aplicaÇÕes de matrizes no ensino mÉdiodspace.bc.uepb.edu.br/jspui/bitstream/123456789/9493/1/pdf...

UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAIacuteBA

CENTRO DE CIEcircNCIAS E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMAacuteTICA

JOSEacute VALBER SILVINO DA SILVA

APLICACcedilOtildeES DE MATRIZES NO ENSINO

MEacuteDIO

CAMPINA GRANDE ndash PB

2014



MEacuteDIO

Trabalho de Conclusatildeo de Curso apresentado

ao curso de Licenciatura em Matemaacutetica da

Universidade Estadual da Paraiacuteba em

cumprimento agraves exigecircncias para obtenccedilatildeo do

grau de licenciado

Orientadora Profordf Ms Kaacutetia Suzana Medeiros Graciano


2014

DEDICATOacuteRIA

Agrave minha avoacute Dalvanira (in memoriam)

que me criou com muito amor e carinho e me

preparou para a vida Agrave ela sempre irei dedicar

todas as minhas conquistas

AGRADECIMENTOS

A Deus que sempre esteve ao meu lado me dando sabedoria acircnimo proteccedilatildeo e forccedila

para enfrentar todas as batalhas com as quais me deparei ao longo desta caminhada por ter

permitido a realizaccedilatildeo do meu sonho de ser professor de matemaacutetica e principalmente pelo

dom da vida

Aos meus avoacutes Manoel e Dalvanira (in memoriam) que me criaram me educaram e

me incentivaram a estudar para alcanccedilar os meus objetivos

Aos meus pais Rosilda e Genaacuterio que mesmo distantes sempre torceram pela minha

realizaccedilatildeo pessoal

Aos meus tios Rinaldo Joseacute Rosana Roberval Roseane Rosivan Reginaldo

Rosenilda Rosivaldo e Ronaldo pelo apoio e incentivo

Aos meus professores de matemaacutetica do ensino baacutesico Jalon e Jurandir que

despertaram em mim o gosto pela matemaacutetica e me motivaram a fazer esse curso

Aos meus colegas Luciene Rodrigo Josecircnelle Claudenor Juscelino Michelly Ataiz

Jane Fabiana Fabriacutecio e Daniela pela a amizade construiacuteda o apoio me dado e os bons

momentos vividos durante esses quatro anos e meio de curso

Ao motorista Carlinhos pela responsabilidade paciecircncia e compreensatildeo

Aos amigos e colegas da minha cidade com os quais viajei durante esse periacuteodo pra

Campina Grande pelo companheirismo e uniatildeo principalmente nos momentos em que

tivemos dificuldades pra conseguir transporte

Agrave minha orientadora professora Kaacutetia Suzana pela competecircncia disponibilidade e

valiosa contribuiccedilatildeo para a realizaccedilatildeo desse trabalho

Aos professores da banca examinadora Fernando Luiz e Joselma pela disponibilidade

e indispensaacuteveis sugestotildees dadas para o aprimoramento desse trabalho

Enfim a todos que contribuiacuteram de forma direta ou indireta para a minha formaccedilatildeo

profissional

ldquoNatildeo haacute ramo da Matemaacutetica por mais abstrato que seja

que natildeo possa um dia vir a ser aplicado aos fenocircmenos do

mundo realrdquo

Nicolai Lobachevsky

R E S U M O

O estudo de matrizes no ensino meacutedio geralmente eacute enfocado na teacutecnica de operaccedilotildees e pouco

se recorre agrave situaccedilatildeo-problema e contextualizaccedilatildeo Essa abordagem natildeo permite ao aluno

perceber a aplicabilidade deste conteuacutedo o que pode ser um fator desfavoraacutevel em sua

aprendizagem Aleacutem disso haacute escassez de materiais didaacuteticos que deem subsiacutedio ao professor

nesse sentido O presente trabalho tem como objetivo mostrar algumas aplicaccedilotildees de matrizes

que se datildeo no controle de traacutefego endocrinologia modelos populacionais criptografia e

computaccedilatildeo graacutefica Seraacute apresentada ainda uma siacutentese da histoacuteria das matrizes e uma visatildeo

geral de sua teoria atraveacutes da definiccedilatildeo de matriz representaccedilatildeo tipos operaccedilotildees e

propriedades Espera-se dessa forma auxiliar o professor a despertar maior interesse em seus

alunos pelo conteuacutedo e uma melhor aprendizagem assim como promover discussotildees e

reflexotildees sobre o estudo de matrizes no ensino meacutedio

PALAVRAS-CHAVE Matrizes Operaccedilotildees Aplicaccedilotildees Ensino meacutedio

A B S T R A C T

The study about Matrices in High School is usually focused on the approach of operations and

it is hardly ever regarded as a problem situation and contextualization This approach does not

allow the student to notice this content applicability which may be a negative factor in their

learning Thus there is a shortage of teaching materials that support teacher on this way This

paperrsquos objective is to show some Matrices applications that occur within traffic control

system endocrinology population models encryption and computer Graphics It is also

presented a Matrices History summary and an overview of its theory through Matrix

definition representation types operations and properties It is expected to aid teachers to

awaken studentsrsquo greater interest to the content and to reach better learning results as well as

to promote discussions and reflection on the Matrices study at High School

KEYWORDS Matrices Operations Applications High School

LISTA DE QUADROS

QUADRO 1 ndash Correspondecircncia entre letras e nuacutemeros 39

LISTA DE TABELAS

TABELA 1 ndash Nota dos alunos hellip 19

TABELA 2 ndash Origem eacutetnica Ensino fundamental hellip 23

TABELA 3 ndash Origem eacutetnica Ensino meacutedio hellip 23

TABELA 4 ndash Origem eacutetnica dos alunos da escola hellip 24

TABELA 5 ndash Grupo A (1ordf fase) hellip 27

TABELA 6 ndash Resultados e pontos correspondentes hellip 27

TABELA 7 ndash

TABELA 8 ndash

Gasto caloacuterico por atividade fiacutesica hellip

Tempo diaacuterio pra cada atividade (horas)

37

37

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 ndash Arthur Cayley helliphellip 17

FIGURA 2 ndash Cruzamento de ruas 35

FIGURA 3 ndash Rotaccedilatildeo do triacircngulo ABC de 30ordm no sentido anti-horaacuterio em

torno da origem

42

FIGURA 4 ndash Mudanccedila de escala do triacircngulo ABC em 50 43

FIGURA 5 ndash Translaccedilatildeo do triacircngulo ABC em 2 unidades para a esquerda e

2 unidades para cima

44

SUMAacuteRIO

1 INTRODUCcedilAtildeO 13

2 UM POUCO DA HISTOacuteRIA DAS MATRIZES 15

21 O livro ldquoNove capiacutetulos sobre a arte matemaacuteticardquo e a ideia de matriz 15

22 Como surgiu o termo ldquomatrizrdquo 15

23 A origem da teoria das matrizes 16

24 Biografia de Arthur Cayley 17

3 MATRIZES 19

31 Definiccedilatildeo 19

32 Representaccedilatildeo algeacutebrica 19

33 Tipos de matrizes 20

331 Matriz quadrada 20

332 Matriz nula 21

333 Matriz linha 21

334 Matriz coluna 21

335 Matriz diagonal 21

336 Matriz identidade 21

337 Matriz triangular superior 22

338 Matriz triangular inferior 22

34 Igualdade entre matrizes 22

35 Operaccedilotildees com matrizes 23

351 Adiccedilatildeo 23


3512 Propriedades 24

3513 Matriz oposta 25

3514 Subtraccedilatildeo de matrizes 25

352 Multiplicaccedilatildeo de uma matriz por um escalar 25



353 Multiplicaccedilatildeo de matrizes 27



36 Matriz transposta 31


362 Propriedades 31

363 Matriz simeacutetrica 32

364 Matriz anti-simeacutetrica 32

37 Inversa de uma matriz 32


372 Teorema 33

4 ALGUMAS APLICACcedilOtildeES DE MATRIZES 35

41 Matrizes e o Controle de traacutefego 35

42 Matrizes e Endocrinologia 37

43 Matrizes e Modelos populacionais 38

44 Matrizes e Criptografia 39

45 Matrizes e Computaccedilatildeo graacutefica 42

5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS47

REFEREcircNCIAS 48

13

1 INTRODUCcedilAtildeO

A abordagem de matrizes no ensino meacutedio quase sempre se daacute de forma mecacircnica e

dissociada da realidade o que impede que o aluno perceba a aplicabilidade desse conteuacutedo e

tenha maior interesse em aprendecirc-lo Muitas vezes o professor de matemaacutetica natildeo dispotildee de

ferramentas para trabalhar o conteuacutedo de matrizes de forma inovadora visto que os livros

didaacuteticos em sua maioria natildeo trazem atividades com foco nas aplicaccedilotildees

Este trabalho tem como objetivo apresentar algumas das muitas aplicaccedilotildees das

matrizes no dia-a-dia a fim de auxiliar o professor de matemaacutetica a despertar o interesse do

aluno pelo conteuacutedo para que este compreenda a finalidade do estudo das matrizes e suas

respectivas operaccedilotildees e consequentemente obtenha uma melhor aprendizagem

Como base de estudo e pesquisa as principais referecircncias foram Boldrini (1980)

Boyer (1996) Dante (2004) Iezzi (2004) e Kuerten (2002)

Este trabalho inicia-se com o capiacutetulo que expotildee uma siacutentese da histoacuteria das matrizes

onde eacute apresentado um dos mais antigos registros referentes agrave ideia de matriz o surgimento

do termo ldquomatrizrdquo a origem da teoria e tambeacutem a biografia do matemaacutetico inglecircs Arthur

Cayley a quem eacute conferido o meacuterito da invenccedilatildeo das matrizes

No capiacutetulo seguinte eacute abordada a definiccedilatildeo de matrizes as formas de representaacute-las

algebricamente seus principais tipos as operaccedilotildees baacutesicas exemplificadas e tambeacutem suas

propriedades com as respectivas demonstraccedilotildees

A ideia central deste trabalho eacute exibida em seu uacuteltimo capiacutetulo atraveacutes de sugestotildees de

aplicaccedilotildees para a abordagem de matrizes no ensino meacutedio Tais aplicaccedilotildees se datildeo em

situaccedilotildees do cotidiano como controle de traacutefego endocrinologia modelos populacionais

criptografia e computaccedilatildeo graacutefica

A aplicaccedilatildeo no controle de traacutefego acontece por meio de operaccedilotildees com matrizes para

indicar o tempo em que cada semaacuteforo deve permanecer aberto e fechado controlando assim

o fluxo de veiacuteculos

Na Endocrinologia as matrizes auxiliam na prescriccedilatildeo de dietas e programas de

exerciacutecios aleacutem disso satildeo um instrumento importante para a anaacutelise do crescimento

populacional

A criptografia eacute um meacutetodo usado para codificar e decodificar mensagens que pode

ser efetuado por meio de matrizes

14

Eacute atraveacutes de operaccedilotildees com matrizes que um programa graacutefico altera a posiccedilatildeo dos

pixels que compotildeem uma imagem fazendo-a girar mudar de posiccedilatildeo ou de escala o que na

computaccedilatildeo graacutefica recebe o nome de transformaccedilatildeo geomeacutetrica

Estas satildeo algumas das inuacutemeras aplicaccedilotildees das matrizes no dia-a-dia que geralmente

passam despercebidas devido ao ensino descontextualizado deste conteuacutedo

15

2 UM POUCO DA HISTOacuteRIA DAS MATRIZES

21 O livro ldquoNove capiacutetulos sobre a arte matemaacuteticardquo e a ideia de matriz

Um dos mais antigos registros referentes agrave ideia de matriz encontra-se no livro chinecircs

Chui-Chang Suan-Shu (Nove Capiacutetulos sobre a Arte Matemaacutetica) Escrito por volta de

250 aC o livro conteacutem problemas sobre diversos assuntos como mensuraccedilatildeo de terras

agricultura engenharia impostos etc Satildeo ao todo 246 problemas dentre os quais um eacute

resolvido atraveacutes de caacutelculos efetuados em uma tabela (matriz) Veja o problema

Existem trecircs tipos de milho dos quais trecircs feixes do primeiro tipo dois do segundo e

um do terceiro fazem 39 medidas Dois do primeiro trecircs do segundo e um do terceiro fazem

34 medidas E um do primeiro dois do segundo e trecircs do terceiro fazem 26 medidas Quantas

medidas de milho estatildeo contidas em um pacote de cada tipo

O problema resulta no seguinte sistema linear

2632

3432

3923

zyx

zyx

zyx

Para resolvecirc-lo efetuaram-se operaccedilotildees sobre colunas da primeira tabela para reduzi-

la agrave segunda conforme ilustrado abaixo

393426

113

232

321

392499

1136

250

300

Eacute notaacutevel que a segunda tabela representa as equaccedilotildees 9936z 245 zy e

3923 zyx a partir das quais foram determinados os valores de x y e z

22 Como surgiu o termo ldquomatrizrdquo

O nome ldquomatrizrdquo foi dado por James Joseph Sylvester em 1850 que adotou o

significado coloquial da referida palavra qual seja local onde algo se gera ou cria Com

efeito via-as como ldquo um bloco retangular de termos o que natildeo representa um

determinante mas eacute como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar vaacuterios

sistemas de determinantes ao fixar um nuacutemero p e escolher agrave vontade p linhas e p

16

colunasrdquo (artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850 pag 363-370) Nesse trecho

eacute possiacutevel observar que Sylvester ainda via as matrizes simplesmente como ingrediente dos

determinantes

23 A origem da teoria das matrizes

A teoria das matrizes teve origem com um artigo do inglecircs Arthur Cayley em 1855

Cayley salientou o fato de mesmo que pela loacutegica a noccedilatildeo de matriz anteceda a de

determinante historicamente ocorreu o inverso pois os determinantes jaacute eram usados na

resoluccedilatildeo de sistemas de equaccedilotildees lineares haacute muito tempo

Vaacuterios matemaacuteticos deram a sua contribuiccedilatildeo para o desenvolvimento da teoria das

matrizes como James Joseph Sylvester (1814-1897) Benjamin Peirce (1809-1880) e seu

filho Charles S Peirce (1839-1914) no entanto o meacuterito da invenccedilatildeo eacute geralmente conferido

a Cayley

Quanto agraves matrizes Cayley definiu a ideia de operaacute-las como na aacutelgebra e introduziu-

as para simplificar a notaccedilatildeo de uma transformaccedilatildeo linear Assim ao inveacutes de

dycxy

byaxx

escrevia yx

dc

bayx

A partir da observaccedilatildeo do efeito de duas transformaccedilotildees sucessivas definiu o produto

de matrizes Em seguida chegou a ideia de matriz inversa o que obviamente pressupotildee a de

elemento neutro (a matriz identidade) Trecircs anos depois em outro artigo Cayley introduziu os

conceitos de adiccedilatildeo de matrizes e de multiplicaccedilatildeo de matrizes por escalares enfatizando as

propriedades algeacutebricas dessas operaccedilotildees Anos depois Cayley se encarregou de encontrar

inuacutemeras aplicaccedilotildees para as matrizes

Entretanto antes de Cayley iniciar estudar matrizes muitos resultados da teoria jaacute

haviam sido descobertos por matemaacuteticos dos seacuteculos XVIII e XIX quando estes passaram a

investigar a Teoria das Formas Quadraacuteticas

Naquela eacutepoca as formas quadraacuteticas eram tratadas escalarmente hoje se faz uso da

notaccedilatildeo e metodologia matricial no estudo dessas Veja a representaccedilatildeo de uma forma

quadraacutetica de duas variaacuteveis via essas duas notaccedilotildees (escalar e matricial)

