APLICATIVO WEB COMO INTERFACE PARA O ESTUDO DE GEOMETRIA

PERCEPÇÃO DE ESTUDANTES DE MATEMÁTICA UTILIZANDO O MODELO DE VAN HIELE

08/2007

Rodrigo Lins Rodrigues

Orientadora: Filomena Ma. G. da S. Cordeiro Moita

Co­orientador ­ Jacques Duílio Brancher.

Universidade Estadual da Paraíba

rodrigomuribec@hotmail.com

 

Games e Aquisição de Conhecimento­ GEPEJA

GT1­ Desenvolvimento de Games

Resumo

As  novas   tecnologias  de   informação,   associadas   ao   ensino,   têm permitido  que  professores   e   alunos 

melhorem seus desempenhos em sala de aula. Nesta linha, busca­se com este trabalho apresentar uma 

ferramenta que auxilie no processo de aprendizado sobre figuras geométricas. O modelo proposto pelo 

casal  Van Hiele   foi  utilizado como base  para  a  adaptação de  exercícios,  da  aula   tradicional,  para  o 

ambiente computacional.  O método possui cinco níveis de desenvolvimento do pensamento geométrico: 

visualização, análise, dedução informal, dedução formal e rigor. Nos exercícios, o aluno move­se a partir 

do nível inicial até o mais elevado. Cada nível desenvolvido para o jogo é caracterizado por objetos de 

estudo específicos e linguagem própria, de maneira que não pode haver compreensão quando a atividade 

do jogo é dada num nível mais elevado do que o atingido pelo aluno, ou seja, a proposta é fazer com que o 

aluno   construa   determinado   conhecimento   necessário   para   sua   evolução   de   acordo   com   as   suas 

características de aprendizagem, o que torna o aprendizado uma relação unívoca com o método. 

Palavras­Chave: Van Hiele, Ferramenta, Geometria 

MODELO VAN HIELE

Os trabalhos sobre o desenvolvimento do pensamento geométrico Van Hiele foram 

inicialmente publicados em 1959. Desde esta época até  1973, o modelo só  não ficou 

totalmente   no  obscurantismo  porque   a  União Soviética   o   adotou  nos   anos 60,   após 

reformulação do currículo de geometria em suas escolas.

Os Van Hiele perceberam que os problemas e tarefas apresentados às crianças 

requerem, muitas vezes, vocabulário, conceitos ou conhecimento de propriedades acima 

do nível de pensamento do aluno. Estes autores assinalam que numa sala de aula, os 

alunos pensam em diferentes níveis, diferem uns dos outros e, evidentemente, também 

apresentam   modos   de   pensar   diferentes   dos   professores   e   costumam   utilizar   com 

freqüência palavras e objetos diferentes das empregadas por estes e pelos livros. Deste 

modo, quando o ensinamento ocorre num nível acima ao do estudante, o assunto não é 

bem assimilado e não ficará retido por muito tempo na memória.

Conforme este modelo, o crescimento cronológico das idades não necessariamente 

implica num crescimento nos níveis de pensamento e poucos alunos atingem o último 

nível, o do rigor. Um importante conceito que exerce grande importância na teoria de Van 

Hiele é o de insight, que representa, neste caso, a capacidade do aluno em enfrentar uma 

situação não usual e desempenhar correta e adequadamente as ações requeridas por ela, 

para finalmente desenvolver deliberadamente uma maneira de _raça_e­la. Portanto, os 

estudantes têm um insight quando entendem o que estão fazendo, por que estão fazendo 

algo e quando o fazem. O quadro relaciona os níveis do modelo de Van Hiele e suas 

características.

A progressão ou não do aluno, na passagem de um nível para

outro, depende mais dos conteúdos recebidos por este do que de sua

idade. Além disso, na transição entre diferentes níveis, os objetos

próprios de um estágio se transformam em objetos de estudo no

estágio posterior e uma relação que é aceita como correta em um nível

pode ser modificada no seguinte.

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COMO UTILIZAR A TECNOLOGIA DA INFORMÁTICA COMO RECURSO 

PEDAGÓGICO? 

