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UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR DEPARTAMENTO DE ENGª ELECTROMECÂNICA

ANÁLISE DE CIRCUITOS APONTAMENTOS DAS AULAS TEÓRICAS

JOÃO PAULO DA SILVA CATALÃO

FEVEREIRO 2009

Índice

Capítulo 1 Definições e Unidades .................................................1

1.1 Sistema Internacional de Unidades .................................1

1.2 Carga Eléctrica......................................................3

1.3 Corrente Eléctrica...................................................4

1.4 Tensão Eléctrica ....................................................5

1.5 Potência e Energia ..................................................6

Capítulo 2 Leis Experimentais e Circuitos Simples............................7

2.1 Elementos Eléctricos................................................7

2.2 Leis de Kirchhoff ..................................................12

2.3 Circuitos com uma só malha ......................................13

2.4 Circuitos com apenas um par de nós ..............................14

2.5 Dualidade ..........................................................15

2.6 Associações de Elementos ........................................15

2.7 Transformação Triângulo-Estrela .................................18

2.8 Divisor de Tensão e Divisor de Corrente .........................19

Capítulo 3 Técnicas Simples de Análise de Circuitos ........................21

3.1 Número de Equações Independentes..............................21

3.2 Método dos Nós ...................................................22

3.3 Método das Malhas................................................24

3.4 Linearidade e Sobreposição .......................................25

Capítulo 4 Técnicas de Simplificação de Circuitos ...........................28

4.1 Fonte de Tensão e Fonte de Corrente Reais ......................28

4.2 Fontes Equivalentes ...............................................30

4.3 Teoremas de Thévenin e de Norton ..............................32

4.4 Transferência Máxima de Potência ...............................36

Capítulo 5 Amplificador Operacional ..........................................38

5.1 Características Ideais do Amplificador Operacional .............38

5.2 Características Reais do Amplificador Operacional .............39

5.3 Circuito Inversor...................................................43

5.4 Circuito Não Inversor .............................................44

Capítulo 6 Sinais ...................................................................45

6.1 Função Escalão Unitário ..........................................45

6.2 Função Impulso Unitário .........................................45

6.3 Função Rampa Unitária ...........................................46

6.4 Função Exponencial ..............................................47

6.5 Função Sinusoidal ................................................47

Capítulo 7 Capacidade e Auto-Indução ........................................48

7.1 Condensador ......................................................48

7.2 Bobina .............................................................51

Capítulo 8 Circuitos de Primeira Ordem ......................................54

8.1 Circuitos RL e RC Simples .......................................54

8.2 Circuitos Diferenciador e Integrador .............................56

8.3 Resposta Completa de Circuitos RL e RC .......................58

Capítulo 9 Circuitos de Segunda Ordem.......................................61

9.1 Circuito RLC ......................................................61

Definições e Unidades

1

Capítulo 1 – Definições e Unidades

1.1 Sistema Internacional de Unidades

Unidades Básicas (7)

• m (metro) distância

• kg (quilograma) massa

• s (segundo) tempo

• A (Ampere) corrente eléctrica

• K (Kelvin) temperatura

• mol (mole) quantidade de matéria

• cd (candela) intensidade luminosa

Unidades Suplementares (2)

• rad (radiano) ângulo plano

• sr (esterradiano) ângulo sólido

Algumas Regras

• Não se deve usar plural dos nomes (ou dos símbolos).

• Os símbolos de unidades com nomes de pessoas devem ser escritos com letras

maiúsculas, mas o nome da unidade não necessariamente.


2

Nota

• O caso do kg (quilograma) é singular pois é a unidade básica do SI para massa e

é múltiplo de uma outra unidade, o g (grama), que foi a unidade básica de

massa do sistema CGS, que o SI veio a substituir.

Múltiplos e Submúltiplos

• deca (da) = 10× deci (d) = 110−×

• hecto (h) = 210× centi (c) = 210−×

• quilo (k) = 310× mili (m) = 310−×

• mega (M) = 610× micro (μ ) = 610−×

• giga (G) = 910× nano (n) = 910−×

• tera (T) = 1210× pico (p) = 1210−×

• peta (P) = 1510× fento (f) = 1510−×

• exa (E) = 1810× ato (a) = 1810−×

• zeta (Z) = 2110× zepto (z) = 2110−×

• yota (Y) = 2410× yocto (y) = 2410−×

Alguns Exemplos e Contra-Exemplos

• h h. hs

• mm

• Aμ

• TJ

• 1 km2 = 106 m2

• 0,2 nm, e não 0,2 mμm (não se deve usar mais de um prefixo)

• 1 GHz, e não 1 kMHz (não se deve usar mais de um prefixo)

• 20 μm, e não 20 μ (um prefixo associa-se sempre a uma unidade)

• 20 kg, e não 20 k (um prefixo associa-se sempre a uma unidade)

• 10 m/s2 ou 10 m.s-2, mas não 10 m/s/s

• N.m ou Nm


3

Unidades usadas no SI sem lhe pertencerem

• min (minuto) = 60 s

• h (hora) = 60 min = 3600 s

• d (dia) 24 h = 86400 s

• º (grau) = (π /180) rad

• ´ (minuto) = (1/60)º = (π /10800) rad

• ´´ (segundo) = (1/60)´= (π /648000) rad

• l, L (litro) = 1 dm3 = 10-3 m3

• t (tonelada) = 103 kg

Unidades derivadas do SI (usadas em Análise de Circuitos)

• Hz (Hertz) = s-1 p/ frequência

• N (Newton) = kg.m/s2 p/ força

• J (Joule) = N.m p/ trabalho, energia

• W (Watt) = J s-1 p/ potência

• V (Volt) = J/C p/ tensão ou diferença de potencial

• Ω (Ohm) = V/A p/ resistência eléctrica

• (Mho) = Ω -1 p/ condutância eléctrica

• C (Coulomb) = A.s p/ quantidade de energia eléctrica

• H (Henry) = V.s / A = J/A2 p/ indutância eléctrica

• F (Farad) = C/V = A3s2 / J p/ capacitância eléctrica

1.2 Carga Eléctrica

• É uma propriedade intrínseca da matéria.

• Representa a quantidade de electricidade responsável por fenómenos eléctricos.

• Unidade: C (Coulomb) em homenagem a Charles Coulomb, cientista francês

(1736-1806); carga de um electrão = – 1,602 1910−× C; pelo que, 1 C representa

a carga combinada de cerca de 6,24 1810× electrões.

• Símbolo: Q (quando não varia no tempo); q ou q(t) (quando varia no tempo).


4

• Tem magnitude e polaridade (“+” ou “-”); cargas iguais repelem-se, cargas

diferentes atraem-se.

• Carga eléctrica em movimento representa uma corrente eléctrica.

1.3 Corrente Eléctrica

• Taxa de variação, no tempo, da carga eléctrica que passa por um determinado

ponto de referência.

• Unidade: A (Ampere) em homenagem a André-Marie Ampere, cientista francês

(1755-1836).

• Símbolo: i(t)

• tdqd)t(i = 1 A = 1 C/s

• Tem magnitude e sentido. 3 A ⇔ - 3 A (a seta indica o sentido do fluxo de corrente)

• Relação carga - corrente eléctrica:

A carga eléctrica transferida entre os instantes t0 e t pode ser expressa como

dtiq)t(q)t(qt

t

t

t000 ∫==−

A carga eléctrica total transferida ao longo de todo o tempo é obtida

)t(qdti)t(q 0

t

t0+= ∫

• Alguns tipos de corrente eléctrica:

i (t)

0 t Corrente contínua (corrente que circula sempre no mesmo sentido com uma

intensidade constante)


5

i (t)

0 t Corrente alternada (corrente de sentido variável)

1.4 Tensão Eléctrica

Considere o seguinte elemento:

Terminal A

A corrente pode entrar ou sair de um elemento por

dois caminhos diferentes: de A para B; de B para A.