17

y

x

cb

baxycybxyaxyxq 22 2

A noccedilatildeo de matriz foi usada implicitamente pela primeira vez por Lagrange (1790)

quando o mesmo reduziu a caracterizaccedilatildeo dos maacuteximos e miacutenimos de uma funccedilatildeo real de

vaacuterias variaacuteveis ao estudo do sinal da forma quadraacutetica associada agrave matriz das segundas

derivadas dessa funccedilatildeo A conclusatildeo a qual chegou trabalhando escalarmente hoje eacute expressa

em termos de ldquomatriz positiva definidardquo

Pode-se afirmar que a Teoria das Matrizes teve como matildee a Teoria das Formas

Quadraacuteticas Poreacutem hoje o estudo das formas quadraacuteticas eacute simplesmente um capiacutetulo dessa

teoria Aleacutem disso constata-se que os determinantes natildeo contribuiacuteram em nada para o

desenvolvimento da Teoria das Matrizes

24 Biografia de Arthur Cayley

O matemaacutetico inglecircs Arthur Cayley nasceu em 16

de agosto de 1821 na cidade de Richmond Surrey e

estudou no Trinity College Cambridge onde se destacou

e concluiu a graduaccedilatildeo em 1842 Tempos depois resolveu

estudar direito e trabalhar na aacuterea mesmo assim continuou

os seus estudos em matemaacutetica Enquanto aluno de direito

assistiu a palestras de Hamilton sobre os quateacuternios No

ano de 1863 decidiu abandonar a praacutetica juriacutedica e

dedicar-se exclusivamente agrave matemaacutetica apoacutes ter sido

convidado a reger a caacutetedra sadleriana de Cambridge

Em volume de produccedilatildeo matemaacutetica em toda a histoacuteria Cayley ocupa o terceiro

lugar sendo superado apenas por Euler e Cauchy Suas primeiras publicaccedilotildees ocorreram

quando ainda era graduando em Cambridge durante o periacuteodo em que se dedicou agrave praacutetica

juriacutedica publicou entre 200 e 300 artigos e continuou pelo resto da vida proliacutefico nessa

atividade Suas obras completas foram publicadas em Cambridge distribuiacutedas em 13

volumes e receberam o tiacutetulo ldquoThe Collected Mathematical papers of Arthur Cayleyrdquo

(Coletacircnea dos escritos matemaacuteticos de Arthur Cayley)

Muitas aacutereas da matemaacutetica foram abordadas e enriquecidas por Cayley como a

geometria analiacutetica a teoria das transformaccedilotildees teoria dos determinantes teoria das curvas e

superfiacutecies teoria das funccedilotildees abelianas etc Aleacutem disso jaacute consideramos neste capiacutetulo o seu

Figura 1 - Arthur Cayley

Fonte Biblioteca do Congresso

18

trabalho na aacutelgebra das matrizes Contudo considera-se o seu trabalho mais importante a

criaccedilatildeo e desenvolvimento da teoria dos invariantes cuja origem eacute encontrada em estudos

feitos por Lagrange Gauss e em particular Boole O interesse por esta aacuterea foi

compartilhado com Sylvester e os dois que na eacutepoca moravam em Londres fizeram novas

descobertas que contribuiacuteram de forma significativa para o desenvolvimento desta teoria

As caracteriacutesticas dos artigos que Cayley escreveu refletem a sua formaccedilatildeo juriacutedica e

marcaram seu estilo matemaacutetico Possuiacutea uma capacidade de memorizaccedilatildeo extraordinaacuteria era

calmo equilibrado e educado Cayley recebeu o nome ldquoo matemaacutetico dos matemaacuteticosrdquo

Cayley gostava de ler romances natildeo somente em inglecircs como tambeacutem em outras

liacutenguas alematildeo francecircs italiano e grego Entre seus mais variados talentos destaca-se o de

pintar aquarelas Apreciava a natureza de uma forma geral e era considerado um alpinista por

ter feito diversas viagens para grandes caminhadas e para escalar montanhas Conta-se que

uma vez Cayley declarou que o motivo que o levava a escalar montanhas era a sensaccedilatildeo

proporcionada pela chegada ao cume que considerava ser idecircntica a de solucionar um

problema matemaacutetico difiacutecil ou concluir uma teoria matemaacutetica complexa

Cayley faleceu em Cambridge no dia 26 de janeiro de 1895 antes mesmo de suas

obras serem publicadas totalmente

19

3 MATRIZES

31 Definiccedilatildeo

Verifique a tabela a seguir que indica as notas de Joseacute Maria e Ricardo em quatro

disciplinas (Portuguecircs Matemaacutetica Quiacutemica e Fiacutesica)

Tabela 1- Nota dos alunos

Nome Portuguecircs Matemaacutetica Quiacutemica Fiacutesica

Joseacute 85 90 100 95

Maria 90 100 85 80

Ricardo 80 70 85 75

Fonte Elaborada pelo autor

Uma tabela desse tipo em que os nuacutemeros estatildeo dispostos em 3 linhas e 4 colunas

denomina-se matriz 3times4 (lecirc-se trecircs por quatro) e podemos representaacute-la por

57

08

59

58

58

010

07

010

09

08

09

58

M

Definiccedilatildeo Sejam m e n dois nuacutemeros naturais e natildeo nulos chama-se matriz m por n

(indica-se m times n) toda tabela M de elementos (nuacutemeros funccedilotildees etc) dispostos em m linhas e

n colunas

Outros exemplos

30

72A matriz 2times2

2082

7413

3151

B matriz 3times3 e

42

13

015

C matriz 3times2

32 Representaccedilatildeo algeacutebrica

Usam-se sempre letras maiuacutesculas para denotar matrizes Cada elemento eacute indicado

por aij O iacutendice i indica a linha e o iacutendice j a coluna agraves quais o elemento pertence Com a

convenccedilatildeo de que as linhas sejam numeradas de cima para baixo (de 1 ateacute m) e as colunas da

esquerda para a direita (de 1 ateacute n) uma matriz mtimesn eacute representada por

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

20

Pode-se abreviadamente representar uma matriz por M = ( aij ) i 1 2 3 m e

j 1 2 3 n ou ainda M = ( aij )n x m

Exemplo Vamos construir a matriz A = ( aij )3 x 3 tal que aij = i + j

Soluccedilatildeo

Temos por definiccedilatildeo

a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3 a13 = 1 + 3 = 4

a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 a23 = 2 + 3 = 5

a31 = 3 + 1 = 4 a32 = 3 + 2 = 5 a33 = 3 + 3 = 6

Logo a matriz procurada eacute

654

543

432

A

33 Tipos de matrizes

Eacute notaacutevel que algumas matrizes possuam propriedades que as diferenciam de uma

matriz qualquer como o nuacutemero de linhas ou colunas ou ainda a natureza de seus elementos

e por apresentarem uma utilidade maior nesse estudo recebem nomes especiais

331 Matriz quadrada

Toda matriz que tem o mesmo nuacutemero de linhas e colunas isto eacute m = n recebe o

nome de matriz quadrada

Exemplos

60

39A

805

7110

432

B e

141300

1234

5678

9101112

C

Em uma matriz quadrada de ordem n o conjunto dos elementos que tecircm os dois

iacutendices iguais isto eacute aij | i = j= a11 a22 ann compotildeem a sua ldquodiagonal principalrdquo A

ldquodiagonal secundaacuteriardquo eacute formada pelo conjunto dos elementos que tecircm soma de iacutendices igual

a n+1 isto eacute aij | i+j= n+1= a1n a2n-1 a3n-2 an1

Exemplo A diagonal principal da matriz C dada no exemplo anterior eacute 12 7 2 14 jaacute sua

diagonal secundaacuteria eacute minus9 minus3 minus6 0

21

332 Matriz nula

Matriz nula eacute toda matriz que tem todos os elementos iguais a zero ou seja aij = 0

para todo i e j

Exemplos

00000

00000D

000

000

000

E e 00

00F

333 Matriz linha

A matriz que soacute tem uma linha isto eacute m = 1 recebe o nome de matriz linha

Exemplos

13117532G 15110H e 931J

334 Matriz coluna

Matriz coluna eacute toda matriz que possui uma uacutenica coluna ou seja n =1

Exemplos

13

2K

9

7

5

10

L e

9

97

8

1

0

M

335 Matriz diagonal

Matriz diagonal eacute toda matriz quadrada onde aij = 0 para todo i ne j isto eacute os

elementos que natildeo pertencem agrave diagonal principal satildeo iguais a zero

Exemplos

6000

0700

0080

0009

N

300

040

005

O e 10

02P

336 Matriz identidade

Matriz identidade eacute toda matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal

satildeo iguais a 1 ou seja aij = 1 para todo i = j e aij = 0 para todo i ne j Uma matriz identidade

de ordem n eacute representada por In

22

Exemplos

I2 =10

01 I3 =

100

010

001

e I4 =

1000

0100

0010

0001

337 Matriz triangular superior

Matriz triangular superior eacute toda matriz quadrada que tem todos os elementos abaixo

da diagonal principal iguais a zero isto eacute m = n e aij = 0 para todo i gtj

Exemplos

9000

6700

2050

3831

Q

900

740

256

R e 10

107S

338 Matriz triangular inferior

Matriz triangular inferior eacute toda matriz quadrada que tem todos os elementos acima da

diagonal principal iguais a zero isto eacute m = n e aij = 0 para todo i lt j

Exemplos

311

051T

9815

016

007

U e

7268

01043

0051

0009

V

34 Igualdade entre matrizes

Duas matrizes A = ( aij )mtimesn e B = ( bij )mtimesn satildeo iguais A = B quando satildeo do mesmo tipo

e todos os seus elementos correspondentes satildeo iguais isto eacute aij = bij

Exemplo Considere as matrizes abaixo

46

2250

2

A eB16

45

16

45C

Temos que A = B pois a11= b11 a12= b12 a21= b21 e a22 = b22 Por outro lado B ne C

pois b22 ne c22

23

35 Operaccedilotildees com matrizes

351 Adiccedilatildeo


Consideremos as tabelas a seguir que descrevem os resultados obtidos numa pesquisa

feita por uma escola para identificar a origem eacutetnica de seus alunos

Tabela 2 - Origem eacutetnica Ensino fundamental

Origem eacutetnica Meninos Meninas

Branca 280 315

Preta 117 102

Amarela 56 67


Tabela 3 - Origem eacutetnica Ensino meacutedio


Branca 225 203

Preta 56 69

Amarela 73 88


Se quisermos montar uma tabela que descreva a origem eacutetnica dos alunos dessa escola

apenas pelo gecircnero ou seja independente do niacutevel escolar teremos que somar os elementos

correspondentes das duas tabelas anteriores Escrevendo as matrizes correspondentes a essas

tabelas temos

155129

171173

518505

8873

6956

203225

6756

102117

315280

Assim podemos escrever a tabela a seguir

24

Tabela 4 - Origem eacutetnica dos alunos da escola


Branca 505 518

Preta 173 171

Amarela 129 155


Neste exemplo acabamos de aplicar uma operaccedilatildeo com matrizes a adiccedilatildeo

Definiccedilatildeo Dadas duas matrizes A = ( aij )mtimesn e B = ( bij )mtimesn denomina-se soma da matriz A

com a matriz B (indica-se A+B) a matriz C = ( cij )mtimesn tal que cij = aij + bij para todo i

e todo j isto eacute cada elemento eacute obtido somando os elementos correspondentes em A e B

Exemplo Dadas as matrizes 6453

71308A e

1753

02123B temos

C = A + B = 71106

73425

167455)3(3

07211320)3(8

3512 Propriedades

As propriedades da adiccedilatildeo de matrizes satildeo semelhantes agraves da adiccedilatildeo de nuacutemeros reais

Quaisquer que sejam as matrizes A B e C do tipo m times n temos

i) (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade)

Demonstraccedilatildeo Fazendo (A + B) + C = X e A + (B + C) = Y temos

xij = (aij + bij) + cij = aij + (bij + cij) = yij para todo i e todo j

ii) A + B = B + A (comutatividade)

Demonstraccedilatildeo Fazendo A + B = X e B + A = Y temos

xij = aij + bij = bij + aij = yij para todo i e todo j

iii) O A + O = A (Existecircncia do elemento neutro)

Demonstraccedilatildeo Partindo da hipoacutetese que A + O = A temos

aij + oij = aij oij = 0 para todo i e todo j ou seja a matriz nula do tipo mtimesn eacute o

elemento neutro da adiccedilatildeo de matrizes

iv) Arsquo A + Arsquo = O (Existecircncia do elemento simeacutetrico)

Demonstraccedilatildeo Partindo da hipoacutetese que A + Arsquo = O temos

aij + arsquoij = 0 arsquoij = minusaij p todo i e todo j ou seja a simeacutetrica da matriz A para a

adiccedilatildeo eacute a matriz Arsquo na qual cada elemento eacute simeacutetrico do correspondente em A

25

3513 Matriz oposta

Denomina-se matriz oposta de uma matriz A = ( aij )mtimesn (indica-se ndashA) a matriz

Arsquo = ( arsquoij )mtimesn tal que A + Arsquo = O isto eacute a matriz cujos elementos satildeo os simeacutetricos dos

elementos correspondentes em A

Exemplos

047

6103

159

047

6103

159

AA e 29

52

29

52BB

3514 Subtraccedilatildeo de matrizes

Dadas duas matrizes A = ( aij )mtimesn e B = ( bij )mtimesn denomina-se diferenccedila A ndash B a matriz

resultante da adiccedilatildeo de A com a oposta de B

Exemplo Sejam as matrizes 479

512A e

651

038B temos

651

038

479

512BA

21210

5410

651

038

479

512

352 Multiplicaccedilatildeo de uma matriz por um escalar


Dada a matriz 853

426M vamos determinar M + M Temos

16106

8412

853

426

853

426MM

Considerando que M + M = 2M temos

16106

8412

825232

422262

853

42622M

Observamos entatildeo que a multiplicaccedilatildeo de um escalar por uma matriz resulta em uma

nova matriz cujos elementos satildeo obtidos multiplicando o escalar por cada um dos elementos

da matriz dada

26

Definiccedilatildeo Dada uma matriz A = ( aij )mtimesn e um escalar k o produto kA eacute uma matriz

B = ( bij )mtimesn cujos elementos satildeo bij = kaij p todo i e todo j

Exemplo Sejam as matrizes

09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades

Dadas as matrizes A = ( aij )mtimesn e B = ( bij )mtimesn e os escalares wk temos

i) (k + w)A = kA + wA ( distributividade)

Demonstraccedilatildeo

Seja (k + w)A = X = ( xij )mtimesn kA = Y = ( yij )mtimesn e wA = Z = ( zij )mtimesn temos

xij = (k+w)aij = (kaij) + (waij) = yij + zij p todo i e p todo j ou seja (k + w)A =

= kA + wA

ii) k(A + B) = kA + kB ( distributividade )


Seja k(A + B) = X = ( xij )mtimesn kA = Y = ( yij )mtimesn e kB = Z = ( zij )mtimesn temos

xij = k(aij + bij) = (kaij) + (kbij) = yij + zij p todo i e p todo j ou seja k(A + B) =

= kA + kB

iii) k(wA) = (kw)A ( associatividade )


Seja k(wA) = X = ( xij )mtimesn e (kw)A = Y = ( yij )mtimesn temos

xij = k(waij) = (kw)aij = yij p todo i e p todo j ou seja k(wA) = (kw)A

iv) 1 A = A ( existecircncia do elemento neutro )


Temos 1aij = aij p todo i e p todo j ou seja 1A = A

27

353 Multiplicaccedilatildeo de matrizes


Veja a situaccedilatildeo a seguir

Durante a primeira fase da Copa do Mundo de futebol realizada no Brasil em 2014 o

grupo A era formado por Brasil Croaacutecia Meacutexico e Camarotildees Observe na tabela os

resultados de cada um desses quatro paiacuteses (nuacutemero de vitoacuterias empates e derrotas)

Tabela 5 - Grupo A (1ordf fase)

Paiacutes Vitoacuterias Empates Derrotas

Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3


Com a matriz R vamos representar esses resultados

300

012

201

012

R

De acordo com o regulamento da Copa cada vitoacuteria empate e derrota corresponde a

3 pontos 1 ponto e 0 ponto respectivamente Veja a tabela

Tabela 6 - Resultados e pontos correspondentes

Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0


Com a matriz P vamos registrar esse fato

0

1

3

P

28

Veja como foi verificado o total de pontos feitos por cada seleccedilatildeo apoacutes o teacutermino da

