apontamentos das aulas teóricas

Universidade de Coimbra

Mestrado Integrado em Engenharia do Ambiente

Analise Matematica III

Armando Goncalves

2010/2011

Conteudo

1 Calculo integral em R2 e R3. 1

1.1 Integrais duplos.Definicao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Propriedades do integral duplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Interpretacao geometrica do integral duplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Calculo de integrais duplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Calculo de areas e volumes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5.1 Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5.2 Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 Mudanca de variaveis em integrais duplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6.1 Caso particular das coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7 Integrais triplos. Definicao e propriedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8 Calculo de integrais triplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9 Calculo de volumes por integrais triplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.10 Mudanca de variaveis em integrais triplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.10.1 Caso particular das coordenadas esfericas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.10.2 Caso particular das coordenadas cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.11 Integrais curvilıneos sobre curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.12 Interpretacao geometrica do integral curvilıneo, integrais relativamente as com-

ponentes cartesianas e parametrizacoes padrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.13 Integrais curvilıneos sobre curvas de R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.14 Aplicacoes dos integrais curvilıneos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.15 Independencia do caminho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.16 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.17 Integrais de superfıcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.18 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.19 Teorema da divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2 Equacoes diferenciais de ordem n 44

2.1 Equacoes diferenciais ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

i

2.2 Equacoes diferenciais, ordinarias e lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3 Equacoes lineares, homogeneas e de ordem n. Wronskiano. . . . . . . . . . . . . 47

2.4 Equacao linear, completa e de ordem n. Metodo de Lagrange ou de variacao das

constantes arbitrarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.5 Equacao linear, homogenea, com coeficientes constantes e de ordem n . . . . . . 51

2.6 Equacao linear, completa, com coeficientes constantes e de ordem n. Metodo do

polinomio anulador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.7 Equacao linear, completa e de ordem n. Metodo de D’Alembert ou de abaixa-

mento de ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3 Transformada de Laplace 58

3.1 Resultados e definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2 Algumas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3 Aplicacao da transformada de Laplace a resolucao de equacoes diferenciais, line-

ares e com coeficientes constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4 Sistemas de equacoes diferenciais lineares e com coeficientes constantes 63

4.1 Resolucao usando a transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2 Sistemas homogeneos - resolucao usando o Metodo da Algebra Linear . . . . . . 64

4.2.1 Os valores proprios de A sao reais e distintos . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.2 Valores proprios complexos de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.3 Valores proprios reais e de multiplicidade algebrica m > 1, de A . . . . . 66

4.2.4 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3 Sistemas completos - resolucao usando o Metodo da Algebra Linear . . . . . . . . 70

4.4 Aplicacoes do Metodo da Algebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

ii

1 Calculo integral em R2 e R3.

1.1 Integrais duplos.Definicao.

Definicao 1.1 Sejam a e b numeros reais, com a < b.

Sejam ainda f1 e f2 funcoes contınuas em [a, b] e tais que, para qualquer x ∈ [a, b], f1(x) ≤

f2(x).

Chama-se regiao de tipo I a parte R1 do plano definida por

R1 := {(x, y) : a ≤ x ≤ b ∧ ∃ z ∈ [a, b] : f1(z) ≤ y ≤ f2(z)}.

A figura que se segue e um exemplo grafico de uma regiao de tipo I.

0.5 1 1.5 2 2.5 3

1

2

3

4

5

De modo analogo se define uma regiao de tipo II.

Definicao 1.2 Sejam c e d numeros reais, com c < d.

Sejam ainda g1 e g2 funcoes contınuas em [c, d] e tais que, para qualquer y ∈ [c, d], g1(y) ≤

g2(y).

1

Chama-se regiao de tipo II a parte R2 do plano definida por

R2 := {(x, y) : c ≤ y ≤ d ∧ ∃ z ∈ [c, d] : g1(z) ≤ x ≤ g2(z)}.

A figura que se segue e um exemplo grafico de uma regiao de tipo II.

1 2 3 4 5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Definicao 1.3 Um subconjunto A de R2 e conexo se quaisquer dois pontos de A podem ser

unidos por uma linha poligonal contida em A.

Exemplo 1.4 Exemplos de conexos: um cırculo e uma coroa circular

Exemplo de um conjunto nao conexo: a uniao de dois cırculos que nao tenham pontos comuns

(disjuntos).

Definicao 1.5 Uma regiao de R2 e um qualquer conjunto conexo de R2.

Definicao 1.6 Uma regiao de R2 e fechada se contem todos os seus pontos fronteiros.

Definicao 1.7 Uma regiao e limitada se existe um cırculo que a contenha.

2

Teorema 1.8 Uma regiao R de R2, fechada e limitada, pode ser decomposta num numero finito

de regioes de tipo I e/ou de tipo II.

Seja R uma regiao fechada e limitada de R2 e W uma regiao rectangular que contenha R.

Dividindo W por meio de rectas horizontais e verticais, obtem-se uma particao interior de

R: e o conjunto P de todos os rectangulos assim obtidos e totalmente contidos em R.

Graficamente a situacao e ilustrada na figura que se segue.

Definicao 1.9 Seja P := {P1, · · · , Pn} uma particao de R.

Designa-se por norma da particao P, e nota-se por ||P||, o comprimento da maior diagonal

dos rectangulos de P.

A area de Pi (i = 1, · · · , n) sera notada por ∆Ai.

Definicao 1.10 Seja f uma funcao definida numa regiao R de R2.

Sejam ainda P := {P1, · · · , Pn} uma particao interior de R e (ui, vi) elementos de Pi (i =

1, · · · , n).

3

Chama-se soma de Riemann de f , para P, ao valor

n∑i=1

(f(ui, vi)∆Ai) .

Definicao 1.11 Seja f uma funcao real de duas variaveis, definida numa regiao R.

Diz-se que

lim||P||→0

∑i

(f(ui, vi)∆Ai) := L ∈ R

se, para qualquer ϵ > 0, existe δ > 0 tal que para toda a particao interior P := {P1, · · · , Pn}, de

R, se verifica

||P|| < δ =⇒

∣∣∣∣∣∑i

(f(ui, vi)∆Ai)− L

∣∣∣∣∣ < ϵ,

com (ui, vi) ∈ Pi, i = 1, · · · , n.

Definicao 1.12 Seja f uma funcao real de duas variaveis, definida numa regiao R de R2.

Chama-se integral duplo (a Riemann) de f sobre R, e nota-se∫ ∫Rf(x, y) dA,

ao limite (caso exista)

lim||P||→0

∑i

(f(ui, vi)∆Ai).

Caso o limite exista, f diz-se integravel, a Riemann, em R.

1.2 Propriedades do integral duplo.

Sem demonstracao, indicam-se algumas propriedades do integral duplo. Em todas elas, supoe-se

que os integrais envolvidos, existem.

1. Se f e contınua numa regiao R de R2, entao f e integravel a Riemann, em R.

2. Se R e uma uniao disjunta de duas regioes, R1 e R2, isto e, se R = R1 ∪R2 e R1 ∩R2 = ∅,

entao ∫ ∫Rf(x, y) dA =

∫ ∫R1

f(x, y) dA+

∫ ∫R2

f(x, y) dA.

3. Se c e uma constante real e R e uma regiao de R2, entao∫ ∫Rc f(x, y) dA,= c

∫ ∫Rf(x, y) dA.

4

4.∫∫

R (f(x, y) + g(x, y)) dA =∫∫

R f(x, y)dA+∫∫

R g(x, y)dA.

5. Se para qualquer (x, y) ∈ R, f(x, y) ≥ 0, entao∫∫

R f(x, y)dA ≥ 0.

1.3 Interpretacao geometrica do integral duplo.

Se f e contınua na regiao R e, para qualquer (x, y) ∈ R, f(x, y) ≥ 0, entao∫∫

R f(x, y)dA

representa o volume do solido de base R e superiormente limitado pelo grafico de f .

1.4 Calculo de integrais duplos.

Os integrais duplos nao se calculam, habitualmente, pela definicao.

Como calcular, na pratica, esses integrais?

Seja R1 uma regiao de tipo I definida por

R1 := {(x, y) : a ≤ x ≤ b;∃(z ∈ [a, b] : f1(z) ≤ y ≤ f2(z))},

com f1 e f2 funcoes contınuas em [a, b].

Seja ainda R2 uma regiao de tipo II definida por

R2 := {(x, y) : c ≤ y ≤ d; ∃(z ∈ [a, b] : g1(z) ≤ x ≤ g2(z))},

com g1 e g2 funcoes contınuas em [c, d].

Se f e contınua em R1 e R2, entao pode-se enunciar, sem demonstracao, o Teorema Funda-

mental do Calculo:

Teorema 1.13 ∫ ∫R1

f(x, y)dA =

∫ b

a

(∫ f2(x)

f1(x)f(x, y)dy

)dx

∫ ∫R2

f(x, y)dA =

∫ d

c

(∫ g2(y)

g1(y)f(x, y)dx

)dy.

Exemplo 1.14 Calculo de ∫ ∫Rx3 + y dA,

com R a regiao do plano limitada inferiormente pelo grafico da funcao definida por y = x2 e

superiormente por y = x.

5

Geometricamente, R e uma regiao de tipo I da forma

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Entao, ∫ ∫Rx3 + y dA =

∫ 1

0

∫ x

x2

x3 + y dy dx

=

∫ 1

0

(x3y +

y2

2

)x

x2

dx

=

∫ 1

0x4 +

x2

2− x5 − x4

2dx

=1

10.

Repare-se que R tambem podia ser encarada como regiao de tipo II e, nesse caso,∫ ∫Rx3 + y dA =

∫ 1

0

∫ √y

yx3 + y dx dy.

1.5 Calculo de areas e volumes.

1.5.1 Areas

Com as notacoes do paragrafo 1.4, seja R1 uma regiao de tipo I, definida por

R1 := {(x, y) : a ≤ x ≤ b ∧ ∃(z ∈ [a, b] : f1(z) ≤ y ≤ f2(z))},

com f1 e f2 funcoes contınuas em [a, b].

6

Entao, ∫ ∫R1

1 dA =

∫ b

a

(∫ f2(x)

f1(x)1 dy

)dx

=

∫ b

a(f1(x)− f2(x)) dx.

Logo,∫∫

R11 dA e o valor numerico da area de R1.

De modo analogo se prova que∫∫

R21 dA e o valor numerico da area da regiao de tipo II, R2.

Exemplo 1.15 Determinacao da area A(R) da regiao R, limitada pelas curvas de equacoes

2y = 16− x2 e x = −2y − 4.

Geometricamente, R e da forma

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

6

8

Entao,

A(R) =

∫ ∫R1

1 dA

=

∫ 5

−4

(8− x2

2+

x+ 4

2

)dx

=985

12.

1.5.2 Volumes

No paragrafo 1.3, foi feita a interpretacao geometrica do integral duplo, como valor numerico de

um determinado volume.

7

Exemplo 1.16 Determinacao do volume do solido Q, contido no primeiro octante, limitado

pelos planos coordenados e pelas superfıcies de equacoes z = x2+y2+1 (paraboloide) e x2+y2 =

4 (cilindro).

Geometricamente,

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2

0

2

4

0

0.5

1

1.5

2

0

2

4

Relativamente as notacoes usadas em 1.3, R e, como se mostra na figura seguinte, a regiao

limitada pelas partes positivas dos eixos coordenados e por um quarto de circunferencia, de

equacao y =√4− x2

8

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

e f(x, y) = x2 + y2 + 1.

Entao, o volume V (Q) do solido Q, e dado por

V (Q) =

∫ ∫Rx2 + y2 + 1 dA

=

∫ 2

0

∫ √4−x2

0x2 + y2 + 1 dy dx

=

∫ 2

0

(x2y +

y3

3+ y

)√4−x2

0

dx.

Este integral nao e facil de calcular.

O presente exemplo sera acabado no proximo paragrafo, ja que o calculo do volume e muito

simples se for feita a mudanca para coordenadas polares.

1.6 Mudanca de variaveis em integrais duplos

Seja R uma regiao de XOY, fechada e limitada por uma curva (fechada) C.

Seja ainda T uma aplicacao biunıvoca que transforma uma regiao D do plano UOV , em R,

com D fechada e limitada por uma curva (fechada) K que e transformada, por T , em C.

T e designada por transformacao.

9

Teorema 1.17 Seja T uma transformacao de D em R, com T definida por

T (u, v) := (x(u, v), y(u, v)).

Se xu,yu, xv e yv sao contınuas em D, se, para qualquer (u, v) ∈ D,

JT (u, v) :=

∣∣∣∣∣∣ xu xv

yu yv

∣∣∣∣∣∣ (u, v) = 0

e se f admite derivadas parciais contınuas numa regiao aberta contendo R, entao∫ ∫Rf(x, y) dA =

∫ ∫Df(x(u, v), y(u, v)) |JT (u, v)| dA.

Observacoes 1.18

1. O primeiro integral e em x e y e o segundo em u e v.

2. JT (u, v) designa-se por jacobiano da transformacao T .

1.6.1 Caso particular das coordenadas polares

As coordenadas polares r e θ estao relacionadas com as cartesianas x e y, por x = r cos θ

y = r sin θ.

