apostila

Engenharia Econmica

Eduardo Blatt

Adaptada/Revisada por Eduardo Blatt (setembro/2012)

APRESENTAO

com satisfao que a Unisa Digital oferece a voc, aluno(a), esta apostila de Engenharia Econmi-ca, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinmico e aut-nomo que a educao a distncia exige. O principal objetivo desta apostila propiciar aos(s) alunos(as) uma apresentao do contedo bsico da disciplina.

A Unisa Digital oferece outras formas de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidis-ciplinares, como chats, fruns, aulas web, material de apoio e e-mail.

Para enriquecer o seu aprendizado, voc ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, a Biblioteca Central da Unisa, juntamente s bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, bem como acesso a redes de informao e documentao.

Nesse contexto, os recursos disponveis e necessrios para apoi-lo(a) no seu estudo so o suple-mento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para uma formao completa, na qual o contedo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal.

A Unisa Digital assim para voc: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!

Unisa Digital

SUMRIO

INTRODUO ............................................................................................................................................... 5

1 VALOR PRESENTE E VALOR FUTURO ....................................................................................... 71.1 Equivalncia do Valor do Dinheiro no Tempo ......................................................................................................71.2 Juros ......................................................................................................................................................................................71.3 Histria dos Juros ............................................................................................................................................................71.4 Taxa Bsica de Juros ........................................................................................................................................................81.5 Taxa de Juros Simples e Compostos .........................................................................................................................91.6 Clculos com PV e FV ..................................................................................................................................................101.7 Resumo do Captulo ....................................................................................................................................................111.8 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................11

2 CLCULOS DE PRESTAES ........................................................................................................ 132.1 Prestaes ........................................................................................................................................................................132.2 Srie Perptua de Pagamento .................................................................................................................................142.3 Resumo do Captulo ....................................................................................................................................................152.4 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................15

3 JUROS NOMINAL E REAL E INFLAO ................................................................................. 173.1 ndices de Preos e Taxas de Inflao ....................................................................................................................173.2 Inflao .............................................................................................................................................................................173.3 Taxa Equivalente de Juros .........................................................................................................................................183.4 Juros Nominal e Real e Inflao ..............................................................................................................................183.5 Taxa Acumulada ............................................................................................................................................................193.6 Taxa de Desvalorizao Monetria ........................................................................................................................193.7 Correo Monetria .....................................................................................................................................................203.8 Imposto ............................................................................................................................................................................213.9 Resumo do Captulo ....................................................................................................................................................233.10 Atividades Propostas ................................................................................................................................................23

4 ANLISE DE ALTERNATIVAS ECONMICAS ..................................................................... 254.1 Taxa Mnima de Atratividade ....................................................................................................................................254.2 Custo de Oportunidade .............................................................................................................................................264.3 Mtodo do Valor Presente Lquido (Taxa de Desconto) ................................................................................264.4 Seleo da Melhor Alternativa entre Alternativas com Duraes Iguais ................................................274.5 Valor Futuro Lquido de um Fluxo de Caixa ........................................................................................................284.6 Resumo do Captulo ....................................................................................................................................................294.7 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................29

5 AMORTIZAO ..................................................................................................................................... 315.1 Tabela PRICE ....................................................................................................................................................................315.2 Sistema de Amortizao Constante (SAC) ..........................................................................................................325.3 Sistema de Amortizao Crescente (SACRE) ......................................................................................................32

5.4 Leasing: Arrendamento Mercantil ..........................................................................................................................345.5 Resumo do Captulo ....................................................................................................................................................355.6 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................35

RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS ..................................... 37

REFERNCIAS ............................................................................................................................................. 53

ANEXO ............................................................................................................................................................. 55

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INTRODUO

Caro(a) aluno(a),

Iniciamos mais um mdulo e espero que voc esteja cheio(a) de expectativas e que sua motivao o(a) conduza de forma a aproveitar ao mximo esta disciplina, to importante compreender um pouco mais sobre as ferramentas de Engenharia Econmica, muito utilizadas pelos engenheiros em demonstra-es de viabilidade financeira de projetos de engenharia.

Antes de qualquer detalhamento, pense em algumas questes: quando um diretor de empresa tem que decidir qual projeto de engenharia deve financiar, que critrios so fundamentais para a sua escolha? Ou, se voc trabalha em uma empresa que busca financiamento via instituies financeiras, como anali-sar taxas de juros, quantidade de prestaes e outros detalhes, que faro diferena na melhor oferta de emprstimo bancrio?

Agora que j est curioso(a), conhea um pouco da histria da cobrana dos juros e da evoluo da Engenharia Econmica.

Esta apostila e a disciplina, como um todo, buscam apresentar uma definio dos conceitos fun-damentais da Engenharia Econmica. Alm disso, propomos uma anlise das principais ferramentas de clculos financeiros aplicadas seleo de projetos e escolhas de crditos financeiros.

Dentro dessa perspectiva, o contedo est organizado de forma a didaticamente evoluir o aluno no uso das ferramentas financeiras, sempre com a demonstrao imediata, seo por seo, de exemplos prticos, alm de aplicao imediata.

Primeiramente, veremos que quantidades financeiras somente podem ser comparadas no mesmo lapso de tempo, ou seja, R$ 1.000,00 hoje no representam R$ 1.000,00 daqui a cinco anos, pois se deve somar a correo monetria do perodo. Para isso, iremos introduzir o conceito de juros simples e com-postos. No segundo captulo, sero demonstradas a questo da prestao e sua relao tanto com o valor presente quanto com o futuro. Por ltimo, neste mesmo captulo, daremos detalhes sobre Sries Infinitas de Pagamentos.

No terceiro captulo, relacionaremos a questo dos juros com fatores do nosso cotidiano, como in-flao, taxa de desvalorizao monetria e correo monetria. No quarto captulo, conheceremos fer-ramentas a serem aplicadas na anlise de viabilidade financeira de projetos ou alternativas econmicas.

Por ltimo, no quinto captulo, iremos trabalhar com os conceitos de Amortizao de emprstimos e suas vrias formas, como: Sistema PRICE, Sistema de Amortizao Constante (SAC) e Sistema de Amorti-zao Crescente (SACRE), bem como a modalidade Leasing.

Ser um prazer acompanh-lo(la) ao longo deste trajeto.

Eduardo Blatt


VALOR PRESENTE E VALOR FUTURO1

Caro(a) aluno(a),

Neste captulo, trataremos do valor do di-nheiro em relao ao tempo e do fato de que,

para poder fazer um comparativo entre capitais, necessrio que estes estejam no mesmo lapso de tempo. Vamos iniciar a discusso?

1.1 Equivalncia do Valor do Dinheiro no Tempo

Voc no pode comparar o valor do dinhei-ro no momento presente (agora) com o valor do dinheiro no futuro. Deve-se levar em considera-

o o tempo dentro do fluxo financeiro, ou seja, dentro de um estudo de entrada e sada de capi-tal, na viso da Engenharia Econmica.

1.2 Juros

Juros compreendem-se como um pedgio que cobrado pela pessoa ou organizao finan-ceira que empresta o capital a um pessoa ou or-ganizao que toma o emprstimo. O valor desse pedgio geralmente expresso na forma de per-centual sobre o montante emprestado. O valor do percentual do montante a ser emprestado, ou

seja, o juro, deve levar em considerao quanto o credor deseja receber como compensao por disponibilizar o capital e no ter acesso a ele at o dia do pagamento, mais um valor de segurana para formar uma reserva contra o risco de algum dos tomadores de emprstimo no pagar, ou seja, agir com inadimplncia.

1.3 Histria dos Juros

Os sumrios j possuam um sistema de crdito, conforme documentos histricos escri-tos por volta de 3.000 a.C.; esse sistema era ba-seado nos seus dois principais produtos: o gro e aprata.

Civilizaes antigas, como: troiana, babi-lnica, egpcia e persa, utilizavam o metal pelo

peso. Isso evidenciado atravs de achados ar-queolgicos, por meio dos quais foram descober-tos pedaos de metal utilizados nas transaes comerciais dessas civilizaes.

Na Europa, entre os sculos V e XV, a socie-dade considerava como crime de usura o emprs-timo de moeda com a inteno de obter de volta

Eduardo Blatt


quantidade maior do que foi emprestado, ao final do tempo de emprstimo.

Vrias teorias tentam esclarecer a razo da existncia dos juros. Como, por exemplo, a teoria desenvolvida por Eugen von Bhm-Bawerk da Es-cola Austraca; a qual prega que os consumidores preferem consumir no momento presente e no no futuro, e esto dispostos a pagar um pedgio para obter uma antecipao do capital no mo-mento presente.

Figura 1 Eugen von Bhm-Bawerk.

Fonte: Eugen von Bhm-Bawerk (2012).

1.4 Taxa Bsica de Juros

A menor taxa de juros em uma economia a taxa bsica de juros. Ela tem a funo de re-ferencial para todas as transaes financeiras. Os bancos utilizam essa taxa para ser o valor de refe-rncia de emprstimo entre bancos.

A taxa overnight do SELIC um indicador gerado anualmente pela mdia ponderada do resultado das taxas aplicadas pelos volumes das operaes de financiamento de um dia; e tem como respaldo os ttulos da dvida pblica federal e executados no SELIC, no formato de operaes compromissadas.

O Comit de Poltica Monetria (Copom) es-tabelece a meta que dever ter a taxa SELIC. Com a meta informativa, por exemplo, em 20 de julho de 2011, a SELIC esteve em 12,5 %, esse valor foi o maior desde janeiro de 2009.

Saiba maisSaiba mais

Taxa SELICNo Brasil, a taxa de juros bsica a taxa do Sistema Es-pecial de Liquidao e de Custdia ou taxa SELIC, que um ndice pelo qual as taxas de juros cobradas pelo mercado balizam-se. a taxa bsica utilizada como re-ferncia pela poltica monetria.

O Banco Central do Brasil (Bacen), quando aumenta a taxa SELIC, tem o objetivo de fazer o custo do credirio (sua taxa de juros cobrados ao consumidor) aumentar, e desestimular o consu-mo, retendo a inflao.

Nos Estados Unidos, a taxa bsica de juros determinada pelo Comit Federal de Mercado Aberto doFederal Reserve System (Fed). L, a taxa bsica chamada Federal Funds, e, da mesma for-ma que aqui, esses ttulos servem como ponto de origem aos emprstimos entre bancos no estilo overnight. O governo norte americano como o daqui, dessa forma, determina a quantidade de reservas bancrias que devem estar depositadas no banco central.

