgebra das matrizes quadradas em termos de transformações lineares homogêneas

A Equação linear é escrita na forma

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1

onde

� x1, x2, ..., xn são as incógnitas; � a11, a12, ...,a1n são os coeficientes (reais ou complexos);

� b1 é o termo independente (número real ou complexo).

Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por duas ou mais equações lineares. Um sistema linear pode ser representado na forma:

a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2 ... ... ... ... am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bn

onde

� x1, x2, ..., xn são as incógnitas; � a11, a12, ..., amn são os coeficientes; � b1, b2, ..., bm são os termos independentes.

Usando as operacões matriciais podemos transpor o sistema linear acima, e escrevê-lo como uma equacão matricial, AX = B, onde

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Uma solução de um sistema linear de uma matriz tal que as equacões do sistema são satisfeitas quando substituimos x1 = s1; x2 = s2; ..... ; xn = sn. O conjunto de todas as solucões do sistema é chamado conjunto solução ou solução geral do sistema. a matriz A é chamada matriz do sistema linear. Portanto sabemos que podemos transformar equações lineares em equações matriciais sem alteração de valores, ou seja, podemos trabalhar com a álgebra matricial. Veja como utilizar o Matlab para resolução de equações lineares: Dado um sistema algébrico de equações lineares da forma Ax=b, resolveremos por métodos clássicos e com funções próprias do Matlab Alguns comandos cujos argumentos são matrizes e que são úteis para a resolução de sistemas:

Iniciarei mostrando um exemplo como se resolve uma simples equação seja ela linear ou não e para isso será utilizado o comando roots, sendo que este mesmo comando resolve também polinômios: Equação: x2-4x+4, cuja raízes de x’ e x” são matematicamente iguais a 2, como fazer no Matlab. Digite y = [1 4 4]; pressione entre; Use o comando >> raizes=roots(y), pressione enter novamente e verifique o valor das raízes. A figura abaixo mostrará o que ocorre no programa:

>>det(A) encontra o determinante de uma matriz quadrada; >>inv(A) encontra a inversa de uma matriz quadrada; >>rank(A) encontra a ordem do menor para o menor elemento de uma matriz; Exemplos de resolução de um sistema Ax=b: Pela regra de cramer: Dado um sistema Ax=b; A=[1,2,3;2,3,4;4,2,5] b=[4;5;1]; det(A) D1=A;D1(:,1)=b D2=A;D2(:,2)=b D3=A;D3(:,3)=b x=[det(D1);det(D2);det(D3)]/det(A) ou Se a matriz é quadrada e o seu determinante é diferente de zero: Ainv=inv(A) Y o sistema se resolveria como

x=Ainv*b Outros commandos auxiliaries que são POLY(que se trata de polinômios), RESIDUE(que encontra o valor do resto), e FZERO(que também encontra raízes de outras equações, como as diferenciais). 3.2 ÁLGEBRA MATRICIAL Projetos assistidos por softwares matemáticos de computação gráfica avançada têm economizado milhões de dolares a cada ano para a Ford Motor Company, o uso desses novos softwares entre eles o Matlab, vem revolucionando a indústria automobilística, onde a computação gráfica é o coração, a álgebra linear a alma, de projetos de carros modernos. Como funciona? Meses antes da construção de um novo modelo de carro, engenheiros projetam e constroem um carro matemático(um modelo de arame que existe apenas na memória do computador e em terminais gráficos). Esse modelo organiza e influência cada passo, trabalhando em mais 2600 estações gráficas, os engenheiros desenham as linhas de fluxo da carroceria, ajustam o interior, além de também desenhar as peças que os forneçedores irão produzir. Matematicamente o carro em modelo de arame é armazenado na forma de muitas matrizes para cada componente principal. Cada coluna de uma matriz fornece as coordenadas de um ponto da superfície de uma componente. Um scanner tridimensonal gera o conjunto de dados originais, ao passar por um modelo de argila em tamanho real. Posteriormente programas matemáticos forneçem pontos, curvas e cores que geram a superfície externa do carro para que consumidores em potencial possam dar opiniões á medida que o carro gira. De fato até mesmo na manipulação de imagens é utilizado técnicas de álgebra linear. Uma matriz A, m x n (m por n), é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e n colunas.