Já faz algum tempo que o uso do computador como recurso pedagógico tem sido 

visto de uma forma dicotômica: ou ele é um instrumento em que o aluno apenas aperta 

suas teclas e obedece as instruções dadas, ou ele é a solução para todos os problemas 

educacionais. O mais importante, entretanto, é refletir sobre a relação entre informática e 

educação como uma transformação da própria prática educativa. 

O primeiro ponto de vista costuma ser ainda mais poderoso dentro de parte da 

comunidade de   educação matemática. Especialmente para   aqueles  que   consideram a 

matemática  base   do   raciocínio   lógico,   pois   se   o   raciocínio   matemático  passa  a   ser 

realizado pelo computador, o aluno não precisará raciocinar mais e deixará de desenvolver 

sua inteligência (BORBA ; PENTEADO, 2001).

Estes   autores   chegam   a   citar   frases   comumente   ouvidas   das   pessoas   que 

argumentam desta maneira: “Se meu aluno utilizar a calculadora, como ele aprenderá a 

fazer a conta?”, “Se o estudante do ensino médio aperta uma tecla do computador e o 

gráfico   da   função  já   aparece,  como   ele   conseguirá,  ‘de   fato’,   aprender  a   traça­lo?” 

(BORBA ; PENTEADO, 2001, P.12). 

Papert (1985) utiliza o termo tecnocentristas para se referir àqueles que acreditam 

que   o   uso   dos   computadores   na   educação   pode   acarretar   mudanças   nas   culturas, 

transformando também, em conseqüência, a forma de pensar e de aprender das pessoas. 

• O  maior   impacto  que  o   computador  tem  provocado  no  processo  educacional 

advém do fato do seu uso ter causado o questionamento dos métodos e processos 

de ensino utilizados (VALENTE,1993); 

• Em   concordância   com   o   impacto   anterior,   pode­se   também   dizer   que   as 

tecnologias educacionais, de um modo geral, e as tecnologias informáticas, em 

particular,   têm   ampliado   as   formas   convencionais   de   utilização   de   recursos 

materiais no trabalho dos professores em sala de aula (CYSNEIROS, 1996); 

• Num primeiro momento pode­se dizer que a inserção do computador traz uma 

motivação   a   mais   para   o   cotidiano   escolar,   uma   vez   que   ele   possui   cores, 

movimentos,   imagens   etc.   Há   indícios   superficiais,   entretanto,   de   que   tal 

motivação pode ser passageira, pois se um determinado software for mal utilizado 

em aula, depois de algum tempo pode se tornar tão enfadonho quanto uma aula 

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com uso  intensivo de  giz, ou uma outra baseada em discussão de  textos, que 

também podem não motivar (BORBA & PENTEADO, 2001); 

Para analisar e compreender melhor os ganhos ou as desvantagens que o uso desta 

tecnologia traz para a escola, é necessário que se conheça as relações existentes entre os 

componentes da prática educacional com a utilização de tecnologia informática.

De acordo com Valente  (1993), a   implantação da  informática no cotidiano da 

escola consiste basicamente de quatro ingredientes: o computador, o software educativo, o 

professor preparado para utilizar o computador como ferramenta educacional e o aluno. 

O professor e o aluno são componentes de qualquer situação que se considere no 

processo de ensino e aprendizagem, assim como a uso de alguma tecnologia, seja ela de 

papel e lápis, de quadro e giz ou de um vídeo cassete e televisão. No caso de utilização de 

tecnologia   informática,   dois   novos   ingredientes   são   introduzidos:   o   computador   e   o 

software, que adquire grande importância, já que sem ele, o computador não funciona e 

fica impossível propor qualquer atividade educacional. 

Valente (1993) indica ainda dois pólos que caracterizam a relação

entre os quatro citados ingredientes no processo ensino-aprendizagem.

Nos dois pólos há os mesmos ingredientes, mas a polaridade é

marcada pela forma como estes ingredientes são utilizados: ora o

computador, através do software, ensina o aluno; ora o aluno, através

do software, “ensina” o computador. .

