apostila 2001 12 15 - lem · cÁlculo de concreto armado 1 conceitos básicos ao se calcular uma...

CÁLCULCÁLCULCÁLCULCÁLCULCÁLCULO DE CONCRETO DE CONCRETO DE CONCRETO DE CONCRETO DE CONCRETO ARMADOO ARMADOO ARMADOO ARMADOO ARMADO 1

Conceitos Básicos

Ao se calcular uma estrutura de concreto, precisamos, primeiramen-te, determinar os seguintes itens:

•Cargas características•Reações•Esforços solicitantes

Cargas Características

Dividem-se em cargas permanentes e variáveis (ou acidentais):

Cargas Permanentes: são cargas constituídas pelo peso próprio daestrutura e pelos pesos de todos os elementos fixos e instalações permanen-tes. Abaixo estão alguns exemplos de cargas de alguns dos materiais mais co-nhecidos, fornecidas por peso específico:

•concreto simples = 24 kN/m2

•concreto armado = 25 kN/m2

•argamassa = 19 kN/m2

•alvenaria de tijolo maciço = 16 kN/m2

•alvenaria de tijolo furado = 10 kN/m2

•alvenaria de blocos de concreto = 13 kN/m2

Cargas Variáveis ou Acidentais (NBR 6120): são as cargas que podematuar sobre as estruturas de edificações em função de seu uso. Abaixo estãoalguns exemplos de cargas acidentais verticais atuando nos pisos das edificações,devido a pessoas, móveis, utensílios, etc., e são supostas uniformemente dis-tribuídas:

•salas, quartos, cozinhas e W.C.s = 1,5 kN/m3

•escadas, corredores e terraços = 3,0 kN/m3

•restaurantes e salas de aula = 3,0 kN/m3

•auditórios = 3,0 kN/m3

•bibliotecas (estantes) = 6,0 kN/m3

•cinemas (platéia) = 4,0 kN/m3

Esforços solicitantes e Reações

Esforços solicitantes e reações foram objeto de disciplinas básicas destecurso. Na figura seguinte, a título de recordação, estão representados os es-forços solicitantes e reações de algumas situações em vigas:

esforços máximos na viga biapoiada

M = q l2/8

V = q l/2


esforços máximos na viga em balanço

esforços máximos na viga com três apoios

M = q l2/2

V = q l+P

Regras de pré-dimensionamento de peças

Ao se pré-dimensionar uma peça de concreto, deve-se seguir os se-guintes passos lógicos:

•determinação das ações•determinação das resistências•verificação da segurança

As ações são as solicitações à peça, as resistências levam em conside-ração a seção transversal e as características mecânicas dos materiais, e a se-gurança deve ser garantida com um dimensionamento que supere os esforçosque incidam sobre a peça com uma certa “folga”.

Algumas hipóteses básicas também devem ser adotadas:

•manutenção da seção plana: as seções transversais da peça, quandofletidas não perdem a configuração plana;

•aderência perfeita entre o concreto e armadura: não háescorregamento entre os materiais;

•a tensão do concreto é nula na região transversal sujeita à deforma-ção de alongamento.


Diagrama tensão x deformação (de cálculo) da armadura:

•aço de dureza natural (com patamar de escoamento)

Flexão simples

Na flexão simples a ação pode ser admitida com sendo representadaapenas pelo Momento de Projeto = Md; são adotadas como resistências aque-las oferecidas pelo concreto (fck), pelo aço (fyk) e pela seção transversal (Mud); ea segurança adequada é quando é verificada a condição: Md < Mud .

O concreto mais utilizado tem como característica um fck entre 20 e29 MPa (KN/m3), sendo 24 MPa o mais usual, enquanto que o aço mais utiliza-do, o CA50A, tem como fyk um valor de 50 kN / cm3.

Além da resistência, existem ainda outras características inerentes aoconcreto e ao aço, que serão utilizadas para efeito de cálculo, a saber:

concreto açofck = 24MPa fyk = 50 kN/cm2

gc = 1,4 gs = 1,15Ec = 30.000 MPa Es = 210.000 MPa

onde fck é, como dissemos, o valor característico da resistência doconcreto, fyk é o valor carcterístico de resistência da armadura corresponden-te ao patamar de escoamento, gc é o coeficiente de ponderação de resistênciado concreto (coeficiente de segurança), gs é o coeficiente de ponderação daarmadura (coeficiente de segurança), Ec é o módulo de elasticidade do concre-to e Es é o módulo de elasticidade do aço.

Diagrama de tensão x deformação (de cálculo) do concreto:•diagrama parábola-retângulo


•diagrama retangular simplificado

x = altura da zona comprimida, medida a partir da borda comprimidak = 0,86, quando a altura de zona comprimida não diminui em direção à borda comprimida (seçãoretangular)

Estado limite último convencional na flexão

É atingido quando ocorre uma das seguintes situações:

•a deformação de encurtamento no concreto (ecu) atinge 0,0036;denomina-se estado limite último (ELU) por esmagamento do concreto:

•a deformação de alongamento na armadura mais tracionada (esu)atinge 0,010; denomina-se estado limite último (ELU) por alongamento plásti-co excessivo de armadura:


Domínios de Deformação

Conforme foi visto no item anterior, o estado limite último convenci-onal ocorre quanto o diagrama de deformação passa por um dos dois pontos,A ou B, na figura seguinte:

d= altura útil da seção = distância do centro de gravidade (CG) da armadura à borda comprimidax = altura de zona comprimida

•diagrama D2: o concreto é pouco solicitado e a armadura está emescoamento: a ruptura é do tipo “dúctil” (com aviso).