AtenoAteno

Federal FundsDe forma anloga, nos Estados Unidos, a taxa bsica de juros fixada pelo Comit Federal de Mercado Aberto do Federal Reserve System (Fed) sistema de bancos centrais dos Estados Unidos , com base na remunerao dos Federal Funds, que so os ttulos que lastreiam emprstimos in-terbancrios overnight e que tm como finalida-de a manuteno do nvel das reservas bancrias depositadas no banco central.

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Juros Simples

A taxa de juros aplica-se sobre o montante (valor emprestado) linearmente, ou seja, no leva em conta o saldo da dvida a aumentar ou dimi-nuir conforme o passar do tempo.

FV = PV * (1 + (i * n))

Em que:

FV:valor futuro (do inglsFuture Value); PV:valor presente (do inglsPresent Va-

lue);

i:taxa de juros (do inglsinterest rate); n:nmero de perodos.

1.5 Taxa de Juros Simples e Compostos

AtenoAteno

O mtodo de obter o valor futuro dado o valor presente com a aplicao de juros simples tem funo unicamente didtica, pois, no mercado financeiro, somente aplicada a taxa de juros compostos.


Nas frmulas desta apostila, os parnteses so colori-dos para facilitar o entendimento por parte do aluno sobre a forma que deve ser feita a conta. Na frmula anterior, primeiramente deve ser feito o clculo dentro dos parnteses de cor verde e, depois, laranja. Com o resultado, fazer a conta com o que est fora dos parn-teses. No existe uma regra para a escolha da cor, ape-nas garanta que a frmula seja calculada na sequncia correta.

Exemplo numrico

Uma pessoa empresta $100 (PV= 100), para pagar em 2 meses (n= 2), com taxa de juros de 10% ao ms (i= 0,1), calculada conforme o regime de juros simples. Depois de 2 meses, essa pessoa ir pagar $120, conforme a frmula:

FV = PV * (1 + (i * n))

FV = 100 * (1 + (0,1 * 2))

FV = 100 * (1 + 0,2)

FV = 100 * 1,2

FV = 120

Juros Compostos

Nos Juros Compostos, ao contrrio dos Ju-ros Simples, a capitalizao, ou seja, os juros de cada perodo, somada ao montante e no pero-do seguinte calculado o novo valor do montan-te com a soma do valor do montante do perodo anterior mais o valor do rendimento do perodo.

FV dado o PV (Juros Compostos): (F/P, i, n);

FV = PV * (1 + i)n.

Em que:

FV:valor futuro; PV:valor presente; i:taxa de juros; n:nmero de perodos.

Eduardo Blatt


Exemplo numrico FV dado o PV

Uma pessoa empresta $100,00 (PV= 100), para pagar em 2 meses (n= 2), com taxa de ju-ros de 10% ao ms (i= 0,1), calculada conforme o regime de juros compostos. Depois de 2 meses, essa pessoa ir pagar $121,00, conforme a frmu-la:

FV = PV * (1 + i)n e com a seguinte notao: (F/P, i, n) => (F/100, 10%, 2)

FV = 100 * (1 + 0,1)2

FV = 100 * (1,1)2

FV = 100 * 1,21

FV = 121

1.6 Clculos com PV e FV

O primeiro ponto que se deve levar em con-siderao que as taxas de juros cobradas em um determinado lapso de tempo tm seus perodos equivalentes, ou seja, se um determinado em-prstimo capitalizado mensalmente, a taxa de juros ser acumulada por um ciclo mensal e pe-riodicamente a prazo entre cobranas iguais.

Respeitando a regra acima, ser possvel converter valores em tempos diferentes a uma

mesma base, ou seja, avanar um valor no pre-sente, incluir, nesse perodo de avano, a taxa de juros e, assim, comparar a um valor previsto no futuro.

Relaes entre PV e FV

Essa relao de equivalncia pode ser en-tendida pela observao da figura a seguir:

Figura 2 Equivalncia entre PV e FV no fluxo de caixa.

Fonte: O autor.

O FV pode ser obtido por: FV = PV * (1 + i)n ou pela seguinte notao simplificada: (F/P, i, n). O fator (1 + i)n chamado fator de acumulao de capital de um pagamento simples.

O PV pode ser obtido por: PV = FV * (1 + i)-n ou pela seguinte notao simplificada: (P/F, i, n). O fator 1/(1 + i)n chamado valor atual de um paga-mento simples.


Na representao, no fluxo de caixa, as setas para baixo representam um dbito (dispndio) de capital sinal negativo. As setas para cima representam crdito de capital sinal positivo.

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Exemplo numrico FV dado o PV

Se forem aplicados Cr$ 10.000,00 por 10 anos, a juros de 5% ao ano, quanto haver aps 10 anos?

i = 5%, PV = 10.000,00 e n = 10

FV = PV * (1 + i)n ou com a seguinte notao simplificada: (F/P, i, n) => (F/10000; 0,05; 10)

FV = 10.000,00 * (1 + 0,05)10 = Cr$ 16.288,95


(P/F, i, n)

Esta notao identifica qual frmula utilizar na questo de matemtica financeira. No exemplo, deseja-se o PV (P), sendo dado o FV (F), a taxa de juros (i) e a quantida-de de perodos (n).

Exemplo Numrico PV dado o FV

Se eu quiser ter Cr$ 400.000,00 dentro de 5 anos, quanto deverei aplicar agora, considerando uma taxa de 10% ao ano?

i = 10%, FV = 400.000,00 e n = 5

PV = FV * (1 + i)-n => PV = FV / (1 + i)n ou com a seguinte notao simplificada: (P/F, i, n) => (P/400000; 0,10; 5)

PV = 400.000,00 * 1 / (1 + 0,10)5 = Cr$ 248.368,53

1.7 Resumo do Captulo

1.8 Atividades Propostas

Caro(a) aluno(a),

Nossa meta, neste captulo, foi introduzir voc nos conceitos bsicos da Engenharia Econmica e, ao mesmo tempo, prover exemplos com aplicao imediata no nosso dia a dia. Estudamos como conver-ter valores financeiros no presente para o futuro e vice-versa, bem como foram discutidas a questo dos juros compostos e simples e sua evoluo histrica.

Vamos, agora, avaliar a sua aprendizagem.

1. Uma pessoa empresta $100,00, para pagar em 12 meses, com taxa de juros de 1,25% ao ms (i= 0,0125). Calcule o FV pelo regime de juros simples e de juros compostos.

2. Suponha que voc necessite de $12.682,42 daqui a um ano. Quanto voc deve aplicar hoje, a uma taxa de 2,0% ao ms, a fim de obter o montante desejado?

3. Um cliente obtm um emprstimo em um banco de $8.000,00, para ser liquidado em um nico pagamento, daqui a trs anos, de $25.000,00. Qual a taxa anual de juros cobrada pelo banco?

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4. Uma aplicao de $200.000,00 efetuada em certa data produz, taxa de juros compostos de 8% ao ms, um montante de $370.186,00 em certa data futura. Calcule o prazo da operao.

5. A qual taxa de juros trimestral devo aplicar certo capital, de modo a quadruplicar o valor prin-cipal em 8 anos?


CLCULOS DE PRESTAES2

2.1 Prestaes

Caro(a) aluno(a),

Neste captulo, trataremos da questo das parcelas, ou seja, das prestaes dentro de um fi-nanciamento. Vamos iniciar a discusso?

Relaes entre A e PV


Figura 3 Equivalncia entre A e PV no fluxo de caixa.

Fonte: O autor.

Para calcular o PV a partir de uma srie uni-forme de pagamento (A), pode-se deduzir a se-guinte expresso:

PV = A (1 +i)-1 + A (1 + i)-2 + A (1 +i)-3 + ... + A (1 +i)-n

PV = A [(1 + i)-1 + (1 + i)-2 + (1 +i)-3 + ... + (1 +i)-n]

A soma dos termos pode ser calculada pela seguinte expresso:

PV = A * (((1 + i)n 1) / ((1 + i)n * i))

Ou pela notao simplificada: (P/A, i, n).

Essa frmula conhecida como recupera-o de capital de uma srie uniforme de paga-mentos, muito utilizada para o clculo de presta-es no comrcio.

Eduardo Blatt


Relaes entre FV e A


Figura 4 Equivalncia entre A e FV no fluxo de caixa.

Fonte: O autor.

A = FV * (i / ((1 + i)n 1)); Valor da parcela dado o FV: (A/F, i, n).

A frmula para calcular A a partir de FV conhecida como fator de formao de uma srie uniforme de pagamento.

2.2 Srie Perptua de Pagamento

Esta srie, tambm chamada infinita ou de custo capitalizado, tem esse nome por possuir um grande nmero de perodos. Esse um fato comum em aposentadorias, mensalidades, obras pblicas etc.

CuriosidadeCuriosidade

PV = A * (((1 + i)n 1) / ((1 + i)n * i))

PV = lim n A * (((1 + i)n 1) / ((1 + i)n * i))

PV = lim n A * (((1 / i) - (1 / ((1 + i)n * i))) Saiba maisSaiba mais

Quanto deverei depositar em um fundo, com a fina-lidade de receber para sempre a importncia anual de $12.000,00, considerando a taxa anual de juros igual a 10% ao ano?

Dados:A = 12000, i = 10% a.a. => 10%/100 => 0,1, PV = ?

Frmula:PV = A * (1 / i)

Resoluo:PV = 12000 * (1 / 0,1)PV = 12000 * 10PV = 120000

Logo, o valor que necessitarei depositar para rece-ber uma renda vitalcia $120.000,00.


a.a. Esta notao aplicada para informar a periodicidade de capitalizao dos juros. Neste exemplo, a.a., que sig-nifica ao ano, indica que os juros da aplicao sero ca-pitalizados uma vez ao ano. Existem outras notaes, como a.d. (ao dia), a.t. (ao trimestre), a.s. (ao semestre) e a.b. (ao bimestre).

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Caro(a) aluno(a),

Neste captulo, aprofundamos o conceito de prestao e como ela interage com o PV e o FV, alm de formas de clculo para pagamentos em sries infinitas, que so aplicadas para pagamentos de lon-gussima durao, como aposentadorias ou obras pblicas.