Laborde (1998) percebe que há um consenso entre educadores matemáticos de que 

o uso do computador no processo de ensino­aprendizagem em geometria pode contribuir 

para a visualização geométrica (aspecto intuitivo). 

Os   conceitos   de  visualizar  e  visualização  adquirem,   então,   uma   grande 

importância para o ensino da geometria, especialmente quando se utiliza o computador. 

Em educação matemática, visualizar é formar ou conceber uma imagem de algo que não 

se tem ante os olhos no momento. 

Segundo  Van   Hiele   (1986)   a   visualização,   a   análise   e   a   organização  formal 

(síntese) das propriedades geométricas relativas a um conceito geométrico são passos 

preparatórios para o entendimento da formalização do conceito.

A  tecnologia   informática  pode proporcionar  novas   situações  nas   quais   as   formas 

virtuais adquirem aspectos de uma realidade quase material, abrindo novas perspectivas 

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para o entendimento das  formas que se apresentam no plano da  tela do computador 

(KALEFF, 1994). Através dos recursos de animação de alguns softwares geométricos, o 

aluno pode construir, mover e observar de vários ângulos as figuras geométricas, além de 

modificar algumas de suas características. Há desenhos de execução bastante complicados 

ou até mesmo impossíveis com as tecnologias tradicionais (papel e lápis e quadro e giz, 

por exemplo) e que se tornam facilmente exeqüíveis com o uso do computador.

FERRAMENTA WEB PARA ENSINO DE GEOMETRIA

O ambiente tem um funcionamento simples, de fácil entendimento e assimilação 

das orientações que ele oferece. 

O menu é o componente que gerencia o sistema, com ele o usuário pode navegar 

em todas as funcionalidades que o ambiente oferece, tutorial, cadastro,  login ou logout, 

histórico, exercícios e uma área administrativa. Estas funcionalidades são apresentadas 

nas seções a seguir:

Tutorial é a seção do sistema onde o usuário pode recorrer para aprender sobre o 

conteúdo de geometria plana e tirar dúvidas sobre reta, ângulo reto, ângulo agudo, ângulo 

obtuso, triângulo eqüilátero, triângulo isósceles, triângulo escaleno, triângulo acutângulo, 

triângulo   retângulo,   triângulo   obtuso,   quadrado,   retângulo,   losango,   paralelogramo, 

trapézio isósceles, trapézio retângulo e trapézio escaleno. Convém ressaltar a pertinência 

deste recurso, principalmente pelo fato de que as dicas e ensinamentos sobre os conteúdos 

estão  disponíveis   ao   usuário   de   forma  fácil   para   quando   este   sentir   necessidade  de 

intervenções pedagógicas específicas.  

O ambiente também possui um sistema de cadastro dos usuários, requerido para 

todos os participantes, que permite o acesso privado às seções Histórico e Exercício. O 

cadastro faz o armazenamento das informações pessoais dos usuários na base de dados, 

possibilitando o controle das tarefas de cada usuário no ambiente e relacionando estas ao 

usuário em questão. As informações cadastrais solicitadas são nome, login e senha.

O ambiente possui dois níveis de acesso (usuários cadastrados e o administrador 

do ambiente) e um de visualização (usuários anônimos, sem acesso ao conteúdo). Esta 

estrutura leva à implementação de diferentes tipos de acesso. Usuários cadastrados têm 

acesso a todo o conteúdo do site com exceção da seção administração. O administrador 

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possui   atribuições   especiais,  como   a   exclusão   de   participantes  e   a   visualização  de 

históricos individuais.

Na   seção   histórico,   o   usuário   acompanha   seu   desempenho,   avaliando   suas 

tentativas e acertos com relação aos exercícios que resolveu ou não, convém destacar que 

esta propriedade não tem finalidade de desenvolver um ranking de desempenho, dado o 

seu   caráter   de   privacidade  e   confidencialidade,   todavia   o   histórico   da   performance 

cognitiva do aluno permite focalizar e identificar dificuldades individuais, possibilitando 

ao professor (administrador) acompanhar o processo de aprendizagem de cada aluno, em 

cada exercício, detalhando dessa forma, seu real desempenho em cada modalidade de 

conteúdo abordada. 