•diagrama D3: o concreto está adequadamente solicitado e a armadu-ra em escoamento: a ruptura também é dúctil. As seções acima sãoditas subarmadas ou normalmente armadas.

•diagrama D4: o concreto é muito solicitado e a armadura pouco soli-citada. A ruptura é do tipo “frágil”(sem aviso). A seção é ditasuperaramada e é uma solução anti-econômica pois a armadura não éexplorada ao máximo.

Viga de seção retangular com armadura simples

Tem as seguintes características:

•a zona comprimida da seção sujeita à flexão tem forma retangular;•a armadura é constituída por barra agrupadas junto à borda tracionada

e pode ser imaginada concentrada no seu centro de gravidade.

resultante das tensões

no concreto: Rcd = 0,85 fcd b 0,8x = 0,68 b x fcd

na armadura: Rsd = As ssd

Equações de equilíbrio:

de força: Rcd = Rsd ou 0,68 b x fcd = As ssd

de momento: Mud = Rcd (d-0,4x)

1


Viga de Seção “T” com Armadura Simples

A análise de uma seção “T” pode ser feita como se indica a seguir:

O problema pode ser equacionado subdividindo a zona comprimidaem retângulos (1 e 2). As resultantes de tensão sobre as partes 1 e 2 valem:

Rcfd = 0,85 fcd (bf - bw) hfe

Rcwd = 0,85 fcd bw (0,8 x)

A equação de equilibro de momento fornece:

Mud = Md = Mcfd + Mcwd = Rcfd (d - hf /2) + Mcwd

Este momento deve ser resistido pela parte 2 que é uma seção retan-gular bw por d, portanto:

substituindo o valor das resultantes de tensão vem:

Mud = 0,68 b x fcd (d-0,4x)ou

Mud = As ssd (d-0,4x)

Nos casos de dimensionamento, tem-se b, fck e faz-se Mud = Md(momento fletor solicitante em valor de cálculo). Normalmente, pode-se ado-tar d = 0,9h. Desta forma, a equação 2 nos fornece o valor de x:

2

3

Com o valor de x, tem-se o domínio de deformação correspondente,podendo ocorrer as seguintes situações:

•domínio 2, onde x < x23 = 0,269 d; e ssd = fyd

•domínio 3, onde x23 < x < x34 = 0,0035d / (0,0035+eyd); e ssd = fyd

•domínio 4, se x > x34 , neste caso convém alterar a seção para seevitar a peça superarmada, aumentando-se h ou adotando-se arma-dura dupla.

Para a situação adequada de peça subarmada, tem-se ssd = fyd. As-sim, a equação 3 nos fornece:

As = Md = Md

ssd (d-0,4 x ) fyd (d-0,4x)

x = 1,25 d 1 - 1- Mcwd

0,425 bw d2 fcd

x = 1,25 d 1 - 1- Md

0,425 b d2 fcd


A equação de equilíbrio de força permite escrever:

Rcd = Rcfd + Rcwd

As fyd = Rcfd + Rcwd

Portanto

Conforme se indica na figura acima, pode ser determinado a primeiraparcela do momento resistente, designada por Mwd:

Mwd = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x)e

Rsd1 = Mwd /(d - 0,4x)

Como ssd = fyd (peça subarmada), tem-se

As = Rsd1 /fyd

Assim, fica conhecida a parcela restante do momento resistente:

DMd = Md – Mwd

Também,

DMd = R’sd (d - d’) = A’sd s’cd (d - d’) e

DMd = R’sd2 (d - d’) = A’s2 s’cd (d - d’)

Que permitem determinar as áreas restantes de armadura As2 e A’s .De fato,

Costuma-se adotar um valor de x, por exemplo x = d/2. Dessaforma podem ser determinadas as armaduras As e A’s como se indica a se-guir. As equações A e B sugerem a decomposição mostrada na figura seguin-te:

As = Rcfd + Rcwd

fyd

Viga de Seção Retangular com Armadura Dupla

Quando se tem, além da armadura de tração As, outra A’s posicionadajunto à borda comprimida, temos uma seção com armadura dupla. Isto é feitopara se conseguir uma seção subarmada sem alterar as dimensões de seçãotransversal. A armadura comprimida introduz uma parcela adicional na resul-tante de compressão, permitindo assim, aumentar a resistência da seção. Ve-jamos as equações de equilíbrio:

De Força:

Rsd = Rcd + R’sdAs ssd = 0,68 b x fcd + c

De Momento:

Md = Rcd (d - 0,4x) + R’sd (d - d’)Md = 0,68 b x fcd (d - 0,4x) + A’s s’cd (d - d’)

Temos assim duas equações (A e B) e três incógnitas: x, As e A’s (poisas tensões na armadura depende de x).

B

A


R’sd = Rsd2 = DMd /(d - d’) e

As2 = Rsd2 /fyd

O cálculo de A’s , requer a determinação de tensão s’sd. Com x < xlim,tem-se, no domínio 3 ec=0,0035 e, no domínio 2:

ec = 0,010x / (d - x) (por semelhança de triângulos)

Logo

e’s = ec (x - d’) / x

que permite obter s’sd (no diagrama s x e de armadura)

Finalmente

A’s= R’sd /s’se

As = As1 + As2

CISALHAMENTO

Serão analisadas seções sujeitas a força cortante (V) e a momentotorçor (T) que geram tensões de cisalhamento (t).