1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0

Essa pontuaccedilatildeo pode ser registrada numa matriz que eacute resultante da multiplicaccedilatildeo de R

por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR

Note que o Brasil fez 7 pontos a Croaacutecia 3 pontos o Meacutexico 7 pontos e o Camarotildees

natildeo pontuou

Esse exemplo sugere como deve ser feita a multiplicaccedilatildeo de matrizes Veja agora a

definiccedilatildeo matemaacutetica

Definiccedilatildeo Sejam as matrizes A = ( aij )mtimesn e B = ( bjk )ntimesp chama-se produto AB a matriz

C = ( cik )mtimesp tal que

Cik = ai1 b1k + ai2 b2k + ai3 b3k + + ain bnk = n

j

jkij ba1

para todo i 1 2 3 m e todo k 1 2 3 p

Observaccedilotildees

a) soacute podemos efetuar a multiplicaccedilatildeo de duas matrizes A = ( aij )mtimesn e B = ( bjk )ntimesp

se o nuacutemero de colunas da primeira for igual ao nuacutemero de linhas da segunda

Aleacutem disso a matriz C = AB seraacute de ordem m times p

b) o elemento cij (i-eacutesima linha e j-eacutesima coluna da matriz C) eacute obtido multiplicando

os elementos da i-eacutesima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes

da j-eacutesima coluna da segunda matriz e somando estes produtos

29

Exemplos

i) Dadas as matrizes

210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC

ii) Dadas as matrizes 2058A e

7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC

iii) Sejam as matrizes

206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y

Natildeo eacute possiacutevel efetuar a multiplicaccedilatildeo X Y pois o nuacutemero de colunas da primeira

matriz eacute diferente do nuacutemero de linhas da segunda matriz

3532 Propriedades

A multiplicaccedilatildeo de matrizes apresenta as seguintes propriedades

i) AIn = A e ImA = A

Demonstraccedilatildeo Sendo A = ( aij )mtimesn In = ( xij )n times n e B = AIn = ( bij )m times n Temos

bij = ai1x1j + ai2x2j + ai3x3j + + aiixii + + ainxnj e como In eacute a matriz identidade

xij = 1 se i = j e xij = 0 se i ne j temos

bij = ai10 + ai20 + ai30 + + aii1 + + ain0 = aii p todo i e todo j

Entatildeo A In = A Analogamente mostra-se que Im A = A

30

ii) ( AB )C = A( BC ) (associatividade)

Demonstraccedilatildeo Quaisquer que sejam as matrizes A = ( aij )mtimesn B = ( bjk )ntimesp e

C = ( ckl )ptimesr Fazendo D = AB = ( dik )mtimesp E = ( AB )C = ( eil )mtimesr e F = BC = ( fjl )ntimesr

temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k

ikil cbacbacde1 11 11

n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111

Entatildeo ( AB )C = A( BC )

iii) ( A + B )C = AC + BC (distributividade agrave direita em relaccedilatildeo agrave adiccedilatildeo)

Demonstraccedilatildeo Quaisquer que sejam as matrizes A = ( aij )mtimesn B = ( bij )mtimesn e

C = ( cjk )ntimesp Fazendo D = ( A + B )C = ( dik )mtimesp temos

jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j

ijijik cbcacbcacbad1111

Entatildeo ( A + B )C = AC + BC

iv) C( A + B ) = CA + CB (distributividade agrave esquerda)

Demonstraccedilatildeo Anaacuteloga a iii)

v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )

Demonstraccedilatildeo Quaisquer que sejam o nuacutemero k e as matrizes A = ( aij )mtimesn

B = ( bjk )ntimesp Fazendo C = kA = ( cij )mtimesn D = kB = ( dik )mtimesp E = AB = ( eik )mtimesp

( Ka )B = ( fik )mtimesp A( Kb ) = ( gik )mtimesp e k( AB ) = ( hik )ntimesp temos

fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111

= hik ou seja ( kA )B = A( kB )

e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111

)( = hik ou seja A( kB ) = k( AB )

Entatildeo ( kA )B = A( kB ) = k( AB )


a) a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo eacute comutativa isto eacute existem matrizes A e B tais

que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14

20B entatildeo AB ne BA pois

720

48AB e

1311

102BA

b) se ocorrer AB = BA dizemos que as matrizes A e B comutam Observe

42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA

c) note ainda que AB = 0 ( matriz nula ) sem que A = 0 ou B = 0 Veja

Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00

00AB A ne 0 e B ne 0

36 Matriz transposta


Dada uma matriz A = ( aij )mtimesn denomina-se transposta de A a matriz At = ( arsquoji )ntimesm

em que arsquoji = aij para todo i e todo j Isto significa que a matriz At eacute obtida a partir de A

trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas

Exemplo Dadas as matrizes

53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades

A matriz transposta apresenta as seguintes propriedades

i) ( At )

t = A para toda matriz A = ( aij )mtimesn

Demonstraccedilatildeo Fazendo ( At )

t = ( arsquorsquoij )mtimesn resulta

arsquorsquoij = arsquoji = aij para todo i j ou seja ( At )

t = A

ii) Se A = ( aij )mtimesn e B = ( bij )mtimesn entatildeo ( A + B )t = A

t + B

t

Demonstraccedilatildeo Fazendo A + B = C = ( cij )mtimesn e ( A + B )t = C

t = ( crsquoji )ntimesm temos

32

crsquoji = cij = aij + bij =arsquoji + brsquoji para todo i j ou seja ( A + B )t = A

t + B

t

iii) Se A = ( aij )mtimesn e k entatildeo ( kA )t = kA

t

Demonstraccedilatildeo Fazendo ( kA )t = ( arsquorsquoji )ntimesm resulta

arsquorsquoji = kaij = karsquoji para todo i j ou seja ( kA )t = kA

t

iv) Se A = ( aij )mtimesn e B = ( bjk )ntimesp entatildeo ( AB )t = B

tA

t

Demonstraccedilatildeo Fazendo AB = C = ( cik )mtimesp e ( AB )t = C

t = ( crsquoki )ptimesm resulta

111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc

363 Matriz simeacutetrica

Denomina-se matriz simeacutetrica toda matriz quadrada A de ordem n tal que At = A

Decorre da definiccedilatildeo que se A = ( aij )ntimesn eacute uma matriz simeacutetrica entatildeo aij = aji para

todo i e todo j Segue exemplos

7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y

364 Matriz anti-simeacutetrica

Denomina-se matriz anti-simeacutetrica toda matriz quadrada A de ordem n tal que

At = minusA

Decorre da definiccedilatildeo que se A = ( aij )ntimesn eacute uma matriz anti-simeacutetrica entatildeo aij = minusaji

para todo i e todo j

Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C

37 Inversa de uma matriz


Dada uma matriz quadrada A de ordem n chama-se inversa de A a matriz A-1

de

mesma ordem tal que AA-1

= A-1

A = In

33

Quando existe a matriz inversa de A dizemos que A eacute uma matriz inversiacutevel ou natildeo-

singular

372 Teorema

Se A eacute inversiacutevel entatildeo eacute uacutenica a matriz A-1

tal que AA-1

= A-1

A = In

Demonstraccedilatildeo Admitamos que exista uma matriz B tal que AB = BA = In Temos

B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72

31A eacute inversiacutevel e

12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I

ii) Sabendo que a matriz 115

73A eacute inversiacutevel vamos determinar a sua inversa

Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA

Pela definiccedilatildeo de igualdade de matrizes temos

2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11

pois temos tambeacutem

10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84

21A eacute singular (natildeo eacute inversiacutevel) pois se

dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca

ca (impossiacutevel) e

184

02

db

db (impossiacutevel)

Portanto natildeo existem a b c d satisfazendo a definiccedilatildeo

35

4 ALGUMAS APLICACcedilOtildeES DE MATRIZES

Neste capiacutetulo apresentamos sugestotildees de aplicaccedilotildees para a abordagem de Matrizes

no ensino meacutedio

41 Matrizes e o Controle de traacutefego

As matrizes podem servir de modelo para descrever muitas situaccedilotildees do nosso

cotidiano Veja um exemplo

Um cruzamento de duas ruas de matildeo dupla eacute representado na figura a seguir

Figura 2 - Cruzamento de ruas

Fonte httpobaricentrodamenteblogspotcom

Trecircs conjuntos de semaacuteforos controlam o fluxo de automoacuteveis nos pontos A B e C e o

tempo (em minutos) durante o qual estes semaacuteforos ficam ao mesmo tempo abertos eacute

indicado pelas matrizes S1 S2 e S3 conforme a sequecircncia em que aparecem

Em um primeiro momento ficam abertos (verdes) os semaacuteforos de A para B de A para

C e de B para A durante 1 minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36

Logo apoacutes durante meio minuto ficam abertos os semaacuteforos de B para A de B para C

e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2

E por uacuteltimo ficam abertos os semaacuteforos de C para A de C para B e de A para C

durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3

Somando as matrizes S1 S2 e S3 obtemos uma matriz M que indica no periacuteodo de 2

minutos o tempo que cada semaacuteforo fica aberto em cada sentido

CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110

O semaacuteforo de A para C fica aberto durante 1 minuto e meio a cada periacuteodo de 2

minutos por exemplo Se multiplicarmos a matriz M por 30 jaacute que o periacuteodo eacute de 2 minutos

obteremos o tempo em minutos em que cada semaacuteforo fica aberto durante 1 hora

N = 30 M

03015

15045

45300

Supondo que nestas ruas passam ateacute 20 carros por minuto cada vez que os semaacuteforos

abrem multiplicando a matriz N por 20 obteremos a quantidade maacutexima de veiacuteculos que

podem passar no periacuteodo de 1 hora por este cruzamento

0600300

300045

9006000

20 N

37

Eacute possiacutevel um engarrafamento nesse cruzamento caso o nuacutemero de veiacuteculos em

algum dos sentidos for maior que a quantidade maacutexima permitida Contudo este imprevisto

pode ser resolvido fazendo uma alteraccedilatildeo nos tempos de abertura dos semaacuteforos ou seja

alterando os valores das matrizes S1 S2 e S3

42 Matrizes e Endocrinologia

A tabela a seguir apresenta a quantidade aproximada de calorias que uma pessoa com

60 kg de massa corporal iraacute perder realizando cada atividade fiacutesica por um periacuteodo de 1 hora

Tabela 7 - Gasto caloacuterico por atividade fiacutesica

Peso Andar de bicicleta Caminhar acelerado Correr a 12 kmh Hidroginaacutestica

60 kg 252 calorias 552 calorias 890 calorias 300 calorias

Fonte Campos 2008

Suponhamos um acompanhamento de uma pessoa com este peso por meio de um

programa com estes exerciacutecios ao longo de uma semana conforme a tabela

Tabela 8 ndash Tempo diaacuterio pra cada atividade (horas)

Dia da semana Andar de

bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica

segunda-feira 1 0 0 1

terccedila-feira 0 0 1 0

quarta-feira 05 05 0 0

quinta-feira 0 0 05 15

sexta-feira 05 1 0 0

Fonte Campos2008

Podemos construir uma matriz 4 times 1 com as informaccedilotildees da Tabela 7 e uma matriz

5 times 4 com as informaccedilotildees da tabela 8 Sendo assim para determinarmos quantas calorias esta

pessoa queimaraacute em cada dia de exerciacutecio fiacutesico basta fazer o produto entre essas matrizes

678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001

Logo com este programa de exerciacutecios a pessoa a que nos referimos nesta situaccedilatildeo

queimaraacute 552 calorias na segunda-feira 890 calorias na terccedila-feira 1016 calorias na quarta-

feira 895 calorias na quinta-feira e 678 calorias na sexta-feira

38

43 Matrizes e Modelos populacionais

As matrizes satildeo um instrumento importante para a anaacutelise do crescimento

populacional Podemos determinar por exemplo como os grupos etaacuterios eacutetnicos de

determinada populaccedilatildeo de indiviacuteduos se modificam a cada ano

Considera-se o mais simples o caso da populaccedilatildeo homogecircnea com iniacutecio no tempo

t = 0 com um nuacutemero p0 de indiviacuteduos aumentando ou diminuindo a uma taxa anual

constante Isto eacute existe um nuacutemero k tal que depois de 1 ano a populaccedilatildeo seraacute p1 = kp0 apoacutes

2 anos seraacute p2 = kp1 = k2p0 e assim sucessivamente A populaccedilatildeo do ano seguinte eacute definida

simplesmente multiplicando a populaccedilatildeo do ano atual por k Apoacutes n anos a populaccedilatildeo inicial

p0 foi multiplicada pelo fator k n vezes e portanto a populaccedilatildeo pn seraacute dada por

pn = knp0

Caso a populaccedilatildeo esteja subdividida em grupos a populaccedilatildeo pn eacute substituiacuteda por uma

matriz Pn cujos elementos especificam os nuacutemeros de indiviacuteduos nos diferentes grupos O

ldquonuacutemero de transiccedilatildeordquo k eacute entatildeo substituiacutedo pela ldquomatriz de transiccedilatildeo Ardquo tal que a ldquomatriz

populaccedilatildeordquo de cada ano seja multiplicada pela matriz A para se obter a matriz populaccedilatildeo do

ano seguinte

Vejamos um simples exemplo dessa aplicaccedilatildeo

Exemplo A populaccedilatildeo total constante de 500000 pessoas de um municiacutepio eacute dividida entre a

zona urbana e a zona rural Seja Un a populaccedilatildeo da zona urbana e Rn a populaccedilatildeo da zona

rural apoacutes n anos A distribuiccedilatildeo da populaccedilatildeo desse municiacutepio apoacutes n anos eacute descrita pela

matriz populaccedilatildeo

n

n

nR

UP

O nosso objetivo eacute analisar a modificaccedilatildeo das populaccedilotildees urbanas e rurais ao longo de

dois anos

Suponha que a cada ano 15 da populaccedilatildeo da cidade se mudem para a zona rural e

que 10 da populaccedilatildeo rural se mudem para a cidade Entatildeo a populaccedilatildeo da cidade no

proacuteximo ano Un+1 seraacute igual a 85 da populaccedilatildeo da cidade deste ano Un mais 10 da

populaccedilatildeo rural Rn deste ano de modo que

Un+1 = (085)Un + (010)Rn para qualquer n ge 0 (1)

E a populaccedilatildeo rural no proacuteximo ano Rn+1 seraacute igual a 15 da populaccedilatildeo urbana Un

deste ano mais 90 da populaccedilatildeo rural Rn deste ano de modo que

39

Rn+1 = (015)Un + (090)Rn para qualquer n ge 0 (2)

Escrevendo as equaccedilotildees (1) e (2) em forma matricial obtemos

900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)

A matriz de transiccedilatildeo para este exemplo eacute

900150

100850A

Supondo que as populaccedilotildees iniciais urbana e rural sejam U0 = 350000 e

R0 = 150000 Vamos determinar a distribuiccedilatildeo da populaccedilatildeo deste municiacutepio resultante das

taxas de migraccedilatildeo dadas Para os primeiros dois anos encontramos que

500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U

Portanto a populaccedilatildeo urbana estaacute diminuindo e a populaccedilatildeo rural estaacute aumentando

durante este intervalo de tempo

44 Matrizes e Criptografia

A criptografia eacute o conjunto de princiacutepios e teacutecnicas usadas para codificar e decodificar

mensagens utilizando pares de caracteres de modo que apenas os que tecircm acesso agraves

convenccedilotildees combinadas possam lecirc-la evitando assim que tabelas de frequumlecircncia de letras e

outros meacutetodos possibilitem a um decodificador natildeo-amigaacutevel decifraacute-la

Dada uma mensagem para ser codificada o primeiro passo eacute convertecirc-la da forma

alfabeacutetica para a forma numeacuterica Para isso utilizaremos a correspondecircncia indicada no