Terminal B

• A tensão eléctrica é o trabalho (ou energia) necessário para mover uma carga

positiva de 1 C através do elemento, de um terminal para o outro.

• Unidade: V (Volt)

• Símbolo: V ou v(t)

• qdwd)t(v = 1 V = 1 J/C

• Tem magnitude e direcção. Pode ser positiva ou negativa.

- vBA +

A B vAB = - vBA + vAB -

os sinais “+” e “-”, ou a seta, indicam o sentido positivo da diferença de

potencial


6

A energia dispendida para fazer a corrente passar pelo elemento pode manifestar-se de

várias formas: armazenada para ser usada (baterias); calor (resistências); energia

acústica; luz (lâmpadas).

1.5 Potência e Energia

i(t) A

+

v(t)

-

B

• Potência: )t(i)t(v)t(p = ou ivp =

• Unidade: W (Watt) em homenagem a James Watt, inventor escocês (1736-

1819).

• A potência mede a taxa de variação, no tempo, da energia transformada.

• ivtdqd.

qdwd

tdwd)t(p === 1 W = 1 J/s

Convenção passiva: Se a corrente atravessa o elemento de A para B, a tensão

criada vai ter o pólo positivo em A, e o pólo negativo em B; neste caso, a potência

ivp = diz-se como sendo “absorvida” pelo elemento, se for positiva; de outro

modo, diz-se que a potência é “fornecida” pelo elemento.

i1 i2

+ + v1 v2

- -

111 ivp ×= potência absorvida )i(vp 222 −×= potência absorvida

222 ivp ×= potência fornecida

Leis Experimentais e Circuitos Simples

7

+ vs

–

+ 6 V

–

+ 6 V

–

Capítulo 2 – Leis Experimentais e Circuitos Simples

2.1 Elementos Eléctricos

• Elementos Activos – São elementos que, normalmente, fornecem potência para

outros elementos do circuito. Exemplos: Fontes de Tensão; Fontes de Corrente.

• Elementos Passivos – São elementos que absorvem potência. Exemplos:

Resistências.

Fonte de Tensão (ideal)

i

A tensão nos terminais do elemento (i.e., da fonte de tensão)

é totalmente independente da corrente que passa por ele.

Portanto, se vs (t) = 10 t2 V, então, em t = 1 s, vs (t) = 10 V;

em t = 2 s, vs (t) = 40 V, seja qual for o fluxo de corrente que

passa pelo elemento. Potência fornecida pela fonte de tensão:

ivp s ×=

Fonte de tensão constante ou bateria

ou


8

+ 12 V

–

+ 1 2 V

–

is

+ – v

2 A 2 A

A bateria está a fornecer A bateria está a absorver

24 W de potência 24 W de potência

(descarregar) (recarregar)

Fonte de Corrente (ideal)

A corrente que atravessa o elemento (i.e., a fonte de corrente)

é totalmente independente da diferença de potencial nos seus

terminais.

Se is é constante fonte de corrente contínua.

Resistência

i R

Lei de Ohm: iRv =

R = Resistência constante de proporcionalidade

Unidade: Ω (Ohm) em homenagem a George Simon Ohm,

físico alemão (1787-1854); 1 Ω = 1 V/A.

Potência absorvida pela resistência: R/viRivp 22 ===

Um curto-circuito corresponde a uma resistência nula – fio

ideal; um circuito aberto corresponde a uma resistência

infinita.


9

+ – v

Código de cores para as resistências: os valores das

resistências disponíveis no mercado são identificados por um

conjunto de riscas coloridas obedecendo a uma codificação

pré-definida.

Cor 1ª e 2ª Cor

3ª Cor (nº de zeros)

Preto Castanho Vermelho Laranja Amarelo Verde Azul Violeta Cinzento Branco

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

00 000

0 000 00 000

000 000 0 000 000

00 000 000 000 000 000

Cor Tolerância

Prateado Dourado

10 % 5%

Condutância

i R=1/G

A condutância é o inverso da resistência: G = 1/R

Unidade: (Mho) ou S (Siemens) = Ω -1

A Lei de Ohm fica: vGi = ; potência absorvida pela

resistência: G/ivGivp 22 ===

A ligação de dois ou mais elementos denomina-se rede. Se a rede possui pelo menos

um caminho fechado, de modo a que a corrente eléctrica possa fluir continuamente,

denomina-se circuito eléctrico. Portanto, todo o circuito é uma rede, mas nem toda a

rede é um circuito. A rede que possui pelo menos um elemento activo denomina-se

rede activa. Se a rede não contém qualquer elemento activo denomina-se rede passiva.

Tolerância

3ª cor

2ª cor1ª cor


10

+ v R2 R3

–

1

2

1

2

+ vs

1vα –

is

2iγ

=

+ vs

1iβ

–

= =

is

2vδ

=

+ vs

1vα –

is

2iγ

=

+ vs

1iβ

–

= =

is

2vδ

=

Um nó é um ponto onde dois ou mais elementos se conectam. Uma malha ou

circulação é um percurso fechado quando nós vamos de nó em nó, começando e

acabando no mesmo nó. Um ramo é um caminho com apenas um elemento. Ou seja,

um ramo consiste em um elemento e os dois nós (um em cada terminal). Um caminho

é um percurso sem repetir o mesmo nó. Uma malha independente é uma malha que

não inclui no seu interior nenhuma outra circulação.

Um grafo orientado do circuito consiste num redesenho do circuito com cada ramo

substituído por uma linha que contém apenas o sentido da corrente segundo a

convenção passiva.

R1

Fontes Dependentes

Uma fonte dependente fornece uma tensão/corrente de saída que depende de alguma

outra variável do circuito. Assim, podemos ter:

onde v1, v2, i1 e i2 são tensões e correntes em outra parte do circuito. A seguinte

notação também pode ser usada:


11

+ – v

+ – v

+ U

–

+ I0 v

–

I0

Características Tensão-Corrente

Resistência Díodo

i R i

i i

R/1tg =θ

θ 0 v 0 v

O díodo permite efectuar a rectificação da

corrente eléctrica. O díodo deixa passar a

corrente num dos sentidos e impede a sua

passagem em sentido inverso. A partir de um

dado valor positivo da tensão o díodo começa

a conduzir, mas não de uma forma linear.

Fonte de Tensão (ideal) Fonte de Corrente (ideal)

i

i i

0 U v 0 v


12

+ – v1 1 2 v2

– +

+ – v3

3

2.2 Leis de Kirchhoff

As duas Leis de Kirchhoff são as ferramentas básicas para a análise de circuitos, e as

suas aplicações simplificam esta análise. Geralmente faz-se uso dessas leis para

encontrar correntes e tensões desconhecidas.

Lei dos Nós (KCL) – Baseada na conservação de cargas, i.e., não há acréscimo ou

desaparecimento de cargas num nó; no nó a carga é constante:

DCBA iiii +=+ iA iB

A soma das correntes que entram em iC iD

um nó é igual à soma das correntes

que saem desse mesmo nó

Equivalentemente: 0iiii DCBA =−−+ (considerando positivas as correntes

que entram e negativas as que saem)

ou 0iiii DCBA =++−− (vice-versa)

Ou seja, a Lei dos Nós fica: 0iN

1nn =∑

=

Lei das Malhas (KVL) – A conservação da energia requer que por qualquer percurso

fechado, ou malha, a soma algébrica das tensões seja igual a zero:

0vvv 321 =−+

Ou seja, a Lei das Malhas fica: 0vN

1nn =∑

=


13

+ + v1 R2 2Rv

– (1) –

+ – R1

i + –

2.3 Circuitos com uma só malha

Considere o seguinte circuito simples, com uma só malha (1):

1Rv v2

As resistências nos fios são desprezáveis ou estão incluídas nas resistências R1 e R2.

Os valores de v1, v2, R1 e R2 são conhecidos. Pretende-se determinar: tensões 1Rv e

2Rv ; corrente que passa por cada elemento; potência absorvida por cada elemento.