Panorama de tensões principais numa viga de comportamen-to elástico linear.

Considere-se uma viga biapoiada sujeita a duas cargas concentradasde valor P, simetricamente dispostas no vão à distância a dos apoios, conformemostra a figura abaixo:

O trecho inicial da viga compreendido entre o apoio e a carga con-centrada está sujeito a momento fletor e a força cortante. No trecho compre-endido entre as cargas concentradas, sujeito à flexão simples, a direção dastensões principais de tração é paralela ao eixo da viga. As trajetórias de ten-sões principais estão esquematizadas na figura que segue.


Arranjos usuais de armadura nas vigas de concreto armado

Como se sabe, o concreto é um material de boa resistência à com-pressão (fcc), porém, de baixa resistência à tração (fct). Dessa forma, se a vigada primeira figura fosse de concreto armado ela tenderia a apresentar fissurasperpendiculares à tensão principal de tração (s1), ou seja, fissuras paralelas àtensão principal de compressão (s2). Pode-se notar que na flexão simples (tre-cho compreendido entre as cargas concentradas) as fissuras tendem a ser per-pendiculares à LN; e na flexão combinada com cisalhamento (trecho compre-endido entre a carga concentrada e o apoio) as fissuras tendem a se inclinardevido à força cortante. Neste caso diz-se que ocorre uma fissuração diagonal.

A idéia básica do concreto armado está na associação de dois materi-ais, concreto e armadura, de modo que esta última supra à deficiência à traçãodo primeiro. Para isso, a armadura deve ser posicionada de modo a “costurar”as fissuras de tração e, quando possível, paralelamente às tensões de tração.

As trajetórias de tensões de tração (figura anterior) sugerem os se-guintes arranjos práticos de armadura:

• Armadura longitudinal (reta + dobrada) + armadura transversal (estribo)

•Armadura longitudinal (reta) + armadura transversal (estribo)


O estribo nunca é dispensado nas vigas devido, principalmente, a ra-zões de ordem construtiva. O primeiro dos arranjos citados parece ser me-lhor porque a armadura longitudinal acompanha, relativamente bem, as traje-tórias de tensões principais de tração; os ensaios, contudo, têm mostrado obom comportamento do segundo arranjo onde os estribos, distribuídos compequeno espaçamento entre si, tem a função de resistir ao cisalhamento e aarmadura longitudinal, à flexão e constitui esquema muito prático e de usobastante comum.

Método de verificação

•Modelo simplificado para o comportamento da viga (treliça clássicaou treliça de Mörsch)

O panorama de fissuração, que se implanta na viga por ocasião daruptura, sugere um modelo em forma de treliça para o seu esquema resisten-te. Esta treliça é constituída de banzos paralelos ao eixo da viga (banzo superi-or comprimido de concreto, e banzo inferior tracionado correspondente àarmadura longitudinal de flexão), diagonais comprimidas de concreto inclina-das de 45o (bielas diagonais) e pendurais correspondentes à armadura trans-versal.

Os esforços na treliça múltipla podem ser estimados através de umatreliça mais simples, isostática (figura abaixo), dita treliça clássica ou treliçade Mörsch. Cada pendural nesta treliça representa (z/s) estribos, da treliçaoriginal, o mesmo ocorrendo com a diagonal comprimida.

Solicitações nos elementos da treliça

Do equilíbrio do ponto J (figura abaixo), tem-se:

Tensões médias nos elementos da treliça

• Tensão média na diagonal comprimida (biela comprimida de concreto)

Rswd = Vd e Rcwd = Vd 2


Conforme a figura anterior, pode-se escrever:

scwd = 2to

sendo

Como z ~ d/1,15, tem-se, também:

scwd = 2,3twd

onde

twd = Vd

bwz

• Tensão média no estribo (armadura de combate ao cisalhamento)

sswd = to

rw

sswd = 1,15 twd

rw

Sendo Asw a área total correspondente a um estribo, tem-se para oestribo usual de 2 ramos:

Asw = 2 As1

(As1 = área da seção da armadura do estribo)

Conforme a figura anterior, tem-se:

twd < twu = 0,3 fcd < 4,5 MPa

onde

z / s = número de estribos no comprimento z de vigarw = Aw / bws = taxa geométrica de armadura transversal

Estados limites últimos na solicitação tangencial

• Ruptura cortante-compressão

Admite-se que a segurança esteja devidamente atendida quando

to = Vo

bwz

ou

que corresponde, no modelo da treliça clássica, à seguinte tensão decompressão na biela diagonal de concreto:

scwd < 2,3 0,3fcd = 0,69 fcd


Resultados de análises experimentais permitem considerar na flexãosimples

• Ruptura cortante-tração

A figura que segue apresenta, esquematicamente, o diagrama de ten-são de tração no estribo provocado pela força cortante. Nota-se que, a partirde um certo nível de solicitação, os diagramas de tensão de tração real (diagra-mas em linhas pontilhadas) são praticamente paralelos àquele da treliça clássi-ca (em linha tracejada). Para menores relações q, entre a espessura da alma daseção e a largura de sua mesa, eles se aproximam de uma reta “envoltória”afastada de tc do diagrama correspondente ao modelo da treliça clássica.