Quadro 1

Quadro 1 - Correspondecircncia entre letras e nuacutemeros

A B C D E F G H I J K L M N

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14

O P Q R S T U V W X Y Z

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Fonte Elaborado pelo autor

40

Esta correspondecircncia pode ser alterada mas para isso eacute necessaacuterio que o remetente e o

destinataacuterio combinem-na antes Para melhor entendimento usamos o siacutembolo para indicar

a inexistecircncia de letras (espaccedilos entre as palavras etc)

Escolhe-se um par de matrizes quadradas A e A-1

tal que AA1 = I = A

-1A cujos

elementos devem ser nuacutemeros inteiros O remetente vai usar a matriz A para codificar a

mensagem e o destinataacuterio vai usar a matriz A-1

para decodificaacute-la

Exemplo 1 Vamos supor que a mensagem a ser transmitida seja ldquoACREDITE EM VOCEcircrdquo e

que as matrizes (codificadora e decodificadora) sejam respectivamente 12

13A e

32

111A

A matriz em que se escreve a mensagem seraacute denominada M e teraacute seus elementos

dispostos em duas linhas pois a matriz codificadora A eacute de ordem 2

282705031522281305

280520090405180301M

Para codificaccedilatildeo da mensagem fazemos o produto AM e chamamos essa matriz de N

282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N

Quando esta mensagem codificada chegar ao destinataacuterio este deveraacute utilizar a matriz

A-1

(matriz decodificadora) para decifrar a mensagem pois

A-1

N = A-1

AM = IM = M

Sendo assim fazendo o produto A-1

N o destinataacuterio iraacute obter a matriz M do remetente

843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301

Note que o produto eacute de fato a matriz M enviada pelo remetente portanto a mensagem

codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41

O passo final de decodificaccedilatildeo eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

A C R E D I T E E M V O C Ecirc

Veremos a seguir outro exemplo agora utilizando uma matriz de ordem 3

Exemplo 2 Suponhamos que a mensagem a ser transmitida eacute ldquoLICENCIATURA EM

MATEMAacuteTICArdquo Sejam

311

010

201

A e

111

010

2231A

Como as matrizes codificadora e decodificadora satildeo de ordem 3 a matriz M teraacute seus

elementos dispostos em 3 linhas

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M

Para codificar a mensagem efetuamos a multiplicaccedilatildeo AM para obter

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N

Quando esta mensagem chegar ao destinataacuterio o mesmo iraacute decifraacute-la calculando o

produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42

Logo a mensagem original eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27

L I C E N C I A T U R A E M M A T E M Aacute T I C A

Este meacutetodo pode ser feito de forma raacutepida e automaacutetica por computador aumentando

assim a sua seguranccedila Mas tambeacutem pode ser feito apenas com laacutepis e papel o que

demonstra a sua utilidade Tudo o que precisa ser mantido em sigilo satildeo as matrizes

codificadora e decodificadora

45 Matrizes e Computaccedilatildeo graacutefica

As matrizes tecircm muitas aplicaccedilotildees na computaccedilatildeo graacutefica Se ampliarmos uma

imagem na tela de um computador o maacuteximo possiacutevel iremos perceber que a imagem eacute

formada por pequenos pontos Esses pontos satildeo chamados ldquopixelsrdquo e por incriacutevel que pareccedila

satildeo elementos de uma matriz Por exemplo uma imagem de resoluccedilatildeo 1024 times 768 tecircm

1024 768 = 786432 pixels ordenados em 1024 colunas e 768 linhas Eacute atraveacutes de operaccedilotildees

com matrizes que um programa graacutefico altera a posiccedilatildeo dos pixels que compotildeem uma

imagem fazendo-a girar mudar de posiccedilatildeo ou de escala Na computaccedilatildeo graacutefica isso recebe

o nome de transformaccedilatildeo geomeacutetrica

451 Transformaccedilotildees geomeacutetricas

As transformaccedilotildees geomeacutetricas baacutesicas no plano satildeo rotaccedilatildeo escala e translaccedilatildeo

4511 Rotaccedilatildeo

Figura 3 - Rotaccedilatildeo do triacircngulo ABC de 30deg no sentido anti-horaacuterio em torno da origem

Fonte DANTE 2004 p 223

43

Uma rotaccedilatildeo de α graus de um ponto (xy) em torno da origem no sentido anti-horaacuterio

eacute feita a partir do produto da matriz cos

cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y

xP a qual indica a nova posiccedilatildeo (x

rsquoy

rsquo) do ponto apoacutes a rotaccedilatildeo

Prsquo = RP

Exemplo Encontrar a nova posiccedilatildeo do ponto (45) apoacutes uma rotaccedilatildeo de 180deg no sentido

anti-horaacuterio em torno da origem

5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x

Logo a nova posiccedilatildeo seraacute (minus4minus5)

4512 Escala

Figura 4 - Mudanccedila de escala do triacircngulo ABC em 50


Uma mudanccedila de escala de um ponto (xy) em relaccedilatildeo agrave origem usando um fator

multiplicativo Ex para a coordenada x e um fator Ey para a coordenada y se daacute atraveacutes da

multiplicaccedilatildeo da matriz Ey

ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP

Exemplo Escalar as duas coordenadas do ponto (minus15) em 100

Aumentar 100 eacute multiplicar por 2 Assim Ex = 2 e Ey = 2 Entatildeo

10

2

5

1

20

02

y

x

Logo a nova posiccedilatildeo seraacute (minus210)

44

4513 Translaccedilatildeo

Figura 5 - Translaccedilatildeo do triacircngulo ABC em 2 unidades para a esquerda e 2 unidades para cima


Uma translaccedilatildeo de um ponto (xy) de Tx unidades para direita na coordenada x e Ty

unidades para cima na coordenada y se daacute por meio da soma das matrizes Ty

TxT e

y

xP da qual resulta uma matriz

y

xP com a nova posiccedilatildeo (x

rsquoy

rsquo) do ponto apoacutes a

translaccedilatildeo Prsquo = T + P

Exemplo Transladar o ponto (minus34) em 7 unidades para cima e 5 unidades para a esquerda

Sendo Tx = minus5 e Ty = 7 temos

11

8

4

3

7

5

y

x


452 Combinaccedilatildeo de transformaccedilotildees geomeacutetricas

A representaccedilatildeo matricial de transformaccedilotildees geomeacutetricas permite a combinaccedilatildeo de

matrizes de rotaccedilatildeo e escala em uma uacutenica matriz A translaccedilatildeo natildeo pode ser combinada com

as demais devido ao fato dessa transformaccedilatildeo natildeo ser efetuada por uma multiplicaccedilatildeo de

matrizes e sim por uma adiccedilatildeo

Com o intuito de fazer com que quaisquer das trecircs transformaccedilotildees sejam realizadas

com multiplicaccedilotildees e assim ser possiacutevel combinaacute-las em uma uacutenica matriz criou-se o

conceito de coordenadas homogecircneas

45

Usando esse conceito um ponto (xy) do plano fica descrito pela matriz

1

y

x

Jaacute as

matrizes R de rotaccedilatildeo E de escala e T de translaccedilatildeo ficam respectivamente

100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T

Na combinaccedilatildeo de transformaccedilotildees geomeacutetricas com a utilizaccedilatildeo de coordenadas

homogecircneas simplesmente multiplica-se o ponto original pela sequecircncia contraacuteria das

transformaccedilotildees que modificaratildeo o(s) ponto(s) Por exemplo para rotacionar escalar e

transladar um ponto P nessa sequecircncia isto eacute primeiro rotacionar em seguida escalar e por

uacuteltimo transladar deve-se efetuar as seguintes multiplicaccedilotildees Prsquo = TERP

Exemplo 1 Dado o ponto (25) para primeiro rotacionaacute-lo em 90deg no sentido anti-horaacuterio

depois escalar as suas coordenadas em 100 e por uacuteltimo transladaacute-lo em 3 unidades para

baixo e 6 para a direita efetuam-se as seguintes multiplicaccedilotildees

1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2

Logo as novas coordenadas do ponto P seratildeo (minus41)

Exemplo 2 Girar em 45ordm no sentido horaacuterio o segmento AB em torno do ponto A sabendo

que A(14) e B(26)

Como o ponto A natildeo eacute a origem deve-se primeiro transladar o segmento AB para

ArsquoBrsquo de tal forma que Arsquo(00) Depois rotaciona-se o ponto Brsquo e por uacuteltimo translada-se o

segmento devolvendo o ponto Arsquo para a coordenada original

Sendo assim as novas coordenadas do ponto B seratildeo obtidas de

46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47

5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS

A pesquisa referente agrave histoacuteria das matrizes revela o surpreendente fato alegado pelo

matemaacutetico inglecircs Arthur Cayley das matrizes terem surgido depois dos determinantes visto

que estes jaacute eram usados haacute muito tempo na resoluccedilatildeo de sistemas de equaccedilotildees lineares

embora que pela loacutegica a ideia de matriz preceda a de determinante

Revisar a teoria das matrizes possibilita uma maior compreensatildeo de suas definiccedilotildees

conceitos formas de representaccedilatildeo tipos operaccedilotildees baacutesicas e tambeacutem de suas propriedades

atraveacutes das demonstraccedilotildees

A elaboraccedilatildeo deste trabalho exigiu cautela Foram feitas diversas pesquisas para obter

aplicaccedilotildees claras apropriadas e de faacutecil entendimento para o aluno pois para modelar

algumas eacute necessaacuterio o conhecimento de teorias mais aprofundadas sobre matrizes como a

aacutelgebra linear Sendo o enfoque deste trabalho no ensino meacutedio foi preciso a utilizaccedilatildeo de

uma linguagem adequada a esse niacutevel de ensino respeitando o rigor matemaacutetico

Uma possiacutevel proposta de continuidade a esse trabalho seria o estudo de como o uso

de aplicaccedilotildees de matrizes influencia na aprendizagem deste conteuacutedo o que iria comprovar de

fato algumas das hipoacuteteses levantadas neste

Espera-se que as ideias aqui apresentadas promovam discussotildees e reflexotildees acerca do

estudo de matrizes no ensino meacutedio e que assim o professor possa construir a teoria matricial

recorrendo a aplicaccedilotildees atraveacutes de exemplos praacuteticos contextualizados ou ateacute mesmo da

menccedilatildeo em forma de histoacuteria

48

REFEREcircNCIAS

BOLDRINI Joseacute Luiz COSTA Sueli Rodrigues Aacutelgebra linear 3 ed Satildeo Paulo Harbra

1980

BOYER C Histoacuteria da matemaacutetica 2 ed Trad Elza Gomide Satildeo Paulo Edgard Blucher

1996

CAMPOS Cristiani dos Santos Tratamento da diabetes uma aplicaccedilatildeo de matrizes

Jandaia do Sul 2008 23 p Artigo Universidade Estadual de Londrina

DANTE Luiz Roberto Matemaacutetica 1 ed Satildeo Paulo Aacutetica 2004

EVES Howard Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Trad Hygino H Domingues

Campinas SP Editora da Unicamp 2004

IEZZI Gelson HAZZAN Samuel Fundamentos de matemaacutetica elementar 4 sequecircncias

matrizes determinantes sistemas 7 ed Satildeo Paulo Atual 2004

KRAIESKI Protasio Abordagem de matrizes no ensino meacutedio uma avaliaccedilatildeo criacutetica

atraveacutes dos livros didaacuteticos com sugestotildees de aplicaccedilotildees Florianoacutepolis 1999 82 p

Monografia (Licenciatura em Matemaacutetica) Centro de Ciecircncias Fiacutesicas e Matemaacutetica

Universidade Federal de Santa Catarina

KUERTEN Cristini Algumas aplicaccedilotildees de matrizes Florianoacutepolis 2002 67 p



