apontamentos das aulas teóricas

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  • Universidade de Coimbra

    Mestrado Integrado em Engenharia do Ambiente

    Analise Matematica III

    Armando Goncalves

    2010/2011

  • Conteudo

    1 Calculo integral em R2 e R3. 1

    1.1 Integrais duplos.Definicao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.2 Propriedades do integral duplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.3 Interpretacao geometrica do integral duplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.4 Calculo de integrais duplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.5 Calculo de areas e volumes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.5.1 Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.5.2 Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.6 Mudanca de variaveis em integrais duplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.6.1 Caso particular das coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.7 Integrais triplos. Definicao e propriedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.8 Calculo de integrais triplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    1.9 Calculo de volumes por integrais triplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.10 Mudanca de variaveis em integrais triplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    1.10.1 Caso particular das coordenadas esfericas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    1.10.2 Caso particular das coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    1.11 Integrais curvilneos sobre curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    1.12 Interpretacao geometrica do integral curvilneo, integrais relativamente as com-

    ponentes cartesianas e parametrizacoes padrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    1.13 Integrais curvilneos sobre curvas de R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    1.14 Aplicacoes dos integrais curvilneos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    1.15 Independencia do caminho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    1.16 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    1.17 Integrais de superfcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    1.18 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    1.19 Teorema da divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    2 Equacoes diferenciais de ordem n 44

    2.1 Equacoes diferenciais ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    i

  • 2.2 Equacoes diferenciais, ordinarias e lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    2.3 Equacoes lineares, homogeneas e de ordem n. Wronskiano. . . . . . . . . . . . . 47

    2.4 Equacao linear, completa e de ordem n. Metodo de Lagrange ou de variacao das

    constantes arbitrarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    2.5 Equacao linear, homogenea, com coeficientes constantes e de ordem n . . . . . . 51

    2.6 Equacao linear, completa, com coeficientes constantes e de ordem n. Metodo do

    polinomio anulador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    2.7 Equacao linear, completa e de ordem n. Metodo de DAlembert ou de abaixa-

    mento de ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    3 Transformada de Laplace 58

    3.1 Resultados e definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    3.2 Algumas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    3.3 Aplicacao da transformada de Laplace a resolucao de equacoes diferenciais, line-

    ares e com coeficientes constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    4 Sistemas de equacoes diferenciais lineares e com coeficientes constantes 63

    4.1 Resolucao usando a transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    4.2 Sistemas homogeneos - resolucao usando o Metodo da Algebra Linear . . . . . . 64

    4.2.1 Os valores proprios de A sao reais e distintos . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    4.2.2 Valores proprios complexos de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    4.2.3 Valores proprios reais e de multiplicidade algebrica m > 1, de A . . . . . 66

    4.2.4 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    4.3 Sistemas completos - resolucao usando o Metodo da Algebra Linear . . . . . . . . 70

    4.4 Aplicacoes do Metodo da Algebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    ii

  • 1 Calculo integral em R2 e R3.

    1.1 Integrais duplos.Definicao.

    Definicao 1.1 Sejam a e b numeros reais, com a < b.

    Sejam ainda f1 e f2 funcoes contnuas em [a, b] e tais que, para qualquer x [a, b], f1(x)

    f2(x).

    Chama-se regiao de tipo I a parte R1 do plano definida por

    R1 := {(x, y) : a x b z [a, b] : f1(z) y f2(z)}.

    A figura que se segue e um exemplo grafico de uma regiao de tipo I.

    0.5 1 1.5 2 2.5 3

    1

    2

    3

    4

    5

    De modo analogo se define uma regiao de tipo II.

    Definicao 1.2 Sejam c e d numeros reais, com c < d.

    Sejam ainda g1 e g2 funcoes contnuas em [c, d] e tais que, para qualquer y [c, d], g1(y)

    g2(y).

    1

  • Chama-se regiao de tipo II a parte R2 do plano definida por

    R2 := {(x, y) : c y d z [c, d] : g1(z) x g2(z)}.

    A figura que se segue e um exemplo grafico de uma regiao de tipo II.

    1 2 3 4 5

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    Definicao 1.3 Um subconjunto A de R2 e conexo se quaisquer dois pontos de A podem ser

    unidos por uma linha poligonal contida em A.

    Exemplo 1.4 Exemplos de conexos: um crculo e uma coroa circular

    Exemplo de um conjunto nao conexo: a uniao de dois crculos que nao tenham pontos comuns

    (disjuntos).