Dessa forma, atribuindo à tensão de tração nos estribos o valor fywd,eles podem ser quantificados através da expressão:

tc = 0,15 fck

rw = 1,15 twd - twd

fywd

onde

fywd = 43,48 kN/cm2 para os aços CA50 e CA60B.

• Ruptura por escorregamento da armadura de flexão junto aos apoiosextremos

Admite-se que a segurança esteja garantida pela verificação das duascondições seguintes:

- a armadura deve estar devidamente ancorada para garantir, junto àface interna do apoio, a resultante de tração igual a:

Rs,apo,d = Vd a1 > Vd

d 2

além disso, quando estas barras tiverem gancho de extremidade (si-tuação usual, próxima figura) elas devem estender-se, a partir da face internado apoio, por um comprimento igual a (r + 5,5 f) > 6 cm, onde f é odiâmetro da barra e r o seu raio de dobramento padronizado (para o açoCA50: r = 2,5 f quando f < 20 e r = 4f para f > 20); neste caso, quando ocobrimento lateral das barras na região do apoio for maior ou igual a 7 cm e acarga acidental q não for freqüente, é suficiente verificar apenas esta condição.


Arranjo da armadura transversal

•Armadura transversal mínima (estribo mínimo)

rmin = 0,14% - para CA50/CA60 0,25% para CA25

A este estribo mínimo corresponde uma força cortante V*.

twd = fyd rwmin + tc = g1 V* = 1,4 V* 1,15 bwd bwd

V* = bwd (fywd rmin + tc ) 1,61

• Tipo de estribo

Normalmente, utiliza-se estribo de 2 ramos (para bw <40 cm) e es-tribos de 4 (ou mais) ramos se bw > 40 cm.

• Diâmetro dos estribos (ft)

5 mm < ft < bw

12

• Espaçamento dos estribos (s)

Recomenda-se obedecer às seguintes condições:

30 cms < d/2

21 f (CA25)12 f (CA50/60) - para armadura dupla

As duas últimas condições são aplicadas quando se tem armaduracomprimida de flexão (A’s).

• Cobertura do diagrama de força cortante

Costuma-se garantir a resistência ao cisalhamento, adotando-se es-tribos uniformes por trechos de viga. Desta forma, resulta a “cobertura emdegraus” do diagrama de força cortante; cada degrau correspondendo a umtrecho de estribo constante. A figura que segue ilustra este procedimento.Para vigas usuais de edifícios, pode-se adotar, em cada vão, 3 trechos: umcentral correspondente à armadura mínima (rwmin e V*), e mais dois trechos,adjacentes aos apoios do vão com estribos calculados para as respectivas for-ças cortantes máximas.


Lajes Retangulares Maciças

Lajes são elementos estruturais planos de concreto armado sujeitos acargas transversais a seu plano. Os apoios das lajes são, geralmente, constitu-ídos por vigas vigas de piso. Nestes casos, o cálculo das lajes é feito, de manei-ra simplificada, como se elas fossem isoladas das vigas, com apoios livres àrotação e indeslocáveis à translação, considerando, contudo, a continuidadeentre lajes contíguas.

Do ponto de vista de comportamento à flexão, as lajes retangularesmaciças podem ser classificadas em:

• Lajes armadas em uma direção: quando a flexão (curvatura) é bastan-te predominante segundo a direção paralela a um dos lados;correspondem às lajes apoiadas em lados opostos (isoladas e contí-nuas, com ou sem balanços laterais), e às lajes “alongadas” apoiadasem todo o perímetro.

• Lajes armadas em duas direções ou em cruz: quando as curvaturasparalelas aos lados são valores comparáveis entre si, são lajes apoia-das em todo seu contorno e com lados não muito diferentes entre si(l < ly / lx < 2).

LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO

Considere-se a laje esquematizada na figura a seguir:

Sejam, lx, o vão teórico da laje, normalmente, igual à distância entreos eixos dos vigas de apoio, e ly o seu comprimento. Os cortes AA e BB mos-tram, de forma esquemática, os deslocamentos apresentados pela laje ao sersubmetida à uma carga distribuída uniforme de valor p. Constata-se a presen-ça de curvatura e, portanto, de momento fletor segundo o corte AA. Segundoo corte BB ocorre, praticamente uma translação com curvatura e flexão des-prezíveis.

Considere-se, agora, faixas isoladas de larguras unitárias paralelos aocorte AA: o carregamento de uma dessas faixas é constituído de carga unifor-me de valor p . Cada uma dessas faixas tem, aparentemente, o comportamen-to de uma viga isostática e o diagrama de momento fletor é uma parábola deordenada igual a plx

2/8. Representa-se este momento fletor por mx, com mx =plx 2/8, na unidade kN m/m. Analogamente, a força cortante tem diagramalinear e seu valor máximo vx = plx/2. Para que as faces superior e inferiormantenham-se paralelas entre si aparece um momenfo fletor my = u mx atu-ando no plano paralelo ao lado ly, também por unidade de largura, sendo my =0,2 mx , pois no concreto u = 0,2 . O momenfo fletor mx é chamado demomento fletor principal e my de secundário.


mx = plx2 / 8my = umx

vx = plx / 2

Esforços Solicitantes

• Laje Isolada: nesse caso, a faixa de largura unitária da laje correspondea uma viga isolada sujeita a carga distribuída uniforme;

• Laje em balanço: nesse caso, a faixa de largura unitária da lajecorresponde a uma viga em balanço e o carregamento consiste numacarga uniforme distribuída p mais uma concentrada P aplicada junto àextremidade do balanço.