NIETO Solange dos Santos LOPES Ceacutelia M Carvalho SILVA Alcides Ferreira da

Criptografia uma aplicaccedilatildeo de aacutelgebra linear Disponiacutevel em

lthttpwwwmackenziebrfileadminGraduacaoEEProducao2008intertech-

criptografia_1_pdfgt

SITES REFERIDOS

SURGIMENTO DA TEORIA DAS MATRIZES

httpwwwmatufrgsbr~portosilpassa3bhtml

Acesso em 16 de abril de 2014

UMA BREVE HISTOacuteRIA DAS MATRIZES E DETERMINANTES

httpfatosmatematicosblogspotcombr201110uma-breve-historia-das-matrizes-ehtml


MATRIZES E O CONTROLE DE TRAacuteFEGO

httpobaricentrodamenteblogspotcombr201106matrizes-e-o-controle-de-trafegohtml

Acesso em 02 de maio de 2014

TRANSFORMACcedilOtildeES GEOMEacuteTRICAS

httpwwwinfpucrsbr~pinhoCGAulasVis2dInstanciamentoInstanciamentohtm

Acesso em 08 de junho de 2014



MEacuteDIO

Trabalho de Conclusatildeo de Curso apresentado

ao curso de Licenciatura em Matemaacutetica da

Universidade Estadual da Paraiacuteba em

cumprimento agraves exigecircncias para obtenccedilatildeo do

grau de licenciado

Orientadora Profordf Ms Kaacutetia Suzana Medeiros Graciano


2014

DEDICATOacuteRIA





AGRADECIMENTOS




dom da vida





















profissional



mundo realrdquo

Nicolai Lobachevsky

R E S U M O













A B S T R A C T












LISTA DE QUADROS


LISTA DE TABELAS







TABELA 7 ndash

TABELA 8 ndash



37

37

LISTA DE FIGURAS




torno da origem

42




44

SUMAacuteRIO







3 MATRIZES 19





332 Matriz nula 21

333 Matriz linha 21





















362 Propriedades 31





372 Teorema 33








REFEREcircNCIAS 48

13





























populacional



14






15













2632

3432

3923

zyx

zyx

zyx



393426

113

232

321

392499

1136

250

300









16



determinantes









a Cayley



dycxy

byaxx

escrevia yx

dc

bayx













17

y

x

cb

baxycybxyaxyxq 22 2

































18


















19

3 MATRIZES







Maria 90 100 85 80

Ricardo 80 70 85 75




57

08

59

58

58

010

07

010

09

08

09

58

M



n colunas

Outros exemplos

30

72A matriz 2times2

2082

7413

3151

B matriz 3times3 e

42

13

015

C matriz 3times2






mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

20




Soluccedilatildeo


a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3 a13 = 1 + 3 = 4

a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 a23 = 2 + 3 = 5

a31 = 3 + 1 = 4 a32 = 3 + 2 = 5 a33 = 3 + 3 = 6


654

543

432

A





331 Matriz quadrada



Exemplos

60

39A

805

7110

432

B e

141300

1234

5678

9101112

C







21

332 Matriz nula


para todo i e j

Exemplos

00000

00000D

000

000

000

E e 00

00F

333 Matriz linha


Exemplos

13117532G 15110H e 931J

334 Matriz coluna


Exemplos

13

2K

9

7

5

10

L e

9

97

8

1

0

M

335 Matriz diagonal



Exemplos

6000

0700

0080

0009

N

300

040

005

O e 10

02P





22

Exemplos

I2 =10

01 I3 =

100

010

001

e I4 =

1000

0100

0010

0001




Exemplos

9000

6700

2050

3831

Q

900

740

256

R e 10

107S




Exemplos

311

051T

9815

016

007

U e

7268

01043

0051

0009

V





46

2250

2

A eB16

45

16

45C


pois b22 ne c22

23








Branca 280 315

Preta 117 102

Amarela 56 67




Branca 225 203

Preta 56 69

Amarela 73 88





tabelas temos

155129

171173

518505

8873

6956

203225

6756

102117

315280


24



Branca 505 518

Preta 173 171

Amarela 129 155







71308A e

1753

02123B temos

C = A + B = 71106

73425

167455)3(3

07211320)3(8

3512 Propriedades

















25

3513 Matriz oposta




Exemplos

047

6103

159

047

6103

159

AA e 29

52

29

52BB





512A e

651

038B temos

651

038

479

512BA

21210

5410

651

038

479

512



Dada a matriz 853


16106

8412

853

426

853

426MM


16106

8412

825232

422262

853

42622M



da matriz dada

26




09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades






= kA + wA





= kA + kB








27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













DEDICATOacuteRIA





AGRADECIMENTOS




dom da vida





















profissional



mundo realrdquo

Nicolai Lobachevsky

R E S U M O













A B S T R A C T












LISTA DE QUADROS


LISTA DE TABELAS







TABELA 7 ndash

TABELA 8 ndash



37

37

LISTA DE FIGURAS




torno da origem

42




44

SUMAacuteRIO







3 MATRIZES 19





332 Matriz nula 21

333 Matriz linha 21





















362 Propriedades 31





372 Teorema 33








REFEREcircNCIAS 48

13





























populacional



14






15













2632

3432

3923

zyx

zyx

zyx



393426

113

232

321

392499

1136

250

300









16



determinantes









a Cayley



dycxy

byaxx

escrevia yx

dc

bayx













17

y

x

cb

baxycybxyaxyxq 22 2

































18


















19

3 MATRIZES







Maria 90 100 85 80

Ricardo 80 70 85 75




57

08

59

58

58

010

07

010

09

08

09

58

M



n colunas

Outros exemplos

30

72A matriz 2times2

2082

7413

3151

B matriz 3times3 e

42

13

015

C matriz 3times2






mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

20




Soluccedilatildeo


a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3 a13 = 1 + 3 = 4

a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 a23 = 2 + 3 = 5

a31 = 3 + 1 = 4 a32 = 3 + 2 = 5 a33 = 3 + 3 = 6


654

543

432

A





331 Matriz quadrada



Exemplos

60

39A

805

7110

432

B e

141300

1234

5678

9101112

C







21

332 Matriz nula


para todo i e j

Exemplos

00000

00000D

000

000

000

E e 00

00F

333 Matriz linha


Exemplos

13117532G 15110H e 931J

334 Matriz coluna


Exemplos

13

2K

9

7

5

10

L e

9

97

8

1

0

M

335 Matriz diagonal



Exemplos

6000

0700

0080

0009

N

300

040

005

O e 10

02P





22

Exemplos

I2 =10

01 I3 =

100

010

001

e I4 =

1000

0100

0010

0001




Exemplos

9000

6700

2050

3831

Q

900

740

256

R e 10

107S




Exemplos

311

051T

9815

016

007

U e

7268

01043

0051

0009

V





46

2250

2

A eB16

45

16

45C


pois b22 ne c22

23








Branca 280 315

Preta 117 102

Amarela 56 67




Branca 225 203

Preta 56 69

Amarela 73 88





tabelas temos

155129

171173

518505

8873

6956

203225

6756

102117

315280


24



Branca 505 518

Preta 173 171

Amarela 129 155







71308A e

1753

02123B temos

C = A + B = 71106

73425

167455)3(3

07211320)3(8

3512 Propriedades

















25

3513 Matriz oposta




Exemplos

047

6103

159

047

6103

159

AA e 29

52

29

52BB





512A e

651

038B temos

651

038

479

512BA

21210

5410

651

038

479

512



Dada a matriz 853


16106

8412

853

426

853

426MM


16106

8412

825232

422262

853

42622M



da matriz dada

26




09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades






= kA + wA





= kA + kB








27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













AGRADECIMENTOS




dom da vida





















profissional



mundo realrdquo

Nicolai Lobachevsky

R E S U M O













A B S T R A C T












LISTA DE QUADROS


LISTA DE TABELAS







TABELA 7 ndash

TABELA 8 ndash



37

37

LISTA DE FIGURAS




torno da origem

42




44

SUMAacuteRIO







3 MATRIZES 19





332 Matriz nula 21

333 Matriz linha 21





















362 Propriedades 31





372 Teorema 33








REFEREcircNCIAS 48

13





























populacional



14






15













2632

3432

3923

zyx

zyx

zyx



393426

113

232

321

392499

1136

250

300









16



determinantes









a Cayley



dycxy

byaxx

escrevia yx

dc

bayx













17

y

x

cb

baxycybxyaxyxq 22 2

































18


















19

3 MATRIZES







Maria 90 100 85 80

Ricardo 80 70 85 75




57

08

59

58

58

010

07

010

09

08

09

58

M



n colunas

Outros exemplos

30

72A matriz 2times2

2082

7413

3151

B matriz 3times3 e

42

13

015

C matriz 3times2






mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

20




Soluccedilatildeo


a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3 a13 = 1 + 3 = 4

a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 a23 = 2 + 3 = 5

a31 = 3 + 1 = 4 a32 = 3 + 2 = 5 a33 = 3 + 3 = 6


654

543

432

A





331 Matriz quadrada



Exemplos

60

39A

805

7110

432

B e

141300

1234

5678

9101112

C







21

332 Matriz nula


para todo i e j

Exemplos

00000

00000D

000

000

000

E e 00

00F

333 Matriz linha


Exemplos

13117532G 15110H e 931J

334 Matriz coluna


Exemplos

13

2K

9

7

5

10

L e

9

97

8

1

0

M

335 Matriz diagonal



Exemplos

6000

0700

0080

0009

N

300

040

005

O e 10

02P





22

Exemplos

I2 =10

01 I3 =

100

010

001

e I4 =

1000

0100

0010

0001




Exemplos

9000

6700

2050

3831

Q

900

740

256

R e 10

107S




Exemplos

311

051T

9815

016

007

U e

7268

01043

0051

0009

V





46

2250

2

A eB16

45

16

45C


pois b22 ne c22

23








Branca 280 315

Preta 117 102

Amarela 56 67




Branca 225 203

Preta 56 69

Amarela 73 88





tabelas temos

155129

171173

518505

8873

6956

203225

6756

102117

315280


24



Branca 505 518

Preta 173 171

Amarela 129 155







71308A e

1753

02123B temos

C = A + B = 71106

73425

167455)3(3

07211320)3(8

3512 Propriedades

















25

3513 Matriz oposta




Exemplos

047

6103

159

047

6103

159

AA e 29

52

29

52BB





512A e

651

038B temos

651

038

479

512BA

21210

5410

651

038

479

512



Dada a matriz 853


16106

8412

853

426

853

426MM


16106

8412

825232

422262

853

42622M



da matriz dada

26




09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades






= kA + wA





= kA + kB








27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS















mundo realrdquo

Nicolai Lobachevsky

R E S U M O













A B S T R A C T












LISTA DE QUADROS


LISTA DE TABELAS







TABELA 7 ndash

TABELA 8 ndash



37

37

LISTA DE FIGURAS




torno da origem

42




44

SUMAacuteRIO







3 MATRIZES 19





332 Matriz nula 21

333 Matriz linha 21





















362 Propriedades 31





372 Teorema 33








REFEREcircNCIAS 48

13





























populacional



14






15













2632

3432

3923

zyx

zyx

zyx



393426

113

232

321

392499

1136

250

300









16



determinantes









a Cayley



dycxy

byaxx

escrevia yx

dc

bayx













17

y

x

cb

baxycybxyaxyxq 22 2

































18


















19

3 MATRIZES







Maria 90 100 85 80

Ricardo 80 70 85 75




57

08

59

58

58

010

07

010

09

08

09

58

M



n colunas

Outros exemplos

30

72A matriz 2times2

2082

7413

3151

B matriz 3times3 e

42

13

015

C matriz 3times2






mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

20




Soluccedilatildeo


a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3 a13 = 1 + 3 = 4

a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 a23 = 2 + 3 = 5

a31 = 3 + 1 = 4 a32 = 3 + 2 = 5 a33 = 3 + 3 = 6


654

543

432

A





331 Matriz quadrada



Exemplos

60

39A

805

7110

432

B e

141300

1234

5678

9101112

C







21

332 Matriz nula


para todo i e j

Exemplos

00000

00000D

000

000

000

E e 00

00F

333 Matriz linha


Exemplos

13117532G 15110H e 931J

334 Matriz coluna


Exemplos

13

2K

9

7

5

10

L e

9

97

8

1

0

M

335 Matriz diagonal



Exemplos

6000

0700

0080

0009

N

300

040

005

O e 10

02P





22

Exemplos

I2 =10

01 I3 =

100

010

001

e I4 =

1000

0100

0010

0001




Exemplos

9000

6700

2050

3831

Q

900

740

256

R e 10

107S




Exemplos

311

051T

9815

016

007

U e

7268

01043

0051

0009

V





46

2250

2

A eB16

45

16

45C


pois b22 ne c22

23








Branca 280 315

Preta 117 102

Amarela 56 67




Branca 225 203

Preta 56 69

Amarela 73 88





tabelas temos

155129

171173

518505

8873

6956

203225

6756

102117

315280


24



Branca 505 518

Preta 173 171

Amarela 129 155







71308A e

1753

02123B temos

C = A + B = 71106

73425

167455)3(3

07211320)3(8

3512 Propriedades

















25

3513 Matriz oposta




Exemplos

047

6103

159

047

6103

159

AA e 29

52

29

52BB





512A e

651

038B temos

651

038

479

512BA

21210

5410

651

038

479

512



Dada a matriz 853


16106

8412

853

426

853

426MM


16106

8412

825232

422262

853

42622M



da matriz dada

26




09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades






= kA + wA





= kA + kB








27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













R E S U M O













A B S T R A C T












LISTA DE QUADROS


LISTA DE TABELAS







TABELA 7 ndash

TABELA 8 ndash



37

37

LISTA DE FIGURAS




torno da origem

42




44

SUMAacuteRIO







3 MATRIZES 19





332 Matriz nula 21

333 Matriz linha 21





















362 Propriedades 31





372 Teorema 33








REFEREcircNCIAS 48

13





























populacional



14






15













2632

3432

3923

zyx

zyx

zyx



393426

113

232

321

392499

1136

250

300









16



determinantes









a Cayley



dycxy

byaxx

escrevia yx

dc

bayx













17

y

x

cb

baxycybxyaxyxq 22 2

































18


















19

3 MATRIZES







Maria 90 100 85 80

Ricardo 80 70 85 75




57

08

59

58

58

010

07

010

09

08

09

58

M



n colunas

Outros exemplos

30

72A matriz 2times2

2082

7413

3151

B matriz 3times3 e

42

13

015

C matriz 3times2






mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

20




Soluccedilatildeo


a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3 a13 = 1 + 3 = 4

a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 a23 = 2 + 3 = 5

a31 = 3 + 1 = 4 a32 = 3 + 2 = 5 a33 = 3 + 3 = 6


654

543

432

A





331 Matriz quadrada



Exemplos

60

39A

805

7110

432

B e

141300

1234

5678

9101112

C







21

332 Matriz nula


para todo i e j

Exemplos

00000

00000D

000

000

000

E e 00

00F

333 Matriz linha


Exemplos

13117532G 15110H e 931J

334 Matriz coluna


Exemplos

13

2K

9

7

5

10

L e

9

97

8

1

0

M

335 Matriz diagonal



Exemplos

6000

0700

0080

0009

N

300

040

005

O e 10

02P





22

Exemplos

I2 =10

01 I3 =

100

010

001

e I4 =

1000

0100

0010

0001




Exemplos

9000

6700

2050

3831

Q

900

740

256

R e 10

107S




Exemplos

311

051T

9815

016

007

U e

7268

01043

0051

0009

V





46

2250

2

A eB16

45

16

45C


pois b22 ne c22

23








Branca 280 315

Preta 117 102

Amarela 56 67




Branca 225 203

Preta 56 69

Amarela 73 88





tabelas temos

155129

171173

518505

8873

6956

203225

6756

102117

315280


24



Branca 505 518

Preta 173 171

Amarela 129 155







71308A e

1753

02123B temos

C = A + B = 71106

73425

167455)3(3

07211320)3(8

3512 Propriedades

















25

3513 Matriz oposta




Exemplos

047

6103

159

047

6103

159

AA e 29

52

29

52BB





512A e

651

038B temos

651

038

479

512BA

21210

5410

651

038

479

512



Dada a matriz 853


16106

8412

853

426

853

426MM


16106

8412

825232

422262

853

42622M



da matriz dada

26




09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades






= kA + wA





= kA + kB








27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













A B S T R A C T












LISTA DE QUADROS


LISTA DE TABELAS







TABELA 7 ndash

TABELA 8 ndash



37

37

LISTA DE FIGURAS




torno da origem

42




44

SUMAacuteRIO







3 MATRIZES 19





332 Matriz nula 21

333 Matriz linha 21





















362 Propriedades 31





372 Teorema 33








REFEREcircNCIAS 48

13





























populacional



14






15













2632

3432

3923

zyx

zyx

zyx



393426

113

232

321

392499

1136

250

300









16



determinantes









a Cayley



dycxy

byaxx

escrevia yx

dc

bayx













17

y

x

cb

baxycybxyaxyxq 22 2

































18


















19

3 MATRIZES







Maria 90 100 85 80

Ricardo 80 70 85 75




57

08

59

58

58

010

07

010

09

08

09

58

M



n colunas

Outros exemplos

30

72A matriz 2times2

2082

7413

3151

B matriz 3times3 e

42

13

015

C matriz 3times2






mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

20




Soluccedilatildeo


a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3 a13 = 1 + 3 = 4

a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 a23 = 2 + 3 = 5

a31 = 3 + 1 = 4 a32 = 3 + 2 = 5 a33 = 3 + 3 = 6


654

543

432

A





331 Matriz quadrada



Exemplos

60

39A

805

7110

432

B e

141300

1234

5678

9101112

C







21

332 Matriz nula


para todo i e j

Exemplos

00000

00000D

000

000

000

E e 00

00F

333 Matriz linha


Exemplos

13117532G 15110H e 931J

334 Matriz coluna


Exemplos

13

2K

9

7

5

10

L e

9

97

8

1

0

M

335 Matriz diagonal



Exemplos

6000

0700

0080

0009

N

300

040

005

O e 10

02P





22

Exemplos

I2 =10

01 I3 =

100

010

001

e I4 =

1000

0100

0010

0001




Exemplos

9000

6700

2050

3831

Q

900

740

256

R e 10

107S




Exemplos

311

051T

9815

016

007

U e

7268

01043

0051

0009

V





46

2250

2

A eB16

45

16

45C


pois b22 ne c22

23








Branca 280 315

Preta 117 102

Amarela 56 67




Branca 225 203

Preta 56 69

Amarela 73 88





tabelas temos

155129

171173

518505

8873

6956

203225

6756

102117

315280


24



Branca 505 518

Preta 173 171

Amarela 129 155







71308A e

1753

02123B temos

C = A + B = 71106

73425

167455)3(3

07211320)3(8

3512 Propriedades

















25

3513 Matriz oposta




Exemplos

047

6103

159

047

6103

159

AA e 29

52

29

52BB





512A e

651

038B temos

651

038

479

512BA

21210

5410

651

038

479

512



Dada a matriz 853


16106

8412

853

426

853

426MM


16106

8412

825232

422262

853

42622M



da matriz dada

26




09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades






= kA + wA





= kA + kB








27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













LISTA DE QUADROS


LISTA DE TABELAS







TABELA 7 ndash

TABELA 8 ndash



37

37

LISTA DE FIGURAS




torno da origem

42




44

SUMAacuteRIO







3 MATRIZES 19





332 Matriz nula 21

333 Matriz linha 21





















362 Propriedades 31





372 Teorema 33








REFEREcircNCIAS 48

13





























populacional



14






15













2632

3432

3923

zyx

zyx

zyx



393426

113

232

321

392499

1136

250

300









16



determinantes









a Cayley



dycxy

byaxx

escrevia yx

dc

bayx













17

y

x

cb

baxycybxyaxyxq 22 2

































18


















19

3 MATRIZES







Maria 90 100 85 80

Ricardo 80 70 85 75




57

08

59

58

58

010

07

010

09

08

09

58

M



n colunas

Outros exemplos

30

72A matriz 2times2

2082

7413

3151

B matriz 3times3 e

42

13

015

C matriz 3times2






mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

20




Soluccedilatildeo


a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3 a13 = 1 + 3 = 4

a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 a23 = 2 + 3 = 5

a31 = 3 + 1 = 4 a32 = 3 + 2 = 5 a33 = 3 + 3 = 6


654

543

432

A





331 Matriz quadrada



Exemplos

60

39A

805

7110

432

B e

141300

1234

5678

9101112

C







21

332 Matriz nula


para todo i e j

Exemplos

00000

00000D

000

000

000

E e 00

00F

333 Matriz linha


Exemplos

13117532G 15110H e 931J

334 Matriz coluna


Exemplos

13

2K

9

7

5

10

L e

9

97

8

1

0

M

335 Matriz diagonal



Exemplos

6000

0700

0080

0009

N

300

040

005

O e 10

02P





22

Exemplos

I2 =10

01 I3 =

100

010

001

e I4 =

1000

0100

0010

0001




Exemplos

9000

6700

2050

3831

Q

900

740

256

R e 10

107S




Exemplos

311

051T

9815

016

007

U e

7268

01043

0051

0009

V





46

2250

2

A eB16

45

16

45C


pois b22 ne c22

23








Branca 280 315

Preta 117 102

Amarela 56 67




Branca 225 203

Preta 56 69

Amarela 73 88





tabelas temos

155129

171173

518505

8873

6956

203225

6756

102117

315280


24



Branca 505 518

Preta 173 171

Amarela 129 155







71308A e

1753

02123B temos

C = A + B = 71106

73425

167455)3(3

07211320)3(8

3512 Propriedades

















25

3513 Matriz oposta




Exemplos

047

6103

159

047

6103

159

AA e 29

52

29

52BB





512A e

651

038B temos

651

038

479

512BA

21210

5410

651

038

479

512



Dada a matriz 853


16106

8412

853

426

853

426MM


16106

8412

825232

422262

853

42622M



da matriz dada

26




09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades






= kA + wA





= kA + kB








27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













LISTA DE TABELAS







TABELA 7 ndash

TABELA 8 ndash



37

37

LISTA DE FIGURAS




torno da origem

42




44

SUMAacuteRIO







3 MATRIZES 19





332 Matriz nula 21

333 Matriz linha 21





















362 Propriedades 31





372 Teorema 33








REFEREcircNCIAS 48

13





























populacional



14






15













2632

3432

3923

zyx

zyx

zyx



393426

113

232

321

392499

1136

250

300









16



determinantes









a Cayley



dycxy

byaxx

escrevia yx

dc

bayx













17

y

x

cb

baxycybxyaxyxq 22 2

































18


















19

3 MATRIZES







Maria 90 100 85 80

Ricardo 80 70 85 75




57

08

59

58

58

010

07

010

09

08

09

58

M



n colunas

Outros exemplos

30

72A matriz 2times2

2082

7413

3151

B matriz 3times3 e

42