1. Quanto deverei aplicar agora, a uma taxa de juros de 15% ao ano, para obter receitas, nos pr-ximos sete anos, iguais anuidade de $100.000,00?

2. Calcule a prestao de um financiamento de $2.000,00, com 8 pagamentos iguais, consideran-do uma taxa de juros de 13% ao ms.

3. Desejo que meu filho ganhe, vitaliciamente, o valor de $1.000,00, a partir dos seus 18 anos. Considerando a taxa de juros do banco de 0,56% ao ms, qual o valor da parcela que necessi-to depositar para garantir esse ganho vitalcio para meu filho?

4. Se eu depositar na poupana, todos os meses, $500,00 durante 4 anos, a uma taxa de juros mdia de 0,42% ao ms, qual ser o valor ao final do perodo?

5. Se eu depositar na poupana para meu filho o valor de $1.000,00 durante 18 anos, a uma taxa de juros de 0,56% ao ms, quanto ele receber mensalmente de forma vitalcia?

6. Quantas prestaes mensais ter um financiamento de uma casa que custa, em PV, $150.000,00 e, aps o financiamento, $300.000,00, com prestao de $5.000,00, a uma taxa de juros de 0,85% ao ms?


JUROS NOMINAL E REAL E INFLAO3

Caro(a) aluno(a),

Neste captulo, trataremos da Engenharia Econmica associada a questes do nosso dia a

dia, como inflao, correo monetria, desvalo-rizao da moeda frente inflao, juros acumu-lados e taxas equivalentes entre perodos de ca-pitalizao diferentes. Vamos iniciar a discusso?

3.1 ndices de Preos e Taxas de Inflao

Um ndice de preos gerado por um pa-dro estatstico, para medir a variao do valor dos produtos e servios em um determinado pe-rodo de tempo. No estudo da variao, cada pro-duto e servio tem sua variao monetria con-tabilizada no perodo e depois obtida a mdia dessas variaes.


No Brasil, so utilizados inmeros ndices de preos, originados de amostragens e critrios desiguais e elaborados por diferentes instituies de pesquisa. importante, antes de selecionar um ndice para a atua-lizao de uma srie de valores monetrios, proceder a uma anlise de sua representatividade em relao aos propsitos em considerao.

3.2 Inflao

Quando o preo de bens e/ou servios ofer-tados sociedade tem entre um perodo e outro um aumento do seu valor, houve a incidncia da inflao; quando ocorre o contrrio, chamamos de deflao.

A inflao faz com que haja uma quantida-de cada vez maior de dinheiro no pagamento de um bem ou servio. Sem que tenha havido gera-o de riqueza, esse aumento da quantidade de moeda gera perda do poder aquisitivo da prpria moeda.

Frmulas

Clculo da taxa de inflao (J)

J = (Pt / P0) 1

Clculo da taxa acumulada de inflao (JAC)

JAC = (1 + J1) * (1 + J2) *...* (1 + Jn) - 1

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Exemplo

1. No ano de 2009, o preo de um produto era R$ 10,00. Em 2010, o preo do mesmo produto passou para R$ 12,50. Qual a taxa de inflao do perodo?

Soluo:

Pt = 12,50

P0 = 10,00

J = ?

J = (Pt / P0) 1

J = (12,50 / 10,00) -1

J = 1,25 1

J = 0,25

J = 25% a.p.

3.3 Taxa Equivalente de Juros

3.4 Juros Nominal e Real e Inflao

aquela que, aplicada ao mesmo principal, durante o mesmo espao de tempo, produz mon-tantes iguais. A frmula : ie = (1 + i)

ne 1.

Notao para os perodos das taxas de juros: no lado direito do indicador da taxa, por exem-plo, i, fica sobrescrito o perodo de remunerao: a.a., a.m., a.a. etc.

ia.a. = taxa de juros ao ano; ia.m. = taxa de juros ao ms; ia.d. = taxa de juros ao dia.

Taxa Nominal

A taxa de juros nominais relativa a uma ope-rao financeira pode ser calculada pela expres-so:

Taxa nominal = Valor dos juros pagos / Valor nominal do emprstimo

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Assim, por exemplo, se um emprstimo de $100.000,00 deve ser quitado ao final de um ano, pelo valor monetrio de $150.000,00, a taxa de ju-ros nominal ser dada por:

Juros pagos = Jp = $150.000 $100.000 = $50.000,00

Taxa nominal = in = $50.000 / $100.000 = 0,50 = 50% a.a.

Taxa Real

A taxa real retira o efeito da inflao no va-lor da taxa nominal. Dependendo do valor da in-flao e da taxa nominal, a taxa real poder ser menor que zero.

Veja o exemplo a seguir: em um emprsti-mo com taxas prefixadas, um banco disponibiliza $90.000,00, para ser pago em um ms, ao valor de $110.000,00. Com a inflao durante o perodo do emprstimo igual a 25% ao ms, calcule as taxas nominal e real desse emprstimo.

Temos que a taxa nominal igual a:

n = (110.000 90.000) / 90.000 = 20.000 / 90.000 = 0,22 = 22,22% a.m.

Portanto, in = 22%, com taxa de inflao no perodo igual a j = 25% a.m. = 0,25. Substituindo na frmula:

1 + n = (1 + r) * (1 + j)

(1 + 0,22) = (1 + r) * (1 + 0,25)

1,22 = (1 + r) * 1,25

1 + r = 1,22 / 1,25 = 0,976

Logo, r = 0,976 1 = -0,024 = -2,4% a.m. Por-tanto, temos umataxade juros reais negativa!

3.5 Taxa Acumulada

3.6 Taxa de Desvalorizao Monetria

Taxa acumulada dada a taxa por perodo (n): iac = (1 + i1) * (1 + i2) * ... * (1 + in) - 1

A Taxa de Desvalorizao Monetria (TDM) indica a queda do poder aquisitivo do consumi-dor, causada pela inflao (J) do perodo.

Frmula

TDM = J / (1 + J)

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Os contratos que tm dentro do seu bojo consideraes financeiras, para se proteger frente inflao, tm como ferramenta o uso do clculo da correo monetria; que acrescida taxa de juros reais do contrato.

Correo monetria sendo dados o PV e a Taxa Acumulada:

CM = PV * iacCM = PV * (1 + i1) * (1 + i2) * ... * (1 + in)

3.7 Correo Monetria

Na dcada de 1960, foi criado o ndice cha-mado Obrigaes Reajustveis do Tesouro Nacio-nal (ORTNs), que foi o indexador para o reajuste de dbitos fiscais, saldos de financiamentos de imveis, Fundo de Garantia por Tempo de Servio (FGTS), aluguis etc.

A partir de 1986 foram criados diversos in-dexadores oficiais, como Obrigao do Tesouro Nacional (OTN), Bnus do Tesouro Nacional (BTN) e outros, para proteger os contratos frente in-flao.

Figura 5 Exemplos de papis de ttulos da dvida pblica.

Fonte: Tesouro Nacional (2012).

Engenharia Econmica


Seguem alguns indicadores atualmente uti-lizados:

ndice Geral de Preos do Mercado (IGP--M): calculado pela Fundao Getulio Vargas (FGV), sendo a coleta de preos feita entre os dias 21 do ms anterior e 20 do ms corrente, com divulgao no dia 30. composto por trs ndices: ndice de Preos por Atacado (IPA), n-dice de Preos ao Consumidor (IPC) e ndice Nacional de Custo da Construo (INCC), que representam 60, 30 e 10%, respectivamente, do IGP-M;

INCC: calculado pela FGV e mede a variao de preos de uma cesta de produtos e servios atualizados pelo

setor da construo civil. Este ndice calculado para trs intervalos diferentes e compe os demais ndices calculados pela FGV [IGP-M, ndice Geral de Preos Disponibilidade Interna (IGP-DI) e n-dice Geral de Preos-10 (IGP-10)], com um peso de 10%;

IGP-DI: calculado pela FGV entre o primeiro e o ltimo dia do ms e sua di-vulgao ocorre por volta do dia 10 do ms seguinte. Mede os preos que afe-tam diretamente as atividades econ-micas do pas, excludas as exportaes. A exemplo do IGP-M, tambm com-posto pela mdia ponderada do IPC, IPA e INCC, calculados para o respectivo perodo.

3.8 Imposto

Ele uma obrigao imposta pelo Estado ao cidado ou s organizaes que estejam sobre a influncia do Estado. O imposto no um em-prstimo, mas uma obrigao definitiva.

Relao dos Impostos no Brasil

Impostos federais

Imposto de importao (II); Imposto de exportao (IE); Imposto sobre a renda e proventos de


A carga tributria, como porcentagem do Produto In-terno Bruto (PIB), em 2008, foi de 38,8% no Brasil, 37% em Portugal, 40,6% na Alemanha, 5,7% em Angola, 39% no Reino Unido e na Holanda, 19,7% no Timor Leste, 15,3% no Sri Lanka, 28% nos Estados Unidos e 13,4% em Moambique (HERITAGE FOUNDATION, 2012).

qualquer natureza(IR);

Imposto sobre Produtos Industrializa-dos(IPI);

Imposto sobre operaes de crdito, cmbio e seguro ou relativas a ttulos ou valores mobilirios(IOF);

Imposto sobre a propriedade territorial rural(ITR).

Sem regulamentao

Imposto sobre Grandes Fortunas (IGF): apesar de previsto naConstituio, este imposto ainda no existe. A Constitui-o no cria impostos, somente ou-torga competncias; assim, conforme previsto no seu art. 153, inciso VII, este imposto somente poder ser criado por meio de Lei Complementar.

Eduardo Blatt


Impostos estaduais

Imposto sobre operaes relativas circulao de mercadorias e prestao de servios de transporte interesta-dual e intermunicipal e de comunica-o(ICMS);

Imposto sobre a Propriedade de Vecu-los Automotores (IPVA);

Imposto de transmisses causa mor-tise doao de qualquer bem ou direi-to(ITCMD).

Impostos extintos

Adicional do imposto da Unio sobre a renda e proventos de qualquer nature-za(AIRE);

Contribuio provisria sobre a movi-mentao ou transmisso de valores e de crditos e direitos de natureza finan-ceira (CPMF): extinta desde1 de janei-rode2008;

Imposto sobre vendas a varejo de com-bustveis lquidos e gasosos (IVVC).