Geometricamente, r e o comprimento do segmento de extremidades (0, 0) e (x, y), sendo θ o

angulo formado pela parte positiva do eixo das abcissas e pelo segmento atras referido.

Observacoes 1.19

1. r ≥ 0.

2. Para que a transformacao T do plano r O θ sobre o plano XOY seja biunıvoca e necessario

que θ varie num intervalo semiaberto de amplitude 2π, por exemplo −π ≤ θ < π.

3. Obviamente, r =√

x2 + y2 e, para x = 0, θ = arctgy

x.

4. Se se definir T por T (r, θ) = (x(r, θ), y(r, θ)) := (r cos θ, r sin θ), entao JT (r, θ) = r ≥ 0.

10

O resultado seguinte e uma consequencia imediata do teorema 1.17 e do ponto 4 das ob-

servacoes 1.19.

Corolario 1.20 Se R esta nas condicoes do teorema 1.17 e∫∫

R f(x, y)dA esta definido, entao,

sendo D a regiao de r O θ correspondente a R, verifica-se∫ ∫Rf(x, y)dA =

∫ ∫Df(r cos θ, r sin θ) rdA.

Observacao 1.21 O primeiro integral e em x e y, sendo o segundo em r e θ.

As regioes de tipo θ tem, para r e θ, um papel semelhante ao que era desempenhado, para

x e y, pelas regioes de tipo I.

Definicao 1.22 Sendo a e b constantes reais (a < b) e F e G funcoes contınuas em [a, b], uma

regiao de tipo θ e definida por a ≤ θ ≤ b e F (θ) ≤ r ≤ G(θ).

Uma regiao de tipo θ e, geometricamente, da forma

1 2 3 4

1

2

3

4

Sendo R uma regiao de tipo θ, nas condicoes da definicao 1.22, entao,∫ ∫Rf(x, y) dA =

∫ b

a

∫ G(θ)

F (θ)f(r cos θ, r sin θ) r dr dθ.

11

Se A(R) for a area de R, entao,

A(R) =

∫ b

a

∫ G(θ)

F (θ)r dr dθ.

Se F (θ) = 0, entao, geometricamente, R e da forma

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Exemplos 1.23

1. Pode-se agora terminar o calculo do volume do exemplo 1.16.

Nesse caso, F (θ) = 0, G(θ) = 2, a = 0 e b = π2 .

12

O volume V (Q) do solido Q, e dado por

V (Q) =

∫ ∫Rx2 + y2 + 1 dA

=

∫ π2

0

∫ 2

0(r2 + 1) r drdθ

=

∫ π2

0

(r4

4+

r2

2

)2

0

dθ

= 3π.

Este calculo e claramente mais facil que aquele que era proposto no exemplo 1.16.

2. Determinacao da area da regiao R, limitada pelas curvas de equacoes y = 0, y = x,

x2 + y2 = 9 e x =√

16− y2.

Geometricamente, R e a regiao de tipo θ, esbocada na figura seguinte.

1 2 3 4

1

2

3

4

13

A area A(R) de R, e dada por

A(R) =

∫ π4

0

∫ 4

3r dr dθ

=

∫ π4

0

(r2

2

)4

3

dθ

=7π

8.

Observacao 1.24 Sendo a e b constantes reais (a < b) e F e G funcoes contınuas em [a, b],

definiu-se uma regiao de tipo θ por a ≤ θ ≤ b e F (θ) ≤ r ≤ G(θ).

Sendo c e d constantes reais (c < d) e H e I funcoes contınuas em [c, d], de modo analogo

se pode definir regiao de tipo r pelas desigualdades c ≤ r ≤ d e H(r) ≤ θ ≤ I(r).

Exemplo 1.25 A regiao correspondente ao segundo dos exemplos 1.23, e de tipo r (e, simulta-

neamente, de tipo θ).

1.7 Integrais triplos. Definicao e propriedades.

Comeca-se este paragrafo com algumas definicoes, em R3, analogas as que foram introduzidas,

em 1.1, no caso de R2.

Definicao 1.26 Um subconjunto R, de R3, e conexo se quaisquer dois pontos de R podem ser

unidos por uma poligonal, totalmente contida em R.

Definicao 1.27 Um subconjunto R, de R3, e uma regiao se for conexo.

Definicao 1.28 Uma regiao R, de R3, e fechada se contiver todos os seus pontos fronteiros.

Definicao 1.29 Uma regiao R, de R3, e limitada se estiver contida em alguma esfera.

Sejam R uma regiao fechada e limitada de R3 e f uma funcao real definida em R.

Seja W um paralelipıpedo tal que R ⊆ W .

Divida-se W em paralelipıpedos menores, resultantes de cortes feitos, em W , por planos

paralelos aos planos coordenados.

Seja P := {P1, · · · , Pn} a famılia de todos os paralelipıpedos assim gerados e contidos em R.

P e uma particao interior de R.

14

Definicao 1.30 Seja P := {P1, · · · , Pn} uma particao interior da regiao R, de R3.

Designa-se por norma de P, notando-se por ||P||, o comprimento da maior diagonal dos

paralelipıpedos P1, · · · , Pn.

O volume de Pi (i = 1, · · · , n), sera notado por ∆Vi.

Definicao 1.31 Seja P := {P1, · · · , Pn} uma particao interior da regiao R, de R3.

Sejam ainda (xi, yi, zi) pontos de Pi (i = 1, · · · , n) e f uma funcao real definida em R.

Chama-se soma de Riemann de f , para P, ao seguinte valor

n∑i=1

(f(xi, yi, zi)∆Vi) .

Definicao 1.32 Seja f uma funcao real definida numa regiao R de R3.

Diz-se que

lim||P||→0

∑i

(f(xi, yi, zi)∆Vi) := L ∈ R

se, para qualquer ϵ > 0, existe δ > 0 tal que para toda a particao interior P := {P1, · · · , Pn}, de

R, se verifica

||P|| < δ =⇒

∣∣∣∣∣∑i

(f(xi, yi, zi)∆Vi)− L

∣∣∣∣∣ < ϵ,

com (xi, yi, zi) ∈ Pi (i = 1, · · · , n).

Definicao 1.33 Seja f uma funcao real, definida numa regiao R, de R3.

Chama-se integral triplo (a Riemann) de f sobre R, e nota-se∫ ∫ ∫Rf(x, y, z) dV,

ao limite (caso exista)

lim||P||→0

∑i

(f(xi, yi, zi)∆Vi) .

Caso o limite exista, f diz-se integravel, a Riemann, em R.

Definicao 1.34 Seja f uma funcao definida numa regiao R de R3.

Se fx, fy e fz sao contınuas em R e satisfazem

∀(x, y, z) ∈ R3, [fx(x, y, z)]2 + [fy(x, y, z)]

2 + [fz(x, y, z)]2 = 0

entao a representacao geometrica correspondente a igualdade f(x, y, z) = 0, forma uma su-

perfıcie uniforme.

15

Teorema 1.35 Seja g uma funcao real e contınua numa regiao fechada e limitada R, de R3.

Se a fronteira de R e a uniao de um numero finito de superfıcies uniformes, entao o integral∫∫∫R g(x, y, z) dV existe.

1.8 Calculo de integrais triplos

Seja R uma regiao fechada e limitada, de R3.

Seja ainda f uma funcao contınua em R e com valores em R.

Se Q e uma regiao de tipo I, de R2, definida por

Q := {(x, y) : a ≤ x ≤ b ∧ g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}

e se g e h sao funcoes contınuas em Q, satisfazendo

∀(x, y, z) ∈ R, g(x, y) ≤ z ≤ h(x, y),

entao, ∫ ∫ ∫Rf(x, y, z) dV =

∫ ∫Q

(∫ h(x,y)

g(x,y)f(x, y, z) dz

)dA

=

∫ b

a

(∫ g2(x)

g1(x)

(∫ h(x,y)

g(x,y)f(x, y, z) dz

)dy

)dx.

De modo analogo se determinaria uma expressao para o integral triplo, se Q fosse de tipo II.

Exemplo 1.36 Calculo de∫∫∫

R xyz dV , com R a regiao de R3 definida por

R := {(x, y, z) : (x, y) ∈ Q ∧ x− y ≤ z ≤ x+ y}

e Q a regiao de R2 limitada pela scurvas de equacoes y + x = 0, y − x = 0 e x = 1.

Os limites de integracao em z sao imediatos a partir da definicao de R, sendo g(x, y) = x−y

e h(x, y).

Geometricamente Q esta esbocada na figura que se segue.

16

0.20.40.60.8 1

-1

-0.5

0.5

1

Entao, ∫ ∫ ∫Rxyz dV =

∫ 1

0

∫ x

−x

∫ x+y

x−yxyz dz dy dx

=2

9.

Observacao 1.37 O papel das variaveis no integral triplo, pode ser permutado, isto e, se, por

exemplo

R := {(x, y, z) : (x, z) ∈ Q ∧ g(x, z) ≤ y ≤ h(x, z)}

e

Q := {(x, z) : a ≤ x ≤ b ∧ g1(x) ≤ z ≤ g2(x)},

entao∫ ∫ ∫Rf(x, y, z) dV =

∫ ∫Q

(∫ h(x,z)

g(x,z)f(x, y, z) dy

))dA =

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)

∫ h(x,z)

g(x,z)f(x, y, z) dy dz dx.

1.9 Calculo de volumes por integrais triplos

Se R e uma regiao fechada e limitada, de R3, entao, o volume de V dado por V (R) =∫∫∫

R 1 dV .

Observacao 1.38 Compare-se a afirmacao anterior com a interpretacao geometrica, feita em

1.3, do integral duplo.

Exemplo 1.39 Determinacao do volume, V (R), de uma esfera R, de raio 3.

17

Seguem-se as representacoes geometricas de um oitavo de esfera, R1, e da respectiva pro-

jeccao , Q1, sobre XOY .

01

2

3

0

1

2

3

0

1

2

3

0

1

2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

18

V (R) = 8

∫ ∫ ∫R1

1 dV

= 8

∫ ∫Q1

[z]

√9−x2−y2

0 dA

= 8

∫ π2

0

∫ 3

0

√9− r2 r dr dθ

=4π33

3

= 36π.

1.10 Mudanca de variaveis em integrais triplos

Considere-se o integral∫∫∫

R f(x, y, z) dV , com R uma regiao fechada e limitada de R3 e seja D

uma regiao fechada e limitada pela uniao de um numero finito de superfıcies uniformes.

Definicao 1.40 Uma funcao T com domınio D e contradomınio R, definida por T (u, v, w) :=

(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)), designa-se por transformacao de D sobre R.

O jacobiano, JT (u, v, w), de T , e

JT (u, v, w) :=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣xu xv xw

yu yv yw

zu zv zw

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(u,v,w)

.

Teorema 1.41 Suponha-se que existe∫∫∫

R f(x, y, z) dV .

Usando as notacoes da definicao anterior, seja T uma transformacao de D sobre R, tal que

x, y e z sao funcoes definidas e com derivadas parciais contınuas, em D.

Se JT (u, v, w) = 0 (excepto num numero finito de pontos de D, mas mantendo sempre

o mesmo sinal), entao T transforma a regiao fechada e limitada D, numa regiao fechada e

limitada R de talmodo que a cada ponto de D corresponde um e um so ponto de R.

Alem disso, T transforma a fronteira de D, na fronteira de R e∫ ∫ ∫Rf(x, y, z) dV =

∫ ∫ ∫Df(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) |JT (u, v, w)| dV.

19

1.10.1 Caso particular das coordenadas esfericas.

Um ponto P (x, y, z) de R3 fica bem determinado pelas suas coordenadas esfericas (ρ, θ, ϕ), com

ρ o comprimento do segmento OP que une a origem a P , θ o angulo definido pelo semi-eixo

positivo OX e pela projeccao, sobre XOY , de OP e medido como nas coordenadas polares, e φ

o menor dos angulos definidos pelo semi-eixo positivo OZ e por OP e medido a partir de OZ.

A figura seguinte ilustra as coordenadas esfericas, no caso do ponto (1, 1, 1).

0

0.25

0.5

0.75

1

00.25

0.50.75

1

0

0.25

0.5

0.75

1

0

0.25

0.5

0.75

1

0

0.25

0.5

0.75

20

Observacoes 1.42

1. ρ ≥ 0.

2. θ varia num intervalo semiaberto, de amplitude 2π. Por exemplo, θ ∈ [−π, π[.

3. 0 ≤ φ ≤ π.

4. As relacoes entre as coordenadas cartesianas e as esfericas sao dadas porx = ρ cos θ sinφ

y = ρ sin θ sinφ .

z = ρ cosφ

5. O jacobiano da transformacao de coordenadas cartesianas para esfericas toma o valor

JT (ρ, θ, φ) = −ρ2 sinφ.

6. E facil provar que ρ =√

x2 + y2 + z2.

O resultado seguinte e consequencia do teorema 1.41.


R f(x, y, z) dV , sendo

R := {(ρ, θ, φ) : g1(θ, φ) ≤ ρ ≤ g2(θ, φ) ∧ h1(φ) ≤ θ ≤ h2(φ) ∧ a ≤ φ ≤ b},

com g1, g2, h1 e h2 contınuas em domınios convenientes.