Pelas Lei dos Nós, a corrente i é a mesma para todos os elementos deste circuito.

Pelo que, Elementos em Série têm a "mesma" corrente.

Aplicando a Lei das Malhas (considerando o sentido dos ponteiros do relógio como

sendo positivo), e a Lei de Ohm, obtém-se:

21

212211R2R1 RR

vvi0iRviRv0vvvv21 +

−=⇔=+++−⇔=+++−

Se Ω= 30R1 , Ω= 15R2 , V120v1 = , V30v2 = , então:

A2i = , V60v1R = , V30v

2R = .

Potência absorvida pela fonte de 120 V: W240)2(120p −=−×= (fornece 240 W)

Potência absorvida pela fonte de 30 V: W60230p =×=

Potência absorvida pela resistência de Ω30 : W120260ivp1R =×==

ou W120230iRp 221 =×==

Potência absorvida pela resistência de Ω15 : W60230ivp2R =×==

ou W60215iRp 222 =×==

Potência total absorvida pelos 4 elementos do circuito: W06012060240 =+++−

É importante observar que se a corrente i tivesse sido escolhida com o sentido

contrário, isso não iria alterar as respostas obtidas: o resultado seria o mesmo.


14

i1 G1 G2

i2

1Gi 2Gi +

v

–

A

B

2.4 Circuitos com apenas um par de nós

Considere o seguinte circuito simples, com apenas um par de nós (A-B):

Os valores de i1, i2, G1 e G2 são conhecidos. Pretende-se determinar: correntes 1Gi e

2Gi ; tensão nos terminais de cada elemento; potência absorvida por cada elemento.

Pelas Lei das Malhas, a tensão v é a mesma para todos os elementos deste circuito.

Pelo que, Elementos em Paralelo têm a "mesma" tensão.

Aplicando a Lei dos Nós (considerando, para o nó A, positivas as correntes que entram

e negativas as que saem), e a Lei de Ohm, obtém-se:

21

212211G2G1 GG

iiv0vGivGi0iiii21 +

−=⇔=−−−⇔=−−−

Se Ω= 30G1 , Ω= 15G2 , A120i1 = , A30i2 = , então:

V2v = , A60i1G = , A30i

2G = .

Potência absorvida pela fonte de 120 A: W240)120(2p −=−×= (fornece 240 W)

Potência absorvida pela fonte de 30 A: W60302p =×=

Potência absorvida pela condutância de Ω30 : W120602ivp1G =×==

ou W120230vGp 221 =×==

Potência absorvida pela resistência de Ω15 : W60302ivp2G =×==

ou W60215vGp 222 =×==

Potência total absorvida pelos 4 elementos do circuito: W06012060240 =+++−

É importante observar que se a tensão v tivesse sido escolhida com a polaridade

contrária, isso não iria alterar as respostas obtidas: o resultado seria o mesmo.


15

+ + v R2 2v

– –

+ – R1

i

3v – + R3

2.5 Dualidade

O estudo de um circuito simples está sempre ligado a uma dualidade. De facto, se

substituirmos correntes por tensões (e vice-versa), resistências por condutâncias

(e vice-versa), par de nós por malha única (e vice-versa), Lei dos Nós por Lei das

Malhas (e vice-versa), paralelo por série (e vice-versa), obtemos num e noutro caso as

mesmas equações, as mesmas conclusões e até os mesmos resultados numéricos.

Esta propriedade que acompanha permanentemente a análise de circuitos designa-se

por dualidade. A dualidade ajuda-nos a melhor compreender e assimilar as técnicas de

análise de circuitos.

2.6 Associações de Elementos

Resistências em Série

1v

Aplicando a Lei das Malhas e a Lei de Ohm, obtém-se:

iRvi)RRR(viRiRiRv0vvvv eq321321321 =⇔++=⇔++=⇔=+++−

Portanto, as resistências em série (R1, R2 e R3) podem ser substituídas no circuito por:

321eq RRRR ++=

De forma geral, a resistência equivalente a um conjunto de resistências em série é

dada por: ∑=

=I

1iieq RR


16

+ v1 R

–

+ –

i – +

+ veq R

–

i

i R1 R2 R3

i1 i3 +

v

–

i2

Fontes de Tensão (ideais) em Série

As fontes de tensão em série também podem ser combinadas, devendo-se ter em conta

a polaridade da tensão. Considere, por exemplo, o seguinte circuito:

v2 3v

Este circuito pode ser representado, de maneira equivalente, por:

sendo: 321eq vvvv +−=

Resistências em Paralelo

Aplicando a Lei dos Nós e a Lei de Ohm, obtém-se:

vR1iv

R1

R1

R1i

Rv

Rv

Rvi0iiii

eq321321321 =⇔⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=⇔++=⇔=−−−


17

i1 i2 R

i3

+

v

–

ieq R

+

v

–

Portanto, as resistências em paralelo (R1, R2 e R3) podem ser substituídas no circuito

por:

321

eq

R1

R1

R1

1R++

=

Em termos de condutância, têm-se: 321eq GGGG ++=

De forma geral, a resistência equivalente a um conjunto de resistências em paralelo é

dada por: ∑=

= I

1i i

eq

R1

1R

No caso particular de apenas duas resistências em paralelo, tem-se: 21

21eq RR

RRR+×

=

Fontes de Corrente (ideais) em Paralelo

As fontes de corrente em paralelo também podem ser combinadas, devendo-se ter em

conta o sentido da corrente. Considere, por exemplo, o seguinte circuito:

Este circuito pode ser representado, de maneira equivalente, por:

sendo: 321eq iiii −+=


18

RB

RA RC

α α

β

γ

β

γ

R1 R3

R2

⇔

2.7 Transformação Triângulo-Estrela

Triângulo Estrela

( )CBA RR//RR +=β−α 21 RRR +=β−α

( )BAC RR//RR +=γ−β 32 RRR +=γ−β

( )CAB RR//RR +=γ−α 31 RRR +=γ−α

Para que os dois circuitos sejam equivalentes, tem-se que:

( )21

CBA

CBA RRRRRRRR

+=+++×

( )32

CBA

BAC RRRRRRRR

+=+++×

( )31

CBA

CAB RRRRRRRR

+=+++×

Assim, uma ligação em triângulo pode ser substituída por uma ligação em estrela, e

vice-versa, atendendo a que:

3

323121A R

RRRRRRR ++=

CBA

BA1 RRR

RRR++

=

2

323121B R

RRRRRRR ++=

CBA

CA2 RRR

RRR++

=

1

323121C R

RRRRRRR ++=

CBA

CB3 RRR

RRR++

=


19

+ + v R2 2v

– –

+ – R1

i

i i R1 R2

i1 i2 +

v

–

As relações anteriores podem ser obtidas pelas duas regras seguintes:

• Transformação Δ−Υ : Qualquer resistência do triângulo é igual à soma dos

produtos, dois a dois, das resistências da estrela, dividida pela resistência da

estrela que lhe é oposta.

• Transformação Υ−Δ : Qualquer resistência da estrela é igual ao produto das

duas resistências adjacentes do triângulo, dividido pela soma das três

resistências do triângulo.

2.8 Divisor de Tensão e Divisor de Corrente

Divisor de Tensão

1v

Aplicando a Lei de Ohm, obtém-se: iRv 22 =

A resistência equivalente é dada por: 21eq RRR +=

Logo: vRR

RvRvi

21

22

eq +=⇒=

De forma semelhante: vRR

Rv21

11 +=

Divisor de Corrente


20

Aplicando a Lei de Ohm, obtém-se: 2

2 Rvi =

A resistência equivalente é dada por: 21

21eq RR

RRR+×

=

Logo: iRR

RiiR

RRRR

iiRv21

12

2

21

21

2eq +=⇔+

×

=⇒= ou iGG

Gi21

22 +=

De forma semelhante: iRR

Ri21

21 += ou i

GGGi

21

11 +=

Técnicas Simples de Análise de Circuitos

21

Capítulo 3 – Técnicas Simples de Análise de Circuitos

3.1 Número de Equações Independentes

Considere um determinado circuito em que:

• N = nº de nós

• B = nº de ramos = nº de elementos

Circuito Planar – Se é possível desenhar o diagrama do circuito numa superfície plana

de tal forma que nenhum ramo cruze outro ramo.