Impostos municipais

Imposto sobre a propriedade predial e territorial urbana(IPTU);

Imposto sobre a transmisso inter vi-vosde bens imveis e de direitos reais a eles relativos (ITBI): de acordo com o art. 156 da Constituio, s a trans-misso onerosa de bens imveis, como compra e venda, por aquisio ou in-corporao, e, ainda, a transmisso real de direito sobre imvel pertencem aos municpios;

Imposto sobre servios de qualquer na-tureza (ISS).

Contribuies

Contribuies trabalhistas ou sobre a folha de pagamento

Instituto Nacional do Seguro Social (INSS);

Programa de Integrao Social/Progra-ma de Formao do Patrimnio do Ser-vidor Pblico (PIS/PASEP).

Contribuies sobre o faturamento ou o lucro

Contribuio para o Financiamento da Seguridade Social(COFINS);

PIS/PASEP; Contribuio Social sobre o Lucro Lqui-

do(CSLL).

Contribuies sobre as importaes

COFINS; PIS.

Engenharia Econmica


Caro(a) aluno(a),

Neste captulo, estudamos como analisar o impacto da inflao no nosso dia a dia e, com isso, corri-gir melhor o capital frente a esse efeito. Tambm discutimos como comparar taxas de juros com perodos de capitalizao diferentes.




1. Dada a taxa semestral de 6%, calcule as suas respectivas taxas equivalentes:a) mensal;

b) bimestral;

c) anual;

d) quinzenal;

e) semanal;

f ) diria.

2. Numa operao financeira com taxas prefixadas, um banco empresta $120.000,00, para ser pago em um ano, ao valor de $150.000,00. Sendo a inflao durante o perodo do emprstimo igual a 10% ao ano, calcule as taxas nominal e real desse emprstimo.

3. A inflao ms a ms de janeiro at agosto de 1998, medida pelo ndice do Custo de Vida (ICV) do Departamento Intersindical de Estatstica e Estudos Socioeconmicos (Dieese), foi, respec-tivamente, de 0,70%; 0,28%; 0,20%; 0,19%; 0,41%; 0,05%; -0,37% e -0,89%. Calcule a inflao acumulada nesse perodo.

4. A taxa de inflao no Brasil, no ano de 2010, foi de 6,3% ao ano. Qual a TDM correspondente?

5. A empresa Biriba S.A. foi condenada a pagar uma indenizao de $50.000,00 para um de seus clientes por uma cobrana indevida, sendo que essa indenizao deve ser atualizada mone-tariamente pelos 3 meses do processo. Para tanto, utilizou-se como indicador da correo o ndice Nacional de Preos ao Consumidor (INPC) do Instituto Brasileiro de Geografia e Estats-tica (IBGE), com as seguintes taxas de correo: 0,94%; 0,54% e 0,66%. Qual o valor da dvida corrigido, ou seja, o valor da dvida mais a correo monetria no perodo?


Caro(a) aluno(a),

Neste captulo, trataremos das ferramentas de anlise de alternativas econmicas, para que a escolha entre projetos esteja fundamentada na melhor rentabilidade financeira. Vamos, ento, iniciar a discusso?

ANLISE DE ALTERNATIVAS ECONMICAS4

4.1 Taxa Mnima de Atratividade

Tambm conhecida como: Taxa de Expecta-tiva, Taxa de Equivalncia, Taxa de Interesse e Taxa Equivalente de Juros.

Quando desejamos investir uma quantia, comparamos, geralmente, os provveis dividen-dos que sero proporcionados por esse investi-mento com os de outros investimentos dispon-veis.

A taxa de juros do dinheiro investido, em geral, dever ser superior taxa de juros da outra aplicao com a qual fizemos a comparao.

Exemplo

O investimento A de Cr$ 500.000,00 proporciona, por 10 anos, anuidades de Cr$ 150.000,00. Com-parando com outra aplicao B, que rende 20% ao ano, qual investimento escolher?

AB = 500.000 (A/P, 20%, 10) = 500.000 * (0,239) = 120.000

Frmula

Valor da parcela dado o PV: (A/P, i, n) => (A/500000, 20%, 10); A = PV / ((i * (1 + i)n) / ((1 + i)n 1)).

Eduardo Blatt


Entre as taxas de juros de duas alternativas de investimento econmico, quando aceita a alternativa menos rentvel, gera-se uma taxa de juros chamada Custo de Oportunidade.

Muitas vezes, tendo duas alternativas de in-vestimento, uma possibilita 60% ao ano e outra, 15% ao ano. Pela tica do risco, pode ser prefer-vel optar pelo investimento de 15% ao ano (me-nor risco). Nesse caso, tal investimento deixa de render, em comparao ao outro. Por exemplo: 60% - 15% = 45% ao ano o custo a ser pago por no se preferir assumir o risco de investimento de 60%.

4.2 Custo de Oportunidade


O custo de oportunidade representa o valor asso-ciado melhor alternativa no escolhida. Ao se to-mar determinada escolha, deixam-se de lado as de-mais possibilidades, pois so excludentes (escolher uma recusar as outras). alternativa escolhida, associa-se como custo de oportunidade o maior benefcio no obtido das possibilidades no escolhidas, isto , a escolha de determinada opo impede o usufruto dos benef-cios que as outras opes poderiam proporcionar. O mais alto valor associado aos benefcios no es-colhidos pode ser entendido como um custo da opo escolhida, que pode ser chamado de opor-tunidade.

4.3 Mtodo do Valor Presente Lquido (Taxa de Desconto)

Determinar um valor no instante presente, a partir de um fluxo de caixa, em forma de uma srie de receitas e dispndios.

Em virtude de se usar frequentemente a ex-presso Desconto ou Valor Descontado em uma operao em que se determina o Valor Presente Lquido (VPL), a taxa mnima de atratividade ou a taxa de juros envolvida recebe, muitas vezes, o

nome taxa de desconto. Para obter o PV de um nico FV, em n perodos, o PV ser igual a: PV = FV * (1 + i)-n.

O VPL de um fluxo de caixa de uma alter-nativa j a soma algbrica dos vrios PVs en-volvidos nesse fluxo de caixa. Logo:

VPLj = n

0 Fn(1+i)-n

Exemplo

Um equipamento comprado por Cr$ 100.000,00 e, aps dois anos, ele vendido por Cr$ 110.000,00. As despesas anuais so de Cr$ 5.000,00. Com taxa de juros de 15% a.a., qual o VPL do investimento?

PV dado o valor da parcela: (P/A, i, n) => (P/5000, 15%, 2)

PV = A * (((1 + i)n 1) / ((1 + i)n * i))

PV dado o FV: (P/F, i, n) => (P/110000, 15%, 2)

PV = FV / (1 + i)n => FV * (1 + i)- n

Engenharia Econmica


VPL = -100.000 5.000 (P/A, 15%, 2) + 110.000 (P/F, 15%, 2)

VPL = -100.000 5.000 * 1,6015 + 110.000 * 0,7408

VPL = -26.519,50, ou seja, um dispndio suplementar de Cr$ 26.519,50 no instante inicial equiva-lente ao fluxo de caixa dado.

4.4 Seleo da Melhor Alternativa entre Alternativas com Duraes Iguais

Em outras palavras, escolher a alternativa que apresente o maior VPL.

Taxa de juros de 20% a.a. Equipamento K Equipamento L

Custo Cr$ 50.000,00 Cr$ 80.000,00

Custo anual de manuteno Cr$ 20.000,00 Cr$ 15.000,00

Valor residual para venda Cr$ 4.000,00 Cr$ 8.000,00

Durao em anos 10 10

PV dado o valor da parcela A: (P/A, i, n)

PV = A * (((1 + i)n 1) / ((1 + i)n * i))

PV dado o valor futuro FV: (P/F, i, n)

PV = FV / (1 + i)n => FV * (1 + i)- n

VPLk = -50.000 20.000 (P/A, 20%, 10) + 4.000 (P/F, 20%, 10)

VPLk = -50.000 20.000 * 4,192 + 4.000 * 0,1615

Fonte: O autor.

Eduardo Blatt


VPLk = -50.000 83.840 + 646

VPLk = -133.194

VPLL = -80.000 15.000 (P/A, 20%, 10) + 8.000 (P/F, 20%, 10)

VPLL = -80.000 15.000 * 4,192 + 8.000 * 0,1615

VPLL = -80.000 62.880 + 1.292

VPLL = -141.588

VPLk > VPLL, pois -133.194 > -141.588. Assim, escolhido o equipamento K.

4.5 Valor Futuro Lquido de um Fluxo de Caixa

Determinar um valor no instante futuro, a partir de um fluxo de caixa, em forma de uma srie de receitas e dispndios. O FV ser igual a:

FV dado o PV (Juros Compostos): (F/P, i, n); FV = PV * (1 + i)n.

O VFL de um fluxo de caixa de uma alternativa j a soma algbrica dos vrios FVs envolvidos nesse fluxo de caixa. Logo:

VFLj = n

0 Pn (1 + i)n

Exemplo

Um equipamento comprado por Cr$ 100.000,00 e guardado sem uso por 5 anos, sendo ento vendido por Cr$ 180.000,00. As despesas anuais somam Cr$ 15.000,00. Sendo a taxa de juros de 15% a.a., calcule todos os VFLs envolvidos nesse fluxo de caixa.

Fonte: O autor.

Engenharia Econmica


FV dado o PV (Juros Compostos): (F/P, i, n)

FV = PV * (1 + i)n

FV dado o valor da parcela: (F/A, i, n)

FV = A * (((1 + i)n 1) / i)

VFL = - 100.000 (F/P, 15%, 5) 15.000 (F/A, 15%, 4) 15.000 + 180.000

VFL = - (100.000 * 2,011) (15.000 * 4,993) 15.000 + 180.000

VFL = - 201.100 74.895 15.000 + 180.000

VFL = - 110.995

O gasto de Cr$ 110.995,00 no instante final equivalente ao fluxo de caixa dado.



Caro(a) aluno(a),

Neste captulo, estudamos vrias ferramentas utilizadas na anlise de um investimento com a apli-cao de fluxo de caixa, tanto para converter todos os valores de entrada e sada para um tempo presente (PV) quanto para um dado momento no futuro (FV).


1. Dois equipamentos so examinados. Considerando a taxa de juros de 20% ao ano, qual equi-pamento deve ser adquirido, analisando pelo Mtodo do VFL?