Entao,∫ ∫ ∫Rf(x, y, z) dV =

∫ b

a

∫ h2(φ)

h1(φ)

∫ g2(θ,φ)

g1(θ,φ)f(ρ cos θ sinφ, ρ sin θ sinφ, ρ cosφ) ρ2 sinφdρ dθ dφ.

Observacao 1.44 A regiao R do teorema anterior e do tipo

21

Exemplo 1.45 Determinacao, usando coordenadas esfericas, do volume de uma esfera, R, de

raio r.

Geometricamente, a questao e semelhante a do exemplo 1.39.

Tal como nesse exemplo, seja R1 um oitavo da esfera R.

Entao,

V (R) = 8V (R1)

= 8

∫ ∫ ∫R1

1 dV

= 8

∫ π2

0

∫ π2

0

∫ r

0ρ2 sinφdρ dθ dφ

=4

3πr3.

Observacao 1.46 A mudanca para coordenadas esfericas, entre outros casos, e aconselhavel

se a funcao a integrar envolver termos da forma x2 + y2 + z2 e/ou a regiao de integracao for

limitada por superfıcies esfericas, centradas na origem, ou por cones circulares, de vertice na

origem e equacao do tipo φ = a, com a constante.

22

1.10.2 Caso particular das coordenadas cilındricas

Seguindo as notacoes e a ilustracao geometrica usadas para as coordenadas esfericas, seja

P (x, y, z) um ponto de R3.

As correspondentes coordenadas cilındricas serao (r, θ, z) com theta definido como nas esfericas

e r o comprimento da projeccao , sobre XOY , do segmento que une a origem a P .

Observacoes 1.47

1. r ≥ 0.

2. θ varia num intervalo semiaberto, de amplitude 2π. Por exemplo, θ ∈ [−π, π[.

3. As relacoes entre as coordenadas cartesianas e as cilındricas sao dadas por x = r cos θ

y = r sin θ,

sendo z o mesmo nos dois sistemas de coordenadas.

4. O jacobiano da transformacao de coordenadas cartesianas para cilındricas toma o valor

JT (r, θ, z) = r.

5. Evidentemente r =√

x2 + y2.

O resultado seguinte e consequencia do teorema 1.41.


R f(x, y, z) dV , sendo

R := {(r, θ, z) : g1(r, θ) ≤ z ≤ g2(r, θ) ∧ h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ) ∧ a ≤ θ ≤ b},

com g1, g2, h1 e h2 contınuas em domınios convenientes, [a, b] ∈ [−π, π[ e h1(θ) ≥ 0.

Entao, ∫ ∫ ∫Rf(x, y, z) dV =

∫ b

a

∫ h2(θ)

h1(θ)

∫ g2(r,θ)

g1(r,θ)f(r cos θ, r sin θ, z) r dz dr dθ.

23

Observacao 1.49 A regiao R do teorema anterior e do tipo

Exemplo 1.50 Determinacao do volume da parte de cilındro R, limitada pelas superfıcies de

equacoes x2 + y2 = 4, z = 3 e z = 0.

Seja R1 a regiao da figura

0

0.5

1

1.5

2

00.5

11.5

2

0

1

2

3

00.5

11.5

2

24

A projeccao de R1 sobre XOY e da seguinte forma

0

0.5

1

1.5

2

00.5

11.5

2

-1

-0.5

0

0.5

1

00.5

11.5

2

Logo,

V (R) = 4V (R1)

= 4

∫ ∫ ∫R1

1 dV

= 4

∫ π2

0

∫ 2

0

∫ 3

0r dz dr dθ

= 12π.

Observacao 1.51 A mudanca para coordenadas cilındricas, entre outros casos, e aconselhavel

se a funcao a integrar envolver termos da forma x2+y2 e/ou a regiao de integracao for cilındrica

circular de equacao do tipo x2 + y2 = a2, com a uma constante positiva.

1.11 Integrais curvilıneos sobre curvas planas

Seja C uma curva plana definida por

x = g(t)

,

y = h(t)

com g e h definidas em [a, b].

Definicao 1.52 Se g e h admitem derivadas contınuas em [a, b] que se nao anulam, simultanea-

mente, em qualquer ponto, excepto, possivelmente, em a e b, entao C e uma curva suave.

Se [a, b] puder ser dividido em subintervalos nos quais C seja suave, C e parcialmente suave.

25

Seja f uma funcao contınua numa regiao D ⊆ R2 e C uma curva suave, em [a, b], tal que

C ⊆ D.

Sejam ainda A e B definidos por A := (g(a), h(a)) e B := (g(b), h(b)).

Observacao 1.53 O sentido positivo, ao longo de C, e aquele que e definido pelos valores

crescentes de t.

Sejam t0 := a, t1, · · · , tn := b reais tais que [t0, t1], · · · , [tn−1, tn] e uma particao de [a, b].

Sendo

xi = g(ti)

yi = h(ti)e Pi := (xi, yi), i = 0, · · · , n, os arcos Pi−1 Pi, i = 1, · · · , n cons-

tituem uma particao de C.

Definicao 1.54 Sejam ∆xi := xi − xi−1, ∆yi := yi − yi−1 e ∆si o comprimento de Pi−1 Pi,

i = 1, · · · , n.

A norma ||∆|| da particao e o maior dos ∆si.

Definicao 1.55 Nas condicoes da definicao anterior, sejam Qi := (ui, vi), i = 1, · · · , n, pontos

de Pi−1 Pi.

Defina-se a soma de Riemannn∑

i=1

f(ui, vi)∆si.

Definicao 1.56 Se a soma de Riemann tiver limite (definido de modo analogo ao limite da

definicao 1.11) quando ||∆|| → 0, esse limite ira designar-se por integral curvilıneo de f , ao

longo de C.

Esse integral sera notado por∫Cf(x, y) ds := lim

||∆||→0

∑i

f(ui, vi)∆si.

Na bibliografia que e apresentada, podera ser consultada a demonstracao do resultado se-

guinte.

Teorema 1.57 Seja f uma funcao contınua numa regiao D, de R2, que contem a curva suave

C.

Entao∫C f(x, y) ds existe e e independente da parametrizacao de C.

26

Alem disso, ∫Cf(x, y) ds =

∫ b

af(g(t), h(t))

√(g′(t))2 + (h′(t))2 dt.

Observacao 1.58 A definicao de integral curvilıneo pode ser estendida ao caso das curvas

parcialmente suaves, sendo o integral curvilıneo de f ao longo da curva parcialmente suave C,

entendido como a soma dos integrais de f ao longo das curvas suaves em que C se decompoe.

Exemplo 1.59 Calculo de∫C xy

2 ds, com C definida por

x = cos t

y = sin te t ∈ [0, π2 ].

C e o quarto de circunferencia de raio 1, centrada na origem, contida no primeiro quadrante

e percorrida de (1, 0) para (0, 1).

Entao, ∫Cx y2 ds =

∫ π2

0cos t sin2 t

√cos2 t+ sin2 t dt

=1

3.

1.12 Interpretacao geometrica do integral curvilıneo, integrais relativamente

as componentes cartesianas e parametrizacoes padrao

Seja f uma funcao contınua e positiva numa regiao de suave C.∫C x y

2 ds e o valor numerico da area da superfıcie cilındrica de directriz C, geratrizes paralelas

a OZ e compreendida entre C e f(C).

Geometricamente, essa superfıcie e do tipo

27

Observacoes 1.60

1. O integral definido∫ ba f(x) dx, pode ser encarado como um caso particular do integral

curvilıneo, no qual a curva e parametrizada por x = t e y = 0, com a ≤ t ≤ b.

2. As propriedades dos integrais curvilıneos sao, em muitos casos, semelhantes as dos inte-

grais definidos.

(a) Por exemplo, o integral curvilıneo de uma soma de funcoes e igual a soma dos inte-

grais curvilıneos de cada uma das funcoes .

(b) No entanto,∫CAB

f(x, y) ds =∫CBA

f(x, y) ds.

Observacao 1.61 Se, na definicao de integral curvilıneo, ∆ si for substituıdo por ∆xi := xi −

xi−1 (ou por ∆ yi := yi − yi−1), obtem-se os integrais curvilıneos∫C f(x, y) dx (ou

∫C f(x, y) dy)

que se designam por integrais curvilıneos de f , ao longo de C, em relacao a x (ou a y).

Se C e definida parametricamente por x = g(t) e y = h(t) e a ≤ t ≤ b, entao∫Cf(x, y) dx =

∫ b

af(g(t), h(t))g′(t) dt

e ∫Cf(x, y) dy =

∫ b

af(g(t), h(t))h′(t) dt.

Exemplo 1.62 Calculo de∫C x y

2 dx e∫C x y

2 dy, com C definida por x = t e y = t2, 0 ≤ t ≤ 2.

∫Cx y2 dx =

∫ 2

0t5 dt =

32

3.∫

Cx y2 dx =

∫ 2

02t6 dt =

256

7.

Observacao 1.63 Se C e dada na forma y = g(x), com x ∈ [a, b], pode-se parametrizar C na

forma padrao x = t, y = g(t) e t ∈ [a, b].

Nesse caso, tem-se ∫Cf(x, y) ds =

∫ b

af(t, g(t))

√1 + (g′(t))2 dt∫

Cf(x, y) dx =

∫ b

af(t, g(t)) dt∫

Cf(x, y) dy =

∫ b

af(t, g(t)) g′(t) dt.

28

Observacao 1.64 Nas aplicacoes podem ocorrer situacoes nas quais se combinam os dois tipos

de integrais em realcao a x e y. Por exemplo∫CM(x, y) dx+

∫CN(x, y) dy.

A expressao anterior sera notada por∫CM(x, y) dx+N(x, y) dy.

1.13 Integrais curvilıneos sobre curvas de R3.

Seja C uma curva de R3, definida por x = g(t), y = h(t), z = k(t), com t ∈ [a, b], g, h e k

funcoes admitindo derivadas em [a, b] e que se nao anulam simultaneamente em qualquer ponto

desse intervalo.

C e uma curva suave.

Seja ainda f uma funcao contınua numa regiao D ⊆ R3, tal que C ⊆ D.

O integral curvilıneo de f , ao longo de C, e, como no caso das curvas planas, definido por∫Cf(x, y, z) ds := lim

||∆||→0

∑i

f(ui, vi, wi)∆si.

Este integral pode ser calculado pela formula∫Cf(x, y, z) ds =

∫ b

af(g(t), h(t), k(t))

√(g′(t))2 + (h′(t))2 + (k′(t))2 dt.

Tal como no caso das curvas planas, poder-se-ia definir∫Cf(x, y, z) dx,

∫Cf(x, y, z) dy e

∫Cf(x, y, z) dz,

ditos os integrais de f , ao longo de C, relativamente a x, y e z.

Exemplo 1.65 Calculo de∫C yz dx+ xz dy + xy dz.∫

C yz dx+ xz dy + xy dz =∫ 20 t5 + 2t5 + 3t5 dt = 64.

1.14 Aplicacoes dos integrais curvilıneos.

1. Seja C uma curva suave.

Entao o valor numerico, C(C), do comprimento da curva C e dado por

C(C) =∫C1 ds.

29

2. Seja C uma curva suave imersa num campo de forcas.

Suponha-se que, em cada ponto (x, y, z), as forcas actuam segundo a funcao vectorial F ,

definida por

F (x, y, z) := M(x, y, z)i +N(x, y, z)j + P (x, y, z)k,

com M, N e P contınuas.

O trabalho, W , realizado por F quando o seu ponto de aplicacao se desloca ao longo de C,

e dado por

W :=

∫CM(x, y, z) dx+N(x, y, z) dy + P (x, y, z) dz.

1.15 Independencia do caminho

Definicao 1.66 Seja C uma curva parcialmente suave, unindo os pontos A e B.

C e designada por caminho de A a B.

Nesta fase, a intencao e determinar condicoes para que o integral curvilıneo seja independente

do caminho, isto e, para quaisquer dois pontos A e B, a dependencia seja unicamente de A e B.

Nesse caso o integral sera notado∫ BA e nao

∫C .

Teorema 1.67 Sejam M , N e P funcoes contınuas numa regiao aberta (e, portanto, conexa)

D de R3.

Entao ∫ B

AM(x, y, z) dx+N(x, y, z) dy + P (x, y, z) dz

e independente do caminho, em D, se e so se existe f tal que

∂ f

∂ x(x, y, z) = M(x, y, z) ,

∂ f

∂ y(x, y, z) = N(x, y, z) e

∂ f

∂ z(x, y, z) = P (x, y, z).

Demonstracao. Suponha-se o integral independente do caminho, de A a B, para quaisquer

pontos A e B, de D.

Fixe-se P0 := (x0, y0, z0), em D, e defina-se f do seguinte modo

f(x, y, z) :=

∫ (x,y,z)

P0

M(x, y, z) dx+N(x, y, z) dy + P (x, y, z) dz,

com (x, y, z) ∈ D.

30

Entao f depende unicamente de (x, y, z) e nao do caminho de P0 a (x, y, z).

Considere-se um cırculo centrado em (x, y, z) e contido emD (como pode garantir a existencia

de tal cırculo?).

Seja P1 := (x1, y, z) um ponto desse cırculo, distinto de (x, y, z).