13

015

C matriz 3times2






mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

20




Soluccedilatildeo


a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3 a13 = 1 + 3 = 4

a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 a23 = 2 + 3 = 5

a31 = 3 + 1 = 4 a32 = 3 + 2 = 5 a33 = 3 + 3 = 6


654

543

432

A





331 Matriz quadrada



Exemplos

60

39A

805

7110

432

B e

141300

1234

5678

9101112

C







21

332 Matriz nula


para todo i e j

Exemplos

00000

00000D

000

000

000

E e 00

00F

333 Matriz linha


Exemplos

13117532G 15110H e 931J

334 Matriz coluna


Exemplos

13

2K

9

7

5

10

L e

9

97

8

1

0

M

335 Matriz diagonal



Exemplos

6000

0700

0080

0009

N

300

040

005

O e 10

02P





22

Exemplos

I2 =10

01 I3 =

100

010

001

e I4 =

1000

0100

0010

0001




Exemplos

9000

6700

2050

3831

Q

900

740

256

R e 10

107S




Exemplos

311

051T

9815

016

007

U e

7268

01043

0051

0009

V





46

2250

2

A eB16

45

16

45C


pois b22 ne c22

23








Branca 280 315

Preta 117 102

Amarela 56 67




Branca 225 203

Preta 56 69

Amarela 73 88





tabelas temos

155129

171173

518505

8873

6956

203225

6756

102117

315280


24



Branca 505 518

Preta 173 171

Amarela 129 155







71308A e

1753

02123B temos

C = A + B = 71106

73425

167455)3(3

07211320)3(8

3512 Propriedades

















25

3513 Matriz oposta




Exemplos

047

6103

159

047

6103

159

AA e 29

52

29

52BB





512A e

651

038B temos

651

038

479

512BA

21210

5410

651

038

479

512



Dada a matriz 853


16106

8412

853

426

853

426MM


16106

8412

825232

422262

853

42622M



da matriz dada

26




09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades






= kA + wA





= kA + kB








27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













LISTA DE FIGURAS




torno da origem

42




44

SUMAacuteRIO







3 MATRIZES 19





332 Matriz nula 21

333 Matriz linha 21





















362 Propriedades 31





372 Teorema 33








REFEREcircNCIAS 48

13





























populacional



14






15













2632

3432

3923

zyx

zyx

zyx



393426

113

232

321

392499

1136

250

300









16



determinantes









a Cayley



dycxy

byaxx

escrevia yx

dc

bayx













17

y

x

cb

baxycybxyaxyxq 22 2

































18


















19

3 MATRIZES







Maria 90 100 85 80

Ricardo 80 70 85 75




57

08

59

58

58

010

07

010

09

08

09

58

M



n colunas

Outros exemplos

30

72A matriz 2times2

2082

7413

3151

B matriz 3times3 e

42

13

015

C matriz 3times2






mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

20




Soluccedilatildeo


a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3 a13 = 1 + 3 = 4

a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 a23 = 2 + 3 = 5

a31 = 3 + 1 = 4 a32 = 3 + 2 = 5 a33 = 3 + 3 = 6


654

543

432

A





331 Matriz quadrada



Exemplos

60

39A

805

7110

432

B e

141300

1234

5678

9101112

C







21

332 Matriz nula


para todo i e j

Exemplos

00000

00000D

000

000

000

E e 00

00F

333 Matriz linha


Exemplos

13117532G 15110H e 931J

334 Matriz coluna


Exemplos

13

2K

9

7

5

10

L e

9

97

8

1

0

M

335 Matriz diagonal



Exemplos

6000

0700

0080

0009

N

300

040

005

O e 10

02P





22

Exemplos

I2 =10

01 I3 =

100

010

001

e I4 =

1000

0100

0010

0001




Exemplos

9000

6700

2050

3831

Q

900

740

256

R e 10

107S




Exemplos

311

051T

9815

016

007

U e

7268

01043

0051

0009

V





46

2250

2

A eB16

45

16

45C


pois b22 ne c22

23








Branca 280 315

Preta 117 102

Amarela 56 67




Branca 225 203

Preta 56 69

Amarela 73 88





tabelas temos

155129

171173

518505

8873

6956

203225

6756

102117

315280


24



Branca 505 518

Preta 173 171

Amarela 129 155







71308A e

1753

02123B temos

C = A + B = 71106

73425

167455)3(3

07211320)3(8

3512 Propriedades

















25

3513 Matriz oposta




Exemplos

047

6103

159

047

6103

159

AA e 29

52

29

52BB





512A e

651

038B temos

651

038

479

512BA

21210

5410

651

038

479

512



Dada a matriz 853


16106

8412

853

426

853

426MM


16106

8412

825232

422262

853

42622M



da matriz dada

26




09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades






= kA + wA





= kA + kB








27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













SUMAacuteRIO







3 MATRIZES 19





332 Matriz nula 21

333 Matriz linha 21





















362 Propriedades 31





372 Teorema 33








REFEREcircNCIAS 48

13





























populacional



14






15













2632

3432

3923

zyx

zyx

zyx



393426

113

232

321

392499

1136

250

300









16



determinantes









a Cayley



dycxy

byaxx

escrevia yx

dc

bayx













17

y

x

cb

baxycybxyaxyxq 22 2

































18


















19

3 MATRIZES







Maria 90 100 85 80

Ricardo 80 70 85 75




57

08

59

58

58

010

07

010

09

08

09

58

M



n colunas

Outros exemplos

30

72A matriz 2times2

2082

7413

3151

B matriz 3times3 e

42

13

015

C matriz 3times2






mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

20




Soluccedilatildeo


a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3 a13 = 1 + 3 = 4

a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 a23 = 2 + 3 = 5

a31 = 3 + 1 = 4 a32 = 3 + 2 = 5 a33 = 3 + 3 = 6


654

543

432

A





331 Matriz quadrada



Exemplos

60

39A

805

7110

432

B e

141300

1234

5678

9101112

C







21

332 Matriz nula


para todo i e j

Exemplos

00000

00000D

000

000

000

E e 00

00F

333 Matriz linha


Exemplos

13117532G 15110H e 931J

334 Matriz coluna


Exemplos

13

2K

9

7

5

10

L e

9

97

8

1

0

M

335 Matriz diagonal



Exemplos

6000

0700

0080

0009

N

300

040

005

O e 10

02P





22

Exemplos

I2 =10

01 I3 =

100

010

001

e I4 =

1000

0100

0010

0001




Exemplos

9000

6700

2050

3831

Q

900

740

256

R e 10

107S




Exemplos

311

051T

9815

016

007

U e

7268

01043

0051

0009

V





46

2250

2

A eB16

45

16

45C


pois b22 ne c22

23








Branca 280 315

Preta 117 102

Amarela 56 67




Branca 225 203

Preta 56 69

Amarela 73 88





tabelas temos

155129

171173

518505

8873

6956

203225

6756

102117

315280


24



Branca 505 518

Preta 173 171

Amarela 129 155







71308A e

1753

02123B temos

C = A + B = 71106

73425

167455)3(3

07211320)3(8

3512 Propriedades

















25

3513 Matriz oposta




Exemplos

047

6103

159

047

6103

159

AA e 29

52

29

52BB





512A e

651

038B temos

651

038

479

512BA

21210

5410

651

038

479

512



Dada a matriz 853


16106

8412

853

426

853

426MM


16106

8412

825232

422262

853

42622M



da matriz dada

26




09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades






= kA + wA





= kA + kB








27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS

















REFEREcircNCIAS 48

13





























populacional



14






15













2632

3432

3923

zyx

zyx

zyx



393426

113

232

321

392499

1136

250

300









16



determinantes









a Cayley



dycxy

byaxx

escrevia yx

dc

bayx













17

y

x

cb

baxycybxyaxyxq 22 2

































18


















19

3 MATRIZES







Maria 90 100 85 80

Ricardo 80 70 85 75




57

08

59

58

58

010

07

010

09

08

09

58

M



n colunas

Outros exemplos

30

72A matriz 2times2

2082

7413

3151

B matriz 3times3 e

42

13

015

C matriz 3times2






mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

20




Soluccedilatildeo


a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3 a13 = 1 + 3 = 4

a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 a23 = 2 + 3 = 5

a31 = 3 + 1 = 4 a32 = 3 + 2 = 5 a33 = 3 + 3 = 6


654

543

432

A





331 Matriz quadrada



Exemplos

60

39A

805

7110

432

B e

141300

1234

5678

9101112

C







21

332 Matriz nula


para todo i e j

Exemplos

00000

00000D

000

000

000

E e 00

00F

333 Matriz linha


Exemplos

13117532G 15110H e 931J

334 Matriz coluna


Exemplos

13

2K

9

7

5

10

L e

9

97

8

1

0

M

335 Matriz diagonal



Exemplos

6000

0700

0080

0009

N

300

040

005

O e 10

02P





22

Exemplos

I2 =10

01 I3 =

100

010

001

e I4 =

1000

0100

0010

0001




Exemplos

9000

6700

2050

3831

Q

900

740

256

R e 10

107S




Exemplos

311

051T

9815

016

007

U e

7268

01043

0051

0009

V





46

2250

2

A eB16

45

16

45C


pois b22 ne c22

23








Branca 280 315

Preta 117 102

Amarela 56 67




Branca 225 203

Preta 56 69

Amarela 73 88





tabelas temos

155129

171173

518505

8873

6956

203225

6756

102117

315280


24



Branca 505 518

Preta 173 171

Amarela 129 155







71308A e

1753

02123B temos

C = A + B = 71106

73425

167455)3(3

07211320)3(8

3512 Propriedades

















25

3513 Matriz oposta




Exemplos

047

6103

159

047

6103

159

AA e 29

52

29

52BB





512A e

651

038B temos

651

038

479

512BA

21210

5410

651

038

479

512



Dada a matriz 853


16106

8412

853

426

853

426MM


16106

8412

825232

422262

853

42622M



da matriz dada

26




09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades






= kA + wA





= kA + kB








27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













13





























populacional



14






15













2632

3432

3923

zyx

zyx

zyx



393426

113

232

321

392499

1136

250

300









16



determinantes









a Cayley



dycxy

byaxx

escrevia yx

dc

bayx













17

y

x

cb

baxycybxyaxyxq 22 2

































18


















19

3 MATRIZES







Maria 90 100 85 80

Ricardo 80 70 85 75




57

08

59

58

58

010

07

010

09

08

09

58

M



n colunas

Outros exemplos

30

72A matriz 2times2

2082

7413

3151

B matriz 3times3 e

42

13

015

C matriz 3times2






mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

20




Soluccedilatildeo


a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3 a13 = 1 + 3 = 4

a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 a23 = 2 + 3 = 5

a31 = 3 + 1 = 4 a32 = 3 + 2 = 5 a33 = 3 + 3 = 6


654

543

432

A





331 Matriz quadrada



Exemplos

60

39A

805

7110

432

B e

141300

1234

5678

9101112

C







21

332 Matriz nula


para todo i e j

Exemplos

00000

00000D

000

000

000

E e 00

00F

333 Matriz linha


Exemplos

13117532G 15110H e 931J

334 Matriz coluna


Exemplos

13

2K

9

7

5

10

L e

9

97

8

1

0

M

335 Matriz diagonal



Exemplos

6000

0700

0080

0009

N

300

040

005

O e 10

02P





22

Exemplos

I2 =10

01 I3 =

100

010

001

e I4 =

1000

0100

0010

0001




Exemplos

9000

6700

2050

3831

Q

900

740

256

R e 10

107S




Exemplos

311

051T

9815

016

007

U e

7268

01043

0051

0009

V





46

2250

2

A eB16

45

16

45C


pois b22 ne c22

23








Branca 280 315

Preta 117 102

Amarela 56 67




Branca 225 203

Preta 56 69

Amarela 73 88





tabelas temos

155129

171173

518505

8873

6956

203225

6756

102117

315280


24



Branca 505 518

Preta 173 171

Amarela 129 155







71308A e

1753

02123B temos

C = A + B = 71106

73425

167455)3(3

07211320)3(8

3512 Propriedades

















25

3513 Matriz oposta




Exemplos

047

6103

159

047

6103

159

AA e 29

52

29

52BB





512A e

651

038B temos

651

038

479

512BA

21210

5410

651

038

479

512



Dada a matriz 853


16106

8412

853

426

853

426MM


16106

8412

825232

422262

853

42622M



da matriz dada

26




09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades






= kA + wA





= kA + kB








27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













14






15













2632

3432

3923

zyx

zyx

zyx



393426

113

232

321

392499

1136

250

300









16



determinantes









a Cayley



dycxy

byaxx

escrevia yx

dc

bayx













17

y

x

cb

baxycybxyaxyxq 22 2

































18


















19

3 MATRIZES







Maria 90 100 85 80

Ricardo 80 70 85 75




57

08

59

58

58

010

07

010

09

08

09

58

M



n colunas

Outros exemplos

30

72A matriz 2times2

2082

7413

3151

B matriz 3times3 e

42

13

015

C matriz 3times2






mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

20




Soluccedilatildeo


a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3 a13 = 1 + 3 = 4

a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 a23 = 2 + 3 = 5

a31 = 3 + 1 = 4 a32 = 3 + 2 = 5 a33 = 3 + 3 = 6


654

543

432

A





331 Matriz quadrada



Exemplos

60

39A

805

7110

432

B e

141300

1234

5678

9101112

C







21

332 Matriz nula


para todo i e j

Exemplos

00000

00000D

000

000

000

E e 00

00F

333 Matriz linha


Exemplos

13117532G 15110H e 931J

334 Matriz coluna


Exemplos

13

2K

9

7

5

10

L e

9

97

8

1

0

M

335 Matriz diagonal



Exemplos

6000

0700

0080

0009

N

300

040

005

O e 10

02P





22

Exemplos

I2 =10

01 I3 =

100

010

001

e I4 =

1000

0100

0010

0001




Exemplos

9000

6700

2050

3831

Q

900

740

256

R e 10

107S




Exemplos

311

051T

9815

016

007

U e

7268

01043

0051

0009

V





46

2250

2

A eB16

45

16

45C


pois b22 ne c22

23








Branca 280 315

Preta 117 102

Amarela 56 67




Branca 225 203

Preta 56 69

Amarela 73 88





tabelas temos

155129

171173

518505

8873

6956

203225

6756

102117

315280


24



Branca 505 518

Preta 173 171

Amarela 129 155







71308A e

1753

02123B temos

C = A + B = 71106

73425

167455)3(3

07211320)3(8

3512 Propriedades

















25

3513 Matriz oposta




Exemplos

047

6103

159

047

6103

159

AA e 29

52

29

52BB





512A e

651

038B temos

651

038

479

512BA

21210

5410

651

038

479

512



Dada a matriz 853


16106

8412

853

426

853

426MM


16106

8412

825232

422262

853

42622M



da matriz dada

26




09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades






= kA + wA





= kA + kB








27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













15













2632

3432

3923

zyx

zyx

zyx



393426

113

232

321

392499

1136

250

300









16



determinantes









a Cayley



dycxy

byaxx

escrevia yx

dc

bayx













17

y

x

cb

baxycybxyaxyxq 22 2

































18


















19

3 MATRIZES







Maria 90 100 85 80

Ricardo 80 70 85 75




57

08

59

58

58

010

07

010

09

08

09

58

M



n colunas

Outros exemplos

30

72A matriz 2times2

2082

7413

3151

B matriz 3times3 e

42

13

015

C matriz 3times2






mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

20




Soluccedilatildeo


a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3 a13 = 1 + 3 = 4

a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 a23 = 2 + 3 = 5

a31 = 3 + 1 = 4 a32 = 3 + 2 = 5 a33 = 3 + 3 = 6


654

543

432

A





331 Matriz quadrada



Exemplos

60

39A

805

7110

432

B e

141300

1234

5678

9101112

C







21

332 Matriz nula


para todo i e j

Exemplos

00000

00000D

000

000

000

E e 00

00F

333 Matriz linha


Exemplos

13117532G 15110H e 931J

334 Matriz coluna


Exemplos

13

2K

9

7

5

10

L e

9

97

8

1

0

M

335 Matriz diagonal



Exemplos

6000

0700

0080

0009

N

300

040

005

O e 10

02P





22

Exemplos

I2 =10

01 I3 =

100

010

001

e I4 =

1000

0100

0010

0001




Exemplos

9000

6700

2050

3831

Q

900

740

256

R e 10

107S




Exemplos

311

051T

9815

016

007

U e

7268

01043

0051

0009

V





46

2250

2

A eB16

45

16

45C


pois b22 ne c22

23








Branca 280 315

Preta 117 102

Amarela 56 67




Branca 225 203

Preta 56 69

Amarela 73 88





tabelas temos

155129

171173

518505

8873

6956

203225

6756

102117

315280


24



Branca 505 518

Preta 173 171

Amarela 129 155







71308A e

1753

02123B temos

C = A + B = 71106

73425

167455)3(3

07211320)3(8

3512 Propriedades

















25

3513 Matriz oposta




Exemplos

047

6103

159

047

6103

159

AA e 29

52

29

52BB





512A e

651

038B temos

651

038

479

512BA

21210

5410

651

038

479

512



Dada a matriz 853


16106

8412

853

426

853

426MM


16106

8412

825232

422262

853

42622M



da matriz dada

26




09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades






= kA + wA





= kA + kB








27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













16



determinantes









a Cayley



dycxy

byaxx

escrevia yx

dc

bayx













17

y

x

cb

baxycybxyaxyxq 22 2

































18


















19

3 MATRIZES







Maria 90 100 85 80

Ricardo 80 70 85 75




57

08

59

58

58

010

07

010

09

08

09

58

M



n colunas

Outros exemplos

30

72A matriz 2times2

2082

7413

3151

B matriz 3times3 e

42

13

015

C matriz 3times2






mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

20




Soluccedilatildeo


a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3 a13 = 1 + 3 = 4

a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 a23 = 2 + 3 = 5

a31 = 3 + 1 = 4 a32 = 3 + 2 = 5 a33 = 3 + 3 = 6


654

543

432

A





331 Matriz quadrada



Exemplos

60

39A

805

7110

432

B e

141300

1234

5678

9101112

C







21

332 Matriz nula


para todo i e j

Exemplos

00000

00000D

000

000

000

E e 00

00F

333 Matriz linha


Exemplos

13117532G 15110H e 931J

334 Matriz coluna


Exemplos

13

2K

9

7

5

10

L e

9

97

8

1

0

M

335 Matriz diagonal



Exemplos

6000

0700

0080

0009

N

300

040

005

O e 10

02P





22

Exemplos

I2 =10

01 I3 =

100

010

001

e I4 =

1000

0100

0010

0001




Exemplos

9000

6700

2050

3831

Q

900

740

256

R e 10

107S




Exemplos

311

051T

9815

016

007

U e

7268

01043

0051

0009

V





46

2250

2

A eB16

45

16

45C


pois b22 ne c22

23








Branca 280 315

Preta 117 102

Amarela 56 67




Branca 225 203

Preta 56 69

Amarela 73 88





tabelas temos

155129

171173

518505

8873

6956

203225

6756

102117

315280


24



Branca 505 518

Preta 173 171

Amarela 129 155







71308A e

1753

02123B temos

C = A + B = 71106

73425

167455)3(3

07211320)3(8

3512 Propriedades

















25

3513 Matriz oposta




Exemplos

047

6103

159

047

6103

159

AA e 29

52

29

52BB





512A e

651

038B temos

651

038

479

512BA

21210

5410

651

038

479

512



Dada a matriz 853


16106

8412

853

426

853

426MM


16106

8412

825232

422262

853

42622M



da matriz dada

26




09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades






= kA + wA





= kA + kB








27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













17

y

x

cb

baxycybxyaxyxq 22 2

































18


















19

3 MATRIZES







Maria 90 100 85 80

Ricardo 80 70 85 75




57

08

59

58

58

010

07

010

09

08

09

58

M



n colunas

Outros exemplos

30

72A matriz 2times2

2082

7413

3151

B matriz 3times3 e

42

13

015

C matriz 3times2






mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

20




Soluccedilatildeo


a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3 a13 = 1 + 3 = 4

a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 a23 = 2 + 3 = 5

a31 = 3 + 1 = 4 a32 = 3 + 2 = 5 a33 = 3 + 3 = 6


654

543

432

A





331 Matriz quadrada



Exemplos

60

39A

805

7110

432

B e

141300

1234

5678

9101112

C







21

332 Matriz nula


para todo i e j

Exemplos

00000

00000D

000

000

000

E e 00

00F

333 Matriz linha


Exemplos

13117532G 15110H e 931J

334 Matriz coluna


Exemplos

13

2K

9

7

5

10

L e

9

97

8

1

0

M

335 Matriz diagonal



Exemplos

6000

0700

0080

0009

N

300

040

005

O e 10

02P





22

Exemplos

I2 =10

01 I3 =

100

010

001

e I4 =

1000

0100

0010

0001




Exemplos

9000

6700

2050

3831

Q

900

740

256

R e 10

107S




Exemplos

311

051T

9815

016

007

U e

7268

01043

0051

0009

V





46

2250

2

A eB16

45

16

45C


pois b22 ne c22

23








Branca 280 315

Preta 117 102

Amarela 56 67




Branca 225 203

Preta 56 69

Amarela 73 88





tabelas temos

155129

171173

518505

8873

6956

203225

6756

102117

315280


24



Branca 505 518

Preta 173 171

Amarela 129 155







71308A e

1753

02123B temos

C = A + B = 71106

73425

167455)3(3

07211320)3(8

3512 Propriedades

















25

3513 Matriz oposta




Exemplos

047

6103

159

047

6103

159

AA e 29

52

29

52BB





512A e

651

038B temos

651

038

479

512BA

21210

5410

651

038

479

512



Dada a matriz 853


16106

8412

853

426

853

426MM


16106

8412

825232

422262

853

42622M



da matriz dada

26




09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades






= kA + wA





= kA + kB








27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













18


















19

3 MATRIZES







Maria 90 100 85 80

Ricardo 80 70 85 75




57

08

59

58

58

010

07

010

09

08

09

58

M



n colunas

Outros exemplos

30

72A matriz 2times2

2082

7413

3151

B matriz 3times3 e

42

13

015

C matriz 3times2






mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

20




Soluccedilatildeo


a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3 a13 = 1 + 3 = 4

a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 a23 = 2 + 3 = 5

a31 = 3 + 1 = 4 a32 = 3 + 2 = 5 a33 = 3 + 3 = 6


654

543

432

A





331 Matriz quadrada