Teorema 1

Existem exactamente ( )1N − equações independentes extraídas da Lei dos Nós

aplicada em ( )1N − nós do circuito.

Teorema 2

Todas as tensões nos ramos podem ser expressas em termos de apenas ( )1N − tensões

nodais independentes.

Teorema 3

Existem exactamente ( )1NBL +−= equações independentes extraídas da Lei das

Malhas aplicada em ( )1NBL +−= malhas do circuito. Se o circuito é planar, então

L corresponde ao número de malhas independentes.


22

3 A 2Ω 1Ω

– 2 A

5Ω

3 A 2Ω 1Ω

– 2 A

1v 2v5Ω

Teorema 4

Todas as correntes nos ramos podem ser expressas em termos de apenas

( )1NBL +−= correntes de malha independentes.

Um circuito pode ser resolvido por um sistema de ( )1N − equações, se usarmos o

Método dos Nós, ou por um sistema de ( )1NBL +−= equações, se usarmos o

Método das Malhas. Ou seja, dependendo da topologia do circuito, pode ser mais fácil

resolvê-lo pelo Método dos Nós ou pelo Método das Malhas. Estes métodos são

seguidamente descritos em mais pormenor.

3.2 Método dos Nós

Um circuito com N nós terá ( )1N − tensões nodais como incógnitas e ( )1N −

equações. Considere, por exemplo, o seguinte circuito com 3 nós:

Vamos enumerar os nós e definir 2 tensões nodais como incógnitas: 1v é a tensão

entre os nós 1 e 3; 2v é a tensão entre os nós 2 e 3. Assim, o nó 3 é designado por nó

de referência, o que nos permitirá simplificar a representação das tensões no circuito.


23

A tensão entre os nós 1 e 2 é dada por: ( )21 vv − ; a tensão entre os nós 2 e 1 é dada

por: ( )12 vv − ; a tensão entre os nós 3 e 1 é dada por: 1v− ; a tensão entre os nós 3 e 2

é dada por: 2v− .

Aplicando a Lei dos Nós para os nós 1 e 2, temos:

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

+

=−

+

25

vv1v

35

vv2v

122

211

ou seja:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−

=−

2v2,1v2,0

3v2,0v7,0

21

21

o que dá o seguinte resultado:

V5v1 = ; V5,2v2 =

e a tensão entre os nós 1 e 2 é:

( ) V5,2vv 21 =−

Agora qualquer corrente ou potência associadas com elementos deste circuito podem

ser determinadas.

Por exemplo, a corrente na resistência de Ω2 é dada por:

A5,22vi 1 ==

sendo a potência absorvida pela resistência de Ω2 dada por:

W5,12i22

vp 21

21 ===


24

+ – 42 V 3Ω 10 V

– +

+ – 42 V i1 3Ω i2 10 V

– +

3.3 Método das Malhas

Um circuito com N nós e B ramos/elementos terá ( )1NBL +−= correntes de malha

como incógnitas e ( )1NBL +−= equações. Considere, por exemplo, o seguinte

circuito com 2 malhas independentes:

6Ω 4 Ω

Neste circuito tem-se 5B = e 4N = , pelo que, 2L = . Vamos definir 2 correntes de

malha como incógnitas: 1i é a corrente na malha da esquerda; 2i é a corrente na malha

da direita.

6Ω 4 Ω

A corrente na resistência de Ω3 , no sentido descendente, é dada por: ( )21 ii − ;

a corrente na resistência de Ω3 , no sentido ascendente, é dada por: ( )12 ii − . Pelo que,

a corrente de ramo é a combinação algébrica das correntes de malha que passam nesse

ramo.

Aplicando a Lei das Malhas para as duas malhas independentes deste circuito temos:

( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−

=−++−

010i4ii3

0ii3i642

212

211


25

ou seja:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−

=−

10i7i3

42i3i9

21

21

o que dá o seguinte resultado:

A6i1 = ; A4i2 =

e a corrente na resistência de Ω3 , no sentido descendente, é dada por:

( ) A2iii 213 =−=

Agora qualquer tensão ou potência associadas com elementos deste circuito podem ser

determinadas.

Por exemplo, a tensão na resistência de Ω3 é dada por:

V6i3v 3 ==

sendo a potência absorvida pela resistência de Ω3 dada por:

W123vi3p

22

3 ===

3.4 Linearidade e Sobreposição

Um circuito linear que contenha duas ou mais fontes independentes pode ser analisado

para obter as várias tensões e correntes nos ramos fazendo com que as fontes actuem

uma de cada vez e daí sobrepondo os resultados.

O Princípio da Sobreposição afirma então que a resposta (uma determinada corrente

ou tensão) em qualquer elemento de uma rede linear, contendo mais de uma fonte,

pode ser obtida pela soma das respostas produzidas por cada fonte actuando

isoladamente.

Este princípio aplica-se devido à relação linear entre corrente e tensão.


26

ia 2Ω 1Ω

ib

1v 2v5Ω

• Fontes de tensão que são suprimidas, enquanto uma única fonte actua, são

substituídas por curto-circuitos.

• Fontes de corrente que são suprimidas, enquanto uma única fonte actua, são

substituídas por circuitos abertos.

A sobreposição não pode ser directamente aplicada ao cálculo da potência, visto que, a

potência é proporcional ao quadrado da corrente ou ao quadrado da tensão, não sendo

assim linear.

Considere, por exemplo, o seguinte circuito com 3 nós:

Aplicando a Lei dos Nós para os nós 1 e 2, temos:

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

+

=−

+

b122

a211

i5

vv1v

i5

vv2v

ou seja:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−

=−

b21

a21

iv2,1v2,0

iv2,0v7,0

e a solução destas equações dá-nos as tensões 1v e 2v .

Estas mesmas equações, e portanto, o mesmo resultado seria obtido se resolvêssemos o

problema separadamente com 0ia = (circuito aberto), e depois com 0ib = (circuito

aberto), e finalmente somássemos.


27

Para 0ia = : Para 0ib = :

( )

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=−

+

=−

+

b

'1

'2

'2

'2

'1

'1

i5

vv1

v

05

vv2v

( )

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=−

+

=−

+

05

vv1

v

i5

vv2

v

''1

''2

''2

a

''2

''1

''1

ou seja: ou seja:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−

=−

b'

2'

1

'2

'1

iv2,1v2,0

0v2,0v7,0

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−

=−

0v2,1v2,0

iv2,0v7,0

''2

''1

a''

2''

1

o que nós dará '

1v e '2v o que nós dará ''

1v e ''2v

As tensões 1v e 2v do circuito completo podem ser obtidas somando-se:

''1

'11 vvv += e ''

2'

22 vvv +=

e isto pode ser verificado somando-se as equações anteriores:

1v 2v

( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+++−

=+−+

b''

2'

2''

1'

1

a''

2'

2''

1'

1

ivv2,1vv2,0

ivv2,0vv7,0

1v 2v

que é o sistema de equações do circuito completo.

Técnicas de Simplificação de Circuitos

28

+ 1 V R

–

i

+ + 12 V RL vL

– –

0,01 Ω iL

Capítulo 4 – Técnicas de Simplificação de Circuitos

4.1 Fonte de Tensão e Fonte de Corrente Reais

Considere a fonte de tensão ideal de 1 V abaixo indicada:

Se R = 1 k Ω ⇒ i = 0,001 A

Se R = 1 Ω ⇒ i = 1 A

Se R = 1 m Ω ⇒ i = 1000 A

Se R = 1 µ Ω ⇒ i = 1000000 A

Na prática, no mundo físico real, não existe uma fonte que se comporte desta forma.