Taxa de Juros de 20% a.a. Equipamento K Equipamento L

Custo Cr$ 50.000,00 Cr$ 80.000,00

Custo anual de conservao Cr$ 20.000,00 Cr$ 15.000,00


Durao em anos 10 10

2. Dois bancos oferecem as seguintes opes: no Banco K, so depositados Cr$ 20.000,00 e se recebem anualmente Cr$ 2.000,00, durante 10 anos, aps os quais se recebem Cr$ 200.000,00; no Banco L, so depositados Cr$ 10.000,00 e se recebe anualmente a quantia de Cr$ 1.000,00, durante 10 anos, aps os quais se recebem Cr$ 120.000,00. Sendo a taxa mnima de 15% ao ano, qual dos dois bancos o preferido?

Eduardo Blatt


3. Uma empresa construtora deseja escolher um sistema de aquecimento central entre duas al-ternativas: sistema a gs e sistema eltrico. O sistema a gs tem durao de 5 anos, um in-vestimento inicial de Cr$ 700.000,00 e um custo de manuteno de Cr$ 100.000,00 ao ano. O sistema eltrico tem uma durao de 10 anos, um investimento inicial de Cr$ 900.000,00 e um custo de manuteno de Cr$ 90.000,00 ao ano. Resolvendo pelo Mtodo do VPL, qual sistema deve ser escolhido? (Observao: considere a taxa mnima de atratividade igual a 20% ao ano e sendo 10 o Mnimo Mltiplo Comum entre 5 e 10).

Taxa de Juros de 20% a.a. Aquecimento Gs Aquecimento Eltrico

Custo Cr$ 700.000,00 Cr$ 900.000,00

Vida til 5 anos 10 anos

Custo anual de manuteno Cr$ 100.000,00 Cr$ 90.000,00

4. Qual oferta deve ser aceita entre dois equipamentos, analisando pelo Mtodo do VFL e consi-derando a taxa de juros de 20% ao ano?

Taxa de Juros de 20% a.a. Equipamento K Equipamento L

Custo Cr$ 10.000,00 Cr$ 20.000,00

Vida til 3 anos 4 anos

Custo anual de conservao 1 ano Cr$ 500,00 Cr$ 1.000,00

Custo anual de conservao 2 ano Cr$ 2.000,00 Cr$ 1.000,00

Custo anual de conservao 3 ano - Cr$ 4.000,00



AMORTIZAO5

Caro(a) aluno(a),

Neste captulo, trataremos da amortiza-o, que um processo de extino de uma d-vida atravs de pagamentos peridicos, que so realizados em funo de um planejamento, de

modo que cada prestao corresponda soma do reembolso do capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que os juros so sempre calcu-lados sobre o saldo devedor. Agora, vamos iniciar a discusso?

1 Mais detalhes sobre a origem do Sistema PRICE podem ser obtidos em Vieira Sobrinho (2000).

5.1 Tabela PRICE

Tambm conhecida como Sistema Francs de Amortizao, foi desenvolvida pelo ingls Ri-chard Price e recebeu essa denominao pelo seu uso amplamente generalizado na Frana, no s-culo XIX1. Ficou menos popular nos ltimos anos, mas ainda utilizada por alguns bancos.

caracterizada pelovalor fixo das parce-las ao longo do financiamento e, em geral, mais cara para o comprador. Isso porque, nos primeiros meses, em virtude da parcela fixa, o valor a ser abatido do saldo devedor muito pe-queno: a maior parte vai para o pagamento dos juros. Como os juros incidem sobre o saldo deve-dor (que foi pouco reduzido), o valor total pago, no fim do financiamento, tende a ser maior.

Por que as pessoas ainda optam por ela? Justamente por causa do valor fixo das parcelas, atraente para determinados perfis de comprado-res.

Frmula

Valor da parcela dado o PV: (A/P, i, n); A = PV / ((i * (1 + i)n) / ((1 + i)n 1)).


A Tabela PRICE, as prestaes e o saldo devedor so corrigidos mensalmente pela TR, pelos bancos priva-dos, e anualmente pela Caixa. Nesse sistema, apenas 25% da renda familiar pode ser comprometida com a aquisio do imvel e o prazo mximo de financia-mento de 20 anos.

Eduardo Blatt


No Sistema de Amortizao Constante (SAC), seu clculo constitudo da parte do prin-cipal da dvida e do juro do perodo. O montan-te, ou seja, o principal da dvida, tem uma frao desta, que retirada da dvida mensalmente de uma forma constante durante todo o pagamento do emprstimo e o pagamento da parte dos juros decresce de valor prestao a prestao.

O SAC mais adequado para prestaes imobilirias, sendo que o valor das prestaes e o saldo devedor diminuem perodo a perodo, se mantidos os atuais nveis de atualizao monet-ria. Contudo, os valores das prestaes iniciais so mais altos que na modalidade Price.

5.2 Sistema de Amortizao Constante (SAC)


Com o SAC, o risco de o saldo devedor sofrer aumen-tos acentuados baixo. Isso porque, mantida a atual taxa de atualizao monetria, cada parcela paga ser abatida desde o incio. Alm disso, as prestaes fu-turas tendem a diminuir continuamente ao longo do financiamento. Assim, o cliente passa a ter maior con-trole da dvida no longo prazo e maior tranquilidade para planejar o futuro.

Frmula

Pn = (PV / N) + i * (PV ((n - 1) * (PV / N)))

Em que:

Pn: n-simo valor da parcela; N: n-sima parcela; PV: valor total financiado (PV); N: nmero total de parcelas; I: taxa de juros ao ms.

5.3 Sistema de Amortizao Crescente (SACRE)

A diferena do SACRE para o SAC que a prestao fixa durante 12 meses e, depois, recalculada. Na inflao atual, esse novo clculo diminui o valor da prestao e o mantm fixo por mais 12 meses.

At aqui, bem parecido com o funciona-mento da Tabela PRICE, mas o melhor ocorre a cada 12 meses. Todo ano, o saldo devedor re-calculado e dividido pelos meses restantes do fi-nanciamento, fazendo com que o valor da parcela baixe.


Esta modalidade ainda mais interessante que o SAC, mas apenas oferecida pela Caixa Econmica Federal.

Engenharia Econmica


Tabela 1 Comparativo entre a Tabela Price e a SAC de um mesmo investimento.

Fonte: O autor.

Com um emprstimo de R$ 100.000,00 e uma taxa administrativa para concesso de crdito de R$ 2.539,00, o PV R$ 102.539,00. A taxa cobrada de 0,617% ao ms, em 360 prestaes.

No Sistema PRICE, em que o valor da parcela constante, ser de R$ 710,21, pois foi aplicada a frmula:

A = PV * ((i * (1 + i)n) / ((1 + i)n 1))

A = 102.539 * ((0,00617 * (1 + 0,00617)360) / ((1 + 0,00617)360 1))

A = 710,21

O valor total pago ser 710,21 * 360 (meses) = R$ 255.674,45.

No SAC, esse mesmo financiamento ter parcelas decrescentes, aplicando a frmula [partindo de n = 1 (1 prestao) at n = 360 (ltima prestao)]:

Pn = (PV / N) + i * (PV ((n - 1) * (PV / N)))

Pn = (102539 / 360) + 0,00617 * (102539 ((1 - 1) * (102539 / 360))) = R$ 917,46

Pn = (102539 / 360) + 0,00617 * (102539 ((2 - 1) * (102539 / 360))) = R$ 915,70

Pn = (102539 / 360) + 0,00617 * (102539 ((3 - 1) * (102539 / 360))) = R$ 913,94

. . .

Pn = (102539 / 360) + 0,00617 * (102539 ((358 - 1) * (102539 / 360))) = R$ 290,10

Pn = (102539 / 360) + 0,00617 * (102539 ((359 - 1) * (102539 / 360))) = R$ 288,35

Pn = (102539 / 360) + 0,00617 * (102539 ((360 - 1) * (102539 / 360))) = R$ 286,59

Somando todas as prestaes, o valor pago ser R$ 216.728,02.

Logo, pelo SAC, ir se pagar menos nesse financiamento: R$ 255.674,45 - R$ 216.728,02 = R$ 38.946,43.

Eduardo Blatt


O Arrendamento Mercantil, popularmente conhecido como Leasing, uma relao contra-tual entre o Arrendador e o Arrendatrio, sendo que Arrendador o Banco ou Sociedade de Ar-rendamento Mercantil, e Arrendatrio o Cliente.

O objeto do contrato de arrendamento mercantil a aquisio pelo Arrendador do bem escolhido pelo Arrendatrio para seu uso. O Ar-rendador proprietrio do bem, mas o usufruto do bem do Arrendatrio, durante a validade do contrato. Ao final deste, pode estar previsto no contrato que o Arrendatrio possa adquirir o bem (comprar).

Existem trs formas de leasing:

Leasing operacional

Nesta modalidade, os custos de manuten-o dos equipamentos so do Arrendador, sendo que o Arrendatrio depois de 90 dias do incio do contrato e pode cancelar o mesmo. Conforme previsto pelo Banco Central.

5.4 Leasing: Arrendamento Mercantil


O leasing uma operao com caractersticas legais prprias, no constituindo operao de financiamen-to. No leasing, o bem de propriedade do arrendador, enquanto, nas operaes de financiamento, o bem de propriedade do muturio, ainda que alienado, j no ato da compra.


Operaes de leasing Base normativa

As operaes de leasing so disciplinadas pela Lei n 6.099, de 1974, Resoluo CMN n 2.309, de 1996, e respectivas alteraes posteriores.


No leasing operacional, em que o prazo mnimo de 90 dias, possvel quitar antes do prazo definido no contrato, aps os prazos mnimos previstos na le-gislao e na regulamentao (art. 8 do regulamento anexo Resoluo CMN n 2.309, de 1996), no per-dendo o contrato as caractersticas de arrendamento mercantil.

Leasing financeiro

Parecido com a modalidade de aluguel, com a diferena de que se pode adquirir o bem no fim do prazo previsto no contrato, por um pre-o j estabelecido.

Leasing back

Se a organizao necessitar de capital de giro, ela vende seus bens a uma instituio finan-ceira, que os aluga.

Engenharia Econmica


O prazo mnimo de arrendamento de dois anos para bens com vida til de at cinco anos e de trs anos para os demais. Por exemplo: para veculos, o prazo mnimo de 24 meses e, para outros equipamentos e imveis, o prazo mnimo de 36 meses (bens com vida til superior a cinco anos).