A i-ésima linha de A é

para i = 1,..., m e a j-ésima coluna de A é

para j = 1,...,n. Usamos também a notação dizemos que ou é o elemento de posição i,j da matriz A. Se m = n, dizemos que A é uma matriz quadrada de

ordem n e os elementos foram a chamada diagonal (principal) de A

A matriz, n x n,

chamada matriz identidade é tal que

para toda matriz e

para toda matriz Veja abaixo com trabalhar com matrizes no Matlab:

Para abrir o pacote de comandos no matlab digite no promt: >> help matfun e pressione enter, isto irá abrir os comandos para manipulação de matrizes e para equações lineares use o comando:>> help slash

No Matlab dá-se aos elementos das matrizes colocando os dois índices entre parêntesis, separados por uma vírgula (por exemplo A(1,2) ou A(i,j)). As matrizes são armazenadas por colunas (apesar de se introduzirem por linhas) e tendo em conta isto, pode-se encontrar qualquer elemento de uma matriz com um só subíndice. Por exemplo, se A é uma matriz (3x3), obtém-se o mesmo valor escrevendo A(1,2) ou A(4). Os operadores matriciais em Matlab são os seguintes: + adição – subtracção * multiplicação ' adjunta (transposta ou transposta conjugada) ^ potenciação \ divisãoesquerda / divisãodireita .* produto elemento a elemento ./ e .\ divisão elemento a elemento .^ elevar a uma potência elemento a elemento

Um pacote chamado gaal com funcões que são direcionadas para o estudo de Geometria Analítica e Álgebra Linear pode ser obtido através da internet no endere»co http://www.mat.ufmg.br/~regi, assim como um texto com uma introducão ao matlab e instrucões de como instalar o pacote gaal. Uma vez inicializado o matlab, aparecerá na janela de comandos um prompt >> ou EDU>>.O prompt significa que o matlab está esperando um comando. Todo comando deve serfinalizado teclando-se Enter. Comandos que foram dados anteriormente podem ser obtidos novamente usando as teclas e do teclado. Enquanto se estiver escrevendo um comando, este

pode ser corrigido usando as teclas , , Delete e Backspace. O MATLAB faz diferença entre letras maiúsculas e minúsculas.

Comandos importantes para o trabalho com matrizes no matlab: Para definir uma matriz não é necessário estabelecer de antemão o seu tamanho (de fato, podese definir um tamanho e mudálo posteriormente). O Matlab determina o número de linhas e de colunas em função do número de elementos que se utilizam. As matrizes definem-se por linhas; os elementos de uma mesma linha estão separados por espaços ou vírgulas, ao passo que as linhas estão separadas por ponto e vírgula (;). O comando >> syms x y z , diz ao Matlab que as variáveis x y e z serão simbólicas. Para a criação da matriz digite: >> A=[a11,a12,...,a1n;a21,a22,...; ...,amn] Isto criará uma matriz , m por n, usando os elementos a11, a12, ..., amn e será armazenada pela variável A. Para facilitar a compreensão e o aprendizado do leitor usuário do matlab segue um exemplo: Digite no promt do matlab, A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9], pressione enter. Será criada uma matriz A de dimensão (3x3): E a resposta do programa é a seguinte: A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . Ou use o comando:>> randi(n) ou randi(m,n), este cria uma matriz com elementos inteiros aleatorios Para calcular o determinante da matriz criada digite: >>det(A), neste caso A é a variável dada a matriz. O comando >>I=eye(n) irá criar uma matriz identidade n por n e a armazena numa variável I; Veja abaixo um exemplo de uma matriz com n=5.

Para criar uma matriz nula digite: >> 0=zeros(n) ou 0=zeros(m,n), para criar um matriz nula de n por n ou para criar uma triz de n por m, respectivamente. Para criar uma matriz diagonal, onde os elementos diagonais são iguais Digite: >> diag([d1,...,dn]), onde os elementos diagonais são d1,...,dn.

Formatos do Matlab: o Matlab tem formato short mas Pode se escolher entre os seguintes formatos: • >> format long (14 dígitos significativos) • >> format short (5 dígitos significativos) • >> format short e (notação exponencial) • >> format long e (notação exponencial) • >> format rat (aproximação racional) O Matlab possuí algumas variáveis predefinidas: i = (-1)½ pi = π Inf = ∞ NaN= cálculos indefinidos eps = < nº que + outro nº=nº vírgula flutuante 2.22e16 date = valor da data atual rand = gera números aleatórios [0 1] realmin = <nº+ realmax= >nº+ Outras funções do Matlab: Nome do comando(argumento) função: • sqrt (x) raiz quadrada • abs(x) módulo de x • conj(z) conjugado de um complexo • real(z), imag(z) parte real e imaginária de z, respectivamente • exp(x) calcula ex, sendo x real ou complexo • sin(x) asin(x) [-p/2 p/2] • cos(x) acos(x) [0 p] tan(x) • atan(x) [-p/2 p/2] • angle(z) • log(x) (em base e); log10(x) • rats(x) rem(x,y) resto de x/y Análise Didática

As tecnologias informáticas, com o conjunto de ferramentas que vêm disponibilizando,

podem enriquecer o ensino da Matemática, valorizando uma abordagem experimental de conceitos em domínios tão importantes como a geometria, álgebra e a modelação de fenômenos reais através do uso do conceito de função.