Sendo C1 um caminho de P0 a P1 e C2 um segmento de recta a unir P1 a (x, y, z), tem-se

f(x, y, z) =

∫C1

M(x, y, z) dx+N(x, y, z) dy + P (x, y, z) dz +∫C2

M(x, y, z) dx+N(x, y, z) dy + P (x, y, z) dz

=

∫ P1

P0

M(x, y, z) dx+N(x, y, z) dy + P (x, y, z) dz +∫ (x,y,z)

P1


Logo,

∂ f

∂ x(x, y, z) =

∂

∂ x

(∫ (x,y,z)

P1


)

=∂

∂ x

(∫ (x,y,z)

P1

M(x, y, z) dx

)= M(x, y, z).

De forma analoga se provaria que∂ f

∂ y(x, y, z) = N(x, y, z) e

∂ f

∂ z(x, y, z) = P (x, y, z).

Reciprocamente, suponha-se que

∂ f

∂ x(x, y, z) = M(x, y, z) ∧ ∂ f

∂ y(x, y, z) = N(x, y, z) ∧ ∂ f

∂ z(x, y, z) = P (x, y, z).

Sejam A := (x1, y1, z1) e B := (x2, y2, z2) dois pontos arbitrarios de D e C uma qualquer

curva suave unindo esses dois pontos, definida parametricamente por x := g(t), y := h(t) e

z := k(t), com t1 ≤ t ≤ t2.

31

Entao,∫CM(x, y, z) dx+N(x, y, z) dy + P (x, y, z) dz =

∫C

∂ f

∂ x(x, y, z) dx+

∂ f

∂ y(x, y, z) dy +

∂ f

∂ z(x, y, z) dz

=

∫ t2

t1

∂ f

∂ x(g(t), h(t), k(t)) g′(t) +

∂ f

∂ y(g(t), h(t), k(t))h′(t) +

∂ f

∂ z(g(t), h(t), k(t)) k′(t) dt

=

∫ t2

t1

d f

d t(g(t), h(t), k(t)) dt

= f(B)− f(A).

Logo, o integral depende unicamente dos pontos A e B e nao da curva que os une.

Observacao 1.68 O teorema anterior tem a seguinte versao, no caso de R2.

Sejam M e N funcoes contınuas numa regiao aberta (e, portanto, conexa) D de R2.

Entao, ∫ B

AM(x, y) dx+N(x, y) dy

e independente do caminho, em D, se e so se existe f tal que

∂ f

∂ x(x, y) = M(x, y) ∧ ∂ f

∂ y(x, y) = N(x, y).

Exemplo 1.69∫C(x+ y) dx+ (x+ ey) dy e independente do caminho.

Para se provar este facto, determine-se uma funcao f , nas condicoes da observacao anterior.

Se existir tal funcao , entao∂ f

∂ x(x, y) = x+ y.

Logo, f(x, y) =x2

2+ yx+ g(y), com g uma funcao de y.

Pode-se concluir, por um lado, que∂ f

∂ y(x, y) = x+ g′(y), por outro, sabe-se que

∂ f

∂ y(x, y) =

x+ ey.

Assim, g′(y) = ey, o que permitir afirmar que f , definida por f(x, y) =x2

2+ yx+ ey, e uma

das funcoes que esta nas condicoes da observacao 1.62.

32

O proximo resultado fornece condicoes necessarias para a independencia do caminho, logo

ira ser usado para provar que nao ha independencia do caminho.

Teorema 1.70 Se M , N e P tem derivadas parciais de primeira ordem contınuas numa regiao

aberta (e conexa) D, de R3 e se∫CM(x, y, z) dx+N(x, y, z) dy + P (x, y, z) dz

e independente do caminho, em D, entao

∂M

∂ y=

∂ N

∂ x,

∂ M

∂ z=

∂ P

∂ xe

∂ N

∂ z=

∂ P

∂ y.

Demonstracao. Pelo teorema 1.67, existe f tal que

∂ f

∂ x(x, y, z) = M(x, y, z) ,

∂ f

∂ y(x, y, z) = N(x, y, z) e

∂ f

∂ z(x, y, z) = P (x, y, z).

Como∂ 2 f

∂ y ∂ x=

∂M

∂ ye

∂ 2 f

∂ x ∂ y=

∂ N

∂ x

entao, pelo teorema de Schwarz,∂M

∂ y=

∂ N

∂ x.

As outras duas igualdades provam-se de modo analogo.

As condicoes do teorema anterior nao sao suficientes para a independencia do caminho. No

entanto, se D for simplesmente conexa, essas condicoes sao suficientes.

Definicao 1.71 Uma regiao (conexa) D, de R3, e simplesmente conexa se qualquer curva fe-

chada C, contida em D, so contorna pontos de D.

(Em linguagem corrente, D e simplesmente conexa se nao tem ”buracos”.)

O proximo resultado sera apresentado sem demonstracao, podendo a mesma ser consultada

em livros que constam da bibliografia que se indica neste texto de apoio as aulas teoricas de

Analise Matematica IV.

Teorema 1.72 Se M ,N e P tem derivadas parciais de primeira ordem contınuas numa regiao

simplesmente conexa D, de R3, e se

∂M

∂ y=

∂ N

∂ x,

∂ M

∂ z=

∂ P

∂ xe

∂ N

∂ z=

∂ P

∂ y

33

entao, ∫CM(x, y, z) dx+N(x, y, z) dy + P (x, y, z) dz

e independente do caminho, em D.

Observacao 1.73 Os teoremas 1.70 e 1.72 podem ser enunciados para curvas planas e funcoes

em duas variaveis. Nesse caso, nao se consideram tres igualdades mas sim unicamente uma:∂M

∂ y=

∂ N

∂ x.

Exemplo 1.74

∫Cx2y dx+ 3xy2 dy nao e independente do caminho, em R2.

Tal e evidente a partir do teorema 1.70 e da observacao anterior, ja que

∂ (x2y)

∂ y= ∂ (3xy2)

∂ x.

Definicao 1.75 Uma funcao vectorial F , definida por F (x, y, z) := M(x, y, z) i+N(x, y, z) j +

P (x, y, z) k, e conservativa se existe f tal que

∂ f

∂ x(x, y, z) = M(x, y, z) ,

∂ f

∂ y(x, y, z) = N(x, y, z) e

∂ f

∂ z(x, y, z) = P (x, y, z).

Notando∫C M(x, y, z) dx+N(x, y, z) dy+P (x, y, z) dz por

∫C F dr, o resultado que se segue

e uma consequencia imediata do teorema 1.67.

Corolario 1.76 Se F e uma funcao vectorial contınua e consevativa numa regiao D aberta (e

conexa), de R3, entao∫C F dr = 0, sobre qualquer curva fechada C contida em D.

Demonstracao. Se F e conservativa, entao∫C F dr e independente do caminho.

Alem disso, F tem por valor a diferenca entre os valores de f (referida no teorema 1.67) no

ponto final e no ponto inicial de C.

Como C e fechada,∫C F dr = 0.

1.16 Teorema de Green

Seja C uma curva plana, definida parametricamente por x = g(t), y = h(t), a ≤ t ≤ b.

Definicao 1.77 C e simples se (g(t1), h(t1)) = (g(t2), h(t2)), para quaisquer dois elementos

distintos, t1 e t2, de [a, b], com eventual excepcao de t1 = a e t2 = b.

34

Observacao 1.78 Se C for fechada e simples, admite-se, obviamente, que (g(a), h(a)) = (g(b), h(b)).

Observacao 1.79 Quando C e uma curva fechada e e percorrida no sentido positivo, isto

e contrario ao movimento dos ponteiros do relogio, nota-se∫C M(x, y) dx + N(x, y) dy por∫

⃝CM(x, y) dx+N(x, y) dy .

Em alguns casos, para se indicar o sentido da curva, podera ser usada uma seta sobre a

circunferencia deste novo sımbolo de integral.

Observacao 1.80 Repare-se que, enquanto no caso da observacao 1.60 o sentido nao alterava

o valor do integral e tinha-se∫CAB

f(x, y) ds =∫CBA

f(x, y) ds, no caso dos integrais curvilıneos

ditos ”vectoriais”, o sentido e importante e tem-se∫CAB

F dr = −∫CBA

F dr

isto e, se F (x, y) := M(x, y)i+N(x, y)j, entao∫CAB

M(x, y) dx+N(x, y) dy = −∫CBA

M(x, y) dx+N(x, y) dy.

O proximo resultado designa-se por Teorema de Green.

Teorema 1.81 Seja C uma curva fechada, simples e parcialmente suave, em R2.

Seja R a regiao de R2 constituida por C e por todo o seu interior geometrico.

Se M e N sao funcoes (contınuas) com derivadas parciais de primeira ordem contınuas,

numa regiao aberta que contem R, entao∫⃝

CM(x, y) dx+N(x, y) dy =

∫ ∫R

(∂ N

∂ x− ∂M

∂ y

)dA.

Demonstracao. Esta prova e feita so no caso em que a regiao R e simultaneamente de tipo

I e II.

Seja entao R uma regiao de tipo I, definida por R := {(x, y) : a ≤ x ≤ b ∧ g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}.

35

Logo, ∫⃝

CM dx =

∫C1

M dx+

∫C2

M dx

=

∫ b

aM(x, g1(x)) dx+

∫ a

bM(x, g2(x)) dx

=

∫ b

aM(x, g1(x))−M(x, g2(x)) dx

= −∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)

∂M

∂ ydy dx

=

∫ ∫R

− ∂M

∂ ydA.

De modo analogo, usando agora o facto da regiao ser de tipo II, se provaria que∫⃝

CN(x, y) dy =

∫ ∫R

∂ N

∂ xdA.

Exemplo 1.82 Calculo de

∫⃝

C(ex

2+ y) dx+ (x2 + tan y) dy, com C a fronteira do rectangulo,

R, de vertices (1, 2), (5, 2), (5, 4) e (1, 4).

∫⃝

C(ex

2+ y) dx+ (x2 + tan y) dy =

∫ ∫R2x− 1 dA

=

∫ 5

1

∫ 4

22x− 1 dy dx

= 40.

Observacao 1.83 Se R nao for simplesmente conexa, ainda se pode aplicar o teorema de Green

se o integral curvilıneo for sobre toda a fronteira de R e se houver o cuidado de percorrer essa

fronteira, mantendo sempre R do lado esquerdo.

Designe-se por C1 a curva interior, por C2 a curva exterior e por R a regiao entre C1 e

C2 , o que geometricamente tem a seguinte representacao.

36

O teorema de Green nao e aplicavel a C1.

O teorema de Green nao e aplicavel a C2.

No entanto tem-se∫⃝

C1M(x, y) dx+N(x, y) dy +

∫⃝∨

C2M(x, y) dx+N(x, y) dy =

∫ ∫R

(∂ N

∂ x− ∂M

∂ y

)dA.

A demonstracao e deixada como exercıcio.

Exemplo 1.84 Se houver indepedencia do caminho, em R, qual a relacao, no caso da ob-

servacao anterior, entre

∫⃝

C1M(x, y) dx+N(x, y) dy e

∫⃝

C2M(x, y) dx+N(x, y) dy ?

Observacao 1.85 Se R e uma regiao simplesmente conexa, cuja fronteira e a curva simples,

fechada e parcialmente suave C, entao a area, A(R), de R pode ser dada por diversas expressoes.

Pox exemplo,

A(R) =

∫ ∫R1 dA

=

∫⃝

Cx dy

= −∫⃝

Cy dx

=1

2

∫⃝

C− y dx+ x dy.

Observacao 1.86 Como foi visto em Analise Matematica III, pode-se definir gradiente, rota-

cional e divergencia da forma seguinte.

Se f for uma funcao real de tres variaveis reais, entao o gradiente, grad f ou ∇ f , de f

definido por

∇ f = grad f :=∂ f

∂ xi+

∂ f

∂ yj +

∂ f

∂ zk.

37

Se F e uma funcao vectorial definida por

F (x, y, z) := M(x, y, z)i+N(x, y, z)j + P (x, y, z)k,

entao

1. o rotacional, rot F , de F e dado por

rot F :=

(∂ P

∂ y− ∂ N

∂ z

)i+

(∂M

∂ z− ∂ P

∂ x

)j +

(∂ N

∂ x− ∂M

∂ y

)k

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

∂

∂ x

∂

∂ y

∂

∂ z

M N P

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣;

2. a divergencia, div F , de F e dado por

div F :=∂M

∂ x+

∂ N

∂ y+

∂ P

∂ z.

Os dois resultados que se seguem, sao consequencias imediatas do teorema de Schwarz.

Teorema 1.87 Se f e uma funcao real de tres variaveis reais, com derivadas parciais de segunda

ordem contınuas, entao

rot (∇ f) = 0.

Teorema 1.88 Seja F uma funcao vectorial definida por


com M, N e P admitindo derivadas parciais de segunda ordem contınuas, entao

div(rotF ) = 0.

Usando a nocao de rotacional, e possıvel obter a seguinte reformulacao do teorema de Green.

Teorema 1.89 Seja F uma funcao vectorial definida, numa regiao R limitada por uma curva

C , por F (x, y) := M(x, y)i+N(x, y)j.

Sob a hipotese de se considerar verificadas as condicoes do teorema de Green, entao∫⃝

CF dr =

∫ ∫R

(rot F · k

)dA.