Entretanto, caso quitado antes dos prazos mnimos estipulados, o contrato perde sua ca-racterizao legal de arrendamento mercantil e a

operao passa a ser classificada como de compra e venda a prazo (art. 10 do citado regulamento). Nesse caso, as partes devem arcar com as conse-quncias legais e contratuais que essa descarac-terizao pode acarretar. O IOF no incide nas operaes deleasing e o imposto que ser pago no contrato o ISS.



Caro(a) aluno(a),

Neste captulo, estudamos formas de financiamento para grandes volumes financeiros, em que a quantidade de prestaes estende-se por dcadas, como a anlise prvia pode representar uma boa economia de capital, alm da modalidade de Arrendamento Mercantil popularmente conhecida como leasing.


1. Admita que, em determinada data, um banco conceda um financiamento a uma empresa com as seguintes condies: valor do financiamento: R$ 260.000,00; amortizado pelo Sistema PRICE: 6 trimestres, com carncia de 4 trimestres; juros nominais: 33,55% ao ano, capitalizados trimestralmente; os juros sero capitalizados e incorporados ao principal, durante o perodo de carncia.

Elabore a planilha desse financiamento.

2. Admita que, em determinada data, um banco conceda um financiamento a uma empresa com as seguintes condies: valor do financiamento: R$ 260.000,00; amortizado pelo SAC: 6 trimestres, com carncia de 4 trimestres; juros nominais: 33,55% ao ano, capitalizados trimestralmente; os juros sero capitalizados e incorporados ao principal, durante o perodo de carncia.

Elabore a planilha desse financiamento.


CAPTULO 1

1.

Dados: PV = $100,00 (PV tomado emprestado); n = 12 meses (nmero de perodos); i = 1,25% a.m. = 1,25 / 100 = 0,0125 (taxa de juros em valor absoluto).

Fonte: O autor.

Frmulas:

FV dado o PV (Juros Simples): FV = PV * (1 + (i * n))

FV dado o PV (Juros Compostos): (F/P, i, n) => (F/P; 1,25%; 12)

FV = PV * (1 + i)n

Resoluo:

FV = 100 * (1 + (0,0125 * 12)) => 100 * (1 + 0,15) => 100 * 1,15 => 115,00

FV = $115,00 (FV com o uso de taxa de juros simples)

FV = 100 * (1 + 0,0125)12 => 100 * (1,0125)12 => 100 * 1,1607 => 116,07

FV = $116,07 (FV com o uso de taxa de juros compostos)

RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS

Eduardo Blatt


2.

Dados: FV = $12.682,42; i = 2% a.m. = i => 2/100 = 0,02 (taxa de juros no se esquea de converter % para valor

absoluto);

n = 1 ano = 12 meses; logo, n = 12 (nmero de perodos), para que o valor do perodo n esteja na mesma escala da taxa de juros, que mensal.

Fonte: O autor.

Frmula:

FV dado o PV (Juros Compostos): (P/F, i, n) => (P/F, 2%,12)

PV = FV * (1 + i)-n

Resoluo:

PV = 12682,42 * (1 + 0,02)-12 => 12682,42 * (1,02)-12 => 12682,42 * 0,7885 = 10.000,00

PV = $10.000,00, ou seja, necessrio depositar esta quantia hoje para ter o valor desejado ($12.682,42) em um ano.

3.

Dados: FV = $25.000,00 (dvida no final de trs anos); PV = $8.000,00 (valor do emprstimo); n = 3, ou seja, o perodo de trs anos.

Frmula:

Taxa de juros dados o PV e o FV: i = (FV / PV)1/n 1

Resoluo:

i = (25000 / 8000)1/3 1 => (3,125)1/3 1 => 1,462 1 => 0,462

i = 0,462 => convertendo para % = 0,462 * 100 = 46,2% a.a.

O banco cobra uma taxa de juros de 46,2% ao ano.

Engenharia Econmica


4.

Dados: PV = $200.000,00 (valor no incio da operao); FV = $370.186,00 (valor no final da operao); i = 8% a.m. (taxa de juros ao ms cobrada na operao) => i = 8/100 => 0,08.

Frmula:

Nmero de parcelas dados o PV e o FV: n = (Log (FV / PV)) / (Log (1 + i ))

Resoluo:

n = (Log (370186 / 200000)) / (Log (1 + 0,08))

n = (Log (1,85093)) / (Log (1,08))

n = (0,2673899) / (0,0334237)

n = 8 parcelas mensais, ou seja, a operao ser realizada em 8 meses.

5.

Dados: FV = 4 PV, ou seja, o FV quatro vezes maior que o PV, seja ele qual for; n = taxa de juros trimestral (a cada trs meses); um ano tem 4 trimestres, consequentemen-

te, 8 anos (8 anos * 4 trimestres) tero 32 trimestres: n = 32.

Frmula:

Taxa de juros dados o PV e o FV: i = (FV / PV)1/n 1

Resoluo:

i = (4PV / PV)1/32 1 => (4)1/32 1 => 1,0442738 1 => 0,0442738

i = 4,43% ao trimestre

Comprovao:

PV = FV * (1 + i)-n => PV = 4PV * (1 + 0,0442738)-32 => 4 * (1,0442738)-32 = 1

PV = 1, o que significa que igual a uma unidade de PV.

Eduardo Blatt


CAPTULO 2

1.

Dados: PV = ?; i = 15% ao ano => 0,15; n = 7 anos; A = $100.000,00.

Frmula:

PV dado o valor da parcela: (P/A, i, n) => (P/A, 15%, 7)

PV = A * (((1 + i)n 1) / ((1 + i)n * i))

Resoluo:

PV = 100000 * (((1 + 0,15)7 1) / ((1 + 0,15)7 * 0,15))

PV = 100000 * (((1,15)7 1) / ((1,15)7 * 0,15))

PV = 100000 * ((2,6600199 1) / (2,6600199 * 0,15))

PV = 100000 * (1,6600199 / 0,3990029)

PV = 100000 * 4,1604206

PV = $416.042,06

2.

Dados: A = ?; PV = $2.000,00; n = 8 prestaes; i = 13% => 13 / 100 => 0,13.

Frmula:

Valor da parcela dado o PV: (A/P, i, n) => (A/P, 13%, 8)

A = PV * ((i * (1 + i)n) / ((1 + i)n 1))

Resoluo:

A = 2000 * ((0,13 * (1 + 0,13)8) / ((1 + 0,13)8 1))

A = 2000 * ((0,13 * (1,13)8) / ((1,13)8 1))

A = 2000 * ((0,13 * 2,6584442) / (2,6584442 1))

A = 2000 * (0,3455977 / 1,6584442)

A = 2000 * 0,208386691

A = $ 416,77

Engenharia Econmica


3.

Dados: A = ?; n = 18 anos * 12 meses = 216 meses; i = 0,56% => 0,56 / 100 => 0,0056; Valor da srie perptua: $1.000,00.

Frmulas:

PV dado o valor da parcela (serie perptua de pagamento): PV = A * (1 / i)

Valor da parcela dado o FV: A = FV * (i / ((1 + i)n 1))

Resoluo:

Para ganhar vitaliciamente $1.000,00, a uma taxa de juros de 0,56%, aplica-se a frmula PV = A * (1 / i) => 1000 * (1 / 0,0056) => 1000 * 178,57143 => $ 178.571,43. Necessitarei ter, em 18 anos, o valor de $178.571,43, para poder ganhar $1.000,00. Deve-se calcular, agora, qual o valor do depsito mensal para conseguir o valor de $178.571,43 (aqui, ser o nosso FV) em 18 anos, com a taxa de juros de 0,56% a.m. Logo, A = FV * (i / ((1 + i)n 1)) => 178571,43 * (0,0056 / ((1 + 0,0056)216 1)) => 178571,43 * (0,0056 / ((1,0056)216 1)) => 178571,43 * (0,0056 / ((1,0056)216 1)) => 178571,43 * (0,0056 / 2,3408515) => A = $427,20.

Ser necessrio depositar por 18 anos, todos os meses, $427,20.

4.

Dados: FV = ?; A = $500,00; n = 4 anos * 12 meses = 48 meses; i = 0,42% a.m. => 0,42 / 100 => 0,0042.

Frmula:

FV dado o valor da parcela: (F/A, i, n) => (F/A; 0,0042; 48)

FV = A * (((1 + i)n 1) / i)

Resoluo:

FV = 500 * (((1 + 0,0042)48 1) / 0,0042)

FV = 500 * (((1,0042)48 1) / 0,0042)

FV = 500 * (((1,2228422 1) / 0,0042)

FV = 500 * (0,2228422 / 0,0042)

FV = 500 * 53,057667

Eduardo Blatt


FV = $26.528,83

Teremos o valor de $26.528,83 depositado na poupana aps 4 anos, com um regime de dep-sito mensal de $500,00.

5.

Dados: Valor da Srie Perptua = ?; FV = ?; A = $1.000,00; n = 18 anos * 12 meses => 216 meses; i = 0,56% a.m. => 0,56 / 100 => 0,0056.

Frmulas:

FV dado o valor da parcela: FV = A * (((1 + i)n 1) / i)

PV dado o valor da parcela (serie perptua de pagamento): PV = A * (1 / i) => A = PV * i

Resoluo:

Primeiramente, deve-se calcular o FV, visto que so feitos depsitos mensais de $1.000,00 por 18 anos, com taxa de juros de 0,56%. Logo:

FV = 1000 * (((1 + 0,0056)216 1) / 0,0056) => 1000 * (((1,0056)216 1) / 0,0056)

FV = 1000 * (((3,3408515 1) / 0,0056) => 1000 * (2,3408515 / 0,0056)

FV = 1000 * 418,00919 => $418.009,19

Depois, com o montante disponvel em 18 anos, calcula-se a srie perptua:

PV = A * (1 / i) => A = PV * i

A = 418009,19 * 0,0056 => 2340,8515.

Sero recebidos mensalmente, de forma vitalcia, $2.340,85.

6.

Dados: n = ?; PV = $150.000,00; FV = $300.000,00; A = $5.000,00; i = 0,85% a.m. => 0,85 / 100 => 0,0085.