• Laje contínua: nesse caso, a faixa de largura unitária da laje correspondea uma viga contínua.

Abaixo estão os gráficos destes 3 casos:

Esforços Máximos na Laje Isolada

m’x = plx2 / 8

vx = plx + P

Esforços Máximos na Laje em Balanço

Esforços Máximos na Laje Contínua


Dimensionamento à Flexão (Estado Limite Último - ELU)

O dimensionamento é feito para uma seção retangular de larguraunitária (normalmente, b =1 m =100 cm) e altura igual à espessura total dolaje, h.

Altura útil

A armadura de flexão será distribuída no largura de 100 cm. Em ge-ral, tem-se nos vãos, num mesmo ponto, dois momentos fletores (mx e my,positivos) perpendiculares entre si. Desta forma, a cada um desses momentoscorresponde uma altura útil; dx para o momento fletor mx e dy para o momen-to fletor my. Normalmente, mx é maior que my; por isso costuma-se adotar dx> dy; para isto, a armadura correspondente ao momento fletor my (Asy) écolocada sobre a armadura correspondente ao momento fletor mx (Asx):

Conforme a figura anterior, tem-se:

dx = h - c - fx /2 edy = h - c - fx - fy /2

onde

c = cobrimento mínimo de armadura em lajes, fixado em 0,5 cm naslajes protegidas com argamassa de espessura mínima de 1 cm (NBR 6118)fx = diâmetro da armadura Asx correspondente a m x

fy = diâmetro da armadura Asy correspondente a m y

Nas lajes maciças revestidas, usuais em edifícios, pode-se adotar apro-ximadamente:

dx = h - c - 0,5 cm edy = h - c - 1,0 cm

Cálculo das Armaduras

f = diâmetro nominal da barra em mmAs1 = área nominal da seção transversal de uma barram1 = massa de uma barra por metro linear


Nas lajes, normalmente, a flexão conduz a um dimensionamento comopeça subarmada com armadura simples. Assim, conforme a figura acima, aequação de equilíbrio conduz a

md = 0,68 b x fcd (d - 0,4x) com md = gc×m = 1,4 m

Resultando, para a altura de zona comprimida o valor

e a armadura

f (mm) As1 (cm) m1 (kg/m)

4,0 0,125 0,10

5,0 0,200 0,16

6,3 0,315 0,25

8,0 0,500 0,40

10,0 0,800 0,63

f = diâmetro nominal da barra em mmAs1 = área nominal da seção transversal de uma barram1 = massa de uma barra por metro linear

x = 1,25 d 1 - 1- Md0,425 bw d2 fcd

As = md

fyd (d - 0,4x)

ondeAd = Asx para m = mx

eAd = Asy para m = my

Escolha das barras

A escolha da bitola o espaçamento (f e s) é feita para as bitolas comer-ciais com as seguintes recomendações:

fmin = 4 mm < f < fmax = h/10Smin = 8 cm < s < smax = 20 cm (p/ arm. princ. limitar a 2h)

Para as bitolas, adota-se um mínimo de 4 mm e um máximo corres-pondente a um décimo da espessura da laje. O espaçamento mínimo de 8 cmtem por finalidade facilitar a concretagem da laje, e o espaçamento máximovisa garantir a uniformidade de comportamento admitida nos cálculos. A tabe-la a seguir mostra as bitolas comerciais mais utilizadas:


LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES (EM CRUZ)

Considere-se a laje esquematizada na figura a seguir, apoiada em todoo seu contorno sobre vigas, sujeita à carga distribuída p e sejam:

lx = o menor vão teóricolx = o maior vão teórico (ly > lx)

Normalmente consideram-se as hipóteses simplificadoras:

• vigas rígidas à flexão• continuidade de lajes vizinhas quando no mesmo nível

As deformações da laje segundo os cortes A (paralela a lx) e B (parale-la a ly) estão esquematizadas na figura a seguir:

Pode-se notar a presença de curvaturas comparáveis segundo os doiscortes, sugerindo a presença de momentos fletores comparáveis:

• mx = momento por unidade de largura com plano de atuação parale-lo a lx;

• my = momento por unidade de largura com plano de atuação parale-lo a ly.

Considere-se o corte genérico CC e a deformada segundo este cor-te. Nota-se também a presença de momento, podendo este ser expresso por:

mx = mxcos²a + mysen²a

Esforços nas lajes isoladas

Nas lajes interessam, particularmente, os momentos fletores máxi-mos no vãos e sobre os apoios (quando engastados). Existem tabelas que nosfornecem estes momentos máximos para alguns casos usuais de lajes maciças.Nos edifícios, onde o carregamento usual é constituído de carga distribuídauniforme, são muito úteis as tabelas de Czèrny preparadas com coeficiente dePoisson 0,2 (admitido para o concreto). Os momentos fletores extremos sãodados por:

mx = p lx2 ; my = p ly2 ; m’x = p lx

2 ; m’y = p ly2

ax ay bx by

onde as variáveis estão tabeladas em função dos seguintes parâmetros:

• Tipo de carga (por ex. distribuída uniforme);• Condições de apoio da laje (tipo de apoio);• Relação (ly / lx).