As pesquisas na área de tecnologias em Educação Matemática, visando compreender como softwares entram nas atividades de comunidades de aprendizes, têm se proliferado, utilizando inúmeras teorias e metodologias variadas. Tais pesquisas consideram o que as novas tecnologias, com seu caráter intrinsecamente cognitivo, facilitam o acesso aos múltiplos sistemas de representações, oferecendo novas perspectivas no uso de linguagens e expressões matemáticas. Recentemente as investigações se estendem sobre aspectos sócio-culturais, considerando, por exemplo, o papel do professor e a relação entre o uso dessas ferramentas e os métodos tradicionais.

Estas pesquisas têm por objeto de estudo os ambientes de aprendizagem criados utilizando as novas tecnologias como ferramenta didática. Nesta linha, a análise recai sobre o software, produtos de software, a tecnologia utilizada e os ambientes de aprendizagem mediados por computadores.

Porém, nossa preocupação agora está voltada ao uso dessas tecnologias e as suas implicações nos processos de ensino aprendizagem. Ou seja, de que forma o uso desse tipo de fermenta pode auxiliar o aluno no seu processo construção do conhecimento.

Isso nos leva a refletir sobre o processo de ensino e aprendizagem que pode levar o aprendiz a construir seu conhecimento, pois sabemos que na visão tradicional, na qual os processos de memorização e instrução são os grandes pilares da atividade docente, o aluno muitas vezes não consegue assimilar um determinado conceito em função da descontextualização dos problemas que envolvem esse conceito. Ou seja, pode ocorrer aprendizagem se o professor propor atividades que fujam das práticas tradicionais.

Partindo da necessidade de compreender o processo de interiorização de conceitos que contribuiu para a formação das diversas teorias de aprendizagem, percebemos que o mesmo deve partir do pressuposto de que o conceito a ser apreendido deve ser significativo ao aluno para que ocorra a assimilação do mesmo. Isto quer dizer que a prática docente deve vislumbrar uma aprendizagem significativa.

Neste sentido, o uso do software Matlab pode enriquecer a prática docente, melhorando consideravelmente a aprendizagem do individuo à medida que o mesmo vai explorando os seus recursos e investigando as variantes que estão sendo representadas ma tela do monitor em cada atividade proposta pelo mediador, além de poder auxiliar o aluno na superação das dificuldades apresentadas no estudo das funções, enriquecer o ensino de Matemática com o uso de novas tecnologias tornando a aprendizagem mais estimuladora.

Porém, sabemos que para obtermos sucesso em nossa prática é imprescindível que nossa ação seja planejada previamente e que os objetivos da mesma sejam claros para nós e que estejam implícitos em cada tarefa por nós sugerida.

Assim, convém adotar algumas linhas para a execução de algumas atividades de modo que o trabalho caminhe para o objetivo proposto.

4. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Certamente, foi atingido o objetivo dessa pesquisa, que é mostrar um pouco da potencialidade do software Matlab em relação a álgebra linear. A ênfase é o seu uso como ferramenta didática, com a descrição de alguns passos, através de seqüências didáticas, sobre a sua utilização.

Apesar desse sistema não ter sido desenhado especialmente para atingir objetivos pedagógicos, com a sua utilização adequada, o Matlab pode ser muito útil para estudantes nos auxílio e aprendizado de ferramentas computacionais, e esse conhecimento pode ser aproveitado para um melhor desempenho na resolução de problemas que fazem o uso de conheçimento matemático.

Incorporar, então, o ambiente eletrônico à nossa rotina não significa uma adesão, mas pressupõe recebê-lo criticamente, conhecer suas vantagens, desvantagens, seus riscos e possibilidades. Só assim podemos transformá-lo em ferramenta pedagógica.

REFERÊNCIAS BBLIOGRÁFICAS

COTA JÚNIOR, Alceu. Novas tecnologias educacionais no ensino da matemática: estudo de caso – 2002. Dissertação de mestrado – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2002, 18 p.

Roberto Mauro Costa e Silva e Carlos Roberto Amâncio Sousa. ANÁLISE DA INCORPORAÇÃO DA INFORMÁTICA NOS AMBIENTES EDUCACIONAIS PARA O ENSINO/APRENDIZADO DA MATEMÁTICA, Revista Iniciação Científica Maria Alice Gravina e Lucila Maria Santarosa, IV Congresso RIBIE, A APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA EM AMBIENTES INFORMATIZADOS, Brasilia 1998, 22 p. Parâmetros curriculares nacionais : matemática /Secretaria de Educação Fundamental. – O recurso às Tecnologias da Informação, Brasília :MEC/SEF, 1997. 46p. Trindade, M; Sampaio, R, “Introdução ao Matlab”, PUC-Rio, 2002. Hanselman, D; Littlefiel, B, “Matlab 6.5: release 13 Curso Completo”, Makron Books, 1ª Edição, 2004. Reginaldo J. Santos, Departamento de Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, 2000.