Na prática, somente para correntes ou potências relativamente pequenas é que a fonte

se comporta como ideal.

Fonte de Tensão (real)

considera-se uma resistência em série, embutida, que absorve parte da tensão que vai

para a carga RL.


29

12 V

6 V

fonte ideal

fonte real

+ + vs RL vL

– –

Ri iL

vL

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 RL

Neste exemplo, quando a carga RL é igual à resistência interna de 0,01 Ω, a tensão de

12 V divide-se em 6 V para a resistência interna e 6 V para a carga.

Portanto, na prática, representa-se uma fonte de tensão real como uma fonte de tensão

ideal com uma resistência interna Ri:

Fonte de Tensão Carga

sLi

LL v

RRRv+

=

pelo que, 2vv s

L = quando iL RR =

ainda, sLi

L vRR

1i+

=

Uma fonte de corrente ideal também não existe. Na prática, a corrente que vai para a

carga RL vai decrescendo à medida que a carga aumenta.


30

+ is RL vL

–

Ri'

iL

is

2is

fonte ideal

fonte real

Fonte de Corrente (real)

considera-se uma resistência em paralelo, embutida, que absorve parte da corrente que

vai para a carga RL.

iL

0 Ri

' 2Ri'

3Ri'

4Ri' 5Ri

' RL

sL

'i

'i

L iRR

Ri+

=

pelo que, 2ii s

L = quando 'iL RR =

ainda, sL

'i

L'

iL i

RRRRv+

=

4.2 Fontes Equivalentes

Duas fontes são equivalentes se elas produzem correntes e tensões idênticas, e portanto

potências idênticas, para qualquer carga ligada aos seus terminais.


31

3 A

2 Ω

icc icc

+ 6 V

–

2 Ω

é equivalente a:

is

Ri + vs

–

Ri

is

Ri + vs

–

Ri

+ vca

–

+ vca

–

Assim, para cargas RL iguais, a fonte de tensão e a fonte de corrente reais são

equivalentes se:

sL

'i

'i

sLi

iRR

RvRR

1+

=+

ou sL

'i

L'

is

Li

L iRR

RRvRR

R+

=+

então: '

ii RR = e sis iRv =

Por exemplo:

Corrente de Curto-Circuito (RL = 0):

Se forçarmos que seja igual para as duas fontes, tem-se:

i

sscc R

vii == , ou seja, sis iRv =

Tensão de Circuito Aberto (RL = ∞):

Se forçarmos que seja igual para as duas fontes, tem-se:

sisca iRvv ==


32

+ + 12 V 6Ω vL RL

– –

3 Ω 7Ω

A B

+ 4 A 3Ω 6Ω vL RL

–

7Ω

A B

+ + 8 V vL RL

– –

7Ω

A B

2Ω

4.3 Teoremas de Thévenin e de Norton

Os Teoremas de Thévenin e de Norton permitem realizar uma análise parcial do

circuito, nomeadamente, determinar a corrente, a tensão e a potência absorvida por

uma simples resistência RL. O Teorema de Thévenin diz que é possível substituir tudo

menos a resistência RL por um circuito equivalente que contém apenas uma fonte de

tensão em série com uma resistência. Considere, por exemplo, o seguinte circuito:

Se transformarmos primeiro a fonte de 12 V com a resistência de 3 Ω em série temos o

circuito:

Agora transformando a fonte de 4 A com a resistência de 2 Ω (3 Ω // 6 Ω) em paralelo

temos o circuito:


33

+ + 8 V vL RL

– –

A B

9Ω

9Ω RL

A B

A9

8

iL

O circuito anterior equivale a:

ou seja, a parte A do circuito original foi substituída por uma fonte de tensão (8 V) em

série com uma resistência (9 Ω) – circuito Equivalente-Thévenin.

Do ponto de vista da carga RL o circuito Equivalente-Thévenin é equivalente à parte A

do circuito original. A tensão em RL e a potência absorvida são dadas por:

8R9

RvL

LL ×

+=

L

2

LL

2

L

L

L

2L

L RR9

8R

8R9

R

Rvp ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

+==

Se RL = ∞ (circuito aberto), vL = 8 V.

O Teorema de Norton é semelhante ao Teorema de Thévenin, na verdade é um

corolário deste. Diz que é possível substituir tudo menos a resistência RL por um

circuito equivalente que contém apenas uma fonte de corrente em paralelo com uma

resistência. Considerando o exemplo anterior, tem-se:


34

+ vca

–

RTh

icc RTh

ou seja, a parte A do circuito original foi substituída por uma fonte de corrente (8/9 A)

em paralelo com uma resistência (9 Ω) – circuito Equivalente-Norton.

Do ponto de vista da carga RL o circuito Equivalente-Norton é equivalente à parte A

do circuito original. A corrente em RL é dada por:

98

R99i

LL ×

+=

Se RL = 0 (curto-circuito), iL = 8/9 A.

Assim, tem-se que:

• Qualquer rede linear acessível através de dois terminais pode ser substituída por

um circuito equivalente à rede original, consistindo em uma fonte de tensão

(vca) em série com uma resistência ( ThR ) – Equivalente de Thévenin.

• Qualquer rede linear acessível através de dois terminais pode ser substituída por

um circuito equivalente à rede original, consistindo em uma fonte de corrente

(icc) em paralelo com uma resistência ( ThR ) – Equivalente de Norton.

O Equivalente de Thévenin é dado por:

em que vca é a tensão de circuito aberto, e ThR é a resistência de Thévenin. O Equivalente de Norton é dado por:

em que icc é a corrente de curto-circuito, e ThR é a resistência de Thévenin.


35

+

Rede v 1 A

–

+

Rede 1 V

–

i

Assim, o Equivalente de Thévenin e o Equivalente de Norton podem ser obtidos um a

partir do outro por transformação da fonte: ccThca iRv =

A resistência de Thévenin, ThR , é a resistência equivalente obtida quando todas as

fontes são suprimidas (as fontes de tensão são substituídas por curto-circuitos,

enquanto que as fontes de corrente são substituídas por circuitos abertos).

No caso de redes onde existem fontes independentes e dependentes, ThR apenas pode

ser calculada através de: cc

caTh i

vR = . Pelo que, neste caso é necessário determinar cav e

cci , sendo ThR obtida pela equação anterior.

No caso de redes onde existem apenas fontes dependentes, ThR pode ser calculada

considerando:

• Uma fonte externa de corrente de 1 A nos terminais da rede:

sendo 1vRTh =

• Uma fonte externa de tensão de 1 V nos terminais da rede:

sendo i1RTh =


36

+ + vca vL RL

– –

RTh iL

No caso anterior (apenas fontes dependentes), o Equivalente de Thévenin não tem

fonte de tensão ( 0vac = ), e o Equivalente de Norton não tem fonte de corrente

( 0icc = ). Ou seja, ambos os Equivalentes de Thévenin e de Norton são constituídos

apenas por ThR .