38

Demonstracao. Imediata, considerando tanto em rot F como no produto interno rot F · k,

F (x, y) = M(x, y)i+N(x, y)j + 0k.

1.17 Integrais de superfıcie

Definicao 1.90 Se a projeccao de uma superfıcie S, de R3, sobre um dos planos coordenados

e uma regiao de tipo I ou II, diz-se que S tem uma projeccao regular sobre esse plano.

Seja S o grafico correspondente a z = f(x, y) e suponha-se que S tem uma projeccao regular,

R, sobre XOY .

Suponha-se ainda que f tem derivadas parciais de primeira ordem contınuas, em R.

Considere-se g uma funcao real contınua numa regiao contendo S.

Sejam {R1, · · · , Rm} uma particao de R e Si a porcao de S correspondente a Ri (i =

1, · · · ,m).

Para cada (xi, yi, zi) em Si, seja Ti a parte do plano tangente a S, em (xi, yi, zi), correspon-

dente a Ri. Designe-se a area de Ti por ∆Ti, i = 1, · · · ,m.

Definicao 1.91 O intregral de superfıcie de g sobre S, e definido por∫ ∫Sg(x, y, z) dS := lim

||P ||→0

∑i

g(xi, yi, zi)∆Ti.

Observacoes 1.92

1. Se S e o grafico correspondente a z = f(x, y), entao prova-se (na bibliografia pode encontrar-

se a demonstracao) que∫ ∫Sg(x, y, z) dS =

∫ ∫Rg(x, y, f(x, y))

√[fx(x, y)]2 + [fy(x, y)]2 + 1 dA.

2. Se S e o grafico correspondente a y = h(x, z), entao prova-se que∫ ∫Sg(x, y, z) dS =

∫ ∫Rg(x, h(x, z), z)

√[hx(x, z)]2 + [hz(x, z)]2 + 1 dA.

3. Se S e o grafico correspondente a x = k(y, z), entao prova-se que∫ ∫Sg(x, y, z) dS =

∫ ∫Rg(k(y, z), y, z)

√[ky(y, z)]2 + [kz(y, z)]2 + 1 dA.

39

Seja S uma superfıcie, de R3, que admite plano tangente em todos os pontos do seu interior

geometrico.

Quando se considera a recta normal a S num dado ponto, podem-se definir dois vectores

unitarios normais a superfıcie, simetricos e aplicados nesse ponto.

Definicao 1.93 S e orientavel se, em cada ponto de S, for possıvel escolher um dos vectores

unitarios normais n, de modo que n varie de forma contınua em toda a superfıcie S.

Seja S uma superfıcie definida por z = f(x, y).

Se m(x, y, z) := z − f(x, y), entao S e o grafico correspondente a m(x, y, z) = 0.

Observacao 1.94 Neste caso, ∇m(x, y, z) e normal a S, em (x, y, z), acontecendo, obviamente,

o mesmo com o vector simetrico.

Supondo que f tem derivadas parciais de primeira ordem contınuas, obtem-se a orientacao

positiva de S se, para vector unitario normal, for escolhido o de terceira coordenada positiva,

isto e,

n =∇m(x, y, z)

||∇m(x, y, z)||=

−fx(x, y)i− fy(x, y)j + k√[fx(x, y)]2 + [fy(x, y)]2 + 1

.

Observacao 1.95 Se S e uma superfıcie fechada, escolhe-se para orientacao positiva a que e

dada pelo vector unitario normal que aponta para o exterior.

Definicao 1.96 Seja F uma funcao vectorial definida numa superfıcie S por


com M , N e P contınuas em S.

Se n e o vector unitario normal que define a orientacao, em S, entao, o integral de superfıcie

de F sobre S e ∫ ∫SF dS :=

∫ ∫S

F · n dS.

Observacao 1.97 Quando nada for dito em contrario, considera-se n como o vector que induz,

em S, a orientacao positiva.

40

Observacao 1.98 Se S e definida por z = f(x, y), entao,∫ ∫SF dS =

∫ ∫S

−M(x, y, z)fx(x, y)−N(x, y, z)fy(x, y) + P (x, y, z)√[fx(x, y)]2 + [fy(x, y)]2 + 1

dS

=

∫ ∫R

−M(x, y, f(x, y))fx(x, y)−N(x, y, f(x, y))fy(x, y) + P (x, y, f(x, y)) dA,

com R a projeccao de S sobre o plano XOY .

Podem ser obtidas formulas analogas para projeccoes sobre XOZ e Y OZ.

Exemplos 1.99

1. Calculo de

∫ ∫S

x2z dS, com S a porcao do cone de equacao z2 = x2+y2, que esta entre

os planos z = 1 e z = 4.

A projeccao de S sobre o plano XOY e a coroa circular, R, representada na figura seguinte.

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

Entao,

∫ ∫Sx2z dS =

∫ ∫Rx2√

x2 + y2

√√√√( 2x

2√

x2 + y2

)2

+

(2y

2√

x2 + y2

)2

+ 1 dA

=√2

∫ ∫Rx2√

x2 + y2 dA

=√2

∫ 2π

0

∫ 4

1r2 cos2 θ r r dr dθ

=1023

√2 π

5.

41

2. Calculo de

∫ ∫SF dS, com F (x, y, z) := x2i+ y2j + zk e S a parte do grafico de funcao

f definida por f(x, y) := x+ y + 1 , cuja projeccao sobre XOY e [0, 1]× [0, 1].

A projeccao , R, de S sobre XOY , e o quadrado de vertices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1).

Entao, ∫ ∫SF dS =

∫ ∫R

− (x21)− (y21) + (x+ y + 1) dA

=

∫ 1

0

∫ 1

0− (x21)− (y21) + (x+ y + 1) dy dx

=4

3.

1.18 Teorema de Stokes

Seja S uma superfıcie orientavel com vector unitario normal n, que tem por fronteira uma curva

C.

Definicao 1.100 A orientacao de S determina, em C, um sentido positivo, definido do seguinte

modo: Um observador que percorra C em sentido positivo e com a cabeca a apontar no sentido

de n, encontra S do seu lado esquerdo.

Observacao 1.101 Nas aulas praticas, serao referidas regras muito simples para a determinacao

da orientacao positiva em C, seja atraves do movimento dos dedos da mao direita quando o pole-

gar aponta no sentido de n, seja pela progressao do saca rolhas, com a ponta a indicar o sentido

de n.

Indica-se agora um resultado conhecido por Teorema de Stokes, que relaciona integrais cur-

vilıneos e de superfıcie.

Teorema 1.102 Seja S uma superfıcie orientavel, que tem por fronteira (geometrica) uma

curva C fechada, simples, parcialmente fechada e com orientacao positiva.

Seja ainda F uma funcao vectorial, definida por F (x, y, z) := M(x, y, z)i + N(x, y, z)j +

P (x, y, z)k, com M , N e P admitindo derivadas parciais de primeira ordem contınuas numa

regiao aberta contendo S.

Entao, ∫ ∫Srot F dS =

∫⃝

CF dr.

42

Exemplos 1.103 Seja F definida por F := yzi+ xzj + xyk.

1. Calculo de

∫ ∫Srot F dS, quando S e a parte da esfera de equacao x2+y2+ z2 = 4, que e

interior ao cilindro correspondente a x2+y2 = 1 e que esta situada acima do plano XOY .

2. Calculo de

∫ ∫Srot F dS, quando S e a esfera de equacao x2y2 + z2 = 4.

Generalize o resultado obtido no exemplo 1.103.2

1.19 Teorema da divergencia

Seja E uma regiao fechada e limitada de R3 e designe-se por S a sua fronteira. Obviamente S

e geometricamente fechada.

O resultado que se segue, usualmente designado por teorema da divergencia, relaciona inte-

grais triplos, sobre E, e de superfıcie, sobre S.

Teorema 1.104 Seja E uma regiao fechada e limitada de R3 e designe-se por S a sua fronteira.

Considere-se S com orientacao positiva.

Seja ainda F uma funcao vectorial definida por


com M , N e P admitindo derivadas parciais de primeira ordem contınuas, numa regiao aberta

contendo E.

Entao, ∫ ∫SF dS =

∫ ∫ ∫Ediv F dV.

Exemplo 1.105 Seja E a regiao limitada pelas superfıcies definidas por x2 + y2 = 4, z = 0 e

z = 3.

Seja ainda S+ a face exterior da fronteira de E.

Calculo de

∫ ∫S+

F dS, com F definida por F (x, y, z) := x3i+ y3j + z3k.

43

2 Equacoes diferenciais de ordem n

2.1 Equacoes diferenciais ordinarias

Definicao 2.1 Uma equacao diferencial ordinria e uma equacao que contem uma unica funcao

incognita f, dependente de uma variavel x e um numero finito de derivadas de f.

Exemplo 2.2 f ′(x) = x + 1 e, em R, uma equacao diferencial ordinaria, tendo solucoes da

forma f(x) =x2

2+ x+ c, com c uma qualquer constante real.

Definicao 2.3 Sejam D um aberto de Rn+2 e F uma funcao real de domınio D.

A equacao F (x, y, y′, · · · , y(n)) = 0, onde y(i) designa a derivada de ordem i de y (em

ordem a x), e chamada equacao diferencial ordinaria de ordem n. A ordem da equacao e a

maior das ordens das derivadas que figuram na equacao.

Observacao 2.4 No exemplo anterior, a ordem e 1.

Definicao 2.5 Sejam D um aberto de Rn+2 e F uma funcao real de domınio D.

Se I e um intervalo de R e ϕ e uma funcao real de domınio I , com derivadas ate a ordem

n, entao ϕ e uma solucao da equacao F (x, y, y′, · · · , y(n)) = 0 se, para qualquer x ∈ I,

• (x, ϕ(x), ϕ′(x), · · · , ϕ(n)(x)) ∈ D e

• F (x, ϕ(x), ϕ′(x), · · · , ϕ(n)(x)) = 0.

Ao intervalo I chama-se intervalo de definicao de ϕ.

Exemplo 2.6 A funcao ϕ definida por ϕ(x) = e3x − 2, e, em R, uma solucao da equacao

diferencial y′ − 3y − 6 = 0.

Definicao 2.7 Uma famılia de solucoes de uma equacao diferencial de ordem n, contendo n

constantes arbitrarias essenciais, designa-se por solucao geral ou integral geral dessa equacao

diferencial.

Escolhendo valores especıficos para as constantes, obtem-se as solucoes particulares.

As solucoes que nao possam ser obtidas como as particulares, designam-se por solucoes

singulares.

44

Exemplos 2.8

1. Prova-se que a equacao de Bernoulli y′ − xy12 = 0, tem y = (x

2

4 + c)2 por solucao geral.

y = x4

16 e uma solucao particular, resultante de considerar c = 0.

y = 0 e uma solucao singular.

c e uma constante essencial. No entanto, em y = (x2

4 + c1 + c2)2, c1 e c2, nao sao

essenciais, devendo substituir-se c1 + c2 por c.

2. A determinacao de solucoes gerais nao e, em muitos casos, simples.

Ha, no entanto, situacoes faceis como as equacoes lineares, que estudaremos no proximo

paragrafo, ou os exemplos que se seguem.

y = 3x2

2 +x+ c, y = x3+2x2+ c1x+ c2 e y = −e−x+ c1x2+ c2x+ c3 sao solucoes gerais,

respectivamente de y′ = 3x+ 1, y′′ = 6x+ 4 e y′′′ = e−x.

Definicao 2.9 Dada a equacao de ordem n

y(n) = G(x, y, y′, · · · , y(n−1)) (1)

e, com k0, · · · , kn−1 constantes reais dadas e x0 ∈ I, as condicoes iniciais

y(x0) = k0, (2)

y′(x0) = k1, (3)

...

y(n−1)(x0) = kn−1, (4)

diz-se que (1) - (4) formam um problema de condicoes iniciais ou um problema de Cauchy.

Exemplo 2.10 A equacao y′ = x+ 1 admite a solucao geral y = x2

2 + x+ c.

A mesma equac ao, com a condicao inicial y(0) = 8, tem a solucao (particular) y =

x2

2 + x+ 8.

45

2.2 Equacoes diferenciais, ordinarias e lineares

Definicao 2.11 Chama-se equacao diferencial, ordinaria, linear e de ordem n, a uma equacao

do tipo

a0(x)y(n) + a1(x)y

(n−1) + · · ·+ an−1(x)y′ + an(x)y = f(x), (5)

com a0, a1, · · · , an e f funcoes definidas num intervalo I ⊆ R e a0 nao identicamente nula,

em I.

Se as funcoes a0, a1, · · · , an forem constantes, a equacao diz-se com coeficientes constantes.

Se f for, em I, a funcao nula, a equacao designa-se por homogenea.

Exemplos 2.12 1. y′′ + y = sin (2x), e uma equacao linear, com coeficientes constantes e

ordem 2.

2. x4y′′′ + (cos x)y = x, e uma equacao linear de ordem 3.

3. exy′′ + xy = 0, e uma equacao linear e homogenea.

4. exy′′ + y2 = 0, e uma equacao nao linear.

5. y′′′ + yy′ = ex, e uma equacao nao linear.

Observacao 2.13 Ate ao final destas notas, consideraremos a0, a1, · · · , an e f funcoes

contınuas num intervalo I ⊆ R e, para qualquer x ∈ I, a0(x) = 0 .