    Definicao 1.5 Uma regiao de R2 e um qualquer conjunto conexo de R2.

    Definicao 1.6 Uma regiao de R2 e fechada se contem todos os seus pontos fronteiros.

    Definicao 1.7 Uma regiao e limitada se existe um crculo que a contenha.

    2

  • Teorema 1.8 Uma regiao R de R2, fechada e limitada, pode ser decomposta num numero finito

    de regioes de tipo I e/ou de tipo II.

    Seja R uma regiao fechada e limitada de R2 e W uma regiao rectangular que contenha R.

    Dividindo W por meio de rectas horizontais e verticais, obtem-se uma particao interior de

    R: e o conjunto P de todos os rectangulos assim obtidos e totalmente contidos em R.

    Graficamente a situacao e ilustrada na figura que se segue.

    Definicao 1.9 Seja P := {P1, , Pn} uma particao de R.

    Designa-se por norma da particao P, e nota-se por ||P||, o comprimento da maior diagonal

    dos rectangulos de P.

    A area de Pi (i = 1, , n) sera notada por Ai.

    Definicao 1.10 Seja f uma funcao definida numa regiao R de R2.

    Sejam ainda P := {P1, , Pn} uma particao interior de R e (ui, vi) elementos de Pi (i =

    1, , n).

    3

  • Chama-se soma de Riemann de f , para P, ao valorn

    i=1

    (f(ui, vi)Ai) .

    Definicao 1.11 Seja f uma funcao real de duas variaveis, definida numa regiao R.

    Diz-se que

    lim||P||0

    i

    (f(ui, vi)Ai) := L R

    se, para qualquer > 0, existe > 0 tal que para toda a particao interior P := {P1, , Pn}, de

    R, se verifica

    ||P|| < =

    i

    (f(ui, vi)Ai) L

    < ,com (ui, vi) Pi, i = 1, , n.

    Definicao 1.12 Seja f uma funcao real de duas variaveis, definida numa regiao R de R2.

    Chama-se integral duplo (a Riemann) de f sobre R, e nota-se Rf(x, y) dA,

    ao limite (caso exista)

    lim||P||0

    i

    (f(ui, vi)Ai).

    Caso o limite exista, f diz-se integravel, a Riemann, em R.

    1.2 Propriedades do integral duplo.

    Sem demonstracao, indicam-se algumas propriedades do integral duplo. Em todas elas, supoe-se

    que os integrais envolvidos, existem.

    1. Se f e contnua numa regiao R de R2, entao f e integravel a Riemann, em R.

    2. Se R e uma uniao disjunta de duas regioes, R1 e R2, isto e, se R = R1 R2 e R1 R2 = ,

    entao Rf(x, y) dA =

    R1

    f(x, y) dA+

    R2

    f(x, y) dA.

    3. Se c e uma constante real e R e uma regiao de R2, entao Rc f(x, y) dA,= c

    Rf(x, y) dA.

    4

  • 4.

    R (f(x, y) + g(x, y)) dA =

    R f(x, y)dA+

    R g(x, y)dA.

    5. Se para qualquer (x, y) R, f(x, y) 0, entao

    R f(x, y)dA 0.

    1.3 Interpretacao geometrica do integral duplo.

    Se f e contnua na regiao R e, para qualquer (x, y) R, f(x, y) 0, entao

    R f(x, y)dA

    representa o volume do solido de base R e superiormente limitado pelo grafico de f .

    1.4 Calculo de integrais duplos.

    Os integrais duplos nao se calculam, habitualmente, pela definicao.

    Como calcular, na pratica, esses integrais?

    Seja R1 uma regiao de tipo I definida por

    R1 := {(x, y) : a x b;(z [a, b] : f1(z) y f2(z))},

    com f1 e f2 funcoes contnuas em [a, b].

    Seja ainda R2 uma regiao de tipo II definida por

    R2 := {(x, y) : c y d; (z [a, b] : g1(z) x g2(z))},

    com g1 e g2 funcoes contnuas em [c, d].

    Se f e contnua em R1 e R2, entao pode-se enunciar, sem demonstracao, o Teorema Funda-

    mental do Calculo:

    Teorema 1.13 R1

    f(x, y)dA =

    ba

    ( f2(x)f1(x)

    f(x, y)dy

    )dx

    R2

    f(x, y)dA =

    dc

    ( g

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