4.4 Transferência Máxima de Potência

Considere o seguinte circuito:

A potência absorvida pela resistência RL é dada por: 2LLL iRp =

O valor da resistência RL para o qual a potência absorvida é máxima é determinado

através de:

( ) 0R

iR0Rp

L

2LL

L

L =∂

∂⇔=

∂∂

Sendo ThL

caL RR

vi+

= tem-se que:

( )⇔=

∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∂⇔=

∂⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂

0R

RRR

v0R

RRvR

L

2ThL

L

2ca

L

2

ThL

caL

( ) ( )( ) ( ) ( ) ⇔=

+−

+⇔=

++−+

⇔ 0RR

R2RR

10RR

RRR2RR3

ThL

L2

ThL4

ThL

LThL2

LThL


37

Th

2ca

R4v

( ) ( ) ⇔+=⇔=+

⇔+

=+

⇔ ThLLThL

L2

ThL3

ThL

L RRR21RR

R2RR

1RR

R2

ThL RR =⇔

Pelo que, a transferência máxima de potência ocorre quando ThL RR =

A potência máxima é então dada por:

2ca2

Th

ThL

2

Th

caThL

2

ThTh

caThL

2LThL v

R4Rp

R2vRp

RRvRpiRp =⇔⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇔⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⇔=

Th

2ca

L R4vp =⇔

pL

0 RTh RL

Amplificador Operacional

38

– +

i –

i +

Entrada inversora v –

Alimentação (+15V)

+ v CC

Entrada não inversora v +

– v CC

Alimentação (–15V)

i –

i +

v o

i o

Capítulo 5 – Amplificador Operacional

5.1 Características Ideais do Amplificador Operacional

O Amplificador Operacional (AMPOP) é um circuito integrado activo com ganho

elevado. O AMPOP pode ser visto como uma fonte dependente de tensão, em que a

tensão de saída é a amplificação da "tensão-diferença" de entrada.

( )−+ −=⇔= vvAvvAv 0i0 , sendo i

0

vvA = o ganho do AMPOP

O AMPOP ideal tem as seguintes características:

• Resistência de entrada infinita (Ri = ∞);

• Resistência de saída nula (Ro = 0);

• Ganho de tensão infinito (A = ∞);

• Largura de banda infinita (BW = ∞); i.e., o AMPOP responde igualmente para

todas as frequências, sendo o ganho independente da frequência;

• Tensão de offset nula; i.e., quando −+ = vv ( 0vi = ) tem-se que 0vo = ;

• Drift nulo; i.e., quando tei cv = tem-se que te

o cv = ;

• Tempo de resposta nulo.


39

Destas características ideais podemos deduzir duas propriedades muito importantes:

• Tensão diferencial de entrada nula (v – = v +);

• Corrente nos terminais de entrada nula (i – = 0 e i + = 0).

A primeira propriedade determina que os terminais de entrada estão ao mesmo

potencial, i.e., em curto-circuito. Contudo, a segunda propriedade faz o curto-circuito

como não condutor de corrente, ou como sendo um circuito aberto. Pelo que, diz-se

um curto-circuito virtual, sendo um conceito muito importante na análise de circuitos

com AMPOP’s.

5.2 Características Reais do Amplificador Operacional

No AMPOP real nem a resistência de entrada é infinita nem a resistência de saída é

nula. Tipicamente, a resistência de entrada apresenta valores que vão desde alguns

M Ω até aos T Ω, enquanto a resistência de saída apresenta valores que vão desde

algumas centenas de Ω até apenas alguns Ω.

O ganho a que se referiu anteriormente é o chamado ganho em malha aberta, i.e., o

ganho do amplificador em si. O valor do ganho pode ser modificado por convenientes

ligações exteriores, obtendo-se nesse caso o chamado ganho em malha fechada.

Obviamente um ganho infinito não é possível, mas esse ganho é efectivamente muito

elevado: tipicamente, entre 10000 e 10000000.

Ainda, deve notar-se que a tensão de saída é limitada pela tensão de alimentação: não

podemos ter uma tensão de saída com uma amplitude maior do que – v CC a + v CC.

Os valores de v CC são, em geral, inferiores a 20 V: tipicamente 15 V. Quando a tensão

de saída atinge + v CC ou – v CC ela satura e aí permanece, e quanto maior for o

ganho mais depressa satura.


40

+ v CC

A = declive da recta (Ganho)

Saturação negativa

Saturação positiva

– v CC

Zona de funcionamento

linear

AvCC+

AvCC−

Por exemplo, seja 510A = e a tensão de alimentação V15± . A máxima variação

permitida à tensão de entrada, antes de se entrar em saturação, é portanto neste caso

dada por:

mV15,01015v 5i ==

Se o ganho fosse 410 , a tensão de entrada já poderia ser 10 vezes superior, i.e.,

1,5 mV. Portanto, para se ter um funcionamento linear de um AMPOP, a tensão de

entrada tem que ser da ordem dos mV.

Seguidamente, é apresentada a característica de transferência de um AMPOP, i.e., o

traçado da tensão de saída em função da tensão de entrada:

vo

vi

• A

vv CCi < ⇒ ( )−+ −=⇔= vvAvvAv 0i0 ; zona de funcionamento linear;

• Avv CC

i+

> ⇒ CC0 vv += ; AMPOP saturado positivamente;

• Avv CC

i−

< ⇒ CC0 vv −= ; AMPOP saturado negativamente.


41

O ganho do AMPOP pode traduzir-se numa distorção do sinal à entrada, sendo tanto

maior essa distorção quanto maior for o ganho. Contudo, o valor do ganho poderá ser

controlado mediante ligações externas, dando assim ao AMPOP maior flexibilidade.

No AMPOP real a largura de banda (espectro de frequências ao longo do qual o

AMPOP funciona com as suas características nominais) é finita. Além disso, não se

pode ter num AMPOP real um ganho elevado com uma largura de banda também

elevada. Aliás, estas duas características são naturalmente incompatíveis. Verifica-se

no entanto que em geral, para cada AMPOP, o produto do ganho pela largura de banda

é sensivelmente constante, constituindo um parâmetro característico: factor de mérito

(gain bandwidth).

Anteriormente foi referido que o AMPOP amplifica a "tensão-diferença" entre as

entradas não inversora e inversora. Contudo, se existir uma componente comum às

duas entradas, de acordo com a equação ( )−+ −= vvAv0 essa componente não

aparecia na saída.

Na realidade a tensão de saída depende não só da diferença das tensões de entrada,

mas também da semi-soma das tensões de entrada. Assim, num AMPOP real tem-se

que:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−= −+−+ 2

vvAvvAv cd0

sendo dA o ganho de modo diferencial e cA o ganho de modo comum.

O facto da tensão de saída depender de cA é tipicamente indesejável, pelo que se

procura ter cd AA >> de modo a minimizar a influência de cA na tensão de saída.

A razão entre os dois ganhos é denominada de factor de rejeição do modo comum

(CMRR – Common Mode Rejection Ratio):

c

d

AACMRR =


42

Um elevado CMRR é particularmente importante quando se pretende amplificar

pequenas diferenças de sinal na presença de um elevado sinal comum, i.e., na presença

de elevados valores de ruído.

A suposição de que nos terminais de entrada do AMPOP não há corrente também não

é real. Os valores típicos para esta corrente variam entre 300 e 1500 nA.

Um caso particular do funcionamento em modo comum é aquele em que os terminais

de entrada são curto-circuitados. Nessas condições seria de esperar que a tensão de

saída fosse nula. Na prática tal não acontece, pelo que deve ser aplicada uma tensão

diferencial à entrada de modo a fazer com que a tensão de saída seja nula. A esta

tensão que aparece sobreposta a qualquer sinal de saída do amplificador dá-se o nome

de tensão de desequilíbrio à entrada (input offset voltage). Esta tensão é variável com

a temperatura, sendo denominada input offset voltage drift.

Num AMPOP ideal a tensão de saída segue, sem atraso, a tensão de entrada. Num

AMPOP real há sempre atrasos, i.e., taxas de crescimento temporal limitadas.

É costume definir uma grandeza (slew rate) que traduz a velocidade máxima de

resposta da saída a sinais de grande variação. Por exemplo, um slew rate de s/V5,0 μ

significa que o AMPOP demora s20 μ a variar V10 a sua tensão de saída. O efeito

do slew rate é distorcer o sinal quando este ultrapassa a capacidade de resposta do

AMPOP.

Dada a importância das montagens de AMPOP’s com realimentação (feedback),

apresentam-se a seguir algumas montagens, que servem para exemplificar como se

pode obter a relação entre a tensão de saída e a tensão de entrada.