Segue-se um teorema de existencia e unicidade de solucao para o problema de Cauchy, no caso

das equacoes lineares.

Teorema 2.14 Sejam a0, a1, · · · , an e f funcoes contınuas num intervalo fechado I ⊆ R e,

para qualquer x ∈ I, a0(x) = 0 .

Sejam ainda x0 ∈ I e k0, · · · , kn−1, n numeros reais dados.

Existe uma e uma so solucao y(x), da equacao (5), definida em I e verificando as condicoes

(2) - (4).

Observacoes 2.15 1. Ha teoremas de existencia e unicidade para casos mais gerais (ver,

por exemplo, Kaplan).

46

2. Edouard Goursat demonstra esse teorema na parte 2, do volume II, do seu livro A Course

in Mathematical Analysis.

3. Obviamente a solucao de um problema de Cauchy e simples se se conhecer a solucao geral.

4. A condicao a0(x) = 0, para qualquer x ∈ I, e fundamental no teorema 2.14. Considere-se,

por exemplo, a equacao xy′ + y = x e a condicao inicial y(0) = 4.

(Repare-se que (xy)′ = xy′ + y.)

Um ultimo resultado no qual se relacionam solucoes gerais de uma equacao nao homogenea

(completa) e da correspondente equacao homogenea.

Teorema 2.16 Sejam a0, a1, · · · , an e f funcoes contınuas num intervalo I ⊆ R e, para

qualquer x ∈ I, a0(x) = 0 .

Se ygh designar a solucao geral da equacao

a0(x)y(n) + a1(x)y

(n−1) + · · ·+ an−1(x)y′ + an(x)y = 0 (6)

e ypc for uma solucao particular de (5), entao ygh + ypc e solucao geral de (5).

Exemplo 2.17 Uma equacao linear de 1a¯ da forma y′ + p(x)y = q(x), tem por solucao geral

y = c e∫−p(x) dx︸︷︷︸ygh

+ e∫−p(x) dx

∫e∫p(x) dxq(x) dx︸︷︷︸

ypc

= e∫−p(x) dx

{∫e∫p(x) dxq(x) dx+ c

}.

2.3 Equacoes lineares, homogeneas e de ordem n. Wronskiano.

Seja E o espaco vectorial das funcoes reais com derivadas ate a ordem n, em I.

Seja F o espaco vectorial das funcoes reais definidas em I.

Se L designar a aplicacao linear de domınio E e com valores em F, definida por

L(y) = a0(x)y(n) + a1(x)y

(n−1) + · · ·+ an−1(x)y′ + an(x)y,

entao (6) reduz-se a forma

L(y) = 0. (7)

Teorema 2.18 Sejam N o conjunto de todas as solucoes de (7) e x0 um elemento de I.

Entao,

47

1. N e um espaco vectorial real;

2. a aplicacao ϕ de domınio Rn, com valores em N e tal que ϕ(k0, · · · , kn−1) e a unica

solucao de (7) satisfazendo (2) - (4), e um isomorfismo.

Corolario 2.19 N tem dimensao n.

Definicao 2.20 Um sistema fundamental de solucoes , notado SFS, de (7) e qualquer base de

N.

Corolario 2.21 Existem n solucoes de (7), linearmente independentes.

Se y1, · · · , yn forem essas solucoes, entao qualquer solucao y de (7), pode ser escrita na

forma

y = α1y1, · · · , αnyn,

com α1, · · · , αn constantes reais.

Definicao 2.22 Sejam y1, · · · , yn funcoes reais, com derivadas ate a ordem n− 1 (inclusive),

num intervalo I de R.

Chama-se Wronskiano dessas n funcoes, e nota-se W (x) ou W (y1, · · · , yn) , ao determi-

nante ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

y1 · · · yn

y1′ · · · yn

′

......

...

y1(n−1) · · · yn

(n−1)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Teorema 2.23 As solucoes y1, · · · , yn de (7), constituem um sistema fundamental de solucoes

de (7), num intervalo I de R, se e so se W (y1, · · · , yn) = 0 , para qualquer x ∈ I.

2.4 Equacao linear, completa e de ordem n. Metodo de Lagrange ou de

variacao das constantes arbitrarias.

Com as notacoes do paragrafo anterior, consideremos a equacao linear, completa e de ordem n,

L(y) := a0(x)y(n) + a1(x)y

(n−1) + · · ·+ an(x)y = f(x), (8)

48

com a0, · · · , an e f contınuas num intervalo I de R e, para qualquer x ∈ I, a0(x) = 0.

Esta notacao para a equacao linear, completa e de ordem n, tem algumas vantagens ao nıvel

do manuseamento. Veja-se o exercıcio seguinte.

Exercıcio 2.24 Sejam y1 e y2 solucoes particulares, respectivamente de L(y) = f1(x) e

L(y) = f2(x).

Prove que se α e β sao constantes reais, entao αy1 + βy2 e solucao de L(y) = αf1(x) +

βf2(x).

(7) e a equacao homogenea correspondente a (8).

Passamos a expor o metodo de Lagrange que permite resolver (8) a partir do conhecimento

de um sistema fundamental de solucoes de (7).

Teorema 2.25 Seja {y1, · · · , yn} um sistema fundamental de solucoes de (7).

Se y e solucao de (8), entao existem funcoes c1, · · · , cn derivaveis, em I, e tais que

y(x) = c1(x)y1(x) + · · ·+ cn(x)yn(x). (9)

Alem disso, para qualquer x ∈ R,

c′1(x)y1(x) + · · ·+ c′n(x)yn(x) = 0

c′1(x)y′1(x) + · · ·+ c′n(x)y

′n(x) = 0

... .

c′1(x)y1(n−2)(x) + · · ·+ c′n(x)yn

(n−2)(x) = 0

c′1(x)y1(n−1)(x) + · · ·+ c′n(x)yn

(n−1)(x) =f(x)

a0(x)

Observacao 2.26 O sistema referido no teorema anterior tem solucao pois a matriz do sis-

tema tem determinante nao nulo (W (x, y1, · · · , yn) = 0 ja que y1, · · · , yn formam um sistema

fundamental de solucoes de (7)).

Observacao 2.27 A solucao geral de (7) e y = α1y1+ · · ·+αnyn, com α1, · · · , αn constantes

reais.

Metodo de Lagrange ou de variacao das constantes arbitrarias:

1. Seja y1, · · · , yn, um sistema fundamental de solucoes de (7).

49

2. Determinem-se c′1(x), · · · , c′n(x), resolvendo o sistema do teorema 2.25.

3. Por primitivacao, calculem-se c1(x), · · · , cn(x).

4. Inserindo, em (9), as funcoes obtidas na alınea anterior, obtem-se a solucao geral de (8),

na forma

y(x) = c1(x)y1(x) + · · ·+ cn(x)yn(x).

Observacao 2.28 A razao do nome deste metodo prende-se com o facto de estarmos, de certa

forma, a ”fazer variar”as constantes consideradas na observacao 2.27.

Observacao 2.29 A solucao geral de (8), obtida pelo Metodo de Lagrange, pode, muito facil-

mente, ser escrita, cumprindo o estabelecido no teorema 2.16, na forma y(x) = ygh + ypc.

Observacao 2.30 Um dos problemas de aplicacao do Metodo de Lagrange, consiste em deter-

minar um SFS de (7). Tal e simples em equacoes de coeficientes constantes.

Nas equacoes de Euler, que sao da forma

xny(n) + α1xn−1y(n−1) + · · ·+ αn−1xy

′ + αny = f(x),

com α1, · · · , αn constantes reais, sabe-se que as correspondentes equacoes homogeneas tem, em

muitos casos, solucoes da forma xk, com k uma constante real.

Exemplo 2.31 Sabendo que y1 = ex e y2 = e3x sao solucoes de y′′ − 4y′ + 3y = 0, vamos

determinar, pelo Metodo de Lagrange, a solucao geral de y′′ − 4y′ + 3y = ex.

W (y1, y2) = 2e4x = 0, ∀x ∈ R, logo {y1, y2} e, em R, um SFS de y′′ − 4y′ + 3y = 0.

A solucao geral de y′′ − 4y′ + 3y = 0 e y = c1ex + c2e

3x, com c1 e c2 constantes reais.

Considerando agora c1 e c2 ”como funcoes”de x, o sistema do teorema 2.25 e, no nosso

caso, c′1(x)ex + c′2(x)e

3x = 0

c′1(x)ex + c′2(x)3e

3x =ex

1.

A solucao desse sistema e dada por c′1(x) = −12 e c′2(x) =

12e

−2x.

Logo, c1(x) = −12x+ α1 e c2(x) = −1

4e−2x + α2.

50

Substituindo na solucao geral da homogenea, obtemos a solucao geral de y′′− 4y′+3y = ex,

na forma

y =

(−1

2x+ α1

)ex +

(−1

4e−2x + α2

)e3x

= α1ex + α2e

3x︸︷︷︸ygh

+

(−1

2x− 1

4

)ex︸︷︷︸

ypc

.

2.5 Equacao linear, homogenea, com coeficientes constantes e de ordem n

Definicao 2.32 Uma equacao linear, homogenea, com coeficientes constantes e de ordem n e

uma equacao diferencial do tipo

a0y(n) + a1y

(n−1) + · · ·+ any = 0, (10)

com a0, a1, · · · , an constantes reais e a0 = 0.

Observacao 2.33 Se y(x) e solucao de (10), entao y(x) admite derivada de qualquer ordem.

Definicao 2.34 Chama-se equacao caracterıstica de (10) a

P (r) := a0rn + a1r

n−1 + · · ·+ an−1r + an = 0. (11)

O polinomio P (r) e dito polinomio caracterıstico de (10).

Exemplo 2.35 A equacao y′′ − 3y′ + 7y = 0, corresponde o polinomio caracterıstico P (r) =

r2 − 3r + 7.

Seja D o operador derivado tal que Df := f ′, D2f := f ′′, · · ·Dnf := f (n) e, por convencao,

D0f := f .

Com D assim definido, (10) toma a forma

P (D)y = 0. (12)

Definicao 2.36 P (D) e o operador polinomial.

Observacoes 2.37 Sejam u e v funcoes reais admitindo derivadas ate a ordem n e i :=√−1.

Se w(x) := u(x) + iv(x), entao,

51

1. para j = 0, · · · , n, w(j)(x) := u(j)(x) + iv(j)(x),

2. sendo w(x) uma solucao (complexa) de (12), u(x) e v(x) sao solucoes (reais) de (12).

3. ew(x) = eu(x)eiv(x) := eu(x) (cos(u(x)) + i sin(v(x))) .

Exercıcio 2.38 Sejam a e b constantes reais.

Entao, se c := a+ ib e w(x) := ecx, prove que w′(x) = cecx, · · · , w(n)(x) = cnecx.

Por inducao, facilmente se prova o seguinte resultado, que enunciaremos no caso complexo,

sendo o real um caso particular.

Lema 2.39 Sejam r um numero complexo e w uma funcao complexa, n vezes derivavel.

Entao

(D − r)n(erxw(x)) = erxDnw(x).

Teorema 2.40 Se r1 e uma raız de multiplicidade k do polinomio caracterıstico, P (r) de

(12), entao as k funcoes

er1x, x er1x, · · · , xk−1er1x

sao solucoes de (12).

Observacao 2.41 Se r1 ∈ R , as solucoes sao reais. Se r1 ∈ C, as solucoes sao complexas.

Corolario 2.42 Se r1 := a+ bi e raız de multiplicidade k de P (r), entao as 2k funcoes

xjeax cos(bx), xjeax sin(bx) (j = 0, · · · , k − 1)

sao solucoes reais de (12).

Resumindo,

52

raız de P(r) solucao de (12)

α real simples eαx

β real de multiplicidade k eβx, xeβx, · · · , xk−1eβx

γ ± δi complexas simples eγx cos(δx), eγx sin(δx)

ϵ± θi complexas de multiplicidade k eϵx cos(θx), eϵx sin(θx),

xeϵx cos(θx), xeϵx sin(θx),

· · ·

xk−1eϵx cos(θx), xk−1eϵx sin(θx)

Teorema 2.43 Considerando todas as raızes de P (r), as correspondentes solucoes, referidas

no quadro anterior, formam um sistema fundamental de solucoes de (12).

Exemplo 2.44 Determinacao do integral geral de y(4) − 4y = 0.

P (r) = r4 − 4.

Raızes de P (r) :√2, −

√2,

√2i e −

√2i.

Todas as raızes sao simples.

Um sistema fundamental de solucoes e: {e√2, e−

√2, e0x cos(

√2x) e e0x sin(

√2x)}.

O integral geral e

y = c1e√2x + c2e

−√2x + c3 cos(

√2x) + c4 sin(

√2x).

2.6 Equacao linear, completa, com coeficientes constantes e de ordem n.

Metodo do polinomio anulador.

Definicao 2.45 Uma equacao linear, completa, com coeficientes constantes e de ordem n e do

tipo

P (D)y = f(x). (13)

O que foi exposto no paragrafo anterior permite afirmar que a determinacao de um SFS de

P (D)y = f(x) e sempre possıvel.

Portanto, a aplicacao do metodo de Lagrange e uma primeira hipotese para calcular o integral

geral de (13).