O   ambiente   oferece   uma   lista   com     exercícios   para   serem   desenvolvidos, 

disponíveis do 1 ao 11 à medida que são resolvidos gradativamente, de acordo com a 

abordagem teórica de Van Hiele.

O administrador  tem a possibilidade de excluir usuários e visualizar os 

desempenhos individuais através do histórico das atividades.

Exercícios

Fazendo  uso   das   tecnologias   citadas   e   preocupando­se  para   que   os   usuários 

pudessem pôr em prática seus conhecimentos em geometria segundo as técnicas de Van 

Hiele e também serem avaliados, foi desenvolvido uma série de exercícios em java, num 

total de onze, os quais encontram­se divididos em três grupos: os que utilizam cores para 

pintar   as   figuras, os   de múltiplas   escolhas, onde devem ser   assinaladas as   respostas 

corretas através dos checkbox e os de múltiplas opções com resposta única que utilizam 

combobox.

Grupo 1 

O grupo 1 compreende os exercícios do número 1 ao 5. A característica principal 

desse grupo é a utilização de contornos coloridos para identificar as figuras pertencentes 

a mesma classificação geométrica. As cores empregadas seguem o padrão RGB para 

vermelho,   amarelo,   verde   limão,   lilás,   verde   escuro,   azul   escuro   e   laranja.   A   visão 

computacional do usuário compreende a seleção de uma determinada cor e a pintura da 

borda da figura,  todavia, para o sistema foi construído um painel um pouco maior que as 

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figuras   que   fica   como   plano   de   fundo,   representando   visualmente   uma   borda   e 

identificando que essa camada de cor representa um grupo de figuras.

Na figura 03 são apresentados os exercícios desenvolvidos para essa sistemática 

computacional.

Figura 1: Exercício 2

Para   este   grupo   de   exercícios   o   sistema   está   subdividido   em   quatro   partes, 

descritas como:  

A Paleta de Cores

Definida para uso de cores no padrão RGB, possui uma estrutura no topo para 

representar a cor selecionada e logo abaixo vem  as cores que podem ser praticadas na 

resolução dos exercícios, exceto a cor branca sinalizada, que é utilizada para limpar o 

buffer de cores.    

Figuras Geométricas, área central do exercício

Responsável pela ação dos clicks sobre a figura, que cria uma moldura na cor da 

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seleção atual, indicando ao usuário que aquela seleção pertence a um determinado grupo. 

Este tipo de ação é fundamental no processo de aprendizagem, a medida que há uma 

relação intrínseca entre as cores e os formatos das figuras. 

Na base do exercício encontram­se os botões Limpar Cores e Responder, onde 

em limpar é reiniciado todo o exercício e no entanto o botão responder, faz com que o 

sistema execute a conferência das respostas e apresentando na tela na forma de applet's 

java, as mensagens de acerto ou erro.  

As mensagens errôneas são apresentadas quando o exercício não foi completado 

ou quando determinadas figuras geométricas não pertencerem ao mesmo grupo, neste 

caso   sem  precisar   quais   são   os   erros   cometidos,   para   que   o   próprio   usuário   tente 

identificar onde estão os problemas. O método usado pelo ambiente para verificação de 

erros é baseado no RGB da imagem de fundo, o qual confere se as figuras geométricas 

estão classificadas conforme sugere o enunciado do problema e interpreta através do java 

os vetores de respostas para que seja feito a devida correção. 

As mensagens de acerto fazem o mesmo procedimento de testes das errôneas, só 

que   as   respostas   estando   condizentes   com   o   enunciado,   o   Ambiente   Virtual   de 

Aprendizagem é habilitado para o exercício seguinte.

Grupo 2

Neste grupo encontram­se os exercícios 6 e 8, os quais utilizam checkbox para 

resolução. A programação destes fora estruturada na forma de um painel com a figura 

geométrica à esquerda e as alternativas com os checkbox de respostas à direita conforme a 

representado na figura 04 abaixo.