Deste modo, consegue-se que as características de um AMPOP dependam de

componentes passivos e não de componentes activos (cujas características são sempre

mais difíceis de controlar). Contudo, o ganho com realimentação é menor do que sem

realimentação.


43

– +

v o

+ vi

–

i1 R1

i2 R2

5.3 Circuito Inversor

Considerando o AMPOP ideal, tem-se:

• v – = v + ⇒ v – = 0 V

• i – = 0 ⇒ i1 = i2

Atendendo ao curto-circuito virtual, tem-se:

2

i222i R

vi0iRv =⇔=+−

1

o1o11 R

vi0viR −=⇔=+

Pelo que, obtém-se:

i2

1o

2

i

1

o21 v

RRv

Rv

Rvii −=⇔=−⇔=

Assim, o ganho é exclusivamente definido por componentes externos (R1 e R2) e não

depende do próprio AMPOP, i.e., das suas características e componentes internos.

O AMPOP funciona na zona linear (i.e., não está saturado) quando:

21

CCiCCi

2

1CCo R/R

vvvv

RRvv <⇔<−⇔<

A realimentação permite então projectar o ganho para o valor desejado, muito embora

com redução do ganho global, além de permitir uma tensão de entrada vi

correspondentemente maior, sem saturação.


44

+ –

v o

+ vi

–

i1 R1

i3 R3

R2

i2

5.4 Circuito Não Inversor


• v – = v +

• i – = 0 ⇒ i1 = i2

• i + = 0 ⇒ v + = vi

Atendendo ao divisor de tensão, tem-se:

o21

2 vRR

Rv+

=−


i2

1oi

2

21oio

21

2 vRR1vv

RRRvvv

RRR

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⇔

+=⇔=

+

O AMPOP funciona na zona linear quando:

CC21

2iCCi

2

1CCo v

RRRvvv

RR1vv

+<⇔<⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⇔<

Sinais

45

Capítulo 6 – Sinais

6.1 Função Escalão Unitário

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<=

0t,V

0t,0)t(v

0

v (t)

V0

0 t Escalão unitário: )t(u1 ⇒ Amplitude = 1

6.2 Função Impulso Unitário

⎪⎩

⎪⎨

⎧

><

≤≤=

1

10

tte0t,0

tt0,V)t(v

Sinais

46

v (t)

V0

0 t1 t Impulso ⇒ 0t1 → e ∞→0V

Impulso unitário: )t(u0 ⇒ Área = 1 6.3 Função Rampa Unitária

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

<=

0t,tk

0t,0)t(v

v (t)

0 t Rampa unitária: )t(u2 ⇒ Declive = 1

As funções singulares podem ser expressas em função de )t(u 0 , )t(u1 e )t(u2 .

Ainda, de notar que:

td)t(ud)t(u 1

0 = td

)t(ud)t(u 21 =

Sinais

47

6.4 Função Exponencial

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<=

− 0t,eV

0t,0)t(v

at0

v (t)

V0

0 t

6.5 Função Sinusoidal

)wtsin(V)t(v 0 θ+=

v (t)

V0

0 t

-V0

Capacidade e Auto-Indução

48

i

+ . ε v

–

i

+ v C

–

A

Capítulo 7 – Capacidade e Auto-Indução

7.1 Condensador

d

dAC ε

=

sendo:

• C ⇒ Capacitância

Unidade: F (Farad) em homenagem a Michael Faraday, cientista britânico

(1791-1867)

1 F = 1 C/V vqC =

• A ⇒ Área das placas

• d ⇒ Distância entre placas

• ε ⇒ Permitividade ou constante dieléctrica

para o vazio: m/F1036

1 90

−×π

=ε

Atendendo a que: vCq = e tdqd)t(i = ⇒ a corrente é dada por:

tdvdC)t(i =


49

+ + v C2 2v

– –

+ –

C1

i

3v – +

C3

Assim, se a tensão é constante, a corrente é nula. Neste caso, o condensador é um

circuito aberto. Por outro lado, a tensão não pode variar instantaneamente, pois isto

exigiria uma corrente infinita.

A tensão é dada por:

)t(vdtiC1)t(v 0

t

t0+= ∫

A potência é dada por:

tdvdvCpivp =⇔=

A energia armazenada no condensador é dada por:

[ ])t(v)t(vC21WdvvCWdt

tdvdvCWdtpW 0

22)t(v

)t(v

t

t

t

t 000−=⇔=⇔=⇔= ∫∫∫

assumindo que 0)t(v 0 = , então tem-se que:

2vC21W =

Condensadores em Série

1v

Aplicando a Lei das Malhas, obtém-se:

)t(vdtiC1)t(vdti

C1)t(vdti

C1v0vvvv 03

t

t3

02

t

t2

01

t

t1

321000

+++++=⇔=+++− ∫∫∫

considerando: )t(v)t(v)t(v)t(v 0030201 =++ , tem-se que:


50

i C1 C2 C3

i1 i3 +

v

–

i2

)t(vdtiC1v)t(vdti

C1

C1

C1v 0

t

teq

0

t

t321

00+=⇔+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ∫∫

Portanto, os condensadores em série (C1, C2 e C3) podem ser substituídos no circuito

por:

321

eq

C1

C1

C1

1C++

=

De forma geral, o condensador equivalente a um conjunto de condensadores em série

é dado por: ∑=

= I

1i i

eq

C1

1C

No caso particular de apenas dois condensadores em série, tem-se: 21

21eq CC

CCC+×

=

Condensadores em Paralelo

Aplicando a Lei dos Nós, obtém-se:

( )tdvdCi

tdvdCCCi

tdvdC

tdvdC

tdvdCi0iiii eq321321321 =⇔++=⇔++=⇔=−−−

Portanto, os condensadores em paralelo (C1, C2 e C3) podem ser substituídos no

circuito por: 321eq CCCC ++=

De forma geral, o condensador equivalente a um conjunto de condensadores em

paralelo é dado por: ∑=

=I

1iieq CC


51

i

+ N v

–

i

+ v L

–

A

7.2 Bobina

l

lANL

2μ=

sendo:

• L ⇒ Indutância

Unidade: H (Henry) em homenagem a Joseph Henry, cientista norte-americano

(1797-1878)

1 H = 1 V.s / A

• μ ⇒ Permeabilidade

para o vazio: m/H104 70

−×π=μ

• N ⇒ Número de espiras

• A ⇒ Área seccional

• l ⇒ Comprimento

A tensão é dada por:

tdidL)t(v =

Assim, se a corrente é constante, a tensão é nula. Neste caso, a bobina é um

curto-circuito. Por outro lado, a corrente não pode variar instantaneamente, pois isto

exigiria uma tensão infinita.

A corrente é dada por:

)t(idtvL1)t(i 0

t

t0+= ∫


52

+ + v L2 2v

– –

+ – L1

v3

i

– + L3

A potência é dada por:

tdidiLpivp =⇔=

A energia armazenada na bobina é dada por:

[ ])t(i)t(iL21WdiiLWdt

tdidiLWdtpW 0

22)t(i

)t(i

t

t

t

t 000−=⇔=⇔=⇔= ∫∫∫

assumindo que 0)t(i 0 = , então tem-se que:

2iL21W =

Bobinas em Série

1v


tdid)LLL(v

tdidL

tdidL

tdidLv0vvvv 321321321 ++=⇔++=⇔=+++−

tdidLv eq=⇔

Portanto, as bobinas em série (L1, L2 e L3) podem ser substituídas no circuito por:

321eq LLLL ++=

De forma geral, a bobina equivalente a um conjunto de bobinas em série é dada por:

∑=

=I

1iieq LL


53

i L1 L2 L3

i1 i3 +

v

–

i2

Bobinas em Paralelo

Aplicando a Lei dos Nós, obtém-se:

)t(idtvL1)t(idtv

L1)t(idtv

L1i0iiii 03

t

t3

02

t

t2

01

t

t1

321000

+++++=⇔=+++− ∫∫∫

considerando: )t(i)t(i)t(i)t(i 0030201 =++ , tem-se que:

)t(idtvL1v)t(idtv

L1

L1

L1i 0

t

teq

0

t

t321

00+=⇔+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ∫∫

Portanto, as bobinas em paralelo (L1, L2 e L3) podem ser substituídas no circuito por:

321

eq

L1

L1

L1

1L++

=

De forma geral, a bobina equivalente a um conjunto de bobinas em paralelo é dada

por: ∑=

= I

1i i

eq

L1

1L

No caso particular de apenas duas bobinas em paralelo, tem-se: 21

21eq LL

LLL+×

=

Circuitos de Primeira Ordem

54

– + vR R L vL

+ –

i

Capítulo 8 – Circuitos de Primeira Ordem

8.1 Circuitos RL e RC Simples

Quando um circuito é comutado de uma condição para outra ocorre um período de

transição. Depois desse período transitório, diz-se que o circuito atinge o estado

estacionário.