Particularmente, interessa-nos o tipo de carga distribuída uniforme, eos tipos de apoio indicados a seguir:

apoiado

engastaado

Método simplificado aplicável a pisos usuais de edifícios

Para os pisos usuais de edifícios residenciais e comerciais pode seraplicado o método simplificado exposto a seguir:

Lajes isoladas: inicialmente separam-se as lajes admitindo-se, para cadauma delas, as seguintes condições de apoio:

• Apoio livre, quando não existir laje vizinha a este apoio;• Apoio engastado, quando existir laje vizinha no mesmo nível, permi-

tindo assim a continuidade da armadura negativa de flexão de umalaje para a outra;

• Vigas rígidas de apoio da laje;

e, calculam-se os momentos fletores máximos (em valor absoluto)nestas lajes isoladas (mx, my, m’x, m’y).

Correção dos momentos fletores devido à continuidade entre as la-jes vizinhas:

• Momentos sobre os apoios comuns às lajes adjacentes: adota-se parao momento fletor de compatibilização, o maior valor entre 0,8 m>’ e(m1’ + m2’) / 2, onde m1’ e m2’ são os valores absolutos dos momen-tos negativos nas lajes adjacentes junto ao apoio considerado, e m>’,o maior momento entre m1’ e m2’.

• Momentos no vãos: para sobrecargas usuais de edifícios podem seradotados os momentos fletores obtidos nas lajes isoladas; portanto,sem nenhuma correção devido à continuidade. Para sobrecargas mai-ores convém efetuar essas correções.

Altura útil

Da mesma forma que para as lajes armadas em uma só direção, asalturas úteis são dadas por:

dx = h - c - fx /2e

dy = h - c - fx - fy /2

podendo ser estimadas, nas lajes usuais, por

dx = h - c – 0,5 cme

dy = h - c – 1,0 cm


Cálculo de AsEscolha das barras

• Diâmetro : 4 mm < f < h/10

• Espaçamento entre as barras:

armadura nos vãos:

x = 1,25 d 1 - 1 - md

0,425 b d fcd

e a armadura

As = md

fyd (d - 0,4x)

onde

As = Asx para m = mxAs = Asy para m = myAs = As’ para m = m’

Armaduras mínimas

• Armaduras de vão:

(Asx ou Asy) > 0,9 cm²/m e

r = A’s > 0,15% (CA50/60) b h 0,20% (CA25)

• Armaduras sobre os apoios de continuidade:

As > 1,5 cm²/me

r = A’s > 0,15% (CA50/60) b h 0,20% (CA25)

As 8 cm < s < 20 cm 3h

armadura nos apoios:

A’s 8 cm < s < 20 cm 2h

LAJES NERVURADAS

As lajes maciças podem ser recomendadas para vãos até cerca de5m. Para vãos maiores, ela se torna antieconômica devido ao seu grande pesopróprio. Uma opção melhor para este caso pode ser conseguida através daslajes nervuradas. As nervuras tem a função de garantir a altura necessária paraa armadura de tração resistir à flexão.


Para estas lajes tem-se as seguintes recomendações:

• Os esforços solicitantes podem ser obtidos pela teoria das placaspara faixas de largura unitária; multiplicando estes esforços pelosespaçamentos entre nervuras tem-se os esforços atuantes em cadanervura;

• A mesa deve ser verificada à flexão se b’ > 50 cm ou se houver cargaconcentrada atuando diretamente sobre ela;

• A verificação do cisalhamento nas nervuras pode ser feita como lajese b’ < 50 cm e, como viga em caso contrário.

PILARES

Pilares são estruturas de concreto armado que transmitem as cargasdo edifício para a fundação. A carga principal, nos edifícios, tem o sentidovertical (peso). Por isso, o esforço solicitante nos pilares é constituído essenci-almente pela força normal de compressão. Ações outras como, por exemplo,a do vento, introduzem solicitações transversais nos pilares. Como a forçanormal de compressão é grande, deve-se ainda considerar os efeitos proveni-entes do desaprumo construtivo, da indefinição do ponto de aplicação dasreações das vigas e dos deslocamentos apresentados pelos pilares (efeito desegunda ordem). De fato, considere-se o pilar em balanço esquematizado aseguir e seus esforços solicitantes usuais:

Conforme a figura anterior, tem-se que Mh = momento fletor devidoa H, com l= 4 m; P = 800 kN e H = 10 kN. Assim, o momento máximo nabase do pilar vale:

H l = 10 • 4,0 = 40 kN m

A força normal N (de compressão) vale 800 kN.Considere-se agora, como mostra a figura seguinte, o efeito de um

eventual desaprumo (a) do pilar de, digamos, 2 cm. O deslocamento transver-sal da carga P produz um momento fletor adicional no pilar. o momento adici-onal máximo vale:

Para se ter uma idéia do efeito dos deslocamentos (efeito de segundaordem), considere-se, no momento, o comportamento elástico linear do con-creto com Eo = 3000 kN/cm² e seção transversal de 25 x 25 cm (seção qua-drada). O deslocamento (usual) do topo do pilar devido a H vale:

Ma = P a = 800 • 0,02 = 16 kN m

a1 = Hl3 = 10 4003 = 2,18 cm 3 Ec Ic 3 3000 (244/12)

A consideração do equilíbrio do pilar na sua configuração deformada,acarreta um momento fletor adicional devido ao deslocamento transversal daforça P. O deslocamento transversal final pode ser estimado através da ex-pressão:


onde

a = a1 + a2= a1 11- P/Pfl

Pfl = p2Ec Ic = p2Ec Ac , com l=lc e io = Ic

lfl2 l2 io Ac

sendo

lfl = comprimento de flambagem do pilarlfl = 2l no pilar em balanço;lfl = l no pilar biarticulado com alongamento livre;lfl = l, biengastado com deslocamento transversal livre;lfl = 0,7l, engastado de um lado e articulado do outro;io = raio de giração da seção do pilar