53

Observacao 2.46 Usando o metodo de Lagrange, podemos determinar sempre a solucao geral

de (13).

No entanto, as integracoes decorrentes da aplicacao desse metodo poderao ser bastante difıceis.

Essa a razao pela qual vamos expor uma outra abordagem para a determinacao do inte-

gral geral de (13), fornecida pelo metodo do polinomio anulador que, embora nao tendo a

dificuldade inerente as integracoes, e menos geral que o metodo de variacao das constantes

arbitrarias.

Definicao 2.47 Se Q(D) e um operador polinomial satisfazendo Q(D)f(x) = 0, entao Q(r)

diz-se um polinomio anulador de f(x).

Exercıcio 2.48 Sejam Q1(r) e Q2(r) polinomios anuladores, repectivamente, de f1(x) e

f2(x).

Prove que Q1(r)Q2(r) e um polinomio anulador de f1(x) + f2(x).

Metodo do polinomio anulador para a determinacao de um integral geral de (13):

1. Seja {y1, · · · , yn} um sistema fundamental de solucoes de (12).

2. O integral geral de (12) e

ygh = c1y1 + · · ·+ cnyn.

3. Determine-se um polinomio anulador, Q(r), de f(x).

4. Considere-se a equacao seguinte, que resulta de (13) e da alınea anterior

Q(D)P (D)y = 0. (14)

Calcule-se a solucao geral, ygeqaux, de (14).

5. Leve-se ygeqaux a forma

ygeqaux = ygh + ypc1.

6. Determine-se uma solucao particular, ypc , de (13), a partir de ypc1, recorrendo a

P (D)ypc1 = f(x).

54

7. Por aplicacao do teorema 2.16, concluımos que o integral geral de (13) e

y = ygh + ypc.

Observacao 2.49 O metodo do polinomio anulador so e aplicavel se for possıvel calcular o

polinomio anulador do segundo membro de (13).

Portanto so aplicaremos este metodo se f(x) for uma combinacao linear real de funcoes dos

tipos xjeax cos(bx) e xjeax sin(bx), com j ∈ N ∪ {0}, a e b constantes reais.

Exemplo 2.50 Determinacao do integral geral de y′′ − y = ex.

1. Usando o metodo de Lagrange

P (r) = r2 − 1.

Raızes de P (r) : 1 e -1.

Solucao geral de y′′ − y = 0 : ygh = c1ex + c2e

−x.

Solucao do sistema

c′1ex + c′2e

−x = 0

c′1ex − c′2e

−x = ex: c′1 =

12 , c′2 = −1

2e2x.

Logo, c1 =12x+ α1 e c2 = −1

4e2x + α2.

O integral geral pedido e

ygc = (1

2x+ α1)e

x + (−1

4e2x + α2)e

−x = β1ex + α2e

−x +1

2xex.

2. Usando o metodo do polinomio anulador

Pelo que vimos na anterior abordagem concluımos que P (D) = D2−1 e ygh = c1ex+c2e

−x.

Alem disso, o polinomio anulador de ex e: Q(D) = D − 1.

A equacao auxiliar e: (D − 1)(D2 − 1)y = 0 ou ainda (D − 1)2(D + 1)y = 0.

ygeqaux = D1ex +D2xe

x +D3e−x = D1e

x +D3e−x︸︷︷︸

ygh

+D2xex︸︷︷︸

ypc1

.

A partir de (D2 − 1)(D2xex) = ex concluımos que 2D2e

x = ex. Logo, D2 =12 .

Tal como na resolucao 1, ygc = D1ex +D3e

−x︸︷︷︸ygh

+1

2xex︸︷︷︸ypc

.

55

2.7 Equacao linear, completa e de ordem n. Metodo de D’Alembert ou de

abaixamento de ordem.

O metodo de D’Alembert permite, por conhecimento de solucoes da correspondente equacao

homogenea, baixar a ordem das equacoes lineares, completas e de ordem n. Em alguns casos

podemos, recorrendo unicamente a este metodo, chegar a uma equacao de ordem 1 e assim

determinar o integral geral de (8).

Metodo de D’Alembert

1. Seja y1 uma solucao nao nula da equacao homogenea correspondente a (8).

2. Faca-se, em (8), a mudanca de variavel (y → z) definida por y = y1z.

3. A equacao resultante e do tipo

b0(x)z(n) + b1(x)z

(n−1) + · · ·+ bn−1(x)z′ = f(x). (15)

(A demonstracao deste passo do metodo fica como exercıcio.)

4. Fazendo a mudanca de variavel (z → w) definida por z′ = w, (15) transforma-se na

seguinte equacao de ordem n− 1

b0(x)w(n−1) + b1(x)w

(n−2) + · · ·+ bn−1(x)w = f(x). (16)

Observacao 2.51 Caso necessario, o conhecimento de outra solucao, y2, da equacao homogenea

correspondente a (8), tal que y1 e y2 sejam linearmente independentes, permite obter uma

equacao de ordem n− 2, do modo que a seguir se expoe.

1. Fica como exercıcio (muito trabalhoso!) provar que w1 := y2y1

e uma solucao particular

nao nula da equacao homogenea correspondente a (16).

Portanto, fazendo, em (16), a mudanca de variavel (w → t) definida por w = w1t,

chegamos a equacao

c0(x)t(n−1) + c1(x)t

(n−2) + · · ·+ cn−1(x)t′ = f(x), (17)

56

2. Usando agora a mudanca de variavel (t → s) definida por t′ = s, (17) transforma-se na

seguinte equacao de ordem n− 2

c0(x)s(n−2) + c1(x)s

(n−3) + · · ·+ cn−1(x)s = f(x), (18)

Observacoes 2.52 1. E bom nao esquecer que, como o intuito e a determinacao do integral

geral de (8), no final se deve voltar a variavel y.

2. Este metodo nem sempre permite chegar a equacoes de ordem 1. Por isso, e muitas vezes

usado em associacao com outros resultados.

57

3 Transformada de Laplace

3.1 Resultados e definicoes

Vamos estudar um operador que transforma funcoes em funcoes e que vai ser importante na

resolucao de equacoes diferenciais lineares e com coeficientes constantes. Posteriormente veremos

como aplicar esse operador na resolucao de sistemas constituidos por equacoes desse tipo.

Definicao 3.1 Seja f uma funcao definida em R+ ∪ {0} e com valores em R, tal que∫ +∞

0e−stf(t)dt := lim

b→+∞

∫ b

0e−stf(t)dt (19)

existe, com s um parametro real.

A transformada de Laplace de f , que notaremos L{f(t)} ou F (s), e definida por

L{f(t)} = F (s) :=

∫ +∞

0e−stf(t)dt (20)

com s tal que (1) e convergente.

A L−1{F (s)} := f(t), chama-se transformada inversa de Laplace de F .

Vamos agora enunciar condicoes suficientes para a existencia de transformada de Laplace.

Definicao 3.2 Uma funcao f e seccionalmente contınua num intervalo I de R se f e contınua

excepto possivelmente num numero finito de pontos de I e se existem (e sao finitos) os limites

laterais de f nesses pontos e nos extremos do intervalo.

Definicao 3.3 Uma funcao f e de ordem exponencial c se existem constantes positivas M e T

tais que, para t > T , se verifica |f(t)| ≤ Mect.

Observacao 3.4 Se f e de ordem exponencial c, entao f nao cresce mais rapidamente que

Mect.

As funcoes limitadas sao de ordem exponencial.

Teorema 3.5 Se f e seccionalmente contınua em [0,+∞[ e de ordem exponencial c, entao,

para s > c, (1) converge e portanto existe a transformada de Laplace de f .

58

3.2 Algumas propriedades

1. L e um operador linear, isto e, se f e g sao funcoes , α e β sao constantes reais, entao

L{αf(t) + βg(t)} = αL{f(t)}+ βL{g(t)}. (21)

2. Para k ∈ N0, L{tk} =k!

sk+1. Nesta relacao, s > 0.

3. Se c e uma constante real, L{c} =c

s.

Esta igualdade decorre imediatamente das duas propriedades anteriores.

4. L{t−12 } =

√π

s.

5. L{eat} =1

s− a, com s > a. Para provar este facto, repare-se que

L{eat} =

∫ +∞

0e−steatdt =

1

a− s

[e(a−s)t

]+∞

0=

1

s− a.

6. Se f, f ′, · · · , f (k−1) sao contınuas em [0,+∞[ e de ordem exponencial e se f (k) e seccional-

mente contınua em [0,+∞[, entao

L{f (k)(t)} = skL{f(t)} − sk−1f(0)− sk−2f ′(0)− · · · − f (k−1)(0).

7. L{sin(at)} =a

s2 + a2.

8. L{cos(at)} =s

s2 + a2.

Exercıcio 3.6 Prove as propriedades 7 e 8 a partir da propriedade 6.

9. Seja f uma funcao seccionalmente contınua em [0,+∞[, de ordem exponencial e periodica

de perıodo T . Entao,

L{f(t)} =1

1− e−sT

∫ T

0e−stf(t)dt.

10. L{sinh(at)} =a

s2 − a2.

11. L{cosh(at)} =s

s2 − a2.

Exercıcio 3.7 Prove as propriedades 10 e 11 a partir das propriedades 1 e 5.

59

12. (L{f(t)} = F (s)) ⇒ L{eatf(t)} = F (s− a).

13. Se n ∈ N, entao

(L{f(t)} = F (s)) ⇒ L{tnf(t)} = (−1)ndnF (s)

dsn.

Exercıcio 3.8 Determine L{t2e−t} de dois modos diferentes.

14. Se a > 0, entao (L{f(t)} = F (s)) ⇒ L{f(at)} =1

aF (

s

a).

15. (Formula de Borel) Sejam f e g funcoes seccionalmente contınuas em [0,+∞[ e de ordem

exponencial. Entao,

L{∫ t

0f(u)g(t− u)du

}= L{f(t)}L{g(t)}.

Exercıcio 3.9 Calcule, a partir da formula de Borel, L{∫ t

0f(u)du

}.

Exemplo 3.10 Calculo de L−1

{1

s(s− 1)

}.

L{et} =1

s− 1⇒ et = L−1

{1

s− 1

}.

L{1} =1

s⇒ 1 = L−1

{1

s

}.

L−1

{1

s(s− 1)

}=

∫ t

01.et−udu = −1 + et.

Observacao 3.11 A funcao U definida por

U(t− a) :=

0, 0 ≤ t < a

1, t ≥ a

e designada por funcao degrau unitario.

16. Se a > 0, entao

L{f(t− a)U(t− a)} = e−asL{f(t)}.

60

Definicao 3.12 O delta de Dirac e uma expressao, notada por δ(t − t0), que pode ser

caracterizada do seguinte modo

(a)

δ(t− t0) :=

+∞, t = t0

0, t = t0

(b) ∫ +∞

−∞δ(t− t0)dt = 1

Observacao 3.13 O delta de Dirac e uma representacao de um impulso de grande am-

plitude, exterior a um sistema e que actua sobre ele durante um perıodo de tempo muito

curto (quase instantaneamente).

Matematicamente representa o limite, quando a tende para 0, de funcoes do tipo δa(t− t0),

definidas por

δa(t− t0) :=

1

2a, t0 − a < t < t0 + a

0, t ≤ t0 − a ou t ≥ t0 + a

Repare-se que ∫ +∞

−∞δa(t− t0)dt = 1.

Tal permite salientar o facto de δ(x− x0) nao ser uma funcao, pois, nesse caso∫ +∞

−∞δ(t− t0)dt = 0.

Na realidade trata-se de uma funcao generalizada ou distribuicao .

Exercıcio 3.14 Prove que ∫ +∞

−∞f(t)δ(t− t0)dt = f(t0).

O delta de Dirac foi peca fundamental dos Princıpios da Mecanica Quantica de Dirac e

Schrodinger.

17. L{δ(t− t0)} = e−st0 .

61

3.3 Aplicacao da transformada de Laplace a resolucao de equacoes diferen-

ciais, lineares e com coeficientes constantes.

Considere-se uma equacao linear com coeficientes constantes, na forma

y(n) + a1y(n−1) + · · ·+ an−1y

′ + any = f(t), (22)

com a1, · · · , an constantes reais e f uma funcao contınua.

Os passos do algoritmo de aplicacao da transformada de Laplace a resolucao de (22), sao

obvios:

1. Aplica-se a ambos os membros o operador L, obtendo-se uma equacao algebrica, na variavel

L{y}.

2. Resolve-se essa equacao .

3. Aplica-se L−1, obtendo-se a solucao geral de (22) ou, caso sejam dadas condicoes iniciais,

uma solucao particular.

Exemplo 3.15 Resolucao do problema de condicoes iniciaisy′′ − y = 0

y(0) = 0

y′(0) = 1.

Como L{y′′ − y} = s2L{y} − s0− 1− L{y} = 0, entao

L{y} =1

s2 − 1= −1

2

1

s+ 1+

1

2

1

s− 1︸︷︷︸porque ?

.

A solucao particular pedida e

y = −1

2e−t +−1

2et = sinh t.

62

4 Sistemas de equacoes diferenciais lineares e com coeficientes

constantes

Definicao 4.1 Um sistema de equacoes diferenciais lineares, com coeficientes constantes, de

primeira ordem e na forma normal, e do tipo y′(t) = Ay(t) + f(t), com A uma matriz n× n, f

uma funcao real contınua e com valores em Rn e y(t) :=

y1(t)...

yn(t)

.