Exemplos

60

39A

805

7110

432

B e

141300

1234

5678

9101112

C







21

332 Matriz nula


para todo i e j

Exemplos

00000

00000D

000

000

000

E e 00

00F

333 Matriz linha


Exemplos

13117532G 15110H e 931J

334 Matriz coluna


Exemplos

13

2K

9

7

5

10

L e

9

97

8

1

0

M

335 Matriz diagonal



Exemplos

6000

0700

0080

0009

N

300

040

005

O e 10

02P





22

Exemplos

I2 =10

01 I3 =

100

010

001

e I4 =

1000

0100

0010

0001




Exemplos

9000

6700

2050

3831

Q

900

740

256

R e 10

107S




Exemplos

311

051T

9815

016

007

U e

7268

01043

0051

0009

V





46

2250

2

A eB16

45

16

45C


pois b22 ne c22

23








Branca 280 315

Preta 117 102

Amarela 56 67




Branca 225 203

Preta 56 69

Amarela 73 88





tabelas temos

155129

171173

518505

8873

6956

203225

6756

102117

315280


24



Branca 505 518

Preta 173 171

Amarela 129 155







71308A e

1753

02123B temos

C = A + B = 71106

73425

167455)3(3

07211320)3(8

3512 Propriedades

















25

3513 Matriz oposta




Exemplos

047

6103

159

047

6103

159

AA e 29

52

29

52BB





512A e

651

038B temos

651

038

479

512BA

21210

5410

651

038

479

512



Dada a matriz 853


16106

8412

853

426

853

426MM


16106

8412

825232

422262

853

42622M



da matriz dada

26




09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades






= kA + wA





= kA + kB








27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













19

3 MATRIZES







Maria 90 100 85 80

Ricardo 80 70 85 75




57

08

59

58

58

010

07

010

09

08

09

58

M



n colunas

Outros exemplos

30

72A matriz 2times2

2082

7413

3151

B matriz 3times3 e

42

13

015

C matriz 3times2






mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

21

22221

11211

ou

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

M

20




Soluccedilatildeo


a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3 a13 = 1 + 3 = 4

a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 a23 = 2 + 3 = 5

a31 = 3 + 1 = 4 a32 = 3 + 2 = 5 a33 = 3 + 3 = 6


654

543

432

A





331 Matriz quadrada



Exemplos

60

39A

805

7110

432

B e

141300

1234

5678

9101112

C







21

332 Matriz nula


para todo i e j

Exemplos

00000

00000D

000

000

000

E e 00

00F

333 Matriz linha


Exemplos

13117532G 15110H e 931J

334 Matriz coluna


Exemplos

13

2K

9

7

5

10

L e

9

97

8

1

0

M

335 Matriz diagonal



Exemplos

6000

0700

0080

0009

N

300

040

005

O e 10

02P





22

Exemplos

I2 =10

01 I3 =

100

010

001

e I4 =

1000

0100

0010

0001




Exemplos

9000

6700

2050

3831

Q

900

740

256

R e 10

107S




Exemplos

311

051T

9815

016

007

U e

7268

01043

0051

0009

V





46

2250

2

A eB16

45

16

45C


pois b22 ne c22

23








Branca 280 315

Preta 117 102

Amarela 56 67




Branca 225 203

Preta 56 69

Amarela 73 88





tabelas temos

155129

171173

518505

8873

6956

203225

6756

102117

315280


24



Branca 505 518

Preta 173 171

Amarela 129 155







71308A e

1753

02123B temos

C = A + B = 71106

73425

167455)3(3

07211320)3(8

3512 Propriedades

















25

3513 Matriz oposta




Exemplos

047

6103

159

047

6103

159

AA e 29

52

29

52BB





512A e

651

038B temos

651

038

479

512BA

21210

5410

651

038

479

512



Dada a matriz 853


16106

8412

853

426

853

426MM


16106

8412

825232

422262

853

42622M



da matriz dada

26




09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades






= kA + wA





= kA + kB








27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













20




Soluccedilatildeo


a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3 a13 = 1 + 3 = 4

a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 a23 = 2 + 3 = 5

a31 = 3 + 1 = 4 a32 = 3 + 2 = 5 a33 = 3 + 3 = 6


654

543

432

A





331 Matriz quadrada



Exemplos

60

39A

805

7110

432

B e

141300

1234

5678

9101112

C







21

332 Matriz nula


para todo i e j

Exemplos

00000

00000D

000

000

000

E e 00

00F

333 Matriz linha


Exemplos

13117532G 15110H e 931J

334 Matriz coluna


Exemplos

13

2K

9

7

5

10

L e

9

97

8

1

0

M

335 Matriz diagonal



Exemplos

6000

0700

0080

0009

N

300

040

005

O e 10

02P





22

Exemplos

I2 =10

01 I3 =

100

010

001

e I4 =

1000

0100

0010

0001




Exemplos

9000

6700

2050

3831

Q

900

740

256

R e 10

107S




Exemplos

311

051T

9815

016

007

U e

7268

01043

0051

0009

V





46

2250

2

A eB16

45

16

45C


pois b22 ne c22

23








Branca 280 315

Preta 117 102

Amarela 56 67




Branca 225 203

Preta 56 69

Amarela 73 88





tabelas temos

155129

171173

518505

8873

6956

203225

6756

102117

315280


24



Branca 505 518

Preta 173 171

Amarela 129 155







71308A e

1753

02123B temos

C = A + B = 71106

73425

167455)3(3

07211320)3(8

3512 Propriedades

















25

3513 Matriz oposta




Exemplos

047

6103

159

047

6103

159

AA e 29

52

29

52BB





512A e

651

038B temos

651

038

479

512BA

21210

5410

651

038

479

512



Dada a matriz 853


16106

8412

853

426

853

426MM


16106

8412

825232

422262

853

42622M



da matriz dada

26




09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades






= kA + wA





= kA + kB








27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













21

332 Matriz nula


para todo i e j

Exemplos

00000

00000D

000

000

000

E e 00

00F

333 Matriz linha


Exemplos

13117532G 15110H e 931J

334 Matriz coluna


Exemplos

13

2K

9

7

5

10

L e

9

97

8

1

0

M

335 Matriz diagonal



Exemplos

6000

0700

0080

0009

N

300

040

005

O e 10

02P





22

Exemplos

I2 =10

01 I3 =

100

010

001

e I4 =

1000

0100

0010

0001




Exemplos

9000

6700

2050

3831

Q

900

740

256

R e 10

107S




Exemplos

311

051T

9815

016

007

U e

7268

01043

0051

0009

V





46

2250

2

A eB16

45

16

45C


pois b22 ne c22

23








Branca 280 315

Preta 117 102

Amarela 56 67




Branca 225 203

Preta 56 69

Amarela 73 88





tabelas temos

155129

171173

518505

8873

6956

203225

6756

102117

315280


24



Branca 505 518

Preta 173 171

Amarela 129 155







71308A e

1753

02123B temos

C = A + B = 71106

73425

167455)3(3

07211320)3(8

3512 Propriedades

















25

3513 Matriz oposta




Exemplos

047

6103

159

047

6103

159

AA e 29

52

29

52BB





512A e

651

038B temos

651

038

479

512BA

21210

5410

651

038

479

512



Dada a matriz 853


16106

8412

853

426

853

426MM


16106

8412

825232

422262

853

42622M



da matriz dada

26




09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades






= kA + wA





= kA + kB








27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













22

Exemplos

I2 =10

01 I3 =

100

010

001

e I4 =

1000

0100

0010

0001




Exemplos

9000

6700

2050

3831

Q

900

740

256

R e 10

107S




Exemplos

311

051T

9815

016

007

U e

7268

01043

0051

0009

V





46

2250

2

A eB16

45

16

45C


pois b22 ne c22

23








Branca 280 315

Preta 117 102

Amarela 56 67




Branca 225 203

Preta 56 69

Amarela 73 88





tabelas temos

155129

171173

518505

8873

6956

203225

6756

102117

315280


24



Branca 505 518

Preta 173 171

Amarela 129 155







71308A e

1753

02123B temos

C = A + B = 71106

73425

167455)3(3

07211320)3(8

3512 Propriedades

















25

3513 Matriz oposta




Exemplos

047

6103

159

047

6103

159

AA e 29

52

29

52BB





512A e

651

038B temos

651

038

479

512BA

21210

5410

651

038

479

512



Dada a matriz 853


16106

8412

853

426

853

426MM


16106

8412

825232

422262

853

42622M



da matriz dada

26




09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades






= kA + wA





= kA + kB








27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













23








Branca 280 315

Preta 117 102

Amarela 56 67




Branca 225 203

Preta 56 69

Amarela 73 88





tabelas temos

155129

171173

518505

8873

6956

203225

6756

102117

315280


24



Branca 505 518

Preta 173 171

Amarela 129 155







71308A e

1753

02123B temos

C = A + B = 71106

73425

167455)3(3

07211320)3(8

3512 Propriedades

















25

3513 Matriz oposta




Exemplos

047

6103

159

047

6103

159

AA e 29

52

29

52BB





512A e

651

038B temos

651

038

479

512BA

21210

5410

651

038

479

512



Dada a matriz 853


16106

8412

853

426

853

426MM


16106

8412

825232

422262

853

42622M



da matriz dada

26




09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades






= kA + wA





= kA + kB








27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













24



Branca 505 518

Preta 173 171

Amarela 129 155







71308A e

1753

02123B temos

C = A + B = 71106

73425

167455)3(3

07211320)3(8

3512 Propriedades

















25

3513 Matriz oposta




Exemplos

047

6103

159

047

6103

159

AA e 29

52

29

52BB





512A e

651

038B temos

651

038

479

512BA

21210

5410

651

038

479

512



Dada a matriz 853


16106

8412

853

426

853

426MM


16106

8412

825232

422262

853

42622M



da matriz dada

26




09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades






= kA + wA





= kA + kB








27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













25

3513 Matriz oposta




Exemplos

047

6103

159

047

6103

159

AA e 29

52

29

52BB





512A e

651

038B temos

651

038

479

512BA

21210

5410

651

038

479

512



Dada a matriz 853


16106

8412

853

426

853

426MM


16106

8412

825232

422262

853

42622M



da matriz dada

26




09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades






= kA + wA





= kA + kB








27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













26




09

73

41

A e 212408B temos

i)

045

3515

205

05)9(5

7535

45)1(5

5A

ii) 1620422

1)12(

2

14

2

10

2

1)8(

2

1

2

1B

3522 Propriedades






= kA + wA





= kA + kB








27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













27









Brasil 2 1 0

Croaacutecia 1 0 2

Meacutexico 2 1 0

Camarotildees 0 0 3



300

012

201

012

R




Resultado Pontos

Vitoacuteria 3

Empate 1

Derrota 0



0

1

3

P

28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













28


1ordf fase

Brasil 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Croaacutecia 1 3 + 0 1 + 2 0 = 3

Meacutexico 2 3 + 1 1 + 0 0 = 7

Camarotildees 0 3 + 0 1 + 3 0 = 0


por P

0

7

3

7

031030

001132

021031

001132

0

1

3

300

012

201

012

PR


natildeo pontuou






j

jkij ba1









29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













29

Exemplos


210

59

71

A e 08

43B temos

4046

3613

453

02)4(1082310

0)5()4(98)5(39

07)4)(1(873)1(

08

43

210

59

71

BAC


7

4

1

3

B temos

15)7)(2(401)5()3(8

7

4

1

3

2058BAC


206

34

511

07

X e

015

520

1025

Y



3532 Propriedades








30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

k


n

j

jlij

p

k

kljk

n

j

ij facba111





jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

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y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

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100

10

01

Ty

Tx

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1

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100

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y

x

100

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1

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302

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1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

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101

100

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2

2

2

02

2

2

2

100

410

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1

y

x

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410

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42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













30




temos

p

k

n

j

kljkijkl

p

k

n

j

jkijkl

p

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j

jlij

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k

kljk

n

j

ij facba111





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n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkijjkijjk

n

j





v) ( kA )B = A( kB ) = k( AB )




fik = jk

n

j

ijjk

n

j

ij

n

j

jkij bakbakbc111


e

gik = n

j

jkij

n

j

jkijjk

n

j

ij bakbkada111





que AB ne BA Veja

31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

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100

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Se 03

05A e

02

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00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

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W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

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2

11


10

01

2

3

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5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

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8484

22

84

21

dbca

dbca

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ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

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110

1

36


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CBAPara

C

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S

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21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

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S

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2100

3



CBAPara

C

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M

012

12

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2

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2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

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900150

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500187

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900150

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1

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R

U

e

625215

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500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

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201

A e

111

010

2231A



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M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

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42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


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Prsquo = RP



5

4

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180180cos

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x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



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20

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y

x


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y


y


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11

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2



que A(14) e B(26)





46

1

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100

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101

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2

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2

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x

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25

2

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1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













31

Se 51

23A e

14


720

48AB e

1311

102BA


42

13A e

32

14B comutam pois

100

010AB e

100

010BA


Se 03

05A e

02

00B entatildeo

00








53

122

08

A e 3517

7964B temos

5120

328tA e

37

59

16

74

tB

362 Propriedades


i) ( At )





t = A


t + B

t



32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

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3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

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31I e A

-1A =

10

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31

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372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

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baIAA


2

11

0117

153a

ba

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2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

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2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

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2

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2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













32


t + B

t


t



t


tA

t



111

n

j

jikjij

n

j

jk

n

j

jkijikki ababbacc





7035

0810

3142

50210

W

11115

192

1523

X e 510

105Y



At = minusA



Exemplos

05

50A

017

103

730

B e

0841

8062

4603

1230

C




de


= A-1

A = In

33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

N


produto A-1

N Ou seja

142196449107464950117

14144310133763125

1151861408745365597

111

010

2231NA

M

270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

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y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

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00

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100

10

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1

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100

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1

y

x

100

001

010

100

320

602

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4

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2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

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2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

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y

x

100

410

101

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42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













33


singular

372 Teorema


tal que AA-1

= A-1

A = In


B = InB = ( A-1

A )B = A-1

( AB ) = A-1

In = A-1

ou seja B = A-1

Exemplos

i) A matriz 72


12

371A pois

AA-1

= 210

01

12

37

72

31I e A

-1A =

10

01

72

31

12

372I



Fazendo dc

baA 1

temos

10

01

11753

11753

115

732

1

dcdc

baba

dc

baIAA


2

11

0117

153a

ba

ba e

2

7b Aleacutem disso

2

5

1117

053c

dc

dc e

2

3d

Assim A-1

=

2

3

2

5

2

7

2

11


10

01

2

3

2

5

2

7

2

11

115

732

1 IAA

iii) A matriz 84


dc

baA 1

decorre

34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

db



35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

A

De

S

02121

000

2100

3



CBAPara

C

B

A

De

M

012

12

10

2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

45300




0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

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500187

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900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

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1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

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41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



270103092001130520

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M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

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142196449107464950117

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M

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011328130528011821

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codificada eacute

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42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

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100

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002

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310

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y

x

100

001

010

100

320

602

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4

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5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

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100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

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1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













34

10

01

8484

22

84

21

dbca

dbca

dc

ba

E entatildeo

084

12

ca


184

02

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35















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B

A

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S

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001

110

1

36


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C

B

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S

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21021

000

2


durante meio minuto

CBAPara

C

B

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S

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000

2100

3



CBAPara

C

B

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M