Assim

O momento fletor adicional máximo vale M2 = P×a, então M2 =800×0,0466 = 37,3 kN×m. A figura a seguir representa M2:

io = Ic= 244 / 12 = 7,22 cm2

Ac 252

l=lc = 2 400 = 111 io 7,22

Pfl = p2Ec Ic = p2Ec Ac = p2 3000 252 = 1502 kN

lfl2 l2 1112

a = a1 + a2= a1 1 = 2,18 1 =4,66cm1- P/Pfl 1-800/1502

O momento máximo na base do pilar vale:

M = Mh + Ma = M2 = (1 + M1/Mh + M2/Mh)M = 40 ( 1 + 16/40 + 37,3/40)M = 40 (1 + 0,40 + 0,93)

Portanto, nesse caso, Ma representa 40% de Mh e, M2, 93%, mos-trando a importância do desaprumo e do deslocamento (efeito de segundaordem) no esforço solicitante final. Convém lembrar que ainda existem solici-tações adicionais provenientes do comportamento não linear com concretoarmado e da fluência que age sobre o efeito da carga permanente.

Outro fator de grande importância é a esbeltez do pilar (índice deesbeltez l), que pode ser notado através da expressão a2 , pois quanto maiorfor o l, maior será o momento de segunda ordem M2. Considere-se, no exem-plo visto anteriormente, o efeito da variação da seção transversal de 25 x 25cm até 90 x 90 cm. A figura a seguir apresenta os resultados obtidos:


Nota-se que o efeito de segunda ordem é desprezível para valores del até em torno de 40 e que a partir deste valor a sua influência é cada vez maior.Assim, para efeito de um método de verificação e de cálculo, a NBR 6118propõe a seguinte classificação dos pilares em função do índice de esbeltez:

• Pilar Curto: para l < 40; pode-se desprezar o efeito de segundaordem e fluência;

• Pilar Medianamente Esbelto: para 40 < l < 80; o efeito de segundaordem deve der considerado (podendo-se utilizar o método do pilarpadrão) e pode-se desprezar o efeito da fluência;

• Pilar Esbelto: para 80 < l < 140; o efeito de segunda ordem deveder considerado (podendo-se utilizar o método do pilar padrão) edeve-se considerar o efeito da fluência (podendo ser estimada atra-vés de uma excentricidade complementar equivalente);

• Pilar Muito Esbelto: para 140 < l < 200; o efeito de segunda ordeme a fluência devem ser considerados e calculados de forma “rigoro-sa”, além disso o coeficiente de ponderação das ações deve dermajorado, passando a valer:

Tipos de Pilares

Normalmente, os pilares de edifícios podem ser agrupados em doisconjuntos:

• Pilares de Contraventamento: são aqueles que, devido à sua granderigidez, permitem considerar os diversos pisos do edifício como, pra-ticamente, indeslocáveis (caixas de elevadores, pilares enrigecidos);o seu cálculo exige sua consideração como um todo;

g = 1,4 + (l - 140) 100

• Pilares contraventados: são constituídos pelos pilares menos rígidos,onde as extremidades de cada lance podem ser consideradasindeslocáveis, graças aos pilares de contraventamento; seu cálculopode ser feito de feito de forma isolada em cada lance. Os pilarescontraventados podem ser agrupados nos seguintes tipos:

• Pilares internos: situados internamente ao piso; para situação deprojeto considera-se como esforço solicitante a força normal (N)de compressão;

• Pilares de extremidade: situados nas bordas do piso; para situaçãode projeto, consideram-se como esforços solicitantes a força nor-mal (N) de compressão e o momento fletor (M), atuando segundoo plano constituído pelo pilar e pela viga; este par de esforços nor-malmente é substituído por (N) e (ei = M/N).

• Pilares de canto: situados junto aos cantos do piso; para situaçãode projeto consideram-se como esforços solicitantes a força nor-mal (N) de compressão e dois momentos fletores (Mx e My), atu-ando segundo os planos constituídos pelo pilar e por cada uma dasvigas nele apoiadas; normalmente o conjunto de valores (N, Mx eMy) é substituído por (N), (eix = Mx/N) e (eiy = My/N).

Situação de cálculo

A situação de cálculo corresponde à verificação do estado limite últi-mo (ELU) de cada seção do pilar; aos esforços provenientes da situação deprojeto são acrescentados os seguintes efeitos:

• A indefinição do ponto de aplicação da força normal e o desaprumodo pilar que podem ser considerados através da chamada excentrici-dade acidental ea estimada, conforme a NBR 6118 por ea > 2 cm ouh/30, com h sendo a dimensão do pilar segundo a dimensão conside-rada;


• Os efeitos de segunda ordem quando l > 40 que podem ser conside-rados através da excentricidade e2. Esta excentricidade pode ser esti-mada, para pilares medianamente esbeltos, através do método dopilar padrão. As hipóteses admitidas neste método são:

• Seção constante do pilar (inclusive armadura);• Configuração fletida de forma senoidal.