Se f(t) = 0, o sistema diz-se homogeneo. Caso contrario, chama-se nao homogeneo ou

completo.

4.1 Resolucao usando a transformada de Laplace

O metodo a seguir e analogo ao que foi usado em 3.3, agora nas variaveis L{y1}, · · · ,L{yn}.

Exemplo 4.2 Determinacao da solucao particular de y′1 = y2 + t

y′2 = y1,

que satisfaz y1(0) = y2(0) = 0.

Repare-se que se trata de um sistema de equacoes diferenciais lineares, com coeficientes

constantes, de primeira ordem e na forma normal, com A =

0 1

1 0

e f(t) =

t

0

.Aplicando o operador L a ambas as equacoes resulta sL{y1} − L{y2} =

1

s2

−L{y1}+ sL{y2} = 0.

Logo,

L{y1} =1

s(s− 1)(s+ 1)=

−1

s+

1

2

1

s− 1+

1

2

1

s+ 1

L{y2} =1

s2(s− 1)(s+ 1)=

−1

s2+

0

s+

1

2

1

s− 1− 1

2

1

s+ 1.

63

Entao, por aplicacao de L−1,

y1 = −1 +1

2et +

1

2e−t

y2 = −t+1

2et − 1

2e−t

.

4.2 Sistemas homogeneos - resolucao usando o Metodo da Algebra Linear

Se na definicao 4.1, se considerar f(t) = 0, obtem-se o sistema homogeneo

y′ = Ay. (23)

4.2.1 Os valores proprios de A sao reais e distintos

Seja λ1 um valor proprio de A e v1 um vector proprio associado a λ1. Reparando que(eλ1t v1

)′= eλ1t (λ1v1) = eλ1t (Av1) = A (eλ1t v1),

prova-se que eλ1t v1 e solucao do sistema (23).

Esta e a base para a demonstracao do resultado seguinte.

Teorema 4.3 Sejam λ1, · · · , λn valores proprios reais e distintos de A e v1, · · · , vn vectores

proprios correspondentes.

Entao

eλ1t v1, · · · , eλnt vn

sao solucoes de (23) e, sendo c1, · · · , cn constantes reais, a solucao geral desse sistema e

y = c1 eλ1t v1 + · · ·+ cn e

λnt vn =[eλ1tv1| · · · |eλntvn

]c1...

cn

.

Exemplo 4.4 Determinacao da solucao geral de y′ = Ay, com y =

y1

y2

e A =

1 1

−5 7

.

Valores proprios de A:∣∣∣∣∣∣ 1− λ 1

−5 7− λ

∣∣∣∣∣∣ = λ2 − 8λ+ 12 ⇒ λ1 = 6 e λ2 = 2 sao os valores proprios de A.

Vectores proprios de A:

64

1. associados a λ1 = 6.

Se v =

ξ1

ξ2

e vector proprio associado a λ1, entao v satisfaz Av = λ1v.

Resolvendo a equacao anterior, obtem-se ξ2 = 5 ξ1, sendo os vectores proprios associados

a λ1, da forma

v =

ξ1

5ξ1

.

Em particular, v =

1

5

e vector proprio associado a λ1.

2. associados a λ2 = 2.

De modo analogo se prova que w =

1

1


Pelo teorema anterior, a solucao geral do sistema e dada por

y = c1 e6t v + c2 e

2tw.

Observacao 4.5 Nas condicoes do teorema anterior, eλ1tv1, · · · , eλntvn, formam um sistema

fundamental de solucoes de (23).[eλ1tv1| · · · |eλntvn

]e uma matriz fundamental de solucoes de (23).

4.2.2 Valores proprios complexos de A

Sejam λ1 := α+ iβ e λ2 := α− iβ valores proprios de A, com β = 0.

Pode-se provar, de modo analogo ao que se usou em 4.2.1, que eλ1tv1 e uma solucao com-

plexa de (23).

Notando por Re v1 e Imv1 respectivamente as partes real e imaginaria de v1 e tendo em

conta que

eλ1tv1 = e(α+iβ)t(Re v1 + i Imv1)

= eαteiβt(Re v1 + i Imv1)

= eαt(cos(βt) + i sin(βt)(Re v1 + i Imv1)

= eαt[(cos(βt)Re v1 − sin(βt) Imv1) + i(sin(βt)Re v1 + cos(βt) Imv1)]

65

facilmente se prova que

eαt(cos(βt)Re v1 − sin(βt) Imv1) e eαt(sin(βt)Re v1 + cos(βt) Imv1)

sao solucoes particulares, reais e linearmente independentes de (23).

Exemplo 4.6 Determinacao da solucao geral de y′ = Ay, com A =

0 1

−1 0

.

Valores proprios de A:∣∣∣∣∣∣ −λ 1

−1 −λ

∣∣∣∣∣∣ = λ2 + 1 ⇒ λ1 = i e λ2 = −i sao os valores proprios de A.

Vectores proprios de A, associados a λ1 = i:

Se v =

ξ1

ξ2

e vector proprio associado a λ1, entao v satisfaz Av = λ1v.

Resolvendo a equacao anterior, obtem-se ξ2 = i ξ1, sendo os vectores proprios associados a

λ1, da forma v =

ξ1

i ξ1

.

Em particular, v =

1

i

=

1

0

+ i

0

1


Entao,

e0t

cos(1t)

1

0

− sin(1t)

0

1

e e0t

sin(1t)

1

0

+ cos(1t)

0

1

sao solucoes particulares, reais e linearmente independentes do sistema, sendo a solucao geral

dada por

y = c1

cos t

1

0

− sin t

0

1

+ c2

sin t

1

0

+ cos t

0

1

.

4.2.3 Valores proprios reais e de multiplicidade algebrica m > 1, de A

Seja λ1 um valor proprio de A, com multiplicidade algebrica m > 1.

Caso 1 Existem m vectores proprios v1, · · · , vm linearmente independentes associados a λ1.

Neste caso, e obvio que eλ1tv1, · · · , eλmtvm sao solucoes particulares e linearmente indepen-

dentes, de (23).

66


1 0 0

0 1 0

0 0 2

.

Valores proprios de A:

λ1 = 1 (com multiplicidade algebrica 2) e λ2 = 2.

Vectores proprios de A, associados a λ1 = 1:

os vectores proprios associados a λ1 sao da forma v =

ξ1

ξ2

0

= ξ1

1

0

0

+ ξ2

0

1

0

.

Em particular, v1 =

1

0

0

e v2 =

0

1

0

sao vectores proprios linearmente independentes,

associados a λ1.

Entao,

e1tv1 e e1tv2

sao solucoes particulares e linearmente independentes do sistema.



0

0

ξ3

= ξ3

0

0

1

.

Em particular, v3 =

0

0

1

e um vector proprio associado a λ2.

Entao, e2tv3 e solucao particular do sistema.

A a solucao geral e dada por

y = c1et

1

0

0

+ c2et

0

1

0

+ c3e2t

0

0

1

.

Caso 2 Nao existem m vectores proprios v1, · · · , vm linearmente independentes associados

a λ1.

67

Seja v1 um vector proprio associado ao valor proprio λ1.

Como ja se notou, w1 := eλ1tv1 e uma solucao de (23). Neste caso, pretende-se ver como

construir solucoes de (23) que nao sejam dessa forma e que conjuntamente com eλ1tv1 formem

um conjunto de solucoes linearmente independentes.

Exercıcio 4.8 Sendo

w2 := t eλ1t v1 + eλ1tw (24)

uma dessas solucoes, prove que o vector w satisfaz

(A− λ1I) w = v1. (25)

Observacao 4.9 Repare que (25) caracteriza todos os vectores w que permitem concluir que w2

e solucao de (23).

Repare ainda que w pertence ao conjunto dos vectores que satisfazem as seguintes duas

condicoes:

(A− λ1I) w = 0 (26)

(A− λ1I)2 w = 0, (27)

daı ser designado por vector proprio generalizado.

Exercıcio 4.10 Sendo

w3 :=t2

2eλ1t v1 + t eλ1tw + eλ1tu (28)

uma terceira dessas solucoes, prove que o vector u satisfaz

(A− λ1I) u = w. (29)

Observacao 4.11 Repare que (29) caracteriza todos os vectores u que permitem concluir que

w3 e solucao de (23).

Repare ainda que w pertence ao conjunto dos vectores que satisfazem as seguintes tres

condicoes:

(A− λ1I) u = 0 (30)

(A− λ1I)2 u = 0 (31)

(A− λ1I)3 u = 0, (32)

68

e, tal como na observacao anterior, e designado por vector proprio generalizado.

Se necessario, poderiamos continuar este processo.


2 1 6

0 2 5

0 0 2

.

Valores proprios de A:

λ1 = 2 (com multiplicidade algebrica 3).



ξ1

0

0

= ξ1

1

0

0

.

Em particular, v1 =

1

0

0

e um vector proprio associados a λ1, nao havendo qualquer outro

linearmente independente relativamente a v1. (Diz-se se λ1 tem multiplicidade geometrica 1.)

Uma primeira solucao do sistema e w1 := e2t

1

0

0

.

Resolvendo (25), obtem-se w =

0

1

0

.

Entao w2 := t e2t

1

0

0

+ e2t

0

1

0

e uma segunda solucao do sistema.

Resolvendo (29), obtem-se u =

0

−65

15

.

Entao w3 :=t2

2e2t

1

0

0

+ t e2t

0

1

0

+ e2t

0

−65

15

e uma terceira solucao do sistema.

69

A solucao geral e y = c1w1 + c2w2 + c3w3.

4.2.4 Conclusoes

Definicao 4.13 Um conjunto {Y1, · · · , Yn} de solucoes linearmente independentes de (23), e

designado por sistema fundamental de solucoes de (23).

Da discussao feita nas seccoes anteriores, conclui-se o resultado seguinte.

Teorema 4.14 Existe um sistema fundamental de solucoes de (23).

Definicao 4.15 Seja {Y1, · · · , Yn} um sistema fundamental de solucoes de (23).

Sendo c1, · · · cn constantes reais, a solucao geral de (23) e definida por

y := c1Y1 + · · ·+ cnYn = [Y1| · · · |Yn]

c1...

cn

.

4.3 Sistemas completos - resolucao usando o Metodo da Algebra Linear

Na definicao 4.1, foi dito o que se entendia por sistema de equacoes diferenciais lineares, com

coeficientes constantes, de primeira ordem, completos e na forma normal. Sendo A uma matriz

n× n e f uma funcao contınua e com valores em Rn, tal tipo de sistemas e da forma

y′(t) = Ay(t) + f(t). (33)

Definicao 4.16 Seja {Y1, · · · , Yn} um sistema fundamental de solucoes de (23).

A solucao geral de (33) e definida por

y := c1Y1 + · · ·+ cnYn + Ypc ,

com Ypc uma solucao particular de (33).

Teorema 4.17 Seja {Y1, · · · , Yn} um sistema fundamental de solucoes de (23), num intervalo

I de R.

Seja ainda Φ(t) := [Y1| · · · |Yn].

70

Entao, com t0 ∈ I,

Φ(t)

∫ t

t0

Φ−1(s)f(s)ds

e uma solucao particular de (33).

Demonstracao. Como(Φ(t)

∫ t

t0

Φ−1(s)f(s)ds

)′= Φ′(t)

∫ t

t0

Φ−1(s)f(s)ds+Φ(t)Φ−1(t)f(s)ds

=︸︷︷︸(porque?)

AΦ(t)

∫ t

t0

Φ−1(s)f(s)ds+ f(t),

entao

Φ(t)

∫ t

t0

Φ−1(s)f(s)ds

e uma solucao particular de (33).

Exemplo 4.18 Determinacao da solucao geral do sistema y′ = Ay + f(t), com A =

1 0

0 0

e f(t) =

0

t

.

Usando as notacoes do teorema anterior, pode-se considerar Y1 = et

1

0

e Y2 = e0t

0

1

.

Entao Φ(t) =

et 0

0 1

.

Conclui-se assim que, no presente caso,

Φ(t)

∫ t

t0

Φ−1(s)f(s)ds =

et 0

0 1

∫ t

0

e−s 0

0 1

0

s

ds

=

et 0

0 1

0

t2

2

=

0

t2

2

.

71

A solucao geral e

y = c1 et

1

0

+ c2 e0t

0

1

+

0

t2

2

.

4.4 Aplicacoes do Metodo da Algebra Linear

Toda a discussao envolvendo a construcao de solucoes a partir de valores e vectores proprios,

permite, no ambito da analise qualitativa, fazer o esboco de retatos de fase nos quais se da uma

ideia geometrica do comportamento das solucoes de um sistema.

Ainda nesse ambito, permite estudar problemas de estabilidade de solucoes.

Numa envolvencia mais geral, os metodos algebricos sao instrumentos poderosos para o

estudo de questoes muito importantes, como a controlabilidade e a observabilidade de sistemas e

ainda o controlo de sistemas por realimentacao (vulgarmente designado por controlo de sistemas

por feedback) tanto ao nıvel dos estados como das saıdas (vulgo outputs).

72

Bibliografia

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73

apontamentos das aulas teóricas

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