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2

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15045

45300




0600300

300045

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20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

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Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

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30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

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51500000

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n

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dois anos








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1

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n

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n

R

U

R

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000350

900150

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1

1

R

U

e

625215

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500312

900150

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2

2

R

U










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40





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32

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A-1


A-1

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1124265302737822208

32

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codificada eacute

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41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





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313

112

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42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

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01

5

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180cos180

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sen

sen

y

x


4512 Escala






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0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



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2

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20

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y

x


44






TxT e

y


y


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8

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x










45


1

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x

Jaacute as


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sen

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Ty

Tx

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2



que A(14) e B(26)





46

1

6

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2

2

2

02

2

2

2

100

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1

y

x

100

410

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100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

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25

2

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2

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1

6

2

Logo B seraacute 2

2

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REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













35















CBAPara

C

B

A

De

S

000

001

110

1

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C

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2


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CBAPara

C

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3



CBAPara

C

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03015

15045

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0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

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Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

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30001890005520025201

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890

552

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01000001




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n

n

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39



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1

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R

U

R

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R

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e

625215

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500187

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900150

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2

2

R

U










Quadro 1



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A-1

N = A-1

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843745212332641907

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32

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codificada eacute

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313

112

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12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

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sen

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x


4512 Escala






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0

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y

xP de modo que P

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y

x


44






TxT e

y


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11

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45


1

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2

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02

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Logo B seraacute 2

2

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REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













36


e de C para B

CBAPara

C

B

A

De

S

0210

21021

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2


durante meio minuto

CBAPara

C

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3



CBAPara

C

B

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12

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2

11

2

1110




N = 30 M

03015

15045

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0600300

300045

9006000

20 N

37











Fonte Campos 2008





bicicleta

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acelerado

Correr a 12

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Fonte Campos2008




678

895

1016

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552

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38











pn = knp0





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n

nR

UP


dois anos








39



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n

n

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R

U

R

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1

R

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e

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2

2

R

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13A e

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12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

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843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



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M


270103092001130520

011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

AMN

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142196449107464950117

14144310133763125

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111

010

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M

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011328130528011821

200109031405030912


codificada eacute

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01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

010

100

020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













37











Fonte Campos 2008





bicicleta

Caminhar

acelerado

Correr a 12

kmh

Hidroginaacutestica






Fonte Campos2008




678

895

1016

890

552

30000890005520125250

30051890505520025200

30000890005525025250

30000890015520025200

30001890005520025201

300

890

552

252

00000150

51500000

00005050

00010000

01000001




38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





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13A e

32

111A



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282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

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1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



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313

112

213

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N Ou seja

142196449107464950117

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codificada eacute

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01 27

42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

Ey

Ex

E e

100

10

01

Ty

Tx

T









1

5

2

100

001

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100

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002

100

310

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y

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001

010

100

320

602

1

1

4

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5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

6

2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













38











pn = knp0





ano seguinte






n

n

nR

UP


dois anos








39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

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1

1

R

U

e

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375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


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40





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13A e

32

111A



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282705031522281305

280520090405180301

12

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A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

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codificada eacute

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41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

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010

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313

112

213

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codificada eacute

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42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


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5

4

5

4

10

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sen

sen

y

x


4512 Escala






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0

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y

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2

5

1

20

02

y

x


44






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y


y


rsquoy





11

8

4

3

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5

y

x










45


1

y

x

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0cos

0cos

sen

sen

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00

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Ty

Tx

T









1

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2

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001

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100

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002

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y

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001

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100

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302

620

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que A(14) e B(26)





46

1

6

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2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

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410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

23

1

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2

100

2

23

2

2

2

2

2

25

2

2

2

2

1

6

2

Logo B seraacute 2

2

2

23

47





















48

REFEREcircNCIAS


1980


1996



















SITES REFERIDOS













39



900150

100850

1

1

n

n

n

n

R

U

R

U (3)


900150

100850A




500187

500312

000150

000350

900150

100850

1

1

R

U

e

625215

375284

500187

500312

900150

100850

2

2

R

U










Quadro 1



01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


40





tal que AA1 = I = A

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13A e

32

111A



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282705031522281305

280520090405180301

12

13AMN

843745212332641907

1124265302737822208N


A-1


A-1

N = A-1

AM = IM = M



843745212332641907

1124265302737822208

32

111NA

282705031522281305

280520090405180301


codificada eacute

01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28

41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

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A e

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011328130528011821

200109031405030912

313

112

213

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142196449107464950117

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M

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codificada eacute

12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03

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42


12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

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em uma matriz

y


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5

4

5

4

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5

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180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






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0

0 pela matriz

y

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10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

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5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


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0cos

0cos

sen

sen

R

100

00

00

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Ex

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Tx

T









1

5

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020

002

100

310

601

1

y

x

100

001

010

100

320

602

1

1

4

1

5

2

100

302

620

1

5

2



que A(14) e B(26)





46

1

6

2

100

410

101

100

02

2

2

2

02

2

2

2

100

410

101

1

y

x

100

410

101

100

42

2

2

2

12

2

2

2

1

2

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6

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Logo B seraacute 2

2

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REFEREcircNCIAS


1980


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SITES REFERIDOS













40





tal que AA1 = I = A

-1A cujos






13A e

32

111A



282705031522281305

280520090405180301M


282705031522281305

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12

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1124265302737822208N


A-1


A-1

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843745212332641907

1124265302737822208

32

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280520090405180301


codificada eacute

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41


01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





311

010

201

A e

111

010

2231A



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011328130528011821

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313

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142196449107464950117

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12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

senR com a matriz

y

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em uma matriz

y


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5

4

5

4

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01

5

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180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


100

0cos

0cos

sen

sen

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100

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00

Ey

Ex

E e

100

10

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Ty

Tx

T









1

5

2

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001

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100

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002

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y

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302

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que A(14) e B(26)





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2

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y

x

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REFEREcircNCIAS


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01 03 18 05 04 09 20 05 28 05 13 28 22 15 03 05 27 28





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313

112

213

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01 27

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12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



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sen

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y

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em uma matriz

y


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4

5

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sen

y

x


4512 Escala






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x


44






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y


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y

x










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1

y

x

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0cos

sen

sen

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00

00

Ey

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E e

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Ty

Tx

T









1

5

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010

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002

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1

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46

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2

2

2

02

2

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100

410

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y

x

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410

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12 09 03 05 14 03 09 01 20 21 18 01 28 05 13 28 13 01 20 05 13 01 20 09 03 01 27




















43



cos

sen

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y

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em uma matriz

y


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Prsquo = RP



5

4

5

4

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01

5

4

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180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

5

1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

3

7

5

y

x










45


1

y

x

Jaacute as


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0cos

0cos

sen

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R

100

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00

Ey

Ex

E e

100

10

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Ty

Tx

T









1

5

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100

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001

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302

620

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que A(14) e B(26)





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x

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REFEREcircNCIAS


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cos

sen

senR com a matriz

y

xP que resulta

em uma matriz

y


rsquoy


Prsquo = RP



5

4

5

4

10

01

5

4

180cos180

180180cos

sen

sen

y

x


4512 Escala






ExE

0

0 pela matriz

y

xP de modo que P

rsquo = EP



10

2

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1

20

02

y

x


44






TxT e

y


y


rsquoy





11

8

4

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7

5

y

x










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1

y

x

Jaacute as


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0cos

0cos

sen

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002

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TxT e

y


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y

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1

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x

Jaacute as


100

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0cos

sen

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Ty

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que A(14) e B(26)





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aplicaÇÕes de matrizes no ensino mÉdiodspace.bc.uepb.edu.br/jspui/bitstream/123456789/9493/1/pdf...

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