A aplicação das Leis de Kirchhoff a um circuito que contenha elementos capazes de

armazenar energia resulta em uma equação diferencial.

Seguidamente, é analisada a resposta transitória ou resposta natural de circuitos

simples RL e RC (com energia armazenada na bobina, para o circuito RL, e no

condensador, para o circuito RC) e sem fontes.

Circuito RL Simples


0iLR

tdid0

tdidLiR0vv LR =+⇔=+⇔=+


55

+

R v C

–

iC iR

resolvendo a equação diferencial, obtém-se:

τ−−

=⇔=t

0

tLR

0 eI)t(ieI)t(i

i (t)

I0

0 τ t

)0(iI0 = representa a energia armazenada

RL

=τ é a constante de tempo

A energia total transformada em calor na resistência é dada por:

20IL

21W =

que corresponde à energia total armazenada na bobina no instante inicial 0t = .

Circuito RC Simples

Aplicando a Lei dos Nós (para o nó superior), obtém-se:

0CR

vtdvd0

tdvdC

Rv0ii CR =+⇔=+⇔=+


56

– +

v o

+ vi

–

i2 R

C i1

+ – vC

resolvendo a equação diferencial, obtém-se:

τ−−

=⇔=t

0CRt

0 eV)t(veV)t(v

v (t)

V0

0 τ t

)0(vV0 = representa a energia armazenada

CR=τ é a constante de tempo

A energia total transformada em calor na resistência é dada por:

20VC

21W =

que corresponde à energia total armazenada no condensador no instante inicial 0t = .

8.2 Circuitos Diferenciador e Integrador

Circuito Diferenciador


57

– +

v o

+ vi

–

i1 R

C i2

+ – vC


• v – = v + ⇒ v – = 0 V

• i – = 0 ⇒ i1 = i2


iCCi vv0vv =⇔=+−

Rvi0viR o

2o2 −=⇔=+

Ainda:

tdvdCi

tdvdCi i

1C

1 =⇔=


tdvdCRv

Rv

tdvdCii i

ooi

21 −=⇔−=⇔=

Se 1CR = tem-se:

tdvdv i

o −=

Deste modo, a tensão de saída é proporcional à derivada da tensão de entrada.

Circuito Integrador


58


• v – = v + ⇒ v – = 0 V

• i – = 0 ⇒ i1 = i2


Rvi0iRv i

11i =⇔=+−

CooC vv0vv −=⇔=+ Ainda:

tdvdCi

tdvdCi o

2C

2 −=⇔=


)t(vdtvCR

1vCR

vtd

vdtd

vdCRvii 0C

t

t ioiooi

210

+−=⇔−=⇔−=⇔= ∫

Se 1CR = e 0)t(v 0C = tem-se:

dtvvt

t io0∫−=

Deste modo, a tensão de saída é proporcional ao integral da tensão de entrada.

8.3 Resposta Completa de Circuitos RL e RC

A resposta completa de um circuito é composta de duas partes:

• resposta natural ou resposta transitória;

• resposta forçada ou resposta estacionária.

A resposta natural é a solução geral da equação diferencial que representa o circuito,

quando a entrada é nula. A resposta forçada é a solução particular da equação

diferencial que representa o circuito.

Seguidamente, são consideradas dois tipos de entradas, constante e variável.


59

+ C v (t)

–

+ vca

–

RTh

icc RTh L

i

Entrada Constante

Devem usar-se os Equivalentes de Thévenin e de Norton para simplificar a análise do

circuito. Posteriormente, um de dois tipos de circuitos pode ser considerado:

• Circuito de primeira ordem com condensador

Neste caso, a tensão no condensador é dada por:

( ) τ−

−+=t

caca ev)0(vv)t(v

sendo: )t(vcompletaresposta = ;

cavforçadaresposta = ;

( ) τ−

−=t

ca ev)0(vnaturalresposta ;

CR=τ

• Circuito de primeira ordem com bobina

Neste caso, a corrente na bobina é dada por:

( ) τ−

−+=t

cccc ei)0(ii)t(i

sendo: )t(icompletaresposta = ;

cciforçadaresposta = ;

( ) τ−

−=t

cc ei)0(inaturalresposta ;

RL

=τ


60

Entrada Variável

A equação diferencial que descreve um circuito RL ou RC é representada de forma

genérica por:

)t(y)t(xatd

)t(xd=+

A solução genérica é dada por:

fntatata xxxdteyeeKx +=⇔+= ∫−−

A resposta natural é sempre dada por: ta

n eKx −= ; K obtém-se das condições iniciais.

A resposta forçada é dada por:

• aMxf = , se M)t(y =

• ba

extb

f += , se tbe)t(y =

• wtcosBwtsinAxf += , se )wtsin(M)t(y θ+=

Circuitos de Segunda Ordem

61

Capítulo 9 – Circuitos de Segunda Ordem

9.1 Circuito RLC

Neste capítulo é determinada a resposta completa de um circuito com dois elementos

capazes de armazenar de energia (L e C). Este circuito é descrito por uma equação

diferencial de segunda ordem, que pode ser dada genericamente por:

)t(f)t(x)t(xtd

d2)t(xtd

d 202

2

=ω+α+

em que:

• α é o coeficiente de amortecimento

• 0ω é a frequência de ressonância

Usando o operador diferencial: n

nn

tdds = , obtém-se a equação característica de um

circuito de segunda ordem, dada por: 0s2s 20

2 =ω+α+

Esta equação característica tem duas soluções: 1s e 2s . Estas soluções são denominadas

de frequências naturais do circuito de segunda ordem.

Um circuito de segunda ordem pode ser caracterizado como:

• Sobreamortecido, se 1s e 2s são reais e diferentes, ou, 0ω>α ;

• Criticamente amortecido, se 1s e 2s são reais e iguais (pólo duplo), ou, 0ω=α ;

• Subamortecido, se 1s e 2s são complexos conjugados, ou, 0ω<α .

Circuitos de Segunda Ordem

62

A resposta completa de um circuito de segunda ordem é a soma da resposta natural

com a resposta forçada: fn xxx +=

A resposta natural depende das frequências naturais do circuito. No caso de um

circuito:

• Sobreamortecido, 20

221 s,s ω−α±α−= ⇒ ts

2ts

1n21 eAeAx −− += ;

• Criticamente amortecido, α−=21 s,s ⇒ ( ) t21n etAAx α−+= ;

• Subamortecido, d22

021 jjs,s ω±α−=α−ω±α−=

⇒ ( ) td2d1n etsenAtcosAx α−ω+ω= .

A resposta forçada depende da entrada do circuito, sendo dada por:

• Axf = , se K)t(f = (constante)

• tBAxf += , se tK)t(f = (rampa)

• tsenBtcosAxf ω+ω= , se tcosK)t(f ω= ou tsenK)t(f ω= (sinusoidal)

• btf eAx −= , se bteK)t(f −= (exponencial)

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