www.engenhariafacil.weebly.com

Resumo com exercícios resolvidos do assunto:

Aplicações da Integral

(I) Área

(II) Volume de sólidos de Revolução

(III) Comprimento de Arco

(I) Área

Dada uma função positiva f(x), a área A entre o gráfico de f e o eixo x e as retas

x=a e x=b é dada por:

𝐴 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

Generalizando, suponha que tem-se duas funções, e que 𝐹(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥),∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 .

A área A entre o gráfico de g e as retas verticais x=a e x=b é dada por:

𝐴 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

Sendo f(x) a função que está por cima durante o intervalo [a,b] e g(x) a função que está embaixo.

Exemplo 1: Calcule a área entre os gráficos das funções y=x² e y =2x-x².

Resposta:

Note que o enunciado não nos dá o intervalo, logo temos que a área entre os gráficos é

justamente a área gerada por duas interseções seguidas, logo,vamos resolver por passos para

você se habituar com a resolução destes tipo de questões.

Passo 1: Encontrar os pontos de interseção,achando a solução ao igualar uma das

componentes das funções (neste caso o y).

𝑦 = 𝑥 = 2𝑥 − 𝑥²

2𝑥² = 2𝑥, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 1

Passo 2: Encontrar qual função é maior entre os dois pontos de interseção,

substituindo valores na função entre os dois pontos (Neste caso, um valor possível

seria x=1/2 pois está entre 0 e 1).

𝑥 =1

2

𝑓 𝑥 = 𝑦 = 1

2 ² =

1

4

𝑔 𝑥 = 𝑦 = 2.1

2−

1

2 ² =

3

4

Logo, 𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 𝑥2 ≥ 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 0,1

Passo 3: Integrar as funções de acordo com a definição dada anteriormente para

encontrar a área.

𝐴 = 2𝑥 − 𝑥2 − 𝑥2 𝑑𝑥 =1

0

(2𝑥 − 2𝑥²)𝑑𝑥1

0

=1

3

Dependendo da situação, pode ser melhor integrar com relação ao eixo y.

Exemplo 2:Encontre a área delimitada pelo gráfico das curvas 𝑦² = 2𝑥 + 6 𝑒 𝑦 = 𝑥 − 1.

Resposta:

→Percebe-se que é mais vantajoso integral a curva y²=2x+6 com relação ao eixo y(se

fossemos isolar o y,encontraríamos uma raiz quadrada,que é mais trabalhoso do que

um polinômio normal) ,então, a curva y=x-1 também deve ser integrada a esse mesmo

eixo.

Passo 1: Alterar as equações de y(x) para x(y) isolando o x ,e encontrar os pontos de

interseção em y.

𝑦² = 2𝑥 + 6 , 𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑥, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑥 = 𝑦²

2− 3

𝑦 = 𝑥 − 1, 𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑥, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑥 = 𝑦 + 1

A interseção é dada por:

𝑦2

2− 3 = 𝑦 + 1

Logo encontramos as raízes y=4 ou y=-2

Passo 2:Segue o mesmo procedimento do exemplo anterior.

Temos y=0 um valor intermediário entre [-2,4].

𝑥 𝑦 =𝑦2

2− 3, 𝑥 0 = −3

𝑥 𝑦 = 𝑦 + 1, 𝑥 0 = 1

Logo, durante o intervalo [-2,4], é válida a equação 𝑦 + 1 ≥𝑦2

2− 3

Passo 3:Integramos( função maior) –( função menor), como no exemplo anterior.

𝒚 + 𝟏 − 𝒚𝟐

𝟐− 𝟑 𝒅𝒚 = (−

𝒚𝟐

𝟐+ 𝒚 + 𝟒)

𝟒

−𝟐

𝟒

−𝟐

𝒅𝒚

Exercícios Recomendados:

1) (UFRJ-2013.2)

2) (UFRJ-2011.2)

3) Encontre a área delimitada pelas curvas indicadas:

a) 𝑦 = 12 − 𝑥2 𝑒 𝑦 = 𝑥2 − 6

b) 𝑦 = 𝑒𝑥 , 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 𝑒 𝑥 = 0

c) 𝑦 = cos 𝜋𝑥 𝑒 𝑦 = 4𝑥2 − 1

d) 𝑦 = cos 𝑥 , 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 , 𝑥 = 0 , 𝑥 =𝜋

2

(II) Volume e de sólidos de Revolução

Neste capítulo estudaremos como utilizar integrais para calcular volume de superfícies

planas. Podemos calcular o Volume V, como:

𝑉 = 𝐴 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

Onde A(x) é a área de interseção do sólido com os planos perpendiculares que cruzam

o eixo no ponto x (seção transversal).