Frmula:

Nmero de parcelas dados o PV, o FV e o valor da prestao:

Engenharia Econmica


n = - (Log ((A - (i * FV)) / (A - (i * PV))) / (Log ( 1 + i )))

Resoluo:

n = - (Log ((5000 - (0,0085 * 300000)) / (5000 - (0,0085 * 150000))) / (Log (1 + 0,0085)))

n = - (Log ((5000 - 2550) / (5000 - 1275)) / (Log (1,0085)))

n = - (Log (2450 / 3725) / (Log (1,0085)))

n = - (Log (0,6577181) / (Log (1,0085)))

n = - (-0,1819601 / 0,0036759)

n = 49,5 => 50 prestaes

CAPTULO 3

1.

Dados: a taxa semestral 6% => 6/100 =0,06; 1 ms possui 1/6 de um semestre; 1 bimestre possui 1/3 de um semestre; 1 ano possui 2 semestres; 1 ano possui 52 semanas e 26 quinzenas; logo, 1 semestre possui 13 quinzenas; ento, 1

quinzena uma frao de 1/13 de um semestre;

1 ano possui 52 semanas; logo, 1 semestre possui 52/2 = 26 semanas e 1 semana possui uma frao de 1/26 de um semestre;

1 ano possui 365 dias; logo, 1 semestre possui 365/2 = 182,5 dias e 1 dia possui a frao de 1/182,5 de um semestre.

Frmula:

Taxa equivalente: ie = ( 1 + i )ne 1

Resoluo:

ia.m. = (1 + 0,06)1/6 1 => 0,0097588 => * 100 => 0,976% a.m.

ia.b. = (1 + 0,06)1/3 1 => 0,0196128 => * 100 => 1,961% a.b.

ia.a. = (1 + 0,06)2 1 => 0,1236000 => * 100 => 12,360% a.a.

ia.q. = (1 + 0,06)1/13 1 => 0,0044923 => * 100 => 0,449% a.q.

ia.s. = (1 + 0,06)1/26 1 => 0,0022436 => * 100 => 0,224% a.semana.

ia.d. = (1 + 0,06)1/182,5 1 => 0,0003193 => * 100 => 0,032% a.d.

Eduardo Blatt


2.

Dados: PV = $120.000,00; FV = $150.000,00; j = 10% a.a.; n = ? % a.a.; r = ? % a.a.

Frmulas:

Taxa nominal de mercado dados o PV e o FV: n = (FV / PV) 1

Taxa de juros reais dadas a taxa de juros de mercado (nominal) e a taxa de inflao: r = ((1 + n) / (1 + j)) - 1

Resoluo:

n = (150000 / 120000) 1 => (150000 / 120000) 1 => 0,25, multiplicar por 100 para transfor-mar em percentual; logo: 0,25 * 100 => n = 25,0% a.a.

j = 10,0% a.a. => 10 / 100 =>0,10 (taxa de juros em valor absoluto).

r = (1 + 0,25) / (1 + 0,10) 1 => (1,25) / (1,10) 1 => 0,136, multiplicar por 100 para transformar em percentual; logo: 0,136 * 100 => r = 13,6% a.a.

3.

Dados: 0,70% Jan/98; 0,28% Fev/98; 0,20% Mar/98; 0,19% Abr/98; 0,41% Mai/98; 0,05% Jun/98; -0,37% Jul/98; -0,89 Ago/98 (valor positivo: inflao; valor negativo: deflao no ms). Tambm, devem-se

converter os valores de percentual para numrico, dividindo por 100.

Frmula:

Taxa acumulada dada a taxa por perodo (n): iac = (1 + i1) * (1 + i2) * ... * (1 + in) - 1

Engenharia Econmica


Resoluo:

iac = (1 + i1) * (1 + i2) * (1 + i3) * (1 + i4) * (1 + i5) * (1 + i6) * (1 + i7) * (1 + i8) - 1

iac = (1 + 0,007) * (1 + 0,0028) * (1 + 0,002) * (1 + 0,0019) * (1 + 0,0041) * (1 + 0,0005) * (1 - 0037) * (1 - 0089) - 1

iac = ((1,007) * (1,0028) * (1,002) * (1,0019) * (1,0041) * (1,0005) * (0,9963) * (0,9911)) 1

iac = 0,00562847 => 0,00562847 * 100 => 0,562847% no perodo de janeiro a agosto de 1998.

4.

Dados: j = 6,3% a.a. => 6,3 / 100 => 0,0633 a.a.; TDM = ? % a.a.

Frmula:

TDM dada a taxa de inflao: TDM = j / (1 + j)

Resoluo:

TDM = 0,0633 / (1 + 0,0633)

TDM = 0,0633 / 1,0633

TDM = 0,0595316

TDM = 5,95% a.a., que foi a perda de capacidade de compra (TDM) no Brasil no ano de 2010.

5.

Dados: PV = $50.000,00; j1 = 0,94% => 0,0094; j2 = 0,54% => 0,0054; j3 = 0,66% => 0,0066; CM = ?

Frmula:

Correo monetria sendo dados o PV e a taxa acumulada:

CM = PV * iac => PV * (1 + i1) * (1 + i2) * ... * (1 + in)

Resoluo:CM = PV * (1 + i1) * (1 + i2) * (1 + i3)CM = 50000 * (1 + 0,0094) * (1 + 0,0054) * (1 + 0,0066)CM = 50000 * (1,0094) * (1,0054) * (1,0066)

CM = $51.077,44, este ser o valor da dvida reajustada, aps trs meses.

Eduardo Blatt


CAPTULO 4

1.

Fluxo de Caixa Valor Futuro Lquido equipamentos K e L.

Fonte: O autor.

Frmulas:


FV = PV * (1 + i)n


FV = A * (((1 + i)n 1) / i)

Resoluo:

VFLk = - 50.000 (F/P, 20%, 10) 20.000 (F/A, 20%, 9) 20.000 + 4.000

VFLk = - 50.000 * 6,192 20.000 * 20,799 20.000 + 4.000 = -741.580

VFLL = - 80.000 (F/P, 20%, 10) 15.000 (F/A, 20%, 9) 15.000 + 8.000

VFLL = - 80.000 * 6,192 15.000 * 20,799 15.000 + 8.000 = -814.345

VFLk > VFLL, pois -741.580 > -814.345.

Ser escolhido o equipamento K.

A alternativa selecionada equivale a um equipamento em que se deve gastar, no final de 10 anos, o valor de Cr$ 741.580,00, que menor que Cr$ 814.345,00.

Engenharia Econmica


2.

Fluxo de Caixa Valor Presente Lquido dos Bancos K e L.

Frmulas:

PV dado o FV: (P/F, i, n)

PV = FV / (1 + i)n

FV * (1 + i)- n

PV dado o valor da parcela: (P/A, i, n)

PV = A * (((1 + i)n 1) / ((1 + i)n * i))

Resoluo:

VPLk = - 20.000 + 2.000 (P/A, 15%, 10) + 200.000 (P/F, 15%, 10)

VPLk = - 20.000 + 2.000 * 5,019 + 200.000 * 0,2472

VPLk = - 20.000 + 10.038 + 49.440 = 39.478

VPLL = - 10.000 + 1.000 (P/A, 15%, 10) + 120.000 (P/F, 15%, 10)

VPLL = - 10.000 + 1.000 * 5,019 + 120.000 * 0,2472

VPLL = - 10.000 + 5.019 + 29.664 = 24.683

VPLk > VPLL, pois 39.478 > 24.683.

Ser escolhido o Banco K.

Fonte: O autor.

Eduardo Blatt


3.

Fluxo de Caixa Valor Presente Lquido Aquecedores Gs e Eltrico.

Fonte: O autor.

Frmulas:


PV = FV / (1 + i)n

FV * (1 + i)- n


PV = A * (((1 + i)n 1) / ((1 + i)n * i))

Resoluo:

VPLk = -700.000 700.000 (P/F, 20%, 5) 100.000 (P/A, 20%, 10)

VPLk = -700.000 700.000 * 0,4019 100.000 * 4,192

VPLk = -700.000 281.330 419.200 = -1.400.530

VPLL = - 900.000 90.000 (P/A, 20%, 10)

VPLL = - 900.000 90.000 * 4,192

VPLL = - 900.000 377.280 = -1.277.280

Logo, VPLL (-1.277.280) > VPLk (-1.400.530); ento, a alternativa L (Sistema Eltrico) melhor que a alternativa k (sistema a gs).

Engenharia Econmica


4.

Fluxo de Caixa Valor Futuro Lquido Equipamentos K e L.

Fonte: O autor.

Frmulas:


FV = PV * (1 + i)n


FV = A * (((1 + i)n 1) / i)

Resoluo:

VFLk = -10.000 (F/P, 20%, 12) 500 [(F/P, 20%, 11) + (F/P, 20%, 8) + (F/P, 20%, 5) + (F/P, 20%, 2)] 2.000 [(F/P, 20%, 10) + (F/P, 20%, 7) + (F/P, 20%, 4) + (F/P, 20%, 1)] + (-10.000 + 1.000) [(F/P, 20%, 9) + (F/P, 20%, 6) + (F/P, 20%, 3)] + 1.000 = 10.000 * 8,916 500 (7,430 + 4,300 + 2,488 + 1,440) 2.000 (6,192 + 3,583 + 2,074 + 1,200) 9.000 (5,160 + 2,980 + 1,728) + 1.000 = -210.899

VFLL = -20.000 (F/P, 20%, 12) 1.000 [(F/P, 20%, 11) + (F/P, 20%, 10) + (F/P, 20%, 7) + (F/P, 20%, 6) + (F/P, 20%, 3) + (F/P, 20%, 2)] 4.000 [(F/P, 20%, 9) + (F/P, 20%, 5) + (F/P, 20%, 1)] + (-20.000 + 5.000) [(F/P, 20%, 8) + (F/P, 20%, 4)] + 5.000 = - 317.850

Como -210.899 > -317.850, isto , VFLk > VFLL, a melhor escolha o equipamento K.

Eduardo Blatt


CAPTULO 5

1.

Resoluo:

Taxa equivalente de ano para trimestre (um ano tem 4 trimestres):

ie = ( 1 + i )ne 1 => ia.t = ( 1 + 0,3355 )

1/4 1 => 0,075 => 7,50% a.t.