Figura 2: Tela Representativa do Grupo 2.

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No topo do exercício seis encontra­se o enunciado para assinalar as respostas para 

imagens de quadriláteros, enquanto que no exercício oito é usada a mesma estrutura, só 

com   imagens   de   triângulos.   Ao   centro,   dividido   em  duas   colunas  ficam  os   painéis 

contento o problema a ser resolvido e na base, os botões limpar tudo e responder.

A validação das respostas destes exercícios é feita um a um, sendo analisadas os 

checkbox para cada figura em um variáveis somatórias de acertos e erros.  Como é sabido 

o número de acertos necessários para a resolução do exercício, esse número é comparado 

com o total de acertos feitos pelo usuário, se o resultado desta comparação for igual, 

significa que todas as respostas certas foram marcadas, sendo menor do que o esperado, 

significa que ainda não foram marcadas todas as alternativas corretas. Feito isso, os erros 

são   analisados,   caso   esse   número   seja   maior   do   que   0   (zero),   significa   que   foram 

marcadas respostas incorretas e o painel que agrupa a figura com  as opções de resposta é 

marcada   em   vermelho   para   auxiliar   o   usuário   na   correta   resolução   do   exercício. 

Procurando uma melhor interatividade com o usuário, um sistema de applet's  java auxilia 

na interpretação dos erros com mensagens informativas sob a quantidade de alternativas 

que ainda estão marcadas como erradas. 

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Grupo 3 

Pertencem a este grupo os exercícios 7, 9, 10 e 11, onde nos dois primeiros o 

usuário tem de selecionar a opção correspondente a figura no combobox. Os dois últimos 

exercícios funcionam de forma inversa aos primeiros, onde é apresentada as alternativas 

textualmente e o usuário tem de selecionar no combobox a figura correspondente, a qual é 

carregada após a opção.

Figura 3: Tela Representativa do Grupo 3.

Os exercícios que utilizam combobox, como forma de resposta, não fogem muito 

da lógica de programação do exposto anteriormente. Igualmente aos demais exercícios 

foram criados painéis com a figura dentro e esses painéis são utilizados para em caso de a 

resposta estar errada, mostrar ao usuário em qual figura está o erro. Para isso a borda 

deste   painel   é   exibida   com  a   cor   vermelha.   Para   cada   figura   existe   um  combobox 

associado no qual são apresentadas diversas opções de resposta e o usuário deve escolher 

uma   opção  que   responda   a   figura.   Para   efetuar   a   correção  são   analisadas  todas   as 

respostas para ver se estão certas. Em caso negativo, é informado em quais figuras existe 

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erro e caso haja figuras não respondidas, também será exibida uma mensagem informado 

isso ao usuário. 

Referências 

BARBOSA, E.F. Instrumentos de Coleta de Dados em Projetos Educacionais. (Publicação do Instituto de Pesquisas e Inovações Educacionais – Educativa), 1998. Disponível:<http://www.tecnologiadeprojetos.com.br/arts/instrumentos%20de%20coleta.pdf> Acessado em 12/03/2007.

BORBA, M.C.; PENTEADO, M.G. Informática e Educação Matemática. Coleção Tendências em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2001, 98 p.

BOYER, C. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo: Edgar Blücher, 1985, 488p.

CYSNEIROS, P.G. A Assimilação da Informática pela Escola. In: III Congresso da 

CHIZZOTTI, A. Pesquisa em Ciências Humanas e Sociais. Rio de Janeiro: Cortez. Campos, L.F. L. (2001). Métodos e Técnicas de Pesquisa em Psicologia (2ª ed.). São Paulo: Alínea, 1991.

FAINGUELERNT, E.K. Educação Matemática: representação e construção em geometria. Porto Alegre: Artmed, 1999, 227 p.

FIGUEIREDO, C.Z.; BITTENCOURT, J.R. Jogos Computadorizados para Aprendizagem Matemática no Ensino Fundamental: refletindo a partir dos interesses dos educandos. Novas Tecnologias na Educação. CINTED, UFRGS, 2005.

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