No exemplo do cilindro, calculamos 𝑉 = 𝐴 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎 sendo A(x)= Área do círculo

(seção transversal) que é constante durante todo o intervalo [a,b].

Exemplo 1: Calcule o volume da esfera de raio R.

Resposta:

Percebemos que a seção transversal (área de interseção do sólido com o plano perpendicular que cruza o

eixo no ponto x ) é:

Á𝑟𝑒𝑎 = 𝜋𝑦², mas, y = 𝑅² − 𝑥²

Logo, A(x)=𝜋(𝑅2 − 𝑥2)

E o volume pode ser calculado por:

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∶ 𝑉 = 𝜋 𝑅2 − 𝑥2 𝑑𝑥𝑅

−𝑅

=4

3𝜋𝑅³

Sólidos de Revolução

Sólidos de Revolução são sólidos gerados a partir da rotação de uma área

plana A ao redor de um eixo qualquer, como no exemplo abaixo.

A área plana A que temos é uma circunferência, e está sendo rotacionada no eixo y.

Exemplo 1:Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x

da região sob a curva y= 𝑥 ,o eixo x e as retas x=0 e x=1.

Curva y y rotacionada

Á𝑟𝑒𝑎 = 𝐴(𝑥) = 𝜋𝑅2 = 𝜋𝑦2 = 𝜋 𝑥 2

= 𝜋𝑥

Para determinar o volume, temos:

𝐴 𝑥 𝑑𝑥1

0

𝜋𝑥𝑑𝑥1

0

=𝜋

2

Sólidos que não são de revolução:

São sólidos como pirâmides, cubos, esferas, entre outros sólidos que não são gerados

por rotação em um eixo.

Exemplo 1: Calcule o volume de uma pirâmide de base quadrada e lado l e altura h.

Resposta:

Utilizando a equação da reta y=ax como uma aresta da face lateral da pirâmide,

podemos desenhar a seguinte figura.

Para encontrarmos o volume desta pirâmide, vamos supor fatias paralelas ao

eixo y com alturas infinitesimais dx:

O volume dessa Área infinitesimal é V=l²dx

Tendo y=l/2 e substituindo na equação anterior, temos:

V=(4y²)dx

A soma dos infinitesimais volumes é dada por:

4𝑦²𝑑𝑥𝑕

0

= 4 𝑦²𝑑𝑥 =𝑕

0

4 𝑎²𝑥²𝑑𝑥 =4𝑎2𝑕3

3

𝑥

0

𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 =𝑦

𝑕=

𝑙

2𝑕, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:

𝑉 =4𝑎2𝑕3

3=

4

3

𝑙2

4𝑕².𝑕³ =

𝑙2𝑕

3

𝑉 =𝑙2𝑕

3

Cálculo de Volume pelas Cascas Cilíndricas

O método de Cascas Cilíndricas é outra maneira para calcular volumes. Muitas vezes

calcular o volume pelo método anterior não é fácil e algumas vezes nem é possível.

Este método tem o objetivo de calcular o volume de sólidos somando cascas cilíndricas

finas que crescem de dentro pra fora do eixo de revolução.

Seguindo um rápido passo a passo você consegue resolver problemas desse tema:

Temos:

1° Passo: Desenhe a região e esboce um segmento de reta identificando o corte

paralelo ao eixo de rotação. Encontre o raio e altura da casca cilíndrica.

2° Passo: Determine os limites de integração para a variável em questão.

3° Passo: Integre o produto de 2π ⋅ raio ⋅ altura em relação a variável do problema.

A fórmula geral deste método é:

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 2𝜋𝑅𝐹 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

Onde o R será o raio da rotação e o F(x) será a altura, isso ficará mais claro nos exemplos.

Exemplo 1:Encontre o volume do sólido obtido ao girar a região delimitada por y = f(x)

= 3x – x² gira em torno da reta x = -1.