Conforme a figura anterior, temos:

Com 1/r = -y tem-se, para a seção do meio do vão 1 / r = (p/ lo)2e2

ou

y = e2 sen px; y = - p 2 e2 sen px = - p 2 y lo lo lo lo

e2 = 1 / r = lo2 1 p / lo p

2 rPor outro lado, sendo 1/r = (eco + eo)/d , a NBR 6118 permite consi-

derar pilares medianamente esbeltos e esbeltos:

onde Es = 21000 kN/cm² e ud = Nd / Ac fcd

O comprimento de flambagem do pilar (lo) é tomado aproximada-mente igual ao pé direito, pois as extremidades de cada lance do pilar podemser consideradas indeslocáveis. Os efeitos de fluência (quando l > 80) po-dem der considerados através da excentricidade complementar equivalenteeo.

Dimensionamento da Seção Retangular (armadura simétrica)

Costuma-se dimensionar uma seção retangular com armadura simé-trica considerando-se a mais crítica entre as situações de projeto indicadas nafigura a seguir. No caso geral (pilar de canto), tem-se duas situações de cálculosujeitas a flexão composta oblíqua (FCO); da situação 1 resulta a taxa mecâni-ca v 1 e da situação 2, v 2; a maior destas taxas define a armadura da seção.Estas situações de cálculo são obtidas através do “deslocamento máximo” doponto de aplicação da força normal segundo hx (situação 1) e, segundo hy (situ-ação 2). Para pilares internos, tem-se duas situações de cálculo sujeitas a flexãocomposta normal (FCN). Nos pilares de extremidade resultam uma FCN euma FCO. Nesta última situação, pode-se, em geral, desprezar a excentricida-de inicial resultando, então, dois dimensionamentos a FCN.

1 = 0,0035 + fcd / Es

r h [(ud = 0,5) p >1]


Dimensões Mínimas

Para a seção retangular de dimensões hx×hy seja b o menor dos ladose h o maior.

recomenda-se:

b > 20 cm e lo/25 , onde lo é o pé direito livre. Neste caso, toma-se gf

= 1,4.

Excepcionalmente 12 cm < b < 20 cm e h < 60 cm, devendo-seutilizar, neste caso, gf = 1,8.

Recomenda-se que a armadura tenha distribuição simétrica e que suataxa geométrica (r) obedeça a seguinte condição:

rmin < r = As / Ao < rmax

onde rmax = 3% (6% nas emendas)rmin = 0,8% se l > 30rmin = 0,5% se l < 30

Disposições Construtivas, Bitolas e Espaçamentos

10 < r < b/10 ;4 cm ou 4 ft < sl < 40 cm ;ft > 5 ;

30 cm7cm < sl < b

12 ft

190 ft 2/ fl

As disposições construtivas, bitolas e espaçamentos apresentados nafigura acima estão assim convencionados:


Travamentos Adicionais na Seção transversal

A possibilidade de flambagem das armaduras é inibida pelos estribosque introduzem pontos de travamento, a cada distância st. Este travamento éintegral junto aos cantos, mas travamentos adicionais a cada 20 ft, são neces-sários nas seções alongadas.


REFERÊNCIA PARA CÁLCULODE CONCRETO ARMADO

São Paulo - 2001

Compilação : Karin Regina de Castro Marins, Roberto Issamu Takahashi e Tiago Gimenez Ribeiro (2000)[ Baseado no resumo de Marcos Silveira ]Revisão e Projeto Gráfico: Andrea Sae Yang, Camila Massumi Ishihata, Debora Lika Yakushiji, Marcelo Kussunoki e MarcoMasamoi Naka (2001)a partir das Apostilas do Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações da Escola Politécnica

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO • ESCOLA POLITÉCNICA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS E FUNDAÇÕES

índiceconceitos básicos ........................................................................................................1cargas características..........................................................................................................1esforços solicitantes e reações.............................................................................................1regras de pré-dimensionamento de peças...........................................................................2flexão simples....................................................................................................................3diagramas....................................................................................................................................3estado limite último convencional na flexão............................................................................4domínio de deformação..............................................................................................................5vigas de seção retangular com armadura simples..........................................................5viga de seção “T” com armadura simples............................................................................6viga de seção retangular com armadura dupla...................................................................7cisalhamento......................................................................................................................................................................................................................................................................................8panorama de tensões principais numa viga de comportamento elástico linear..................8arranjos usuais de armadura nas vigas de concreto armado....................................................9método de verificação...............................................................................................................10arranjo da armadura transversal................................................................................................13lajes retangulares maciças..................................................................................................14lajes armadas em uma direção........................................................................................14esforços solicitantes..................................................................................................................15dimensionamento à flexão......................................................................................................16altura útil................................................................................................................16cálculo das armaduras................................................................................................16escolha das barras...................................................................................................17lajes armadas em duas direções.............................................................................18esforços nas lajes isoladas...........................................................................................18método simplificado aplicável a pisos usuais de edifícios..........................................19altura útil..........................................................................................................20armaduras mínimas...................................................................................................20escolha das barras....................................................................................................20lajes nervuradas....................................................................................................20pilares....................................................................................................................21tipos de pilares........................................................................................................23situação de cálculo...................................................................................................23dimensionamento da seção retangular (armadura simétrica).............................................24dimensões mínimas..................................................................................................25disposições construtivas, bitolas e espaçamentos...........................................................25travamentos adicionais na seção transversal..................................................................26

apostila 2001 12 15 - lem · cÁlculo de concreto armado 1 conceitos básicos ao se calcular uma...

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