Durante os primeiros trimestres, haver uma carncia; contudo, sero cobrados juros compos-tos em cima do principal: R$ 260.000,00.FV = PV * (1 + i)n

FV = 260000 * (1 + 0,075)1 => 260000 * 1,0755 => R$ 279.500,02 ...FV = 260000 * (1 + 0,075)4 => 260000 * 1,3379 => R$ 347.222,07

Valor da parcela dado o PV: (A/P, i, n) => (A/P; 0,075; 6)

A = PV * ((i * (1 + i)n) / ((1 + i)n 1))

A = 347222,07 * ((0,075 * (1 + 0,075)6) / ((1 + 0,075)6 1))

A = 347222,07 * ((0,075 * (1,075)6) / ((1,075)6 1))

A = 347222,07 * ((0,075 * 1,543) / (1,543 1))

A = 347222,07 * (0,11575 / 0,543)

A = 347222,07 * 0,2130449

A = R$ 73.973,90 (valor constante das 6 prestaes).

Engenharia Econmica


Na quinta prestao: o principal ser (PV * (1 + i)) - A => (347222,07 * (1 + 0,075)) 73973,90 = 299289,85; o Amortizado ser 347222,07 299289,85 = 47932,22; os Juros sero 73973,90 47932,22 = 26041,68.

Na sexta prestao: o principal ser (PV * (1 + i)) - A => (299289,85 * (1 + 0,075)) 73973,90 = 247762,70; o Amortizado ser 299289,85 247762,70 = 51527,14; os Juros sero 73973,90 51527,14 = 22446,76.

A prestao constante, o valor amortizado cresce a cada prestao e o pagamento de juros diminui a cada prestao.

O valor de R$ 347.222,07 (que o valor de R$ 260.000,00 mais os juros dos quatro meses de carncia) torna-se R$ 443.843,43 ao final de 10 trimestres.

O pagamento de juros de: R$ 443.843,43 - R$ 347.222,07 = R$ 96.621,36.

2.

Resoluo:

Taxa equivalente de ano para trimestre (um ano tem 4 trimestres):

ie = ( 1 + i )ne 1 => ia.t = ( 1 + 0,3355 )

1/4 1 => 0,075 => 7,50% a.t.


Eduardo Blatt


Durante os primeiros trimestres, haver uma carncia; contudo, sero cobrados juros compos-tos em cima do principal: R$ 260.000,00.FV = PV * (1 + i)n

FV = 260000 * (1 + 0,075)1 => 260000 * 1,075 => R$ 279.500,02 ...FV = 260000 * (1 + 0,075)4 => 260000 * 1,3379 => R$ 347.222,42

Pn = n-simo valor da parcela;

n = n-sima parcela;

PV = valor total financiado = R$ 347.222,07;

N = nmero total de parcelas = 6;

i = taxa de juros ao ms = 0,075 = 7,5% a.t.

Pn = (PV / N) + (i * (PV ((n - 1) * (PV / N))))

Quinta prestao, que o primeiro pagamento: n = 1.

Pn = (347222,07 / 6) + (0,075 * (347222,07 ((1 - 1) * (347222,07 / 6))))

Pn = 57870,345 + 0,075 * (347222,07 (0 * 57870,345))

Pn = 57870,345 + 0,075 * (347222,07 0)

Pn = 83912,03

Na quinta prestao: o principal ser (PV * (1 + i)) - A => (347222,07 * (1 + 0,075)) 83912,03= 289351,73; o Amortizado ser 347222,07 289351,73 = 57870,34; os Juros sero 83912,03 57870,34 = 26041,68.

Sexta prestao, que o segundo pagamento: n = 2.

Pn = (347222,07 / 6) + 0,075 * (347222,07 ((2 - 1) * (347222,07 / 6)))

Pn = 57870,345 + 0,075 * (347222,07 (1 * 57870,345))

Pn = 57870,345 + 0,075 * (347222,07 57870,345)

Pn = 79571,75

Na sexta prestao: o principal ser (PV * (1 + i)) - A => (289351,73 * (1+0,075)) 79571,75 = 231481,38; o Amortizado ser 289351,73 231481,38 = 57870,34; os Juros sero 79571,75 57870,34 = 21701,40.

O Valor Amortizado constante e a prestao e os juros diminuem a cada prestao.

O valor de R$ 347.222,07 (que o valor de R$ 260.000,00 mais os juros dos quatro meses de carncia) torna-se R$ 438.367,95 ao final de 10 trimestres.

O pagamento de juros de R$ 438.367,95 - R$ 347.222,07 = R$ 91.145,88, que menor que os juros cobrados pela Tabela PRICE.


CAIXA ECONMICA FEDERAL (CEF). Sistema de amortizao. Disponvel em: . Acesso em: 15 abr. 2012.

CASAROTTO FILHO, N.; KOPITTKE, B. H.Anlise de investimentos. So Paulo: Atlas, 1998.

EHRLICH, P. J. Engenharia econmica: avaliao de projetos de investimentos. 6. ed. So Paulo: Atlas, 2009.

EUGEN VON BHM-BAWERK. Flickr. Disponvel em: . Acesso em: 9 ago. 2012.

FARO, C. Princpios e aplicaes do clculo financeiro. Rio de Janeiro: LTC, 1990.

HERITAGE FOUNDATION. Index of economic freedom. Disponvel em: . Acesso em: 15 abr. 2012.

HIRSCHFELD, H.Engenhariaeconmicae anlise de custos. So Paulo: Atlas, 2000.

NASCIMENTO, S. V. Matemtica financeira. 6. ed. So Paulo: Atlas, 1998.

______. Engenharia econmica tcnica de avaliao e seleo de projetos de investimentos. Rio de Janeiro: Cincia Moderna, 2010.

TESOURO NACIONAL. Exemplos de papis de ttulos da dvida pblica. Disponvel em: . Acesso em: 13 out. 2012.

VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemtica financeira. 7. ed. So Paulo: Atlas, 2000.

REFERNCIAS


Banco de Frmulas

i = taxa de juros por perodo de capitalizao (interest rate); por exemplo: 5% taxa de juros / 100 => i = (5 / 100) => i = 0,05;

n = nmero de perodos a ser capitalizado (number); ne = nmero de perodos equivalentes (equivalent number); PV = quantia de dinheiro na data de hoje; FV = quantia de dinheiro no futuro; A = srie uniforme de pagamento (PMT na calculadora HP12C) (valor da parcela).

FV dado o PV (Juros Simples) apenas como funo didtica:

FV = PV * (1 + (i * n))


FV = PV * (1 + i)n


FV = A * (((1 + i)n 1) / i)


PV = FV / (1 + i)n

PV = FV * (1 + i)- n


PV = A * (((1 + i)n 1) / ((1 + i)n * i))

PV dado o valor da parcela (serie perptua de pagamento):

PV = A * (1 / i)

Valor da parcela dado o PV: (A/P, i, n)

A = PV * ((i * (1 + i)n) / ((1 + i)n 1))

ANEXO

Eduardo Blatt


Valor da parcela dado o FV: (A/F, i, n)

A = FV * (i / ((1 + i)n 1))

Taxa de juros dados o PV e o FV:

i = (FV / PV)1/n 1

Nmero de parcelas dados o PV e o FV:

n = (Log (FV/PV)) / (Log ( 1 + i ))

Nmero de parcelas dados o PV, o FV e o valor da prestao:

n = - (Log ((A - (i * FV)) / (A - (i * PV))) / (Log ( 1 + i )))

n = taxa de juros nominais (taxa de mercado); r = taxa de juros reais [taxa de mercado (n) inflao (j)]; j = taxa de inflao; iac = taxa acumulada; PV = valor presente ou valor inicial; FV = valor futuro ou valor final; TDM = Taxa de Desvalorizao Monetria; CM = Correo Monetria; ie = taxa de juros equivalentes (equivalent interest rate); ne = nmero de perodos equivalentes (equivalent number);

Frmula geral para o clculo taxa de juro nominal (n), juro real (r) e inflao (j):

1 + n = (1 + r) * (1 + j)

Taxa de juros de mercado (nominal) dadas a taxa de juros reais e a taxa de inflao:

n = (1 + r) * (1 + j) - 1

Taxa de juros reais dadas a taxa de juros de mercado (nominal) e a taxa de inflao:

r = ((1 + n) / (1 + j)) - 1

Taxa de inflao dadas a taxa de juros de mercado (nominal) e a taxa de juros reais:

j = ((1 + n) / (1 + r)) - 1

Taxa dados o PV e o FV:

i = (FV / PV) - 1

Taxa acumulada dada a taxa por perodo (n):

iac = (1 + i1) * (1 + i2) * ... * (1 + in) - 1

Engenharia Econmica


TDM dada a taxa de inflao:

TDM = j / (1 + j)

Correo monetria sendo dados o PV e a taxa acumulada:

CM = PV * iacCM = PV * (1 + i1) * (1 + i2) * ... * (1 + in)

Taxa equivalente:

ie = (1 + i)ne 1

ia.a. = taxa de juros ao ano; ia.m. = taxa de juros ao ms; ia.d. = taxa de juros ao dia.

Engenharia Econmica_2013_3_online56INTRODUO1VALOR PRESENTE E VALOR FUTURO1.4 Taxa Bsica de Juros1.5 Taxa de Juros Simples e Compostos1.6 Clculos com PV e FV1.7 Resumo do Captulo1.8 Atividades Propostas

2CLCULOS DE PRESTAES2.2 Srie Perptua de Pagamento2.3 Resumo do Captulo2.4 Atividades Propostas

3JUROS NOMINAL E REAL E INFLAO3.3 Taxa Equivalente de Juros3.4 Juros Nominal e Real e Inflao3.5 Taxa Acumulada3.6 Taxa de Desvalorizao Monetria3.7 Correo Monetria3.8 Imposto3.9 Resumo do Captulo3.10 Atividades Propostas

4ANLISE DE ALTERNATIVAS ECONMICAS4.2 Custo de Oportunidade4.3 Mtodo do Valor Presente Lquido (Taxa de Desconto)4.4 Seleo da Melhor Alternativa entre Alternativas com Duraes Iguais4.5 Valor Futuro Lquido de um Fluxo de Caixa4.6 Resumo do Captulo4.7 Atividades Propostas

5AMORTIZAO5.2 Sistema de Amortizao Constante (SAC)5.3 Sistema de Amortizao Crescente (SACRE)5.4 Leasing: Arrendamento Mercantil5.5 Resumo do Captulo5.6 Atividades Propostas

RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTASREFERNCIASANEXO

apostila

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