Corte uma fatia cilíndrica (paralelamente ao eixo de revolução) na parte interna do sólido.Depois corte outra fatia em torno do primeiro corte, e assim por diante. Cada cilindro encontrado terá raio de aproximadamente 1+𝑥𝑘 , altura 3𝑥𝑘 -𝑥𝑘² e espessura dx.

Se desenrolássemos o cilindro em 𝑥𝑘 teriamos uma fatia retangular de espessura dx. O comprimento da circunferência interna do cilindro será 2π . R = 2 π ( 1+𝑥𝑘 ).Portanto, o volume do sólido retangular é:

∆V ≈ largura X altura X espessura ≈ 2 𝜋 ( 1 + 𝑥𝑘 ) . ( 3𝑥𝑘 − 𝑥𝑘²).𝑑𝑥

Somando todos os volumes ao longo de todo o intervalo de x obtemos uma soma de Riemann. Basta então aplicar o limite para dx tendendo a zero e obtemos a integral.

Os limites de integração são as interseções entre as duas curvas dadas(de onde até onde a será integral), nesse caso y=0 e y= 3x-x², logo os limites são 0 e 3.

Generalizando para x, temos:

2𝜋𝑅𝐹 𝑥 𝑑𝑥 =𝑏

𝑎

2 𝜋 ( 1 + 𝑥 ) . ( 3𝑥 − 𝑥²).𝑑𝑥3

0

Exemplo 2:Encontre o volume do sólido de revolução obtido ao girar a região limitada por y=x-x² e y=0 em torno da reta x=2.

Temos a seguinte curva:

Vemos que o limite de integração entre y=x-x² e y=0 são 0 e 1.

Fazendo a rotação na reta vertical x=2, temos:

Neste caso , vemos que ao escolher um x arbitrário, o raio da rotação passa a ser 2-x e a altura a própria função x-x²-0 = x-x², aplicando na fórmula, temos:

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 2𝜋 2 − 𝑥 𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥1

0

Exercícios:

4) (UFRJ-2013.2)

5) (UFRJ-2013.1)

6) (UFRJ-2012.2)

7) (UFRJ-2012.1)

8) (UFRJ-2011.2)

Comprimento de Arco

Vamos supor que uma curva f(x) qualquer seja uma linha. Se esticássemos esta linha e medíssemos com uma régua, encontraríamos o comprimento desta curva. Para determinar este comprimento, costumamos (no Cálculo I , apenas) utilizar a seguinte equação:

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝐿 = 1 + (𝑓 ′ 𝑥 )²𝑑𝑥𝑏

𝑎

Exemplo 1: Calcule o comprimento da parábola x= y² do ponto (0,0) ao ponto (1,1). Logo, deve-se integrar com relação a y. F(y) = x= y² Aplicando na fórmula, temos:

𝐿 = 1 + 𝐹′ 𝑦 2𝑑𝑦 ,

1

0

𝐹 𝑦 = 2𝑦

𝐿 = 1 + 2𝑦 2𝑑𝑦 = 1 + 4𝑦²𝑑𝑦1

0

1

0

Exercícios: 9)(UFRJ-2013.2)

10)Encontre o comprimento exato das curvas:

a)y = 1 + 6x3

2 0 ≤ x ≤ 1

b)x =1

3 y y − 3 1 ≤ x ≤ 9

c)y = ln 1 − x2 ,0 ≤ x ≤1

2

Gabaritos:

Se tentarmos integrar com relação à x a

função seria y= 𝑥 ,e veríamos que não seria

possível esta integração por esta fórmula (essa

fórmula não é valida para qualquer função,veja

qual eixo é melhor para fazer a integral (x ou y)).

1)a) b) =4/3

2)1

2ln3 3)a) 72 b) e-2 c)

2

𝜋+

2

3 d)=

1

2 4)

𝜋

252 5)

𝜋2−𝜋

6 6)

4𝜋

15 7)2𝜋 8)±

1

𝜋+2

9) ln( 3 + 2) 10)a)2

243(82 82 − 1) b)

32

3 c) ln3 −

1

2

Bons Estudos!!

Dúvidas?

Acesse o Solucionador na página www.engenhariafacil.weebly.com ou mande email para

contatoengenhariafacil@gmail.com .